Mˇeˇric´ı aparatura
1 / 34
Fyzik´aln´ı veliˇciny Charakterizuj´ı kvantitativnˇe vlastnosti pˇredmˇet˚ u a jev˚ u. M˚ uˇzeme je dˇelit: Podle rozmˇer˚ u: I
Bezrozmˇern´e (index lomu, pomˇery)
I
S rozmˇerem – fyzik´ aln´ı veliˇciny velikost vyj´adˇrena v n´ asobc´ıch dobˇre definovan´e jednotky
Podle poˇctu sloˇzek: I
Skal´arn´ı – pouze velikost (hmotnost d´elka, ˇcas)
I
vektorov´e – velikost a smˇer (rychlost, s´ıla, hybnost)
I
Tenzorov´e – matice NxN (tenzor napˇet´ı)
2 / 34
Fyzik´aln´ı veliˇciny ˇ Hodnotu dan´e fyzik´aln´ı veliˇciny X uv´ ad´ıme VZDY: X=velikost [jednotka] Samostatnˇe nem´a ani jedno smysl. Jednotky - reprodukovateln´e veliˇciny urˇcen´e na z´akladˇe standardizace. R˚ uzn´e standardy: I
SI - mezin´arodn´ı soustava jednotek (1960) [m], [kg], [s], [A], [K], [Cd], [mol]
I
CGS - zavedena 1832 Gaussem, vˇse se vyjadˇruje pomoc´ı [cm], [g], [s]
3 / 34
Jednotky fyzik´aln´ıch veliˇcin Jednotky - reprodukovateln´e veliˇciny urˇcen´e na z´ akladˇe standardizace.
Poˇzadavky na standard: I Neporuˇ sitelnost I St´ alost v ˇcase a prostoru I Dostupnost I Totoˇ znost
Standard lze definovat I Prototypem (napˇ r. prototyp
kilogramu)- m˚ uˇze se ˇcase mˇenit I Mˇ eˇr´ıc´ım
postupem-reprodukovateln´e (s urˇcitou chybou)
4 / 34
Soustava jednotek SI
mezin´arodn´ı soustava jednotek (1960) – tzv. metrick´ y syst´em Jednotky: I
Z´akladn´ı
I
Doplˇ nkov´e
I
Odvozen´e
I
N´asobky a d´ıly
5 / 34
Soustava jednotek SI
6 / 34
Soustava jednotek SI
7 / 34
Soustava jednotek SI
8 / 34
Mˇeˇren´ı a nejistota chyba . . . nejistota versus nepˇresnost
Mˇeˇren´ a veliˇcina X: x0 - skuteˇcn´ a hodnota (n´ am nezn´ am´ a) x - hodnota zjiˇstˇen´ a mˇeˇren´ım (n´ aˇs odhad reality) skuteˇcn´ a (absolutn´ı) chyba mˇeˇren´ı = x − x0 relativn´ı chyba mˇeˇren´ı δ=
x0
=
x−x0 x0
Pˇri fyzik´ aln´ım mˇeˇren´ı se snaˇz´ıme urˇcit co nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı hodnotu mˇeˇren´e veliˇciny a pravdˇepodobnou hodnotu chyby.
9 / 34
Chyby mˇeˇren´ı 1. Chyby hrub´ e: napˇr. omyl pozorovatele, mˇeˇren´ı zat´ıˇzen´e touto chybou je nutn´e nebrat do u ´vahy, lze je rozeznat a z v´ ysledku mˇeˇren´ı odstranit
pˇr´ıˇciny hrub´ ych chyb : nedokonalost, nepˇresnost mˇeˇric´ıch pˇr´ıstroj˚ u, nespolehlivost smysl˚ u vliv okol´ı na mˇeˇren´ı, ...
2. Chyby systematick´ e: vyskytuj´ı se pravidelnˇe, jsou d´ any napˇr. povahou metody
odstranˇen´ı: I dokonalejˇ s´ı pˇr´ıstroj, zmˇena mˇeˇr´ıc´ı metody, korekce mˇeˇren´ı, ... I snaha potlaˇ cit je pod m´ıru pˇresnosti mˇeˇren´ı
pˇr´ıklady : I v´ aˇzen´ı ve vzduchu - pro l´ atky ˇridˇs´ı neˇz z´ avaˇz´ı dostaneme menˇs´ı v´ ahu,
pro l´ atky hustˇs´ı neˇz z´ avaˇz´ı vˇetˇs´ı v´ ahu kv˚ uli vztlaku vzduchu I mˇ eˇren´ı napˇet´ı voltmetrem - dostaneme hodnoty menˇs´ı neˇz skuteˇcn´e,
protoˇze vnitˇrn´ı odpor voltmetru nen´ı nekoneˇcnˇe velk´ y
10 / 34
Chyby mˇeˇren´ı 3.chyby n´ ahodn´ e(nahodil´ e, statistick´ e): vznikaj´ı p˚ usoben´ım n´ ahodn´ ych vliv˚ u, kter´e z v´ ysledku nelze vylouˇcit. hlavn´ı oblast pro statistick´e zpracov´ an´ı dat
40x zmerena delka
12
pˇr´ıklad: opakovan´e mˇeˇren´ı d´elky
10
8
6
4
2
0 4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8 6 delka[cm]
11 / 34
Vizu´aln´ı pˇredstava stˇrelba do terˇce:
12 / 34
Vizu´aln´ı pˇredstava stˇrelba do terˇce:
13 / 34
Chyby mˇeˇren´ı a interpretace v´ ysledk˚ u Pˇr´ıklad:
X
Teoretick´e pˇredpovˇedi pro veliˇcinu X jsou 0 nebo 5. Dva nez´ avisl´e experimenty ”A” a ”B” zmˇeˇrily x = 0.5 a x = 3.7. Interpretace v´ ysledk˚ u z´ avis´ı na chyb´ ach mˇeˇren´ı . . . 10
experiment A experiment B
5
0
Chyby mˇeˇren´ı jsou nezbytn´e pro fyzik´ aln´ı interpretaci v´ ysledk˚ u. 14 / 34
Pravdˇepodobnost - pˇripomenut´ı
Pro n´ ahodnou diskr´etn´ı promˇennou: Pravdˇepodobnost P (A) jevu A je P (A) =
poˇcet moˇznost´ı kdy nastane A poˇcet vˇsech moˇzn´ ych v´ ysledk˚ u
Pˇr´ıklad: h´ azen´ı minc´ı, nebo kostkou.
15 / 34
Pravdˇepodobnost - pˇripomenut´ı Pro n´ ahodnou spojitou promˇennou: Pravdˇepodobnost Rpops´ ana hustotou pravdˇepodobnosti f (x) - spojit´ a funkce s f (x)dx = 1.
Pravdˇepodobnost jevu A : x1 < x < x2 je pak d´ ana plochou pod kˇrivkou f (x): Zx2 P (A) = f (x)dx x1 16 / 34
Stˇredn´ı hodnota a rozptyl Dvˇe nejz´ akladnˇejˇs´ı charakteristiky rozdˇelen´ı n´ ahodn´e veliˇciny jsou
Stˇ redn´ı hodnota: diskr´etn´ı promˇenn´ a X µ= P (Xi )Xi
spojit´ a promˇenn´ a Z∞ µ=
xf (x)dx
i −∞
Rozptyl(charakterizace ˇs´ıˇrky): diskr´etn´ı promˇenn´ a X σ2 = P (Xi )(Xi − µ)2 i
spojit´ a promˇenn´ a σ2 =
Z∞
(x − µ)2 f (x)dx
−∞ 17 / 34
Opakovan´a mˇeˇren´ı - odhad stˇredn´ı hodnoty Kaˇzd´e mˇeˇren´ı je zat´ıˇzeno n´ ahodn´ ymi fluktuacemi. Vˇetˇsinou nezn´ ame konkr´etn´ı rozdˇelen´ı f (x). M˚ uˇzeme ale pˇredpokl´ adat, ˇze mˇeˇren´ı fluktuuj´ı v pr˚ umˇeru okolo hledan´e hodnoty x0 s nˇejak´ ym rozptylem σ 2 . Pˇredpoklad: I chceme urˇ cit spr´ avnou hodnotu mˇeˇren´e veliˇciny x I mˇ eˇren´ı je zat´ıˇzeno pouze n´ ahodn´ ymi chybami (ne hrub´ ymi a systematick´ ymi) – tj. velk´ ym mnoˇzstv´ı nez´ avisl´ ych odchylek od spr´ avn´e hodnoty mˇeˇren´e veliˇciny, pˇriˇcemˇz jednotliv´e odchylky jsou se stejnou pravdˇepodobnost´ı kladn´e nebo z´ aporn´e. Postup: I provedeme nˇ ekolik mˇeˇren´ı x1 , x2 , x3 , . . . , xn 40x zmerena delka
I Ze zmˇ eˇren´ ych dat odhadneme
nejpravdˇepodobnˇejˇs´ı hodnotu mˇeˇren´e veliˇciny jako aritmetick´ y v´ ybˇerov´ y pr˚ umˇer
12
10
8
n x1 + x2 + · · · + xn 1X x ¯= = xi n n i=1
6
4
2
I Jak pˇ resnˇe jsme urˇcili x ¯?
0 4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
185.8 / 346 delka[cm]
Opakovan´a mˇeˇren´ı - rozptyl jednotliv´ ych mˇeˇren´ı
M´ıru fluktuace jednotliv´ ych mˇeˇren´ı lze vyj´ adˇrit pomoc´ı smˇ erodatn´ e odchylky jednoho mˇ eˇ ren´ı v uP u n u (xi − x ¯ )2 t i=1 σ= n−1 I odhad rozptylu rozdˇ elen´ı mˇeˇren´ı z namˇeˇren´ ych dat I σ - m´ıra “reprodukovatelnosti” mˇ eˇren´ı
Pozor: σ n´ am ˇr´ık´ a, jak moc se n´ am pˇri mˇeˇren´ı ”klepe ruka“. Nikoliv jak pˇresnˇe jsme urˇcili pr˚ umˇer x ¯. K tomu potˇrebujeme ....
19 / 34
Centr´aln´ı limitn´ı vˇeta Motivace: Pokud bychom provedli nez´ avisle v´ıcekr´ at cel´e mˇeˇren´ı pr˚ umˇeru, jak bude vypadat rozdˇelen´ı x ¯? A hlavnˇe, jak´ a bude jeho ˇs´ıˇrka? Centr´ aln´ı limitn´ı vˇ eta - ve zjednoduˇsen´em znˇen´ı: Pokud provedeme n mˇeˇren´ı z nezn´ am´eho rozdˇelen´ı, kter´e m´ a pr˚ umˇer µ rozptyl σ 2 . Potom aritmetick´ y pr˚ umˇer x ¯ z tohoto v´ ybˇeru bude konvergovat ke Gaussovu(Norm´ aln´ımu) rozdˇelen´ı: f (x) = N (µ0 , σ0 ) =
1 √
σ0 2π
e
(x−µ0 )2 2 2σ0
s parametry µ0 = µ,
σ02 =
σ2 σ ⇒ σ0 = √ n n
20 / 34
Centr´aln´ı limitn´ı vˇeta avg of 2 normal r.v. [-1,1]
avg of 3 normal r.v. [-1,1] f(x)
f(x)
f(x)
avg of 1 normal r.v. [-1,1] 0.5
1
1 0.4
0.8
0.3
0.6
0.2
0.4
0.1
0.2
0.8
0.6
0.4
0 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 -2
2 X
0.2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 -2
2 X
-1.5
avg of 8 normal r.v. [-1,1]
0
0.5
1
1.5
2 X
1.5
2 X
f(x) 1.6
1.4
1.2
-0.5
avg of 15 normal r.v. [-1,1]
f(x)
f(x)
avg of 4 normal r.v. [-1,1]
-1
1.4 1.2 1
1.2 1 1
0.8 0.8
0.8
0.6 0.6 0.4
0 -2
0.6
0.4
0.2
0.4
0.2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2 X
0 -2
0.2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2 X
0 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
21 / 34
Centr´aln´ı limitn´ı vˇeta sum of 4 exponential r.v. with la=2 X
sum of 2 exponential r.v. with la=2 X
X
sum of 1 exponential r.v. with la=2 2
1.6
1.4
1.8
1.4
1.2
1.6
1.2
1.4
1
1.2
1 0.8
1
0.8 0.6
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4 0.2
0.2 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 -1
2.5
0.2 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 -1
2.5
sum of 30 exponential r.v. with la=2 X
X
sum of 10 exponential r.v. with la=2 1.8
0.5
1
1.5
2
2.5
sum of 60 exponential r.v. with la=2
2 1.8
1.6
1.4
1.6 1.4
1.2
1.4 1.2
1.2
1 1
1
0.8 0.8 0.6
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0 -1
0
2.2
2
1.8
1.6
-0.5
X
0 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 -1
0.2 -0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 -1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
22 / 34
Odhad chyby mˇeˇren´ı M´ıru pˇresnosti stanoven´ı v´ ysledku mˇeˇren´ı urˇcuje stˇ redn´ı kvadratick´ a chyba aritmetick´ eho pr˚ umˇ eru: v v uP uP u n u n 2 u (xi − x ¯) ¯ )2 u (xi − x t i=1 1 t i=1 σ σ0 = = √ = √ n(n − 1) n−1 n n pˇri cca n > 30 lze nahradit v n uP v u (xi − x u n ¯)2 t X 1u i=1 t (xi − x = ¯ )2 σ0 = 2 n n i=1 Pˇresnost mˇeˇren´ı (urˇcen´ı pr˚ umˇeru) lze tedy zlepˇsit: I Sn´ıˇ zen´ım rozptylu jednotliv´ ych mˇeˇren´ı σ
- lepˇs´ı kontrola reprodukovatelnost: sn´ıˇzen´ı ˇsumu, lepˇs´ı pˇr´ıstroj, . . . I Zv´ yˇsen´ım poˇctu mˇeˇren´ı n
- na desetin´ asobn´e zpˇresnˇen´ı experimentu potˇrebujeme ston´ asobnˇe zv´ yˇsit statistiku 23 / 34
Postup zpracování přímých měření
Postup zpracování přímých měření
Postup zpracování přímých měření
Příklad měření délky objektu
Příklad měření délky objektu
0 =
1 n
∑ pi 1
