DAFTAR PUSTAKA Borrelli RL, Coleman CS. 1998. Differential Equations: A Modelling Respective. New York: John Wiley & Sons, Inc. Dougherty RD. 1990. Probability and Statistics for Engeneering, Computing, and Physical Science. New Jersey. Edelstein-Keshet L. 1988. Mathematical Models in Biology. New York: Random House. Edelstein-Keshet L, Watmough J, Grunbaum D. 1998. Do travelling band solutions describe cohesive swarms? An investigation for migratory locusts. J Math Biol 36: 515-549. Kokasih PB. 2006. Komputasi Numerik Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: Penerbit Andi. Okubo A. 1980. Diffusion and Ecological Problems: Mathematical Models. New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Riley K, Hobson M, Bence S. 2006. Mathenatical Methods for Physics and Engineering. New York: Cambridge University Press.
LAMPIRAN
43 Lampiran 1 Hubungan antara momen kedua dan ragam (persamaan (4.5))
x 2 F (x , t )dx
F2 (t ) N
1 N
x 1
N
X
x X
2
2
2x X
2X
F ( x ,t )dx
N
F2
2X
N V
2X
dengan X
2
F (x ,t )dx xF ( x ,t )dx
N
N V
N V
X
X
F1 . N
2
F1 N 2
,
X X
2
2
F0 N
2
X
F ( x ,t )dx
N
44 Lampiran 2 Pusat massa (persamaan (4.7)) Pusat massa diperoleh dari persamaan (3.43) dengan cara sebagai berikut: 2
F t F t
x
F x2
D
x
(w
v )F
2
x D
F x2
(w
x
v )F
2
(xF )dx
t
x D
F x2
x
(w
v )F
dx
(w
v )F
2
Misal u
v
D
t
x
F x
(w
udv
uv
xFdx
t
dan dv
D
F x2
x
sehingga du
dx
v )F . vdu
x D
F x
(w
v )F
D
F x
(w
Asumsi pendekatan kernel akan menjamin kecepatan w
v )F dx .
pada batasan
v F x
Jika diasumsikan kepadatan kelompok dan derivatifnya
pada x
bernilai nol (lebih cepat dari pada 1 x ), maka dF1 dt
x D
x D
x D
F x
(w
F x
(w
F x
(w
x D (0) (w dF
1
dt
wN
dx dan
v )F
v )F
v )F v )F
(K * F )Fdx ,
D
F x
D
F dx w x
D
(w
v )F dx
F dx wN x
D (0)dx wN
Fdx
vFdx . (K * F )Fdx
( K * F )Fdx
.
45 dengan N
Fdx
Sehingga dapat diperoleh d F1 dt N
w
1 N
(K * F )Fdx
dX dt
w
1 N
(K * F )Fdx .
46 Lampiran 3 Ragam sebaran (persamaan (4.8)) Ragam yang diperoleh dari persamaan (3.43) adalah:
t
x
X
x
X
2
2
2
F t
D
F x2
F t
x
X
Fdx
v )F
2
2
x
(w
x
F x2
D
X
(w
x
v )F
2
2
F x2
D
(w
x
v )F dx .
Seperti cara sebelumnya dengan mengasumsikan F (x ,t ) dan derivatifnya bernilai nol pada saat
x
t
2
X
Misal u
x
(lebih cepat dari 1 x
Fdx
x
2
X
X
x 2 2xX
2
X
), maka diperoleh
2
2
D
X
2
F x2
(w
x
maka du
v ) F dx
2x
2 X dx
2
dan dv
F x2
D
x
v )F dx sehingga v
(w
udv uv
t
t
X
x
X
2
Misal u
v d dt
DF N
1
F
2
Fdx
x (w
x X
D
D
(w
x
F
(w
x
maka du
X
F x
(w
X dx
v )F .
vdu
2
x
D
2 x
v )F
v )F
x
dx dan dv
X dx
D
F x
(w
v )F dx sehingga
v )Fdx . 2
2 Fdx
x
X
D
N
F x
-2
x
X
DF
(w
v )F
(w
v )Fdx
DF
(w
v )F dx dx
47 dNV (t ) dt
2
x
X
D
2 x
dt
X
2 x
dNV (t ) dt
2
v )F
x
-
Fdx - 2 2
x
(w
x
X DF
2D dNV (t )
F
(w
D (0) (w
Fdx
v ) F dx dx
x
2
v ) F dx
v )(0)
X D (0) 2
2D
(w
X
x
X
X
(w
(w
v )F dx 2D
dV (t) dt
2 DN 2D
2
N
2
x
x
X
X
(w (w
2(0)
v ) F dx
Dengan pendefinisian N adalah suatu konstanta dan v dNV (t) dt
Fdx
K * F ) F dx K * F ) F dx
K * F diperoleh
48 Lampiran 4 Nilai konvolusi (persamaan (4.8)) Untuk mencari nilai pengintegralan dari persamaan (4.15), dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: i
mencari a
(x
(1)
x ')F (x ')dx '
Misalkan u
x
x ' maka
du
dx ' dan dv
F (x ')dx ' sehingga
F (x ')dx ' .
v
udv uv (x
x ')F (x ')dx ' (x
b Untuk
u
vdu x ')
mencari
F (x ')dx '
F (x ')dx 'dx '. dengan
F (x ')dx 'dx '
F (x ')dx ' maka du
F (x ' ) dan dv
udv uv
dx ' sehingga v
(2)
memisalkan
x '.
vdu
F (x ')dx 'dx ' x '
F (x ')dx '
x ' F (x ')dx '.
(3)
Substitusi persamaan (2) dan (3) ke persamaan (1), sehingga diperoleh
(x
x ')F (x ')dx ' (x (x
x ') x ')N
dengan
x ')F (x ')dx '
x
x 'N
F (x ')dx '
x ' F (x ')dx '
F1
F1 N N
x (x
F (x ')dx ' x '
(4)
X N,
F (x ')dx ' N , F1
xF (x , t )dx ', dan X
F1 . N
49 ii mencari a
x ')3 F (x ')dx '
(x
Untuk
mencari
(4)
dengan
2
du
3(x
v
F (x ')dx ' .
(5)
dan
x ' ) dx '
dv
udv uv
3
(x
x ' ) F (x ' )dx '
dengan b Untuk
x ' )3 3
(x
x ') N
6x
x '
3x
2
c
F (x
3x 2
mencari
F (x ' )dx ' dx ' 3x 2x ' N
x ') 2
F (x ' )dx 'dx '
2
(6)
F ( x ' ) dx 'dx '.
dengan
memisalkan
dx ' sehingga dan v
x '.
2
F (x ' )dx ' x '
x ' F (x ' )dx '
3x 2F1.
(7)
F (x ' )dx ' N mencari
6x
x'
maka
F (x ')dx '
du
F (x ' )dx ' dx ' F (x ' )
dan
dengan
dv
memisalkan
x ' dx ' sehingga
1 (x ') 2 . . 2
udv uv 6x
(x
vdu
3x 2
v
(x ')
F (x ' ) dan dv
F (x ' )dx ' dx ' 3x
u
dan
x ' )dx ' dx '
F (x ' )dx ' dx '
3x 2
Untuk
sehingga
maka
F (x ' )dx ' N
udv uv
dengan
x ')3
(x
x ')dx '
F (x ' )dx ' 3
F ( x ' ) dx ' dx ' 3
F (x ')dx ' maka du
u
F (x
u
vdu
x ' )3F (x ' )dx ' (x
(x
memisalkan
x'
F ( x ' ) dx ' dx '
6x
vdu F ( x ' ) dx '
1 2
(x ' )
2
1 2
(x ' )
2
F ( x ' ) dx '
50 1 (x ' )2N 2
6x
6x
d
u
mencari
F (x ')dx '
maka
dengan
F (x ' )dx 'dx '
du
dan
F (x ' )
dv
memisalkan
(x ') 2dx ' sehingga
1 (x ')3 . 3
udv (x ' )2
3
uv
(x ' )2
dengan
vdu
F (x ' )dx 'dx ' 3 3
3
(x ') 2 F (x ')dx '.
(x ' )2
3
(8)
3xF2 ,
F (x ' )dx ' N dan F2
Untuk
v
F (x ' )dx ' dx ' 3x (x ' )2 N
x'
dengan
1 F2 2
1 (x ' ) 3 3
F (x ' )dx ' 1 (x ' ) 3 N 3
F (x ' )dx 'dx ' (x ' ) 3N
1 (x ' ) 3 F (x ' )dx ' 3
1 F3 3
F3 ,
(9)
(x ')3 F (x ')dx ' .
F (x ')dx ' N dan F3
Substitusi persamaan(6), (7), dan (8) ke persamaan(4), sehingga diperoleh
x ')3 F (x ')dx ' (x
(x
x ') 3 N
3x 2x ' N
3x ( x ') 2 N
x 3 3x 2 (x
dengan
F1 N
x ')3F (x ')dx '
X dan F2
V
x 3 3x 2X
X
2
N
3x 2F1
3xF2 ( x ') 3 N F1 N
3x
F2 N
3x V
X
F3
F3 N N 2
F3 N N
(10)
51 Dari persamaan (3) dan (9) dapat diperoleh:
v
A a2
B b2
1 A 2 a6 v
A 2 a
B 2 b
x
(x B b6 X N
x ')F (x ')dx '
(x A 4 a
A a4
B b4
x ') 3 F (x ')dx '
(x
x ')5 F (x ')dx ' ... B 4 b
x
3
2 3x X
3x V
X
2
F3 N
N.
(11)
52 Lampiran 5 Nilai ragam dari persamaan (4.19) dV (t ) dt
2D
2 N
x
X (K * F )Fdx
dV (t ) dt
2D
2 N
x
X
dV (t ) dt
2D
2
A a2
B b2
dV (t ) dt
2D
2
B b2
A 1 N 2 a N
dV (t ) dt
2D
2
B 2 b
A NV 2 a
A 2 a
B 2 b
x
X N
Fdx
2
x
X
Fdx
2
x
.
X
Fdx
(5.12)
53 53 Lampiran 6 Prosedur simulasi model V Syarat awal (icfun)
Fungsi sebaran normal Kanan p xr
a
x
b
Silinder
Kiri
Syarat batas (bcfun)
xl Kiri
q S1
0 Kanan
q
xmesh
q=0
m=1 Eliptik PDP
Solusi PDP
S2
m
m=0
Hasil numerik
Irisan
c>0
m=2
c
tmesh
c=0
Parabolik
S3 Difusi=DuDx Bola : tugas yang dilaksanakan
t0
t
tf
pdefun
f (bentuk fluks)
Konvolusi=K*F
: alternatif yang tidak dilaksanakan S1 adalah sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tmesh,options)
Integral komposit Simpson
S2 adalah sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tmesh) S3 adalah sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tmesh,options,p1,p2…)
Konveksi=w
R s (bentuk source) G
54
54 Lampiran 7 Prosedur penelitian
Fenomena belalang berkelompok
Model I
Sistem PDP
GB
Sistem tak berdimensi
Model II
Sistem PDP
GB
Sistem tak berdimensi
Pelinearan
Model III
Sistem PDP
GB
Sistem tak berdimensi
Pelinearan
Model IV
Sistem PDB
Sistem berdimensi satu
Model V
Sistem PDP
Pelinearan
Titik tetap
Nilai eigen Nilai eigen
Nilai eigen
Garis
= menunjukkan proses pencarian model yang tepat
Garis
= menunjukkan proses pencarian solusi
Tidak ada solusi TB
Tidak ada solusi TB
Tidak ada solusi TB
Solusi numerik
Puncak kelompok tidak sesuai
Solusi analitik
Ada perluasan gangguan ketika difusi bernilai kecil
GB
Keterangan:
Tidak ada solusi TB
Terjadi TB secara tidak murni
55 Lampiran 8 Program untuk simulasi model V function pdex4 m = 0; xleft=0; %xright=20;%Density kecil bergabung density besar xright=25;%Density kecil terpisah dari density besar %Populasi di tanah pada saat t=15 %xright=100;%Populasi di tanah pada saat t=250 nx=240; tmin=0; %tmax=10;%Density kecil bergabung density besar %Density kecil terpisah dari density besar tmax=15;%Populasi di tanah pada saat t=15 %tmax=250;%Populasi di tanah pada saat t=250 nt=10; x=linspace(xleft,xright,nx); t=linspace(tmin,tmax,nt); sol=pdepe(m,@pdex4pde,@pdex4ic,@pdex4bc,x,t); %pdepe dimodifikasi terlebih dahulu agar dapat menerima parameter %tambahan "xx" dan "FF" pada fungsi pdepe4pde untuk keperluan %menghitung konvolusi K*F u1 = sol(:,:,1); u2 = sol(:,:,2); F=u2; figure; for k=1:nt subplot(nt,1,k); plot(x,KF(x,x,F(k,:))); end figure; waterfall(x,t,u1) xlabel('x') ylabel('t') axis tight; figure; waterfall(x,t,u2) xlabel('x') ylabel('t') axis tight;
% -------------------------------------------------------------function [c,f,s] = pdex4pde(x,t,u,DuDx,xx,FF) %w = 1;%Density kecil bergabung density besar %Density kecil terpisah dari density besar w = 0.75;%Populasi di tanah pada saat t=15 %Populasi di tanah pada saat t=250 c = [1; 1]; f = [0; 0.1] .* DuDx-[0; (w+KF(x,xx,FF))].*u; R = 0.65; G = 0.25;
56 s=[-R*u(1)+G*u(2); R*u(1)-G*u(2)]; % -------------------------------------------------------------function u0 = pdex4ic(x) u0 = [0; icmasuk(x)];%Density kecil bergabung density besar %Populasi di tanah pada saat t=15 %u0 = [0; ickeluar(x)];%Density kecil terpisah dari density besar %Populasi di tanah pada saat t=250 % -------------------------------------------------------------function [pl,ql,pr,qr] = pdex4bc(xl,ul,xr,ur,t) pl = [ul(1)-0.65; ul(2)-0.25]; ql = [0; 0]; pr = [ur(1)-0.65; ur(2)-0.25]; qr = [0; 0]; % -------------------------------------------------------------% -------------------------------------------------------------function y = K(x) A = 4; a = 1; B = 0; b = 1; %A = 12; %a = 0.2; %B = 0.3; %b = 0.1; N0=4.0000e+008; y = x.*(((A/a^2)*exp(-(x/a).^2)-(B/b^2)*exp(-(x/b).^2))/N0); % -------------------------------------------------------------% -------------------------------------------------------------function q=KF(x,z,F) N=size(z,2); h=z(2)-z(1); q1=K(x-z(1))*F(1); qn=K(x-z(N))*F(N); qodd=0; for k=2:(N-1)/2 qodd=qodd+K(x-z(2*k+1)).*F(2*k+1); end qeven=0; for k=2:N/2 qeven=qeven+K(x-z(2*k)).*F(2*k); end q=h*[q1+qn+4*qodd+2*qeven]/3; % -------------------------------------------------------------% -------------------------------------------------------------function y = ic(x); mean1 = 7.5; varian1 = 13; param1 = 1/(sqrt(2*pi)*sqrt(varian1));
57 p1 = 1e9 * param1 * max(0,exp(-((x-mean1).^2)/(2*varian1))-exp(((mean1)^2)/(2*varian1))); mean2 = 0.8; varian2 = 2.2; param2 = 1/(sqrt(2*pi)*sqrt(varian2)); p2 = 1e9 * param2 * max(0,exp(-((x-mean2).^2)/(2*varian2))-exp(((mean2)^2)/(2*varian2))); y=max(p1,p2); % -------------------------------------------------------------% -------------------------------------------------------------function y = ic(x); mean1 = 16.5; varian1 = 13;
param1 = 1/(sqrt(2*pi)*sqrt(varian1)); p1 = 1e9 * param1 * max(0,exp(-((x-mean1).^2)/(2*varian1))-exp(((mean1)^2)/(2*varian1))); mean2 = 0.5; varian2 = 2.2; param2 = 1/(sqrt(2*pi)*sqrt(varian2)); p2 = 1e9 * param2 * max(0,exp(-((x-mean2).^2)/(2*varian2))-exp(((mean2)^2)/(2*varian2))); y=max(p1,p2);
