Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 5
Cenový a hodnotový počet 2 1 Obecný tvar cenové rovnice Jako obecný tvar cenové rovnice budeme chápat verzi cenové rovnice z minulé přednášky, kde navíc výnosová míra nebude konstantní, ale v jednotlivých obdobích se může měnit.
(1)
𝐶" + 𝑣" = 1 + 𝑖"() ⋅ 𝐶"() , 𝑛 ≥ 1
kde jsou 𝐶" zbytková cena investice na konci 𝑛tého období v cenové hladině nultého období, 𝑣" výnos (tok, cash-flow, získávaná hodnota, …) na konci 𝑛tého období v cenové hladině nultého období (jde o tok ven, mimo investici), 𝑖"() reálná výnosová míra (výnosové procento) platná z období 𝒏 − 𝟏 do období 𝒏 a 𝐶2 , 𝐶3 je počáteční a koncová cena investice a jedna z těchto hodnot je známa. Pomocí různých úprav této rovnice získáme použitelná vyjádření, ať už pro výpočty, nebo pro nějaké kontrolní srovnání. Několik těchto vhodných úprav a vyjádření je uvedeno v následujících bodech.
1.1 Výpočet ceny od koncové ceny Budeme předpokládat častou variantu, kdy platí 𝐶3 = 0 (obecně je ale možno předpokládat i nenulovou cenu). Potom lze ceny rekurzivně počítat od koncové ceny až do počáteční ceny dle vzorce
𝐶"() =
𝐶" + 𝑣" , 𝐶3 = 0, 𝑛 ∈ 1,2, … , 𝐾 . 1 + 𝑖"()
(2)
1.2 Výpočet ceny od počáteční ceny Nyní budeme předpokládat, že známe počáteční cenu 𝐶2 , která je rovna pořizovací ceně 𝑃2 . Potom lze ceny opět rekurzivně počítat, tentokrát od počáteční ceny
(3)
𝐶" = 1 + 𝑖"() ⋅ 𝐶"() − 𝑣" , 𝐶2 = 𝑃2 , 𝑛 ∈ 1,2, … , 𝐾 .
1.3 Výpočet výnosů Úpravou rovnice (3) získáme vyjádření pro výnosy na základě znalosti počáteční ceny, odpisů a výnosových měr, tedy
(4)
𝑣" = 𝑖"() ⋅ 𝐶"() + 𝑂" , 𝑛 ∈ 1,2, … , 𝐾 ,
kde známe 𝐶2 (nebo 𝐶3 ) a účetní odpisy 𝑂" = 𝐶"() − 𝐶" . Toto lze použít jako pomůcku pro stanovení odpovídajících čistých výnosů pro dané aktivum (hmotné, nehmotné, nepeněžní, někdy i peněžní).
1.4 Výpočet výnosové míry Pokud z rovnice (3) vyjádříme výnosovou míru, získáme její časový vývoj.
𝑖" =
𝑣"<) − 𝑂"<) , 𝑛 ∈ 0,1, … , 𝐾 − 1 . 𝐶"
(5)
I tento případ může vhodně posloužit ke kontrole a detekci chybných stanovení některých hodnot.
Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 31. 3. 2016)
Strana 1 z 5
Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 5
1.5 Výpočet ceny od koncové ceny pomocí odpisů S předpokladem (ne nutným), že koncová cena je nulová, upravíme rovnici (1) do tvaru
(6)
0 = 𝑖"() ⋅ 𝐶"() + 𝐶"() − 𝐶" − 𝑣" , 𝐶3 = 0, 𝑛 ∈ 1,2, … , 𝐾 .
Z rovnice (6) pak s využitím toho, že odpis lze vyjádřit jako rozdíl cen (𝑂" = 𝐶"() − 𝐶" ), získáme
𝐶" =
𝑣"<) − 𝑂"<) , 𝐶3 = 0, 𝑛 ∈ 0,1, … , 𝐾 − 1 . 𝑖"
(7)
Toto lze použít ke kontrole, zda byla zvolena vhodná odpisová metoda, tedy pokud se při daných odpisech, výnosech a výnosových mírách dopočteme do pořizovací ceny 𝐶2 .
1.6 Výpočet ekonomických odpisů Budeme předpokládat, že známe počáteční cenu 𝑃2 , projektované výnosy a výnosovou míru. Poté úpravou rovnice (1) získáme vyjádření ekonomických odpisů
𝑂" = 𝑣" − 𝑖"() ⋅ 𝐶"() , 𝐶2 = 𝑃2 , 𝑛 ∈ 1,2, … , 𝐾 .
(8)
2 Ukázky použití cenové rovnice Příklad: Předpokládejme, že chceme založit dopravní živnost s malým skříňovým automobilem na přepravu menších nákladů. Pořizovací cena automobilu činí 660 000 Kč. Předpokládáme výnosy ve výši 150 000 Kč až 190 000 Kč ročně, tedy přibližně hrubý zisk 2.5 až 3 Kč na jeden kilometr při ceně pro zákazníka 8 až 10 Kč/km. To odpovídá 50 000 až 70 000 placeným kilometrům ročně. Dobu životnosti předpokládáme 6 let a výnosovou míru pro porovnávání 5 % p. a. Automobil se první a poslední rok používá pouze polovinu roku. Vstupem pro výpočty jsou odpisy, projektovaný zisk před daní (bez odpisů) a požadovaná výnosová míra. Výstupem je kontrolní výpočet zůstatkové účetní ceny, tedy odpověď na otázku: „Je vše výše uvedené reálné?“. Rok
Odpis
0 1 2 3 4 5 6 7
55 000 110 000 110 000 110 000 110 000 110 000 55 000
Zisk před daní bez započtení odpisů 75 000 150 000 150 000 160 000 180 000 180 000 90 000
Požadovaná Kontrolní míra výpočet roční výnosnosti ceny 5% 400 000 5% 800 000 5% 800 000 5% 1 000 000 5% 1 400 000 5% 1 400 000 5% 700 000
Tabulka 1: Kontrolní výpočet zůstatkové účetní ceny
Z tabulky lze vyčíst evidentní nesoulad mezi odpisy, projektovaným ziskem před daní (bez odpisů) a požadovanou výnosovou mírou. Pro výpočet byl použit vzorec (8). Reálnější výsledky získáme, pokud budeme uvažovat, že vstupem jsou odpisy, požadovaná míra výnosnosti (se zohledněním, že první a poslední rok je automobil používán jen polovinu roku) a vývoj ceny
Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 31. 3. 2016)
Strana 2 z 5
Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 5 podle odpisovací metody. Výstupem je potřebný zisk před daní (bez odpisů). Pro výpočet byl použit vzorec (4). Rok
Odpis
0 1 2 3 4 5 6 7
Zisk před daní bez započtení odpisů
55 000 110 000 110 000 110 000 110 000 110 000 55 000
71 500 140 250 134 750 129 250 123 750 118 250 56 375
Požadovaná míra výnosnosti 2.5% 5.0% 5.0% 5.0% 5.0% 5.0% 2.5%
Cena Kontrolní stanovená výpočet roční odpisováním ceny 660 000 660 000 605 000 605 000 495 000 495 000 385 000 385 000 275 000 275 000 165 000 165 000 55 000 55 000 0
Tabulka 2: Výpočet požadovaného zisku před daní (bez odpisů)
Dále lze uvažovat, že vstupem je vývoj zisku před daní bez započtením odpisů, požadovaná míra výnosnosti a výstupem jsou ekonomické odpisy. Pro výpočet byl použit vzorec (8). Rok
Odpis
0 1 2 3 4 5 6
Zisk před daní bez započtení odpisů
53 500 119 675 125 659 141 942 159 039 60 186
70 000 150 000 150 000 160 000 170 000 80 000
Požadovaná Kontrolní míra výpočet roční výnosnosti ceny 2.5% 660 000 5.0% 606 500 5.0% 486 825 5.0% 361 166 5.0% 219 225 2.5% 60 186 0
Tabulka 3: Výpočet ekonomických odpisů
Dalším použitím je kontrola míry výnosnosti v jednotlivých letech, kdy vstupem je zisk před daní bez započtení odpisů a odpisy dle standardní metody. Pro výpočet byl použit vzorec (5). Rok
Odpis
0 1 2 3 4 5 6 7
Zisk před daní bez započtení odpisů
55 000 110 000 110 000 110 000 110 000 110 000 55 000
Vypočtená míra výnosnosti
75 000 150 000 150 000 160 000 180 000 180 000 90 000
3.03% 6.61% 8.08% 12.99% 25.45% 42.42% 63.64%
Cena stanovená odpisováním 660 000 605 000 495 000 385 000 275 000 165 000 55 000
Tabulka 4: Výpočet míry výnosnosti
Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 31. 3. 2016)
Strana 3 z 5
Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 5 V tabulce 4 je zřejmé, že dosahovaná míra výnosnosti je v nereálné výši, je zde tedy nesoulad mezi zvolenými odpisy a ziskem před daní bez započtení odpisů. Reálnější úprava je uvedena v následující tabulce. Pro výpočet byl použit vzorec (5). Rok
Odpis
0 1 2 3 4 5 6 7
55 000 110 000 110 000 110 000 110 000 110 000 55 000
Zisk před daní bez započtení odpisů 70 000 140 000 135 000 130 000 125 000 120 000 57 000
Vypočtená míra výnosnosti 2.3% 5.0% 5.1% 5.2% 5.5% 6.1% 3.6%
Cena stanovená odpisováním 660 000 605 000 495 000 385 000 275 000 165 000 55 000 0
Tabulka 5: Opravený výpočet míry výnosnosti
Tento příklad ilustruje fakt, že pokud do vztahu (1), nebo do ostatních odvozených tvarů, dosadíme nereálné hodnoty, tak i vypočtené hodnoty mohou být nereálné. Veškeré výpočty jsou uvedeny v přiloženém souboru MAF05.xlsx na listu Autodoprava. Příklad: Budeme analyzovat investici do pořízení menšího nájemního domu. Rozebereme jednotlivé toky a zhodnotíme investici z pohledu 𝐼𝑅𝑅 a 𝑃𝑉. Předpokládáme následující vstupy. • • • • • •
Pořizovací cena domu 7.5 mil. Kč. Celkový počet bytů (2+1, 60 m2) k pronájmu: 8. Nájem z jednoho bytu: 7 000 Kč/měsíc (84 000 Kč/rok). Nebytový prostor o ploše 70 m2. Nájem z nebytového prostoru: 150 Kč/měsíc za m2 (10 500 Kč měsíčně, 126 000 Kč/rok). Náklady na údržbu domu: 200 000 Kč/rok (v realitě u opraveného domu zpočátku méně, později více).
Dům je zatížen hypotečním úvěrem ve výši 5 250 000 Kč s úrokovou sazbou 2.50 % p. a. na 20 let. Roční splátka činí 336 773 Kč. Částka ve výši úvěru (tj. 5 250 000 Kč) byla investována do koupě cenných papírů se středním ročním výnosem 1.5 % p. a. a s dividendovým výnosem 2 % p. a. Zjednodušení: Vše bude počítáno v cenách současného období (bez inflace), výnos cenných papírů je tedy myšlen „nad inflaci“, daňová sazba je 15 % a je aplikována bez rozdílu na vše v součtu a bez zohledňování časového testu. Rozdělení na výnosy, náklady, příjmy a výdaje (pozor na průnik): • Výnosy: nájmy, dividendy a zhodnocení z držení cenných papírů. • Náklady: náklady oprav, placené úroky z úvěru, účetní odpisy. • Příjmy: nájmy a dividendy. • Výdaje: zaplacené opravy, celá splátka úvěru a zaplacená daň. V přiloženém souboru MAF05.xlsx jsou na listech označených jako Nájemní dům provedeny veškeré výpočty spojené s 𝐼𝑅𝑅 a 𝑃𝑉. Při výpočtu 𝑃𝑉 je použita srovnávací úroková míra ve výši 6 % p. a. Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 31. 3. 2016)
Strana 4 z 5
Modely analýzy a syntézy plánů (MAF/KIV) – Přednáška 5 Námět: Proveďte vyhodnocení investice bez dodatečné investice a bez daňových zjednodušení. Proveďte i s odhadem vývoje všech použitých vstupů a vyhodnoťte citlivost finálních ukazatelů na daná vstupní data.
Patrice MAREK – KMA – FAV – ZČU (poslední úprava 31. 3. 2016)
Strana 5 z 5
