c B. Patzák 2012, verze 01

´ ´ ıch problem ´ u˚ Uvod do nelinearn´

c ´ ([email protected]), 2012, verze 01

B. Patzak

´ ıho chovan´ ´ ı Pˇr´ıklady nelinearn´ I

´ veden´ı tepla, kde vlastnosti materialu ´ (koeficient Problem ´ ı na aktualn´ ´ ı teploteˇ veden´ı tepla) zavis´ dT (x) d ¯ λ(x, T ) + Q(x) =0 dx dx

I

´ veden´ı tepla, radiace jako okrajova´ podm´ınka: Problem 4 ¯ (x) = ε(x)σ(x) T 4 (x) − T∞ q

I

´ Ulohy mechaniky, kde uvaˇzujeme I I

I

´ ı chovan´ ´ ı materialu ´ Nelinearn´ ´ ı chovan´ ´ ı - velke´ deformace, Geometricky nelinearn´ ´ na deformovane´ konstukci, zat´ızˇ en´ı podm´ınky rovnovahy ˇ ıc´ı smer ˇ s deformac´ı konstrukce (followers load) men´ ´ Kontaktn´ı problemy


B. Patzak

´ ı mechanika Nelinearn´ F int (r)r = F ext (r) I I

´ ı problem ´ neum´ıme ˇreˇsit pˇr´ımo ⇒ iteraˇcn´ı ˇreˇsen´ı Nelinearn´ ´ ı oblasti neplat´ı princip superpozice V nelinearn´ I I I

F2

ˇ zovac´ı stav vyˇzaduje novou analýzu Kaˇzdý zateˇ Pro urˇcitou mnoˇzinu zat´ızˇ en´ı muˇ ˚ ze existovat v´ıce ˇreˇsen´ı ˇ zovac´ı stav tvoˇren v´ıce zat´ızˇ en´ımi, zaleˇ ´ z´ı na Pokud je zateˇ poˇrad´ı jejich aplikace

F1=2*F2

σ

F1, F2

σ

F2, F1

F2/A F1/A F1/A

A

1111 0000 0000 1111


B. Patzak

ε

ε F2/A

ˇ zovac´ı drahy ´ Pojem zateˇ

Reprezentativni zatizeni

F zatezovaci (rovnovazna) draha

referencni konfigurace

Representativni posun


B. Patzak

w

ˇ zovac´ı draha, ´ ´ Zateˇ zakladn´ ı typy FP

FP

LP

FP

(a)

(b)

(c)

ˇ zovac´ı draze ´ Klasifikace duleˇ ˚ zitých bodu˚ na zateˇ LP

LP

BP TP

FP

FP FP

TP LP LP

Legenda: LP: Limitn´ı bod (Limit Point), FP: Poruˇsen´ı (Failure Point), BP: Bifurkaˇcn´ı bod (Bifurcation Point), TP: bod zvratu (Turning Point).


B. Patzak

Kriticke´ body

´ ı rozklad matice tuhosti Spekraln´ K y i = λi y i , i = 1, · · · , N ´ ´ a, ´ symetricka´ Pokud budeme pˇredpokladat, zˇ e K je realn matice, potom I vˇ ´ a´ sechna vlastn´ı cˇ ´ısla jsou realn I

´ e, ´ dale ´ budeme vˇsechny vlastn´ı tvary y i jsou realn ´ ´ y Ti y j = δij . pˇredpokladat, zˇ e jsou ortogonalizovane:


B. Patzak

I I

´ ı bod: K je nesingularn´ ´ ı Regularn´ ´ ı, existuje jedno (izolovaný Kritický bod: K je singularn´ ´ kritický bod) nebo v´ıce (nasobn´ y kritický bod) nulových vlastn´ıch cˇ ´ısel.

Determinant matice tuhosti K je nulový v kritických bodech


B. Patzak

Klasifikace izolovaných kritických bodu˚

I

I

ˇ zovac´ı drada ´ ˇ ´ ma´ Limitn´ı bod: zateˇ bez vetven´ ı, teˇcna drahy nulovou derivaci ˇ zovac´ıch drah, Bifurkaˇcn´ı bod: dveˇ a v´ıce zateˇ nejednoznaˇcna´ derivace.

Pokud oznaˇc´ıme vlastn´ı tvary pˇr´ısluˇsne´ nulovým vlastn´ım cˇ ´ıslum y ˚ jako y c (null eigenvectors, K y c = 0 a q c je pˇr´ırustkov´ ˚ vektor zat´ızˇ en´ı, pak: I

y Tc q c 6= 0: limitn´ı bod

I

y Tc q c = 0: bifurkaˇcn´ı bod


B. Patzak

Geometricka´ nelinearita Kinematika velkých posunut´ı I

ˇ y Eukleidovský prostor, kde Uvaˇzujme trojrozmern´ ´ cn´ı konfigurace telesa ˇ ´ poˇcateˇ Ω je popsana mnoˇzinou ´ bodu, jejich polohovým ˚ jejichˇz poloha je charakterizovana vektorem x = xi e i ; x = {x1 , x2 , x3 }T

I

´ ame, ´ O oblasti Ω pˇredpoklad zˇ e je ohraniˇcena´ (Γ = ∂Ω), s ˇ s´ı normalou ´ ˇ na cˇ ast, ´ kde jsou vnejˇ n. Hranici Γ lze rozdelit ´ kinematicke´ okrajove´ podm´ınky Γu a cˇ ast ´ Γp , pˇredepsany ˇ s´ı zat´ızˇ en´ı; kde je pˇredepsane´ vnejˇ Γu ∩ Γp = 0, Γu ∪ Γp = Γ; Γu 6= 0. ˇ ´ Deformovana´ konfigurace telesa v cˇ ase t je popsana polohovým vektorem bodu˚ deformovane´ konfigurace

I

x ϕ = ϕt (x) I

´ cn´ı a deformovane´ konfiguraci Polohove´ vektory v poˇcateˇ ´ rit jako muˇ ˚ zeme vyjadˇ x = x e ; x ϕ = x ϕeϕ


B. Patzak

d(x+dx) dx ϕ

dx

d(x)

ϕ

Ω

Ω x

x

Γu e i= e

ϕ i


B. Patzak

ϕ

Deformaˇcn´ı gradient I

ˇ Pro kaˇzdý bod telesa muˇ ˚ zeme definovat vektor posunut´ı d(x) = x ϕ − x

I

Pro definici deformace, mus´ıme popsat nejen posun jednoho bodu, ale take´ posun v jeho okol´ı. Uvaˇzujme ´ em ´ od referenˇcn´ıho bodu x o posun bodu vzdalen ´ ´ vzdalenost dx, tedy d(x + dx). Muˇ ˚ zeme pak psat x ϕ + dx ϕ = x + dx + d(x + dx) ⇒ dx ϕ = dx + d(x + dx) − d(x)

I

Posledn´ı výraz s vyuˇzit´ım rozvoje do Taylorovy ˇrady d(x + dx) di (x + dx)

I

= d(x) + ∇d(x)dx + o(kdxk) ⇔ ∂di (x)dxj + o(kdxk) = di (x) + ∂xj

Kombinac´ı pˇredchoz´ıch výrazu˚ obdrˇz´ıme výraz pro ´ cn´ı konfiguraci do dx ϕ transformaci dx v poˇcateˇ ∂xi ∂di ∂ϕi dx ϕ = (I + ∇d) dx ⇒ dx ϕ = F dx; Fij = + = | {z } ∂xj ∂xj ∂xj |{z} F δij


B. Patzak

ˇ Zmena objemu

dV ϕ = (x ϕ × dy ϕ ) · dz ϕ ; x ϕ = ϕ(x) ⇒ dx ϕ = ∇ϕdx = (F dx × Fdy) · F dz = det(F ) (dx × dy) · dz {z } | {z } | J

dV


B. Patzak

´ ı dekompozice Polarn´ I

ˇ Vyˇsetˇreme, jak se deformaˇcn´ı gradient chova´ pˇri rotaci telesa ´ ´ specialn´ ´ ım pˇr´ıpadeˇ F = R jako tuheho celku. V takovem ˇ zachovat normu transformovaneho ´ deformaˇcn´ı gradient by mel vektoru, kdx ϕ k = kdxk dx · dx = dx ϕ · dx ϕ = Rdx · Rdx = dx · R T Rdx Odtud plyne R T R = I ⇔ R −1 = R T .

I

´ ıho objemu lze vyjadˇ ´ rit jako kombinaci ryz´ı Deformaci elementarn´ ˇ deformace - protaˇzen´ı v hlavn´ıch smerech ve výchoz´ı ˇ konfiguraci (reprezentovane´ symetrickým, pozitivne=definitn´ ım ´ tenzorem U, tzv. Right Strech tensor), nasledovan e´ rotac´ı ´ do finaln´ ´ ı polohy (ortogonaln´ ´ ı tenzor R): materialu F = RU; R T = R −1 ; U T = U

I

ˇ finaln´ ´ ı konfigurace lze dosahnout ´ Alternativne, inverzn´ım poˇrad´ım transformac´ı: rotac´ı ve výchoz´ı konfiguraci, ´ nasledovanou ryz´ı deformac´ı V (Left strech tensor): F = VR


B. Patzak

V R

Initial configuration

F

Deformed configuration

ϕ

x ,x 3 3

R U ϕ

x ,x 2 ϕ

2

x ,x 1 1


B. Patzak

M´ıry deformace I

Muˇ ˚ zeme definovat jine´ m´ıry deformace neˇz U a V , pro ˇ ı nejsou tˇreba rotace, jen deformace. Z výpoˇcet napet´ duvod u˚ výpoˇcetn´ı efektivity je vhodne´ pouˇz´ıt jine´ m´ıry ˚ deformace, ktere´ mohou popsat deformaci bez nutnosti ´ polarn´ ´ ı dekompozici. provest

I

Jednou z moˇznost´ı je Cauchy-Green right deformation ´ cn´ı konfiguraci, podobneˇ jako U): tensor (vztaˇzený k poˇcateˇ C = F T F = U T R T RU = U 2

I

Obdobneˇ levý Cauchy-Green deformaˇcn´ı tenzor (vztaˇzený k deformovane´ konfiguraci): B = F F T = V RR T V T = V 2


B. Patzak

M´ıry deformace I

Green-Lagrangeuv ˚ tenzor deformace: E

= = =

1 1 T (F F − I) = (C − I) 2 2 1 1 (∇d + ∇d T ) + ∇d T ∇d 2 2 ∂dj 1 ∂di ∂dk ∂dk ( + + )e i × e j 2 ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj

Pro male´ pˇr´ırustky deformace plat´ı ˚ 1 lim E = (∇u + ∇u T ) = ε 2 ∇u →0


B. Patzak

Green-Lagrangeuv ˚ tenzor v 1D I I

I

x = {x, 0, 0}T , d(x) = x ϕ − x = {d(x), 0, 0}T 

 µ 0 0 dx ϕ = F dx; F = I + ∇d =  0 1 0  , 0 0 1

kde µ je protaˇzen´ı (stretch), pro homegenn´ı deformaci je µ = l/L; (0 < µ(x) < ∞). ´ Pro Green-Lagrangeuv ˚ tenzor pak muˇ ˚ zeme psat: l 2 − L2 1 1 T L2 E = (F F − I) =  0 2 2 0 


B. Patzak

0 0 0

 0  0  0

Dalˇs´ı m´ıry deformace (v 1D) I

I

I

l −L L N ´ ı napet´ ˇ ı σE = Energeticky pˇridruˇzene´ je nominaln´ A Pootoˇcena´ logaritmicka´ deformace R L dl l 1 εLN = l = ln = ln(1 + εG ) ≈ εe − ε2E L L 2 N ˇ ı σLN = a pˇridruˇzene´ skuteˇcne´ (Cauchyho) napet´ a Green-Lagrangeova deformace: 1 l 2 − L2 1 εG = = ((1 + εe )2 − 1) = εE + ε2E 2 2 2 2L ´ druhe´ Piolovo-Kirchhhoffovo napet´ ˇı a pˇridruˇzene, a L L σLN = (σ ) = σE A l l Pootoˇcena´ inˇzenýrska´ deformace:εE =


B. Patzak

ˇ Pˇr´ıklad: vzperadlo F

2F

w

l

h H 2D

β

L

H

D

´ (s vyuˇzit´ım symetrie): Svisla´ podm´ınka rovnovahy F = N sin β = N

H +w h H +w =N ≈N l l L

ˇ l 2 − (H + w)2 = L2 − H 2 plyne Z Pythagorovy vety 2 2 l − L = 2Hw + w 2 = (l − L)(l + L). Pro deformaci pak plat´ı: ε=

l −L 2Hw + w 2 2Hw + w 2 Hw 1 w2 = ≈ = + L L(l + L) 2 L2 2L2 L2


B. Patzak

´ Podm´ınky rovnovahy ´ ˇı V deformovane´ konfiguraci nechame pusobit skuteˇcna´ napet´ ˚ ´ pak maj´ı tvar: (true Cauchy stress). Podm´ınky rovnovahy  ∂σijϕ ϕ   ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ div σ + b = ϕ e i + bi e i = 0 in Ωϕ (1) ∂xj   ϕ,T ϕ σ =σ Nevýhodou je, zˇ e deformovana´ konfigurace (a souˇradnice x ϕ ) ´ ´ vyˇreˇsen, deformovana´ jsou znamy aˇz kdyˇz je problem ´ men´ ˇ ı.. Proto se snaˇz´ıme vyjadˇ ´ rit konfigurace se nav´ıc stale ´ ve znam ´ e´ (poˇcateˇ ´ cn´ı) konfiguraci. podm´ınky rovnovahy ´ r´ıme extern´ı zat´ızˇ en´ı: Nejprve vyjadˇ b ϕ dV ϕ = bdV ⇒ bϕ J = b (2) dV ϕ = JdV


B. Patzak

ˇ ı pusob´ Pro napet´ ıc´ı na jednotkove´ ploˇsce deformovane´ ˚ konfigurace: σ ϕ nϕ dAϕ = σ ϕ det[F ]F −T ndA ⇒ P = Jσ ϕ F −T = PndA, ˇ ı a vyuˇzili jsme kde P je prvn´ı Piola-Kirchhoffuv ˚ tenzor napet´ fakt, zˇ e dAϕ nϕ = dx ϕ × dy ϕ = (F dx) × (F dy ϕ ) = (det[F ]F −T )(dx × dy) = cof [F ]dA n. Tenzor P take´ nahrad´ı ˇ ı v podm´ınkach ´ rovnovahy: ´ skuteˇcný Cauchyho tenzor napet´ J div ϕ σ ϕ = J σ ϕ ∇ϕ = J σ ϕ (F −T ∇) = (J σ ϕ F −T )∇ = P∇ = div P


B. Patzak

´ zapsane´ v poˇcateˇ ´ cn´ı konfiguraci muˇ Podm´ınky rovnovahy ˚ zeme tedy zapsat ve tvaru: J div ϕ σ ϕ + J b ϕ = 0 ⇒ div P + b = 0 ´ potom maj´ı tvar: Momentove´ podm´ınky rovnovahy J σ ϕ,T = J σ ϕ ⇒ F P T = PF T Prvn´ı Piola-Kirchhoffuv ˚ tenzor je tedy nesymetrický.


B. Patzak

´ - PVP Slaba´ formulace podm´ınek rovnovahy V deformovane´ konfiguraci: Z Z Z ε ˆϕ · σ ϕ dv ϕ − w ϕ · b ϕ dv ϕ − Ωϕ

Ωϕ

Γϕ σ

ϕ

w ϕ · ¯t daϕ = 0,

´ ıch posunut´ı), kde w je vektor testovac´ıch funkc´ı (vektor virtualn´ ´ ıch deformac´ı, který je v souladu s ε ˆ je tenzor virtualn´ ´ ı posunut´ı jsou infinetizimalm´ ´ ı, pˇredpokladem, zˇ e virtualn´ ´ jako tenzor pro male´ deformace: definovan ! ϕ ∂wjϕ 1 ∂wi ϕ ϕ ϕ + eϕ ε ˆ (w ) = i × ej . 2 ∂xjϕ ∂xiϕ


B. Patzak

´ reme nyn´ı princip virtualn´ ´ ıch prac´ı vzhledem k poˇcateˇ ´ cn´ı Vyjadˇ konfiguraci: Z Z ε ˆϕ (w ε ) · σ(x ϕ )ϕ dv ϕ = ε ˆϕ (w ε ) · J(x)σ ϕ (ϕ(x)) dV ϕ Ω ZΩ = ε ˆϕ (w ε ) · τ (x) dV Ω

´ reme nyn´ı tenzor virtualn´ ´ ı deformace jako funkci Vyjadˇ ´ cn´ı konfigurace: souˇrednic poˇcateˇ ε ˆϕ (w ε ) = = = =

ϕ ∂wjϕ ϕ 1 ∂wi ( ϕ + )e × e ϕ j 2 ∂xj ∂xiϕ i

1 ϕ (w × ∇ϕ + ∇ϕ × w ϕ ) 2 1 (w × F −T ∇ + F −T ∇ × w ) 2 1 (∇w F −1 + F −T ∇w ) 2


B. Patzak

Z

ε ˆϕ (w ε ) · σ(x ϕ )ϕ dv ϕ =

Ωϕ

Z

Z

ε ˆϕ (w ε ) · τ (x) dV

Ω

1 = (∇w F −1 + F −T ∇w ) · τ dV 2 ZΩ 1 −T T = (F F ∇w · τ F −T + ∇w T F F −1 · F −1 τ ) dV Ω 2 Z 1 T = (F ∇w · F −1 τ F −T + ∇w T F · F −1 τ F −T ) dV Ω 2 Z 1 T = (F ∇w + ∇w T F ) · F −1 τ F −T dV 2 ZΩ = Γ · S dV , Ω


B. Patzak

kde Γ je derivace Green-Lagrangeova tenzoru deformace ve ˇ virtualn´ ´ ıch posunu, smeru ˚ odpov´ıdaj´ıc´ı variaci tenzoru 1 d 1 T [ (F F − I)]|ε=0 = (F T ∇w + ∇w T F ) a deformace E: Γ = dε 2 2 S = F −1 τ F −T = JF −1 σF −T je tzv. druhý Piola-Kirchhofuv ˚ ˇı tenzor napet´ ´ rene´ prostˇrednictv´ım Green-Lagrangeova A tedy PVP vyjadˇ ´ ˇ ı: tenzoru deformace a druheho Piola-Kirchhoffova napet´ Z Z Z Γ · S dV − w · b dV − w · ¯t dA = 0 Ω

Ω


B. Patzak

Γσ

Pˇr´ıklad: taˇzený-tlaˇcený prvek ve 2D x ϕ (ξ) = ϕ(x) = x(ξ) + u(ξ) Definujme vektor souˇradnic uzlu˚ X = {x1 , x2 , z1 , z2 }T a vektor uzlových posunu˚ r = {u1 , u2 , w1 , w2 }T . Odtud x ϕ (x) = ϕ1 (x) = N1 (x)(x1 + u1 ) + N2 (x)(x2 + u2 ) y ϕ (x) = ϕ2 (x) = N1 (x)(y1 + v1 ) + N2 (x)(y2 + v2 ) a pro jejich derivace: dϕ1 dx dϕ2 dx

dN1 (x) dN2 (x) (x1 + u1 ) + (x2 + u2 ) dx dx dN1 (x) dN2 (x) = (y1 + v1 ) + (y2 + v2 ) | dx {z } | dx {z } =

−1/L


B. Patzak

1/L

Nenulova´ sloˇzka tenzoru deformace E = (1/2)(F T F − I) (F = dϕ/dx) je tedy E 11

= = =

=

dϕ2 2 dϕ1 2 ) +( ) −1 2 dx dx 1 dN2 dN1 dN2 dN1 2 2 (x1 + u1 ) + (x2 + u2 )) + ( (y1 + v1 ) + (y2 + v2 )) − 1 ( 2 dx dx dx dx 1 h 2 L + (2(x1 − x2 )u1 + 2(x2 − x1 )u2 − 2(y1 − y2 )v1 + 2(y2 − y1 )v2 ) + 2L2 i 2 2 2 2 2 u1 + u2 − 2u1 u2 − 2v1 v2 + v1 + v2 − L 1

1 L2

(

T

X Hr +

1 2L2

T

r Hr

kde    x1  u1         y1 v1 X = r= x u    2  2      y2 v2

   



1 0  0 1 H=  −1 0    0 −1


B. Patzak

 −1 0 0 −1   1 0  0 1

´ Pak muˇ ˚ zeme psat E 11 =

S 11 δE 11

1 T 1 1 X Hr + 2 r T Hr = B 1 r + r T Ar 2 2 |L {z } |2L {z }

(L) E 11 E (NL) 11 1 T 1 1 = E( 2 X Hr + 2 r T Hr) = E(B 1 r + r T Ar ) 2 L 2L 1 T T T = (X + r )Hδr = (B 1 + r A)δr L2


B. Patzak

T int

δr f

Z δE 11 S 11 dV = δr

=

T

Z

L

1 T H (X + r )S 11 dV 2 L | {z } const.

1 = δr T (H T 2 (X + r)S 11 ) L

Z

A dV = δr T (H T (X + r)S 11 ) L {z } | | {z } int AL f

Linearizac´ı vektoru vnitˇrn´ıch sil f int ∂f int A A E1 T ∆r = H T S 11 + H T (X + r) (X + r T )H = K ∆r ∂r L L LL ´ kde muˇ ıc´ı cˇ leny: ˚ zeme identifikovat nasleduj´ E1 T A (X + r) (X + r T )H = (K 1 + K 2 (r)) L LL A AS 11 = H T ES 11 = H L L

K m = HT Kσ


B. Patzak

´ tvaru Linearizace PVP v pˇr´ırustkov em ˚ I

I

´ ´ Pˇredpokladejme, zˇ e zname deformovanou konfiguraci (f int (r), f ext ) ´ malou (diferencialn´ ´ ı) zmenu ˇ konfigurace Uvaˇzujme dale ext (∆r , ∆f ) 0 = δr T f int (r + ∆r) − (f ext + ∆f ext ) ≈ δr

T

f

int

∂f int ∆r − f ext − ∆f ext (r) + ∂r

!

´ Linearizovaný PVP na konci pˇr´ırustku tedy muˇ ˚ ˚ zeme psat (K m + K σ ) ∆r = ∆f ext + (f ext − f int (r))


B. Patzak

ˇ ˇ Cleny tvoˇr´ıc´ı teˇcnou matici tuhosti jsou tedy postupne: I linearn´ ´ ı matice tuhosti K1

=

=

EA 1 T H XXTH L L2 x12 x12 x12 y12 EA   y12 x12 y12 y12 3 L  x21 x12 x21 y12 y21 x12 y21 y12


B. Patzak

x12 x21 y12 x21 x21 x21 y21 x21

 x12 y21 y12 y21   x21 y21  y21 y21

I

´ cn´ı deformace matice poˇcateˇ EA T T K 2 (r ) = (H X r H + H T r X T H + H T r r T H ) L3 | {z } | {z } | {z } k 21 K 22 k T21 kde K 21 =

=

K 22 =

=

EA T T H Xr H L3  x12 u12 EA   y12 u12 3 L  x21 u12 y21 u12

x12 v12 y12 v12 x21 v12 y21 v12

x12 u21 y12 u21 x21 u21 y21 u21

 x12 v21 y12 v21   x21 v21  y21 v21

EA T T H rr H L3  u12 u12  EA  v12 u12 L3  u21 u12 v21 u12

u12 v12 v12 v12 u21 v12 v21 v12

u12 u21 v12 u21 u21 u21 v21 u21

 u12 v21 v12 v21   u21 v21  v21 v21


B. Patzak

I

´ cn´ıch napet´ ˇı matice poˇcateˇ Kσ =

=

A S11 H L 

 1 0 −1 0 S11 A  1 0 −1   0  1 0  L  −1 0 0 −1 0 1


B. Patzak

ˇ Pˇr´ıklad: vzperadlo

2F

H 2D Geometrie


B. Patzak

ˇ zovac´ı draha ´ Zateˇ (osa x: svislý posun ve vrcholu, osa y: s´ıla)

ˇ Pˇr´ıklad: vzperadlo

Pˇr´ıklad konvergence (osa x: poˇcet iterac´ı, osa y: chyba ˇreˇsen´ı)

´ cn´ı matic´ı tuhosti Konvergence s poˇcateˇ


B. Patzak

Konvergence s teˇcnou matic´ı tuhosti

Literatura: 1. Nonlinear Finite Element Methods (ASEN 6107) - Spring 2012, Department of Aerospace Engineering Sciences University of Colorado at Boulder, http://www.colorado.edu/engineering/cas/courses.d/NFEM.d/ 2. Adnan Ibrahimbegovic, Nonlinear Solid Mechanics (Theoretical Formulations and Finite Element Solution Methods, Springer, 2009. ˇ ˇ 3. A. Bittnar, J. Sejnoha, Numericke´ metody mechaniky 2, Vydavatelstv´ı CVUT, 1992.


B. Patzak

c B. Patzák 2012, verze 01

Recommend Documents