Kvantov mechanika { cvien Ladislav Hlavat September 29, 2003 Napi te rozdlovac funkci Gaussova pravdpodobnostnho rozdlen. Interpretujte vznam jejch parametr. Vypotejte jeho momenty. Napi te vzorec pro Z1 I (n a b) := xne;ax2 +bxdx n 2 Z a b 2 C Re a > 0: Cvi en 1
;1
(Zapamatujte si jej pro n=0,1,2!) Jak je hustota pravdpodobnosti nalezen klasickho jednorozmrnho osciltoru s energi E v intervalu (x x + dx) ? Co potebujeme znt, chceme-li tento pravdpodobnostn vrok zmnit v deterministickou pedpov? Cvi en 2
Popi te jednorozmrn harmonick osciltor Hamiltonovskou formulac klasick mechaniky. Napi te a vye te pohybov rovnice. Napi te rovnici pro fzov trajektorie. Hodnotou jak fyzikln veliiny jsou ureny? Cvi en 3
Spotte charakteristickou dobu ivota elektronu v atomu vodku pokud jej povaujeme za klasickou stici pohybujc se po kruhov drze o (Bohrov) polomru a 10;10 m. (viz skripta toll, Tolar Teoretick fyzika, pklad 9.52) Cvi en 4
Nech statistick rozdlovac funkce stav klasickho mechanickho osciltoru je dna Gibbsovou formul Cvi en 5
P = a e; kTE : Spotte stedn hodnotu energie. Jakou vlnovou dlku m elektromagnetick zen, jeho zdrojem je elektron { pozitronov anihilace Cvi en 6
e+ + e; ! +
v klidu? 1
Urete vlnovou dlku a frekvenci de Broglieovy vlny pro molekulu kyslku ve vzduchu va eho pokoje a pro stici o hmotnosti 10 g pohybujc se rychlost zvuku. Cvi en 7
Podle de Broglieovy hypotzy urete ohyb zpsoben prletem tenisovho mku (m = 0:1 kg) rychlost 0,5 m/s obdlnkovitm otvorem ve zdi o rozmrech 1 1:5 m. Cvi en 8
Na jakou rychlost je teba urychlit elektrony aby bylo mono pozorovat jejich difrakci na krystalov mi s charakteristickou vzdlenost atom 0.1 nm?
Cvi en 9
Nech V (~x) = 0 (voln stice). Pomoc Fourierovy transformace urete e en Schr dingerovy rovnice, kter v ase t0 m tvar Cvi en 10
~ x] (~x t0) = g(~x) = C exp ;Ax2 + B~
(1)
kde Re A > 0 B~ 2 C3 C 2 C. Nech (x y z t) je e enm Schr dingerovy rovnice pro volnou stici. Ukate, e Cvi en 11
3 2 ~(x y z t) := exp ;i Mg h (zt + gt =6)] (x y z + gt =2 t)
je e enm Schr dingerovy rovnice pro stici v homogennm poli se zrychlenm g. Cvi en 12
vlnou
emu je mrn pravdpodobnost nalezen stice popsan de Broglieovou
p~E (~x t) = Ae hi (p~~x;Et) v oblasti (x1 x2) (y1 y2 ) (z1 z2 ) ? Cvi en 13
(2)
emu je mrn hustota pravdpodobnosti pro e en ~ x;B~ =(2A)]2 ~2 (~x t) = C(t);3=2 e B4A e;A (t) h (t ; t ) (t) = 1 + 2iA 0 m
(3)
z pkladu 10 pro A > 0? Jak se mn poloha jejho maxima s asem? emu je rovna jej stedn kvadratick odchylka? Jak se mn s asem? Za jak dlouho se zdvojnsob " ka" vlnovho balku pro elektron lokalisovan s pesnost 1 cm a pro hmotn bod o hmot 1 gram jeho ti t je lokalisovno s pesnost 10;6 m?
2
Jak je pravdpodobnost nalezen elektronu vodkovho obalu ve vzdlenosti (r r + dr ) od jdra, je-li popsn (v ase t0 ) funkc p2 2 2 Cvi en 14
g(x y z) = Ae;
x +y +z =a0
kde a0 = 0:53 10;8 cm je tzv. Bohrv polomr? Naleznte vlastn hodnoty energie kvantov stice pohybujc se v jednorozmrn konstantn "nekonen hlubok potencilov jm" t.j. v potencilu V (x) = 0 pro jxj < a a V (x) = 1 pro jxj > a. Nvod: Pedpokldejte, e vlnov funkce jsou v ude spojit a nulov pro jxj a. Cvi en 15
Naleznte vlastn hodnoty energie kvantov stice pohybujc se v jednorozmrn konstantn potencilov jm t.j. v potencilu V (x) = ;V0 < 0 pro jxj < a a V (x) = 0 pro jxj > a. Nvod: Pedpokldejte, e vlnov funkce jsou spojit a maj spojit derivace pro x 2 R. Cvi en 16
Cvi en 17
matice
Cvi en 18
Najdte ortonormln basi v C2 , jej prvky jsou vlastnmi vektory !
1 :=
0
1
1
0
Ukate, e Hermitovy polynomy lze de!novat t zpsobem
d )ne;z2 Hn(z) := (;)nez2 ( dz
(4)
Nvod: Ukate e prav strana (4) spl#uje rovnici
u" = 2zu0 ; 2nu
Cvi en 19
Ukate, e
1 Hn(x) X n=0
Cvi en 20
(5)
n 2 2 n! = exp x ; (x ; ) ]
Pouitm vytvoujc funkce ze cvien 19 ukate, e Z1 2
;1
Hn(x)Hm (x)e;x dx = 2nn! 1=2 nm :
Ukate, e odtud plyne ortonormalita vlastnch funkc harmonickho osciltoru. Jak je hustota pravdpodobnosti nalezen kvantovho jednorozmrnho osciltoru s energi h !(n + 21 ) v bod x ? Spotejte a nakreslete grafy tto hustoty pro n = 0 1 2 ::: a srovnejte je s hustototu pravdpodobnosti vskytu klasickho osciltoru v danm mst. Cvi en 21
3
Cvi en 22
Spotejte komuttory
Lj Xk ] Lj Pk ] Lj Lk ]
(6)
L^ j := jklX^k P^l
(7)
kde Cvi en 23
a
Ukate, e vzjemn komutuj opertory 21 P^ 2 =m + V (j~xj) L^ 3 L^ z
L^ 2 := L^ 2x + L^ 2y + L^ 2z
Jak vypadaj opertory X^ j P^j L^ j j = 1 souadnicch? Cvi en 24
(8) 2 3
x y z ve sfrickch
"Kvantov tuh tleso" (nap. dvouatomov molekula) s momentem setrvanosti Iz voln rotuje v rovin. Najdte jej mon hodnoty energie. Cvi en 25
S pouitm vzorc pro jednotliv sloky momentu hybnosti ukate, e opertor L^ 2 m ve sfrickch souadnicch tvar Cvi en 26
^2 =
L
;h 2 (
@ 2 + 1 @ (sin @ )] 2 sin @ @ sin @2 1
(9)
Odvote pravdpodobnosti nalezen stice v danm prostorovm hlu pro stavy s p d. Cvi en 27
Napi te v echny vlnov funkce harmonickho osciltoru pro stavy s energiemi 3=2 h! , 5=2 h! a 7=2 h! . Cvi en 28 Cvi en 29
Napi te opertor L^ 2 vyjden pomoc posunovacch opertor L^
Cvi en 30
Posunovac opertory momentu hybnosti psob na kulov funkce
a L^ 3 .
zpsobem
Spotejte koe!cienty lm
Ylm1 L^ Ylm = lm
(10)
Krean a anihilan opertory psob na vlastn funkce opertoru energie harmonickho osciltoru zpsobem Cvi en 31
Spotejte koe!cienty n.
a^n = nn1
4
(11)
Ukate, e pro krean a anihilan opertory energie harmonickho osciltoru plat Cvi en 32
a^+a^; n = n n
Spotte stedn hodnoty sloek hybnosti kvantov stice v Coulom2 MQ bov poli s energi ; 2 h2 a nulovm momentem hybnosti (elektron v atomu vodku ve stavu 1s). Cvi en 33
Spotte stedn hodnoty sloek polohy kvantov stice popsan vlnovou funkc (1). Cvi en 34
Cvi en 35 Spotte stedn hodnoty sloek hybnosti kvantov stice popsan vlnovou funkc (1). Napi te tvar vlnov funkce (1) popisujc vlnov balk se stedn hodnotou hybnosti ~p0, kter m v ase t0 stedn hodnotu polohy ~x0 . Cvi en 36
funkc
Urete pravdpodobnost nalezen hybnosti stice popsan vlnovou
(x) = Ce;~x2 +ix1 (12) v intervalu (a1 b1 ) (a2 b2 ) (a3 b3 ). Urete hustotu pravdpodobnosti nalezen hybnosti v okol hodnoty p~0 . Nech "jednorozmrn" stice s hmotou M v potencilu harmonickho osciltoru s vlastn frekvenc ! = h =M je ve stavu popsanm vlnovou funkc 2 Cvi en 37
(x) = Ce;x +ix
(13)
S jakou pravdpodobnost namme hodnoty jej energie rovn 21 h ! resp. h !, 3h 2 !? Nech stice s hmotou M v potencilu harmonickho osciltoru s vlastn frekvenc ! = h =M je ve stavu popsanm vlnovou funkc Cvi en 38
(x) = Ce;~x2 +ix1
(14)
S jakou pravdpodobnost namme hodnoty jej energie rovn 52 h ! ? Cvi en 39
Nech stice je ve stavu popsanm vlnovou funkc
= (4 );1=2(ei sin + cos )g(r)
(15)
Jak hodnoty Lz meme namit a s jakou pravdpodobnost? Jak je stedn hodnota Lz v tomto stavu?
5
Cvi en 40
Nech stice je popsna vlnovou funkc q = (x + y + 2z) exp(; x2 + y2 + z2 )
Jak je pravdpodobnost nalezen stice v prostorovm hlu ( + d) ( + d), kde jsou polrn, respektive azimutln hel? Jak hodnoty kvadrtu momentu hybnosti meme namit? Jak je stedn hodnota z-ov sloky momentu hybnosti? Jak je pravdpodobnost namen z-ov sloky momentu hybnosti Lz = + h? Nvod: zapi te pomoc kulovch funkc. Spotte stedn kvadratick odchylky sloek polohy a hybnosti kvantov stice pi men na stavu popsanm vlnovou funkc (1), kde A > 0. Ukate, e pro tento stav plat Cvi en 41
(
Cvi en 42
Xk ) (Pk ) = h =2
(16)
Ukate, e v jednorozmrnm ppad podmnka
A; < A^ > ;i(B^ ; < B^ > )] = 0
^
pro opertory A^ = X^ B^ e enmi jsou funkce
(17)
P je integrodiferenciln rovnic, jejmi jedinmi
= ^
g(x) = C exp ;Ax2 + Bx]
kter jsme nazvali minimln vlnov balky.
Nech Hamiltonin kvantovho systmu m ist bodov spektrum. Na systmu byla namena hodnota a pozorovateln A, kter m ist bodov spektrum a a je nedegenerovan vlastn hodnota. Jak je pravdpodobnost, e namme stejnou hodnotu, budeme-li men opakovat po ase t? Cvi en 43
Nech stice hmoty M v jednorozmrn nekonen hlubok potencilov jm ky 2a je v ase t = 0 popsna vlnovou funkc, (kter je superposic stacionrnch stav) Cvi en 44
(x
0) = 0
pro
jxj > a (x
0) =
sin 2 a (x ; a)] + sin a (x ; a)]
pro
jxj < a:
2 Jak je pravdpodobnost, e stice se v ase t = 0 a t = 8Ma h bude nachzet v intervalu (-a,0)?
Nech jednorozmrn stice v poli harmonickho osciltoru je v ase t = 0 ve stavu Cvi en 45
(x
0) =
A0 + B1
kde A B 2 R n vlastn stavy energie normalizovan k 1. V jakm stavu je v libovolnm ase t > 0? 6
Ukate jak zvis na ase stedn kvadratick odchylka souadnice jednorozmrnho harmonickho osciltoru. Cvi en 46 Cvi en 47
Naleznte opertor rychlosti pro stici v elektromagnetickm poli.
Cvi en 48
Ukate, e vlastn sla opertoru ~^ B~ jsou 0 jB~ j. Najdte vlastn
Cvi en 49
Ukate e S^~
funkce.
2
=
3 h 2 1. 4
2
Porovnejte tento vsledek s L~^ .
Cvi en 50 Nech pro volnou stici se spinem je namena hodnota z{ov sloky spinu sz =h =2. Jestlie vzpt mme hodnotu spinu ve smru, kter se z{ovou
osou svr hel , jak meme namit hodnoty a s jakou pravdpodobnost?
Uvaujte systm (tzv. supersymetrick harmonick osciltor) popsan na Hilbertovu prostoru L2 (R dx) C 2 hamiltoninem Cvi en 51
2 2 ! 2 1+ h H^ = ; 2h m 1 + m! x 1 3 : 2 2
Dle je dn opertor
Q^ = 2p1m 1 (P^ + i!m 3X^ ):
Naleznte Q^ y, Q^ 2 , H^ Q^ ] a vsledky vyjdete pomoc opertor H^ , Q^ . Jak omezen lze vyvodit z tchto relac na spektrum hamiltoninu ( tj. zda je shora i zdola omezen a m )? ( Posta uvaovat bodovou st spektra. ) stice se spinem h =2 je umstna v konstantnm magnetickm poli smujcmm ve smru osy x. V ase t = 0 byla namena hodnota jej z-ov sloky spinu + h=2. S jakou pravdpodobnost nalezneme v libovolnm dal m ase hodnotu jej y-ov sloky spinu + h=2? Cvi en 52
Cvi en 53
Ukate, e pokud vraz exp i~a ~ ] de!nujeme pomoc ady 1 n X exp i~ a ~ ] := (i~a ~ ) n=0
pak plat
n!
i~a ~ ] = cos(j~aj) + i~aj~a j~ sin(j~aj)
exp
(18)
(19)
Napi te vlnovou funkci (~x ) zkladnho stavu stice v poli Coulombova potencilu s hodnotou z{ov, resp. x{ov, resp. y{ov sloky spinu rovn h =2. Cvi en 54
7
Najdte energie a vlastn funkce zkladnho a prvnho excitovanho stavu dvou nerozli itelnch stic se spinem 0, respektive 12 v poli harmonickho osciltoru. Cvi en 55
Atom uhlku m tyi valenn elektrony (pesvdte se). Meme na nj tedy nahlet jako na systm ty elektron ve sfricky symetrickm poli. Jak je pak degenerace jeho zkladnho stavu? Cvi en 56
Cvi en 57
helia.
Najdte v 1. du poruchov teorie energii zkladnho stavu atomu
8
