Cvičení z termomechaniky Cvičení 8

Cvičení z termomechaniky – Cvičení 8.

KKE/TM

Příklad 1 Vzduch o tlaku 1,5 [MPa] a teplotě 27 [°C] vytéká Lavalovou dýzou do prostředí o tlaku 0,117 [MPa]. Nejužší průřez dýzy má průměr 0,04 [m]. Za jakou dobu vyteče 250 [kg] vzduchu a jaká bude výtoková rychlost? Vstupní rychlost zanedbejte.

Dáno: 𝑇1 = 300,15 [𝐾]; 𝑝1 = 1,5.106 [𝑃𝑎]; 𝑝2 = 0,117.106 [𝑃𝑎], 𝑟 = 287,04 [𝐽. 𝑘𝑔−1 𝐾 −1 ], 𝜅 = 1,4; 𝑑𝑛 = 0,04 [𝑚]; 𝑚𝑣 = 250[𝑘𝑔] Na začátku je dobré si připomenout skutečnosti, které jsme si již dříve napsali:  Plyn, se kterým pracujeme, je ideální plyn a je tedy bez vnitřního tření  Teplo se neodvádí ani nepřivádí proudícímu médiu, tedy jde o adiabatický děj – dq=0.  Technická práce se nepřivádí ani neodvádí – dat=0  Proudění je jednorozměrné – dy=0 V zadání máme uvedeno, že se jedná o Lavalovu dýzu, tedy dýza má konvergentně-divergentní (zužující rozšiřující) tvar. Z toho lze předpokládat, že v dýze je nadkritický tlakový spád, ale pro úplnost si to ověříme. Kritický tlakový spád lze vyjádřit dle následující rovnice: 𝜅

𝑝𝑘 2 𝜅−1 𝛽 = =( ) = 0,528 𝑝1 𝜅+1 Pro tlakový poměr dýzy, která je popsána v zadání platí: 𝑝2 0,117.106 𝛽= = = 0,078 𝑝1 1,5.106 Jelikož platí následující relace: 𝛽 < 𝛽∗ ∗

Můžeme tedy prohlásit, že se jedná o nadkritický tlakový spád. Z hlediska výpočtu to znamená, že v dýze se v nejužším průřezu dosáhne kritických hodnot, tedy kritické rychlosti (rychlost zvuku) a v tomto průřezu dosáhneme i maximálního průtokového množství vzduchu v celé dýze. Tvar Lavalovy dýzy navíc umožňuje, aby se rychlost proudu zvětšovala, tedy výstupní rychlost očekáváme nadzvukovou. Výtokovou rychlost si můžeme ze zadání už dle známé rovnice vypočítat: 𝜅−1 𝜅

𝜅. 𝑟 𝑝2 𝑤2 = √2. . 𝑇1 (1 − ( ) 𝜅−1 𝑝1

1,4−1 1,4

1,4 . 287,04 0,117 ) = √2. . 300,15 (1 − ( ) 1,4 − 1 1,5

) = 558,68[𝑚. 𝑠 −1 ]


KKE/TM

Teď můžeme přistoupit výpočtu první úlohy ze zadání. Za jakou dobu vyteče 250 [kg] vzduchu. Čas, za který vyteče 250 [kg] je dán průtokovým množstvím vzduchu. 𝑚𝑣 𝜏= 𝑚̇ Maximální hmotností průtok je dán u kritického tlakového spádu průtokem přes nejužší průřez. 𝑚̇ = 𝜌𝑘 . 𝑆𝑛 . 𝑤𝑘 Z rovnice plyne, že pro výpočet hmotnostního průtoku je potřebné dopočítat hustotu a rychlost v daném průřezu. V obou případech se jedná o kritické parametry. Hodnotu hustoty v kritickém průřezu lze vypočítat z rovnice adiabaty, jelikož jsme si na začátku zavedli podmínku, že se nepřivádí ani nedovádí žádné teplo dq=0. Z rovnice adiabaty si pak odvodíme: 𝑝1 . 𝑣1𝜅 = 𝑝𝑘 . 𝑣𝑘𝜅 Jak je vidět, objevila se tady ještě jedna proměnná. Hodnota kritického tlaku. Ta se dá jednoduše dopočítat z kritického tlakového spádu, jelikož platí: 𝜅

𝑝𝑘 2 𝜅−1 𝛽 = =( ) = 0,528 𝑝1 𝜅+1 ∗

𝑝𝑘 = 𝑝1 . 𝛽 ∗ = 1,5.106 . 0,528 = 0,792 . 106 [𝑃𝑎] Tedy již můžeme napsat předchozí rovnici adiabaty do následujících tvarů: 1

𝑝1 𝑝𝑘 𝜌𝑘𝜅 𝑝𝑘 𝜌𝑘 𝜅 𝑝𝑘 𝜌𝑘 𝑝𝑘 𝜅 = ; = ; ( ) = ; =( ) 𝜅 𝜅 𝜅 𝜌1 𝜌𝑘 𝜌1 𝑝1 𝜌1 𝑝1 𝜌1 𝑝1 Pro výpočet hustoty v kritickém průřezu můžeme napsat: 1

1 1 𝑝𝑘 𝜅 𝑝1 1,5.106 𝜌𝑘 = 𝜌1 . ( ) = . 𝛽 ∗𝜅 = . 0,5281,4 = 11,033[𝑘𝑔. 𝑚−3 ] 𝑝1 𝑟. 𝑇1 287,04 . 300,15

Pro kritickou rychlost můžeme napsat: 2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1 2.1,4.287,04.300,15 𝑤𝑘 = √ =√ = 317,04 [𝑚. 𝑠 −1 ] 𝜅+1 1,4 + 1 Teď je možno dopočítat hmotnostní průtok nejužším průřezem dýzy: 𝜋. 𝑑𝑛2 𝜋. 0,042 𝑚̇ = 𝜌𝑘 . 𝑆𝑛 . 𝑤𝑘 = 𝜌𝑘 . . 𝑤𝑘 = 11,033. . 317,04 = 4,4[𝑘𝑔. 𝑠 −1 ] 4 4 A tedy i čas, za který proteče 250 [kg] vzduchu přes dýzu: 𝑚𝑣 250 𝜏= = = 56,82 [𝑠] 𝑚̇ 4,4


KKE/TM

Příklad 2 Navrhněte dýzu pro tlakový poměr 0,8. Dýzou budou protékat 4 [kg] vzduchu za sekundu. Počáteční tlak vzduchu je 3 [MPa] o teplotě 300 [°C]. Určete nejmenší průřez dýzy. Vstupní rychlost zanedbejte. Dáno: 𝑝

𝑇1 = 573,15 [𝐾]; 𝑝1 = 3.106 [𝑃𝑎]; 𝑝2 = 𝛽 = 0,8[−], 𝑟 = 287,04 [𝐽. 𝑘𝑔−1 𝐾 −1 ], 𝜅 = 1,4; 𝑚̇ = 4[𝑘𝑔. 𝑠 −1 ] 1

Na začátku je dobré si připomenout skutečnosti, které jsme si už dříve napsali:  Plyn, se kterým pracujeme, je ideální plyn a je tedy bez vnitřního tření  Teplo se neodvádí ani nepřivádí proudícímu médiu, tedy jde o adiabatický děj – dq=0.  Technická práce se nepřivádí ani neodvádí – dat=0  Proudění je jednorozměrné – dy=0 Jelikož máme navrhovat průměr dýzy, musíme začít od rovnice kontinuity, protože jenom v ní se nachází nepřímo rozměr dýzy: 𝜋. 𝑑2 𝑚̇ = 𝜌. 𝑆. 𝑤 = 𝜌. .𝑤 4 Z toho si pak můžeme vyjádřit průměr dýzy: 4. 𝑚̇ 𝑑=√ 𝜌. 𝜋. 𝑤 Všimněme si, že jednotky jsou bez indexů. Je to z důvodu, že v tomto stádiu řešení nemůžeme napsat, pro kterou část dýzy budeme počítat tento rozměr. Nejprve si musíme určit tlakový spád. Začneme určením kritického tlakového spádu: 𝜅

𝑝𝑘 2 𝜅−1 𝛽 = =( ) = 0,528 𝑝1 𝜅+1 ∗

Tlakový spád na dýze daný ze zadání je: 𝛽=

𝑝2 = 0,8 𝑝1

Jelikož vzájemná relace mezi kritickým tlakový spádem a spádem je následující: 𝛽 > 𝛽∗ Tak můžeme prohlásit, že jde o podkritický tlakový spád, tedy můžeme navrhovat dýzu zúženou a indexy u veličin při výpočtu rozměrů budou následující: 𝑑2 = √

4. 𝑚̇ 𝜌2 . 𝜋. 𝑤2


KKE/TM

Dle rovnice a ze zadání nám zbývá dopočítat hustotu a rychlost na výstupu ze zúžené dýzy. Hustotu na výstupu z dýzy můžeme odvodit z rovnice adiabaty: 𝑝1 . 𝑣1𝜅 = 𝑝2 . 𝑣2𝜅 1

𝑝1 𝑝2 𝜌2𝜅 𝑝2 𝜌2 𝜅 𝑝2 𝜌2 𝑝2 𝜅 = ; = ; ( ) = ; =( ) 𝜅 𝜅 𝜅 𝜌1 𝜌2 𝜌1 𝑝1 𝜌1 𝑝1 𝜌1 𝑝1 1

1 1 𝑝2 𝜅 𝑝1 3.106 𝜌2 = 𝜌1 . ( ) = . 𝛽𝜅 = . 0,81,4 = 15,55 [𝑘𝑔. 𝑚−3 ] 𝑝1 𝑟. 𝑇1 287,04 . 573,15

Rychlost na výstupu z dýzy určíme vztahem: 𝜅−1 𝜅

𝜅. 𝑟 𝑝2 𝑤2 = √2. . 𝑇1 (1 − ( ) 𝜅−1 𝑝1

) = √2.

1,4−1 1,4 . 287,04 . 573,15 (1 − 0,8 1,4 ) = 266,7 [𝑚. 𝑠 −1 ] 1,4 − 1

Průměr dýzy pro hmotnostní průtok 4 [kg.s-1] je pak určen: 4. 𝑚̇ 4 .4 𝑑2 = √ =√ = 0,035 [𝑚] 𝜌2 . 𝜋. 𝑤2 15,55. 𝜋. 266,7


KKE/TM

Příklad 3 Dusík z uzavřené nádoby o tlaku 0,15 [MPa] a teploty 150 [°C] vytéká tryskou do prostoru o tlaku 0,1 [MPa]. Vypočítejte, za jakou dobu vyteče 200 [kg] dusíku, jestliže nejužší průměr dýzy je 50 [mm]. • • • • •

Určete kritický tlakový poměr pro dusík (N2 – dvouatomový plyn, molární hmotnost 2x14 kg.kmol-1) Stanovte, zda se jedná o dýzu rozšířenou nebo zúženou Určete výtokovou rychlost z dýzy Vypočítejte hustotu v nejužším průřezu dýzy Stanovte hmotnostní průtok dýzou a čas výtoku.

Dáno: 𝑝1 = 0,15.106 [𝑃𝑎]; 𝑇1 = 423,15 [𝐾]; 𝑝2 = 0,1.106 [𝑃𝑎]; 𝑚 = 200 [𝑘𝑔]; 𝑑𝑛 = 0,05[𝑚]; 𝑀 = 2.0,014 [𝑘𝑔. 𝑚𝑜𝑙 −1 ] Na začátku je dobré si připomenout skutečnosti, které jsme si už dříve napsali:  Plyn, se kterým pracujeme, je ideální plyn a je tedy bez vnitřního tření  Teplo se neodvádí ani nepřivádí proudícímu médiu, tedy jde o adiabatický děj – dq=0.  Technická práce se nepřivádí ani neodvádí – dat=0  Proudění je jednorozměrné – dy=0 V první řade je dobré určit si, s jakými konstantami budeme pracovat. Jelikož se jedná o dvouatomový plyn, tak hodnota Poissonovy konstanty je: 𝜅 = 1,4 Hodnotu specifické plynové konstanty pro dusík je třeba si odvodit. Využijeme rovnice pro výpočet specifické plynové konstanty (http://home.zcu.cz/~gaspar/cv/CV_TM_02_01.pdf). Pozor, aby jste počítali v základních jednotkách. 𝑅 8,314 𝑟= = = 296,93 [𝐽. 𝑘𝑔−1 𝐾 −1 ] 𝑀 2 . 0,014 V dalším kroku musíme určit, o jakou dýzu se jedná. Tím zároveň zjistíme, kde leží nejužší průřez dýzy. V případě, že tlakový spád ze zadání je menší než kritický tlakový spád, tak se jedná o rozšířenou dýzu. V případě, že tlakový spád ze zadání je větší než kritický tlakový spád, jedná se o zúženou dýzu. Tlakový spád ze zadání je dán následovně: 𝑝2 0,1. 106 𝛽= = = 0,67 [−] 𝑝1 0,15.106 Kritický tlakový spád pro dýzu s nulovou rychlostí na vstupu je dána rovnicí: 𝜅

𝑝𝑘 2 𝜅−1 𝛽∗ = =( ) = 0,528 𝑝1 𝜅+1 Jelikož vzájemná relace mezi kritickým tlakový spádem a spádem je následující… 𝛽 > 𝛽∗


KKE/TM

…můžeme prohlásit, že tlakový spád v dýze je podkritický a bude se tedy jednat o zúženou dýzu. Nejužší průřez bude tedy na konci dýzy.

V tomto případě tedy rychlost na výstupu z dýzy nedosáhne rychlosti zvuku: 𝑤2 = √2.

𝜅−1 𝜅

𝜅. 𝑟 𝑝2 . 𝑇1 (1 − ( ) 𝜅−1 𝑝1

) = √2.

1,4−1 1,4 . 296,93 . 423,15 (1 − 0,67 1,4 ) = 310,177[𝑚. 𝑠 −1 ] 1,4 − 1

Hustotu na výstupu z dýzy můžeme odvodit z rovnice adiabaty: 𝑝1 . 𝑣1𝜅 = 𝑝2 . 𝑣2𝜅 1

𝑝1 𝑝2 𝜌2𝜅 𝑝2 𝜌2 𝜅 𝑝2 𝜌2 𝑝2 𝜅 = ; = ; ( ) = ; =( ) 𝜅 𝜅 𝜅 𝜌1 𝜌2 𝜌1 𝑝1 𝜌1 𝑝1 𝜌1 𝑝1 1

1 1 𝑝2 𝜅 𝑝1 0,15.106 𝜌2 = 𝜌1 . ( ) = . 𝛽𝜅 = . 0,671,4 = 0,897 [𝑘𝑔. 𝑚−3 ] 𝑝1 𝑟. 𝑇1 296,93 . 423,15

Hmotnostní průtok se určí pro parametry na výstupu z dýzy za pomoci rovnice kontinuity: 𝑚̇ = 𝜌2 . 𝑆2 . 𝑤2 Jelikož je v zadání udáván průměr dýzy, tak je možné předpokládat, že průřez dýzy bude kruhového tvaru. Navíc u zúžené dýzy je nejužší průřez právě na konci dýzy. Rovnice kontinuity se tedy mírně upraví: 𝜋. 𝑑𝑛2 𝜋. 0,052 𝑚̇ = 𝜌2 . 𝑆2 . 𝑤2 = 𝜌2 . . 𝑤2 = 0,897. . 310,177 = 0,546 [𝑘𝑔. 𝑠 −1 ] 4 4 Čas výtoku se pak jednoduše vypočte dle rovnice: 𝑚𝑁2 200 𝜏= = = 366,3 [𝑠] 𝑚̇ 0,546


KKE/TM

Příklad 4 Určete průměr otvoru, kterým vytéká vzduch o hmotnostním průtoku 0,02 [kg.s-1] z nádoby do atmosféry o tlaku 0,1 [MPa]. V nádobě je tlak 0,25 [MPa] a teplota 320 [°C]. • • • •

Určete kritický tlakový poměr pro vzduch (dvouatomový plyn) Stanovte, za se jedná o dýzu rozšířenou nebo zúženou Určete výtokovou rychlost z dýzy Vypočítejte hustotu v nejužším průřezu dýzy

Dáno: 𝑝1 = 0,25 [𝑀𝑃𝑎]; 𝑇1 = 593,15[𝐾] ; 𝑚̇ = 0,02 [𝑘𝑔. 𝑠 −1 ] ; 𝑝2 = 0,1 [𝑀𝑃𝑎] ; 𝜅 = 1,4 [−] 𝑟 = 287,04 [𝐽. 𝑘𝑔−1 𝐾 −1 ] Na začátku je dobré si připomenout skutečnosti, které jsme si už dříve napsali:  Plyn, se kterým pracujeme, je ideální plyn a je tedy bez vnitřního tření  Teplo se neodvádí ani nepřivádí proudícímu médiu, tedy jde o adiabatický děj – dq=0.  Technická práce se nepřivádí ani neodvádí – dat=0  Proudění je jednorozměrné – dy=0 V dalším kroku musíme určit, o jakou dýzu se jedná. Tím zároveň zjistíme, kde leží nejužší průřez dýzy. V případě, že tlakový spád ze zadání je menší než kritický tlakový spád, tak se jedná o rozšířenou dýzu. V případě, že tlakový spád ze zadání je větší než kritický tlakový spád, jedná se o zúženou dýzu. Tlakový spád ze zadání je dán následovně: 𝑝2 0,1.106 𝛽= = = 0,4 𝑝1 0,25 . 106 Kritický tlakový spád pro dýzu s nulovou rychlostí na vstupu je dána rovnicí: 𝜅

𝑝𝑘 2 𝜅−1 𝛽∗ = =( ) = 0,528 𝑝1 𝜅+1 Jelikož platí následující relace: 𝛽 < 𝛽∗

…můžeme prohlásit, že tlakový spád v dýze je nadkritický a bude se tedy jednat o rozšířenou dýzu. Nejužší průřez bude tedy mezi vstupem a výstupem dýzy. V tomto průřezu zároveň proud nabyde kritických hodnot, tedy kritické rychlosti i tlaku. Zároveň tento průřez limituje maximální množství látky, která může protéct


KKE/TM

dýzou. Když tedy chceme, aby dýzou protékalo 0,02 [kg.s-1], musíme navrhnout právě taký průřez, aby to umožňoval a zároveň aby v tomto průřezu proud nabyl kritických hodnot. Budeme tedy vycházet z rovnice kontinuity pro kritický průřez: 𝑚̇ = 𝜌𝑘 . 𝑆𝑘 . 𝑤𝑘 Jelikož je v zadání udáván průměr dýzy, tak je možné předpokládat, že průřez dýzy bude kruhového tvaru. 𝜋. 𝑑𝑘2 𝑚̇ = 𝜌𝑘 . 𝑆𝑘 . 𝑤𝑘 = 𝜌𝑘 . . 𝑤𝑘 4 Z toho je pak možné vyjádřit průměr dýzy pro dané hmotnostní množství vzduchu při kritických parametrech: 4. 𝑚̇ 𝑑𝑘 = √ 𝜋. 𝜌𝑘 . 𝑤𝑘 Zde je vidět, které další veličiny je nutné dopočítat. Hodnotu hustoty v nejužším průřezu dýzy je možné vyjádřit z rovnice adiabaty: 𝑝1 . 𝑣1𝜅 = 𝑝𝑘 . 𝑣𝑘𝜅 Zde ale chybí hodnota kritického tlaku, kterou si můžeme jednoduše odvodit: 𝑝𝑘 = 𝑝1 . 𝛽 ∗ = 0,132.106 [𝑃𝑎] Pak úpravami rovnice adiabaty se dostaneme na tvar pro vyjádření hustoty v kritickém průřezu: 1

𝑝1 𝑝𝑘 𝜌𝑘𝜅 𝑝𝑘 𝜌𝑘 𝜅 𝑝𝑘 𝜌𝑘 𝑝𝑘 𝜅 = ; = ; ( ) = ; =( ) 𝜅 𝜅 𝜅 𝜌1 𝜌𝑘 𝜌1 𝑝1 𝜌1 𝑝1 𝜌1 𝑝1 1

1 1 𝑝𝑘 𝜅 𝑝1 0,25.106 𝜌𝑘 = 𝜌1 . ( ) = . 𝛽 ∗𝜅 = . 0,5281,4 = 0,931 [𝑘𝑔. 𝑚−3 ] 𝑝1 𝑟. 𝑇1 287,04 . 593,15

Pak je nutné vypočítat hodnotu kritické rychlosti. Rovnice pro nulovou rychlost na vstupu je: 2. 𝜅. 𝑟. 𝑇1 2 . 1,4 . 287,04 . 593,15 𝑤𝑘 = √ =√ = 445,68 [𝑚. 𝑠 −1 ] 𝜅+1 1,4 + 1 Průměr dýzy pro dané hmotnostní množství vzduchu při kritických parametrech: 4. 𝑚̇ 4 . 0,02 𝑑𝑘 = √ =√ = 7,834 [𝑚𝑚] 𝜋. 𝜌𝑘 . 𝑤𝑘 𝜋. 0,931 . 445,68

Cvičení z termomechaniky Cvičení 8

Recommend Documents