BUKU AJAR MATAKULIAH GEOMETRI TRANSFORMASI
TINJAUAN MATAKULIAH
A. Deskripsi Singkat Mata Kuliah Mata kuliah ini membahas tentang geometri dari sudut pandang grup transformasi, konsep-konsep grup sebagai unsur dari struktur aljabar diterapkan melalui operasi pada transformasi atas bangun geometri di bidang datar.
B. Manfaat dan Relevansi Mata Kuliah Setelah selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat menguasai dan memahami materi Geometri Transformasi sebagai salah satu bekal mengajar di SMP dan SMA/K dan sarana untuk meningkatkan kemampuan pemecahan masalah baik pada materi Geometri Transformasi sendiri, matakuliah lain, dan masalah-masalah lain. Matakuliah Geometri Transformasi ini merupakan bekal bagi mahasiswa untuk mempelajari matakuliah Struktur Aljabar, namun sebelum mahasiswa mempelajari Geomatri Transformasi mahasiswa harus menguasai matakuliah Matematika Dasar. C. Standar Kompetensi Mata Kuliah Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi Geomatri Transformasi. D. Urutan dan Kaitan Antar BAB Cakupan materi pada mata kuliah geometri transformasi adalah sebagai berikut: Fungsi Transformasi Refleksi Isometri Hasil Kali Transformasi Transformasi Balikan Setegah Putaran Dilatasi Translasi Rotasi Refleksi Geser E. Saran/Petunjuk Belajar Matakuliah Geometri Transformasi akan membehas berbagai materi yang saling terkait. Oleh sebabitu, pelajarilah materi dalam setiap babnya secara baik dan runtut sesuai yang dipaparkan pada buku ajar.
BAB VII SETENGAH PUTARAN A. PENDAHULUAN
Deskripsi Singkat Cakupan Bab Pada bab ini akan membahas jenis transformasi yang ke 2 yaitu, setengah putaran. Materi Setengan Putaran ini akan disajikan dengan dikaitkan pada materi pencerminan dan dilatasi. Akan ada 9 teorema yang akan dibahas pada bab ini, guna membentu mahasiswa mempermudah menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Setengan Putaran atau masalah Geometri transformasi secara umum.
Relevansi Ban Bab Setengan Putaran didasari dari materi pencerminan dan sebagai bekal mempelajari materi Dilatasi.
Kompetensi Dasar Bab Mahasiswa mampu mendefinisikan setengan putaran, mampu membuktikan 9 teorema di setengan putaran, dan mampu menyelsaikan masalah yang terkait dengan setengah putaran, pencerminan, dan dilatasi.
B. MATERI Setengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu setengah putaran mencerminkan setiap titik di bidang pada sebuah titik tertentu sehingga disebut juga pencerminan pada suatu titik.
Definisi Sebuah setengah putaran pada suatu titik 𝐴 adalah suatu padanan 𝑆𝐴 yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut : 1. Apabila 𝑃 ≠ 𝐴 maka 𝑆1 𝑃 = 𝑃′ sehingga 𝐴 titik tengah ruas garis 𝑃𝑃′. 2. 𝑆𝐴 = 𝐴 Setengah putaran adalah suatu transformasi Bukti: Akan dibuktikan 𝑆𝐴 Bijektif.
Untuk membuktikan 𝑆𝐴 Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu 𝑆𝐴 Surjektif dan Injektif. (1) Akan dibuktikan 𝑆𝐴 Surjektif Untuk menunjukkan 𝑆𝐴 Surjektif, akan ditunjukkan ∃𝑃′ ∈ 𝑉 ∋ 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′ Ambil sebarang 𝑃′ ∈ 𝑉 𝑃′ ∈ 𝑉 ∋ 𝑃′ = 𝑆𝐴 (𝑃) 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑃 = 𝐴, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴 𝐴 = 𝐴′ = 𝐴 Jadi, ∀ 𝑃′ ∈ 𝑉 ∃ 𝑃′ = 𝑃 = 𝑆𝐴 (𝑃) Jika 𝑃 ≠ 𝐴 maka A menjadi sumbu ruas garis ′, berarti 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′ Jadi, 𝑆𝐴 Surjektif (2) Akan dibuktikan 𝑆𝐴 Injektif Missal 𝐵1 ≠ 𝐵2 Kasus I 𝐵1 = 𝐵2 = 𝐴 Untuk 𝐵1 = 𝐴 maka 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝐵1 = 𝐵1 ′………………..1*) Untuk 𝐵2 = 𝐴 maka 𝑆𝐴 𝐵2 = 𝐵2 = 𝐵2 ′…………………2*) Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh 𝑆𝐴 𝐵1 ≠ 𝑆𝐴 𝐵2 Kasus II 𝐵1 ≠ 𝐵2 ≠ 𝐴 Ambil sebarang 𝐵1 , 𝐵2 ∈ 𝑉 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵1 ≠ 𝐵2 𝐵1 ≠ 𝐴, 𝐵2 ≠ 𝐴, 𝐵2 , 𝐵2 , 𝐴 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 Sehingga 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝐵1′ dan 𝑆𝐴 𝐵2 = 𝐵2 ′ Andaikan 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝑆𝐴 𝐵2 Karena 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝑆𝐴 𝐵2 Maka 𝐵1′ = 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝑆𝐴 𝐵2 = 𝐵2 ′ Sehingga diperoleh 𝐵1′ = 𝐵2 ′ dan ᒐ1 = 𝐵2 Menurut teorama, “Melalui dua titik hanya dapat dibuat satu garis” Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa 𝐵1 ≠ 𝐵2 Pengandaian 𝐵1 ≠ 𝐵2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴 𝐵1 = 𝑆𝐴 𝐵2 harus dibatalkan. Jadi, 𝑆𝐴 𝐵1 ≠ 𝑆𝐴 𝐵2 Jadi 𝑆𝐴 Injektif Dari (1) dan (2) maka diperoleh 𝑆𝐴 Surjektif dan 𝑆𝐴 Injektif Karena 𝑆𝐴 Surjektif dan 𝑆𝐴 Injektif, maka 𝑆𝐴 Bijektif
Karena 𝑆𝐴 Bijektif, maka 𝑆𝐴 adalah suatu transformasi. Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi.
Teorema 7.1 Andaikan 𝑨 sebuah titik,𝒈 dan 𝒉dua garis tegak lurus yang berpotongan di 𝑨.Maka 𝑺𝑨 = 𝑴𝒈 𝑴𝒉 . Bukti : Diketahui 𝐴 sebuah titik, 𝑔 dan ℎ dua garis tegak lurus yang berpotongan di 𝐴. a) Kasus I : 𝑃 ≠ 𝐴 Karena 𝑔 ⊥ ℎ maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan 𝑔 sebagai sumbu X dan ℎ sebagai sumbu Y. 𝐴 sebagai titik asal. Ambil titik 𝑃 ∈ 𝑉 Perhatikan Gambar 7.2
𝑃′ (−𝑥, 𝑦)
𝑔
P(x,y) 𝑋
𝐴 𝑃′ ′(−𝑥, −𝑦) ℎ
Ditunjukkan bahwa untuk setiap 𝑃 berlaku 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃 Andaikan 𝑃 𝑥, 𝑦 ≠ 𝐴 dan 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′′ 𝑥1 , 𝑦1 Karena 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′′ maka 𝐴 titik tengah 𝑃𝑃′ sehingga 0,0 =
𝑥1 + 𝑥 𝑦1 + 𝑦 , 2 2
Diperoleh 𝑥1 + 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥1 = −𝑥 dan 〱1 + 𝑦 = 0 ⟺ 𝑦1 = −𝑦 Artinya 〱𝐴 𝑃 = −𝑥, −𝑦 ………………………………………………(1) Komposisi pencerminan 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃 = 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃 = 𝑀𝑔 −𝑥, 𝑦
= (−𝑥, −𝑦) Artinya 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃 = (−𝑥, −𝑦) ……………………………………………(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh _𝐴 𝑃 = 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃 . Jadi, 𝑆𝐴 = 𝑀𝑔 𝑀ℎ b) Kasus II : 𝑃 = 𝐴 Menurut Definisi, 𝑆𝐴 (𝐴) = 𝐴 ……………………………………………(1*) 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝐴 = 𝑀𝑔 𝐴 = 𝐴
……………………………………………….(2*)
Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh 𝑆𝐴 𝐴 = 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝐴 . Jadi, 𝑆𝐴 = 𝑀𝑔 𝑀ℎ .
Teorema 7.2 Jika 𝒈 dan 𝒉 dua garis yang tegak lurus maka 𝑴𝒈 𝑴𝒉 = 𝑴𝒉 𝑴𝒈 Bukti a) Kasus I : 𝑃 ≠ 𝐴 Karena 𝑃 ≠ 𝐴, maka 𝑀𝑔 𝑀ℎ (𝑃) = 𝑆𝐴 (𝑃). 𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝑃 = 𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝑃
= 㜵ℎ 𝑥, −𝑦
= −𝐷, −𝑦 = 〰𝐴 (𝑃).
diperoleh𝑀𝑔 𝑀ℎ (𝑃) = 𝑆𝐴 (𝑃) = 𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝑃 Jadi, 𝑀𝑔 𝑀ℎ = 𝑀ℎ 𝑀𝑔 b) Kasus II : 𝑃 = 𝐴 Karena 𝑃 = 𝐴, maka 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝐴 = 𝑀𝑔 𝐴 = 𝐴 𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝐴 = 𝑀ℎ 𝐴 = 𝐴 Sehingga diperoleh 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝐴 = 𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝐴 . Jadi, 𝑀𝑔 𝑀ℎ = 𝑀ℎ 𝑀𝑔 .
Teorema 7.3 Jika 𝑺𝑨 setengah putaran, maka 𝑺−𝟏 𝑨 = 𝑺𝑨 . Bukti Andaikan 𝑔 dan ℎ dua garis yang tegak lurus maka 𝑀𝑔 𝑀ℎ = 𝑆𝐴 dengan 𝐴 titik potong antara 𝑔dan ℎ. (𝑀𝑔 𝑀ℎ )−1 = 𝑀−1 ℎ 𝑀 −1𝑔 = 𝑆 −1𝐴 . Karena 𝑀−1 ℎ = 𝑀ℎ dan 𝑀−1𝑔 = 𝑀𝑔 maka 𝑀ℎ 𝑀𝑔 = 𝑆 −1𝐴 .
Karena 𝑔 ⊥ ℎ, maka menurut teorema 7.2, 𝑀𝑔 𝑀ℎ = 𝑀ℎ 𝑀𝑔 . Sedangkan menurut teorema 7.1, 𝑆𝐴 = て𝑔 𝑀ℎ . Sehingga diperoleh 𝑆 −1𝐴 = 𝑀ℎ 𝑀𝑔 = 𝑀𝑔 𝑀ℎ = 𝑆𝐴 . Jadi, 𝑆 −1𝐴 = 𝑆𝐴 . Teorema 7.4 Jika 𝑨 = (𝒂, 𝒃) dan 𝑷 = (𝒙, 𝒚)maka 𝑺𝑨 𝑷 = (𝟐𝒂 − 𝒙, 𝟐𝒃 − 𝒚). Bukti a) Kasus I : 𝑃 ≠ 𝐴 Misalkan 𝑃" = (𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝑆𝐴 (𝑃) = 𝑃" maka 𝐴 titik tengah 𝑃𝑃" sehingga diperoleh
𝑎, 𝑏 = Maka 𝑥 1 +𝑥 2 𝑦 1 +𝑦 2
𝑥 1 +𝑥 2
= 𝑎 dan
𝑦 1 +𝑦 2
𝑥1 + 𝑥 𝑦1 + 𝑦 , 2 2
= 𝑏 sehingga diperoleh
= 𝑎 ⟺ 𝑥1 + 𝑥 = 2𝑎 ⟺ 𝑥1 = 2𝑎 − 𝑥 ……………………………..(1*) = 𝑏 ⟺ 𝑦1 + 𝑦 = 2𝑏 ⟺ 𝑦1 = 2𝑏 − 𝑦 ………………………………(2*)
Dari persamaan (1*) dan (2*) maka 𝑥1 , 𝑦1 = 2𝑎 − 𝑥 , (2𝑏 − 𝑦) Karena 𝑆𝐴 (𝑃) = 𝑃", maka 𝑆𝐴 𝑃 = 𝑥1 , 𝑦1 = 2𝑎 − 𝑥 , (2𝑏 − 𝑦) Jadi, 𝑆𝐴 𝑃 = (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦). b) Kasus II : 𝑃 = 𝐴 Karena 𝑃 = 𝐴, maka 𝑥, 𝑦 = 𝑎, 𝑏 artinya 𝑎 = 𝑥 dan 𝑏 = 𝑦. ⍞𝐴 𝑃 = 𝑆𝐴 𝐴 = 𝐴 = (𝑎, 𝑏) 𝑎, 𝑏 =
2𝑎 − 𝑎 , 2𝑏 − 𝑏
=
2𝑎 − 𝑥 , 2𝑏 − 𝑦
Jadi, 𝑆𝐴 𝑃 = (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦). 7.2 Lanjutan Setengah Putaran
Kita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan. Definisi refleksi atau pencerminan ialah 1. M g A A, A g 2. M g P P' , yang bersifat g adalah sumbu ruas garis PP '
Jelas bahwa A g yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan petanya. Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi.
Definisi A dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) = A
Dari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g memiliki tak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g itu sendiri. Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (Sp), maka satu-satunya titik varian adalah P, sebab Sp(P) = P dan Sp(X) = X’ dengan X P dan P titik tengah ruas garis XX ' . Definisi Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakan kolineasi
Karena setiap isometric adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran adalah suatu kolineasi. Diantara kolineasi tersebut ada yang disebut dilatasi
Definisi Suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi jika untuk setiap garis g berlaku sifat∆(𝑔)/ /𝑔.
Teorema 7.5 Andaikan SA suatu setengah putaran, dan g sebuah garis. Apabila 𝑨 ∉ 𝒈, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝑆𝐴 (𝑔)/ /𝑔
Diketahui
: SAsebuah garis g, A g
Buktikan bahwa 𝑆𝐴 (𝑔)//𝑔 Bukti : Misal 𝑃 ∈ 𝑔, 𝑑𝑎𝑛 𝑄 ∈ 𝑔 karenaP ∈ g
maka
A
titik
tengah
PP ′
karena Q ∈ g maka A titik tengah QQ′ dengan Q′ = SA Q
dengan
P ′ = SA P
P
Q
𝑔
A
𝑆𝐴 𝑃 = 𝑃′
𝑆𝐴 𝑄 = 𝑄 ′
𝑔′ = 𝑆𝐴 (𝑔)
Perhatikan ∆APQ′ dan ∆AQP′ Untuk membuktikan bahwa g′ ∕∕ g maka harus ditunjukkan ∆APQ′ dan ∆AQP′ adalah kongruen. m < 𝑃𝐴Q′ = m(< 𝑄𝐴P ′ )
(sudut bertolak belakang)
PA = AP′( karena A titik tengah PP ′ ) QA = AQ( karena A titik tengah QQ′ ) Menurut definisi kekongruenan (S Sd S) sehingga∆APQ′ ≅ ∆AQP′ Karena ∆APQ′ ≅ ∆AQP ′ maka PQ′ = QP ′ Karena PQ′ = QP ′ maka g′ ∕∕ g Jadi, 𝑆𝐴 (𝑔)//𝑔 Contoh Diketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g atau h. Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik tengah ruas garis XY .
Dipunyai
: garis g dan h tidak sejajar A g, A h
Ditanya
: tentukan semua X g , Y h A titik tengah XY
Jawab
: Ambil P g Jika P' S A P maka g ' S A g melalui P’ dan PA=AP’, g’//g Jika g’ memotong h di Y Tarik YA memotong g di X Maka X dan Y pasangan titik yang dicari Ilustrasi :
h
Y
P’
g’
A P
g
X
Dari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan, dan jika tidak menggunakan
g ' S A g tapi
h' ' S A h apakah akan
memperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebut
Dipunyai
: garis g dan h tidak sejajar A g, A h ,
Ditanya
: Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi persyaratan.
Bukti
:
ℎ
ℎ′
𝑌
𝑔′ 𝐴 𝑋
𝑔
Ambil 𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 ℎ, 𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘 𝑙𝑢𝑟𝑢𝑠 ℎ, 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ∉ ℎ Karena 𝐴 ∉ ℎ, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴 ℎ = ℎ′ ∕∕ ℎ ℎ′akan memotong 𝑔 di titik 𝑋, sehingga 𝑋 ∈ ℎ′ karena 𝑆𝐴 ℎ = ℎ′ ∕∕ ℎ, maka 𝑆𝐴 𝑋 = 𝑌 ∈ ℎ Karena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong, Maka 𝑋 dan 𝑌 satu-satunya pasangan . sehingga𝑋 ∈ ℎ′ , 𝑋 ∈ 𝑔, 𝑋 ∈ 𝑋𝑌, 𝑑𝑎𝑛 𝑌 ∈ ℎ, 𝑌 ∈ 𝑔′ , 𝑌 ∈ 𝑋𝑌 jadi, 𝑋 dan 𝑌 satu-satunya pasangan.
Teorema 7.6 Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki titik tetap Bukti
:
Misal A, B V , A B Akan dibuktikan S A S B tidak memiliki titik tetap Misal g = AB
h AB di A, k
AB di B
Akan ditunjukkan S A S B = M h M k Karena S A M g M h , S B M g M k Maka S A S B =
M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M g
h
g
g
k
h
g
g
h
g
k
h
g
g
k
h
g
M h I M k
g
k
k
M hM k Akan ditunjukkan S A S B tidak memiliki titik tetap Misal X titik varian S A S B Jadi S A S B (X) = X sehingga M h M k X X Jadi
M h M h M k X M h ( X ) ... 1
M h M h M k X M h ( X ) ...2 Dari (1) dan (2) diperoleh
M h X IM k X M h X M k X Misal M k X X1 (i)
Kasus 1 ( X X1 ) Misal X X1 h k Karena h dan k adalah sumbu ruas garis XX1 dan ruas garis hanya memiliki satu sumbu maka h=k Hal ini tidak mungkin sebab A B
(ii)
Kasus 2 ( X X1 ) Misal X X1 Maka Mh(X)=X dan Mk(X)=X Jadi X k , X h h, k berpotongan di X Hal ini tidak mungkin sebab h//k
Jadi, tidak mungkin ada sebuah titik X sehingga M h X M k X atau S ASB X X . Jadi, S A S B tidak memiliki titik tetap.
Ilustrasi teorema 7.6 k
h g A
B
Teorema 7.7 Jika A B adalah dua titik maka hanya ada satu setengah putaran yang memetakan A pada B Bukti : Dipunyai A B Akan dibuktikan ST A B dengan T titik tengah ruas garis AB Misal ada dua setengah putaran SD dan SE sehingga SD A B dan SE A B Jadi S D A SE A Maka S 1D SD A S 1D SE A Karena S-1D=SD maka A S D SE A Jadi jika D E , maka berarti bahwa A adalah titik tetap dari S D S E Hal ini tidak mungkin ada lebih dari satu setengah putaran yang memetakan A pada B. Satu-satunya setengah putaran adalah ST(A) = B dengan T titik tengah ruas garis AB
Teorema 7.8 Suatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik Dipunyai titik P V Akan dibuktikan (1) g sebuah garis S P g // g (2) S P S P I dengan I transformasi identitas Bukti : (1) Jelas SP(g) = g’ suatu garis. Misal A g , B g
Maka A g ' , B g ' dan PA = PA’, PB = PB’ Karena PA = PA’, PB = PB’, dan mAPB mA' PB' sehingga PAB PA' B (s sd s) Jelas mB' A' P mBAP Jadi g//SP(g) dan SP sebuah dilatasi (2) Karena S p S p A S p A' A , maka A g SP SP g I g Jadi, S P S P I . Hal ini berarti SP bersifat involuntorik Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh fakta bahwa SP sebuah dilatasi bersifat involuntorik. Atau dengan kata lainsuatu setengah putaran adalah suatu dilatasi yang bersifat involutorik. Ilustrasi
: B P
A
B’ g
A’ SP(g)=g’
Teorema 7.9 Apabila T suatu transformasi. H himpunan titik-titik dan A sebuah titik, maka
A T H T 1 A H Bukti
:
Dipunyai T transformasi, H himpunan titik-titik, A sebuah titik 1 Akan dibuktikan A T H T A H
Ambil
A T H
Jadi X H A T X maka T
1
A T 1T X T 1T X I X X
1 Jadi, T A H
1 Ambil T A H
Hal ini berarti T T 1 A T H atau A TH
Contoh :
: E x, y x 2 4 y 2 16
Dipunyai
Misal A = (4,-3) dan C = (3,1) g adalah sumbu X Ditanya
: Selidiki apakah A M g Sc E
Jawab
:
Jelas M g Sc S 1c M 1g Sc M g 1
Ambil P = (x,y) Jelas P x, y M g P x, y Jelas Sc P 2.3 x, 2.1 y 6 x,2 y Jadi M g Sc P Sc M g P Sc x, y 6 x,2 y 1
Sehingga M g Sc A M g Sc 4,3 6 4,2 3 2,1 1
1
Karena M g Sc A 2,1 E maka berarti bahwa A M g Sc E 1
Jadi, A M g Sc E
Dengan cara serupa, kita dpat menentukan persamaan peta suatu himpunan apabila persamaan himpunan tela diketahui. Menurut teorema 7.9, A T H T 1 A H . Jika
E x, y x 2 4 y 2 16 , maka
dengan
perhitungan
yang
telah
transformasi T adalah M g Sc E
P M g Sc E M g Sc P E . Berdasarkan 1
dilakukan
M S P 6 x,2 y Jadi, M S P E 6 x,2 y x, y x
sebelumnya,
jika
P x, y
1
g
c
1
g
c
2
4 y 2 16
Jadi haruslah 6 x 42 y 16 2
2
Hal ini berarti bahwa P M g Sc E Px, y x 2 4 y 2 12 x 16 y 36 0
maka
Sehingga diperoleh fakta bahwa x 2 4 y 2 12 x 16 y 36 0 adalah persamaan peta E oleh transformasi M g Sc .
C. PENUTUP Selesaikan soal-soal berikut disertai dengan langkah penyelesaianya. 1. Diket Lukis
: titik A, B, P tak segaris dan berbeda. :
a. 𝑆𝐴 𝑃 b. 𝑅 ∋ 𝑆𝐵 𝑅 = 𝑃 2. Diket
: garis 𝑔 dan titik 𝐴, 𝐴 ∉ 𝑔
Ditanya : a) Lukisan garis 𝑔1 = 𝑆𝐴 (𝑔) dan mengapa 𝑔 sebuah garis? b) Buktikan bahwa 𝑔′ //𝑔. 3. Diketahui :𝑔 =
𝑥, 𝑦 │3𝑥 + 2𝑦 = 4 dan 𝐴 = (−2,1)
Ditanya : a. 𝑘 ∋ 𝐷 = 3, 𝑘 ∈ 𝑔′ = 𝑆𝐴 (𝑔) b. Persamaan 𝑔′ c. Persamaan ℎ ∋ 𝑆𝐴 ℎ = 𝑔
