Kvantitativn ı ˇr ızen ı rizik

Kvantitativn´ı ˇr´ızen´ı rizik

9.10.2015

Core syllabus for actuarial training in Europe - poˇzadavky na vzdˇel´an´ı pln´ych ˇclen˚ u asociac´ı sdruˇzen´ych v Actuarial Association of Europe (dˇr´ıve GC) 12. Quantitative Risk Management and Solvency Aim: To provide a grounding in the quantitative aspects of risk management (a) Risk classification (b) Measuring risk (c) Diversification (d) Dynamic financial analysis and internal models (e) Capital requirements

Core syllabus for actuarial training in Europe

13. Actuarial Enterprise Risk Management Aim: To provide the technical skills to apply the principles and methodologies studied under actuarial technical subjects for the identification, quantification and management of risks. ˇ v´yuka ve spolupr´aci s Ceskou spoleˇcnost´ı aktu´ar˚ u

Core syllabus for actuarial training in Europe Topics: The general operating environment of the enterprise Assessment of risks; risk types and risk measures Design and pricing of products and/or services Determination of assumptions and scenario setting Reserving and valuation of liabilities Risk mitigation Asset Liability Management Monitoring the experience and exposure to risk Solvency and profitability of the enterprise and the management of capital

Kvantitativn´ı ˇr´ızen´ı rizik

- matematick´e (zejm´ena pravdˇepodobnostn´ı a statistick´e) n´astroje pro mˇeˇren´ı (kvantifikaci) rizik a jejich uˇzit´ı v ˇr´ızen´ı rizik (zajiˇstˇen´ı solventnosti, profitability) - zahrnuje techniky z r˚ uzn´ych discipl´ın (finanˇcn´ı matematika, ekonometrie, statistika, teorie rizika, pojistn´a matematika...) A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Technics and Tools, 2005

Kvantitativn´ı ˇr´ızen´ı rizik

- m´ıry rizika, agregace rizik, alokace kapit´alu - teorie extr´em˚ u (modelov´an´ı neoˇcek´avan´ych, abnorm´aln´ıch jev˚ u, rozdˇelen´ı s tˇeˇzk´ymi chvosty) - mnohorozmˇern´e modely (celkov´e riziko z´avis´ı na vektorech rizikov´ych faktor˚ u) - modelov´an´ı z´avislost´ı (kopuly, koncov´a z´avislost - z´avislost mezi extr´emn´ımi hodnotami)

Klasifikace rizik

Hlavn´ı typy rizik ve finanˇcn´ıch instituc´ıch: - trˇ zn´ı riziko (akciov´e, u ´rokov´e, mˇenov´e, komoditn´ı): riziko zmˇeny trˇzn´ıch cen a jej´ıho dopadu na zisk (resp. vlastn´ı kapit´al) - kreditn´ı riziko (riziko selh´an´ı protistrany): riziko vypl´yvaj´ıc´ı z neschopnosti nebo neochoty protistrany splatit sv´e z´avazky - operaˇ cn´ı riziko: riziko ztr´aty v d˚ usledku nedostateˇcnosti nebo selh´an´ı vnitˇrn´ıch proces˚ u, osob, syst´em˚ u, extern´ıch ud´alost´ı

Klasifikace rizik

- pojistnˇ e-technick´ e riziko (riziko rezerv, riziko pojistn´eho) - riziko likvidity: riziko nedostatku moˇznost´ı prodat nebo koupit investici dostateˇcnˇe rychle za u ´ˇcelem minimalizace ztr´aty - modelov´ e riziko: riziko spojen´e s uˇz´ıv´an´ım nevhodn´eho modelu pro mˇeˇren´ı rizik

Regulatorn´ı poˇzadavky

Basel II - dokument Basilejsk´eho v´yboru pro bankovn´ı dohled - doporuˇcen´ı implementovan´a do legislativy jednotliv´ych zem´ı Solventnost 2 - direktiva EU upravuj´ıc´ı dohled nad solventnost´ı pojiˇst’oven (m´a platit od roku 2016) - sjednocuje postupy s projektem Basel II pro banky

Basel II 1. pil´ıˇr: v´ypoˇcet minim´aln´ıch kapit´alov´ych poˇzadavk˚ u (regulatorn´ı kapit´al) pro trˇzn´ı, kreditn´ı a operaˇcn´ı riziko - umoˇzn ˇuje pouˇz´ıt standardizovan´e postupy nebo pokroˇcilejˇs´ı modely vyvinut´e bankou (napˇr. IRB(internal-ratings-based) pˇr´ıstup v kreditn´ım riziku, AMA (advanced measurement approach) v operaˇcn´ım riziku) 2. pil´ıˇr: dohled nad kapit´alovou pˇrimˇeˇrenost´ı, intern´ı syst´emy ˇr´ızen´ı rizik 3. pil´ıˇr: trˇzn´ı disciplina - zveˇrejˇ nov´an´ı informac´ı d˚ uleˇzit´ych pro u ´ˇcastn´ıky trhu

Solventnost 2

1. pil´ıˇr: kvantitativn´ı poˇzadavky na pojiˇst’ovnu. Z´akladem je adekv´atn´ı zobrazen´ı expozice r˚ uzn´ym typ˚ um rizika. 2 stupnˇe kapit´alov´eho poˇzadavku: uˇze b´yt stanoven Solvenˇcn´ı kapit´alov´y poˇzadavek (SCR) - m˚ pomoc´ı standardn´ıho nebo intern´ıho modelu. Jeho nesplnˇen´ı vyvol´a podle z´avaˇznosti opatˇren´ı dohledov´eho org´anu. Minim´aln´ı kapit´alov´y poˇzadavek (MCR). Pokud vlastn´ı prostˇredky nedosahuj´ı v´yˇse MCR, je ohroˇzeno dalˇs´ı fungov´an´ı pojiˇst’ovny, dojde k odnˇet´ı povolen´ı k pojiˇst’ovac´ı ˇcinnosti.

Solventnost 2

2. pil´ıˇr: kvalitativn´ı poˇzadavky na vlastn´ı syst´em ˇr´ızen´ı rizik, pravidla pro ˇcinnost dohledu pˇri kontrole plnˇen´ı kvantitativn´ıch i kvalitativn´ıch poˇzadavk˚ u. 3. pil´ıˇr: trˇzn´ı disciplina - otevˇrenost v˚ uˇci dozoru i veˇrejnosti, zveˇrejˇ nov´an´ı informac´ı d˚ uleˇzit´ych pro u ´ˇcastn´ıky trhu (vˇcetnˇe solventnostn´ı pozice i kvality syst´emu ˇr´ızen´ı rizik).

Ekonomick´y kapit´al ekonomick´ y kapit´ al - kapit´al potˇrebn´y k zajiˇstˇen´ı schopnosti splnit v dan´em ˇcasov´em horizontu pˇrevzat´e z´avazky s danou pravdˇepodobnost´ı L - riziko, tj. n´ahodn´a veliˇcina pˇredstavuj´ıc´ı ztr´atu v uvaˇzovan´em obdob´ı ρ(L) - m´ıra rizika (nez´aporn´e ˇc´ıslo, z´avis´ı na rozdˇelen´ı n.v. L) ekonomick´y kapit´al: EC(L) = ρ(L) − E L

Hodnota v riziku

FL (l) - d.f. rozdˇelen´ı ztr´aty za obdob´ı pevnˇe zvolen´e d´elky hodnota v riziku na hladinˇe α ∈ (0, 1): VaRα = inf{l ∈ R : P(L > l) ≤ 1 − α} = inf{l ∈ R : FL (l) ≥ α} Posledn´ı v´yraz na prav´e stranˇe odpov´ıd´a definici kvantilov´e funkce pˇr´ısluˇsn´e d.f. FL , lze tedy ˇr´ıci, ˇze hodnota v riziku je α-kvantil rozdˇelen´ı ztr´aty L, tj. VaRα = qα (FL ). V praxi se nejˇcastˇeji vol´ı α = 0, 95, α = 0, 99 nebo α = 0, 995.

Zbytkov´a hodnota v riziku

FL (l) - d.f. rozdˇelen´ı ztr´aty za obdob´ı pevnˇe zvolen´e d´elky, E(|L|) < ∞ zbytkov´ a hodnota v riziku (expected shortfall, tail value at risk) na hladinˇe spolehlivosti α ∈ (0, 1): 1 ESα = 1−α

Z

1

qu (FL )du, α

kde qu (FL ) je kvantilov´a funkce pˇr´ısluˇsn´a d.f. FL

Zbytkov´a hodnota v riziku

1 ESα = 1−α

Z

1

VaRu (L)du α

ESα ≥ VaRα Pokud uvaˇzujeme rozdˇelen´ı ztr´aty L se spojitou d.f. FL , m˚ uˇzeme ps´at ESα =

E[L; L ≥ qα (FL )] = E (L|L ≥ VaRα ) , 1−α

kde E[X ; A] = E(X IA ).

Koherentn´ı m´ıry rizika 1) translaˇcn´ı invariance: Pro l ∈ R plat´ı ρ(L + l) = ρ(L) + l Pˇriˇcten´ı nebo odeˇcten´ı deterministick´e hodnoty vede ke zmˇenˇe poˇzadovan´eho kapit´alu o stejnou ˇc´astku. 2) subaditivita: ρ(L1 + L2 ) ≤ ρ(L1 ) + ρ(L2 ). Subaditivita vyjadˇruje pˇredstavu, ˇze riziko m˚ uˇze b´yt redukov´ano diverzifikac´ı.

Koherentn´ı m´ıry rizika 3) pozitivn´ı homogenita: Pro λ > 0 plat´ı ρ(λ L) = λ ρ(L). 4) monotonie: Pro L1 , L2 takov´e, ˇze L1 ≤ L2 s.j., plat´ı ρ(L1 ) ≤ ρ(L2 ). Hodnota v riziku (VaR) je translaˇcnˇe invariantn´ı, pozitivnˇe homogenn´ı a monotonn´ı, obecnˇe nen´ı subaditivn´ı. Zbytkov´a hodnota v riziku (ES) je koherentn´ı m´ıra rizika.

Kapit´alov´y poˇzadavek

Uvaˇzujme instituci, kter´a je vystavena r˚ uzn´ym rizik˚ um, pˇredstavovan´ym nez´aporn´ymi n´ahodn´ymi veliˇcinami L1 , . . . , Ln (napˇr. ztr´aty podle typ˚ u rizik, podle odvˇetv´ı). C´ılem je stanovit ekonomick´y kapit´al k celkov´emu riziku. ”bottom-up” princip: poˇzadavky pro jednotliv´a rizika (tˇr´ıdy rizik) → celkov´y kapit´alov´y poˇzadavek - nutno zvolit zp˚ usob agregace, kter´y odpov´ıd´a z´avislostn´ı struktuˇre d´ılˇc´ıch rizik

Solventnost 2 - standardn´ı formule SCR =

sX

Corri,j SCRi SCRj

i,j

SCRi - poˇzadavky stanoven´e pro rizikov´e moduly (neˇzivotn´ı pojistn´e riziko, ˇzivotn´ı pojistn´e riziko, zdravotn´ı pojistn´e riziko, trˇzn´ı riziko, riziko selh´an´ı protistrany) Corri,j - koeficienty vyjadˇruj´ıc´ı korelaci mezi jednotliv´ymi rizikov´ymi moduly, pˇredeps´any direktivou SCR pro jednotliv´e moduly stanoveny na obdobn´em principu na z´akladˇe submodul˚ u K z´akladn´ımu SCR se pˇriˇc´ıt´a poˇzadavek stanoven´y pro kryt´ı operaˇcn´ıho rizika.

Kapit´alov´y poˇzadavek ”top-down” princip: modeluje se celkov´e riziko, k nˇemu se pomoc´ı zvolen´e m´ıry rizika stanov´ı ekonomick´y kapit´al - v´ysledn´y kapit´alov´y poˇzadavek pak b´yv´a rozdˇelen mezi d´ılˇc´ı rizika, k tomu je tˇreba technika alokace kapit´alu Pˇr´ıklad: intern´ı model podle S2 Deterministick´a bilance v ˇcase t = 0 slouˇz´ı jako v´ychoz´ı b´aze pro dalˇs´ı modelov´an´ı. Pomoc´ı stochastick´eho modelu zisk˚ u a ztr´at se projektuj´ı hodnoty aktiv a pasiv v ˇcase t = 1. Simulace vych´azej´ı z pˇredpoklad˚ u o nov´em obchodu i st´avaj´ıc´ım kmeni. V´ysledky simulac´ı se pouˇzij´ı k anal´yze rozdˇelen´ı vlastn´ıho kapit´alu v ˇcase t = 1.

Agregace rizik

D´ale budeme uvaˇzovat ekonomick´y kapit´al stanoven´y uˇzit´ım hodnoty v riziku VaRα . Necht’ pro celkov´e riziko L plat´ı L=

n X

Li .

i=1

Hled´ame odhad VaRα (L), resp. EC(L) na z´akladˇe tˇechto hodnot stanoven´ych pro d´ılˇc´ı rizika Li a dalˇs´ıch pˇredpoklad˚ u o sdruˇzen´em rozdˇelen´ı veliˇcin (L1 , . . . , Ln ).

Agregace souˇctem

\ VaR α (L) = \ ES α (L) =

n X i=1 n X

VaRα (Li ) ESα (Li )

i=1

\ EC (L) =

n X

EC(Li )

i=1

Kdy jsou tyto formule korektn´ı? Odpovˇed’: Pokud jsou veliˇciny L1 , . . . , Ln komonotonn´ı. N´ahodn´e veliˇciny L1 , . . . , Ln jsou komonotonn´ı, pokud existuje n.v. Z a neklesaj´ıc´ı funkce t1 , . . . , tn takov´e, ˇze (L1 , . . . , Ln ) =d (t1 (Z ), . . . , tn (Z )).

Diverzifikaˇcn´ı efekty Komonotonie pˇredstavuje nejsilnˇejˇs´ı moˇznou pozitivn´ı z´avislostn´ı strukturu mezi n´ahodn´ymi veliˇcinami. Pˇri pouˇzit´ı agregace souˇctem aproximujeme sdruˇzen´e rozdˇelen´ı d´ılˇc´ıch ztr´at rozdˇelen´ım se stejn´ymi margin´aln´ımi distribucemi a komonotonn´ımi sloˇzkami. Diverzifikaˇ cn´ı efekty m˚ uˇzeme mˇeˇrit rozd´ılem \ VaR α (L) − VaRα (L) nebo \ ES α (L) − ESα (L) Pozn. VaR nen´ı subaditivn´ı, nemus´ı tedy nab´yvat maxim´aln´ı hodnotu pro souˇcet komonotonn´ıch rizik.

Agregace pomoc´ı korelaˇcn´ı matice

Necht’ rij znaˇc´ı koeficient line´arn´ı korelace mezi riziky Li a Lj : rij = p

Cov(Li , Lj ) σ 2 (L1 )σ 2 (L2 )

, i, j = 1, . . . , n

Odhad ekonomick´eho kapit´alu pro celkov´e riziko: v uX u n \ =t rij EC(Li ) EC(Lj ) EC(L) i,j=1

Kdy je tato formule korektn´ı?

Agregace pomoc´ı korelaˇcn´ı matice

Odpovˇed’: Pokud veliˇciny L1 , . . . , Ln maj´ı v´ıcerozmˇern´e norm´ aln´ı rozdˇelen´ı.
Pokud m´a riziko Li rozdˇelen´ı N E Li , σ(Li )2 , plat´ı VaRα = E Li + σ(Li ) zα , EC(Li ) = zα σ(Li ), kde zα je pˇr´ısluˇsn´y kvantil rozdˇelen´ı N(0, 1).

Agregace pomoc´ı korelaˇcn´ı matice

P Pˇritom L = ni=1 Li m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı se stˇredn´ı hodnotou Pn i=1 E Li a rozptylem 2

σ (L) =

n X i=1

σ 2 (Li ) +

X

rij σ(Li ) σ(Lj ).

i6=j

Vyn´asoben´ım obou stran t´eto rovnosti zα2 dostaneme vyj´adˇren´ı pro ekonomick´y kapit´al celkov´eho souˇctu L stanoven´y na z´akladˇe hodnoty v riziku.

Eliptick´a rozdˇelen´ı V´yˇse uveden´a argumentace je v platnosti pro obecnˇejˇs´ı tˇr´ıdu tzv. eliptick´ ych rozdˇelen´ı. N´ahodn´y vektor L = (L1 , . . . , Ln )0 m´a eliptick´e rozdˇelen´ı En (µ, Σ, φ) - s parametry µ, Σ a charakteristick´ym gener´atorem φ, pokud pro jeho charakteristickou funkci plat´ı
E exp(i t0 L) = exp(i t0 µ) φ t0 Σ t , t ∈ Rn . Pozn. Reprezentaci En (µ, Σ, φ) lze volit tak, ˇze Σ je kovarianˇcn´ı matice vektoru L. t

Speci´alnˇe: Nn (µ, Σ) = En (µ, Σ, φ), kde φ(t) = e − 2 .

Solventnost 2 - standardn´ı formule SCR =

sX

Corri,j SCRi SCRj

i,j

Prostˇrednictv´ım koeficient˚ u Corri,j < 1 jsou do v´ypoˇctu kapit´alov´eho poˇzadavku zahrnuty diverzifikaˇcn´ı efekty. Tyto korelaˇcn´ı koeficienty nelze povaˇzovat za koeficienty line´arn´ı korelace: Corri,j 6= ri,j Pˇri zn´am´em rozdˇelen´ı d´ılˇc´ıch rizik a zn´am´em rozdˇelen´ı jejich souˇctu by se koeficienty Corri,j volily tak, aby v´ysledn´y kapit´alov´y poˇzadavek odpov´ıdal ekonomick´emu kapit´alu stanoven´emu pro souˇcet d´ılˇc´ıch rizik. V praxi jsou tyto hodnoty zaloˇzeny na expertn´ım odhadu.

Agregace pomoc´ı kopul

Simulace vektor˚ u z rozdˇelen´ı se sdruˇzenou dist. funkc´ı F (l1 , . . . , ln ) = C (F1 (l1 ), . . . , Fn (ln )) kde C je kopula vyjadˇruj´ıc´ı modelovanou z´avislostn´ı strukturu veliˇcin L1 , . . . , Ln . M´ıra rizika se odhaduje ze souˇct˚ u takto simulovan´ych hodnot.

Alokace kapit´alu

alokace kapit´ alu - rozdˇelen´ı celkov´eho kapit´alu drˇzen´eho firmou mezi jej´ı komponenty (napˇr. odvˇetv´ı podnik´an´ı, typy rizik, u ´zem´ı, produkty v portfoliu) d˚ uvody pro dˇelen´ı kapit´alu mezi odvˇetv´ı (lines of business): - redistribuce n´aklad˚ u spojen´ych s drˇzen´ım kapit´alu (prom´ıtnou se do poplatk˚ uu ´ˇctovan´ych klient˚ um) - alokace n´aklad˚ u pro u ´ˇcely finanˇcn´ıch v´ykaz˚ u - hodnocen´ı v´ykonnosti pomoc´ı v´ynosu z alokovan´eho kapit´alu - podpora rozhodov´an´ı o pˇr´ıpadn´e expanzi nebo redukci odvˇetv´ı

Alokace kapit´alu Necht’ pro celkov´e riziko L spoleˇcnosti plat´ı L=

n X

Li ,

i=1

kde L1 , . . . , Ln jsou n´ahodn´e veliˇciny pˇredstavuj´ıc´ı ztr´aty z jednotliv´ych odvˇetv´ı podnik´an´ı. Je d´an celkov´y rizikov´y kapit´al K , c´ılem je stanovit nez´aporn´e hodnoty K1 , . . . , Kn (alokace jednotliv´ym odvˇetv´ım) tak, aby K=

n X i=1

Ki .

Haircut princip Kapit´al pro odvˇetv´ı i se stanov´ı jako Ki = γ FL−1 (p), i kde FL−1 (p) = inf{x ∈ R |FL (x) ≥ p}, p ∈ [0, 1], je kvantilov´a funkce pˇr´ısluˇsn´a distribuˇcn´ı funkci FL . γ se stanov´ı tak, aby souˇcet alokovan´ych kapit´al˚ u byl roven K , tj. K FL−1 (p), i = 1, . . . , n. −1 i j=1 FLj (p)

Ki = Pn

Haircut princip

I

Pˇri dan´em celkov´em kapit´alu K vede k alokaci, kter´a nez´avis´ı na z´avislostn´ı struktuˇre mezi ztr´atami jednotliv´ych odvˇetv´ı.

I

Pˇri pouˇzit´ı VaR jako m´ıry rizika m˚ uˇze b´yt Ki > FL−1 (p) (VaR i nen´ı subaditivn´ı).

I

Na vˇsechny hodnoty FL−1 (p) se uplatˇ nuje stejn´a i proporcion´aln´ı redukce (resp. zv´yˇsen´ı) dan´e koeficientem γ.

Inverze distribuˇcn´ı funkce

α-sm´ıˇsen´a inverzn´ı distribuˇcn´ı funkce: −1(α)

FX

(p) = α FX−1 (p) + (1 − α) FX−1+ (p), p ∈ (0, 1), α ∈ [0, 1],

kde FX−1+ (p) = sup{x ∈ R |FX (x) ≤ p}, p ∈ [0, 1]. Pro kaˇzd´e x takov´e, ˇze 0 < FX (x) < 1, existuje αx ∈ [0, 1] takov´e, ˇze −1(αx )

FX

(FX (x)) = x.

Kvantilov´y princip

Kapit´al pro odvˇetv´ı i se stanov´ı jako −1(α)

K i = F Li kde α a β se vol´ı tak, aby K =

(βp),

Pn

i=1 Ki .

I

Nezohledˇ nuje z´avislosti mezi odvˇetv´ımi.

I

Pouˇz´ıv´a stejn´e kvantily pro vˇsechna rizika (efekt diverzifikace se projev´ı v pouˇzit´ı kvantilu na hladinˇe β p m´ısto p).

Pomocn´e v´ysledky Tvrzen´ı. Pro zleva spojitou neklesaj´ıc´ı funkci g plat´ı
−1 Fg−1 (p) = g F (p) . X (X ) D˚ ukaz. Z definice kvantilov´e funkce plyne Fg−1 (X ) (p) ≤ x ⇔ p ≤ Fg (X ) (x). Ze spojitosti zleva funkce g m´ame pro vˇsechna x a z g (z) ≤ x ⇔ z ≤ sup{y |g (y ) ≤ x}. Odtud p ≤ Fg (X ) (x) ⇔ p ≤ FX [sup{y |g (y ) ≤ x}] .

Pomocn´e v´ysledky Pokud je sup{y |g (y ) ≤ x} = 6 ±∞, plat´ı p ≤ FX [sup{y |g (y ) ≤ x}] ⇔ FX−1 (p) ≤ sup{y |g (y ) ≤ x}. (Plat´ı i v pˇr´ıpadˇe sup{y |g (y ) ≤ x} = ±∞.)
FX−1 (p) ≤ sup{y |g (y ) ≤ x} ⇔ g FX−1 (p) ≤ x. Celkem
−1 Fg−1 (p) ≤ x ⇔ g F (p) ≤x X (X ) plat´ı pro vˇsechna x, odtud plyne tvrzen´ı.

Pomocn´e v´ysledky Podobnˇe se dok´aˇze, ˇze pro neklesaj´ıc´ı zprava spojitou funkci g plat´ı
−1+ Fg−1+ (p) = g F (p) . X (X ) Mˇejme n´ahodn´y vektor L = (L1 , . . . , Ln ). Potom n´ahodn´y vektor   −1 FL−1 , kde U je n. v. s rovnomˇern´ym rozdˇelen´ım (U), . . . , F (U) Ln 1 na (0, 1), je vektor komonotonn´ıch veliˇcin se stejn´ymi margin´aln´ımi d.f. Oznaˇcme SC =

n X i=1

FL−1 (U). i

Pomocn´e v´ysledky

Tvrzen´ı. −1(α) FSC (p)

=

n X

−1(α)

F Li

(p), p ∈ (0, 1), α ∈ [0, 1].

i=1

D˚ ukaz vych´az´ı z toho, ˇze g (u) =

n X i=1

je zleva spojit´a neklesaj´ıc´ı funkce.

FL−1 (u) i

Pomocn´e v´ysledky Tj. dle pˇredchoz´ıho pro p ∈ (0, 1) n X
−1 −1 FS−1 (p) = F (p) = g F (p) = g (p) = FL−1 (p). U g (U) i C i=1

Podobnˇe se dok´aˇze FS−1+ (p) = C

n X

(p), p ∈ (0, 1) FL−1+ i

i=1

uˇzit´ım toho, ˇze g (u) =

n X

FL−1+ (u) i

i=1

je zprava spojit´a neklesaj´ıc´ı funkce.

Kvantilov´y princip Hodnoty α a β se stanov´ı ze vztahu K=

n X

−1(α)

F Li

(βp).

i=1

Zavedeme opˇet sumu komonotonn´ıch veliˇcin SC =

n X

FL−1 (U), i

i=1

kde U m´a rovnomˇern´e rozdˇelen´ı na (0, 1). Z v´yˇse uveden´ych pomocn´ych v´ysledk˚ u vypl´yv´a −1(α)

K = F SC

(β p).

Kvantilov´y princip

Odtud plyne β p = FSC (K ) a tak´e −1(α)

K = F SC

(FSC (K )) .

Z posledn´ıho vztahu urˇc´ıme parametr α, alokace podle kvantilov´eho principu je pak pops´ana vztahem −1(α)

K i = F Li

(FSC (K )) , i = 1, . . . , n.

Kvantilov´y princip

Uvaˇzujme speci´aln´ı pˇr´ıpad, kdy vˇsechny distribuˇcn´ı funkce FLi jsou spojit´e a rostouc´ı. Potom se alokace podle kvantilov´eho principu redukuje na Ki = FL−1 (FSC (K )) , i = 1, . . . , n. i Kvantilov´y princip lze v tomto pˇr´ıpadˇe ch´apat jako speci´aln´ı pˇr´ıpad haircut principu s volbou p = FSC (K ).

Kovarianˇcn´ı princip

Kapit´al pro odvˇetv´ı i se stanov´ı jako Ki =

K σ 2 (L)

Cov(Li , L), i = 1, . . . , n,

kde σ 2 (L) je rozptyl celkov´eho rizika. Bere v u ´vahu z´avislostn´ı strukturu: odvˇetv´ım, jejichˇz riziko je v´ıce korelov´ano s celkov´ym rizikem, je alokov´ano v´ıce kapit´alu.

Princip zbytkov´e hodnoty v riziku Uvaˇzujme rizika se spojit´ymi distribuˇcn´ımi funkcemi. Potom m´a zbytkov´a hodnota v riziku na hladinˇe p pro celkov´e riziko vyj´adˇren´ı   ESp (L) = E L|L > FL−1 (p) . Princip alokace kapit´alu zaloˇzen´y na zbytkov´e hodnotˇe v riziku popisuje formule Ki =

  K E Li |L > FL−1 (p) , i = 1, . . . , n. ESp (L)

Bere v u ´vahu z´avislostn´ı strukturu: odvˇetv´ı s vˇetˇs´ı podm´ınˇenou stˇredn´ı hodnotou pˇri ”vysok´e” celkov´e ztr´atˇe maj´ı alokov´an vˇetˇs´ı kapit´al.

Proporcion´aln´ı alokace

V´yˇse uveden´e principy alokace kapit´alu lze ch´apat jako speci´aln´ı pˇr´ıpady principu proporcion´ aln´ı alokace. Pˇri nˇem vol´ıme m´ıru rizika ρ a alokujeme kapit´al Ki = α ρ(Li ), i = 1, . . . , n. α se vol´ı tak, aby K =

P

Ki , tj.

K ρ(Li ), i = 1, . . . , n. j=1 ρ(Lj )

Ki = Pn

Proporcion´aln´ı alokace

I

haircut princip: ρ(Li ) = FL−1 (p) i

I

kvantilov´y princip: ρ(Li ) = FL−1 (FSC (K )) i

I

kovarianˇcn´ı princip: ρ(Li ) = Cov(Li , L)

I

  princip zbytkov´e hodnoty v riziku: ρ(Li ) = E Li |L > FL−1 (p)

Posledn´ı dvˇe m´ıry rizika nez´avis´ı jen na rozdˇelen´ı Li (vliv z´avislostn´ı struktury).

Proporcion´aln´ı alokace

Pˇredpokl´adejme, ˇze K = ρ(L). Potom diverzifikaˇcn´ı efekt vyj´adˇren´y nerovnost´ı Ki ≤ ρ(Li ), i = 1, . . . , n, je dosaˇzen pr´avˇe kdyˇz K = ρ(L) ≤

n X

ρ(Lj ).

j=1

Tato podm´ınka je splnˇena, pokud m´ıra rizika ρ je subaditivn´ı.

Literatura I. Justov´a: Agregace rizik. (V: Matematika a ˇr´ızen´ı rizik 2009/10, Matfyzpress Praha 2010) A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Technics and Tools, Princeton University Press 2005. J. Dhaene, A. Tsanakas, E.A.Valdez, S. Vanduffel: Optimal Capital Allocation Principles. The Journal of Risk and Insurance, 2012, Vol.79, No1, 1-28. J. Dhaene, M. Denuit, M.J.Goovaerts, R.Kaas, D.Vyncke: The Concept of Comonotonocity in Actuarial Science and Finance: Theory. Insurance: Mathematics and Economics, 2002, 31, 3-33.