F=
×+
=
+ =
Algebra
.
Variabelen
..
Inleiding
In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden Fahrenheit kan worden omgerekend:
○ C= ○ F
F = C + Zo’n afkorting wordt een formule genoemd en is handig omdat op de plaats waar C staat iedere temperatuur in graden Celsius kan worden ingevuld die je maar wilt. Na berekening rolt de bijbehorende temperatuur in graden Fahrenheit er als het ware vanzelf uit. Op die manier wordt vaak een letter gebruikt om een getal te vertegenwoordigen. Zo’n letter is dan als het ware een lege plaats waar later een getal kan worden ingevuld. Zo’n letter heet dan een variabele. Herleiden De optelling + kun je uitvoeren immers: + = De optelling a + b kan
Herleiden betekent: anders schrijven, meestal: eenvoudiger schrijven. Alle symbolen, tekens, getallen, bewerkingen, afspraken en eigenschappen die hierboven zijn genoemd gelden in principe ook voor het rekenen met variabelen. Men moet er alleen rekening mee houden dat bij variabelen sommige bewerkingen niet verder kunnen worden uitgevoerd.
niet worden uitgevoerd.
..
Vermenigvuldigen met variabelen
De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a en b geldt: a × b = b × a. De volgorde-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in een willekeurige volgorde worden gedaan, want voor ieder getal a, b en c geldt:
Variabelen
(a × b) × c = a × (b × c).
In plaats van het ×-teken gebruiken we in de wiskunde vaak een punt. Bij het vermenigvuldigen van variabelen wordt zelfs de punt vaak weggelaten.
a ⋅ b = ab
Vermenigvuldigen van losse variabelen Zet de variabelen achter elkaar, in alfabetische volgorde
c ⋅ a ⋅ d = acd
Vermenigvuldigen van producten van variabelen Zet de variabelen achter elkaar, in alfabetische volgorde.
ab ⋅ f ⋅ de = = abde f
Vermenigvuldigen van producten van variabelen en getallen Vermenigvuldig de getallen met elkaar en zet ze voorop. Zet daarna de variabelen er in alfabetische volgorde achter.
x ⋅ yz = x yz
Vermenigvuldigen van dezelfde variabelen Schrijf a ⋅ a als a en x ⋅ x ⋅ x als x enz. (zie ook bij ’Machten’).
ab ⋅ ac = = a bc
Opgave Herleid: a) x ⋅ y
d) x ⋅ y ⋅ a
b) a ⋅ b
e) x ⋅ y ⋅ z ⋅ ⋅
c) c ⋅ b ⋅ c
f) z ⋅ ⋅ x
..
Optellen met variabelen
De onderdelen van een optelling worden termen genoemd. Een term kan bestaan uit:
In a + zijn a
een getal
bijv.
of een variabele
bijv. a
of een product van variabelen
bijv. ab.
en de termen.
bijv. abc.
Algebra
of een product van een getal en één of meer variabelen, hierin kunnen ook breuken voorkomen. Er zijn gewoontes voor het opschrijven wat betreft de volgorde: bijv. x yz
• We schrijven a en niet a, heet hier de coëfficiënt van a. • We schrijven de variabelen in één term in alfabetische volgorde.
In + = zijn en gelijksoortig In a + a = a
Je kunt alleen gelijksoortige termen optellen. We noemen termen gelijksoortig als als ze precies dezelfde variabelen bevatten en ook precies evenveel van elke variabele. Termen zonder variabelen, dus met alleen getallen, kun je natuurlijk altijd bij elkaar optellen.
zijn a en a gelijksoortig
Nog een gewoonte wat betreft de volgorde: ab + a + a+b+x +
• We schrijven meestal a + en niet + a. • We schrijven termen zoveel mogelijk in alfabetische volgorde. De eigenschappen die worden gebruikt zijn: De wissel-eigenschap voor optellen
− a + b
Optellen kan in omgekeerde volgorde gebeuren want
−a − b = −a − b +
a+b =b+a De volgorde-eigenschap voor optellen
c +a −c −a = a + c
Optellen kan in willekeurige volgorde worden gedaan want (a + b) + c = a + (b + c).
Variabelen Opgave
Herleid: a) x + x
d) a − b + a
b) y + y
e) t − t + t − s
c) y − y + x
f) k − j − k
Opgave Herleid: a) b − a + b − a
d) − t + x −
b) k − + l − k +
e) a − b + c + b − a +
c) x − y + − − x
f) x − y + − x − y
Opgave Herleid: a) a − b + − b +
d) x + y − x +
b) x − y + − − x
e) x + y − x +
c) i − j + i + j +
f) + x − − x
Optellen en vermenigvuldigen kunnen ook door elkaar voorkomen.
x y + y ⋅ x = x y + x y = x y
Denk aan de volgorde-afspraak: vermenigvuldigen en delen komt vóór optellen en aftrekken.
De gelijksoortige termen x y, x y kun je optellen!
Opgave Herleid: a) a ⋅ b − b ⋅ a
d) x ⋅ y + x
b) x y − x ⋅ y
e) x − x y ⋅ z
c) + x ⋅ y − y ⋅ x
f) ab − a + b ⋅ a
Algebra
Opgave
..
Herleid: a) a ⋅ b + − a ⋅ b −
d) ⋅ b − ab
b) a ⋅ b − ac + ⋅ ab
e) a ⋅ b − b ⋅ a
c) x y − z ⋅ x − y ⋅ x
f) x ⋅ yz − xz ⋅ y
Delen met variabelen
In de wiskunde wordt een deling meestal met een breukstreep geschreven, zoals we die van breuken kennen. Dus niet (ax) ∶ (b)maar ax b Ook bij zo’n deling spreken we van de teller en de noemer. Let op: Eigenlijk zouden we moeten zeggen dat de noemer b, en dus b niet mag zijn. Maar omdat dat zo vanzelfsprekend is, wordt dit nooit gedaan. Delingen met variabelen vermenigvuldigen x z a
⋅ ab = abx c cz ⋅ − = − a
Breuken en delingen kunnen worden vermenigvuldigd door de tellers met elkaar te vermenigvuldigen en de noemers met elkaar te vermenigvuldigen. (Bedenk hierbij dat bijvoorbeeld kan worden geschreven als en ac als ac . ) Opgave Herleid: a)
a
⋅
c) − x ⋅ −
b)
x
⋅ −
a b
⋅
⋅ − ba
f) ⋅
a b
a
e)
x y
f)
a b
y
b
d)
p q
e)
c d
Opgave Herleid: a)
a b
⋅
c) b ⋅
b) − a b ⋅
x y
d) − xy ⋅ − q p
⋅ ⋅
p q
⋅
x y
Variabelen
Delingen met variabelen vereenvoudigen Breuken en delingen hebben de eigenschap dat ze op verschillende manieren geschreven kunnen worden, terwijl ze toch dezelfde waarde houden (dezelfde plaats op de getallenlijn): = = Teller en noemer mogen met een zelfde getal of variabele worden vermenigvuldigd. Deze eigenschap heet de equivalentie-eigenschap. De eigenschap volgt uit de vermenigvuldigingsregel voor breuken, immers: a c ac a a = ⋅= ⋅ = b b b c bc Natuurlijk kunnen teller en noemer ook door eenzelfde getal of variabele wor- abc = a/ b/ c = den gedeeld. Deze eigenschap gebruiken we nu bij het vereenvoudigen van de- abd a/ b/ d c c lingen. In plaats van het weggedeelde getal of de weggedeelde variabele zetten = d = d we een . teller en noemer gedeeld door ab
Opgave Herleid: a)
a
c) − p
b)
abc
d)
p
e)
abc a
a a
f)
ab a
e)
a ab
ac −c
f)
pq qr
Opgave Herleid: a)
−x yz z
c) −
b)
−pq p
d)
−pq −q
Opgave Herleid: a)
⋅
c) − ab b
e)
+ +
b)
+
d)
a+b a
f)
a+b a+b
c)
ax y byz
e)
y+x x+y
d)
−ap px
f)
abx y −ayz
Opgave Herleid: a)
x+y x+y
b) − ab b
Algebra
Wegdelen vóór het vermenigvuldigen Met de regels voor het vermenigvuldigen van breuken en de wissel-regel voor vermenigvuldigen: ac d acd adc ad c ⋅ = = = ⋅ =⋅c = c d a da ad ad In de praktijk schrijven we dat korter: ac d a/ c d/ c c ⋅ = ⋅ = ⋅ = = c, d a d/ a/
of nog korter:
ac d a/ c d/ ⋅ = ⋅ = c. d a d/ a/ Opgave Herleid: ⋅
c)
ab c
⋅
d abd
e)
a b
⋅
b a
y x
d)
p q
⋅ −q
f)
a b
⋅
b a
⋅
c a
x c) − y ⋅ − x
a e) − bc ⋅
a
b) x ⋅
y x
d)
⋅ − q
f) − q ⋅
q p
a)
x y
b)
x y
y z
⋅
Opgave Herleid: a)
ab c
pq p
p
Opgave Herleid: a) − b)
pq b
ab
⋅ − ab p
⋅ − ac
c) − ⋅
ac b
d) a ⋅
⋅
e)
xz
bc abc
f)
ax y
b c
⋅
a x
⋅
Opgave Herleid: ⋅
y z
⋅
z x
c)
q
⋅
b
⋅
q b
e) ac ⋅
b) a ⋅
x y
⋅
y a
d)
y b
⋅
y
⋅ ab
f)
a)
x y
p q
bd
⋅ pq ⋅
⋅ p
bc
Variabelen
Breuken/delingen met variabelen Delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk. Immers: = is waar, want ⋅ = . Op dezelfde manier geldt: a c a d ad ∶ = ⋅ = b d b c bc want ad c a d/ /c a ⋅ = ⋅ = bc d b /c d/ b Opgave Herleid: a)
∶
c)
b)
a
∶
a
d) − q ∶
b a
c) pq ∶
∶
d) ab ∶
a c
∶
b d
p
∶
p
e)
c d
r q
f)
x y
p
e)
x y z
∶
x
Opgave Herleid: ∶
a)
a b
b)
ab c
a c
ab c
f) ∶
∶ x y
ab c
Opgave Herleid: a)
x y
b)
a
∶ − x ∶
a
c) − a b ∶ d)
a b
∶c
a b
e) ab ∶
bx y
∶
xz
f)
x yz
Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken/delingen met variabelen Breuken en delingen kunnen alleen worden opgeteld of afgetrokken als ze gelijknamig zijn, d.w.z. als ze dezelfde noemers hebben. De uitkomst heeft dezelfde noemer als de breuken die bij elkaar worden opgeteld of van elkaar worden afgetrokken. De teller is de som of het verschil van de twee tellers. Dit gaat dus precies zoals het optellen van breuken zonder variabelen.
a b
+
c b
=
a+c b
Algebra
Opgave Herleid: +
a)
a
b)
ab
a
−
ab
+
c)
x y
d)
x z
z y
−
x z
e)
x z
−
z
f)
z xy
−
z xy
Opgave Herleid: a)
a c
+
a c
b) − z − y
y z
x c) − y +
x y
e) − a b +
d) − r −
q r
f)
q
b c
−
a b
b c
Optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken/delingen a a + b c
=
ac ab + bc bc
=
ac+ab bc
in de eerste breuk zijn teller en
Ongelijknamige breuken moeten eerst gelijknamig worden gemaakt, voor ze kunnen worden opgeteld of afgetrokken. Hiervoor maken we weer gebruik van de equivalentie-eigenschap: Teller en noemer mogen met eenzelfde getal of variabele worden vermenigvuldigd.
noemer met c vermenigvuldigd de tweede met b.
Opgave Herleid: a)
a
+
a
c)
b)
a
−
a
d) − a +
a) +
c)
a bc
+
+
b
d)
x y
a
−
e) − x −
a
f)
p
b
e)
a
−
z
f)
p x
a
−
x
p
Opgave Herleid:
b)
a
−
ab
−
q y
Opgave Herleid: a) +
x
c) a +
e) x −
y
b) −
y
d) b −
f) a −
b
Variabelen
Opgave Herleid: a)
b x
+
c y
c)
ab
b)
a x
+
d)
a b
−
c a
+
c
e)
ab
f)
x y
−
− a
Gelijknamig maken door vereenvoudigen Soms kan gelijknamig maken door vereenvoudigen; ook hiervoor wordt weer gebruik gemaakt van de equivalentie-eigenschap.
xy z
+
ab bz
=
xy z
+
a/ b b/ z
=
x y+a z
Opgave Herleid: a)
x xy
b)
a
−
+
c) −
y
bc abc
d)
a ab
a ab
c)
q pq
−
d)
b bc
a a
+
c bc
e) −
d bd
ab b
− a
f) −ac +
abc b
Opgave Herleid: +
a)
ab b
b)
a abc
bc
− +
q q
c ac
e)
x xy
+
z yz
c f) − bc −
a ab
.. Machten Herhaald vermenigvuldigen van hetzelfde getal wordt geschreven als macht. Bijvoorbeeld: a = a ⋅ a ⋅ a, a heet het grondtal en de exponent. Optellen en aftrekken van machten Machten kunnen alleen worden opgeteld of afgetrokken als ze gelijksoortige termen vormen: zowel de grondtallen als de exponenten moeten gelijk zijn, immers: a = aaa.
a + a = a maar a + a = a + a
Opgave
Opgave
Algebra Herleid: a) a + a
d) x y − x y
b) x − x
e) x − x + x − x
c) x y − x y
f) x − x + x
Herleid: a) a b + a b
d) a + p − a + p
b) d − d
e) y z − y z
c) c − c
f) a b + ab + a b + ab
Vermenigvuldigen van machten Machten met hetzelfde grondtal kunnen worden vermenigvuldigd door de exponenten op te tellen. Immers: x ⋅ x = x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x + = x .
Maar let op: x + x kan niet korter. De termen zijn niet gelijksoortig, omdat de variabele in de eerste term twee keer voorkomt en in de tweede term drie keer! Opgave Herleid: a) p ⋅ p
c) y ⋅ y
e) a ⋅ a
b) q ⋅ q
d) ⋅
f) q ⋅ q
a) a ⋅ a ⋅ a
c) z ⋅ z
e) d ⋅ d ⋅ d
b) b ⋅ b ⋅ b
d) ⋅
f) ⋅
Opgave Herleid:
Variabelen
Opgave Herleid: a) x ⋅ x
c) −a ⋅ a
e) y ⋅ −y
b) x ⋅ x
d) b ⋅ b
f) −c ⋅ − c
a) x y ⋅ y
c) x ⋅ x y
e) x yz ⋅ x z
b) x y ⋅ x y
d) ab ⋅ a b
f) x yz ⋅ x y ⋅ z
Opgave Herleid:
Delen van machten Machten met hetzelfde grondtal kunnen worden gedeeld door de exponenten af te trekken. Immers: a a aaaaa aaa aa = = = ⋅ = a = a − . a aaa aaa Of door te vereenvoudigen. Opgave Herleid: a)
c)
a a
e)
x x
b)
d)
s s
f)
x x
Opgave Herleid: a)
a a
c)
x x
e)
z z
b)
a a
d)
−y y
f)
−p −p
Opgave Herleid: a)
p q p q
c)
pq pq
e)
a b a b
b)
a b a b
d)
x y x y
f)
a b a b
x x
= x
a a
=
a/ / a /
=
a
Algebra
Machten van machten ((z ) ) = = z ⋅⋅ = z
Een macht kan tot een macht worden verheven door de exponenten te vermenigvuldigen. (x ) = x , immers: (x ) = x ⋅ x = x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x = x = x ⋅ .
Opgave Herleid: a) ( )
c) (x )
e) ((b ) )
b) ( )
d) (a )
f) ((x ) )
Machten van producten De macht van een product is het product van de factoren tot die macht. (ab) = a b , immers: (ab) = ab ⋅ ab ⋅ ab = a ⋅ a ⋅ a ⋅ b ⋅ b ⋅ b = a b . Nog een voorbeeld: (x y ) = (x ) ⋅ (y ) = x y .
Opgave Herleid: a) ( ⋅ )
c) (x y)
b) ( ⋅ )
d) (ab )
e) (p q)
f) (y z )
Opgave Herleid: a) (a b )
c) (x y )
e) (x y) ⋅(xz )
b) (x yz)
d) (x y )
f) (ab ) (ab)
Variabelen
Breuken en machten De macht van een breuk is die macht van de teller gedeeld door die macht van de noemer. ( ba ) = ba , immers: a a a a a ⋅ a ⋅ a a = . ( ) = ⋅ ⋅ = b b b b b ⋅ b ⋅ b b
( yx ) =
Opgave Herleid: a) ( )
c) ( xy )
e) ( ab )
b) ( ba )
d) ( ab )
f) ( x y )
a) ( ac b )
c) ( xy )
e) ( xz ) ⋅ ( x )
b) ( x y )
d)
x y
a) −b − b
c)
a b
b) x + x − x
d)
pr −pqr
Opgave Herleid:
x y
⋅
y x
f) ( xy ) ⋅ ( x ) ⋅ y
+
b
x e) − ac +
.. Alles door elkaar Opgave
Herleid:
f) − a ⋅
ab
ab c
Opgave Herleid: a) − ⋅ − b)
a bc
∶
c) (−pq)
e) a ∶
b
d) (z) + z
f) a ⋅
b
z x
c) ab ⋅ a b
e)
x
d)
b
Opgave Herleid: a)
x y
⋅
y z
b) − ∶
⋅
(−p q) (−pq)
x +x x
f) (−a) − (a )
x y
Algebra
Opgave Herleid: a) x y + x y
c) (x y) + x y
b) a ∶ a
d)
y
−
xy
e)
−pqr −p
f)
p q
− q ⋅ −r
⋅ − x y
Opgave Herleid: a) −a ⋅ b)
b x
−p q −p q
+
x ab
x c) − y ∶ − x
d)
ab bc
+ x ⋅
e) m − m yz c y
f)(x ) (−x y )
Opgave Herleid: a)
−x y
⋅− x
c) (p ) ⋅ pq
e) (a b) ∶
b)
−x y
∶−x
d) ( xy ) − ( z )
f) ( (pq) )
y
y
pq
b a
