Carmen Simerská. Ústav matematiky VŠCHT, Praha. Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter

Sb´ırka pˇr´ıklad˚ u Finanˇcn´ı matematika Carmen Simerská Ústav matematiky VŠCHT, Praha

Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.1/30

Obsah • Jednoduch´ eu ´ roˇ cen´ı, diskont • Trˇ zn´ı model • Sloˇ zen´ eu ´ roˇ cen´ı, inflace, spojit´ e, sm´ıˇ sen´ eu ´ roˇ cen´ı • Hodnotov´ e rovnice • Investiˇ cn´ı rozhodov´ an´ı, anuity • Konec

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.2/30

Jednoduché úročení, diskont • Pˇ r´ıklad 1.1 Cena pozemku, o kter´ y m´ ate z´ ajem, je nyn´ı 200 000 Kˇ c nebo za rok ˇ astku 200 000 Kˇ 210 000 Kˇ c. C´ c m˚ uˇ zete nyn´ı investovat na dobu 1 roku pˇ ri u ´ rokov´ e m´ıˇ re 4, 2 % p.a. (Pozemek zat´ım nechcete vyuˇ z´ıvat po dobu alespoˇ n jednoho roku.) Kter´ a varianta n´ akupu pozemku je pro v´ as v´ yhodnˇ ejˇ s´ı? • Pˇ r´ıklad 1.2 P˚ ujˇ cili jste 20 000 Kˇ c. Za 10 mˇ es´ıc˚ u v´ am vr´ atili 21 000 Kˇ c. Jak´ a je v´ ynosnost t´ eto p˚ ujˇ cky (s jakou roˇ cn´ı u ´ rokovou sazbou jste ji poskytli)? • Pˇ r´ıklad 1.3 Franta dnes dluˇ z´ı Lojzovi 16 000 Kˇ c a slibuje mu splatit ˇ ca ´stku 20 000 Kˇ c za 4 roky. Jak´ eu ´ rokov´ e m´ıˇ re (pˇ ri jednoduch´ em u ´ roˇ cen´ı) tato p˚ ujˇ cka odpov´ıd´ a? Vypoˇ c´ıtejte zpamˇ eti, kolik by zaplatil pˇ ri stejn´ eu ´ rokov´ e m´ıˇ re, kdyby se dohodli na splacen´ı ˇ ca ´stky za dva roky (za rok). • Pˇ r´ıklad 1.4 Pan Slab´ y si p˚ ujˇ cil od pan´ı Lichvov´ e na ˇ ctvrt roku 10 000 Kˇ c a po ˇ ctvrt roce ji vr´ atil podle dohody 11 000 Kˇ c. Jak´ y je u ´ rok p˚ ujˇ cky? S jak vysokou u ´ rokovou m´ırou p˚ ujˇ cila pan´ı L. pen´ıze? • Pˇ r´ıklad 1.5 Banka ABBA nab´ız´ı n´ akup cenn´ eho pap´ıru s dobou splatnosti 1 rok a su ´ rokovou m´ırou 2, 8 % za 50 000 Kˇ c. Banka U2 nab´ız´ı n´ akup cenn´ eho pap´ıru, s nomin´ aln´ı hodnotou 50 000 Kˇ c, s diskontn´ı m´ırou 2, 8 % . Po roce oˇ cek´ av´ ame zisk. Kter´ a z obou bank nab´ız´ı finanˇ cnˇ e v´ yhodnˇ ejˇ s´ı investici? Jak´ y bude n´ aˇ s finanˇ cn´ı zisk (v Kˇ c) u banky ABBA a u U2? Jak´ y bude n´ aˇ s finanˇ cn´ı zisk, pokud pˇ redpokl´ ad´ ame bˇ eˇ znou daˇ nzu ´ roku a diskontu 15 %? • Pˇ r´ıklad 1.6 Dluˇ zn´ık v´ am nab´ıdl dvˇ e moˇ znosti splacen´ı sv´ eho dluhu: a) zaplatit za 6 mˇ es´ıc˚ u 10 000 Kˇ c, b) zaplatit za rok 11 000 Kˇ c. Kterou moˇ znost radˇ eji zvol´ıte pˇ ri u ´ rokov´ e sazbˇ e 5 % p.a.? Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.3/30

Výsledky kapitola 1 Pˇ r´ıklad 1.1 N´ akup nyn´ı je v´ yhodnˇ ejˇ s´ı. Pˇ r´ıklad 1.2 i = 6 %. Pˇ r´ıklad 1.3 i = 6, 25 %, za dva roky 18 000 Kˇ c, za rok 17 000 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 1.4 U = 1 000 Kˇ c, i = 40 %. Pˇ r´ıklad 1.5 Finanˇ cn´ı zisk ABBA i U2: 1 400 Kˇ c. U U2 investujeme pouze 48 600 Kˇ c. Zisk s 15 % dan´ı ABBA i U2: 1 190 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 1.6 Pokud pen´ıze nepotˇ rebujeme jiˇ z za p˚ ul roku, zvol´ıme radˇ eji variantu b).

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.4/30

Jednoduché úročení, diskont • Pˇ r´ıklad 1.7 Investujete 1 000 Kˇ c na u ´ˇ cet s jednoduch´ ym u ´ roˇ cen´ım. Za jak dlouho se v´ am ˇ ca ´stka zdvojn´ asob´ı pˇ ri u ´ rokov´ e m´ıˇ re 6 % (neuvaˇ zujte daˇ nzu ´ roku)? Proˇ c je zbytn´ a informace, ˇ ze jste investovali 1 000 Kˇ c ? Za jak dlouho se v´ am ˇ ca ´stka ztrojn´ asob´ı? • Pˇ r´ıklad 1.8 Eva p˚ ujˇ cila bratrovi Oldovi na 3 roky 2 400 EUR pˇ ri 5 % jednoduch´ em u ´ roˇ cen´ı. Sourozenci se dohodli, ˇ ze Olda m˚ uˇ ze pen´ıze splatit i po roce nebo po dvou letech. Kolik euro by Olda zaplatil po roce, dvou a tˇ rech letech? Oznaˇ cte ik roˇ cn´ı V (k) − V (k − 1) v´ ynosnost (efektivn´ı u ´ rokovou m´ıru) v k-t´ em roce, tj. ik = , V (k − 1) kde V (k) znaˇ c´ı splatnou ˇ ca ´stku v k-t´ em roce. Vypoˇ c´ıtejte ik , k = 1, 2, 3 . Bude pro Oldu v´ yhodnˇ ejˇ s´ı zaplatit dˇ r´ıve neˇ z za 3 roky? Dokaˇ zte, ˇ ze ik je pˇ ri jednoduch´ em u ´ roˇ cen´ı vˇ zdy klesaj´ıc´ı posloupnost. Vypoˇ c´ıtejte lim in . n→∞

• Pˇ r´ıklad 1.9 B´ ara si dne 14. 10. 1998 p˚ ujˇ cila od Julie 5 000 Kˇ c s 8 % jednoduch´ ym u ´ roˇ cen´ım, standard ACT/ACT. Dohodla se na splacen´ı p˚ ujˇ cky dne 7. 5. 1999. Jak velkou ˇ ca ´stku mus´ı B´ ara v kvˇ etnu splatit? • Pˇ r´ıklad 1.10 Pˇ redpokl´ adejme, ˇ ze p˚ ujˇ cka z pˇ redchoz´ıho pˇ r´ıkladu byla sjedn´ ana s jednoduch´ ym u ´ roˇ cen´ım, a) 30E/360 standard b) ACT/360 standard. Jak velkou ˇ ca ´stku mus´ı B´ ara v kvˇ etnu splatit v pˇ r´ıpadˇ e a), b)? Ovˇ eˇ rte pomoc´ı funkce v Excelu YEARFRAC, ˇ ze jste poˇ cet dn´ı poˇ c´ıtali spr´ avnˇ e. Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.5/30

Výsledky kapitola 1 ˇ astka se zdvojn´ Pˇ r´ıklad 1.7 C´ asob´ı za 16 rok˚ u a 8 mˇ es´ıc˚ u a ztrojn´ asob´ı se za 33 rok˚ u a 4 mˇ es´ıce. Pˇ r´ıklad 1.8 Po roce 2 520 EUR, po 2 letech 2 640 EUR, po 3 letech 2 760 EUR. i1 = 5% , i2 = 4, 76% , i3 = 4, 55% , v´ yhodnˇ ejˇ s´ı je zaplatit aˇ z po 3. roce. in > in+1 , lim in = 0 . n→∞

Pˇ r´ıklad 1.9 ACT/ACT 5 224, 66 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 1.10 a) 30E/360 5 225, 56 Kˇ c.

b) ACT/360 5 227, 78 Kˇ c.

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.6/30

Jednoduché úročení, diskont • Pˇ r´ıklad 1.11 Dne 8. 2. 2005 jste vloˇ zili do banky 82 000 Kˇ c s t´ım, ˇ ze si tuto ˇ ca ´stku ´ vyberete 15. 5. 2005. Urokov´ a m´ıra vkladu je 1, 2 %. Vypoˇ c´ıtejte poˇ cet dn´ı u ´ rokov´ e doby pˇ ri standardu ACT/360, kter´ a je pro vklady v bank´ ach bˇ eˇ zn´ a, a pˇ ri standardu 30E/360. Jak´ a je v´ yˇse u ´ roku po zdanˇ en´ı 15 % u obou standard˚ u? • Pˇ r´ıklad 1.12 Jak´ a je cena osmimˇ es´ıˇ cn´ıho depozitn´ıho certifik´ atu v nomin´ aln´ı hodnotˇ e 100 000 Kˇ c s diskontn´ı m´ırou 6, 1 %? Jedn´ a se o vkladov´ y list, kter´ y je pˇ revoditeln´ y na jin´ eho majitele (standard 30E/360 ). Jak´ a je ˇ cist´ aˇ ca ´stka, kterou klient obdrˇ z´ı po osmi mˇ es´ıc´ıch (v´ ynos depozitn´ıho certifik´ atu podl´ eh´ a dani 15 %) ? • Pˇ r´ıklad 1.13 Obchodn´ı banka pˇ rijala k eskontu smˇ enku splatnou 15. 8. 2005 se splatnou ˇ ca ´stkou 600 tis´ıc Kˇ c. Dne 16. 6. 2005 byla smˇ enka bance prod´ ana za ˇ ca ´stku 595 tis´ıc Kˇ c. Uvaˇ zujme standard ACT/360. Jak´ a byla pˇ r´ısluˇ sn´ a diskontn´ı m´ıra? Jakou u ´ rokovou m´ıru realizuje banka? (Ovˇ eˇ rte pomoc´ı funkce v Excelu YEARFRAC, ˇ ze jste poˇ cet dn´ı vypoˇ c´ıtali spr´ avnˇ e.) • Pˇ r´ıklad 1.14 Investor dne 24. 2. 2006 z´ısk´ a smˇ enku s jistinou 3 400 Kˇ c splatnou 24. 5. 2006 a s udanou u ´ rokovou m´ırou 8 % (standard 30E/360). Ten sam´ y den ji investor prod´ a bance s diskontn´ı m´ırou 6 % . Jakou ˇ ca ´stku zaplat´ı banka investorovi? Jak´ y je zisk investora? (Jedn´ a se o arbitr´ aˇ z?) Vypoˇ c´ıtejte u ´ rokovou sazbu realizovanou bankou. Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.7/30

Výsledky kapitola 1 Pˇ r´ıklad 1.11 ACT/360

96 dn´ı, U = 223, 04 Kˇ c,

30E/360 97 dn´ı, U = 225, 36 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 1.12 Cena: 95 933, 33 Kˇ c, ˇ cist´ aˇ ca ´stka: 99 390 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 1.13 ACT/360 d = 5% , i = 5, 042% . Pˇ r´ıklad 1.14 Prodejn´ı cena 24.2.06: 3 416 Kˇ c, zisk investora: 16 Kˇ c, tj. arbitr´ aˇ z. ´ Urokov´ a sazba banky: i = 6, 09% .

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.8/30

Jednoduché úročení, diskont • Pˇ r´ıklad 1.15 Dluh 10 000 Kˇ c je splatn´ y za 9 mˇ es´ıc˚ u. Urˇ cete pˇ ri u ´ rokov´ e m´ıˇ re 4 % p.a. dneˇ sn´ı hodnotu dluhu a hodnotu dluhu za 4 mˇ es´ıce a za 1 rok (nepˇ redpokl´ ad´ ame sankce za nedodrˇ zen´ı doby splatnosti). • Pˇ r´ıklad 1.16 Dne 10. 2. 2006 se konala aukce st´ atn´ıch pokladniˇ cn´ıch pouk´ azek (SPP) o nomin´ aln´ı hodnotˇ e 1 000 000 Kˇ c. Byla stanovena jejich v´ ysledn´ a emisn´ı cena 998 001,50 Kˇ c. Den emise byl 11. 2. 2006 a den splatnosti SPP je 11. 3. 2006. Jak´ a je v´ ynosnost (m´ıra zisku) t´ eto pokladniˇ cn´ı pouk´ azky? (Neuvaˇ zujte daˇ n z v´ ynosu, tj. z diskontu. SPP pouˇ z´ıv´ a standard ACT/360.) • Pˇ r´ıklad 1.17 Pokladniˇ cn´ı pouk´ azky MF o nomin´ aln´ı hodnotˇ e 1 000 000 Kˇ c byly emitov´ any dne 11. 2. 2005 se splatnost´ı 6. 5. 2005. Cena zpˇ etn´ eho odkupu byla urˇ cena na 998 560 Kˇ c (tj. nomin´ aln´ı hodnota sn´ıˇ zen´ a o 15 % daˇ n z v´ ynosu). Stanovte cenu, za kterou byly pokladniˇ cn´ı pouk´ azky prod´ av´ any. Jak´ a je ˇ cist´ a v´ ynosnost (ˇ cist´ a m´ıra zisku) t´ eto pokladniˇ cn´ı pouk´ azky (standard ACT/360)? Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.9/30

Výsledky kapitola 1 Pˇ r´ıklad 1.15 P0 = 9 708, 74Kˇ c, P4 = 9 836, 07Kˇ c, S12 = 10 100 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 1.16 2, 57%. Pˇ r´ıklad 1.17 Prodejn´ı cena SPP: 990 400 Kˇ c, v´ ynosnost: i = 3, 53%.

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.10/30

Tržní model • Pˇ r´ıklad 2.1 Jsou zn´ amy ceny dluhopisu A(0) = 90, A(1) = 100 a akcie S(0) = 25 a pˇ redpokl´ ad´ ame ( 30 s pravdˇ epodobnost´ı p S(1) = , kde 0 < p < 1 . 20 s pravdˇ epodobnost´ı 1 − p Pro portfolio s x = 10 akciemi a y = 15 dluhopisy vypoˇ ctˇ ete V (0), V (1) a m´ıru v´ ynosu KV . • Pˇ r´ıklad 2.2 Pˇ redpokl´ adejme stejn´ e zad´ an´ı cen dluhopis˚ u a akci´ı jako v pˇ r. 2.1. Naleznˇ ete portfolio, jehoˇ z hodnoty v ˇ case t = 1 jsou ( 1160 jestliˇ ze akcie posiluj´ı V (1) = . 1040 jestliˇ ze akcie oslabuj´ı Jak´ a je hodnota tohoto portfolia v t = 0, tj. V (0)? • Pˇ r´ıklad 2.3 Investor m´ a dnes k dispozici 100 000 americk´ ych dolar˚ u, za rok chce m´ıt ˇ cesk´ e koruny. Dneˇ sn´ı kurz je 21,20 CZK za 1 USD (uvaˇ zujeme cenu stˇ red). Souˇ casn´ e u ´ rokov´ e m´ıry dolaru a koruny jsou: iU SD = 5, 00 % p.a. a iCZK = 2, 50 % p.a. Pˇ redpokl´ adejme, ˇ ze investor m´ a dvˇ e alternativy: 1) M˚ uˇ ze dnes uzavˇ r´ıt term´ınovou smlouvu (mˇ enov´ y forward), ˇ ze od nˇ ej banka za rok koup´ı 105 000 USD pˇ ri dneˇ sn´ım kurzu. 2) M˚ uˇ ze dnes prodat dolary a obdrˇ zen´ e koruny investovat do jednoroˇ cn´ıho depozita s uvedenou u ´ rokovou sazbou iCZK . Kter´ a z alternativ je pro investora lepˇ s´ı? Jak´ y by mˇ el b´ yt spr´ avn´ y kurz forwardu, aby nedoˇ slo k arbitr´ aˇ zi? Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.11/30

Výsledky kapitola 2 Pˇ r´ıklad 2.1 V (0) = 1 600 , V (1) = Pˇ r´ıklad 2.2 V (0) = 1 020 .

(

1 800 ↑ 1 700 ↓

, KV =

 

12, 5% ↑ .

 6, 25% ↓

Pˇ r´ıklad 2.3 Lepˇ s´ı je 1) alternativa, spr´ avn´ y kurz: 20,695 Kˇ c za $.

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.12/30

Tržní model • Pˇ r´ıklad 2.4 Dne 19. 7. 2002 dealer A z NY a dealer B z Lond´ yna nab´ızeli n´ asleduj´ıc´ı aktu´ aln´ı (spotov´ e) mˇ enov´ e kurzy v mˇ en´ ach euro (EUR), britsk´ a libra (GBP) a US dolar (USD). Najdˇ ete moˇ znost arbitr´ aˇ ze. dealer A

n´ akup/bid

prodej/offer

1 EUR 1 GBP

1, 0202 USD 1, 5718 USD

1, 0284 USD 1, 5844 USD

dealer B

n´ akup/bid

prodej/offer

1 EUR 1 USD

0, 6324 GBP 0, 6299 GBP

0, 6401 GBP 0, 6375 GBP

• Pˇ r´ıklad 2.5 Investor si pˇ red rokem p˚ ujˇ cil P Kˇ c a nyn´ı je vrac´ı i s u ´ rokem. Pˇ red rokem byl kurz 23,44 CZK za 1 USD a u ´ rokov´ e m´ıry dolaru a koruny byly: U V iU SD = 4, 70 % p.a. a iCZK = 2, 50 % p.a. Jak´ y mˇ el b´ yt spr´ avn´ y kurz forwardu, aby nedoˇ slo k arbitr´ aˇ zi? Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.13/30

Výsledky kapitola 2 Pˇ r´ıklad 2.4 Arbitr´ aˇ z: napˇ r. zisk 0,006 $. Pˇ r´ıklad 2.5 Spr´ avn´ y kurz: 22, 947 Kˇ c za 1 $.

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.14/30

Tržní model • Pˇ r´ıklad 2.6 Jsou zn´ amy ceny dluhopisu A(0) = 100 $, A(1) = 110 $ a akcie S(0) = 80 $, a pˇ redpokl´ adejme

S(1) =

(

100 $ 60 $

s pravdˇ epodobnost´ı s pravdˇ epodobnost´ı

0, 8 0, 2

.

Navrhnˇ ete portfolio s poˇ ca ´teˇ cn´ı hodnotou 10 000 $ rozdˇ elen´ e rovn´ ym d´ılem (tj. po 5 000 $) mezi akcie a dluhopisy. Vypoˇ ctˇ ete stˇ redn´ı m´ıru zisku tohoto portfolia E(KV ) a riziko tohoto portfolia mˇ eˇ ren´ e smˇ erodatnou odchylkou σV . • Pˇ r´ıklad 2.7 Jsou zn´ amy ceny dluhopisu A(0) = 100 $, A(1) = 112 $ a akcie S(0) = 34 $. Je moˇ zno naj´ıt arbitr´ aˇ z, jestliˇ ze cena forwardu na tuto akcii je v ˇ case 0 stanovena na F = 38, 60 $ s datem splatnosti 1 ? • Pˇ r´ıklad 2.8 Pˇ redpokl´ adejme ceny A(0) = 100 $, A(1) = 105 $ , souˇ casnou cenu britsk´ e libry S(0) = 1, 60 $ a cenu forwardu (libry) F = 1, 50 $ k datu splatnosti 1. Kolik britsk´ ych liber by mˇ el dnes st´ at dluhopis v libr´ ach, kter´ y slibuje, ˇ ze jeho hodnota bude 100 GBP v ˇ case 1 ? Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.15/30

Výsledky kapitola 2 Pˇ r´ıklad 2.6 x = 62, 5, y = 50, stˇ redn´ı m´ıra zisku: E(KV ) = 12, 5%, riziko: σV = 10%. Pˇ r´ıklad 2.7 Vznikne arbitr´ aˇ z. Spr´ avn´ a cena forwardu je 38,08 $ . Pˇ r´ıklad 2.8 Cena dluhopisu: 89, 29 $

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.16/30

Složené úročení, inflace, spojité, smíšené úročení • Pˇ r´ıklad 3.1 Jak´ a je souˇ casn´ a hodnota budouc´ı ˇ ca ´stky 10 000 Kˇ c, kterou chcete m´ıt na u ´ˇ ctu za 4 roky, pˇ ri roˇ cn´ım sloˇ zen´ em u ´ roˇ cen´ı a u ´ rokov´ e sazbˇ e i = 10 % p.a.? (Neuvaˇ zujte daˇ nzu ´ roku.) • Pˇ r´ıklad 3.2 Jak´ a mus´ı b´ yt roˇ cn´ı u ´ rokov´ a m´ıra, aby se vklad pˇ ri roˇ cn´ım sloˇ zen´ em u ´ roˇ cen´ı po 10 letech zdvojn´ asobil? Porovnejte s u ´ rokovou m´ırou pˇ ri jednoduch´ em u ´ roˇ cen´ı. (Neuvaˇ zujte daˇ nzu ´ roku.) • Pˇ r´ıklad 3.3 Naleznˇ ete budouc´ı hodnotu dneˇ sn´ıch 100 Kˇ c po dvou letech, jestliˇ ze u ´ rokov´ a m´ıra je i = 10 % p.a. pˇ ri sloˇ zen´ em u ´ roˇ cen´ı: a) roˇ cnˇ e, b) pololetnˇ e. • Pˇ r´ıklad 3.4 Jak dlouho bude trvat zdvojn´ asoben´ı kapit´ alu, jestliˇ ze u ´ rokov´ a sazba je 6 % p.a. : a) pˇ ri roˇ cn´ım sloˇ zen´ em u ´ roˇ cen´ı, b) pˇ ri denn´ım sloˇ zen´ em u ´ roˇ cen´ı (standard ACT/360)? Porovnejte s pˇ r´ıkladem 1.7. • Pˇ r´ıklad 3.5 Souˇ casn´ a hodnota vkladu je 1 000 Kˇ c. Kter´ a moˇ znost d´ a po roce vyˇ sˇ s´ı budouc´ı hodnotu: a) 15 % denn´ı sloˇ zen´ eu ´ roˇ cen´ı, b) 15, 5 % pololetn´ı sloˇ zen´ eu ´ roˇ cen´ı? • Pˇ r´ıklad 3.6 Na konci roku 2006 jste zakoupili zboˇ z´ı za 1 000 Kˇ c. Kolik asi st´ alo ˇ ´ stejn´ e zboˇ z´ı na konci roku 2003? (Inflace dle CSU v letech 2004 aˇ z 2006: 2,8%, 1,9% a 2,5%.) Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.17/30

Výsledky kapitola 3 Pˇ r´ıklad 3.1 P = 6 830 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 3.2 Sloˇ zen´ eu ´ roˇ cen´ı: i = 7, 18% , jednoduch´ eu ´ roˇ cen´ı: i = 10% . Pˇ r´ıklad 3.3

a) roˇ cnˇ e: S = 121 Kˇ c, b) pololetnˇ e: S = 121, 55 Kˇ c.

Pˇ r´ıklad 3.4 Sloˇ zen´ eu ´ roˇ cen´ı: a) roˇ cn´ı u ´ roˇ cen´ı: 11 rok˚ u a 327 dn´ı, b) denn´ı u ´ roˇ cen´ı: 11 let a 144 dn´ı. Jednoduch´ eu ´ roˇ cen´ı: 16 rok˚ u a 8 mˇ es´ıc˚ u. Pˇ r´ıklad 3.5 Varianta a). Pˇ r´ıklad 3.6 C2003 = 931, 34 Kˇ c.

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.18/30

Složené úročení, inflace, spojité, smíšené úročení • Pˇ r´ıklad 3.7 Dle makroekonomick´ e predikce MF bylo moˇ zn´ e v roce 2001 oˇ cek´ avat inflaci 5, 1 % (ve skuteˇ cnosti byla 4, 7 %) a v roce 2002 inflaci 4, 6 % (byla 1, 8 %). a) Jakou cenu bylo moˇ zno ˇ cekat u zboˇ z´ı na konci roku 2002, kter´ e mˇ elo na konci roku 2000 cenu 10 000 Kˇ c? b) Jakou cenu mˇ elo ve skuteˇ cnosti na konci roku 2001 a na konci roku 2002? • Pˇ r´ıklad 3.8 Kapit´ al P byl uloˇ zen do banky na term´ınovan´ yu ´ˇ cet na 2 roky su ´ rokovou m´ırou 1, 9 %. Banka u ´ roˇ c´ı jednou roˇ cnˇ e a dan´ı u ´ rok 15 %. M´ıra inflace dos´ ahla v prvn´ım roce vkladu 1, 9 %, v druh´ em roce 2, 2 %. a) Zjistˇ ete, zda je re´ aln´ a hodnota z´ıskan´ eho kapit´ alu (kupn´ı s´ıla) po dvou letech vyˇ sˇ s´ı nebo niˇ zˇ s´ı, neˇ z je vloˇ zen´ y kapit´ al P. b) Pˇ redpokl´ adejme, ˇ ze uloˇ z´ıme kapit´ al pouze na prvn´ı rok. Vypoˇ c´ıtejte re´ alnou u ´ rokovou m´ıru. Jak´ a by musela b´ yt nomin´ aln´ı u ´ rokov´ a m´ıra banky pro jednolet´ y term´ınovan´ y vklad, aby re´ aln´ a hodnota z´ıskan´ eho kapit´ alu byla stejn´ a, jako je vloˇ zen´ y kapit´ al P? • Pˇ r´ıklad 3.9 Pˇ redpokl´ adejme nomin´ aln´ı u ´ rokovou m´ıru inom = 10 % p.a., pˇ ripisov´ an´ı u ´ rok˚ u pˇ ri sloˇ zen´ em u ´ roˇ cen´ı se dˇ eje: a) 2x roˇ cnˇ e, b) 4x roˇ cnˇ e. Pro oba pˇ r´ıpady zjistˇ ete efektivn´ı u ´ rokovou m´ıru (neuvaˇ zujte daˇ nzu ´ roku). Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.19/30

Výsledky kapitola 3 Pˇ r´ıklad 3.7

a) oˇ cek´ avan´ a cena: C2002 = 10 993, 46 Kˇ c, b) skuteˇ cn´ a cena: C2001 = 10 470 Kˇ c, C2002 = 10 658, 46 Kˇ c.

Pˇ r´ıklad 3.8

a) Re´ aln´ a hodnota je niˇ zˇ s´ı. b) ireal = −2, 80%, inom = 2, 235%.

Pˇ r´ıklad 3.9 a) ief = 10, 25% , b) ief = 10, 38% .

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.20/30

Složené úročení, inflace, spojité, smíšené úročení • Pˇ r´ıklad 3.10 Sourozenci Adam a Eva zdˇ edili kaˇ zd´ y po 100 000 Kˇ c. Oba uloˇ zili sv˚ uj kapit´ al ve stejn´ em dni na term´ınovan´ y vklad na 14 dn´ı s revolvingem. Adam do AA banky, Eva do AE banky. Obˇ e banky u ´ roˇ c´ı vklady vˇ zdy na konci ˇ ctrn´ actidenn´ıho obdob´ı. Oba vyzvedli pen´ıze na konci ˇ sest´ eho ˇ ctrn´ actidenn´ıho obdob´ı. V AA bance byl vklad prvn´ı dvˇ e obdob´ı u ´ roˇ cen s u ´ rokovou m´ırou 2, 4 % a ve zb´ yvaj´ıc´ıch ˇ ctyˇ rech obdob´ıch s u ´ rokovou m´ırou 1, 8 %. V AE bance prvn´ı ˇ ctyˇ ri obdob´ı byl u ´ roˇ cen su ´ rokovou m´ırou 1, 8 % a ve zb´ yvaj´ıc´ıch dvou obdob´ıch 2, 4 % (standard ACT/360 a daˇ n strh´ avan´ a ”u zdroje” 15 %). a) Odhadnˇ ete, kter´ y ze sourozenc˚ u dostal v´ıce penˇ ez. b) Vypoˇ c´ıtejte ˇ ca ´stky, kter´ e byly Adamovi a Evˇ e bankami vyplaceny. • Pˇ r´ıklad 3.11 Souˇ casn´ a hodnota vkladu je 100 000 Kˇ c. a) Najdˇ ete budouc´ı hodnotu po mˇ es´ıci, jestliˇ ze je nomin´ aln´ı u ´ rokov´ a m´ıra pˇ ri spojit´ em u ´ roˇ cen´ı 15 %. b) Porovnejte s budouc´ı hodnotou pˇ ri denn´ım sloˇ zen´ em u ´ roˇ cen´ı a stejn´ e nomin´ aln´ı u ´ rokov´ e m´ıˇ re. (Pˇ redpokl´ adejme, ˇ ze jde o mˇ es´ıc duben.) • Pˇ r´ıklad 3.12 Naleznˇ ete nomin´ aln´ı u ´ rokovou m´ıru im a) pˇ ri spojit´ em, b) pˇ ri ˇ ctvrtletn´ım u ´ roˇ cen´ı, kter´ a d´ a efektivn´ı u ´ rokovou m´ıru 8 %.Pouˇ zijte EXCEL-funkce NOMINAL. • Pˇ r´ıklad 3.13 Kolik korun mus´ıme uloˇ zit na u ´ˇ cet, abychom na nˇ em, pˇ ri u ´ rokov´ e m´ıˇ re 2 % a pˇ ri spojit´ em u ´ roˇ cen´ı, mˇ eli po pˇ eti letech 90 000 Kˇ c? (Uvaˇ zujte obvyklou daˇ n zu ´ rok˚ u.) • Pˇ r´ıklad 3.14 Jak´ a je budouc´ı hodnota souˇ casn´ eˇ ca ´stky 300 000 Kˇ c pˇri sm´ıˇ sen´ em u ´ roˇ cen´ı, jestliˇ ze je uloˇ zena na 3 roky a 5 mˇ es´ıc˚ u pˇ ri u ´ rokov´ e sazbˇ e 1, 8 % p.a. se ˇ ctvrtletn´ım pˇ ripisov´ an´ım u ´ rok˚ u? Obsah V´ ysledky Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.21/30

Výsledky kapitola 3 Pˇ r´ıklad 3.10

a) Oba dostali stejnˇ e. b) Adam: SAA = 100 397, 32 Kˇ c, Eva: SAE = SAA .

Pˇ r´ıklad 3.11

a) 101 257, 85 Kˇ c, b) nepatrnˇ e niˇ zˇ s´ı ˇ ca ´stka.

Pˇ r´ıklad 3.12

a) i∞ = 7, 696% , b) i4 = 7, 771%.

Pˇ r´ıklad 3.13 P V = 82 666, 11 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 3.14 F V = 318 985, 85 Kˇ c.

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.22/30

Hodnotové rovnice • Pˇ r´ıklad 4.1 Podnikatel by nyn´ı r´ ad investoval do nov´ eho pˇ r´ıstrojov´ eho vybaven´ı, kter´ e znamen´ a v´ ydaj 47 500 Kˇ c, pˇ riˇ cemˇ z pˇ redpokl´ ad´ a, ˇ ze mu investice pˇ rinese pˇ r´ıjem 30 000 Kˇ c za 7 mˇ es´ıc˚ u a 25 000 Kˇ c za 15 mˇ es´ıc˚ u. Naleznˇ ete souˇ casnou hodnotu investice pˇ ri u ´ rokov´ e sazbˇ e 4 % p.a. s mˇ es´ıˇ cn´ım pˇ ripisov´ an´ım u ´ rok˚ u. • Pˇ r´ıklad 4.2 Obchodn´ık podepsal smˇ enku na 85 000 Kˇ c splatnou za 18 mˇ es´ıc˚ ua u ´ roˇ cenou ˇ ctvrtletnˇ e s 7, 5 % p.a. Po roce provede ˇ ca ´steˇ cnou platbu smˇ enky ve v´ yˇ si 42 000 Kˇ c. Kolik penˇ ez bude podnikatel dluˇ zit v den splatnosti smˇ enky? • Pˇ r´ıklad 4.3 Poz˚ ustalost ve v´ yˇ si 458 000 Kˇ c byla odk´ az´ ana dvˇ ema dˇ etem ve vˇ eku 9 a 13 let, pˇ riˇ cemˇ z bylo stanoveno, ˇ ze oba obdrˇ z´ı stejnou ˇ ca ´stku ve sv´ ych 18 letech. Pˇ redpokl´ adejme, ˇ ze je tato ˇ ca ´stka uloˇ zena na u ´ˇ cet fondu, kter´ y je u ´ roˇ cen pololetnˇ e su ´ rokovou m´ırou 1, 4 % p.a. Kolik oba dˇ edici obdrˇ z´ı? (Neuvaˇ zujte daˇ nzu ´ rok˚ u.) • Pˇ r´ıklad 4.4 Tˇ ri dˇ eti ve vˇ eku 8, 12 a 15 let by mˇ ely pˇ ri dosaˇ zen´ı vˇ eku 21 let dostat stejnou ˇ ca ´stku, jako pod´ıl na dˇ edictv´ı po dˇ edeˇ ckovi z USA. Dˇ edeˇ ck˚ uv u ´ˇ cet, na kter´ em je dnes ˇ ca ´stka 65 000 $, je u ´ roˇ cen spojitˇ e nomin´ aln´ı u ´ rokovou m´ırou 7, 5 %. Jak´ y obnos ve sv´ ych 21 letech obdrˇ z´ı? (Neuvaˇ zujte daˇ nzu ´ rok˚ u.) • Pˇ r´ıklad 4.5 Naleznˇ ete souˇ casnou hodnotu investice, kter´ a nyn´ı pˇ redpokl´ ad´ a v´ ydaj ve v´ yˇ si 100 000 Kˇ c a dalˇ s´ı 3 roky postupnˇ e pˇ r´ıjmy 50 000 Kˇ c, 60 000 Kˇ c a 40 000 Kˇ c, jestliˇ ze srovnateln´ e investice v pr˚ umˇ eru vyn´ aˇ sej´ı m´ıru zisku 15 % p.a. Vypoˇ c´ıtejte ˇ ´ ˇ ´ ´ pomoc´ı EXCEL-funkce CISTA.SOUCHODNOTA a pomoc´ı MIRA.VYNOSNOSTI vnitˇ rn´ı v´ ynosov´ e procento (IRR) investice. Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.23/30

Výsledky kapitola 4 Pˇ r´ıklad 4.1 P V = 5 591, 95 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 4.2 51 432, 30 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 4.3 252 394, 01 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 4.4 42 651, 56 $. Pˇ r´ıklad 4.5 P V = 15 147, 53 Kˇ c, IRR = 24, 22 %.

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.24/30

Investiční rozhodování, anuity • Pˇ r´ıklad 5.1 Cena ojet´ eho auta je nyn´ı 240 000 Kˇ c. Nab´ız´ı se rovnˇ eˇ z moˇ znost zaplatit nyn´ı z´ alohu 120 000 Kˇ c a za dva roky doplatit 130 000 Kˇ c. Co je pro v´ as v´ yhodnˇ ejˇ s´ı, m´ ate-li moˇ znost investovat pen´ıze na dva roky pˇ ri u ´ rokov´ e m´ıˇ re 3 % p.a., pˇ riˇ cemˇ z jsou u ´ roky pˇ ripisov´ any pololetnˇ e? • Pˇ r´ıklad 5.2 Porovnejte investice na z´ akladˇ e jejich souˇ casn´ e hodnoty. Jde o roˇ cn´ı platby a poˇ zadovan´ a v´ ynosnost z investice A je 10 % p.a. a z investice B je 6 % p.a. ˇ ´ ˇ (je m´ enˇ e rizikov´ a). Pomoc´ı funkce v Excelu CIST A.SOU CHODNOTA ovˇ eˇ rte, ˇ ze jste poˇ c´ıtali spr´ avnˇ e. investice A B

t=0

C0

- 1 050 000 - 700 000

C1

C2

C3

500 000 400 000

500 000 500 000

500 000

• Pˇ r´ıklad 5.3 Oceˇ nte investici, kter´ a pˇ rinese n´ asleduj´ıc´ı roˇ cn´ı penˇ eˇ zn´ı toky: obdob´ ı/platba penˇ eˇ zn´ı tok

t=0

C0

- 500 000

C1

C2

50 000

550 000

na z´ akladˇ e vnitˇ rn´ıho v´ ynosov´ eho procenta (IRR). Ovˇ eˇ rte pomoc´ı funkce v Excelu ´ M´IRA.VYNOSNOSTI, ˇ ze jste poˇ c´ıtali spr´ avnˇ e. • Pˇ r´ıklad 5.4 Najdˇ ete souˇ casnou a koncovou hodnotu anuity skl´ adaj´ıc´ı se z pˇ eti pololetn´ıch polh˚ utn´ıch plateb 100 EUR , u ´ rokov´ a sazba i2 = 3 % p.a. Pouˇ zijte ˇ EXCEL-funkce SOUCHODNOTA (BUDHODNOTA). Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.25/30

Výsledky kapitola 5 Pˇ r´ıklad 5.1 V´ yhodnˇ ejˇ s´ı je zaplatit celou ˇ ca ´stku. Pˇ r´ıklad 5.2 Investice A je v´ yhodnˇ ejˇ s´ı. Pˇ r´ıklad 5.3 IRR = 10%. Pˇ r´ıklad 5.4 P V = 478, 26 EUR , F V = 515, 23 EUR .

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.26/30

Investiční rozhodování, anuity • Pˇ r´ıklad 5.5 Jak´ ym fondem by mˇ ela disponovat nadace, kter´ a chce pˇ ri pˇ redpokl´ adan´ e u ´ rokov´ e m´ıˇ re 2 % p.a. vypl´ acet kaˇ zdoroˇ cnˇ e na z´ avˇ er roku cenu ve v´ yˇ si 100 000 Kˇ c? (Perpetuita) • Pˇ r´ıklad 5.6 Toto je upout´ avka spotˇ rebitelsk´ eho u ´ vˇ eru: 1 z´ı Zaplat´ıte jen 10 ceny zboˇ + 1 z ceny. pouh´ ych 10 mˇ es´ıˇ cn´ıch spl´ atek po 10 Zjistˇ ete roˇ cn´ı procentn´ı sazbu n´ aklad˚ u (RPSN) tohoto spotˇ rebitelsk´ eho u ´ vˇ eru. Pro naps´ an´ı pˇ r´ısluˇ sn´ e rovnice vyuˇ zijte faktu, ˇ ze jde o stejnou v´ yˇ si spl´ atky. Zkuste odhadem RPSN= 25 %. ´ Pro pˇ resn´ y v´ ypoˇ cet pouˇ zijte funkce v Excelu M´IRA.VYNOSNOSTI, EFFECT. Pouˇ zijte rovnˇ eˇ z funkci XIRR (sami zvolte term´ın mˇ es´ıˇ cn´ıch spl´ atek). Porovnejte v´ ysledky. • Pˇ r´ıklad 5.7 Jak´ a je RPSN spotˇ rebitelsk´ eho u ´ vˇ eru na ˇ ca ´stku 300 000 Kˇ c (ˇ cerpan´ y pˇ ri sjedn´ an´ı smlouvy), pˇ ri 36 mˇ es´ıˇ cn´ıch spl´ atk´ ach po 10 000 Kˇ c. Za sjedn´ an´ı u ´ vˇ eru je tˇ reba zaplatit poplatek 600 Kˇ c (splatn´ y rovnˇ eˇ z pˇ ri sjedn´ an´ı smlouvy). ´ Pouˇ zijte funkce v Excelu M´IRA.VYNOSNOSTI. (Nutno spoˇ c´ıtat odpov´ıdaj´ıc´ı roˇ cn´ı efektivn´ı m´ıru, napˇ r. pomoc´ı funkce EFFECT.) • Pˇ r´ıklad 5.8 Pan N si p˚ ujˇ cil od pan´ı M 5 600 Kˇ c. Dohodli se, ˇ ze pan N zaplat´ı na konci prvn´ıho mˇ es´ıce po poskytnut´ı p˚ ujˇ cky 200 Kˇ c a na konci kaˇ zd´ eho dalˇ s´ıho mˇ es´ıce ˇ ca ´stku o 20 Kˇ c vyˇ sˇ s´ı neˇ z na konci pˇ redchoz´ıho mˇ es´ıce. Pˇ ri posledn´ı spl´ atce d´ a pan´ı M nav´ıc 200 Kˇ c jako u ´ rok. Kolik mˇ es´ıc˚ u bude pan N p˚ ujˇ cku spl´ acet? (Vyuˇ zijte vzorec pro souˇ cet aritmetick´ e posloupnosti.) Jak´ eu ´ rokov´ e m´ıˇ re p.a. s mˇ es´ıˇ cn´ım u ´ roˇ cen´ım tento u ´ vˇ er odpov´ıd´ a (tj. jak´ e je vnitˇ rn´ı v´ ynosov´ e procento)? Jak´ a je RPSN u ´ vˇ eru, kter´ y poskytla pan´ı M? ´ Pouˇ zijte funkce v Excelu M´IRA.VYNOSNOSTI (pro RPSN napˇ r. funkci EFFECT). Obsah V´ ysledky Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.27/30

Výsledky kapitola 5 Pˇ r´ıklad 5.5 5 000 000 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 5.6 RPSN = 26, 27%. Pˇ r´ıklad 5.7 RPSN = 13, 12%. Pˇ r´ıklad 5.8 n = 16 mˇ es´ıc˚ u, IRR = i12 = 4, 26 % p.a. , RPSN= 4,35 %.

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.28/30

Investiční rozhodování, anuity • Pˇ r´ıklad 5.9 Pan Bl´ aha by si chtˇ el p˚ ujˇ cit u banky 90 000 Kˇ c. Mˇ es´ıˇ cnˇ e by vˇ sak byl schopen spl´ acet jen 500 Kˇ c. Banka nab´ız´ı mˇ es´ıˇ cnˇ eu ´ roˇ cen´ yu ´ vˇ er s u ´ rokovou sazbou 8 % p.a. Jak dlouho by musel u ´ rok spl´ acet? Proˇ c banka odm´ıtla panu B. u ´ vˇ er poskytnout? • Pˇ r´ıklad 5.10 Nemovitost stoj´ı 2 650 000 Kˇ c. Pˇ ri uzavˇ ren´ı hypoteˇ cn´ı smlouvy se zaplat´ı 650 000 Kˇ c, zbytek se m´ a splatit v mˇ es´ıˇ cn´ıch hypoteˇ cn´ıch spl´ atk´ ach vˇ zdy na konci mˇ es´ıce po dobu 20 let. Kolik ˇ cin´ı mˇ es´ıˇ cn´ı spl´ atka, je-li fixovan´ au ´ rokov´ a m´ıra 5, 2 % p.a.? (M˚ uˇ zete pouˇ z´ıt funkci v Excelu PLATBA.) • Pˇ r´ıklad 5.11 Vypoˇ c´ıtejte v´ ynosnost do splatnosti dluhopisu s nomin´ aln´ı hodnotou 10 000 Kˇ c, s dneˇ sn´ım kurzem na burze 107 %, kter´ y vypl´ ac´ı roˇ cn´ı kup´ ony s kup´ onovou sazbou 4,7 % a do jehoˇ z splatnosti zb´ yv´ a pˇ et let. Pouˇ zijte funkce ´ ´ v Excelu MIRA.VYNOSNOSTI. Obsah

V´ ysledky

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.29/30

Výsledky kapitola 5 Pˇ r´ıklad 5.9 Nebyla splnˇ ena podm´ınka: 1 >

PV j. K

Pˇ r´ıklad 5.10 K = 13 421, 08 Kˇ c. Pˇ r´ıklad 5.11 i∗ = 3, 16% .

Sbírka příklad˚ u Finanční matematika – p.30/30