KONTAKT VYBRANÉ KAPITOLY Z TERMOMECHANIKY ZAJÍMAVÉ ŘEŠENÉ APLIKACE. doc. Ing. Josef ŠTETINA, Ph.D

2.5.2012

VYBRANÉ KAPITOLY Z TERMOMECHANIKY doc. Ing. Josef ŠTETINA, Ph.D.

http://StudyEnergyWeb.fme.vutbr.cz/sew/category/odbortermomechaniky/termomechanika/

4. 5. 2012

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ - ENERGETICKÝ ÚSTAV 1 2 3 4ODBOR 5 6 7TERMOMECHANIKY 8 9 10 . . . 35 A TECHNIKY PROSTŘEDÍ

KONTAKT Budova A2 dveře 314 Email: [email protected] WWW: http://www.eu.fme.vutbr.cz/odbor-termomechaniky-a-techniky-prostredi/josefstetina Facebook: http://facebook.com/termomechanika eMail: [email protected] Telefon: 603731349 541143269

A2/314

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 252

ZAJÍMAVÉ ŘEŠENÉ APLIKACE Experimentální metody v technice prostředí – předmět 1. ročníku NMS

2. Upravené vydání 2007 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254

1

2.5.2012

ZAJÍMAVÉ ŘEŠENÉ APLIKACE Kontaktní

Bezkontaktní Zkušebna v Škoda auto

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254

ŘÍZENÍ PLYNULÉHO ODLÉVÁNÍ OCELI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254

ŘÍZENÍ PLYNULÉHO ODLÉVÁNÍ OCELI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254

2

2.5.2012

ZAJÍMAVÉ ŘEŠENÉ APLIKACE Sluneční penzión Svitavy – monitorování solárního skleníku pro ohřev vzduch Přesnost u laboratorních měření je až 0,2 K

A1 P1

T1/4

T2/2 T1/3

T2/0

T3/7 P3

T2/1

T1/2

T3/4

P2

T1/1

T3/3 T3/6

T2/3

T1/5

T2/4 T2/5

A2

TO T1/0

T3/5 T3/1 T3/2

T2/7

T2/6

0

1

2

3

4

5 (m )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254

ZAJÍMAVÉ ŘEŠENÉ APLIKACE Nízkoenergetický dům Energetického ústavu – monitorování a řízení prostředí

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254

VYUŽITÍ TERMOMECHANIKY

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254

3

2.5.2012

STUDIJNÍ LITERATURA http://studyenergyweb.fme.vutbr.cz/sew/category/odbortermomechaniky/seminar_aplikovane_term omechaniky/ http://studyenergyweb.fme.vutbr.cz/sew/category/odbortermomechaniky/termomechanika/ http://www.energetickeforum.cz/fsi-v-brne/vzdelavaci-kurzy/

http://www.mhhe.com/engcs/mech/cengel/index.mhtml

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . 254

TERMOMECHANIKA

Termodynamika

Termomechanika

• • • • • • • • •

Termodynamika plynů Kompresory Spalovací motory Vodní pára Tepelné elektrárny Chladící zařízení Vlhký vzduch Proudění plynů Proudové motory

Přenos tepla • • • • •

Vedení tepla Tepelné ztráty Přenos tepla prouděním Záření Tepelné výměníky

1 . . . 6 7 8 9 10 11 12 13 14 … 254

1 . . . 8 9 10 11 12 13 14 15 . . . 254

4

2.5.2012

TERMODYNAMICKÁ SOUSTAVA TERMODYNAMICKÁ SOUSTAVA je souhrn látek účelně omezený vůči okolí kontrolní plochou ROZLIŠUJEME SOUSTAVU ● Uzavřenou - hmotnost procházející kontrolní plochou je nulová ● Otevřenou - hmotnost procházející kontrolní plochou je nenulová ● Izolovanou - kontrolní plocha zamezuje výměně tepla Q s okolím ● Neizolovanou - kontrolní plocha nezamezuje výměně tepla Q s okolím ● Homogenní - Heterogenní

ROVNOVÁHA SOUSTAVY ● Mechanická - síly působící v soustavě a v okolí jsou v rovnováze ● Tepelná - nedochází k přenosu tepla v soustavě ani s okolím ● Chemická - chemické složení soustavy se nemění 1 . . . 8 9 10 11 12 13 14 15 . . . 254

OTEVŘENÁ TERMODYNAMICKÁ SOUSTAVA

1 . . . 8 9 10 11 12 13 14 15 . . . 254

ENERGIE, TEPLO, PRÁCE ENERGIE E [J] je schopnost soustavy konat práci (fyzikální, chemické či jiné změny). Energie je stavová veličina. Rozlišujeme energii mechanická, tepelná, elektrická, magnetická, chemická, jaderná 1 kcal 1 kpm

= 4,1868 kJ = 9,80665 J

1 kWh 1 BTU

= 3,6 kJ 1055,04 J

VNITŘNÍ ENERGIE U [J] = tepelná energie je energie neuspořádaného pohybu částic

T1

 ︵

T2

c m



2

Pro předávané teplo platí kalorimetrická rovnice

Q1

TEPLO Q [J] je forma přenosu energie mezi soustavou a okolím - není stavovou veličinou.

 ︶

m [kg] je hmotnost, T [K] jsou teploty, c [J.kg-1.K-1] je měrná tepelná kapacita ( u plynů rozlišujeme cp a cv ). PRÁCE A [J] je forma přenosu energie - není stavovou veličinou. Práce je dána sílou působící po dráze. 1 . . . 8 9 10 11 12 13 14 15 . . . 254

5

2.5.2012

STAVOVÉ VELIČINY STAVOVÉ VELIČINY určují stav soustavy Rozlišujeme: a) STAVOVÉ VELIČINY MĚŘITELNÉ • Tlak • Teplota • Měrný objem  Objem  Hmotnost  Látkové množství b) STAVOVÉ FUNKCE počítané z měřitelných stavových veličin Vnitřní energie U, entalpie H, entropie S … c) FYZIKÁLNÍ VLASTNOSTI Měrná tepelná kapacita c, součinitel tepelné vodivosti , teplotní vodivosti a, kinematická viskozita … 1 . . . 11 12 13 14 15 16 17 18 . . . 254

STAVOVÉ VELIČINY

Výška je stavová veličina stejně jako teplota, tlak, měrný objem, vnitřní energie entalpie a entropie – nezávisí na cestě. Trasa na kopec není stavová veličina stejně jako objemová práce, technická práce a teplo.

1 . . . 11 12 13 14 15 16 17 18 . . . 254

TLAK

F [N] S [m2] p [Pa]

síla plocha tlak

Do všech vztahů v termodynamice dosazujeme absolutní tlak. (nikdy přetlak ani podtlak). Pokud v zadání příkladu není řečeno o jaký tlak se jedná předpokládáme, že se jedná o absolutní tlak. Přednostně používáme kPa.

pa = pb - |ppod| pa = pb + ppř

1 . . . 11 12 13 14 15 16 17 18 . . . 254

6

2.5.2012

TLAK Přístroje pro měření tlaku: • přetlak – klasické manometry • barometrický tlak – barometry • podtlak – vakuometry • absolutní tlak • diferenční tlak

1 bar =105 Pa=1000 hPa=100 kPa=0,1 MPa 1 atm =101325 Pa=101,325 kPa=1,01325 bar 1 kp/cm2=9,807 N/cm2=0,9807 bar = 0,9679 atm 1 atm = 14,696 psi 1 mmHg= 1 torr = 133,322 Pa 1 mmH2O = 9,806 65 Pa

Hydrostatický tlak - využití při měření

1 . . . 13 14 15 16 17 18 19 20 . . . 254

DYNAMICKÉ RYCHLOSTNÍ SONDY 2

w1

ρS 22 w2

p2

Ř T



Ř

 

w

Prandtlova trubice

2 / 2 Ř T psw pd S 2ρ

 

T pcρ S

pdpd

Tlak statický + tlak dynamický = tlak celkový Rychlostní sondy w < 0,3 rychlosti zvuku

Pitotova trubice



2







Ř T S

p1



pc

pd



22

1

ps

Bernoulliho rovnice pro nestlačitelné tekutiny

 ︶

w

︵

p2 Ř ρ T ρS 21 p1 w 2

2 w2 d

2



1



p d v

2

Bernoulliho rovnici pro stlačitelné tekutiny integrujeme za konstantního objemu



Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

1 . . . 13 14 15 16 17 18 19 20 . . . 254

DYNAMICKÉ RYCHLOSTNÍ SONDY

Fvztlak  C 

w2  S 2

Pitotova trubice měří celý člen odpovídající dynamickému tlaku, tj kvadrát relativní rychlosti krát hustota proudícího vzduchu.

Pitotova trubice F18 Hornet

1 . . . 15 16 17 18 19 20 21 22 . . . 254

7

2.5.2012

TEPLOTA

T [K] = 273,15+t[°C] t [°C] V termodynamice používáme pouze teplotu označovanou T v Kelvinech

t[°C]=5/9.(t[F]-32)

1 . . . 15 16 17 18 19 20 21 22 . . . 254

0. ZÁKON TERMODYNAMIKY Jestliže, dva systémy (A a B) jsou v tepelné rovnováze s třetím systémem (C) [ A a C jsou v tepelné rovnováze; B a C jsou v tepelné rovnováze ] tak jsou v tepelné rovnováze i systémy A a B.

TA = TC TB = TC TA = TB Základní princip všech měření teplot

1 . . . 17 18 19 20 21 22 23 24 . . . 254

MĚRNÝ OBJEM

Hustota (měrný objem) u plynů není konstanta a nehledá se v tabulkách. 1 . . . 18 19 20 21 22 23 24 25 . . . 254

8

2.5.2012

ZÁKLADNÍ STAVOVÉ VELIČINY Tlak p [kPa]

Měrný objem v [m3/kg]

Teplota T [K]

1 . . . 18 19 20 21 22 23 24 25 . . . 254

TERMODYNAMIKA PLYNŮ Pracovní látka • Ideální plyn • Nedokonalé plyny - zjednodušený výpočet • Realný plyn - přesný výpočet • Páry

Směsi plynů

Směsi plynů a par

Fyzikální vlastnosti jsou pro: ● ideální plyny f (druhu látky) = konst. ● nedokonalé plyny f (druhu látky, T) ● reálné plyny f (druhu látky, T, p)

︶

T1



T d T

c

T2

T1

︵

T2



ř t

cs

1

U nedokonalých plynů používáme střední integrální hodnoty vlastností

1 . . . 20 21 22 23 24 25 26 27 . . . 254

AVOGADRŮV ZÁKON Slovní formulace (1811): Různé ideální plyny stejných objemů obsahují za stejné teploty a tlaku stejný počet molekul (ne atomů). Hmotnosti stejných objemů jsou úměrné molárním hmotnostem M [kg.kmol-1]





 

Matematická formulace:

. t s n o k t . s n M o k v / m V V



v M

Platí:

. t s n o k M

m

Pozn.: M udává, kolikrát je hmotnost molekuly látky větší, než 1/12 hmotnosti atomu uhlíku 12C.









  

  



  







P

  



1 4 , VmM 2 1M 2



F Vm N v M Vm



, P F Vm N m Mm V



Vm 3 n m N 1

Normální m3 je hmotnost 1 m3 (= m/V= 1/v) při NFP:

V



mM

Platí:

n

kde Vm [m3.kmol-1] je molární objem. Při p = 101325 Pa a T = 273,15 K (normální fyzikální podmínky - NFP) je Vm = 22,4136 m3.kmol-1.

1 . . . 20 21 22 23 24 25 26 27 . . . 254

9

2.5.2012

TERMODYNAMICKÉ DĚJE

1 . . . 23 24 25 26 27 28 29 30 . . . 254

GAY-LUSSACŮV ZÁKON Gay-Lussac (1778-1850) sledoval chování plynu za konstantního tlaku. Slovní formulace: Za stálého tlaku roste objem plynu lineárně s teplotou. Hodnota teplotní objemové roztažnosti je pro všechny plyny stejná, nezávisí na tlaku.






 = 1 / 273,15 K-1





V

   

Vo objem při to= 0°C

. t T s n o VoTo k T

 ︶ 

t 5 1 , 3 7 2

︵

5 t 1 , γ Vo3 7 2 2 2V T 1

1



Vo

V Po úpravě:

   

Vo V1T1 t 5 V 1 , 13 7 2










1 . . . 23 24 25 26 27 28 29 30 . . . 254

CHARLESŮV ZÁKON Charles (1746-1823) sledoval chování plynu za konstantního objemu. Slovní formulace: Za konstantního objemu roste tlak plynu lineárně s teplotou. Hodnota rozpínavosti



je

pro všechny plyny stejná.







 = 1 / 273,15 K-1









. t s n o k T

   

po tlak při to = 0°C

T poTo

 ︶ 

p


︵

t 5 1 , 3 7 2

   

5 1 , t po3 7 β 2 p2T2 1 t po 5 p1T1 1 , 3 p1 7 2



1

Po úpravě:

po

p




1 . . . 23 24 25 26 27 28 29 30 . . . 254

10

2.5.2012

BOYLEŮV MARIOTTEŮV ZÁKON Boyle (1662), Mariotte (1672) sledovali chování plynu za konstantní teploty. Slovní formulace: Za konstantní teploty je součin tlaku a objemu daného množství plynu konstantní.





p

p

δ

︵   

V2



p2

V1 p1

︶ 



o



1





Vo

Stlačitelnosti



V

Zákon lze vyjádřit i pomocí stlačitelnosti

. t s n o k

V p 


 není však ani u ideálních plynů konstantní, a proto uvedená

závislost V = f(p) není přímka. 1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254

SOUŘADNÝ SYSTÉM p-V-T p=konstantní

V=konstantní

T=konstantní

Rovnovážné stavy plynu se nacházejí pouze na této termodynamické ploše. 1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254

ODVOZENÍ STAVOVÉ ROVNICE Stavovou rovnici ideálního plynu odvodil v roce 1834 francouzský fyzik Clapeyron (17991864). Vycházel přitom z Boyleova-Mariotteova a Gay-Lussacova zákona  obecný děj nahradil izotermou a izobarou.

v1 2 p1p

v1 A p1p



vA



vA pA

v1 p1

1) Boyle-Mariotte (T = konst.)







v2 2 T1T



v2 2 TAT



vA



v2T2

vATA

2) Gay-Lussac (p = konst.)



T r

Stavová rovnice ideálního plynu je dána vztahem: kde r je měrná plynová konstanta.

v p



. t s n o k



v pT



. t s n o k



v2 2 p2T

v1 1 p1T

Měrný objem vA je v obou případech stejný, a proto platí:

 

1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254

11

2.5.2012

PLYNOVÁ KONSTANTA Měrná plynová konstanta r [J.kg-1.K-1]

a ze stavové rovnice

 





m



Odvození z Avogadrova zákona

. t s n o k

Vv T vp M r

určí se pro jednotlivé plyny z tabulek nebo VÝPOČTEM

Při normálních fyzikálních podmínkách p = 101325 Pa a T = 273,15 K je









J.kmol-1.K-1

3 , 4 1 3 8

J.kmol1.K 1

r

m RM



Univerzální plynová konstanta

2 , 1 3 , 4 1 3 8



m 5 1 R , 3 7 2



6 3 1 4 , 2 2 5 2 3 1 0 1

r M

M vT p

Vm pT

Vm = 22,4136 m3.kmol-1 pro všechny plyny a lze psát

Výpočet plynové konstanty r



1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254

T r

v p

ZÁKLADNÍ TVARY STAVOVÉ ROVNICE

V p 

Stavová rovnice pro m kg ideálního plynu

T r m

  

Stavová rovnice pro 1 kg ideálního plynu



 

T



m



R



nebo

m

 

Vm = M . v

kde

V p



m



T r M

V p

Vynásobením rovnice pro 1 kg molární hmotností M dostaneme všeobecnou stavovou rovnici ideálního plynu

Rm = M . r

a





m



T



R n

V p

Vynásobením všeobecné stavové rovnice látkovým množstvím n získáme rozšířenou všeobecnou stavovou rovnici ideálního plynu

V = n . Vm

kde

1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254

TEPELNÉ KAPACITY Měrná tepelná kapacita c [J.kg-1.K-1] je teplo k ohřátí 1 kg látky o 1 K U plynů rozlišujeme ● Měrnou tepelnou kapacitu za konstantního tlaku cp ● Měrnou tepelnou kapacitu za konstantního objemu cv







T d cv m







Molární tepelná kapacita Cm [J.kmol-1.K-1]









,









v m





C n





Cv

,

p m



m

 

C n

C n

c m

C 



v m

m



Tepelná kapacita C [J.K-1]

cv c v M m

C

cp c p M m

c M

C

p Qv p d c v Cm C



Qpcp d



T d

plyn zvýší vnitřní energii plyn zvýší vnitřní energii a vykoná práci

cp m

Děj 1-2V Děj 1-2p

1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254

12

2.5.2012

MAYERŮV VZTAH

T d p r d T p v d d vv T r d d pv r T d d p T T d cv r d T cvr cv T cv cpcv d qv q dp κ d cp cp

Odvození Mayerova vztahu

 

1. forma I. zákona termodynamiky Stavová rovnice ideálního plynu Po dosazení p.dv do 1. formy … Pro izobarický děj dp = 0 Mayerův vztah Poissonova konstanta 1-atomové plyny 2-atomové plyny 3-atomové plyny

 = 1,67  = 1,41  = 1,30

























 



 

 



1 . . . 30 31 32 33 34 35 36 37 . . . 254

r



Mayerův vztah

cv

cp

VLASTNOSTI IDEALNÍCH PLYNŮ



r Výpočet plynové konstanty r



m RM



Pro vzduch (směs N2 a O2) r = 287,04 J.kg-1.K-1 1 . . . 31 32 33 34 35 36 37 38 . . . 254

cp  cv 

3 , 4 1 3 8

Univerzální plynová konstanta



m R

 = 1,67  = 1,41  = 1,30

κ

1-atomové plyny 2-atomové plyny 3-atomové plyny

cpcv

Poissonova konstanta

  Rm r    1  1 M 1

 1

r 

1



Rm

 1 M

J.kmol1.K 1 Plyn

M [kg.kmol-1]

H2

2

N2

28

O2

32

C

12

CO2

44

VÝZNAM SMĚSÍ PLYNŮ V technické praxi se vyskytují převážně směsi plynů, např.: ● Vzduch pro technologické aplikace ● Plynná paliva – Propan-Butan, Zemní plyn, Bio plyn ● Pracovní látky spalovacích motorů a plynových turbín – Vzduch + směs paliva (benzínové páry) ● Výfukové plyny spalovacích motorů a plynových turbín – problematika emisí Proto se musíme zabývat termodynamikou směsí plynů a umět určovat jejich termodynamické vlastnosti DVĚ ZÁKLADNÍ VĚTY PRO ŘEŠENÍ SMĚSI PLYNŮ: ● Každý plyn se chová ve směsi ideálních plynů tak, jako by byl v celém prostoru sám ● řídí se svou stavovou rovnicí ● ze stavové rovnice lze určit jeho tlak (parciální tlak) pomocí teploty a celkového objemu směsi ● Směs chemicky na sebe nepůsobících plynů má vlastnosti opět plynu, pro který lze rovněž použít stavovou rovnici 1 . . . 31 32 33 34 35 36 37 38 39 . . . 254

13

2.5.2012

STAVOVÉ VELIČINY SMĚSI PLYNŮ MÍŠENÍ PLYNŮ při p = konst. a T = konst. - izotermická expanze:

V1, m1, r1

Před míšením:

V2, m2, r2

Stavové







rovnice složek

 

Stavová

T ri mi

V pi

V = V1+V2, m = m1+ m2, r

Po míšení:

T ri mi

Vi p

rovnice složek



 

T r m

V p

Stavová rovnice směsi



pi

p

   r a další termodynamické vlastnosti

Problém je určit měrnou plynovou konstantu směsi



i

DALTONŮV ZÁKON (1807): Tlak ve směsi se rovná součtu tlaků jednotlivých plynů (parciálních tlaků) daných jejich stavovými rovnicemi. 1 . . . 32 33 34 35 36 37 38 39 40 . . . 254

URČUJÍCÍ VELIČINY SMĚSI Zadání složení směsi

Výčet složek a jejich poměrné zastoupení

mim







nin

xV

V iV

wN2 = 76,8 %, wO2 = 23,2 %

Objemovými zlomky [-]





i



1

xN2 = 79 %, xO2 = 21 %

xV

1 , 0



i

Příklad pro vzduch:



(pro směsi plynů)

xV

i



[xi . 100 je v %]





1



xi

(pro směsi plynů)

[xi . 100 je v %]

1 , 0

Molárními zlomky [-]

xi

xi

Příklad pro vzduch:





1

(pro kapaliny, pevné látky)

wi



[wi . 100 je v %]

1 , 0

Hmotnostními zlomky [-]

wi

wi

POMĚRNÉ ZASTOUPENÍ SLOŽEK VE SMĚSI JE DÁNO:

1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254





Zde jsou využity vztahy:



















i i 1w M



wiMi wiMi



M wiMi



miMim M

xi



nin

PŘEPOČTY HMOTNOSTNÍCH ZLOMKŮ wi NA MOLÁRNÍ xi

x  xVi

i M mM w



i n m m xi n Mi xi M



m nin M



wi



 xi

xi xi Mi Mi



xi

 

MiM



nin MiM

mim

wi

Pozor nejčastější chyba záměna zlomků PŘEPOČTY MOLÁRNÍCH ZLOMKŮ xi NA HMOTNOSTNÍ wi



ni  n

p.Vi = ni.Rm.T p.V = n .Rm.T

i

Číselně se rovnají molárním zlomkům, viz rozšířené všeobecné stavové rovnice:

ViV

PŘEPOČTY URČUJÍCÍCH VELIČIN

1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254

14

2.5.2012

VLASTNOSTI SMĚSI PLYNŮ Ze známého složení směsi lze vypočítat různé vlastnosti směsi (nebývají v tabulkách), a to pomocí: ● rovnice zachování hmotnosti

m =  mi

● rovnice zachování látky

n =  ni

● rovnice zachování energie

m.c.T =  mi.ci.T



xi Mi

M

STŘEDNÍ ZDÁNLIVÁ MOLÁRNÍ HMOTNOST SMĚSI M [kg.kmol‐1]

kg.kmol-1

1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc.













T Δ

ρ = p / ( r.T )

 

ri wi

R r   m p  1  1 M 1 1 Rm cv  r    1  1 M



ci



wiMi

κ 

cpc v



r



cv

cp

Platí stejné vztahy jako pro  plyny c 





m

Platí stejně pro cp, cv

R

MĚRNÁ TEPELNÁ KAPACITA SMĚSI c [J.kg-1.K-1]



mi i c i mi c c i T mim wi Δ c c m m c c

HUSTOTA SMĚSI ρ [kg.m-3] ze stavové rovnice

r

MĚRNÁ PLYNOVÁ KONSTANTA SMĚSI r [J.kg-1.K-1]

m RM

MĚRNA PLYNOVÁ KONSTANTA A KAPACITY











1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254

DVA PŘIPADY SMÍŠENÍ PLYNŮ

i



pi

p

Daltonův zákon

Amagatův zákon i

i

V  V

1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254

Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc.

15

2.5.2012

DVA PŘIPADY SMÍŠENÍ PLYNŮ

n

Míšení za stálého tlaku

V   Vi Míšení za stálého objemu i 1

p2, T2, m2

n

p   pi

pi jsou parciální tlaky

i 1

pi = p1 = p2 = p

n

T

m i 1

i

 cvi  Ti

n

m i 1

 cvi

i

n

p

m  r T  V

s  m

m i 1

i

 ri

n

V i 1

n

 m i 1

i

n

n



i

m i 1

i

i 1

Ts 

 cvi  Ti

n

m

i

 cvi

 m i  cpi  Ti i 1

n

 m i 1

i

 c pi Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc.

1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254

VLASTNOSTI SUCHÉHO VZDUCHU Složka

Xi [%]

wi [%]

Dusík N2

78,09

75,51

Kyslík O2

20,95

23,16

Argon Ar

0,93

1,28

Kysličník uhličitý CO2

0,036

0,049

Neon, Helium, Metan atd.

0,006

0,0001

Fyzikální vlastnosti vzduchu při 0 °C a 101,325 kPa M = 28,97 kg.kmol-1 r = 287,04 J.kg-1.K-1 cp = 1005 J.kg-1.K-1 cv = 714 J.kg-1.K-1  = 1,402 1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254

1. FORMA I. ZÁKONA TERMODYNAMIKY I. zákon termodynamiky ‐ R. Mayer, 1842 (Neexistuje perpetuum mobile) Teplo lze měnit v práci a naopak, a to se děje dle určitého vztahu. Jde o zvláštní případ zákona zachování energie (Helmholz ‐ 1847) Součet energií v izolované soustavě je konstantní.



a δ



u d

q δ



, A δ



U d

Q δ

1. forma I. zákona termodynamiky ‐ vhodná pro uzavřené soustavy (nádoby, pístové stroje)

Q a A nejsou totální diferenciály, ale přesto budeme značit dQ a dA

dQ = m.dq, dU = m.du, dA = m.da

1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254

16

2.5.2012

ZNAMÉNKOVÁ KONVENCE +Q – přivedené teplo (např. palivo, el. Energie) ‐Q – odvedené teplo (např. chladící voda, výfukové plyny) +A, +At – získaná práce (např. práce na hřídeli spalovacího motoru, který pohání vozidlo) ‐A, ‐At – dodaná (spotřebovaná) práce (např. práce startéru motoru, práce na pohon kompresoru) Když správně zadám do výpočtu, vyjdou správně i výsledky.

dQ > 0 teplo se do soustavy přivádí dU > 0 vnitřní energie soustavy roste dA > 0 soustava koná práci 1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 . . . 254

OBJEMOVÁ PRÁCE A [J]

Expanze ve válci s pístem

Je dána působením síly F po dráze l např. ve válci s pístem a platí

dA = F.dl = p.S.dl = p.dV MĚRNÁ OBJEMOVÁ PRÁCE a [J.kg‐1]

v d p 



2

2

a1 m

A1





1



2



2

1



a1

2



V d p

2

A1

Definice práce A a měrné práce a mezi původním stavem o objemu V1 a konečným stavem o objemu V2 jsou tudíž dány vztahy

Objemová práce se koná pokud se mění objem, kde není změna dráhy není práce. Objemová práce není stavovou veličinou, jelikož závisí na cestě, po které děj probíhá a také platí, že neexistuje práce A1 nebo A2. Objemová práce je plocha pod křivkou v p‐v diagramu. 1 . . . 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 . . . 254

VNITŘNÍ ENERGIE U [J] MĚRNÁ VNITŘNÍ ENERGIE u Pro dA = p.dV = 0 (platí u dějů za konstantního objemu) je vnitřní energie dU rovna teplu za konstantního objemu dQv a lze psát

dQV = dU + dA = dU + pdV = dU 



T d cv



u d



T d cv m

U d

Definice vnitřní energie U [J] a měrné vnitřní energie u [J.kg‐1] pro ideální plyn jsou proto dány vztahy:



kde cv je měrná tepelná kapacita za konstantního objemu.

︵



T1



T2 cv 0 u u1 d u2



1



2



︶

u d

 ︵

T1

T2 cv m 0

1



U1 U - d 2 U

2



U d

Vnitřní energie je stavová veličina, a proto dU je totální diferenciál a lze napsat následující integrály:

︶



1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250

17

2.5.2012

1. FORMA I. ZTD dQ  dU  dA  cv  m  dT  p  dV

[J]

dq  du  da  cv  dT  p  dv

[J/kg]

2

Q12  U12  A12  cv  m  (T2  T1 )   p  dV

[J]

1

2

[J/kg]

q12  u12  a12  cv  (T2  T1)   p  dv 1

1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250

2. FORMA I. ZTD

Stavová rovnice ideálního plynu Mayerův vztah













p d v T d r

Po dosazení p.dv do 1. formy





T d r

 

1. forma I. zákona termodynamiky

p d v vv dd pp

T r d T d T cvr cv cv qv q d p cp d

Odvození 2. formy I. zákona termodynamiky

 

 



p d v

dQ  dH  At



T d



cp



q d



p d V



T d



cp m

Q d

Po dosazení Mayerova vztahu do poslední rovnice dostaneme rozepsanou 2. formu I. zákona termodynamiky

 

dq  dh  at

1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250

2. FORMA I. ZTD INTALPIE

H1  U1  p1  V1 H2  U 2  p2  V2

2

At 12    V  dp 1

1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250

18

2.5.2012

H

2

h d 

1



Odvození entalpie z děje p=konstantní 1. forma I. zákona pro p = konstantní

︶

︵

︶

︵ 

 

 ︶

︶︵ 





h

 ︶ 



v1v p p



︵



u1u

H

 

v1

︵ 

h h︵ 

Po seskupení veličin stavu 1 a 2



 ︶

h h 

Po integraci při p = konstantní

h



v2

Entalpie je teplo při p = konstantní

 ︵



2 1

1





p v2 p p a u1 T1 d p a u2V T1 d T2 u2 u p 2 d u 1 d cp T 1 m U cp 2 h 2 qp d H1 h1 d 2 H h2

2

H d





T d

Definice pro ideální plyn H je stavová veličina dH je totální diferenciál

cp m

H d



T d 0 0 2 1c p h H d m h d d

ENTALPIE H [J] Entalpie H [J], měrná entalpie h [J.kg‐1] ‐ teplo za konstantního tlaku

︶



1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250



2

1 at m



2

1 At

TECHNICKÁ PRÁCE At [J]

MĚRNÁ TECHNICKÁ PRÁCE at [J.kg‐1] Je to práce na hřídelích rotačních strojů. Technická práce je plocha pod křivkou v p‐v diagramu směrem k ose p. Plocha je uvažována záporně (vzhledem k růstu tlaku), aby při expanzi či poklesu tlaku soustavy byla kladná. Definice technické práce At a měrné technické práce at mezi původním stavem o tlaku p1 a konečným stavem o tlaku p2 jsou tudíž dány vztahy

p d v

2

  

2

1

1



1 at

p d V

2

2

1 At

 

1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250

Technická práce není stavovou veličinou, neboť závisí na cestě, po které děj probíhá a platí, že neexistuje At1 nebo At2.

2. FORMA I. ZTD dQ  dH  dAt  c p  m  dT  V  dp

dq  dh  dat  c p  dT  v  dp

[J] [J/kg]

2

Q12  H12  At 12  c p  m  (T2  T1)   V  dp

[J]

1

2

q12  h12  at 12  c p  (T2  T1)   v  dp

[J/kg]

1

Vhodné pro otevřené soustavy, např. pro řešení kompresorů nebo zařízení kde se mění tlak i objem. 1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250

19

2.5.2012

PROUDOVÝ MOTOR

BILANCE

m i  m e  msys [kg]

E i  Ee  E sys

[J]

 m   m  sys [kg/s] m i e

E i  E e  E sys[J/s,W] Copyright The McGraw‐Hill Companies, Inc.

1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250

ROVNICE KONTINUITY

  wS m    V  V m v 

hustota [kg/m3] (= 1/v)

w

průměrná rychlost [m/s]

S

plocha průřezu [m2]

[kg/s] [kg/s]

1 . . . 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 . . . 250

20

2.5.2012

KINETICKÁ A POTENCIÁLNÍ ENERGIE

w2 2

Kinetická energie

EK  m

Potenciální energie

EP  mgz

Energie soustavy bez energie proudu

Celková energie

E  EK  EP  U

[J]

E  EK  E P  U  pV

E  EK  EP  H 1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250

I. ZTD PRO OTEVŘENOU SOUSTAVU

1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250


1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250

21

2.5.2012


 m  m i

e

2     w 2  i  ui  w i  gzi  Q  A   me  ue  e  gze    m 2 2    

    w 2 w2 Q  At   me  ue  pev e  e  gze    mi  ui  pi v i  i  gzi  2 2    

 m   m i

e

2      e  he  w e  gze    m  i  hi  w i  gzi  Q  P   m 2 2     2

[W]

1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250

I. ZTD ZJEDNODUŠENÍ

1  m 2 m 2 2     h2  h1  w 2  w 1  g  z2  z1   [W] Q  P  m 2 2  

Copyright The McGraw‐Hill Companies, Inc.

1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250

TURBÍNA

1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250

22

2.5.2012

ENTROPIE DEFINICE Entropie S [J/K] Měrná entropie s [J/(kg.K)] dS 

dS  m  ds

dQ T

Entropie je extenzivní veličina

ds 

dq T



s1 s2 0





s d



1



2

2



S1 -

 

1

Pro vratné cykly:

S 0 S S d d 2

Pro termodynamické děje:

s d

Entropie je stavová veličina, dS je totální diferenciál a lze psát následující integrály:

• Entropie určuje směr vývoje soustavy • Entropie umožní dokázat nevratné termodynamické děje • Entropie určuje pravděpodobnost systému • Entropie určuje míru disipace látky či energie • Entropie určuje míru neuspořádání systému • Entropie určuje míru znehodnocení kvality systému 1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250

T-S DIAGRAM PRO IDEÁLNÍ PLYN Druhý nejdůležitější graf po p‐v Plocha pod křivkou je teplo q12

1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250

PŘEHLED TERMODYNAMICKÝCH DĚJŮ Rozlišujeme ● Děje vratné ‐ soustava prochází jen rovnovážnými stavy (lze použít stavovou rovnici) a při opačném ději se vrátí do původního stavu ● Děje nevratné ‐ soustava neprochází rovnovážnými stavy a při opačném ději se nevrátí do původního stavu

κ , , 1

n n

Vratné termodynamické děje ‐ vhodné pro teoretické rozbory ● Izochorický děj při konstantním objemu (v = konstantní, dv = 0) ● Izobarický děj při konstantním tlaku (p = konstantní, dp = 0) ● Izotermický děj při konstantní teplotě (T = konstantní, dT = 0) p . v 1 = konst. ● Adiabatický děj bez výměny tepla s okolím (q12 = 0, dq = 0) p . v  = konst. ● Polytropický děj definovaný rovnicí p . v n = konst. technická polytropa ︵ ︶︵︶ obecná polytropa    1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250

23

2.5.2012

IZOCHORICKÝ DĚJ



p2T2

p1T1

p1.v = r.T1 p2.v = r.T2

v2

v1

v = konst., dv = 0 (Charles) Pro řešení uzavřených soustav (např. tlakových nádob) Stavové rovnice Rovnice změny stavu



Izochorická komprese

1 . . . 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 . . . 250

IZOCHORICKÝ DĚJ

T2

at12 p1

1

T1

2 u d T v T c d 2 1 p1 cvq , p2 v v d T1 p p d T2 v 2 1T d cv 2 cvm 1 at

︵

 

s1





v

2 1 T1 TnT l cV

  ︵

1





s2

2

1

v

T dT



v

c

2



T dT c

s d

1



v 1 = v2 = v

 ︶

     ︵ ︶





2

p2

0

v d p

1



2

Entropie



2

 ︶

2 q d Q1

1

Teplo vyjádříme z 1. formy I. zákona termodynamiky



p1

2

 ︵

p2

V p d V

1 2

1 At

 

2

2



a1



0

V d p

2

A1

Energetické veličiny A12 , At12 , Q12


p

a12=0 A12=0

︶

1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250

IZOBARICKÝ DĚJ p = konst., dp = 0 (Gay‐Lussac) Pro řešení výměníků tepla, chladičů apod.





v2T2

v1T1

Rovnice změny stavu

p2

p.v1 = r.T1 p.v2 = r.T2

p1

Stavové rovnice

Izobarická expanze

1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250

24

2.5.2012

IZOBARICKÝ DĚJPRÁCE Energetické veličiny At12 , A12 , Q12

1



v1

1

 ︶

T1



T2T1 n l cP



v

︶

s1

p

1



s2

p

v2

T2

 ︵

︶

2

1





T dT

s d

2



v1



p h d c

 ︵



2 1 T d q

 

cp

p T1 c d v T2 T d T T p c d c 2 1 m

cp

2 1 q d Q



Entropie

v2 p

v d p

︵





2 a12

2





Teplo vyjádříme z 2. formy I. zákona termodynamiky

2

a1

V1

1

 ︶

p1 = p2 = p

1

0

p d v

2

 

2 1

2

V2

p

V d p

2

A1

︵



at

1



0

2

p d V

2

1 At

 

T2

T1

p

at12=0 At12=0



1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250

IZOTERMICKÝ DĚJ

T v1 T1p1

T = konst., dT = 0 (Boyle, Mariotte) Pro řešení ideální komprese nebo expanze plynů. Stavové rovnice Rovnice změny stavu 2

 

v2 p2

p1.v1 = r.T p2.v2 = r.T





Izotermická komprese

1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250

IZOTERMICKÝ DĚJ 2

2 1

2 1

 

q1Q

 

2

 

1A t at

2 2 a1A1

 

a at dd

 

vp dd pv

 

vp dd pv

TT dd cvcp

qq dd

Energetické veličiny At12 , A12 , Q12 Z I. zákona termodynamiky platí



v2v1p p n n l l r r

s1





p2p1 n l r



s1

1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250



s2 ‐ s1 = q12 / T

s2

1

1



s2

2

s d



q dT

Entropie

2

1

n l T r

2 1

p1 p2



2

2

n l T r

V V





1

1

At

2

A1

m

p d v

2

2

 m

 

v2v1p1p2 n n l l v1 v1 p1 p1

1

1

1 at

 



v2v1pnp n l l T T r r



2



p dp v dv T r T 2 1 r

2

v d p

a1

2

Práci objemovou a technickou lze odvodit z jejich definičních vztahů

1

2

25

2.5.2012

ADIABATICKÝ DĚJ dq = 0, q12 = 0 , Q12 = 0 Pro řešení ideální komprese nebo expanze plynů.

Adiabata je v p‐v diagramu strmější než izoterma





0



v d p

T d cv

q d

Rovnice změny stavu 1. forma I. zákona termodynamiky



pp 0 d p d v κ T pv d d d cp v p

q d

2. forma I. zákona termodynamiky







2 .v t s n 2 op 0 k κ n 1 lv v dv κ v p1 n l κ . t ps n no l k











   

κ

 

v1v2

κ v p




κ

 

Po integraci





p2p1

cpcv

Podělením 2. formy 1. formou bude

  

1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250

ADIABATICKÝ DĚJ

T2T1 1 T1 cv    

  

p2p1

1 κ κ 

   

podělením cv bude

     



1 κκ

p2p 1

2



 ︶ 

1 v1 p1 1 1 κ

   

a1



  

T2

2



1 κ κ

2

  

      

cp

A1

p 2p1

   

  

1 κκ

T1

cv

a1

︵

  

1 κ

   

v1v2 p2p1

T2T1 T2T1

   

1 v1 p1 cv cv



     



  

1 κ κ

p2p1

  

1 V1 p1 1 1 κ

      

 

0

a d

2





1 v1 p1 cvr

a1



  

   





  

κ

κ

  

Práce objemová



 



κ

κ

   

  

1

T d cv

  

2

v1v2 v1v2

q d

v1v2 p p T1r T2 r v1 2 v T2r T1 2p1 r p

p2p1 p2p1

Další rovnice změny stavu



  

   

1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250

ADIABATICKÝ DĚJ – PRÁCE

   

  

p2p1

1 κ κ 

podělením cv bude

p2p 1

         

  

1 κκ



T2T1 1 T1 cv

T2

 ︶ 

1κ κ

2

2



  

1 v1 p1 1 1 κ

   

  

  

1 κ

T1

cv

a1



      

a1

  



v1v2 p2p1

T2T1 T2T1

   

1 v1 p1 cv cv

p 2p1

   

1 κ κ

2

      



   

︵

cp

p2p1

A1



  

1 κ κ

  

1 V1 p1 1 1 κ

      

 

0

a d

2





1 v1 p1 cvr

a1



  

   





  

κ

κ

  

Práce objemová



 



κ

κ

   

  

1

T d cv

  

2

v1v2 v1v2

q d

v1v2 p p T1r T2 r v1 2 v T2r T1 2p1 r p

p2p1 p2p1

Další rovnice změny stavu



   

1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250

26

2.5.2012

ADIABATICKÝ DĚJPRÁCE





   

2



  

0

q1

2



     

p 2p 1



1 v1 p1 1 κ

   

0

Teplo



κ



  

2

     

 

1 at

2

1 At



      ︶  

1 κ κ

     ︵

TT d dp cvc

Q1 a at dd 1 a κκ d 0 0 κ p2p1 a atT 1 ddd 1 V v p1 TTc dd 1 κ κ κ cvcp

q q at ddd

Práce technická

Adiabatický děj probíhá v tepelně izolované soustavě a velmi rychle. Lze se s ním setkat při teoretickém rozboru tepelných zařízení, viz ● komprese a expanze v pístových strojích ● expanze v dýzách, turbínách apod. 1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250

ADIABATICKÝ DĚJ IZOENTROPICKÝ DĚJ

s d

2

0

1



s  konst .

1 . . . 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 . . . 250

POLYTROPICKÝ DĚJ p.v n = konst. Technická polytropa Pro řešení komprese a expanze Obecná polytropa n

  

p2p1





T2T1 n l p2p1 n p2p1 l n l



n



Příklad výpočtu polytropického exponentu n

p2p1 n l

p2p1p2p1 n n l l 1n n n T2T1 n T2T1 l n n l

  

1 nn

   

v1v2

   

T2T1

  

1 n

v1v2

T2T1

   



p2p1



n



v2 p2

n

v1 p1

Rovnice změny stavu

1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250

27

2.5.2012

PRÁCE POLYTROPICKÉHO DĚJE      



p2p1

2

a1

     





  

  

   

1 n n

1 v1 p1 1 1 n

2

p2p1

1 V1 p1 1 1 n



A1



1 n n

Objemová práce

   





p 2p 1

   

     



  

1 n n



2



  

1 v1 p1 1 n n

      

1 at

p2p 1

2

1 V1 p1 1 n n

1 At



1 n n

Technická práce



   

1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250

T0 d rv d vp d pn pp dd vv

MĚRNÁ TEPELNÁ KAPACITA POLYTROPICKÉHO DĚJE Teplo

   

Stavová rovnice ideálního plynu p.v = r.T

p.vn = konst.

Rovnice polytropy





q d

Po dosazení p.dv do 1. formy I. zákona termodynamiky

2

Q1

    

︶



T d r

︵

T Tn d d r 1κ1 nn T d cv T1 cv T d T2 v d 1 nκ 1 p κnc n n 2 T n1 1 cv d q cv 1 cn cv q d T d T1 cvn 2 T cp1 cn cv m

Po odečtení těchto rovnic



v d p n 1

ln p + n.ln v = ln konst.







︵



    ︶

Měrná tepelná kapacita polytropického děje

 





︵

 









 

︶

[J.kg-1.K-1]

1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250



T2T1 n l cn



s1



s2

TT d 1 cn

1



2

2



T d T cn

1



s d

2

POLYTROPICKÝ DĚJ V T-s DIAGRAMU

1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250

28

2.5.2012

POLYTROPICKÝ DĚJ Zobrazení obecného polytropického děje





. t s n o k





. t s n o k





. t s n o k

n

v p 

κ , 1

n

︵ 





. t s n o k

Adiabata n = 





v

Izoterma n = 1

Technická polytropa



κ 1 v v p p



n = ∞

v

1 p = v p

Izochora



. t s n o k



Izobara n = 0

p

v p‐v diagramu

0 v p

p.vn = konst.

︶

Polytropický děj modeluje kompresi či expanzi plynů v tepelných zařízeních reálněji, než izotermický nebo adiabatický děj. 1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250

PŘEHLED

PŘEHLED

Při nevratných dějích soustava neprochází rovnovážnými stavy a při ději opačném se nevrátí do původního stavu. Typické nevratně děje v termomechanice: ● Vznik tepla třením ● Přenos tepla při konečném rozdílu teplot ● Difúze plynů ● Vyrovnání konečných rozdílů tlaků ● Škrcení plynů a par

Důkaz nevratnosti samovolného děje v tepelně izolované soustavě je nárůst entropie.

1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250

VZNIK TEPLA TŘENÍM Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

K



Ř



QO d T

QT d



Q dT

S d

Pro uzavřenou termodynamickou soustavu s reálným plynem platí:

dQOK = 0

Ř



0



A TT d

Ř

S d 

Q TT d

Pro izolovanou soustavu lze psát

V izolované soustavě entropie roste  tření je nevratný děj.

Nárůst entropie při adiabatické expanzi reálného plynu se třením je zřejmý také z T‐s diagramu. 1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250

29

2.5.2012

PŘENOS TEPLA Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

Přenos tepla při konečném rozdílu teplot v izolované soustavě

dQV= dQN = dQ

Q d TV

Q d T

S d

Q dT

Změna entropie při ochlazování látky 1



V



V



V

V





V

Q dT

Q d T

N

N

S d

Q dT

Změna entropie při ohřevu látky 2 N



N





N

Q=0

N



  





N

V

  

0

V

1T



1T Q d

N

Q d T

S d

SV d

S d



Q d T

Celková změna entropie soustavy



TV>TN

Entropie roste, přenos tepla je nevratný děj

1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250

ŠKRCENÍ PLYNŮ A PAR Škrcení probíhá v kapiláře, ventilu, cloně …



2



h2



H H

h1



1



0 h d



0





0

at h d d h d 0 q H d d

Pro děje v otevřené, izolované soustavě, bez konání technické práce platí z 2. formy I. zákona termodynamiky

Škrcení nahrazujeme izoentalpickým dějem. V průběhu děje dochází k poklesu entalpie. Nevratnost děje potvrzuje nárůst entropie. ● Pro ideální plyny je izoentalpa totožná h s izotermou T2 = T1, jelikož

h1

h2

di = cp.dT a cp= konst. ● Pro reálné plyny (páry) může být T2 < T1 nebo T2 = T1 nebo T2 > T1 1 . . . 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 . . . 250

PŘEHLED TEPELNÝCH CYKLŮ Cyklus (oběh) je několik po sobě jdoucích dějů, po jejichž vykonání se soustava vrátí do původního stavu Rozlišujeme cykly ● Vratné / Nevratné ● Přímé / Obrácené Vratné cykly ‐ skládají se výhradně z vratných termodynamických dějů Nevratné cykly ‐ obsahují alespoň jeden nevratný termodynamický děj Přímé cykly ‐ jsou cykly tepelných motorů, slouží pro získávání práce, které probíhají v p‐v diagramu ve smyslu hodinových ručiček  Nepřímé cykly ‐ jsou cykly tepelných poháněných pracovních strojů (chladicích zařízení a tepelných čerpadel), které práci spotřebovávají a v p‐v diagramu probíhají obráceně  1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250

QH

QC PŘÍMÝ CYKLUS +QH [J] přivedené teplo ‐QC [J] odvedené teplo +AO [J] práce cyklu

30

2.5.2012

ÚČINNOST

η

Užitečnost 3kW   0,6  60% Náklady 5kW



© The McGraw-Hill Companies, Inc.,1998V

1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250

TERMICKÁ ÚČINNOST

20 % 30 % 32 % 43 %

Spálení paliva

+QH

TH=T1

H

H

H

Parní stroj Parní turbína Benzínový spalovací motor Naftový motor

Horký zásobník

PracovnÍ cyklus Motor

+A

Převodovka Kola Vozovka

-QC

Q

 

Q CQ

C



1

Q

H



Q

t



A 0Q

η

Termická účinnost t [‐]

Chladný zásobník

Výfuk

TC=T4

Termická účinnost se teoreticky pohybuje v intervalu 0 až 1. Pro vyjádření v procentech je třeba účinnost vypočtenou dle uvedeného vzorce násobit hodnotou 100. 1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250

PŘÍMÝ TEPELNÝ CYKLUS

Spalovací motor • Palivo = zdroj tepla • Užitek = práce na klikovém hřídeli • Výfuk, chladič = odvod tepla

1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250

31

2.5.2012

PŘÍMÝ CARNOTŮV CYKLUS Carnotův cyklus slouží k porovnávání účinnosti jiných cyklů

Pro 1 kg

Carnotův cyklus přímý: TH , TC zásobníky tepla 1 ‐ 2 izotermická expanze (pomalá) 2 ‐ 3 adiabatická expanze (rychlá) 3 ‐ 4 izotermická komprese (pomalá) 4 ‐ 1 adiabatická komprese (rychlá)









2 1

Práce cyklu

q

a

C

4 3





1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250





v3v4 n l TC r





2 1 qCvnv l TH qH r





a0 a0





︶ 



3



H

︵ 

4 1 v a v 2v v d n n l l C H v T T d r r

p v vv v d d H T TC v T r d r 3 2 14 p v v d d T p p d 2 14 3

cv a q d q

Předávané teplo ‐ viz izotermický děj

PŘÍMÝ CARNOTŮV CYKLUS

H

Pro 1 kg





v2v1

  

v3v4

1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250

   



1 κ



  

1 κ

 

   

v2v3 v1v4



T3T2 T4T1

TCTH TC H T

jelikož pro adiabaty platí:

TCTH 1

     

c ηt

Po úpravě bude účinnost přímého Carnotova cyklu ve tvaru

     



v4v3 n l TC r

C

v3v4v2v1 n n l l

 

qCqH qC

 

2

1

qCqH

ηt

 

1



 

kde

T T qC v v1 r r n q H lH 1 T r qH



H a0qH q

ηt

Pro vyjádření termické účinnosti přímého Carnotova cyklu vyjdeme z definice

PŘÍMÝ CARNOTŮV CYKLUS p-V a T-S

t 

Q Ao  1 C QH QH

 tC 

Ao T T  1 C  1 3 QH TH T1

1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250

32

2.5.2012

PŘÍMÝ CARNOTŮV CYKLUS TERMICKÁ ÚČINNOST Termická účinnost Carnotova cyklu ● Závisí na teplotách, nezávisí na druhu pracovní látky ● Roste s rostoucí teplotou TH a klesající teplotou TC (nelze jít pod nejnižší teplotu v okolí) ● Je vždy menší než 1 a pro TH = TC je t = 0

tC je při stejných extrémních teplotách větší než u termická účinnost teoretických cyklů nebo skutečných motorů. Benzínový motor

pro TH = 2500 K, TC = 600 K

tC = 0,76

t,TEORIE = 0,5

Parostrojní zařízení

pro TH = 600 K, TC = 300 K

tC = 0,5

t,TEORIE = 0,3

tskutečné = 0,3 t,skutečné < 0,3

Konstruktéři mají snahu vyvíjet a upravovat tepelné stroje tak, aby se přiblížili Carnotovu cyklu. Tento proces nazýváme CARNOTIZACE. 1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250

PŘÍKLADY CARNOTOVA CYKLU TROPICKÁ CYKLÓNA

1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250

PŘÍKLADY CARNOTOVA CYKLU TEPELNÉ TRUBICE

1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250

33

2.5.2012

PŘÍKLADY CARNOTOVA CYKLU VĚČNĚ PIJÍCÍ PTÁK

http://www.dealextreme.com/p/novelty‐dippy‐drinking‐bird‐29233 1 . . . 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 . . . 250

OBRÁCENÝ TEPELNÝ CYKLUS

Chladicí zařízení • Potřebuje dodávat práci = kompresor s elektromotorem • Užitek = chladicí výkon • Odváděné teplo

1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250

OBRÁCENÝ TEPELNÝ CYKLUS

Tepelné čerpadlo • Potřebuje dodávat práci = kompresor s elektromotorem • Užitek = dodávané teplo • Zdroj tepla = chladný zásobník

1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250

34

2.5.2012

OBRÁCENÝ CARNOTŮV CYKLUS

2 4 3 v 1vv v n l n v3v2 l n qC qC T C lC TH r r qH T qC r qH qH v v d vd v v4v1 TCl TH r n qCa0 qHa0 r 2 43 1 TH r

Slouží k porovnávání obrácených cyklů chladicích zařízení a tepelných čerpadel 1 4

3 2

C





qC qH

2

a0











v d p

a

q

43





v d p

a

H

1

q

Předávané teplo a práce cyklu



Pro 1 kg



TC TC TC T H TH TH

Chladicí faktor ch ‐ Koeficient znásobení COP (Coefficient of performance) pro chladicí zřízení

 ch 





Carnot

 chC 

Carnot

 tC 

COP pro tepelná čerpadla (topný faktor top)

t 









1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250

OBRÁCENÝ CARNOTŮV CYKLUS

t 


tC 

Ao T T  1 C  1 3 QH TH T1

1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250

EFEKTIVITA CYKLŮ

efektivita 


Motory, turbíny

t 

Chladicí zařízení

 ch 

Tepelná čerpadla

proč zařízení konstruhuji co za to platím

t 

Qc Ao

QH Ao

 tC  1 

TC TH

Termická účinnost (0‐1) Obvykle pod 0,5

 chC 

TC TH  TC

Chladicí faktor Koeficient znásobení COP ‐ Coefficient of performance Obvykle 4 a více

 tC 

TH TH  TC

Topný faktor Koeficient znásobení COP ‐ Coefficient of performance Obvykle 4 a více

1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250

35

2.5.2012

SMĚR PRŮBĚHU CYKLU

1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250

CARNOTOVA POROVNÁVACÍ ÚČINNOST

QC  QH  t  tC 1  TC TH 1

CP

V případě Carnova cyklu

CP  1

1

QC T 1 C QH TH

Vyjadřuje o kolik je cyklus méně účinnější než Carnotův cyklus Tepelný stroj je tím dokonalejší, čím bude menší rozdíl do účinnosti Carnotova cyklu

1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250

NEVRATNÝ CARNOTŮV CYKLUS Zavedeme dva nevratné děje do přímého Carnotova cyklu: ● Přenos tepla do Carnotova cyklu při izotermickém ději 1*‐ 2* Teplo se přenáší z místa o teplotě vyšší do místa o teplotě nižší  TH >TH*



C

 

ηt

C

 

TCTH 1

*C*H T T 1

Termická účinnost nevratného Carnotova cyklu je menší, než termická účinnost vratného Carnotova cyklu a platí vztah

*t η

● Přenos tepla z Carnotova cyklu při izotermickém ději 3*‐ 4* Teplo se přenáší z místa o teplotě vyšší do místa o teplotě nižší  TC
1 . . . 100 101 102 103 104 105 106 107 108 . . . 250

36

2.5.2012

NEVRATNÝ CARNOTŮV CYKLUS



C

 

ηt

TCTH 1

*C*H T T 1

C

*t η

 

1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250

II. ZÁKON TERMODYNAMIKY

© The McGraw-Hill Companies, Inc.,1998V

1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250

SLOVNÍ FORMY II. ZÁKONA TERMODYNAMIKY

● Neexistuje perpetuum mobile 2. druhu ● Nelze získávat ze soustavy neživých látek práci tím, že ji ochlazujeme pod teplotu nejchladnější látky v okolí (Kelvin) ● Teplo nemůže samovolně přecházet z tělesa o teplotě nižší na těleso o teplotě vyšší (Clausius) ● Nelze sestrojit periodicky pracující stroj, který by odebíral teplo ze zásobníku a konal tomuto teplu ekvivalentní práci  Nutné 2 zásobníky tepla (Kelvin ‐ Planck) ● Ideální oběh s největší účinností mezi dvěma teplotami je Carnotův oběh. Maximální účinnost tohoto oběhu závisí jen na teplotě a nezávisí na pracovní látce. Skládá se ze dvou izoterem a dvou adiabat.

William Kelvin (1824‐1907)

Rudolf Calusius (1822‐1888)

Sadi Carnot (1796‐1832)

1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250

37

2.5.2012

II. ZÁKON TERMODYNAMIKY PRO DĚJE






 dQ = 0

0

s d

0

S d 

q dT



II. zákon termodynamiky pro děje v tepelně izolované soustavě kde teplo předávané mezi soustavou a okolím je nulové



s d



kde dQ je teplo předávané při daném ději mezi soustavou a okolím

QT d

S d

II. zákon termodynamiky pro děje,



s d



q dT

0



q dT



s d

0

Odvození z Clausiova integrálu kde

Princip vzrůstu entropie Tepelná smrt vesmíru 1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250

II. ZTD Horký zásobník TH=T1 +QH

Horký zásobník

+QH

TH=T1

+A


+A

-QC


Chladný zásobník TC=T4

1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250

II. ZTD Horký zásobník

Horký zásobník

TH=T1

TH=T1

Horký zásobník

-Ao

Q

PracovnÍ cyklus Tepelné čerpadlo

QC

-Ao

QC

PracovnÍ cyklus ChladicÍ zařízení

QH

QH

TH=T1

Chladný zásobník

Chladný zásobník

Chladný zásobník

TC=T4

TC=T4

TC=T4

1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250

38

2.5.2012

Horký zásobník

TH=T1

TH=T1

Brzda

+QH

Horký zásobník

+QH

II. ZTD

+A

Chladný zásobník TC=T4

1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250

PERPETUUM MOBILE

Prvního druhu: • Dělá práci větší než přivedené teplo • Vstupy nejsou rovny výstupům • Porušuje I. Zákon termodynamiky

Druhého druhu: • Dělá práci rovnu přivedenému teplu • Chybí chladný zásobník (ochlazení až na absolutní nulu • Porušuje II. zákon termodynamiky

1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250

PERPETUUM MOBILE

Perpetuum mobile prvního druhu

Perpetuum mobile druhého druhu

Reálný stroj

1 . . . 109 110 111 112 113 114 115 116 117 . . . 250

39

2.5.2012

KVALITA ENERGIE


1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250

EXERGETICKÁ ÚČINNOST T

II. zákon termodynamiky říká: Nelze získávat ze soustavy neživých látek práci tím, že ji ochlazujeme pod teplotu T∞ nejchladnější látky v okolí.

p1

1

qq1 12 e12

T

[J.kg‐1]

b12

b1

s1

e > t, Carnotův cyklus může mít až e=1 e lépe vyjadřuje využití zařízení než t e vyžaduje oproti t navíc znalost T∞ e vyjadřuje ale stejnou skutečnost, jako t

ηe

Exergetická účinnost přímých cyklů je dána vztahem



aoeH

2



2

2

e1

q1

Anergie B [J], měrná anergie b je nevyužitelná část energie a platí:



p2 2

Exergie E [J], měrná exergie e [J.kg‐1] je využitelná část energie ve formě tepla

s2 H

T 1

T

s

eH=a0+eC a0

C

2 eC b


s

1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250

VYUŽITÍ TEPELNÉ ENERGIE

 T e  1   TH 

  qH 

 T E   1   TH 

   QH 

1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250

40

2.5.2012

III. ZÁKON TERMODYNAMIKY Nernstův tepelný teorém (1906) Změna entropie čistých látek se s klesající teplotou blíží k nule.

0

T



Pozn.:

0

S m i l

Planck (1912) Absolutní entropie každé kondenzované chemicky čisté látky má při 0 K nulovou hodnotu. Matematický zápis:  Ukázalo se, že to platí jen pro krystalické čisté látky a nikoliv pro amorfní látky nebo slitiny. Krystalické látky mají totiž atomy uspořádané, a proto jejich entropie může být menší nebo až nulová.

III. ZÁKON TERMODYNAMIKY Entropie čistých krystalických látek při 0 K je nulová. Pozn.:

V praxi bývá S = 0 při t = 0 °C a pro t < 0 °C je S < 0.

Pozn.:

Konečným počtem dějů nelze dosáhnout 0 K. V roce 1990 bylo dosaženo 8.10‐10 K.


1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250

TŘI ZÁKONY TERMODYNAMIKY „Není možné zvítězit, je možné pouze dosáhnout nerozhodného výsledku. Nerozhodného výsledku lze dosáhnout jedině za předpokladu absolutní nuly. Není možné dosáhnout absolutní nuly.“

Walther Hermann Nernst (1864 ‐ 1941) 1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250

IDEÁLNÍ 1-STUPŇOVÉ KOMPRESORY Ideální 1‐stupňové kompresory jsou: ● Rotační kompresory ● Pístové kompresory bez škodného prostoru

  

p2p1

  





  mnot m

 T   

1 n n



p2p1

      

1 V1 p1 1 n



n

P Pro polytropický děj



      

1 κ κ



V  Vnot

1 V1 p1 1 κ κ

P Pro adiabatický děj

2

1



 3.s‐1] [W] je funkcí [m

1 At

4 V



A4

A3



3



2

Příkon P

A2



A1

A0

Práce kompresoru

   

P  At not p2

2 2n

p1

2T 1

s

1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250

41

2.5.2012

PRINCIP ČINNOSTI SKUTEČNÉHO PÍSTOVÉHO KOMPRESORU

Kompresory se škodným prostorem

O = V3/VZ

poměrná velikost škodného prostoru

VZ = V1‐V3 V41= V4‐V1

zdvihový objem

  



   

n 1

  

2 p p1

V4VZ ε0

p1

2

  



V4VZ

  

 

 

n

  

 ︶

ε0 1

︵

V4



1 ε0 Z 1 V 2 p p1 1n 1

O V4V3 η



p VZ Z 0 1 Z V4V 0 ε ε 1 V4V

ηO



(V41 < VZ)

nasávaný objem

Objemová účinnost

  

O klesá s rostoucím tlakovým poměrem p2 / p1

1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250

KOMPRESORY SE ŠKODNÝM PROSTOREM

T1



  

p2p1

T2

Teplota po kompresi (z rovnice polytropy)

   



  

p2p1

1



  



1 n n

1

      

      

  

1 n n



   



  

1 n n

p2p1

      

1 V4 p1 1 n n

p2p1

V4 p1 1 n n

P 

1 V1 p1 1 n n

P 

1 n n

Teoretický příkon kompresoru při polytropické kompresi a expanzi 

   

n



 p2  T  n 1   2 ,max    P max p  T  1  max  1 

● Z důvodu vysoké teploty po kompresi pro dané mazivo (mezní hodnoty pro kvalitní mazivo bývají 180 až 200 °C pozor nebezpečí vzplanutí oleje) ● Z důvodu klesající objemové účinnosti při vyšších tlakových poměrech p2 / p1 VOLÍME VÍCESTUPŇOVOU KOMPRESI 1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250

2-STUPŇOVÁ KOMPRESE p

3

p2

2

Ao

1x 2 x

px p1

4

1 V

p2pX

     

  

1 n n





X 1

   

1



T r m 1 n

  

n

pxp1

1



1

     

T r m 1 n

n

P 



1 n n

Teoretický příkon pro oba stupně



   

1 . . . 118 119 120 121 122 123 124 125 126 . . . 250

42

2.5.2012

1 n n



p2px

  

1 n n

Z

  

pxp1

z-STUPŇOVÁ KOMPRESE

  



  

T

m

m





Optimální tlakový poměr

p2 pY pX p1

2

1

p2p1



p2pX

pXp1

P 

T2 T1

p2 m p1

2X p



0



2



m



1 p p2 m X m p p1

1 m

m1 pXp pX m

Zavedeme substituci m=(n‐1)/n, derivujeme Z dle pX a derivaci položíme rovnu nule



Ý N Č E

z

Í C A



N S Op pK

pXp1

P 

z‐STUPŇOVÁ KOMPRESE ‐ Tlakový poměr má být ve všech stupních stejný

s

1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250

z-STUPŇOVÁ KOMPRESE n

Stanovení kompresního poměru

log Stanovení počtu stupňů

z  ,

p2 p1

log  P max

z’ zaokrouhlíme nahoru a dostaneme z

P 

Vypočítáme skutečný kompresní poměr

Vypočítáme skutečný příkon kompresoru

 p2  T  n 1   2 ,max    P max p   1  max  T1 

z

p2 p1

  at  P  m

 n 1  n p  V   P n  1  z n 1  

1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250

DIAGRAM SKUTEČNÉHO KOMPRESORU Tlakové diagramy skutečných pístových kompresorů lze získat snímáním tlaku ve válci a snímáním úhlu pootočení klikové hřídele (přepočítává se na objem plynu ve válci).

1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250

43

2.5.2012

CYKLY SPALOVACÍCH MOTORŮ Zjednodušení zavedená u teoretických cyklů s ideálními plyny ● Množství a složení plynu v soustavě se nemění (uzavřená soustava) ● Cyklus probíhá s ideálními plyny, fyzikální vlastnosti (cp, cv, κ aj. ) jsou nezávislé na teplotě ● Hoření nahrazujeme přívodem tepla z okolí ● Výfuk nahrazujeme odvodem tepla do okolí ● Jednotlivé děje nahrazujeme vratnými termodynamickými ději, komprese a expanze bývají adiabatické (nebo technické polytropy)

1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250

HISTORICKÝ VÝVOJ

Převzato z Autoexpert 9/2009

1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250

OTTŮV CYKLUS ● 4‐dobý motor ● 2‐dobý motor

0‐1‐2‐3‐4‐1‐0 1‐2‐3‐4‐1

Zdvihový objem

VZ = V1 ‐ V2 VK = V2  = V1 / V2

Kompresní objem Kompresní poměr



T1T2

︶    ︶

4

1

︵︵

 ︶



T T3 cVcV mm

ηt

 

 ︵

T4

A0



 ︶

T1 C H 1 2 cVQ Q T T m 1 T4T3 1

H

 ︵

QC η t

T2

T3 QC

cV m QH

Q

Izochorický přívod i odvod tepla

4‐dobý

 

1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250

44

2.5.2012



T1T2 1

T3



4

  

κ

1 κ

   

v3v4

1 κ

v2v1   

  



 

a pak lze psát



ε , κ f



v2v1



    

ηt

      

   

1



T1T2

 

    

T1T2 1

ηt

1 1 κ 1 T3T2 3 2 1 ε TT T1T2 1 1 ηt

T1/T2 = T4/T3, viz důkaz:

 

T1T2

 

 1. člen čitatele vynásobíme T3/T3

  

T4T3 T 1 1 -

ηt

 pokrátíme zlomek teplotou T2

T3T2T3T2 T4T3 1

OTTŮV CYKLUS Ve vzorci pro termickou účinnost





t lze zvyšovat kompresním poměrem 1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250

SKUTEČNÉ CYKLY SPALOVACÍCH MOTORŮ Motor Škoda 1.4 MPI

1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250

CYKLY PLYNOVÝCH TURBÍN Plynové turbíny se používají pro větší výkony. Rozlišujeme: ● Plynové turbíny se spalováním za konstantního tlaku nahrazované Braytonovým cyklem George Brayton (1830 - 1892) americký strojní inženýr

● Plynové turbíny se spalováním za konstantního objemu nahrazované Humphreyovým cyklem

Mikroturbína 1 . . . 127 128 129 130 131 132 133 134 135 . . . 250

45

2.5.2012

BRAYTONŮV CYKLUS

1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250

BRAYTONŮV CYKLUS

Tlakový poměr Stupeň plnění

 T4   1  ︶ T T   1 1  1  ︶ T2  T3   T  1  2 

︵

︵

p  T1  1  1  T2  p2 

 1 

T1T2

1

 

 = V1 / V2  P= p2 / p1  = V3 / V2

Kompresní poměr

T4T3 cpcP m m

1

QCQH

ηt

t  1 

 ︶  ︶

3

H

 

T2T4

T T1 cPcP m m

Q QC

 ︵  ︵

 

 1  p

1 

 1  1    

 1



ε , κ f

1 

ηt

t  1    p 







P



1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250

BRAYTONŮV CYKLUS - ÚČINNOST

Tlakový poměr v praxi mezi 5 až 20, jsme omezeni maximální teplotou cca Tmax=1600 K



pro max Ao

 Tmax  2  2   Tmin 

P  

1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250

46

2.5.2012

HUMPHREYŮV CYKLUS

T 2

Ψ , ε , κ f

ηt



 ︶

3

 ︵

V

H

11 Ψ

1 κ

︶ 

T c m

Q

4

κ / 1

ψ

︵

 

T

1

 ︶

P

 ︵

κε 1 . . .

︶   ︶

T c m

C

T1T2

︵︵

T4T3

H

 

 = V1 / V2  = p3 / p2

cpcV m m

1

1

ηt

 

QCQ

Stupeň zvýšení tlaku

Q

Kompresní poměr





Se stejným kompresorem lze při izochorickém přívodu tepla dosáhnout vyšší teplotu T3 než u Braytonova cyklu a následně větší práci cyklu.

︵

︶

1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250

POROVNÁNÍ CYKLŮ PLYNOVÝCH TURBÍN S CARNOTOVÝM CYKLEM

● Humphreyův cyklus má při stejném  větší t než Braytonův cyklus, ale vyžaduje složitější zařízení a prakticky se nepoužívá. ● Carnotův cyklus má při stejných extrémních teplotách vždy největší termickou účinnost t 1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250

IDEÁLNÍ PLYN Zjednodušující předpoklady: • Molekuly mají stejnou hmotnost, kulový tvar a stejný poloměr • Objem molekul je zanedbatelný vůči celkovému objemu plynu • Povrch molekul je dokonale hladký a molekuly jsou dokonale pružné • Mezi srážkami na sebe molekuly silově nepůsobí (konají rovnoměrný přímočarý pohyb) • Vnitřní energie U je pouze funkcí teploty U=f(T) Reálný plyn se chová téměř jako ideálná v případě dostatečně vysokých teplot a nízkých tlaků tj. model je platný přibližně pro řídké plyny za normálních termodynamických podmínek Kompresní faktor

Z

pVm pv  RmT rT

1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250

47

2.5.2012

KOMPRESNÍ FAKTOR

Z

pVm pv  RmT rT

lim Z  1 p 0

Redukované veličiny

pR 

p pkr

TR 

T Tkr

Kritický bod je bod na fázovém diagramu, který zakončuje křivku vypařování. Tento bod určuje kritický stav látky. Stavové veličiny pkr, Tkr a Vkr v tomto bodě se nazývají kritický tlak, kritická teplota a kritický objem. Plyn, který má teplotu vyšší než je kritická teplota, nelze žádným stlačováním zkapalnit.

1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250

TERMODYNAMICKÉ PLOCHY PLYNŮ V SOŘADNICÍCH p-v-T ● Rovnice ideálních plynů ‐ neuvažují fázovou přeměnu ● Rovnice van der Waalse ‐ uvažují fázovou přeměnu, ale nepřesně (vyskytují se zde i záporné tlaky) ● Rovnice reálných látek ‐ jsou přesné (pevná fáze je hustší než kapalná) ● Rovnice pro H2O ‐ jsou nejpřesnější, jelikož H2O je nejpoužívanější (pevná fáze je řidší, než kapalná) 1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250

SMĚS VZDUCHU A PALIVA A VÝFUKOVÉ PLYNY JAKO REÁLNÝ PLYN

rsměsi = 274,7 J/kgK rspalin = 289,1 J/kgK

 = 1,321  = 1,277

1 . . . 136 137 138 139 140 141 142 143 144 . . . 250

Procedure CpKoeficient(fi,psi,y,d,gr,T:double;var rp1,rp2:double;var ac:matcp); {procedura pro vypocet koeficientu polynomu vypoctu Cp fi ......... =1/lamda (smesovaci pomer) psi ........ mol. pomer N/O vzduchu y .......... mol. pomer H/C paliva d .......... merna vlhkost vzduchu gr ......... mol. pomer obsahu residui v cerstve smesi t .......... teplota vyfukovych plynu [K] (nutne pro bohate smesi‐ vliv obsahu CO) rp1 ........ plynova konstanta cerstve smesi [kJ/kg/K] rp2 ........ plynova konstanta spalin [kJ/kg/K] ac ......... koeficienty polynomu pro vypocet cp [kJ/kg/K] } Function Fcp(t:double;k:integer):double; {vypocet merneho tepla Cp } Begin T:=t/1000.0; cp:=t*(ac[6,k]+t*ac[7,k]); cp:=t*(ac[5,k]+cp); cp:=t*(ac[4,k]+cp); cp:=t*(ac[3,k]+cp); cp:=t*(ac[2,k]+cp); cp:=t*(ac[1,k]+cp); Result := (ac[0,k]+cp); End;

48

2.5.2012

ZMĚNY SKUPENSTVÍ

plyn vypařování var

sublimace

pevná látka

desublimace

kapalnění tuhnutí

tání

kapalina 1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250

OHŘEV LÁTKY PŘI KONSTANTNÍM TLAKU Izobarické vypařování je také izotermické

‘ Sytá kapalina ” Sytá pára x

mm

Suchost páry





y 

x m -m 1 m y mm

Vlhkost páry










1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250

t23

T23 TEPLOTA VARU

Teplota varu ‐ je funkcí tlaku

Papinův hrnec Var ve velkých nadmořských výškách h = 8000 m p = pN/3 = 34 kPa T23 = 70 °C 1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250

49

2.5.2012

p-T DIAGRAM

pk = 22,06 MPa tk = 373,95 °C vk = 0,003106 m3/kg 1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250

ANOMÁLIE VODY

• Roste‐li teplota kapaliny, její hustota se zmenšuje • To ovšem neplatí pro vodu při teplotě od 0°C do 4°C. • Tuto výjimku nazýváme TEPLOTNÍ ANOMÁLIE VODY •

Největší hustotu má voda o teplotě 4 °C (přesně 3,98 °C) • Ve velkých rybnících a jezerech má voda u dna tuto teplotu v zimě i v létě • Umožňuje proto rybám i dalším vodním živočichům přežít mrazy i horka

Rybník v létě

Rybník v zimě

1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250

POUŽITÍ TABULEK A DIAGRAMŮ Stavové rovnice par jsou složité proto se používají se tabulky a diagramy. Používané parní tabulky ● Syté páry a syté kapaliny (mapují jen hodnoty ‘ a “) ● Přehřáté páry (mapují plochu přehřáté páry)

Používané parní diagramy ● p‐v diagram ● T‐s diagram ● h‐s diagram ● ale i p‐t, p‐h, T‐h diagram aj.

VÝCHOZÍ VELIČINY pro konstrukci tabulek a diagramů: ● Naměřené veličiny p‐T‐v (včetně stavů syté kapaliny a syté páry) ● Naměřená závislost cp = f (T, p) včetně l23 CÍLOVÉ VELIČINY pro p‐T:

v, h, u, s


1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250

50

2.5.2012

STAVOVÉ (ENERGETICKÉ) VELIČINY MOKRÉ PÁRY Vychází se ze syté kapaliny (1 apostrof ’ ) a syté páry (2 apostrofy “ )





v x





v



S

 

S x





SX 1





v mm





U



v

 H'  H''

  

U

X Um m

H

vX



 

Xv m





m

vX



V v

V

VX m

Veličiny V, H, U, S jsou aditivní a platí:



Po úpravách platí:

v v x

v

vX

 ︶ ︶

' h ' h x

  ︵ h  h' ︵   ︵

u u x  ︶  ︶

s s x

u s

uXsX

X

  ︵

Stavy mokré páry lze snadno a přesně počítat z tabulek syté kapaliny a syté páry, které nejsou rozsáhlé, jelikož ︵︶ mapují jen hodnoty ‘ a “. Používají se přitom: ● Uvedené rovnice přímek ● Interpolace v tabulkách

1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250

p-v DIAGRAM PÁRY T kr

Izobarický var a‐b je také děj izotermický

x=0

b

p

Z

p T

mokrá pára

Mokrá pára je směs syté kapaliny a syté páry

a

v

nedokonalý plyn

kr 

pára

p

kapalina

x=0 dolní mezní křivka se stavy syté kapaliny označované jedním apostrofem ‘ x=1 horní mezní křivka se stavy syté páry označované dvěma apostrofy “

x=0,8

x=1 v


1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250

T-s DIAGRAM PÁRY Izobary v oblasti mokré páry jsou rovnoběžné.



T

V místě, kde jsou izotermy rovnoběžné s izoentalpami, je možné použít stavovou rovnici ideálního plynu. Plocha pod izobarou a‐b je měrné výparné

kr

T kr kapalina

a

pára

b

teplo l23 [J.kg‐1]

p v

● pro Tkr je nulové

x=0

mokrá pára

x=0,8

p

Z T

● mění se s teplotou


plyn

hi

x=1 s

1 . . . 145 146 147 148 149 150 151 152 153 . . . 250

51

2.5.2012

h-s DIAGRAM PÁRY Izobary v oblasti mokré páry nejsou rovnoběžné. V místě, kde jsou izotermy rovnoběžné s izoentalpami, je možné použít stavovou rovnici ideálního plynu.

Pro H2O se v používá pouze výřez diagramu (část vlevo nahoře není užitečná), mokrá pára se počítá z tab. syté páry a kapaliny


1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250

VODNÍ PÁRA = REALNÝ PLYN Vodní pára je reálný plyn ve stavu blízkém zkapalnění.

1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250

VÝPOČTY S VODNÍ PÁROU Ideální plyn: 1. Stavová rovnice 2. Vztahy mezi p‐V‐T 3. I. Zákon termodynamiky 4. II. Zákon termodynamiky

Vodní pára (reálný plyn): 1. Tabulky syté kapaliny a syté 2. Diagram h‐s vodní páry 3. I. Zákon termodynamiky q12=u12+a12 q12=h12+at12 4. II. Zákon termodynamiky s12=q12/T 5. Definiční vztah entalpie h=u+p.v 6. Musíme počítat v měrných veličinách: v, h, u, s, a, at až výsledky přepočítáme na V, H, U, S, A, At

1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250

52

2.5.2012

1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250

TABULKY SYTÉ KAPALINY A SYTÉ

1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250

ŘEŠENÍ STAVŮ VODNÍ PÁRY NA POČÍTAČÍCH Výpočtové rutiny IAPWS (jsou psané ve Fortranu ‐ lze je přepsat do svých programů, nejsou však ošetřené vůči omylům při zadávání ‐ počítají pak nesmyslné hodnoty) Interaktivní grafický software (slouží k výpočtům stavů a základních termodynamických dějů vodní páry, pracuje na principu interpolace, lze jej rozšířit pro výpočty jiných látek)

1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250

53

2.5.2012

IZOCHORICKÝ DĚJ PÁRY

0



1



v d p

2

2

a1



u1 p1 2 u p2 2 1 v q p d u v d 2 1 a d 2 1 u d at

v = konst., dv = 0 (tlakové nádoby, uzavřené soustavy)

︵

q d

 













2

h 

v p2

1

u2

v p1

u1

h 

 ︶

1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250

2

0 p d v 

1

 

2

1 at

IZOBARICKÝ DĚJ PÁRY

2



h d

q d



︶



h h

1



︵

2



v1 2 1 2 q v p h v d d p at 2 1d

a1

p = konst., dp = 0 (výměníky tepla, vypařování)


1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250

IZOTERMICKÝ DĚJ PÁRY T = konst., dT = 0



h 

︵ 

 ︵

 ︶

 h︶

 ︶

2



︵



u1



1



s1





2





s2 h2 u v22 p T 2 2 1 2 s q1 q d 2 T 2 1 2 1 2 1 at a u

q1 at a v1 d d p1 i u q 1 d Td d q s d q u1 d d 

h 


1 . . . 154 155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 250

54

2.5.2012

IZOENTROPICKÝ DĚJ PÁRY

2

0

q1



u1

 ︶ v2

2

2p 2

2

h 

 h︶

1

︵



h2u

︵



2

1

h 

1a1 at u2





ata v1 d d p 1





h u d d

d

q d q u1

ds = 0, dq = 0, adiabatický děj bez tření je vratný izoentropický děj (teoretické řešení komprese, expanze)

1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250

ADIABATICKÝ DĚJ PÁRY p

kr

1

p1 T1

x2

s T2

2 a 12

x=0 v1

2* p2 x=1

v2

v

* u2

u1

*

*2 a1

2

Ř

qT

*2 q1 

1

*2 1 at

dqOK = 0, qTŘ > 0, adiabatický děj se třením je nevratný  h h  

děj (s2* > s1)

 plocha pod křivkou 1‐2*

Termodynamická účinnost expanze

1



1

h h

* 2 h2h --



1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250

1

*2 2 1 t a1 at



x E -

d ηt


IZOENTALPICKÝ DĚJ PÁRY

h = konst., dh = 0 je nevratný děj, používá se pro řešení adiabatického ŠKRCENÍ par: ● ve ventilech při regulaci, ● v odpařovacích chladicích zřízeních 2

h h 1

2



H

H1

Smysl má počáteční a konečný stav. Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250

55

2.5.2012

PARNÍ STROJ

1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250

PAROSTROJNÍ ZAŘIZENÍ Parostrojní zařízení (parní turbína s příslušenstvím) se používá v tepelných a jaderných elektrárnách pro pohon elektrického generátoru. Jedná se o velké stacionární turbíny pro velké výkony, u kterých je pro nás významné i nepatrné zvýšení účinnosti. Pracovní látkou je H2O. Vlastní cyklus je principiálně nezávislý na zdroji tepla, kterým může být kotel na pevná (uhlí, biomasa), kapalná či plynná paliva (zemní plyn, bioplyn) nebo jaderný reaktor. Vynalezena roku 1884 Sirem Charlesem Parsonsem

1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250

LAVALOVA TURBÍNA Zakladatel Švédské firmy Alfa Laval AB http://www.alfalaval.com/

Gustaf de Laval 1875 - 1913

1888 30000 ot/min

1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250

56

2.5.2012

CARNOTŮV CYKLUS V OBLASTI MOKRÉ PÁRY

H 2 s4 s q

 ︶

 ︶

C

 

s1 s3 q

TCTH 1

ηt

︵

c ηt

1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250

TH TC 1

qH qC

︵

T Turbína C Kondenzátor NČ Napájecí čerpadlo K Kotel G Generátor 




RANKINEŮV-CLAUSIŮV CYKLUS S PŘEHŘEVEM PÁRY

4

2

qC

1 Ostrá pára 500‐550 °C 13‐15 MPa

 h )   h4  h5  h  h5 1

aO ︵  qH

2



2 h1

 h  h aN  v  ( p4  p5 ) 1

 aN

h h

5

h h 1

qH aT

ηt




qH

Ekonomizér Kotel Přehřívák

aT

E K P

1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250

REÁLNÝ RANKINEŮVCLAUSIŮV CYKLUS (a) Skutečný Rankinův‐Clausiův oběh zahrnující nevratnost dějů a tlakové a tepelné ztráty (b) Pouze nevratnost dějů v napájecím čerpadle a turbíně

1 . . . 163 164 165 166 167 168 169 170 171 . . . 250


57

2.5.2012

VLIV SNIŽOVÁNÍ TLAKU V KONDENZÁTORU

1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250


CHLAZENÍ Chlazení lze provádět: ● Chladnější látkou v chladičích (termodynamický děj) ● Pomocí strojního hladicího zařízení kompresorového či ejektorového (tepelný cyklus) ● Pomocí absorpčního chladicího zařízení (tepelný cyklus) ● Dalšími způsoby Cykly chladicích zařízení jsou obrácené, při nichž se práce spotřebovává. Jsou provozovány s chladivy, nejčastěji v oblasti par, kde se využívá teplo fázové přeměny.

Vhodná chladiva: NH3, CO2, R134a, 407c, 410a, 600a, (11, 12, 22) … Copyright The McGraw‐Hill Companies, Inc.

1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250

KOMPRESOROVÉ CHLADICÍ ZAŘÍZENÍ ODPAŘOVACÍ

TX TY

je teplota ochlazované látky je teplota okolního prostředí

Teplo se předává izobaricky (v oblasti páry) a platí: 3

1

4

h h h h 1

2

3

h h

qC

qH

dq =dh ‐ v.dp = dh

ch ‐ chladicí faktor ro ideální cyklus chladicího zřízení

1

h h h h

3



2



1

qC qC qH

 ch  Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250

58

2.5.2012

KOMPRESOROVÉ TEPELNÉ ČERPADLO ODPAŘOVACÍ Může mít stejné uspořádání a stejný cyklus jako chladicí zařízení, ale

TX TY

je teplota z nízkopotenciálního zdroje je teplota okolního prostředí

Teplo se předává izobaricky (v oblasti páry) a platí: 1

4

1

h h h h

3

qC

3

h h

2

qH

dq =dh ‐ v.dp = dh

3 1

h h h h 2






2

t 

qC qH qH

top ‐ topný faktor pro ideální cyklus tepelného čerpadla

1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250

1-ROZMĚRNÉ ADIABATICKÉ PROUDĚNÍ Proudění plynů a par  v potrubích  ve zužujících se dýzách  v Lavalových dýzách vyskytujících se v lopatkových strojích apod. lze považovat za jednorozměrné. Pak nás zajímají jen střední rychlosti proudění v průtokových průřezech. V této kapitole se zaměříme na proudění bez přenosu tepla, které řešíme jako adiabatickou expanzi. Řešení vychází ze tří rovnic: ● Rovnice kontinuity ● Rovnice pohybové ● Rovnice energetické 1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250

ROVNICE KONTINUITY

Rozlišujeme proudění ● Laminární Rychlostní profily v kanále ● Turbulentní Laminární

Dynamická mezní vrstva Přechodná

w

Laminární podvrstva

w

w

Turbulentní

Laminární

Turbulentní

x




 S w   

m

 

 [kg.s‐1] w [m.s‐1] S [m2]

. t s n o k

m

Rovnice kontinuity pro stlačitelné tekutiny

w v S

O laminárním či turbulentním proudění rozhoduje Reynoldsovo číslo.

hmotnostní tok střední rychlost průřez

1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250

59

2.5.2012

e R

L w

BEZROZMĚRNÁ RYCHLOST Reynoldsovo číslo w [m.s‐1] rychlost L [m] charakteristický rozměr  [m2s‐1] kinematická viskozita





ν

Re je bezrozměrná rychlost O. Reynolds 1842‐1912

1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250

POHYBOVÁ ROVNICE z

S

Výsledná síla je dána součtem všech sil:

S + dS

w S d Sp 2 dd w 2 S wx / p d d p w w d dw p S wx d d dd d p x d p d x S S d S d d d S S ρ d w 1 v p S w S p dd x p p d d d S m d d wx S p p 2 p d w w2 S S S d p p d

Síly na element

 

p+dp w+dw

p w x



dx x

Výsledná síla způsobí zrychlení

dw/d w = f (x,)









︶

︵

Po dosazení bude:

p d v 



 





Síly na válcový povrch





Výsledná síla je:



 








Rovnice pohybová pro 1D proudění



 





















 



 

stacionární

Bernoulliho rovnice pro stlačitelné tekutiny

1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250

ENERGETICKÁ ROVNICE





p d v h d



at d

h d

q d

Proudění lze nejlépe řešit z I. zákona termodynamiky pro otevřenou termodynamickou soustavu

 



p d v h d



at d



h d

0

Proudění považujeme za adiabatickou expanzi, pro kterou platí

 

h d 2 h w2 d p d d h at d d v

Rovnice energetická pro proudění má tudíž tvar



Řešení proudění vyžaduje často spojení rovnic pohybové energetické

–v dp = d(w2/2) –v dp = –dh

  





1 . . . 172 173 174 175 176 177 178 179 180 . . . 250

60

2.5.2012

CELKOVÉ PARAMETRY PROUDU

h d 

0

 h︶ 

T

T0



v0

ρ0

  

2 cp 2 w2w2 1

0



κ

  



v0v

  

p p0

   

1 κκ

p p0

T T0

Klidový tlak, měrný objem a hustotu ideálního plynu vypočteme ze vztahů:



h h

Pro klidovou entalpii platí: Pro klidovou teplotu ideálního plynu platí:

20

h

Po integraci bude ︵

w



Spojená pohybová a energetická rovnice má tvar

w 2 w2 2 d 2

Celkové parametry proudu (klidové) jsou parametry stojící tekutiny (adiabaticky zabrzděné tekutiny). Označují se obvykle indexem „0“

1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250

MĚŘENÍ TEPLOTY PROUDU

w2 w2 4  w2 TD  TD  2 cp 2 cp 2 cp w 2 TC  TS  TS  TC  4  TD 2 cp w2 TC  Tt   1     2 cp

TC  TS 

Restituční koeficient 0,8‐0,95 určuje se cejchováním a závisí na zabudování a Machově čísle



1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250



︶ h 

p1p

     

Rychlost w dosadíme do rovnice kontinuity a dostaneme

p p1

      

  

1 κ κ

1 v1 p1 1 κ2κ

m

Sv

 



   

Do rovnice zavedeme a dostaneme …



  

  

  



   

1κ

p p1

v1 v



1 v1 p1 1 κ2κ

︶

at 2

h h1 2

w

︵

1 κ κ

Pro w1 = 0 a adiabatický děj ideálního plynu je

2

 ︵



w1

2

w



2

2

1

h h 



h1

w1 2

w

Po integraci od průřezu S1 do průřezu S bude

h d

at d

Spojená pohybová a energetická rovnice má tvar

2 w2 d

ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA

1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250

61

2.5.2012

ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA

  

p1v1 2

 

   

Ψ S







1 κ κ



2κ



1 κ

  

κ

p p1

     

1 κ κ

p p1



p p1 , κ f

Ψ

p p1

 

  

2κ

1 κ κ

Ψ



  

1 κ κ

      



kde  je výtoková funkce, pro kterou platí



p p1

  

1 v1 p1 κ1 2κ

p p1

  

1κ

 

S v1

m

Rovnici kontinuity můžeme nyní psát ve tvaru

  


κ 1 κ

   

1 κ

  

K 

2

Provedeme‐li 1. derivaci funkce  dle p/p1 a položíme ji rovnu nule, dostaneme kritický tlakový poměr, při kterém je dosažena kritická rychlost wK

pKp1

  





1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250

ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA – IZOENTALPICKÝ SPÁD h

h

Při proudění plynů nebo par konvergentní tryskou lze maximálně využít adiabatický spád daný rozdílem entalpii mezi body 1 a K (dosáhne rychlostí wk) a zbytek neužitečného adiabatického spádu se ztratí volnou expanzi plynu do okolí za ústím trysky.

1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250



κ 1 κ 

wk

   

p1pk





  kde 

  

1κ



  

1 κ

  





vk pk

v1

p1pk

vk pk   

   

vKv1

Dále převedeme parametry p1v1 na pkvk v místě



  

  

1 p1 κ κ

κ



    

κk v pk



   

1 vkv1 2 κ vk pk

k

1 1 v1 v1 v1 p1 p p κ1 2κ

w





2 -1 1 κ κ v1 p1 1 κ2κ



K 

1 2 κ

kde

1 κ κ 1 κκ

   

   

1 κ

k





2

w

1 v1 p1 κ1 2κ

      

  

pKp1

k

      

pkp1

w



1 v1 p1 κ1 2κ



1 κ κ

Kritickou rychlost dostaneme pro kritický tlakový poměr

v p κ

a

RYCHLOST ZVUKU Lze dokázat, že kritická rychlost wK je rychlost zvuku a.

1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250

62

2.5.2012

KRITICKÁ RYCHLOST

 1,3 1,4 1,66

● Pro p2 = p1, p2/p1 = 1 w2 = 0 ● Pro pk < p2 < p1 (oblast I) pk/p1 < p2/p1 < 1, w2 roste ● Pro p2 = pk, p2/p1 = pk/p1, w2 = wk ● Pro p2 < pk, (oblast II) p2/p1 < pk/p1, w2 = wk čárkovaná čára

k 0,5457 0,5283 0,4881



II

I kr

Výtoková funkce  pk/p1

0

1 p/p1

1

p

p1 p 2I pk

2I k

V oblasti I je proudění podkritické V oblasti II je proudění kritické (tekutina proudí na výstupu z dýzy rychlostí zvuku, signály se šíří též rychlostí zvuku, at je ztrátová práce)

I II

at 2 II II Ideální plyn p 2


v

1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250

RYCHLOST ZVUKU Při relativním pohybu tělesa vůči tekutině nadzvukovou rychlostí w vznikají rázové vlny.

a M 

MACHOVO ČÍSLO

Mach 

wa

Čelo rázové vlny se šíří ve volném prostoru rychlostí zvuku a

a

Rychlost objektu Rychlost zvuku

   p  v   r  T

Prof. Dr. ERNST MACH  18. 2. 1838 Brno‐Chrlice , ČR  9. 2. 1916 Harr, Německo

1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250

κ 1 κ

1 2 κ

2

h1

2

2

h1

K



 ︵

2

  

w

 

 ︵

2

 

 

1κ 1κ

p 2p Kv 2 p 1p 1w 2 2 v 1v 1S

v 2v 2m  

  

w

1 v1 p1 1 κ2κ

2

m

 ● Výpočet :

Pro ideální plyn

︶



Pro páru

  



   

 h︶

κ 1 κ

w

2

Oblast I

︶

     ︵  



● Výpočet v2: Oblast II



  

  

K  κ 1 κ

w

Oblast II kritické proudění

      ︵ 

K 1 p2p1 p p

Pro ideální plyn

Oblast I podkritické proudění

1 v1 p1 1 κ2κ

● Výpočet w2:

pKp1

VÝPOČET ZUŽUJÍCÍ SE DÝZY

● Stanovení režimu proudění: Pro p2 / p1 > k pk / p1 je podkritické proudění Pro p2 / p1 < k pk / p1 je kritické proudění

 h︶

Pro páru Z diagramu / tab. Z diagramu / tab.

1 . . . 181 182 183 184 185 186 187 188 189 . . . 250

63

2.5.2012

  



w



Délka:

D Kβ g t D 22

L

  

1κ

vK

wK SK



v2 2p 1 p2 2 w S2

K

m

Pára Z diagramu / tabulek ● Průřezy:  

  

1

K



v

v

  

1

K

  



κ 1 κ

2





p2p1

︶

κ 1 κ

pKp1

  

2 p2p1 v2 2 w , 1 1κ K v1 p1 p 1p 1 1 κ2κ 2 v1

w Pára

     ︵  

      

          ︵︶       ︵ h  h︶  ︵ h h︶



● Objemy: Plyn

1 v1 p1 1 κ2κ



k

Plyn

w

● Rychlosti:

1 2κ

pKp1

● Kontrola nutnosti Lavalovy dýzy:

1 κκ

VÝPOČET LAVALOVY DÝZY





1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250

p p 2 dp dw v 2 2 a a MM w κ dw



1

Závěr pro fyzikální úvahy

S dS

CHOVÁNÍ LAVALOVY DÝZY



w1



wd ad




p

Tabulka chování dýzy

ad

p

w w

ad

Ma < 1 w
dS < 0 dp < 0 dw > 0

dS > 0 dp > 0 dw < 0

Ma > 1 w>a

dp > 0 dw < 0

dp < 0 dw > 0

1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250

w2

p

ad

w

ad p

w

a) w1 < a1 wd < ad

b) w1 < a1 wd = ad c) w1 > a1 wd > ad d) w1 > a1 wd = ad

CFD – APLIKACE - EXPERIMENTY

1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250

64

2.5.2012

Známé pojmy:

S q

Podobný rozdíl jako v mechanice mezi dynamikou a kinematikou.

Q

Q

PŘENOS TEPLA – SAMOSTATNÁ DISCIPLÍNA

       τ

TEPLO Q [J]

Q

MĚRNÉ TEPLO q [J.kg‐1]

 TEPELNÝ TOK [W]

q

Nové pojmy:

HUSTOTA TEPELNÉHO TOKU  [W.m‐2]

1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250

TŘI ZPŮSOBY PŘENOSU TEPLA ● PŘENOS TEPLA VEDENÍM (KONDUKCÍ): Kinetická energie neuspořádaného pohybu molekul se předává srážkami na sousední molekuly, a tak se přenáší tepelná energie. Vedení je v pevných látkách, ale i v kapalinách a plynech (především při vyloučení proudění). Přenos tepla vedením zvyšují volné elektrony (ionty v tekutinách). ● PŘENOS TEPLA KONVEKCÍ (PROUDĚNÍM): Přemístěním molekul v prostoru v důsledku nuceného či přirozeného proudění se přenáší i jejich tepelná energie. Přenos tepla konvekcí tudíž probíhá v tekutinách (difúze v pevných látkách). ● PŘENOS TEPLA ZÁŘENÍM (RADIACÍ, SÁLÁNÍM): Každý objekt s T > 0 K vyzařuje fotony, které jsou nositeli energie včetně tepelné. Fotony se šíří v průteplivém prostředí rychlostí světla.

1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250

ZÁVISLOST V ČASE

Rozlišujeme přenos tepla STACIONÁRNÍ a NESTACIONÁRNÍ

1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250

65

2.5.2012

T d a T r d g a r S g λ λ Q q

TEPELNÝ TOK VEDENÍM



Tepelný tok při přenosu tepla vedením je definován FOURIEROVÝM ZÁKONEM

S [m2]

 [W.m‐1.K‐1]   = f (T)  = f (T,p)



 

     

Tn

[m]

T d a r g

    

Tn

n



n

T d a r g

Vektor grad T je dán vztahem

T+dT

jednotkový vektor normály k izotermické ploše (směřující do míst s vyššími teplotami) izotermická plocha kolmá k tepelnému toku

S

součinitel tepelné vodivosti (lze najít pro různé látky v tabulkách) je konstanta pro ideální plyny pro pevné látky a kapaliny pro reálné plyny (kapaliny při p)

n 0

Q

T


1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250

SOUČINITEL TEPELNÉ VODIVOSTI

 

Součinitel tepelné vodivosti plynů Součinitel tepelné vodivosti kapalin

= 0 až 0,1 W.m‐1.K‐1 = 0 až 1 W.m‐1.K‐1

Tekuté kovy až 100x větší

 = 0 až 400 W.m‐1.K‐1

Součinitel tepelné vodivosti pevných látek

Čisté krystaly až 10 000 Elektrické vodiče mají  větší


1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250

SOUČINITEL TEPELNÉ VODIVOSTI

1 . . . 190 191 192 193 194 195 196 197 198 . . . 250

66

2.5.2012

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ TEPLA



[W m ]



d





τ

x d Qx d x


z d y d

Tx x Q λ d

             

z d

Qz d



y d



x d

dQ x+dx dQ z



Qy d

Qx Qx d d

kde

x d



dQ y+dy y

x



Teplo [J] z elementu odvedené

Qx d

dQ y

Qz d

z dQ z+dz dQ x -3

Q*

Qy d

Teplo [J] do elementu přivedené

Qx d

KARTÉZSKÝ SOUŘADNICOVÝ SYSTÉM





d z d y d x d Tx λ x



x d Qx d x -



x d



Qx d

Qx d

Teplo [J], které zůstane v elementu v důsledku vedení ve směru x

 







         

τ

1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250

U d

Q d

 = f (x, y, z, T)

kde



T dd ρ c * Q

Tz λ z

Ty λ y

Tx λ x

                             



2

      Po dosazení za dQ1, dQ2, dU a pokrácení dx.dy.dz.d bude I. zákon termodynamiky

0

U d U Ad d

UQ dd

Q Q1 dd

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE VEDENÍ TEPLA

  

τ

 = f (x, y, z, T)

c = f (x, y, z, T)

Pro izotropní látky jsou , c,  konstantní a dostaneme

    

Platí pro homogenní tuhé látky s vnitřními zdroji (i tekutiny)

a

 



je teplotová vodivost a platí definice

ρ λ c



*ρ Qc

 

2 Tz 2

a [m2s‐1]



2 Ty 2

   

2 Tx

a

τ

2

T dd

OBECNOU DR VEDENÍ TEPLA ‐ I. zákon termodynamiky



1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250

POČÁTEČNÍ A OKRAJOVÉ PODMÍNKY ● Řešením DR přímých úloh je rozložení teplot v prostoru a čase za pomocí počátečních (u nestacionárních úloh) a okrajových podmínek. ● Řešením DR nepřímých úloh je určení okrajových podmínek (OP) ze známého rozložení teplot v různých časových úrovních.

τ ︶ ︵

z , y , x f

︵

0

, z , y , x T

POČÁTEČNÍ PODMÍNKA Určuje rozložení teplot na počátku děje pro  = 0. Často je To = konst. OKRAJOVÁ PODMÍNKA

︶

,

w

z , yw , w x f

Tw

● 1. druhu, Dirichletova ‐ Určuje rozložení teplot na povrchu tělesa (index w), a to v čase. ︶ ︵ τ Často je Tw = konst. ● 2. druhu, Neumannova ‐ Určuje rozložení hustot tepelného toku na povrchu tělesa v čase. Často je   ︶  ︵ τ

,

w

z , yw , w x f

qw

. t s n o k

qw

1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250

67

2.5.2012

OKRAJOVÉ PODMÍNKY

,

w

z , yw , w x f α

● 3. druhu, Newtonova ‐ Určuje rozložení součinitelů přestupu tepla na povrchu tělesa v čase. ︶ ︵ τ Často bývá  = konst. Rozdíly mezi OP 2. druhu a 3. druhu   ● U podmínky 2. druhu má T čárkovaná tečna stále stejný sklon ● U podmínky 3. druhu  = konst. prochází Tw čárkovaná tečna řídicím bodem R, viz důkaz:

Ty

T Tw α

Ty

-

︶ 

w

Tα λ Tw

y

/

. t s n o k

qw

λ -

  ︵      

R T

       



w


1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250

OKRAJOVÉ PODMÍNKY

Tw

2

1

RK [m2.K.W‐1] kontaktní tepelný odpor Závisí na drsnosti, materiálu, tlaku mezi tělesy a druhu plynu v kontaktu.

T w 1 = T w2 T w2 2

 ︶


T w1

1

Tw

qw

  ︵

w

  

1 RK

b) Nedokonalý styk těles

T2y

   

w

   

λ2 -

λ1 -

   

T1y

● OP 4. druhu ‐ Ve styku dvou těles a) Dokonalý styk těles

1

2

RK bývá tabelován

● OP 5. druhu ‐ S fázovou přeměnou látky na povrchu 1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250

STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA ROVINNOU STĚNOU NEBO TYČÍ



 

Řešení této DR je přímka

T

Pro stacionární 1‐D vedení platí:





0 x a1 2 T 2 z T 2 2 x d d a0

  

2 T 2 y



2 Tx

  τ

2

ρ λ c

T

Vyjdeme z diferenciální rovnice vedení tepla

  

 





 1









2

Tw





x 2 1 1 TWTWTw

T

dostaneme teplotní profil ve tvaru



T T

0



Pro okrajové podmínky 1. druhu

Tw

x x

kde konstanty a0, a1 získáme z okr. pod.



1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250

68

2.5.2012

STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA ROVINNOU STĚNOU NEBO TYČÍ

Tw

1

Tw

1



2

q

Tw λ



 





2



1

2



Tw



Tw

Tw S λ

Q



Tx dd

1



Pro tepelný tok platí

  

x

Tw



2



1



Tw

Tw

T

Derivací uvedeného teplotního profilu dle souřadnice x dostaneme







1



TW



2

TW S λ -

 



1



1



TWx



2



2



TWx S λ -

Q

Tx dd S λ -

Kratší odvození tepelného toku lze provést přímo z Fourierova zákona, kam dosadíme za dT a dx a dostaneme:




Při tomto kratším odvození tepelného toku nezískáme bezprostředně informaci, že teplotní profil je přímka. 1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250

STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA VÁLCOVOU STĚNOU

r2 r1n nl l a1a1

a0a

TWT

Konstanty a0, a1 logaritmického teplotního profilu získáme z OP. 1

2 W

1

r

Derivace teplotního



Q

profilu dle r bude


      

Pro tepelný tok platí

Q



a po úpravách

r 1r1 n Tw l r2 1 1 2 Twr Tw n r2 l 1r 2

Tw

T

q

0

        Po výpočtu konstant a0, a1 bude mít teplotní profil tvar      ︵︶︵︶ Pro OP 1. druhu platí:

Twn l 1r1 Tr w 2 r1 d d T r2Tw n 2 l n 1 1 Twl 1 1 r Twr Twr L r2 r2 r Ln 2 Twn π λl l 2 π λ 2

Tw1 Tw2 r1 r2 L

r1r2 rr

z

  ︵ ︵



︵

︶



︵

︶

 ︶︶

1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250

L

STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA VÁLCOVOU STĚNOU Hustota tepelného toku je na vnitřním a vnějším povrchu trubky různá (viz obrázek), a proto definujeme z  tepelný tok na 1 m délky trubky q [W.m‐1] Tw1  T ︵︶ w2     r 2

Tw 1r 1 Tw 2 r λn l π 2 ︵

︶

 

 ︶

1

    ︵

2



Tw



Tw

   

L π 2 λ

1



r2r1 n l Q

T d L π 2 λ -

1



2

2



 ︶

︶

 

DR řešíme separací proměnných a dostaneme:

r dr 2 Q Tw

Q

1 Twr1 2 Lr n λl π 2





Tr dd L r π 2 λ -

Q

 ︵  ︶


 ︵︵

Tr dd r S λ -

Kratší odvození tepelného toku lze provést přímo z Fourierova zákona r





L

L q



QL

q 

1

r2

Při tomto odvození nezískáme informaci o tvaru teplotního profilu.

1 . . . 199 200 201 202 203 204 205 206 207 . . . 250

69

2.5.2012

ANALOGIE PŘI ŘEŠENÍ DR VEDENÍ TEPLA

UR

I

T Δ λ

q

Mezi veličinami tepelnými a elektrickými existuje analogie, která nám můžeme pomoci při řešení úloh vedení tepla. Pro vedení tepla platí Pro elektrické obvody    Fourierův zákon platí Ohmův zákon  Je zřejmé, že: ● Elektrický proud je analogický hustotě Zapojení sériové tepelného toku R1 R2 R3 I ● Napětí či rozdíl napětí je analogický rozdílu U U U1 U2 0 3 teplot ● Elektrický odpor R je analogický tepelnému Zapojení paralelní odporu R =  /  Poznatky z řešení elektrických obvodů můžeme využít při řešení složitějších úloh vedení tepla, a to skládáním jednodušších exaktních řešení DR

R1 R2 R3

U0

I U1


1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250

STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA SLOŽENOU ROVINNOU STĚNOU





2

λ1

1



2



Tw 1 Rλ 1 Tw

Tw



1

q

Tw

Hustota tepelného toku jednoduchou rovinnou stěnou je dána vztahem

1 n ,

Tw Rλ

i





1 i





n

1 i

λi

i





1

1 n , 



Tw

Tw



n



λi

i



i

stěnou Ri [K.m2.W‐1] je dán vztahem



Rλ

Tepelný odpor při vedení rovinnou

1

q

Tw

Hustota tepelného toku složenou rovinnou stěnou s n vrstvami (tepelné odpory jsou řazeny sériově) je dána vztahem



1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250

STACIONÁRNÍ VEDENÍ TEPLA SLOŽENOU VÁLCOVOU STĚNOU

r2r1 2n Tw l λ1 1 π Tw1 2 





1 n

, λ Tw R

i









1 riri n l λi 1π 2

[K.m.W‐1] je dán vztahem





1 i

Tepelný odpor při vedení válcovou stěnou Ri





n





1



1 i

R 2 Q L



Tw

 

n

T w3

1 i riri Rλ 1 n n l , Tw λi 1π 1 Tw 2

R 1


2

 ︶

Tepelný tok složenou válcovou stěnou na 1 m délky potrubí (tepelné odpory jsou řazeny sériově) je dán vztahem

QL

T w2

︵

Tw

 

Tw3 r

Tw1

QL

Tw2

Tw1 r1 r2 r3

1 2r1 Twrn l λ1 π 2

Tepelný tok jednoduchou válcovou stěnou na 1 m délky potrubí je dán vztahem

;





1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250

70

2.5.2012

ZÁKLADNÍ TYPY KONVEKCE Nucenou ‐ vyvozenou ventilátorem, kompresorem, větrem, čerpadlem Přirozenou ‐ vyvozenou rozdílem hustot (v důsledku rozdílu teplot…)

1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250

TEPELNÝ TOK PŘI PŘENOSU TEPLA KONVEKCÍ

Tr f e k f Tr e e Tr Tt k e k Ttcp e Tt pρ c cp ρ S m V w Q Q Q

V potrubí (viz 1. zákon termodynamiky)

   ︵  ︶     ︵  ︶     ︵  ︶

T tek

f e

w

Tok entalpie koridorem s pevnými hranicemi Ve volném proudu v prostoru Volné hranice a míšení tekutiny Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

V obecném proudu v prostoru Složité prostorové proudění 1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250

TEPELNÝ TOK PŘI PŘESTUPU TEPLA MEZI POVRCHEM A TEKUTINOU

TW [K] T [K]

T

  ︵

TW

součinitel přestupu tepla

α

︶  

plocha obtékaného povrchu

q

 [W.m‐2.K‐1]

 ︵

T

S [m2]

TW



S α

Q

Budeme se zabývat hlavně přestupem tepla, který je dán Newtonovým vztahem

︶   teplota povrchu teplota tekutiny

Součinitel přestupu tepla závisí na vlastnostech tekutiny, na tvaru obtékaného povrchu, na konkrétním místě na povrchu a především na rychlosti proudění. Nehledá se v tabulkách Přirozená konvekce Plyny  = 2 ‐ 25 W.m‐2.K‐1 Kapaliny  = 50 ‐ 1 000 W.m‐2.K‐1 Konvekce s fázovou přeměnou

 = 2 500 ‐ 100 000 W.m‐2.K‐1

1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250

71

2.5.2012

VÝZNAM PODOBNOSTI

1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250



W. Nusselt 1882‐1957

Nu je bezrozměrné

T

TW

 ︶  

   


L

  

W

︵

Ty dd λ -

vyjádření 

α

Zjednodušené odvození Nusseltova čísla z DR přestupu tepla

1

součinitel přestupu tepla

L [m] charakteristický rozměr  [W.m‐1K‐1] tepelná vodivost tekutiny



L



[W.m‐2K‐1]



u N

Podobný přestup tepla je pro  L /  stejné na modelu i díle. Tento podíl je označován jako Nusseltovo číslo

LM





λM



1

M

Po dosazení za měřítka dostaneme



L D αλ λ αD

LD



M cL λ α cαc D

Upravená rovnice pro dílo podělená rovnicí pro model má tvar

cTcL cλ

cT DLMλDλM cα α α

PODOBNOST PŘI NUCENÉ KONVEKCI

1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250



 

2 Ty 2

2 Tx 2 L a w

     

e P

w [m.s‐1] L [m] a [m2s‐1]

a

x

 

y

  

PODOBNOSTNÍ ČÍSLO Z DR ENERGETICKÉ Z levé strany rovnice a z pravé strany rovnice dostaneme Pecletovo číslo

Ty

w

w Tx

PODOBNOST PŘI NUCENÉ

  

Z , Y , X , e P , u E , e R f u N

rychlost charakteristický rozměr Pe je poměrem přenosu tepla prouděním a vedením při konvekci teplotová vodivost Výsledky řešeni DR nebo experimentů se vyjadřují prostřednictvím KRITERIÁLNÍCH ROVNIC Obecná kriteriální rovnice pro ︶ ︵ nucenou konvekci jsou bezrozměrné souřadnice   

L z

Z

L y

Y L x

X

 ν   ν

a



r P e R



L w




L a w

e P

Rychlost je obsažena v Re a Pe, a proto je vhodné jedno z těchto kritérií vyloučit. Platí:



1 . . . 208 209 210 211 212 213 214 215 216 . . . 250

72

2.5.2012


 [m2s‐1]



ν

a

r P

Je zřejmé, že Reynoldsovo číslo a Pecletovo číslo jsou navzájem vázány, tzv. Prandtlovým číslem kinematická viskozita

a [m2.s‐1] teplotová vodivost

Pr je měřítkem

Pr je fyzikální vlastnost, jelikož je funkcí jen fyzikálních vlastností a lze jej nalézt v tabulkách. ● Pro plyny Pr ~ 1, PrVZDUCHU = 0,72 ● Pro kapaliny Pr > 1 ● Pro tekuté kovy Pr << 1

podobnosti rychlostních a teplotních polí Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

3



Pozn.: Při laminárním režimu proudění přibližně platí

r P

δT δ

L. Prandtl 1875‐1953

takže pro Pr = 1 je tloušťka dynamické a tepelné mezní vrstvy T stejná w = f (p), p = f (w) z dalších úvah lze vynechat Eulerovo číslo, jelikož Eu = f (Re) 1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250

Z , Y , X , r P , e R f u N


︵ m





︶

︶

n r P

m





Pr2 = konst.

log Nu

Konstanty C, m, n (nebo také konstanty pro jiný typ funkce) jsou výsledkem řešení DR nebo předmětem experimentálního výzkumu a lze je obvykle nalézt pro konkrétní geometrické útvary v literatuře.

︵

e e R R C C

u u N N 

Kriteriální rovnici vyjadřujeme často pomocí mocninné funkce Pro stejnou tekutinu pak platí

r P , e R f u N

Kriteriální rovnice pro nucenou konvekci je: Kriteriální rovnice pro nucenou konvekci v podobné geometrické konfiguraci má tvar

Pr1 = konst.

● Pro laminární proudění m = 0,5 ● Pro turbulentní proudění m = 0,8

log Re


1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250

PODOBNOST PŘI PŘIROZENÉ KONVEKCI Při přirozené konvekci jsou DR přestupu tepla, energetická a kontinuity stejné. Do DR pohybové je třeba definovat zrychlení od vztlakových sil.

 ︵

g 1

ρ

 ︶ 

g

ρ ρ

G

︵

ρρ

Pro vztlakovou sílu na jednotku objemu G [N.m‐3] lze psát

︶



Pro izobarický děj ideálního plynu platí



︵

 ︶ 

γ 

T Δ





g

Pro zrychlení G[N.m‐3] /[kg.m‐3] od vztlakové síly platí vztah

kde 1 / T =  [K‐1] je objemová roztažnost

Gρ



g

︶

T



T 1T ρ

 ︵

g 1

TT ρ

G

 = p / (rT) ,  = p / (rT) a pak bude


1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250

73

2.5.2012

PODOBNOST PŘI PŘIROZENÉ KONVEKCI

L T T Δ Δ 2 w g g

px r 1ρ A

2 wy

2

2 wx 2

x wy

w

w

x wx

Zrychlení od vztlakové síly dosadíme do DR pohybové a dostaneme

3 L

ν

Archimédes 287‐212 př.n.l.

2



T



γ

Tw

γ

γ

g

r G



2 L 2 2 w L T 2 Δw g

2 e R r A



x

y

x

 



x

       ν    γ      Z levé strany rovnice pohybové a z  posledního členu vpravo dostaneme Archimédovo číslo Ar vyjadřuje poměr sil Při přirozené konvekci nelze využívat vztlakových a setrvačných rychlost proudění (je velice malá), proto je třeba Ar vynásobit Re2, které je rovněž ︵  ︶ obsaženo v DR pohybové   

ν


Gr vyjadřuje vztah vztlakových, třecích a

Výsledkem je Grashofovo číslo (F. Grashof 1826‐1893)

setrvačných sil

1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250

PODOBNOST PŘI PŘIROZENÉ KONVEKCI

Z , Y , X , r G , e P , u E , e R f u N

Obecná kriteriální rovnice pro přirozenou konvekci má tvar

︵

︶

n

r P m r G C

u N

r P , r G f u N

● po nahrazení Pe čísla číslem Re a Pr (Pe=Re.Pr), ● po vynechání Eu čísla, které je funkce Re, ● po vynechání bezrozměrných souřadnic při řešení podobné geometrické konfigurace, ● a po vynechání Re čísla, které je funkcí Gr čísla (rychlost proudění je funkcí teplotního rozdílu) dostaneme kriteriální rovnici pro přirozenou konvekci ve tvaru: ︶ často platí ︵  

J.W.S. Rayleigh 1842‐1919 Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

︶

kde Ra je tzv. Rayleighovo číslo



r P r G

︵

a R

a R f u N

Pro stejnou tekutinu lze psát



Pozn.: Konstanty C, m, n lze obvykle pro konkrétní geometrické útvary nalézt v literatuře. 1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250

PROSTUP TEPLA

1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250

74

2.5.2012

1 αH

Rα



H

 ︶

1

︵

Tw

TH

αH

q

STACIONÁRNÍ PROSTUP TEPLA SLOŽENOU ROVINNOU STĚNOU Odvození tepelného odporu R [K.m2.W‐1] při H konvekci na rovinné stěně z Newtonova vztahu

n



1 i



1 αC

hiλi

n

1 αH

C

u



1 i

kde u [W.m‐2.K‐1] je součinitel prostupu tepla rovinnou stěnou (používá se i značení k)

C





 ︶

Rα

i TC Rλ 1

TH





H

λiT

TH

1 i 

i



Rα



n



 ︵ u

Můžeme psát

1 αC



1 H α q



TC

q

TH

Hustota tepelného toku při prostupu tepla složenou rovinnou stěnou je dána vztahem



1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250

STACIONÁRNÍ PROSTUP TEPLA SLOŽENOU VÁLCOVOU STĚNOU

αC 1 1 rn π 2



C

 ︶

Rα



TC

︵

1 n ,



Tw

 

αC 1 rn π 2

QL

Odvození tepelného odporu R C [K.m.W‐1] při konvekci na válcové stěně z Newtonova vztahu 

TC 

C 1 α1 rn



1 i



i

C α



Rλ

n

H

1 i 

Rα

n







1 riri π n 2 l 1 λi



H 1 α1 r

u  L

L

tepla válcovou stěnou







1 i

TH

QL

  u︵  ︶ kde uL [W.m‐1.K‐1] je součinitel prostupu Lze psát:



n



 ︶

TH R

︵

1 riri n l 1 λi TC

TH αC 1 1 π rn 2

 

H C 1 α1 r T

QL

Tepelný tok na 1 m délky potrubí při prostupu tepla složenou válcovou stěnou popisuje vztah



1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250

TYPY TEPELNÝCH VÝMĚNÍKŮ Tepelné výměníky slouží k přenosu tepla mezi dvěma tekutinami, které bývají oddělené stěnou. Použití tepelných výměníků: ● V elektrárnách a chemičkách DĚLENÍ TEPELNÝCH VÝMĚNÍKŮ ● V oblasti vytápění a chlazení Dle charakteru proudění: ● V automobilech, letadlech … ● Výměníky souproudé ● Výměníky protiproudé ● Výměníky s příčným proudem Dle konstrukce: ● Výměníky plášťové (svazky trubek uvnitř pláště) ● Výměníky kompaktní (žebrované pro kapalina‐plyn, plyn‐plyn) ● A jiné 1 . . . 217 218 219 220 221 222 223 224 225 . . . 250

75

2.5.2012

S [m2]

plocha výměníků (měla by být co nejmenší)

u [W.m‐2.K‐1] TS [K]

součinitel prostupu tepla

1

mH

mC

TH1

TS Δ S

Q

ZÁKLADNÍ PROBLÉMY TEPELNÝCH VÝMĚNÍKŮ Tepelný tok je přenášen tzv. prostupem tepla což představuje: ● Přestup tepla konvekcí z horké tekutiny H do stěny ● Vedení tepla ve stěně (někdy i složené) ● Přestup tepla konvekcí ze stěny do chladné tekutiny C Tepelný tok přenášený ve  u  výměníku je dán vztahem

T1

S

TC1

H

C

TH2

TC2 T2

střední teplotní spád (mění se 2 podél plochy výměníku) Pro výpočet tepelného toku nebo pro návrh plochy výměníku tepla je třeba stanovit Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

součinitel prostupu tepla u a střední teplotní spád TS 1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250

STŘEDNÍ TEPLOTNÍ SPÁD Výměník souproudý

T

T H1

Výměník protiproudý

T

H dT H

T 1 T T C1 mH 1 mC

T H2 T 2

dT C C

dT H T H2 T 2

T dT C

C

2 S

mH 1

dQ

mC

dS

TH d cH H m

QH QC d d

dS

H

T C1

T C2

dQ

T H1

T 1

TC2 2 S


Tepelný tok uvolněný z teplejší tekutiny Tepelný tok dodaný chladnější tekutině

  

TC d cC mC

dTH < 0 dTC < 0 dTC > 0

  

vždy pro protiproud pro souproud

1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250

STŘEDNÍ LOGARITMICKÝ TEPLOTNÍ SPÁD Výměník souproudý

T

T H1

dT H

T 1 T T C1

T H2 T 2

T

T H1

H dT H

T 1

T H2 T 2

T

dT C C

dS

dQ

mC

dS



kde střední logaritmický teplotní spád je dán vztahem:

T C2 2 S

TS Δ

 u

dT C

mH 1



T1 Δ T2T1 -Δ Δ T2 n Δ l

mC

C

2 S

TS Δ S

dQ

T C1

T C2

Q

mH 1

Tepelný tok platí:

Výměník protiproudý Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

H

1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250

76

2.5.2012

POSTUP VÝPOČTU VÝMĚNÍKŮ TEPLA ● Určení H , C např. z teorie podobnosti

● Stanovení středního logaritmického

● Určení  a tloušťky stěny ● Výpočet součinitele prostupu tepla

u ● Návrh teplot tekutin pro daný průtok tekutin

teplotního spádu TS ● Určení teplosměnné plochy výměníku S

Návrh se řeší iteračně, předpoklady je třeba upřesňovat.

VIZUALIZACE PROUDĚNÍ V PLÁŠŤOVÝCH VÝMĚNÍCÍCH TEPLA Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250

ŠÍŘENÍ ZÁŘENÍ Každý objekt je zdrojem elektromagnetického záření, které má vlnový charakter. Dle vlnové délky  [m] rozlišujeme různé typy záření.


Pokud se většina zářivého toku přemění při dopadu na jiný objekt na tepelný tok, hovoříme o tepelném záření. To platí pro záření objektů o běžných teplotách včetně záření Slunce. Záření se šíří prostředím rychlostí c, která je závislá na druhu prostředí. Rychlost šíření záření ve vakuu co má hodnotu co = (2,99792458±0,000000012).108 m.s‐1. 1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250

HUSTOTA ZÁŘIVÉHO TOKU

q

S E

Q

HUSTOTA ZÁŘIVÉHO TOKU = ZÁŘIVOST E [W.m‐2] je při úplné přeměně energie  záření na teplo rovna hustotě tepelného toku . Zářivý tok z určité plochy je pak dán součinem hustoty   zářivého toku (zářivosti) E a plochy S

Eλ dd

Eλ



Spektrální hustotu zářivého toku E [W.m‐3] definujeme pro monochromatické záření ( až +d )

Jedná se o hustotu zářivého toku (zářivost) pro danou vlnovou délku   Kontinuální spektrum záření  Absorpční sluneční spektrum (absorpce v plynech sluneční atmosféry)  Emisní spektra alkalických kovů

Světelné záření

  [nm]


1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250

77

2.5.2012

I. KIRCHHOFFŮV ZÁKON A

     

QDQ

QRQ

1

A QQ

Úpravou dostaneme

QD

QR

Q

Q

Při dopadu zářivého toku na povrch může dojít k odrazu, pohlcení, nebo také k průchodu zářivého toku objektem. Pro energetickou bilanci platí

Q

QR

        

QA





1 D

R A

I. KIRCHHOFFŮV ZÁKON má tvar

QD




Jedná se o zákon zachování energie, kde značí:

● A poměrnou pohltivost, A = 1 je dokonale černé těleso ● R poměrnou odrazivost, R = 1 je dokonale bílé těleso ● D poměrnou průteplivost, D = 1 je dokonale průteplivé těleso 1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250

I. KIRCHHOFFŮV ZÁKON A = 1, R = 1 nebo D = 1 NEEXISTUJE Téměř černé těleso lze realizovat černými matnými dutinami T=konst.

T=konst.

T=konst.

Q

Q

Q


1 R A

Pevné látky (kromě slídy, kazivce, kuchyňské soli …) mají D = 0





Dvouatomové plyny (H2, O2, N2, vzduch …) mají D = 1





1 D

R A

Víceatomové plyny (vodní pára, CO2, …) mají D < 1



1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250

PLANCKŮV VYZAŘOVACÍ ZÁKON S rostoucí teplotou roste spektrální hustota zářivého toku černého tělesa a maximální hodnota se posouvá ke kratším vlnovým délkám. ZÁŘENÍ REÁLNÝCH ZDROJŮ ● Šedý zářič má E pro každé  menší než černé těleso, maximum je při stejné teplotě na stejné vlnové délce. Ideální šedý zářič neexistuje. E ● Reálný zářič má E Černý zářič o teplotě T v závislosti na  značně Šedý zářič o teplotě T proměnnou. Reálný zářič o teplotě T ● Selektivní zářič září pouze v Záření plynů některých oblastech  Záření laserů ● Plyny a lasery vyzařují jen úzké spektrální čáry Selektivní zářič




1 . . . 226 227 228 229 230 231 232 233 234 . . . 250

78

2.5.2012

WIENŮV POSUNOVACÍ ZÁKON

λ

0

E0λ dd

Wienův posunovací zákon získáme z Planckova vyzařovacího zákona derivací spektrální hustoty zářivého toku černého tělesa E0 dle vlnové délky  a tuto derivaci položíme rovnu nule. Tím získáme průběh poloh maxim izoterem v diagramu závislosti spektrální hustoty zářivého toku dokonale černého tělesa E0 na vlnové délce .



E0

Wienův posunovací zákon T3 > T2

. t s n o k

T





X A

λM

MATEMATICKÁ FORMULACE WIENOVA ZÁKONA

T2 > T1 T1

kde uvedená konstanta má hodnotu 2.8978.10‐3 [m.K] Planckův zákon  SLOVNÍ FORMULACE WIENOVA ZÁKONA S rostoucí teplotou zářiče se posouvá maximální hodnota spektrální hustoty zářivého toku ke kratším vlnovým délkám Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 . . . 250

STEFANŮV BOLTZMANNŮV ZÁKON





λ



λ d

E0

E0

Stefanův ‐ Boltzmannův zákon získáme z Planckova vyzařovacího zákona integrací spektrální hustoty zářivého toku černého tělesa E0 přes celý rozsah vlnových délek , a to za konstantní teploty. 0



4



T σ0

E0

MATEMATICKÁ FORMULACE STEFANOVA‐BOLTZMANNOVA ZÁKONA

o = 5,6697.10‐8 W.m‐2.K‐4 je Stefanova ‐ Boltzmannova konstanta Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

SLOVNÍ FORMULACE STEFANOVA ‐ BOLTZMANNOVA ZÁKONA Hustota zářivého toku dokonale černého tělesa je úměrná čtvrté mocnině absolutní teploty 1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 . . . 250

STEFANŮV BOLTZMANNŮV ZÁKON

 

4

T S

 

σ0



Q0

4

 

T σ0

q0

Pokud se přemění zářivý tok při dopadu na objekt na tepelný tok, lze Stefanův ‐ Boltzmannův zákon psát ve tvaru

 

4

 

Termogram FSI VUT

T S

σ0 ε



4

 

Q

T σ0 ε q

Nedokonalé zářiče ‐ šedá tělesa mají tepelný tok menší než zářiče dokonalé ‐ černá tělesa a platí:

 [‐]

poměrná zářivost ‐ emisivita Poměrná zářivost ‐ emisivita ● Nabývá hodnot od 0 do 1 ( = 1

Změna barvy bývá způsobena teplotou,

je černé těleso,  = 0 je bílé těleso) ale i emisivitou nebo odraženým zářením ● Najdeme ji pro různé materiály v tabulkách ● Závisí také na úpravách povrchů, často i na směru vyzařování Pavelek, M. a kol.: Termomechanika. Skripta. VUT Brno 2003

1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 . . . 250

79

2.5.2012

2 f



4









4

︵ 

2

 

T2

4

T1

σ

q1



1 1 ε2

1

1 ε1

  2 1

D1=0



Pro hustotu tepelného toku zářením mezi dvěma nekonečně rozlehlými paralelními stěnami lze psát

2=A2 D=1

1 f

2



2

1=A1

︶



E1

(1-1)(1-2)Eef1

︶︵





Eef2(1-1)

2

︵ 

(1-2)Eef1



T2 σ0 E1 ε2ε2 ε1 ε2 ε12 E1 4 ε T1 ε2 0 1 E2ε1σ1ε - ε2 ε2ε E2 1 2 ε1ε E2ε1 ε 1 ε E2 ε2 E1 ε2ε1


Eef2

Eef1

E1

T2

E1

T1 > T2

T1

Ee



Výsledný tok zářivosti je dán rozdílem efektivních zářivostí

Ee

E1

VZÁJEMNÉ ZÁŘENÍ POVRCHŮ

 ︶

0 12

12 [‐] zde značí součinitel vzájemné emisivity pro paralelní stěny

D2=0

1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 . . . 250

ZÁŘENÍ MEZI POVRCHY, KTERÉ SE OBKLOPUJÍ

Povrch S2 obklopuje povrch S1

Povrch S1 musí být vypuklý

 ︶

1 1 ε2

S1S2

  



povrchy, které se obklopují

4

︵  12

1 ε1

 12 

12 [‐] je součinitel vzájemné emisivity pro

4

0

T2



T1 1

2

σ S1

Q1

  Pro tepelný tok zářením mezi povrchy, které se obklopují platí:

  

1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 . . . 250

ZÁŘENÍ MALÉHO POVRCHU VE VELKÉM PROSTORU

Povrch S2 obklopuje povrch S1 Povrch S1 by měl být vypuklý

4



1

4

  

T2

 ︵

1



  

1 4 1 ε 2 T1

2

 

σ

Q1

Pro tepelný tok zářením malého povrchu ve velkém prostoru platí:

 ︶

1



 ︵ 12 

S1S2 S 0

1 ε 1 ε1

S1 << S2

 12 

0

T2

2



4

 

T1

σ S1

Q1

Pro tepelný tok zářením mezi povrchy, které se obklopují platí:

 ︶

1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

80

2.5.2012

SKLENÍKOVÝ EFEKT Skleníkový efekt vzniká i u jiných materiálů. Známé jsou skleníkové plyny (H2O, CO2, N2O, O3 …) způsobující skleníkový efekt v atmosféře E

Záření slunce Záření slunce na povrchu Země

Výklad skleníkového efektu pomocí Planckova zákona

Záření povrchu Země

Sluneční konstanta je 1369 W.m‐2



D 1 Průteplivost atmosféry 0

V atmosféře by mělo být optimální množství skleníkových plynů




1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

TERMOVIZNÍ MĚŘENÍ Termovizní kamery pro bezdotykové měření povrchových teplot objektů na principu tepelného záření. Jenoptik

AMR AHLBORN

VarioCAM bez chlazení


1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

TERMOVIZNÍ MĚŘENÍ Termovizní měření v teplárenství umožní identifikovat podzemní uložení rozvodů tepla, vadná místa s únikem teplé tekutiny a vadná místa tepelné izolace

Identifikace uložení rozvodů tepla pod vozovkou

Identifikace vadné tepelné izolace rozvodů tepla


1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

81

2.5.2012

KOMBINACE ZPŮSOBŮ PŘENOSU TEPLA

1 . . . 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

82

KONTAKT VYBRANÉ KAPITOLY Z TERMOMECHANIKY ZAJÍMAVÉ ŘEŠENÉ APLIKACE. doc. Ing. Josef ŠTETINA, Ph.D

Recommend Documents