DASAR DASAR TEORI OF INTEREST & ANUITAS Jakarta, 10 Mei Oleh : Masyhar Hisyam Wisananda, S.Si, ASAI

DASAR DASAR TEORI OF INTEREST & ANUITAS Jakarta, 10 Mei 2016

Oleh : Masyhar Hisyam Wisananda, S.Si, ASAI

PENGERTIAN BUNGA 

Bunga merupakan pertambahan nilai dalam suatu periode



Biasanya disimbolkan dengan 𝑖

BUNGA TUNGGAL 

Bunga yang timbul pada akhir periode dan tidak mempengaruhi besarnya modal



Perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besarnya modal awal



Bunga tunggal juga disebut simple interest

BUNGA MAJEMUK 

Bunga yang timbul ditambahkan ke nilai modal pada setiap akhir periode dan mempengaruhi besarnya modal



Perhitungan bunga setiap periode selalu dihitung berdasarkan besar modal dan bunga yang sudah terakumulasi pada periode sebelumnya



Bunga majemuk juga disebut bunga berbunga atau compound interest

CONTOH 1 Jika A menginvestasikan uangnya sebesar 1000 dengan suku bunga 10% pertahun, berapakah nilai uang A pada akhir tahun ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, dan ke-𝑛 ?

CONTOH 1 Menggunakan bunga tunggal Tahun ke-0

: 1000

Tahun ke-1

: 1000 x (1 + 1(10%)) = 1100

Tahun ke-2

: 1000 x (1 + 2(10%)) = 1200

Tahun ke-3

: 1000 x (1 + 3(10%)) = 1300

Tahun ke-4

: 1000 x (1 + 4(10%)) = 1400

Tahun ke-𝑛

: 1000 x (1 + 𝑛(10%))

CONTOH 1 Menggunakan bunga majemuk Tahun ke-0

: 1000

Tahun ke-1

: 1000 x (1 + 10%) = 1100

Tahun ke-2

: 1100 x (1 + 10%) = 1210

Tahun ke-3

: 1210 x (1 + 10%) = 1331

Tahun ke-4

: 1331 x (1 + 10%) = 1464,1

Tahun ke-𝑛

: 1000 x (1 + 10%)𝑛

CONTOH 2 Seorang investor menginginkan mendapatkan 100 juta pada akhir tahun ke-5

Jika tingkat bunga 12% per tahun, berapa besar uang yang harus diinvestasikan sekarang? Menggunakan teori bunga majemuk: Misalkan uang yang diinvestasikan sebesar 𝐴

𝐴(1 + 𝑖)5 = 100.000.000 1

𝐴 = 100.000.000 × (1+𝑖)5 (biasanya ditulis 𝐴 = 100.000.000 × 𝑣 5 ) 100.000.000 𝐴= (1,12)5

𝐴 = 56.742.686

Nominal Interest Rates 

Ketika bunga pada periode konversi tidak bertepatan dengan bunga satuan waktu dasar,  Contoh : Tingkat bunga efektif 12% / tahun maka tingkat bunga perbulan: 𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑎𝑛 = 𝑖𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛 =

𝑖𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛𝑎𝑛 12% = = 6% 2 2

𝑖𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛𝑎𝑛 12% = = 1% 12 12

Effective Interest Rates 

Ketika bunga pada periode konversi identik dengan bunga satuan waktu dasar,



Contoh :

Tingkat bunga efektif 12% / tahun maka tingkat bunga perbulan: 1 + 𝑖𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛

12

= 1 + 𝑖𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛𝑎𝑛 1

𝑖𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛 = 1 + 𝑖𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛𝑎𝑛 12 − 1 1 𝑖𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛 = 1 + 12 12 − 1 𝑖𝑏𝑢𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛 = 0,94888%

Diskonto 

Biasanya disimbolkan 𝑑



Rumus:

𝑖 𝑑= = 𝑖𝑣 = 1 − 𝑣 (1 + 𝑖)

Present Value & Future Value 

Present Value (PV) adalah nilai uang sekarang dari nilai uang tertentu di masa yang akan datang



Future Value (PV) adalah nilai uang yang akan datang dari nilai uang tertentu di masa sebelumnya

ANUITAS

Anuitas adalah suatu pembayaran dalam jumlah tertentu, yang dilakukan secara berkala

ANUITAS SEGERA / LANGSUNG 

Pembayaran dalam jumlah tertentu pada setiap AWAL periode 1

1

1

1

1

1



Present value



Future value 𝑠𝑛| = (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2 +(1 + 𝑖)3 +(1 + 𝑖)4 + ⋯ + (1 + 𝑖)𝑛

𝑎𝑛| = 1 + 𝑣 + 𝑣 2 + 𝑣 3 + 𝑣 4 + ⋯ + 𝑣 𝑛−1

ANUITAS DITUNDA / AKHIR 

Pembayaran dalam jumlah tertentu pada setiap AKHIR periode 1

1

1

1

1

1



Present value



Future value 𝑠𝑛| = 1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2 +(1 + 𝑖)3 + ⋯ + (1 + 𝑖)𝑛−1

𝑎𝑛| = 𝑣 + 𝑣 2 + 𝑣 3 + 𝑣 4 + 𝑣 5 + ⋯ + 𝑣 𝑛

 ANUITAS

DENGAN PEMBAYARAN TETAP

 ANUITAS

DENGAN PEMBAYARAN NAIK

 ANUITAS

DENGAN PEMBAYARAN MENURUN

PERPETUITAS Perpetuitas merupakan salah satu anuitas dengan pembayaran selamanya 𝑎∞| = 1 + 𝑣 + 𝑣 2 + 𝑣 3 + 𝑣 4 + ⋯ 𝑎∞| = 𝑣 + 𝑣 2 + 𝑣 3 + 𝑣 4 + 𝑣 5 + ⋯

CONTOH 3 Jika kita menabung sebesar Rp 500 ribu tiap awal bulan, dengan tingkat bunga 0,8% per bulan, berapa tabungan kita 3 tahun kemudian?

CONTOH 3 0

1

2

3

4

...

35

500

500

500

500

500

...

500

36

𝑠36| = 500(1 + 𝑖)36 +500(1 + 𝑖)35 + 500(1 + 𝑖)34 + 500(1 + 𝑖)33 + ⋯ + 500(1 + 𝑖) 𝑠36| = 500 (1 + 𝑖)36 +(1 + 𝑖)35 +(1 + 𝑖)34 +(1 + 𝑖)33 + ⋯ + (1 + 𝑖) 𝑠36| = 500 (1,008)36 +(1,008)35 +(1,008)34 +(1,008)33 + ⋯ + (1,008)

CONTOH 3 𝑠36| = 500 (1,008)36 +(1,008)35 +(1,008)34 +(1,008)33 + ⋯ + (1,008) 𝑠36| 𝑠36|

(1,008)37 −(1,008) = 500 1,008 − 1 = 20930,47972

Jadi tabungan kita 3 tahun kemudian sebesar Rp 20.930.479,72

CONTOH 4 Berapakah uang yang harus kita sisihkan tiap awal bulan jika kita membutuhkan uang Rp 100 juta pada 1 tahun kemudian? (asumsi tingkat bunga 1% per bulan)

CONTOH 4 Misalkan uang yang disisihkan tiap bulan sebesar N juta rupiah, maka

0

1

2

3

4

...

11

N

N

N

N

N

...

N

12 100

𝑁(1 + 𝑖)12 +𝑁(1 + 𝑖)11 + 𝑁(1 + 𝑖)10 + 𝑁(1 + 𝑖)9 + ⋯ + 𝑁 1 + 𝑖 = 100 𝑁 (1 + 𝑖)12 +(1 + 𝑖)11 +(1 + 𝑖)10 +(1 + 𝑖)9 + ⋯ + 1 + 𝑖 = 100 𝑁 (1,01)12 +(1,01)11 +(1,01)10 +(1,01)9 + ⋯ + (1,01) = 100

CONTOH 4 𝑁 (1,01)12 +(1,01)11 +(1,01)10 +(1,01)9 + ⋯ + (1,01) = 100

(1,01)13 −(1,01) 𝑁 = 100 1,01 − 1 𝑁 = 7,80681076

Jadi kita harus menyisihkan uang sebesar Rp 7.806.810,76 per bulan

CONTOH 5  Si

Z meminjam uang sebesar 800 juta.

 Si

Z membayar cicilan tiap akhir bulan selama 15 tahun

 Bunga

yang diterapkan 1,2 per bulan.

 Berapa

cicilan per bulannya???

CONTOH 5 Misalkan cicilan tiap bulan sebesar C juta rupiah, maka 0

1

2

3

4

...

179

180

C

C

C

C

...

C

C

800

Ingat, 𝑣 =

1 1+𝑖

800 = 𝐶𝑣 180 + 𝐶𝑣 179 + 𝐶𝑣 178 + 𝐶𝑣 177 + ⋯ + 𝐶𝑣 800 = 𝐶 𝑣 180 + 𝑣 179 + 𝑣 178 + 𝑣 177 + ⋯ + 𝑣

CONTOH 5 800 = 𝐶 𝑣 180 + 𝑣 179 + 𝑣 178 + 𝑣 177 + ⋯ + 𝑣 𝑣 181 − 𝑣 800 = 𝐶 𝑣−1

Ingat, 𝑣 =

1 1+𝑖

=

1 1,012

= 0,988142292

Sehingga didapatkan,

𝐶 = 10,869780

Jadi cicilan yang harus dibayarkan si Z sebesar Rp 10.869.780 per bulan

CONTOH 5 Bulan ke-

Cicilan

Pembayaran Pokok Pinjaman

Pembayaran Bunga

0

Sisa Pinjaman

800.000.000

1

10.869.780

1.269.780

9.600.000

798.730.220

2

10.869.780

1.285.017

9.584.763

797.445.202

3

10.869.780

1.300.438

9.569.342

796.144.765

4

10.869.780

1.316.043

9.553.737

794.828.722

5

10.869.780

1.331.835

9.537.945

793.496.887

12

10.869.780

1.447.819

9.421.961

783.715.639

24

10.869.780

1.670.630

9.199.150

764.925.203

60

10.869.780

2.566.721

8.303.059

689.354.828

120

10.869.780

5.250.607

5.619.173

463.013.835

176

10.869.780

10.240.430

629.350

42.205.407

177

10.869.780

10.363.315

506.465

31.842.091

178

10.869.780

10.487.675

382.105

21.354.416

179

10.869.780

10.613.527

256.253

10.740.889

180

10.869.780

10.740.889

128.891

0

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101 105 109 113 117 121 125 129 133 137 141 145 149 153 157 161 165 169 173 177 181

Sisa Pinjaman

GRAFIK SISA PINJAMAN

800.000.000

700.000.000

600.000.000

500.000.000

400.000.000

300.000.000

200.000.000

100.000.000

-

Bulan ke-

TERIMA KASIH