Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 1 - 7
BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES) Baki Swita1 Jurusan Matematika Universitas Bengkulu, Bengkulu1
[email protected], 081367758790 ABSTRACT Pell and Pell-Lucas Series are the power series denoted by ∑ and ∑ where and are the th Pell and Pell-Lucas number respectively. Koshy showed that ∑ and ∑ converge if and only if | | √ This article discusses alternative proof the convergence of these two series. Numeric calculation of the parsial sums is also given. Keywords: The Pell and Pell-Lucas Series, Convergence
ABSTRAK Deret Pell dan Pell-Lucas merupakan deret pangkat yang dinyatakan dengan ∑ dan ∑ di mana dan adalah bilangan Pell dan Pell-Lucas ke . Koshy telah menunjukkan bahwa ∑ dan ∑ konvergen jika dan hanya jika | | . Artikel ini memberikan bukti alternatif konvergensi ke dua deret √ tersebut. Kalkulasi numerik dari beberapa jumlah parsial juga diberikan. Katakunci:Deret Pell dan Pell-Lucas, Kekonvergenan
1.
PENDAHULUAN Beberapa jenis barisan bilangan bulat digunakan hampir pada semua bidang
modern science. Barisan bilangan Fibonacci adalah salah satu barisan yang terkenal dalam matematika dan dipelajari secara luas dari sudut pandang aljabar dan kombinatorik [1]. Barisan yang sama pentingnya dengan barisan bilangan Fibonacci adalah barisan bilangan Pell dan Pell-Lucas. Bilangan Pell
dan Pell-Lucas
didefinisikan dengan
relasi rekursi sebagai [2] (1) (2) Berbagai penelitian yang berhubungan dengan ke dua bilangan ini telah dilakukan. Salah satu topik yang menarik adalah kajian tentang deret Pell ∑ Lucas ∑
di mana
dan
dan deret Pell-
berturut-turut adalah bilangan Pell dan Pell-Lucas ke
1
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 1 - 7
Rumus alternatif untuk menentukan bilangan Pelldan Pell-Lucaske
tanpa harus
menentukan bilangan sebelumnya dikenal dengan Rumus Binet, dinyatakan sebagai [2]
Qn n n , 1 2 , 1 2
(3)
n n , 1 2 , 1 2
(4)
Pn
Konvergensi dan divergensi darisuatu deret adalah salah satu topik yang mendapat perhatian para peneliti. Koshy dalam [3] menunjukkan bahwa deret Pell ∑
dan deret Pell-Lucas ∑ √
konvergen jika dan hanya jika | |
Dengan kata lain, untuk
telah ditunjukkkan bahwa deret Pell dan Pell-
Lucas merupakan deret dengan suku-suku riil yang konvergen. Deret ∑
dikatakan konvergen dan mempunyai jumlah
jumlah-jumlah parsial { Suatu deret ∑
} konvergen menuju
jika barisan
dimana
dikatakan konvergen mutlak bila deret ∑
. |
| konvergen. Teorema
1 berikut menyatakan bahwa konvergensi mutlak mengimplikasikan konvergensi. Teorema 1 [4]. Jika ∑
|
| konvergen maka ∑
konvergen.
Ada beberapa teorema yang dapat digunakan untuk menguji konvergensi dan divergensi suatu deret, salah satu diantaranya adalah teorema berikut. Teorema 2[4]. Misal ∑
adalah deret dengan suku-suku tak nol dan andaikan
Lim n
u n 1 un
(i) Jika
maka deret tersebut konvergen mutlak
(ii) Jika
maka deret divergen
(iii) Jika
maka uji ini tidak memberikan kesimpulan
Teorema 2 di atas merupakan pengembangan dari rasio test. Karena suku-suku deret tidak sama dengan nol, maka geometrik dengan rasio
Berarti deret mempunyai sifat seperti deret
Sebuah deret geometrik konvergen ketika rasionya lebih kecil
dari 1 dan divergen ketika rasionya lebih besar dari 1. Bukti selengkapnya dari Teorema 2 dapat dilihat pada [4]. Pembuktian konvergensi dari deret Pell dan Pell-Lucas telah diberikanpada [3] dalam artikel yang berjudul “The Convergence of Pell and Pell-Lucas Series”. Pada artikel ini diberikan metode pembuktian alternatif.
2
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 1 - 7
2.
METODE PENELITIAN Metode pembuktian yang diberikanadalah metode pembuktian langsung (direct
proof) dengan menggunakan teori-teori yang bersifat elementer seperti yang telah diuraikan pada pendahuluan. 3. PEMBAHASAN 3.1 Deret ∑
dan ∑
konvergen jika dan hanya jika | |
Koshy telah membuktikan bahwa deret ∑
√
dan ∑
konvergen
√ . Berikut ini akan diberikan bukti
dengan himpunan konvergensi ( alternatif. Bukti. maka deret ∑
Karena
∑
deret pangkat ∑
konvergen. Untuk
Untuk
deret ini jelas
mempunyai suku-suku yang tidak
sama dengan nol. Oleh karena itu dengan menggunakan Teorema 2 dan Persamaan 4 diperoleh
P Pn 1 x n 1 P Lim Lim n 1 x x Lim n 1 n n n n Pn Pn x Pn
n 1 x Lim n n
n 1 n
n 1 n 1 x Lim n n n n 1 n 1 n 1 n ( ) x Lim x Lim n n n 1 1 ( n n ) n
, maka Lim / 0. Jadi diperoleh n
Karena
n
| x | Lim | x | n
Berdasarkan Teorema 2, deret ∑ Sedangkan deret ∑
| | ∑
konvergen mutlak ketika
jika dan hanya jika
Karena
konvergen mutlak jika dan hanya jika
menurut Teorema 1, deret konvergen jika dan hanya jika | |
3
| |
.
, berarti Sehingga
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 1 - 7
Untuk
deret ∑
jelas konvergen. Untuk
deret mempunyai
suku-suku tak nol sehingga dengan cara yang sama, dengan menggunakan Teorema 2 dan Persamaan 3 diperoleh
Lim n
Karena diperoleh nilai
Qn 1 x n 1 Qn x
n
n1 n1 x x Lim n n n
yang sama, berarti deret ∑
juga konvergen
mutlak,sehingga menurut Teorema 1 konvergen jika dan hanya jika | | dan
Untuk
, kalkulasi numerik menunjukkan ke dua deret divergen.
Karena ke dua deret konvergen pada selang
, selanjutnya akan ditunjukkan
jumlah dari masing-masing deret
3.2 Jumlah Deret Pell dan Pell-Lucas jumlah dari deret ∑
Misal
, makadengan menggunakan teknik pada [5]
untuk Bilangan Fibonacci diperoleh
Dengan menggunakan relasi rekursi dari bilangan Pell pada Persamaan 1 diperoleh
sehingga Jadi jumlah deret Pell adalah
∑
Misal
jumlah deret ∑
, dengan menggunakan teknik yang sama
diperoleh
4
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 1 - 7
Dengan menggunakan relasi rekursi dari bilangan Pell-Lucas pada Persamaan 2 diperoleh sehingga Jadi jumlah deret Pell-Lucas adalah ∑
Berdasarkan
Persamaan
∑
5,
untuk
diperoleh
jumlah
deret
Pell
Tabel 1 menunjukkan hasil kalkulasi jumlah-jumlah
parsial dari deret Pell untuk Tabel 1. Jumlah-Jumlah Parsialdari Deret Pell untuk
n
∑
NILAI
1 2 3 4
P1 P2 P3 P4
1 2 5 12
0,3 0,3 0,3 0,3
0,3 0,09 0,027 0,0081
0,3 0,18 0,135 0,0972
0,300000000000000 0,480000000000000 0,615000000000000 0,712200000000000
31 32 33
P31 P32 P33
2,59718E+11 6,27014E+11 1,51374E+12
0,3 0,3 0,3
6,17673E-17 1,85302E-17 5,55906E-18
1,60421E-05 1,16187E-05 8,415E-06
0,967699798472886 0,967711417160851 0,967719832159071
34
P34
3,6545E+12
0,3
1,66772E-18
6,09468E-06
0,967725926839919
51 52 53 54
P51 P52 P53 P54
1,17494E+19 2,83655E+19 6,84804E+19 1,65326E+20
0,3 0,3 0,3 0,3
2,15369E-27 6,46108E-28 1,93832E-28 5,81497E-29
2,53046E-08 1,83272E-08 1,32737E-08 9,61368E-09
0,967741869017414 0,967741887344605 0,967741900618330 0,967741910232012
81 82 83 84 85
P81 P82 P83 P84 P85
3,57508E+30 8,631E+30 2,08371E+31 5,03052E+31 1,21447E+32
0,3 0,3 0,3 0,3 0,3
4,43426E-43 1,33028E-43 3,99084E-44 1,19725E-44 3,59175E-45
1,58528E-12 1,14816E-12 8,31574E-13 6,02279E-13 4,36209E-13
0,967741935479707 0,967741935480855 0,967741935481687 0,967741935482289 0,967741935482725
101 102 103 104 105
P101 P102 P103 P104 P105
1,61733E+38 3,90459E+38 9,4265E+38 2,27576E+39 5,49417E+39
0,3 0,3 0,3 0,3 0,3
1,54613E-53 4,6384E-54 1,39152E-54 4,17456E-55 1,25237E-55
2,50061E-15 1,8111E-15 1,31172E-15 9,50029E-16 6,88072E-16
0,967741935483864 0,967741935483866 0,967741935483867 0,967741935483868 0,967741935483869
111 112 113
P111 P112 P113
1,08782E+42 2,62622E+42 6,34027E+42
0,3 0,3 0,3
9,12976E-59 2,73893E-59 8,21678E-60
9,93151E-17 7,19304E-17 5,20966E-17
0,967741935483870 0,967741935483871 0,967741935483871
5
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 1 - 7
Perhatikan ∑
∑
∑
Jadi konvergensi deret Pell sangat lambat. diperoleh jumlah deret Pell ∑
Berdasarkan Persamaan 5, untuk
.
Tabel 2 menunjukkan hasil kalkulasi jumlah-jumlah parsial dari deret Pell untuk
Tabel 2. Jumlah-Jumlah Parsial dari Deret Pell untuk n
∑
NILAI
1 2 3 4
P1 P2 P3 P4
1 2 5 12
0,4 0,4 0,4 0,4
0,4 0,16 0,064 0,0256
0,4 0,32 0,32 0,3072
0,400000000000000 0,720000000000000 1,040000000000000 1,347200000000000
31 32 33 34
P31 P32 P33 P34
2,59718E+11 6,27014E+11 1,51374E+12 3,6545E+12
0,4 0,4 0,4 0,4
4,61169E-13 1,84467E-13 7,3787E-14 2,95148E-14
0,119773567 0,115663588 0,111694641 0,107861887
6,629316036546820 6,744979624383130 6,856674265354000 6,964536152184500
51 52 53 54
P51 P52 P53 P54
1,17494E+19 2,83655E+19 6,84804E+19 1,65326E+20
0,4 0,4 0,4 0,4
5,0706E-21 2,02824E-21 8,11296E-22 3,24519E-22
0,059576436 0,057532096 0,055557906 0,05365146
8,323391868517540 8,380923964076010 8,436481870223620 8,490133330431060
81 82 83 84 85
P81 P82 P83 P84 P85
3,57508E+30 8,631E+30 2,08371E+31 5,03052E+31 1,21447E+32
0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
5,84601E-33 2,3384E-33 9,35361E-34 3,74144E-34 1,49658E-34
0,020899929 0,020182757 0,019490194 0,018821397 0,018175548
9,411831355860760 9,432014112942590 9,451504307291790 9,470325703904250 9,488501252290090
101 102 103 104 105
P101 P102 P103 P104 P105
1,61733E+38 3,90459E+38 9,4265E+38 2,27576E+39 5,49417E+39
0,4 0,4 0,4 0,4 0,4
6,42775E-41 2,5711E-41 1,02844E-41 4,11376E-42 1,6455E-42
0,01039581 0,010039083 0,009694596 0,00936193 0,009040679
9,707439694098000 9,717478776671750 9,727173372393090 9,736535302181950 9,745575981328460
111 112 113
P111 P112 P113
1,08782E+42 2,62622E+42 6,34027E+42
0,4 0,4 0,4
6,73999E-45 2,69599E-45 1,0784E-45
0,007331876 0,007080286 0,006837329
9,793665348835760 9,800745634708710 9,807582963580690
Berdasarkan Tabe 1, 2 dan jumlah dari deret, diperoleh ∑ ∑
, sedangkan ∑
konvergensi deret Pell untuk untuk
∑
. Jadi
lebih lambat dibandingkan dengan konvergensi deret
Pengintegralan ke dua ruas Persamaan 5 dan 6 menghasilkan deret
∑
√
|
6
|
(
√ ) |
|
Prosiding Semirata2015 bidang MIPA BKS-PTN Barat Universitas Tanjungpura Pontianak Hal 1 - 7
∑
3.
|
|
|
|
KESIMPULAN Pembuktian konvergensi dari deret Pell dan Pell-Lucas dapat dilakukan dengan
menggunakan teori-teori yang bersifat elementer yang merupakan metode pembuktian alternatif dari metode yang telah diberikan pada [3]. 4.
PUSTAKA [1]. Dasdemir A. On the Pell, Pell-Lucas and Modified Pell Numbers By Matrix Method. Applied Mathematical Sciences. 2011; 64(5): 3173-3181. [2]. Bicknell M. A Primer on the Pell Sequences and Related Sequences.The Fibonacci Quarterly. 1975; 4(13): 345-349 [3]. Koshy T. Convergence of Pell and Pell-Lucas Series. Applied Probability Trust [Internet]. 2012 [cite 2014 Des 8]. Available from: http://ms.appliedprobability.org/data/files/Articles%2045/45-1-3.pdf [4]. Purcell EJ, Varberg, D, and Rigdon, SE. Calculus, 8th edition [Julian Gressando, trans]. Prentice Hall:2003. [5]. Horadam AF. Applied Combinatorics. The Univerity of New England, Armidale; 1986.
7
