Optikai alapfogalmak A fény tulajdonságai A fény elektromágneses rezgés. Kettős, hullám-, illetve részecsketermészete van, ezért bizonyos jelenségeket hullámtani, másokat pedig kvantummechanikai tárgyalással lehet leírni. A fény hullámhossza:
c v
ahol λ c v
a fény hullámhossza vákumban a fény terjedési sebessége vákuumban (közelítőleg: 3x10 8 m/s) a fény frekvenciája
A törésmutató és az Abbe-szám A sebesség vákumbanihoz képesti csökkenését egy viszonyszámmal, a törémutatóval fejezzük ki.
n
c v
Az üveg törésmutatója is változik a fény színe szerint. Ernst Abbe-ról Abbe-számnak nevezzük a következő összefüggést:
v
nd 1 nF nC
A nevezőben a spektrum kék, illetve vörös színeire vonatkozó törésmutatók különbsége, a számlálóban pedig egy közepes (pl. „e”, vagy „d”) színre vonatkozó törésmutató szerepel. Fermat-elv Két pont között a fénysugár azokon az utakon halad, amelyek megtételéhez a legrövidebb időre van szükség más útvonalakkal szemben. A geometriai távolság és a közeg törésmutatójának szorzatát – optikai úthossznak nevezzük. Vagyis a két pont között a fénysugár olyan utakon fog haladni, hogy azok mentén az optikai úthosszak összege egyenlő legyen.
1
Fénytörés két közeg határán A Snellius–Descartes-törvény
n sin n 'sin '
A totálreflexió
A totálreflexió A határszögnél nagyobb beesési szöggel érkező fénysugarak nem tudnak kilépni a közegből, totálreflexiót szenvednek.
A geometriai optika alaptörvényei 1. A fény egyenes vonalban terjed. Ez természetesen homogén, izotróp közegben érvényes. 2. Különböző közegek határain a fénysugár megtörve folytatja útját. A fénytörést a Snellius– Descartes-törvény írja le. 3. Különböző közegek határán a fény egy része visszaverődik. Ezt a tükör-törvény írja le, miszerint a beeső, a visszavert fénysugár és a beesési merőleges egy síkban fekszik, valamint a beesési és visszaverődési szög egyenlő. A szögeket a beesési merőlegestől mérjük, amely a fénysugár döféspontjában a felület normálisa. 2
4. A fénysugarak függetlenségének elve kimondja, hogy a tér egy pontján keresztül akárhány fénysugár haladhat egymás zavarása nélkül. E törvény nyilván nem érvényes pl. koherens lézerfények találkozása esetén, amelyek egymásra hatásakor interferencia jön létre. 5. A fénysugarak megfordíthatóságának elve szerint ha fény a tér egyik pontjából egy bizonyos útvonalon halad a tér egy másik pontjába, akkor a visszafelé indított fénysugár ugyanazon úton fog haladni.
Előjelszabályok (megállapodások) A sugármenet-rajzokat úgy vesszük fel, hogy a fénysugarak balról jobbra haladjanak. 1. Az optikai tengely mentén a gömbfelülettől balra eső távolságok negatívok, a jobbra esőek pozitívok. 2. Az optikai tengely feletti távolságok (pl. h) pozitívok, a tengely alattiak pedig negatívok. A távolságok előjelei olyanok, mintha egy felvett koordináta-rendszer origója az S pontban lenne. 3. A fénysugarak optikai tengellyel bezárt szögei (β, β’) akkor pozitívok, ha az optikai tengelyt a fénysugárba az óramutató járásával ellentétes irányban lehet 90°-nál kisebb szöggel beforgatni. Ellenkező esetben a szögek negatívok. Eszerint az Ϭ’ ábrán: s és β’ előjele negatív, h, s’, és Ϭ -é pedig pozitív. 1. A felület döféspontjában a fénysugarak beesési (α), illetve törési (α’) szögei akkor pozitívok, ha a beesési merőlegest a fénysugárba az óramutató járásával ellenkező irányba lehet 90°-nál kisebb szöggel beforgatni. Ellenkező esetben a szögek negatívok. Eszerint és ' pozitív. 2. A gömbfelületek görbületi sugarai akkor pozitívok, ha a felület balról nézve konvex, és akkor negatívok, ha balról nézve konkáv. Eszerint r pozitív. 6. A fókusztávolság előjele pozitív gyűjtő-, negatív pedig szórólencse esetében.
3
Egyetlen gömbfelület képalkotása
s'
n' n n ' n s r
Ha a gömbfelületre párhuzamos fénysugarak érkeznek (a tárgy a végtelenben van), akkor a fénysugarak a képoldalon a fókuszpontban találkoznak. s és s ' f ' helyettesítéssel:
n ' n ' n f' r Ezt a mennyiséget törőértéknek nevezzük, és dioptriában adjuk meg:
n ' n ' n f' r
Kardinális elemek: fősíkok, főpontok, csomópontok A fősíkok az optikai rendszerbe a tengellyel párhuzamosan belépő fénysugarak és a rendszert elhagyó megfelelő fénysugarak meghosszabbításainak metszéspontjai által kifeszített felületek. (1.9. ábra.) A főpontok a fősíkoknak és az optikai tengelynek a döféspontjai ( H , H ' ). Minden optikai rendszernek két fősíkja (és főpontja) van: tárgyoldali és képoldali fősíkok (főpontok).
4
A fősíkok és a főpontok szerkesztése A fősíktól mérjük a fókusztávolságokat, a tárgytávolságot, illetve a képtávolságot.
A csomópontok Egy optikai rendszer egyik csomópontjába (N) irányított fénysugár a rendszert önmagával párhuzamosan hagyja el, úgy, mint ha a másik csomópontból (N’) indult volna (1.10. ábra).
A csomópontok származtatása
Ha az optikai rendszer tárgy-, és képtere azonos törésmutatójú (pl. levegő), akkor a csomópontok és a főpontok egybeesnek.
A Newton-formula Mérjük a tárgy illetve a kép távolságát a fókuszpontoktól (z illetve z’). A nagyítás (1.21) felhasználásával Newton-formula:
zz ' ff '
a Newton-formula segítségével írhatók az alábbiak: 5
f' f 1 s' s
Vázlat a Newton-formulához Amennyiben a tárgy- és képtér is levegő (vagy azonos közeg) akkor f ' f és így
1 1 1 s' s f
Vázlat a vékonylencse számításhoz
6
A vékony lencse egyenlete:
1 s2'
1 1 1 n 1 s1 r1 r2
a vékony lencse fókuszképlete:
1 1 n 1 f r1 r2 1
'
Nagyítások Lineáris nagyítás ( )
y' y
A lineáris nagyítás számítása Kifejezhető még a Newton-formula segítségével:
f z' f f ' s ' z f ' f s f'
Szögnagyítás ( )
7
A szögnagyítás számítása
tg' tg
h tg ' s ' s h s' tg s
Számítsuk ki a lineáris és a szögnagyítás szorzatát:
ha
f s' f' s
f f'
akkor
s' s
f f' 8
ha f f '
akkor
1
és
1
Longitudinális nagyítás
dz dz '
f' 2 f
Ha f = f’ akkor: 2 a lineáris és a szögnagyítás hányadosa
Vékony lencsék eredője Két elemi vékony lencsét egymás mellé helyezve, dioptriáik, vagyis törőértékeik összeadódnak:
1 2 mivel azonos közegekben
ezért
1 f
1 1 1 f f1 f 2
f-re kifejezve
9
f
f1 f 2 f1 f 2
„vastag” lencsék eredője
f'
f1' f 2' f1' f 2 d
illetve levegőben lévő lencsék összerakásakor:
1 1 1 d f f1 f 2 f1 f 2 Az (1.45.) összefüggés nevezőjében lévő kifejezést jelöljük -val. Ezt nevezzük optikai tubushossznak.
f1' f 2 d
f'
f1' f 2'
RAJZOT ELKÉSZÍTENI! 10
f f f 1 2 p
f1'd
f1' f 2' f '
p'
f 2' d
Vastag lencse fókusza és fősíkjainak helye
1 1 n 1 d 1 n 1 f n r1r2 r1 r2
Vázlat a vastag lencse fősíkjainak számításához
11
Több felületből álló lencserendszerek
Eredő fókusztávolság:
f
n1 s1' s2' s3' ...sk' nk' s2 s3 ...sk
n1 s1' s2' s3' ...sk' nk' s1s2 s3 ...sk
Eredő lineáris nagyítás:
ahol k
a gömbfelületek száma a tárgytér törésmutatója a képtér törésmutatója
Kepler-távcső A rendszer szögnagyítása
f tg ' h f1 ' 1' tg f 2 h f2
12
A Kepler-távcső
negatív előjele a fordított állású képet jelzi
Galilei-távcső (színházi vagy terresztikus távcső)
A Galilei-távcső.
A szögnagyítás (1.21. ábra)
f1 tg ' h f1 0 tg f 2' h f 2'
13
A Galilei távcső egyenes állású képet alkot.
Optikai átviteli függvények Optikai rendszereknél 2 v . A v a térfrekvencia, vagyis a milliméterenkénti periódusok száma.
OTF v MTF v e
iPTF v
Az OTF az MTF és a PTF jelölést a nemzetközi irodalom miatt tartjuk meg (optical transfer function, modulation transfer function, illetve phases transfer function), utóbbit szokás még egyszerűen v vel jelölni. Definicíószerűen MTF(0) = 1 vagyis nulla térfrekvencián a modulációs átviteli függvény értéke egységnyi, míg PTF(0) = 0, vagyis a fázisátviteli függvényérték ugyanott zérus.
A modulációs átviteli függvény és a fázisátviteli függvény
14
Aberrációmentes optikai rendszer átviteli függvénye
vhatár
1 1, 22
f D
15
