Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V × V → V , tj. ∀u, v ∈ V : u + v ∈ V · : T × V → V , tj. (∀u ∈ V )(∀a ∈ T ) : a·u ∈ V které splňují 1. u + v = v + u,
∀u, v ∈ V
2. (u + v) + w = u + (v + w), 3. ∃ o ∈ V : u + o = u,
∀u, v, w ∈ V
∀u ∈ V
4. (∀u ∈ V )(∃ (−u) ∈ V ) : u + (−u) = o 5. a · (u + v) = a·u + a·v,
∀u, v ∈ V, ∀a ∈ T
6. (a + b) · u = a·u + b·u,
∀u ∈ V, ∀a, b ∈ T
7. a · (b · u) = (a·b) · u,
∀u ∈ V, ∀a, b ∈ T
Příklad. Ukažme si příklady vektorových prostorů: 0) Položíme-li V = {o}, budeme mít vektorový prostor nad tělesem T (které lze vzít libovolně) skládající se pouze z nulového vektoru. 1) Každé těleso je vekt. prostorem nad sebou samým. Tj. položíme V = T a definujme operace přirozeným způsobem: (∀u, v ∈ V = T )(∀a ∈ T ) : u +V v := u +T v; a ·V u := a ·T u, což znamená, že sčítání ve vekt. prostoru (+V ) provádím jako sčítání v tělese (+T ). To samé pro násobení (·V jako ·T ). Pořád ale nedefinujeme, a tedy ani nesmíme(!) provádět, násobení dvou vektorů. 2) Tzv. aritmetický vektorový prostor T n : T n := {(a1 ; a2 ; . . . ; an ); ai ∈ T }. Vektorem je n-tice (dvojice, trojice, . . .) prvků tělesa. Sčítání vektorů a násobení prvky tělesa definujeme po složkách: r ∈ T, u, v ∈ T n , u = (a1 ; a2 ; . . . ; an ), v = (b1 ; b2 ; . . . ; bn ), pak u + v = (a1 ; a2 ; . . . ; an ) + (b1 ; b2 ; . . . ; bn ) := (a1 + b1 ; a2 + b2 ; . . . ; an + bn ) r · u = r · (a1 ; a2 ; . . . ; an ) := (r·a1 ; r·a2 ; . . . ; r·an ) 3) Přejdeme k abstraktnějším příkladům. Mějme neprázdnou množinu S ̸= ∅ a těleso T. Naším vekt. prostorem nad tělesem T bude T S := {f : S → T }, tj. prostor zobrazení z S do T . Operace definujeme následovně: r ∈ T, s ∈ S, f, g ∈ T S : (f + g)(s) := f (s) + g(s); (r · f )(s) := r · f (s) Příklad. Ukážeme si nějaké konkrétní případy výše uvedených příkladů. ad 1) Vezmeme např. těleso reálných čísel R a podíváme se na něj jako na vektorový prostor nad R. Pak našimi vektory jsou reálná čísla, která umíme sčítat
1
a násobit je nějakým reálným číslem. ad 2)Vezměme R2 (nad R). Jde o známou rovinu, kde má každý vektor dvě složky: u ∈ R2 : u = (x; y), kde x, y ∈ R. Vektory sčítáme a násobíme reálným číslem po složkách. Např. pro u = (1; 7), v = (4; −2), r = 0, 5 dostaneme u + v = (5; 5), r·v = (2; −1). ad 3) Vezměme S = R a těleso T = R. Tedy naším vekt. prostorem bude RR = {f : R → R}, neboli reálné funkce jedné (reálné) proměnné. Vezměme např. vektory, tj. funkce, f = x2 , g = log x − 3 a reálné číslo r = 31 . Pak f + g = x2 + log x − 3 a r·g = 13 log x − 1. 4) Vekt. prostorem je C(R) := {f : R → R; f je spojitá}, tj. prostor spojitých funkcí. Platí totiž, že součet spojitých funkcí je spojitá funkce a násobek spojité funkce nějakým (reálným) číslem je opět spojitá funkce. 5)Vekt. prostorem je Pn (T ) := {polynomy stupně nejvýše n nad tělesem T} = ∑n { k=0 ak xk ; ak ∈ T }. Opět součet a násobení polynomu číslem dává opět polynom (stupně nejvýše n a s koeficienty v tělese T ). Jak ukazují příklady, vektrovým prostorem mohou být nejrůznější ’věci’, se kterými se v matematice setkáváme. Následující poznámka jen ukazuje, že mnoho objektů jsou vlastně jedno a to samé. Poznámka. Všimněme si, že pokud položíme S = {1; 2; . . . ; n} a T bude nějaké těleso, tak T S je shodné s aritmetickým vekt. prostorem T n .∗ Podobně pro S = N a T = R vekt. prostor RN = {f : N → R} není ničím jiným, než prostorem všech (reálných) posloupností { {an }∞ n=1 ; ai ∈ R }. Přejděme k podrobnějšímu zkoumání (obecných) vekt. prostorů. Prvním pojmem, se kterým se setkáme, je podprostor vektorového prostoru. Definice. Nechť V je vektorový prostor nad T . Pak W je jeho podprostor, značíme W ≤ V , pokud platí: W ⊆ V a W je vektorový prostor nad T (se stejnými operacemi jako V ). Ekvivalentně, lze požadovat, aby W ⊆ V a W byl uzavřen na operace. Příklad. Zkoumejme podprostory R2 . 1) Každý vekt. pr. musí obsahovat o (nulový vektor). W = {o} patří do V a je uzavřen na operace (sčítáním a násobením se nul. vektor nezmění) - je to tedy (nejmenší) podprostor. 2) Zkusíme do W = {o} přidat další vektor, např. w. Budeme muset W = {o, w} uzavřít - totiž s w, musíme přidat i všechny násobky w reálným číslem. Tím se ∗ Pokud
toto není jasné, viz vysvětlení na konci textu.
2
vytvoří v R2 přímka procházející počátkem (tj. nul. vektorem o = (0; 0)). Taky bychom měli mít W uzavřený i na sčítání vektorů, ale sčítání násobků w nám dá jenom (jiný) násobek w, takže jsme hotovi. 3) Pokud bychom do W přidali dva vektory, které neleží na jedné přímce, násobky každého z nich by vytvořili (svou) přímku a sčítáním vektorů z těchto přímek bychom zaplnili celý prostor V . Jednoduše vidíme, že v každém vektorovém prostoru V existují dva podprostory - nulový, tvořený jen nul. vektorem, a celý prostor V . Těmto podprostorům se říká nevlastní. Ostatní podprostory jsou vlastní. Platí následující: průnik libovolného systému podprostorů tvoří podprostor. Díky tomu lze definovat: Definice. Nechť V nad T je vektorový prostor a mějme podmnožinu M ⊆ V . Pak defi∩ nujeme lineární obal ⟨M ⟩ := W , což znamená průnik všech podprostorů M ⊆W ≤V
obsahujících množinu M . Neboli lin. obal M je nejmenší podprostor obsahující M . Dále budeme všude předpokládat M = {v1 ; . . . ; vn }. Není to zásadní (a vše, co řekneme, platí i pro nekonečnou množinu), ale zjednoduší to zápis. Lin. obal obal lze také vyjádřit přes lineární kombinace. Platí totiž: } { n ∑ ak vk ; vk ∈ M, ak ∈ T , ⟨M ⟩ = k=1
přičemž sumu v zápise výše nazýváme právě lineární kombinací (vektorů vk ). Pokud ⟨M ⟩ = W , pak říkáme, že M generuje W . Definice. Množinu M ⊆ V nazveme lineárně nezávislou, pokud platí: n ∑
ak vk = o ⇐⇒ ∀ak = 0
k=1
Tj. existuje právě jedna lin. kombinace vektorů z M , která se rovná nulovému vektoru – a to pokud všechny koeficienty jsou nulové. Také můžeme psát, že lin. nezávislost znamená, že se nemůže stát: n−1 ∑ vn = ak vk , tzn. žádný vektor není lineární kombinací těch ostatních. k=1
Definice. M je báze vekt. prostoru V , pokud ⟨M ⟩ = V a M je lineárně nezávislá. Dimenze vekt. prostoru V je počet prvků (kterékoli) báze V . Příklad. Mějme M ⊆ R3 , M = {u, v, w}. Zjistěte, jestli M je lin. nezávislá, pokud: u = (2; 1; 3), v = (1; 3; 2), w = (4; 7; 7) 3
Můžeme si všimnout, že platí 1u + 2v + (−1)w = o, takže M je lineárně závislá. Ale postup výpočtu je následující. Chceme zjistit, zda rovnice au + bv + cw = o má i jiné řešení než a = b = c = 0. Přepíšeme si rovnici názorně: 2 1 4 0 a· 1 +b· 3 +c· 7 = 0 3 2 7 0 Jednoduše to znamená, že musíme vyřešit soustavu rovnic: 2a + b + 4c = 0 a + 3b + 7c = 0 3a + 2b + 7c = 0 Pokud najdeme i nějaké nenulové hodnoty řešení pro trojici (a, b, c), pak je množina M lineárně závislá. (A takové najdeme, jak jsme si ukázali na začátku: a = 1, b = 2, c = −1.)
4
Vysvětlení, proč pro S = {1; 2; . . . ; n} a těleso T je T S shodné s aritmetickým vekt. prostorem T n : T S = {f : {1; 2; . . . ; n} → T }, neboli máme zobrazení, která číslům 1 až n přiřadí nějaký prvek z tělesa T . Vezměme r ∈ T a dvě zobrazení f, g ∈ T S a podívejme se na součet f + g a součin r·f : f (1) = a1 , f (2) = a2 , . . . , f (n) = an , kde ai ∈ T g(1) = b1 , g(2) = b2 , . . . , g(n) = bn , kde bi ∈ T (f + g)(1) = f (1) + g(1) = a1 + b1 , (f + g)(2) = f (2) + g(2) = a2 + b2 , atd. (r·f )(1) = r·f (1) = r·a1 , (r·f )(2) = r·f (2) = r·a2 , atd. Vidíme, že to přesně opovídá práci v aritmetickém prostoru T n , kde sčítáme a násobíme (prvkem tělesa) po složkách: (a1 ; a2 ; . . .) + (b1 ; b2 ; . . .) = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; . . .) r · (a1 ; a2 ; . . .) = (r·a1 ; r·a2 ; . . .)
5
