CARA LAIN MENENTUKAN TAKSIRAN ERROR UNTUK METODE INTEGRAL NUMERIK D. S. Wati1∗ , M. Imran2 , L. Deswita2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia ∗
[email protected]
ABSTRACT This paper discusses a technique to estimate an error in numerical integration methods, which is a review and an expansion, as well as partial correction from the article Peter R. Mercer [The College Mathematics Journal, 36 (2005): 27-34]. After obtaining the error estimates of the numerical integration methods for a single interval, composite error estimate forms are developed, which are only dependent on the first derivatives of the function. By comparing the error estimates obtained with error estimates obtained by polynomial interpolation error, it is visible that the error estimates obtained for the trapezoidal method and the midpoint method are sharper. This finding does not apply to the Simpson method. Keywords: error estimates, trapezoidal rules, the midpoint rules, Simpson’s rules. ABSTRAK Makalah ini mendiskusikan cara lain menentukan taksiran error untuk metode integral numerik, yang merupakan review, pengembangan sekaligus koreksi sebagian dari artikel Peter R. Mercer [The College Mathematics Journal, 36 (2005) : 27-34]. Taksiran error yang diperoleh, kemudian dikembangkan kebentuk taksiran error metode integral numerik dalam bentuk komposit, yang hanya bergantung kepada turunan pertama dari fungsi yang akan diintegralkan. Melalui perbandingan taksiran error yang didapat dengan taksiran error yang diperoleh melalui error interpolasi polinomial, terlihat bahwa taksiran error yang didapat untuk metode trapesium dan metode titik tengah lebih tajam. Hal ini tidak berlaku untuk metode Simpson. Kata kunci: taksiran error, metode trapesium, metode titik tengah, metode Simpson.
1
1. PENDAHULUAN Di dalam kalkulus penyelesaian integral tentu Z b f (x) dx
(1)
a
didasarkan kepada Teorema Dasar Kalkulus, yaitu Z b f (x) dx = F (b) − F (a) , a
dengan F (x) antiderivatif dari f (x). Akan tetapi jika antiderivatif dari f (x) rumit atau tidak dapat disajikan dalam bentuk fungsi-fungsi elementer, misalnya f (x) = 2 e−x , maka Teorema Dasar Kalkulus tidak dapat digunakan [1, h.602]. Untuk menyelesaikan integral tentu (1) dalam kasus seperti ini dapat digunakan metode integral numerik, yaitu dengan mengaproksimasi f (x) dengan interpolasi polynomial P (x) sehingga: Z b Z b f (x) dx ≈ P (x) dx. a
a
Melalui cara ini diharapkan solusi hampiran yang diperoleh tidak jauh berbeda dari nilai eksak. Selisih antara solusi eksak dan solusi hampiran ini dinamakan error (kesalahan). Error dari aproksimasi ini didefinisikan dengan: Z b Z b E = f (x) dx − P (x) dx . a
a
Misalkan f : [a, b] → R dan f 0 kontinu pada [a, b]. Beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk mengaproksimasi integral tentu (1) adalah metode trapesium [1, h.604] T (f ) =
b−a [f (a) + f (b)] , 2
(2)
metode titik tengah [6, h.221] M (f ) = (b − a) f
a+b 2
,
dan metode Simpson klasik yang didefinisikan dengan 1 2 b−a a+b f (a) + 4f + f (b) . S (f ) = T (f ) + M (f ) = 3 3 6 2
(3)
(4)
Dibuku-buku yang mendiskusikan metode numerik dibahas taksiran error dari metode trapesium [1, h.604], titik tengah [6, h.221] dan Simpson [5, h.127] secara analitik yang diturunkan dengan menggunakan error interpolasi polinomial. Pada 2
makalah ini dibahas cara lain menentukan taksiran error metode trapesium, metode titik tengah, dan metode Simpson, yang hanya melibatkan turunan pertama. Pembahasan merupakan review sekaligus melengkapi dan mengoreksi sebagian dari artikel Peter R. Mercer [4], yang judul Error Estimates For Numerical Integration Rules. 2. CARA LAIN MENENTUKAN TAKSIRAN ERROR UNTUK METODE INTEGRAL NUMERIK Taksiran error dari metode numerik yang didiskusikan disini berangkat R b dari asumsi adanya fungsi f (x) yang terbatas dan fungsi g(x), yang memenuhi a g(x)dx = 0, sehingga Lema 1 berlaku, yaitu Lema 1 [4] Misalkan f dan g fungsi terintegralkan pada [a, b], dengan m ≤ f ≤ M Rb pada [a, b] dan a g (x)dx = 0. Maka Z b Z b 1 |g (x)|dx. f (x) g (x)dx ≤ (M − m) 2 a a Bukti. Karena
Rb a
(5)
g (x)dx = 0, dengan m ≤ f ≤ M , maka Z a
b
m+M g (x)dx = 0, 2
(6)
sehingga Z b Z b Z b 2f (x)g(x) m+M dx − g(x)dx = f (x) g (x)dx 2 2 a a aZ b 1 = (2f (x) − (m + M ))g(x)dx 2 a Z b Z 1 b . = f (x) g (x)dx (2f (x) − M − m) g (x)dx 2 a a
(7)
Dengan menggunakan sifat integral untuk nilai mutlak [3, h.238], maka persamaan (7) menjadi Z b Z 1 b f (x) g (x)dx ≤ (|f (x) − M | + |f (x) − m|) |g(x)|dx. (8) 2 a a Diketahui m ≤ f ≤ M , karena m ≤ f (x) maka 0 ≤ f (x) − m, dan f (x) ≤ M maka f (x) − M ≤ 0. Jadi, |f (x) − M | = −(f (x) − M ) = −f (x) + M dan |f (x) − m| = f (x) − m. Jadi persamaan (8), menjadi Z b Z b 1 f (x) g (x)dx ≤ (M − m) |g(x)|dx.2 2 a a 3
Taksiran Error Metode Trapesium Misalkan f (x) mempunyai turunan pertama yang kontiniu pada [a.b] dan definisikan a+b g (x) = x − , (9) 2 maka Z a
b
Z b a+b dx = 0. g(x)dx = x− 2 a
Terlihat fungsi g(x) pada (9) memenuhi syarat pada Lema 1. Jika Lema 1 diaplikasikan untuk g(x) seperti (9), maka diperoleh Z b Z b 1 a + b 0 0 0 x − dx, (10) f (x) g (x)dx ≤ (M − m ) 2 2 a a dengan M 0 = maxx∈[a,b] |f 0 (x)| dan m0 = minx∈[a,b] |f 0 (x)|. Dengan menghitung integral di ruas kanan (10) dan mengingat a2 − b 2 ≤ a2 + b 2 .
(11)
Z b 1 0 ≤ (M 0 − m0 ) 1 (b − a)2 , f (x) g (x)dx 2 4 a
(12)
diperoleh
Sekarang dengan mensubstitusikan g(x) pada (9) ke (12) dan menerapkan integral sebagian [2, h.282] diperoleh Z b Z b f (b) + f (a) 0 (b − a) − f (x)dx . (13) f (x) g (x)dx = 2 a a Dari persamaan (12) dan persamaan (13), didapat Z b f (b) + f (a) (b − a)2 ≤ (b − a) − f (x)dx (M 0 − m0 ). 2 8 a
(14)
Hasil diskusi di atas dapat dinyatakan dalam bentuk Teorema 2. Teorema 2 (Taksiran Error Metode Trapesium) Misalkan terdapat f fungsi kontinu yang terdiferensialkan pada [a, b]. Maka Z b (b − a)2 f (b) + f (a) ≤ f (x)dx − (b − a) (M 0 − m0 ), (15) 2 8 a dengan 4
M 0 = maxx∈[a,b] |f 0 (x)| dan m0 = minx∈[a,b] |f 0 (x)|. Selanjutnya untuk mendapatkan formula taksiran error metode trapesium komposit, interval [a, b] dipartisi menjadi n sub interval dengan, a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b dan h =
b−a , n
maka
b
Z
x1
Z
x2
Z
x3
xn
f (x)dx. (16) xn−1
x2
x1
x0
Z f (x)dx + · · · +
f (x)dx +
f (x)dx +
f (x)dx = a
Z
Selanjutnya dari persamaan (15), untuk semua subinterval diperoleh Z x1 f (x1 ) + f (x0 ) (x1 − x0 )2 f (x)dx = (x1 − x0 ) + (M10 − m01 ) , 2 8 x Z 0x2 f (x2 ) + f (x1 ) (x2 − x1 )2 (x2 − x1 ) + (M20 − m02 ) , f (x)dx = 2 8 x1 .. .. . = . Z xn f (xn ) + f (xn−1 ) (xn − xn−1 )2 f (x)dx = (xn − xn−1 ) + (Mn0 − m0n ) . 2 8 xn−1 Sehingga dari persamaan (16) diperoleh ET =
(b − a)2 (M 0 − m0 ) . 8n
(17)
dengan Z ! n−1 b X h f (x)dx − ET = f (a) + 2 f (a + kh) + f (b) , a 2 k=1 Pn P n M0 m0 M 0 = i=1 i dan m0 = i=1 i . n n Persamaan (17) adalah taksiran error metode trapesium komposit dan merupakan koreksi dari kekeliruan yang terdapat pada artikel Peter R. Mercer [4]. Taksiran Error Metode Titik Tengah Misalkan f mempunyai turunan pertama yang kontiniu pada [a, b], dan definisikan ; x − a jika x ∈ a, a+b 2 (18) g(x) = x − b jika x ∈ a+b , b , 2 maka Z
b
Z g(x)dx =
a
a+b 2
Z
b
(x − a)dx +
(x − b)dx = 0. a+b 2
a
5
Jadi g(x) pada (18) memenuhi asumsi Lema 1. Jika Lema 1 diaplikasikan untuk g(x) pada (18), maka dengan mengikuti proses pada proses menemukan taksiran error metode trapesium dan dengan mengingat sifat nilai mutlak diperoleh Z b 1 0 ≤ (M 0 − m0 ) 1 (b − a)2 . f (x)g(x)dx (19) 2 4 a Bila ruas kiri (19) dengan g(x) seperti (18) dihitung dengan menggunakan integral Rc Rb Rb sebagian dan mengingat sifat integral a f (x)dx + c f (x)dx = a f (x)dx dengan c ∈ [a, b] diperoleh Z b Z b a + b 0 = f . f (x)g(x)dx f (x)dx (20) (b − a) − 2 a a Dari persamaan (19) dan persamaan (20) ditunjukkan Z b (b − a)2 a + b f ≤ (b − a) − f (x)dx (M 0 − m0 ). 2 8 a
(21)
Hasil diskusi di atas dapat disajikan dalam Teorema 3. Teorema 3 (Taksiran Error Metode Titik Tengah) Misalkan f fungsi kontinu yang terdiferensialkan pada [a, b]. Maka Z b (b − a)2 a + b ) ≤ (M 0 − m0 ), (22) f (x)dx − (b − a)f ( 2 8 a dengan M 0 = maxx∈[a,b] |f 0 (x)| dan m0 = minx∈[a,b] |f 0 (x)|, Taksiran error metode titik tengah komposit dapat diperoleh dengan mempartisi interval [a, b] menjadi n sub interval dengan, a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, maka Z
b
f (x)dx = a
n−1 X
hf
k=0
xk + xk+1 2
dan
h=
b−a n
h2 0 0 + Mk+1 − mk+1 . 8
dengan 0 Mk+1 =
max x∈[xk ,xk+1 ]
|f 0 (x)| dan m0k+1 =
min
|f 0 (x)|.
x∈[xk ,xk+1 ]
Selanjutnya dengan mengikuti prosedur yang sama seperti menurunkan taksiran error metode trapesium komposit dapat ditunjukkan EM =
(b − a)2 (M 0 − m0 ) , 8n 6
(23)
dengan EM
Z n b X x + x k k+1 = f (x)dx − h f , a 2
0
M =
k=0
Pn
i=1
n
Mi0
,
0
m =
Pn
i=1
n
m0i
.
Persamaan (23) adalah taksiran error metode titik tengah komposit dari aplikasi Lema 1. Taksiran Error Metode Titik Tengah Metode Simpson dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari metode trapesium dan titik tengah, yaitu [5, h.132] 1 2 S(f ) = T (f ) + M (f ). 3 3 Selanjutnya dengan memperhatikan (24) dipilih g(x) dengan bentuk 1 gT + 23 gM jika x ∈ a, a+b 3 2 ; g(x) = a+b 2 1 g + 3 gM jika x ∈ 2 , b , 3 T
(24)
(25)
dengan gT dan gM berturut-turut adalah g(x) untuk metode trapesium dan titik tengah yang diberikan oleh persamaan (9) dan persamaan (18). Jadi persamaan (25) dapat ditulis x − 5a+b jika x ∈ a, a+b 6 2 ; g(x) = (26) a+b a+5b jika x ∈ 2 , b , x− 6 dan dengan mudah dapat ditunjukkan bahwan persamaan (26), memenuhi asumsi Lema 1, yaitu Z b g(x)dx = 0. a
Dengan mengikuti prosedur yang sama seperti dalam menurunkan taksiran error metode trapesium, dan mengingat 5a+b 5a + b − x jika a ≤ x ≤ 5a+b ; 6 6 x − = 5a+b a+b x − 5a+b jika ≤ x < 6 6 6 2 dan a+5b a + 5b − x jika 6 = x − a+5b x− 6 jika 6
a+b < x ≤ a+5b ; 2 6 a+5b < x ≤ b, 6
maka taksiran error metode Simpson dapat ditunjukkan setelah menyatakan x0 = a, x1 = a+b , x2 = b dan x2 − x0 = 2h sebagaimana Teorema 4. 2
7
Teorema 4 (Taksiran Error Metode Simpson) Terdapat f fungsi kontinu yang terdiferensialkan pada [x0 , x2 ]. Maka Z x2 h 5 f (x)dx − [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] ≤ (h)2 (M 0 − m0 ), (27) 3 18 x0 dengan M 0 = maxx∈[x0 ,x2 |f 0 (x)| dan m0 = minx∈[x0 ,x2 ] |f 0 (x)|, Jika interval [a, b] dipartisi menjadi 2n sub interval dengan, a = x0 < x1 < x2 < · · · < x2n = b , maka dengan mengikuti prosedur yang sama seperti pada taksiran dan h = b−a 2n error metode trapesium diperoleh Z a
b
n n hX 5h2 X f (x)dx = [f (x2k−2 ) + 4f (x2k−1 ) + f (x2k )] + (Mk0 − m0k ) , 3 k=1 18 k=1
(28)
dengan Mk0 =
max x∈[x2k−2 ,x2k ]
|f 0 (x)| dan m0k =
min
|f 0 (x)|.
x∈[x2k−2 ,x2k ]
Jadi ES =
5(b − a)2 (M 0 − m0 ) . 288n
(29)
dengan Z n b hX f (x)dx − ES = [f (x2k−2 ) + 4f (x2k−1 ) + f (x2k )] , a 3 k=1 Pn P n M0 m0 M 0 = k=1 k dan m0 = k=1 k . n n Persamaan (29) adalah taksiran error metode Simpson komposit dari aplikasi Lema 1.
3. PERBANDINGAN NUMERIK Pada bagian ini dibahas perbandingan numerik taksiran error untuk metode trapesium, titik tengah dan Simpson yang telah dibahas pada Bagian 2 dengan error eksak (error yang didapat dengan mengurangkan integral eksak dengan penghitungan integral dengan metode yang didiskusikan) dan taksiran error yang diturunkan menggunakan error interpolasi. Semua komputasi menggunakan program komputer Matlab 7.0.1. Adapun fungsi-fungsi yang digunakan dalam melakukan perbandingan taksiran error untuk ketiga metode yang didiskusikan adalah 8
1.
Rb
2.
Rb
a
a
(e−x + 1)dx (x2 − ex − 3x)dx,
dengan [a, b] = [1, 4] dan n = 1, 10, 100, 1000, dimana n menunjukkan jumlah partisi yang dilakukan untuk menerapkan rumus komposit. Hasil komputasi untuk metode trapesium diberikan pada Tabel 1 dan Tabel 2, yang menunjukkan bahwa nilai taksiran error metode trapesium yang diperoleh dari aplikasi Lema 1 (ET ) lebih kecil dibandingkan nilai taksiran error yang diperoleh dengan interpolasi (EIT ), sebagaimana diberikan [1, h.604]. Tabel 1: Taksiran Error Metode Trapesium untuk ab (e−x + 1)dx n Error Eksak EIT ET 1 2.2973e-001 8.2773e-001 3.9326e-001 10 2.6178e-003 8.2773e-003 3.9326e-003 100 2.6217e-005 8.2773e-005 3.9326e-005 1000 2.6217e-007 8.2773e-007 3.9326e-007 R
Tabel 2: Taksiran Error Metode Trapesium untuk ab (x2 − ex − 3x)dx n Error Eksak EIT ET 1 2.9595e+001 1.1835e+002 5.1615e+001 10 3.4352e-001 1.1835e+000 5.1615e-001 100 3.4409e-003 1.1835e-002 5.1615e-003 1000 3.4410e-005 1.1835e-004 5.1615e-005 R
Kesimpulan yang sama juga terlihat ketika membandingkan taksiran error metode titik tengah yang diperoleh dari aplikasi Lema 1 (EM ) dengan nilai taksiran error yang diperoleh dengan interpolasi (EIM ) yang terdapat pada [6, h.221], sebagaimana diberikan Tabel 3 dan Tabel 4. Tabel 3: Taksiran Error Metode Titik Tengah untuk ab (e−x + 1)dx n Error Eksak EIM EM 1 1.0331e-001 4.1386e-001 3.9326e-001 10 1.3074e-003 4.1386e-003 3.9326e-003 100 1.3108e-005 4.1386e-005 3.9326e-005 1000 1.3109e-007 4.1386e-007 3.9326e-007 R
Tabel 4: Taksiran Error Metode Titik Tengah untuk ab (x2 − ex − 3x)dx n Error Eksak EIM EM 1 1.3082e+001 5.9173e+001 5.1615e+001 10 1.7154e-001 5.9173e-001 5.1615e-001 100 1.7204e-003 5.9173e-003 5.1615e-003 1000 1.7205e-005 5.9173e-005 5.1615e-005 R
9
Kesimpulan yang berbeda didapat ketika membandingkan hasil komputasi nilai taksiran error metode Simpson (ES ) yang diperoleh dari aplikasi Lema 1 dengan nilai taksiran error yang diperoleh dengan interpolasi (EIS ) yang terdapat pada [5, h.127], seperti terlihat pada Tabel 5 dan Tabel 6 Tabel 5: Taksiran Error Metode Simpson untuk ab (e−x + 1)dx n Error Eksak EIS ES 1 7.7037e-003 3.1040e-002 2.1848e-001 10 9.8052e-007 3.1040e-006 2.1848e-003 100 9.8312e-011 3.1040e-010 2.1848e-005 1000 7.9936e-015 3.1040e-014 2.1848e-007 R
Tabel 6: Taksiran Error Metode Simpson untuk ab (x2 − ex − 3x)dx n Error Eksak EIS ES 1 1.1433e+000 4.6067e+000 3.2425e+001 10 1.4552e-004 4.6067e-004 3.2425e-001 100 1.4591e-008 4.6067e-008 3.2425e-003 1000 1.4353e-012 4.6067e-012 3.2425e-005 R
Secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa taksiran error yang diperoleh dengan aplikasi Lema 1 untuk metode trapesium dan metode titik tengah lebih tajam dibandingkan dengan taksiran error yang diperoleh dengan interpolasi. Sedangkan keuntungan yang didapat dengan taksiran error yang diperoleh dengan aplikasi Lema 1 untuk metode Simpson adalah hanya memerlukan turunan pertama dari fungsi yang diintegralkan. DAFTAR PUSTAKA [1] Apostol, T. M. 1967. Calculus and Linear Algebra Vol.2, Second Edition. John Wiley & Sons Inc., New York. [2] Bartle, R. G. 1967. The Elements of Real Analysis, Revised First Edition. John Wiley & Sons Inc., New York. [3] Lang, S. 1973. A First Course in Calculus, Third Edition. Wesley Publishing Company Inc., Philippines. [4] Mercer, P. R. 2005. Error Estimates For Numerical Integration Rules. The College Mathematics Journal 36: 27-34. [5] Phillips, G. M. 2003. Interpolation and Approximation by Polynomials. Springer-Verlag Inc., New York. [6] Wood, A. 1999. Introduction to Numerical Analysis. Addison Wesley Longman Limited, Harlow.
10
