CAPM atd. ˇ ıd,
[email protected], www.klec.cz/martin Martin Sm´ ´ ˇ UTIA AV CR
listopad 2005
Obsah
1. V´ybˇer portfolia
2. CAPM s bezrizikov´ym aktivem
3. Empirick´e ovˇeˇren´ı CAPM
Dom´ ac´ı u ´kol
Literatura
E. Barucci. Financial Markets Theory. Springer, London, 2003. K. Cuthbertson. Quantitative Financial Economics. John Wiley & sons, New York, 1997. ˇ ep´ J. Dupaˇcov´ a, J. Hurt, and J. Stˇ an. Stochastic Modelling in Economics and Finance. Kluwer, Dodrecht, 2002.
Motto
M´ a v˚ ubec smysl zab´yvat se (matematick´ymi) modely?
Motto
M´ a v˚ ubec smysl zab´yvat se (matematick´ymi) modely? Paul Krugman ˇr´ık´ a In fact, we are all builders and purveyors of unrealistic simplifications. Some of us are self-aware: we use our models as metaphors. Others, including people who are indisputably brilliant and seemingly sophisticated, are sleepwalkers: they unconsciously use metaphors as models.
Motto
M´ a v˚ ubec smysl zab´yvat se (matematick´ymi) modely? Paul Krugman ˇr´ık´ a In fact, we are all builders and purveyors of unrealistic simplifications. Some of us are self-aware: we use our models as metaphors. Others, including people who are indisputably brilliant and seemingly sophisticated, are sleepwalkers: they unconsciously use metaphors as models. Jin´ymi slovy: rozhodujeme se bud’ vˇedomˇe nebo nevˇedomˇe, v´ybˇer je na n´as!
1. V´ybˇer portfolia Pˇredpoklady ◮ Agenti ◮ ◮ ◮
M agent˚ u Wi - souˇcasn´e bohatstv´ı i-t´eho agenta ui (W ) - uˇzitek i-t´eho agenta z bohatstv´ı W
1. V´ybˇer portfolia Pˇredpoklady ◮ Agenti ◮ ◮ ◮
◮
M agent˚ u Wi - souˇcasn´e bohatstv´ı i-t´eho agenta ui (W ) - uˇzitek i-t´eho agenta z bohatstv´ı W
Aktiva ◮ ◮
N aktiv ri n´ahodn´y normalizovan´y v´ynos i-t´eho aktiva
1. V´ybˇer portfolia Pˇredpoklady ◮ Agenti ◮ ◮ ◮
◮
Aktiva ◮ ◮
◮
M agent˚ u Wi - souˇcasn´e bohatstv´ı i-t´eho agenta ui (W ) - uˇzitek i-t´eho agenta z bohatstv´ı W N aktiv ri n´ahodn´y normalizovan´y v´ynos i-t´eho aktiva
i -t´y agent ˇreˇs´ı max
w ∈RN ,w ·1=Wi
Eui (r · w )
(pˇredpokl´ adejme existenci ˇreˇsen´ı)
(1)
Portfoliov´a hranice (PH) Stˇredn´ı v´ynos a smˇerodatn´e odchylky vˇsech moˇzn´ych portfoli´ı tvoˇr´ı tvar viz obr´ azek (poloˇzen´ a odmocnˇen´ a parabola)
Portfoliov´a hranice (PH) Stˇredn´ı v´ynos a smˇerodatn´e odchylky vˇsech moˇzn´ych portfoli´ı tvoˇr´ı tvar viz obr´ azek (poloˇzen´ a odmocnˇen´ a parabola)
1. Je-li Eui (z) klesaj´ıc´ı s rostouc´ım Dz (D oznaˇcuje rozptyl), pak optim´ aln´ı portfolio kaˇzd´eho agenta leˇz´ı na tzv. portfoliov´e hranici (PH).
Portfoliov´a hranice (PH) Stˇredn´ı v´ynos a smˇerodatn´e odchylky vˇsech moˇzn´ych portfoli´ı tvoˇr´ı tvar viz obr´ azek (poloˇzen´ a odmocnˇen´ a parabola)
1. Je-li Eui (z) klesaj´ıc´ı s rostouc´ım Dz (D oznaˇcuje rozptyl), pak optim´ aln´ı portfolio kaˇzd´eho agenta leˇz´ı na tzv. portfoliov´e hranici (PH). 2. Je-li nav´ıc Eui (z) rostouc´ı s rostouc´ım Ez, jsou-li indiferenˇcn´ı kˇrivky √ Kx = {(Ez, Dz) : z je n.v., ui (z) = x} striktnˇe konvexn´ı a je-li Dr regul´ arn´ı, pak je optim´ aln´ı portfolio urˇceno jednoznaˇcnˇe.
Portfoliov´a hranice (PH) Stˇredn´ı v´ynos a smˇerodatn´e odchylky vˇsech moˇzn´ych portfoli´ı tvoˇr´ı tvar viz obr´ azek (poloˇzen´ a odmocnˇen´ a parabola)
1. Je-li Eui (z) klesaj´ıc´ı s rostouc´ım Dz (D oznaˇcuje rozptyl), pak optim´ aln´ı portfolio kaˇzd´eho agenta leˇz´ı na tzv. portfoliov´e hranici (PH). 2. Je-li nav´ıc Eui (z) rostouc´ı s rostouc´ım Ez, jsou-li indiferenˇcn´ı kˇrivky √ Kx = {(Ez, Dz) : z je n.v., ui (z) = x} striktnˇe konvexn´ı a je-li Dr regul´ arn´ı, pak je optim´ aln´ı portfolio urˇceno jednoznaˇcnˇe.
Pozn´amky ◮
Pˇredpoklady (1) a (2) jsou splnˇeny napˇr´ıklad kdyˇz ◮
◮
◮
ui je kvadratick´a rostouc´ı konk´avn´ı (tj. pokud ui (z) = az − bz 2 , a, b > 0) r m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı a ui je rostouc´ı konk´avn´ı diferencovateln´a plat´ı jin´e omezuj´ıc´ı podm´ınky na rozdˇelen´ı r a/nebo uˇzitkovou funkci ui , viz [Barucci(2003)]
Pozn´amky ◮
Pˇredpoklady (1) a (2) jsou splnˇeny napˇr´ıklad kdyˇz ◮
◮
◮
◮
ui je kvadratick´a rostouc´ı konk´avn´ı (tj. pokud ui (z) = az − bz 2 , a, b > 0) r m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı a ui je rostouc´ı konk´avn´ı diferencovateln´a plat´ı jin´e omezuj´ıc´ı podm´ınky na rozdˇelen´ı r a/nebo uˇzitkovou funkci ui , viz [Barucci(2003)]
Pro optim´ aln´ı portfolio se pˇredepsan´ym stˇridn´ım v´ynosem Existuje analytick´y vzorec .
Pozn´amky ◮
Pˇredpoklady (1) a (2) jsou splnˇeny napˇr´ıklad kdyˇz ◮
◮
◮
ui je kvadratick´a rostouc´ı konk´avn´ı (tj. pokud ui (z) = az − bz 2 , a, b > 0) r m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı a ui je rostouc´ı konk´avn´ı diferencovateln´a plat´ı jin´e omezuj´ıc´ı podm´ınky na rozdˇelen´ı r a/nebo uˇzitkovou funkci ui , viz [Barucci(2003)]
◮
Pro optim´ aln´ı portfolio se pˇredepsan´ym stˇridn´ım v´ynosem Existuje analytick´y vzorec .
◮
Pˇredpokl´ adali jsme moˇznost kr´ atk´ych prodej˚ u, analogick´ a tvrzen´ı vˇsak plat´ı i pokud je zak´ aˇzeme
Pozn´amky ◮
Pˇredpoklady (1) a (2) jsou splnˇeny napˇr´ıklad kdyˇz ◮
◮
◮
ui je kvadratick´a rostouc´ı konk´avn´ı (tj. pokud ui (z) = az − bz 2 , a, b > 0) r m´a norm´aln´ı rozdˇelen´ı a ui je rostouc´ı konk´avn´ı diferencovateln´a plat´ı jin´e omezuj´ıc´ı podm´ınky na rozdˇelen´ı r a/nebo uˇzitkovou funkci ui , viz [Barucci(2003)]
◮
Pro optim´ aln´ı portfolio se pˇredepsan´ym stˇridn´ım v´ynosem Existuje analytick´y vzorec .
◮
Pˇredpokl´ adali jsme moˇznost kr´ atk´ych prodej˚ u, analogick´ a tvrzen´ı vˇsak plat´ı i pokud je zak´ aˇzeme
◮
Regularita matice Dr nen´ı omezuj´ıc´ı. Singularita totiˇz implikuje replikaci v´ynos˚ u (tj. stejn´y v´ynos dos´ ahneme i po vyˇzazen´ı ”replikovan´ych” veliˇcin) nebo arbitr´ aˇz (tj nen´ı co ˇreˇsit, staˇc´ı nakoupit nekoneˇcn´e mnoˇzstv´ı arbitˇr´ aˇzn´ıho portfolia a m´ ame nekoneˇcn´y zisk).
Pˇredpoklady ◮ Aktiva ◮
◮ ◮
1
Existuje bezrizikov´e aktivum ((ozn. rf jeho v´ynos a ¯r vektor aktiv vˇcecnˇe b.a., indexovan´eho nulou) rozptylov´a matice rizikov´ych aktiv V = Dr je regul´arn´ı kaˇzd´e portfolio na eficientn´ı hranici (horn´ı p˚ ulka PH) m´a vˇetˇs´ı stˇredn´ı v´ynos neˇz b.a.
Asi se pt´ ate, kde se v (1) objevuje cena? Odpovˇed’ zn´ı: skr´ yv´ a se ve v´ ynosu - rj = Rj /pj kde Rj v´ ynos z jednotky aktiva)
Pˇredpoklady ◮ Aktiva ◮
◮ ◮
◮
Agenti ◮
1
Existuje bezrizikov´e aktivum ((ozn. rf jeho v´ynos a ¯r vektor aktiv vˇcecnˇe b.a., indexovan´eho nulou) rozptylov´a matice rizikov´ych aktiv V = Dr je regul´arn´ı kaˇzd´e portfolio na eficientn´ı hranici (horn´ı p˚ ulka PH) m´a vˇetˇs´ı stˇredn´ı v´ynos neˇz b.a. agenti jsou averzn´ı k riziku (≡ ui je konk´avn´ı 1 ≤ i ≤ M)
Asi se pt´ ate, kde se v (1) objevuje cena? Odpovˇed’ zn´ı: skr´ yv´ a se ve v´ ynosu - rj = Rj /pj kde Rj v´ ynos z jednotky aktiva)
Pˇredpoklady ◮ Aktiva ◮
◮ ◮
◮
Agenti ◮
◮
Existuje bezrizikov´e aktivum ((ozn. rf jeho v´ynos a ¯r vektor aktiv vˇcecnˇe b.a., indexovan´eho nulou) rozptylov´a matice rizikov´ych aktiv V = Dr je regul´arn´ı kaˇzd´e portfolio na eficientn´ı hranici (horn´ı p˚ ulka PH) m´a vˇetˇs´ı stˇredn´ı v´ynos neˇz b.a.
D´ ale ◮
◮
agenti jsou averzn´ı k riziku (≡ ui je konk´avn´ı 1 ≤ i ≤ M) plat´ı jedna z podm´ınek zaruˇcuj´ıc´ı, ˇze optim´aln´ı portfolio kaˇzd´eho agenta leˇz´ı na PH (viz 1) existuje trˇzn´ı rovnov´aha (ekvilibrium), t.j. existuje vektor p ∈ RN+1 tak, ˇze
P
(i) portfolia vˇsech agent˚ u jsou optim´ aln´ı ve smyslu (1) 1 M m (ii) ¯ kde wi je portfolio i-t´eho agenta a w ¯ m je trˇzn´ı i =1 wi = w portfolio vˇsech aktiv na trhu (vˇcetnˇe bezrizikov´eho)
(napˇr. pokud ui jsou striktnˇe konk´avn´ı spojit´e + technick´e pˇredpoklady, viz [Barucci(2003), kpt. 1]) 1
Asi se pt´ ate, kde se v (1) objevuje cena? Odpovˇed’ zn´ı: skr´ yv´ a se ve v´ ynosu - rj = Rj /pj kde Rj v´ ynos z jednotky aktiva)
Separace do dvou fond˚ u (s b. a.) Necht’ µ ≥ rf . Lze pˇredpokl´ adat Wi = 1 (staˇc´ı pouˇz´ıt jin´e ´ mˇeˇr´ıtko). Uloha min
w ¯ ∈RN+1 ,w ¯ ′ ·1=1,E(w ¯ ·¯ r )=µ
D(w ¯ · ¯r ),
(+)
Separace do dvou fond˚ u (s b. a.) Necht’ µ ≥ rf . Lze pˇredpokl´ adat Wi = 1 (staˇc´ı pouˇz´ıt jin´e ´ mˇeˇr´ıtko). Uloha min
w ¯ ∈RN+1 ,w ¯ ′ ·1=1,E(w ¯ ·¯ r )=µ
D(w ¯ · ¯r ),
(+)
je zjevnˇe ekvivalentn´ı min
w ∈RN ,w ¯ ′ ·1=1,E(w ·r +(1−w ′ 1)rf )=µ
w ′ Vw
(++).
Separace do dvou fond˚ u (s b. a.) Necht’ µ ≥ rf . Lze pˇredpokl´ adat Wi = 1 (staˇc´ı pouˇz´ıt jin´e ´ mˇeˇr´ıtko). Uloha min
w ¯ ∈RN+1 ,w ¯ ′ ·1=1,E(w ¯ ·¯ r )=µ
D(w ¯ · ¯r ),
(+)
je zjevnˇe ekvivalentn´ı min
w ∈RN ,w ¯ ′ ·1=1,E(w ·r +(1−w ′ 1)rf )=µ
ˇ sen´ı(++): Reˇ
wµ =
w ′ Vw
(µ − rf )V −1 (Er − rf · 1) , Arf2 − 2Brf + C
(++).
A = 1′ V −1 1, B = 1′ V −1 (Er ), C = (Er )′ V −1 (Er ). (pomoc´ı Lagrangeov´ych multiplik´ator˚ u, viz literatura)
Separace do dvou fond˚ u (s b. a.) Necht’ µ ≥ rf . Lze pˇredpokl´ adat Wi = 1 (staˇc´ı pouˇz´ıt jin´e ´ mˇeˇr´ıtko). Uloha min
w ¯ ∈RN+1 ,w ¯ ′ ·1=1,E(w ¯ ·¯ r )=µ
D(w ¯ · ¯r ),
(+)
je zjevnˇe ekvivalentn´ı min
w ∈RN ,w ¯ ′ ·1=1,E(w ·r +(1−w ′ 1)rf
ˇ sen´ı(++): Reˇ
wµ =
w ′ Vw
(++).
)=µ
(µ − rf )V −1 (Er − rf · 1) , Arf2 − 2Brf + C
A = 1′ V −1 1, B = 1′ V −1 (Er ), C = (Er )′ V −1 (Er ). (pomoc´ı Lagrangeov´ych multiplik´ator˚ u, viz literatura) ′ ⇒ ˇreˇsen´ı (+): w ¯ µ = δ, (1 − δ)w t , δ =1−
(µ − rf )(B − Arf ) , Arf2 − 2Brf + C
wt =
V −1 (Er − rf · 1) . B − Arf
Separace do dvou fond˚ u (pokr.) Protoˇze w t je ˇreˇsen´ım (+) (pro µ = µt = (C − Brf )/(B − Arf )), m´ ame: Vˇetu o separaci do dvou fond˚ u: Kaˇzd´e eficientn´ı portfolio (tj. leˇz´ıc´ı na EH) sest´ av´ a s urˇcit´eho mnoˇzstv´ı b.a. a urˇcit´e v´ ahy w t .
Separace do dvou fond˚ u (pokr.) Protoˇze w t je ˇreˇsen´ım (+) (pro µ = µt = (C − Brf )/(B − Arf )), m´ ame: Vˇetu o separaci do dvou fond˚ u: Kaˇzd´e eficientn´ı portfolio (tj. leˇz´ıc´ı na EH) sest´ av´ a s urˇcit´eho mnoˇzstv´ı b.a. a urˇcit´e v´ ahy w t . m t D˚ usledek: w ¯ = (c, dw ) pro nˇejak´ a c, d ≥ 0
Separace do dvou fond˚ u (pokr.) Protoˇze w t je ˇreˇsen´ım (+) (pro µ = µt = (C − Brf )/(B − Arf )), m´ ame: Vˇetu o separaci do dvou fond˚ u: Kaˇzd´e eficientn´ı portfolio (tj. leˇz´ıc´ı na EH) sest´ av´ a s urˇcit´eho mnoˇzstv´ı b.a. a urˇcit´e v´ ahy w t . m t D˚ usledek: w ¯ = (c, dw ) pro nˇejak´ a c, d ≥ 0 viz ˇ ep´an] [Dupaˇcov´ a et al.(2002)Dupaˇcov´ a, Hurt, and Stˇ
CAPM
Na ˇcem z´ avis´ı pr´emie za riziko? Po u ´prav´ ach dostaneme ρt Er − rf′ · 1 = 2 (µt − rf ) | {z } σt riz pr´ emie
kde σt2 = D(w t · r ) = ′
µt − rf , B − Arf
ρt = cov(r − rf′ · 1, w t · r ) =
Er − rf′ · 1 B − Arf
Dodatky
◮
Exisutje CAPM pro pˇr´ıpad pouze rizikov´ych aktiv.
Dodatky
◮
Exisutje CAPM pro pˇr´ıpad pouze rizikov´ych aktiv.
◮
+ dalˇs´ı modifikace.
Dodatky
◮
Exisutje CAPM pro pˇr´ıpad pouze rizikov´ych aktiv.
◮
+ dalˇs´ı modifikace.
◮
M´ısto v´ynos˚ u w t se bere akciov´y index.
Dodatky
◮
Exisutje CAPM pro pˇr´ıpad pouze rizikov´ych aktiv.
◮
+ dalˇs´ı modifikace.
◮
M´ısto v´ynos˚ u w t se bere akciov´y index.
◮
Za rf se obyˇcjenˇe berou st´ atn´ı pokladniˇcn´ı pouk´ azky
Dodatky
◮
Exisutje CAPM pro pˇr´ıpad pouze rizikov´ych aktiv.
◮
+ dalˇs´ı modifikace.
◮
M´ısto v´ynos˚ u w t se bere akciov´y index.
◮
Za rf se obyˇcjenˇe berou st´ atn´ı pokladniˇcn´ı pouk´ azky
◮
Koeficienty βi se odhaduj´ı pomoc´ı regrese.
Test CAPM Z pˇredchoz´ıho m´ ame Er = β(µt − rf ) + 1′ · rf ,
β ∈ RN
neboli r = β(rt − rf ) + 1′ · rf + ǫ, kde rt je v´ynos wt
β ∈ RN ,
Eǫ = 0,
Test CAPM Z pˇredchoz´ıho m´ ame Er = β(µt − rf ) + 1′ · rf ,
β ∈ RN
neboli r = β(rt − rf ) + 1′ · rf + ǫ,
β ∈ RN ,
Eǫ = 0,
kde rt je v´ynos wt Oznaˇcme rfτ , r τ , rtτ , ǫτ - hodnoty pˇr´ısluˇsn´ych veliˇcin v ˇcase τ , 1 ≤ τ ≤ T.
Jsou-li ǫ1 , ǫ2 , . . . nez´ avisl´e (nebo plat´ı-li jin´ a podobn´ a hypot´eza), pak jsou historick´e pr˚ umˇery v´ynos˚ u jsou konzistentn´ımi odhady stˇredn´ıch hodnot.
Test CAPM Z pˇredchoz´ıho m´ ame Er = β(µt − rf ) + 1′ · rf ,
β ∈ RN
neboli r = β(rt − rf ) + 1′ · rf + ǫ,
β ∈ RN ,
Eǫ = 0,
kde rt je v´ynos wt Oznaˇcme rfτ , r τ , rtτ , ǫτ - hodnoty pˇr´ısluˇsn´ych veliˇcin v ˇcase τ , 1 ≤ τ ≤ T.
Jsou-li ǫ1 , ǫ2 , . . . nez´ avisl´e (nebo plat´ı-li jin´ a podobn´ a hypot´eza), pak jsou historick´e pr˚ umˇery v´ynos˚ u jsou konzistentn´ımi odhady stˇredn´ıch hodnot. Test m´a dva kroky 1. Odhad β 2. Zjiˇstˇen´ı, zda β vyhovuj´ı CAPM
Pˇresnˇeji Testujeme platnost modelu ri = β(rt − rf ) + rf + ǫi ,
1≤i ≤N
Pˇresnˇeji Testujeme platnost modelu ri = β(rt − rf ) + rf + ǫi ,
1≤i ≤N
1. Pro kaˇzd´e 1 ≤ i ≤ N z rovnic riτ − rt = αi + βi (rtτ − rfτ ) + rfτ + ǫτi ,
1≤τ ≤T
odhadneme αi , βi (za rt vezmeme hodnotu burzovn´ıho indexu, za rf SPP nebo tˇreba nˇejak´y u ´rokov´y index). Pokud nˇekter´e αi vyjde v´yznamnˇe nenulov´e, svˇedˇc´ı to proti modelu.
Pˇresnˇeji Testujeme platnost modelu ri = β(rt − rf ) + rf + ǫi ,
1≤i ≤N
1. Pro kaˇzd´e 1 ≤ i ≤ N z rovnic riτ − rt = αi + βi (rtτ − rfτ ) + rfτ + ǫτi ,
1≤τ ≤T
odhadneme αi , βi (za rt vezmeme hodnotu burzovn´ıho indexu, za rf SPP nebo tˇreba nˇejak´y u ´rokov´y index). Pokud nˇekter´e αi vyjde v´yznamnˇe nenulov´e, svˇedˇc´ı to proti modelu. 2. Z rovnic
¯ri = ψ0 + ψ1 βˆi + υi ,
1 ≤ i ≤ N,
kde βˆi je odhad βi z prvn´ıho kroku, odhadneme ψ0 , ψ1 a sledujeme, . . zda ψ0 = ¯rf , ψ1 = ¯rt − ¯rf , kde x¯ znamen´ a ˇcasov´y pr˚ umˇer x.
Ekonometrick´e pozn´amky
Ekonometrick´e pozn´amky
Ad 1. Jak odhadovat β? Standardn´ı pˇredpoklad, ˇze cov ǫi , (rt , rf ), neplat´ı. Rovnice z kroku 1. vˇsak lze transformovat tak, ˇze se tento prob´em nevyskytne [Barucci(2003)]
Ekonometrick´e pozn´amky
Ad 1. Jak odhadovat β? Standardn´ı pˇredpoklad, ˇze cov ǫi , (rt , rf ), neplat´ı. Rovnice z kroku 1. vˇsak lze transformovat tak, ˇze se tento prob´em nevyskytne [Barucci(2003)] Ad 2. Sp´ıˇse heuristika (bereme zde odhady parametr˚ u m´ısto jejich skuteˇcn´ych hodnot).
Zad´an´ı semestr´aln´ı pr´ace
Odhadnˇete βi u nˇekter´e akcie z trhu SPAD (kaˇzd´y student jin´e). Pro odhad pouˇzijte alespoˇ n 100 pozorov´ an´ı. Za bezrizikov´y v´ynos vezmˇete pˇr´ısluˇsnou hodnotu indexu PRIBOR, za trˇzn´ı (tangenci´ aln´ı) portfolio vezmˇete index PX50. Vyhodnot’te v´ysledky regrese (R 2 , F -statistiku a obˇe t-statistiky) a jejich implikace pro platnost modelu CAPM. V´ysledky zaˇslete alespoˇ n t´yden pˇred term´ınem zkouˇsky na adresu
[email protected].
