Cvičení z termomechaniky Cvičení 5

Cvičení z termomechaniky – Cvičení 5.

KKE/TM

Příklad 1 V kompresoru je kontinuálně stlačován objemový tok vzduchu 1 [m3.s-1] o teplotě 20 [°C] a tlaku 0,1 [MPa] na tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příkon kompresoru, když komprese je: a) izotermická, b) adiabatická. Zakreslete změny v p-v a T-s diagramech. 𝑉1̇ = 1[𝑚3 . 𝑠 −1 ]; 𝑡1 = 20 [°𝐶] = 293,15 [𝐾]; 𝑝1 = 0,1 [𝑀𝑃𝑎]; 𝑝2 = 0,7 [𝑀𝑃𝑎]; 𝑉̇2 = ? [𝑚3 . 𝑠 −1 ]; 𝑡2 =? [𝐾]; 𝑃 =? [𝑊]

a)

Izotermická změna

Pro výpočet velikosti objemového toku vystupujícího z kompresoru se budeme opírat o stavovou rovnici, která je trošku upravená. Uvažujeme, že přes kompresor proudí kontinuálně stálé množství vzduchu (v čase se nemění množství vzduchu, které protéká kompresorem), tedy můžeme uvažovat, že hmotnost vzduchu v kompresoru v čase stejná. Jelikož ale, máme proudící médium, upravíme si stavovou rovnici do následujícího tvaru: 𝑝. 𝑉̇ = 𝑚̇. 𝑟. 𝑇 Rovnice se změnila jenom formálně a dostala časový rozměr. Její úpravou pro podmínky izotermického děje dostáváme rovnici: 𝑝1 . 𝑉1̇ = 𝑝2 . 𝑉̇2 Jednoduchou úpravou této rovnice dostáváme velikost objemového průtoku na výstupu z kompresoru: 𝑉̇2 =

𝑝1 0, 1.106 . 𝑉1̇ = . 1 = 0,143 [𝑚3 𝑠 −1 ] 𝑝2 0,7.106

Velikost teploty při izotermické kompresi je stejná na začátku i na konci děje, tedy: 𝑇1 = 𝑇2 = 293,15 [𝐾]

1


KKE/TM

Tady je dobré se zastavit, výsledek porovnat z grafem a udělat některé úvahy pro další výpočty. Z grafů plynou následující předpoklady: 

Objem na konci komprese adiabatické bude vyšší než u komprese izotermické (bod 2´ leží víc vpravo od bodu 2) – očekáváme tedy vyšší hodnotu objemového průtoku na výstupu při adiabatickém ději (𝑉̇2 < 𝑉̇2´ ).



Při adiabatickém ději bude teplota na konci komprese vyšší než u komprese izotermické (bod 2´ leží víc vpravo od bodu 2), tedy se očekává výsledek, pro který bude platit 𝑇2 < 𝑇2´ .



Velikost práce se očekává v záporných hodnotách (kompresoru se dodává práce)



Velikost dodávané práce v případě adiabatické komprese bude vyšší než v případě izotermické komprese (velikost plochy mezi zelenou křivkou a osou tlaku je menší než velikost plochy mezi purpurovou křivkou a osou tlaku). |𝑃| < |𝑃´| - Pozor, výsledky se očekávají v záporných hodnotách, proto je nutné porovnávat v absolutních hodnotách!

Příkon kompresoru (velikost technické práce, která se musí dodat kompresoru za jednotku času), je možné vypočítat přímo použitím rovnice pro výpočet technické práce a veličin, které mají i časový rozměr a byly dříve použity ve stavové rovnici. Velikost technické práce, je vyjádřena v Joulech [J], použitím veličiny objemového toku [𝑚3 . 𝑠 −1 ] místo veličiny objemu [𝑚3 ] v rovnici pro výpočet technické práce dostáváme namísto rovnice… 𝑝2

𝐴𝑡12 = − ∫ 𝑉. 𝑑𝑝 𝑝1

…rovnici 𝑝2

𝐴̇𝑡12 = − ∫ 𝑉̇ . 𝑑𝑝 𝑝1

Tím, že na pravé straně přibyl časový rozměr, musel přibýt i na levé straně. Tedy původní rozměr obou stran, který byl v [𝐽], má nyní rozměry [𝐽. 𝑠 −1 ], což je rozměr výkonu [𝑊]. Proto můžeme napsat, že velikost dodávané práce: 𝑝 𝑝 𝑚̇.𝑟.𝑇 𝑝 1 𝑝 𝑝 𝑃 = 𝐴̇𝑡12 = − ∫𝑝 2 𝑉̇ . 𝑑𝑝 = − ∫𝑝 2 𝑝 𝑑𝑝 = −𝑚̇. 𝑟. 𝑇 ∫𝑝 2 𝑝 𝑑𝑣 = −𝑚̇. 𝑟. 𝑇[ln 𝑝]𝑝21 = −𝑚̇. 𝑟. 𝑇. ln 𝑝2 == 1

𝑝 𝑚̇. 𝑟. 𝑇. ln 𝑝1 2

1

=

𝑝 𝑝1 . 𝑉1̇ . ln 𝑝1 2

1

=

0,1.106 0,1.106 . 1. ln 0,7.106

2

1

= −194 591,0149 [𝑊]




b)

KKE/TM

Adiabatická změna

V případě adiabatické změny je také udělána formální změna a přidán časový rozměr, tedy rovnice popisující rovnováhu mezi počátečním a koncovým dějem má tvar: 𝑝1 . 𝑉1̇ 𝜅 = 𝑝2 . 𝑉̇2𝜅 Separováním proměnných se lze dopracovat k rovnici: 1 𝑉̇2 𝑝1 𝜅 ( )=( ) 𝑝2 𝑉1̇ Odkud je jednoduché vyjádřit velikost objemového průtoku vzduchu na výstupu z kompresoru: 1

1

𝑝 0,1.106 1,4 ̇𝑉2´ = 𝑉1̇ . ( 1 )𝜅 = 1. ( ) = 0,249 [𝑚3 𝑠 −1 ] 𝑝2 0,7.106 Výsledek koresponduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) - 𝑉̇2 < 𝑉̇2´  Výpočet teploty se bude odvíjet také od úprav rovnice pro adiabatický děj (viz rovnice (6) a (7) Cvičení 4.). Využijeme tvar rovnice, která se musí minimálně upravovat: 𝜅−1 𝜅

𝑇2′ 𝑝2 =( ) 𝑇1 𝑝1

A tedy je jednoduché vyjádřit velikost teploty na konci adiabatické komprese: 𝜅−1 𝜅

𝑝2 𝑇2´ = 𝑇1 . ( ) 𝑝1

1,4−1 1,4

0,7.106 = 293,15. ( ) 0,1.106

= 511,15 [𝐾]

Výsledek koresponduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) - 𝑇2 < 𝑇2´  V případě adiabatické změny není nutné použít integrální tvar výpočtu, ale lze využít toho, že při adiabatickém ději je pravá strana rovnice pro první zákon termodynamiky rovna nule (viz rovnice (2) - cvičení 4). Tedy úpravou rovnice (2) a její rozšířením o časový rozměr (rovnici nevynásobím hmotností „m“ ale hmotnostním tokem „𝑚̇“) můžeme napsat, že velikost dodávané práce v případě adiabatického děje: 𝜅. 𝑟 𝑃´ = 𝐴̇𝑡12´ = −𝑚̇. (𝑇 − 𝑇1 ) 𝜅−1 2 𝑝1 . 𝑉1̇ 0,1.106 . 1 1,4 . 287,04 (𝑇 ) 𝑃´ = . 𝑐𝑝 . 1 − 𝑇2 = . . (293,15 − 511,15) = −260 276,3 [𝑊] 𝑟. 𝑇1 287,04.293,15 1,4 − 1 Výsledek koresponduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) - |𝑃| < |𝑃´|

3


KKE/TM

Příklad 2 Ve válci je vzduch o hmotnosti 0,25 [kg] při tlaku 1 [bar] a teplotě 15 [°C]. Vzduch je adiabaticky stlačen na tlak 0,8 [MPa]. Stanovte:

Dáno:

1) Absolutní práci

𝑚 = 0,25 [𝑘𝑔

2) Technickou práci

𝑝1 = 1[𝑏𝑎𝑟] = 1.105 [𝑃𝑎]

3) Koncový objem

𝑇1 = 15 [°𝐶] = 288,15 [𝐾]

4) Koncovou teplotu

𝑝2 = 0,8 [𝑀𝑃𝑎] = 0,8.106 [𝑃𝑎]

5) Změnu vnitřní energie 6) Změnu entalpie 7) Změnu entropie

Pro výpočet je možno použít množství zkratek, které plynou z rovnic pro adiabatický děj. Tady bude ukázaný podrobný postup a pak následně budou ukázány jednolité spojitosti. Na začátku je ale nutné jsi uvědomit pár skutečností, které plynou již grafů: 

Velikost technické i absolutní práce se očekává z záporných hodnotách (kompresoru se dodává práce)



Objem na konci děje bude nižší jako na začátku 𝑉2 < 𝑉1



Teplota na konci děje bude vyšší než na začátku děje 𝑇2 > 𝑇1



Při adiabatickém ději je pravá strana rovnice pro první zákon termodynamiky rovna nule (viz rovnice (2) - cvičení 4). Tedy platí, že −Δ𝑈 = 𝐴12 a −Δ𝐻 = 𝐴𝑡12

4

Cvičení z termomechaniky – Cvičení 5. 1)

KKE/TM

Absolutní práce

Výpočet měrné absolutní práce se řídí dle známé rovnice a integrací se dostaneme ke konečnému tvaru (viz úpravy rovnice (8) Poznámky ke cvičení 4)… 𝑣2

𝑎12 =

𝑝1 . 𝑣1𝜅

𝑣

1 𝑣 −𝜅+1 2 𝑣2−𝜅+1 𝑣1−𝜅+1 𝜅 ∫ 𝜅 . 𝑑𝑣 = 𝑝1 . 𝑣1 . [ ] = 𝑝1 . 𝑣1𝜅 . [ − ]= 𝑣 −𝜅 + 1 𝑣 −𝜅 + 1 −𝜅 + 1

𝑣1

1

𝑣21−𝜅 𝑣11−𝜅 𝑝1 . 𝑣1𝜅 = 𝑝1 . 𝑣1𝜅 . [ − ]= . [𝑣21−𝜅 − 𝑣11−𝜅 ] = 1−𝜅 1−𝜅 1−𝜅 =

1 𝑣21−𝜅 𝑣11−𝜅 1 𝑣2 1−𝜅 . 𝑝1 . 𝑣1𝜅 . 𝑣11−𝜅 . [ 1−𝜅 − 1−𝜅 ] = . 𝑝1 . 𝑣1 . [( ) − 1] = 1−𝜅 1−𝜅 𝑣1 𝑣1 𝑣1

Konečný tvar rovnice je možné upravit za pomoci stavové rovnice a rovnice adiabaty (viz úpravy rovnice (8) Poznámky ke cvičení 4): 𝑎12

𝜅−1 𝜅

𝑝1 . 𝑣1 𝑝2 = . [( ) 1 − 𝜅 𝑝1

𝜅−1 𝜅

𝑟. 𝑇1 𝑝2 − 1] = . [( ) 1 − 𝜅 𝑝1 1,4−1 1,4

287,04 . 288,15 0,8 . 106 . [( ) 1 − 1,4 0,1 . 106

− 1] =

− 1] = −167 896,4 [𝐽. 𝑘𝑔−1 ]

Výsledek je záporný, což se dalo očekávat. Je třeba si ale dát pozor, že výsledek je nutné násobit hmotností!!! Teprve tento výsledek je správným výsledkem. Toto je častá chyba u zápočtů!!!! 𝐴12 = 𝑚. 𝑎12 = 0,25 . (−167 896,4) = −41 974,1 [𝐽] 2) Technická práce Velikost technické práce je možné také odvodit a vypočítat klasickým způsobem (viz úpravy rovnice (9) Poznámky ke cvičení 4). Využitím závislosti (4) (poznámky ke cvičení 4) se rovnou dopracujeme k výsledku: 𝜅. 𝐴12 = 𝐴𝑡12 1,4. (−41947,1) = −58725,7 [𝐽] 3) Koncový objem Pro výpočet koncového objemu je nutnost znát velikost objemu na začátku, nebo znát dostatečné množství parametrů, aby se mohl koncový objem vypočítat v jednom kroku. V tomhle případě je ale zapotřebí nejprve vypočítat velikost objemu na počátku, což je možné za pomoci stavové rovnice: 𝑝1 . 𝑉1 = 𝑚. 𝑟. 𝑇1 𝑚. 𝑟. 𝑇1 0,25 . 287,04 . 288,15 = = 0,21 [𝑚3 ] 𝑝1 0,1 . 106 Pak za pomoci rovnice adiabaty a jejich úprav (viz poznámky ke cvičení 4) je pak možné vypočítat koncový objem: 𝑉1 =

1

1

𝑝1 𝜅 0,1.106 1,4 𝑉2 = 𝑉1 . ( ) = 0,21. ( ) = 0,048 [𝑚3 ] 𝑝2 0,8.106

Výsledek koresponduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) - 𝑉2 < 𝑉1  5


KKE/TM

4) Koncová teplota Za pomoci rovnice adiabaty a jejich úprav (viz poznámky ke cvičení 4) je možné vypočítat koncovou: 𝜅−1 𝜅

𝑇2 𝑝2 =( ) 𝑇1 𝑝1 𝜅−1 𝜅

𝑝2 𝑇2 = 𝑇1 . ( ) 𝑝1

0,8 . 106 = 288,15. ( ) 0,1 . 106

1,4−1 1,4

= 521,97 [𝐾]

Výsledek koresponduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) - 𝑇2 > 𝑇1 

5) Změna vnitřní energie Při výpočtu „změny velikosti“ se myslí číslo, které je dáno rozdílem mezi koncovým a počátečním stavem. V případě adiabatické změny stavu je tady ještě podmínka, které musí býti splněna, aby výsledek korespondoval s prvním zákonem termodynamiky. První rovnicí pro výpočet velikosti změny vnitřní energie, je: 𝑚. 𝑐𝑣 . 𝑑𝑇 = 𝑑𝑈 Podmínka, která plyne z první věty termodynamické má tvar (viz poznámky ke cvičení 4 – rovnice (2)): 𝑑𝐴 = −𝑑𝑈 Tedy velikost změny vnitřní energie, musí mít opačný znaménko jako velikost změny absolutní práce. Dle předchozího jsme si určili, že velikost dodávané práce kompresoru značíme záporným znaménkem, tedy změna vnitřní energie při kompresi bude mít kladné znaménko, tudíž velikost změny vnitřní energie závisí pouze na rozdílu teplot: Δ𝑈 = (𝑚.

𝑟 287,04 (𝑇2 − 𝑇1 )) = (0,25. . (521,97 − 288,15)) = 41 947 [𝐽] 𝜅−1 1,4 − 1

Výsledek koresponduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) – −𝑑𝑈 = 𝑑𝐴 6) Změna entalpie Při výpočtu velikosti změny entalpie jsme omezeni stejnými podmínkami jako v případě výpočtu velikosti změny vnitřní energie. Tedy rovnice pro výpočet velikosti změny entalpie: 𝑚. 𝑐𝑝 . 𝑑𝑇 = 𝑑𝐻 Podmínka, která plyne z první věty termodynamické má tvar (viz poznámky ke cvičení 4 – rovnice (3)): −Δ𝐻 = 𝑑𝐴𝑡 Tedy velikost změny entalpie bude dána rovnicí: 𝜅. 𝑟 1,4 .287,04 (𝑇2 − 𝑇1 )) = (0,25. (521,97 − 288,15)) = 58726,2 [𝐽] Δ𝐻 = (𝑚. 𝜅−1 1,4 − 1 Výsledek koresponduje s očekávaným výsledkem (viz úvahy výše a graf) – −𝑑𝐻 = 𝑑𝐴𝑡  V tomhle případě je tu opět možnost využít vlastností, které plynou z Mayerovy rovnice (viz poznámky ke cvičení 2 – rovnice (7), (8)) ale i ze zavilostí absolutní a technické práce, pro adiabatické děje (popsané výše, nebo viz poznámky ke cvičení 4 – rovnice (3)): Δ𝑈. 𝜅 = Δ𝐻 = 58726,2 7) Změna entropie V případě změny velikosti entropie je odpověď jasná. U vratné adiabatické komprese, která probíhá s ideálním plynem, nedochází k výměně tepla s okolím a ani se neprodukuje žádné teplo uvnitř systému, tedy velikost změny entropie je rovna nule. 𝑑𝑄 [𝐽. 𝐾 −1 ] → 𝑑𝑄 = 0 → 𝑑𝑆 = 0 𝑑𝑆 = 𝑇 6


KKE/TM

Příklad 3 Dvoustupňový kompresor nasává vzduch o teplotě 20 [°C] a tlaku 98 [kPa] stlačuje ho na 6 [MPa]. Vypočítejte výkon motoru, je-li mechanická účinnost 85%, množství chladící vody pro chlazení válců kompresoru a pro mezichladič. Teplota chladící vody se zvýší o 15 [K]. Komprese je v obou stupních polytropická s exponentem 1,3. Sací výkon kompresoru je 0,14 [m3.s-1].

Dáno:

𝑡1 = 20[°𝐶]; 𝑝1 = 98 [𝑘𝑃𝑎]; 𝑝2 = 6 [𝑀𝑃𝑎]; 𝜂𝑀 = 85 [%]; Δ𝑇 = 15 [𝐾]; 𝑛 = 1,3; 𝑉1̇ = 0,14 [𝑚3 . 𝑠 −1 ]; 𝑐𝑣𝑜𝑑𝑦 = 4187 [𝑘𝐽. 𝑘𝑔−1 . 𝐾 −1 ]

Na začátku příkladu je nutné jsi uvědomit pár skutečností, které plynou z úlohy: 

Při klasické polytropické kompresi jednostupňovým kompresorem je nutno vynaložit veliké množství technické práce pro zvýšení tlaku z tlaku p1 na p2 (viz polytropa 1-4´). Při použití dvou stupňů a mezichladiče (děj 1-2-3-4) je vidět, že se snižuje velikost dodávané technické práce kompresoru. Ušetřená technická práce je zobrazena modrou plochou.



Chlazení mezi body 2-3 je izobarické. Jelikož se bavíme o ideálním ději a chceme získat maximální množství ušetřené energie, tak k odvodu tepla musí docházet izobaricky.



Dělící tlak (px) rozděluje celý děj komprese tak, aby velikost technické práce prvního stupně odpovídala velikosti technické práce druhého stupně. Výpočet technické práce pro polytropický děj vychází z rozdílů tlaků (viz poznámky ke cvičení 4 – rovnice (14)). Porovnáním dvou rovnic dostáváme 𝑝

𝑝

tvar rovnice korespondující s obrázkem výše: 𝑝𝑥 = 𝑝2 1



𝑥

K tomu, aby byla zachována rovnost dodávané technické práce v každém stupni, musí být i poměr teplot stejný jako v případě tlaků. To znamená, že musí býti zachovány stejné teploty v bodech 𝑇1 = 𝑇3 a 𝑇2 = 𝑇4



K tomu aby byla zachována rovnost dodávané technické práce v každém stupni, musí být i poměr

7


KKE/TM

objemů stejný jako v případě tlaků. Tedy:

𝑣2 𝑣1

=

𝑣4 𝑣3

(z hlediska výpočtu je tento fakt teď irelevantní, ale

je dobré si ho pro úplnost připomenout.) Výpočet dle výše uvedeného musíme začít výpočtem dělícího tlaku: 𝑝𝑥 𝑝2 = → 𝑝𝑥 = √𝑝1 . 𝑝2 = 0,767 [𝑀𝑃𝑎] 𝑝1 𝑝𝑥 Jak je vidět, tak dělící tlak není přesně ve středu mezi 98 [kPa] a 6 [MPa] – tomu by odpovídala hodnota 3,49 [MPa]. Dělící tlak slouží k zachování rovnosti velikosti dodávané technické práce. Zároveň platí, že tlakový poměr v obou stupních kompresoru bude stejný (zvýšení tlaku v prvním stupni se bude rovnat zvýšení tlaku v druhém stupni): 𝑝𝑥 𝑝2 = = 7,82 𝑝1 𝑝𝑥 V zadání se uvádí, že se má vypočítat výkon motoru. Za pomoci zadaných parametrů se k tomuto výsledku dá jednoduše dopracovat. V první řadě je nutno si uvědomit, že výkon se počítá dle rovnice 𝑃 = 𝑚̇. 𝑎𝑡 . Druhý člen rovnice vyjadřuje velikost měrné technické práce. Jelikož v zadání není uvedeno, že je nutné vypočítat velikost technické práce, stačí nám tedy jenom jeho vyjádření. Celková technická práce kompresoru je součtem technické práce prvního stupně a technické práce druhého stupně. Jelikož velikosti prací v prvním i druhém stupni se rovnají, tak nám stačí známí vztah (14) (viz poznámky ke cvičení 4) vynásobit dvěma. Velikost měrné technické práce kompresoru můžeme vyjádřit tedy následujícím způsobem: 𝑎𝑡 = 𝑎𝑡1 + 𝑎𝑡2

𝑛−1 𝑛

𝑛 𝑝𝑥 = . 𝑟. 𝑇1 [1 − ( ) 𝑛−1 𝑝1

𝑛−1 𝑛

𝑛 𝑝2 . 𝑟. 𝑇1 [1 − ( ) ]+ 𝑛−1 𝑝𝑥 𝑛−1 𝑛

𝑛 𝑝𝑥 𝑎𝑡 = 2. . 𝑟. 𝑇1 . [1 − ( ) 𝑛−1 𝑝1

]

]

Práci systému dodáváme, tedy předpokládáme, že výsledek bude záporný. Násobení rovnice pro technickou práci hmotnostním tokem 𝑚̇ dostáváme rovnici, která nám určuje velikost výkonu, který je během komprese kompresoru dodáván (jde o polytropický, vratný děj s ideálním plynem!!!). 𝑛−1 𝑛

𝑛 𝑝𝑥 𝑃𝑘 = 𝑚̇. 𝑎𝑡 = 𝑚̇. 2. . 𝑟. 𝑇1 . [1 − ( ) 𝑛−1 𝑝1 𝑛−1 𝑛

𝑛 𝑝1 𝑝𝑥 𝑃𝑘 = 𝑚̇. . . 2 [1 − ( ) 𝑛−1 𝜌 𝑝1 𝑛−1 𝑛

𝑛 𝑝𝑥 𝑃𝑘 = . 𝑝1 . 𝑉1̇ . 2 [1 − ( ) 𝑛−1 𝑝1

]

]

] = −72,22 [𝑘𝑊]

Kompresoru se však musí tento výkon dodávat. Dodává se z motoru. Samozřejmě motor pracuje s určitými mechanickými ztrátami a velikost těchto ztrát je reprezentována účinností. V tomto případě se jedná o mechanickou účinnost 𝜂𝑀 = 85 [%]. Toto číslo nám říká, že z celkového výkonu, který motor vyprodukuje, se 8


KKE/TM

využije 85%, nebo že z celkového výkonu, který motor vyprodukuje, se 15% ztratí. Z toho logicky plyne, že motor, který má pohánět tento kompresor, musí být schopen produkovat a dodávat o 15% vyšší výkon. Z toho je patrné, že velikost potřebného dodávaného výkonu bude: 𝑃𝑀 =

𝑃𝑘 = −85 [𝑘𝑊] 𝜂𝑀

Pozor, v tomto případě, jsme vypočetli množství potřebného dodávaného výkonu od motoru na pohon kompresoru. Z toho tedy plyne, že výkon motoru s 85% účinností, který bude pohánět tento kompresor, bude: 𝑃 = |𝑃𝑀 | = 85 [𝑘𝑊] Při polytropickém ději dochází k výměně tepla s okolím a zároveň se teplo odvádí pomocí chladiče, ve kterém cirkuluje voda, do které je odváděné teplo. Množství odvedeného tepla bude určena rovnicí: 𝑄̇ = 𝑄̇𝑣 + 𝑄̇𝑐ℎ Tepelné toky, je možno vypočítat i z kalorimetrické rovnice, ale je nutno brát v úvahu charakter děje. Množství tepla odváděného stěnami válců je dána rovnicí polytropy a komprese probíhá polytropicky (proto cn). Je nutno vzít v úvahu i to, že kompresor je dvoustupňový, takže máme dva válce (proto je tam násobení číslem 2). Množství odvedeného tepla stěnami válců je dáno rovnicí: 𝑄𝑣̇ = 2. 𝑐𝑛 . 𝑚̇. (𝑇2 − 𝑇1 ) = 2. 𝑐𝑣 .

𝑛 − 𝜅 𝑝1 . 𝑉1̇ 𝑟 𝑛 − 𝜅 𝑝1 . 𝑉1̇ . . (𝑇2 − 𝑇1 ) = 2. . . . (𝑇2 − 𝑇1 ) 𝑛 − 1 𝑟. 𝑇1 𝜅 − 1 𝑛 − 1 𝑟. 𝑇1

Množství tepla odváděného stěnami chladiče je dáno rovnicí izobary (proto cp), tedy kalorimetrická rovnice nabyde tvaru: 𝑄̇𝑐ℎ = 𝑚̇. 𝑐𝑝 (𝑇3 − 𝑇2 ) =

𝑝1 . 𝑉1̇ 𝜅. 𝑟 . . (𝑇 − 𝑇2 ) 𝑟. 𝑇1 𝜅 − 1 3

V obou případech vidíme, že nám do rovnic chybí člen T2. Ten si můžeme jednoduše vyjádřit z rovnice polytropy (viz poznámky ke cvičení 4 – rovnice (11) a (12)): 𝑛−1 𝑛

𝑝𝑥 𝑇2 = 𝑇1 . ( ) 𝑝1

= 471,21 [𝐾]

Množství tepla odváděného stěnami válců: 𝑄𝑣̇ = 2.

287,04 1,3 − 1,4 0,098. 106 . 0,14 . . . (471,21 − 293,15) = −13889 [𝑊] 1,4 − 1 1,3 − 1 287,04 . 293,15

Množství tepla odváděného stěnami mezichladiče: 𝑄̇𝑐ℎ =

0,098. 106 . 0,14 1,4. 287,04 . . (293,15 − 471,21) = −29,17.103 [𝑊] 287,04.293,15 1,4 − 1

Celkové odvedené teplo: |𝑄̇ | = |𝑄̇𝑣 | + |𝑄̇𝑐ℎ | = 43,059.103 [𝑊]

9


KKE/TM

Množství chladící vody vypočteme také z kalorimetrické rovnice. Voda musí absorbovat stejné množství tepla, které je z válců a výměníků předáváno a zároveň se její teplota zvýší jen o 15 [K]. Bude tedy platit: 𝑄̇ = 𝑚̇. 𝑐𝑣𝑜𝑑𝑦 . Δ𝑇 Z toho pak lze vypočítat průtoční množství vody potřebné ke chlazení: 𝑚̇ =

̇ |𝑄| = 0,686 [𝑘𝑔. 𝑠 −1 ] 𝑐𝑣𝑜𝑑𝑦 . Δ𝑡

10

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5

Recommend Documents