Budapesti Műszaki űszaki szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet
Példatár a Bevezető Bevezet matematika tárgyhoz „Amit tudni kell a BSC képzés előtt” el Összeállította: Kádasné dr. V. Nagy Éva egyetemi docens Szerkesztette: István Péter
BME BUDAPEST 2009
ELŐSZÓ A BME MI oktatói sok éves tapasztalatai szerint a felsőfokú tanulmányok elkezdésekor azok a hallgatók küzdenek nagyobb nehézségekkel a matematikát igénylő tárgyakban, akik a középiskolai matematika lényegi részeiben nem eléggé járatosak. Ebben segít a Bevezető Matematika tárgy. A tárgyi tartalom azon részeket emeli ki a középiskolai anyagból, amelyeket feltétlenül és nagy biztonsággal tudni és használni kell. Erre épülnek a további tanulmányok matematikából. A tárgy oktatóit igyekezett a MI úgy megválasztani, hogy minél eredményesebb és hatékonyabb legyen a közös munka. A foglalkozásokon való részvétel kötelező, azt ellenőrizni is fogjuk. Betegség esetén orvosi igazolás szükséges. A rendszeres jelenléten kívül természetesen rendszeres tanulás és példamegoldás is szükséges. Ajánlott irodalomként a középiskolai tankönyvek mellet ajánljuk a Thomas féle Kalkulus 1. egyetemi tankönyvet Bármilyen további probléma, kérdés, javaslat esetén forduljanak bizalommal a tárgyfelelőshöz:
Kádasné Dr. V. Nagy Éva docens
Elérhetőségek: személyesen:
H épület 413. szoba
e-mail cím:
[email protected]
mobil:
+36-30-960-6020
TARTALOM
I. ELŐADÁS................................................................................................................ 1 •
Elemi algebrai műveletek és azonosságok .................................................................................. 1
•
Százalékszámítás ......................................................................................................................... 5
II. ELŐADÁS............................................................................................................... 6 •
Elemi függvények tulajdonságai és ábrázolásuk. ........................................................................ 6
III. ELŐADÁS.............................................................................................................. 8 •
Egyenletek, egyenlőtlenségek ..................................................................................................... 8
IV. ELŐADÁS ........................................................................................................... 11 •
Trigonometria ............................................................................................................................ 11
V. ELŐADÁS ............................................................................................................ 12 •
Két és három ismeretlenes egyenletrendszerek megoldása..................................................... 12
•
Síkvektorok ................................................................................................................................ 14
VI. ELŐADÁS ........................................................................................................... 15 •
Koordináta geometria ............................................................................................................... 15
VII. ELŐADÁS .......................................................................................................... 16 •
Sorozatok ................................................................................................................................... 16
•
Síkgeometria (háromszögek) ..................................................................................................... 18
VIII ELŐADÁS .......................................................................................................... 19 •
Síkgeometria (négyszögek, sokszögek, kör) .............................................................................. 19
•
Térgeometria ............................................................................................................................. 20
IX ELŐADÁS ............................................................................................................ 21 •
Kombinatorika, valószínűség. .................................................................................................... 21
Saját jegyzetek ......................................................................................................... 23
I. ELŐADÁS •
Elemi algebrai műveletek és azonosságok 1. Hány olyan 1000-nél kisebb pozitív egész szám van, amely sem 5-tel sem 13-mal nem osztható? 2. Számítsa ki!
a) Mennyi a 42-nek a része?
b) Minek a -ed része a 28?
c) Hányad része az 56 a 98-nak?
3. A térképen a lépték: 1: 20 000. a) Mekkora a valóságban, ami a térképen i. 2 cm? ii. 7 mm? b) Mekkora a térképen, ami a valóságban i. 3 km? ii. 200 m? 4. 3 disznó 5 nap alatt 250 kg takarmányt eszik meg. Mennyi takarmányt eszik meg 4 disznó 8 nap alatt?
5. A 160 000 Ft havi bruttó fizetésből 10% TB-t és 30% adót vonnak le. a) Mennyi pénzt kapunk kézhez? b) A nettó fizetés hány %-a a járulék és az adó? 6. Rakja nagyság szerint sorba a −3, , , √2 és −√3 számokat!
7. Hány jegyű szám a a) 2 ? b) 2 ? c) 2 ?
8. Milyen értékek közé esik | − | ha |5 − | < 1 és |10 − | < 2?
9. 1 és 200 között hány olyan szám van, ami osztható 2-vel, 3-mal, 5-tel és 7-tel?
1
10. Döntse el, hogy az alábbi számok közül melyik racionális-, irracionális szám és melyik a legkisebb illetve a legnagyobb. a) −10 , ln 5, lg 100, − . b) 2 , 4 , 25 ,
, √8 , √27.
c) sin 60°, tg 45°, cos 45°, ctg'−45°(.
11. Hozza a legegyszerűbb alakra! a) 12 ⋅ 5 2 ⋅ 55 ) : '−11(, 3* *
c) 0. e)
24
,
b)
d)
1 / 1 1024 ⋅ 25 60
,
*
12. Írja fel prímhatványok szorzataként: a) 24 ⋅ 42 ⋅ 12 ⋅ 28 ⋅ 18 13. Számolja ki! a) 2 + 2 − 2 =? 2 + 2 c)
e)
360000 ⋅ 0,0000025 =? 0,009 )816 + 2√55 − 816 − √220- =?
2
1,25 , ). / 7,32
f)
6 ⋅ '−2( ⋅ 12 ⋅ '−3(*
b)
3 ⋅ 8 ⋅ 20* ⋅ 49 16* ⋅ 6* ⋅ 70
b)
1,6 ⋅ 10 ⋅ 2,5 ⋅ 10 =? 2 ⋅ 10
d)
1 36 . / :. / 6 125
7
2 − √2
2 + √2 +7 =? 2 + √2 2 − √2
14. Egyszerűsítse az alábbi kifejezéseket! '9 ≠ ;( a) b) '9 − ; (, 9−; 7 ⋅ =? '9 + ;( '9 − ;(
15. Oldja meg! a)
< = √
c)
=?
< * = √
b)
=
9−;
√9 − √;
>
8 √ = √
16. Rakja sorrendbe az alábbi kifejezéseket! a) > 9 89 ⋅ ?<9 ; <9 ⋅ ?<9 ; √ √9 b)
87 + 4√3
c)
lg √1000
;
log 0,25
;
d)
1 BCD√ . / 9
;
0,25BCD
;
;
E√2F
e)
3 BCD
;
811 − 6√2
BCD
17. Számítsa ki az értékét! a) lg = lg 1,2 + lg 1,5 − lg 0,9 b) ln = 2 ln 5 − 2
89 − 4√5
;
1 log √3 BCD
3 ;
8BCD ,
c) ln = 3 log 8 − log 16
;
3
ln
;
1 A*
84 − 2√3 − 84 + 2√3
18. Végezze el a műveleteket és rendezze fogyó hatványai szerint! b) a) '1 − 2( − '2 − 1( * − 1 G'2 + 1('2 − 1(H + −1 19. Alakítsa szorzattá! (Az d) és e) résznél a nevezőt és a számlálót is) a) 9* − ; * + '9 − ;( − '9 + ;( + 49; b)
d)
− −+
c)
+ 4 − 32 − 11 + 28
20. Egyszerűsítse a kifejezéseket! a) − 25 + 5 : =? − 3 − 9 c)
.
d)
.
2J 2J 8J J−2 − + /⋅ J + 2 3J − 6 J − 4 J − 4J
;
+ 6 + 11 + 6
e)
−I + 2I + 11,25 −I + 7I − 11,25
b)
− 1 =? 3 − 1 2+ 1− 1−
J =?
2 2 2 + 2 4 − / ⋅ + =? − 1− −1 −1
21. Oldja meg! a) − 1 =3 − 1
b)
22. Mennyivel egyenlő a) 1 1 . + / , ha + = 79?
b)
23. Határozza meg az értékét! a) 2M = 64 c) 2M , = 64
−4 +4 16 − + =0 + 4 − 4 − 16 . +
1 1 / , ha . − / = 3?
b) 2 M = 64 d) sin ≥
e) 5 M = ,
4
24. Rakja sorrendbe az alábbi három kifejezést! 7Q 1 O = <'−3( ; P = sin ; R = log . 3 9
25. Vegyes feladatok! a) Határozza meg T-et, a 2U = lg'2V ( kifejezésben! b) Mennyi a '2 + ( reciproka? c)
√W ⋅ √W =?, ha
=
√XY
√X
=?, 73 ⋅ 72! − *! ,!
*!
= −9?
=?
d) Írja át a 11-et 2-es alapú számrendszerbe! e) f)
*
['( = sin \ + ^ ]
;
[ \− * ^ =? ]
26. Melyik szám abszolútértéke nagyobb? 2002 2001 = ; =− 2001 2000
;
[ \− ^ =? ]
27. A 200202x4 számban x helyére írjon olyan számjegyet, hogy a kapott 8 jegyű szám osztható legyen 12-vel!
•
Százalékszámítás 1. A 10%-os éves lekötésű kamatos kamatra betettünk a bankba 8000 Ft-ot. Mennyi lesz a pénzünk 4 év múlva? 2. Egy osztály 40 tanulójának 30%-a kékszemű és 40%-a szőke. Tudjuk, hogy a kékszemű tanulók ¾ -e szőke. Hány olyan tanuló van, aki se nem szőke, se nem kékszemű?
5
II. ELŐADÁS •
Elemi függvények tulajdonságai és ábrázolásuk. 1. Ábrázolja az alábbi függvényeket, majd jellemezze a következő szempontok alapján: Értelmezési Tartomány, Érték Készlet, paritás (páros, vagy páratlan), Zérus Hely és monotonitás (hol nő, illetve hol csökken). a) 4 b) − c) d) − 2
g) 2 − 4
M
+2
p) cos s)
√
3
M
h) + 4 − 3
e)
m) | − 2| + 1
j)
M
t)
M
2M
√ + 2 M |M|
M
i) l)
u) ln
M
n) ' − 1( + 1 q) tg k)
f)
M
o) sin 2 r) ctg
2. Határozza meg az alábbi függvények ÉT-át és zérushelyét! a) b) c) + 2 −1 √ + 3 _'( = ℎ'( = ['( = sin ln 1 − √ 3. Egy másodfokú függvényről tudjuk, hogy egyik zérushelye a 3, és hogy az 5 helyen felvett 4 értékig monoton növő, utána monoton fogyó. Határozza meg ennek a függvénynek a hozzárendelési szabályát, majd ábrázolja! 4. Jellemezze az alábbi függvényeket paritás és periodicitás szempontjából! a) sin c) cos b) sin \ − ^ e) ||
d) sgn g)
]
f)
5. Határozza meg az alábbi függvények inverzét és ábrázolja azokat! c) a) b) 1 2 = 2 − 3 =1+ =4− 1+ +3
6. Adja meg az alábbi függvények zérushelyeit! a) |2 − 4| b) √2 − 3 d)
'2 − 4(
e)
sin'2 − 3( 6
c) ln'2 + 1( f) 1 −4 2
g) = 2M − 3 j) = cos − sin
h) = 4 −
i)
= 3 − 5
7. Adja meg az alábbi függvények szélsőértékeit és növekedési viszonyait! b) c) a) 1 |2 − 4| '2 − 1( −1 d) ln f) 2| − 1| − 3 e) ' − 3( + 2
8. Ábrázolja és jellemezze az alábbi függvényeket! Számítsa ki az ['2( és az ['−1( helyettesítési értékeket! a) ' + 5( − 6 ha < −1b ['( = a 2'4 − ( ha ≥ 1 b)
c)
d)
−| + 5| + 3 ['( = a √ − 2
ha < 0b ha ≥ 0
−' + 1( − 2 ha − 2 ≤ < 0 −3 ha 0 ≤ ≤ 3b ['( = c 1 −4 ha 3≤≤6 −2 − 2 ['( = a ' − 2('4 − (
ha ≤ 2b ha > 2
9. Adja meg [E_'(F és _E['(F függvényeket, ha a) ['( = < + 1
;
['( = A MY
_'( = + 2
3
b)
c)
['( = tg' + 1( ;
;
_'( = sin _'( =
1
10. Adja meg [ \_Eℎ'(F^ függvényt, ha ['( = + 1
;
_'( = √ 3
;
ℎ'( = cos
7
III. ELŐADÁS •
Egyenletek, egyenlőtlenségek 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket algebrai- és grafikus úton! a) b) c) 1 || = 2 − − =+1 = d) e) f) 1 2 √ = √ = | − 3| = − 2 + 2 g)
= sin 2
h)
2 + 1 = 2
M
i)
ln = − 1
2. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket algebrai- és grafikus úton! a) b) 1 < 3 − | − 1| + 1 ≤ c)
e) g)
i)
2 | − 2| + 1 ≥
d)
' − 1( > √
< − 4 + 4 = − 2
f)
10M ≥ − 1
| + 3| ≥ 4 − | − 1|
j)
0,5 ⋅ log = 1
h)
3. Ábrázolja az alábbi tartományokat a síkon! a) < 2 + 5 c) 3 + 5 < 15 e) < √ g) ≤ ≤ 2 −
8
b) d) f) h)
|sin | ≤
3 + 2 ≤
1 2
21
− <0 < ≤ ≤ 5 −2 < ≤ 2 −
4. Oldja meg az egyenleteket! a) 2|M |YM = 2 c) e)
g)
log fY |
'
j)
+ − 6( = 4
d)
+ 3| + − 2 = 0
f)
+ 3 < − 18 √ = 0
h)
3
i)
b)
.1 +
3
4 1 / ⋅ . + 1/ = 0 + − 6 +1
e)
g)
lg < − 3 − lg √3 − = lg 5 3M
3Y√M − =6 3M 3√M
4M − 4√MY = 3 ⋅ 2MY√M
10 lg √2 + 7 lg'cos ( + 3 lg'sin ( = 13 lg'tg (
5. Oldja meg az egyenlőtlenségeket! a) 5 log M 3 − log < 2 c)
1 + 4M 17 = MY M 2 4
b)
log M '2( ≤
d)
| + 3| + >1 +2
f)
' + 2( ⋅ < − 2 + 3 ≥ 0
h)
' − 18 + 77( ⋅ √10 − ≥ 0 <9M + 8 − 3MY > 3M − 5 1≤
2 − 7 − 29 − 2 − 15
2 log √ ≥ 2 + log M
6. Milyen I ∈ ℝ esetén ∃! megoldása az alábbi egyenletnek? '2 + log I( + '6 log I( + 4 log I + 1 = 0 7. Határozza meg I-t, ha ∀-re a) + 8 + 20 <0 I + 2'I + 1( + 9I + 4 b) 2 + 2 + 3 ≤I + + 1
9
1 5
8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! b) a) MY
c)
e)
g)
MY
1 M 1 MY . / =. / 2 4 3M
YM
=
M 9MY
d)
x−2 lg' + − 6( = lg +3 √9 − 5 = √3 − +
f)
6
h)
√3 −
1 2 7 − 5 − 73 + = 0 2 3 3M + 3M + 3MY = 39 √ + 1 + 2
√ + 1 − 1
=
+1 −2
* + 5 − 6 = 0
9. Határozza meg T-et, ha a 9M + 2'T + 3( ⋅ 3M + T = 22 egyenletnek két darab különböző valós gyöke van. Adja meg a gyököket is! 10. Oldja meg az egyenleteket! a)
b)
c)
d)
2'lg 2 − 1( + lg' + 1( = lg .
5 + 3/
8 + 6 − 4√ + 2 + 8 + 11 − 6√ + 2 = 1
1 1 48 − = − 9 3 − ' − 3(' + 38(
+3 22 7 + 6 3 + = − +4 −4 − 4 − 16
11. Az = 9 + ; + J parabola csúcspontja l'1, −1(, a parabola és az tengely egyik közös pontjának koordinátája 2. Határozza meg az 9, ; és J értékét!
12. Határozza meg az T értékeit úgy, hogy a 2 + 2'T + 2( + T + 4T + 3 = 0 gyökei valósak legyenek. Ezekre az T értékekre adja meg az ' + + 3 ( maximum és minimum értékét. ( és a gyökök).
10
IV. ELŐADÁS •
Trigonometria
1. Oldja meg az '1 + tg ( ⋅ cos > 1 egyenlőtlenséget! 2. Igazolja, hogy ha 0 < <
3. Igazolja, hogy n
√⋅opq M n YrCo M
]
⇒ 1 + ctg < ctg .
≤ 1 mindig igaz!
M
4. Oldja meg az alábbi egyenleteket a megadott intervallumon! a) 27 8 cos 2 + 7 cos = 5 sin + ahol, ∈ G0, QH 4 b) Q tg + tg + ctg + ctg = 4 ahol, ∈ s0, t 4 c) <1 − cos − cos 2 = 0
ahol,
∈ G0,2QH
5. Oldja meg a sin 2 + 6I ⋅ cos − sin = 3I paraméteres egyenletet, ha I > 1 valós paraméter. 6. Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) sin + cos = cos + sin c) e)
f) g)
b)
3 cos 2 = −2 sin + 3
d)
sin 1 cos + + sin + sin 2 = cos cos
sin 2 ⋅ 'cos + 1( + sin ⋅ 'cos 2 − 5( = 0 Q Q 5 sin* + sin* \ + ^ + sin* \ − ^ = 4 4 4
11
cos 2 1 = sin 2 − tg 4
ctg
4 cos + 8 sin + 1 = 0
7. Számítsa ki az alábbi kifejezéseket! a) tg u = 2 és 0° < u < 180° i. 1 + sin 2u =? sin u − cos u ii. 1 − sin* u − cos* u =? cos* u b)
c)
d)
21Q ? + <sin'−7Q( =? 4
2Q 2Q 4Q log ] v.cos + sin / − sin w =? 3 3 3
8. Egy háromszög oldalai 9 + 9 + 1, 29 + 1 és 9 − 1 ahol '9 > 1(. Igazolja, hogy ∃ a háromszögben 120°-os szög!
V. ELŐADÁS •
Két és három ismeretlenes egyenletrendszerek megoldása 3 + = 9{ 4 y
1. b 3.
5.
2 1 z − = y 2 3 3x
b
9
M|
−4⋅3 3
MY|
M|
+2 −3 − = 3{ 3 4 y
2. b = 528525
= 243
z 1 3 − = 0y +2 −3 x 3M + 4| = 73
4.
}
2 − 4√ + − 4 = 0 b ~ 5√ − − 17 = 0
6.
b
3 ⋅ 4 = 576 b
M
}
3BCD M − 2BCD> | = 77
3
12
|
BCD √M
−2
BCD = |
} =7
log = 5
7. b
=1
log
b
b
+
1 =9
+ + = 29
13. b
− 2 − 2 = 2
15. b
12.
{ z x
14.
}
1 2 − =3 { − 2 2 − y
z 2 5 − + = −5y x − 2 2 −
= 6, = 6, 5 + 4 3 + 5
1 1 = 2
{ z x
1 log M '( + log | . / = 0{ y b
− 6 + 9 = 25
−
10.
5 1 53 z y − = 9 3; 6 x
11.
17.
b
2 13 3 + = { 29 5; 20y
9.
'2 + ( = 16
8.
BCD | =
√ + =4 { b 2 z − √ = 27x
z y x
1 81
3 ⋅ 2MY| − 5 ⋅ 2M | = 182
b
5⋅2 ⋅2 −4⋅2 ⋅2 M
|
M
10 1 + = 1{ −5 −2 y
16.
|
= 312
}
b
=8 2 + 3
z 25 3 + = 2y x −5 +2
18. Határozza meg a '4 − 3 + 8( kifejezés legnagyobb és legkisebb értékét, ha 4 + + 4 = 3 . 3 + 6 − 4 = 4
19. Melyek azok a R'2,1( középpontú 2 sugarú kör belsejében lévő pontok, amelyek koordinátái kielégítik a következő egyenleteket 9 3M + 3| = 4 és '2 − ( = . 4
13
20. , és pozitív egészek. Határozza meg értéküket, ha + + = 12 b }. + + = 41
21.
b
9 ⋅
22.
=0
1 2 1 + = { b − 3 ' − 3( ⋅ z − 4' − ( = 9 x 8
25.
•
− 27 ⋅
| 27M
~ lg' − 2( − lg'2 − ( = 0
23.
27.
M 9|
b
MY
5⋅5 b
= 32 ⋅ 2
M |
*|
= <25|Y
3| ⋅ 9M = 81
24.
26. ~
lg' + ( − lg = 2 lg 3
b
+ = 210
+ = 231
~
− = 44
{ y b 6 + 5z 7 +7 = y + 6 2x BCD | + BCD M = 4 b ~ log * − log * = 1
}
Síkvektorok
1. Legyenek 9'2, 3(, ;'−3, 2( és J'5, −1(. Adja meg a következő vektorokat: b) 3E29 − ; F =? a) 9 + ; + J =? c) E9 + ;FJ =? d) E9 − ;F ⋅ E; + JF =? e)
E9 − ;F
=?
f)
'9 − J( ⋅ E; + JF =?
2. Legyenek 9 = '2, 5(, ; = '−10, 2( és J = '−6, 12(. a) Bontsa fel a J-t 9-ral és ;-ral ∥ összetevőkre!
b) Bontsa fel ;-t J-ral ∥ és J-ra ⊥ összetevőkre! c) Adjon meg E9 + ; F-ra ⊥ egységnyi hosszú vektort!
3. Legyen 9 = '4, 3( és ; = '−1, 2(. a) Mennyi 9 ⋅ ; skaláris szorzat?
b) Mekkora az 9 és ; által bezárt szöge? 14
4. Egy háromszög csúcsainak koordinátái O'2, 0(, P'−5, 4( és R'−1, 3(. Mekkorák a háromszög szögei? 5. Egy egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder egy csúcsából induló élének vektorai: 9, ;, J. Adja meg ezek segítségével a tetraéder másik 3 élvektorát! 6. Egy téglalap hosszabbik oldala négyszerese a rövidebb oldalnak. Az egyik rövidebb oldal végpontjainak koordinátái: '1, 2( és '3, 5(. Adja meg a téglalap hiányzó csúcspontjainak koordinátáit!
7. Egy rombusz hosszabbik átlója háromszorosa a rövidebb átlónak. A hosszabbik átló végpontjának koordinátái '−1, −3( és '9, 5(. Határozza meg a másik két csúcs koordinátáit!
VI. ELŐADÁS •
Koordináta geometria
1. O'2, 6(, P'−3, 2(. Adja meg, a) az O és P távolságát! szakasz felezőpontjának koordinátáit! b) az OP pontokon átmenő egyenes egyenletét! c) az OP szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! d) az OP e) azt a pontot, amely O-tól és P-től is 5 egység távolságra van! szakasz egy átmérője! f) annak a körnek az egyenletét, amelynek az OP
2. Adott két egyenes: _: 5 − 4 = 14, ℎ: 2 − 3 = 3 és a '5, 2( pont. Adja meg a) a két egyenes metszéspontjának a -től való távolságát. b) azon egyenes egyenletét, amely átmegy a -n i. és a két egyenes metszéspontján. ii. és ∥ _-vel. iii. és ⊥ ℎ-ra. c) a pont és a ℎ egyenes távolságát!
3. A paraméterek mely értékeire lesz köregyenlet: a) + + 4 + 10 + 9 = 0? b) 4 + O − 32 + 24 + P + R = 0?
4. Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a '6, 1( ponton és érinti a) az -tengelyt! b) az -tengelyt! c) az - és az -tengelyt is! 15
5. A R'−1, 2( középpontú kör átmegy a '3, −2( ponton. a) Mekkora a kör sugara? b) Adja meg a kör egyenletét!
6. Írja fel az + − 4 + 2 = 20 egyenletű körhöz a '9, −2( pontból húzható érintő egyenletét! 7. Milyen messze van a 4 + 4 + 16 − 32 − 44 = 0 egyenletű kör középpontja az = + 3 egynestől?
8. Egy egyenes áthalad a '0, 5( és az '1, 3( ponton. E két pont egy olyan másodfokú függvény grafikonjára is illeszkedik, amely tengelypontja éppen a '0, 5( pont. a) Írja fel az egyenes egyenletét! b) Adja meg a másodfokú függvényt és zérus helyeit!
VII. ELŐADÁS •
Sorozatok
1. Legyen az '9 ( számtani sorozat. 9 = 17, 9 = 10. a) 9 =? b) =? c)
9 =?
2. Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög területe 150 JT . Mekkorák az oldalak?
3. Legyen az '9 ( számtani sorozat. = 0,5, ∑ 9 = 38 és ∑Y* 9 = 69. Mennyi a) 9 =?
4. Legyen az '9 ( számtani sorozat. zat első három tagját!
5. Legyen az '9 ( mértani sorozat. első három tagját!
b) =?
9 + 9 + 9 = −12 . Határozza meg a soro9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 80
9 + 9 + 9 = 39 . Határozza meg a sorozat 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 729
16
6. Legyen az '9 ( mértani sorozat. a) 9 = 3, 9, = 12. =? b) 9 = 3, 9 = 24. =? c) 9* − 9 = 9 + 9 + 9* = −6. 9 =?, =?
7. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 25. Az első, második és ötödik egy mértani sorozat szomszédos tagjai. Határozza meg, hogy mennyi az 9 , a és a ! 8. Egy számtan sorozat első három tagjának összege 21. Ha az elsőhöz 6-ot, a másodikhoz 13-at és a harmadikhoz 30-at adunk, akkor egy mértani sorozat egymás utáni tagjait kapjuk. Mi a számtani sorozat?
9. Egy mértani sorozat első három tagjának összege 63. Ha az első taghoz 3-at adunk, harmadikból 30-at kivonunk, akkor egy számtani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Mi a mértani sorozat?
10. Egy számtani sorozat 12. tagja valamint az első tagjának összege is 0. A sorozat első '2 − 1( darab tagjának az összege 495. Adja meg a sorozat első 3 tagjának összegét! 11. Egy '9 ( számtani sorozatban 9 = √2. Az 9 , 9 , 9* ebben a sorrendben egy mértani sorozat első három tagja. Adja meg a mértani sorozat első 10 tagjának összegét!
12. Egy számtani sorozat első négy tagja 9 , 9 , 9 , 9* . Az 9 , 9 , 9 + 5, 9* + 20 számok egy mértani sorozat első négy tagjának reciprokjaival egyenlők. Határozza meg a mértani sorozat első tagját és a hányadosát!
13. Egy különböző számokból álló számtani sorozat első három tagjából az első és a második tag sorrendjének felcserélésével egy mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. a) Mennyi ennek a mértani sorozatnak a hányadosa? b) Adja meg egy ilyen sorozat első három tagját!
14. Egy számtani sorozatról tudjuk, hogy az első tagja közül az első négy összege 26, az utolsó négy összege 110. Az első tag összege 187. Írja fel a számtani sorozat első három tagját!
15. Egy pozitív egész számokból álló mértani sorozat második tagja 6, első és harmadik tagjának összege 20. Határozza meg, hogy mely pozitív egész -ekre lesz az első tag összege osztható 10-zel!
17
•
Síkgeometria (háromszögek)
1. Mekkora a szög az OPR háromszögben, ha az O-beli belső és a P-beli külső szögfelező 60°-ban metszi egymást?
2. Egy háromszög egyik szögfelezője a szemközti oldallal 85°-os, egy másik szögfelezője 54°-os szöget zár be. Mekkorák a háromszög szöge i? 3. Egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög szögfelezőjének a hossza 10 cm. Ez a szögfelező a szemközti befogóval 60°-os szöget zár be. Adja m eg a háromszög oldalait és szögeit! 4. Egy derékszögű háromszög befogói 6 cm és 8 cm. a) Mekkora a beírt kör sugara? b) Mekkora a köré írt kör sugara? c) Mekkora a két kör középpontjának a távolsága? 5. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 6 cm, a beírt kör sugara 2 cm. Mekkora a másik befogó? 6. Adja meg annak a szabályos háromszögnek az oldalhosszúságait amelyet egy 10 cm sugarú a) körbe rajzolunk! b) kör köré rajzolunk! 7. Egy derékszögű háromszög befogói hosszának aránya 3:4, összegük 35. Mekkora a háromszög területe, átfogója és az ehhez tartozó magassága?
8. Az ABC egyenlőszárú háromszög egyik szöge Q2, az AB szakasz 100 cm. A k kör átmegy a C-n és érinti az AB szakaszt. A k kör területének hány %-a van az ABC háromszögön kívül?
18
VIII ELŐADÁS •
Síkgeometria (négyszögek, sokszögek, kör) 1. Egy deltoid átlói 75 mm, illetve 60 mm. A rövidebb áltó harmadolja a hosszabbat. Mekkora a deltoid területe és kerülete? 2. Egy téglalap oldalai AB=6 cm, BC=8 cm. A CD oldalegyenesen felvett P pontra igaz, hogy PD=3 cm. Mekkora távolságra van a P a téglalap többi csúcsától? 3. Mi az alábbi alakzat, és mekkora a területe?
4. Egy trapéz alapjainak hossza 3 és 6. Mekkora az átlók metszéspontján át az alapokkal ∥ egyenesnek a trapéz belsejébe eső szakasza?
5. Egy szimmetrikus trapéz átlói ⊥ egymásra, és 1:2 arányban osztják egymást. A rövidebbik alap legyen 10. Mekkora a területe?
6. Egy trapéz rövidebb alapja 20 cm, magassága 4 cm. A hosszabbik alapon fekvő két szög 45°, illetve 30°. Mekkora a trapéz kerüle te és területe? 7. Egy ABCD paralelogramma AB oldala 10. BC oldalának egy belső pontja legyen P, amelyre igaz, hogy PR = 25. Legyen a DP és AB egyenesek metszéspontja Q. Mekkora az AQ szakasz hossza? 8. Egy KLMN paralelogramma területe 200 cm2, a KL oldal hossza 25 cm. A l∢ = 120°. Mekkora a kerület és az átlók hossza? 9. Egy körgyűrűcikket 3 cm illetve 9 cm sugarú körívek határolnak, területe 18Q cm . Mekkora a középponti szög?
10. Egy 5 cm sugarú kört 8,66 cm hosszú húrja két körszeletre bontja. Mekkorák a körszeletke területei?
19
11. Egy k kör középpontjától 38 cm-re van a P pont. A P-ből húzott két érintőszakasz 120°-os szöget zár be. Mekkora a) a két érintőszakasz? b) a kör sugara? c) annak a síkidomnak a területe, amelyet a két érintőszakasz és az érintési pontok által meghatározott hosszabbik körív határol?
12. Húrnégyszög-e az a négyszög, amely oldalai OP = √2, PR = √6, R = O = 2 és egyik áltója OR = 2√2! Válaszát indokolja! 13. Érintőnégyszög-e az a négyszög, amelyben OP = 1, OPR∢ = 90°, POR∢ = 60°, OR = O, O =
√ ,
ahol a R felezőpontja!
14. Hány csúcsú az a konvex sokszög, amelynek együttesen 153 oldala és átlója van? 15. Mekkora ív tartozik egy 90 cm kerületű körben a 72°-os középponti szöghöz? •
Térgeometria 1. Egy téglatest élei 6, 9, 12 cm. Mekkora a) szöget zárnak be i. a testátlók a lapokkal? ii. az élekkel? b) a téglatest felszíne és térfogata? c) a testátlók és lapátlók hossza? 2. Egy négyoldalú szabályos gúla oldaléle 6,4 cm, az oldalél az alaplap síkjával 72°-ot zár be. Mekkora a gúla magassága? 3. Egy kocka éle: a. Mekkora a) a lapátló és testátló? b) a felszín és a térfogat? c) a kocka csúcsainak az egyik testátlótól való távolsága? 4. Egy szabályos tetraéder élhossza 8 cm. Mekkora a) a magassága? b) a köré írt gömb sugara? c) a beírt gömb sugara? 5. Egy forgáskúp alapkörének az átmérője egyenlő az alkotó hosszával. Határozza meg a kúp felszínét és térfogatát, ha a magassága 8√3 cm!
20
6. Mekkora annak a gömbnek a sugara, amelynek a középponttól 3 cm távolságra lévő síkmetszet területe 50,26 cm2. 7. Egy hasáb két lapja rombusz, a többi négy lapja négyzet. A hasáb minden éle 12 cm hosszú, a hasábnak van 45°-os lapszöge. Mekko ra a) a hasáb térfogata? b) a hasáb magasságai? 8. Egy 10 cm belső átmérőjű, magas üveghenger félig van vízzel. a) Melyik esetben emelkedik többet a vízszintje: i. ha egy 3 cm sugarú tömör fémgolyót helyezünk a vízbe? ii. ha egy 5 cm élű tömör fémkockát helyezünk a vízbe? b) Hány mm-t emelkedik a vízszint az i. és az ii. esetekben?
IX ELŐADÁS •
Kombinatorika, valószínűség. 1. Egy küldöttség utazik külföldre. Kilencen tudnak angolul, hatan németül, ketten mindkét nyelven beszélnek. Hány tagú a küldöttség, ha hárman e két nyelv egyikén sem tudnak megszólalni? (13) 2. Nyolc barát találkozik. Kézfogással üdvözlik egymást. Hány kézfogásra kerül sor? (28) a) a második dobásnál kapunk először 6-ost? \,^
3. Mi a valószínűsége, hogy egy szabályos kockát többször feldobva
b) a harmadik dobásnál kapunk először 6-ost? \ ,^
4. Adott négy kártya, amelyen számok vannak: 8 , 8 , 4 , 4 . a) Hány féle különböző négyjegyű szám állítható elő? (6) b) Melyik a legnagyobb és legkisebb szám? c) Mutassa meg, hogy a legnagyobb és legkisebb így előállítható négyjegyű szám különbsége osztható 9-cel! 5. Karcsi, Zoli, Pali és Juli a moziban 4 egymás melletti székre kapott jegyet. Pali feltétlenül Juli mellett akar ülni. Hányféleképpen foglalhatják el a helyüket? (12) 6. Mi a valószínűsége, hogy két kockát feldobva kapott számok összege 9? \ ^
21
7. Egy versenyen 12-en vesznek részt. a) Hányféleképpen alakulhat ki a végső sorrend, ha csak az első hármat rangsorolják? \E F ⋅ 3!^
Ez hányféleképpen valósulhat meg? \E F^ ,
b) Legyen ez a verseny a selejtező, ahol csak hatan kerülhetnek a döntőbe.
8. Egy dobozban négy különböző pár cipő van. Véletlenszerűen kiválasztunk két darab cipőt. Mi a valószínűsége, hogy ez a két darab cipő éppen egy pár? .EF/
9. Egy társaságban 6 fiú és néhány lány van. Minden fiú pontosan 2 lányt ismer és minden lány pontosan 3 fiút. Hány lány van? (4) 10. Egy üzemben 500 terméket gyártottak, amiből 20 selejt. A minőségellenőrzésen találomra kiválasztanak 10 terméket. a) Hányféle választás lehetséges? \E F^
b) Hány esetben van pontosan 5 selejt a 10-ből? \E F ⋅ E* F^
11. Hány különböző módon olvasható ki a HATÁROZOTT szó a mellékelt ábrából, ha a H-tól indulva mindig csak jobbra vagy lefelé haladhatunk? (30) H A T Á A T Á R T Á R O Z O T O T T sége, hogy nem lesz köztük romlott? .=/
12. Hat tojásból kettő romlott. Véletlenszerűen kiválasztunk kettőt, mi a valószínű>
22
Saját jegyzetek ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... 23
