Computeralgebra. procedure GGD(a, b) c a ;d b ; while d 0 do { r rem(c, d); c d; d r; } g c; return(g) end

p−1 p−1 , . . . , −1, 0, 1, . . . , } 2 2

Het is duidelijk dat dit enkel zin heeft voor p > 2. De functie Φp : Z 7→ Zp laten we in het vervolg overeenstemmen met de bovenvermelde implementatie van mods(a,p). Merk op dat deze functie mods(a,p) beschikbaar is in Maple.

4.9.2

p−adische voorstelling van gehele getallen

We merken op dat voor een gegeven priemgetal p(> 2), en een gegeven u ∈ Z, er een (n + 1)−tal (u0 , . . . , un ) ∈ Zp n+1 kan gevonden worden, z´o dat u = u 0 + u 1 p + u 2 p2 + . . . + u n pn met pn+1 > 2|u|. Een aantal van die ui kunnen 0 zijn, we zullen aannemen dat un 6= 0. Deze voorstelling wordt de p−adische voorstelling van u genoemd Gelet op de hierboven gemaakte afspraken is duidelijk dat u0 = Φp (u).

(4.45)

175

4.9. TOEPASSING II Beschouwen we

u − u0 = u1 + u2 p + . . . + un pn−1 p

dan volgt daaruit dat u1 = Φp

u − u0 p

!

Op die manier hebben ui = Φp

u − [u0 + u1 p + . . . + ui−1 pi−1 ] , i = 1, . . . , n pi !

(4.46)

Merk op dat in (4.46) alle bewerkingen uitgevoerd worden in Z, en dat pas dan de functie Φp wordt toegepast. De volgende Maple-functies geven een implementatie van deze definitie (comp492.mws): >

restart;

4.9.2 p-adische voorstelling van gehele getallen Voor een gegeven priemgetal p en een gegeven geheel getal u kunnen we een lijst [ u0 , u1 , ... , un ] van n + 1 elementen over Zp vinden zodanig dat u = u0 + u1 p + u2 p2 + ... + un pn met un 6= 0. Het natuurlijke getal n wordt bepaald door de voorwaarde 2 |u| < p(n+1) . In Maple kunnen we de p-adische voorstelling van een geheel getal bepalen door gebruik te maken van de onderstaande procedure p adic : > p_adic := proc(u,p) > # door S.Van Wonterghem (1998) > local a,u0,teller,n,i,v; > teller := 0; n := 1; > while teller=0 do > if p^(n+1)<=2*abs(u) then teller := 0; > else teller := 1; > fi; > n := n+1; > od; > a := vector(n); > a[1] := mods(u,p); > v||1 := u; > for i from 2 to n do > v||i := (v||(i-1)-a[i-1])/p; > a[i] := mods(v||i,p); > od;

176 > >

HOOFDSTUK 4. ALGEBRA VAN POLYNOMEN evalm(a); end:

Voorbeeld : > p_adic(-272300,97); [−21, 6, −29] Controle : > -21+6*97-29*97^2; −272300

4.9.3

p−adische voorstelling van gehele polynomen

We kunnen nu de voorgaande definitie uitbreiden voor polynomen uit Z[x], en u(x) ∈ Z[x] voorstellen als u(x) = u0 (x) + u1 (x)p + u2 (x)p2 + . . . + un (x)pn

(4.47)

met ui (x) ∈ Zp [x] Op dezelfde manier als hiervoor hebben we u0 (x) = Φp (u(x)) u1(x) = Φp ui (x) = Φp

u(x) − u0 (x) p

!

u(x) − [u0 (x) + u1 (x)p + . . . + ui−1 (x)pi−1 , i = 1, . . . , n pi !

In Maple (comp493.mws): > restart;

4.9.3 p-adische voorstelling van gehele polynomen Voor een gegeven priemgetal p en een gegeven polynoom u(x) uit Z[x] kunnen we een lijst [ u0 (x), u1 (x), ... , un (x)] van n + 1 elementen over Zp [x] vinden zodanig dat u(x) = u0 (x) + u1 (x) p + u2 (x) p2 + ... + un (x) pn . Het natuurlijke getal n P u(x)−(

n−1

u (x) pi )

i i=0 . In Maple kunnen wordt bepaald door de voorwaarde un (x) = pn we de p-adische voorstelling van een polynoom bepalen door gebruik te maken van de onderstaande procedure p adic poly :

177

4.9. TOEPASSING II >

p_adic_poly := proc(u,p)

>

# door S.Van Wonterghem (1998)

>

local v,a,i,b,j;

>

v||1 := u;

>

a||1 := mods(u,p);

>

i := 1;

>

while testeq(v||i,mods(v||i,p))=false do

>

i := i+1;

>

v||i := (v||(i-1)-a||(i-1))/p;

>

a||i := mods(v||i,p);

>

od;

>

b := vector(i);

>

for j from 1 to i do

>

b[j] := a||j;

>

od;

>

evalm(b);

>

end:

Voorbeeld : >

u := 14*x^2-11*x-15; u := 14 x2 − 11 x − 15

>

p_adic_poly(u,5); [−x2 − x, −2 x2 − 2 x + 2, x2 − 1]

Controle : >

(-x^2-x)+(-2*x^2-2*x+2)*5+(x^2-1)*5^2; 14 x2 − 11 x − 15

Uit (4.47) volgt nu u(x) ≡ u0 (x) (modp) en u(x) ≡ [u0 (x) + u1 (x)p + u2 (x)p2 + . . . + uk−1(x)pk−1 ] (modpk )

178

4.9.4

HOOFDSTUK 4. ALGEBRA VAN POLYNOMEN

Definitie

Voor gegeven a(x) ∈ Z[x], als b(x) ∈ Z[x] z´o dat a(x) ≡ b(x) (modpk ) noemen we b(x) de p−adische benadering van a(x) van de k-de orde. a(x) − b(x) ∈ Z[x] noemen we de fout op de benadering van a(x) door b(x).

4.9.5

Hensel Lemma

Voor een gegeven a(x) ∈ Z[x] stellen we dat er factoren u0 (x), w0 (x) ∈ Zp [x] gevonden zijn z´o dat a(x) = u0 (x)w0 (x) (modp) en we wensen deze factoren u0 (x), w0 (x) uit het beelddomein Zp [x] van Φp te liften naar factoren u(x), w(x) ∈ Z[x] z´o dat a(x) = u(x)w(x) Stel dat u(x) = u0 (x) + u1 (x)p + u2 (x)p2 + . . . + un (x)pn w(x) = w0 (x) + w1 (x)p + w2 (x)p2 + . . . + wn (x)pn

(4.48)

waarbij n groot genoeg is, z´o dat 1 n+1 p > ai , uj,k , wj,k 2 d.i. 12 pn+1 is een bovengrens voor al de co¨effici¨enten in de polynomen a(x), uj (x), wj (x). We wensen nu de p−adische co¨effici¨enten ui (x), wi(x) ∈ Zp [x] te bepalen voor i = 1, 2, . . . n. De p−adische benaderingen van de orde k voor u(x) en w(x) zullen we noteren als u(k) en w (k) resp. Dit zijn de eerste k termen uit (4.48). We zoeken nu naar de aanvullende termen uk (x), wk (x) Gelet op de uitdrukkingen (4.48) hebben we a(x) − u(k) w (k) = 0 (modpk )

179

4.9. TOEPASSING II

Derhalve is u(k) w (k) de p-adische benadering voor a(x) van de orde k, en is a(x) − u(k) w (k) deelbaar door pk . (u(k) + uk (x)pk )(w (k) + wk (x)pk ) is de p-adische benadering van a(x) van de orde k + 1. Derhalve hebben we a(x) − (u(k) + uk (x)pk )(w (k) + wk (x)pk ) ≡ 0 (modpk+1) (k) (k) (k) k (k) k a(x) − (u w + uk (x)w p + wk (x)u p ) ≡ 0 (modpk+1) (wk (x)u(k) + uk (x)w (k) )pk ≡ a(x) − u(k) w (k) (modpk+1) Aangezien a(x) − u(k) w (k) deelbaar is door pk , volgt daaruit (wk (x)u(k) + uk (x)w (k) ) ≡

a(x) − u(k) w (k) (modp) pk

Laten we nu Φp inwerken op beide leden, dan krijgen we gelet op Φp (w (k) ) = w0 (x) en Φp (u(k) ) = u0 (x) dat we de volgende diofantische polynoom vergelijking moeten oplossen over Zp [x] wk (x)u0 (x) + uk (x)w0 (x) = Φp

a(x) − u(k) w (k) pk

!

Als p priem is, is Zp [x] een Euclidisch domein, derhalve is ook daarvoor stelling (4.2.4) geldig. Als dan u0 (x), w0 (x) ∈ Zp [x] onderling ondeelbaar zijn, kunnen we unieke polynomen σ(x), τ (x) ∈ Zp [x] vinden, zodanig dat σ(x)u0 (x) + τ (x)w0 (x) = Φp

a(x) − u(k) w (k) pk

!

en deg(σ(x)) < deg(w0 (x)) Stellen we dan u(k+1) = u(k) + τ (x)pk , w (k+1) = w (k) + σ(x)pk dan hebben we daar de p−adische benadering van de orde k + 1 voor u(x) en w(x) respectievelijk. Gelet op het feit dat deg(a(x)) = deg(u0 (x)) + deg(w0 (x)) hebben we deg Φp

a(x) − u(k) w (k) pk

!!

< deg(u0 (x)) + deg(w0 (x))

en dus ook deg(τ (x)) < deg(u0 (x)) qed

180

4.9.6

HOOFDSTUK 4. ALGEBRA VAN POLYNOMEN

Stelling

Zij p een priemgetal in Z, en a(x) ∈ Z[x]. Zijn u(1) (x), w (1) (x) ∈ Zp [x] twee onderling ondeelbare polynomen over het veld Zp z´o dat

a(x) ≡ u(1) (x)w (1) (x) (modp)

Dan bestaan er voor elke k ≥ 1 polynomen u(k) (x), w (k) (x) ∈ Zpk [x] z´o dat

a(x) ≡ u(k) (x)w (k) (x) (modpk )

(4.49)

u(k) (x) ≡ u(1) (x) (modp), w (k) (x) ≡ w (1) (x) (modp)

(4.50)

en

Als a(x) ∈ Z[x] monisch is, en u(1) (x), w (1) (x) ∈ Zp [x] onderling ondeelbaar en monisch, dan kunnen ook de bovenvermelde u(k) (x), w (k) (x) ∈ Zpk [x] monisch gekozen worden en zijn die uniek.

4.9.7

Het Hensel Lifting Algoritme

We behandelen hier enkel het algoritme voor monisch polynomen, en verwijzen voor het algemene algoritme naar [8].

4.9. TOEPASSING II

procedure MonicHensel(a, p, u(1), w(1) , B) # INPUT: # (1) Monisch polynoom a(x) ∈ Z[x]. # (2) Een priemgetal p. # (3) u(1) (x), w(1) (x) ∈ Zp [x] z´o dat # a(x) ≡ u(1) (x)w(1) (x) (modp). # (4) Een positief geheel getal B: bovengrens van de absolute waarden # van de co¨effi¨enten van a(x) # en de mogelijke factoren. # OUTPUT: # (1) Indien ze bestaan, u(x), w(x) ∈ Z[x] z´o dat # a(x) = u(x)w(x) ∈ Z[x] # en # u(x) ≡ u(1) (x) (modp), w(x) ≡ w(1) (x) (modp). # (2) Anders: “Geen factorisatie gevonden!”. # 1. UAE_POLY op u(1) (x), w(1) (x) ∈ Zp [x] . s(x), t(x) ← polynomen in Zp [x] z.d. s(x)u(1) (x) + t(x)w(1) (x) ≡ 1 (modp) # 2. Initialisatie voor de iteratie: u(x) ← u(1) ; w(x) ← w(1) ; e(x) ← a(x) − u(x).w(x); modulus ← p; # 3. Iteratie tot de factorisatie gevonden is, # of de bovengrens voor modulus bereikt is. while e(x) 6= 0 and modulus < 2.B do { # 3.1. Los op over Zp [x] : # σ(x)u(1) + τ (x)w(1) (x) ≡ c(x) (modp) # met c(x) = e(x)/modulus c(x) ← e(x)/modulus; σ(x) ← Φp (s(x).c(x)); τ (x) ← Φp (t(x).c(x)); q(x), r(x) ← oplossingen van: σ(x) = w(1) (x)q(x) + r(x) ∈ Zp [x] σ(x) ← r(x); τ (x) ← Φp (τ (x) + q(x)u(1) (x)); # 3.2. Update de factoren en bereken de fout op de benadering u(x) ← u(x) + τ (x).modulus; w(x) ← w(x) + σ(x).modulus; e(x) ← a(x) − u(x).w(x) modulus ← modulus.p } 4. Test de eindstatus: if e(x) = 0 then { return(u(x), w(x)) else return “Geen factorisatie gevonden! }” end

4.9.8

Voorbeeld

We illustreren dit algoritme aan de hand van het volgende voorbeeld:

181

182

HOOFDSTUK 4. ALGEBRA VAN POLYNOMEN

Stel dat we a(x) = x3 + 10x2 − 432x + 5040 ∈ Z[x]

willen factoriseren over Z[x].

Dan kiezen we een priemgetal p, bijvoorbeeld p = 5. We berekenen het polynoom Φ5 (a(x)) = x3 − 2x ∈ Z5 [x] We bepalen nu twee onderling ondeelbare factoren u(1) (x), w (1) (x) ∈ Zp [x] z´o dat a(x) ≡ u(1) (x)w (1) (x) (modp)

We moeten daarbij onderzoeken of Φp (a(x)) kwadraatvrij is over Zp [x], en dan het Berlekamp algoritme toepassen om de factorisatie te verkrijgen. In het voorbeeld hebben we: Φ5 (a(x)) = x(x2 − 2) ∈ Z5 [x] We stellen dan

u(1) (x) = x, w (1) (x) = x2 − 2

Aangezien u(1) (x) en w (1) (x) onderling ondeelbaar zijn en monisch, kunnen we het Hensel-algoritme toepassen. Met behulp van Maple bepalen we in de eerste plaats de polynomen s(x) en t(x) z´o dat s(x)u(1) (x) + t(x)w (1) (x) ≡ 1 (modp). We gebruiken daartoe mods(Gcdex(u1(x),w1(x),x,’s1’,’t1’),p); We vinden (comp498A.mws) > mods(Gcdex(u1(x),w1(x),x,’s1’,’t1’),p); > s(x):= s1; > t(x):=t1; 1

s(x) := −2 x t(x) := 2

We stellen nu:

183

4.9. TOEPASSING II > > >

u(x):=u1(x); w(x):=w1(x); e(x):=collect(a(x)-u(x)*w(x),x); u(x) := x

w(x) := x2 − 2 e(x) := 10 x2 − 430 x + 5040 We starten nu de iteratie-lus uit het algoritme, die in de Maple-sessie overeenstemt met de “executie-groep” 1-3. We vatten de resultaten samen in de volgende tabel: stap referentie modulus 0 1 2 3

− 5 25 125

stap1 stap2 stap3

σ(x) − x−1 −x + 2 1

τ (x) − 1 1 0

u(x)

w(x)

e(x)

x x+5 x + 30 x + 30

x2 − 2 x2 + 5x − 7 x2 − 20x + 43 x2 − 20x + 168

10x2 − 430x + 5040 −450x + 5075 125x + 3750 0

Merk op dat aan het einde van iedere stap k e(x) deelbaar is door de modulus = 5k+1, zoals vereist wordt bij het begin van de volgende iteratiestap. De bovenstaande iteratie stopt met u(x) = x + 30 en w(x) = x2 − 20x + 168. Derhalve hebben we de factorisatie: x3 + 10x2 − 432x + 5040 = (x + 30)(x2 − 20x + 168) Maple-sessie comp498.mws:

Hensel Lifting Lemma

Voorbeeld 4.9.8

>

restart;

184

HOOFDSTUK 4. ALGEBRA VAN POLYNOMEN

1. manueel uitvoeren van het Hensel Lifting Algoritme Merk op dat we hierna mods zullen gebruiken i.p.v. modp! > modp(11, 7); 4 > mods(11,7); −3 > a(x):=x^3+10*x^2-432*x+5040; p:=5;

>

>

a(x) := x3 + 10 x2 − 432 x + 5040 p := 5 mods(Berlekamp(mods(a(x),p),x),p); u1(x):=x; w1(x):=x^2-2;

{x, x2 − 2} u1(x) := x

w1(x) := x2 − 2 OPGELET! u1(x) staat hier voor u(1)(x) en dus voor u 0(x) analoog staat w1(x) voor w(1)(x) en dus voor w 0(x)

> > >

mods(Gcdex(u1(x),w1(x),x,’s1’,’t1’),p); s(x):= s1; t(x):=t1; 1 s(x) := −2 x t(x) := 2

> > >

u(x):=u1(x); w(x):=w1(x); e(x):=collect(a(x)-u(x)*w(x),x); u(x) := x w(x) := x2 − 2

>

modulus:=p;

e(x) := 5040 + 10 x2 − 430 x modulus := 5

185

4.9. TOEPASSING II We voeren nu de volgende ¨executiegroep¨ uit tot e(x)=0 wordt. Stap 1 > c(x):=e(x)/modulus: > sigma(x):=mods(collect(s(x)*c(x),x),p): > tau(x):=mods(collect(t(x)*c(x),x),p): > q(x):=mods(quo(sigma(x),w1(x),x),p): > r(x):=mods(rem(sigma(x),w1(x),x),p): > sigma(x):=r(x); > tau(x):=mods(collect(tau(x)+q(x)*u1(x),x),p); > u(x):=collect(u(x)+tau(x)*modulus,x); > w(x):=collect(w(x)+sigma(x)*modulus,x); > e(x):=collect(a(x)-u(x)*w(x),x); > modulus:=modulus*p; σ(x) := x − 1 τ (x) := 1

u(x) := x + 5 w(x) := x2 − 7 + 5 x

e(x) := 5075 − 450 x modulus := 25

Merk op dat het volstaat om in een Maple sessie terug te keren naar bovenstaande

executiegroep en deze terug uit te voeren.

We hebben deze executiegroep hieronder gecopieerd voor de duidelijkheid, omdat anders de output overschreven wordt met de nieuwe output.

Stap 2 > c(x):=e(x)/modulus: > sigma(x):=mods(collect(s(x)*c(x),x),p): > tau(x):=mods(collect(t(x)*c(x),x),p): > q(x):=mods(quo(sigma(x),w1(x),x),p): > r(x):=mods(rem(sigma(x),w1(x),x),p): > sigma(x):=r(x); > tau(x):=mods(collect(tau(x)+q(x)*u1(x),x),p);

186 > > > >

HOOFDSTUK 4. ALGEBRA VAN POLYNOMEN u(x):=collect(u(x)+tau(x)*modulus,x); w(x):=collect(w(x)+sigma(x)*modulus,x); e(x):=collect(a(x)-u(x)*w(x),x); modulus:=modulus*p; σ(x) := −x + 2 τ (x) := 1

u(x) := x + 30 w(x) := x2 + 43 − 20 x e(x) := 3750 + 125 x modulus := 125

Stap 3 > c(x):=e(x)/modulus: > sigma(x):=mods(collect(s(x)*c(x),x),p): > tau(x):=mods(collect(t(x)*c(x),x),p): > q(x):=mods(quo(sigma(x),w1(x),x),p): > r(x):=mods(rem(sigma(x),w1(x),x),p): > sigma(x):=r(x); > tau(x):=mods(collect(tau(x)+q(x)*u1(x),x),p); > u(x):=collect(u(x)+tau(x)*modulus,x); > w(x):=collect(w(x)+sigma(x)*modulus,x); > e(x):=collect(a(x)-u(x)*w(x),x); > modulus:=modulus*p; σ(x) := 1 τ (x) := 0 u(x) := x + 30 w(x) := x2 + 168 − 20 x e(x) := 0 modulus := 625

We vinden e(x)=0, waaruit we mogen besluiten dat de ontbinding van a(x) gevonden is. We kunnen dit testen: > testeq(a(x),collect(u(x)*w(x),x)); true

4.9. TOEPASSING II

187

2. Het Hensel Lifting Algoritme aan de hand van de procedure MonicHensel > MonicHensel := proc(a,p,x,u1,w1,B) > # door S.Van Wonterghem (1998) > local >

s,t,S,T,u,w,e,modulus,c,sigma_,tau_,q,Q,r,R,sigma,tau,i,j,k,H,Hmod,Hta

>

u,Hsigma,Hu,Hw,He; Gcdex(u1,w1,x,’s’,’t’) mod p; S := mods(s,p); T := mods(t,p); i := 1; u := u1; Hu||i := u; w := w1; Hw||i := w; e := sort(expand(a-u*w),x); He||i := e; modulus := p; while (e<>0) and (modulus<2*B) do i := i+1; c := e/modulus; sigma_ := mods(expand(S*c),p); tau_ := mods(expand(T*c),p); q := Quo(sigma_,w1,x) mod p; Q := mods(q,p); r := Rem(sigma_,w1,x) mod p; R := mods(r,p); sigma := R; Hsigma||i := sigma; tau := mods(expand(tau_+Q*u1),p); Htau||i := tau; u := sort(expand(u+tau*modulus),x); Hu||i := u; w := sort(expand(w+sigma*modulus),x); Hw||i := w; e := sort(expand(a-u*w),x); He||i := e; modulus := modulus*p; Hmod||i := modulus/p; od; if testeq(e,0) then H := array(1..i+1,1..6); for j from 1 to i+1 do for k from 1 to 6 do H[j,k] := ‘_‘; od; od; for j from 1 to i do if j<>1 then

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >

188

HOOFDSTUK 4. ALGEBRA VAN POLYNOMEN H[j+1,1] := Hmod||j; H[j+1,2] := Htau||j; H[j+1,3] := Hsigma||j; fi; H[j+1,4] := Hu||j; H[j+1,5] := Hw||j; H[j+1,6] := He||j; od; H[1,1] := ’modulus’; H[1,2] := ’tau’; H[1,3] :=’sigma’; H[1,4] := ’u’; H[1,5] := ’w’; H[1,6] := ’e’; evalm(H); else RETURN(‘Geen factorisatie mogelijk ¡); fi; end:

> > > > > > > > > > > > > >

Voorbeeld : Factoriseer het polynoom a(x) = x3 + 10 x2 − 432 x + 5040 over Z[x] en kies als priemgetal p = 5. > a := x^3+10*x^2-432*x+5040; a := x3 + 10 x2 − 432 x + 5040 > mods(a,5); x3 − 2 x > factor(%);

x (x2 − 2)

>

p:=5;

>

p := 5 mods(Berlekamp(mods(a,p),x),p); {x, x2 − 2}

>

u1 := x; w1 := x^2-2;

>

u1 := x w1 := x2 − 2 MonicHensel(a,5,x,u1,w1,5^100);        

modulus τ 5 25 125

σ

u w e x x2 − 2 10 x2 − 430 x + 5040 1 x−1 x+5 x2 + 5 x − 7 −450 x + 5075 2 1 −x + 2 x + 30 x − 20 x + 43 125 x + 3750 0 1 x + 30 x2 − 20 x + 168 0

       

189

4.9. TOEPASSING II Controle : > expand((x+30)*(x^2-20*x+168)); x3 + 10 x2 − 432 x + 5040

Extra Voorbeeld : Factoriseer de veelterm b(x) = x3 + 1190 x2 − 30508 x + 3325 over Z[x] en ga zelf op zoek naar een geschikt priemgetal p. > b := x^3+1190*x^2-30508*x+3325; b := x3 + 1190 x2 − 30508 x + 3325 Veronderstel p = 2 : > mods(b,2); x3 + 1 >

factor(%); (x + 1) (x2 − x + 1)

>

p:=2;

>

p := 2 mods(Berlekamp(mods(b,p),x),p);

>

>

{x + 1, x2 + x + 1} u1 := x+1; w1 := x^2+x+1; u1 := x + 1 w1 := x2 + x + 1 MonicHensel(b,2,x,u1,w1,2^50); Geen factorisatie mogelijk !

Veronderstel p = 3 : > mods(b,3); >

> >

factor(%);

x3 − x2 − x + 1 (x + 1) (x − 1)2

p:=3; mods(Berlekamp(mods(b,p),x),p); p := 3

Error, (in mod/Berlekamp) input must be square free

190

HOOFDSTUK 4. ALGEBRA VAN POLYNOMEN

>

>

u1 := (x+1); w1 := (x-1)^2; u1 := x + 1 w1 := (x − 1)2 MonicHensel(b,3,x,u1,w1,3^50); Geen factorisatie mogelijk !

Veronderstel p = 5 : > mods(b,5); x3 + 2 x >

factor(%); x (x2 + 2)

         

>

u1 := x; w1 := x^2+2;

>

u1 := x w1 := x2 + 2 MonicHensel(b,5,x,u1,w1,5^20);

modulus 5 25 125 625

τ

σ

u w e x x2 + 2 1190 x2 − 30510 x + 3325 0 −2 x − 2 x x2 − 10 x − 8 1200 x2 − 30500 x + 3325 2 −1 −x x − 25 x − 35 x − 8 1250 x2 − 31375 x + 3125 0 −1 x − 25 x2 − 35 x − 133 1250 x2 − 31250 x 2 0 2x x − 25 x + 1215 x − 133 0

         

Controle : > expand((x-25)*(x^2+1215*x-133)); x3 + 1190 x2 − 30508 x + 3325 Opmerking :

De mogelijkheden voor p zijn niet talrijk. Behalve p = 5 is voor p < 100 enkel p = 19 mogelijk ! Bovendien kan men in dit geval de veelterm b(x) schrijven als een product van drie factoren en enkel de eerste combinatie levert een factorisatie op !

Veronderstel p = 19 : > mods(b,19); >

factor(%);

x3 − 7 x2 + 6 x

x (x − 1) (x − 6)

4.9. TOEPASSING II >

>

    

191

u1 := x*(x-1); w1 := (x-6); u1 := x (x − 1) w1 := x − 6 MonicHensel(b,19,x,u1,w1,19^50);

modulus

τ

σ

u w e x (x − 1) x − 6 1197 x2 − 30514 x + 3325 19 7 x − 7 −1 x2 + 132 x − 133 x − 25 1083 x2 − 27075 x 2 361 3x 0 x + 1215 x − 133 x − 25 0 > u1 := x-1; w1 := x*(x-6); u1 := x − 1 w1 := x (x − 6) > MonicHensel(b,19,x,u1,w1,19^50); Geen factorisatie mogelijk ! > u1 := (x-1)*(x-6); w1 := x; u1 := (x − 1) (x − 6) w1 := x > MonicHensel(b,19,x,u1,w1,19^50); Geen factorisatie mogelijk !

    

192

HOOFDSTUK 4. ALGEBRA VAN POLYNOMEN

Hoofdstuk 5 Gr¨ obnerbasis voor polynoom-idealen 5.1

Inleiding

Zij R een ring met eenheidselement, dan wordt een niet-ledige deelverzameling I ⊆ R een ideaal van R genoemd als (i) p, q ∈ I =⇒ p − q ∈ I (ii) p ∈ I, r ∈ R =⇒ rp ∈ I Een eindige verzameling van polynomen over een veld F P = {p1 , . . . , pk } ⊂ F[x1 , . . . , xn ] brengt altijd een ideaal voort: hP i = hp1 , . . . , pk i = {

k X i=1

ai pi : ai ∈ F[x1 , . . . , xn ]}

(Bewijs als oefening) P wordt ook nog een basis voor het ideaal genoemd. Jammer genoeg, geeft dit begrip basis niet veel inzicht in de structuur van het ideaal, in tegenstelling tot het begrip basis uit de theorie van de vectorruimten. Als voorbeeld beschouwen we het volgende probleem. Stel P = {p1 = x3 yz − xz 2 , p2 = xy 2 z − xyz, p3 = x2 y 2 − z 2 } een verzameling van polynomen uit Q[x, y, z]. Dan is hP i = hp1 , p2 , p3 i = {a1 p1 + a2 p2 + a3 p3 : ai ∈ Q[x, y, z]} 193

194

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

We vragen ons nu af of een gegeven q = x2 yz − z 3 een element is van dit ideaal. M.a.w. zoeken we a, b, c ∈ Q[x, y, z] z´o dat q = ap1 + bp2 + cp3 Wanneer we dit proberen op te lossen met de “probeer-en-verwerp” methode zien we dat (−x)p2 = −x2 y 2z + x2 yz zp3 = x2 y 2 z − z 3 zodat

q = (−x)p2 + zp3 In het algemeen is het evenwel een moeilijk probleem om te beslissen of voor een gegeven q en een verzameling van polynomen hpi : i = 1, . . . , ki q ∈ hp1 , . . . , pk i

(5.1)

We merken op dat dit probleem correspondeert met het zero-normaal probleem. D.w.z. dat de vraag uit (5.1) beantwoorden equivalent is met het beslissen of q naar nul kan gereduceerd worden als x3 yz − xz 2 = 0 xy 2 z − xyz = 0 x2 y 2 − z 2 = 0 Deze reductie steunt op een formeel afleidingssyteem waarvan we de basisregels als volgt kunnen neerschrijven.

f =g f = g, g = h f =g f =g 0 f = f , g = g0 f = f 0, g = g0

` ` ` ` ` ` ` `

f =g (f = g axioma’s) f =f g=f f =h f h = gh f +h=g+h f + g = f 0 + g0 f g = f 0g0

Het is gemakkelijk om aan te tonen dat voor een vaste verzameling van polynomen P, ` q1 = q2 ⇐⇒ q1 − q2 ∈ hP i. Het probleem (5.1) is derhalve opgelost als we een zero-normalisatie over F[x1 , . . . , xn ] kunnen uitwerken.

195

5.2. TERM-ORDENING

Het was Buchberger die in 1965 in zijn doctoraatsthesis [2] voor het eerst een algoritme voorstelde om de gevraagde transformatie te realiseren. Daartoe was het nodig om een speciale basis voor het ideaal hP i te construeren, een basis die Gr¨obnerbasis genoemd werd naar de promotor van de thesis. Vandaag vinden we de implementatie van het Buchberger algoritme terug in de meeste computeralgebra systemen. Voor onze voorbeelden zullen we gebruik maken van Maple. Voor meer gespecialiseerde toepassingen verwijzen we naar CoCoA, een ”SpecialPurpose”systeem voor berekeningen in Commutatieve Algebra, dat ontwikkeld is aan de Universiteit van Genua (Itali¨e) en vrij te verkrijgen is via anonymous ftp op de machine lancelot.dima.unige.it onder de directory cocoa.

5.2 5.2.1

Term-ordening Zero-reductie probleem

Voor polynomen in ´e´en variabele, is de zero-reductie eenvoudig op te lossen, gelet op het feit dat F[x] een Euclidisch domein is (voor twee polynomen f, g ∈ F[x]∃q, r ∈ F[x]|f = gq + r) . Stel P = {p1 (x), p2 (x), . . . , pk (x)} en stel dat we voor een gegeven q ∈ F[x] ai (x) ∈ F[x] zoeken z´o dat q(x) := a1 (x)p1 (x) + . . . ak (x)pk (x) dan geeft de Euclidische deling q(x) = a1 (x)p1 (x) + r1 (x) r1 (x) = a2 (x)p2 (x) + r2 (x) ... ... rk−1 (x) = ak (x)pk (x) + rk (x) Dan hebben we q(x) ∈ hP i als rk (x) = 0 Nu is F[x1 , . . . , xn ] echter geen Euclidisch domein, gelukkig is het wel een Noethersideaal-domein, d.w.z.: elk ideaal heeft een eindige basis We zullen nu verder gebruik maken van de notatie F[x]

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

196

waarbij x het geordend n−tal (x1 , x2 , . . . , xn ) voorstelt. We noteren de verzameling van termen over x als Tx = {xi11 . . . xinn : i1 , . . . , in ∈ N}

Merk op dat in deze notatie

x0i = 1 en dat 1 = x01 . . . x0n ∈ Tx

Tx kan opgevat worden als een basis voor F[x], maar dan wel beschouwd als vectorruimte over F. Het is duidelijk dat in het geval van polynomen in meerdere variabelen we een duidelijke afspraak moeten maken inzake de ordeningen van de termen van het polynoom

5.2.2

Definitie: Toelaatbare ordening

Een toelaatbare ordening >T op Tx is een orderelatie op Tx z´o dat

voor alle s, t, u ∈ Tx

(i) ` t ≥T 1; (ii) s >T t ` s u >T t u

Een eenvoudige manier om een dergelijke ordening te realiseren, is het gebruik van een n × n matrix, als n het aantal variabelen is. Stel

     

u1 u2 .. .

     

un een matrix van n rijen ui ∈ R , dan wordt de rangschikking van twee termen n

als volgt bepaald:

t1 ≡ xα1 1 . . . xαnn en t2 ≡ xβ1 1 . . . xβnn

Stel α ≡ (α1 , . . . , αn ) en β ≡ (β1 , . . . , βn ), dan is

t1 > t2 ⇐⇒ (α.u1 , . . . , α.un ) >t (β.u1, . . . , β.un )

Waarbij >t de ordening op Rn gegeven wordt door

(a1 , . . . , an ) >t (b1 , . . . , bn ) ⇐⇒ de meest linkse niet-nul component van (a1 − b1 , . . . , an − bn ) is positief Merk op dat >t een termordening zal definieren a.s.a. de eerste van nul verschillende elementen uit de kolommen van de defini¨erende matrix positief zijn.

197

5.2. TERM-ORDENING

5.2.3

Definitie: Lexicografische ordening : >L (plex).

Dit is de klassieke ordening waarop het rangschikken van woorden in een woordenboek gebaseerd is. Met de voorgaande definitie en de variabelen x, y, z, gebruiken we daarbij de volgende matrix 



1 0 0    0 1 0  0 0 1 Daarbij gaan we uit van basisordening x>y>z Merk op dat volgens deze definitie het polynoom (x + y)2 + x + y + 1 als volgt zal voorgesteld worden: x2 + 2xy + x + y 2 + y + 1 waarbij de termen gerangschikt zijn in dalende volgorde. In Maple hebben we het volgende (comp523.mws): > restart; Merk op dat het Groebner-pakket niet tot de kern van Maple behoort, en derhalve moet opgeladen worden. Merk ook op dat in een oude versie van Maple, dit pakket werd opgeroepen met with(grobner). Dit wordt nog steeds ondersteund, maar geeft niet altijd de gewenste resultaten! > with(Groebner); [fglm, gbasis, gsolve, hilbertdim, hilbertpoly, hilbertseries, inter reduce, is finite, is solvable, leadcoeff , leadmon, leadterm, normalf , pretend gbasis, reduce, spoly, termorder, testorder , univpoly] > >

var:=[x,y,z]; ord:=’plex’; var := [x, y, z] ord := plex

198 > >

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN p1:=(x+y)^2+x+y+1; p2:=x^3+3*x^2*y+x*y*z+x*y+3*x*z^2+x+2*y^2*z; p1 := (x + y)2 + x + y + 1

> >

p2 := x3 + 3 x2 y + x y z + x y + 3 x z 2 + x + 2 y 2 z sort(expand(p1),var,ord); sort(expand(p2),var,ord); x2 + 2 x y + x + y 2 + y + 1 x3 + 3 x2 y + x y z + x y + 3 x z 2 + x + 2 y 2 z

Merk op dat we de initiele volgorde van de variabelen kunnen vastleggen: > var:=[z,y,x]; var := [z, y, x] > sort(expand(p1),var,ord); > sort(expand(p2),var,ord); y 2 + 2 y x + y + x2 + x + 1 3 z 2 x + 2 z y 2 + z y x + 3 y x2 + y x + x3 + x

Het is duidelijk dat de bovenstaande voorstelling niet de gebruikelijke voorstelling is. Om die te bekomen beschouwen we de

5.2.4

Definitie: Totale-graad ordening >D (tdeg)

Bij deze ordening laten we de graad van de term primeren boven de lexicografische ordening. Zie voorbeelden in 5.2.7 Beschouw de term t ≡ xα1 1 . . . xαnn , dan defini¨eren we de graad van t als |t| = Σi=1n αi en defini¨eren we   

|s| >D |t| s >D t a.s.a  of  |s| = |t| en s >L t

Voor drie variabelen x, y, z wordt deze ordening gedefinieerd door de volgende matrix: 



1 1 1    1 0 0  0 1 0

199

5.2. TERM-ORDENING In Maple krijgen we (comp524.mws): > restart; Merk op dat het grobner-pakket niet tot de kern van Maple behoort, en derhalve moet opgeladen worden. > with(Groebner);

[fglm, gbasis, gsolve, hilbertdim, hilbertpoly, hilbertseries, inter reduce, is finite, is solvable, leadcoeff , leadmon, leadterm, normalf , pretend gbasis, reduce, spoly, termorder, testorder , univpoly] > >

var:=[x,y,z]; ord:=’tdeg’; var := [x, y, z] ord := tdeg

> >

p1:=(x+y)^2+x+y+1; p2:=x^3+3*x^2*y+x*y*z+x*y+3*x*z^2+x+2*y^2*z; p1 := (x + y)2 + x + y + 1

> >

p2 := x3 + 3 x2 y + x y z + x y + 3 x z 2 + x + 2 y 2 z sort(expand(p1),var,ord); sort(expand(p2),var,ord); x2 + 2 x y + y 2 + x + y + 1 x3 + 3 x2 y + x y z + 3 x z 2 + 2 y 2 z + x y + x

Als we de initiele volgorde van de variabelen omdraaien krijgen we: > var:=[z,y,x]; var := [z, y, x] > sort(expand(p1),var,ord); > sort(expand(p2),var,ord); y 2 + 2 y x + x2 + y + x + 1 3 z 2 x + 2 z y 2 + z y x + 3 y x2 + x3 + y x + x

We merken op dat in Maple 6 nog andere ordeningen (wdeg([w1 , ..., wp ], [v1 , ..., vp ]), lexdeg([v1 , ..., vp ], [w1 , ..., wq ])) beschikbaar zijn, en dat de gebruiker aan de hand van een matrix, willekeurige ordeningen kan invoeren.

5.2.5

Definitie: monoom

Voor het vervolg noemen we een polynoom met slechts ´e´en term een monoom

200

5.2.6

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

Definitie: hoofdmonoom

Het hoofdmonoom van een polynoom p ∈ F[x] is het monoom waarvan de term maximaal is onder de termen van p, voor de beschouwde term-ordening >T . We noteren dit monoom als MT (p), of kortweg M(p) als de term-ordening >T duidelijk is. De corresponderende term noemen we de hoofdterm, en noteren we als hterm(p), de corresponderende co¨effici¨ent noteren we als hcoeff(p). M(p) = hcoeff(p) hterm(p) We nemen aan dat M(0) = 0 1, en dus hcoeff(0) = 0 en hterm(0) = 1. In Maple (comp526): > restart; > with(Groebner); [fglm, gbasis, gsolve, hilbertdim, hilbertpoly, hilbertseries, inter reduce, is finite, is solvable, leadcoeff , leadmon, leadterm, normalf , pretend gbasis, reduce, spoly, termorder, testorder , univpoly] >

var:=[x,y,z];ord:=’plex’; var := [x, y, z] ord := plex

>

tord:=’plex(x,y,z)’; tord := plex(x, y, z) p1:=(x+y)^2+x+y+1;

>

p1 := (x + y)2 + x + y + 1 sort(expand(p1),var,ord);

>

x2 + 2 x y + x + y 2 + y + 1 >

leadmon(p1,tord); 1, x2

> > > > > > >

M:=proc(r) local lmr; lmr := leadmon(r,tord); lmr[1]*lmr[2]; end: p1:=(x+y)^2+x+y+1; p2:=x^3+3*x^2*y+x*y*z+x*y+3*x*z^2+x+2*y^2*z; p1 := (x + y)2 + x + y + 1 p2 := x3 + 3 x2 y + x y z + x y + 3 x z 2 + x + 2 y 2 z

201

5.2. TERM-ORDENING >

M(p1); x2

>

M(p2); x3

>

>

var:=[z,y,x];ord:=’plex’; var := [z, y, x] ord := plex tord:=’plex(z,y,x)’; tord := plex(z, y, x)

>

M(p1); y2

>

M(p2); 3 x z2

>

sort(expand(p1),var,ord);

>

y 2 + 2 y x + y + x2 + x + 1 sort(expand(p2),var,ord);

>

>

>

3 z 2 x + 2 z y 2 + z y x + 3 y x2 + y x + x3 + x var:=[x,y,z];ord:=’tdeg’; var := [x, y, z] ord := tdeg tord:=’tdeg(x,y,z)’; tord := tdeg(x, y, z) M(p1); x2

>

M(p2); x3

>

sort(expand(p1),var,ord);

>

x2 + 2 x y + y 2 + x + y + 1 sort(expand(p2),var,ord); x3 + 3 x2 y + x y z + 3 x z 2 + 2 y 2 z + x y + x

5.2.7

Voorbeelden van ordeningen in Maple

comp527.mws 5.2.7 Voorbeelden van ordeningen van termen in Maple

202

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

We genereren de lijst van alle termen in x,y,z van de graad kleiner of gelijk aan 3.

>

L:=[op(subs(u=1,convert(map(expand,series(1/((1-x*u)*(1-y*u)*(1-z*u))

>

,u,4)),polynom)))];

L := [1, x, y, z, x2 , y x, y 2 , z x, z y, z 2 , x3 , y x2 , y 2 x, y 3 , z x2 , z y x, z y 2, z 2 x, z 2 y, z 3 ] > with(Groebner):

We sorteren nu de lijst volgens verschillende ordeningen in Maple > T:=’plex(x,y,z)’: sort(L,(t1,t2)->testorder(t1,t2,T)); [1, z, z 2 , z 3 , y, z y, z 2 y, y 2 , z y 2 , y 3 , x, z x, z 2 x, y x, z y x, y 2 x, x2 , z x2 , y x2 , x3 ] > T:=’plex(z,y,x)’: >

sort(L,(t1,t2)->testorder(t1,t2,T)); [1, x, x2 , x3 , y, y x, y x2 , y 2, y 2 x, y 3 , z, z x, z x2 , z y, z y x, z y 2 , z 2 , z 2 x, z 2 y, z 3 ] > T:=’tdeg(x,y,z)’: >

sort(L,(t1,t2)->testorder(t1,t2,T)); [1, z, y, x, z 2 , z y, z x, y 2 , y x, x2 , z 3 , z 2 y, z 2 x, z y 2, z y x, z x2 , y 3, y 2 x, y x2 , x3 ] > T:=’tdeg(z,y,x)’: >

sort(L,(t1,t2)->testorder(t1,t2,T)); [1, x, y, z, x2 , y x, z x, y 2, z y, z 2 , x3 , y x2 , z x2 , y 2 x, z y x, z 2 x, y 3, z y 2 , z 2 y, z 3 ] >

We controleren nu de sortering van de termen in de polynomen:

> > > >

var:=[z,y,x]:ord:=’tdeg’: 1 + x + y + z + x^2 + y*x + z*x + y^2 + z*y + z^2 + x^3 + y*x^2 + z*x^2 + y^2*x + z*y*x + z^2*x + y^3 + z*y^2 + z^2*y + z^3: sort(%,var,ord);

z 3 + z 2 y + z 2 x + z y 2 + z y x + z x2 + y 3 + y 2 x + y x2 + x3 + z 2 + z y + z x + y 2 + y x + x2 + z + y + x + 1 > var:=[x,y,z]:ord:=’tdeg’: > sort(%%%,var,ord); x3 + x2 y + x2 z + x y 2 + x y z + x z 2 + y 3 + y 2 z + y z 2 + z 3 + x2 + x y + x z + y 2 + y z + z2 + x + y + z + 1 > var:=[x,y,z]:ord:=’plex’:

203

5.3. REDUCTIE >

sort(%%%,var,ord);

x3 + x2 y + x2 z + x2 + x y 2 + x y z + x y + x z 2 + x z + x + y 3 + y 2 z + y 2 + y z 2 + y z + y + z3 + z2 + z + 1 > var:=[z,y,x]:ord:=’plex’: > sort(%%%,var,ord); z 3 + z 2 y + z 2 x + z 2 + z y 2 + z y x + z y + z x2 + z x + z + y 3 + y 2 x + y 2 + y x2 + y x + y + x3 + x2 + x + 1

5.3

Reductie

Voor p, q ∈ F[x] − {0} zeggen we dat p reduceert modulo q, (met betrekking tot een gekozen term-ordening), als er een monoom in p bestaat dat deelbaar is door hterm(q) Als p = αt + r met α ∈ F − {0}, t ∈ Tx , r ∈ F[x] en t = u ∈ Tx , hterm(q)

dan noteren we p →q p −

α αt q =p− uq = p0 M(q) hcoeff(q)

om aan te geven dat p naar p0 reduceert (modulo q). Als p naar p0 reduceert modulo een q ∈ Q = {q1 , . . . , qm }, zeggen we dat p naar p0 reduceert modulo Q, en we noteren p → Q p0 , anders zeggen we dat p niet reduceerbaar is modulo Q, of dat p irreductibel is modulo Q. We nemen aan dat 0 altijd irreductibel is. Klaarblijkelijk beschrijft deze reductie het aftrekken van een “gepast” veelvoud van een polynoom van een ander, om een “kleiner” polynoom te bekomen. We krijgen hier een soort veralgemeende deling. Om dit te illustreren beschouwen we een voorbeeld van polynomen over Q[x]. Voorbeeld p = 6x4 + 13x3 − 6x + 1, q = 3x2 + 5x − 1 We hebben p →q p − 2x2 q = 3x3 + 2x2 − 6x + 1

204

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

maar we krijgen ook p →q p −

65 5 13 xq = 6x4 − x2 − x + 1 3 3 3

Wanneer we de eerste reductie verder zetten, krijgen we p →q 3x3 + 2x2 − 6x + 1 →q −3x2 − 5x + 1 →q 0 wat tot het besluit leidt dat q|p. Wanneer we de tweede reductie verder zetten, krijgen we 65 2 5 x − x+1 3 3 59 2 5 3 −10x − x − x + 1 3 3 −3x2 − 5x + 1 0

p →q 6x4 − →q

→q →q Voorbeeld Stel

p = 2y 2z − xz 2 , q = 7y 2 + yz − 4, r = 2yz − 3x + 1 en beschouw de ordening >D op T(x,y,z), dan staan de termen daar in afdalende orde. Stel Q = {q, r} We hebben dan 2 2 8 p →q p − zq = −xz 2 − yz 2 + z = p1 7 7 7 3 9 1 2 →r p1 + zr = −xz − xz + z = p2 7 7 7 met p2 niet reduceerbaar moduloQ. p →r p − yr = −xz 2 + 3xy − y = p3 met p3 niet reduceerbaar modulo Q. We hebben dus p →Q p2 en p →Q p3 , maar het resultaat is niet op unieke manier bepaald. We hebben nu de volgende fundamentele eigenschap

205

5.4. STELLING

5.4

Stelling

Voor een gegeven verzameling Q en een ordening >T , bestaat er geen oneindige rij van reducties p0 → Q p1 → Q p2 → Q . . . Bewijs:

We bewijzen dit door inductie op i, het aantal variabelen in p0 . i=0 Als Q een element bevat met hoofdterm 1, hebben we p0 →Q 0, in het ander geval is p0 niet reduceerbaar modulo Q. (Voor het vervolg mogen we aannemen dat hQi = 6 h1i. i=1 Bewijs door inductie op de graad van p0 . graad(p0 ) = 0 (zie hiervoor). Stel dat er geen oneindige rij van reducties bestaat voor een polynoom in F[x1 ] van de graad k − 1 en stel dat p0 ∈ F[x1 ] en deg(p0 ) = k. Bij inductie is er geen oneindige rij van afleidingen op de termen van lagere graad in p0 . Derhalve zou een oneindige rij van reducties op p0 moeten ontstaan uit de term van de graad k, maar een dergelijke reductie verlaagt de graad van de term, zodat ook deze reducties zullen eindigen na een eindig aantal stappen. i=2 Analoog nemen we nu aan dat er geen oneindige reductierijen bestaan voor polynomen uit F[x1 , x2 ] van de graad l − 1 in x2 en beschouwen dan p0 ∈ F[x1 , x2 ] met deg2 (p0 ) = l als element van F[x1 ][x2 ]. (Hiervoor hebben we het geval behandeld waarbij l = 0 was.) De termen in p0 van de graad l in x2 vormen een polynoom van een zekere graad m in x1 , maal xl2 . Als er een oneindige reductierij bestaat, is het een reductie betreffende deze term, aangezien er geen oneindige reductierijen bestaan voor termen met een graad in x2 die kleiner is dan l. Om dezelfde redenen als hiervoor (verlaging van de graad bij reductie), kunnen ook hieruit geen oneindige reductierijen ontstaan. We kunnen dit zo verder uitbreiden voor i = 3, 4, . . .. Merk op dat het bewijs niet afhangt van de term-ordening >T .

qed

Gevolg Gelet op stelling (5.4) kunnen we nu een reductie-algoritme vinden om p →∗Q q te construeren. Om de effici¨entie te verhogen, is het zinvol om de grootste monomen het eerst

206

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

te reduceren, aangezien deze ook de lagere monomen be¨ınvloeden (zie voorgaande voorbeelden). We reduceren derhalve eerst M(p). We voeren de volgende notatie in: Gelet op 0 irreductibel , stellen we R0,Q = { } Voor p 6= 0 stellen we Rp,Q = {q ∈ Q − {0} : hterm(q)|hterm(p)} dit is de verzameling van reducers voor p Daarbij merken we op dat als |Rp,Q | > 1, elke reducer kan gekozen worden. De keuze kan de effici¨entie van het algoritme be¨ınvloeden. De optimale selectie zal ook afhangen van de term-ordening. We noteren een zekere keuze voor de reducer als selectpoly(Rp,Q ) . We kunnen dan het algoritme als volgt beschrijven:

procedure normalf(p, Q) r ← p; q ← 0; while r 6= 0 do { while Rr,Q 6= { } do { f ← selectpoly(Rr,Q ); M(r)f r←r− } M(f ) q ← q + M(r); r ← r − M(r) } return(q) end

5.5

Voorbeeld

Beschouw Q = {p1 , p2 } ⊂ Q[x, y] met p1 = x2 y + 5x2 + y 2, p2 = 7xy 2 − 2y 3 + 1; voor de lexicografische term-ordening (x >L y). q = 3x3 y + 2x2 y 2 − 3xy + 5x,

207

5.5. VOORBEELD Dan hebben we: normalf(q, Q) = q 0 ⇐⇒ q →∗Q q 0 init while1 Rr,Q = {p1 } while2 Rr,Q = { } r 6= 0

r 6= 0

r 6= 0

r ← 3x3 y + 2x2 y 2 − 3xy + 5x q←0 f ← x2 y + 5x2 + y 2 r ← r − 3xf = −15x3 + 2x2 y 2 − 3xy 2 − 3xy + 5x q ← −15x3 r ← 2x2 y 2 − 3xy 2 − 3xy + 5x

Rr,Q = {p1 , p2 } while2 f ← x2 y + 5x2 + y 2 r ← r − 2yf = −10x2 y − 3xy 2 − 3xy + 5x − 2y 3 Rr,Q = {p1 } f ← x2 y + 5x2 + y 2 r ← r + 10f = 50x2 − 3xy 2 − 3xy + 5x − 2y 3 + 10y 2 Rr,Q = { } q ← −15x3 + 50x2 r ← −3xy 2 − 3xy + 5x − 2y 3 + 10y 2 Rr,Q = {p2 } while2 f ← 7xy 2 − 2y 3 + 1 3 20 3 r ← r + f = −3xy + 5x − y 3 + 10y 2 + 7 7 7 Rr,Q = { } q ← −15x3 + 50x2 − 3xy 20 3 r ← 5x − y 3 + 10y 2 + 7 7 Rr,Q = { } q ← −15x3 + 50x2 − 3xy + 5x 20 3 r ← − y 3 + 10y 2 + 7 7

r 6= 0

Rr,Q = { }

r 6= 0

Rr,Q = { }

r 6= 0

Rr,Q = { }

return

20 q ← −15x3 + 50x2 − 3xy + 5x − y 3 7 3 2 r ← +10y + 7 20 q ← −15x3 + 50x2 − 3xy + 5x − y 3 + 10y 2 7 3 r←+ 7 q ← −15x3 + 50x2 − 3xy + 5x −

20 3 3 y + 10y 2 + 7 7

q = −15x3 + 50x2 − 3xy + 5x −

3 20 3 y + 10y 2 + 7 7

r←0

208

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

Het resultaat normalf(q, Q), is de volledig gereduceerde vorm van q modulo Q. Merk op dat in elk polynoom de termen geschreven zijn in dalende orde volgens >L . Voorbeeld 5.5 in Maple (comp55.mws). Merk op dat we de operator M(r) zelf moeten implementeren. Verder maken we gebruik van de operator redu(r,f) om de reductie r-M(r)/M(f)*f uit te voeren. > restart; > with(Groebner); [fglm, gbasis, gsolve, hilbertdim, hilbertpoly, hilbertseries, inter reduce, is finite, is solvable, leadcoeff , leadmon, leadterm, normalf , pretend gbasis, reduce, spoly, termorder, testorder , univpoly] > var:=[x,y]; > ord:=’plex’; var := [x, y] ord := plex > tord:=’plex(x,y)’; tord := plex(x, y) > M:=proc(r) > local lmr; > lmr:=leadmon(r,tord); > lmr[1]*lmr[2]; > end: > redu:=proc(r,f) > sort(expand(r-(M(r)/M(f))*f),var,ord); > end: > p1:=x^2*y+5*x^2+y^2; > p2:=7*x*y^2-2*y^3+1; p1 := x2 y + 5 x2 + y 2 p2 := 7 x y 2 − 2 y 3 + 1

>

Q:=[p1,p2];

>

Q := [x2 y + 5 x2 + y 2 , 7 x y 2 − 2 y 3 + 1] p:=3*x^3*y+2*x^2*y^2-3*x*y+5*x;

>

r:=p;

p := 3 x3 y + 2 x2 y 2 − 3 x y + 5 x

209

5.5. VOORBEELD >

q:=0; r := 3 x3 y + 2 x2 y 2 − 3 x y + 5 x q := 0

R(r,Q):={p1} > f:=p1; f := x2 y + 5 x2 + y 2 >

>

>

r:=redu(r,f); r := −15 x3 + 2 x2 y 2 − 3 x y 2 − 3 x y + 5 x q:=q+M(r);

q := −15 x3

r:=r-M(r);

r := 2 x2 y 2 − 3 x y 2 − 3 x y + 5 x r/=0, R(r,Q)={p1,p2} >

f:=p1; f := x2 y + 5 x2 + y 2

>

>

>

>

r:=redu(r,f); r := −10 x2 y − 3 x y 2 − 3 x y + 5 x − 2 y 3

r:=redu(r,f); r := 50 x2 − 3 x y 2 − 3 x y + 5 x − 2 y 3 + 10 y 2 q:=q+M(r); q := −15 x3 + 50 x2

r:=r-M(r);

r := −3 x y 2 − 3 x y + 5 x − 2 y 3 + 10 y 2 r/=0, R(r,q)={p2} > f:=p2; >

r:=redu(r,f);

f := 7 x y 2 − 2 y 3 + 1 r := −3 x y + 5 x −

> >

3 20 3 y + 10 y 2 + 7 7

q:=q+M(r); r:=r-M(r); q := −15 x3 + 50 x2 − 3 x y 20 3 3 r := 5 x − y + 10 y 2 + 7 7

r/=0,R(r,Q)={} >

q:=q+M(r);

210 >

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN r:=r-M(r); q := −15 x3 + 50 x2 − 3 x y + 5 x 3 20 r := − y 3 + 10 y 2 + 7 7

r/=0,R(r,Q)={}

>

q:=q+M(r);

>

r:=r-M(r); q := −15 x3 + 50 x2 − 3 x y + 5 x − r := 10 y 2 +

20 3 y 7

3 7

r/=0,R(r,Q)={} >

q:=q+M(r);

>

r:=r-M(r); q := −15 x3 + 50 x2 − 3 x y + 5 x − r :=

20 3 y + 10 y 2 7

3 7

r/=0,R(r,Q)={} >

q:=q+M(r);

>

r:=r-M(r); q := −15 x3 + 50 x2 − 3 x y + 5 x −

3 20 3 y + 10 y 2 + 7 7

r := 0 normalf is gemplementeerd in Maple. Ter controle beschouwen we: >

normalf(p,Q,tord); −15 x3 + 50 x2 − 3 x y + 5 x −

3 20 3 y + 10 y 2 + 7 7

Het volgende voorbeeld illustreert een ernstige tekortkoming in het algoritme

211

5.6. VOORBEELD

5.6

Voorbeeld

We beschouwen de graad-ordening (tdeg) op T(x,y,z) en stellen Q = {p1 , p2 , p3 } ⊂ Q[x, y, z] met p1 = x3 yz − xz 2 , p2 = xy 2 z − xyz, p3 = x2 y 2 − z 2 . Verder stellen we q = x2 y 2z − z 3 , r = −x2 y 2 z + x2 yz. Dan is q →p3 x2 y 2z − z 3 − z(x2 y 2 − z 2 ) = 0 analoog is ook r →p2 0 Maar q + r = x2 yz − z 3 is niet reduceerbaar modulo Q. We merken op dat in Maple de problemen kennenlijk nog op een andere manier naar voor komen: Voorbeeld 5.6 in Maple (comp56.mws). > restart; > with(Groebner); > var:=[x,y,z]; [fglm, gbasis, gsolve, hilbertdim, hilbertpoly, hilbertseries, inter reduce, is finite, is solvable, leadcoeff , leadmon, leadterm, normalf , pretend gbasis, reduce, spoly, termorder, testorder , univpoly] var := [x, y, z] >

> > > >

tord:=’tdeg(x,y,z)’; tord := tdeg(x, y, z) p1:=x^3*y*z-x*z^2; p2:=x*y^2*z-x*y*z; p3:=x^2*y^2-z^2; Q:=[p1,p2,p3]: p1 := x3 y z − x z 2

p2 := x y 2 z − x y z > >

p3 := x2 y 2 − z 2

q:=x^2*y^2*z-z^3; r:=-x^2*y^2*z+x^2*y*z;

q := x2 y 2 z − z 3

212

>

>

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

normalf(q,Q,tord);

r := −x2 y 2 z + x2 y z

normalf(r,Q,tord);

−z 3 + x2 y z 0

>

>

normalf(q+r,Q,tord); Q:=[p3,p1,p2];

−z 3 + x2 y z

Q := [x2 y 2 − z 2 , x3 y z − x z 2 , x y 2 z − x y z]

>

normalf(q,Q,tord);

0 >

normalf(r,Q,tord); −z 3 + x2 y z

5.7

Gr¨ obnerbasis

Het is duidelijk dat als p →+ Q 0 dan p ∈ hQi (het reductiealgoritme is getrouw), maar het voorbeeld (5.6) toont aan dat het omgekeerde niet waar is, of m.a.w. dat het reductiealgoritme niet volledig is. We schrijven dit probleem niet toe aan het algoritme zelf, maar aan de keuze van de ideaalbasis Q. Definitie Een ideaalbasis G ⊆ F[x] wordt een Gr¨obnerbasis genoemd (voor een gekozen termordening >T ) als p ∈ hGi ⇐⇒ p →+ G 0 Eigenschap G is een Gr¨obnerbasis wanneer het enige niet reduceerbare polynoom in hGi p = 0 is. Bewijs: Stel dat G een Gr¨obnerbasis is, en p ∈ hGi een niet reduceerbaar polynoom. Dan moet gelet op de definitie van Gr¨obnerbasis toch p →+ G 0 gelden en dus p = 0 zijn. Omgekeerd, stel p ∈ hGi en bereken p →∗G q. Dan is q ∈ hGi en niet verder reduceerbaar. Als 0 het enige niet reduceerbare polynoom van hGi is hebben we dus qed q = 0 en dus p →+ G 0.

213

5.8. VOORBEELD

5.8

Voorbeeld

Beschouw Q = {p1 , p2 , p3 } ⊂ Q[x, y, z] en q en r uit het voorbeeld (5.6). Stellen we G = {p1 , p2 , p3 , x2 yz − z 3 , xz 3 − xz 2 , yz 3 − z 3 , xyz 2 − xz 2 , x2 z 2 − z 4 , z 5 − z 4 } dan is hQi = hGi en hebben we voor de graad-ordening dat q →∗G 0, r →∗G 0, q + r →∗G 0. We hebben evenwel nog geen methode om aan te tonen dat bovenstaande G een Gr¨obnerbasis is.

5.9

Alternatieve karakterisatie van Gro ¨bnerbasis

We hebben reeds gezien dat een gegeven ideaalbasis P niet noodzakelijk een Gr¨obnerbasis is. Het idee achter het Buchberger algoritme is de gegeven basis P aan te vullen met een eindig aantal nieuwe polynomen. Buchbergers’ bijdrage bestond erin aan te tonen dat deze completie slechts een eindig aantal controles van de volgende aard vereist: Definitie Een S-polynoom voor p, q ∈ F[x] is #

"

q p − . spoly(p, q) = KGV(M(p), M(q)) M(p) M(q)

5.10

Voorbeeld

Voor de volgende polynomen p1 , p2 ∈ Q[x, y] p1 = 3x2 y − y 3 − 4, p2 = xy 3 + x2 − 9 en de graad-ordening op T(x,y) hebben we !

p1 p2 − spoly(p1 , p2 ) = 3x y 3x2 y xy 3 2 2 = y (3x y − y 3 − 4) − 3x(xy 3 + x2 − 9) = −y 5 − 3x3 − 4y 2 + 27x 2 3

Voorbeeld 5.10 in Maple (comp510.mws).

(5.2)

214

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

>

restart;

>

with(Groebner):

>

ord:=’tdeg’; ord := tdeg

>

p1:=3*x^2*y-y^3-4;

>

p2:=x*y^3+x^2-9; p1 := 3 x2 y − y 3 − 4

>

p2 := x y 3 + x2 − 9

p:=spoly(p1,p2,tdeg(x,y));

p := term order S −poly ([3 x2 y − y 3 − 4, 3, 3, x2 y, 0], [x y 3 + x2 − 9, 2, 1, x y 3 , 0], y 3 x2 , term order )1 > p; −y 5 − 4 y 2 − 3 x3 + 27 x Merk op dat Maple zich niet bekommert om de ordening van de termen bij het uitschrijven van het resultaat! Om de correcte ordening te zien, moeten we ”sorteren”! >

sort(%,[x,y],ord); −y 5 − 3 x3 − 4 y 2 + 27 x

5.11

Stelling

Alternatieven voor het karakteriseren van een Gr¨obnerbasis. De volgende uitspraken zijn equivalent: (i) G is een Gr¨obnerbasis; (ii) spoly(p, q) →+ G 0 voor alle p, q ∈ G; (iii) Als p →∗G q en p →∗G r dan is q = r. Bewijs Voor het bewijs verwijzen we naar [8].

215

5.12. GEVOLG

5.12

Gevolg

1. G is een Gr¨obnerbasis a.s.a. ∀f, g ∈ G ofwel (1) spoly(f,g) →+ G 0 ofwel (2) ∃h ∈ G, f 6= h 6= g, z´o dat hterm(h)|KGV(hterm(f ), hterm(g)), + spoly(f, h) →+ G 0, spoly(h, g) →G 0. 2. Als G een Gr¨obnerbasis is dan geldt: normalf(p, G) = normalf(q, G) ⇐⇒ p − q ∈ hGi

5.13

Buchberger algoritme

De tweede karakterisatie uit stelling (5.11) geeft ons een manier om een willekeurige ideaalbasis te transformeren naar een Gr¨obnerbasis. Gegeven een eindige verzameling P ⊂ F[x], dan kunnen we testen of spoly(p, q) →+ P 0 voor alle p, q ∈ P, p 6= q Wanneer we een paar (p, q) vinden z´o dat spoly(p, q) →∗P r 6= 0 hebben we hP i = hP, ri en spoly(p, q) →+ P ∪{r} 0. Daaruit volgt dat we elk niet-nul resultaat zullen toevoegen aan de basis en zullen doorgaan met het testen van de uitgebreide verzameling. Om te zien dat dit proces zal eindigen, noteren we Hi de verzameling van de hoofdtermen van de basis, nadat het i−de nieuw polynoom is toegevoegd. Aangezien de nieuwe hoofdtermen geen veelvouden zijn van de oude hebben we hH1 i ⊂ hH2 i ⊂ . . . Aangezien nu F[x] een Noethers integriteitsgebied is, moet een dergelijke keten van idealen eindigen. Voor de uitgebreide theorie daarrond verwijzen we naar van der Waerden [17]. We kunnen dan het algoritme als volgt beschrijven

216

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

procedure Gbasis(P ) G ← P ; k ← length(G); # uit G

We stellen Gi het i−de element

B ← {[i, j] : 1 ≤ i < j ≤ k}; while B 6= { } do { [i,j]← selectpair(B, G); B ← B − {[i, j]}; h ← normalf(spoly(Gi , Gj ), G); if h 6= 0 then { G ← G ∪ {h}; k ← k + 1; B ← B ∪ {[i, k] : 1 ≤ i < k} } } return(G) end

Merk op dat we daarbij gebruik maken van een hulpfunctie “selectpair”, die een paar elementen selecteert uit een niet-ledige verzameling B. In een eerste benadering van het probleem kunnen we bijvoorbeeld het eerste paar nemen. De reden waarom G als argument genomen wordt, zal bij het optimaliseren van dit algoritme uitgelegd worden.

5.14

Voorbeeld

Beschouw P ⊂ Q[x, y, z] met P = {x2 + yz − 2, y 2 + xz − 3, xy + z 2 − 5} en de tdeg-ordening voor de ordening van de termen, uitgaande van basisordening [z, y, x] van de variabelen. (Zoals gebruikelijk zijn de termen geordend in afdalende orde.) We stellen eerst G = P , k = 3, en B = {[1, 2], [1, 3], [2, 3]}. Voorbeeld 5.14 in Maple (comp514.mws) > restart; with(Groebner); [fglm, gbasis, gsolve, hilbertdim, hilbertpoly, hilbertseries, inter reduce, is finite, is solvable, leadcoeff , leadmon, leadterm, normalf , pretend gbasis, reduce, spoly, termorder, testorder , univpoly] > p1:=x^2+y*z-2; > p2:=y^2+x*z-3;

217

5.14. VOORBEELD >

p3:=x*y+z^2-5; p1 := x2 + y z − 2

p2 := y 2 + x z − 3

p3 := x y + z 2 − 5

>

var:=[z,y,x];

>

ord:=’tdeg’;tord:=’tdeg(z,y,x)’; var := [z, y, x] ord := tdeg tord := tdeg(z, y, x)

>

sort(p1,var,ord);

>

>

>

z y + x2 − 2

sort(p2,var,ord);

z x + y2 − 3

sort(p3,var,ord);

z2 + y x − 5

G:=[p1,p2,p3];

G := [z y + x2 − 2, z x + y 2 − 3, z 2 + y x − 5] B={[1,2],[1,3],[2,3]} >

>

>

p:=spoly(G[1],G[2],tord):normalf(p,G,tord); 2 y x2 − 2 y + 3 z − 5 x

p4:=2*x^2*y-2*y+3*z-5*x;

p4 := 2 y x2 − 2 y + 3 z − 5 x

G:=[p1,p2,p3,p4];

G := [z y + x2 − 2, z x + y 2 − 3, z 2 + y x − 5, 2 y x2 − 2 y + 3 z − 5 x] B={[1,3],[2,3],[1,4],[2,4],[3,4]} >

>

p:=spoly(G[1],G[3],tord):normalf(p,G,tord); 2 z x2 − 2 z + 5 y − 3 x

p5:=5*y+2*x^2*z-2*z-3*x;

p5 := 2 z x2 − 2 z + 5 y − 3 x We voegen dit polynoom toe aan G: >

G:=[p1,p2,p3,p4,p5]; G := [z y + x2 − 2, z x + y 2 − 3, z 2 + y x − 5, 2 y x2 − 2 y + 3 z − 5 x, 2 z x2 − 2 z + 5 y − 3 x]

218

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

We moeten nu de volgende koppels nog onderzoeken: B={[2,3],[1,4],[2,4],[3,4],[1,5],[2,5],[3,5],[4,5]} > p:=spoly(G[2],G[3],tord):normalf(p,G,tord); 0 B={[1,4],[2,4],[3,4],[1,5],[2,5],[3,5],[4,5]} > p:=spoly(G[1],G[4],tord):normalf(p,G,tord); >

2 x4 + 5 z x + 3 y x − 6 x2 − 11 p6:=2*x^4+5*z*x-6*x^2-11+3*y*x; p6 := 2 x4 + 5 z x + 3 y x − 6 x2 − 11

We voegen p6 toe aan G: > G:=[p1,p2,p3,p4,p5,p6]; G := [z y + x2 − 2, z x + y 2 − 3, z 2 + y x − 5, 2 y x2 − 2 y + 3 z − 5 x, 2 z x2 − 2 z + 5 y − 3 x, 2 x4 + 5 z x + 3 y x − 6 x2 − 11] B={[2,4],[3,4],[1,5],[2,5],[3,5],[4,5],[1,6],[2,6],[3,6],[4,6],[5,6] } > p:=spoly(G[2],G[4],tord):normalf(p,G,tord); 0 > p:=spoly(G[3],G[4],tord):normalf(p,G,tord); 0 > p:=spoly(G[1],G[5],tord):normalf(p,G,tord); 0 > p:=spoly(G[2],G[5],tord):normalf(p,G,tord); 0 > p:=spoly(G[3],G[5],tord):normalf(p,G,tord); 0 > p:=spoly(G[4],G[5],tord):normalf(p,G,tord); 0 > p:=spoly(G[1],G[6],tord):normalf(p,G,tord); 0 > p:=spoly(G[2],G[6],tord):normalf(p,G,tord); 0 > p:=spoly(G[3],G[6],tord):normalf(p,G,tord); 0 > p:=spoly(G[4],G[6],tord):normalf(p,G,tord); 0 > p:=spoly(G[5],G[6],tord):normalf(p,G,tord); 0

5.15. VERBETERING VAN HET BUCHBERGER ALGORITME

219

B={ } Alle s-polynomen reduceren naar 0.

De gevonden G is een Grobner basis > G; [z y + x2 − 2, z x + y 2 − 3, z 2 + y x − 5, 2 y x2 − 2 y + 3 z − 5 x, 2 z x2 − 2 z + 5 y − 3 x, 2 x4 + 5 z x + 3 y x − 6 x2 − 11] Controle : > gbasis([p1,p2,p3],tord); [z x + y 2 − 3, z y + x2 − 2, z 2 + y x − 5, 2 y x2 − 2 y + 3 z − 5 x, 2 z x2 − 2 z + 5 y − 3 x, 2 x4 + 5 z x + 3 y x − 6 x2 − 11]

5.15

Verbetering van het Buchberger Algoritme

5.15.1

Gr¨ obnerbasis niet uniek

Hernemen we het voorbeeld (5.8), en laten Maple een Gr¨obnerbasis GB bepalen van G voor de tdeg-ordening, dan vinden we dat GB = G − {p1 } terwijl G ook reeds een Gr¨obnerbasis is.

5.15 Verbetering van het Buchberger algoritme (comp515.mws)

> > >

restart; with(Groebner); var:=[x,y,z];

[fglm, gbasis, gsolve, hilbertdim, hilbertpoly, hilbertseries, inter reduce, is finite, is solvable, leadcoeff , leadmon, leadterm, normalf , pretend gbasis, reduce, spoly, termorder, testorder , univpoly] >

var := [x, y, z] ord:=’tdeg’;tord:=tdeg(x,y,z);

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

220

ord := tdeg tord := tdeg(x, y, z) > > > >

p1:=x^3*y*z-x*z^2; p2:=x*y^2*z-x*y*z; p3:=x^2*y^2-z^2; G:=[p1,p2,p3]; p1 := x3 y z − x z 2

p2 := x y 2 z − x y z p3 := x2 y 2 − z 2

G := [x3 y z − x z 2 , x y 2 z − x y z, x2 y 2 − z 2 ] >

B ={[1,2],[1,3],[2,3]}

>

>

>

p:=spoly(G[1],G[2],tord):normalf(p,G,tord); p4:=x*z^2-y*x*z^2; G:=[p1,p2,p3,p4];

−y x z 2 + x z 2 p4 := −y x z 2 + x z 2

G := [x3 y z − x z 2 , x y 2 z − x y z, x2 y 2 − z 2 , −y x z 2 + x z 2 ] >

B={[1,3],[2,3],[1,4],[2,4],[3,4]}

>

>

>

p:=spoly(G[1],G[3],tord):normalf(p,G,tord); p5:=z^3*x-x*z^2; G:=[p1,p2,p3,p4,p5];

x z3 − x z2 p5 := x z 3 − x z 2

G := [x3 y z − x z 2 , x y 2 z − x y z, x2 y 2 − z 2 , −y x z 2 + x z 2 , x z 3 − x z 2 ] >

B={[2,3],[1,4],[2,4],[3,4],[1,5],[2,5],[3,5],[4,5]}

>

p:=spoly(G[2],G[3],tord):normalf(p,G,tord); −x2 y z + z 3

>

p6:=-x^2*y*z+z^3;

>

p6 := −x2 y z + z 3 G:=[p1,p2,p3,p4,p5,p6];

G := [x3 y z − x z 2 , x y 2 z − x y z, x2 y 2 − z 2 , −y x z 2 + x z 2 , x z 3 − x z 2 , −x2 y z + z 3 ]

5.15. VERBETERING VAN HET BUCHBERGER ALGORITME >

B ={[1,4],[2,4],[3,4],[1,5],[2,5],[3,5],[4,5],[1,6],

>

[2,6],[3,6],[4,6],[5,6]};

>

221

p:=spoly(G[1],G[4],tord):normalf(p,G,tord); −x3 z 2 + x z 2

>

p7:=-x^3*z^2+x*z^2;

>

p7 := −x3 z 2 + x z 2 G:=[p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7];

G := [x3 y z − x z 2 , x y 2 z − x y z, x2 y 2 − z 2 , −y x z 2 + x z 2 , x z 3 − x z 2 , −x2 y z + z 3 , −x3 z 2 + x z 2 ] >

B={[2,4],[3,4],[1,5],[2,5],[3,5],[4,5],[1,6],[2,6],

>

[3,6],[4,6],[5,6],[1,7],[2,7],[3,7],[4,7],[5,7],

>

[6,7]}

>

>

p:=spoly(G[2],G[4],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[3],G[4],tord):normalf(p,G,tord); z 4 − x2 z 2

>

p8:=-x^2*z^2+z^4;

>

p8 := z 4 − x2 z 2 G:=[p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8];

G := [x3 y z − x z 2 , x y 2 z − x y z, x2 y 2 − z 2 , −y x z 2 + x z 2 , x z 3 − x z 2 , −x2 y z + z 3 , −x3 z 2 + x z 2 , z 4 − x2 z 2 ] >

B={[1,5],[2,5],[3,5],[4,5],[1,6],[2,6],[3,6],[4,6],

>

[5,6],[1,7],[2,7],[3,7],[4,7],[5,7],[6,7],[1,8],

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

222 >

[2,8],[3,8],[4,8],[5,8],[6,8],[7,8]}

>

>

>

p:=spoly(G[1],G[5],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[2],G[5],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[3],G[5],tord):normalf(p,G,tord); −z 5 + z 4

>

p9:=-z^5+z^4;

>

p9 := −z 5 + z 4 G:=[p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9];

G := [x3 y z − x z 2 , x y 2 z − x y z, x2 y 2 − z 2 , −y x z 2 + x z 2 , x z 3 − x z 2 , −x2 y z + z 3 , −x3 z 2 + x z 2 , z 4 − x2 z 2 , −z 5 + z 4 ] >

B={[4,5],[1,6],[2,6],[3,6],[4,6],[5,6],[1,7],[2,7],

>

[3,7],[4,7],[5,7],[6,7],[1,8],[2,8],[3,8],[4,8],

>

[5,8],[6,8],[7,8],[1,9],[2,9],[3,9],[4,9],[5,9],

>

[6,9],[7,9],[8,9]}

>

>

>

p:=spoly(G[4],G[5],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[1],G[6],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[2],G[6],tord):normalf(p,G,tord); −z 3 y + z 3

>

p10:=-y*z^3+z^3;

>

p10 := −z 3 y + z 3 G:=[p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10];

G := [x3 y z − x z 2 , x y 2 z − x y z, x2 y 2 − z 2 , −y x z 2 + x z 2 , x z 3 − x z 2 , −x2 y z + z 3 , −x3 z 2 + x z 2 , z 4 − x2 z 2 , −z 5 + z 4 , −z 3 y + z 3 ] >

B={[3,6],[4,6],[5,6],[1,7],[2,7],[3,7],[4,7],[5,7],

5.15. VERBETERING VAN HET BUCHBERGER ALGORITME >

[6,7],[1,8],[2,8],[3,8],[4,8],[5,8],[6,8],[7,8],

>

[1,9],[2,9],[3,9],[4,9],[5,9],[6,9],[7,9],[8,9],

>

[1,10],[2,10],[3,10],[4,10],[5,10],[6,10],[7,10],

>

[8,10],[9,10]}

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

>

p:=spoly(G[3],G[6],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[4],G[6],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[5],G[6],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[1],G[7],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[2],G[7],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[3],G[7],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[4],G[7],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[5],G[7],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[6],G[7],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[1],G[8],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[2],G[8],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[3],G[8],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[4],G[8],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[5],G[8],tord):normalf(p,G,tord); 0 p:=spoly(G[6],G[8],tord):normalf(p,G,tord);

223

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

224

0 >

p:=spoly(G[7],G[8],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[1],G[9],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[2],G[9],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[3],G[9],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[4],G[9],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[5],G[9],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[6],G[9],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[7],G[9],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[8],G[9],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[1],G[10],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[2],G[10],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[3],G[10],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[4],G[10],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[5],G[10],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[6],G[10],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[7],G[10],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[8],G[10],tord):normalf(p,G,tord); 0

>

p:=spoly(G[9],G[10],tord):normalf(p,G,tord); 0

B = {}

5.15. VERBETERING VAN HET BUCHBERGER ALGORITME

225

Dit geeft ons een gr¨obnerbasis: >

sort(G);

[−x3 z 2 + x z 2 , z 4 − x2 z 2 , x z 3 − x z 2 , x3 y z − x z 2 , x y 2 z − x y z, x2 y 2 − z 2 , −x2 y z + z 3 , −z 5 + z 4 , −z 3 y + z 3 , −y x z 2 + x z 2 ]

Laten we dit nu vergelijken met de gr¨obnerbasis die door Maple wordt gevonden : >

GB:=sort(gbasis([p1,p2,p3],tord));

GB := [x z 3 − x z 2 , x y 2 z − x y z, x2 y 2 − z 2 , x2 y z − z 3 , z 3 y − z 3 , x2 z 2 − z 4 , y x z2 − x z2, z5 − z4]

Besluit : GB = G − {p1 , p7 }

Gr¨ obnerbasissen zijn dus niet uniek.

5.15.2

Gereduceerde gr¨ obnerbasis

Zij G ⊂ F[x], dan wordt G “gereduceerd” genoemd als ∀g ∈ G

g = normalf(g, G − {g})

G heet “monisch” als ∀g ∈ G

5.15.3

hcoeff(g) = 1

Stelling (Buchberger)

Als G, H gereduceerde monische Gr¨obnerbasissen zijn, z´o dat hGi = hHi, dan is G = H. De constructie van een gereduceerde ideaalbasis kan als volgt worden beschreven:

226

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

procedure ReduceSet(E) # Gegeven E: niet noodzakelijk Gr¨obnerbasis ˜ en # Bereken E˜ z.d. hEi = hEi ˜ # E is gereduceerd # Verwijder eerst de overbodige elementen! R ← E; P ← { }; while R 6= { } do { h ← selectpoly(R); R ← R − {h}; h ← normalf(h, P ); if h 6= 0 then { Q ← {q ∈ P : hterm(h)|hterm(q)}; R ← R ∪ Q; P ← P − Q ∪ {h} } } # Zorg dat elk element gereduceerd is modulo de andere. E˜ ← { }; S ← P; foreach h ∈ P do { h ← normalf(h, S − {h}) E˜ ← E˜ ∪ {h} } ˜ return(E) end

Er valt nu nog op te merken dat voor een groot aantal 0-reducties, deze reductie niet effectief moet uitgevoerd worden. Buchberger toont immers aan:

5.15.4

Stelling

Als KGV(hterm(p), hterm(q)) = hterm(p) hterm(q) dan geldt spoly(p, q) →+ {p,q} 0 We kunnen derhalve twee criteria invoeren, waarbij de reductie niet moet uitgerekend worden: [i, j] moet niet beschouwd worden wanneer de volgende voorwaarde niet vervuld is:

5.15. VERBETERING VAN HET BUCHBERGER ALGORITME

227

criterium1([i, j], G) ⇐⇒ KGV(hterm(Gi ), hterm(Gj )) 6= hterm(Gi ) hterm(Gj ) Gelet op gevolg (5.12) mogen we ook Spoly(i, j) overslaan als [i, j] niet voldoet aan: criterium2([i, j], B, G) ⇐⇒ ¬∃k, 1 ≤ k ≤ length(G) z´o dat {i 6= k 6= j, hterm(Gk )|KGV(hterm(Gi ), hterm(Gj )), [i, k] 6∈ B, [k, j] 6∈ B} We krijgen dan het volgende verbeterde Buchberger algoritme:

procedure Gbasis(P ) G ← ReduceSet(P ); k ← length(G); B ← {[i, j] : 1 ≤ i < j ≤ k}; while B 6= { } do { [i,j]← selectpair(B, G); B ← B − {[i, j]}; if criterium1([i, j], G) and criterium2([i, j], B, G) then { h ← normalf(spoly(Gi , Gj ), G); if h 6= 0 then { G ← G ∪ {h}; k ← k + 1; B ← B ∪ {[i, k] : 1 ≤ i < k} } } } R ← {g ∈ G : Rg,G − {g} = 6 { }} return(ReduceSet(G − R)) end

228

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

5.15.5

Voorbeeld

5.15.5 Voorbeeld uitgewerkt in Maple (comp5155.mws)

Zoek een grobnerbasis met het vereenvoudigde Buchbergeralgoritme, en toon aan dat dit aanleiding geeft tot het resultaat dat in Maple gevonden wordt. > restart; > with(Groebner); [fglm, gbasis, gsolve, hilbertdim, hilbertpoly, hilbertseries, inter reduce, is finite, is solvable, leadcoeff , leadmon, leadterm, normalf , pretend gbasis, reduce, spoly, termorder, testorder , univpoly] > var:=[x,y,z]; var := [x, y, z] > ord:=’plex’; ord := plex > tord:=’plex(x,y,z)’; tord := plex(x, y, z) >

p1:= y^2+y*z-2;

>

p2:= y^2+2*x*y+1;

>

p3:= x*y+y*z-1; p1 := y 2 + y z − 2

p2 := y 2 + 2 x y + 1 p3 := x y + y z − 1

>

P:=[p1,p2,p3];

>

P := [y 2 + y z − 2, y 2 + 2 x y + 1, x y + y z − 1] G:=[p1,p2,p3]; G := [y 2 + y z − 2, y 2 + 2 x y + 1, x y + y z − 1]

B={[1,2],[1,3],[2,3]} > sp:=spoly(G[1],G[2],tord):normalf(sp,G,tord); −4 x − 3 y − z > p4:=%; p4 := −4 x − 3 y − z > G:=[p1,p2,p3,p4]; G := [y 2 + y z − 2, y 2 + 2 x y + 1, x y + y z − 1, −4 x − 3 y − z]

5.15. VERBETERING VAN HET BUCHBERGER ALGORITME

229

B={[1,3],[2,3],[1,4],[2,4],[3,4]} >

>

>

sp:=spoly(G[1],G[2],tord):normalf(sp,G,tord); 3 5 y + y z2 − 3 z 2 2 p5:=%; 3 5 p5 := y + y z 2 − 3 z 2 2 G:=[p1,p2,p3,p4,p5];

G := [y 2 + y z − 2, y 2 + 2 x y + 1, x y + y z − 1, −4 x − 3 y − z,

5 3 y + y z 2 − 3 z] 2 2

B={[2,3],[1,4],[2,4],[3,4],[1,5],[2,5],[3,5],[4,5]} >

>

sp:=spoly(G[2],G[3],tord):normalf(sp,G,tord); 5−3yz

p6:=%;

p6 := 5 − 3 y z

>

G:=[p1,p2,p3,p4,p5,p6];

G := [y 2 + y z − 2, y 2 + 2 x y + 1, x y + y z − 1, −4 x − 3 y − z, 5 − 3 y z] B= {[1,4],[2,4],[3,4],[1,5],[2,5],[3,5],[4,5],[1,6],[2,6],[3,6],[4,6],[5 ,6]} >

sp:=spoly(G[1],G[4],tord):normalf(sp,G,tord); 0

>

sp:=spoly(G[2],G[4],tord):normalf(sp,G,tord); 0

>

sp:=spoly(G[3],G[4],tord):normalf(sp,G,tord); 0

>

sp:=spoly(G[1],G[5],tord):normalf(sp,G,tord); 0

>

sp:=spoly(G[2],G[5],tord):normalf(sp,G,tord); 0

>

sp:=spoly(G[3],G[5],tord):normalf(sp,G,tord); 3 2 25 z − 4 4 p7:= %; 3 25 p7 := z 2 − 4 4 G:= [p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7];

>

>

3 5 y + y z 2 − 3 z, 2 2

230

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

G := [y 2 + y z − 2, y 2 + 2 x y + 1, x y + y z − 1, −4 x − 3 y − z, 5 − 3 y z,

3 2 5 y z + y − 3 z, 2 2

3 2 25 z − ] 4 4

B:= {[4,5],[1,6],[2,6],[3,6],[4,6],[5,6],[1,7],[2,7],[3,7],[4,7],[5,7],[6 ,7]} > sp:=spoly(G[4],G[5],tord):normalf(sp,G,tord); 0 > sp:=spoly(G[1],G[6],tord):normalf(sp,G,tord); 0 > sp:=spoly(G[2],G[6],tord):normalf(sp,G,tord); 1 5 − z+ y 2 2 > p8:= %; 5 1 p8 := − z + y 2 2 > G:=[p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8]; G := [y 2 + y z − 2, y 2 + 2 x y + 1, x y + y z − 1, −4 x − 3 y − z, 5 − 3 y z,

5 3 y + y z 2 − 3 z, 2 2

1 5 3 2 25 z − , − z + y] 4 4 2 2

B= {[3,6],[4,6],[5,6],[1,7],[2,7],[3,7],[4,7],[5,7],[6,7],[1,8],[2,8],[3 ,8],[4,8],[5,8],[6,8][7,8]} > sp:=spoly(G[3],G[6],tord):normalf(sp,G,tord); 0 > sp:=spoly(G[4],G[6],tord):normalf(sp,G,tord); 0 > sp:=spoly(G[5],G[6],tord):normalf(sp,G,tord); 0 > sp:=spoly(G[1],G[7],tord):normalf(sp,G,tord); 0 > sp:=spoly(G[2],G[7],tord):normalf(sp,G,tord); 0 > sp:=spoly(G[3],G[7],tord):normalf(sp,G,tord); 0 > sp:=spoly(G[4],G[7],tord):normalf(sp,G,tord); 0 > sp:=spoly(G[5],G[7],tord):normalf(sp,G,tord); 0 > sp:=spoly(G[6],G[7],tord):normalf(sp,G,tord); 0

5.15. VERBETERING VAN HET BUCHBERGER ALGORITME >

>

>

>

>

>

>

>

231

sp:=spoly(G[1],G[8],tord):normalf(sp,G,tord); 0 sp:=spoly(G[2],G[8],tord):normalf(sp,G,tord); 0 sp:=spoly(G[3],G[8],tord):normalf(sp,G,tord); 0 sp:=spoly(G[4],G[8],tord):normalf(sp,G,tord); 0 sp:=spoly(G[5],G[8],tord):normalf(sp,G,tord); 0 sp:=spoly(G[6],G[8],tord):normalf(sp,G,tord); 0 sp:=spoly(G[7],G[8],tord):normalf(sp,G,tord); 0 sort(G);

5 3 3 25 1 5 [ y + y z 2 − 3 z, −4 x − 3 y − z, 5 − 3 y z, z 2 − , − z + y, x y + y z − 1, 2 2 4 4 2 2 2 2 y + 2 x y + 1, y + y z − 2] > GB:= sort(gbasis([p1,p2,p3],tord)); GB := [3 z 2 − 25, 5 x + 2 z, −z + 5 y]

>

>

>

>

> >

>

>

> >

normalf(p1,[p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8],tord); 0 normalf(p2,[p3,p4,p5,p6,p7,p8],tord); 0 normalf(p3,[p4,p5,p6,p7,p8],tord); 0 normalf(p4,[p5,p6,p7,p8],tord); 8 −4 x − z 5 p4:=%: normalf(p5,[p4,p6,p7,p8],tord); 0 normalf(p6,[p4,p7,p8],tord); 0 normalf(p7,[p4,p8],tord); 3 2 25 z − 4 4 p7:=%: normalf(p8,[p4,p7],tord);

232

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN 5 1 − z+ y 2 2

> >

p8:=%: q1:=p4;q2:=p7;q3:=p8; 8 z 5 3 25 q2 := z 2 − 4 4 1 5 q3 := − z + y 2 2 q1 := −4 x −

> > > > > >

>

monic:=proc(r) local lmr; lmr:=leadmon(r,tord); sort(expand(r/lmr[1]),var,ord); end: monic(q1); monic(q2); monic(q3); 2 x+ z 5 25 z2 − 3 1 y− z 5 monic(GB[1]); monic(GB[2]); monic(GB[3]); 25 z2 − 3 2 x+ z 5 1 y− z 5

Besluit : We vinden dezelfde grobnerbasis terug !

5.15. VERBETERING VAN HET BUCHBERGER ALGORITME

233

234

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

5.16

Toepassing van Gr¨ obnerbasissen

5.16.1

I. Berekeningen in Quotientringen

Stel dat we berekeningen moeten uitvoeren in de quotientring F[x]/hGi, dan kunnen we gebruik maken van de volgende stelling: Stelling Stel G een Gr¨obnerbasis, en definieer U = {[u] : u ∈ Tx , ¬∃g ∈ G hterm(g)|u}

(5.3)

waarbij [u] de congruentieklasse van u modulo G voorstelt. Dan is U een basis voor F[x]/hGi beschouwd als vectorruimte. Voorbeeld 1. Beschouwen we de Gr¨obnerbasis uit het voorbeeld (5.14) > gbasis([p1,p2,p3],tord); [z x + y 2 − 3, z y + x2 − 2, z 2 + y x − 5, 2 y x2 − 2 y + 3 z − 5 x, 2 z x2 − 2 z + 5 y − 3 x, 2 x4 + 5 z x + 3 y x − 6 x2 − 11]

dan is dit een gereduceerde Gr¨obnerbasis voor door graad-ordening >D . Dan is U = {[1], [z], [y], [x], [zx], [yx], [x2 ], [x3 ]} een basis voor Q[z, y, x]/hGi. We berekenen dan bijvoorbeeld [zx].[yx] als volgt: 5 3 11 normalf(zx.yx, G) = zx + yx − x2 − ; 2 2 2 waaruit volgt dat 5 3 11 [zx].[yx] = [zx] + [yx] − 1[x2 ] − [1]. 2 2 2 2. We berekenen nu uitgaande van hetzelfde voorbeeld als hierboven, het ringinverse voor [x]. Dit inverse heeft de volgende gedaante: [x].(a0 [1] + a1 [z] + a2 [y] + a3 [x] + a4 [zx] + a5 [yx] + a6 [x2 ] + a7 [x3 ]) = 1. Gelet op stelling (5.3) moet p = x.(a0 1 + a1 z + a2 y + a3 x + a4 zx + a5 yx + a6 x2 + a7 x3 ) − 1

¨ 5.16. TOEPASSING VAN GROBNERBASISSEN

235

naar nul reduceren. Gelet op normalf(p, G) = (−1 + 11 a ) + a6 x3 (a2 − 23 a5 )z 2 7 +(a2 − 23 a7 )yx + (a3 + 3a7 )x2 +(a0 + 23 a4 + 25 a5 )x + (a1 − 25 a7 )zx + (− 52 a4 + a5 )y moeten dus de co¨effici¨enten van het inverse van [x] voldoen aan het volgende stelsel: 11 a = 1, a6 = 0, 2 7 3 3 a2 − 2 a7 = 0, a4 − 2 a5 = 0, a3 + 3a7 = 0, a0 + 23 a4 + 25 a5 = 0, a1 − 25 a7 = 0, − 25 a4 + a5 = 0 Daaruit volgt dan dat

a0 = a4 = a5 = a6 = 0, a1 = en dus [x]−1 =

5 3 6 2 , a2 = , a3 = − , a7 = ; 11 11 11 11

3 6 2 5 [z] + [y] − [x] + [x3 ]. 11 11 11 11

In Maple COMP5161.MWS.

5.16.1 Berekeningen in Quotientringen > >

restart; with(Groebner);

[fglm, gbasis, gsolve, hilbertdim, hilbertpoly, hilbertseries, inter reduce, is finite, is solvable, leadcoeff , leadmon, leadterm, normalf , pretend gbasis, reduce, spoly, termorder, testorder , univpoly] > var:=[z,y,x]; var := [z, y, x] >

ord:=’tdeg’; ord := tdeg

>

tord:=’tdeg(z,y,x)’; tord := tdeg(z, y, x)

zie worksheet comp514.mws : > G:=[z*y+x^2-2,z*x+y^2-3,z^2+y*x-5,2*x^2*y-2*y+3*z-5*x,5*y+2*x^2*z-2*z >

-3*x,2*x^4+5*z*x-6*x^2-11+3*y*x];

G := [z y + x2 − 2, z x + y 2 − 3, z 2 + y x − 5, 2 x2 y − 2 y + 3 z − 5 x, 5 y + 2 x2 z − 2 z − 3 x, 2 x4 + 5 z x − 6 x2 − 11 + 3 y x] > leadmon(G[1],tord); 1, z y

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

236 >

leadmon(G[2],tord); 1, y 2

>

leadmon(G[3],tord); 1, z 2

>

leadmon(G[4],tord); 2, x2 y

>

leadmon(G[5],tord); 2, x2 z

>

leadmon(G[6],tord); 2, x4

dus U = {[1], [z], [y], [x], [zx ], [yx ], [x2 ], [x3 ]} 1. >

normalf((z*x)*(y*x),G,tord); 5 11 3 −x2 + z x − + yx 2 2 2

>

p:=x*(a0*1+a1*z+a2*y+a3*x+a4*z*x+a5*y*x+a6*x^2+a7*x^3)-1;

>

p := x (a0 + a1 z + a2 y + a3 x + a4 z x + a5 y x + a6 x2 + a7 x3 ) − 1 normalf(p,G,tord);

2.

3 5 3 5 3 11 a7 − 1 + (a4 − a5 ) z + (− a7 + a1 ) z x + (− a7 + a2 ) y x + (a0 + a5 + a4 ) x 2 2 2 2 2 2 5 + (a5 − a4 ) y + (a3 + 3 a7 ) x2 + a6 x3 2 > solve( >

{-1+11/2*a7=0,a2-3/2*a7=0,a1-5/2*a7=0,a6=0,a0+3/2*a4+5/2*a5=0,a4-3/2*

a5=0,-5/2*a4+a5=0,a3+3*a7=0}); −6 3 5 2 {a4 = 0, a3 = , a2 = , a5 = 0, a1 = , a0 = 0, a7 = , a6 = 0} 11 11 11 11

>

Besluit : [x](−1) =

5 [z] 11

+

3 [y] 11

−

6 [x] 11

+

2 [x3 ] 11

Controle : > inv_x := 5/11*z+3/11*y-6/11*x+2/11*x^3; 3 6 2 3 5 z+ y− x+ x inv x := 11 11 11 11

¨ 5.16. TOEPASSING VAN GROBNERBASISSEN >

normalf(inv_x*x,G,tord); 1

>

sort(G[2],[y,x,z],tdeg);

>

y2 + x z − 3 leadterm(G[2],tdeg(z,y,x)); y2

237

238

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

5.16.2

II. Oplossen van stelsels van polynoomvergelijkingen

Beschouw pi (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, 1 ≤ i ≤ k,

een stelsel van polynoomvergelijkingen over F , dan kunnen we eigenschappen van de oplossingen uitdrukken in functie van het ideaal hp1 , p2 , . . . , pk i. Zo is het o.m. duidelijk dat als hP i = hQi, dat dan de verzameling van gemeenschappelijke nulpunten van P en Q samenvallen. We hebben nu de volgende stelling: Stelling Als G een monische Gr¨obnerbasis is voor hP i = hp1 , p2 , . . . , pk i ⊂ F[x]. Dan is P , beschouwd als stelsel van polynoomvergelijkingen oplosbaar a.s.a. 1 6∈ G. Bewijs Als toepassing van Hilbert’s Nullstellensatz (zie van der Waerden [17]) weten we dat P onoplosbaar is a.s.a er over F[x] een combinatie van de pi kan gevonden worden, die een van nul verschillende constante oplevert, die we 1 kunnen stellen. Aangezien hP i = hGi is dit equivalent met 1 ∈ hGi. Aangezien G een Gr¨obnerbasis is, impliceert dit dat normalf(1, G) = 0 moet zijn, hetgeen slechts mogelijk is als 1 ∈ G. Gelet op voorgaande stelling is het stelsel niet oplosbaar. qed Voorbeeld 1 De gereduceerde monische Gr¨obnerbasis over Q[xy] voor hp1 , p2 , p3 i met p1 = x2 y + 4y 2 − 17, p2 = 2xy − 3y 3 + 8, p3 = xy 2 − 5xy + 1 is {1}, onafhankelijk van de gebruikte termordening. Derhalve heeft het corresponderende systeem van polynoomvergelijkingen p1 = 0, p2 = 0, p3 = 0 geen oplossingen. Stelling Zij G een Gr¨obnerbasis voor hP i ⊂ F[x], en H de verzameling H = {hterm(g) : g ∈ G} Dan heeft het stelsel van polynoomvergelijkingen, dat correspondeert met P eem eindig aantal oplossingen a.s.a.

¨ 5.16. TOEPASSING VAN GROBNERBASISSEN

239

∀i 1 ≤ i ≤ n, ∃m ∈ N : (xi )m ∈ H (Bewijs: zie Geddes [8]). Voorbeeld 2 Beschouwen we P = {x2 + yz − 2, y 2 + xz − 3, xy + z 2 − 5} ⊂ Q[x, y, z] dan hebben we met betrekking tot de graad-ordening >D de gereduceerde Gr¨obnerbasis uit voorbeeld (5.14), en dus de hoofdtermen H = {x2 , y 2, xy, xz 2 , yz 2 , z 4 } Aangezien 1 6∈ H is het stelsel oplosbaar, en gelet op de voorgaande stelling zijn er een eindig aantal oplossingen.

5.16.2 Oplossen van stelsels van polynoomvergelijkingen > >

restart; with(Groebner);

[fglm, gbasis, gsolve, hilbertdim, hilbertpoly, hilbertseries, inter reduce, is finite, is solvable, leadcoeff , leadmon, leadterm, normalf , pretend gbasis, reduce, spoly, termorder, testorder , univpoly] Voorbeeld 1 : > var := [x,y]; var := [x, y] >

p1 := x^2*y+4*y^2-17;

>

p1 := x2 y + 4 y 2 − 17 p2 := 2*x*y-3*y^3+8;

>

p2 := 2 x y − 3 y 3 + 8 p3 := x*y^2-5*x*y+1;

>

>

>

p3 := x y 2 − 5 x y + 1 ord := ’plex’;tord:=plex(x,y); ord := plex tord := plex(x, y) gbasis([p1,p2,p3],tord); [1] ord := ’tdeg’;tord:=tdeg(x,y);

240

>

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN ord := tdeg tord := tdeg(x, y) gbasis([p1,p2,p3],tord); [1]

Het corresponderende systeem van polynoomvergelijkingen heeft dus geen oplossingen : > solve({p1=0,p2=0,p3=0},{x,y});

Voorbeeld 2 : > var := [x,y,z]; >

>

>

var := [x, y, z] ord := ’tdeg’;tord:=tdeg(x,y,z); ord := tdeg tord := tdeg(x, y, z) p1 := x^2+y*z-2; p2 := y^2+x*z-3;

p1 := x2 + y z − 2 p2 := y 2 + x z − 3

>

p3 := x*y+z^2-5;

>

p3 := x y + z 2 − 5 G := gbasis([p1,p2,p3],tord);

G := [y 2 + x z − 3, x y + z 2 − 5, x2 + y z − 2, 2 y z 2 − 5 y + 3 x − 2 z, 2 x z 2 − 5 x + 2 y − 3 z, 2 z 4 + 2 x z + 3 y z − 15 z 2 + 19] > leadmon(G[1],tord); 1, y 2 > leadmon(G[2],tord); 1, x y > leadmon(G[3],tord); 1, x2 > leadmon(G[4],tord); 2, y z 2 > leadmon(G[5],tord); 2, x z 2 > leadmon(G[6],tord); 2, z 4

¨ 5.16. TOEPASSING VAN GROBNERBASISSEN

241

1 is geen hoofdterm, dus het stelsel van polynoomvergelijkingen heeft een eindig aantal oplossingen : > solve({p1=0,p2=0,p3=0},{x,y,z}); 152 300 3403 1132 %15 − %17 − %13 + %1, 117 117 13 117 88 680 186 2081 x=− %17 + %15 − %13 + %1} 117 117 13 117 %1 := RootOf(8 Z 8 − 60 Z 6 + 142 Z 4 − 172 Z 2 + 1) {y = %1, z =

5.16.3

III. Meetkundige bewijsvoering

In de meetkunde kunnen heel wat problemen uitgedrukt worden in de polynoomuitdrukkingen over een veld F. ˜ een algebra¨ısch afgesloten veld dat F omvat, Stel hi ∈ F[x], si ∈ F[x], c ∈ F[x] en F dan bekijken we een uitdrukking van de volgende gedaante: (∗)

˜ 1 = 0, . . . , hk = 0, ∀x1 , . . . , xn ∈ F{h s1 6= 0, . . . , sl 6= 0}

=⇒ c = 0.

Steunend op de volgend regels (a) p1 = 0 en p2 = 0 ⇐⇒ {p1 = 0, p2 = 0} (b) p1 = 0 of p2 = 0 ⇐⇒ {p1 .p2 = 0} (c) p1 6= 0 ⇐⇒ {p1 z − 1 = 0} waarbij z een nieuwe variabele voorstelt, kan Kapur in [11] aantonen dat de bovenstaande uitspraak equivalent is met hh1 , . . . , hk , s1 z1 − 1, . . . , sl zl − 1, cz − 1i = h1i waarbij zi , z nieuwe variabelen voorstellen. Schema van bewijs:

We maken volgende notatieafspraken: Ai ≡ hi = 0 Bj ≡ sj = 0 C ≡ c=0 We hebben dan

242

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

(∗) ≡ A1 ∧ . . . ∧ Ak ∧ ¬B1 ∧ . . . ∧ ¬Bl ⇒ C ≡ ¬(A1 ∧ . . . ∧ Ak ∧ ¬B1 ∧ . . . ∧ ¬Bl ) ∨ C ≡ ¬A1 ∨ ¬A2 ∨ . . . ¬Ak ∨ B1 ∨ . . . ∨ Bl ∨ C We beschouwen nu een bewijs uit het ongerijmde: • neem de negatie van die uitspraak; • toon aan dat dit niet kan, of m.a.w. dat die uitspraak GEEN OPLOSSING heeft We beschouwen derhalve de uitdrukking: A1 ∧ . . . ∧ Ak ∧ ¬B1 . . . ¬Bl ∧ ¬C en tonen aan dat die geen oplossing heeft.

¨ 5.16. TOEPASSING VAN GROBNERBASISSEN

243

Voorbeeld We beschouwen de vertaling van de volgende eigenschap: Als de middelloodlijn van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek door de rechte hoek gaat, is deze driehoek een gelijkbenige driehoek Kiezen we een rechthoekig assestelsel, en plaatsen we de rechte hoek in de oorsprong, en de twee andere hoeken resp. op de x-as en y-as, met co¨ordinaten (y1 , 0) en (0, y2). Stellen we (y3 , y4 ) de co¨ordinaten van het midden van de schuine zijde: Dan hebben we de volgende betrekkingen: • (y3 , y4 ) midden van de schuine zijde: y3 = y4 =

y1 y2 2

2

• Middelloodlijn op de schuine zijde: y1 x − y2 y = y1 y3 − y2 y4 Middelloodlijn door de oorsprong: y1 y3 − y2 y4 = 0 • Gelijkbenige driehoek: of

|y1| = |y2 | y12 = y22

Derhalve hebben we hy1 − 2y3 , y2 − 2y4 , y1 y3 − y2 y4 , (y12 − y22 )z − 1i

244

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

te bekijken. Aangezien de gereduceerde monisch Gr¨obnerbasis over Q[y1 , y2, y3 , y4 , z] {1} is, is de beschouwde stelling geldig. Er kan nog opgemerkt worden dat we eventueel moeten uitdrukken dat y1 6= 0 en y2 6= 0, in dat geval hebben we nog s1 = y1 z1 − 1, s2 = y2 z2 − 1 aan de bovenstaande verzameling toe te voegen.

5.16.3 Meetkundige bewijsvoering > >

restart; with(Groebner);

[fglm, gbasis, gsolve, hilbertdim, hilbertpoly, hilbertseries, inter reduce, is finite, is solvable, leadcoeff , leadmon, leadterm, normalf , pretend gbasis, reduce, spoly, termorder, testorder , univpoly] > var:=[y1,y2,y3,y4,z]; var := [y1 , y2 , y3 , y4 , z] > ord:=’tdeg’; ord := tdeg > tord:=’tdeg(y1,y2,y3,y4,z)’; tord := tdeg(y1 , y2 , y3 , y4 , z) > gbasis([y1-2*y3,y2-2*y4,y1*y3-y2*y4,(y1^2-y2^2)*z-1],tord); [1] > var:=[y1,y2,y3,y4,z,z1,z2]; >

var := [y1 , y2 , y3 , y4 , z, z1 , z2 ] tord:=’tdeg(y1,y2,y3,y4,z,z1,z2)’;

>

tord := tdeg(y1 , y2 , y3 , y4 , z, z1 , z2 ) gbasis([y1-2*y3,y2-2*y4,y1*y3-y2*y4,(y1^2-y2^2)*z-1,y1*z1-1,y2*z2-1],

>

tord); [1]

¨ 5.16. TOEPASSING VAN GROBNERBASISSEN

245

246

¨ HOOFDSTUK 5. GROBNERBASIS VOOR POLYNOOM-IDEALEN

Hoofdstuk 6 Formele integratie van rationale functies 6.1

Inleiding

Formele integratie is een term uit de computeralgebra waarmee het begrip primitivering 1 uit de analyse wordt bedoeld. Hernemen we de analytische definitie

DEFINITIE Een functie f is primitiveerbaar in ]a, b[ als er een functie g bestaat die afleidbaar is in ]a, b[ en waarvoor geldt dat g 0 = f in ]a, b[. Men noemt dan g een primitieve van f in ]a, b[.

Merk hierbij op dat de noties primitieve en primitiveerbaarheid innig verbonden zijn met een open deel van de re¨ele as, b.v. een open interval. Zo is x1 primitiveerbaar in ]0, +∞[, maar niet primitiveerbaar in ] − 1, +1[. Nochtans is het zo dat in de algoritmen voor formele integratie met een CAS [=computeralgebrasysteem] geen aandacht besteed wordt aan het domein van primitiveerbaarheid van een functie; de gebruiker weze dus ervoor gewaarschuwd dat hij/zij zelf dient te waken over het domein waar de machinaal uitgevoerde bewerkingen zinvol zijn. Anderzijds is het uiteraard zo dat in de analyse het volstaat te weten dat een functie f primitiveerbaar is in een open interval, stel ]a, b[, om te kunnen spreken van – meer zelfs : eigenschappen eraan toekennen en gebruiken – een primitieve g van f 1

ook nog onbepaalde integratie genoemd

247

248HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES in ]a, b[, zonder een expliciete gedaante te kennen van g in termen van andere, z.g. elementaire functies. Deze klasse van elementaire functies omvat de rationale functies, de exponenti¨ele functies, de logaritmische functies, de algebra¨ısche functies, de goniometrische functies en hun inversen, de hyperbolische functies en hun inversen, en tenslotte alle samenstellingen van de vermelde functies. Dit louter “existenti¨ele” karakter van een primitieve is vanuit het computeralgebrastandpunt uiteraard onbevredigend. Vandaar de volgende definitie van het formele integratieprobleem uit de computeralgebra.

DEFINITIE - FORMELE INTEGRATIE Gegeven twee verzamelingen van functies, A en B; het formele integratieprobleem bestaat erin een algoritme te bepalen dat voor elke f uit A ofwel een primitieve g ervan uit B genereert, ofwel aantoont dat er geen primitieve van f in de verzameling B te vinden is. Een zeer eenvoudig voorbeeld ter verduidelijking : stel A en B gelijk aan de verzameling van de rationale functies met rationale co¨effici¨enten : A = B = Q(x). Voor f = x12 ∈ A is g = − x1 ∈ B. Daarentegen is er voor f = te vinden in B.

1 x

∈ A geen primitieve

Het formele integratieprobleem werd reeds ongeveer 150 jaar geleden bestudeerd door Liouville. De resultaten van Hermite voor rationale functies worden nog steeds gebruikt in de computeralgebra (6.4.2). De algoritmische primitivering van transcendente functies kreeg, na Liouville, weinig aandacht; er was een aanzet tot algoritme door Hardy (1928). In 1940 startte Ritt de ontwikkeling van de differentiaalalgebra (§ 2). Met de ontwikkeling vanaf 1960 van programmeertalen voor symbolische wiskunde, ontstond een hernieuwde interesse in het onderwerp en sindsdien is het formele integratieprobleem substantieel ontwikkeld. Als vertrekpunt voor deze moderne aanpak neemt men het fundamentele werk van Risch uit 1968; hierin wordt voor het eerst een volledige beslissingsprocedure beschreven (we komen hierop terug in hoofdstuk 7).

6.2

Differentiaalvelden

In de in de inleiding gegeven definitie van het formele integratieprobleem, hebben we gewag gemaakt van twee verzamelingen A en B van functies. Dit is niet precies

6.2. DIFFERENTIAALVELDEN

249

genoeg voor een algoritmische benadering van het probleem. De analytische concepten van ‘afleiden’ en ‘primitiveren’ kunnen ontwikkeld worden in een algebra¨ısch kader, de z.g. differentiaalalgebra. Een kort overzicht.

DEFINITIE Een differentiaalveld F van functies, is een veld met karakteristiek 0, waarop een afbeelding D:F →F is gedefinieerd die voldoet aan : (i) D(f + g) = D(f ) + D(g), voor alle f en g in F (ii) D(f.g) = f.D(g) + D(f ).g, voor alle f en g in F . Deze afbeelding D wordt afleidings- of differentiaaloperator genoemd.

PROPOSITIE Voor een differentiaalveld F met differentiaaloperator D gelden de volgende eigenschappen : (i) D(0) = 0 (ii) D(1) = 0 (iii) D(−f ) = −D(f ), voor alle f in F f (iv) D g

!

=

gD(f ) − f D(g) , voor alle f en alle g 6= 0 in F g2

(v) D(f n ) = nf n−1 D(f ), voor alle f 6= 0 in F en alle n ∈ Z.

DEFINITIE 1. Zij a(x) een irreductibel polynoom over F [x], dan hebben we gezien dat F [x]/ < a(x) > een veld voorstelt. Als α een wortel is van a(x) noteren we nog F (α) = F (x)/ < a(x) > en noemen dit een extensieveld van F . We zeggen nog dat F (α) een uitbreiding is van F met α.

250HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES Voorbeeld. q Q( (2)) is het veld van de rationale getallen, uitgebreid met de vierkantswortel van 2: q Q( (2)) = Q[x]/ < x2 − 2 > .

2. Zijn F en G differentiaalvelden met respectieve differentiaaloperatoren DF en DG , dan is G een differentiaal extensieveld van F als (i) G een extensieveld van F is (ii) DG (f ) = DF (f ), voor alle f in F .

DEFINITIE • Is F een differentiaalveld met differentiaaloperator D, dan is het constantenveld van F het deelveld van F bepaald door K = {c ∈ F : D(c) = 0}

VOORBEELD Beschouw het veld Q(x) van de rationale functies van de re¨ele variabele x over het co¨effici¨entenveld Q van de rationale getallen; beschouw de klassieke afleidingsoperator D op Q(x) gedefinieerd door D(x) = 1. Toon aan (oefening) dat Q(x) een differentiaalveld is, waarvan het constantenveld Q is.

In het kader van differentiaalalgebra komt het formele integratieprobleem neer op het inverteren van de differentiaaloperator : gegeven een differentiaalveld F met differentiaaloperator D en een differentiaalextensieveld G, bepaal dan een algoritme dat voor elke f in F ofwel een g in G genereert waarvoor D(g) = f , ofwel aantoont dat er geen dergelijke g in G te vinden is. vb. Q(x) = F = G 1 1 f = − 2 → g = ∈ Q(x) x x 1 f = → geen g in G x

6.3

Formele integratie van een polynoom

Voor elk polynoom p in Q[x] = F, p = a0 + a1 x + · · · + an xn , aj ∈ Q,

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE

251

bestaat er een polynoom q in Q[x] = G gegeven door Z

p = q = a0 x +

an n+1 a1 2 x +···+ x , 2 n+1

waarvoor D(q) = p.

6.4

Formele Integratie van een rationale functie

Dat Q(x) niet gesloten is voor de inverse operator D −1 is eenvoudig aan te tonen.

PROPOSITIE 1 Voor de rationale functie ∈ Q(x) bestaat er geen rationale functie r ∈ Q(x) x 1 waarvoor D(r) = . x Bewijs Onderstel dat r =

p q

∈ Q(x) voldoet aan D(r) =

GGD(p, q) = 1. Dan is

1 , waarbij p en q ∈ Q[x] en x

qD(p) − pD(q) 1 = x q2 of dus xqD(p) − xpD(q) = q 2 . Stel q = xn qˆ met qˆ ∈ Q[x] en GGD(ˆ q , x) = 1; vermits x een deler is van q 2 , en dus ook van q, zal n ≥ 1. Substitutie levert : xn+1 qˆD(p) − nxn qˆp − xn+1 pD(ˆ q) = x2n qˆ2 of nog x(ˆ q D(p) − pD(ˆ q) − xn−1 qˆ2 ) = npˆ q. Nu is GGD(ˆ q , x) = 1 zodat x een deler moet zijn van p. Maar dan hebben p en q qed een gemeenschappelijk factor, een contradictie.

Het is dus duidelijk dat om een primitieve van een rationale functie uit te drukken, het soms (meestal) nodig zal zijn het differentiaalveld Q(x) te extenderen met andere functies; dit blijkt duidelijk uit de nu volgende, na¨ıeve aanpak.

252HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES

6.4.1

De na¨ıeve aanpak

Beschouw de rationale functie f ∈ Q(x) : f=

p q

met p en q twee polynomen uit Q[x]. Met behulp van 2 het euclidisch deel-algoritme bepalen we r en p˜ in Q[x] waarvoor geldt : p = q p˜ + r waarbij ofwel r = 0 ofwel deg(r) <deg(q). Alzo is p r f = = p˜ + ; q q r men noemt p˜ het polynomiale deel en het rationale deel van de rationale functie q f. Gelet op 6.3 zijn we herleid tot de formele integratie van het rationale deel. De volgende stappen worden achtereenvolgens gezet : ∗ ontbinding van de noemer q in lineaire factoren : q(x) =

Y

(x − ci )mi ,

i=1

m1 + · · · + mk = m

[ci niet noodzakelijk in Q!] ∗ splitsing in partieelbreuken van

r : q

r d1,1 d1,m1 = +···+ q x − c1 (x − c1 )m1 d2,1 d2,m2 + +···+ x − c2 (x − c2 )m2 +··· dk,1 dk,mk + +···+ x − ck (x − ck )mk di,j constant, niet noodzakelijk in Q ∗ primitivering Z

2

1 d1,m1 1 r = d1,1 log (x − c1 ) − d1,2 −···− q x − c1 m1 − 1 (x − c1 )m1 −1 +··· 1 dk , mk ) 1 +dk,1 log (x − ck ) − dk,2 −···− x − ck mk − 1 (x − ck )mk −1

Hierna afkort als: m.b.v.

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE wat van de vorm is : primitieve v.e. rationale functie (graad teller < graad noemer) = rationale functie + lineaire combinatie van logaritmen met argument (x − constante)

253

254HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES VOORBEELD 1 f=

x2

1 +2

r = 1, q = x2 √ +2 √ q(x) = (x + i 2)(x − i 2) √ √ 2 i4 −i 42 r 1 √ + √ = 2 = q x + 2 √x + i 2 x − i 2 √ Z √ √ 2 2 1 =i log (x + i 2) − i log (x − i 2) 2 x +2 4 4 1 [Opmerking : uiteraard wordt een primitieve van x2 +2 ook gegeven door de “simpeler” uitdrukking 1 x √ arctan √ , 2 2 maar vanuit algoritmisch standpunt is dit oninteressant en zeker niet eenvoudiger].

Dit, terecht als na¨ıef bestempeld, algoritme vertoont ernstige gebreken : ∗ het volledig factoriseren van het polynoom q in lineaire factoren is een “dure” operatie ∗ dit vergt meestal het invoeren van algebra¨ısche getallenextensies die moeilijker manipuleerbaar zijn ∗ splitsing in partieelbreuken is eveneens een kostelijke bewerking ∗ voor veel primitieven is het invoeren van die algebra¨ısche getallenextensies overbodig, zoals blijkt uit

VOORBEELD 2 Z

5x4 + 1 = log(x5 + x + 1) x5 + x + 1

en leert ons dat ∗ het vaak onoverkomelijk is het functieveld Q(x) te extenderen met de logaritmische functie ∗ het soms nodig is algebra¨ısche getallenextensies in te voeren, maar deze dienen beperkt te worden tot die extensies waarop het uiteindelijk primitiveringsresultaat beroep doet. Vandaar de volgende definities.

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE

255

DEFINITIE Is F een differentiaalveld en G een differentiaal extensieveld van F , dan wordt θ ∈ G logaritmisch over F genoemd als er een u 6= 0 in F bestaat waarvoor D(θ) =

D(u) ; u

men noteert dan : θ = log (u).

DEFINITIE Is F een differentiaalveld met differentiaaloperator D, dan bestaat het formele integratieprobleem voor F erin een differentiaal extensieveld G = F (θ1 , . . . , θn ) en een algoritme te bepalen, dat voor elke f in F – ofwel een g in G genereert waarvoor D(g) = f , – ofwel aantoont dat er geen dergelijk extensieveld bestaat binnen een welomlijnde klasse van “toegelaten” extensies. Voor het differentiaalveld F = Q(x) van rationale functies, kan een primitieve steeds uitgedrukt worden • in een differentiaal extensieveld met logaritmische extensies • en met algebra¨ısche getallenextensies (zie de na¨ıeve aanpak). Deze algebra¨ısche getallenextensies zouden overbodig zijn indien het constantenveld gesloten was (zoals het complexe getallenveld C), wat in CAS - waar elk element een eindige exacte representatie heeft - niet het geval is.

Beide soorten extensies kunnen van elkaar gescheiden worden door te noteren G = Q(α1 , . . . , αk )(x, θ1 , . . . , θn ) waarbij elke θj (1 ≤ j ≤ n) een logaritme is, en elke αj (1 ≤ j ≤ k) een algebra¨ısch getal. Hiermee wordt het duidelijk dat het constantenveld van het differentiaal extensieveld G, Q(α1 , . . . , αk ) zal zijn. Refererend naar bovenstaande voorbeelden is dus Z √ √ √ 1 2)(x, log(x + i 2), log(x − i 2)) ∈ Q(i, x2 + 2

256HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES [m.b.v. de na¨ıeve aanpak] en Z

5x4 + 1 ∈ Q(x, log(x5 + x + 1)) 5 x +x+1 [m.b.v. de methode “klare kijk op de zaak”].

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE

257

Maplesessie:

6.4.1 De na¨ıeve aanpak >

restart;

Voorbeeld 1 : > r := 1; r := 1 >

>

>

q := x^2+2; q := x2 + 2 q := factor(q,{sqrt(2),I}); √ √ q := (x + I 2) (x − I 2) convert(r/q,parfrac,x); 1 √ −1 √ I 2 I 2 4 √ + 4 √ x+I 2 x−I 2

We kunnen ook de ontbinding bepalen door de onbekenden a en b op te lossen uit de voorwaarde x−Ia √2 + x+Ib √2 = qr : > collect(a*(x+I*sqrt(2))+b*(x-I*sqrt(2))=r,x); √ √ (a + b) x + I a 2 − I b 2 = 1 > solve({a+b=0,I*a*2^(1/2)-I*b*2^(1/2)=1},{a,b}); 1 √ −1 √ {b = I 2, a = I 2} 4 4 Derhalve vinden we als primitieve: R

1 x2 +2

dx = −

I

√

2 log(x−I 4

√

2)

+

I

√

2 log(x+I 4

√

2)

Controle: > -I*sqrt(2)*log(x-I*sqrt(2))/4+I*sqrt(2)*log(x+I*sqrt(2))/4; √ √ 1 √ 1 √ − I 2 ln(x − I 2) + I 2 ln(x + I 2) 4 4

258HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES >

simplify(diff(%,x)); (x + I

√

1 √ 2) (x − I 2)

Maple geeft ons evenwel het antwoord: > int(r/q,x); 1√ 1 √ 2 arctan( x 2) 2 2 Controle: > simplify(diff(%,x)); x2

1 +2

Voorbeeld 2 : > int((5*x^4+1)/(x^5+x+1),x); ln(x5 + x + 1) > simplify(diff(%,x)); 5 x4 + 1 x5 + x + 1

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE

6.4.2

259

De hermitemethode (1872)

Uit de na¨ıeve aanpak van het formele integratieprobleem van een rationale functie (§ 6.4.1) halen we : r = g1 + g2 q met g1 : rationale functie met een noemer waarvan alle factoren exponent ´e´en vertonen g2 : rationale functie met een noemer waarvan alle factoren exponent groter dan ´e´en vertonen De hermitemethode laat toe deze beide rationale functies te bepalen zonder algebra¨ısche getallenextensies te moeten invoeren. De start hierbij is de kwadraatvrije factorisatie van de noemer q, die ondersteld wordt monisch te zijn, d.w.z. hoogstegraadsco¨effici¨ent gelijk aan 1 te hebben : q = q1 q22 . . . qkk waarbij elke qi monisch en kwadratenvrij is en GGD(qi, qj ) = 1 voor i 6= j. Deze kwadratenvrije factorisatie gebeurt in het polynoomdomein Q[x]. Dit leidt naar de splitsing in partieelbreuken : k X i rij r X = q i=1 j=1 qij met alle rij ∈ Q[x] en deg(rij ) <deg(qi ) als deg(qi ) > 0 en ri,j = 0 als qi = 1. We primitiveren nu elke term van het rechterlid afzonderlijk. Hierbij gebruiken we het uitgebreid algoritme van euclidisch: vermits qi en qi0 onderling ondeelbaar zijn (wegens qi kwadratenvrij) bestaan er polynomen s en t in Q[x] waarvoor : sqi + tqi0 = rij waarbij deg(s) < deg(qi0 ) deg(t) < deg(qi ). Alzo is Z

rij qij

sqi + tqi0 = qij Z Z s tqi0 = + qij−1 qij Z s + 1 t0 −t j−1 = j−1 + j−1 (j − 1)qi qi Z

260HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES met deg(s +

1 0 t) j−1

≤ max(deg(s), deg(t0 )) < deg(qi0 ) ≤ deg(qi ) − 1

Is nu j − 1 > 1 dan kan dit reductieproces herhaald worden tot de noemer van alle integranda exponent 1 vertonen; uiteindelijk komt er : Z

p1 r = + q q1

Z

p2 q2

met p1 , p2 , q1 , q2 ∈ Q[x], deg(p2 ) <deg(q2 ) en q2 monisch en kwadratenvrij. Merk op dat op geen enkel ogenblik een algebra¨ısche getallenextensie werd ingevoerd. Het nadeel van de hermitemethode blijft evenwel dat nog steeds dure sub-algoritmen nodig zijn. Merk ook op dat we hebben gebruik gemaakt van de z.g. “parti¨ele integratie”.

STELLING Is F een differentiaalveld met differentiaaloperator D dan geldt voor alle u en v in F dat Z Z u.D(v) = u.v − v.D(u) Bewijs : eenvoudige oefening.

VOORBEELD r = 1, q = (x + 2)2 (x2 + 2)

∗

1 1 1 − 91 x + 18 r 1 6 9 = 2 + = + q (x + 2)(x + 2)2 x2 + 2 (x + 2)2 (x + 2)

∗ eerste term : exponent is 1 ∗ tweede term : s = 0, t = 1 Z

∗ derde term : exponent is 1

1 1 = − (x + 2)2 x+2

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE Resultaat : Z

1 1 1 =− + 2 2 (x + 2)(x + 2) 6x+2

Z

1 (2 6

− x) . (x + 2)(x2 + 2)

Cfr. de volgende Maple-sessie: 6.4.2 Hermitemethode : voorbeeld > restart; > r := 1; r := 1 > q := (x^2+2)*(x+2)^2; >

q := (x2 + 2) (x + 2)2 convert(r/q,parfrac,x,sqrfree); 1 1 1 1 −1 + 2 x + 9 − 2 6 (x + 2) x + 2 18 x2 + 2

Eerste term : exponent is 2 > gcdex((x+2),diff(x+2,x),x,’s’,’t’); 1 > s; t; 0 1 dus

R

1 (x+2)2

dx = − (2−1)1(x+2) + 0 dx of

Controle : > int(1/(x+2)^2,x);

R

−

R

1 (x+2)2

1 dx = − x+2

1 x+2

Tweede term : exponent is 1 Derde term : exponent is 1 >

>

(-1/9*x+1/18)/(x^2+2) + (1/9)/(x+2); 1 1 1 − x+ 9 18 + 9 x2 + 2 x+2 simplify(%); 1 x−2 − 2 6 (x + 2) (x + 2)

261

262HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES

6.4.3

De horowitzmethode (1969)

We pikken aan bij de hermitestructuur van een primitieve van het rationale deel van een rationale functie : Z Z p1 p2 r + = q q1 q2 p1 , p2 , q1 , q2 ∈ Q[x], deg(p2 ) <deg(q2 ), deg(p1 ) <deg(q1 ). We merken op dat q1 dezelfde kwadratenvrije factoren als q vertoont, maar met een exponent ´e´en lager; verder bevat q2 enkel kwadratenvrije factoren met exponent ´e´en, die alle factoren zijn van q. Met een analoge redenering als bij de behandeling van “kwadratenvrije factorisatie”, volgt hieruit dat : q1 = GGD(q, q 0 ) en

q q = . GGD(q, q 0) q1 p2 in gereduceerde gedaante is geschreven, imVermits we mogen onderstellen dat q2 pliceert dit dat q q = q2 = 0 GGD(q, q ) q1 of q = q1 q2 . q2 deelt

Nu is q1 een deler van q 0 = q1 q20 + q10 q2 , en dus ook deler van q10 q2 ; stel q2 q10 = s ∈ Q[x]. q1 Dan is :

!0

p1 p2 + q1 q2 q1 p01 − p1 q10 p2 = + 2 q1 q2 q0 q p01 q2 − p1 1q12 + p2 q1 = q1 q2

r = q

of nog r = p01 q2 − p1 s + p2 q1 q = q1 q2

Hierin zijn gekend : r, q1 , q2 , s, terwijl p1 en p2 te bepalen zijn; deze laatste polynomen hebben een graad die kleiner is dan de graad van q1 en q2 respectievelijk. Aldus zijn we herleid tot een lineair

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE

263

algebraprobleem waarin een lineair stelsel in de co¨effici¨enten van de polynomen p1 en p2 moet opgelost worden.

VOORBEELD 1 . (zelfde functie als in VOORBEELD 6.4.2) r = 1, q = (x + 2)2 (x2 + 2) ∗ q 0 = 2(x + 2)(x2 + 2) + (x + 2)2 (2x) ∗ q1 = GGD(q, q 0 ) = (x + 2) q10 = 1 ∗ q2 = ∗ s=

q = (x + 2)(x2 + 2) q1 q2 q10 = x2 + 2 q1

∗ p1 en p2 voldoen aan : deg(p1 ) < 1, deg(p2 ) < 3 1 = p01 (x + 2)(x2 + 2) − p1 (x2 + 2) + p2 (x + 2) substitueer hierin : p1 = d, p2 = ax2 + bx + c en men vindt :

1 1 p1 = − , p2 = (2 − x) 6 6

Resultaat : Z

1 1 1 =− + 2 2 (x + 2) (x + 2) 6x+2

Z

1 (2 6

− x) (x + 2)(x2 + 2)

VOORBEELD 2 f =

441x7 + 780x6 − 2861x5 + 4085x4 + 7695x3 + 3713x2 − 43253x + 24500 9x6 + 6x5 − 65x4 + 20x3 + 135x2 − 154x + 49

735x4 + 441x2 − 12446 x + 21854 3 9 = 49x + 54 + 6 2 5 65 4 20 3 154 2 x + 3 x − 9 x + 9 x + 15x − 9 x + ∗ q = (x + 37 )2 (x − 1)4

49 9

264HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES ∗ q 0 = 2(x + 37 )(x − 1)4 + 4(x + 37 )2 (x − 1)3 ∗ q1 = GGD(q, q 0 ) = (x + 37 )(x − 1)3 ∗ q10 = (x − 1)3 + 3(x + 37 )(x − 1)2 ∗ q2 = ∗ s=

7 q = (x + )(x − 1) q1 3 q2 q10 = 4x + 6 q1

∗ deg(p1 ) < 4, deg(p2 ) < 2

We substitueren p1 = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 , p2 = b0 + b1 x in 4 7 2 7 r = p01 (x2 + x − ) − p1 (4x + 6) + p2 (x4 − x3 − 4x2 + 6x − ) 3 3 3 3 en bekomen: 2254 6272 , a1 = , a2 = 735, a3 = −735 a0 = − 9 3 b0 = 0, b1 = 0 Resultaat : Z

f=

−735x3 + 735x2 + 2254 x − 6272 49 2 3 9 x + 54x + 2 x4 − 32 x3 − 4x2 + 6x − 73

OEFENING Pas de horowitzmethode toe om het rationaal en het logaritmisch deel te bepalen van een primitieve van de rationale functie x3 − 407x2 − 3242 x + 3044 36x6 + 126x5 + 183x4 + 13807 6 5 15 f = 7 17 6 263 5 1349 4 2 124 2 4 8 x + 15 x − 900 x − 2250 x + 1125 x3 + 1125 x + 1125 x − 1125 6.4.3 Methode van Horowitz > restart; > with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE

265

>

### WARNING: persistent store makes one-argument readlib obsolete

>

readlib(factors); proc(a, K) . . . end proc

We implementeren eerst de hulpprocedure vorm vgl : > vorm_vgln := proc(p,q,x) #Sandy Van Wonterghem (1998) > local vgln,maxi,i,f,g; > f := collect(expand(p),x); > g := collect(expand(q),x); > maxi := max(degree(f,x),degree(g,x)); > vgln := {}; > for i from 0 to maxi do > vgln := vgln union {coeff(f,x,i)=coeff(g,x,i)}; > od; > vgln; > end: Twee polynomen zijn gelijk indien hun overeenkomstige co¨effici¨enten gelijk zijn. De procedure vorm vgln vertrekt steeds van twee polynomen en drukt uit dat hun overeenkomstige co¨effici¨enten gelijk zijn. Indien een aantal van die co¨effici¨enten onbekend zijn of onbekenden bevatten, kan dit leiden tot een aantal vergelijkingen (vandaar de benaming). > horowitz := proc(ra,qa,x) #Sandy Van Wonterghem (1998) > local l,r1,r2,q_,q1,q1_,q2,s,p1,a,p2,d,i,p1_,t,q,r; > if lcoeff(qa,x)<>1 > then r := ra/lcoeff(qa,x); > q := qa/lcoeff(qa,x); > else r := ra; > q := qa; > fi; > r1 := quo(r,q,x); > r2 := rem(r,q,x); > q_ := diff(q,x); > q1 := gcd(q,q_); > if lcoeff(q1,x)<>1 then q1 := q1/lcoeff(q1,x); fi; > q1_ := diff(q1,x); > q2 := simplify(q/q1); > if lcoeff(q2,x)<>1 then q2 := q2/lcoeff(q2,x); fi; > s := simplify(q2*q1_/q1); > p1 := a||0; > p2 := d||0;

266HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES >

for i from 1 to degree(q1,x)-1 do

>

p1 := p1 + a||i*x^i;

>

od;

>

for i from 1 to degree(q2,x)-1 do

>

p2 := p2 + d||i*x^i;

>

od;

>

p1_ := diff(p1,x);

>

t := p1_*q2-p1*s+p2*q1;

>

vorm_vgln(r2,t,x);

>

l := solve(%);

>

p1 := subs(l,p1); p2 := subs(l,p2);

>

if s=0 then p1:=0; fi;

>

Int(’f’,x) = int(r1,x) + p1/q1 + Int(p2/q2,x);

>

end:

Voorbeeld 1 : f = (x+2)21(x2 +2) >

r := 1; r := 1

>

q := (x+2)^2*(x^2+2); q := (x + 2)2 (x2 + 2)

>

horowitz(r,q,x); Z

f dx = −

1 1 + 6 x+2

Z

1 1 − x 3 6 dx (x + 2) (x2 + 2)

Controle : >

rechterlid := value(rhs(%));

1 1 1 1 1 √ 1 √ + ln(x + 2) − ln(x2 + 2) + 2 arctan( x 2) 6 x+2 9 18 36 2 > linkerlid := int(r/q,x); 1 1 1 √ 1 √ 1 1 + ln(x + 2) − ln(x2 + 2) + 2 arctan( x 2) linkerlid := − 6 x+2 9 18 36 2 > testeq(rechterlid,linkerlid); true

rechterlid := −

Opmerking :

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE

267

Indien men genteresseerd is in een aantal tussenresultaten (zoals s, t, p1 en p2 ), dan kan men deze terugvinden in Maple door aan de variabele printlevel de waarde 5 toe te kennen : >

printlevel := 5; printlevel := 5

>

horowitz(r,q,x);

{--> enter horowitz, args = 1, (x+2)^2*(x^2+2), x

r1 := 0 r2 := 1 q := 2 (x + 2) (x2 + 2) + 2 (x + 2)2 x q1 := x + 2 q1 := 1 q2 := (x + 2) (x2 + 2) s := x2 + 2 p1 := a0 p2 := d0 p1 := 0 t := −a0 (x2 + 2) + (d0 + d1 x + d2 x2 ) (x + 2)

{0 = −a0 + d1 + 2 d2 , 0 = d2 , 0 = d0 + 2 d1 , 1 = −2 a0 + 2 d0 } −1 1 −1 l := {d2 = 0, d1 = , d0 = , a0 = } 6 3 6 −1 p1 := 6 1 1 p2 := − x 3 6 1 1 Z Z − x 1 1 3 6 f dx = − + dx 6 x+2 (x + 2) (x2 + 2) <-- exit horowitz (now at top level) = Int(f,x) = -1/6/(x+2)+Int((1/3-1/6*x)/(x+2)/(x^2+2),x)}

1 1 Z − x 1 1 3 6 + dx f dx = − 6 x+2 (x + 2) (x2 + 2) printlevel := 0; printlevel := 0 Z

>

Voorbeeld 2 : 7 6 x5 +4085 x4 +7695 x3 +3713 x2 −43253 x+24500 f = 441 x +780 x9 x−2861 6 +6 x5 −65 x4 +20 x3 +135 x2 −154 x+49 > r := 441*x^7+780*x^6-2861*x^5+4085*x^4+7695*x^3+3713*x^2-43253*x+24500; r := 441 x7 + 780 x6 − 2861 x5 + 4085 x4 + 7695 x3 + 3713 x2 − 43253 x + 24500 >

>

q := 9*x^6+6*x^5-65*x^4+20*x^3+135*x^2-154*x+49;

268HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES

>

q := 9 x6 + 6 x5 − 65 x4 + 20 x3 + 135 x2 − 154 x + 49 horowitz(r,q,x); 6272 2254 Z + x + 735 x2 − 735 x3 Z − 49 2 9 3 f dx = + 0 dx x + 54 x + 2 3 7 2 2 4 − +6x−4x − x +x 3 3

Controle : > rechterlid := convert(value(rhs(%)),parfrac,x);

>

>

49 882 441 49 2 3 x + 54 x − + − rechterlid := 3 2 3 x + 7 (x − 1) x−1 linkerlid := int(r/q,x); 49 49 2 882 441 3 linkerlid := x + 54 x − + − 3 2 3 x + 7 (x − 1) x−1 testeq(rechterlid,linkerlid); true

Voorbeeld 3 : (oefening uit de cursus) 3

f=

x x 36 x6 +126 x5 +183 x4 + 13807 −407 x2 − 3242 + 3044 6 5 15 6

5

4

3

2

x x 2x x 4x 8 − 1349 + 1125 + 124 + 1125 − 1125 x7 + 1715x − 263 900 2250 1125

>

p :=

>

>

36*x^6+126*x^5+183*x^4+(13807/6)*x^3-407*x^2-(3242/5)*x+(3044/15); 3242 3044 13807 3 x − 407 x2 − x+ p := 36 x6 + 126 x5 + 183 x4 + 6 5 15 q :=

>

x^7+(17/15)*x^6-(263/900)*x^5-(1349/2250)*x^4+(2/1125)*x^3+(124/1125)*

x^2+(4/1125)*x-(8/1125); 17 6 263 5 1349 4 2 124 2 4 8 q := x7 + x − x − x + x3 + x + x− 15 900 2250 1125 1125 1125 1125 > horowitz(p,q,x); 39547 2 5271 3 3549 7142 31018 Z Z − x+ x + x + 1167 x + 36 x2 25 25 50 5 2 + dx f dx = 11 3 11 2 2 4 23 2 2 2 4 3 x + x − x − x+ x + x − x− 30 25 25 75 30 15 15 >

Controle : > rechterlid := value(rhs(%));

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE

269

39547 2 5271 3 7142 31018 − x+ x + x 91125 25 50 5 rechterlid := 25 + ln(3 x + 2) − 8000 ln(2 x + 1) 2 4 11 3 11 2 16 4 x − x − x+ x + 30 25 25 75 37451 ln(5 x − 2) + 16 > linkerlid := int(p/q,x); linkerlid := −18225 −

91125 14400 432 1 + ln(3 x + 2) + − 8000 ln(2 x + 1) − 3x+2 16 2x+1 (5 x − 2)2

354 37451 + ln(5 x − 2) 5x− 2 16 > testeq(linkerlid,rechterlid); true

Opmerking : >

convert((7142/25-31018/25*x+39547/50*x^2+5271/5*x^3)/(x^4+11/30*x^3-1

>

1/25*x^2-2/25*x+4/75),parfrac,x); 14400 432 354 1 + − − −18225 2 3 x + 2 2 x + 1 (5 x − 2) 5x−2

6.4.4

Het Logaritmisch gedeelte

Tot nog toe zijn we erin geslaagd het rationaal gedeelte en de afgeleide van het logaritmisch gedeelte van een primitieve van een rationale functie te bepalen, zonder algebra¨ısche getallenextensies in te voeren. Wat nu verder het logaritmisch gedeelte betreft, weten we uit de na¨ıeve aanpak (§ 4.1) dat volledige factorisatie van de noemer tot een logaritmisch resultaat leidt, echter met invoering van algebra¨ısche getallenextensies die soms overbodig zijn om het uiteindelijk primitiveringsresultaat neer te schrijven. Vandaar het probleem om een algoritme te vinden dat het logaritmisch gedeelte bepaalt met enkel die algebra¨ısche getallenextensies die nodig zijn voor het eindresultaat. Dit probleem werd opgelost door Rothstein (1976) en door Trager (1976). Vertrek van het resultaat : Z n p2 X = ci log(vi ) q2 i=1 waarbij de ci constant zijn en de vi polynomen. We kunnen veronderstellen dat de vi kwadratenvrij en twee aan twee onderling ondeelbaar zijn en de constanten ci twee aan twee verschillend. Eventueel dient

270HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES daartoe gebruik gemaakt van logv 2 = 2logv c1 log(uv) + c2 log(uw) = (c1 + c2 )logu + c1 logv + c2 logw c logu + c logv = c log(uv). Na afleiding komt er :

n v0 p2 X = ci i q2 vi i=1

waarbij in het rechterlid geen enkele term kan vereenvoudigd worden (wegens elke vi kwadratenvrij) en geen termen tegenover elkaar kunnen wegvallen (wegens de vi twee aan twee onderling ondeelbaar). Dit betekent uiteraard dat de vi precies alle factoren van q2 uitmaken : q2 =

n Y

vi ,

i=1

waaruit, na afleiding : q20

=

n X

n Y

vi0

i=1

vj =

n X i=1

j=1,j6=i

Verdrijven van de noemers in de uitdrukking voor p2 =

n X i=1

ci vi0

n Y

vi0 vˆi .

vj =

p2 q2

n X

levert :

ci vi0 vˆi .

i=1

j=1,j6=i

Met behulp van deze uitdrukkingen voor p2 en q20 komt er achtereenvolgens : vk = GGD(0, vk ) = GGD(p2 −

n P

i=1

ci vi0 vˆi , vk )

= GGD(p2 − ck vk0 vˆk , vk ) = GGD(p2 − ck

n P

i=1

vi0 vˆi , vk )

= GGD(p2 − ck q20 , vk ).

Voor l 6= k vinden we achtereenvolgens GGD(p2 − ck q20 , vl ) = GGD(

n P

i=1

ci vi0 vˆi − ck

n P

i=1

vi0 vˆi , vl )

= GGD(cl vl0 vˆl − ck vl0 vˆl , vl ) = 1.

Deze tussenresultaten leiden tot : GGD(p2 − ck q20 , q2 ) = GGD(p2 − ck q20 , =

n Q

i=1

GGD(p2 −

n Q

vi ) i=1 ck q20 , vi )

= GGD(p2 − ck q20 , vk ) = vk . Dit impliceert dat als we de constanten ck kennen, de factoren vk kunnen berekend worden m.b.v. het algoritme voor een GGD. Rest dus nog de constanten ck te

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE

271

bepalen. Daartoe merken we op dat GGD(p2 − dq20 , vk ) = GGD( = 1,

n P

(ci − d)vi0 vˆi , vk )

i=1

tenzij d = ck , in welk geval deze grootste gemene deler gelijk is aan vk . Zo zal ook GGD(p2 − dq20 , q2 ) = GGD(p2 − dq20 , =

n Q

k=1

=1

GGD(p2 −

n Q

vk ) k=1 dq20 , vk )

tenzij d gelijk is aan een van de ck -co¨effici¨enten, m.a.w. de ck ’s zijn precies deze constanten waarvoor GGD(p2 − dq20 , q2 ) 6= 1. Nu is de resultante van de polynomen (p2 − dq20 ) en (q2 ) : resx (p2 − dq20 , q2 ) een polynoom in d, dat nul is als en slechts dan als de GGD van beide termen niet 1 is. Om de constanten ck te bepalen, volstaat het dus de resultante resx (p2 − dq20 , q2 ) te berekenen [dit vereist geen algebra¨ısche getallenextensies] en de nulpunten ervan te bepalen. In het algemeen kan men de volgende stelling bewijzen :

STELLING Gegeven is een differentiaalveld K(x) over het constantenveld K. Verder zijn p en q veeltermen in K[x] die onderling ondeelbaar zijn en waarbij q monisch en kwadratenrij is; ook is deg(p) <deg(q). Onderstel dat K ∗ het minimale algebra¨ısch extensieveld van K is waarvoor Z

n p X = c∗i log(vi∗ ) q i=1

met c∗i ∈ K ∗ , vi∗ ∈ K ∗ [x]. Dan is : K ∗ = K(c∗1 , . . . , c∗n ) waarbij de c∗j (1 ≤ j ≤ n) de verschillende wortels zijn van de veelterm R(d) = resx (p − dq 0 , q) ∈ K[d], m.a.w. K ∗ is het splitsend veld van R(d) ∈ K[d].

272HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES VOORBEELD 1 p = 1, q = x2 − 2

p enkel een logaritmisch deel q bevatten (op de klassieke additieve constanten na, uiteraard); de horowitzmethode is dus overbodig. Aangezien q kwadratenvrij is, zal de primitieve van

∗

R(d) = resx (1 − d(2x), x2 − 2) = −8d2 + 1 ∈ Q[d]

∗ De complete factorisatie van R(d) in Q[d] is 1 R(d) = −8(d2 − ) ∈ Q[d]. 8 R(d) is niet te factoriseren over het constantenveld Q. Het splitsend veld van R(d) is Q(α), met 1 α = RootOf(d2 − ) 8 en de complete factorisatie van R(d) over Q(α) is : R(d) = −8(d − α)(d + α) ∈ Q(α)[d]. De nulpunten van R(d) zijn : c1 = α, c2 = −α ∗ De corresponderende logaritme-argumenten zijn : v1 = GGD(1 − α(2x), x2 − 2) = GGD(1 − 2αx, x2 − 2) = x − 4α ∈ Q(α)[x] v2 = GGD(1 + 2αx, x2 − 2) = x + 4α ∈ Q(α)[x] ∗

Z

x2

1 = αlog(x − 4α) − αlog(x + 4α) −2 ∈ Q(α)(x, log(x − 4α), log(x + 4α))

met α = RootOf(d2 − 18 ).

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE

273

Opmerking. Indien het algebra¨ısch getal α niet uitdrukbaar ware geweest in termen van wortelvormen, dan zou dit resultaat de best mogelijke primitieve in gesloten gedaante zijn geweest. Maar hier is het mogelijk te schrijven : α=

1√ 2 4

zodat uiteindelijk : R

1 x2 −2

√ √ √ √ = 14 2log(x − 2) − 14 2log(x + 2) √ √ √ ∈ Q( 2)(x, log(x − 2), log(x + 2)).

OEFENING 1. Behandel op analoge wijze als VOORBEELD de formele integratie Z

x2

1 +2

en vergelijk met het in 6.4.1 bekomen resultaat.

VOORBEELD 2 p = 5x4 + 1, q = x5 + x + 1 Ook hier weer enkel een logaritmisch deel. ∗ R(d) = resx ((5x4 + 1) − d(5x4 + 1), x5 + x + 1) = resx ((5 − 5d)x4 + 1 − d, x5 + x + 1) = 3381(1 − d)5 ∈ Q[d]

∗ Nulpunten van R(d) : c = 1 ∈ Q ∗ v = GGD((5x4 + 1) − (1)(5x4 + 1), x5 + x + 1) = GGD(0, x5 + x + 1) = x5 + x + 1 ∈ Q(x) Resultaat :

Z

5x4 + 1 = log(x5 + x + 1) ∈ Q(x, log(x5 + x + 1)) x5 + x + 1

274HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES OEFENING 2 Werk VOORBEELD 1 uit 6.4.3 af met de rothstein-tragermethode.

OEFENING 3 Herneem de OEFENING uit 6.4.3 en werk af met de rothstein-tragermethode.

OEFENING 4 Bepaal een primitieve in gesloten gedaante van de rationale functie 7x13 + 10x8 + 4x7 − 7x6 − 4x3 − 4x2 + 3x + 3 . x14 − 2x8 − 2x7 − 2x4 − 4x3 − x2 + 2x + 1 Er zal blijken dat slechts ´e´en enkele algebra¨ısche getallenextensie van de tweede graad vereist is. Daarentegen is het splitsend veld van de veelterm in de noemer een algebra¨ısche getallenveld van hoge orde over Q! In Maple: 6.4.4 Methode van Rothstein-Trager (voor het logaritmisch gedeelte) > restart;

>

rothstein_trager_poly := proc(r,q,x)

>

(1998) local q_,vgl,fact,i,aantal,verz; q_ := diff(q,x); vgl := resultant(r-d*q_,q,x); fact := factors(vgl); aantal := 0; for i from 1 to nops(fact[2]) do aantal := aantal + fact[2][i][2]; od; verz := {}; if nops(fact[2])<>degree(vgl,d) or aantal<>degree(vgl,d) then for i from 1 to nops(fact[2]) do

> > > > > > > > > >

#Sandy Van Wonterghem

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE >

if degree(fact[2][i][1],d)<>1 then

>

verz := verz union {fact[2][i][1]}; fi; od; fi; verz := convert(verz,list); end:

> > > > >

275

De procedure rothstein trager poly bepaalt alle polynomen waarvan we de nulpunten moeten toevoegen aan de verzameling van de rationale getallen (dus bepaalt alle algebrasche getallenextensies) zodanig dat we de beschouwde rationale functie volledig kunnen primitiveren. Deze procedure heeft drie argumenten : 1. & 2. de beschouwde polynomen 3. de veranderlijke waarin deze polynomen worden uitgedrukt

Het resultaat van de procedure rothstein trager poly is een lijst van polynomen uitgedrukt in de veranderlijke d.

>

rothstein_trager := proc(r,q,x,ext)

>

(1998) local q_,vgl,fact,aantal,i,c,v,pr; q_ := diff(q,x); vgl := resultant(r-d*q_,q,x); fact := factors(vgl); aantal := 0; pr := 0; for i from 1 to nops(fact[2]) do aantal := aantal + fact[2][i][2]; od; if nops(fact[2])=degree(vgl,d) or aantal=degree(vgl,d) then for i from 1 to nops(fact[2]) do

> > > > > > > > > >

#Sandy Van Wonterghem

276HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES > > > > > > > > > > > > >

c||i := -1*subs(d=0,fact[2][i][1]); v||i := gcd(r-c||i*q_,q); pr := pr + c||i*log(v||i); od; else fact := factors(vgl,ext); for i from 1 to nops(fact[2]) do c||i := -1*subs(d=0,evala(fact[2][i][1])); v||i := evala(Gcd(r-c||i*q_,q)); pr := pr + c||i*log(v||i); od; fi; pr; end:

De procedure rothstein trager heeft vier argumenten :

1. & 2. de beschouwde polynomen

3. de veranderlijke waarin deze polynomen worden uitgedrukt

4. de naam of de verzameling van de namen van de algebrasche extensies die moeten toegevoegd worden aan de verzameling van de rationale getallen.

Opmerking :

Indien we geen algebrasche extensie toevoegen aan Q, kunnen we het vierde argument weglaten. Men kan eventueel ook een fictieve naam ingeven.

Voorbeeld 1 : (zie cursus)

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE f=

277

1 x2 −2

>

p := 1; p := 1

>

q := x^2-2;

>

q := x2 − 2 rothstein_trager_poly(p,q,x); 1 [d2 − ] 8 alias(alpha=RootOf(d^2-1/8)); α prim := rothstein_trager(p,q,x,alpha); prim := α ln(−4 α + x) − α ln(x + 4 α) ### WARNING: allvalues now returns a list of symbolic values instead

>

of a sequence of lists of numeric values

>

allvalues(alpha);

>

>

>

1√ 1√ 2, − 2 4 4 Controle : > evala(diff(prim,x)); 1 (−4 α + x) (x + 4 α) Opmerking :

Indien men genteresseerd is in een aantal tussenresultaten (zoals v1 en v2 ), dan kan men deze terugvinden in Maple door aan de variabele printlevel de waarde 8 toe te kennen : > printlevel := 8; printlevel := 8 > rothstein_trager(p,q,x,alpha); {--> enter rothstein_trager, args = 1, x^2-2, x, RootOf(8*_Z^2-1)

q := 2 x vgl := −8 d2 + 1 1 fact := [−8, [[d2 − , 1]]] 8 aantal := 0

278HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES pr := 0 aantal := 1 fact := [−8, [[d − α, 1], [d + α, 1]]] c1 := α v1 := −4 α + x pr := α ln(−4 α + x) c2 := −α v2 := x + 4 α pr := α ln(−4 α + x) − α ln(x + 4 α) α ln(−4 α + x) − α ln(x + 4 α)

<-- exit rothstein_trager (now at top level) = RootOf(8*_Z^2-1)*ln(-4*RootOf(8*_Z^2-1)+x)-RootOf(8*_Z^2-1)*ln(x+4*Roo tOf(8*_Z^2-1))} >

α ln(−4 α + x) − α ln(x + 4 α) printlevel := 0; printlevel := 0

Oefening 1 : (zie cursus) f=

1 x2 +2

>

alias(alpha=alpha);

Opmerking :

De voorgaande ’waarde’ van α wordt eerst vernietigd ! > p := 1; p := 1 > q := x^2+2; >

>

>

q := x2 + 2 rothstein_trager_poly(p,q,x); 1 [d2 + ] 8 alias(alpha=RootOf(d^2+1/8)); α prim := rothstein_trager(p,q,x,alpha); prim := α ln(4 α + x) − α ln(−4 α + x)

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE >

### WARNING: allvalues now returns a list of symbolic values instead

>

of a sequence of lists of numeric values

>

allvalues(alpha); 1 √ −1 √ I 2, I 2 4 4

Controle : > evala(diff(prim,x)); 1 (4 α + x) (−4 α + x)

Voorbeeld 2 : (zie cursus) R

5 x4 +1 x5 +x+1

> >

dx

alias(alpha=alpha); r := 5*x**4+1; r := 5 x4 + 1

>

>

>

p := x**5+x+1; p := x5 + x + 1 rothstein_trager_poly(r,p,x); [] prim := rothstein_trager(r,p,x); prim := ln(x5 + x + 1)

Controle : > diff(prim,x); 5 x4 + 1 x5 + x + 1

Oefening 2 : (zie cursus) R

279

1 x −6 3 (x+2)(x2 +2)

dx

280HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES >

r := 1/3-x/6; r :=

>

1 1 − x 3 6

p := (x+2)*(x^2+2);

>

p := (x + 2) (x2 + 2) rothstein_trager_poly(r,p,x); 1 1 + d + d2 ] [ 288 9 alias(beta=RootOf(1/288+1/9*d+d^2)); β prim := rothstein_trager(r,p,x,beta); 1 1 prim := (− − β) ln(x − 4 − 72 β) + β ln(x + 4 + 72 β) + ln(x + 2) 9 9 ### WARNING: allvalues now returns a list of symbolic values instead

>

of a sequence of lists of numeric values

>

allvalues(beta);

>

>

>

−

1 √ 1 √ 1 1 + I 2, − − I 2 18 72 18 72

Controle : > evala(diff(prim,x)); 1 −2 + x − 6 (x + 2) (x + 4 + 72 β) (x − 4 − 72 β) > testeq(%,r/p); true

Oefening 3 : (zie cursus) R

36 x2 +1167 x+ 3549 2 2

2 x3 + 2330x − 215x − 15

> >

dx

alias(beta=beta); r := 36*x^2+1167*x+3549/2; 3549 2 p := x^3+(23/30)*x^2-(2/15)*x-(2/15); 2 2 23 2 x − x− p := x3 + 30 15 15 rothstein_trager_poly(r,p,x); r := 36 x2 + 1167 x +

>

>

6.4. FORMELE INTEGRATIE VAN EEN RATIONALE FUNCTIE

>

281

[] prim := rothstein_trager(r,p,x); 91125 2 1 37451 2 prim := ln( + x) − 8000 ln( + x) + ln(− + x) 16 3 2 16 5

Controle : > diff(prim,x); 37451 91125 1 8000 − + 16 2 2 1 16 +x +x − +x 3 2 5 >

testeq(%,r/p); true

Oefening 4 : (zie cursus) R

7 x13 +10 x8 +4 x7 −7 x6 −4 x3 −4 x2 +3 x+3 x14 −2 x8 −2 x7 −2 x4 −4 x3 −x2 +2 x+1

>

>

>

>

>

dx

r := 7*x**13+10*x**8+4*x**7-7*x**6-4*x**3-4*x**2+3*x+3; r := 7 x13 + 10 x8 + 4 x7 − 7 x6 − 4 x3 − 4 x2 + 3 x + 3 p := x**14-2*x**8-2*x**7-2*x**4-4*x**3-x**2+2*x+1; p := x14 − 2 x8 − 2 x7 − 2 x4 − 4 x3 − x2 + 2 x + 1 rothstein_trager_poly(r,p,x); 1 [d2 − d − ] 4 alias(gamma=RootOf(d^2-d-1/4)); γ prim := rothstein_trager(r,p,x,gamma);

prim := γ ln(x7 + x2 − 2 γ x2 − 2 γ x − 1) + (1 − γ) ln(x7 − x2 + 2 γ x2 − 2 x + 2 γ x − 1) > ### WARNING: allvalues now returns a list of symbolic values instead >

of a sequence of lists of numeric values

>

allvalues(gamma); 1 1√ 1 1√ 2, − 2 + 2 2 2 2

Controle :

282HOOFDSTUK 6. FORMELE INTEGRATIE VAN RATIONALE FUNCTIES >

simplify(diff(prim,x));

>

7 x13 + 10 x8 + 4 x7 − 7 x6 − 4 x3 − 4 x2 + 3 x + 3 x14 − 2 x8 − 2 x7 − 2 x4 − 4 x3 − x2 + 2 x + 1 alias(gamma=gamma);

Hoofdstuk 7 Formele Integratie van elementaire functies 7.1

Inleiding

In hoofdstuk 6 is de klasse van de z.g. elementaire functies reeds (ruwweg) omschreven. In een klassiek college “differentiaal- en integraalrekening” (calculus) gaat men bij een gegeven elementaire functie op zoek naar een primitieve in dezelfde klasse. Dit gebeurt deels heuristisch, deels met tabellen, deels ook algoritmisch [de z.g. klassen van primitieven]. Als men in dit opzet niet slaagt, dan heeft men uiteraard nog niet aangetoond dat er geen elementaire primitieve bestaat; meer zelfs, velen zijn er zich niet van bewust dat er voor dit probleem een eindige beslissingsprocedure bestaat. Vanuit algoritmisch standpunt bekeken is de veelheid aan (notaties van) functies in de klasse van elementaire functies een slechte zaak. Voor een CAS is b.v. Z

√ √ √ √ 2 2 1 = i log(x + i log(x − i 2) − i 2) x2 + 2 4 4

te prefereren boven Z

x2

1 1 x = √ arctan √ . +2 2 2

We zullen dus steevast de elementaire functies uitdrukken m.b.v. exponenti¨elen, logaritmen en algebra¨ısche functies, en het constantenveld uitbreiden met het algebra¨ısch getal i.

7.2

Elementaire functievelden 283

284HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES

7.2.1

DEFINITIES

Gegeven zijn een differentiaalveld F en een differentiaal extensieveld G van F . (i) θ ∈ G is logaritmisch over F als er een u 6= 0 in F bestaat waarvoor u0 θ0 = ; men noteert : θ = log(u); u θ0 = u0 ; (ii) θ ∈ G is exponentieel over F als er een u ∈ F bestaat waarvoor θ men noteert : θ = exp(u); (iii) θ ∈ G is algebra¨ısch over F als er een polynoom p ∈ F [z] bestaat waarvoor p(θ) = 0; (iv) θ ∈ G is transcendent over F als θ niet algebra¨ısch is over F .

7.2.2

DEFINITIES

Gegeven zijn een differentiaalveld F en een differentiaal extensieveld G van F . (i) G is een elementaire extensie van F als G van de vorm is : G = F (θ1 , . . . , θn ) waarbij elke θi logaritmisch, exponentieel of algebra¨ısch is over F (θ1 , . . . , θi−1 ), i = 1, . . . , n. (ii) G is een transcendente elementaire extensie van F als G van de vorm is : G = F (θ1 , . . . , θn ) waarbij elke θi logaritmisch of exponentieel een transcendent is over F (θ1 , . . . , θi−1 ), i = 1, . . . , n.

7.2.3

DEFINITIES

Neem K(x) een differentiaalveld van rationale functies over een constantenveld K dat een deelveld is van C. Als G een transcendente elementaire extensie is van K(x), dan noemt men G een veld van transcendente elementaire functies. Als G een elementaire extensie is van K(x), dan noemt men G een veld van elementaire functies.

7.2. ELEMENTAIRE FUNCTIEVELDEN

7.2.4

285

VOORBEELD 1

Beschouw het differentiaalveld Q(x) van de rationale functies met rationale co¨effici¨enten; het constantenveld is Q. Beschouw de functie x f = exp(x) + exp(2x) + exp( ). 2 Stel x θ1 = exp(x), θ2 = exp(2x), θ3 = exp( ); 2 dan is f = θ1 + θ2 + θ3 ∈ Q(x, θ1 , θ2 , θ3 ). We merken op dat

θ10 ∗ = x0 , x ∈ Q(x), zodat θ1 exponentieel is over Q(x) θ1 ∗

θ20 = (2x)0 , 2x ∈ Q(x), zodat θ2 exponentieel is over Q(x, θ1 ) θ2

∗

θ30 x x = ( )0 , ∈ Q(x), zodat θ3 exponentieel is over Q(x, θ1 , θ2 ) θ3 2 2

Maar θ2 − θ12 = 0

zodat θ2 ook algebra¨ısch is over Q(x, θ1 ), meer zelfs θ2 behoort tot Q(x, θ1 ) zodat Q(x, θ1 , θ2 ) = Q(x, θ1 ). Er bestaat dus een simpeler representatie van f , nl. f = θ1 + θ12 + θ3 ∈ Q(x, θ1 , θ3 ). Maar θ32 − θ1 = 0

zodat θ3 ook algebra¨ısch is over Q(x, θ1 ), maar nu is θ3 ∈ / Q(x, θ1 ). Uiteraard is dan ook θ1 algebra¨ısch over Q(x, θ3 ) en bovendien is θ1 ∈ Q(x, θ3 ) zodat Q(x, θ1 , θ3 ) = Q(x, θ3 ). De simpelste representatie van f is dus : f = θ32 + θ34 + θ3 ∈ Q(x, θ3 ). Q(x, θ3 ) is een transcendente elementaire extensie van Q(x).

286HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES

7.2.5

VOORBEELD 2

Beschouw opnieuw het differentiaalveld Q(x). De functie g=

q

log(x2 + 3x + 2)(log(x + 1) + log(x + 2))

kan als volgt gepresenteerd worden : θ1 = log(x2 + 3x + 2) logaritmisch over Q(x) θ2 = log(x + 1) logaritmisch over Q(x, θ1 ) θ3 = log(x + 2) logaritmisch over Q(x, θ1 , θ2 ) 2 θ4 − θ1 (θ2 + θ3 ) = 0, θ4 algebra¨ısch over Q(x, θ1 , θ2 , θ3 ) g = θ4 ∈ Q(x, θ1 , θ2 , θ3 ). We merken nu echter op dat g0 =

(x2 + 3x + 2)0 2x + 3 = x2 + 3x + 2 x2 + 3x + 2

zodat de simpelste representatie voor g luidt : g = θ1 ∈ Q(x, θ1 )

7.2.6

VOORBEELD 3

Met hetzelfde differentiaalveld Q(x) beschouwen we de functie h = exp(log(x)/2). Deze functie h kan als volgt gerepresenteerd worden : θ1 = log(x) logaritmisch over Q(x) θ2 = exp(θ1 /2) exponentieel over Q(x, θ1 ) h = θ2 ∈ Q(x, θ1 , θ2 ). Maar θ22 − x = 0

zodat θ2 algebra¨ısch is over Q(x) (maar wel θ2 ∈ / Q(x)). De eenvoudigste representatie van h is dus h = θ2 ∈ Q(x, θ2 ) met θ22 − x = 0. Uit deze voorbeelden moge duidelijk blijken dat de begrippen logaritmische en exponenti¨ele extensie enerzijds en algebra¨ısche extensie anderzijds, elkaar niet uitsluiten. Vandaar de invoering van een nieuw extensie-begrip : de monomiale extensie, met bijhorende structuurstelling ter herkenning ervan.

287

7.2. ELEMENTAIRE FUNCTIEVELDEN

7.2.7

DEFINITIE

Gegeven zijn een differentiaalveld F en een differentiaal extensieveld G van F . Een element θ ∈ G heet monomiaal over F als terzelfdertijd : (i) F en F (θ) hebben hetzelfde constantenveld (ii) θ is transcendent over F (iii) θ is logaritmisch of exponentieel over F . Voor een bewijs van de volgende structuurstelling verwijzen we naar R. Risch : “Algebraic Properties of the Elementary Functions of Analysis”, Amer. Jour. of Math. 101, pp. 743-759 (1979).

7.2.8

STRUCTUURSTELLING

Gegeven zijn een differentiaalveld F (x) met constantenveld F en een differentiaal extensieveld F (x, θ1 , . . . , θn ) van F (x) met hetzelfde constantenveld F . Onderstel dat elke θi aan ´e´en van de volgende voorwaarden voldoet (i = 1, . . . , n) : ∗ θi is algebra¨ısch over F (x, θ1 , . . . , θi−1 ) ∗ θi = log(ui ) met ui ∈ F (x, θ1 , . . . , θi−1 ) ∗ θi = exp(wi ) met wi ∈ F (x, θ1 , . . . , θi−1 ) Dan geldt : (i) g = log(f ) met f ∈ F (x, θ1 , . . . , θn ) − F is monomiaal over F (x, θ1 , . . . , θn ), als en slechts als er geen lineaire combinatie met k ∈ Z0 , ki ∈ Z, ei ∈ Z k · log(f ) +

X i

ki · log(ui) +

X

ei wi

i

kan gevonden worden die te schrijven valt als de logaritme van een constante q ∈ F; (ii) f = exp(g) met g ∈ F (x, θ, . . . , θn ) − F is monomiaal over F (x, θ1 , . . . , θn ), als en slechts dan als er geen lineaire combinatie met k ∈ Z0 , ki ∈ Z, li ∈ Z X i

ki · log(ui ) + k · g +

X i

−li · wi

kan gevonden worden die te schrijven valt als de logaritme van een constante q ∈ F.

288HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES

7.2.9

VOORBEELD 1

• differentiaalveld Q(x) √ √ • g = log( x2 + 1 + x) − log( x2 + 1 − x) √ • θ1 = x2 + 1, θ12 − x2 − 1 = 0, θ1 algebra¨ısch over Q(x) • θ2 = log(θ1 + x) ? is θ2 monomiaal over Q(x, θ1 ) ? bestaat er k ∈ Z0 waarvoor k · log(θ1 + x) = logq, q ∈ Q (θ1 + x)k = q, q ∈ Q besluit : θ2 is monomiaal over Q(x, θ1 ) • θ3 = log(θ1 − x) ? is θ3 monomiaal over Q(x, θ1 , θ2 ) ? bestaan er k ∈ Z0 en k2 ∈ Z waarvoor k · log(θ1 − x) + k2 · log(θ1 + x) = logq, q ∈ Q (θ1 − x)k (θ1 + x)k2 ∈ Q voor k = k2 = 1 vinden we (θ1 − x)(θ1 + x) = θ12 − x2 = 1 ∈ Q zodat θ3 niet monomiaal is over Q(x, θ1 , θ2 ); die betekent dat θ3 geen nieuwe onafhankelijke transcendente logaritmische extensie toevoegt aan Q(x, θ1 , θ2 ); trouwens : θ3 = log(θ1 − x) = −log(θ1 + x) = −θ2 ∈ Q(x, θ1 , θ2 ) • g = 2θ2 ∈ Q(x, θ1 , θ2 )

7.2.10

VOORBEELD 2

(cfr. 7.2.4) • differentiaalveld Q(x) • θ1 = exp(x), w1 = x ∈ Q(x)

7.2. ELEMENTAIRE FUNCTIEVELDEN

289

• θ2 = exp(2x) ? is θ2 monomiaal over Q(x, θ1 ) ? bestaat er k ∈ Z0 , l ∈ Z waarvoor k2x + lw1 = logq, q ∈ Q (2k + l)x = logq, q ∈ Q voor k = 1, l = −2 is (2k + l)x = log(1), zodat θ2 niet monomiaal is over Q(x, θ1 ); trouwens θ2 = θ12 ∈ Q(x, θ1 ) • θ3 = exp( x2 ) ? is θ3 monomiaal over Q(x, θ1 ) ? bestaan er k ∈ Z0 en l1 ∈ Z waarvoor

x k + l1 w1 = log(q), q ∈ Q 2 k ( + l)x = log(q), q ∈ Q 2

voor k = 2, l = −1 is ( k2 + l)x = 0 zodat θ3 niet monomiaal is over Q(x, θ1 ); trouwens : 1 1 θ32 − θ1 = 0, θ3 = θ12 ∈ Q(x, θ1 , θ12 )

7.2.11

VOORBEELD 3

(cfr. 7.2.5) • differentiaalveld Q(x) • θ1 = log(x2 + 3x + 2), u1 = x2 + 3x + 2 ∈ Q(x) • θ2 = log(x + 1) ? bestaan er k ∈ Z0 , k1 ∈ Z waarvoor k · log(x + 1) + k1 · log(x2 + 3x + 2) = logq, q ∈ Q 1 2x + 3 k· + k1 ( 2 )=0 x+1 x + 3x + 2 k(x + 2) + k1 (2x + 3) = 0 (k + 2k1 )x + (2k + 3k1 ) = 0 antwoord : neen, zodat θ2 monomiaal is over Q(x, θ1 ). • θ3 = log(x + 2) ? bestaan er k ∈ Z0 en k1 , k2 ∈ Z waarvoor k · log(x + 2) + k1 · log(x2 + 3x + 2) + k2 · log(x + 1) = logq, q ∈ Q (x + 2)k (x2 + 3x + 2)k1 (x + 1)k2 = q, q ∈ Q

290HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES dit is inderdaad zo voor b.v. k = 1, k1 = −1, k2 = 1 zodat θ3 niet monomiaal is over Q(x, θ1 , θ2 ); trouwens : θ3 = θ1 − θ2 ∈ Q(x, θ1 , θ2 );

7.2.12

VOORBEELD 4

(cfr. 7.2.6)

• differentiaalveld Q(x) • θ1 = log(x), u1 = x ∈ Q(x) • θ2 = exp(θ1 /2) ? bestaan er k ∈ Z0 , k1 ∈ Z waarvoor θ1 k + k1 log(x) = logq, q ∈ Q 2 k ( + k1 )log(x) = logq, q ∈ Q 2 antwoord : voor k = 2, k1 = −1, is dit voldaan; dus is θ2 niet monomiaal over Q(x, θ1 ); trouwens : θ22 − x = 0

7.2.13

VOORBEELD 5

• differentiaalveld Q(x) 1

• θ1 = x 2 voldoet aan θ12 − x = 0, dus is θ1 algebra¨ısch over Q(x). • θ2 = log(x) ? bestaan er k ∈ Z0 waarvoor klog(x) = logq, q ∈ Q antwoord : neen, dus is θ2 monomiaal over Q(x, θ1 ). • θ3 = exp(θ2 /2) ? bestaan er k ∈ Z0 , k2 ∈ Z waarvoor k θ22 + k2 log(x) = logq, q ∈ Q voldaan voor k = 2, k2 = −1, dus θ3 niet monomiaal over Q(x, x1/2 , log(x)).

7.3. AFLEIDING VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES

7.3

291

Afleiding van elementaire functies

In de vorige paragraaf werd het begrip elementair functieveld ingevoerd als een differentiaal extensieveld van het veld K(x) van rationale functies, waarbij elke extensie van het type logaritmisch, exponentieel of algebra¨ısch is. Het zou eenvoudig zijn voor het constantenveld K steeds het algebra¨ısch gesloten veld C te nemen, zodat nooit algebra¨ısche getallenextensies zouden vereist zijn bij de formele integratie. Aangezien in CAS met exacte uitdrukkingen gewerkt wordt, zal het constantenveld K echter van de vorm Q(α1 , . . . , αk ) zijn, waarbij de algebra¨ısche getallen α1 , . . . , αk opgedrongen worden door het behandelde formele integratieprobleem. Het vraagstuk van de formele integratie van een elementaire functie kan dan als volgt gesteld worden :

Gegeven een elementaire functie f , bepaal eerst een elementair functieveld F (x) waartoe f behoort : f ∈ F (x) = Q(α1 , . . . , αk )(x, θ1 , . . . , θn ); bepaal dan de additionele vereiste extensies zodanig dat de primitieve g van f behoort tot het nieuwe elementaire functieveld Q(α1 , . . . , αk , . . . , αk+l )(x, θ1 , . . . , θn , . . . θn+m ) en bepaal een expliciete gedaante van g, of, anderzijds, bewijs dat er geen dergelijke elementaire functie g bestaat.

Met het oog op het opstellen van een volledige beslissingsprocedure, gaan we eerst onderzoeken welke de mogelijke gedaanten zijn van dergelijke primitieven. Dit vereist de kennis van de manier waarop een differentiaaloperator inwerkt op elementaire functies. We behandelen de eenvoudige gevallen waarin er slechts ´e´en extensie optreedt.

7.3.1

STELLING: (Afleiding van een logaritmisch polynoom)

Gegeven is een differentiaalveld F (x) en een differentiaal extensieveld F (x, θ) met hetzelfde constantenveld, waarbij θ transcendent logaritmisch is over F (x). Beschouw het polynoom p(θ) ∈ F (x)[θ] met positieve graad; er geldt : (i) p(θ)0 ∈ F (x)[θ]

292HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES (ii) als de hoogstegraadsco¨effici¨ent van p(θ) constant is, dan is deg(p(θ)0 ) = deg(p(θ)) − 1 (iii) als de hoogstegraadsco¨effici¨ent van p(θ) niet constant is, dan is deg(p(θ)0 ) = deg(p(θ)).

7.3.2

STELLING: (Afleiding van een exponentieel polynoom)

Gegeven is een differentiaalveld F (x) en een differentiaal extensieveld F (x, θ) met hetzelfde constantenveld, waarbij θ transcendent exponentieel is over F (x). Beschouw het polynoom p(θ) ∈ F (x)[θ] met positieve graad; er geldt : (i) p(θ)0 ∈ F (x)[θ] (ii) deg(p(θ)0 ) = deg(p(θ)) (iii) p(θ) deelt p(θ)0 als en slechts dan als p van de vorm is : p(θ) = hθn , h ∈ F, n ∈ Z (iv) als p(θ) = hθn , h ∈ F, h 6= 0, n ∈ Z0 , dan is ˜ n , h ∈ F, ˜h 6= 0. p(θ)0 = hθ

7.3.3

STELLING: (Afleiding van een algebra¨ısche functie)

Gegeven is een differentiaalveld F (x) en een differentiaal extensieveld F (x, θ) met hetzelfde constantenveld, waarbij θ algebra¨ısch is over F (x) met minimaal polynoom : p(z) =

N +1 X j=0

pj (x)z j ∈ F (x)[z], pN +1 = 1.

Voor de afgeleide van θ geldt dan : θ0 = − met a(z) =

N X

j=0

0 j

a(θ) ∈ F (x, θ) b(θ)

pj (x) z ∈ F (x)[z], b(z) =

N X

(j + 1)pj+1(x)z j ∈ F (x)[z]

j=0

293

7.4. HET LIOUVILLEPRINCIPE

7.4

Het liouvilleprincipe

In het vorig hoofdstuk werd aangetoond dat een rationale functie een primitieve bezit in de klasse van de transcendante elementaire functies, als een som van een rationale functie en een eindige lineaire combinatie van logaritmische extensies, waarbij eventueel het constantenveld moet uitgebreid worden met algebra¨ısche getallenextensies.

Een veralgemening van dit resultaat tot het probleem van de formele integratie van elementaire functies, werd geformuleerd door Liouville in 1833; het is de basis voor de algoritmische benadering van dit probleem.

7.4.1

STELLING: (Principe van Liouville)

Gegeven is een differentiaalveld F (x) met constantenveld K. Onderstel dat de functie f ∈ F (x) een primitieve g bezit in een elementair extensieveld G van F (x) met hetzelfde constantenveld K. Dan bestaan er functies v0 , v1 , . . . , vm ∈ F (x) en constanten c1 , . . . , cm ∈ K waarvoor geldt dat g = v0 +

n X

j=1

cj · log(vj ).

Dit liouvilleprincipe kan scherper gesteld worden in de speciale gevallen waarbij slechts ´e´en enkele extensie vereist is bij de formele integratie [en geen algebra¨ısche getallenextensies].

7.4.2

STELLING: (liouvilleprincipe voor een simpele transcendente logaritmische extensie)

Gegeven is een constantenveld K, een elementair functieveld F (x) = K(x, θ1 , . . . , θn ) en een functie f ∈ F (x). Onderstel dat een primitieve g van f behoort tot het elementair extensieveld G van F (x), van de vorm : G = F (x, θ) = K(x, θ1 , . . . , θn , θ) met hetzelfde constantenveld K, waarbij θ transcendent logaritmisch is over F (x), m.a.w. er bestaat een functie u 6= 0 in K(x, θ1 , . . . , θn ) waarvoor θ = log(u). Dan bestaan er een functie v0 ∈ F (x) en een constante c ∈ K waarvoor geldt dat g = v0 + c · θ = v0 + c · log(u)

294HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES

7.4.3

STELLING: (liouvilleprincipe voor een simpele transcendente exponenti¨ ele extensie)

Gegeven is een constantenveld K, een elementair functieveld F (x) = K(x, θ1 , . . . , θn ) en een functie f ∈ F (x). Onderstel dat een primitieve g van f behoort tot het elementair extensieveld G van F (x), van de vorm : G = F (x, θ) = K(x, θ1 , . . . , θn , θ) met hetzelfde constantenveld K, waarbij θ transcendent exponentieel is over F (x), m.a.w. er bestaat een u in K(x, θ1 , . . . , θn ) waarvoor θ = exp(u). Dan bestaat er een functie v0 ∈ F (x) waarvoor geldt dat g = v0 .

7.4.4

STELLING: (liouvilleprincipe voor een simpele algebra¨ısche extensie)

Gegeven is een constantenveld K, een elementair functieveld F (x) = K(x, θ1 , . . . , θn ) en een functie f ∈ F (x). Onderstel dat een primitieve g van f behoort tot het elementair extensieveld G van F (x), van de vorm G(x) = F (x, θ) met hetzelfde constantenveld K, waarbij θ algebra¨ısch is over F (x). Dan bestaat er een functie v0 ∈ F (x) waarvoor geldt dat g = v0 .

7.4.5

VOORBEELD K=Q F (x) = Q(x, exp(x2 )) 2x3 − 2x2 − 1 exp(x2 ) f= 2 (x −√ 1) x 1 1 g = exp(x2 ) (√ +√ ) 2 x−1 x+1

we constateren dat g ∈ Q(x, exp(x2 ), θ) met θ2 − x = 0, dus θ algebra¨ısch over Q(x, exp(x2 )). Het liouvilleprincipe stelt dat er een functie v0 ∈ Q(x, exp(x2 )) bestaat waarvoor g = v0 ; inderdaad : ! √ 1 1 x x √ +√ = 2 x−1 x+1 x−1

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES295 zodat g=

x exp(x2 ) ∈ Q(x, exp(x2 )). x−1

Opmerking : het liouvilleprincipe garandeert geenszins het bestaan van een primitieve van een elementaire functie, die behoort tot een elementair extensieveld. Denk maar aan de functie 1 ∈ Q(x, log(x)). log(x)

7.5

Het rischalgoritme voor transcendente elementaire functies

We behandelen nu het formele integratieprobleem voor functies die behoren tot een transcendent elementair functieveld K(x, θ1 , . . . , θn ); dit betekent dat K(x) een differentiaalveld is van rationale functies over een constantenveld K, deelveld van C, en dat elke θi transcendent logaritmisch of exponentieel is over K(x, θ1 , . . . , θi−1 )(i = 1, . . . , n). De beslissingsprocedure die zal opgesteld worden, zal ofwel een primitieve bepalen als die bestaat als elementaire functie, ofwel aantonen dat een elementaire primitieve niet bestaat. Het geval van formele integratie van functies die behoren tot een algemener elementair functieveld [met inbegrip van algebra¨ısche extensies] is moeilijker, en wordt hier niet behandeld. Gegeven een integrandum f , bestaat de eerste stap erin een transcendent elementair functieveld te bepalen waartoe f behoort. Zoals de voorbeelden uit §2 hebben uitgewezen, is dit niet triviaal. Alle circulaire, hyperbolische functies en hun inversen worden eerst uitgedrukt d.m.v. exponenti¨elen en logaritmen; dan moeten de algebra¨ısche verbanden tussen al deze exponenti¨ele en logaritmische functies opgespoord worden. We zullen aannemen dat we erin geslaagd zijn een zuiver transcendent elementair functieveld te bepalen waartoe het integrandum behoort. Bij de stellingen van de vorige paragraaf werd steeds ondersteld dat bij het differentiaal extensieveld waartoe de primitieve behoort, het constantenveld gelijk bleef aan het oorspronkelijke; deze technische kwestie zal door het algoritme aangepast worden in die zin dat daar waar nodig het constantenveld zal ge¨extendeerd worden. De basisidee bij het opstellen van het algoritme is het opvatten van het integrandum als een rationale functie in de transcendente symbolen θ1 , . . . , θn . Vandaar dat het algoritme voor transcendente functies nogal wat gelijkenissen zal vertonen met het algoritme voor de formele integratie van rationale functies uit hoofdstuk 6, i.h.b. met de hermite- en de rothstein-tragermethode. Het integrandum f ∈ K(x, θ1 , . . . , θn ) zullen we opvatten als een rationale functie

296HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES in de laatste transcendente extensie θn , die we θ noteren : f (θ) =

p(θ) ∈ K(x, θ1 , . . . , θn−1 ) = Fn−1 (θ), q(θ)

– waarbij de betekenis van de notatie Fn−1 (θ) duidelijk is – met p en q behorend tot Fn−1 [θ]; we gaan ervan uit dat f genormaliseerd is : GGD(p(θ), q(θ)) = 1 en dat q(θ) monisch is. Het algoritme zal recurrent te werk gaan, om te eindigen bij F0 = K(x), geval dat behandeld werd in hoofdstuk 6.

7.5.1

Het rischalgoritme voor transcendente logaritmische extensies

We beschouwen het geval waarbij θ logaritmisch is over Fn−1 ; er bestaat dus een functie u 6= 0 in Fn−1 waarvoor geldt dat θ0 =

u0 of θ = log(u). u

Met het euclidisch algoritme bepalen we r(θ) en p˜(θ), polynomen in Fn−1 [θ] waarvoor geldt : p(θ) = q(θ)˜ p(θ) + r(θ) waarbij ofwel r(θ) = 0 ofwel deg(r(θ)) <deg(q(θ)). Aldus is Z Z Z r(θ) . f (θ) = p˜(θ) + q(θ) Hierbij noemt men p˜(θ) het polynomiaal deel van f (θ), terwijl van f (θ) wordt genoemd.

r(θ) q(θ)

het rationaal deel

7.5.1.1 Logaritmische extensie : het rationaal deel Voor de formele integratie van het rationaal deel

r(θ) volgen we de hermitemethode. q(θ)

1. Start is de kwadraatvrije ontbinding van de noemer q(θ) ∈ Fn−1 [θ] : q(θ) =

k Y

i=1

qi (θ)i

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES297 waarbij elke qi (θ) monisch en kwadraatvrij is en GGD(qi (θ), qj (θ)) = 1 als i 6= j en deg(qi (θ)) > 0 en deg(qj (θ)) > 0. Merk hierbij op dat alle bewerkingen gebeuren in het polynoomdomein Fn−1 [θ]. Zo betekent o.m. qi (θ) kwadraatvrij dat GGD(qi (θ),

d qi (θ)) = 1. dθ

We zullen echter de sterkere conditie GGD(qi (θ), qi (θ)0 ) = 1 nodig hebben [met afleiding naar de variabele x], wat inderdaad vervuld is dankzij onderstaande hulpstelling. LEMMA Gegeven zijn een differentiaalveld F (x) met differentiaaloperator 0 waarvoor x0 = 1, en een differentiaal extensieveld F (x, θ) met hetzelfde constantenveld, waarbij θ transcendent en logaritmisch is over F (x). Voor een monisch polynoom a(θ) ∈ F (x)[θ] in het symbool θ, met positieve graad, waarvoor geldt dat d GGD(a(θ), a(θ)) = 1 dθ –m.a.w. a(θ) is kwadraatvrij in F (x)[θ] - geldt eveneens dat GGD(a(θ), a(θ)0 ) = 1 waarbij deze laatste ggd-operatie eveneens in F (x)[θ] wordt doorgevoerd. zonder bewijs 2. We knopen weer aan met de hermitemethode en splitsen het rationaal deel in partieelbreuken : k X i r(θ) X rij (θ) = q(θ) i=1 j=1 qi (θ)j waarbij alle rij (θ) ∈ Fn−1 [θ] en deg(rij (θ)) <deg(qi (θ)). 3. Zo zijn we in het reductieproces herleid tot de formele integratie van rij (θ) , j > 1. qi (θ)j Gelet op bovenstaande hulpstelling, kunnen we polynomen s(θ) en t(θ) in Fn−1 [θ] bepalen waarvoor s(θ)qi (θ) + t(θ)qi (θ)0 = rij (θ) waarbij deg(s(θ)) < deg(qi (θ)0 )

298HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES en deg(t(θ)) < deg(qi (θ)). Aldus is, mede na een parti¨ele integratie, (m.b.t. de variabele x!) Z

rij (θ) t(θ) =− + j qi (θ) (j − 1)qi (θ)j−1

Z

1 t(θ)0 j−1 . (θ)j−1

s(θ) + qi

In geval j − 1 > 1 kan dezelfde bewerking herhaald worden, gelet op deg(s(θ) +

1 t(θ)0 ) j−1

≤ max(deg(s(θ)), deg(t(θ)0 )) < deg(qi (θ)),

wat volgt uit de stelling omtrent de afleiding van een logaritmisch polynoom (§ 7.3). Dit reductieproces wordt herhaald tot de noemers van de integranda kwadraatvrij zijn : Z Z r(θ) c(θ) a(θ) = + q(θ) d(θ) b(θ) met a(θ), b(θ), c(θ) en d(θ) in Fn−1 [θ], b(θ) monisch en kwadraatvrij, d deg(a(θ)) <deg(b(θ)),deg(c(θ)) < deg(d(θ)), en d(θ) = GGD(q(θ), q(θ)). dθ Past men hier de horowitzmethode toe, dan zal dit, gelet op het feit dat het onderliggende veld niet constant is m.b.t. x, leiden tot een systeem van lineaire differentiaalvergelijkingen [in plaats van lineaire algebra¨ısche vergelijkingen zoals bij rationale functies].

4. Rest dus nu de primitivering van het gedeelte

a(θ) , waarop de rothsteinb(θ)

tragermethode van toepassing is. We bepalen de resultante : R(z) = resθ (a(θ) − zb(θ)0 , b(θ)) ∈ Fn−1 [z], waarvan de wortels nu niet noodzakelijk constant zijn. Vooruitlopend op de stelling van subparagraaf 7.5.1.2, heeft men echter dat R a(θ) elementair is als en slechts dan als deze resultante van de vorm is : b(θ) ˜ R(z) = R(z)S ∈ Fn−1 [z] ˜ waarbij R(z) ∈ K[z] en S ∈ Fn−1 = K(x, θ1 , . . . , θn−1 ). ˜ Indien dus een van de co¨effici¨enten van R(z) niet constant is, dan concludeert R a(θ) men onmiddellijk dat niet elementair is. In het andere geval noemen b(θ) ˜ we ci (1 ≤ i ≤ m) de verschillende wortels van R(z) in zijn splitsend veld KR˜ , en leggen we functies vi (1 ≤ i ≤ m) vast d.m.v. vi (θ) = GGD(a(θ) − ci b(θ)0 , b(θ)) ∈ Fn−1 (c1 , . . . , cm )[θ].

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES299 Dan is Z

m a(θ) X = ci log(vi (θ)) b(θ) i=1

waarbij de minimale algebra¨ısche extensie van het constantenveld K is gebruikt.

VOORBEELD (7.5.1.1) 1 Z

Het integrandum f =

1 log(x)

1 wordt ge¨ınterpreteerd als log(x) f (θ) =

1 ∈ Q(x, θ) θ

waarbij θ = log(x). Voor de rothstein-tragermethode bepalen we 1 R(z) = resθ (1 − z , θ) x z = − + 1 ∈ Q(x)[z]. x z ˜ De co¨effici¨enten van R(z) = − +1 zijn echter niet constant; de gegeven primitieve x is niet elementair!

VOORBEELD (7.5.1.1) 2 Z

Het integrandum f =

1 x

log(x)

1 x · log(x)

wordt ge¨ınterpreteerd als

f (θ) =

1 x

θ

∈ Q(x, θ)

waarbij θ = log(x). Voor de rothstein-tragermethode bepalen we R(z) = resθ ( x1 − z x1 , θ) = − x1 z + = (z − 1)(− x1 ).

1 x

∈ Q(x)[z]

300HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES ˜ De co¨effici¨enten van R(z) = z − 1 zijn constant, zodat de gegeven primitieve elementair is. Achtereenvolgens vinden we : 1 1 c1 = 1, v1 (θ) = GGD( − 1. , θ) = θ x x zodat Z

1 x

log(x)

= 1 · log(θ) = log(log(x)).

VOORBEELD (7.5.1.1) 3 Z

2

2

x(x + 1)((x2 e2x − log2 (x + 1))2 + 2xe3x (x − (2x3 + 2x2 + x + 1)log(x + 1))) ((x + 1)log2 (x + 1) − (x3 + x2 )e2x2 )2

We stellen

• θ1 = exp(x2 ) • θ2 = log(x + 1) en vatten het integrandum op als een polynoom in θ2 met co¨effici¨enten in Q(x, θ1 ) : f (θ2 ) =

x 2x2 3 x − (2x3 + 2x2 + x + 1)θ2 + θ . x+1 x+1 1 (θ22 − x2 θ12 )2

x ∈ Q(x); primitivering geschiedt volgens het Het z.g. polynomiale deel van f is x+1 algoritme van hoofdstuk 6; men vindt :

Z

x = x − log(x + 1) ∈ Q(x, log(x + 1)). x+1

Op het z.g. rationale deel van f dat van de vorm is : r(θ2 ) b(θ2 )2 met r(θ2 ) een polynoom van de eerste graad en b(θ2 ) een monisch, kwadraatvrij polynoom van de tweede graad, passen we de hermitereductie toe. Splitsing in partieelbreuken is onnodig. We bepalen s(θ2 ) en t(θ2 ) in Q(x, θ1 )[θ2 ] waarvoor geldt : s(θ2 )b(θ2 ) + t(θ2 )b(θ2 )0 = r(θ2 ) deg(s(θ2 )) < 1, deg(t(θ2 )) < 2; we vinden : s(θ2 ) =

−2x θ1 , t(θ2 ) = xθ1 θ2 . x+1

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES301 Met Maple berekenen we t(θ2 )0 = θ1 ((2x2 + 1)θ2 +

x ) x+1

zodat

t(θ2 )0 −2x x = θ1 + θ1 ((2x2 + 1)θ2 + ) j −1 x+1 x+1 Een eerste reductie levert aldus : s(θ2 ) +

Z

r(θ2 ) xθ1 θ2 = − + 2 b(θ2 )2 θ2 − x2 θ12

Z

(2x2 + 1)θ1 θ2 − θ22 − x2 θ12

x θ x+1 1

waarop geen verdere reductie moet toegepast worden.

Voor de rothstein-tragermethode bepalen we de resultante R(z) = resθ2 (a(θ2 ) − zb(θ2 )0 , b(θ2 )) Gelet op b(θ2 )0 =

2 θ2 − 2x(2x2 + 1)θ12 x+1

Controleer dit in Maple:

R(z) = resθ2 (((2x2 + 1)θ1 −

x 2z )θ2 + (2x(2x2 + 1)zθ12 − θ1 ), θ22 − x2 θ12 ) x+1 x+1

˜ waaruit R(z) = ppR(z) = 4z 2 − 1, wat constante co¨effici¨enten vertoont, zodat de primitieve van het rationale deel elementair is. We bekomen achtereenvolgens : • c1 = 1/2 1 x )θ2 + (x(2x2 + 1)θ12 − θ1 ), x+1 x+1 (θ2 − xθ1 )(θ2 + xθ1 )) 1 )(θ2 + xθ1 ), . . .) = GGD(((2x2 + 1)θ1 − x+1 = θ2 + xθ1

v1 = GGD(((2x2 + 1)θ1 − •

• c2 = −1/2 • v2 = θ2 − xθ1 zodat Z

1 1 a(θ2 ) = log(θ2 + xθ1 ) − log(θ2 − xθ1 ). b(θ2 ) 2 2

302HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES Uiteindelijk komt er : 2

R

xex log(x + 1) f = x − log(x + 1) − log2 (x + 1) − x2 e2x2 2 2 + 21 (log(x + 1) + xex ) − 12 log(log(x + 1) − xex ) ∈ Q(x, log(x + 1), exp(x2 ))

Dit geeft de volgende Maple-sessie:

7.5.1 Het Rischalgoritme voor transcendente logaritmische extensies

7.5.1.1 Logaritmische extensie : het rationaal deel

>

restart;

>

read ‘hfdst6.m‘;

Opmerking :

De bovenstaande commandolijn zorgt ervoor dat Maple alle procedures ’kent’ die betrekking hebben op het zesde hoofdstuk van de cursus computeralgebra. De allereerste keer dat men deze worksheet wil doorlopen, moet men eerst de worksheet bib hfdst6.mws met ”Execute Worksheet¨ uitvoeren. Dit zorgt ervoor dat Maple de file hfdst6.m aanmaakt en plaatst in de werk-directory.

Voorbeeld 1 : (zie (7.5.1.1) 1) >

f := 1/log(x); f :=

>

1 ln(x)

f := subs(log(x)=theta,%); f :=

Rothstein-Tragermethode :

1 θ

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES303 >

r := 1; r := 1

>

q := theta; q := θ

>

q_ := diff(ln(x),x); q :=

>

>

1 x

resultant(r-z*q_,theta,theta); x−z x R_:=primpart(%,z); R := x − z

De cofficinten van R˜ = x−z (als functie van z) zijn niet constant, dus is de gegeven x primitieve niet elementair !

WAT DOET MAPLE HIERMEE?

Voorbeeld 2 : (zie (7.5.1.1) 2) > f := 1/(x*log(x)); f := >

1 x ln(x)

subs(log(x)=theta,%); 1 xθ

>

r := 1/x; r :=

>

1 x

q := theta; q := θ

>

q_ := diff(log(x),x); q :=

>

>

1 x

resultant(r-z*q_,theta,theta); −1 + z − x R_:=primpart(%,z); R := 1 − z

304HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES De cofficinten van R˜ = z − 1 zijn constant, dus de gegeven primitieve is elementair ! > c := 1; c := 1 > v := gcdex(r-c*q_,theta,theta); v := θ > Int(f,x)=1*log(v); Z 1 dx = ln(θ) x ln(x) > subs(theta=log(x),%); Z 1 dx = ln(ln(x)) x ln(x) Controle : > diff(log(log(x)),x); 1 x ln(x)

Voorbeeld 3 (zie (7.5.1.1) 3) > f := >

x*(x+1)*((x^2*exp(2*x^2)-log(x+1)^2)^2+2*x*exp(3*x^2)*(x-(2*x^3+2*x^2+

>

x+1)*log(x+1)))/((x+1)*log(x+1)^2-(x^3+x^2)*exp(2*x^2))^2; 2

f :=

2

x (x + 1) ((x2 e(2 x ) − ln(x + 1)2 )2 + 2 x e(3 x ) (x − (2 x3 + 2 x2 + x + 1) ln(x + 1))) ((x + 1) ln(x + 1)2 − (x3 + x2 ) e(2 x2 ) )2 > Int(f,x); 2

2

x (x + 1) ((x2 e(2 x ) − ln(x + 1)2 )2 + 2 x e(3 x ) (x − (2 x3 + 2 x2 + x + 1) ln(x + 1))) ((x + 1) ln(x + 1)2 − (x3 + x2 ) e(2 x2 ) )2 dx

Z

2

2

Omdat Maple niet opmerkt dat e(2 x ) = (e(x ) )2 , zal Maple bij substitutie e(2 x 2 niet vervangen door θ2 (indien θ = e(x ) ).

Daarom voeren we de volgende substituties door:

>

f_s:=subs({exp(2*x^2)=exp(x^2)^2,exp(3*x^2)=exp(x^2)^3},f);

2)

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES305 2

2

x (x + 1) ((x2 (e(x ) )2 − ln(x + 1)2 )2 + 2 x (e(x ) )3 (x − (2 x3 + 2 x2 + x + 1) ln(x + 1))) f s := ((x + 1) ln(x + 1)2 − (x3 + x2 ) (e(x2 ) )2 )2 > p := >

x*(x+1)*((x^2*exp(x^2)^2-log(x+1)^2)^2+2*x*exp(x^2)^3*(x-(2*x^3+2*x^2+

>

x+1)*log(x+1)));

p := x (x + 1) 2

2

((x2 (e(x ) )2 − ln(x + 1)2 )2 + 2 x (e(x ) )3 (x − (2 x3 + 2 x2 + x + 1) ln(x + 1))) > q := ((x+1)*log(x+1)^2-(x^3+x^2)*exp(x^2)^2)^2; 2

>

q := ((x + 1) ln(x + 1)2 − (x3 + x2 ) (e(x ) )2 )2

f := p/q; 2

2

x (x + 1) ((x2 (e(x ) )2 − ln(x + 1)2 )2 + 2 x (e(x ) )3 (x − (2 x3 + 2 x2 + x + 1) ln(x + 1))) f := ((x + 1) ln(x + 1)2 − (x3 + x2 ) (e(x2 ) )2 )2 > subs({exp(x^2)=theta1,log(x+1)=theta2},f);

>

>

>

x (x + 1) ((x2 θ12 − θ22 )2 + 2 x θ13 (x − (2 x3 + 2 x2 + x + 1) θ2)) ((x + 1) θ22 − (x3 + x2 ) θ12 )2 p:=subs({exp(x^2)=theta1,log(x+1)=theta2},p); p := x (x + 1) ((x2 θ12 − θ22 )2 + 2 x θ13 (x − (2 x3 + 2 x2 + x + 1) θ2)) q:=subs({exp(x^2)=theta1,log(x+1)=theta2},q); q := ((x + 1) θ22 − (x3 + x2 ) θ12 )2

term_1:= quo(p,q,theta2);

term 1 := >

x x+1

term_2:= collect(factor(rem(p,q,theta2)/q),[theta1,theta2,x]); x2 θ13 ((2 x3 + 2 x2 + x + 1) θ2 − x) term 2 := −2 (x θ1 − θ2)2 (x θ1 + θ2)2 (x + 1)

Eerste term = polynomiale deel >

term_1; x x+1

Methode van Horowitz en Rothstein-Trager (zie hoofdstuk 6) : >

r := x; r := x

>

p := x+1; p := x + 1

>

horowitz(r,p,x);

306HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES

>

>

>

r := -1;

Z

x dx = x + x+1

Z

−

1 dx x+1

r := −1 rothstein_trager_poly(r,p,x); [] rothstein_trager(r,p,x); −ln(x + 1)

We vinden dus : > Int(x/(x+1),x)=x-log(x+1); Z x dx = x − ln(x + 1) x+1 Tweede term = rationale deel > term_2; x2 θ13 ((2 x3 + 2 x2 + x + 1) θ2 − x) −2 (x θ1 − θ2)2 (x θ1 + θ2)2 (x + 1) Hermitereductie : > r := -2*x^2*((2*x^3+2*x^2+x+1)*theta2-x)*theta1^3/(x+1); x2 ((2 x3 + 2 x2 + x + 1) θ2 − x) θ13 r := −2 x+1 > b := - expand((x*theta1-theta2)*(x*theta1+theta2)); b := −x2 θ12 + θ22 OPMERKING: In bovenstaande uitdrukking staat het ’-’-teken om de uitdrukking in θ2 monisch te maken. Daardoor staat namelijk de term in θ22 met een ’+’-teken.

OPGELET! Om de afgeleide te berekenen moeten we terugkeren naar de exp(xˆ2) en log(x+1)!

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES307 >

subs({theta1=exp(x^2),theta2=log(x+1)},b); 2

>

b_ := diff(%,x);

−x2 (e(x ) )2 + ln(x + 1)2

2 ln(x + 1) x+1 b_ := subs({ln(x+1)=theta2,exp(x^2)=theta1},b_); 2 θ2 b := −2 x θ12 − 4 θ12 x3 + x+1 gcdex(b,b_,r,theta2,’s’,’t’); s; t; x θ1 −2 x+1 x θ1 θ2 2

2

b := −2 x (e(x ) )2 − 4 x3 (e(x ) )2 +

>

> >

OPGELET: In wat volgt zit een HEEN: subs({exp(xˆ2)=theta1,log(x+1)=theta2} en TERUG: subs({theta1=exp(xˆ2),theta2=log(x+1)} substitutie verwerkt! > t_ := >

subs({exp(x^2)=theta1,log(x+1)=theta2},diff(subs(

>

{theta1=exp(x^2),theta2=log(x+1)},t),x)); x θ1 t := θ1 θ2 + 2 x2 θ1 θ2 + x+1 j := 2; j := 2 Int(’r’/’b’^2,x)=-t/((j-1)*b^(j-1))+Int((s+t_/(j-1))/b^(j-1),x); x θ1 Z − Z + θ1 θ2 + 2 x2 θ1 θ2 x θ1 θ2 r x + 1 dx = − 2 2 + dx b2 −x θ1 + θ22 −x2 θ12 + θ22

>

>

We kunnen de eerste term uit het rechterlid vereenvoudigen :

308HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES >

simplify(-theta2*theta1*x*(x+1)/((x+1)*theta2^2-(x^3+x^2)*theta1^2)); x θ1 θ2 2 x θ12 − θ22

We werken vervolgens verder met de integraal uit het rechterlid : >

>

a:=-x*theta1/(x+1)+theta2*theta1+2*x^2*theta1*theta2; x θ1 + θ1 θ2 + 2 x2 θ1 θ2 a := − x+1 resultant(a-z*b_,b,theta2);

(32 z 2 θ14 x7 + 16 z 2 θ14 x8 + 32 z 2 x5 θ14 + 4 z 2 x2 θ14 + 20 z 2 x4 θ14 + 8 z 2 x3 θ14 + 32 z 2 x6 θ14 + x2 θ12 − 4 x8 θ14 − 8 x7 θ14 − 8 x6 θ14 − 4 x2 θ12 z 2 .

− 5 x4 θ14 − x2 θ14 − 8 x5 θ14 − 2 x3 θ14 ) (x + 1)2

>

primpart(%,z);

−1 + 4 z 2

>

a :=

>

subs(1/(1+x)=beta,-x*theta1/(x+1)+theta2*theta1+2*x^2*theta1*theta2); a := −x θ1 β + θ1 θ2 + 2 x2 θ1 θ2

>

b;

−x2 θ12 + θ22 >

>

b_:=subs(1/(1+x)=beta,b_); b := −2 x θ12 − 4 θ12 x3 + 2 θ2 β

resultant(a-z*b_,b,theta2);

x2 θ12 β 2 + 4 z 2 x2 θ14 + 16 z 2 x4 θ14 + 16 z 2 x6 θ14 − x2 θ14 − 4 x4 θ14 − 4 x6 θ14 − 4 x2 θ12 z 2 β 2 > primpart(%,z); 1 − 4 z2 De cofficinten van R˜ = 4 z 2 − 1 zijn constant. >

solve(%,z);

−1 1 , 2 2 >

c1 := 1/2; c1 :=

1 2

>

v1 := gcdex(a-c1*b_,b,theta2); v1 := x θ1 + θ2

>

c2 := -1/2;

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES309 −1 2 v2 := gcdex(a-c2*b_,b,theta2); v2 := −x θ1 + θ2 c2 :=

>

We hebben dus gevonden dat : > Int(term_2,x)=-x*theta1*theta2/(-x^2*theta1^2+theta2^2)+c1*log(v1)+c2 >

*log(v2); x2 θ13 ((2 x3 + 2 x2 + x + 1) θ2 − x) dx = (x θ1 − θ2)2 (x θ1 + θ2)2 (x + 1) x θ1 θ2 1 1 − 2 2 + ln(x θ1 + θ2) − ln(−x θ1 + θ2) 2 −x θ1 + θ2 2 2

Z

−2

Of samen met het polynomiale deel : > Primitieve:=x-ln(x+1)+subs({theta1=exp(x^2),theta2=log(x+1)},rhs( >

%)); 2

x e(x ) ln(x + 1) 1 2 Primitieve := x − ln(x + 1) − + ln(x e(x ) + ln(x + 1)) 2) 2 2 (x 2 −x (e ) + ln(x + 1) 2 1 2 − ln(−x e(x ) + ln(x + 1)) 2 Controle 1 : > int(f,x); 2

1 e(x ) x ln(x + 1) 2 − ln(−x e(x ) + ln(x + 1)) x − ln(x + 1) + 2 (2 x2 ) 2 x e − ln(x + 1) 2 1 2 + ln(x e(x ) + ln(x + 1)) 2 Controle 2 : >

factor(diff(Primitieve,x)); 2

2

2

((ln(x + 1)4 − 2 x2 (e(x ) )2 ln(x + 1)2 − 2 ln(x + 1) (e(x ) )3 x − 4 x3 (e(x ) )3 ln(x + 1) 2

2

2

2

− 4 x4 (e(x ) )3 ln(x + 1) − 2 x2 (e(x ) )3 ln(x + 1) + x4 (e(x ) )4 + 2 x2 (e(x ) )3 )x)



2

2

((−x e(x ) + ln(x + 1))2 (x e(x ) + ln(x + 1))2 (x + 1))

>

testeq(f,%); true

310HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES 7.5.1.2 Logaritmische extensie : de rothstein-tragerresultaten STELLING (ROTHSTEIN - TRAGER) Gegeven is een elementair functieveld F met constantenveld K, en een transcendent elementair extensieveld F (θ) met hetzelfde constantenveld, waarbij θ transcendent 0 en logaritmisch is over F (θ0 = uu voor een u ∈ F ). Verder is gegeven een rationale functie in θ : a(θ) b(θ) waarbij a(θ), b(θ) ∈ F [θ] GGD(a(θ), b(θ)) = 1( over F [θ]) deg(a(θ)) < deg(b(θ)) b(θ) monisch en kwadraatvrij is Dan geldt : (i)

R

a(θ) b(θ)

is elementair als en slechts dan als alle wortels van de polynoom R(z) = resθ (a(θ) − zb(θ)0 , b(θ)) in F [z] constant zijn.

(ii) als

R

a(θ) b(θ)

elementair is, dan is m vi (θ)0 a(θ) X = ci b(θ) i=1 vi (θ)

waarbij ci (1 ≤ i ≤ m) de verschillende wortels zijn van R(z) en de functies vi (θ)(1 ≤ i ≤ m) bepaald zijn door vi (θ) = GGD(a(θ) − ci b(θ)0 , b(θ)) ∈ F (c1 , . . . , cm )[θ] (iii) als F ∗ het minimaal algebra¨ısche getallenextensieveld van F is waarvoor a(θ) b(θ) de bovenstaande gedaante bezit met constanten ci ∈ F ∗ en vi (θ) ∈ F ∗ [θ](1 ≤ i ≤ m), dan is F ∗ = F (c1 , . . . , cm ) waarbij de ci de verschillende wortels zijn van R(z). zonder bewijs a(θ) een elementaire primitieve bezit, deze b(θ) expliciet kan opgeschreven worden, geeft een effici¨ente methode om na te gaan of die primitieve al dan niet elementair is, en garandeert dat het resultaat in het minimale algebra¨ısche getallenextensieveld kan uitgedrukt worden. Veeleer dan deze stelling te bewijzen, schetsen we de context. Onderstel dat de kwadraatvrije noemer b(θ) ∈ F (x)[θ] gefactoriseerd kan worden als

Deze stelling garandeert dus dat als

b(θ) =

m Y

j=1

vj (θ)

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES311 in een zeker algebra¨ısche getallenextensieveld van F (x). Zoals we in vorig hoofdstuk gezien hebben bij de formele integratie van rationale functies, zou de primitieve verschillende gedaanten kunnen aannemen met meer of minder algebra¨ısche getallenextensies in de logaritmische termen, naargelang de gebruikte factorisatie van de noemer. Indien mogelijk zou hierbij best de volledige factorisatie van b(θ) over zijn splitsend veld vermeden worden, maar toch kunnen sommige algebra¨ısche getallenextensies niet vermeden worden bij de expliciete uitdrukking van de primitieve. Met de hierboven vermelde factorisatie van b(θ), krijgen we de volgende splitsing in partieelbreuken : m ui (θ) a(θ) X = b(θ) i=1 vi (θ) met deg(ui (θ)) <deg(vi (θ)) (1 ≤ i ≤ m). Onderstel nu dat voor elke i = 1, . . . , m, ui (θ) = ci vi (θ)0 voor zekere constanten ci . De primitieve wordt dan meteen : Z

m a(θ) X = ci log(vi (θ)). b(θ) i=1

De rothstein-tragermethode extraheert de vi (θ)-factoren uit b(θ) via een GGDbepaling, die bovendien garandeert dat vi (θ) een deler is van a(θ) − ci b(θ)0 , uitdrukking die alsdan de volgende gedaante aanneemt : ai (θ) − ci b(θ)0 = ( = =

m Q

j=1 m P

vj (θ))(

k=1

(uk (θ)

k=1 m P

m P

Q

j6=k

uk (θ) ) vk (θ)

− ci (

vj (θ)) − ci

((uk (θ) − ci vk (θ)0 )

k=1

m Q

j=1 n P

vj (θ))0

(vk (θ)0

k=1

Q

j6=k

vj (θ)).

m Q

j6=k

vj (θ))

Voor elke term in deze laatste som, behalve voor k = i, is vi (θ) een expliciete factor. Vermits vi (θ) de volledige som deelt, volgt hieruit dat vi (θ) ook deler is van ui (θ) − ci vi (θ)0 . Maar nu is GGD(vi (θ), vi (θ)0 ) = 1, want vi (θ) is kwadraatvrij, zodat ui (θ) = ci vi (θ)0 . Dit is precies de uitdrukking voor de ui(θ) die toelaat om de primitieve in de gewenste vorm uit te drukken.

312HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES 7.5.1.3 Logaritmische extensie : het polynomiale deel Voor een integrandum f ∈ K(x, θ1 , . . . , θn−1 , θ) = Fn−1 (θ) waarbij θ = log(u) logaritmisch is over Fn−1 , is het polynomiale deel p˜(θ) ∈ Fn−1 [θ]. Stel p˜(θ) = pl θl + pl−1 θl−1 + · · · + p0 .

waarbij elke pi ∈ Fn−1 (0 ≤ i ≤ l) l = deg˜ p(θ). Als

R

p˜(θ) elementair is, dan zal volgens het liouvilleprincipe (§4) : p˜(θ) = v0 (θ)0 +

m X

ci

i=1

vi (θ)0 vi (θ)

¯ (de algebra¨ısche afsluiting van K) en alle vi (θ) ∈ F¯n−1 (θ) (het waarbij alle ci ∈ K ¯ Met een redenering veld Fn−1 (θ) waarbij het constantenveld uitgebreid werd tot K). gebaseerd op het feit dat een noemer afhankelijk van θ niet kan verdwijnen bij afleiding naar θ, kan aangetoond worden dat v0 (θ) ∈ F¯n−1 [θ]. Op analoge wijze toont men aan dat vi (θ)(1 ≤ i ≤ m) onafhankelijk zijn van θ. Alzo is m X v0 0 p˜(θ) = v0 (θ) + ci i vi i=1 ¯ v0 (θ) ∈ F¯n−1 [θ] en vi ∈ F¯n−1 , 1 ≤ i ≤ m. waarbij alle ci ∈ K, Stel v0 (θ) = qk θk + qk−1 θk−1 + · · · + q0

met qi ∈ F¯n−1 (0 ≤ i ≤ k).

Uit de stelling omtrent de afleiding van een logaritmisch polynoom (§3) volgt dan dat v0 (θ)0 ∈ F¯n−1 [θ]

met

¯ deg(v0 (θ)0 ) = k − 1 als qk ∈ K

of

deg(v0 (θ)0 ) = k als qk niet constant is. De hoogst mogelijke graad voor v0 (θ) is dus k = l + 1, zodat p˜(θ) = v0 (θ)0 +

m X i=1

zich herleidt tot l

pl θ + · · · + p0 = (ql+1 θ

l+1

ci

vi0 vi

0

+ · · · + q0 ) +

m X i=1

ci

vi0 vi

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES313 ¯ qi ∈ F¯n−1 (1 ≤ i ≤ l). met alle pi ∈ Fn−1 , ql+1 ∈ K, Na afleiding en identificatie van de co¨effici¨enten van gelijknamige machten van het transcendente symbool θ over Fn−1 , ontstaat het volgende stelsel van vergelijkingen : 0 0 = ql+1 pl = (l + 1)ql+1 θ0 + ql0 0 pl−1 = lql θ0 + ql−1 ... p1 = 2q2 θ0 + q10 p0 = q1 θ0 + q¯00

waarbij q¯0 staat voor : q¯0 = q0 +

m X

ci log(vi ).

i=1

Hierbij zijn de co¨effici¨enten pi ∈ Fn−1 (0 ≤ i ≤ l) gekend, en dient het stelsel opgelost naar de onbekenden : ¯ qi ∈ F¯n−1 (1 ≤ i ≤ l) ql+1 ∈ K, en

q¯0 ∈ F¯n−1 (log(v1 ), . . . , log(vm )).

Merk op dat m, ci en vi (i ≤ i ≤ m) eveneens onbekend zijn; de bovenstaande conditie voor q¯0 betekent dus enkel dat nieuwe logaritmische extensies van F¯n−1 toegelaten zijn. Daartegenover staat dat de qi (1 ≤ i ≤ l) strikt gelimiteerd zijn tot het veld F¯n−1 . Het bovenstaande stelstel wordt nu stapsgewijze opgelost. We starten met de eerste vergelijking, waaruit, na primitivering, volgt : ¯ ql+1 = bl+1 ∈ K [de zg. arbitraire integratieconstante]. Substitutie in de tweede vergelijking en primitivering levert : Z pl = (l + 1)bl+1 θ + ql .

In het linkerlid hiervan worden we geconfronteerd met de formele integratie van de polynoom pl ∈ Fn−1 = K(x, θ1 , . . . , θn−1 ), zodat de procedure recurrent moet toegepast worden. Dit vereist echter dat : •

R

pl elementair is;

• er hoogstens ´e´en logaritmische extensie van F¯n−1 optreedt bij deze primitivering. • als er een logaritmische extensie van F¯n−1 optreedt, het precies θ = log(u) moet zijn.

314HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES Van zodra een Rvan deze voorwaarden faalt, heeft het stelsel geen oplossing en besluiten we dat p˜(θ) niet elementair is. Zijn deze drie voorwaarden wel vervuld, dan is Z

pl = cl θ + dl + bl

waaruit bl+1 =

cl en ql = dl + bl l+1

¯ een arbitraire integratieconstante is. waarbij bl ∈ K Substitutie van ql in de derde vergelijking van het stelsel resulteert in 0 pl−1 = l(dl + bl )θ0 + ql−1

of 0 pl−1 − ldl θ0 = lbl θ0 + ql−1

waaruit

u0 ) = lbl θ + ql−1 . u Het integrandum in dit linkerlid bestaat uit gekende functies in het veld F¯n−1 , zodat de procedure weer recurrent kan toegepast worden. Na vergelijking met het rechterlid stellen we vast dat voor deze primitivering dezelfde drie condities als hierboven R dienen te gelden opdat p˜(θ) elementair zou zijn. Zijn deze drie voorwaarden vervuld, dan is Z

Z

(pl−1 − ldl

(pl−1 − ldl

u0 ) = cl−1 θ + dl−1 + bl−1 u

¯ en dl−1 ∈ F¯n−1 . Hieruit volgt : voor zekere cl−1 ∈ K bl =

cl−1 , ql−1 = dl−1 + bl−1 l

¯ een arbitraire primitiveringsconstante. met bl−1 ∈ K Dit proces kan herhaald worden voor alle vergelijkingen van het stelsel t.e.m. het voorlaatste, waarbij een oplossing wordt bepaald van de vorm b2 =

c1 , q1 = d1 + b1 2

¯ een arbitraire primitiveringsconstante. met b1 ∈ K Substitutie van q1 in de laatste vergelijking resulteert uiteindelijk in Z

(p0 − d1

u0 ) = b1 θ + q¯0 . u

De enige voorwaarde hierbij is dat de primitieve in het linkerlid elementair is, zoniet R is p˜(θ) niet elementair. Is deze voorwaarde vervuld, stel Z

(p0 − d1

u0 ) = d0 , u

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES315 dan is b1 de co¨effici¨ent in d0 van θ = log(u) en q¯0 = d0 − b1 log(u). In dit geval is de arbitraire primitiveringsconstante deze voor nader bepaald dient te worden. Het eindresultaat is dan : Z

R

p˜(θ), zodat ze niet

p˜(θ) = bl+1 θl+1 + ql θl + · · · + q1 θ + q¯0 .

VOORBEELD (7.5.1.3) 1 Z

log(x)

Het integrandum f = log(x) wordt ge¨ınterpreteerd als f (θ) = θ ∈ Q(x, θ) met θ = log(x), x ∈ Q(x). Dit betekent : p˜(θ) = θ, l = 1, p1 = 1, p0 = 0. Als deze primitieve elementair is, dan heeft ze de gedaante : Z

p˜(θ) = b2 θ2 + q1 θ + q¯0

waarbij het volgend stelsel geldt. (1) 0 = b02 (2) 1 = 2b2 θ0 + q10 (3) 0 = q1 θ0 + q¯00 ¯ De vergelijking (1) levert : b2 ∈ Q. De vergelijking (2) levert : x + b1 = 2b2 θ + q1 waaruit : b2 = 0, q1 = x + b1 . De vergelijking (3) wordt dan : 0 = (x + b1 )θ0 + q¯00 of −xθ0 = b1 θ0 + q¯00 1 Substitutie van θ0 = in het linker lid geeft ons −1 = b1 θ0 + q¯00 , waaruit na integratie x volgt: −x = b1 θ + q¯0 (geen arbitraire primitiveringsconstante in de laatste stap) zodat b1 = 0, q¯0 = −x. Eindresultaat :

R

log(x) = xθ − x = xlog(x) − x ∈ Q(x, log(x))

316HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES VOORBEELD (7.5.1.3) 2 Z

We stellen :

log(log(x))

θ1 = log(x) θ2 = log(θ1 )

en vatten het integrandum op als f (θ2 ) = θ2 ∈ Q(x, θ1 )[θ2 ]; dit betekent : p˜(θ2 ) = θ2 , l = 1, p1 = 1, p0 = 0. Als deze primitieve elementair is, dan heeft ze de gedaante : Z

p˜(θ2 ) = b2 θ22 + q1 θ2 + q¯0

waarbij het volgend stelsel geldt : (1) 0 = b02 (2) 1 = 2b2 θ20 + q10 (3) 0 = q1 θ20 + q¯00 ¯ Uit (1) volgt : b2 ∈ Q. Uit (2) volgt : b2 = 0, q1 = x + b1 . De vergelijking (3) wordt dan : −xθ20 = b1 θ20 + q¯0 waarbij θ20 = zodat − Maar we weten dat elementair.

θ10 1 1 = θ1 log(x) x

1 = b1 θ20 + q¯00 . log(x)

1 niet elementair is; de gegeven primitieve is dus niet log(x)

Z

VOORBEELD (7.5.1.3) 3 1 2

!2

1 + 2log(x) x 1 1 + x (x + 2 )log(x + 2 ) log2 (x)( 12 log(x + 21 ) − x) − 41 x + (x + 12 )2 log2 (x + 12 ) log(x)(x2 − 1 + (x2 + x + 1)log(x + 21 )) + (x + 21 )2 1 1 log(x + 2 ) +(x − x ) (x + 21 )

Z

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES317 We stellen :

θ1 = log(x + 21 ) θ2 = log(x) f (θ2 ) ∈ Q(x, θ1 )[θ2 ] "

1 θ 2 1

#

−x 4 f (θ2 ) = θ22 1 2 2 + x " (x + 2 ) θ1 # (x2 + x + 1)θ1 + x2 − 1 4 2 +θ2 + + 1 2 1 x# (x + (x + ) )θ 1 2 2 " 1 1 (x − x )θ1 1 1 2 + + + 1 1 1 + x+ 2 (x + 2 )θ1 x(x + 2 ) x + 21 Als de primitieve elementair is, dan heeft ze de vorm : Z

p˜(θ2 ) = b3 θ23 + q2 θ22 + q1 θ2 + q¯0

waarbij het volgend stelsel geldt : (1) 0 = b03 (2) p2 = 3b3 θ20 + q20 (3) p1 = 2q2 θ20 + q10 (4) p0 = q1 θ20 + q¯00 De vergelijking (1) levert : b3 ∈ Q. R De vergelijking (2) levert : p2 = 3b3 θ2 + q2 . Nu is (zie verder) : Z p2 = 4log(x) +

(x +

x 1 )log(x 2

+ 21 )

;

Deze primitieve is elementair, er is ´e´en logaritmische extensie en die is precies θ2 = log(x). x Aldus is : b3 = 34 , q2 = (x+ 1 )log + b2 . (x+ 1 ) 2

De vergelijking (3) wordt :

p1 = 2(

2

x (x +

1 )log(x 2

+ 12 )

waaruit 2 p1 − 1 (x + 2 )log(x + 12 )

Z

+ b2 )θ20 + q10

!

= 2b2 θ2 + q1

waarbij het linkerlid zich herleidt tot Z

x3 + 4x2 + 3x + 1 x2 + x + 1 θ + 1 (x + 12 )2 x(x + 21 )2

318HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES wat oplevert (zie verder) : 4log(x) +

1 x2 − 1 1 log(x + ) + b1 = 2b2 θ2 + q1 ; x+ 2 2

het linkerlid is elementair, het bevat twee logaritmische extensies : log(x + 21 ) = θ1 en log(x) = θ2 . Aldus is (x2 − 1)θ1 + b1 . b2 = 2, q1 = x + 12 De vergelijking (4) wordt daarmee : (x2 − 1)θ1 p0 = + b1 θ20 + q¯00 x + 12 "

waaruit : Z

#

1 x2 − 1 θ1 = b1 θ2 + q¯0 p0 − x x + 12 !

waarbij het linkerlid zich herleidt tot : Z

1 1 1 2 + 1 1 + (x + 2 )θ1 x(x + 2 ) x +

1 2

!

of (zie verder) : log(x) + log(θ1 ) wat elementair is, ´e´en logaritmische extensie bevat die precies log(x) = θ2 is. Aldus is b1 = 1, q¯0 = log(θ1 ). Eindresultaat : Z 4 f = θ23 3 !

x + 2 θ22 + 1 (x + 2 )log(x + 21 ) x2 − 1 + log(x + 21 ) + 1 θ2 x + 12 !

+log(log((x + 12 )) met θ2 = log(x). Eerste tussenresultaat :

p2 (θ1 ) =

Z

p2

1 θ1 − x 4 1 + 2 1 2 2 met θ1 = log(x + ) x (x + 2 ) θ1 2

Het polynomiale deel van p2 (θ1 ) is x4 ; dit is een rationale functie in Q(x); de primitivering geschiedt volgens de algoritme uit het vorige hoofdstuk en levert 4log(x) op. Het rationaal deel van p2 (θ1 ) is van de vorm r(θ1 ) b(θ1 )2

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES319 met r(θ1 ) =

x 1 1 2 θ1 − 2(x + 2 ) (x + 21 )2

en b(θ1 ) = θ1 en na splitsing in partieelbreuken, kan dit geschreven worden als : 1 2(x+ 12 )2

−

θ1

x (x+ 12 )2 θ12

.

De eerste term heeft exponent 1 in de noemer en blijft ongewijzigd. Voor de tweede term bepalen we s(θ1 ) en t(θ1 ) waarvoor geldt : s(θ1 )θ1 + t(θ1 )θ10 = dit levert :

x ; (x + 21 )2

s(θ1 ) = 0 t(θ1 ) = x+x 1 2

en alzo

x r(θ1 ) = 1 2 b(θ1 ) (x + 2 )log(x + 21 )

Z

Tweede tussenresultaat :

=

R

R



p1 − 2

2

(x+ 12 )log(x+ 21 ) 3



x +x+1 x + 4x2 + 3x + 1 θ + 1 (x + 12 )2 x(x + 21 )2

Als deze primitieve elementair is, dan is ze van de vorm : b2 θ12 + q1 θ1 + q¯0 met het stelsel (1) 0 = b02 (2)

x2 + x + 1 = 2b2 θ10 + q10 (x + 21 )2

x3 + 4x2 + 3x + 1 = q1 θ10 + q¯00 (3) 1 2 x(x + 2 ) ¯ Uit (1) volgt : b2 ∈ Q 3 1 Uit (2) volgt : x − 4 x+ 1 + b1 = 2b2 θ1 + q1 zodat b2 = 0, q1 = x − 2 Alzo wordt (3) : 3 1 x3 + 4x2 + 3x + 1 = x− 1 2 x(x + 2 ) 4 (x + 12 )

!

3 1 4 x+ 21

1 + b1 θ10 + q¯00 (x + 12 )

+ b1 .

320HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES wat zich herleidt tot

14x2 + 15x + 4 = b1 θ10 + q¯00 4x(x + 21 )2

of nog

4 1 0 − ¯00 1 = b1 θ1 + q x 2(x + 2 )

en na primitivering : 1 1 4log(x) − log(x + ) = b1 θ1 + q¯0 2 2 waaruit

1 b1 = − , q¯0 = 4log(x). 2

Dit resulteert in Z

2 p1 − 1 (x + 2 log(x + 21 ))

!

= (x −

1 x2 − 1 θ1 p0 − x x + 12

Z

− 21 )θ1 + 4log(x)

x2 − 1 1 1 log(x + 2 ) + 4log(x) x+ 2

= Derde tussenresultaat :

3 1 4 x+ 12

!

Het integrandum herleidt zich eerst tot 1 1 1 2 + 1 1 + (x + 2 )θ1 x(x + 2 ) x +

en vervolgens tot

1 2

1 1 + . 1 (x + 2 )θ1 x

Voor de primitivering van de eerste term passen we de rothstein-tragermethode toe; we bepalen de resultante R(z) = resθ1 ( x+1 1 − z x+1 1 , θ1 ) =

1 (1 x+ 21

2

− z);

2

˜ deze primitieve is dus elementair en de wortel van R(z) = 1 − z is c1 = 1. Alzo is v1 (θ1 ) = GGD( zodat

Z

Vandaar dat Z

(p0 −

1 x+

1 2

− 1.

1 , θ1 ) = θ1 x + 12

1 = log(θ1 ). (x + 21 )θ1

1 x2 − 1 θ1 ) = log(θ1 ) + log(x). x x + 12

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES321 Maplesessie comp7513.msw 7.5.1 Het Rischalgoritme voor transcendente logaritmische extensies

7.5.1.3 Logaritmische extensie : het polynomiale deel > >

restart; read ‘hfdst6.m‘;

Opmerking : De bovenstaande commandolijn zorgt ervoor dat Maple alle procedures ’kent’ die betrekking hebben op het zesde hoofdstuk van de cursus computeralgebra. De allereerste keer dat men deze worksheet wil doorlopen, moet men eerst de worksheet bib hfdst6.mws met ”Execute Worksheet¨ uitvoeren. Dit zorgt ervoor dat Maple de file hfdst6.m aanmaakt en plaatst in de werk-directory. Opmerking : In tegenstelling tot de voorgaande paragrafen is het hier nodig om de θ’s steeds uit te drukken in functie van x.

Voorbeeld 1 : (zie (7.5.1.3) 1) > f := log(x); f := ln(x) >

subs(log(x)=theta(x),%); θ(x)

Als de primitieve elementair is, heeft ze de volgende vorm : > P := b2(x)*theta(x)^2+q1(x)*theta(x)+q0(x); >

P := b2(x) θ(x)2 + q1(x) θ(x) + q0(x) P_ := diff(P,x);

d d d d b2(x)) θ(x)2 + 2 b2(x) θ(x) ( dx θ(x)) + ( dx q1(x)) θ(x) + q1(x) ( dx θ(x)) P := ( dx d + ( dx q0(x)) > P_ := collect(P_,theta(x)); d d d d d b2(x)) θ(x)2 + (2 b2(x) ( dx θ(x)) + ( dx q1(x))) θ(x) + ( dx q0(x)) + q1(x) ( dx θ(x)) P := ( dx

322HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES Eerste vergelijking : > diff(b2(x),x)=0; d dx >

b2(x) = 0

b2(x):=b2; b2(x) := b2

Tweede vergelijking : > 2*b2(x)*diff(theta(x),x)+diff(q1(x),x)=1; >

>

>

>

d d 2 b2 ( dx θ(x)) + ( dx q1(x)) = 1 int(lhs(%),x)=x+b1; 2 b2 θ(x) + q1(x) = x + b1 vorm_vgln(lhs(%),rhs(%),theta(x)); {q1(x) = x + b1 , 2 b2 = 0} solve(%,{b2,q1(x)});

assign(%);

{q1(x) = x + b1 , b2 = 0}

Derde vergelijking : > (diff(q0(x),x))+q1(x)*diff(theta(x),x)=0; d d ( dx q0(x)) + (x + b1 ) ( dx θ(x)) = 0

We kunnen de vergelijking herschrijven als volgt : > diff(q0(x),x)+b1*diff(theta(x),x)=-x*diff(theta(x),x); >

d d d ( dx q0(x)) + b1 ( dx θ(x)) = −x ( dx θ(x)) lhs(%)=subs(theta(x)=log(x),rhs(%));

>

d d d q0(x)) + b1 ( dx θ(x)) = −x ( dx ln(x)) ( dx simplify(%);

>

>

> >

>

d d q0(x)) + b1 ( dx θ(x)) = −1 ( dx int(lhs(%),x)=-x; q0(x) + b1 θ(x) = −x vorm_vgln(lhs(%),rhs(%),theta(x)); {q0(x) = −x, b1 = 0} assign(%); simplify(P); θ(x) x + b1 θ(x) − x subs(theta(x)=log(x),%); ln(x) x − x

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES323 We hebben dus gevonden dat : > Int(f,x)=x*log(x)-x; Z

ln(x) dx = ln(x) x − x

Controle : > diff(x*ln(x)-x,x); ln(x)

Voorbeeld 2 : (zie (7.5.1.3) 2) > b2 := ’b2’; b1 := ’b1’; q1 := ’q1’; q0 := ’q0’; b2 := b2 b1 := b1 q1 := q1 q0 := q0 > f := log(log(x)); f := ln(ln(x)) > subs(log(x)=theta1(x),log(theta1(x))=theta2(x),%); θ2(x) Als de primitieve elementair is, heeft ze de volgende vorm : > P := b2(x)*theta2(x)^2+q1(x)*theta2(x)+q0(x); >

P := b2(x) θ2(x)2 + q1(x) θ2(x) + q0(x) P_ := diff(P,x);

d d d d b2(x)) θ2(x)2 + 2 b2(x) θ2(x) ( dx θ2(x)) + ( dx q1(x)) θ2(x) + q1(x) ( dx θ2(x)) P := ( dx d + ( dx q0(x)) > P_ := collect(P_,theta2(x)); d d d d b2(x)) θ2(x)2 + (2 b2(x) ( dx θ2(x)) + ( dx q1(x))) θ2(x) + ( dx q0(x)) P := ( dx d + q1(x) ( dx θ2(x))

Eerste vergelijking : > diff(b2(x),x)=0; d dx >

b2(x) = 0

b2(x):=b2; b2(x) := b2

324HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES Tweede vergelijking : >

2*b2(x)*diff(theta2(x),x)+diff(q1(x),x)=1; d d θ2(x)) + ( dx q1(x)) = 1 2 b2 ( dx

>

int(lhs(%),x)=x+b1; 2 b2 θ2(x) + q1(x) = x + b1

>

vorm_vgln(lhs(%),rhs(%),theta2(x)); {q1(x) = x + b1 , 2 b2 = 0}

>

>

solve(%,{b2,q1(x)});

{q1(x) = x + b1 , b2 = 0}

assign(%);

Derde vergelijking : >

(diff(q0(x),x))+q1(x)*diff(theta2(x),x)=0; d d q0(x)) + (x + b1 ) ( dx θ2(x)) = 0 ( dx

Deze vergelijking kunnen we opnieuw schrijven als : >

diff(q0(x),x)+b1*diff(theta2(x),x)=-x*diff(theta2(x),x); d d d q0(x)) + b1 ( dx θ2(x)) = −x ( dx θ2(x)) ( dx

>

lhs(%)=subs(theta2(x)=log(log(x)),rhs(%));

d d d q0(x)) + b1 ( dx θ2(x)) = −x ( dx ln(ln(x))) ( dx

>

simplify(%);

d d q0(x)) + b1 ( dx θ2(x)) = − ( dx

We hebben reeds eerder gezien dat primitieve is dus niet elementair.

R

1 log(x)

1 ln(x)

dx niet elementair is, de gegeven

Voorbeeld 3 : (zie (7.5.1.3) 3) >

b2 := ’b2’; b1 := ’b1’; q2 := ’q2’; q1 := ’q1’; q0 := ’q0’; b2 := b2 b1 := b1 q2 := q2 q1 := q1 q0 := q0

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES325 >

f :=

>

x*((1/2)/((x+1/2)*log(x+1/2))+(1+2*log(x))/x)^2+(log(x)^2*((1/2)*log(x

>

+1/2)-x)-(x/4))/((x+1/2)^2*log(x+1/2)^2)+log(x)*(x^2-1+(x^2+x+1)*log(x

>

+1/2))/(x+1/2)^2+(x-1/x)*log(x+1/2)/(x+1/2); 2

1 1 x ln(x)2 ( ln(x + ) − x) − 1 + 2 ln(x) 2 2 4  + + f := x  1 1 2 1 1 2 x (x + ) ln(x + ) (x + ) ln(x + ) 2 2 2 2 1 1 1 ln(x) (x2 − 1 + (x2 + x + 1) ln(x + )) (x − ) ln(x + ) 2 + x 2 + 1 2 1 (x + ) x+ 2 2 > subs({log(x+1/2)=theta1(x),log(x)=theta2(x)},f); 

1  2

2

x 1 θ2(x)2 ( θ1(x) − x) − 1 + 2 θ2(x) 1 2 4  + x +  1 1 2 x (x + ) θ1(x) (x + ) θ1(x)2 2 2 1 θ2(x) (x2 − 1 + (x2 + x + 1) θ1(x)) (x − x ) θ1(x) + + 1 2 1 (x + ) x+ 2 2 collect(%,theta2(x)); 

1  2

>

1

   1 θ1(x) − x 2 2  2  4 x − 1 + (x + x + 1) θ1(x) 4 2  θ2(x)  + + +  θ2(x)2 +      1 2 1 1 2 x x 2 (x + ) θ1(x) (x + ) θ1(x) (x + ) 2 2 2 2  1 (x − ) θ1(x) 1 1 1 1 x x  + + − +x   2 1 1 1 x 4 (x + ) θ1(x) x+ (x + )2 θ1(x)2 2 2 2 

Als de primitieve elementair is, heeft ze de volgende vorm : > P := b3(x)*theta2(x)^3+q2(x)*theta2(x)^2+q1(x)*theta2(x)+q0(x); >

P := b3(x) θ2(x)3 + q2(x) θ2(x)2 + q1(x) θ2(x) + q0(x) P_ := diff(P,x);

d d d P := ( dx b3(x)) θ2(x)3 + 3 b3(x) θ2(x)2 ( dx θ2(x)) + ( dx q2(x)) θ2(x)2 d d d d θ2(x)) + ( dx q1(x)) θ2(x) + q1(x) ( dx θ2(x)) + ( dx q0(x)) + 2 q2(x) θ2(x) ( dx > P_ := collect(P_,theta2(x)); d d d b3(x)) θ2(x)3 + (3 b3(x) ( dx θ2(x)) + ( dx q2(x))) θ2(x)2 P := ( dx d d d d q1(x)) + 2 q2(x) ( dx θ2(x))) θ2(x) + ( dx q0(x)) + q1(x) ( dx θ2(x)) + (( dx

326HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES Eerste vergelijking : > diff(b3(x),x)=0; d dx >

b3(x) = 0

b3(x) := b3; b3(x) := b3

Tweede vergelijking : > (1/2*theta1(x)-x)/(x+1/2)^2/theta1(x)^2+4/x=3*b3(x)*diff(theta2(x),x) >

+diff(q2(x),x); 1 θ1(x) − x 4 d d 2 + = 3 b3 ( dx θ2(x)) + ( dx q2(x)) 1 2 x 2 (x + ) θ1(x) 2

Polynomiale deel : > r := 4; r := 4 >

p := x; p := x

>

>

>

horowitz(r,p,x); 4 4 dx = dx x x rothstein_trager_poly(r,p,x); [] rothstein_trager(r,p,x); 4 ln(x) Z

Z

Rationale deel : > r := (1/2*theta1(x)-x)/(x+1/2)^2; 1 θ1(x) − x r := 2 1 (x + )2 2 > b := theta1(x); b := θ1(x) > convert(r,parfrac,theta1(x)); 2 (−θ1(x) + 2 x) − (2 x + 1)2 > expand(%/b^2); 4x 2 − 2 (2 x + 1) θ1(x) (2 x + 1)2 θ1(x)2

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES327 1 2 θ1(x) (x+ 12 )2

: heeft exponent 1 in de noemer en blijft ongewijzigd ! x θ1(x)2 (x+ 21 )2

: we bepalen voor deze term s en t > gcdex(theta1,1/(x+1/2),x/(x+1/2)^2,theta1,’s’,’t’); > s; 0 > t; 2x 2x+1 > j := 2; j := 2 > Int(x/theta1(x)^2/(x+1/2)^2,x) = >

-t/((j-1)*b)+Int((s+diff(t,x)/(j-1))/b,x); 4x 2 − Z Z 2x x 2 x + 1 (2 x + 1)2 dx = − + dx 1 2 (2 x + 1) θ1(x) θ1(x) 2 (x + ) θ1(x) 2

Beide resultaten samen : > Int(’r’/’b’^2,x)=

Z

>

Int(1/2*1/theta1(x)/(x+1/2)^2,x)-(-2/(2*x+1)*x/theta1(x))+Int(-(-4/(2*

>

x+1)^2*x+2/(2*x+1))/theta1(x),x); 2x + dx + 1 2 (2 x + 1) θ1(x) θ1(x) (x + ) 2 Int(’r’/’b’^2,x)=simplify(rhs(%)); Z 2x r dx = b2 (2 x + 1) θ1(x)

r dx = b2 >

Z

1 2

1

Z

4x 2 − 2 x + 1 (2 x + 1)2 − dx θ1(x)

De vergelijking wordt dus (bepalen primitieve van beide leden) : > int(3*b3(x)*diff(theta2(x),x)+diff(q2(x),x),x)=4*log(x)+rhs(%); 2x 3 b3 θ2(x) + q2(x) = 4 ln(x) + (2 x + 1) θ1(x) > subs(log(x)=theta2(x),%); 2x 3 b3 θ2(x) + q2(x) = 4 θ2(x) + (2 x + 1) θ1(x)

328HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES >

>

>

vorm_vgln(lhs(%),rhs(%),theta2(x)); 2x {q2(x) = , 3 b3 = 4} (2 x + 1) θ1(x) solve(%,{b3,q2(x)}); 4 2x , b3 = } {q2(x) = (2 x + 1) θ1(x) 3 b3 := 4/3; q2(x) := 2/(2*x+1)*x/theta1(x)+b2; 4 b3 := 3 2x + b2 q2(x) := (2 x + 1) θ1(x)

Derde vergelijking : > diff(q1(x),x)+2*q2(x)*diff(theta2(x),x)=2/(x+1/2)/theta1(x)+4/x+(x^2>

1+(x^2+x+1)*theta1(x))/(x+1/2)^2;

>

2x d θ2(x)) = + b2 ) ( dx (2 x + 1) θ1(x) 4 x2 − 1 + (x2 + x + 1) θ1(x) 2 + + 1 1 x (x + ) θ1(x) (x + )2 2 2 expand(lhs(%))=rhs(%); d ( dx q1(x)) + 2 (

d 4 ( dx θ2(x)) x d q1(x)) + + 2 ( dx θ2(x)) b2 = (2 x + 1) θ1(x) 4 x2 − 1 + (x2 + x + 1) θ1(x) 2 + + 1 1 x (x + ) θ1(x) (x + )2 2 2

d ( dx

We bepalen een primitieve van het rechterlid. > integr := >

2/(x+1/2)/theta1(x)+4/x+(x^2-1+(x^2+x+1)*theta1(x))/(x+1/2)^2-4*diff(t

>

heta2(x),x)/(2*x+1)*x/theta1(x);

d θ2(x)) x 4 ( dx 4 x2 − 1 + (x2 + x + 1) θ1(x) 2 + + − integr := 1 1 x (2 x + 1) θ1(x) (x + ) θ1(x) (x + )2 2 2 > integr := subs(theta2(x)=log(x),integr); d 4 ( dx ln(x)) x 4 x2 − 1 + (x2 + x + 1) θ1(x) 2 + + integr := − 1 1 x (2 x + 1) θ1(x) (x + ) θ1(x) (x + )2 2 2 > integr := simplify(%);

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES329 4 (4 x2 + 3 x + 1 + x3 + θ1(x) x3 + θ1(x) x2 + θ1(x) x) x (2 x + 1)2 integr := collect(integr,theta1(x)); integr :=

>

integr :=

4 (x3 + x2 + x) θ1(x) 4 (4 x2 + 3 x + 1 + x3 ) + x (2 x + 1)2 x (2 x + 1)2

Als de gezochte primitieve (van deze uitdrukking integr in functie van θ1(x)) elementair is, heeft ze de volgende vorm : > j := b_a2(x)*theta1(x)^2+q_a1(x)*theta1(x)+q_a0(x); >

j := b a2(x) θ1(x)2 + q a1(x) θ1(x) + q a0(x) j_ := diff(j,x); d d d j := ( dx b a2(x)) θ1(x)2 + 2 b a2(x) θ1(x) ( dx θ1(x)) + ( dx q a1(x)) θ1(x)

>

d d θ1(x)) + ( dx q a0(x)) + q a1(x) ( dx j_ := collect(j_,theta1(x));

d d d d b a2(x)) θ1(x)2 + (2 b a2(x) ( dx θ1(x)) + ( dx q a1(x))) θ1(x) + ( dx q a0(x)) j := ( dx d + q a1(x) ( dx θ1(x))

3.1 : eerste vergelijking > diff(b_a2(x),x)=0; d dx >

b a2(x) = 0

b_a2(x):=b_a2; b a2(x) := b a2

3.2 : tweede vergelijking > 2*b_a2(x)*diff(theta1(x),x)+diff(q_a1(x),x)=4*(x^3+x^2+x)/x/(2*x+1)^2 >

; d d θ1(x)) + ( dx q a1(x)) = 2 b a2 ( dx

>

4 (x3 + x2 + x) x (2 x + 1)2

r := 4*(x^3+x^2+x); r := 4 x3 + 4 x2 + 4 x

>

p := x*(2*x+1)^2; p := x (2 x + 1)2

>

horowitz(r,p,x); Z

4 x3 + 4 x2 + 4 x dx = x − x (2 x + 1)2

3 1 4 (x + ) 2

De tweede vergelijking kunnen we dus herschrijven :

+

Z

0 dx

330HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES >

>

int(2*b_a2*diff(theta1(x),x)+diff(q_a1(x),x),x)=x-3/4*1/(x+1/2)+b_a1; 3 2 b a2 θ1(x) + q a1(x) = x − + b a1 1 4 (x + ) 2 vorm_vgln(lhs(%),rhs(%),theta1(x));    

q a1(x) = x −

>

1 4 (x + ) 2 solve(%,{q_a1(x),b_a2});

+ b a1 , 2 b a2 = 0

  

{b a2 = 0, q a1(x) = >

3

      

4 x2 + 2 x − 3 + 4 b a1 x + 2 b a1 } 2 (2 x + 1)

assign(%);

3.3 : derde vergelijking > (diff(q_a0(x),x))+q_a1(x)*diff(theta1(x),x)=4*(4*x^2+3*x+1+x^3)/x/(2* >

x+1)^2; d θ1(x)) 1 (4 x2 + 2 x − 3 + 4 b a1 x + 2 b a1 ) ( dx 4 (4 x2 + 3 x + 1 + x3 ) = 2 2x+1 x (2 x + 1)2 collect(%,b_a1);

d q a0(x)) + ( dx >

d d θ1(x)) b a1 θ1(x)) 1 (4 x + 2) ( dx 1 (4 x2 + 2 x − 3) ( dx d + ( dx = q a0(x)) + 2 2x+1 2 2x+1 4 (4 x2 + 3 x + 1 + x3 ) x (2 x + 1)2

Indien men alle onbekenden in n lid plaatst, krijgt men de volgende vergelijking : > 1/2*(4*x+2)/(2*x+1)*diff(theta1(x),x)*b_a1+(diff(q_a0(x),x))=4*(4*x^2 >

+3*x+1+x^3)/x/(2*x+1)^2-1/2*(4*x^2+2*x-3)/(2*x+1)*diff(theta1(x),x);

>

d θ1(x)) b a1 1 (4 x + 2) ( dx d + ( dx q a0(x)) = 2 2x+1 d θ1(x)) 4 (4 x2 + 3 x + 1 + x3 ) 1 (4 x2 + 2 x − 3) ( dx − 2 x (2 x + 1) 2 2x+1 lhs(%)=subs(theta1(x)=log(x+1/2),rhs(%)); d θ1(x)) b a1 1 (4 x + 2) ( dx d + ( dx q a0(x)) = 2 2x+1

>

1 d 2 4 (4 x2 + 3 x + 1 + x3 ) 1 (4 x + 2 x − 3) ( dx ln(x + 2 )) − x (2 x + 1)2 2 2x+1 simplify(%);

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES331 d d θ1(x)) b a1 + ( dx q a0(x)) = ( dx

7x+4 x (2 x + 1)

We maken gebruik van de methode van Horowitz en van de methode van Rothstein-Trager (zie hoofdstuk 6) om een primitieve van het rechterlid te berekenen : > r := 7*x+4; r := 7 x + 4 > q := x*(2*x+1); q := x (2 x + 1) > horowitz(r,q,x); 7x Z Z 2( + 2) 7x+4 2 dx = dx x (2 x + 1) x (2 x + 1) > rothstein_trager_poly(r,q,x); [] > rothstein_trager(r,q,x); 1 1 − ln(x + ) + 4 ln(x) 2 2 We vinden : > int(diff(theta1(x),x)*b_a1+diff(q_a0(x),x),x)=%; 1 1 b a1 θ1(x) + q a0(x) = − ln(x + ) + 4 ln(x) 2 2 > subs({log(x)=theta2(x),log(x+1/2)=theta1(x)},%); 1 b a1 θ1(x) + q a0(x) = − θ1(x) + 4 θ2(x) 2 > vorm_vgln(lhs(%),rhs(%),theta1(x)); −1 {q a0(x) = 4 θ2(x), b a1 = } 2 > solve(%,{b_a1,q_a0(x)}); −1 } {q a0(x) = 4 θ2(x), b a1 = 2 > assign(%); De (eerste) derde vergelijking wordt dus : > j = 2*b2*theta2(x)+q1(x); 1 (4 x2 + 2 x − 3 + 4 b a1 x + 2 b a1 ) θ1(x) + 4 θ2(x) = 2 b2 θ2(x) + q1(x) 2 2x+1 > simplify(%); 2 (θ1(x) x2 − θ1(x) + 4 θ2(x) x + 2 θ2(x)) = 2 b2 θ2(x) + q1(x) 2x+1

332HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES >

vorm_vgln(lhs(%),rhs(%),theta2(x));

>

2 θ1(x) x2 2 θ1(x) 8x 4 − = q1(x), + = 2 b2 } 2x+1 2x+1 2x+1 2x+1 solve(%,{q1(x),b2}); {

2 (x2 − 1) θ1(x) , b2 = 2} 2x+1 b2:=2; q1(x):=2*(x^2-1)*theta1(x)/(2*x+1)+b1; b2 := 2 2 (x2 − 1) θ1(x) q1(x) := + b1 2x+1 {q1(x) =

>

Vierde vergelijking : > q1(x)*diff(theta2(x),x)+(diff(q0(x),x))=x*(1/2/(x+1/2)/theta1(x)+1/x) >

^2+(x-1/x)*theta1(x)/(x+1/2)-1/4*x/(x+1/2)^2/theta1(x)^2; 2 (x2 − 1) θ1(x) d d + b1 ) ( dx θ2(x)) + ( dx q0(x)) = ( 2x+1  2 1 (x − ) θ1(x) 1 1  1 x 1 x + x − +  2  1 1 1 x 4 (x + ) θ1(x) x+ (x + )2 θ1(x)2 2 2 2

Indien we alle onbekenden in het linkerlid plaatsen, ziet de vergelijking er als volgt uit : > b1*diff(theta2(x),x)+diff(q0(x),x) = >

x*(1/2/(x+1/2)/theta1(x)+1/x)^2+(x-1/x)*theta1(x)/(x+1/2)-1/4*x/(x+1/2

>

)^2/theta1(x)^2-2*(x^2-1)*theta1(x)/(2*x+1)*diff(theta2(x),x);

d d b1 ( dx θ2(x)) + ( dx q0(x)) = x

d θ2(x)) 2 (x2 − 1) θ1(x) ( dx − 2x+1



1  2

2

1 (x − ) θ1(x) 1 1 1 x x +  + −  1 1 1 x 4 (x + ) θ1(x) x+ (x + )2 θ1(x)2 2 2 2

We moeten nu een primitieve bepalen van het rechterlid : > integr := >

x*(1/2/(x+1/2)/theta1(x)+1/x)^2+(x-1/x)*theta1(x)/(x+1/2)-1/4*x/(x+1/2

>

)^2/theta1(x)^2-2*(x^2-1)*theta1(x)/(2*x+1)*diff(theta2(x),x);

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES333

1  2

>

1  2

>

>

>

>

2

1 (x − ) θ1(x) 1 1 x 1 x − integr := x + +   1 1 1 x 4 (x + ) θ1(x) x+ (x + )2 θ1(x)2 2 2 2 d 2 2 (x − 1) θ1(x) ( dx ln(x)) − 2x+1 integr := simplify(%); 2 x + 2 θ1(x) x + θ1(x) integr := θ1(x) x (2 x + 1) r := (2*theta1(x)*x+2*x+theta1(x))/(2*x+1)/x; 2 x + 2 θ1(x) x + θ1(x) r := (2 x + 1) x convert(r,parfrac,theta1(x)); θ1(x) 2 + x 2x+1 integr := %/theta1(x); θ1(x) 2 + 2x+1 integr := x θ1(x) integr := 2/(2*x+1)/theta1(x)+1/x; 1 2 + integr := (2 x + 1) θ1(x) x 

>

2

1 (x − ) θ1(x) 1 1 x 1 x +  − integr := x +  1 1 1 x 4 (x + ) θ1(x) x+ (x + )2 θ1(x)2 2 2 2 d 2 2 (x − 1) θ1(x) ( dx θ2(x)) − 2x+1 integr := subs(theta2(x)=log(x),%); 

Eerste term : > r := 2/(2*x+1); r := >

>

>

2 2x+1

p := theta1(x); p := θ1(x) p := subs(theta1(x)=log(x+1/2),p); 1 p := ln(x + ) 2 p_ := diff(p,x); 1 p := 1 x+ 2

334HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES >

resultant(r-z*p_,theta1,theta1); 2 (−1 + z) − 2x+1

Elementair want R˜ = z − 1 > c := 1; >

>

c := 1 v := gcdex(r-c*p_,theta1,theta1); v := θ1 v := theta1(x); v := θ1(x)

Tweede term : > r := 1; r := 1 >

p := x; p := x

>

rothstein_trager(r,p,x); ln(x)

>

subs(ln(x)=theta2(x),%); θ2(x)

De primitieve van het rechterlid van de vergelijking is nu volledig bepaald. De vergelijking kunnen we dus als volgt schrijven : > int(b1*diff(theta2(x),x)+diff(q0(x),x),x)=theta2(x)+c*log(v); b1 θ2(x) + q0(x) = θ2(x) + ln(θ1(x)) > vorm_vgln(lhs(%),rhs(%),theta2(x)); {q0(x) = ln(θ1(x)), b1 = 1} > assign(%); > simplify(P); 1 (8 θ2(x)3 θ1(x) x + 4 θ2(x)3 θ1(x) + 6 θ2(x)2 x + 6 θ2(x)2 b2 θ1(x) x + 3 θ2(x)2 b2 θ1(x) 3 + 6 θ2(x) θ1(x)2 x2 − 6 θ2(x) θ1(x)2 + 6 θ2(x) θ1(x) b1 x + 3 θ2(x) θ1(x) b1 + 6 ln(θ1(x)) θ1(x) x + 3 ln(θ1(x)) θ1(x))/((2 x + 1) θ1(x)) > P := subs({theta1(x)=log(x+1/2),theta2(x)=log(x)},P);  1  2 (x − 1) ln(x + 2 )   4 2x  ln(x)2 +  + b2 P := ln(x)3 +  + b1     ln(x) 1 3 2x+1 (2 x + 1) ln(x + ) 2 1 + ln(ln(x + )) 2 





2

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES335 >

Int(’f’,x) = P;

 1 2 2 (x − 1) ln(x + )    4 2x 2 + 1  ln(x) f dx = ln(x)3 +  ln(x)2 +  + 2     1 3 2x+1 (2 x + 1) ln(x + ) 2 1 + ln(ln(x + )) 2 

Z





Controle : > int(f,x); 1 2 ln(x) (x2 − 1) ln(x + ) 4 2 + ln(x)3 + 2 ln(x)2 + ln(x) + 2x+1 3 >

testeq(%,%%%); true

2 ln(x)2 x 1 (2 x + 1) ln(x + ) 2

1 + ln(ln(x + )) 2

336HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES

7.5.2

Het rischalgoritme voor transcendente exponenti¨ ele extensies

Het integrandum f ∈ K(x, θ1 , . . . , θn )

wordt opgevat als een rationale functie in de laatste transcendente extensie θn , die θ wordt genoteerd : f (θ) =

p(θ) ∈ K(x, θ1 , . . . , θn−1 , θ) = Fn−1 (θ) q(θ)

waarbij we noteren Fn−1 = K(x, θ1 , . . . , θn−1 ) en p(θ) en q(θ) behorende tot Fn−1 [θ]; er wordt tevens ondersteld dat f (θ) genormaliseerd is : GGD(p(θ), q(θ)) = 1 en dat q(θ) monisch is. We behandelen nu het geval waarbij deze laatste extensie θ exponentieel is : er bestaat een u ∈ Fn−1 waarvoor θ0 = u0 θ met overeenkomstige notatie θ = exp(u). Het is mogelijk op dezelfde manier te werk te gaan als in het logaritmische geval en, m.b.v. het euclidisch algoritme, polynomen p˜(θ) en r(θ) in Fn−1 [θ] te bepalen waarvoor p(θ) = q(θ)˜ p(θ) + r(θ) waarbij ofwel r(θ) = 0 ofwel deg(r(θ)) <deg(q(θ)). Dan is r(θ) . f (θ) = p˜(θ) + q(θ) r(θ) te primitiveren, dan q(θ) ontstaat de volgende moeilijkheid. De kwadraatvrije factorisatie van de noemer is

Gebruiken we nu de hermitemethode om het rationaal deel

q(θ) =

k Y

qi (θ)ki

i=1

waarbij elke qi (θ) ∈ Fn−1 [θ] monisch en kwadraatvrij is. Alhoewel voor elke i = 1, . . . , k geldt dat GGD(qi (θ),

d qi (θ)) = 1, dθ

volgt hieruit niet noodzakelijk dat GGD(qi (θ), qi (θ)0 ) = 1,

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES337 wat echter cruciaal is voor de hermitemethode. Dat deze laatste conditie inderdaad niet steeds geldt, moge blijken uit het volgende voorbeeld : d qi (θ) = 1 en stel qi (θ) = θ, dan is dθ GGD(θ, 1) = 1, terwijl qi (θ)0 = θ0 = u0 θ, en dus GGD(θ, u0 θ) = θ.

Uit de stelling omtrent de afleiding van een exponentieel polynoom (§3) weten we echter dat qi (θ) een deler is van qi (θ)0 enkel als qi (θ) een eenterm is. Zo zal het probleem omzeild kunnen worden als de monomiale factoren uit de noemer verwijderd kunnen worden. Daartoe gaan we als volgt te werk. Stel l de laagste graad van alle termen van q(θ) ∈ Fn−1 [θ]; dan is de noemer van de vorm : q(θ) = θl q¯(θ) waarbij θ geen deler is van q¯(θ). [Mocht l = 0 dan bevatte de noemer geen monomiale factoren.] Bepaal dan polynomen r¯(θ) en w(θ) in Fn−1 [θ] waarvoor r¯(θ)θl + w(θ)¯ q(θ) = r(θ) met deg(¯ r(θ)) < deg(¯ q (θ)) en deg (w(θ)) < l. Na deling door q(θ) komt er : r¯(θ) w(θ) r(θ) + l = q¯(θ) θ q(θ) en dus f (θ) = p˜(θ) +

w(θ) r¯(θ) + (θ)l q¯(θ)

of f (θ) = s˜(θ) +

r¯(θ) q¯(θ)

waarbij s¯(θ) = p˜(θ) + θ−l w(θ), deg(¯ r (θ)) <deg(¯ q (θ)) en θ geen deler is van q¯(θ). Stellen we w(θ) =

l−1 X

wi θ i

m X

pi θ i

i=0

en p˜(θ) =

i=0

338HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES dan is s¯(θ) = =

m X

pi θ i +

l−1 X i=0

i=0 −1 X

wi+l θi +

wi θi−l m X

pi θ i

i=0

i=−l

een “polynoom met positieve en negatieve machten van θ”. Voor de primitivering van het rationale deel van f (θ) : Z

r˜ q˜

kan de hermitemethode toegepast worden. De primitivering van het “polynomiale” deel Z s˜

is niet triviaal, maar het optreden van negatieve machten van θ maakt de zaak niet ingewikkelder [want θ−1 = exp(−u) is opnieuw een exponenti¨ele functie]. 7.5.2.1 Exponenti¨ ele extensie : het rationale deel Ontbind de noemer van het rationale deel in kwadraatvrije factoren : q˜(θ) =

k Y

qi (θ)ki

i=1

met qi (θ) monisch en kwadraatvrij, GGD(qi (θ), qj (θ)) = 1 voor i 6= j, deg(qk (θ)) > 0 en θ geen deler van qi (θ) voor i = 1, . . . , k. LEMMA Gegeven zijn een differentiaalveld F (x) met differentiaaloperator 0 waarvoor x0 = 1, en een differentiaal extensieveld F (x, θ) met hetzelfde constantenveld, waarbij θ transcendent en exponentieel is over F (x). Voor een monisch polynoom a(θ) ∈ F (x)[θ] in het symbool θ, met positieve graad en niet deelbaar door θ, waarvoor GGD(a(θ),

d a(θ)) = 1 dθ

– m.a.w. a(θ) is kwadraatvrij in F (x)[θ]– geldt eveneens GGD(a(θ), a(θ)0 ) = 1 waarbij deze laatste GGD-operatie eveneens in F (x)[θ] wordt doorgevoerd.

Op dezelfde wijze als bij een logaritmische extensie, leidt de hermitereductie tot Z

c(θ) r¯(θ) = + q¯(θ) d(θ)

Z

a(θ) b(θ)

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES339 waarbij a(θ), b(θ), c(θ), c(θ) ∈ Fn−1 [θ], deg(a(θ)) <deg(b(θ)), b(θ) niet deelbaar is door θ, b(θ), monisch en kwadraatvrij is. De klus wordt nu verder geklaard met de rothstein-tragermethode. Men berekent : R(z) = resθ (a(θ) − zb(θ)0 , b(θ)) ∈ Fn−1 [z]. Vooruitlopend op onderstaande stelling (§ 5.2.2), zal de primitieve van tair zijn als en slechts dan als

a(θ) b(θ)

elemen-

˜ R(z) = S R(z) ∈ Fn−1 [z]

˜ met R(z) ∈ K[z] en S ∈ Fn−1 = K(x, θ1 , . . . , θn−1 ).

˜ Als een van de co¨effici¨enten van R(z) = pp(R(z)) (het primitief deel van R(z)) niet ˜ constant is, dan is de primitieve van het rationale deel niet elementair. Heeft R(z) enkel constante wortels ci (i ≤ i ≤ m) (verschillend ondersteld) in het splitsend veld KR˜ , en defini¨eren we vi (θ) = GGD(a(θ) − ci b(θ)0 , b(θ)) ∈ Fn−1 (c1 , . . . , cm )[θ], dan is uiteindelijk Z

m m X X a(θ) )=− ci deg(vi (θ)) u + ci log(vi (θ)), ( b(θ) i=1 i=1

waarbij θ = exp(u) of

!

θ0 = u0 . θ

Merk op dat, in tegenstelling tot het geval van een logaritmische extensie, deze primitieve niet alleen logaritmische termen bevat, maar eveneens een term in u [zie verder § 7.5.2.2].

VOORBEELD (7.5.2.1) 1 Z

• integrandum f (θ) = • rothstein-trager :

1 θ+1

1 exp(x) + 1

∈ Q(x, θ) met θ = exp(x), x ∈ Q(x)

R(z) = resθ (1 − z(θ + 1)0 , θ + 1) = resθ (1 − zθ, θ + 1) = −z − 1 ∈ Q(x)[z]

˜ R(z) = pp(R(z)) = 1 + z heeft constante co¨effici¨enten zodat de primitieve elementair is

340HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES ˜ • wortels van R(z) : c1 = −1 •

v1 (θ) = GGD(1 − (−1)θ, θ + 1) = GGD(1 + θ, θ + 1) = θ + 1.

• Resultaat :

R

1 exp(x)+1 = −(−1)(1)x + (−1)log(θ + 1) = x − log(1 + ex )

VOORBEELD (7.5.2.1) 2 Z

• integrandum f (θ) =

x θ+1

x exp(x) + 1

∈ Q(x, θ) met θ = exp(x), x ∈ Q(x)

• rothstein-trager : R(z) = resθ (x − z(θ + 1)0 , θ + 1) = resθ (x − zθ, θ + 1) = −z − x ∈ Q(x)[z] ˜ R(z) = pp(R(z)) = x + z heeft een niet-constante co¨effici¨ent, zodat de primitieve niet elementair is.

VOORBEELD (7.5.2.1) 3 [zie ook VOORBEELD 3, p.300] • integrandum f (θ2 ) =

x(x + 1)((x2 θ22 − θ12 )2 + 2xθ23 (x − (2x3 + 2x2 + x + 1)θ1 )) ((x + 1)θ12 − (x3 + x2 )θ22 )2

met

θ1 = log(x + 1) θ2 = exp(x2 ), x2 ∈ Q(x, θ1 )

• via euclidisch algoritme : f (θ2 ) =

2θ3 x − (2x3 + 2x2 + x + 1)θ1 x + 2 2 θ2 x + 1 x (x + 1) ( 12 − θ22 )2 x

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES341 x ; het is een rationale functie in Q(x); de primi• het “polynomiale” deel is x+1 tivering ervan gebeurt met het algoritme van hoofdstuk 6; resultaat :

x = x − log(x + 1). x+1

Z

• de tweede term van f (θ2 ) vormt het rationale deel in θ2 ; θ2 is geen deler van de noemer; hierop wordt hermitereductie toegepast : kwadraatvrije splitsing in partieelbreuken van r(θ2 ) b(θ2 )2 met r(θ2 ) = b(θ2 ) = levert :

2 (x − x2 (x+1) θ12 − x2 + θ22

(2x3 + 2x2 + x + 1)θ1 )θ23

r(θ2 ) r1 (θ2 ) r2 (θ2 ) = + b(θ2 )2 b(θ2 ) b(θ2 )2

met r1 (θ2 ) =

2 (x − (2x3 + 2x2 + x + 1)θ1 )θ2 + 1)

x2 (x

en r2 (θ2 ) =

2 (x − (2x3 + 2x2 + x + 1)θ1 )θ12 θ2 + 1)

x4 (x

Controleer dit met Maple

• om het kwadraat in de noemer van

r2 (θ2 ) b(θ2 )2

weg te werken, bepaalt men

s(θ2 ) en t(θ2 ) in Q(x, θ1 )[θ2 ] waarvoor s(θ2 )b(θ2 ) + t(θ2 )b(θ2 )0 = r2 (θ2 ); er geldt : 1 s(θ2 ) = 4θ1 θ2 , t(θ2 ) = − θ1 θ2 x zodat Z

Z 1 θθ 1 1 r2 (θ2 ) 1 x 1 2 + (( 2 + 2)θ1 − )θ2 = 2 b(θ2 ) b(θ2 ) b(θ2 ) x x(1 + x)

• Na deze hermitereductie zijn we herleid tot : R

f (θ2 ) = x − log(x + 1) + +

R

θ2 θ22 −

θ12 x2

1 θ1 θ2 x θ22 − θ122 x

1 (x − θ1 (2x3 + 2x2 + x + 1)) 2 x (x + 1)

342HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES • rothstein-tragermethode voor deze laatste primitieve R(z) = resθ2 (a(θ2 ) − zb(θ2 )0 , kb(θ2 )) = ... ˜ = pp(R(z)) = 4z 2 − 1 heeft constante co¨effici¨enten, zodat deze primitieve R ˜ elementair is; de wortels van R(z) zijn c1 = 21 en c2 = − 12 ; de overeenkomstige logaritme-argumenten zijn 1 1 v1 (θ2 ) = θ2 + θ1 , v2 (θ2 ) = θ2 − θ1 ; x x aldus : laatste primitieve = −( 12 .1 − 12 .1)x2 + 21 log(v1 (θ2 )) − 21 log(v2 (θ2 )) • Eindresultaat :

R

f = x − log(x + 1) 2 1 log(x + 1)ex + 2x2 x e − x12 log2 (x + 1) 2 + 12 log(ex + x1 log(x + 1)) 2 − 12 log(ex − x1 log(x + 1))

Maplesessie: comp7521.mws 7.5.2 Het Rischalgoritme voor transcendente exponentile extensies

7.5.2.1 Exponentile extensie : het rationaal deel

> >

restart; read ‘hfdst6.m‘;

Opmerking :

De bovenstaande commandolijn zorgt ervoor dat Maple alle procedures ’kent’ die betrekking hebben op het zesde hoofdstuk van de cursus computeralgebra. De allereerste keer dat men deze worksheet wil doorlopen, moet men eerst de worksheet bib hfdst6.mws met ”Execute Worksheet¨ uitvoeren. Dit zorgt ervoor dat Maple de file hfdst6.m aanmaakt en plaatst in de werk-directory.

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES343

Voorbeeld 1 : (zie (7.5.2.1) 1) > f := 1/(exp(x)+1); f := >

ex

1 +1

subs(exp(x)=theta,f); 1 θ+1

We maken hier gebruik van de methode van Rothstein-Trager om na te gaan of een elementaire primitieve functie bestaat : > r := 1; r := 1 > p := theta+1; p := θ + 1 > p_ := diff(subs(theta=exp(x),p),x); p := ex > p_ := subs(exp(x)=theta,p_); p := θ > resultant(r-z*p_,p,theta); −1 − z De primitieve is elementair want R˜ = z + 1 heeft constante cofficinten ! > c := -1; c := −1 > v := gcdex(r-c*p_,p,theta); v := θ + 1 We vinden dus dat : > Int(f,x)=-(c*degree(v,theta))*x+c*log(v); Z 1 dx = x − ln(θ + 1) x e +1 Of : >

subs(theta=exp(x),%); Z 1 dx = x − ln(ex + 1) x e +1

Controle :

344HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES >

diff(x-log(exp(x)+1),x); 1−

>

ex ex + 1

simplify(%); ex

1 +1

Voorbeeld 2 : (zie (7.5.2.1) 2) > f := x/(exp(x)+1); f := >

x ex + 1

subs(exp(x)=theta,f); x θ+1

We maken opnieuw gebruik van de Rothstein-Tragermethode : > r := x; r := x > p := theta+1; p := θ + 1 > p_ := diff(subs(theta=exp(x),p),x); p := ex > p_ := subs(exp(x)=theta,p_); p := θ > resultant(r-z*p_,p,theta); −x − z R˜ = x + z heeft een niet-constante cofficint, zodanig dat de primitieve niet elementair is .

Voorbeeld 3 : (zie (7.5.2.1) 3) > f := >

x*(x+1)*((x^2*exp(2*x^2)-log(x+1)^2)^2+2*x*exp(3*x^2)*(x-(2*x^3+2*x^2+

>

x+1)*log(x+1)))/((x+1)*log(x+1)^2-(x^3+x^2)*exp(2*x^2))^2; 2

2

x (x + 1) ((x2 e(2 x ) − ln(x + 1)2 )2 + 2 x e(3 x ) (x − (2 x3 + 2 x2 + x + 1) ln(x + 1))) f := ((x + 1) ln(x + 1)2 − (x3 + x2 ) e(2 x2 ) )2

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES345 Maple heeft hier een beetje hulp nodig : > p := >

x*(x+1)*((x^2*exp(x^2)^2-log(x+1)^2)^2+2*x*exp(x^2)^3*(x-(2*x^3+2*x^2+

>

x+1)*log(x+1))); q := ((x+1)*log(x+1)^2-(x^3+x^2)*exp(x^2)^2)^2; 2

2

p := x (x + 1) ((x2 (e(x ) )2 − ln(x + 1)2 )2 + 2 x (e(x ) )3 (x − (2 x3 + 2 x2 + x + 1) ln(x + 1))) 2

>

>

q := ((x + 1) ln(x + 1)2 − (x3 + x2 ) (e(x ) )2 )2

p := subs({exp(x^2)=theta2,log(x+1)=theta1},p); p := x (x + 1) ((x2 θ22 − θ12 )2 + 2 x θ23 (x − (2 x3 + 2 x2 + x + 1) θ1)) q := subs({exp(x^2)=theta2,log(x+1)=theta1},q); q := ((x + 1) θ12 − (x3 + x2 ) θ22 )2

>

term_1 := quo(p,q,theta2);

>

x x+1 term_2 := collect(factor(rem(p,q,theta2)/q),[theta1,theta2,x]); term 1 :=

term 2 := −

2 x2 ((2 x3 + 2 x2 + x + 1) θ1 − x) θ23 (x θ2 − θ1)2 (x θ2 + θ1)2 (x + 1)

Eerste term = polynomiale deel >

term_1; x x+1

Methode van Horowitz en Rothstein-Trager (zie hoofdstuk 6) : >

r := x; r := x

>

p := x+1; p := x + 1

>

>

horowitz(r,p,x);

r := -1;

Z

Z x 1 dx = x + − dx x+1 x+1

r := −1

>

rothstein_trager_poly(r,p,x); []

>

rothstein_trager(r,p,x); −ln(x + 1)

We vinden dus dat :

346HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES >

Int(x/(x+1),x)=x-log(x+1); Z x dx = x − ln(x + 1) x+1

Tweede term = rationale deel > term_2; 2 x2 ((2 x3 + 2 x2 + x + 1) θ1 − x) θ23 − (x θ2 − θ1)2 (x θ2 + θ1)2 (x + 1) Hermitereductie : > r := -2*x^2*((2*x^3+2*x^2+x+1)*theta1-x)*theta2^3/((x+1)*x^4); 2 ((2 x3 + 2 x2 + x + 1) θ1 − x) θ23 r := − x2 (x + 1) > b := expand((x*theta2-theta1)*(x*theta2+theta1)/x^2); b := θ22 −

θ12 x2

r(θ2) r1(θ2) r2(θ2) We bepalen r1(θ2) en r2(θ2) zodanig dat er geldt dat : b(θ2) 2 = b(θ2) + b(θ2)2 > r=A*theta2*b+B*theta2; θ12 2 ((2 x3 + 2 x2 + x + 1) θ1 − x) θ23 2 = A θ2 (θ2 − ) + B θ2 − x2 (x + 1) x2 > vorm_vgln(lhs(%),rhs(%),theta2);

{0 = − >

4 x θ1 4 θ1 2 θ1 2 θ1 2 A θ12 + B, − − − − + = A, 0 = 0} x2 x + 1 x + 1 x (x + 1) x2 (x + 1) x (x + 1) solve(%,{A,B}); 2 (2 θ1 x3 + 2 θ1 x2 + θ1 x + θ1 − x) , x2 (x + 1) 2 (2 θ1 x3 + 2 θ1 x2 + θ1 x + θ1 − x) θ12 } B=− x4 (x + 1) assign(%); {A = −

> r1(θ2) b(θ2)

>

r1 := A*theta2; r1 := −

2 (2 θ1 x3 + 2 θ1 x2 + θ1 x + θ1 − x) θ2 x2 (x + 1)

We maken nu nog gebruik van de Rothstein-Tragermethode voor het bepalen van de primitieve van deze eerste term.

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES347 >

b_ := diff(subs({theta1=log(x+1),theta2=exp(x^2)},b),x);

>

2 ln(x + 1)2 2 ln(x + 1) − 2 x3 x (x + 1) b_ := subs({log(x+1)=theta1,exp(x^2)=theta2},b_); 2

b := 4 (e(x ) )2 x +

2 θ12 2 θ1 − 2 3 x x (x + 1) resultant(r1-z*b_,b,theta2); 4 (2 θ1 x3 + 2 θ1 x2 + θ1 x + θ1 − x)2 θ12 (−1 + z 2 ) x6 (x + 1)2 primpart(%,z); b := 4 θ22 x +

>

>

−1 + z 2 De cofficinten van R˜ = z 2 − 1 zijn constant. > solve(%,z); 1, −1 > c1 := 1; c1 := 1 > v1 := gcdex(r1-c1*b_,b,theta2); v1 := θ2 + >

>

c2 := -1;

θ1 x

c2 := −1 v2 := gcdex(r1-c2*b_,b,theta2); θ1 v2 := − + θ2 x

We hebben dus voor de primitieve P1 = > P1 :=

R

r1(θ2) b(θ2)

dx gevonden dat :

>

-(c1*degree(v1,theta2)+c2*degree(v2,theta2))*x^2+c1*log(v1)+c2*log(v2)

>

; P1 := ln(θ2 +

θ1 θ1 ) − ln(− + θ2) x x

r2(θ2) b(θ2)2

>

>

r2 := B*theta2; 2 (2 θ1 x3 + 2 θ1 x2 + θ1 x + θ1 − x) θ12 θ2 r2 := − x4 (x + 1) gcdex(b,b_,r2,theta2,’s’,’t’);

348HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES >

s; t; 4 θ2 θ1 θ1 θ2 − x

>

t_ :=

>

subs({exp(x^2)=theta2,log(x+1)=theta1},diff(subs(

>

{theta2=exp(x^2),theta1=log(x+1)},t),x)); θ1 θ2 θ2 + 2 − 2 θ2 θ1 t := − (x + 1) x x j := 2; j := 2 Int(’r2’/’b’^2,x)=-t/((j-1)*b^(j-1))+Int((s+t_/(j-1))/b^(j-1),x); θ2 θ1 θ2 + 2 Z Z 2 θ2 θ1 − r2 θ1 θ2 (x + 1) x x dx = dx 2 + 2 2 θ1 θ1 b 2 2 x (θ2 − 2 ) θ2 − 2 x x

>

>

met >

P2[1] := theta1*theta2/(x*(theta2^2-theta1^2/x^2)); θ1 θ2 P2 1 := θ12 2 x (θ2 − 2 ) x

We maken nu nog gebruik van de Rothstein-Tragermethode voor het bepalen van de laatste primitieve. > a := 2*theta1*theta2-theta2/(x+1)/x+theta1*theta2/x^2; θ2 θ1 θ2 a := 2 θ2 θ1 − + 2 (x + 1) x x > resultant(a-z*b_,b,theta2); (2 θ1 x3 + 2 θ1 x2 + θ1 x + θ1 − x)2 θ12 (−1 + 4 z 2 ) x6 (x + 1)2 > primpart(%,z); −1 + 4 z 2 De cofficinten van R˜ = z 2 − > solve(%,z);

1 4

zijn constant. 1 −1 , 2 2

>

c1 := 1/2; c1 :=

1 2

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES349 >

>

>

v1 := gcdex(a-c1*b_,b,theta2); θ1 v1 := − + θ2 x c2 := -1/2; −1 c2 := 2 v2 := gcdex(a-c2*b_,b,theta2); θ1 v2 := θ2 + x

We dus voor deze laatste primitieve P2 2 gevonden dat : > P2[2] := >

-(c1*degree(v1,theta2)+c2*degree(v2,theta2))*x^2+c1*log(v1)+c2*log(v2)

>

; P2 2 :=

θ1 1 θ1 1 ln(− + θ2) − ln(θ2 + ) 2 x 2 x

Voor het volledige rationale deel hebben we gevonden dat : > Int(’r’/’b’^2,x)=P1+P2[1]+P2[2]; Z 1 θ1 1 θ1 θ1 θ2 r dx = ln(θ2 + ) − ln(− + θ2) + 2 θ12 b 2 x 2 x x (θ22 − 2 ) x

We hebben dus gevonden dat : > primitieve :=x-ln(x+1)+P1+P2[1]+P2[2]; 1 θ1 1 θ1 primitieve := x − ln(x + 1) + ln(θ2 + ) − ln(− + θ2) + 2 x 2 x

θ1 θ2 θ12 2 x (θ2 − 2 ) x

Of : >

primitieve:=subs({theta1=log(x+1),theta2=exp(x^2)},primitieve);

primitieve := x − ln(x + 1) + 2

ln(x + 1) e(x ) + ln(x + 1)2 x ((e(x2 ) )2 − ) x2 Controle :

1 ln(x + 1) 1 ln(x + 1) 2 2 ln(e(x ) + ) − ln(− + e(x ) ) 2 x 2 x

350HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES diff(primitieve,x);

>

1 1 ln(x + 1) ln(x + 1) 2 − − + + 2 x e(x ) 1 1 1 x (x + 1) x (x + 1) x2 x2 + 1− − ln(x + 1) ln(x + 1) x+1 2 2 2) (x e + − + e(x2 ) x x 2 2 2 ln(x + 1) e(x ) 2 ln(x + 1) e(x ) e(x ) − + + (x + 1) x %1 x2 %1 %1 2 ln(x + 1)2 2 ln(x + 1) 2 2 − 2 ) ln(x + 1) e(x ) (4 (e(x ) )2 x + x3 x (x + 1) − x %12 ln(x + 1)2 2 %1 := (e(x ) )2 − x2 > testeq(%,f); true 2

2 x e(x ) +

7.5.2.2 De rothstein-tragerresultaten voor een exponenti¨ ele extensie

STELLING Gegeven is een elementair functieveld F met constantenveld K, en een transcendent elementair extensieveld F (θ) met hetzelfde constantenveld, waarbij θ transcendent 0 en exponentieel is over F : θθ = u0 , u ∈ F . Verder is gegeven een rationale functie in θ : a(θ) b(θ) waarbij a(θ), b(θ) ∈ F [θ] GGD(a(θ), b(θ)) = 1 GGD(a(θ)) < deg(b(θ)) b(θ) monisch, kwadraatvrij en niet deelbaar door θ is Dan geldt : (i)

R

a(θ) b(θ)

is elementair als en slechts dan als alle wortels van de polynoom

constant zijn;

R(z) = resθ (a(θ) − zb(θ)0 , b(θ)) ∈ F [z]

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES351 (ii) als

R

a(θ) b(θ)

elementair is, dan is m X a(θ) vi (θ)0 = g0 + ci b(θ) vi (θ) i=1

waarbij de ci (i ≤ i ≤ m) de verschillende wortels zijn van R(z), en de vi (θ) (i ≤ i ≤ m) bepaald worden d.m.v. vi (θ) = GGD(a(θ) − ci b(θ)0 , b(θ)) ∈ F (c1 , . . . , cm )[θ] en waarbij g ∈ F (c1 , . . . , cm ) bepaald wordt door g 0 = −(

m X

ci deg(vi (θ)))u0 ;

i=1

(iii) als F ∗ het minimaal algebra¨ısch extensieveld is van F waarvoor a(θ) de bovenb(θ) ∗ ∗ staande gedaante bezit met constanten ci ∈ F en vi (θ) ∈ F [θ], dan is F ∗ = F (c1 , . . . , cm ) waarbij de ci (1 ≤ i ≤ m) de verschillende wortels zijn van R(z). Veeleer dan een bewijs te geven van deze stelling, onderzoeken we waar de additionele term in u vandaan komt [vergeleken met de formule voor een logaritmische extensie]. Nemen we de afgeleide van een logaritmische term : (c log(v(θ)))0 = c

v(θ)0 v(θ)

dan is daarbij deg(v(θ)0 ) = deg(v(θ)) omdat θ exponentieel is : θ = exp(u). Stellen we : v(θ) = θn + αn−1 θn−1 + · · · + α0 dan is 0

v(θ)0 = nθn u0 + (n − 1)αn−1 θn−1 u0 + · · ·

zodat v(θ) niet zuiver rationaal is in θ. v(θ) Nemen we daarentegen de afgeleide van een aangepaste term : v(θ)0 − nu0 v(θ) (clog(v(θ)) − cnu) = c , v(θ) 0

dan levert de laatste teller geen term meer van de nde graad in θ, zodat dit wel een zuiver rationale functie in θ voorstelt. 7.5.2.3 Exponenti¨ ele extensie : het “polynomiale” deel

352HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES Het z.g. “polynomiale” deel bij de formele integratie van f (θ) ∈ K(x, θ, . . . , θn−1 ) was van de vorm p¯(θ) =

l X

j=−k

pj θj , pj ∈ Fn−1 = K(x, θ1 , · · · , θn−1 ).

Onderstel dat p¯(θ) een elementaire primitieve bezit; dan is volgens het liouvilleprincipe : m X vi (θ)0 p¯(θ) = v0 (θ)0 + ci vi (θ) i=1 ¯ [de algebra¨ısche sluiting van K] en alle vi (θ) ∈ F¯n−1 (θ) [het veld waarbij alle ci ∈ K ¯ Fn−1 (θ) met constantenveld uitgebreid tot K]. Zonder de algemeenheid te schaden, kunnen we aannemen dat elke vi (θ) ofwel behoort tot F¯n−1 , ofwel monisch is en irreducibel in F¯n−1 [θ]. Verder kan v0 (θ) onmogelijk een factor bevatten in de noemer die niet monomiaal is, want een dergelijke factor zou behouden blijven (met een hogere graad) in de noemer van de afgeleide. Om dezelfde reden zullen ook alle vi (θ) geen niet-monomiale factoren bevatten. Daaruit volgt dat elke vi (θ) ofwel behoort tot F¯n−1 , ofwel gelijk is aan θ, de enige irreduciebele eenterm in F¯n−1 [θ]. Echter, als vi (θ) = θ dan wordt de overeenkomstige term in de som : vi (θ)0 = ci u 0 ci vi (θ) wat kan opgeslorpt worden in v0 (θ)0 . We besluiten dat, als p¯(θ) een elementaire primitieve bezit, 

p¯(θ) = 

l X

j=−k

0

qj θj  +

m X

ci

i=1

vi0 vi

¯ ≤ i ≤ m) en vi ∈ F¯n−1 (1 ≤ i ≤ m). waarbij qj ∈ F¯n−1 (−k ≤ j ≤ l), ci ∈ K(1 Het feit dat de sommatie-index j hierbij hetzelfde bereik heeft als in de eerste uitdrukking voor p¯(θ), volgt uit de stelling omtrent de afleiding van een exponentieel polynoom (§3). Merk nu op dat : (qj θj )0 = (qj0 + ju0 qj )θj , −k ≤ j ≤ l zodat terzelfdertijd

p¯(θ) =

l X

pj θ j

j=−k

en p¯ =

l X

j=−k

(qj0 + ju0 qj )θj +

m X i=1

ci

vi0 vi

waaruit door identificatie van gelijknamige machten volgt dat pj = qj0 + ju0 qj , j = −k, . . . , −1, 1, . . . , l

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES353 en p0 = q¯00 = q0 +

m X

ci log(vi ).

i=1

Hierin zijn de pj ∈ Fn−1 (−k ≤ j ≤ l) gekend, terwijl de onbekenden zijn : qj ∈ F¯n−1 (j 6= 0), q¯0 ∈ F¯n−1 (log(v1 ), . . . , log(vm )). Voor j = 0 is de oplossing q¯0 =

Z

p0 . R

Is deze primitieve niet elementair, dan volgt hieruit dat de originele primitieve p¯(θ) niet elementair is. R Is p0 wel elementair, dan is meteen q¯0 bepaald. Voor elke j 6= 0 moet ter bepaling van qj ∈ F¯n−1 een differentiaalvergelijking opgelost worden; deze is van de vorm : y 0 + gy = h waarbij g en h in Fn−1 gegeven zijn en y ∈ F¯n−1 dient te worden bepaald. Deze differentiaalvergelijking heet de rischdifferentiaalvergelijking.

Op het eerste zicht ziet het aldus ernaar uit dat het originele primitiveringsprobleem is vervangen door een moeilijker probleem : het oplossen van de rischdifferentiaalvergelijking. Maar aangezien de oplossing van deze DV moet behoren tot hetzelfde functieveld als de gegeven functies g en h (mogelijks met een extensie van het constantenveld), is het mogelijk de rischdifferentiaalvergelijking op te lossen, ofwel aan te tonen dat er geen oplossing van de voorgeschreven vorm bestaat. Van zodra een van de rischdifferentiaalvergelijkingen uit het bovenstaande stelsel niet in de gewenste vorm oplosbaar is, is de gegeven primitieve niet elementair. Is het wel het geval, dan komt er : Z

p¯(θ) =

X

qj θj + q¯0 .

j6=0

De rischdifferentiaalvergelijking werd bestudeerd door Risch in 1969. Andere bijdragen terzake zijn van Rothstein (1976), Davenport (1986) en Bronstein (1990). Deze laatste bijdrage bevat een algoritme om de risch-differentiaalvergelijking op te lossen.

VOORBEELD (7.5.2.3) 1 Z

exp(−x2 )

354HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES • integrandum : f (θ) = θ = exp(−x2 ), −x2 ∈ Q(x) •

f (θ) = 0+ 1.θ, dus p0 = 0, p1 = 1 ↓ ↓ p0 p1

• q¯0 = 0 ¯ • q10 + u0 q1 = 1, q10 − 2xq1 = 1 met q1 ∈ Q(x); ¯ deze rischdifferentiaalvergelijking bezit geen oplossing in Q(x); deze primitieve is dus niet elementair.

VOORBEELD (7.5.2.3) 2 Z

xx

• integrandum : f (θ2 ) = θ2 met θ2 = exp(xθ1 ), xθ1 ∈ Q(x, logx) θ1 = log(x), x ∈ Q(x) •

f (θ2 ) = 0+ 1.θ2 ↓ ↓ p0 p1

• q¯0 = 0 • 1 = q10 + u0 q1 = q10 + (θ1 + 1)q1 deze rischdifferentiaalvergelijking bezit geen oplossing in Q(x, log(x)); de gegeven primitieve is dus niet elementair.

VOORBEELD (7.5.2.3) 3 Z

2

2

(4x2 + 4x − 1)(ex + 1)(ex − 1) (x + 1)2

• integrandum : f (θ) =

4x2 +4x−1 (θ (x+1)2

+ 1)(θ − 1) met

θ = exp(x2 ), x2 ∈ Q(x)

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES355 •

f (θ) = p0 + p1 θ + p2 θ2 met

2

+4x−1 p0 = − 4x(x+1) = q¯00 2 p1 = 0 = q10 + u0 q1 = q10 + 2xq1 , q1 ∈ Q(x) 4x2 +4x−1 p2 = (x+1)2 = q20 + 2u0 q2 = q20 + 4xq2 , q2 ∈ Q(x) 2

+4x−1 • q¯0 = − 4x(x+1) 2 dit is een rationaal integrandum; de formele integratie ervan verloopt volgens het algoritme van hoofdstuk 6 :

R

q¯0 = −4x − 4log(x + 1) −

1 ∈ Q(x, log(x + 1)) x+1

• q1 = 0 • de rischdifferentiaalvergelijking q20 + 4xq2 = moet in Q(x) opgelost worden : q2 = • Resultaat :

Z

f = 4log(x + 1) −

4x2 + 4x − 1 (x + 1)2 1 . x+1

(2x + 1)2 1 2x2 + e x+1 x+1

Maplesessie comp7523.mws 7.5.2 Het Rischalgoritme voor transcendente exponentile extensies

7.5.2.3 Exponentile extensie : het polynomiale deel

> >

restart; read ‘hfdst6.m‘;

Opmerking :

De bovenstaande commandolijn zorgt ervoor dat Maple alle procedures ’kent’ die betrekking hebben op het zesde hoofdstuk van de cursus computeralgebra.

356HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES De allereerste keer dat men deze worksheet wil doorlopen, moet men eerst de worksheet bib hfdst6.mws met ”Execute Worksheet¨ uitvoeren. Dit zorgt ervoor dat Maple de file hfdst6.m aanmaakt en plaatst in de werk-directory. Voorbeeld 1 : (zie (7.5.2.3) 1) > f := exp(-x^2); f := e(−x >

>

2)

u := -x^2; subs(exp(u)=theta(x),f);

u := −x2 θ(x)

>

p0 := 0; p1 := 1; p0 := 0 p1 := 1

De gezochte primitieve heeft de volgende vorm : > P := q1(x)*theta(x)+q0(x); P := q1(x) θ(x) + q0(x) We bepalen eerst de cofficint q0 (x). > q0(x) := int(p0,x); q0(x) := 0 Uit de identificatie van de gelijknamige machten volgt er dat : > p1 = diff(q1(x),x)+1*diff(u,x)*q1(x); >

d 1 = ( dx q1(x)) − 2 x q1(x) dsolve(%,{q1(x)}); 1√ 2 π erf(x) + C1 ) e(x ) q1(x) = ( 2

Deze Rischdifferentiaalvergelijking bezit geen oplossing in Q(x); de primitieve is dus niet elementair ! > int(f,x); 1√ π erf(x) 2

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES357 Voorbeeld 2 : (zie (7.5.2.3) 2) > q0 := ’q0’; q0 := q0 >

>

>

>

>

f := exp(x*log(x)); f := e(x ln(x)) subs(log(x)=theta1(x),exp(x*theta1(x))=theta2(x),f); θ2(x) u := x*theta1(x); u := x θ1(x) u_ := diff(subs(theta1(x)=log(x),u),x); u := ln(x) + 1 p0 := 0; p1 := 1; p0 := 0 p1 := 1

De gezochte primitieve heeft de onderstaande vorm : > P := q1(x)*theta(x)+q0(x); P := q1(x) θ(x) + q0(x) We bepalen eerst de cofficint q0 (x). > q0(x) := int(p0,x); q0(x) := 0 Uit de identificatie van de gelijknamige machten volgt er dat : > p1=diff(q1(x),x)+u_*q1(x); >

d 1 = ( dx q1(x)) + (ln(x) + 1) q1(x) dsolve(%,{q1(x)});

Z

q1(x) = ( xx dx + C1 ) x(−x)

Deze Rischdifferentiaalvergelijking bezit geen oplossing in Q(x, log(x + 1)), de gegeven primitieve is dus niet elementair ! > int(f,x); Z

Voorbeeld 3 : (zie (7.5.2.3) 3)

e(x ln(x)) dx

358HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES >

q0 := ’q0’;

>

q0 := q0 f := (4*x^2+4*x-1)*(exp(x^2)+1)*(exp(x^2)-1)/(x+1)^2;

>

(4 x2 + 4 x − 1) (e(x ) + 1) (e(x ) − 1) (x + 1)2 subs(exp(x^2)=theta(x),f);

2

2

f :=

>

>

>

(4 x2 + 4 x − 1) (θ(x) + 1) (θ(x) − 1) (x + 1)2 collect(%,theta(x)); (4 x2 + 4 x − 1) θ(x)2 −4 x2 − 4 x + 1 + (x + 1)2 (x + 1)2 u := x^2; u := x2 p2 := (4*x^2+4*x-1)/(x+1)^2; p2 :=

4 x2 + 4 x − 1 (x + 1)2

>

p1 := 0;

>

p1 := 0 p0 := (-4*x^2-4*x+1)/(x+1)^2; p0 :=

−4 x2 − 4 x + 1 (x + 1)2

De gezochte primitieve is van de vorm q2 (x) θ(x)2 + q1(x) θ(x) + q0(x). > P := q2(x)*theta(x)^2+q1(x)*theta(x)+q0(x); P := q2(x) θ(x)2 + q1(x) θ(x) + q0(x) We berekenen eerst q0 (x) : > q0(x) := Int(p0,x); q0(x) :=

Z

−4 x2 − 4 x + 1 dx (x + 1)2

We bepalen deze primitieve door gebruik te maken van de Horowitz- en de Rothstein-Tragermethode uit hoofdstuk 6. > r := -4*x^2-4*x+1; r := −4 x2 − 4 x + 1 > p := (x+1)^2; p := (x + 1)2 >

horowitz(r,p,x); Z

1 −4 x2 − 4 x + 1 dx = −4 x − + 2 (x + 1) x+1

Z

4 dx x+1

7.5. HET RISCHALGORITME VOOR TRANSCENDENTE ELEMENTAIRE FUNCTIES359 >

r := 4; r := 4

>

p := x+1;

>

p := x + 1 rothstein_trager_poly(r,p,x); []

>

rothstein_trager(r,p,x); 4 ln(x + 1)

We hebben dus gevonden dat : > q0(x) := -4*x-1/(x+1)+4*ln(x+1); 1 q0(x) := −4 x − + 4 ln(x + 1) x+1 Vervolgens vinden we uit de identificatie van de gelijknamige machten dat :

Eerste vergelijking : > p1 = diff(q1(x),x)+diff(u,x)*q1(x); >

d q1(x)) + 2 x q1(x) 0 = ( dx dsolve(%,{q1(x)});

q1(x) = C1 e(−x

2)

We stellen de constante gelijk aan nul : > q1 := 0; q1 := 0

Tweede vergelijking : > p2 = diff(q2(x),x)+2*diff(u,x)*q2(x);

>

4 x2 + 4 x − 1 d = ( dx q2(x)) + 4 x q2(x) (x + 1)2 dsolve(%,{q2(x)}); 1 2 + e(−2 x ) C1 q2(x) = x+1

We stellen opnieuw alle constanten gelijk aan nul : > q2(x) := 1/(x+1); 1 q2(x) := x+1

360HOOFDSTUK 7. FORMELE INTEGRATIE VAN ELEMENTAIRE FUNCTIES >

P; θ(x)2 1 − 4x− + 4 ln(x + 1) x+1 x+1

We hebben dus gevonden dat : > Int(’f’,x)=subs(theta(x)=exp(x^2),%); Z

2

(e(x ) )2 1 f dx = −4x− + 4 ln(x + 1) x+1 x+1

Controle : > int(f,x)-rhs(%); 2

2

>

1 −4 x2 − 3 x + (e(x ) )2 (e(x ) )2 − +4x+ x+1 x+1 x+1 simplify(%); 1

Beide primitieven zijn gelijk op een constante na. Het gevonden resultaat is correct ! > int(f,x); 2

−4 x2 − 3 x + (e(x ) )2 + 4 ln(x + 1) x+1

Bibliografie [1] Boyer R.S. (Ed.) Automated Reasoning Essays in Honor of Woody Bledsoe. Kluwer 1991. [2] Buchberger B. An Algorithm for Finding a Basis for the Residue Class Ring of a Zero-Dimensional Polynomial Ideal (Duits)”, PhD Thesis, Univ of Innsbruck, (1965). [3] Fachgruppe Computeralgebra GI,DMV,GAMM (ed.) Computeralgebra in Deutschland Passau Heidelberg 1993. [4] Davenport J.H., Siret Y., Tournier E. Computer Algebra (2nd ed) Academic Press 1993. [5] Delauny Ch. Th´eorie du mouvement de la lune Extract from the Comptes Rendus de l’Acad´emie des Sciences, Vol. LI. [6] Devlin K. Computers in Mathematics Notices of the American Mathematical Society 1993, Vol 40 pp 613-623. [7] Duffy P. Principles of Automated Theorem Proving Wiley 1991. [8] Geddes K.O., Czapor S.R., Labahn G. Algorithms for Computer algebra Kluwer 1992. [9] Gordon M. en Melham (Ed.) Introduction to HOL A theorem proving environment for higher order logic. Cambridge 1993. [10] Heck A. Introduction to Maple Springer Verlag 1993. [11] Kapur D. Geometry Theorem Proving Using Hilbert’s Nullstellensatz, in Proc. SYMSAC’86, ed B.W. Char, ACM press (1986) pp 202-208. [12] Kapur D. (Ed.) Automated Deduction CADE-11 LNAI 607, Springer 1992. [13] Mishra B. Algorithmic Algebra Springer Verlag 1993. [14] Najid-Zejli H. Computations in Radical Extensions LNCS 174, Springer 1984. [15] Najid-Zejli H. Extensions alg´ebriques: cas g´en´eral et cas des radicaux. Th`ese de troisi`eme cycle, IMAG, Grenoble 25.6.85. 361

362

BIBLIOGRAFIE

[16] Proef op de som PCM October 1993, pp140-144 [17] van der Waerden B.L. Modern Algebra (Vols. I en II), Ungar (1970).