Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar

Dr. Kövesi János – Erdei János – Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter – Dr. Jónás Tamás

Gazdaságstatisztika Oktatási segédanyag a Gazdaságstatisztika című tárgyhoz a Gazdálkodási és menedzsment (BA), Műszaki menedzser (BSc), Nemzetközi gazdálkodás (BA), valamint az Alkalmazott közgazdaságtan (BA) alapszakok részére

Budapest 2013

Tartalomjegyzék I. BEVEZETÉS ..................................................................................................................................................... 4 I.1 A MATEMATIKAI STATISZTIKA TÁRGYA ......................................................................................................... 5 I.2 MINTAVÉTEL, MINTAVÉTELI HIBA.................................................................................................................. 6 I.3 SOKASÁGOK CSOPORTOSÍTÁSA ...................................................................................................................... 7 I.4 ISMÉRVEK ...................................................................................................................................................... 8 I.5 MÉRÉSI SKÁLÁK............................................................................................................................................. 9 I.5.a Névleges (nominális) skála .................................................................................................................... 9 I.5.b Sorrendi (ordinális) skála ................................................................................................................... 10 I.5.c Intervallumskála (különbségskála) ...................................................................................................... 10 I.5.d Arányskála (abszolút skála) ................................................................................................................ 11 II. LEÍRÓ STATISZTIKA ................................................................................................................................. 12 II.1 A LEÍRÓ STATISZTIKA TÁRGYA ................................................................................................................... 13 II.2 A STATISZTIKAI LEÍRÁS CÉLJA, MÓDSZEREI ................................................................................................ 13 II.2.a Adatgyűjtés......................................................................................................................................... 14 II.2.b Az adatok ábrázolása ......................................................................................................................... 14 II.3 TAPASZTALATI ELOSZLÁSOK ...................................................................................................................... 16 II.3.a Egy mennyiségi ismérv szerinti rendezés és osztályozás .................................................................... 16 II.3.b Mennyiségi sorok grafikus ábrázolása ............................................................................................... 18 II.4 TAPASZTALATI ELOSZLÁSOK JELLEGZETESSÉGEI ....................................................................................... 24 II.4.a Középértékek (helyzetmutatók)........................................................................................................... 24 II.4.b Kvantilisek ......................................................................................................................................... 31 II.4.c Szóródási mutatók .............................................................................................................................. 33 II.5 AZ ELOSZLÁS ALAKJÁT JELLEMZŐ EGYÉB MUTATÓSZÁMOK ....................................................................... 38 II.6 ESETTANULMÁNY – LEÍRÓ STATISZTIKAI ELEMZÉS..................................................................................... 40 III. RÉSZEKRE BONTOTT SOKASÁG VIZSGÁLATA, STANDARDIZÁLÁS, INDEXSZÁMÍTÁS .... 47 III.1 RÉSZEKRE BONTOTT SOKASÁG VIZSGÁLATA ............................................................................................. 48 III.1.a Rész- és főátlagok ............................................................................................................................. 48 III.1.b Rész- és fősokaságok varianciája és szórása .................................................................................... 50 III.1.c Ismérvek közötti kapcsolat ................................................................................................................ 53 III.2 VISZONYSZÁMOK ...................................................................................................................................... 54 III.2.a Rész- és összetett viszonyszámok ...................................................................................................... 55 III.3 STANDARDIZÁLÁS ..................................................................................................................................... 56 III.3.a Különbségfelbontás .......................................................................................................................... 58 III.3.b Hányadosfelbontás ........................................................................................................................... 61 III.4 INDEXSZÁMÍTÁS ........................................................................................................................................ 63 III.4.a Elemzés dinamikus viszonyszámokkal .............................................................................................. 63 III.4.b Indexszámítás alapjai: aggregált sokaság ........................................................................................ 63 III.4.c Két időszakra vonatkozó indexszámítás ............................................................................................ 64 III.4.d A legfontosabb volumen- és árindex formulák.................................................................................. 66 III.4.e Az indexek átlagformái ..................................................................................................................... 68 III.4.f Néhány fontos indexösszefüggés ........................................................................................................ 69 III.4.g Aggregátumok különbsége ................................................................................................................ 70 IV. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK ............................................................... 74 IV.1 VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK .......................................................................................................... 75 IV.1.a A valószínűség fogalma..................................................................................................................... 76 IV.1.b Műveletek eseményekkel ................................................................................................................... 77 IV.1.c A valószínűségszámítás axiómarendszere ......................................................................................... 80 IV.1.d Valószínűség meghatározásának módszerei ..................................................................................... 81 IV.2 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ JELLEMZŐI ...................................................................................................... 83 IV.3 DISZKRÉT ELMÉLETI ELOSZLÁSOK ............................................................................................................ 86 IV.3.a Diszkrét egyenletes eloszlás .............................................................................................................. 86 IV.3.b Binomiális eloszlás ........................................................................................................................... 86 IV.3.c Hipergeometrikus eloszlás ................................................................................................................ 87 IV.3.d Poisson-eloszlás ................................................................................................................................ 88 IV.4 FOLYTONOS ELMÉLETI ELOSZLÁSOKHIBA! A KÖNYVJELZŐ NEM LÉTEZIK. ............................................... 89

2

IV.4.a Folytonos egyenletes eloszlás ........................................................................................................... 89 IV.4.b Exponenciális eloszlás ...................................................................................................................... 89 IV.4.c Normális (Gauss-) eloszlás ............................................................................................................... 90 IV.5 KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS TÉTELE ......................................................................................................... 93 V. BECSLÉS ........................................................................................................................................................ 94 V.1 A BECSLÉS TULAJDONSÁGAI ....................................................................................................................... 95 V.1.a Torzítatlan becslés ............................................................................................................................. 95 V.1.b Konzisztens becslés ............................................................................................................................ 96 V.1.c Hatásos becslés .................................................................................................................................. 98 V.1.d Elégséges becslés ............................................................................................................................... 98 V.2 A PONTBECSLÉS MÓDSZEREI....................................................................................................................... 99 V.2.a Exponenciális eloszlás paraméterének grafikus becslése .................................................................. 99 V.2.b Normális eloszlás paramétereinek grafikus becslése ....................................................................... 100 V.3 INTERVALLUMBECSLÉS ............................................................................................................................ 101 V.3.a Konfidenciaintervallum a normális eloszlás várható értékére ......................................................... 101 V.3.b Konfidenciaintervallum a normális eloszlás várható értékére, ha az elméleti szórás ismeretlen .... 104 V.3.c Sokasági arány becslése ................................................................................................................... 105 V.3.d Sokasági variancia becslése, ............................................................................................................ 105 VI. HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK: NEMPARAMÉTERES PRÓBÁK ....................................................... 108 VI.1 A HIPOTÉZISVIZSGÁLAT ÁLTALÁNOS MENETE ......................................................................................... 109 VI.2 ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT 2-PRÓBÁVAL .................................................................................................. 113 VI.3 2-PRÓBA ALKALMAZÁSA HOMOGENITÁSVIZSGÁLATRA ......................................................................... 115 VI.4 2-PRÓBA ALKALMAZÁSA FÜGGETLENSÉGVIZSGÁLATRA ........................................................................ 117 VI.4.a Minőségi ismérvek asszociációja .................................................................................................... 119 VII. HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK: PARAMÉTERES PRÓBÁK .............................................................. 120 VII.1 EGYMINTÁS PRÓBÁK.............................................................................................................................. 121 VII.1.a Várható értékre irányuló próbák ................................................................................................... 121 VII.1.b Szórásnégyzetre vonatkozó próba.................................................................................................. 123 VII.2 KÉT- ÉS TÖBBMINTÁS PRÓBÁK ............................................................................................................... 124 VII.2.a Két független minta várható értékének összehasonlítása .............................................................. 124 VII.2.b Páros minták várható értékének összehasonlítása ........................................................................ 126 VII.2.c Két szórásnégyzet (szórás) összehasonlítása ................................................................................. 128 VII.2.d Több szórás összehasonlítására vonatkozó próbák ....................................................................... 129 VII.2.e Varianciaanalízis ........................................................................................................................... 131 VIII. KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESZIÓELEMZÉS, IDŐSORELEMZÉS................................................ 134 VIII.1 DETERMINISZTIKUS ÉS SZTOCHASZTIKUS KAPCSOLATOK ..................................................................... 135 VIII.2 A KAPCSOLAT SZEMLÉLTETÉSE ............................................................................................................ 135 VIII.3 AZ ELŐJEL–KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓ .............................................................................................. 136 VIII.4 A LINEÁRIS REGRESSZIÓ ÉS A KORRELÁCIÓ .......................................................................................... 138 VIII.4.a Az elméleti korrelációs együttható ............................................................................................... 143 VIII.5 AZ R(X,Y) ÉS A REGRESSZIÓS EGYENES ÖSSZEFÜGGÉSE ........................................................................ 145 VIII.5.a A regressziós becslés pontossága ................................................................................................. 145 VIII.6 IDŐSOROK ELEMZÉSE, ........................................................................................................................... 148 VIII.7 IDŐSOROK ÖSSZETEVŐINEK VIZSGÁLATA ............................................................................................. 150 VIII.7.a Trend becslése mozgóátlagok segítségével .................................................................................. 151 VIII.7.b Szezonalitás vizsgálata ................................................................................................................. 153 VIII.7.c Auto- és keresztkorreláció idősorok elemzésénél ......................................................................... 154 IX. FELHASZNÁLT IRODALOM ................................................................................................................. 155

3

I. Bevezetés Valószínűségszámítás Matematikai statisztika

Valószínűségelmélet Axiómák, alaptételek

Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek

Hipotézisvizsgálat

Elméleti eloszlások

Összefüggésvizsgálat

4

I.1 A matematikai statisztika tárgya1 A matematikai statisztika a valószínűségszámítás önálló fejezete, amely a gyakorlat számára igen nagy jelentőségű. Eredeti motivációját az olyan véletlen tömegjelenségek, röviden kísérletek mennyiségi, gyakorisági viszonyainak vizsgálata adta, melyek egyrészt tetszőlegesen sokszor ismétlődhetnek (ezért tömegjelenségek), és minden megismétlődésük többféle eredménnyel – kimenetellel járhat. Mindemellett nem tudjuk (esetleg nem akarjuk, mert nem éri meg utánajárni) pontosan megmondani, kiszámítani, melyik ismétlődés alkalmával melyik kimenetel következik be (ettől indeterminisztikus a tömegjelenség). Példa ilyen kísérletre egy pénzérme feldobása: tetszőlegesen sokszor feldobhatjuk, de nem tudjuk határozottan megjósolni, hogy éppen melyik oldalára esik. Nagy számban végbemenő tömegjelenség pl. az atomi bomlás, sokszor megismételhető tömegjelenség pl. a szerencsejáték. A levonható törvényszerűségek statisztikai jellegűek, azaz nagyszámú végrehajtás során átlagosan érvényes törvények. A fenti fogalmakkal a tárgy második részében részletesen fogunk foglalkozni. A matematikai statisztika lényegét foglalja össze az 1. ábra. Sohasem a teljes sokaságot, hanem az abból alkalmas módon kivett mintát vizsgáljuk, és a minta jellemzői alapján kívánunk következtetést levonni a teljes sokaságra vonatkozóan. Hangsúlyozzuk, hogy nem a minta, hanem a teljes sokaság tulajdonságaira vagyunk kíváncsiak, és következtetéseinket e részleges megfigyelések eredményeire alapozzuk.

Következtetés

Sokaság

Minta Mintavétel 1. ábra: Mintavételi alapelvek

1

A fejezet Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985 felhasználásával készült.

5

I.2 Mintavétel, mintavételi hiba2 A vizsgálat tárgyát képező egységek összességét, halmazát statisztikai sokaságnak, vagy röviden sokaságnak nevezzük. A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye: véges sok, azonos eloszlású független valószínűségi változó együttese3. Az egyes megfigyelési eredményeket a minta elemeinek, a megfigyelések számát a minta nagyságának vagy elemszámának nevezzük. Mint a felvezetésben láttuk, a matematikai statisztika lényege, hogy a sokaságnak csak egy részét (a mintát) vizsgáljuk, ezért a statisztikai módszerek alkalmazásakor sohasem (kivéve természetesen a 100%-os mintavételt, de az már nem matematikai statisztika) lehetünk biztosak a döntésünkben. Következtetésünk természetesen alapvetően a mintán, a mintából meghatározott jellemzőkön alapul. Ugyanakkor mi nem a minta, hanem az egész sokaság tulajdonságaira vagyunk kíváncsiak, azaz a részleges megfigyelések eredményeiből következtetünk a teljes sokaságra. A statisztikai mintavételek és az ebből származó adatokat felhasználó elemzések, következtetések tehát mindig tartalmaznak hibákat. A hiba szó jelentése ebben az esetben kissé eltér a hétköznapi szóhasználatban megszokottól. A statisztikai hiba nem jelent szükségképpen valamilyen tévedést, nem megfelelő munkavégzést, figyelmetlenséget stb., hiszen a leggondosabban elvégzett mintavétel és elemzés is tartalmaz hibákat, melyek egy része elkerülhetetlen. A statisztikai hiba, amelynek egy része a módszertan sajátosságaiból (mintavétel, tömörítés, közelítés, becslés stb.) adódik, a statisztika szükségszerű velejárója. A mintavétellel kapcsolatos hibák alapvetően két nagy csoportba sorolhatók. A statisztikai hibák közül a mintával kapcsolatos teendőkhöz, az adatgyűjtéshez kapcsolódó hibát nem mintavételi hibának nevezzük. A nem mintavételi hiba független attól, hogy teljes körű vagy részleges-e az adatgyűjtés. Ilyen hibák adódhatnak abból, hogy a vizsgálni kívánt sokaságot nem tudjuk teljesen vagy helyesen áttekinteni, pontatlan az adatgyűjtés (kérdőív, a mérés stb.), hibásan rögzítik az adatokat stb. Ezek nagy része elsősorban emberi figyelmetlenségből, nem kellő körültekintésből, hibából (a szó hétköznapi értelmében), félreértésből stb. származik. Az ilyen hibák tehát függetlenek attól, hogy a teljes sokaságot vizsgáljuk-e, vagy mintavételt alkalmazunk, ezért ezeket nem mintavételi hibának nevezzük.

2

A fejezet Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996 felhasználásával készült. 3 A valószínűségi változó pontos fogalmát jegyzetünk valószínűségszámítási alapokkal foglalkozó részében ismerjük meg. Itt most tekintsük úgy, hogy egy valószínűségi változó nem más, mint egy véletlen mennyiség jellemzésére alkalmas mutatószám.

6

A mintavételi hiba a statisztikai hiba azon része, amely részleges vizsgálatok (mintavétel) esetén abból adódik, hogy nem a teljes sokaságot figyeljük meg. A sokaság teljes megfigyeléséről való lemondás ára. A mintavétel tervezésekor – nem lebecsülve a nem mintavételi hiba jelentőségét – elsősorban a jól mérhető, számszerűsíthető mintavételi hibából indulunk ki, és olyan eljárásokat keresünk, amelyek mellett a mintavételi hiba a lehető legkisebb. A mintavételi hiba a sokaság jellegén, az alkalmazott mintavételi eljáráson és a szóban forgó mutatószám milyenségén túlmenően alapvetően a mintanagyságtól függ, ahogy azt a 2. ábra is mutatja: mintavételi hiba

mintanagyság 2. ábra: A mintanagyság és a mintavételi hiba kapcsolata

Az ábrából látható, hogy a pontosság és az olcsóság (kicsi mintaszám) egymásnak ellentmondó követelmények. A mintavételek tervezésének éppen ez a kiindulópontja.

I.3 Sokaságok csoportosítása A statisztikai sokaságoknak többféle típusát különböztethetjük meg. Egyrészt léteznek álló és mozgó sokaságok, másrészt diszkrét és folytonos sokaságok. Az álló sokaság állapotot fejez ki, adatai időpontra értelmezhetőek. Álló sokaságnak tekinthető például a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem foglalkoztatottjainak vagy hallgatóinak létszáma 2013. január 1-jén. A mozgó sokaság folyamatot fejez ki, időtartamra értelmezhető. Mozgó sokaság például a BME-nél történő munkaerő-felvétel vagy az új hallgatók száma 2013 folyamán, vagy például a lakossági gázfogyasztás 2012 decemberében. A diszkrét sokaság elkülönülő egységekből áll. Az elkülönülő egységek lehetnek például vállalatok, hallgatók, foglalkoztatottak stb. A folytonos sokaság olyan tömegből áll, amelynek egységeit önkényesen határozzuk meg. Folytonos sokaság pl. a gázfogyasztás, kőolajtermelés, búza vetésterülete stb. A statisztikai sokaság tartalmazhat véges vagy végtelen számosságú egyedet. A társadalmigazdasági jelenségek vizsgálatakor általában véges sokaságokkal van dolgunk, e megfigyelések ugyanis térben és időben pontosan lehatárolt egyedek összességére

7

vonatkoznak. Végtelen sokaságokkal a kísérletek tervezése és elemzése során, illetve különböző folyamatok modellezésénél találkozunk.

I.4 Ismérvek A sokasággal összefüggő fogalom az ismérv. Olyan szempont(ok), amely(ek) alapján a sokaságot megfigyeljük, a sokaság egységeinek jellemzője. Így ismérv pl. a foglalkoztatottaknál a jövedelem nagysága, a nem, a betöltött munkakör, részvényeknél a hozam vagy az árfolyam. A sokaság egységei bizonyos jellemzők szerint egyformák, ezek a közös ismérvek. Más jellemzők tekintetében különböznek, ezek a megkülönböztető ismérvek. Így például, ha Magyarország területén működő felsőoktatási intézmények képezik a megfigyelt sokaságot (2013. január 1-jén), a közös ismérvek például a területi megjelölés (Magyarország), a tevékenység jellege (felsőoktatás), és az időponti megjelölés (2013.01.01.). Megkülönböztető ismérvek például a foglalkoztatottak száma, a szakok száma, a hallgatók száma, a tőkeállomány nagysága, az intézmény létesítésének éve stb. Az ismérv lehetséges kimeneteleit ismérv változatnak (tulajdonságnak) nevezzük. A két változattal rendelkező ismérvet alternatív ismérvnek nevezzük. Például népesség vizsgálata esetén a nemhez való tartozás: férfi, nő, vagy legyártott termékek vizsgálata esetén: selejtes, nem selejtes. Az ismérv lehet mennyiségi és nem mennyiségi ismérv. A mennyiségi ismérv méréses jellemző, kvantitatív változó. A sokaság egységeire vonatkozó számszerű megjelölést jelent, egy számmal írható le, amellyel matematikai műveletek végezhetők. Mennyiségi ismérv például foglalkoztatottak esetében a kereset nagysága, vagy az életkor, gazdálkodó szervezetek esetében például a tőkeállomány. A nem mennyiségi ismérv a sokaság egységeire vonatkozóan valamilyen kategóriát rögzít, típusa szerint lehet időbeli, területi és minőségi ismérv. Az időbeli ismérv a sokaság egységeire vonatkozó időponti vagy időtartam megjelölést jelent: pl. egy vállalat létesítésének éve vagy működésének időtartama. A területi ismérv a sokaság egységeire nézve földrajzi elhatárolást fejez ki (így pl. az egyes felsőoktatási intézményeket megkülönböztető területi ismérv, hogy melyik megyében találhatók). A minőségi ismérv (minősítéses jellemző) a sokaság egységeinek valamilyen minőségi tulajdonság szerinti megjelölése (pl. a foglalkoztatottak nem, vagy munkakör szerinti hovatartozása). Az ismérvek különböző típusaival összefüggésben foglalkozni kell azok méréselméleti kérdéseivel. E szempontok figyelmen kívül hagyásával előfordulhat, hogy nem megfelelően választjuk meg az alkalmazható módszereket, illetve műveleteket.

8

I.5 Mérési skálák A mérés során bizonyos hozzárendelési szabályok alapján szimbólumokat, számokat rendelünk dolgokhoz, tulajdonságokhoz. Ezek a hozzárendelési szabályok, illetve a mérés során alkalmazott számsoroktól elvárt tulajdonságok határozzák meg a mérési skálát. Ennek alapján négy különböző skálatípust különböztetünk meg: névleges (nominális), sorrendi/rangsor (ordinális), intervallum- és arányskálát. A mérési skálákat, a mérés szintjét a hozzárendelési szabályok határozzák meg. Mindegyik skálát invarianciájának mértékével lehet jellemezni, vagyis azokkal a transzformációkkal, amelyek a skála struktúráját változatlanul hagyják. Mielőtt az egyes skálákat részletesebben ismertetnénk, a számokból alkotható formális rendszerek néhány lényeges vonását kell megvizsgálnunk. A számok különféle relációk és műveletek szerint alkothatnak formális rendszert. A rendszert alkotó relációk és műveletek közül az egyenlőség, a sorrendiség és az additivitás minősül lényegesnek a mérési skálák meghatározása szempontjából. Az egyenlőséget, a sorrendiséget és az additivitást a következő axiómák szerint írhatjuk le: l. vagy A=B vagy AB 2. ha A=B, akkor B=A 3. ha A=B és B=C, akkor A=C 4. ha AB, akkor B
I.5.a Névleges (nominális) skála A névleges mérési szint a legegyszerűbb mérési forma. A névleges skálán az objektumokhoz rendelt szimbólumok, számok csak az objektumok, vagy azok bizonyos osztályainak azonosítására szolgálnak. A hozzárendelés teljesen kötetlen, a jelölésre bármilyen szimbólum, szám alkalmazható. A skálán a megkülönböztethetőséget követeljük meg, csak az egyenlőségi reláció értelmezhető, ez azt jelenti, hogy két objektum egyenlő vagy különböző. A névleges számhozzárendelésnek tehát két típusát ismerjük: - az egyedi objektumok azonosító számozása; - osztályok azonosítása (az egyes osztályokon belül lévő objektumok azonos számot kapnak). A jelölésre tehát bármilyen szám megfelel. A hozzárendelési szabály ebben az esetben a következő: ne rendeljünk azonos számokat különböző osztályokhoz (dolgokhoz) vagy különböző számokat azonos osztályokhoz (dolgokhoz, jelenségekhez, személyekhez stb.). Névleges mérési szintet jelent pl. a termékek azonosító számozása, az útlevélszám, repülőjárat-számok, sportban a mezszámok. Osztályok esetén meghatározható az egyes osztályokba tartozó egységek száma, ill. meghatározható a legnagyobb gyakorisággal rendelkező osztály (modális osztály).

9

I.5.b Sorrendi (ordinális) skála A névleges skála továbbfejlesztésének legegyszerűbb lépése, ha két dolgot valamilyen közös tulajdonság alapján hasonlítunk össze. A gyakorlatban számos olyan eset van, amikor a megfigyelendő dolgokat valamilyen közös tulajdonságuk alapján hasonlítjuk össze és állítjuk sorrendbe vagy másképpen kifejezve rangsort készítünk. Hangsúlyoznunk kell, hogy a sorrendi skálán mért dolgoknak egy közös tulajdonság szerint kell összehasonlíthatóknak és tranzitívnak lenni. A sorrendi skála az egységek viszonylagos helyét is meghatározza, rendezi azokat, így az egyenlőségi axiómákat a sorrendiségét tükröző 4. és 5. axiómával egészítjük ki, vagyis e skála a kisebb (<) és nagyobb () relációkat is tartalmazza. A sorrendi skálán mért dolgok nincsenek egymástól egyenlő távolságra, vagyis az egymást követő intervallumok nem azonos nagyságúak. Ezért a sorrendi skála számaival csak azokat a műveleteket végezhetjük, amelyek nem tételezik fel az intervallumok azonosságát. Bármilyen „sorrendmegőrző” transzformáció a skálát változatlanul hagyja, ezért bármelyik monoton növekvő függvény szerint transzformálhatunk. A statisztikai műveletek közül alkalmazhatjuk a névleges mérésre engedélyezett műveleteket, továbbá számíthatunk mediánt, kvantiliseket és rangkorrelációs együtthatót. Például a két közismert statisztikai jellemzőt – a számtani átlagot és szórást – szigorúan véve nem számíthatjuk ki a sorrendi mérés szintjén nyert számokból. A sorrendet jelölő mindegyik számhoz hozzáadhatunk egy állandó számot vagy vehetjük a sorszámok logaritmusát, négyzetét, stb., ezek a sorrendmegőrző transzformációk. Ordinális mérési szintnek felel meg a termékek minőségi osztályba sorolása, kérdőíves felméréseknél egy-egy kérdésre adott válasz 3, 5, vagy 7 fokozatú skálán történő mérése. Megjegyezzük, hogy jelenleg számos gazdasági, társadalomtudományi jelenséget csak sorrendi skálán mérhetünk. Az így kapott számok gyakran magasabb szintű mérésnek tűnnek, s ezért sajnos gyakori a nem engedélyezett műveletek alkalmazása, amelynek eredménye a homályos vagy félrevezető értelmezés.

I.5.c Intervallumskála (különbségskála) Az intervallumskála rendelkezik a sorrendi skála tulajdonságaival, továbbá a skálán lévő bármelyik két pont közötti különbség, távolság (a különbségek összege és aránya) is értelmezhető. Az intervallumskálát a közös és állandó mértékegység jellemzi és a számokat ennek alapján rendeljük a sorba rendezett dolgokhoz. Az intervallumskálán nincs rögzített nullpont, a skála nullpontját és mértékegységét ebben az esetben szabadon választhatjuk meg. A skála bármilyen lineáris transzformációja megengedett. A hőmérsékletet véve példaként: ha egyik nyári napon reggel +12°C, 14 órakor +36°C hőmérsékletet mértek, e két értéket nem lehet összeadni és az összegét értelmezni, vagy nem lehet azt mondani, hogy 14 órakor háromszor olyan meleg volt, mint reggel. A különbség viszont, a +24°C hőmérséklet-emelkedés értelmezhető. (Ha a hőmérsékletet nem Celsiusfokban, hanem Fahrenheit fokban fejezzük ki, egészen más értéket kapunk). Intervallumskálán mérjük a naptári időt, a tengerszint feletti magasságot, bizonyos pszichológiai, pszichofizikai jelenségeket, az intelligenciát, a szélességi-hosszúsági köröket, a

10

vízállást stb. Az intervallumskálán nyert adatokból a mértani átlag és a relatív szórás kivételével valamennyi statisztikai jellemző és mutató számítható.

I.5.d Arányskála (abszolút skála) Az arányskála rendelkezik az előbbi skálák összes tulajdonságával, valamint a 6-9. axiómákban megfogalmazott additivitási tulajdonsággal is. Az arányskálának valódi nullpontja van és bármelyik két pontjának aránya független a mértékegységtől. Az arányskálának mindig van abszolút nullpontja még akkor is, ha ezt gyakorlatilag nem lehet elérni. Az arányskála számszerű értékei egy konstans értékkel való szorzással transzformálhatók. Tömeget, hosszúságot, villamos ellenállást, és általában a klasszikus műszaki tulajdonságokat arányskálán mérjük. Így az arányskálák a műszaki és természettudományokban gyakoriak, míg a gazdaság-, társadalomtudományok területén ritkán használatosak. Az arányskálán kapott számokkal az összes arimetikai és statisztikai művelet elvégezhető. A mérési skálák négy szintje hierarchikusan épül egymásra, minden skála rendelkezik az őt megelőző skála tulajdonságaival is. Az ismérvek és a skálák közötti kapcsolatot szemlélteti az alábbi ábra. Ismérv

Mérési skála

Területi

Nominális skála

Minőségi

Sorrendi skála

Mennyiségi

Intervallum skála

Időbeli

Arányskála

3. ábra: Az ismérv típusok és a mérési skálák közötti kapcsolat (forrás: Kerékgyártóné-Mundruczó)

11

II. Leíró statisztika4 Valószínűségszámítás Matematikai statisztika

Valószínűségelmélet

4

Axiómák, alaptételek

Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek




Hunyadi, L., Mundruczó, Gy., Vita, L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest 1996 alapján

12

II.1 A leíró statisztika tárgya A számszerű információ, annak mérése és elemzése alapvető szerepet játszik a társadalmi és gazdasági jelenségek elemzésében. E számszerű adatok a legtöbb esetben azzal a sajátossággal rendelkeznek, hogy a megfigyelésük, a feldolgozásuk, elemzésük és az elemzés eredményeinek felhasználása tudományos módszereket igényel. A statisztika kifejezést többféle értelmezésben is használják. A két legáltalánosabb értelmezés: 1. statisztikai adatok, illetve azok előállításával kapcsolatos gyakorlati tevékenység; 2. statisztikai módszertan. Statisztikának nevezzük a tömegesen előforduló jelenségek adatait, az ún. statisztikai számanyagot, de azt a tevékenységet is statisztikának hívjuk, amely az adatok gyűjtését, rendezését, tömörítését, elemzését foglalja magában. A módszertan pedig az a statisztikai gyakorlati tevékenység, amely a statisztikai következtetések elméletével, módszereivel foglalkozik. A statisztikai módszertannak többféle ágát szokás megkülönböztetni. Az általános statisztikai módszertanon belül különbséget teszünk leíró (deskriptív) és következtető statisztika között. A jegyzet e fejezetében a leíró statisztika eszközeivel és módszereivel ismerkedünk. A leíró statisztika célja a vizsgálat tárgyát képező jelenség tömör, számszerű jellemzése az adatok rendezése és elemzése alapján. Nem lép túl a megfigyelésen, de a megfigyelt adatok legjobb megértésére, bemutatására, összefoglaló jellemzésére törekszik gazdag eszköztára segítségével. Ezzel szemben a következtető statisztika célja a mintából történő következtetés és általánosítás a teljes sokaságra vonatkozóan (pl. néhány ezer háztartás jövedelmi adataiból megfelelő pontossággal megbecsülhető, hogy a magyar lakosság körében milyen jövedelmi különbségek vannak, vagy a gyártósorról lekerülő termékekből vett minta alapján következtethetünk a gyártás bizonyos jellemzőire), vagyis a jelenségekre, folyamatokra vonatkozóan olyan megállapításokat tehetünk, amelyek nem csak a közvetlen megfigyelésen alapulnak. A mai bonyolult társadalmi-gazdasági jelenségek vizsgálatakor a mintavételes eljárások a gyakoribbak, mert a jelenségek teljes körű felmérése erőforrás-igényes feladat. A leíró statisztika a megfigyelt adatok bemutatását, összefoglaló jellemzését tűzi ki célul, és ehhez az elemzéshez sokoldalú eszköztárt kínál, ebben a fejezetben célunk ennek az eszköztárnak a bemutatása.

II.2 A statisztikai leírás célja, módszerei A leíró statisztika a numerikus információk összegyűjtését, az információk összegzését, tömör jellemzését szolgáló módszereket foglalja magában, legfontosabb területei:  adatgyűjtés  adatok ábrázolása  adatok csoportosítása, osztályozása  adatokkal végzett egyszerűbb aritmetikai műveletek  eredmények megjelenítése

13

II.2.a Adatgyűjtés Az egyedi mérésekből származó adatok (mennyiségi ismérvek) lehetnek diszkrétek és folytonosak. Egy diszkrét mennyiségi ismérv csak véges vagy megszámlálhatóan sok, egymástól jól elkülöníthető értéket vehet fel. Például háztartások nagysága, téves telefonhívások száma, balesetek száma, adott időszak alatt bekövetkező gépmeghibásodások száma stb. Egy folytonos mennyiségi ismérv valamely adott intervallumon belül bármilyen értéket felvehet. Például háztartások havi jövedelme, lakások alapterülete, átmérő, nyúlás, gépkocsi abroncsok futásteljesítménye, nedvességtartalom.

II.2.b Az adatok ábrázolása Képzési terület Tanárképzés, oktatástudomány Művészetek Humán tudományok Társadalomtudományok Gazdaság és irányítás Jog Természettudományok Informatika Műszaki tudományok Mezőgazdaság Egészségügy, szociális gondoskodás Szolgáltatás Összesen

Összes hallgató (fő) 53 563 5 463 26 932 44 772 87 651 18 474 7 217 12 791 50 974 11 773 31 751 29 271 380 632

Ebből nő, % 71,2 56,9 69,1 65,0 66,2 61,7 47,1 20,8 18,3 45,5 76,2 57,3 57,8

4. ábra: Az adatok táblázatba rendezése (Forrás: Magyar statisztikai évkönyv 2005, KSH)

5. ábra: Oszlopdiagram

14

6. ábra: Kördiagram

7. ábra: Sávdiagram

8. ábra: Vonaldiagram

15

9. ábra: Adatok ábrázolása piktogram segítségével

II.3 Tapasztalati eloszlások II.3.a Egy mennyiségi ismérv szerinti rendezés és osztályozás Ebben a fejezetben olyan X mennyiségi ismérvekkel dolgozunk, melyeknek a megfigyelt sokaság egységeinel fellépő Xi változatai különbségi vagy arányskálán mért, valamilyen mértékegységgel rendelkező számértékek, mivel osztályozáson túlmenő elemzésre csak így nyílik lehetőség. Az ilyen mennyiségi ismérvet ezután legtöbbször változónak, az X i változatokat pedig többnyire (ismérv)értékeknek nevezzük. Az Xi ismérvértékek számszerű jellegében rejlő egyik legkézenfekvőbb lehetőség a sokaság egységeinek sorba rendezése az X változó nagysága szerint. Ezt rendszerint monoton nemcsökkenő módon szokás véghezvinni. A sorbarendezés eredményét rangsornak nevezzük. A rangsor a megfigyelési egységeknek és/vagy azokhoz tartozó Xi ismérvértékeknek monoton nemcsökkenő sorrendben történő felsorolása. A rangsor gyakran kizárólag abból a célból készül, hogy megkönnyítse a sokaság egységeinek X változó szerinti osztályozását. Az osztályozás már egyértelműen az Xi alapadatokban rejlő információ sűrítését jelenti. Az X szerinti körültekintő osztályozás eredménye és annak grafikus ábrája sok információt szolgáltat a vizsgált jelenség természetéről. Az osztályozás eredményét gyakorisági sornak vagy gyakorisági eloszlásnak nevezzük. Általános sémáját (k osztályt képezve) mutatja az alábbi ábra.

16

Az X szerint képzett osztály alsó

Osztályközép

abszolút

felső

relatív

gyakoriság

határa X10

X11

X 1*

f1

g1

X20

X21

X2*

f2

g2

Xi0

Xi1

Xi*

fi

gi

…

…

…

…

…

Xk0

Xk1

Xk*

fk

gk

N

1

Összesen

10. ábra: Gyakorisági sor

A táblázatban látható alsó és felső határok az X ismérv szerint képzett osztályok elhatárolására szolgálnak. Az egyes osztályok Xi0 alsó és Xi1 (i=1,2,...,k) felső határai bizonyos esetekben egybeesnek, máskor nem. Ez utóbbi esetben osztályközös gyakorisági sorról beszélünk. Az fi gyakoriságok rendre azt mutatják, hogy a sokaságnak hány egysége tartozik az X változó szerinti i-edik osztályba. A belőlük képzett gi gyakoriságok a relatív gyakoriságok: gi 

fi n

A gi relatív gyakoriságok rendre azt mutatják, hogy a sokaságnak hány %-a tartozik az X változó szerinti i-edik osztályba, vagyis milyen a sokaság megoszlása az egyes osztályok között. Az Xi*-gal jelölt osztályközepek arra szolgálnak, hogy a később részletezendő esetekben az iedik osztályba sorolt összes ismérvértéket helyettesítsék. Az i-edik osztály osztályközepét az i-edik osztály alsó és felső határának egyszerű számtani átlagaként adjuk meg: 1 X i  ( X i 0  X i1 ) 2 Térjünk vissza az X ismérv szerint képzett osztályok elhatárolásának kérdésére. Két esetet célszerű megkülönböztetni: 1. Az X változó diszkrét, és az általa felvehető értékek száma kicsi. Ebben az esetben a megfigyelt sokaság egységeinek X szerinti osztályozása igen egyszerű. Annyi osztályt képezünk, ahány különböző X érték lehetséges, és az egyes osztályok a sokaság azon egységeiből állnak, melyeknél az X ismérvnek egy-egy adott értéke lép fel. Ekkor az iedik osztály esetében fennáll az alsó és felső osztályhatár egybeesése. 2. Az X változó folytonos, vagy diszkrét ugyan, de az általa felvehető különböző értékek száma nagy. Ebben az esetben X lehetséges értékeinek tartományát alkalmas osztópontok kijelölése útján egymást át nem fedő intervallumokra, ún. osztályközökre bontjuk, és az i-edik osztályközbe a sokaság azon egységeit soroljuk be, melyekre nézve X i 0  X  X i1 áll fenn. Mivel az egymást követő osztályközök nem fedhetik át egymást, az i-edik osztályköz Xi1 felső határa nem eshet egybe az (i+1)-dik osztályköz Xi+1,0 alsó határával. Az Xi0 legalsó és Xk1 legfelső határ megadása viszont nem kötelező, mert magához az X változó szerinti osztályozáshoz e két érték ismerete nem feltétlenül szükséges (lásd 10. ábra). 17

Osztályközhosszúságnak a hi  X i1  X i 0 különbséget szokás tekinteni. Még egy lényeges kérdés van: hogyan dönthető el, hogy adott esetben hány osztályt képezzünk, illetve milyen hosszúságú osztályközöket alakítsunk ki? Ezzel kapcsolatban csak meglehetősen általános útmutatást lehet adni: mindig annyi és olyan hosszúságú osztályközt képezzünk, hogy a kapott gyakorisági sor:  könnyen áttekinthető legyen;  hagyja megmutatkozni a sokaság egységeinek az X változó nagysága szerinti megoszlásában mutatkozó szabályszerűséget;  és előnyös, ha az osztályközök határai és/vagy hosszúságai és/vagy az osztályközepek kerek számok. Mindez a tömörítés és részletezés közötti kompromisszumok kereséséről szól. Az osztályozás egyrészről információveszteséggel jár, hiszen az egységek egyedi tulajdonságaira vonatkozó ismereteink elvesznek. Ugyanakkor egy jó osztályozás jelentősen megkönnyíti a vizsgált jelenség egészének áttekintését, ami viszont bizonyos többletinformáció az alapadatokhoz képest. Ezért minden osztályozás során törekedni kell az osztályozás révén előálló információveszteség és információnyereség bizonyos egyensúlyára. A túl kevés osztályköz nagy információveszteséghez vezethet, túl sok osztály esetén pedig nem tud érvényesülni a gyakoriságok alakulásában többnyire jelenlévő szabályszerűség. Az osztályok ésszerű számát illetően jó támpont lehet k azon legkisebb k0 értéke, amelyre már 2 k0  N áll fenn. Ha osztályközös gyakorisági sor képzésére van szükség, és egyenlő hosszúságú osztályközöket kívánunk kialakítani, akkor a k0-nak megfelelő osztályközhosszúság X  X min h0  max k0 ahol Xmin, ill. Xmax az X változó legkisebb, ill. legnagyobb előforduló értéke. Semmiképpen sem merev szabályról van szó, hiszen teljesen elfogadott gyakorlat a h 0 érték nagyvonalú kerekítése is. A legmegfelelőbb megoldás érdekében célszerű többféle osztályközszámmal és/vagy –hosszúsággal is kísérletezni, és az osztályozási eredményeket grafikusan is ábrázolni és összehasonlítani. A gyakorlati tapasztalatok szerint egy osztályozás akkor megfelelő, ha az osztályok számának és határainak egy bizonyos sávon belüli változtatása nem nagyon befolyásolja a grafikus képet. A gyakorlatban ehhez 5-15 osztály használata szinte mindig elegendő. Eddig egyenlő hosszúságú osztályközökről esett szó, de ezek alkalmazása nem mindig kötelező és nem is mindig célszerű. Ha az X ismérv legnagyobb és legkisebb értéke közötti különbség nagy, és a sokaság egységei nem egyenletesen helyezkednek el az adott intervallumon belül, hanem annak valamely szakaszára tömörülnek, akkor célszerűbb egyenlőtlen hosszúságú osztályközöket használni.

II.3.b Mennyiségi sorok grafikus ábrázolása Az adatok ábrázolásának általános lépései a következők: 1. Osztályba sorolás (folytonos adatok és nagyszámú diszkrét megfigyelés esetén); 2. gyakoriságok (fi) megállapítása; 3. relatív gyakoriságok (gi) megállapítása:

18

gi  4. 5. 6.

7.

fi , n

ahol n a megfigyelt elemek száma; összegzett (kumulált) gyakoriságok (fi’), illetve összegzett relatív gyakoriságok (gi’) megállapítása; gyakorisági táblázat készítése (fi , gi , fi’ , gi’ adataiból); gyakorisági (relatív gyakorisági), illetve összegzett gyakorisági (relatív gyakorisági) hisztogramok (folytonos adatok esetén a poligon és az ogiva) felvétele (tapasztalati eloszlások elkészítése); grafikus ábrázolás.

A mennyiségi sorok közül elsősorban a (relatív) gyakoriságokat és a kumulált (relatív) gyakorisági sorokat szokás ábrázolni vonal-, ill. oszlopdiagramok segítségével. A gyakorisági sor oszlopdiagramját hisztogramnak, vonaldiagramját pedig gyakorisági poligonnak nevezik. A vízszintes tengelyre mindig az X ismérv értékei kerülnek, a függőleges tengelyen pedig a (relatív) gyakoriságok, ill. kumulált (relatív) gyakoriságok kerülnek. Példa (kevés számú diszkrét adat) Egy folyamatos üzemben 24 órán keresztül feljegyezték a gépleállások számát. A leállásokra vonatkozóan az alábbi értékek adódtak óránkénti megoszlásban: Óra Leállások száma Óra Leállások száma

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 3 1 2 0 3 4 5 2 6 1 1 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4 0 2 3 2 0 2 3 1 4 1 6

1. Táblázat: 24 óra alatti gépleállások alakulása

A példa adatai a következő gyakorisági táblázatba és hisztogramba rendezhetők: leállások száma óránként 0 1 2 3 4 5 6 összesen

az előfordulások gyakorisága (fi) 3 5 5 4 3 2 2 24 2. Táblázat

19

relatív gyakoriság (gi) 0,125 0,208 0,208 0,168 0,125 0,083 0,083 1,000

11. ábra: Gyakoriságok ábrázolása diszkrét adatok esetén

Kevésféle értéket felvevő diszkrét mennyiségi ismérvek esetében csakis az ábrázolni kívánt (relatív) gyakoriságokkal arányos hosszúságú, valamilyen feltűnő módon megjelölt végpontú egyenes szakaszokkal történhet az ábrázolás. Az ilyen ábrát pálcikadiagramnak nevezik. A kumulált (összegzett) gyakorisági táblázat és hisztogram: leállások száma 0 1 2 3 4 5 6

kumulált gyakoriság (fi’) 3 8 13 17 20 22 24

kumulált relatív gyakoriság (gi’) 0,125 0,333 0,541 0,709 0,834 0,917 1,000

3. Táblázat

12. ábra: Kumulált relatív gyakoriságok ábrázolása diszkrét adatok esetén

20

Példa (nagyszámú folytonos adat) Mint későbbi tanulmányaink (pl. Vállalati pénzügyek) során látni fogják, a gazdasági elemzéseknél gyakran szükség van a részvényektől elvárt hozam becslésére. (A részvények elvárt hozama időben viszonylag stabil, így a jövőre vonatkozó becsléseinket múltbeli adatainkra alapozhatjuk). A Budapesti Értéktőzsde Részvényindexének (BUX) 2005 márciusától 2013 júniusáig tartó időszak havi hozamainak értékeit az alábbi táblázatban foglaltuk össze. A 2008. októberi adat (-33,44%) a többi adatot tekintve erősen kiugrónak (outlier-nek) számít, így ezt az adatot elemzésünkből elhagyjuk, és a maradék 99 adat alapján végezzük el a leíró statisztikai elemzést. hónap 2005. március 2005. április 2005. május 2005. június 2005. július 2005. augusztus 2005. szeptember 2005. október 2005. november 2005. december 2006. január 2006. február 2006. március 2006. április 2006. május 2006. június 2006. július 2006. augusztus 2006. szeptember 2006. október 2006. november 2006. december 2007. január 2007. február 2007. március

hozam -7,188% -4,360% 3,185% 10,292% 10,053% 4,021% 6,182% -11,159% 3,112% -1,857% 6,599% 4,480% -0,669% 5,447% -13,671% 0,764% 5,398% -2,072% -1,713% 2,883% 2,161% 8,234% -3,210% -2,902% 0,222%

hónap 2007. április 2007. május 2007. június 2007. július 2007. augusztus 2007. szeptember 2007. október 2007. november 2007. december 2008. január 2008. február 2008. március 2008. április 2008. május 2008. június 2008. július 2008. augusztus 2008. szeptember 2008. október 2008. november 2008. december 2009. január 2009. február 2009. március 2009. április

hozam 8,200% 4,917% 7,997% 1,152% -6,569% 3,616% -3,696% -6,113% 1,836% -11,116% 0,111% -7,927% 3,986% -0,057% -10,216% 8,558% -5,564% -10,735% -33,440% -6,192% -3,634% -6,110% -12,233% 8,298% 15,066%

hónap

hozam 14,878% 2009. június 2,533% 2009. július 12,038% 2009. augusztus 11,520% 2009. szeptember 4,223% 2009. október 1,698% 2009. november 1,132% 2009. december 1,999% 2010. január 2,808% 2010. február -2,616% 2010. március 13,104% 2010. április 2,119% 2010. május -11,369% 2010. június -4,881% 2010. július 5,612% 2010. augusztus 1,320% 2010. szeptember 2,963% 2010. október -0,402% 2010. november -11,464% 2010. december 3,276% 2011. január 6,280% 2011. február 1,946% 2011. március -0,414% 2011. április 4,667% 2011. május -3,304%

2009. május

hónap 2011. június 2011. július 2011. augusztus 2011. szeptember 2011. október 2011. november 2011. december 2012. január 2012. február 2012. március 2012. április 2012. május 2012. június 2012. július 2012. augusztus 2012. szeptember 2012. október 2012. november 2012. december 2013. január 2013. február 2013. március 2013. április 2013. május 2013. június

hozam -2,963% -4,857% -15,731% -15,778% 10,947% 0,196% -3,817% 10,699% 2,072% -3,433% -2,173% -12,454% 7,427% 0,385% 0,606% 5,956% 3,343% -5,098% -0,505% 6,368% -2,950% -5,170% 2,372% 5,203% -1,247%

4. Táblázat

A fenti példánk alapján a gyakoriság táblázat: alsó határ -20,00% -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% összesen

felső határ -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00%

fi 2 9 9 23 32 15 8 1 99

f’i 2 11 20 43 75 90 98 99

gi [%] 2,02% 9,09% 9,09% 23,23% 32,32% 15,15% 8,08% 1,01% 100,00%

g’i [%] 2,02% 11,11% 20,20% 43,43% 75,76% 90,91% 98,99% 100,00%

5. Táblázat

Osztályközös gyakorisági sorok esetében egymás mellé állított oszlopokkal történhet a gyakoriságok vagy kumulált gyakoriságok ábrázolása (14. ábra). Ennél az ábrázolásnál az oszlopok területe kell, hogy arányos legyen az ábrázolni kívánt gyakorisággal vagy más adattal. 21

Vonaldiagramok esetében az egymás után következő oszlopok felső éleinek középpontját kötjük össze egyenes szakaszokkal. Ez utóbbi esetben a legelső és a legutolsó középpontot szokás összekötni az X tengely azon pontjaival, amelyek az első osztályközt megelőző, illetve az utolsó osztályközt követő, e két osztályközzel azonos hosszúságú fiktív osztályköz középpontjának felelnek meg (13. ábra).

13. ábra: Relatív gyakoriság vonaldiagramja

Folytonos mennyiségi ismérv esetén, ha a gyakorisági hisztogramot úgy alakítjuk ki, hogy az oszlopok összterülete 1, a kapott ábrát az X változó szerinti empirikus sűrűségfüggvénynek szokás nevezni (lásd 14. ábra) Az empirikus eloszlásfüggvény a kumulált relatív gyakorisági sor oszlopdiagramja (lásd 16. ábra). Ezek az elnevezések, mind majd látni fogjuk a valószínűségszámítás és a statisztika közötti szoros kapcsolatra hívják fel a figyelmet.

14. ábra: Empirikus sűrűségfüggvény (oszlopdiagram)

22

A kumulált relatív gyakoriság vonaldiagramja:

15. ábra: Kumulált relatív gyakorisági vonaldiagramja

Kumulált relatív gyakorisági hisztogram:

16. ábra: Empirikus eloszlásfüggvény (kumulált relatív gyakorisági hisztogram)

Ha elképzeljük, hogy a vizsgált sokaság végtelen nagy, és oly módon ábrázoljuk a hozzá tartozó gyakorisági sort, hogy a használt osztályközök hossza egyre kisebb, azaz 0-hoz tart, akkor a gyakorisági poligon folytonos görbébe megy át, amit az X ismérv gyakorisági görbéjének nevezünk. A gyakorisági görbe a gyakorisági poligon (hisztogram) elméleti határesete, egyfajta matematikai modellje. A gyakorisági görbe ugyanis mindig megadható az ismérvértékek valamilyen függvényeként. A folytonos adatok eloszlásfüggvényét folytonos vonallal is összeköthetjük, és az így kapott görbét ogivának nevezzük. Ez azt mutatja meg, hogy megközelítően milyen lenne a tapasztalati eloszlásfüggvény, ha az osztályközöket minden határon túl csökkentenénk, az osztályközökbe eső adatok számát pedig minden határon túl növelnénk.

23

17. ábra: Példa ogivára

Az ogivát felhasználhatjuk egy adott értéknél kisebb értékek számának vagy relatív gyakoriságának meghatározására. Fordítva is eljárhatunk, vagyis megállapíthatjuk azt az értéket, amelyik alá adott relatív gyakorisággal esnek az adatok. Az ilyen értékeket kvantiliseknek nevezzük.

II.4 Tapasztalati eloszlások jellegzetességei II.4.a Középértékek (helyzetmutatók) A középérték mutatók a gyakorisági eloszlás helyzetét egyetlen, az adatokkal azonos mértékegységű számértékkel jellemzik. E középértékekkel kapcsolatos elvárásaink, hogy legyenek:  közepes helyzetűek,  tipikusak,  egyértelműen meghatározhatóak,  könnyen értelmezhetőek. A középérték-mutatóknak két nagy csoportja ismeretes:  Helyzeti középértékek: az adatok közötti elhelyezkedésüknél fogva jellemzik a vizsgált gyakorisági eloszlás helyzetét.  Számított középértékek: az adatokkal kapcsolatos számszerű összefüggésük révén jellemzik vizsgált gyakorisági eloszlás helyzetét. Az alábbiakban bemutatásra kerülő középérték mutatók a medián, a módusz, a számtani átlag, a harmonikus átlag, a mértani átlag és a négyzetes átlag. Medián (Me) Jellemzői: helyzeti középérték, közepes helyzetű. A medián a változó azon számértéke, amelynél az összes előforduló számérték fele kisebb, fele pedig nagyobb, így a rangsorba állított sokasági számértékeket két egyenlő gyakoriságú osztályra bontja. Mindig egyértelműen meghatározható, valódi középérték, érzéketlen a

24

szélsőértékekre, és nem függ a többi ismérvértéktől sem. Ha az adathalmazunkban sok az egyforma ismérvérték, akkor használata nem tanácsos. Röviden: a nagyságrend szerint rendezett adatok középső értéke (páros számú adat esetén a két középső érték átlaga). A medián említésre méltó tulajdonsága, hogy N

X i 1

i

 A  min , ha A  Me

Ez a tulajdonság úgy értelmezhető, hogy ha minden ismérvértéket a mediánnal helyettesítenénk, akkor ezzel összességében a lehető legkisebb hibát követnénk el, amennyiben ezt a hibát minden esetben előjeltől elvonatkoztatva, az X i  Me módon mérjük. Példa 6, 8, 4, 9, 7, 3, 5, 4, 9, 7, 8, 11, 5, 7, 9, 3, 10, 5, 2, 5,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 4, 5, 7, 8, 9, 11 2, 3, 5, 5, 7, 9, 10

Me=6 Me=7,5 Me=5

Példa (diszkrét ismérv) A kumulált (relatív) gyakorisági táblázat alapján: leállások száma 0 1 2 3 4 5 6

kumulált gyakoriság (fi’) 3 8 13 17 20 22 24

kumulált relatív gyakoriság (gi’) 0,125 0,333 0,541 0,709 0,834 0,917 1,000

24 óra adatait vizsgálva keressük a rangsor középső értékét: a 12. és 13. adat számtani átlagát, mivel páros számú adatunk van. A fenti táblázat alapján (lásd kumulált gyakorisági sor) a 12. és a 13. érték a rangsorban 2, ezek számtani átlaga is 2. Így a medián értéke 2. Példa (folytonos ismérv) Ha a BUX index korábbi, 99 havi hozamadatait vesszük alapul, akkor e 99 adatot sorba állítva, a rangsor 50. tagja lesz a medián, hiszen ennél 49 kisebb és 49 nagyobb érték lesz a rangsorban, ez az érték pedig 1,132%. -15,778% -10,216% -15,731% -7,927% -13,671% -7,188% -12,454% -6,569% -12,233% -6,192% -11,464% -6,113% -11,369% -6,110% -11,159% -5,564% -11,116% -5,170% -10,735% -5,098%

-4,881% -4,857% -4,360% -3,817% -3,696% -3,634% -3,433% -3,304% -3,210% -2,963%

-2,950% -2,902% -2,616% -2,173% -2,072% -1,857% -1,713% -1,247% -0,669% -0,505%

-0,414% -0,402% -0,057% 0,111% 0,196% 0,222% 0,385% 0,606% 0,764% 1,132%

1,152% 1,320% 1,698% 1,836% 1,946% 1,999% 2,072% 2,119% 2,161% 2,372%

2,533% 2,808% 2,883% 2,963% 3,112% 3,185% 3,276% 3,343% 3,616% 3,986%

4,021% 4,223% 4,480% 4,667% 4,917% 5,203% 5,398% 5,447% 5,612% 5,956%

6,182% 6,280% 6,368% 6,599% 7,427% 7,997% 8,200% 8,234% 8,298% 8,558%

Osztályközös gyakorisági sor esetén a medián az alábbi formulával becsülhető:

25

10,053% 10,292% 10,699% 10,947% 11,520% 12,038% 13,104% 14,878% 15,066%

N  f me' 1 2 Meˆ  X me ,0   hme f me ahol me annak a legelső osztályköznek a sorszáma, amelyre igaz, hogy N f me'  2 és Xme,0 az me sorszámú osztályköz alsó határa, és a hme pedig ennek az osztálynak az osztályközhosszúsága, ami – mint láttuk korábban – egyszerűen a felső és alsó osztályhatár értékének a különbsége. Példa (folytonos ismérv) Vegyük a korábbi BUX-indexes példánkat, és tegyük fel, hogy csak a gyakorisági táblázat áll rendelkezésünkre, és nem ismerjük egyenként az összes hozamadatot. Nézzük meg, hogy ilyen esetben hogyan becsülhető a medián! alsó határ -20,00% -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% összesen

f me' 

felső határ -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00%

fi 2 9 9 23 32 15 8 1 99

f’i 2 11 20 43 75 90 98 99

gi [%] 2,02% 9,09% 9,09% 23,23% 32,32% 15,15% 8,08% 1,01% 100,00%

g’i [%] 2,02% 11,11% 20,20% 43,43% 75,76% 90,91% 98,99% 100,00%

N  N/2=49,5  a mediánt tartalmazó osztály az ötödik osztály: 0,00% ≤ x < 5,00%. 2

Meˆ  X me,0

N  f me' 1 49,5  43  2  hme  0,00   (5,00  0,00)  1,0163% f me 32

Módusz (Mo) A módusz helyzeti középérték, a tipikus ismérvérték megtestesítője. Diszkrét ismérv esetén a módusz a leggyakrabban előforduló ismérvérték, folytonos ismérv esetén a gyakorisági görbe maximumhelye. A módusz nem mindig határozható meg egyértelműen, és nem is mindig létezik. Érzéketlen a szélsőértékekre, nem függ sem az összes, sem a kiugró ismérvértékektől. Példa (diszkrét ismérv) Korábbi diszkrét, a 24 óra alatti gépleállásokat vizsgáló példánkban az óránkénti 1 és 2 leállás gyakorisága egyaránt 5-5 volt. Ebben az esetben a módusz nem határozható meg egyértelműen. Ilyen esetekben célszerű más középérték mutatót is alkalmazni.

26

leállások száma óránként 0 1 2 3 4 5 6 összesen

az előfordulások gyakorisága 3 5 5 4 3 2 2 24

Folytonos változó esetén a mediánhoz hasonló módon osztályközös gyakorisági sorból is becsülhető.

Moˆ  X mo,0 

da  hmo da  d f

Ebben a képletben mo a móduszt tartalmazó osztályköz sorszáma, és d a  f mo  f mo1

d f  f mo  f mo1

A móduszt mindig az az osztályköz tartalmazza, amelyikhez a hisztogram legmagasabb oszlopa tartozik5. Példa (folytonos ismérv) alsó határ -20,00% -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% összesen

felső határ -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00%

fi 2 9 9 23 32 15 8 1 99

f’i 2 11 20 43 75 90 98 99

gi [%] 2,02% 9,09% 9,09% 23,23% 32,32% 15,15% 8,08% 1,01% 100,00%

g’i [%] 2,02% 11,11% 20,20% 43,43% 75,76% 90,91% 98,99% 100,00%

Folytonos ismérv esetén a móduszt a legnagyobb gyakoriságú osztály tartalmazza:

Moˆ  X mo,0 

da (32  23)  hmo  0,00   (5,00  0,00)  1,73077% da  d f (32  23)  (32  15)

5

Megjegyzés: néha a módusz becslésének egyszerűen a móduszt tartalmazó osztályköz osztályközepét tekintik (példánkban ez 2,50 % lenne), ezt nyers módusznak hívják. Bárhogyan is határozzuk meg a móduszt, az arra kapott közelítő érték esetleges, mert függ az osztályközök számától és hosszától.

27

Számtani átlag A leggyakrabban használt középértékmutató: az „átlag”, a mediánnal és a módusszal szemben, amelyek helyzeti középértékek, a számtani átlag számított középértékfajta. Az a szám, amellyel az átlagolandó számértékeket helyettesítve azok összege változatlan marad. Bármely alapadathalmazból egyértelműen meghatározható, minden alapadatot felhasznál. A hátránya, hogy érzékeny a szélsőértékekre. Számítása: N

X  X 2  ...  X N X  1  N

X i 1

N

i



X N

A képlet harmadik tagját felhasználva és átrendezve azt kapjuk, hogy NX 

 X . Ez azt jelenti,

hogy az  X összegben minden Xi helyébe az átlagot téve pontosan az ismérvértékek összegét kapjuk. E definíció következménye: N

(X i 1

 X)  0

i

Ez azt jelenti, hogy ha minden ismérvértéket a számtani átlaggal helyettesítünk, akkor az e helyettesítéssel elkövetett di  X i  X előjeles hibák összességükben pontosan kiegyenlítik egymást. Bizonyítható, hogy N

(X i 1

 A) 2

i

eltérés-négyzetösszeg éppen akkor minimális, ha A  X . Ez pedig úgy is érthető, hogy az ismérvértékeknek a számtani átlaggal való helyettesítése nemcsak egymást összességükben kiegyenlítő előjeles hibákkal jár, hanem még minimálissá is teszi e helyettesítéssel elkövetett hibák négyzetösszegét. A számtani átlagot igen gyakran nem az egyenként ismert Xi alapadatokból kiindulva számítjuk, hanem sok esetben egy gyakorisági sor adataiból. Az alábbi formulát súlyozott számtani átlag formulának nevezik: r

X 

f X i

i 1

r

f i 1

 i

r

  g i X i i 1

i

ahol a jelölések a korábbiaknak megfelelően: Xi = az i. tag számértéke Xi*= az i. osztály osztályközepe fi = az i. osztály tapasztalati gyakorisága gi = az i. osztály relatív gyakorisága r = osztályok száma Mint látható, egy súlyozott számtani átlag nagyságát két tényező határozza meg: az X i értékek sorozata (vagyis az átlagolandó értékek nagysága), illetve az Xi értékekhez tartozó fi súlyszámok egymás közötti aránya, azaz relatív nagysága.

28

Példa (diszkrét ismérv): leállások száma óránként 0 1 2 3 4 5 6 összesen 6

x

f i 0

i

 xi

6

f i 0




0  3  1 5  2  5  3  4  4  3  5  2  6  2  2,54 24

i

E példa érdekessége, hogy a számtani átlagszámítás eredményeként olyan értéket kaptunk, amely a példában nem fordulhat elő. Példa (folytonos ismérv): Vegyük ismét a korábbi BUX-indexes példánkat! Ha a rendelkezésre álló 99 egyedi adatunkból számítjuk ki a számtani átlagot, 0,372%-ot kapunk. 99

x

x i 1

99

i



 15,778  (15,731)  (13,671)  ...  13,104  14,878  15,066 36,870   0,372% 99 99

Az osztályközös gyakorisági táblázatunkat alapul véve is becsülhetjük a számtani átlagot: alsó határ -20,00% -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% összesen

felső határ -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00%

fi 2 9 9 23 32 15 8 1 99

f’i 2 11 20 43 75 90 98 99

29

gi [%] 2,02% 9,09% 9,09% 23,23% 32,32% 15,15% 8,08% 1,01% 100,00%

g’i [%] 2,02% 11,11% 20,20% 43,43% 75,76% 90,91% 98,99% 100,00%

8

x

fx i 1 8

 i i

f i 1



2  (17,50)  9  (12,50)  9  (7,50)  23  (2,50)  99

i

 32  2,50  15  7,50  8 12,50  117,50  0,379% 99 8

x   g i xi  0,0202  (17,50)  0,0909  (12,50)  0,0909  (7,50)  0,2323  (2,50)  i 1

0,3232  2,50  0,1515  7,50  0,0808 12,50  0,0101 17,50  0,379% Ebben az esetben a két eredmény (az egyenkénti értékek ismeretében számított 0,372% és a súlyozott formulával számított 0,379%) közötti eltérés összefüggésben van a sokaság számosságával, az osztályközök hosszával, és az osztályközepek megválasztásával. Egyéb átlagfajták A harmonikus átlag az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok reciprokainak összege változatlan marad. Számítása (súlyozatlan, majd súlyozott formula): r

Xh 

N N

1  i 1 X i



f i 1

r

f i 1

i

i

1 X i

Leggyakrabban akkor használjuk, ha az értékek reciprokainak összege értelmezhető. Ilyen esetekkel elsősorban a leíró statisztikai viszonyszámok és indexek számításánál találkozunk. A mértani átlag az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok szorzata változatlan marad. Számítása (súlyozatlan, majd súlyozott formula): k

N

X g   Xi  N

i 1

 fi r 1

N

 X i

fi

i 1

A mértani átlagot akkor használjuk, ha az értékek szorzata értelmezhető, illetve az átlagolandó értékek exponenciálisan nőnek vagy csökkennek. Leggyakrabban az időbeli fejlődés átlagos ütemének vizsgálatakor használjuk. Idősorok elemzése során (pl. termelés évenkénti alakulása, tőzsdeindex havi változása, stb.) általában az időszakról időszakra bekövetkezett növekedést, vagy csökkenést vizsgáljuk. A négyzetes átlag az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok négyzetösszege változatlan marad. Számítása (súlyozatlan, majd súlyozott formula):

30

N

Xq 

 X i2 i 1

N

r



f i 1

i

 X i

2

r

f i 1

i

Természeténél fogva a négyzetes átlag a kiugróan magas értékekre reagál érzékenyen. A négyzetes átlag alkalmazására leginkább akkor kerül sor, amikor az értékek között pozitív és negatív értékek egyaránt előfordulnak, de az előjeleknek a vizsgálat szempontjából nincs jelentőségük, az értékek abszolút nagyságát kívánjuk a középértékekkel jellemezni. Tipikus alkalmazási területe a szórásszámítás. Választás a középértékek között Bebizonyítható, hogy ugyanazon pozitív xi értékekből számított különböző fajta átlagok között a következő nagyságrendi reláció áll fenn:

X min  X h  X g  X  X q  X max A harmonikus és a mértani átlag a nagyon alacsony, a négyzetes átlag a magas értékekre mutat fokozott érzékenységet. Az átlagolandó értékek jellege, és az átlag számításához rendelkezésre álló információ együttesen határozza meg, hogy milyen esetben melyik átlagfajtát célszerű használni. A választás során érdemes mérlegelni a következőket:  Egyértelműen meghatározható-e?  Az összes rendelkezésre álló adattól függ-e vagy sem?  Mennyire érzékeny a szélsőségesen nagy vagy kicsi értékekre?  Mekkora és milyen módon értelmezhető hibával képes helyettesíteni az alapadatokat?

II.4.b Kvantilisek Eddig egyenlő osztályköz-hosszúságú gyakorisági sorokat képeztünk, az ilyen osztályközök relatív gyakoriságai eltértek egymástól. Lehetőség van a rangsorban olyan osztópontok (osztályhatárok) keresésére, amelyek egyenlő relatív gyakoriságokat fognak közre. Az ilyen osztályközök – általában – nem egyenlő hosszúságúak. Ezen osztályhatárok megállapításához használjuk a kvantiliseket. Az Xi/k i-edik k-ad rendű kvantilis az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvértékek i/kad része kisebb, (1-i/k)-ad része pedig nagyobb, ahol k≥2 és i=1, 2 ,…, k-1. A mindig 0 és 1 közé eső i/k hányadost p-vel is szokás jelölni, a megfelelő Yp kvantilist pedig p-ed rendű kvantilisnek is szokás hívni. Meghatározásuk úgy történik, hogy adatainkat nagyság szerint növekvő sorrendbe rendezzük (rangsort készítünk), majd az értékeket k számú egyenlő gyakoriságú csoportra osztjuk, és az egyes csoportok felső határán lévő ismérvértékeket vesszük. Ezek lesznek a kvantilis értékek. A különböző számú csoportba rendezéshez a kvantilisek konkrét elnevezései tartoznak. Ha az adatokat két részre osztjuk, akkor a mediánt (Me) kapjuk. Négy részre való osztásnál kvartiliseket (Qi, i=1,2,3) ad, öt rész esetén kvintiliseket (Ki, i=1, 2, 3, 4), tíz rész esetén

31

deciliseket (Di, i=1,2,…,9) száz részre való osztásnál percentiliseket (Pi, i=1,2,3,…,99) nyerünk. Ha például az egyetemre jelentkezők pontszámát értékelve 312 pont a hatodik decilis érték, ez azt jelenti, hogy a jelentkezők hatvan százaléka 312 pontnál kevesebbel, 40%-a pedig 312 ponttal, vagy annál többel rendelkezik. k

Elnevezés

Általános jelölés

i lehetséges értéke

Lehetséges kvantilisek

2

Medián

-

1

Me

4

Kvartilis

Qi

1,2,3

Q 1, Q 2, Q 3

5

Kvintilis

Ki

1,2,3,4,

K 1, K 2, K 3, K4

10

Decilis

Di

1,2,…,9

D 1, D 2, … D 9

100

Percentilis

Pi

1,2,…,99

P 1, P 2, …,P 99

6. Táblázat: A leggyakrabban használt kvantilisek

Számítása: Rangsorba rendezett adataink i/k-ik tagja.

i ( N  1) Értéke: X i / k  X si / k   si / k ( X si / k 1  X si / k  ) k (Megjegyzés: a [ ] az egészrészt, a { } a zárójelben levő mennyiség törtrészét jelöli.) si / k 

Példa (folytonos ismérv): -15,778% -10,216% -15,731% -7,927% -13,671% -7,188% -12,454% -6,569% -12,233% -6,192% -11,464% -6,113% -11,369% -6,110% -11,159% -5,564% -11,116% -5,170% -10,735% -5,098%

-4,881% -4,857% -4,360% -3,817% -3,696% -3,634% -3,433% -3,304% -3,210% -2,963%

-2,950% -2,902% -2,616% -2,173% -2,072% -1,857% -1,713% -1,247% -0,669% -0,505%

-0,414% -0,402% -0,057% 0,111% 0,196% 0,222% 0,385% 0,606% 0,764% 1,132%

1,152% 1,320% 1,698% 1,836% 1,946% 1,999% 2,072% 2,119% 2,161% 2,372%

2,533% 2,808% 2,883% 2,963% 3,112% 3,185% 3,276% 3,343% 3,616% 3,986%

4,021% 4,223% 4,480% 4,667% 4,917% 5,203% 5,398% 5,447% 5,612% 5,956%

6,182% 6,280% 6,368% 6,599% 7,427% 7,997% 8,200% 8,234% 8,298% 8,558%

10,053% 10,292% 10,699% 10,947% 11,520% 12,038% 13,104% 14,878% 15,066%

A BUX-indexes példánk alapján számítsuk ki a következő kvantiliseket! Alsó kvartilis: 1 s1 / 4   (1  99)  25 4 Az alsó kvartilis a rangsorba rendezett 99 db havi hozamadat 25.-ik tagja: -3,696%. Értelmezése: a rangsorba rendezett adatok 1/4-e kisebb, mint -3,696%, és 3/4-e pedig nagyobb. Felső kvartilis: 3 s3 / 4   (1  99)  75 4 A felső kvartilis a rangsorba rendezett 99 db havi hozamadat 75.-ik tagja: 4,917%. Értelmezése: a rangsorba rendezett adatok 3/4-e kisebb, mint 4,917%, és 1/4-e pedig nagyobb.

32

Alsó decilis 1 s1 / 10   (1  99)  10 10 Az alsó decilis a rangsorba rendezett 99 db havi hozamadat 10. tagja: -10,735%. Értelmezése: a rangsorba rendezett adatok 1/10-e kisebb, mint -10,735, és 9/10-e pedig nagyobb. Felső decilis: 9 s9 / 10   (1  99)  90 10 Az alsó decilis a rangsorba rendezett 99 db havi hozamadat 90. tagja: 8,558%. Értelmezése: a rangsorba rendezett adatok 9/10-e kisebb, mint 8,558, és 1/10-e pedig nagyobb.

II.4.c Szóródási mutatók A rendelkezésre álló adathalmazunkban szereplő értékek változékonysága, szóródása kétféleképpen is megragadható: az egyes értékek egymás közötti különbségein, vagy pedig az egyes értékeknek egy kitüntetett értéktől (pl. valamely középérték) való eltérésein keresztül. Egy másik csoportosítási lehetőség szerint léteznek abszolút és relatív ingadozásmutatók. Az abszolút szóródási mutatók mértékegysége ugyanaz, mint az alapadatoké. A relatív szóródási mutatók elvonatkoztatnak az eredeti mértékegységtől, és különböző ismérvértékek szóródásának az összehasonlítását szolgálják. Terjedelem (R) A terjedelem az adathalmazban szereplő legnagyobb és legkisebb adat különbsége. Számítása: R  X max  X min

Előnye a könnyű számítás, hátránya, hogy csak a két legszélsőségesebb ismérvértéktől függ, ennek kiküszöbölésre használják az interkvantilis terjedelemmutatót, amely csökkenti a véletlen szélsőértékeket alakító szerepét. Az interkvantlis terjedelem az adathalmaz két szélső k-adrendű kvantilisének különbsége. Számítása: R 2  X ( k 1) / k  X 1 / k , k>2 1

k

A fenti képletnek megfelelően az interkvartilis terjedelemmutató a felső és alsó kvartilis különbségeként adódik: R1 / 2  Q3  Q1 Az interdecilis terjedelem a felső és alsó decilis különbségeként adódik: R8 / 10  D9  D1

33

Példa (diszkrét ismérv) Korábbi diszkrét, 24 óra alatti gépleállásokat vizsgáló példánk esetében: leállások száma óránként 0 1 2 3 4 5 6 összesen


R  60  6 Példa (folytonos ismérv) Vegyük ismét a korábbi BUX-indexes példánkat, és számítsuk ki a terjedelmet: R  15,066%  (15,778%)  30,844% Az interkvartilis terjedelem: R1 / 2  4,917%  (3,696%)  8,613% Az interdecilis terjedelem: R8 / 10  8,558%  (10,735%)  19,293%

Átlagos abszolút különbség (G) Az átlagos abszolút különbség a minden lehetséges módon párba állított ismérvértékek különbségeinek abszolút értékéből számított számtani átlag. Ez a G-vel jelölt ingadozásmutató azt mutatja meg, hogy az X ismérv értékei átlagosan mennyire különböznek egymástól. Mértékegysége ugyanaz, mint az alapadatoké. Számítása:

G ahol N az adatok számát jelenti. Speciális felhasználási területe meglehetősen kényelmetlen.

N N 1 Xi  X j  N ( N  1) i 1 j 1

a

koncentrációelemzés,

hátránya,

hogy

számítása

Alkalmazását egy egyszerűbb példán mutatjuk be. Példa Véletlenszerűen kiválasztunk 5 hallgatót, és kiszámítjuk a Gazdaságstatisztika tárgy zh-ján elért eredményük átlagos abszolút különbségét. Az elért pontok: 45, 52, 76, 87, 92 45 52 76 87 92

45 0 7 31 42 47

52 76 7 31 0 24 24 0 35 11 40 16 7. Táblázat

34

87 42 35 11 0 5

92 47 40 16 5 0

516  25,8 , azaz az 5 hallgató zh-n elért pontja átlagosan 25,8 ponttal tér el 5(5  1) egymástól. G

Átlagos abszolút eltérés () Az átlagos abszolút eltérés az ingadozásmutatók azon csoportjába tartozik, amelyek a szóródást az értékeknek egy kitüntetett értéktől való eltéréseire támaszkodva jellemzik. Az átlagos abszolút eltérés az egyes ismérvértékek és a számtani átlag különbségeinek abszolút értékeiből számított számtani átlag. Számítása: n

 di

  i 1 n

, ahol: d i  X i  X

Ez a mutató is becsülhető osztályközös gyakorisági sorból a tapasztalati gyakoriságok felhasználásával. Ebben az esetben a di eltérések számításánál az osztályközepeket kell alapul vennünk. A súlyozott formula: r

 fi di

  i 1r  fi i 1





3 0 2,54 51 2,54 ... 2 6 2,54 1,50342 24

A gépleállások átlagosan 1,503-al térnek el az átlagtól.

Példa (folytonos ismérv) A BUX-indexes példánk átlagos abszolút eltérése. (Az egyedi adatokból számított számtani átlagot (0,372%) felhasználva) n

 di

  i 1 n



15,7790,372  15,3710,372 ... 15,0660,372  5,3776% 99

Azaz az egyes hozamadatok átlagosan 5,3776%-kal térnek el a számtani átlagtól.

35

Osztályközös gyakorisági sorból becsülve (az ugyanígy becsült számtani átlaggal (0,379%) számolva és a gyakoriságokkal súlyozva): 2 17,500,379 9 12,500,379 ...117,500,379   6,213% 99 Azaz az egyes hozamadatok átlagosan 6,213%-kal térnek el a számtani átlagtól. Tapasztalati szórás (s), korrigált tapasztalati szórás (s*) Ahogy a számtani átlag „az átlag”, úgy a tapasztalati és a korrigált tapasztalati szórás „a szórás”. A szórás az adathalmazunk változékonyságának legfontosabb mérőszáma. Nagyon hasonlít az előbbi mutatóhoz, és jelentése is hasonló: annyiban tér el, hogy a di eltérések előjelét nem abszolút érték képzésével, hanem négyzetre emeléssel „oldja meg”, majd a négyzetre emelést gyökvonással „teszi jóvá”. A szórás az egyes Xi ismérvértékek átlagtól vett di eltéréseinek négyzetes átlaga. Azt mutatja, hogy az egyes értékek átlagosan mennyire térnek el a számtani átlagtól. Tapasztalati szórás számítása (súlyozatlan és súlyozott formulák):





N N 2 2  X X  di i s  i 1  i 1  N N

r  2  fi ( X  X ) i i1 r  fi i 1

Korrigált tapasztalati szórás számítása: N

s* 



 Xi  X

i 1



2

N 1



7 2  fi di 3  (0  2,54) 2  5  (1  2,54) 2  ...  2  (6  2,54) 2 s  i 17   1,779 24  f i 1 i Az óránkénti leállások száma átlagosan 1,779 db-bal tér el az átlagos értéktől.

36

Példa (folytonos ismérv) BUX-indexes példánk szórása az egyedi adatokból számolva (az egyenkénti adatokból számított számtani átlagtól (0,372%) való átlagos eltérést mérve):





99  X  0,372 2 i s  i 1  99





99  X  0,372 2 i s  i  1  98

 15,779  0,3722   15,371  0,3722  ...  15,066  0,3722 99

 15,779  0,3722   15,371  0,3722  ...  15,066  0,3722 98

 6,77%

 6,806%

Az egyes hozamadatok 6,77%-kal, illetve korrigált esetben 6,806%-kal térnek el átlagosan az átlagtól.

Osztályközös gyakorisági sorból becsülve: alsó határ -20,00% -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% összesen

felső határ -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00%

f’i 2 11 20 43 75 90 98 99

fi 2 9 9 23 32 15 8 1 99

gi [%] 2,02% 9,09% 9,09% 23,23% 32,32% 15,15% 8,08% 1,01% 100,00%

g’i [%] 2,02% 11,11% 20,20% 43,43% 75,76% 90,91% 98,99% 100,00%

Gyakorisági sorból becsült számtani átlaggal (0,379%): 8 2  fi di 2  (17,50  0,379) 2  9  (12,50  0,379) 2  ...  1  (17,50  0,379) 2 s  i18   7,3% 99  f i1 i Az egyes hozamadatok átlagosan 7,3%-kal térnek el az átlagtól.

Relatív szórás (v) A relatív szórás a szórás és a számtani átlag hányadosa. Elsősorban különböző sokaságok vagy ismérvek szóródásának összehasonlítására használják. Úgy is értelmezhető, mint az értékek átlagtól vett átlagos eltérése, ezért minél kisebb a relatív szórás, a számtani átlag annál jobban jellemzi az alapadatokat. Számítása pozitív Xi ismérvértékek esetén:

v

s  100% X

Példa (diszkrét ismérv):

v

1,779  0,7  70% 2,54

37

II.5 Az eloszlás alakját jellemző egyéb mutatószámok A gyakorisági eloszlások alakmutatói annak tömör és számszerű jellemzésére szolgálnak, hogy azok milyen tekintetben és milyen mértékben térnek el az ebből a szempontból etalonnak tekintett normális eloszlás jellegzetes gyakorisági görbéjétől (az ún. haranggörbétől)6. Az eltérések fajtái:  az etalonnak tekintett normális eloszlás haranggörbéjéhez képest bal ill. jobb oldali aszimmetria;  az etalonnak tekintett normális eloszlás haranggörbéjéhez képest csúcsosabb, vagy lapultabb.

18. ábra: Eloszlások alakjának lehetséges eltérése a normál eloszlástól

Aszimmetria mutató A bal oldali aszimmetriával rendelkező eloszlások grafikus ábrája a módusztól jobbra hosszan elnyúlik. Ennek megfelelően a jobb oldali aszimmetriát mutató eloszlásokat pedig balra hosszan elnyúló eloszlásoknak nevezik7. Többféle aszimmetria mérőszám létezik, mi ezek közül most egyet mutatunk be: Pearson-féle mutatószám:

3  ( x  Me) s A Pearson-féle mutatószám mérsékelten aszimmetrikus eloszlásoknál nem szokott 1-nél nagyobb lenni. Ez a mutató az átlag és a medián különbségére alapozza az aszimmetria P

6

Megjegyzés: mivel a normális eloszlás egy móduszú, így ennek az összehasonlításnak csak szintén egy móduszú gyakorisági eloszlások esetén van értelme. Ha egy gyakorisági görbének több módusza van, akkor az arra enged következtetni bennünket, hogy az elemzést a sokaság részekre bontásával célszerű folytatni, mert az eddig megismert mutatószámok nem alkalmasak a vizsgált jelenség tömör, számszerű jellemzésére. 7 A társadalmi-gazdasági jelenségek elemzésekor általában bal oldali aszimmetriával találkozunk. Ennek oka, hogy a 0 érték, vagy a vizsgált társadalmi-gazdasági jelenség természetéből adódóan valamilyen minimális érték kemény alsó korlátot képez, míg felülről nem létezik ilyen korlát. Pl. a jövedelmek vagy a vagyon nagyságának eloszlása tipikusan bal oldali aszimmetriát mutat.

38

jellemzését. A mutató pozitív értéke bal oldali, negatív értéke pedig jobb oldali aszimmetriára utal. Példa (folytonos ismérv) (egyedi adatokból indulunk ki, és nem osztályközös gyakorisági sorból)

P

3  ( X  Me) 3  (0,37879  1,0173)   0,283 s 6,77

Enyhe jobb oldali aszimmetria8 (18. ábra). Csúcsossági mutató A csúcsossági mutatók közül is egy mutatót emelünk ki. Ez a mutató azon a megfigyelésen alapszik, hogy minél csúcsosabb egy eloszlás, annál kisebb a felső és alsó kvartilis különbségének a fele a két szélső decilis különbségéhez viszonyítva. Normális eloszlás esetén ennek értéke 0,263, ami a mutató értékeléséhez ad támpontot. Minél lapultabb a vizsgált gyakorisági eloszlás, annál nagyobb K értéket kapunk. Példa (folytonos ismérv) Felhasználva a korábbiakban kiszámított kvartilis és decilis értékeket: K

Q3  Q1 4,916  (3,696) 8,612    0,223 2  ( D9  D1 ) 2  (8,558  (10,735)) 38,586

Esetünkben valamivel csúcsosabb a gyakorisági eloszlás, mint a normális eloszlásé. Összefoglalás A gyakorisági eloszlások helyzetének, szóródásának és alakjának jellemzésére szolgáló mutatószámok közül gyakorlati szempontból az átlag és a szórás a legfontosabb. Az átlag és a szórás ismeretében a valószínűségszámítás egyes eredményeire támaszkodva elég jó becslés adható arra, hogy az értékek milyen intervallumon belül ingadoznak. Ha az átlag és a szórás mellett még ismert néhány alkalmasan megválasztott kvantilis, vagy az aszimmetria és a csúcsosság valamilyen mutatószáma is, egészen jól felvázolható a vizsgált gyakorisági eloszlás grafikus képe még akkor is, ha sem az alapadatokat, sem a gyakorisági sort nem ismerjük.

8

39

II.6 Esettanulmány – leíró statisztikai elemzés Végezzük el a 8. Táblázat alapján 100 MBA hallgató bérének leíró statisztikai elemzését! Ssz. BrBér/hó Pozíció 1 300 Felső 2 810 Felső 3 220 Közép 4 500 Közép 5 250 Beoszt. 6 375 Beoszt. 7 210 Beoszt. 8 145 Beoszt. 9 100 Beoszt. 10 400 Beoszt. 11 110 Beoszt. 12 350 Közép 13 164 Beoszt. 14 104 Közép 15 340 Beoszt. 16 650 Közép 17 250 Felső 18 600 Közép 19 1000 Felső 20 331 Beoszt. 21 500 Felső 22 278 Beoszt. 23 1100 Felső 24 835 Felső 25 240 Beoszt. 26 450 Beoszt. 27 400 Beoszt. 28 350 Felső 29 550 Beoszt. 30 80 Felső 31 700 Beoszt. 32 250 Közép 33 400 Beoszt. 34 355 Közép 35 380 Beoszt. 36 450 Felső 37 330 Beoszt. 38 520 Közép 39 150 Beoszt. 40 800 Közép 41 790 Közép 42 330 Közép 43 390 Közép 44 850 Felső 45 500 Beoszt. 46 370 Beoszt. 47 400 Közép 48 350 Beoszt. 49 65 Beoszt. 50 70 Felső

Nem Életkor Férfi 28 Férfi 43 Nő 28 Férfi 44 Nő 25 Férfi 36 Nő 28 Nő 27 Nő 26 Nő 28 Férfi 24 Nő 40 Nő 30 Nő 29 Férfi 39 Férfi 25 Nő 36 Férfi 28 Férfi 41 Férfi 33 Nő 39 Férfi 30 Férfi 53 Nő 39 Férfi 31 Nő 26 Nő 28 Férfi 33 Férfi 26 Férfi 44 Férfi 28 Férfi 34 Nő 32 Férfi 38 Nő 27 Nő 34 Nő 26 Férfi 39 Nő 33 Nő 45 Nő 33 Férfi 26 Nő 30 Férfi 33 Nő 30 Nő 31 Nő 34 Nő 45 Nő 25 Férfi 35

Ssz. BrBér/hó Pozíció 51 350 Beoszt. 52 222 Beoszt. 53 900 Közép 54 120 Beoszt. 55 400 Felső 56 450 Közép 57 340 Közép 58 320 Közép 59 200 Közép 60 730 Közép 61 300 Felső 62 210 Beoszt. 63 451 Közép 64 103 Beoszt. 65 65 Felső 66 230 Beoszt. 67 340 Beoszt. 68 255 Beoszt. 69 600 Közép 70 425 Közép 71 320 Közép 72 195 Beoszt. 73 707 Közép 74 225 Beoszt. 75 400 Közép 76 342 Beoszt. 77 200 Közép 78 370 Közép 79 575 Beoszt. 80 500 Felső 81 510 Felső 82 90 Közép 83 120 Felső 84 810 Felső 85 80 Beoszt. 86 250 Beoszt. 87 260 Beoszt. 88 700 Felső 89 550 Közép 90 500 Beoszt. 91 275 Beoszt. 92 900 Felső 93 280 Közép 94 182 Beoszt. 95 250 Közép 96 350 Felső 97 200 Közép 98 625 Közép 99 250 Beoszt. 100 720 Beoszt.

8. Táblázat

40

Nem Férfi Férfi Nő Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Nő Férfi Nő Férfi Férfi Férfi Nő Nő Nő Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Nő Férfi Nő Nő Nő Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Férfi Nő Nő Férfi Nő Férfi Férfi Nő

Életkor 29 31 38 33 45 36 45 32 32 40 38 32 36 25 46 33 31 34 35 35 35 27 40 31 50 33 29 45 29 32 25 31 42 45 27 32 27 42 28 26 31 40 37 30 26 48 25 33 28 29

A leíró statisztikai elemzés menete: 1. Osztályok számának meghatározása. (egy lehetséges módszer) 2k 0  N h0 

27  128  100

Ymax  Ymin k0

h0 

1100  65  147,85  150 7

2. Gyakorisági táblázat osztályhatárok 65 215 215 365 365 515 515 665 665 815 815 965 965 1115 Összesen:

fi 22 33 22 8 9 4 2 100

gi 0,22 0,33 0,22 0,08 0,09 0,04 0,02 1,00

f i’ 22 55 77 85 94 98 100

gi’ 0,22 0,55 0,77 0,85 0,94 0,98 1,00

f i’ 15 38 60 76 83 89 94 98 99 100

gi’ 0,15 0,38 0,6 0,76 0,83 0,89 0,94 0,98 0,99 1,00

9. Táblázat

Egy kicsit „gyakorlatiasabb” osztályba sorolással: Legyen h0 = 110 k0 = 10 osztályhatárok 65 175 175 285 285 395 395 505 505 615 615 725 725 835 835 945 945 1055 1055 1165 Összesen:

fi 15 23 22 16 7 6 5 4 1 1 100

gi 0,15 0,23 0,22 0,16 0,07 0,06 0,05 0,04 0,01 0,01 1,00 10. Táblázat

3. Medián 1 s1 / 2  (100  1)  50,5 2 Me  350  0,5(350  350)  350

41

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

65 65 70 80 80 90 100 103 104 110 120 120 145 150 164 182 195 200 200 200

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

210 210 220 222 225 230 240 250 250 250 250 250 250 255 260 275 278 280 300 300

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

320 320 330 330 331 340 340 340 342 350 350 350 350 350 355 370 370 375 380 390

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

400 400 400 400 400 400 425 450 450 450 451 500 500 500 500 500 510 520 550 550

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

575 600 600 625 650 700 700 707 720 730 790 800 810 810 835 850 900 900 1000 1100

Medián becslése a gyakorisági táblázat (2. osztályba sorolást alkalmazva) alapján

Meˆ  xme ,0 ! f me 

N  f me' 1  2  hme f me

N 2

Meˆ  285 

50  38  110  345 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

65 65 70 80 80 90 100 103 104 110 120 120 145 150 164 182 195 200 200 200

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

210 210 220 222 225 230 240 250 250 250 250 250 250 255 260 275 278 280 300 300

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

4. Kvartilisek meghatározása 1 s1 / 4  (100  1)  25,25 4 Q1  225  0,25  ( 230  225)  226,25 3 s3 / 4  (100  1)  75,75 4 Q3  500  0,75  (500  500)  500

42

320 320 330 330 331 340 340 340 342 350 350 350 350 350 355 370 370 375 380 390

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

400 400 400 400 400 400 425 450 450 450 451 500 500 500 500 500 510 520 550 550

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

575 600 600 625 650 700 700 707 720 730 790 800 810 810 835 850 900 900 1000 1100

5. Módusz mo=2

Moˆ  xmo ,0 

da  hmo da  d f

d a  f mo  f mo 1 d f  f mo  f mo 1 Moˆ  175 

23  15  110  273 ( 23  15)  ( 23  22)

6. Számtani átlag Y 

f i xi 15  120  23  230  ...  1  1000  1  1110 39280    392,8 f i 100 100

Becslés gyakorisági táblázatból: Osztályhatárok 65 175 175 285 285 395 395 505 505 615 615 725 725 835 835 945 945 1055 1055 1165

Osztályközép 120 230 340 450 560 670 780 890 1000 1110 Összesen: 11. Táblázat

7. Grafikus ábrázolás, hisztogram 7 osztályba sorolva:

43

fi 15 23 22 16 7 6 5 4 1 1 100

fiYi 1800 5290 7480 7200 3920 4020 3900 3560 1000 1110 39280

Hisztogram 35 30

Gyakoriság

25 20 15 10 5 0

5 21

5 36

5 51

5 66

5 81

5 96

b 15 áb v 11 To

19. ábra

10 osztályba sorolva: Hisztogram 25 Gyakoriság

20 15 10 5 0 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 bb 17 28 39 50 61 72 83 94 10 5 11 6 vá To

20. ábra

8. Terjedelem R  xmax  xmin  1100  65  1035

Interkvartilis terjedelemmutató R0,5  Q3  Q1  500  226,25  273,75

9. Átlagos abszolút eltérés:

d 

i

 17964,8 (egyedi adatokból számolva)

1 N

x

i

x 

1 N

d

i



1 17964,8  179,65 100

10. Tapasztalati szórás

44

N

 ( x  x)

 5279635,8

2

i

i 1

N

(x

s

i 1

 x) 2

i



n N

(x

s 

i 1

i

 x) 2

n 1



(egyedi adatokból számolva)

5279635,8  229,8 100 5279635,8  230,93 99

Becslés a gyakorisági táblázat segítségével: Osztályhatárok Osztályközép 65 175 120 175 285 230 285 395 340 395 505 450 505 615 560 615 725 670 725 835 780 835 945 890 945 1055 1000 1055 1165 1110 Összesen:

fi fiYi 15 1800 23 5290 22 7480 16 7200 7 3920 6 4020 5 3900 4 3560 1 1000 1 1110 100 39280

di -272,8 -162,8 -52,8 57,2 167,2 277,2 387,2 497,2 607,2 717,2

di2 74419,84 26503,84 2787,84 3271,84 27955,84 76839,84 149923,8 247207,8 368691,8 514375,8

fi·di2 1116298 609588,3 61332,48 52349,44 195690,9 461039 749619,2 988831,4 368691,8 514375,8 5117816

12. Táblázat 10

f i 1

sˆ 

 d i  5117816 2

i

5117816  226,2 100

11. Relatív szórás V

s 229,8   0,585 Y 392,8

A relatív szórás önmagában nem árul el sok mindent. Ha egy másik évfolyam 100 főből álló mintájának relatív szórásával össze tudnánk hasonlítani, akkor a két relatív szórás közül a kisebbik esetén a számtani átlag jobban reprezentálja az alapadatokat. 12. Aszimmetria

P

3( x  Me) 3(392,8  350)   0,5587 s 229,8

Mérsékelt bal oldali aszimmetria (jobbra elnyúló eloszlás).

45

13. Lapultság, csúcsosság 1 (100  1)  10,1 10 D1  110  0,1(120  110)  111

s1 / 10 

9 (100  1)  90,9 10 D9  730  0,9(790  730)  784

s9 / 10 

K

Q3  Q1 500  226,25   0,2034 2( D9  D1 ) 2(784  111)

Mivel 0,2034<0,263, csúcsosabb, mint a normál eloszlás.

46

III. Részekre bontott sokaság vizsgálata, standardizálás, indexszámítás

47

III.1 Részekre bontott sokaság vizsgálata A gyakorlatban sokszor előfordul, hogy olyan sokaságot kell vizsgálnunk, amelyek egységei olyan kisebb-nagyobb csoportokba sorolhatóak, melyeken belül az egységek az elemzés ismérve szempontjából jellegzetesen eltérő módon viselkednek, így például a budapesti lakások fajlagos – egy négyzetméterre vetített – ára is nagy különbségeket mutat nemcsak az egyes kerületek között, hanem sokszor az egyes kerületeken belül is. Ezekben az esetekben a teljes sokaság mellett szükséges a részekre bontott sokaság vizsgálata is, pontosan azért, mert a teljes sokaságra vonatkozó elemzési eredmények nem fedik fel az előzőekben említett jellegzetes eltéréseket, ami sok esetben komoly információveszteséggel járhat együtt9. A vizsgált ismérv szempontjából lényegesen eltérő jellegzetességeket mutató részekre bontható sokaságokat az adott ismérv szempontjából heterogén sokaságoknak nevezzük. Így minden olyan esetben, amikor felmerül a vizsgált sokaság heterogenitásának gyanúja, célszerű a sokaságot részekre bontva is elemezni, mert a sokaság egyes részsokaságaira kapott eredmények, és azok egymással való összehasonlítása lényegi információkat adhat a vizsgált jelenségről. A részekre bontott elemzés elvégzéséhez részsokaságokat kell kialakítani, ami nem mindig egyszerű feladat. Olyan csoportképző ismérvet kell választani, amely a részsokaságok között meglévő heterogenitást meg tudja ragadni. Természetesen nemcsak egy sokaság valamely ismérv szerinti elemzése esetén jelentkezhetnek a sokaság heterogenitásából fakadó problémák, hanem olyan esetekben is, amikor egyszerre több sokaságot vizsgálunk viszonyszámok segítségével. Ilyenkor gyakran előfordul az, hogy az együtt vizsgált sokaságok egészének és egyes részeinek egymáshoz viszonyított nagysága lényegesen eltérő módon alakul. Az ilyen elemzések céljából azonos módon kell a sokaságon belül a részsokaságokat kialakítani.

III.1.a Rész- és főátlagok Abból indulunk ki, hogy adott egy m számú részre bontott sokaság. A teljes sokaságot fősokaságnak, a sokaság részeit pedig részsokaságoknak nevezzük. A részsokaságok egymástól való megkülönböztetésére a j indexet használjuk, amelynek lehetséges értékei: j=1, 2, …, M. A továbbiakban azzal foglalkozunk, hogy a részekre bontott fősokaság vizsgálatával hogyan gazdagíthatjuk elemzésünket, és milyen kapcsolat van a fősokaságra és a részsokaságokra vonatkozó elemzési eredmények között. Yij-vel jelöljük a vizsgált mennyiségi ismérvnek a j-edik részsokaság (j=1, 2, …, M) i-edik (i= 1, 2, …., Nj) egységénél felvett értékét. A fősokaság nagyságát N-nel jelöljük, ami M

N   N j összefüggéssel fejezhető ki, ahol Nj a j-edik részsokaság nagysága, vagyis j 1

elemszáma.

9

Ez az információveszteség a sokaság mennyiségi ismérv szerinti elemzésekor ismerhető fel (pl. leíró statisztikai feldolgozás során), mert ilyenkor a gyakorisági eloszlás grafikus képe rendszerint többmóduszú. Ennek következtében egyik középérték sem jellemzi jól a sokaságot, ami a szórás, és a relatív szórás nagy értékeiben is meg fog nyilvánulni.

48

A j-edik részsokaságra vonatkozó részátlag: Nj N Sj 1 j Yj  Y  , j  1 , 2 ,..., M S  Yij , és a j-edik részsokaság értékösszegét , ahol  ij N  j N j i 1 i 1 j jelenti. Az egész sokaságra vonatkozó főátlag N 1 M j 1 M Y   Yij   S j N j 1 i 1 N j 1 Példa10 Ismeretes, hogy a budapesti lakótelepeken a lakásárak különböző tényezők következtében lényegesen eltérnek egymástól. Ennek illusztrálása céljából egy hirdetési újságból kigyűjtötték mindazoknak a 3+1 fél szobás lakásoknak az árát, amelyek egy adott napon az újságban Budapest III. kerületében meghirdetésre kerültek. A négy lakótelepről aznap eladásra kínált sokaságokat egy-egy részsokaságnak tekintették. Az adatokat az alábbi táblázat tartalmazza: Békásmegyer Lakásárak

Mintaszám Értékösszeg

22 28 19 28 18 27 19 21 22 24 20 18 23 23 25 15 337

Pók utca Óbudai Kaszásdűlő 59 32 28 52 28 28 40 37 35 47 31 29 45 26 36 54 26 25 38 38 42 38 39 24 25 34 30 35 38 40

8 373

12 390

10 316

13. Táblázat

Első feladatunk az, hogy határozzuk meg és hasonlítsuk össze egymással az egyes részsokaságokba tartozó lakások átlagos kínálati árát, és állítsuk elő azokból az adott napon eladásra kínált 45 lakás átlagos árát. Békásmegyeri lakótelep átlagára: 22  28  ...  25 337 Y1    22,467mFt 15 15 A másik három lakótelep átlagárai rendre:

10

Forrás: Hunyadi – Vita: Statisztika közgazdászoknak, KSH, Budapest, 2002 alapján

49

373  46,625mFt 8 390 Óbudai: Y3   32,5mFt 12 316 Kaszásdűlő: Y4   31,6mFt 10 Pók utcai: Y2 

Látható, hogy a Pók utcai lakások átlagos kínálati ára a legmagasabb 46,625 mFt-os átlaggal. Az összes lakás átlagára, vagyis a főátlag:

15  22,467  8  46,625  12  32,5  10  31,6 1414   31,467mFt 45 45 Ebben az összefüggésben az 1414 mFt a vizsgált lakások árának összege, azaz a korábbiakban Sj-vel jelölt értékösszeg. Y

III.1.b Rész- és fősokaságok varianciája és szórása A szórás számítása a d  Y  Y átlagtól vett eltérésekből indul ki. Ha a sokaságot részekre bontjuk, akkor a fenti d ij  Yij  Y , j  1,2,..., M , i  1,2,..., N j eltérés két részre bontható: belső és külső eltérésre. A belső eltérés az egyes sokasági egyedekhez tartozó ismérvértékeknek (Yij-knek) az adott részsokaságra az ismérvértékekből számított átlagtól ( Y j ) vett eltérését méri:

Bij  Yij  Y j ,

j  1,2,..., M , i  1,2,..., N j

A külső eltérés az egyes részsokasági átlagoknak ( Y j ) a főátlagtól ( Y ) vett eltérését számszerűsíti: K j  Y j  Y , j  1,2,..., M A teljes eltérés a belső és külső eltérés összege: dij  Bij  K j , ahol dij a teljes eltérés. A teljes eltérés azt mutatja, hogy bármely Yij ismérvérték két ok miatt térhet el a főátlagtól: részben azért, mert az ismérvértékek minden részsokaságon belül ingadoznak az adott részsokaságra jellemző részátlag körül, részben pedig azért, mert az egyes részátlagok ingadoznak a főátlag körül. Az első fajta ingadozás a csoportképző ismérven kívüli összes egyéb tényezőnek, a második fajta ingadozás pedig kizárólag a csoportképző ismérvnek tudható be. Ez pedig annak köszönhető, hogy a csoportképző ismérv alkalmazásának célja, hogy a fősokaságot olyan részsokaságokra bontsuk, amelynek elemei az adott ismérv szempontjából jobban hasonlítanak egymáshoz, mint más részsokaság elemeihez, így az Y ismérv egy-egy részsokaságon belüli ingadozása csakis más tényezőknek tulajdonítható.

50

Példa A legmagasabb kínálati árú Pók utcai lakás ára 59 millió Ft korábbi táblázatunk szerint. Ez a kínálati ár (általunk nem vizsgált okok miatt) 59-46,625=12,375 millió Ft-tal magasabb, mint az ugyanebbe a csoportba tartozó lakások átlagos kínálati ára. Ez az 59 mFt értékű lakás belső eltérése. A Pók utcai lakások átlagos kínálati ára a lakótelep egyedi sajátosságai miatt 46,62531,467=15,158 millió Ft-tal magasabb, mint a III. kerületi ilyen típusú lakások átlagos ára. Ez pedig az adott részsokasághoz (Pók utcai lakótelep) tartozó külső eltérés. Így végül az adott 59 mFt értékű lakás 12,375+15,158=27,533 millió Ft-tal drágábban került meghirdetésre, mint egy általunk vizsgált átlagos lakótelepi lakás. A háromféle eltérés alapján háromféle szórás, illetve variancia számítható: A  T teljes szórás az egyes ismérvértékeknek a fősokasági átlagtól vett átlagos eltérése. A  T2 teljes variancia a teljes szórás négyzete. A teljes variancia a külső és belső variancia négyzetének összegeként is felírható.

T 

1 N

M

Nj

 (Y j 1 i 1

ij

Y)  2

1 N

M

Nj

 d j 1 i 1

2 ij

, illetve  T

1  N

2

M

Nj

1 (Yij  Y )   N j 1 i 1 2

M

Nj

 d j 1 i 1

2 ij

A belső eltérések felhasználásával egy részsokaságra vonatkozó részszórás, illetve részvariancia:

j 

1 Nj

Nj

 Bij2 , illetve  2j  i 1

1 Nj

Nj

B

2 ij

i 1

Ha a belső eltéréseket nemcsak egy-egy részsokaságra, hanem az egész fősokaságra vonatkozóan átlagoljuk, akkor a belső szóráshoz jutunk:

B 

1 N

M

Nj

 B

2 ij

j 1 i 1

A  B belső szórás azt mutatja meg, hogy a fősokaság egyes egységeihez tartozó Y ij ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el saját részsokasági átlaguktól. A belső szórás négyzete a belső variancia (  B2 ). A  B2 belső variancia a részvarianciáknak az egyes részsokaságok nagyságával súlyozott átlaga: M

 B2 

N  j

j 1

2 j

N

A külső eltérésekből kiindulva a  K külső szórás azt mutatja meg, hogy a részátlagok átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól. A  K2 külső variancia a külső szórás négyzete.

K 

1 N

M

 N j (Y j  Y ) 2  j 1

51

1 N

M

N j 1

j

K 2j

A háromféle variancia közötti összefüggés:  T 2   K2   B2 Másik gyakran használt formája: SST=SSK+SSB, ahol SSB a belső, SSK a külső, SST pedig a teljes eltérés-négyzetösszeg11. Az Y ismérv SST teljes eltérés négyzetösszegének, változékonyságának SSK nagyságú része a részsokaságok képzésére használt csoportképző ismérvnek tulajdonítható, azzal magyarázható. Ezzel szemben az SSB nagyságú rész az Y ismérv szóródását előidéző más, kiemelten nem vizsgált tényezők együttes hatásának tudható be. A részsokaságok képzésére használt Y ismérv annál hasznosabbnak tekinthető, minél nagyobb az SSK/SST vagyis σk2/ σT2 hányados. Mint látni fogjuk a gondolatmenet eredményeképpen, minél nagyobb a külső variancia a teljes varianciához képest, annál jobb választásnak tekinthető a részsokaságok kialakításához használt csoportképző ismérv. Példa A főátlag és a táblázatban található lakásárak alapján a teljes szórás számítása (mind a 45 lakásnak vesszük a főátlagtól vett eltérését):

(22  31,467) 2  (28  31,467) 2  ...  (35  31,467) 2 4301,2   9,7766mFt 45 45 Ez azt jelenti, hogy az egyes lakásárak átlagosan 9,78 mFt-tal térnek el a főátlagtól.  T2  95,582

T 

Az első részsokaság – békásmegyeri lakások- σ1 szórása:

(22  22,467) 2  (28  22,467) 2  ...  (23  22,467) 2  (25  22,467) 2  3,304mFt 15 Ez az érték azt jelenti, hogy a békásmegyeri lakótelepen egy kiválasztott lakás ára átlagosan ennyivel tér el a békásmegyeri átlagártól: Rendre a további lakótelep szórása:  2  7,34mFt

1 

 3  5,3929mFt  4  0,5389mFt A részsokaságok szórásai egymással közvetlenül nehezen hasonlíthatóak össze, mivel az egyes részsokaságokban a kínálati árak más-más átlag körül szóródnak. A relatív szórások értékei: V1  14,7% V2  15,76% V3  16,6% V4  17,05% Ezeket összehasonlítva azt látjuk, hogy a békásmegyeri lakások árai a legegyöntetűbbek, itt a legkisebb a relatív szórás (V=14,7%)

11

Az SS jelölés a statisztikában a Sum of Squares = négyzetösszeg elnevezés rövidítése.

52

A belső szórás: 1235,08  B2   27,44 , illetve  B  27,44  5,24mFt 45 Ez azt jelenti, hogy a kínálati lakásárak átlagosan mintegy 5,24 mFt-tal térnek el saját részsokaságuk átlagától, ami a teljes szórásnál észrevehetően kisebb. A külső szórásnégyzet és szórás:  k2   2   B2  95,582  27,44  68,142   k  8,255 Az egyes részsokasági átlagok (lakótelepekre számított átlagárak) 8,255mFt-tal térnek el a főátlagtól (valamennyi lakás figyelembevételével számított átlagtól):

III.1.c Ismérvek közötti kapcsolat Két ismérv, X és Y ismérv között háromféle természetű kapcsolat lehetséges: - A két ismérv független egymástól. - A két ismérv között sztochasztikus kapcsolat van. Ezt azt jelenti, hogy nincs egyértelmű függvénykapcsolat a két ismérv értékei között, de fennáll egy tendencia jellegű kapcsolat. - A két ismérv függvényszerű, determinisztikus kapcsolatban áll egymással. Ez azt jelenti, hogy az egyik ismérv bármely értékéhez a másik változó egy adott értéke tartozik. A sztochasztikus kapcsolat lényege, hogy a megfigyelt sokaság egységeinek X ismérv szerinti milyenségét, hovatartozását ismerve levonható ugyan bizonyos következtetés az egységek Y szerinti hovatartozásáról, de ez a következtetés nem teljesen egyértelmű. Az ismérvek közötti kapcsolat elemzésekor a következő három kérdésre keressük a választ: 1. Van-e kapcsolat a vizsgált ismérvek között? 2. Milyen szoros a kapcsolat? 3. Hogyan lehet felhasználni az ismérvek közötti kapcsolat természetének ismeretét arra, hogy egy adott egység bizonyos ismérvek szerinti milyenségéből következtethessünk annak más ismérvek szerinti hovatartozására? Az egyidejűleg vizsgált két ismérv fajtája (a változók mérési szintje, lásd 1. fejezet) szerint a továbbiakban a következő eseteket különböztetjük meg: - Asszociáció(s kapcsolat): az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (mindkét változó nominális mérési szintű) - Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv mennyiségi ismérv, a másik területi vagy minőségi ismérv (azaz az egyik változó intervallum- vagy arányskálán, a másik pedig nominális skálán mérhető). - Korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (mindkét változó intervallum- vagy arányskálán mérhető). - Rangkorrelációs kapcsolat: mindkét változó sorrendi skálán mérhető. Az asszociációs kapcsolatról majd a hipotézisvizsgálatoknál a függetlenségvizsgálat kapcsán fogunk szólni, a korrelációs kapcsolat bemutatásával külön fejezet foglalkozik jegyzetünkben, és e tárgynak nem része a rangkorreláció tárgyalása. Korábbi példánkat (lakótelepi példa) alapul véve azonban itt ejtünk szót a vegyes kapcsolatról. 53

A H2 variancia- vagy szórásnégyzethányados mutató az Y-nal jelölt ismérv szórásnégyzetének az X ismérv által magyarázott hányada. A vegyes kapcsolat szorosságának mutatója; 0  H 2  1 . Számítása: 2 2 SST  SSB SSK H2    1  B2  K2 SST SST   A H2 mutató értékét gyakran százalékká alakítva használják. A H2=0 eset akkor fordul elő, ha SSK   K2  0 . Ez akkor következhet be, ha az X ismérv szerint képzett osztályok részátlagai mind egyformák. Ez akkor fordul elő, ha X és Y függetlenek egymástól. A H2=1 eset ezzel szemben akkor áll elő, ha  K2   2 , azaz  B2  0 . Ez pedig annyit jelent, hogy az X szerint képzett csoportokon belül nem szóródik Y. Ekkor az X szerinti hovatartozás mindent elmond Y-ról. A varianciahányados H2=1 értéke a vizsgált két ismérv függvényszerű kapcsolatát jelzi. Az óbudai lakótelepeken lévő lakások árát vizsgáló példánkban láttuk, hogy a vizsgált két ismérv közül az egyik területi (melyik lakótelepen van a lakás), a másik mennyiségi (mennyibe kerül). Így a két ismérv közötti kapcsolat vegyes kapcsolatként jellemezhető.  2 68,142 SSK H 2  k2    0,713 , amely összefüggés úgy interpretálható, hogy a kínálati 95,582 SST  lakásárak ingadozásának mintegy 71%-a azzal magyarázható, hogy a lakás a négy lakótelep közül melyiken található. Az ingadozás 29%-a pedig egyéb, itt külön nem vizsgált tényezőknek (pl. hányadik emeleten van a lakás, milyen a tájolása, tömegközlekedési viszonyok, a lakótelep infrastruktúrája stb.) tulajdonítható, amely alapján állíthatjuk azt, hogy a négy lakótelep megkülönböztetése hasznos a vizsgált kínálati árak ingadozásának magyarázata szempontjából. A H2 varianciahányados mutatóból származtatott és H-val jelölt szóráshányados mutató két ismérv közötti vegyes kapcsolat szorosságát méri. Értéke 0 és 1 között mozog. Ha H=0, a két ismérv független egymástól, míg H=1 a két ismérv közötti függvényszerű kapcsolatra utal. A H nem fejezhető ki százalékosan, hanem kizárólag a kapcsolat szorosságának megítélésére használható a 0-hoz, illetve 1-hez való közelségét figyelembe véve. A példánk alapján H  H 2  0,713  0,844 , amely érték szoros kapcsolatot mutat a lakás ára és a lakótelepi elhelyezkedés között.

III.2 Viszonyszámok Természetesen nemcsak egy sokaság valamely ismérv szerinti elemzése esetén jelentkezhetnek a sokaság heterogenitásából fakadó problémák, hanem olyan esetekben is, amikor egyszerre több sokaságot vizsgálunk viszonyszámok segítségével. Ilyenkor gyakran előfordul az, hogy az együtt vizsgált sokaságok egészének és egyes részeinek egymáshoz viszonyított nagysága lényegesen eltérő módon alakul. Az ilyen elemzések céljából azonos módon kell a sokaságon belül a részsokaságokat kialakítani. A viszonyszám két, egymással összefüggő statisztikai adat hányadosa, amelynek általános formulája: 54

Viszonyszám (V)= Viszonyítandó adat (A) / Viszonyítási alap (B) A viszonyszámok három fő típusát különböztetjük meg: 1. Megoszlási viszonyszám: valamely részadatnak az egészhez való viszonyát fejezi ki, így pl. nyugdíjasok aránya a népességen belül, valamely cég piaci részesedése egy adott termék forgalmazásában. 2. Intenzitási viszonyszám: két, egymással kapcsolatban lévő, különböző fajta adat hányadosa. a. Fajlagos mérőszámok: egy termékre jutó anyagfelhasználás, 100 km-re jutó üzemanyag-fogyasztás, egy háziorvosra jutó betegek száma, egy főre jutó GDP, egy lakosra jutó vízfogyasztás b. Sűrűségi, ellátottsági mérőszámok: népsűrűség (fő/km2), személygépkocsi sűrűség (gépkocsi/1000 fő) c. Arányszámok: születési, halálozási arányszám (1000 (!) főre jutó születések, halálozások száma) 3. Dinamikus viszonyszám: két összehasonlított időszak vagy időpont adatának a hányadosa, ahol a viszonyítandó adat (A) a tárgyidőszak adata, a viszonyítási alap (B) pedig a bázis időszak adata. A megoszlási és dinamikus viszonyszámokat azonos fajta, azonos mértékegységű adatokból számítjuk, ezért tiszta számok, nincs mértékegységük, kifejezhetők %-os vagy ‰-es formában.

III.2.a Rész- és összetett viszonyszámok Abból indulunk ki, hogy adott egy m számú részre bontott sokaság. A teljes sokaságot fősokaságnak, a sokaságok részeit pedig részsokaságoknak nevezzük. A részsokaságok egymástól való megkülönböztetésére a j indexet használjuk, amelynek lehetséges értékei: j=1, 2, …, M. A továbbiakban azzal foglalkozunk, hogy a részekre bontott fősokaság vizsgálatával hogy gazdagíthatjuk elemzésünket, és milyen kapcsolat van a fősokaságra és a részsokaságokra vonatkozó elemzési eredmények között. Az egyes részsokaságokra vonatkozó részviszonyszámok: A V j  j , ahol j=1, 2, …, M Bj A fősokaságra vonatkozó összetett viszonyszám (aggregált, súlyozott számtani átlag és súlyozott harmonikus átlag) formulái: M

V

A j j1 M

Bj j1

M



 B j  Vj j1

M

B j1

j

M



A j1

j

M

Aj

j1

j

V

Vagyis az összetett viszonyszám az egyes részviszonyszámoknak az azok nevezőjében szereplő Bj adatokkal súlyozott számtani átlaga (képlet második eleme), illetve az egyes részviszonyszámok számlálójában szereplő Aj adatokkal súlyozott harmonikus átlaga (képlet harmadik eleme). Így ez rávilágít arra, hogy minden összetett viszonyszám egyben súlyozott átlag is.

55

III.3 Standardizálás12 Amikor gazdasági elemzést végzünk, akkor nagyon gyakran kell különböző átlagokat, viszonyszámokat számítanunk és összehasonlítanunk. A standardizálás a viszonyszámok közül az ún. intenzitási viszonyszámok összehasonlításával foglalkozik. Az intenzitási viszonyszámok alkalmazása meglehetősen elterjedt a gazdaságstatisztikában, mivel jól alkalmazható számos társadalmi-gazdasági jelenség színvonalának a jellemzésére.13 A standardizálás lényegében két azonos tartalmú, de valamilyen szempontból különböző összetett intenzitási viszonyszám összehasonlítására szolgáló statisztikai módszer. Ha heterogén, valamely adott ismérv alapján eltérő csoportokból álló sokasággal állunk szemben, és e sokaság adataiból számolunk intenzitási viszonyszámot, akkor a teljes sokaságra vonatkozó mérőszám mellett a heterogenitást előidéző ismérv változatainak megfelelő csoportok intenzitási viszonyszámaira is szükség van az elemzés során.14 A teljes sokaságra számított viszonyszámra hatnak a részviszonyszámok és a megoszlások egyaránt. Ezek viselkedése időnként meglepő jelenségeket produkál, ugyanis előfordulhat az, hogy egy országban az egyes korcsoportok összehasonlításában rendre alacsonyabb halálozási arányszámok mellett összességében mégis magasabb halálozási arányszám tapasztalható egy másik országgal szemben az eltérő korstruktúra következményeként (vagyis az első országban pl. nagyobb lehet az idősebb korosztálynak az aránya a teljes népességen belül, amely így nagyobb halálozási arányszámot indukál). Előfordulhat az is, hogy X és Y azonos profilú vállalatok esetében az átlagkereseteket összehasonlítva azt tapasztaljuk, hogy mindegyik állománycsoportban magasabbak a keresetek az X vállalatnál az Y-hoz képest, ennek ellenére a foglalkoztatottak összességére nézve azonban fordított a helyzet. Ez utóbbi jelenség magyarázata egy olyan létszámstruktúra következménye lehet, hogy bár az X vállalatnál minden állománycsoportban magasabbak az átlagkeresetek, ám az X vállalat teljes létszámának nagyobb arányát teszik ki az alacsonyabb átlagkeresetűek, így a magyarázat a létszámstruktúrában keresendő. Az ilyen eredmények nyilván azért adódhatnak, mert az említett két tényező hatásának intenzitása és iránya különböző lehet. Ebben a fejezetben a cél az, hogy egy olyan statisztikai módszerrel ismerkedjünk meg, amely a különböző hatásokat szétválasztja, vagyis az összetett viszonyszámok közötti tényleges eltérés (pl. két vállalatnál az átlagkeresetek számszerű különbsége) megállapításán és számszerű kifejezésén túl azt is meg fogjuk vizsgálni, hogy a két tényező (vagyis az egyes állománycsoportokon belül az átlagkeresetek eltérése, illetve az állománycsoportok vállalaton belüli szerkezete) külön-külön milyen szerepet játszik a szóban forgó eltérés létrejöttében. A csoportosított sokaságban a teljes sokaságra vonatkozó viszonyszámot összetett viszonyszámnak, a csoportokra vonatkozó viszonyszámokat pedig részviszonyszámnak fogjuk nevezni. Az összetett viszonyszám a megfelelő részsokaságok adataiból aggregát formában, súlyozott számtani átlag és súlyozott harmonikus átlag formában számítható ki. Jelölések: i=1, 2, …, Nj: a j. csoport elemeinek száma 12

Hunyadi – Vita: Statisztika közgazdászoknak, KSH, Budapest, 2002, felhasználásával Intenzitási viszonyszám a népsűrűség (fő/km2), a születési arányszám, az egy főre jutó termelés, és az életszínvonal sok más megismert mutatószáma. 14 Például az alkalmazásban állók átlagkeresetének jellemzéséhez az egyes állománycsoportok, végzettség, nem, munkakör, gazdasági ág stb. szerint csoportosításban is kell átlagokat, illetve viszonyszámokat számítani, ugyanígy a halandóság vizsgálatánál a népességre vonatkozó arányszám mellett a különböző korcsoportokra, férfiakra és nőkre, megyei, illetve régiók szerinti bontásban ugyancsak meg kell határozni az arányszámokat. 13

56

j=1, 2, …., M: a sokaság csoportjainak a sorszáma xij: a j. csoport i. elemének értéke sj: a j. csoport értékösszege M

N   N j : a sokaság összes elemének száma, a sokaság nagysága. j1

Részviszonyszám számítása: V j 

Aj Bj

Összetett viszonyszám

Formula

M

V

Aggregát

A

j

B

j

j1 M

j1

M

V

Súlyozott számtani átlag

B j1

j

 Vj

M

B j1

j

M

V

Súlyozott harmonikus átlag

A j1

j

M

Aj

j1

j

V

Az összetett intenzitási viszonyszám nagyságát két tényező határozza meg: 1. a részintenzitási viszonyszámok nagysága 2. a teljes sokaság összetétele, vagyis a különböző nagyságú részintenzitási B viszonyszámokhoz kapcsolódó súlyarányok ( j ). B Külön-külön az egyes tényezők hatásának a kimutatására használható statisztikai módszer a standardizálás. Az összehasonlítás eredménye pedig kifejezhető különbségek vagy hányadosok formájában, így az előbbit különbség-felbontásnak, az utóbbit pedig hányadosfelbontásnak nevezik. A különbség-felbontást általában térbeli összehasonlítások, a hányados-felbontást pedig időbeli összehasonlítások elvégzéséhez használják.15 Időbeli16 vagy térbeli17 összehasonlítást végezve az összetett intenzitási viszonyszámok eltérése két tényező hatására vezethető vissza: 1. A megfelelő részviszonyszámok eltéréseire, 2. Az összehasonlított sokaságok összetételének, struktúrájának a különbözőségére a részsokaságok képzésére használt csoportképző ismérv szerint.

15

Ez alól kivétel a születési és a halálozási arányszám, amelyek esetében mind térbeli, mind időbeli összehasonlításnál a különbségfelbontás alkalmazása a jellemző. 16 Pl. ugyanazon vállalat esetében az átlagkeresetek alakulását vizsgáljuk két év összehasonlításában, vagy a halálozási arányszám alakulását vizsgáljuk két különböző évben ugyanazon ország esetében. 17 Pl. két vállalatot összehasonlítva vizsgáljuk az átlagkeresetek eltéréseit, vagy két országot összehasonlítva vizsgáljuk a halálozási arányszám alakulását.

57

Részsokaság sorszáma

Első sokaság(pár) Számláló

Nevező

Második sokaság(pár)

Viszonyszám

Számláló

Nevező

Hányados

Különbség

Viszonyszám

1

A01

B01

V01

A11

B11

V11

i1

k1

2

A02

B02

V02

A12

B12

V12

i2

k2

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

j

A0j

B0j

V0j

A1j

B1j

V1j

ij

kj

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

M

A0M

B0M

V0M

A1M

B1M

V1M

iM

kM

Fősokaság

ΣA0j

ΣB0j

ΣA1j

ΣB1j

I

K

14. Táblázat: Két összetett intenzitási viszonyszám meghatározása és összehasonlítása

A táblázat utolsó két oszlopa a részviszonyszámok összehasonlítására szolgáló kj különbségeket, valamint ij hányadosokat, valamint az összetett viszonyszámok K különbségét, illetve I hányadosát tartalmazza, ahol k j  V1 j  V0 j , ij 

V1 j

,

V0 j

K  V1  V0 , I

V1 . V0

M

V1 

A j1 M

B j1

M

1j

és V0 

1j

A

0j

B

0j

j1 M

j1

A két fenti tényező hatását oly módon fogjuk kimutatni, hogy a két összehasonlítandó összetett viszonyszám közötti tényleges K különbséget, illetve a két mutató tényleges I hányadosát úgy kapjuk meg, hogy felbontjuk őket K’ (valamint I’) és K” (valamint I”) összetevőkre úgy, hogy  K’ (illetve I’) kizárólag a megfelelő részviszonyszámok közötti eltéréseknek a két összetett viszonyszám közötti eltérésre gyakorolt hatását,  K” (illetve I”) pedig kizárólag a két sokaság eltérő szerkezetének, más néven összetételének a két összetett viszonyszám közötti eltérésre gyakorolt hatását mutassa, és  K=K’+K”, illetve I=I’∙I” teljesüljön.

III.3.a Különbségfelbontás A K  V1  V0 különbség felbontásának célja olyan K’ és K” összefoglaló mutatószámok meghatározása, hogy  K’ azt mutassa, hogy a megfelelő részviszonyszámok közötti kj eltérések önmagukban mekkora eltérést indokolnak V1 és V0 között,

58

 

K” azt mutassa, hogy a két sokaság eltérő összetétele önmagában mekkora eltérést indokol V1 és V0 között, A két összefoglaló mutatószám összege egyezzen meg a tényleges K különbséggel.

A K különbséget teljes különbségnek, a K’ mutatót részhatás-különbségnek, a K” mutatót pedig összetételhatás-különbségnek nevezzük. A K  V1  V0 különbség felírható a következő (súlyozott számtani átlag) formulában is18:

K

 BV   B V B B 1 1

0 0

1

M

K  V  V0  '

' 1

'

B

sj

j 1

V1 j

M

B j 1

M

sj



B

sj

j 1

V0 j

M

B j 1

0

M



sj

B j 1

sj

M

 (V1 j  V0 j ) M

B j 1

sj



B j 1 M

sj

kj

B j 1

sj

A fenti módon számított K’ fiktív különbség eleget tesz az első követelménynek, ugyanis a V1 ’ és V0 ’ fiktív összetett viszonyszámok a megfelelő V1j és V0j részviszonyszámoknak ugyanazokkal a Bsj súlyokkal számított átlagai. A mindkét sokaságra azonosnak feltételezett súlyokat standard súlyoknak, a V1 ’ és V0 ’ fiktív összetett viszonyszámokat pedig standardizált összetett viszonyszámoknak nevezzük, amelyek csak azért térhetnek el egymástól, mert a számításukhoz használt részviszonyszámok különbözőek. Ugyanígy: '' ''  B1Vs   B0Vs K ''  V1  V0   B1  B0 A fenti módon számított K” fiktív különbség eleget tesz a második követelménynek, hiszen most mindkét összetett viszonyszámot a részviszonyszámok azonos, más néven standard sorozatának átlagaként állítottuk elő. A V1 ’ és V0 ’, valamint a V1 ” és V0 ” fiktív összetett viszonyszámok az összetett viszonyszám nagyságát meghatározó két tényező közül egyidejűleg csak az egyiknek a szempontjából különböznek. Ezért e fiktív összetett viszonyszámok K’, ill. K” különbségei pontosan azt mutatják, amire kíváncsiak vagyunk. A K=K’+K” technikai követelmény teljesülésének feltételei:19 1. ha K’-ben Bs=B0, akkor K”-ben Vs=V1 2. ha K’-ben Bs=B1, akkor K”-ben Vs=V0

18

Súlyozott harmonikus átlag formula:

K

A  A A A V V 1

0

1

0

1

0

19

, ezt a megoldást választva az A adatok a súlyok.

K”1 olyan összetételhatás-különbséget jelöl, melynek számítása során tárgyidőszaki részviszonyszámok V 1 sorozatát tekintjük standardnak.

59

Példa Hasonlítsuk össze a I. és II. országokban a munkanélküliségi rátát, és magyarázzuk az azt alakító tényezőket! I. Életkor

gazdaságilag aktívak (ezer fő)

II.

munkanélküliek (ezer fő)


munkanélküliek (ezer fő)

15-19

24,1

6,1

191,2

37,4

20-24

225,1

26,8

321,4

32,8

25-29

366,2

26,1

249,6

17,1

összesen

615,4

59

762,2

87,3

I. gazdaságilag aktívak (ezer fő)

Életkor

B0

II.

Munkanélküliek (ezer fő)

A0

Munkanélküliségi ráta


V0

B1

Munkanélküliek (ezer fő)

Munkanélküliségi ráta

A1

V1

15-19

24,1

6,1

0,253

191,2

37,4

0,196

20-24

225,1

26,8

0,119

321,4

32,8

0,102

25-29

366,2

26,1

0,071

249,6

17,1

0,068

összesen

615,4

59

762,2

87,3

37,4 6,1 V1(1519)   0,196 és a többi részviszonyszám ugyanígy  0,25 24,1 191,2 számítható a többi korcsoportban, adatokat lsd. a fenti táblázatban.

Pl. V0(1519) 

Az összetett viszonyszámok (vagyis a két ország munkanélküliségi rátájának) számítása:  A1 j  87,3  0,115  A0 j  59  0,096 V1  V0   B1 j 762,2  B0 j 615,4 A két összetett viszonyszám közötti különbség: K= V1 V0  0,115  0,096  0,019 A feladat, hogy ezt a K=0,019 különbséget (vagyis a munkanélküliségi rátában megmutatkozó 1,9%-nyi eltérést a II. ország javára) felbontsuk részhatás- (K’) és összetételhatás-különbségre (K”). Részhatás-különbség:  BsV1   BsV0 , K'   Bs  Bs

K0' 

B V  B V B B 0 1

0 0

0

0



válasszuk

standard

súlynak

a

Bs=B0-t,

így

24,1  0,196  225,1  0,102  366,2  0,068  0,096  0,086  0,096  0,01 615,4

Vagyis a -0,01 értékű részhatás-különbség azt jelenti, hogy a II.-vel jelölt országban minden korcsoportban kisebb a munkanélküliségi ráta, és ha csak a részviszonyszámok közötti eltérést vesszük alapul, akkor áltagosan az -0,01-gyel (vagyis 1%-kal kisebb) munkanélküliségi rátát indokolna II.-ben I.-hez képest. Az összetételhatás-különbség számításához a tárgyidőszaki részviszonyszámok V1 sorozatát kell standardnak tekinteni, vagyis Vs=V1. Így: 60

K1'' 

 BV   B V B B 1 1

0 1

1

0

 0,115  0,086  0,029

K  K0'  K1''  0,01  0,029  0,019

A 0,029 értékű összetételhatás-különbség pedig a szerkezetből (vagyis a korcsoportok eltérő arányából) fakadó hatást mutatja. Ha megnézzük az egyes korcsoportok arányát a népességen belül akkor az az I- országban rendre: 3,9%; 36,58%, és 59,5%, ugyanez a II. országban: 25,1%; 42,16% és 32,74%. Ezekből az adatokból azt látjuk, hogy a II. országban a legnagyobb munkanélküliségi rátával jellemzett 15-19 éves korosztály a népesség 25,1%-át teszi ki szemben az I. ország mindössze 3,9%-ával. Ugyanez mondható el a második legnagyobb munkanélküliségi rátával jellemezhető 20-24 éves korosztályról, míg a legkisebb munkanélküliségi rátával rendelkező korosztály a II. országban a népességnek csak 32,74%-át teszi ki, szemben az I. ország 59,5%-ával. Mindezen szerkezetbeli különbségek mutatnak rá arra, hogy a K”=0,029 –es érték azt mutatja, hogy ha csak a szerkezeti hatást vesszük alapul, akkor az a II. országban átlagosan 2,9%-kal magasabb munkanélküliségi rátát indokolna az I. országhoz képest. E két hatás összegeként adódik az 1,9%-os átlagos eltérés. A példa kiválóan rávilágít a részhatás- és összetételhatás jelentőségére, ugyanis a II. országban annak ellenére magasabb a munkanélküliségi ráta összességében, hogy az egyébként minden korcsoportban alacsonyabb az I. országhoz képest.

III.3.b Hányadosfelbontás A tényleges vagy fiktív összetett viszonyszámok hányadosait összefoglaló néven standardizáláson alapuló indexeknek nevezzük. A gyakorlatban e hányadosok százalékként értelmezett értékeit használjuk. E hányadosok használata főleg az összetett intenzitási viszonyszámok időbeli összehasonlítása során terjedt el, így a százalékos változások használata magától értetődő. A probléma lényegét tekintve ugyanaz, mint a különbségfelbontás esetén. Az egymással összehasonlítani kívánt összetett intenzitási viszonyszámok hányadosát képezzük:

I

V1  A1  A0  A1  B1  B1V1  B0V0  :  :  : V0  B1  B0  A0  B0  B1  B0

Ezt a hányadost kívánjuk felbontani két olyan I’-vel és I”-vel jelölt index szorzatára, amelyek közül az I’ részhatás-index azt mutatja, hogy a részviszonyszámok változása önmagában hogyan hatott az összetett viszonyszám változására, az I” összetételhatás-index pedig azt, hogy a sokaság összetételének változása önmagában hogyan alakította az összetett viszonyszámot. Az I hányadost összhatásindexnek nevezzük. A számításhoz szükséges képletek, ahol felhasználjuk a különbségfelbontás során használt gondolatmenetet (Bs itt is a számítás során használt súlyt, Vs a részviszonyszámok valamilyen standard sorozatát jelenti):

V1 ' I  '  V0 '

B V : B V B B s 1

s 0

s

s

B V  BV

s 1

s 0

61

V1 ''  B1Vs  B0Vs : és I  ''  V0  B1  B0 ''

Az I  I 'I " összefüggés akkor teljesül, ha: 1. I’-ben Bs=B0 és I”-ben Vs=V1 2. I’-ben Bs=B1 és I”-ben Vs=V0 Az I’1 index különböző formulái: BV I1'   1 1   B1V0

 BV  i   BV  BV  BV 1 0

1 0

1 1 1 1



A A i

1

,

1

i ahol az első az I’1 aggregát formája, a második az ij hányadosok (a megfelelő részviszonyszámok hányadosainak) változását mutató súlyozott számtani átlag formula, míg az utolsó kettő ugyanezen ij hányadosok súlyozott harmonikus átlag formulája.

Példa Egy vállalkozás jellemző adatai az egyes években: Állománycsoport Fizikai Szellemi Összesen

Létszám megoszlása % 2003 2004 72 81 28 19 100 100

Átlagbér (ezer Ft/hó) 2003 2004 80 86 200 220

Elemezzük a cégnél foglalkoztatottak átlagbérének változását, és annak alakulására ható tényezőket! Állománycsoport Fizikai Szellemi Összesen

2003 Létszám (%) Átlagbér (eFt/hó) B0 V0 72 80 28 200 100 113,6

2004 Létszám (%) Átlagbér (eFt/hó) B1 V1 81 86 19 220 100 111,4

Két időszak összehasonlítása esetén célszerű hányados-felbontással elemezni a cégnél a foglalkoztatottak átlagbérének alakulását. Számítsuk ki a hiányzó adatokat, vagyis a két vállalatra jellemző átlagbért, mint összetett viszonyszámokat: BV 72  80  28  200 V0   0 0   113,6eFt / hó 100  B0

 BV B

81  86  19  220  111,46eFt / hó 100 1 Összhatás-index számítása: V 111460 I 1   0,98  98% V0 113600 2003-ról 2004-re az átlagbér (valamennyi állománycsoportot figyelembe véve) átlagosan 2%kal csökkent. BV BV B V 81  86  19  220 V' I '  1 '   s 1 :  s 0  I '1   1 1   1,08  108% V0  Bs  Bs  B1V0 80  81  200 19 V1 

1 1



62

Mivel az átlagbér (mint részviszonyszám) mindkét állománycsoportban nőtt, ez az átlagbér növekedésében 8%-ot indokolna.

I '' 

V1 ''  V0''

 BV :  B V B B 1 s

0 s

1

0

 I "0 

 BV   B V B B 1 0

0 0

1

0



80  81  200  19 72  80  28  200   90,7% 100 100

Egyszerűbben számítva: I ''  I  I '  98%  108%  90,7% A 90,7%-os összetételhatás-index azt mutatja, hogy a magasabb átlagbérűek aránya 28%-ról 19%-ra csökkent, az alacsonyabb átlagbérűek aránya 72%-ról 81%-ra nőtt. Ez az együttes átlagbért 9,3%-kal csökkentette. E két hatás eredményeként állt elő a 2%-os csökkenés az átlagkeresetekben.

III.4 Indexszámítás III.4.a Elemzés dinamikus viszonyszámokkal A dinamikus viszonyszámok idősorok adataiból számított hányadosok. A dinamikus viszonyszámoknak minden kettőnél több adatból álló idősor esetén kétféle fajtája képezhető. Az egyik lehetőség a Y bt  t , t  1,2,..., n Yb bázisviszonyszámok számítása, ahol Y1, Y2, …, Yn az idősor időben egymást követő adatait jelöli, Yb pedig az állandó bázisnak választott adat. Ilyen célra vagy az idősor bármelyik adata választható vagy a rendelkezésre álló idősoron kívül eső adat is. A dinamikus viszonyszámok másik fajtáját az Y lt  t , t  2,..., n Yt 1 láncviszonyszámok képezik, melyek esetében a bázisadat állandóan változik. A láncviszonyszámok esetében a bázis mindig a viszonyítás tárgyát időben közvetlenül megelőző adat.

III.4.b Indexszámítás alapjai: aggregált sokaság Az indexeket a gazdaságban, az üzleti világban, az életkörülmények változásának elemzése során és egyéb területeken is széles körben használják. A KSH havi rendszerességgel teszi közzé pl. a fogyasztói árindexet, a termelői árindexeket, az export és import volumenindexét, a bruttó átlagkeresetek indexét, a GDP volumenindexét. A gazdálkodó szervezetek számára fontos információt adnak a gazdaság működésének általános jellemzői, illetve a működési területükre vonatkozó részletezettebb mutatószámok, és természetesen saját tevékenységükkel kapcsolatosan olyan indexszámok, mint pl. értékesítésük változása, eladási áraik változása, beszerzéseik volumen és árváltozása. A különböző fajta, illetve minőségileg különböző, de valamilyen oknál fogva együtt vizsgálni kívánt javak összességét aggregált sokaságnak nevezzük. Az aggregált sokaság nagysága értékben adható meg, ezt aggregátumnak hívjuk. Ez az aggregált sokaság rendszerint kisebb

63

sokaságokból: azonos vagy egymáshoz nagyon hasonló fajta jószágféleségek kisebb-nagyobb tömegeiből tevődik össze. Egy ilyen aggregált sokaság nagysága az aggregátum: n

n

i 1

i 1

A   qi  pi   vi

Ahol:  qi az i-edik fajta jószágféleség azon egységeinek valamilyen alkalmas mértékegységben kifejezett mennyisége, melyek az aggregált sokaságba tartoznak;  pi az i-edik fajta jószágféleség egységára;  vi=pi·qi az i-edik fajta jószágféleség azon egységeinek összértéke, melyek az aggregált sokaságba tartoznak;  n az aggregált sokaságba tartozó jószágféleségek száma. Ennek megfelelően az A aggregátum tartalma attól függ, hogy milyen fajta jószágféleségeket vizsgálunk, milyen időszakot veszünk alapul, és mi a számításhoz használt qi és pi adatok tartalma. Ugyanakkor az is nyilvánvaló, hogy egy A aggregátum nagysága mind a qi mennyiségi adatoktól, mind a pi egységáradatoktól függ. A különféle aggregátumok időbeli és térbeli összehasonlításával, illetve a q és p mennyiségeknek az aggregátum időbeli változásában vagy területi különbségeiben játszott szerepének kimutatásával az indexszámítás foglalkozik. E kérdésekre választ adó mutatókat indexeknek fogjuk nevezni. Az indexszámok valamilyen szempontból összetartozó, de különnemű (különböző fajta, vagy különböző minőségű), közvetlenül nem összesíthető javak összességére vonatkozóan a mennyiségek, az árak időbeli vagy térbeli összehasonlítására szolgálnak. Nevezzük az aggregált sokaságba tartozó jószágféleségeket termékeknek, az egyes jószágféleségekhez tartozó qi mennyiségeket termelt mennyiségeknek, a pi árakat pedig egységáraknak. Ekkor vi nem más, mint az i-edik termékből termelt mennyiség összértéke, azaz az i-edik termékhez tartozó termelési érték.

III.4.c Két időszakra vonatkozó indexszámítás Adva van n számú termék, és két időszakra vonatkozóan ismertek az egyes termékekből termelt mennyiségek, valamint a termékek egységárai.20 Az indexszámítás alapadatait az alábbi táblázat tartalmazza. Termék Termelt Egységár sorszáma (i) mennyiség A bázisidőszakban

Termelt mennyiség

Egységár

A tárgyidőszakban

1

q01

p01

q11

p11

2

q02

p02

q12

p12

… i

… q0i

… p0i

… q1i

… p1i

… n

… q0n

… p0n

… q1n

… p1n

jelölés

q0

p0

q1

p1

15. Táblázat: Indexszámítás alapadatai

20

Fel kell hívni a figyelmet a qi és pi adatok eltérő természetére. A qi adatok valamely időszakra vonatkozóan értelmezhetőek, ezzel szemben a pi adatok időponthoz kötődnek. Az aggregátumok számítása a gyakorlatban úgy történik, hogy az egyes termékekből termelt mennyiségeket mindig a vizsgált időszakon belül éppen érvényes egységárakon értékelik.

64

A táblázatban lévő adatok birtokában a következő három alapkérdés tehető fel akár az egyes termékekre vonatkozóan, akár pedig a termékek összességére vonatkozóan: 1. Hogyan változott a termelés értéke? 2. Hogyan változott a termelés mennyisége (volumene)? 3. Hogyan változott az ár, illetve az árszínvonal21? Példa Egy elektronikai cikkeket forgalmazó vállalat forgalma 4 különböző mosógépből a 2005-2006 években: Termék típusa EWW 16781 W ZWQ 5100 LAVAMAT 47280 L 47330 Összesen

Eladott mennyiség (db)

Egységár (Ft/db)

Eladás értéke (ezer Ft) aggregátumok 2005 (q0∙p0) 2006 (q1∙p1) 3203500 3034200

2005 (q0) 43

2006 (q1) 39

2005 (p0) 74500

2006 (p1) 77800

36 49

34 42

87600 68700

89500 69500

3153600 3366300

3043000 2919000

56 184

48 163

59800 -

61200 -

3348800 13072200

2937600 11933800

Egy termékre vonatkoztatva a három kérdést a következő dinamikus viszonyszámok adnak választ:   

q1i  p1i v1i egyedi termelési érték index  q0i  p0i v0i q iq  1i egyedi volumenindex q0i p i p  1i egyedi árindex p0i

iv 

Az egy termékre megadott iv, iq és ip dinamikus viszonyszámokat egyedi indexeknek nevezzük, ezek rendre azt mutatják, hogy a bázisidőszakról a tárgyidőszakra hogyan (hány %kal) változott az adott termékre vonatkozó termelési érték, termelt mennyiség, és egységár. E három index között az iv  iq  i p összefüggés áll fenn. Amennyiben ezeket a kérdéseket a termékek összességére vonatkoztatjuk, akkor csak a termelési érték változására adható egyértelmű válasz, mivel a különféle termékekhez tartozó egységárak és mennyiségek általában nem összegezhetőek, addig az a termelési érték adatokkal minden további nélkül megtehető. Ezért a termékek összességére vonatkozóan a termelési érték változására az alábbi értékindex ad választ: q p v Iv   1 1   1  q0  p0  v0 Mivel az aggregátum nagysága mind a qi, mind pedig a pi adatoktól függ, az értékindexben mindkettőnek a hatása kifejezésre jut. Az értékindex számításához használt két aggregátum ugyanis mind a q, mind pedig a p adatokban különbözik egymástól. 21

Egy termék esetében árváltozásról, a termékek adott körére vonatkozóan pedig árszínvonal-változásról szokás beszélni.

65

Ezzel szemben két, csak mennyiségekben különböző aggregátum hányadosa, ahol ps mindkét időszakra érvényesnek tekintett egységárakat jelöl, amely azt tükrözi, hogy hogyan változott a vizsgált aggregátum kizárólag a mennyiségek változása következtében22: q p Iq   1 s  q0  ps Ezért az Iq mutatószám alkalmas a termékek összességére vonatkozó termelési mennyiség változásának megválaszolására. Az Iq volumenindex a termelés volumenének a változását mutatja a termékek valamely adott körére vonatkozóan. Ehhez hasonlóan az árindex, amelyben qs valamilyen – mindkét időszakra vonatkoztatottmennyiségeket jelöl, az egyedi árváltozások összefoglaló mérőszáma. q p Ip   s 1  qs  p0 Az Ip mutatószám azt fejezi ki, hogy miként változott a vizsgált aggregátum kizárólag az egységárak vonatkozásában. Az Ip árindex az árszínvonal változásának mértékét mutatja a vizsgált termékek összességére vonatkozóan. Érdemes felhívni a figyelmet arra, hogy az értékindex két tényleges – egy tárgyidőszaki és egy bázisidőszaki – aggregátum hányadosa, addig a volumenindex és az árindex két-két feltételezett – fiktív- aggregátumé. Majd látni fogjuk, hogy e két fiktív aggregátum közül az egyik, de csak az egyik, valamelyik időszak tényleges aggregátuma lesz.

III.4.d A legfontosabb volumen- és árindex formulák Ahhoz, hogy a fentebb látható volumenindex és árindex formulák használhatóak legyenek, el kell dönteni, hogy mik legyenek a mindkét időszakra érvényes ps egységárak, illetve qs termelt mennyiségek. Az alábbi megoldások állnak rendelkezésre:  Bázisidőszaki adatok (Laspeyres-féle): Iq-ban ps=p0, Ip-ben qs=q0; q p q p I q0   1 0 és I p0   0 1  q0  p0  q0  p0 

 

Tárgyidőszaki adatok (Paasche-féle): Iq-ban ps=p1, Ip-ben qs=q1; q p q p I q1   1 1 és I 1p   1 1  q0  p1  q1  p0

1 1 Átlagos adatok használata: Iq-ban ps  ( p0  p1 ) ; Ip-ben qs  (q0  q1 ) 2 2 A bázisidőszaki adatok és tárgyidőszaki adatok felhasználásával nyert indexek egyszerű (súlyozatlan) mértani átlagolása, ami a ps egységárak, illetve a qs mennyiségek közvetett módon történő megválasztásával egyenértékű. I qF  I q0  I q1 és I pF  I p0  I 1p

22

Ez az eljárás ötletét tekintve megegyezik a standardizálással. Mindkét esetben úgy érjük el, hogy valamely adat vagy mutatószám csak a bennünket érdeklő és általunk vizsgálni kívánt tényező hatását tükrözze, hogy azzal a feltevéssel élünk, miszerint a kérdéses adat, mutatószám nagyságát befolyásoló más tényezők nem változnak- standardak. Ez a feltevés a valóságot egyszerűsítő fikció csupán.

66

Példa23 A táblázatban a magyar háztartások egy főre jutó fogyasztására vonatkozó kiragadott információkat találunk. A táblázatban egységárnak nevezett árak éves átlagárak, minden esetben egy-egy teljes évre vonatkozó átlagárakról van szó, ráadásul több egynél többféle konkrét áruféleséget jellemez.

Termék

Mértékegység

Mennyiség 2001 (q0)

Egyedi index (%) (2001=100%)

Egységár (Ft)

2011

2001

(q1)

(p0)

2011 (p1)

iv

iq

ip

tej tojás sertéshús

liter db kg

87,9 233 19,4

77,4 212 17,2

115 23 870

243,6 42 1230

1,87 1,66 1,25

0,88 0,91 0,89

2,12 1,83 1,41

baromfihús

kg

18,6

18,4

678

1120

1,63

0,99

1,65

kenyér burgonya cukor alma

kg kg kg kg

72,5 49,4 21,1 18,3

70,1 49,3 19,5 16,2

87 78 280 75

160 117 440 170

1,78 1,50 1,45 2,01

0,97 1,00 0,92 0,89

1,84 1,50 1,57 2,27

6,2

9,1

290

380

1,92

1,47

1,31

déligyümölcs kg

A táblázat utolsó három oszlopa az egyedi indexeket tartalmazza, így pl. a tej esetében: 77,4  243,6 iv   1,87 87,9  115 77,4 iq   0,88 87,9 243,6 ip   2,12 115 Mindez azt jelenti, hogy az egy főre jutó tejfogyasztás értéke 87%-kal nőtt, miközben az egy főre jutó tejfogyasztás mértéke 12%-kal csökkent, a tej egységára pedig 1126%-kal nőtt 2001ről 2011-re. Az összes többi termékre az egyedi indexek ugyanígy értelmezhetőek. A következő lépésben meghatározzuk az egy főre jutó élelmiszer-fogyasztás érték-, volumenés árindexeit. Értékindex számítása: 77,4  243,6  212  42  ...  9,1  380 101298,7 Iv    157,8% 87,9  115  233  23  ...  6,2  290 64195,5 Eszerint az egy főre jutó élelmiszer-fogyasztás értéke a termékek összességére vonatkozóan 57,8%-kal nőtt a vizsgált időszakban. A fogyasztás bázisidőszaki súlyozású volumenindexe: 23

Hunyadi, L., Vita, L.: Statisztika közgazdászoknak, Központi Statisztikai Hivatal, Budapest, 2002, 194. o.

67

77,4 115  212  23  ...  9,1 290 60474,3   94,2% 87,9 115  233  23  ...  6,2  290 64195,5 Eszerint az egy főre jutó élelmiszer-fogyasztás volumene 5,8%-kal csökkent. I q0 

A fogyasztás bázisidőszaki súlyozású árindexe: 87,9  243,6  233  42  ...  6,2  380 108023,2 I p0    168,2% 64195,5 64195,5 Az elfogyasztott élelmiszerek árszínvonala 68,2%-kal nőtt 2001-ről 2004-re. Tárgyidőszaki súlyozású volumenindex: 101298,7 I q1   93,775% 108023,2 Tárgyidőszaki súlyozású árindex: 101298,7 I 1p   167,5% 60474,3 A Fisher-féle indexek: I qF  0,942  0,93775  167,89%

I pF  1,682  1,675  93,989% Látjuk, hogy a különböző módon számított volumen- és árindexek eltérnek egymástól:  A belőlük levonható következtetések majdnem ugyanazok  Mindegyik index a neki megfelelő legkisebb és legnagyobb egyedi index közé esik  A Fisher-féle volumen- és árindex szorzata Iv-vel egyenlő  A Paasche-féle indexek rendre kisebbek a megfelelő Laspeyres-féle indexeknél.

III.4.e Az indexek átlagformái Ha az indexek aggregát formáinak számlálójában, illetve nevezőjében szereplő q∙p szorzatokat átmenetileg a viszonyszámok esetében használatos A, illetve B szimbólummal  A  V alakban is felírhatóak. E formula jelöljük, akkor a szóban forgó formulák az I  B pedig nem más, mint az összetett viszonyszám jól ismert képlete. Az index így nem egyszerűen viszonyszám, hanem összetett viszonyszám is, hiszen a termelési érték változását nem egy termékre, hanem egyszerre többféle termékre vonatkozóan mutatja. Minden aggregát formában felírható index egyben a megfelelő egyedi indexek súlyozott átlaga, azaz összetett viszonyszám is. Az indexek emellett speciális összetett viszonyszámok is, mert a számításukhoz szükséges qi adatok rendszerint nem összesíthetőek közvetlenül.

68

Indexformula

A

B

V

Iv

q1p1

q0p0

iv

I q0

q1p0

q0p0

iq

I q1

q1p1

q0p1

iq

I p0

q0p1

q0p0

ip

I p1

q1p1

q1p0

ip

16. Táblázat: A, B és V adatok a legfontosabb indexformulákban

Minden index előállítható a részviszonyszámok szerepét játszó megfelelő egyedi indexek súlyozott számtani vagy harmonikus átlagaként is. Így például a volumenindexek a következő alakot öltik:  q0 p1iq   q1 p1   v1 I q1   q0 p1  q1 p1  v1 iq iq

I q0 

q p i q p 0

0

0 q 0



q p qp  i 1

0

1

0



v i v

0 q 0

q

Ennek analógiájára könnyen végrehajtható az árindexek hasonló formuláinak előállítása is. Ezeket a formulákat átlagformulának hívjuk, és mindig a megfelelő egyedi indexek az átlagolandó értékek, és valamilyen q·p alakban felírható tényleges vagy fiktív értékadatok a súlyok.

III.4.f Néhány fontos indexösszefüggés A termelési érték, a termelt mennyiség és egységár között fennálló v=q∙p összefüggés következtében egy termékre vonatkozóan az iv  iq  i p összefüggés is fennáll. Ennek alapján természetes elvárás a termékek összességére vonatkozó I v  I q  I p összefüggés teljesülésének a követelése is: I q0  I 1p  I v

I q1  I p0  I v I qF  I pF  I v Az összefüggés leggyakrabban a volumenindex ún. közvetett módon történő meghatározására I használják fel az I q  v alakban. Ennek az összefüggésnek gyakorlati szempontból fontos Ip interpretációja: ha az Iv értékindex valamilyen pénzösszeg (pl. lakossági jövedelem) nagyságának változását, az Ip árindex pedig adott pénzösszegért megvásárolni kívánt termékek árszínvonalának változását jelenti, akkor az Iq volumenindex nem más, mint az adott pénzösszegért megvásárolható termékek volumenváltozását kifejező mutatószám. Ezt a szóban forgó összeg reálérték-változásának nevezik.

69

Ha például Magyarországon a rendelkezésre álló jövedelem 1999-ben 10,7%-kal volt több, mint 1998-ban, miközben a fogyasztói árindex értéke 110% volt. Ennek következtében a 110,7 lakosság rendelkezésre álló jövedelmének reálértéke 0,6%-kal nőtt, mert  100,6 %. 110 Más szavakkal ez azt jelenti, hogy a lakosság 1999. évi jövedelméért 0,6%-kal több terméket és szolgáltatást tudott vásárolni, mint 1998-ban. Az aggregát formával rendelkező indexek arra is felhasználhatók, hogy valamely index és az annak formulájában szereplő egyik aggregátum ismeretében meghatározzuk az ismeretlen aggregátumot. Ezen belül nagy gyakorlati jelentősége van a következő műveletnek:  q1  p1   v1 Ip Ip

Valamely aggregátumnak egy árindexszel való osztását deflálásnak nevezzük. A  q1  p1 alakú aggregátumokat a gazdaságstatisztikában folyóáras aggregátumoknak vagy folyóáras adatoknak szokás nevezni. Egy ilyen folyóáras adatnak és egy alkalmas árindexnek – ún. deflátor-indexnek – a hányadosaként bázisidőszaki árszínvonalon kifejezett aggregátumhoz jutunk, amelyet a megfelelő folyóáras aggregátum reálértékének neveznek. Ha a  v1 helyébe 1-et írunk, akkor azt kapjuk meg, hogy a pénzegység mennyit ér a tárgyidőszakban a bázisidőszaki árszínvonalon számítva. Ez nem más, mint a pénz vásárlóerejének a változása. Magyarországon például a forint vásárlóereje 1999-ről 2000-re mintegy 9%-kal csökkent, ha egy forintnyi aggregátum deflálására a fogyasztói árindexet használjuk, amelynek értéke 1 2000-ben 109,8% volt 1999-hez képest, és így  0,911 . 1,098 A deflálás ellentéte a tárgyidőszaki színvonalra való átárazás, ami úgy történik, hogy a  q0  p0 bázisidőszaki folyóáras aggregátumot megszorozzuk egy alkalmas árindexszel.

III.4.g Aggregátumok különbsége Eddig az aggregátumok hányadosait vizsgáltuk, bizonyos esetekben azonban az aggregátumok különbségének van jelentősége. A I q0  I 1p  I v és I q1  I p0  I v összefüggésekben szereplő indexek számlálói és nevezői közötti különbségeket véve a különbségek között fennáll a Kv  K q  K p összefüggés, amelyben K valamely index számlálójának és nevezőjének a különbségét jelöli, K alsó indexei pedig azt jelzik, hogy melyik index számlálója és nevezője közötti különbségről van szó. A gyakorlatban a leggyakrabban az Ip0 vagy Ip1 árindexek számlálójában és nevezőjében szereplő aggregátum különbségeként számítható különbségek hasznosak a gyakorlatban: K p0   q0 p1  q0 p0  q0  p1  p0  és K 1p   q1 p1  q1 p0  q1  p1  p0  Ezek ugyanis azt mutatják, hogy az árváltozások önmagukban mekkora változást idéztek elő a vizsgált aggregátumban. A Kp különbségeket árváltozásból adódó többletkiadásnak (ha Kp pozitív), vagy megtakarításnak (ha Kp negatív) szokás nevezni. Példa

70

Három termék mennyiségi és egységár adatai a következők: Termék

Mennyiség Bázis

Ár Tárgy

Bázis

Időszak A B C

10 5 10

Tárgy Időszak

15 4 12

6 20 5

7 30 10

A, Számítsuk ki az egyedi érték-, volumen- és árindexeket! B, Számítsuk ki a termékek összességére vonatkozóan az értékindexet, valamint az ár- és volumenindexet a megismert formulákkal! C, Mutassuk be az érték-, ár- és volumenindexek összefüggéseit! D, Számítsuk ki, hogy az értékadat különbségéből mennyi volt a volumenváltozás, ill. az árváltozás hatása! (különbségfelbontás) A, Számítsuk ki az egyedi érték-, volumen- és árindexeket! Termék A B C

ip (ár) 1,167 1,5 2,0

iq (volumen) 1,5 0,8 1,2

iq 

q1 q0

ip 

p1 p0

iv 

v1 q1 p1  v0 q0 p0

iv (érték) 1,75 1,2 2,4

B, Számítsuk ki a termékek összességére vonatkozóan az értékindexet, valamint az ár- és volumenindexet a megismert formulákkal! ÉRTÉKINDEX

Iv 

q p q p

1 1

0

0



15*7  4*30  12*10  164,3% 10*6  5*20  10*5

ÁR- ÉS VOLUMENINDEXEK

q p q p q p  q p

Ip  Iq

s

1

s

0

1

s

0

s

Bázisidőszaki adatok használatával (Laspeyres-féle index)

71

q p q p q p  q p

I p0  Iq0

0

1

0

0

1

0

0

0



10*7  5*30  10*10  152, 4% 10*6  5* 20  10*5



15*6  4* 20  12*5  109,5% 10*6  5* 20  10*5

Tárgyidőszaki adatok használatával (Paasche-féle index)  q1 p1  15*7  4*30  12*10  150% I p1   q1 p0 15*6  4* 20  12*5 I q1 

q p q p

1 1 0

1



15*7  4*30  12*10  107,8% 10*7  5*30  10*10

Fisher-féle indexek: I pF  I p 0 I p1  1,524*1,5  151, 2% I qF  I q 0 I q1  1, 093*1, 078  108, 7%

Ha a kétfajta volumenindexre rátekintünk, akkor látható, hogy mindkét index ugyanazoknak az iq egyedi volumenindexeknek a súlyozott számtani átlaga. Mivel egy súlyozott számtani átlag nagyságát az átlagolandó értékek nagysága mellett a súlyok egymás közötti aránya határozza meg, nyilvánvaló, hogy a kétféle számítás eredménye közötti eltérést csakis a súlyok egymás közötti arányainak az eltérése idézheti elő. A kétfajta módon számított volumenindexek minden olyan esetben eltérő eredményt adnak, amikor  Szóródnak az egyedi volumenindexek  Szóródnak az egyedi árindexek  Az egyedi volumen- és árindexek közötti sztochasztikus kapcsolat van. Ha az egyedi volumen- és árindexek közötti sztochasztikus kapcsolat pozitív irányú, akkor Iq0 < Iq1, ha pedig a kétféle egyedi index között negatív irányú kapcsolat áll fenn, akkor Iq0 > Iq1. C, Mutassuk be az érték-, ár- és volumenindexek összefüggéseit!

I v  I q0 I 1p  1, 095*1,5  1, 643  164,3% I v  I q1 I p0  1, 078*1,524  1, 643  164,3% I v  I qF I pF  1, 087 *1,512  164,3% D, Számítsuk ki, hogy az értékadat különbségéből mennyi volt a volumenváltozás, ill. az árváltozás hatása! (különbségfelbontás)

Kv  Kq0  K 1p  Kq1  K p0

72

K v   q1 p1   q0 p0  (15*7  4*30  12*10)  (10*6  5*20  10*5)  345  210  135 K q0   q1 p0   q0 p0  (15*6  4*20  12*5)  210  20 K 1p   q1 p1   q1 p0  345  230  115

A Kv különbség abszolút számban mutatja az értékváltozást. Ebből a Kq nagyságú változás a volumenváltozás, a Kp pedig az árváltozás hatása. A volumenváltozás és az árváltozás hatásának a számszerűsítése a kétféle felbontásnál általában eltér egymástól, ami az alkalmazott indexformulák különbségéből származik. A teljes értékváltozás 135 Ft, ebből 20 Ft a volumenváltozásnak, 115 Ft az árváltozásnak tudható be.

73

IV. Valószínűségi változó, elméleti eloszlások Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet

Matematikai statisztika


Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek




74

IV.1 Valószínűségszámítási alapok A hétköznapi és az üzleti életben is gyakran használunk olyan kifejezéseket, mint „nem valószínű”, „biztosra vehető”, „elképzelhető”, „esélytelen”, „valószínűleg”, „nem biztos”, stb. Ezek a kifejezések egy kívánt, vagy éppen elkerülendő eseménnyel kapcsolatos bizonytalanságot mutatják. Nem tudjuk pontosan megmondani, hogy bekövetkezik-e az általunk feltételezett történés. Bármennyire is igyekszünk kiszámíthatóvá tenni a gazdasági és üzleti élet folyamatait, s számokkal jellemezni szinte minden tevékenységünket, a legtöbb esetben annyira összetettek ezek a folyamatok, annyira sok szempontot kell figyelembe venni a döntéseknél, hogy lehetetlen minden tényezőt pontosan felmérni, számszerűsíteni. Még ha össze is gyűjtjük az összes látható, megismerhető adatot, nagyon kevés eseményt lehet pontosan előre jelezni. Melyik vállalat lehet például biztos abban, hogy a termékei mindig sikeresek lesznek, vagy, hogy az üzleti környezete stabil marad, vagy, hogy szervezeti formája éppen az adott körülményeknek megfelelő? Sokan úgy vélik, a véletlen események kezelhetetlenek, nem kiszámíthatók, ezért döntéseinkben legfeljebb a szerencsére hagyatkozhatunk. Sőt, időnként hajlamosak vagyunk a véletlent azonosítani az oknélküliséggel, a rendezetlenséggel, a „sors szeszélyének”, a „vakszerencsének” betudni a következményeket. Néha valóban nincs más mód, mint a megérzéseinkre, ösztöneinkre, jobb esetben szakmai tudásunkra, tapasztalatunkra hallgatni, de sok esetben a véletlen események törvényszerűségei is megismerhetők, a várható eredmények modellezhetők. Éppen ezzel foglalkozik a matematika egyik ága, a valószínűségszámítás. A valóságban megfigyelt eseményeknek alapvetően két fajtáját különböztethetjük meg, attól függően, hogy a kezdeti, kiindulási feltételekből mennyire tudunk következtetni az esemény végkimenetelére. Ha az ún. peremfeltételeket feltárjuk, s ismertek a jelenség lefolyásának szabályai is, a feltételek ismeretéből viszonylag nagy pontossággal megadható a végeredmény. Ezeket hívjuk determinisztikus jelenségeknek. A legtöbb ilyen a természettudományok területén figyelhető meg. A csillagászok például nagy pontossággal meg tudják mondani, hogy mikor tér vissza a Föld közelébe egy üstökös, mikor és hol várható teljes vagy részleges napfogyatkozás. Ohm-törvénye ismeretében pontosan kiszámolható, hogy adott ellenállás és feszültség mellett mekkora áramerősség folyik egy vezetékben. Még hosszasan sorolhatnánk a példákat a műszaki és természettudományi területekről. A társadalmi, gazdasági élet törvényszerűségeit is igyekszünk minél jobban megismerni, de e területeken már nem annyira egyértelműek a feltételek, a szabályok, mint a természettudományokban. A jelenségek másik nagy csoportjánál nem tudjuk, de lehet, hogy nem is akarjuk feltárni az összes peremfeltételt, nem ismerjük a jelenség lefolyásának pontos törvényszerűségeit, így nem lehet előre megadni, hogy milyen eredmény következik be. Ezeket a jelenségeket véletlen, sztochasztikus jelenségeknek nevezzük. A valószínűségszámítás a véletlen tömegjelenségek törvényszerűségeinek feltárásával, leírásával foglalkozik. Véletlen (sztochasztikus) jelenségen olyan eseményeket, folyamatokat értünk tehát, amelyeknél a figyelembe vett (vehető) körülmények, környezeti feltételek nem határozzák meg egyértelműen a jelenség lefolyását, így annak több végeredménye, kimenetele lehet. Ha e véletlen jelenségek – elvileg azonos körülmények között – tetszőleges számban megfigyelhetők ill. megismételhetők, akkor az ilyen jelenségeket véletlen tömegjelenségnek nevezzük. (A véletlen jelenségekkel kapcsolatos megfigyeléseket szokás kísérleteknek is

75

nevezni, függetlenül attól, hogy a jelenséget csak megfigyeljük, vagy annak előidézésében tevékenyen közreműködtünk.)

IV.1.a A valószínűség fogalma A véletlen események egyik legfontosabb jellemzője bekövetkezésük valószínűsége. A valószínűségszámítás elmélete abból indul ki, hogy a véletlen kísérletek lehetséges eredményeihez egyértelműen hozzárendelhető egy számérték: az adott esemény valószínűsége. A valószínűségszámítás alapvető célja az események ezen objektív valószínűségének a meghatározása. Objektív valószínűségen azt értjük, hogy egy adott kísérlet során egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egy adott mérőszám, amely független attól, hogy ismerjük-e, meg tudjuk-e határozni, illetve milyen pontosan tudjuk meghatározni. A valószínűség fogalmát többféleképpen is definiálhatjuk24. Az ún. klasszikus valószínűség meghatározás szerint a valószínűség nem más, mint a számunkra kedvező esetek száma, osztva az összes lehetséges eset számával. Ez a megközelítés azonban csak akkor alkalmazható, ha az összes elemi esemény valószínűsége azonos. (Ez a helyzet leginkább a szerencsejátékoknál áll elő. E játékok vizsgálata vezetett a valószínűségszámítás kialakulásához, ezért nevezzük ezt a területet klasszikus valószínűségszámításnak.) A tapasztalati alapú, statisztikai oldalról közelítő definíció szerint a valószínűség az a számérték, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága ingadozik (21. ábra). A relatív gyakoriság (jelölése: gA v. g(A)) a megfigyelt (kedvező) esemény (jelöljük A-val) bekövetkezésének száma (fA v. f(A)) osztva az összes kísérlet, megfigyelés számával (n). Az fA számot az A esemény gyakoriságának nevezzük. Az események valószínűségét P betűvel jelöljük, zárójelbe téve a vizsgált eseményt. Az A esemény valószínűségének jelölése: P(A).

21. ábra: A valószínűség fogalma

24

Lásd pl. Szabó G. Cs. (szerk.): Alkalmazott statisztika I., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1994

76

Minél nagyobb az n, vagyis minél többször ismételjük meg a kísérletet, a relatív gyakoriságok annál nagyobb stabilitást mutatnak. Azt a törvényt, mely szerint egy kísérletet igen sokszor egymástól függetlenül elvégezve, a relatív gyakoriságok stabilitást mutatnak, a nagy számok törvényének nevezzük. Ez a törvényszerűség teszi lehetővé a valószínűség gyakorlati alkalmazását. A valószínűség fenti definíciójából egyenesen következik, hogy bármely esemény valószínűségének a [0,1] zárt intervallumbeli számnak kell lennie. Annak ellenére, hogy több korábbi definíció is szinte tálcán kínálta a valószínűségszámítás matematikai igényű megalapozásának lehetőségét, ez csak az 1930-as években A. N. Kolmogorovnak sikerült. Az általa felállított axiómarendszer segítségével minden korábbi állítás, most már a matematika szabályainak megfelelően is, bizonyíthatóvá vált. A Kolmogorov-féle valószínűségelmélet a valószínűség fogalmának meghatározásánál halmazelméleti és eseményalgebrai összefüggésekre is épít. Feltételezi ugyanis, hogy a véletlen események reprezentálhatók az elemi események halmazának, az eseménytérnek bizonyos részhalmazaival, amely részhalmazok azokból az eseményekből állnak, amelyek bekövetkezése esetén a kérdéses véletlen összetett esemény bekövetkezik. Az elemi események és események fogalmának ilyen elvont megfogalmazása jelentős szerephez jut a valószínűségszámítás Kolmogorov-féle matematikai elméletében. Mielőtt megismernénk a valószínűségszámítás axiómarendszerét, tekintsük át röviden az eseményalgebra néhány alapfogalmát.

IV.1.b Műveletek eseményekkel A véletlen jelenségek (kísérletek) végrehajtása előtt nem tudjuk előre meghatározni, hogy milyen eredmény következik be, azt azonban általában meg tudjuk mondani, hogy mik lehetnek a kísérlet eredményei. Egy kísérlet lehetséges kimeneteleit (eredményeit) elemi eseményeknek, az összes elemi esemény halmazát eseménytérnek nevezzük. Az eseménytér jelölésére  vagy H betűt használjuk. A kísérletre vonatkozó bármely esemény az eseménytér egy adott részhalmazaként értelmezhető. Az események jelölésére latin nagybetűket (A, B, C, … ) ill. indexszel ellátott latin nagybetűket (A1, A2, A3, ….) alkalmazunk. Példa: Figyeljük meg egy szabályos, hatoldalú dobókockával történő dobás felülre kerülő oldalának pontszámát! Ebben az esetben hat kimenetele lehet a kísérletnek: az 1-es pontszám lesz felül, a 2-es pontszám lesz felül, a 3-as pontszám lesz felül, a 4-es pontszám lesz felül, az 5-ös pontszám lesz felül, a 6-os pontszám lesz felül. Jelöljük a fenti eseményeket sorban A1-el, A2-vel, A3-mal, A4-el, A5-tel és A6-tal. Az eseményteret ez a hat elemi esemény alkotja: H = {A1, A2, A3, A4, A5, A6}. Egy kísérlettel kapcsolatban különböző állításokat fogalmazhatunk meg, melyeket egy vagy több elemi esemény alkot. Ilyen (összetett) esemény lehet a kockadobásnál például, hogy páros számot dobunk (jelöljük B-vel), hogy a dobott szám kisebb 3-nál (C), vagy, hogy 1-et,

77

4-et vagy 5-öt dobunk a kockával (D). Minden ilyen esemény tehát az eseménytér valamely részhalmazával reprezentálható. A B esemény, azaz hogy páros számot dobunk, a H halmaz B = {A2, A4, A6} részhalmazával írható le. A C esemény a C = {A1, A2}, a D pedig a D = {A1, A4, A5} részhalmazzal adható meg. Akkor mondhatjuk, hogy egy összetett esemény bekövetkezett, ha az eseményt alkotó valamelyik elemi esemény lett a kísérlet eredménye. Ha például a dobott szám 2 (A2 esemény következett be), akkor egyúttal bekövetkezett a párosat dobunk esemény is (a B esemény), hiszen az A2 eleme a B-nek is. Ezzel egyidejűleg bekövetkezik minden olyan esemény, melynek eleme az A2, így pl. az általunk megfogalmazott C esemény is. Látható, hogy a véletlen események és a halmazok között kölcsönösen egyértelmű kapcsolat létesíthető, így az eseményalgebrában is felhasználhatjuk a halmazelméletben megismert összefüggéseket. A H halmazt, mint eseményt, biztos eseménynek nevezzük, hiszen bármi is a kísérlet végeredménye, ez az esemény bekövetkezik. Az üres halmazt – amely nem tartalmazza a H egyetlen elemét sem – mint eseményt, lehetetlen eseménynek hívjuk, hiszen bármi is a kísérlet kimenetele, ez az esemény nem következhet be. (A lehetetlen eseményt -val jelöljük.) Tegyük fel, hogy két kockával dobunk egyszerre. Legyen A esemény, hogy két 1-est dobunk, B pedig, hogy a dobott szám összege 6-nál kisebb. Ekkor, valahányszor az A bekövetkezik, bekövetkezik B is. Ez azt jelenti, hogy az A-t reprezentáló halmaz része a B-nek. Ha valahányszor, amikor A bekövetkezik, bekövetkezik B is, azt mondjuk, hogy az A esemény maga után vonja B eseményt, s az alábbi módon jelöljük: A  B. Az események közötti összefüggéseket szemléletesen ábrázolhatjuk az ún. Venn-diagramon. Az eseményteret (H) egy négyzet vagy egy téglalap szemlélteti, s ezen belül általában kör illetve ellipszis mutatja az ezen az eseménytéren bekövetkező eseményeket.

A

B

H

22. ábra: A  B

Ellentétes esemény Egy A esemény „be nem következése” maga is esemény, jelöljük ezt A -al, s A komplementerének vagy ellentett eseményének hívjuk. A az eseménytér mindazon elemeit tartalmazza, melyek az A eseményben nincsenek benne, de H-hoz tartoznak. Események összege (egyesítése) Legyen A és B egy eseménytér két eseménye. Azt az eseményt, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, az A és B esemény összegének nevezzük, és A+B-vel jelöljük. Az A+B esemény tehát akkor következik be, ha vagy A, vagy B, vagy mindkettő bekövetkezik.

78

A

B

H 23. ábra: A+B

Események szorzata (közös része) Legyen A és B egy eseménytér két eseménye. Azt az eseményt, amely akkor következik be, ha az A és a B is bekövetkezik, azaz a két esemény egyszerre következik be, az A és B események szorzatának nevezzük, és AB-vel (röviden AB-vel) jelöljük. Előfordulhat, hogy a két esemény közös része az üres halmaz, ilyenkor a két esemény sosem következhet be egyszerre. Ekkor az A-t és B-t egymást kizáró eseményeknek nevezzük. AB

A

B

H 24. ábra: AB

Események különbsége Legyen A és B egy eseménytér két eseménye. Azt az eseményt, ami akkor következik be, ha az A esemény bekövetkezik, de B nem, az A és B események különbségének nevezzük, s A-Bvel jelöljük.

A

B

H 25. ábra: A-B

Az eseményekkel végezhető alapműveletek ismeretében most már pontosan definiálhatjuk az összetett esemény fogalmát is. Egy eseményt összetett eseménynek nevezünk, ha előállítható – a triviális felbontástól eltérően – két esemény összegeként. Bármely eseményre nyilvánvalóan igaz az alábbi összegzés: A = A+A és A = A+. Ezt a felbontást nevezzük triviális felbontásnak. Az összetett esemény az eseménytér olyan részhalmaza, mely egynél több elemet tartalmaz. Ettől eltérően, elemi esemény az eseménytér egyelemű részhalmaza, ezért csak triviális felbontása létezik. (A lehetetlen eseményt nem tekintjük sem elemi, sem összetett eseménynek.)

79

Korábbi kockadobás példánkban tehát az A1, A2, A3, A4, A5, A6 események elemi események, s a definiált B, C, és D események összetett események. Teljes eseményrendszer Egy kísérlettel kapcsolatos B1, B2, …, Bn események (melyek közül egyik sem lehetetlen esemény) teljes eseményrendszert alkotnak, ha egymást páronként kizáró események, s összegük a biztos esemény. Az elemi események (a H eseménytér egyelemű részhalmazai) nyilvánvalóan teljes eseményrendszert alkotnak, ha megszámlálható sokan vannak, hiszen egymást páronként kizárják, s összegük a biztos esemény.

IV.1.c A valószínűségszámítás axiómarendszere Mint korábban említettük a valószínűségszámítás axiomatikus megalapozása Kolmogorov nevéhez fűződik, aki 1933-ban német nyelven megjelent könyvében a valószínűségszámítás addig sajátosnak tekintett alapjait a modern matematika általános fogalma közé sorolta. Három axiómát fogalmazott meg, melyek segítségével a valószínűségszámítás tételei bizonyíthatóvá váltak, így a valószínűségszámítás is bekerült a matematika általánosan elfogadott területei közé. I. axióma: Egy tetszőleges A esemény bekövetkezési valószínűsége 0  P(A). II. axióma: A biztos esemény valószínűsége 1, azaz P(H) = 1. III. axióma: Ha A és B egymást kizáró események, azaz AB = 0, akkor P(A+B)= P(A) + P(B). A III. axiómát addíciós tételnek, vagy a valószínűség additív tulajdonságának is szokás nevezni, amely nem vezethető le az I. és II. axiómákból. Szemléltetése Venn-diagram segítségével a 26. ábrán látható.

A

B

H

26. ábra: Kolmogorov III. axiómájának szemléltetése

Az axiómarendszerből kiindulva néhány alapvető valószínűségszámítási tétel fogalmazható meg (a bizonyításoktól eltekintünk, azokat az érdeklődő hallgatók a fejezet végén található könyvekben megtalálják):   

az ellentétes esemény valószínűsége : P( A ) = 1 – P(A) a lehetetlen esemény valószínűsége: P() = 0 Fordítva nem igaz a tétel, azaz abból, hogy egy esemény valószínűsége 0, nem következik, hogy az lehetetlen esemény. a III. axióma kiterjesztése két esemény összegére, ha az együttes bekövetkezés nem kizárt (AB  0): P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

80

A·B

A

B

H 27. ábra: III. axióma kiterjesztése

  

ha A1, A2, …. An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A1) + P(A2) + ….+ P(An) = 1 ha az A esemény maga után vonja a B eseményt (AB), akkor P(B–A) = P(B) – P(A), amiből következik, hogy P(A)  P(B) ha egy kísérletben az eseménytér n számú egyenlően valószínű elemi eseményt tartalmaz, akkor a kísérlettel kapcsolatban megfogalmazható bármely véletlen esemény valószínűségét megkapjuk, ha a véletlen eseményt alkotó elemi események számát elosztjuk az összes elemi esemény számával (klasszikus valószínűségszámítás).

IV.1.d Valószínűség meghatározásának módszerei 





  

Klasszikus valószínűségmeghatározás - (kombinatorikus számítási mód) kedvező esetek száma P( A)  lehetséges esetek száma Geometriai úton - Ha egy véletlen kísérlettel kapcsolatos elemi eseményeket modellezhetünk egy korlátos geometriai alakzat (szakasz, ív, síkidom v. test) pontjainak véletlenszerű kiválasztásával, és a pontok egyenletes eloszlására vonatkozó feltétel teljesül, akkor a kísérlettel kapcsolatos események valószínűségét geometriai módszerekkel (hosszúság, terület v. térfogat kiszámításával) határozhatjuk meg25. Valószínűségszámítási tételek segítségével - Feltételes valószínűség fogalma, Teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel, Szorzási szabály, Események függetlensége Elméleti eloszlások segítségével Empirikus adatokból Szubjektív becsléssel

25

Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985, pp. 29.

81

Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet



Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek




28. ábra: A valószínűségszámítás fő területei

Eddig a sztochasztikus jelenségekben megfigyelt események bekövetkezésének ill. be nem következésének a valószínűségét vizsgáltuk. Ha egy kísérlettel kapcsolatos eseménytéren minden elemi eseményhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot, ezt a hozzárendelést valószínűségi változónak nevezzük. Kockadobás esetén például legyen az A1 esemény, hogy 1-est dobunk, A2 esemény a 2-es dobás, stb. Az egyes elemi eseményekhez rendeljünk hozzá egy számot – célszerűen a dobott szám értékét –, akkor az így létrehozott függvénykapcsolat alapján azt mondhatjuk, hogy a kísérlet lehetséges eredményei: 1, 2, 3, 4, 5, vagy 6. A valószínűségi változó fogalma nem adja meg, hogy az elemi eseményekhez milyen valós számokat rendeljünk. Természetes azonban, hogy ha egy elemi esemény bekövetkezésekor egyúttal számértékek is adódnak, akkor célszerű az egyes elemi eseményekhez ezeket a számokat hozzárendelni. A hozzárendeléshez azonban nem feltétlenül szükséges, hogy a kísérlet során számértékeket kapjunk eredményül. Az előbbi hozzárendelést akkor is elvégezhetjük, ha a kocka oldalai nem számokkal, hanem mondjuk színekkel vannak jelölve. Piros dobás 1-es, kék dobás 2-es stb. A valószínűségi változót általában görög kisbetűvel jelöljük, leggyakrabban a kis kszhi vagy éta betűkkel:  vagy . Attól függően, hogy a valószínűségi változó milyen értékeket vehet fel, két fő csoportot különböztetünk meg:  Diszkrét valószínűségi változóról akkor beszélünk, ha a valószínűségi változó véges, vagy megszámlálhatóan végtelen értéket vehet fel. Diszkrét valószínűségi változó például a fenti kockadobásnál megfigyelt számértékek, a selejtes termékek száma egy adott műszakban, a balesetek száma egy adott időszak alatt, a születések, halálozások száma egy évben, stb.  Folytonos valószínűségi változóról akkor beszélünk, ha a valószínűségi változó megszámlálhatatlanul végtelen sok értéket vehet fel. Folytonos valószínűségi változó pl. a telefonbeszélgetések hossza, vagy motorgyártásnál a henger felületi érdessége, a BUX index értéke, az ország GDP-je, stb.

82

IV.2 Valószínűségi változó jellemzői26 a) Valószínűség-eloszlás függvény Diszkrét esetben a  valószínűségi változó eloszlását egyértelműen jellemzi az, hogy a változó a lehetséges értékeit milyen valószínűséggel veszi fel. Ezt adja meg a pk valószínűségeloszlás: pk = P(=k). tulajdonságai: 0  pk  1 

p

k  

k

1

P(a   < b) =

b 1

pk  k a

Feladat: Rajzoljuk fel a kockadobás valószínűség-eloszlás függvényét! b) Eloszlásfüggvény Az eloszlásfüggvény [jelölése: F(k) v. folytonos változó esetén F(x)] megadja, hogy a  valószínűségi változó mekkora valószínűséggel vesz fel egy adott k-nál (folytonos esetben xnél) kisebb értéket, azaz: F(k) = P( < k) ill. F(x) = P( < x). tulajdonságai: monoton növekvő, azaz F(a)  F(b), ha a < b F(-) = 0, F() = 1 balról folytonos pk és F(k) kapcsolata: pk = F(k+1)-F(k) k 1

F(k) =

p

i  

i

P(a   < b) = F(b)-F(a) =

b 1

p k a

k

Feladat: Rajzoljuk fel a kockadobás eloszlásfüggvényét! c) Sűrűségfüggvény Ha a  folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x), akkor az f(x) = F’(x) függvényt a  sűrűségfüggvényének nevezzük. tulajdonságai: f(x)  0 

 f ( x)dx  1

 26

A fejezet Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985; Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995, megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült.

83

f(x) és F(x) kapcsolata: xi

 f ( x)dx ; f(x)=F’(x)

F(xi) =



b

P(a   < b) = F(b)-F(a) =

 f ( x)dx a

d) Várható érték A  diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek k1, k2, k3, …. , akkor  várható értékének az M ( )   pi k i összeget nevezzük; i

ha  folytonos valószínűségi változó és sűrűségfüggvénye f(x), akkor a  várható értéke M ( ) 



 x  f ( x)dx.



Ha 1 , 2 ... n tetszőleges valószínűségi változók, s létezik a várható értékük, akkor összegük várható értéke egyenlő a valószínűségi változók várható értékének összegével: M 1   2  ...   n   M 1   M  2   ...  M  n  Ha c egy tetszőleges valós szám, akkor M(c) = c. Ha M() létezik, akkor létezik M(c) is, és M(c) = c M(). e) Szórás, szórásnégyzet (variancia) A várható érték körül a valószínűségi változók különböző eloszlásoknál más-más módon „tömörülhetnek”. Elég nagy különbség van a végeredményt tekintve például az alábbi két eset között, holott a várható érték mindkettőben azonos. Az évfolyam Gazdaságstatisztika jegyének várható értéke abban az esetben is közepes, ha mindenki hármast kap, s akkor is, ha az évfolyam egyik fele jelest, a másik fele pedig elégtelent kap. Annak vizsgálatára, hogy a valószínűségi változó mennyire tér el a középértéktől, a szórást használjuk. Ha a  - M() valószínűségi változó négyzetének létezik a várható értéke, akkor az alábbi összefüggést  szórásnégyzetének nevezzük: 2 D2   M   M





Ennek négyzetgyöke a D( )  D 2 ( ) a  valószínűségi változó szórása. Ha a  valószínűségi változónak létezik a várható értéke, akkor D 2    M  2  M 2  

 

Ha a  valószínűségi változó szórása létezik, akkor tetszés szerinti a és b valós szám esetén D 2 a  b  a 2 D 2   Ha  1 , 2 ... n független valószínűségi változók és szórásaik léteznek, akkor összegük és különbségük szórásnégyzete egyenlő a valószínűségi változók szórásnégyzetének összegével: D 2  1   2  ...   n   D 2  1   D 2  2   ...  D 2  n  . Példa: Határozzuk meg hatoldalú szabályos dobókockával történő dobások várható értékét és szórását!  = a dobott szám 1 p k  P(  k )  , k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 84

M() = 1/6(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 3,5 A D    M   M 2   összefüggést felhasználva: D2() = 1/6(1+4+9+16+25+36) – (21/6)2 = 91/6 - (21/6)2 = 546/36-441/36 = 105/36. D()  1,7078 2

  2

f) Medián Valamely  valószínűségi változó mediánja, me(v Me) az a valós szám, amelyre P(<me) = 0,5. g) Kvantilisek A mediánhoz hasonlóan értelmezhetjük a p-kvantilist. A p-kvantilis az a valós szám, mely az eloszlást p : (1-p) arányban osztja ketté. A fentiek alapján a medián a 0,5-kvantilis. Kvantilis jelölése: xp. Kvantiliseket p adott értékeinél a p-kvantilis megnevezés helyett az értékre utaló szóhasználattal jelöljük pl. x0,25 kvartilis, x0,1 decilis, x0,01 centilis, stb. Valószínűségi változók jellemzésére gyakran használjuk a kvartiliseket. Az x0,25 értéket első v. alsó, az x0,75 értéket pedig harmadik v. felső kvartilisnek is szokás nevezni. h) Módusz Ha  valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket  móduszának nevezzük. Folytonos valószínűségi változó esetén  módusza a sűrűségfüggvény (lokális) maximumhelye(i). A módusz jele: mo v. Mo. i) Momentumok A  valószínűségi változó momentumainak nevezzük a következő számértékeket: - k-adik momentum M(k), - k-adik abszolút momentum M(k), - k-adik centrális momentum M{[-M()]k}, - k-adik centrális abszolút momentum M[-M()k], ahol k =1,2,3,…. Látható, hogy  első momentuma M(), a valószínűségi változó várható értéke, s második centrális momentuma M{[-M()]2}, a szórásnégyzete. j) Ferdeség A ferdeség egy eloszlás aszimmetriájának fokát, azaz a szimmetriától való eltérését mutatja. Ha egy eloszlás sűrűségfüggvénye a centrális maximumától inkább jobbra elnyúló, akkor azt bal oldali aszimmetriának vagy pozitív ferdeségűnek nevezzük. Ha az ellenkező oldalra nyúlik el, akkor jobb oldali aszimmetriának vagy negatív ferdeségűnek nevezzük. Ferde eloszlások esetében a várható érték általában a módusznak az elnyúló véggel azonos oldalán fekszik. Pearson-féle első és második ferdeségi együttható: M ( )  mo  3M ( )  me  1  v.  2  D( ) D( ) Gyakran használjuk a ferdeség jellemzésére a harmadik centrális momentumból képzett ferdeségi együtthatót: 3 M   M ( ) 1  D 3   Unimodális eloszlás esetén a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének grafikonja 1<0 esetén a módusztól balra, 1>0 esetén a módusztól jobbra hosszan elnyúlik.





85

k) Csúcsosság A csúcsossági mutató egy eloszlásnak – a vele megegyező várható értékű és szórású – normális eloszláshoz viszonyított csúcsosságának (lapultságának) fokát méri. A csúcsosság mérőszáma a negyedik centrális momentumból képzett együttható: 4 M   M ( ) 2  3 D 4   Ha 2>0, akkor a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye magasabban „ugrik ki” és csúcsosabb, mint a megfelelő normális eloszlású valószínűségi változóé.





IV.3 Diszkrét elméleti eloszlások27 A valószínűségi változók száma elvileg végtelen lehet. A gyakorlatban azonban viszonylag kis számú valószínűségeloszlás-típus fordul elő. Diszkrét valószínűségi változók közül a menedzsment területén legfontosabbak az alábbiakban bemutatandó eloszlások.

IV.3.a Diszkrét egyenletes eloszlás Az egyik legegyszerűbb eloszlásfajta. Gyakorlatban főképp a szerencsejátékokkal kapcsolatban találkozhatunk vele. A menedzsment és az üzleti élet területén ritkán fordul elő. Egyenletes eloszlás esetén a  valószínűségi változó által felvehető véges számú érték mindegyike egyenlően valószínű, vagyis 1 p k  P(  k )  , k = 1, 2, …, n n Ebben az esetben a várható értéket és a szórást (ill. szórásnégyzetet) viszonylag egyszerűen, az alapképletekbe történő behelyettesítéssel kapjuk: M ( ) 

1 n 2 1 n  1 n 2 D (  )  ki  k  ki   n   i n i 1 n i 1 i 1 

2

IV.3.b Binomiális eloszlás Ha egy kísérlet során az A esemény bekövetkezését, ill. be nem következését vizsgáljuk – azaz alternatív, két kimenetelű eseményről beszélünk -, s az A esemény bekövetkezési valószínűsége P(A) = p, és a kísérletet n-szer egymástól függetlenül megismételjük, akkor ha a vizsgált  valószínűségi változó az A esemény bekövetkezésének száma, a  valószínűségeloszlását binomiális eloszlásnak nevezzük, s az alábbi összefüggéssel határozhatjuk meg: n p k  P(  k )    p k q nk , ahol q = 1– p k  Az eloszlás várható értéke és szórásnégyzete:

M() = np,

D2() = npq.

A binomiális eloszlást a gyakorlatban elsősorban a visszatevéses mintavétel során alkalmazzuk, ill. bizonyos feltételek esetén a hipergeometrikus eloszlás helyettesítésére. Ha p(n+1) szorzat egész szám, akkor az eloszlásnak két módusza van, az (n+1)p–1 és az (n+1)p 27

A fejezet Csernyák L.(szerk.): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1990; Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985; Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 1989, megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült.

86

helyen. Ha p(n+1) nem egész, akkor az eloszlás unimodális és a módusz az (n+1)p egész része. Ha n nagy, akkor az eloszlás módusza az eloszlás várható értékéhez közeli szám, azaz a binomiális eloszlás legnagyobb valószínűséggel a várható értékéhez közeli értéket vesz fel. Példa A Felvillanyozzuk Kft. 24 speciális karácsonyfaégőt csomagol egy dobozba. A gyártás során a selejtarány 0,25. Átvételkor minden egyes kartonból 5 égőt vesznek ki visszatevéses mintavétellel. A megrendelő nem veszi át a tételt, ha hibás égőt talál a dobozban. Mekkora az átvétel valószínűsége? n=5 k=0 p = 0,25  5 5 P(  0)  p 0   0,25 0 1  0,25  0,2373  0 Hány selejtet tartalmaz a minta a legnagyobb valószínűséggel, s mekkora ez a valószínűség? p(n+1) = 1,5  p(n+1) egész része = 1  5 5 1 P(  1)  p1   0,251 1  0,25  0,3955  1 Mekkora annak a valószínűsége, hogy a mintában legfeljebb 1 selejtes égő lesz? n=5 k = 0 v. 1  P(1) = p0 + p1 = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328 p = 0,25 Adjuk meg a mintában levő selejt számának várható értékét és szórását! M() = np = 50,25 = 1,25 D2() = npq = 50,250,75 = 0,9375  D() = 0,9682

IV.3.c Hipergeometrikus eloszlás Ha visszatevés nélkül n elemű mintát veszünk egy N elemszámú sokaságból, melyben s a nem megfelelő egyedek száma, valamint a megfigyelt  valószínűségi változó a mintában található selejtes darabok száma, akkor  valószínűség-eloszlása hipergeometrikus eloszlással írható le.  s  N  s     k  n  k   p k  P(  k )  N   n Az eloszlás várható értéke és szórásnégyzete: M() = np, n 1   D 2 ( )  np(1  p)1  ,  N 1 s ahol p  . N Ha ugyanabból a sokaságból visszatevéssel, illetve visszatevés nélkül veszünk n elemű mintát, akkor a mintában levő selejtes darabok számának várható értéke ugyanakkora, de a visszatevés nélküli mintavétel esetén a szórás kisebb. Ha n<
Példa Tegyük fel, hogy az előző vállalatnál a dobozokból 4 égőt veszünk ki, s elfogadjuk a tételt, ha nem találunk köztük hibás égőt. Ha az egyik dobozban a hibás égők száma 3, akkor mi a valószínűsége, hogy nem vesszük át a dobozt? N =24 s=3 n=4 k=0  3  21    0 4 p 0  P(  0)      0,5632  24     4

Az átvétel valószínűsége  56%, azaz a doboz elutasításának valószínűsége 44%.

IV.3.d Poisson-eloszlás Diszkrét eloszlások közül ez az eloszlás az egyik leggyakrabban előforduló eloszlás a gyakorlatban. A Poisson-eloszlást a kis valószínűségű, vagyis ritka események eloszlástörvényének is nevezik, mivel ezzel az eloszlással írhatók le az ún. véletlen pontelhelyezkedések. Az egyenesen, síkon, térben véletlenszerűen elhelyezkedő pontok esetén egy adott tartományba eső pontok száma, vagy a véletlenszerű időpontokban bekövetkező eseményeknél adott időtartam alatt bekövetkező események száma igen gyakran Poisson-eloszlású. Ilyen eloszlás például e jegyzetben a gépelési hibák száma Az eloszlás valószínűség-eloszlás függvénye: p k  P(  k ) 

k

e  , ahol >0 valós szám, az eloszlás paramétere; k = 1, 2, 3, ….

k! Az eloszlás várható értéke és szórásnégyzete:

M() = , D2() = .

A Poisson-eloszlás segítségével bizonyos esetekben közelíthetjük a binomiális eloszlást. Ha n elég nagy és p kicsi, akkor aránylag kis k értékekre a binomiális eloszlást a  = np paraméterű Poisson-eloszlás megfelelő tagjaival közelíthetjük. Az eloszlás módusza, ha  egész szám, akkor az eloszlás bimodális mo1 = -1 és mo2 = . Ha  nem egész szám, akkor a módusz  egész részénél van, az eloszlás unimodális. Ez azt jelenti, hogy a Poisson-eloszlás legnagyobb valószínűséggel a várható értékét, vagy ahhoz közeli (annál kisebb) értéket vesz fel. Példa Egy mobilszolgáltató társaságnál az ország egy ritkán lakott területén egy adott cellából kezdeményezett hívások száma naponta átlagosan 5 hívás. Mi a valószínűsége, hogy naponta legalább 3, legfeljebb 7 hívást kezdeményeznek ebből a cellából? =5 k = 3, 4, 5, 6, 7 P(37) = p3+p4+p5+p6+p7  0,1404 + 0,1755 + 0,1755 +0,1462 +0,1044 = 0,742 Hány hívást kezdeményeznek naponta a legnagyobb valószínűséggel, és mekkora ez a valószínűség?

88

Mivel  egész szám, ezért a -1 és a  bekövetkezésének a valószínűsége a legnagyobb, azaz naponta 4 vagy 5 hívást kezdeményeznek a legnagyobb valószínűséggel, s ez a valószínűség: p4 = p5 = 0,1755.

IV.4 Folytonos elméleti eloszlások28Hiba! A könyvjelző nem létezik. IV.4.a Folytonos egyenletes eloszlás A folytonos egyenletes eloszlás a gyakorlatban ritkán fordul elő. Legfőbb alkalmazási területe a különböző eloszlású valószínűségi változók számítógépes szimulációja. Egy  folytonos valószínűségi változó a véges hosszúságú (a,b) intervallumon (ahol a
ha x  a

Az egyenletes eloszlás várható értéke: Az egyenletes eloszlás szórása:

ha a  x  b ha x b

M() = (a+b)/2 D( ) 

(b  a) 2 12

IV.4.b Exponenciális eloszlás Exponenciális eloszlás leginkább bizonyos véletlen hosszúságú időtartamok eloszlásaként lép fel. Exponenciális eloszlással írható le például egy olyan berendezésnek ill. alkatrésznek az élettartama, hibamentes működési ideje, melynek tönkremenetelét nem kopás vagy természetes elhasználódás okozza, hanem váratlan törés szakadás illetve egyéb véletlen ok. Az exponenciális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:

28

A fejezet Csernyák L.(szerk.): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1990; Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985; Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 1989, megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült.

89

0,   f ( x)    - x  e

ha x0 ha x  0

,

ahol >0; Eloszlásfüggvénye: 0,  F ( x)    1  e -x várható értéke

ha x0 ha x  0 és szórása: D() = 1/.

M() = 1/

Példa A Felvillanyozzuk Kft. speciális karácsonyfaégőinek átlagos élettartama a gyári mérések szerint 250 üzemóra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy égő éppen a 100-adik órában megy tönkre? M() = 1/ = 250 óra   = 1/250 = 0,004 1/óra 100

99

P(99 <  < 100) = F(100) – F(99) = 1  e 250  (1  e 250 )  0,673  0,67  0,003 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy égő 250 üzemóra előtt tönkremegy? 

1

250

P( < 250) = F(250) = 1  e 250  1  e 1  0,632 Legfeljebb hány órát működik az égők fele? A keresett érték az eloszlás mediánja. P( < me) = F(me) = 1  e



1 me 250



 0,5

me = 173,3 óra

IV.4.c Normális (Gauss-) eloszlás A leggyakoribb eloszlás a gyakorlati életben a menedzsment területén előforduló elméleti eloszlások közül. Ha egy valószínűségi változó értékét nagyszámú, egymástól függetlenül ható véletlen tényező határozza meg úgy, hogy az egyes tényezők külön-külön csak igen kis mértékben járulnak hozzá az összes véletlen hatásból eredő ingadozáshoz, és az egyes tényezők hatásai összeadódnak, akkor általában normális eloszlású valószínűségi változót kapunk. (Lásd később a központi határeloszlás tételt.) Normális eloszlással írható le például:  arányos skálán mérhető termékjellemzők (például: szélesség, hosszúság, vastagság, tömeg, összetétel) és technológiai paraméterek (például: hőmérséklet, nyomás, sebesség) matematikai modellezése,  egyéb, több tényező összegződése révén előálló mennyiség eloszlásának modellezése (például: testmagasság, munkabérek, eseményidő a hálótervezésben, élettartam, két meghibásodás között eltelt idő),  véletlen jellegű mérési hibák matematikai leírása,

90



technológiai folyamatok irányítási algoritmusának kialakítása (például: számtani átlag alapján történő szabályozás).

A normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:  1 f ( x)  e  2

( x )2 2 2

, ahol -<x< ,

eloszlásfüggvénye: x

várható értéke: M()=

0  1 F ( x0 )  e  2  és szórása: D()=.

( x )2 2 2

dx

Az F(x) függvény nem elemi függvény, értékeit táblázat alapján határozhatjuk meg. A ,  paraméterű normális eloszlást röviden N(, )–val jelöljük. A =0, =1 paraméterű normális eloszlású valószínűségi változót standard normális eloszlásúnak nevezzük. Normális eloszlás esetén ennek a standard normális eloszlásnak az eloszlásfüggvény értékei találhatóak meg táblázatban, s tetszőleges N(, )-ra vonatkozó valószínűségeket az N(0,1) táblázat segítségével határozzuk meg. A normális eloszlással történő gyakorlati számításokat jelentősen megkönnyítjük, ha az x z



transzformációval az x változó helyett bevezetjük a z változót, s az így kapott standard normális eloszlás valószínűségi függvényeivel számolunk. A standard normális eloszlás jelentőségét az adja, hogy bármely N(, ) eloszlás F(x) eloszlásfüggvénye mindig kifejezhető az N(0,1) eloszlás (z) eloszlásfüggvényével: F(x) = (z ) Mivel a standard normális eloszlás 0 körül szimmetrikus, ezért: (-z) = 1-(z) Példa: Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az N(, ) eloszlású valószínűségi változó a várható értékétől legfeljebb egy szórásnyira, két szórásnyira, három szórásnyira tér el! P(- <  < +) = F(+) – F(-) =                   (1)  (1)  (1)  (1  (1))  2(1)  1 =       P(- <  < +) = 20,8413 –1 = 0,6826 A fenti számolási menetet alkalmazva 2 ill. 3-szoros szórásnyira való eltérésre az alábbi eredmények adódnak: P(-2 <  < +2) = 20,9772 –1 = 0,9544, P(-3 <  < +3) = 20,99865 –1 = 0,9973, Vagyis a  a várható értékétől legfeljebb szórásnyira kb. 0,68, legfeljebb két szórásnyira kb. 0,95 ill. legfeljebb három szórásnyira kb. 0,997 valószínűséggel tér el.

91

A normális eloszlás fenti tulajdonságát nevezzük „háromszigma szabálynak”. Ezt mutatja a 29. ábra.

-3

-2

-1



+1

+2

+3

68,26 % 95,44 % 99,73 % 29. ábra: A „háromszigma szabály”

Példa Egy gép által készített alkatrész hossza normális eloszlású, melynek várható értéke 20 cm, szórása 0,4 cm. Mi a valószínűsége, hogy az alkatrész hossza az előírástól legfeljebb 0,6 cmrel tér el? P(19,4 <  < 20,6) = F(20,6) – F(19,4) =  20,6  20   19,4  20        (1,5)  (1,5)  2(1,5)  1 =  0,4   0,4  = 20,9332 –1 = 0,8664 Milyen szórással kell dolgoznia a gépnek, hogy 98%-ban jó alkatrészt készítsen, ha a tűrés 0,5 cm? P(19,5 <  < 20,5) = F(20,5) – F(19,5) = 0,98 0,5  20,5  20   19,5  20        2( )  1  0,98         0,5     0,99   A standard normális eloszlás táblázat alapján: 0,5    0,21  2,33



Tehát kb. 0,21 cm-es szórás esetén a gép által gyártott alkatrészek 98%-a megfelelő méretű.

92

IV.5 Központi határeloszlás tétele29 A központi határeloszlás tétele a sok véletlen komponens különféle függvényeinek (például összegének, szorzatának, maximumának) aszimptotikus eloszlásaival foglalkozó határeloszlás-tételek közül a legfontosabb a gyakorlat számára. A tétel magyarázatot ad arra, hogy miért találkozunk oly gyakran a természet és a társadalom jelenségeinek törvényszerűségeit vizsgálva a normális eloszlással.

30. ábra: A dobott számok összegének valószínűség-eloszlása

A központi határeloszlás tétele értelmében, ha 1, 2, ....., n, azonos eloszlású, véges M(i) várható értékű és véges D(i) szórású független valószínűségi változók, akkor a belőlük képzett  = 1+ 2+ .....+ n valószínűségi változó eloszlása n  esetén nM(i) várható értékű, Di  n szórású normális eloszlás. A tapasztalat azt mutatja, hogy már aránylag kis n esetén is az előbbiekben felsorolt tulajdonságokkal rendelkező valószínűségi változók összegéből képzett  valószínűségi változó közelítőleg normális eloszlásúnak tekinthető. (30. ábra)

29

A fejezet Csernyák L.(szerk.): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1990; Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985; megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült.

93

V. Becslés Valószínűségszámítás Matematikai statisztika

Valószínűségelmélet Axiómák, alaptételek

Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek




94

Az előző fejezetben már említettük, hogy az elméleti eloszlásokkal történő számoláshoz elsősorban azok paramétereinek ismerete szükséges. A gyakorlatban egy adott probléma elemzésénél többnyire tapasztalatból tudjuk az eloszlás jellegét, de nem ismerjük az eloszlás alakját pontosan meghatározó paramétereket. Tudjuk például, hogy a labdarúgó mérkőzéseken a gólok száma jó közelítéssel Poisson-eloszlású. Ugyanilyen eloszlással írható le mondjuk a Tiszán egy év alatt levonuló árhullámok száma, csak éppen más  paraméterrel. Minden – majdnem minden – elméleti eloszlásnak van(nak) paramétere(i), melyeket általában nem ismerünk, azokat a -re vonatkozó statisztikai mintából kell közelítőleg meghatároznunk, becsülnünk, mert csak ezek ismeretében tudunk a vizsgált jelenséggel kapcsolatos valószínűségi kérdésekre válaszolni. Korábbi fejezetekben felvázoltuk a statisztikai következtetés logikai menetét, s annak első lépését, a mintavétel módszereit is áttekintettük. A második lépéssel, a mintából származó adatok feldolgozásával (tömörítésével, rendezésével, ábrázolásával stb.) a leíró statisztika foglalkozik, melyet szintén részletesen megismertünk. Már akkor említettük, hogy a mintából számított mutatókat (átlag, szórás, stb.) a sokasági jellemzőkre való következtetésre, az ismeretlen paraméterek becslésére (is) használjuk. Ebben az esetben tehát a mintából meghatározunk egy számértéket, s ezt a számot tekintjük az ismeretlen paraméter közelítő értékének. Ezt az eljárást nevezzük pontbecslésnek. Nem arról van tehát szó, hogy a mintából kiszámoljuk az ismeretlen paramétert. A mintából számolt mutatók értékei függnek a véletlentől, mintáról mintára változnak, így maguk is valószínűségi változónak tekinthetők. A mintából számolt mutatók eloszlását mintavételi eloszlásnak nevezzük. Annak megítélése, hogy a mintából számolt mutató (amit minta statisztikának vagy röviden statisztikának is neveznek) mikor tekinthető az ismeretlen elméleti paraméter „jó” becslésének, többféle szempontból történhet.

V.1 A becslés tulajdonságai30 Tudjuk, hogy a sokaság paramétereit általában több statisztikával is becsülhetjük. Így pl. a várható értéket - normális eloszlású alapsokaság esetében - a mintaátlaggal és a mediánnal is becsülhetjük, a szórást a minta szórásával, de a terjedelem segítségével is becsülhetjük stb. Természetesen felmerül a kérdés, hogy ezek közül melyik becslést kell választanunk. Hogy ilyen esetekben a legmegfelelőbb becslést választhassuk, kritériumokat kell felállítanunk arra vonatkozólag, hogy mikor fogadjunk el egy becslést jónak, illetve mikor tartsuk jobbnak az egyik becslést a másiknál. A statisztikai becslés Fisher-féle kritériumait az alábbiakban foglaljuk össze31.

V.1.a Torzítatlan becslés A legfontosabb tulajdonság, amit egy „jónak” minősített becsléstől megkívánunk, hogy a becslés a szóban forgó paraméterérték körül ingadozzék. Pontosabban azt kívánjuk meg, hogy a becslés (az illető statisztika) várható értéke éppen a megfelelő paraméterérték legyen. Ha egy becslésre ez a követelmény teljesül, akkor torzítatlan becslésről beszélünk. Így pl. torzítatlan a becslés, ha a mintaátlagok várható értéke megegyezik az alapsokaság várható értékével: M x   M ( ) , vagy a korrigált tapasztalati szórásnégyzet várható értéke az elméleti varianciával egyenlő: M (s *2 )  D 2 ( ) . Ez azonban nem igaz a tapasztalati 30 31

Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 1998 A V.1 részben található ábrák a STATISTICA for Windows programmal készültek

95

szórásnégyzetre. A tapasztalati szórásnégyzet várható értéke (az elméleti varianciát az n 1 2  1  2 egyszerűség kedvéért 2-el jelölve): M ( s 2 )    1   . Az empirikus n  n (tapasztalati) szórásnégyzet tehát elméleti variancia torzított becslése. Látható, hogy a „torzítás mértéke” függ a mintaszámtól, s a mintaszám növekedésével csökken. Az ilyen tulajdonságú becsléseket aszimptotikusan torzítatlan becslésnek nevezzük. A torzítatlanság nem azt jelenti, hogy egy adott mintából kapott becslés egyenlő az ismeretlen paraméterrel, sőt arra sem ad feleletet, hogy a mintából kapott becslés értéke közel, vagy távol esik-e a valódi paramétertől. A torzítatlanság esetében csupán abban lehetünk biztosak, hogy nincs semmiféle szisztematikus, egyirányú eltérés a becslés és a becsült paraméter között. Példa: Vizsgáljuk meg n = 3 elemű statisztikai minták alapján a kockadobás tapasztalati és korrigált tapasztalati szórását. (Az első fejezetben meghatároztuk a kockadobás elméleti szórását, s azt találtuk, hogy D()  1,71.) A kísérletet 50-szer megismételve a számított tapasztalati ill. korrigált tapasztalati szórásokat az alábbi ábrán (31. ábra) láthatjuk. n = 3e le m û m in tá ks z ó rá s a i 3 .0

2 .5

2 .0 1 ,7 3 1 .5

1 ,4 1

1 .0

0 .5

0 .0 0

4

8

1 2

1 6

2 0

2 4

2 8

3 2

3 6

4 0

4 4

4 8

T _ S Z 3 K _ T S Z 3

31. ábra: Tapasztalati szórások összehasonlítása

Az ábrán folytonos vonal mutatja a tapasztalati, ill. szaggatott vonal a korrigált tapasztalati szórásokat a mintaszám függvényében. Vízszintes folytonos vonallal jelöltük a kétfajta szórás (50-50 elem) átlagát. A korrigált tapasztalati szórások átlaga 1,73, a tapasztalati szórásoké 1,41. Jól látható, hogy a korrigált tapasztalati szórások az elméleti (1,71) szórás körül ingadoznak (átlaguk közel esik az elméleti értékhez), míg a tapasztalati szórások átlaga 1,41, jóval nagyobb az eltérés az elméleti értéktől.

V.1.b Konzisztens becslés Konzisztensnek (összetartónak) nevezzük a becslést akkor, ha ingadozása a becsült paraméter körül a minta elemszámának növelésével egyre csökken. A korábbiakban láttuk, hogy a számtani átlag torzítatlan becslése a várható értéknek, s szórása  x 



. Nyilvánvaló, hogy n n   esetén  x  0 , vagyis a számtani átlag konzisztens becslése a várható értéknek.

96

Példa Az előző példához hasonlóan „kevésbé matematikai módon”, tapasztalati adatokból vizsgáljuk meg a kockadobás esetén a két empirikus szórás viselkedését a mintaszám növekedésének függvényében. A 32. ábra mutatja a kapott eredményeket. Az ábrán folytonos vízszintes vonal jelzi az elméleti értéket (D()1,71). Az ábrából egyértelműen látszik, hogy a mintaszám növekedésével mind a korrigált tapasztalati, mind a tapasztalati szórás az elméleti érték körül ingadozik (torzítatlan ill. aszimptotikusan torzítatlan becslés), s az ingadozás mértéke a mintaszám növekedésével egyre kisebb (konzisztens a becslés). K o c k a d o b á ss z ó rá s a

2 .0

1 .6

1 .2

0 .8

0 5 1 01 52 02 53 03 54 04 55 05 56 06 57 07 58 08 59 09 51 0 0

T_ S Z_ K _ T_ S Z

32. ábra: A kockadobás szórása a mintaszám függvényében (n=100)

Megfigyelhetjük, hogy kb. 30-35 elemű minták esetén a különbség a két szórás között már gyakorlatilag elhanyagolható. Az alábbi ábrán csak az első 50 adatot ábrázolva, a két szórás közötti különbség jobban megfigyelhető. K o c k a d o b á ss z ó rá s a

2 .4

2 .0

1 .6

1 .2

0 .8

0

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

33. ábra: A kockadobás szórása a mintaszám függvényében (n=50)

97

T _ S Z _ K _ T _ S Z

V.1.c Hatásos becslés Két becslés összehasonlításakor a hatásosság vagy más néven efficiencia kritériuma alapján döntjük el, hogy a kettő közül melyik a jobb. A hatásosságot nagyon fontos becslési kritériumnak tekintjük. Két becslés közül a kevésbé ingadozót nevezzük hatásosabbnak. Az ingadozás mértéke a szórás, ezért a becslések ingadozását is a szórásukkal jellemezzük. Tehát két becslés közül a kisebb szórású becslést tekintjük hatásosabbnak, jobbnak. Gyakran előfordul, hogy a torzítatlan becslések között van olyan, amelyiknek a szórása az összes többi becslés szórásánál kisebb (adott n mellett). Ekkor ezt a minimális szórású, torzítatlan becslést hatásosnak nevezzük, és a többi becslés hatásfokát ehhez mérjük. Példa A „szokott” módon, tapasztalati adatokból hasonlítsuk össze (n=5 elemű minták alapján) a kockadobás átlagát és mediánját. A kísérletet 50-szer megismételve, a minták átlagait és mediánjait a mutatja. n=5 el emû mi nt ák át l aga és medi ánj a 6. 5

5. 5

4. 5

3. 5

2. 5

1. 5

0. 5 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

ATL MED

34. ábra: A kockadobás átlaga és mediánja

Az ábrán szaggatott vonallal összekötve a négyzetek a mediánokat, s folytonos vonallal összekötve körök jelölik az egyes minták átlagait. Vízszintesen behúzott folytonos vonal a várható értéket mutatja (M() = 3,5). Megfigyelhetjük, hogy a medián is és az átlag is az elméleti érték körül ingadozik (torzítatlan becslések), ugyanakkor az átlagok eltérése, ingadozása kisebb, mint a mediánoké. Kiszámolva a két adatsor korrigált tapasztalati * *  0,794 ; s medián szórásait, az eredmények az alábbiak: s átlag  1,320 . Az átlag szórása valóban kisebb, mint a mediáné, az adatok alapján kb. 40%-kal. Az átlag tehát hatásosabb becslés, mint a medián.

V.1.d Elégséges becslés Egy becslés elégséges, ha az lényegében minden információt tartalmaz a paraméterre vonatkozóan. Ez más szóval annyit jelent, nincs más olyan becslés, amelyik a paraméterről több információt szolgáltatna, mint az elégségesnek minősülő becslés.

98

V.2 A pontbecslés módszerei Az eddigiek során is használtunk különféle becslőfüggvényeket pontbecslés céljára, de ezeket csak „ösztönösen” választottuk. Így természetesen adódott, hogy pl. a várható értéket a mintából számított átlaggal vagy más középértékkel becsüljük. Ez az ún. analógia elve, ami azt jelenti, hogy a mintából a becsülendő jellemzővel megegyező tartalmú mutatót számítunk ki, és ennek segítségével becsüljük a megfelelő sokasági jellemzőt. Léteznek azonban olyan általános elvek, módszerek, amelyek segítségével olyan esetekben is tudunk jó tulajdonságú becslőfüggvényeket készíteni, amikor a megérzés vagy az analógia már nem segít. A legegyszerűbb grafikus becslést kivéve nem célunk ezek részletes ismertetése, csak röviden felsoroljuk illetve ismertetjük lényegüket32,33.  Maximum-likelihood módszer (a legnagyobb valószínűség elve): az eljárás lényege az ún. likelihood függvény felállítása, amely nem más, mint a mintaelemek együttes sűrűségfüggvénye, s az ismeretlen paraméter becslésére azt a statisztikát használjuk, melyre ez a függvény maximális értéket vesz fel. Ez az egyik legjobb és leggyakrabban alkalmazott eljárás.  Legkisebb négyzetek módszere: nem pusztán a statisztikai becslésre szolgáló eljárás, hanem alkalmazható más becslési feladatok megoldására is. A módszer lényege, hogy egy elméleti modellnek (ez lehet egy eloszlás vagy sűrűségfüggvény, de lehet egy egyszerű konstans függvény is) a paramétereit határozza meg úgy, hogy a tényleges és a becsült paraméterekkel illesztett modellek négyzetes eltérése, azaz az eltérések négyzetösszege minimális legyen.  Momentumok módszere abban áll, hogy ha k számú paramétert akarunk becsülni, akkor az eloszlás első k számú elméleti momentumát egyenlővé tesszük a mintából számított tapasztalati momentumokkal. Ily módon az ismeretlen paraméterekre egyenletrendszert nyerünk, amely kedvező esetben megoldható.  Grafikus paraméterbecslés: az előző matematikai eljárásokhoz képest, ez inkább a gyakorlat számára könnyebben kezelhetőbb eljárás. Bár pontossága természetesen a grafikus ábrázolás adta lehetőségektől függ, de egyszerűsége miatt sokszor jól használható. Lényegük, hogy valamilyen módon (többnyire logaritmizálással) linearizáljuk az eloszlásfüggvényt, s az adatokat grafikusan ábrázolva az egyenes meredekségéből és/vagy tengelymetszetéből következtetünk az eloszlás ismeretlen paraméteré(ei)re.

V.2.a Exponenciális eloszlás paraméterének grafikus becslése Az exponenciális eloszlást viszonylag egyszerűen „kiegyenesíthetjük”. Az eloszlás eloszlásfüggvénye: F ( x) 1  e x . Mindkét oldalból 1-et kivonva, (-1)-el megszorozva, majd az egyenletet logaritmizálva és újra megszorozva (–1)-gyel, az alábbi összefüggést kapjuk: -ln[1-F(x)]= x Ha x függvényében ábrázoljuk a baloldalon lévő kifejezést, egy egyenest kapunk, melynek tengelymetszete 0, iránytangense (meredeksége) éppen az ismeretlen  paraméter (35. ábra).

32 33

Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985 Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996

99

35. ábra: Exponenciális eloszlás  paraméterének grafikus becslése

V.2.b Normális eloszlás paramétereinek grafikus becslése34 Normális eloszlás eloszlásfüggvényének „kiegyenesítése” már nem végezhető el egyszerű logaritmizálással, mivel az eloszlásfügvény elemi függvényét nem ismerjük. Speciális beosztású ordinátatengelyű koordinátarendszert alkalmazva azonban az eloszlásfüggvény képe linearizálható. A függőleges tengelyen az eloszlásfüggvény értékeit ábrázoljuk úgy, hogy az eloszlásfüggvény középértékéből (0,5) kiindulva az egységnyi távolság 1 szórásnyi legyen. Az egyszerűség kedvéért ábrázoljuk most a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét ((z)). Tudjuk, hogy a függvény –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 helyen felvett értékei a következők 0,00135; 0,0228; 0,1587; 0,5; 0,8413; 0,9772 és 0,99865. Ábrázoljuk most ezeket a pontokat úgy, hogy a (1) egy távolságegységgel feljebb a (-1) egy távolságegységgel lejjebb, a (2) 2 távolságegységgel feljebb a (-2) 2 távolságegységgel lejjebb stb. kerüljön , mint a (0) =0,5. Az ordináta tengely skálázása ezáltal egyenlőtlen lett, viszont így a (z) függvény képe egyenes, ahol nyilván a többi érték is ezen az egyenesen fekvő pontot határoz meg (36. ábra) 0,998 65 0,977 2 0,841 3 0,5

0,158 7

0,0228 0,0013

-3

-2

-1

0

1

2

3

36. ábra: Gauss-papíros ábrázolás

Ha az x tengelyt most átskálázzuk (-3 helyébe -3, -2 helyébe -2 stb. kerül), akkor az előző pontok egy 0 várható értékű,  szórású normális eloszlású változó eloszlásfüggvényének a 34

Lukács O.: Matematikai statisztika, Példatár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987

100

pontjai. Végül toljuk el az ordinátatengelyt eredeti helyzetével párhuzamosan az x tengely mentén - egységgel. Az így kapott koordinátarendszerben a  várható értékű,  szórású normális eloszlású változó F(x) eloszlásfüggvényének képe egyenes. Ha a minta adatai alapján kapott tapasztalati eloszlásfüggvényt az előbbi koordinátarendszerben (ún. Gauss-papíron) ábrázoljuk, normális eloszlás esetén a pontok közelítőleg egy egyenesre esnek. Behúzva az egyenest, a normális eloszlás tulajdonságait ismerve becsülhetjük az ismeretlen paramétereket. Az egyenes és a függőleges tengely (ill. gyakrabban az y = 0,5 ordináta érték) metszéspontjánál leolvasva az x tengely értékét kapjuk az eloszlás  paraméterét. A 0,1587 ill. a 0,8413 y érték és az egyenes metszéspontjánál pedig a - ill. a + értékeket olvashatjuk le az x tengelyen, amiből a  ismeretében  könnyen meghatározható.

V.3 Intervallumbecslés A becslésről szóló eddigi fejtegetéseink során az eloszlás valamely ismeretlen paraméterét egyetlen mennyiséggel, a mintaelemekből számított statisztika numerikus értékével, tehát egyetlen számadattal becsültük, azaz pontbecslést alkalmaztunk. Mivel a mintából számolt statisztika is valószínűségi változó, aktuális értéke általában eltér a becsült paramétertől. Ha sokszor (sok n-es mintából) végezzük a becslést, akkor a mintastatisztika értékei – torzítatlan becslés esetén – az elméleti érték körül szóródnak. A szóródás mértéke természetesen függ a minta nagyságától. Bár egyetlen mintából nem tudjuk megmondani a becsült paraméter pontos értékét, a mintastatisztika eloszlásának ismeretében (ezeket neveztük mintavételi eloszlásoknak) sokszor meg tudunk adni egy olyan intervallumot, amely az ismeretlen paramétert nagy – mondjuk 95%-os – valószínűséggel tartalmazza. Az ilyen intervallumot az adott paraméterre vonatkozó 95%-os konfidencia-intervallumnak (megbízhatósági intervallumnak) nevezzük. A továbbiakban a különböző paraméterekre vonatkozó intervallumbecsléssel foglalkozunk.35

V.3.a Konfidenciaintervallum a normális eloszlás várható értékére36 Tegyük fel, hogy a  valószínűségi változó N(,0) eloszlású, ahol 0 szórás ismert. A  paramétert statisztikai mintából a számtani átlaggal becsüljük. Tudjuk, hogy az átlag eloszlása (mintavételi eloszlás) szintén normális eloszlású M (x)   várható értékkel, és D( ) 

0

n szórással. A normális eloszlás ismert tulajdonsága, az ún 2-szabály alapján az átlag értéke 95,44% valószínűséggel a várható érték  2 szórás tartományba, vagyis a            2 0 ,   2 0  intervallumba esik: P   2 0  x    2 0   0,9544 . n n n n  

Ha ismernénk tehát a  várható értéket, és a számegyenesen megrajzolnánk a fenti intervallumot, akkor az n elemű minták számtani közepét kiszámolva 100 esetből kb. 95 mintaközép ebbe az intervallumba esik. Sajnos azonban  értékét nem ismerjük (éppen ezt

35 36

Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985 Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985

101

szeretnénk becsülni), a fenti intervallumot nem tudjuk megrajzolni. Rendezzük át az     összefüggést a következő formára: P x  2 0    x  2 0   0,9544 . n n  Ezen összefüggés valószínűségelméleti értelme a következő. Az ismeretlen  paraméter nem valószínűségi változó, hanem egy állandó, a számegyenes egy adott pontja. Valószínűségi     változó viszont az  x  2 0 , x  2 0  intervallum két végpontja. Azaz annak a n n  valószínűsége, hogy ez a véletlen helyzetű intervallum tartalmazza (lefedi) a  pontot, közelítőleg 95%. (37. ábra)

 37. ábra: Konfidenciaintervallumok a  várható értékre

0

0 

 Az  x  2 ,x2  intervallumot a normális eloszlás várható értékére vonatkozó 95%n n  os (pontosabban 95,44%-os) konfidenciaintervallumnak nevezzük. Természetesen nem csak 95%-os intervallumot lehet szerkeszteni. Ha a sokaság elméleti szórása ismert (0), akkor az átlag mintavételi eloszlása lapján tetszőleges kicsiny >0 számhoz meghatározható olyan z/2     mennyiség, hogy a P x  z / 2 0    x  z / 2 0   1   . n n      Normális eloszlás esetén tehát az  x  z / 2 0 , x  z / 2 0  intervallum (1-) szintű n n  konfidencia intervallum a  várható értékre. Adott eloszlás esetén minél nagyobb a megbízhatósági szint (1-), annál szélesebb intervallumot kapunk. Nagy biztonsággal csak viszonylag hosszabb intervallumról állíthatjuk, hogy valóban tartalmazza az ismeretlen paramétert. Mint látható az intervallum hossza függ még a minta nagyságától és az alapsokasági (0) szórástól.

Az eddigiekben csak kétoldali intervallumról beszéltünk, mivel a gyakorlatban ez az elterjedtebb. Ha csak alsó vagy csak felső határokat kívánunk becsülni, akkor a követendő eljárás az eddigiekhez hasonló lesz. A részletek mellőzésével belátható, hogy felső korlát

102

   esetén P   x  z 0   1   kapható, ahol z a standard normális eloszlás táblázatból n  37 kereshető ki . Azaz annak a valószínűsége, hogy az ismeretlen sokasági paraméter az     x  z 0 érték alá esik, 1-. Hasonló módon az alsó korlátra a P   x  z 0   1   n n  összefüggést kapunk. Példa ROM chipek előállításánál az égetőkemence maximum hőmérsékletét vizsgálták. Korábbi vizsgálatok alapján tudják, hogy a folyamatban a maximum hőmérsékletek elméleti szórása 12°C. A vizsgálat céljára 8 elemű véletlen mintát vettek és az átlag hőmérséklet 492°C-ra adódot. Adjunk 95%-os szinten intervallumbecslést a kemence hőmérsékletének várható értékére!38 n=8 x  492C 0=12°C =0,95  =0,05  kétoldali becslés: /2=0,025  z/2=1,96 behelyettesítve a fenti összefüggésbe: 492  1,96

12 12 ,    492  1,96 8 8

483,68 <  < 500,32 A ROM chipek érzékenysége miatt a chipeket nem szabad tartósan túl magas hőhatásnak kitenni, ezért a technológiát úgy kell beállítani, hogy a hőmérséklet hosszabb távon ne haladja meg az 500°C-ot. A minta alapján – 95%-os megbízhatósággal - teljesíti-e ezt a feltételt az égetőkemence? n=8 x  492C 0=12°C =0,95  =0,05  egyoldali becslés  z=1,645  12   x  z 0  492  1,645  499 °C n 8 A fenti gondolatmenet nem csak a normális eloszlás várható értékének becslésére igaz, hanem a mintavételi eloszlás ismeretében egyéb paraméterek konfidenciaintervallumának meghatározására is. A továbbiakban – a részletes levezetés mellőzésével – a legfontosabb paraméterek intervallumbecsléseit mutatjuk be.

37 38

Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996 Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 1989

103

V.3.b Konfidenciaintervallum a normális eloszlás várható értékére, ha az elméleti szórás ismeretlen39 Ebben az esetben továbbra is feltételezzük, hogy a sokaság N(,) eloszlású, de sem -t sem -t nem ismerjük. A problémát ezúttal az okozza, hogy bár az átlag továbbra is normális eloszlású, de az elméleti szórás nem ismert, így kénytelenek vagyunk a szórást a mintából x x becsülni (s*), ennélfogva az helyett kénytelenek vagyunk a * változót használni.  n s n Ez viszont már nem normális eloszlású, hanem t- (Student-) eloszlású valószínűségi változó,  = n-1 szabadságfokkal. (A szabadságfokot szokták még DF-fel és néha f-fel is jelölni. Mi a továbbiakban elsősorban majd a DF jelölést használjuk.) A Student-eloszlás a normális eloszláshoz hasonlóan szimmetrikus eloszlás, az eloszlás egy paramétere az ún. szabadságfok () jellemzi. A t-eloszlás ismeretében nézzük tehát az intervallumbecslés határainak meghatározását. Az előző esethez képest „csak” annyi a különbség, hogy normális eloszlás  s* s*     1   helyett a t-eloszlást kell alkalmaznunk. P x  t / 2 ( )    x  t / 2 ( ) n n   A t/2() értéket a  = n-1 szabadságfokú t-eloszlás táblázatából kereshetjük ki. Az s* - az eddigieknek megfelelően – a korrigált tapasztalati szórást jelöli. Példa Tegyük fel, hogy az előző – ROM égetőkemencés – példánál nem ismerjük az elméleti szórást, de továbbra is tudjuk, hogy a maximum hőmérsékletek normális eloszlással írhatók le. A nyolcelemű minta korrigált tapasztalati szórása s*= 4,5°C, az átlag továbbra is 492°C. Adjunk becslést 95%-os megbízhatósági szinten a kemence hőmérsékletének várható értékére!40 n=8 x  492C s*=4,5°C (DF)=n–1=8–1=7  = 0,95  =0,05  kétoldali becslés: /2=0,025  t/2=2,365

492  2,365

4,5 4,5    492  2,365 , 8 8

488,24 <  < 495,76

39 40

Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996 Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 1989

104

V.3.c Sokasági arány becslése41 A vizsgált egyedek (pl. férfiak aránya a népességen belül, a selejtes termékek aránya stb.) sokasági arányát jelöljük nagy P-vel. Ennek torzítatlan (pont)becslése a p=k/n relatív gyakoriság, ahol n a mintaszám, k a mintában talált „kedvező” esetek száma. Mivel n rögzített (nem valószínűségi változó), k binomiális eloszlást követ, így p is binomiális eloszlású lesz, M(p)=P várható értékkel és D2(p)=P(1–P)/n varianciával. Mivel az elméleti variancia eleve ismeretlen, az sp2=p(1–p)/n értékkel becsüljük. A mintából számított p ismeretében a binomiális eloszlás táblázatából könnyen megkaphatjuk a keresett intervallumot. Ezt az eljárást azonban a gyakorlatban ritkán alkalmazzuk, mert diszkrét jellege meglehetősen pontatlanná teszi. Az első fejezetben láttuk, hogy bizonyos feltételek mellett a binomiális eloszlás jól közelíthető normális eloszlással. Ha például p közel van 0,5-hez, akkor már n=20 elemű minta is elegendő a normális közelítéshez. Ekkor a kétoldali konfidenciaintervallum:  P p  z / 2 

p(1  p)  P  p  z / 2 n

p(1  p)    1  n 

Példa A Felvillanyozzuk Kft. napi termeléséből vett n = 200 elemű mintában a hibás égők száma 24 db. 95%-os megbízhatósági szint mellett adjunk intervallumbecslést a sokasági arányra. n = 200 p = 24/200 = 0,12  = 0,95   = 0,05  kétoldali becslés: /2 = 0,025  z/2 = 1,96 0,12  1,96

0,12  0,88 0,12  0,88  P  0,12  1,96 200 200

0,075 < P < 0,165

V.3.d Sokasági variancia becslése42,43 Ebben a részben a normális eloszlású sokaság szórásnégyzetének intervallumbecslését mutatjuk be. Ha a sokaság eloszlása nem normális, akkor még nagy minták esetén sem érvényes az itt következő intervallumbecslés. A 2 (pont)becslésére használt tapasztalati és korrigált tapasztalati szórásnégyzetek közelítőleg az ún. 2-eloszlással írhatók le. A 2-eloszlás jellemzőit, alakját egy paramétere – a t-eloszláshoz hasonlóan – a szabadságfok határozza meg. Különböző 2-eloszlásokat mutat a 38. ábra. Sajnálatos módon az eddig megszokott, kényelmes mintavételi eloszlásoktól eltérően, a 2-eloszlás csak pozitív értékekre van értelmezve, nem szimmetrikus, de ettől eltekintve ugyanúgy használhatjuk intervallumbecslésre, mint a standard normál ill. a t-eloszlásokat. A szabadságfok növekedésével az eloszlás közelít a normális eloszláshoz, amit a későbbiekben a konfidencia intervallumok meghatározásánál is kihasználunk.

41

Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996 Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996 43 Sincich, T.:Statistics by Example, Dellen Publishing Company, San Fransisco, 1990 42

105

C h i-n é g yze te lo szlá ssû rû sé g fü g g vé n ye

f(x ) 0 .5

0 .4

D F=2

0 .3

D F=4 D F=7

0 .2

0 .1

0 .0 0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

6 x 1

38. ábra: 2-eloszlás sűrűségfüggvénye44

Mivel az eloszlás nem szimmetrikus, kétoldali becslés esetén az eloszlás alsó és felső oldalán kijelölt /2 valószínűség nem egyforma hosszúságú intervallumokat jelent, ennél fogva az előzőekben vizsgált esetekkel ellentétben a konfidencia-intervallum nem lesz szimmetrikus a pontbecslésre. Normális eloszlású valószínűségi változó ismeretlen varianciájának megbízhatósági intervallumát az alábbi összefüggéssel határozhatjuk meg:

 n  1s*2  n  1s*2  2   1   P   2 2    /2 1 / 2   A  2 / 2 és a  12 / 2 értékeket a  (ill. DF) = n-1 szabadságfokú 2 táblázatból lehet meghatározni. Ha a konfidencia-határokat az eloszlás elméleti szórására szeretnénk vonatkoztatni, akkor mindkét határ pozitív előjelű négyzetgyökét kell képeznünk. Ha a  becslését a tapasztalati szórással végeztük, akkor a számlálóban (n-1) helyett n-nel szorozzuk a szórást. Példa A Felvillanyozzuk Kft. karácsonyfaégőinek élettartamát n = 16 elemű mintából vizsgálva azt találták, hogy az élettartamok korrigált tapasztalati szórása 10 óra. Határozzuk meg az égők varianciájára, ill. szórására vonatkozó 95%-os konfidencia-határokat! n = 16 s* = 10 óra (DF) = n – 1 = 16 – 1 = 15  = 0,95   = 0,05  kétoldali becslés: /2 = 0,025  1 – /2 = 0,975

16  110 2   2  16  110 2 27,5

6,26

54,5 < 2 < 239,6 44

Készült a STATISTICA for Windows program segítségével

106

7,38 <  < 15,5 Nagy szabadsági fok (nagy mintaszám) esetén a 2-eloszlás közelíthető normális eloszlással. Ha a mintaszám n>30, akkor felhasználva azt az eredményt, hogy a 2 2  2  1 mennyiség közelítőleg standard normális eloszlású változó, adott  valószínűséghez tartozó 2 1 2α értéke kifejezhető a standard normális eloszlás u értékéből:  2  u  2  1 .45 2









Példa Tegyük fel, hogy az előző példában említett vizsgálatot n=50 elemű mintából végezték. 95%os megbízhatósági szinten milyen intervallumban található az elméleti szórás? n=50 s*=10 óra (DF)=n–1=50–1=49  = 0,95  =0,05  kétoldali becslés: /2=0,025  1-/2=0,975

50  110 2   2  50  110 2 71,4

32,4

68,6 < 2 < 151,2 8,28 <  < 12,3 Mivel n elég nagy, ezért a 2 értékeket normális eloszlással közelítve azt kapjuk, hogy 2 1  02,975  1,96  2  49  1  69,72 ill. 2



 02,025 







2 1  1,96  2  49  1  31,11 . 2

Ezeket behelyettesítve a konfidenciahatárok képletébe, a szórásranégyzetre ill szórásra az alábbi intervallumok adódnak: 70,3 < 2 < 157,5 8,38 <  < 12,55

45

Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995

107

VI. Hipotézisvizsgálatok: nemparaméteres próbák Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet



Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek




108

A hipotézisvizsgálat a becsléselmélet mellett, a mintából a sokaságra történő statisztikai következtetés másik fontos területe. Az előző fejezetben azt mutattuk be, hogy a minta alapján hogyan lehet közelítőleg meghatározni (becsülni) a sokaság bizonyos jellemzőit. Számos esetben azonban nemcsak egy paramétert szeretnénk meghatározni, hanem mondjuk két v. több paramétert összehasonlítani, konkrét szakmai kérdéseket szeretnénk eldönteni a tapasztalati adatok alapján. Így például kíváncsiak lehetünk arra, hogy a termelési folyamat bizonyos jellemzői (selejtarány, termék tulajdonságai, méretei stb.) megfelelnek-e az előírásnak, a sör töltési térfogata azonos-e a két (v. több) különböző töltősoron, vagy a telefonhívások száma valóban megnőtt-e az új reklámkampány hatására. Az ilyen jellegű kérdések mintavétel segítségével történő megválaszolása a statisztikai hipotézisvizsgálat területe. A mintavételi eredményekre támaszkodó következtetés, döntés természetes velejárója a bizonytalanság, a tévedés lehetősége. Ezért valahányszor mintából nyert adatokra támaszkodva kell választ adnunk a példaként megfogalmazott vagy ahhoz hasonló kérdésekre, valójában annak eldöntéséről van szó, hogy a mintavétel eredménye inkább cáfolja vagy inkább alátámasztja-e a feltett kérdésre adott igenlő választ. Ebben a fejezetben a hipotézisvizsgálatok általános kérdéseiről, valamint néhány konkrét módszerről lesz szó.

VI.1 A hipotézisvizsgálat általános menete46 Statisztikai hipotézisen a vizsgált sokaság(ok)ra (valószínűség-eloszlásra) vagy ennek paramétere(i)re vonatkozó valamilyen feltevést értünk. Ha ennek ellenőrzésére (ill. bizonyítására) mintát használunk, akkor statisztikai hipotézisvizsgálatról (statisztikai próbáról) beszélünk. Ebben az esetben – mivel a minta csak része a sokaságnak, de nem azonos vele – valamilyen hiba elkövetésének lehetősége mindig fennáll. Az elkövethető hiba kétféle lehet: elsőfajú hiba és másodfajú hiba. Az elsőfajú hibát csak igaz hipotézisek vizsgálata során követhetjük el. Akkor fordul elő, ha egy igaz hipotézist a minta adatai alapján nem fogadunk el. Az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét -val jelöljük, értéke egy adott próba során tetszőleges kicsinyre csökkenthető. A másodfajú hibát csak hamis hipotézisek vizsgálata során követhetünk el. Másodfajú hiba akkor jelentkezik, ha a hamis hipotézist a minta adatai alapján nem utasítjuk el. A másodfajú hiba valószínűségét -val jelöljük, s értéke egy adott próba során bármely konkrét – a feltett hipotetikustól eltérő – alapsokasági paraméterre vonatkozóan kiszámítható. A másodfajú hiba veszélye csökken a hipotetikus és a tényleges várható érték eltérésének növekedésével, viszont nő, ha adott próba esetén az elsőfajú hibát csökkentjük (39. ábra). Az első- és másodfajú hiba egyidejűleg csak a mintaelemek számának növelésével csökkenthető. A próbák tervezésénél és az eredmények értelmezése során ezekre tekintettel kell lennünk.

46

Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 1998

109

„jó”

„rossz”

„jó”

Nincs hiba ε

Másodfajú hiba β

„rossz”

A minta minősítése a sokaságról

Sokaság

Elsőfajú hiba α

Nincs hiba e

39. ábra: A következtetés hibái

Példa Egy szabályozott gyártási folyamatban a kritikus minőségi jellemző 0=3,1 cm3, 0=0,08 cm3 normális eloszlást követ. a.) Számolja ki a 0  20 beavatkozási határok esetén n = 1 elemű mintavétel mellett az elsőfajú hiba valószínűségét! b.) Mekkora a másodfajú hiba valószínűsége, ha a várható érték 1=3,3 cm3 -re változott?

c.) Mekkora az első és másodfajú hiba valószínűsége, 0  30 beavatkozási határok valamint n=1 és n=4 elemű mintavétel mellett?

110

Attól függően, hogy a feltételezésünk (hipotézisünk) mire vonatkozik, a statisztikai próbák két csoportját különböztethetjük meg. Ha a vizsgált valószínűségi változó eloszlása ismert, de ismeretlen paraméter(eke)t tartalmaz, akkor a hipotézisvizsgálat az ismeretlen paraméter(ek)re irányul. (Például a Gauss eloszlás  paraméterére, azaz az eloszlás várható értékére.) Ekkor paraméteres próbáról beszélünk. Ha az eloszlás típusa nem ismert, akkor a feltevés magára az eloszlásra vonatkozik. (Például két vagy több valószínűségi változó eloszlása megegyezik-e; vagy feltehető-e, hogy a valószínűségi változó adott eloszlással írható le.) A hipotézisvizsgálatoknak ezt a csoportját nemparaméteres próbáknak nevezzük. A hipotézisvizsgálatok általános menetét röviden az alábbiakban vázolhatjuk: 1. Szakmai megfontolások alapján felállítjuk az igazolandó hipotézist, 2. Kiválasztjuk a legmegfelelőbb statisztikai próbát, 3. Felállítjuk az un. nullhipotézist – jelölése: H0 – (ez gyakran, főleg a paraméteres próbáknál, a szakmai feltételezés ellentéte) és az un. alternatív vagy ellenhipotézist – jelölése: H1. 4. A hipotéziseket úgy kell megfogalmazni, hogy egyszerre ne lehessenek igazak, így a nullhipotézisről hozott döntésünk közvetetten a H1-re vonatkozó döntést is jelent. Mind a null-, mind az ellenhipotézis lehet egyszerű és összetett hipotézis. Egy hipotézist egyszerűnek mondunk, ha fennállásának feltételezése a sokaság eloszlását egyértelműen meghatározottá teszi. Egyszerű hipotézisre példa: M()==500°C, mert normális eloszlásról lévén szó, a szórást ismerjük, így  értéke az eloszlást egyértelműen meghatározza. A 450°C<M()=<500°C állítás ellenben összetett hipotézis, mert a hipotézist mindazon  szórású normális eloszlások kielégítik, amelyek várható értéke 450 és 500 között van. 5. A továbbiakban azt tételezzük fel, hogy a nullhipotézis egyszerű, az ellenhipotézis pedig mindig összetett. 6. Meghatározzuk az elsőfajú hibát (szignifikancia szintet), a mintanagyságot, és végrehajtjuk a mintavételt. 7. Meghatározzuk az előző pontban választott feltételek melletti elfogadási, ill. elutasítási (kritikus) tartományokat. Elfogadási tartománynak nevezzük azt a tartományt, amelybe a nullhipotézis fennállása esetén  szignifikancia szint mellett a statisztikai jellemző számított értéke legalább =1- valószínűséggel kerül. Az elutasítási tartomány viszont az, amelybe a nullhipotézis fennállása esetén,  szignifikancia szint mellett a jellemző számított értéke legfeljebb  valószínűséggel kerülhet. A kritikus tartomány lehet egyoldali vagy kétoldali (40. ábra). Kétoldali kritikus tartomány felvételére akkor kerül sor, ha a nullhipotézisben feltételezett helyzettől való eltérés ténye érdekel bennünket, s az eltérés iránya nem. Egyoldalú tartományt pedig akkor alkalmazunk, ha a H0-ban rögzített állapottól való meghatározott irányú eltérésre számítunk47.

47

Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996

111

elfogadási tartomány

elutasítási tartomány

40. ábra: Kritikus tartományok egy- és kétoldali esetben

8. Meghatározzuk a próbához szükséges jellemző számított értékét. A becsléselmélethez hasonlóan a minta adataiból egy meghatározott összefüggés (próbafüggvény) felhasználásával meghatározunk egy számértéket, amely H0 és bizonyos kiindulási feltételek fennállása esetén adott elméleti eloszlást követ, így értéke csak kis valószínűséggel () esik a kritikus tartományba. 9. Megvizsgáljuk, hogy a jellemző számított értéke az elfogadási illetve az elutasítási tartományba esik-e, és ez alapján döntünk a nullhipotézis elfogadásáról (vagy elutasításáról (41. ábra)

41. ábra: Döntés a nullhipotézisről

10. Értelmezzük az előző pont eredményét a szakmai hipotézisre, és megtesszük a konkrét intézkedéseket a gyakorlatban, A hipotézisvizsgálat logikája szerint tehát azt vizsgáljuk meg egy adott próbával, hogy a mintából kapott eredmény eltérése a hipotézistől a véletlennek tulajdonítható-e, vagy az eltérést a ténylegesen fennálló különbség okozza. Ha a mintából számított érték az elfogadási tartományba esik, akkor az adott szignifikancia szinten, az adott minta (minták) alapján az eltérést a véletlennek tulajdonítjuk, azaz statisztikailag nem tartjuk szignifikánsnak. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a statisztikailag szignifikáns eltérés nem azonos a gyakorlatilag jelentős eltéréssel. Lehet, hogy egy adott, vizsgált eltérésre mindkettő fennáll, de lehet, hogy csak az egyik. Előfordulhat tehát például, hogy egy statisztikailag szignifikáns eltérés gyakorlatilag nem minősül jelentősnek, ill. fordítva. 112

VI.2 Illeszkedésvizsgálat 2-próbával48 Az olyan statisztikai próbát, amelynek alapján arról döntünk, hogy valamely  valószínűségi változó F (tapasztalati) eloszlása lehet-e adott F0 (elméleti) eloszlásfüggvénnyel jellemzett eloszlás, illeszkedésvizsgálatnak nevezzük. Ilyenkor tehát a H0 nullhipotézis: H0: F = F0 Ha a nullhipotézis az eloszlás paramétereinek ismeretét is feltételezi, akkor tiszta illeszkedésvizsgálatról beszélünk. Ha viszont hipotézisünk csak az eloszlás jellegét (normalitás, exponencialitás stb.) tételezi fel, és a paramétereket a mintából kell becsülnünk, akkor becsléses illeszkedésvizsgálatot végzünk. Az illeszkedésvizsgálatra szolgáló próbák alkotják a nemparaméteres próbák egyik nagy csoportját. E próbák közül legelterjedtebb a 2-próba és a Kolmogorov-próba. A 2-próba mind diszkrét, mind folytonos eloszlások esetében alkalmazható, de nagy mintaelemszámot igényel. A próba segítségével azt tudjuk eldönteni, hogy adott szignifikancia szinten a tapasztalati gyakoriságok szignifikánsan eltérnek-e a feltételezett elméleti gyakoriságoktól, avagy az eltérés csupán a véletlen következménye. 2-próbával történő illeszkedésvizsgálatnál az ún. próbastatisztikát (a számított értéket) az alábbi képlet szolgáltatja: r

 f i  Fi 2

i 1

Fi

  2

DF=r––l ahol: DF: a szabadságfok, az eloszlás paramétere fi: a tapasztalati gyakoriság Fi: az elméleti gyakoriság : a becsült paraméterek száma r: a kategóriák vagy osztályok száma A Yates-féle korrekció: A korábbi fejezetekben láttuk, hogy amikor diszkrét adatokra folytonos eloszlások eredményeit alkalmazzuk, bizonyos folytonossági korrekciókat alkalmazhatunk. Hasonló korrekció létezik a 2-eloszlás alkalmazása esetén is. Ez a korrekció 2 r  f  F  0,5 i i 2 a fenti egyenlet    alakú módosítását igényli. Általában csak DF=1 Fi i 1 szabadságfok esetén alkalmazzuk. Nagy minták esetén ugyanis a korrekcióval gyakorlatilag ugyanahhoz az eredményhez jutunk, mint korrekció nélkül, de a kritikus értékek körül bonyodalmak léphetnek fel. Kisebb minták esetén, amikor a várt gyakoriságok 5 és 10 közé esnek, legjobb, ha a 2-nek mind a korrigált, mind a korrigálatlan értékét kiszámoljuk. Ha egy adott hipotézist tekintve mindkét érték alapján ugyanarra a következtetésre jutunk, akkor ritkán ütközünk nehézségekbe. Ha egymásnak ellentmondó következtetésre jutunk, akkor próbálkozhatunk a minta növelésével, vagy más módszert alkalmazhatunk49. Feladat: Hogyan lehet egy játékkockáról eldönteni, hogy szabályos-e? 48 49

Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 1998 Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995

113

Példa A Tiszán egy adott időszakban levonuló árhullámok számát vizsgálva az elmúlt 68 év során, az alábbi eredményeket kapták: 30 év volt amikor nem volt árhullám, 25 olyan év volt, amikor 1 árhullám vonult le az adott időszakban, 9 év volt amikor 2 és 4 olyan év volt, amikor 3 vagy több árhullám következett be. Feltehető-e, hogy a folyón levonuló árhullámok száma modellezhető Poisson-eloszlással?50 árhullámok száma

0

1

2

3 v. több

gyakoriság [db]

30

25

9

4

=? nem ismerjük  a mintából kell becsülnünk Poisson-eloszlás esetén M()=  x Mivel az elmúlt 68 év során a kérdéses időszakban összesen 55 árhullám volt: 55/68  0,8 Nullhipotézis felállítása: H0 = az árhullámok száma =0,8 paraméterű Poisson-eloszlású H1: az árhullámok száma nem =0,8 paraméterű Poisson-eloszlású Mintavétel, adatok feldolgozása, kritikus érték meghatározása: Ha az árhullámok száma valóban 0,8 paraméterű Poisson-eloszlással írható le, akkor annak valószínűsége, hogy az adott időszakban nem lesz árhullám (Poisson-eloszlás táblázatából) 0, 4493, hogy 1 árhullám vonul le: 0,3595, hogy 2: 0,1438, s hogy 3 vagy több (1-az eddigiek összege): 0,0474. Az elméleti gyakoriságok ebből már „automatikusan” adódnak, hiszen ha 0,4493 valószínűséggel nincs árhullám az adott időszakban, akkor ez elméletileg 68 év során összesen 680,4493 = 30,55 alkalommal következik be. Hasonló módon a többi elméleti gyakoriságot kiszámolva az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza: k

f(k)

pk

F(k)

0

30

0,4493

30,55

1

25

0,3595

24,45

2

9

0,1438

9,78

3 v. több

4

0,0474

3,22



68

1

68

DF=r--1=4-1-1=2 =5%  táblázatból: 2elm.=5,99

50

Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985

114

Számított érték meghatározása: 2  30  30,55   2 sz

30,55

0,55 2 0,78 2 0,78 2     0,27 24,45 9,78 3,22

A számított és a kritikus érték összehasonlítása: 2elm.=5,99 >> 2sz=0,27 Döntés a nullhipotézisről: Mivel a számított érték jóval kisebb, mint a kritikus – a számított érték az elfogadási tartományba esik –, ezért 95%-os megbízhatósági szinten nincs okunk a H0-t elutasítani. A folyón levonuló árhullámok száma modellezhető =0,8 paraméterű Poisson-eloszlással.

VI.3 2-próba alkalmazása homogenitásvizsgálatra Homogenitásvizsgálat segítségével eldönthetjük, hogy két valószínűségi változó azonos eloszlásúnak tekinthető-e. A közösnek feltételezett eloszlásfüggvény a próbában nem szerepel, s annak jellegére vonatkozóan semmilyen kikötésünk nincs. A nullhipotézisünk természetesen az, hogy a valószínűségi változó két sokaságon belüli eloszlása azonos, s az alternatív hipotézisünk ennek ellentéte, hogy a két szóban forgó eloszlás nem azonos. Diszkrét valószínűségi változó esetén a próba közvetlenül vagy csoportképzéssel elvégezhető, míg folytonos valószínűségi változó esetén az adatokat osztályokba kell sorolnunk. Célszerű az adatokat táblázatos formába rendezni. A táblázat elemi részeit celláknak nevezzük, amelyek bal felső sarkában a tapasztalati, jobb alsó sarkában az elméleti gyakoriságokat szokás feltüntetni. A sor, ill. oszlop szerint összegzett gyakoriságokat marginális vagy peremgyakoriságoknak nevezzük. Az így összeállított táblázatot kontingencia-táblázatnak nevezzük. A két minta nagysága nem kell, hogy azonos legyen, de a vizsgált változó szerint mindkét mintán belül azonos osztályokat kell képezni. A próbastatisztika: r

2

   2

i 1 j1

ahol:

Fij 

f

 Fij 

2

ij

Fij

f i  f  j

az elméleti gyakoriság N r : a sorok száma fi : i-edik sor peremgyakorisága (sorösszege) fj : j-edik oszlop peremgyakorisága (oszlopösszege) N : mintaszám

DF=(r–1)·(s–1), ám mivel s=2 minden esetben, így DF=r–1

115

Példa Az engedéllyel rendelkező budai és pesti virágárusok közül egymástól függetlenül egy-egy mintát vettek a virágárak vizsgálata céljából. A két mintába került árusoktól - többek között a rózsa szálankénti árát is megkérdezték. Vizsgáljuk meg 1%-os szignifikancia szinten annak a hipotézisnek a helyességét, hogy a rózsaárak nagyság szerinti eloszlása a budai és pesti virágárusok körében azonos. Az adatokat a következő táblázat tartalmazza51. Ár [Ft/db] -55 56-65 66-75 76-85 86-95 96-105 106-

budai [db] 3 22 18 15 6 6 2

pesti [db] 5 6 18 21 18 10 6

Nullhipotézis felállítása: H0: Fbudai = Gpesti H1: Fbudai  Gpesti Mintavétel, adatok feldolgozása, kritikus érték meghatározása: n1=72 n2=84 DF=r–1=7–1=6 2 krit=16,8

N=156

r=7 =0,01

Sor- és oszlopösszegek kiszámítása: sorösszegek: f1 =8; f2 =28; f3 =36 stb.; az oszlopösszegek: f1 =72; f2 =84 Elméleti gyakoriságok meghatározása: F11= 872/156=3,69 F12= 884/156=4,31 F21= 2872/156=12,92 stb., az eredményeket az alábbi kontingencia táblázat mutatja: 3

5

8

3.69 22

4.31 6

28

12.92 18

15.08 18

36

16.62 15

19.38 21

36

16.62 6

19.38 18

24

11.08 6

12.92 10

16

7.38 2

8.62 6

8

3.69

72 51

4.31

84

156


116

Számított érték meghatározása: 2 szám=(3–3,69)2/3,69+0.111+6.375+5.465+0.115+0.099+0.157+0.135+2.327+1.995+ +0.260+0.223+0.776+0.665=18,83 A számított és a kritikus érték összehasonlítása: 2 szám=18,83 > 2 krit=16,8 Döntés a nullhipotézisről: A számított érték a kritikus tartományba esik, ezért 1%-os szignifikancia szinten a két sokaság egyezését elutasítjuk.

VI.4 2-próba alkalmazása függetlenségvizsgálatra Az a kérdés, hogy két valószínűségi változó között van-e sztochasztikus kapcsolat vagy sem, kontingencia táblázat segítségével és 2-próba alkalmazásával dönthető el. A 2-próbával történő függetlenségvizsgálat valójában a diszkrét – minősítéses – ill. csoportosított (kategorizált) folytonos változók közötti kapcsolat vizsgálatára használható. Két (v. több) folytonos valószínűségi változó közötti kapcsolat vizsgálata, ill. a kapcsolat jellegének meghatározása a korreláció – és regresszióelemzés területe. A próba során hasonlóan járunk el, mint a homogenitásvizsgálatnál, „csak” a kontingencia táblázat mérete változ(hat)ik, nem feltétlenül két oszlopból áll (homogenitásvizsgálatnál mindig s=2 volt). Újabb különbség – bár a próba elvégzésében nem okoz eltérést –, hogy a homogenitásvizsgálatnál értelemszerűen ugyanazt a valószínűségi változót (pl. rózsa ára) hasonlítottuk össze két minta alapján, míg a függetlenségvizsgálatnál természetesen két teljesen különböző változó közötti kapcsolatot vizsgálunk (pl. van-e összefüggés a szem és a haj színe között, van-e kapcsolat a szülők iskolai végzettsége és a gyerekek iskolai végzettsége között stb.). A nullhipotézisünk természetesen az, hogy a két valószínűségi változó között nincs sztochasztikus kapcsolat, a két változó független egymástól, s az alternatív hipotézisünk ennek ellentéte, azaz a két változó nem független egymástól, közöttük sztochasztikus v. függvénykapcsolat van. Az egyes cellák elméleti gyakoriságait a marginális értékek felhasználásával becsüljük. A próbastatisztika: r

s

   2

f

 Fij 

2

ij

i 1 j 1

Fij

DF=(r-1)·(s-1) Az elméleti gyakoriságok: Fij  ahol

f i  f  j N

,

s: az oszlopok száma, a többi jelölés pedig megegyezik a homogenitásvizsgálatnál (ld. előző pont) leírtakkal.

117

Példa Egy szociológiai vizsgálatban a mintába került személyektől megkérdezték a saját és szüleik iskolai végzettségét. A megkérdezettek és az apjuk iskolai végzettsége közötti összefüggést a következő táblázat tartalmazza. Vizsgáljuk meg 1%-os szignifikancia szinten, azt a nullhipotézist, hogy a megkérdezettek és apjuk iskolai végzettsége független egymástól52.

Apa iskolai végzettsége Befejezetlen alapfokú Befejezett alapfokú Középfokú Felsőfokú

Megkérdezett iskolai végzettsége Bef.-tlen Bef.-ett KözépFelsőalapfokú alapfokú fokú fokú 429

441

489

76

7

92

285

54

26 0

95 16

468 69

107 69

Nullhipotézis felállítása: H0: az iskolai végzettségek függetlenek egymástól H1: az iskolai végzettségek nem függetlenek egymástól Mintavétel, adatok feldolgozása, kritikus érték meghatározása N=2723 s=4 DF=(r-1)·(s-1)=33=9 2 krit=21,7

r=4 =0,01

Sor- és oszlopösszegek kiszámítása: sorösszegek: f1 =1435; f2 =438; stb., az oszlopösszegek: f1 = 462; f2 =644, stb. Elméleti gyakoriságok meghatározása: F11=462·1435/2723=244 F21=462·438/2723=74 : F12=644·1435/2723=339 F22=644·438/2723=104 stb. Az eredményeket a kontingencia táblázat mutatja. Számított érték meghatározása: 2 szám=(429-244)2/244+…+2,8=710,4 A számított és a kritikus érték összehasonlítása: 2 szám=710,4 >> 2 krit=21,7 Döntés a nullhipotézisről: 52


118

A számított érték a kritikus tartományba esik, sokkal nagyobb, mint a kritikus érték, ezért 1%os szignifikancia szinten a két változó függetlenségét elutasítjuk. Apa iskolai végzettsége Befejezetlen alapfokú Befejezett alapfokú Középfokú Felsőfokú 

Bef.-tlen alapfokú 429 244 7 74 26 118 0 26 462

Megkérdezett iskolai végzettsége Bef.-ett KözépFelsőalapfokú fokú fokú 441 489 76 339 691 161 92 285 54 104 211 49 95 468 107 165 335 78 16 69 69 36 74 18 644 1311 306

 1435 438 696 154 2723

VI.4.a Minőségi ismérvek asszociációja53 A függetlenség, vagy a kapcsolat léte és szorossága a minőségi ismérvek közötti asszociációval vizsgálható. Egy kontingencia táblához az r 

2

módon definiálhatjuk a minőségi ismérvek (vagy N (q  1) osztályozások) közötti Cramer-féle asszociációs együtthatót, ahol q=min(r,s). Az együttható 0 és 1 közötti értékeket vesz fel. Minél közelebb esik az érték a 0-hoz, annál gyengébb, minél közelebb esik 1-hez, annál erősebb a függés a két eseményrendszer között. Példa: Az előző példa adatai alapján határozzuk meg az asszociációs együtthatót. N=2723 2 szám=710,4 r=s=4  q=4 r

53

2 N (q  1)



710,4  0,295. 2723(4  1)

Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995

119

VII. Hipotézisvizsgálatok: paraméteres próbák Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet



Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek




120

Az előző fejezetben elmondottak alapján, a paraméteres próbák szigorúbb alkalmazási feltételeket igényelnek (hiszen például eleve feltételezik az adott elméleti eloszlás ismeretét), ezért kevésbé széleskörűen alkalmazhatók. Általában arányos, esetleg intervallum skáláról származó adatokkal dolgozhatunk velük, viszont erősségük (a hamis nullhipotézis elutasításának valószínűsége) nagyobb, mint a nemparaméteres próbáké. A paraméteres próbák végrehajtásának általános menete ill. az elkövethető kétféle hiba is (első-, másodfajú hiba) azonos az előző fejezetben tárgyaltakkal. Egy-egy konkrét hipotézisvizsgálat elvégzésére használható próbák csak a vizsgálat tárgyát képező nullhipotézisben, az alkalmazási feltételekben, a próbafüggvényben és annak eloszlásában térnek el egymástól, így a próbák elméletének, sajátos logikájának megismerése után gyakorlatilag bármilyen hipotézisvizsgálatot el tudunk végezni, csak az adott próba alkalmazási feltételeire kell kellő figyelmet fordítanunk. A továbbiakban ennek figyelembevételével tárgyaljuk a paraméteres próbákat. E próbák közül elsősorban a minőségügyi eljárásokban leggyakrabban alkalmazott, a normális eloszlás paramétereire vonatkozó statisztikai próbákat tekintjük át. A próbákat többféle szempont szerint csoportosíthatjuk. Elsősorban aszerint, hogy mire vonatkozik a nullhipotézis (szórásra, várható értékre), hány és mekkora minta szükséges a vizsgálathoz (egy-, két- ill. többmintás próbák) és két mintás esetben milyen a minták közötti kapcsolat (független és páros próbák).

VII.1 Egymintás próbák Az egymintás próbák mindig egy adott sokaság valamely jellemzőjére vonatkozó feltevések helyességének ellenőrzésére szolgálnak. Ennek érdekében a rendelkezésre álló egyetlen mintából meghatározott jellemzőt (átlag, tapasztalati szórás) valamely feltételezett, vagy kívánatosnak tartott állapothoz viszonyítjuk. Egymintás (átlag) próbával ellenőrizhetjük például, hogy a sör töltési térfogata az előírt 500 ml (várható érték) körül ingadozik-e. Egymintás próbáknál a nullhipotézisünk az, hogy az adott elméleti jellemző (a várható érték vagy az elméleti szórás) egyenlő a feltételezett értékkel. Az előző példánál tehát a nullhipotézist így írhatjuk fel: H0: M()==500 ml. Az alternatív hipotézis egy- (pl. >500 ml vagy <500 ml) vagy kétoldali (pl. 500 ml) is lehet.

VII.1.a Várható értékre irányuló próbák A feltételek függvényében több próbát is alkalmazhatunk. Nullhipotézisünk természetesen minden esetben: H0: =m0, vagyis a várható érték egy adott m0 értékkel egyenlő. Abban az esetben, ha ismerjük az alapsokasági szórást (0), vagy ha nem ismerjük, de nagy mintával dolgozunk (n>30 és a 0-t a korrigált tapasztalati szórással becsüljük), egymintás z-próbával, ha nem ismerjük az alapsokasági szórást, és kis mintánk van, akkor egymintás t-próbával vizsgálhatjuk a fenti nullhipotézist. Szakmai feltevésünktől függően, mindkét próba esetén alkalmazhatunk egy- vagy kétoldali ellenhipotézist. A két statisztikai próbával kapcsolatos alapismereteket az alábbi táblázat foglalja össze.

121

z-próba egyoldali

t-próba

kétoldali

Próbastatisztika Elutasítási tartomány Feltételek

kétoldali

>m0 (<m0)

m0

=m0

H0 H1

egyoldali

>m0 (<m0)

m0 x x zsz   * 0 n s n

zsz>z zsz<-z/2 vagy (zsz<-z) zsz>z/2 0 ismert v. n>30

tsz 

x s* n

tsz>t (tsz<-t)

(DF=n-1) tsz<-t/2 vagy tsz>t/2

17. Táblázat: Egymintás z- és egymintás t-próba

Példa: A V.3.a alfejezetben bemutatott példában a ROM chipek gyártása során a kemence hőmérsékletére vonatkozó n=8 elemű minta alapján, átlag hőmérséklet 492°C-ra adódott. Korábbi vizsgálatok alapján tudjuk, hogy a folyamatban a maximum hőmérsékletek elméleti szórása 12°C. Feltehető-e, hogy a maximum hőmérséklet 500°C?54 n=8 x  492C 0=12°C H0: =500°C H1: 500°C ismert az elméleti szórás  z-próbát használhatunk =0,05  táblázatból leolvasott érték: z/2=1,96 elfogadási tartomány: -1,96
a próbastatisztika értéke: zsz  Mivel zsz elfogadjuk.

Szakmai tapasztalatunk alapján úgy gondoljuk, hogy a kemence maximum hőmérséklete kisebb, mint 500°C. Vizsgáljuk meg ezt a feltevésünket az előző minta adatai alapján! H0: =500°C H1: <500°C A próbastatisztika értéke természetesen nem változott: zsz= –1,89. =0,05  z= –1.645 elfogadási tartomány: –1,645
54

Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 198

122

A próbastatisztika értéke a kritikus tartományba esik, ezért =0,05 szignifikancia szinten H0-t elutasítjuk. Példa Egy robogókat gyártó vállalat 50cm3 hengerűrtartalmú, “Speedy” nevű csúcsmodellje 45 mérföld/órás sebességet képes elérni. Egy másik robogó márka azonos hengerűrtartalmú “Quickest” nevű modelljének végsebességéről gyűjtött 16 elemű statisztikai minta alapján megállapítható, hogy a “Quickest” végsebességének mintából számított átlaga 43,5 mérföld/óra, korrigált empirikus szórása s* = 3,0 mérföld/óra. Elfogadható-e 5%-os szignifikancia szinten, hogy a “Quickest” modell maximális sebessége kisebb a “Speedy” modell végsebességénél, azaz 45 mérföld/óránál? n=16 x  43,5m / h s*=3,0 m/h H0: =45 m/h H1: <45 m/h Nem ismert az elméleti szórás, n<30 (s feltételezve természetesen, hogy a maximális sebesség normális eloszlású)  t-próbát használhatunk =0,05, DF=n-1=16-1=15  Elfogadási tartomány: -1,753 < tsz

t=-1,753

43,5  45 =-2,00 3,0 16 tsz az elutasítási tartományba esik, H0-t 5%-os szignifikancia szinten nem fogadjuk el. A próbastatisztika értéke: t sz 

VII.1.b Szórásnégyzetre vonatkozó próba A normális eloszlású sokaság varianciájára (szórására) vonatkozó H0: 2=02 hipotézist a n  1s *2 próbastatisztikával vizsgálhatjuk, ahol n a mintaszám, s* pedig a mintából  sz2  2

0

számolt korrigált tapasztalati szórás. A próba alkalmazása során különösen fontos a sokaság normalitására vonatkozó feltétel betartása. Ekkor, H0 fennállása esetén a fenti próbafüggvény n-1 szabadságfokú 2-eloszlást követ. A nullhipotézist egy- és kétoldali alternatívával szemben is vizsgálhatjuk. Figyelembe véve a 2-eloszlás már ismert sajátosságait, a próba kritikus tartományai az alábbiak: 2 H1 :  2   02   szám  2 2 H1 :  2   02   szám  12

2 2  12 / 2 H1 :  2   02   szám  2 / 2 vagy  szám

123

Példa A sör töltési folyamatában a töltési szintre vonatkozó szabványelőírások betartása miatt – a betöltött mennyiség mellett –, fontos paraméter a töltési szint ingadozása is. Ezért a minőségbiztosítási osztály előírásai szerint a töltési szint szórásának 2 ml alatt kell lennie. Ennek ellenőrzésére a töltőüzem minőségellenőre n=10 elemű mintát vett a folyamatból és kiszámolta a minta szórását: s*=2,5 ml. Feltehető-e 5%-os szignifikancia szinten, hogy a töltési folyamat szórása nem éri el 2 ml-t? n=10 s*=2,5 ml



s*2=6,25 ml2

H0: 2=4 ml2 (valójában a szakmai hipotézisünk 24 ml2) H1: 2>4 ml2 =0,05, DF=n-1=10-1=9  2 Elfogadási tartomány:  sz < 16,9

2=16,9

9  6,25 =14,06 4 2sz az elfogadási tartományba esik, H0-t 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk.

A próbastatisztika értéke:  sz2 

VII.2 Két- és többmintás próbák A két- és többmintás próbák – ideértve a meglehetősen speciális páros mintás próbákat is – annak a kérdésnek a vizsgálatára használhatók, hogy két vagy több – meghatározott szempontból eltérő (pl. különböző műszakok, gépek stb.) – sokaságban a vizsgált paraméterek (várható értékek, szórások) is különböznek-e egymástól. Míg tehát az egymintás próbák valamilyen feltételezett, előírt értékhez viszonyítják az egyetlen sokaságot, addig a többmintás próbák két vagy több sokaság egymással való összehasonlítására szolgálnak55. Kétmintás (átlag) próbával ellenőrizhetjük például, hogy két töltőgép azonos mennyiséget tölt-e a söröspalackokba. Többmintás próbáknál a nullhipotézisünk az, hogy az adott elméleti jellemzők (a várható értékek vagy az elméleti szórások) egyenlők egymással. Az előző példánál tehát a nullhipotézist így írhatjuk fel: H0: 1=2. Az alternatív hipotézis általában egy vagy kétoldali is lehet, de néhány próbánál a gyakorlatban legtöbbször csak egy adott alternatívával szembeni vizsgálatot végzünk.

VII.2.a Két független minta várható értékének összehasonlítása A minta függetlensége azt jelenti, hogy az egyik sokaságban egy elem mintába kerülése, ill. be nem kerülése semmilyen módon nem befolyásolja a másik sokaságban az elemek mintába kerülésének valószínűségét. Az egymintás esethez hasonlóan ebben az esetben is több próba közül választhatunk. Nullhipotézisünk természetesen minden esetben: H0: 1=2, vagyis a két várható érték egyenlő. Abban az esetben, ha ismerjük az alapsokasági szórásokat (1 és 2), vagy ha nem ismerjük, de nagy mintával dolgozunk (n1>30 és n2>30, s az elméleti szórásokat a korrigált tapasztalati szórással becsüljük), kétmintás z-próbával, ha nem ismerjük az alapsokasági 55

Sincich, T.:Statistics by Example, Dellen Publishing Company, San Fransisco, 1990

124

szórást, de feltehető a szórások egyezése, akkor kétmintás t-próbával vizsgálhatjuk a fenti nullhipotézist. Ha mindkét sokaság normális eloszlású, az elméleti szórásokat nem ismerjük, de a szórások különböznek egymástól, akkor a kétmintás t-próba nem alkalmazható, helyette a Welchpróbát használhatjuk. Szakmai feltevésünktől függően, mindhárom próba esetén alkalmazhatunk egy- vagy kétoldali ellenhipotézist. Az első két statisztikai próbával kapcsolatos alapismereteket az alábbi táblázat foglalja össze. z-próba

t-próba

kétoldali

egyoldali

kétoldali

1>2 (1<2)

12

1=2

H0 H1

1>2 (1<2)

Próbastatisztika

zsz 

Elutasítási tartomány Feltételek

egyoldali

12 x1  x 2



2 1

n1





2 2

t sz 

*

x1  x 2

s  1  1  n2   n1

**

2 p

n2

zsz>z zsz<-z/2 vagy (zsz<-z) zsz>z/2 1 és 2 ismert v. n1 és n2>30

tsz>t (tsz<-t)

tsz<-t/2 vagy tsz>t/2

1=2

18. Táblázat

*: ha elméleti szórások nem ismertek, de n1 és n2>30, akkor 12s1*2és 22s2*2 **: ahol s 2p 

(n1  1) s1*2  (n2  1) s 2*2 , DF=n1+n2-2 n1  n 2  2

Példa A Fogyasztóvédelmi Felügyelőség két fajta cigaretta („A” és „B”) szén-monoxid (CO) emisszióját hasonlította össze. A minták statisztikai adatait az alábbi táblázat tartalmazza. Hasonlítsuk össze, hogy a két fajta cigaretta CO kibocsátása eltér-e egymástól? „A”

„B”

Mintaszám

11

10

Átlag

16,4 mg

15,6 mg

Korr. tap. szórás

1,2 mg

1,1 mg

H0: 1=2 H1: 12 Az elméleti szórásokat nem ismerjük  kétmintás t-próbát használhatunk (egyelőre tételezzük fel, hogy a két sokaságban a szórások megegyeznek, de ezt természetesen a későbbiekben egy statisztikai próbával fogjuk ellenőrizni) =0,02 DF=11+10-2=19  Elfogadási tartomány: -2,54
t/2=2,539

(11  1)1,2 2  (10  1)1,12 =1,331 11  10  2 16,4  15,6 t sz   1,59 1 1 1,331  11 10 tsz az elfogadási tartományba esik, H0-t 2%-os szignifikancia szinten elfogadjuk

A próbastatisztika értéke: s 2p 





Példa Két gyártó egy-egy kávéfajtájának kiskereskedelmi egységárát (1lb-ra vonatkoztatva) szeretnénk összehasonlítani. Véletlenszerű mintát véve országszerte e kávéfajtákat áruló boltok közül, s feldolgozva az adatokat, a kapott statisztikai jellemzőket a következő táblázat mutatja: „A” „B” Mintaszám

63

58

Átlag

$2,98

$2,93

Korr. tap. szórás

$0,11

$0,07

1%-os szignifikancia szinten feltehető-e, hogy az „A” típusú kávé drágább, mint a „B”? H0: 1=2 H1: 1>2 Az elméleti szórásokat nem ismerjük, de a mintaszám elég nagy mindkét mintában  kétmintás z-próbát használhatunk =0,01 z=2,33 Elfogadási tartomány: 2,33>zsz A próbastatisztika értéke: zsz 

2,98  2,93 0,112 63

2  0,07

 3,01 58

Mivel zsz az elutasítási tartományba esik, H0-t 1%-os szignifikancia szinten nem fogadjuk el.

VII.2.b Páros minták várható értékének összehasonlítása Az eddig tárgyalt kétmintás statisztikai próbák alkalmazásánál fontos feltétel volt a minták függetlensége. Ez a feltétel a gyakorlatban legtöbbször teljesül, de vannak bizonyos speciális esetek, amikor a két minta elemei között van valamilyen kapcsolat. Az ún. páros minták esetén a mintaelemek nem függetlenek egymástól, „van bennük valamilyen közös tényező” (pl. ugyan az a mérőeszköz, ugyan azt az alkatrészt, embert stb. vizsgáljuk). Páros mintáknál tehát az egyik minta elemeinek kiválasztása maga után vonja a másik minta elemeinek kiválasztását, s így a két minta elemei nem tekinthetők egymástól függetleneknek. Az ilyen páros (összefüggő) sokaságokban a két sokaság (s ebből következően természetesen a minta) elemei egymással kölcsönös és egyértelmű megfeleltetésbe hozhatók. A páros elnevezés onnan származik, hogy a két sokaság egymáshoz

126

rendelt egységeinek összessége egy elempárokból álló, egyetlen sokaságnak is tekinthető. Ha például két iskola tanulóinak testsúlyát szeretnénk összehasonlítani, akkor csak nehezen és mesterkélten képzelhető el a tanulók párokba rendezése, márcsak a két iskola létszámának különbsége miatt is. Ugyanakkor, ha egy új fogyókúra eljárás hatékonyságát szeretnénk értékelni, akkor célszerű ugyanazon személyek testsúlyát megmérni két időpontban, a fogyókúra előtt és után. Ebben az esetben annak megítélésére, hogy valóban csökkent-e a fogyókúra után a testsúly, már nem véletlenszerűen választunk a fogyókúrázók közül, az első minta elemei meghatározzák a második mintát is. Természetesen az összefüggő sokaságokból is vehetünk független mintákat, de ez általában nem célszerű, mert így elveszítjük az elempárok egyenkénti összehasonlításával nyerhető információt. Mivel a páros minták elemei egymásnak megfeleltethetők, így természetesen a két minta nagysága azonos. Az ilyen mintákat rendszerint oly módon kezeljük, hogy az egymásnak megfeleltethető elemeik különbségét (vagy hányadosát) képezzük, majd a továbbiakban e különbségeket (vagy hányadosokat) már egyetlen minta elemeinek tekintjük56. Páros minták várható értékeinek összehasonlítására is ezt az eljárást követjük. Képezzük a két minta különbségét, s ha a kapott eltérések eloszlása normális, akkor kiszámolva a különbségek átlagát és tapasztalati szórását, az így kapott minta alapján végezhetünk egy egymintás t-póbát annak megállapítására, hogy a különbségek szignifikánsan eltérnek-e nullától. (Természetesen nem csak a nullától való eltérést, azaz a két sokaság várható értékének egyezését, hanem egy adott különbség meglétét is vizsgálhatjuk.) Képezve tehát páronként a különbségeket (di), majd a különbségek átlagát ( d ) és korrigált tapasztalati szórását (sd), a nullhipotézisünket, vagyis a két várható érték egyezését d (H0: 1=2), az alábbi próbastatisztikával vizsgálhatjuk: t sz  . Ha H0 igaz, tsz értéke sd n DF=n-1 szabadságfokú t-eloszlást követ. A H0 hipotézis vizsgálatát egy- és kétoldali alternatívával szemben is vizsgálhatjuk. Példa: Egy sportcipőket gyártó cég szeretné meghatározni, hogy egy új típusú cipő („A”) élettartama nagyobb-e az előzőtől („B”)? Felkértek tíz kocogót, hogy teszteljék a termékeket. Az eredményeket (az élettartamokat hetekben mérve) a következő táblázat mutatja (az élettartamok normális eloszlást követnek)57:

„A”cipő „B” cipő

1. 27 23

2. 35 28

3. 19 16

4. 39 31

Kocogó 5. 6. 7. 34 32 15 38 30 17

8. 26 22

9. 18 15

10. 17 16

95%-os megbízhatósági szinten vizsgálva feltehető-e az élettartartamok különbözősége? H0: A=B (vagy másképpen μB–μA=0) H1: B˃A (vagy B–A˃0) 56 57

Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985 Sincich, T.:Statistics by Example, Dellen Publishing Company, San Fransisco, 1990

127

n=10 Képezzük az eltéréseket: di

1. 4

2. 7

3. 3

4. 8

5. -4

6. 2

7. -2

8. 4

9. 3

10. 1

Az eltérések átlaga: d = 2,6 A különbségek korrigált tapasztalati szórása (sd): 3,66 =0,05 DF=n–1=10–1=9 Elfogadási tartomány: tsz<1,83



t=1,83

A próbastatisztika értéke: tsz=2,6/(3,66/10)=2,25 Mivel tsz az elutasítási tartományba esik, H0-t 5%-os szignifikancia szinten nem fogadjuk el, azaz az új cipők élettartama valóban nagyobb, mint a régieké.

VII.2.c Két szórásnégyzet (szórás) összehasonlítása58 Szórásokra vonatkozó próbákat szórásnégyzetek segítségével végezhetünk. A szórásnégyzetekre vonatkozó próbák a normális alapeloszlástól való eltérésre sokkal érzékenyebbek, mint az átlagpróbák. Általános esetben – mivel a varianciák azonossága a várható értékek összehasonlítására leggyakrabban alkalmazott kétmintás t-próba feltétele – a szórásokra vonatkozó próbákat az átlagpróbák előtt célszerű elvégezni. Két független, ismeretlen várható értékű és szórású, normális eloszlást követő valószínűségi változó varianciáinak azonosságára vonatkozó hipotézisünket az ún. F-próbával ellenőrizhetjük. A két alapeloszlásból vett n1 és n2 elemű minták s1*2 illetve s 2*2 korrigált varianciái torzítatlan becslései az alapeloszlás  12 , illetve  22 varianciáinak. A fenti s1*2 2 2 feltételek mellett a H0: 1 =2 nullhipotézist az F  *2 próbastatisztikával vizsgálhatjuk, s2 *2 *2 ahol s1 >s2 . Ha H0 és a kiindulási feltételek teljesülnek, akkor az így képzett F érték az ún. FisherSnedecor féle F-eloszlást követi, amely a számláló (DF1) és a nevező (DF2) szabadságfokától (DF1,2=n1,2 -1) függ. A számítást mindig úgy kell végeznünk, hogy a számlálóban a nagyobb variancia szerepeljen. Az F próbát ily módon mindig egyoldali próbaként végezzük, hiszen azt vizsgáljuk, hogy s1*2 szignifikánsan nagyobb-e s2*2 értéknél, vagyis ellenhipotézisünk H1: 12>22. (Megjegyezzük, hogy az F-próbát baloldali és kétoldali alternatíva esetén is elvégezhetjük, de ez most nem témája jegyzetünknek.) Táblázataink is egyoldali próbára vonatkoznak (mégpedig F, DF1, DF2, kritikus értékeit adják meg). Példa Vizsgáljuk meg, hogy a korábbi „cigarettás” példánál valóban feltételezhető-e a szórások egyezése? Adataink az alábbiak voltak: 58


128

„A”

„B”

Mintaszám

11

10

Átlag

16,4 mg

15,6 mg

Korr. tap. szórás

1,2 mg

1,1 mg

H0: 12=22 H1: 12>22 =0,05 DF1=11-1=10 mivel az első („A” jelű) minta szórása a nagyobb, ez kerül majd a számlálóba, DF2=10-1=9  F=3,14 Elfogadási tartomány: Fsz<3,14 A próbastatisztika értéke: Fsz=1,22/1,12=1,19 Mivel Fsz az elfogadási tartományba esik, H0-t 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk, azaz az alapsokasági szórások nem különböznek egymástól, „jogosan” használtuk korábban e feladat megoldásánál a kétmintás t-próbát.

VII.2.d Több szórás összehasonlítására vonatkozó próbák59 Az F-próbát csak abban az esetben alkalmazzuk, ha két minta szórását hasonlítjuk össze. Ha több normális eloszlásból származó mintát kell összehasonlítanunk, akkor használhatjuk a Cochran-próbát. E módszer segítségével azt dönthetjük el, hogy a szórások között talált legnagyobb érték tekinthető-e a többivel azonos eloszlásból származónak. A Cochran-próbát akkor alkalmazhatjuk, ha az alapeloszlás normális és a minták mind azonos darabszámúak. A közös mintadarabszámot most n-el jelöljük (a szabadságfok f=n-1), az r darab különböző minta korrigált szórásnégyzetét pedig ismét s1*2, s2*2, …sr*2 - tel, utóbbiak közül a legnagyobb legyen smax*2. Kiszámítjuk a

g

2 smax

s12  s22 ... sr2

próbastatisztikát.

A kiértékeléshez szükséges táblázatok segítségével a már ismert módon eldönthetjük, hogy a legnagyobb szórás jelentős mértékben különbözik-e a többitől. Ha a legnagyobb érték túllépi a számára megengedett határt, akkor nem tekinthetjük az összes alapsokaságot egyenlő szórásúnak. Ilyenkor vagy teljesen elejtjük a homogenitásra vonatkozó feltevésünket, vagy pedig csak ezt a kiugró szórással rendelkező mintát (vagy ha több minta szórása lépte át a szignifikancia-határt, mindegyik ilyent) kizárjuk a sokaságból és megvizsgáljuk, hogy a megmaradó sokaságra eredeti feltevésünk fenntartható-e. Ezt tehát semmi esetre sem tekinthetjük természetesnek, hanem a megmaradó sokaságra meg kell ismételnünk a Cochranpróbát, azaz g értékét a megmaradó adatokból újra ki kell számítani és r új értékének figyelembevételével összevetni az ábrával. A megmaradó sokaságot a szórás szempontjából homogénnek csak akkor tekinthetjük, ha az utoljára végzett Cochran-próba „nem szignifikáns” eredményt mutat. 59


129

Példa Műselyem szakítóerő vizsgálatánál (n=10) kapott r=20 vizsgálat adataiból számolt korrigált tapasztalati szórások között, található-e kiugró érték? Az adatokat az alábbi táblázat mutatja: i

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9

10.

si*2

24,9

8,4

21,2

8,0

8,4

6,0

26,3

26,7

6,8

12,5

i

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

si*2

12,5

11,4

4,8

22,2

22,6

16,1

10,9

9,6

60,5

10,9

H0: a szórások nem különböznek H1: a legnagyobb szórás (19. minta) különbözik a többitől =0,05 r=20

DF (f)=n–1 =10–1=9 gkr=0,136

smax*2=60,5 gsz=60,5/(24,9+8,4+…+10,9)=60,5/330,7=0,183 A számított g érték nagyobb, mint a kritikus érték, így 5%-os szignifikancia szinten elutasítjuk H0-t, azaz a szórások egyezését. Most megismételjük a hipotézisvizsgálatot úgy, hogy a legnagyobb szórást (19. minta kivesszük): i

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9

10.

si*2

24,9

8,4

21,2

8,0

8,4

6,0

26,3

26,7

6,8

12,5

i

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

20.

si*2

12,5

11,4

4,8

22,2

22,6

16,1

10,9

9,6

10,9

H0: a szórások nem különböznek H1: a legnagyobb szórás (8. minta) különbözik a többitől =0,05 r=19

DF (f)=n–1=10–1=9 gkr=0,140

smax*2=26,7 gsz=26,7/(24,9+8,4+…+10,9)=26,7/270,2=0,099 A számított g érték kisebb, mint a kritikus érték, így 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk H0-t, azaz a szórások egyezését.

130

VII.2.e Varianciaanalízis A varianciaanalízis a matematikai statisztikai eljárások között kiemelkedő jelentőséggel bír. Nem csak egy „egyszerű” hipotézisvizsgálat, hanem bonyolult gyakorlati problémák (elsősorban kísérlettervek) elemzésére, értékelésére használható módszer. Ennek ellenére most a hipotézisvizsgálatok között tárgyaljuk, mivel a legegyszerűbb eset, az ún. egyszeres osztályozású varianciaanalízis, lényegében több normális eloszlású sokaság várható értékének összehasonlítására alkalmazható, azaz a H0: 1= =…=r nullhipotézis helyességének a sokaságokból egymástól függetlenül vett minták alapján történő ellenőrzésére szolgál. Ellenhipotézisünk minden esetben az lesz, hogy nem minden várható érték egyforma. A próba elvégzéséhez előfeltétel még – a normalitáson kívül –, hogy az ismeretlen alapsokasági szórások megegyezzenek (Cochran próba segítségével ezt ellenőrizhetjük). A próba elvégzéséhez mindenekelőtt (természetesen a csoportok átlagának és szórásának meghatározása után, amelyek már a szórások egyezésének vizsgálatához is szükségesek) képezzük az összes megfigyelés számtani átlagát ( x ), ami megegyezik a mintaátlagoknak 1 r ni 1 r ( x i) a minta elemszámával súlyozott számtani közepével: x   x ij   ni x i n i 1 j 1 n i 1 Ahol: ni az i-edik minta elemszáma, n az összes minta elemszáma n=n1+n2+…+nr. Ezek után képezzük az összes mért értéknek (xij) az összes adat átlagától ( x ) való eltérésének

 x r

a négyzetösszegét az ún teljes négyzetösszeget:

ni

i 1 j1



2

ij

 x , amely két négyzetösszeg

összegére bontható. Az egyik az ún. csoportok közötti

 n x r

i 1

i

 x  négyzetösszeg, amely a csoportok közti 2

i

eltéréseket magyarázza, méri, a másik a csoportokon belüli

 x r

ni

i 1 j 1

 x i  négyzetösszeg, 2

ij

amely a csoportokon belüli eltéréseket, a véletlen hatásokat mutatja60. Ha H0 igaz, s a kiindulási feltételek is teljesülnek, akkor bizonyítható, hogy a csoporton belüli négyzetösszeg 2-eloszlású n-r szabadságfokkal, s a csoportok közötti négyzetösszeg független a csoporton belüli négyzetösszegtől, és szintén 2-eloszlású r-1 szabadságfokkal. Ha ez igaz, akkor a négyzetösszegek és a megfelelő szabadságfokok hányadosából képzett ún külső (sk2), ill. belső (sb2) szórásnégyzetek egymástól függetlenek, s a közös várható értékük az ismeretlen, de egyenlő alapsokasági szórás: M(sk2)=M(sb2)=. A két szórás egyezésének vizsgálatával így ellenőrizhetjük eredeti hipotézisünket, a várható értékek azonosságát. Két szórás összehasonlítására a korábban megismert F-próba használható, képezve az F=sk2/sb2 statisztikát, amely – H0 fennállása esetén – (r-1, n-r) paraméterű F-eloszlású61.

60 61

Lukács O.: Matematikai statisztika, Példatár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987 Lukács O.: Matematikai statisztika, Példatár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987

131

A varianciaanalízis eredményeinek összefoglalására gyakran alkalmazzák az ún. szórásfelbontó táblázatot, amit a varianciaanalízis angol nevének rövidítéséből ANOVA táblának is szokás nevezni. Az egyszeres osztályozású varianciaanalízis ANOVA táblájának felépítését mutatja a következő táblázat: Négyzetösszeg NégyzetSzabadneve összegek ságfok r 2 Csoportok r-1 n i x i  x   közötti * i 1 r n Csoporton n-r xij  x i 2  i  1 j  1 belüli ** r n 2 Teljes n-1

Szórás becslése sk 2

F érték

p-érték

sk2/sb2

p

sb 2

-

-

-

-

-

i

 x i

i 1 j1

ij

x



19. Táblázat: ANOVA tábla

*: a kísérlettervezésből vett szóhasználattal szokták faktornak v. kezelésnek is nevezni ill. **: a csoporton belüli ingadozást hibának A p-érték az a legnagyobb elsőfajú hiba valószínűség, melynél még a nullhipotézist elfogadnánk. Ennek segítségével ugyanúgy dönthetünk a nullhipotézisről, mint a számított és elméleti értékek összevetésével. Ha a p-érték meghaladja az általunk elvárt elsőfajú hiba értéket, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, ha kisebb, akkor elutasítjuk azt. Példa Egy áruházláncnál megvizsgálták, hogy 3 boltjukban azonos-e az egy vásárlásnál fizetett összeg. Minden boltban kiválasztottak 6 véletlen mintát. A vásárláskor fizetett összegeket az alábbi táblázat mutatja (dollárban): 1. bolt

2. bolt

3. bolt

12,05

15,17

9,48

23,94

18,52

6,92

14,63

19,57

10,47

25,78

21,4

7,63

17,52

13,59

11,90

18,45

20,57

5,92

Feltételezve, hogy a kifizetések normális eloszlásúak, s szórásuk egyenlő, van-e különbség a 3 üzlet között? H0: 1=2=3 H1: legalább az egyik várható érték eltér a többitől n1=n2=n3=6 r=3 Az átlagok boltonként: $18,73 Az összes adat átlaga: $15,2

$18,14

132

$8,72

A számításokat elvégezve, az ANOVA tábla:

Csoportok közötti Csoporton belüli Teljes

Négyzetösszegek

Szabadságfok

Szórás becslése

F érték

p érték

378,4

2

189,2

13,26

0,0005

214,1

15

14,3

-

-

592,5

17

-

-

-

Az Fsz számított értéke: 13,26. =0,05 A számláló szabadságfoka: 2 A nevező szabadságfoka: 15 A kritikus érték: Fkr=3,68 Mivel Fsz>>Fkr, a H0 nullhipotézist 5%-os szignifikancia szinten elutasítjuk, azaz az átlagok ill. legalább egy átlag szignifikánsan különbözik a többitől. Esetünkben ez értelemszerűen a 3. bolt, ahol az egy vásárlásnál kifizetett összeg nagysága átlagosan kevesebb, mint a fele a másik két bolt átlagánál.

133

VIII. Korreláció- és regreszióelemzés, idősorelemzés Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet



Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek




134

VIII.1 Determinisztikus és sztochasztikus kapcsolatok62 A társadalmi, a műszaki és a gazdasági jelenségek törvényszerűségeit nemcsak önmagunkban, hanem a jelenségekkel szoros kapcsolatban lévő más tényezők összefüggésében is vizsgálhatjuk. Az eddigi fejezetekben a véletlen tömegjelenségek leírását mindig egy már bekövetkezett állapot valószínűségelméleti, matematikai-statisztikai vizsgálatával végeztük el. A korreláció- és regresszió- számítás során arra keressük a választ, hogy egy adott állapot milyen tényezők hatására jött létre, az egyes tényezők milyen mértékben befolyásolják a jelenség alakulását, a tényezők milyen szoros kapcsolatban vannak egymással. A változók közötti összefüggés szorosságát, a sztochasztikus kapcsolat erősségét, intenzitását korrelációszámítással, míg az összefüggés jellegét regressziószámítással határozzuk meg. Utóbbi esetben az összefüggésekben lévő sztochasztikus tendenciát, a kapcsolat természetét valamilyen függvénnyel írjuk le. Ha a vizsgálatok során az idő a független változó, a számításokat idősorelemzésnek, trendszámításnak nevezzük. A determinisztikus („függvényszerű”) és a sztochasztikus jelenség, kapcsolat fogalmával már az IV.1. fejezetben foglalkoztunk. Ugyancsak megismerkedtünk a sztochasztikus függetlenség fogalmával is. Emlékeztetünk arra, hogy determinisztikus kapcsolatnál X változó adott értékeihez Y változó meghatározott értéke tartozik, míg sztochasztikus kapcsolatnál Y változónak több lehetséges értéke is létezhet. Ezek az értékek és a hozzá tartozó valószínűségék az Y változónak az X változóra, mint feltételre vonatkozó feltételes valószínűségek, amelyek a feltételre vonatkozó feltételes valószínűség eloszlást alkotják. A gyakorlati számítások során azonban csak az eloszlások feltételes várható értékével és varianciájával jellemezzük a sztochasztikus kapcsolatot. Így röviden azt is mondhatjuk, hogy X és Y közötti sztochasztikus kapcsolat (korreláció) esetén csak az egyik tényező (X) és a másik tényező (Y) átlagos értéke között van határozott kapcsolat. Ez azt is jelenti, hogy a két változó nem független, de nincs közöttük funkcionális (determinisztikus) összefüggés, vagyis az egyik változó értékét az X változó nagysága mellett még bizonyos egyéb véletlen hatások is befolyásolják. Hangsúlyozni kell, hogy a korrelációs és regressziós számítás a kapcsolatot jellemzi, de semmit nem mond az oksági viszonyról. Tehát két, vagy több változó közötti sztochasztikus kapcsolat megállapításából nem következik, hogy a változók oksági összefüggésben vannak, azaz, hogy egyik tényező változása oka a másik tényező változásának. Az oksági kapcsolatot csak alapos szakmai és statisztikai vizsgálattal lehet megállapítani.

VIII.2 A kapcsolat szemléltetése A nagyobb számítási munkát igénylő matematikai módszerek alkalmazása előtt a kapcsolat létezésére vonatkozó szakmai feltevésünket grafikus ábrázolással célszerű szemléltetni. Az xi; yi értékpárok által meghatározott pontdiagram, illetve empirikus regressziófüggvény szemlélteti a kapcsolatot.

62

Dr. Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Program, Budapest, 2001

135

Y = 5.07E-02 - 0.647872X

Y = -8.6E-02 + 0.690286X R-Sq = 62.5 %

R-Sq = 70.9 %

3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3 -3

-2

-1

0

1

2

-3

3

-2

-1

0

1

2

3

Negatív korreláció

Pozitív korreláció

Y = -7.4E-02 + 0.208348X

Y = 12.0958 + 6.07684X + 1.16686X**2

R-Sq = 3.4 %

R-Sq = 88.4 %

3

40

2 30

1

0

20

-1 10

-2

-3

0

-2

-1

0

1

-3

2

Nincs korreláció

-2

-1

0

1

2

3

Nem lineáris korreláció

42. ábra: Pontdiagramok

Ha a pontok vonulási iránya (képzeletbeli tengelye) felfelé mutat, pozitív korrelációról beszélünk (növekvő xi értékekhez növekvő yi értékek tartoznak), ellenkező esetben a korreláció negatív. A görbevonali korreláció azt jelzi, hogy nem lehet minden korrelációt egyértelműen pozitívnak, vagy negatívnak tekinteni.

VIII.3 Az előjel–korrelációs együttható A sztochasztikus kapcsolat szorosságát – a grafikus ábrázolást követően – viszonylag kevés számítási munkával ellenőrizhetjük. Az előjel–korrelációs együttható, mint szorossági mérőszám, az igényesebb elemzések előtt nyújthat hasznos információt. Feladat: 14 év adatai alapján vizsgáljuk meg az 1ha szántóterületre vonatkoztatott műtrágya felhasználás (xi=kg/ha) és az évi búza termésátlagok (yi=q/ha) közötti kapcsolatok jellegét és szorosságát. (Az alábbi táblázat a későbbiekben felhasználásra kerülő részszámításokat is tartalmaz).

136

i

xi

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 

19,9 31,9 31,6 41,4 53,5 58,7 67,2 70,4 76,3 101,3 124,4 136,2 166,6 195,0 1174,3

yi 12,5 17,0 16,9 19,1 17,9 15,6 18,6 21,7 21,7 25,9 25,2 27,1 21,3 30,7 291,2

d xi  xi  x d yi  yi  y -64,1 -52,0 -52,3 -42,5 -30,4 -25,2 -16,7 -13,5 -7,6 17,4 40,5 52,3 82,7 111,1

-8,3 -3,8 -3,9 -1,7 -2,9 -5,2 -2,2 0,9 0,9 5,1 4,4 6,3 0,5 9,9

d x2i 4108,8 2704,0 2735,3 1806,2 924,2 635,0 278,9 182,2 57,8 302,8 1640,2 2735,3 6839,3 12343,2 37293,2

d y2i 68,9 14,4 15,2 2,9 8,4 27,0 4,8 0,8 0,8 26,0 19,4 39,7 0,2 98,0 326,5

d xi  d yi 532,0 197,6 204,0 72,2 88,2 131,0 36,7 -12,1 -6,8 88,7 178,2 329,5 41,3 1099,9 2980,4

20. Táblázat

x  83,9 y  20,8

A grafikus ábrázolás pozitív korrelációt és feltehetően lineáris összefüggést mutat. (Szakmai szempontból ez a feltételezés csak az adott műtrágya felhasználási szinten lehet igaz, hiszen közismert a növekvő műtrágya felhasználás csökkenő hatékonysága is). Az előjel-korrelációs együttható értelmezéséhez és meghatározásához vegyük figyelembe, hogy pozitív korreláció esetén xi átlagosnál alacsonyabb értékeihez általában az átlagosnál alacsonyabb yi értékek tartoznak, és ez fordítva is igaz. Ha tehát d xi és

d yi eltéréseket hasonlítjuk össze, akkor pozitív korreláció esetén az esetek nagy részében az eltérések előjele megegyezik. (Negatív korreláció esetén a helyzet fordított lesz). Ebből lehet következtetni a kapcsolat irányára és szorosságára is. (Az azonos és eltérő előjelű eltérés párok egyenlő aránya a kapcsolat hiányát jelzi). 43. ábra

137

Az előjel-korrelációs együtthatást (re) az alábbiak szerint értelmezzünk:

re 

u v uv

ahol: u=az előjel egyezések száma, v=az előjel eltérések száma (u+v=n). Nyilvánvaló, hogy re értéke (-1) és (+1) között helyezkedik el. Függvényszerű (determinisztikus) kapcsolat esetén re=1, de ez fordítva nem feltétlenül igaz. (Megjegyezzük, ha valamelyik eltérés párban az egyik, vagy mindkét eltérés nulla, akkor az adott egységnél u=0,5 és v=0,5 értékekkel számolunk). Mintapéldánkban u=12, v=2, ezért: re 

amelyből a két változó következtethetünk.

12  2  0,71 14

közepesnél

jóval

erősebb,

pozitív

irányú

kapcsolatára

Ha a pontdiagramban behúzzuk az y  y és x  x egyeneseket, akkor u az I. és III. negyedbe eső pontok számának az összessége, míg v a II. és IV. negyedben található pontok összege lesz.

VIII.4 A lineáris regresszió és a korreláció A regresszió számítás feladata a változók közötti összefüggés jellegének meghatározása. Ennek során a pontdiagramos ábrázolással érzékeltetett tendenciát valamilyen analitikusan ismert függvénnyel próbáljuk leírni. A Y  f  X  regressziós függvényt a legkisebb négyzetek elve és módszere alapján határozzuk meg. Ez azt a követelményt támasztja, hogy az adott függvénytípust (egyenes, parabola, exponenciális, stb.) használata során a n

y i 1

 ˆyi 

2

i

összeg minimális legyen. Az yi  yˆ i eltérések (reziduumok) négyzeteinek összege jól jellemzi a ponthalmaz és a regressziós vonal kölcsönös viszonyát. A leggyakrabban alkalmazott lineáris regressziós modellben a legkisebb négyzetek módszere azt a regressziós egyenest tekinti a legjobban illeszkedőnek, amely a pontdiagram egyes pontjaitól átlagosan a lehető legkisebb merőleges távolságban halad (44. ábra).

138

44. ábra: Merőleges távolságok

Egy ilyen egyenesnek az egyenletét azonban csak bonyolult számításokkal lehet meghatározni. Másik megoldási lehetőségnek adódik, ha nem a merőleges távolságok minimalizálására törekszünk, hanem a pontoknak a regressziós egyenestől vett függőleges, vagy vízszintes távolságainak négyzetes összegét választjuk a lehető legkisebbre (45. ábra, 46. ábra, 47. ábra).

45. ábra: Függőleges távolságok Y  b0  b1  X

139

46. ábra: Négyzetes (függőleges) távolságok

Y  b0  b1  X

47. ábra: Négyzetes (vízszintes) távolságok

A legkisebb négyzetek módszerével előállított egyenest első regressziós egyenesnek nevezzük, ha a függőleges távolságokra minimalizálunk, illetve második regressziós egyenesnek nevezzük, ha a vízszintes távolságokra minimalizálunk. Ez a két egyenes általában nem esik egybe (48. ábra, 49. ábra).

48. ábra: Erős lineáris kapcsolat

49. ábra: Gyenge lineáris kapcsolat

140

Nyilvánvaló, hogy a két regressziós egyenes között annál nagyobb a különbség, minél jobban szóródnak a ponthalmaz pontjai. Kvalitatív módon belátható az is, hogy annál erősebb a lineáris kapcsolat a két változó között, minél kevésbé tér el egymástól a két regressziós egyenes. Az egyik szélső esetben, ha az összes pont egy egyenesre esik, akkor a két regressziós egyenes meredeksége egyenlő (50. ábra). Ebben az esetben abszolút lineáris kapcsolatról beszélünk. A másik szélső esetben a regressziós egyenesek merőlegesek egymásra (51. ábra), azaz semmilyen lineáris kapcsolatról nem beszélhetünk.

50. ábra: Abszolút lineáris kapcsolat

51. ábra: Nincs lineáris kapcsolat

A lineáris korreláció analízis lényegében azt vizsgálja, hogy mennyire tér el az első regressziós egyenes meredeksége a másodiktól. Ha a meredekségek aránya r 2 ( x, y) , akkor ennek négyzetgyöke a Pearson-féle tapasztalati korrelációs együttható. A korrelációs együttható értéke nulla, ha X és Y függetlenek. Ez fordítva általában nem igaz: abból, hogy két valószínűségi változó korrelációs együtthatója nulla, nem feltétlenül következik, hogy a két változó független is egymástól (kivétel, ha X és Y együttes eloszlása normális). Ha a két változónál csak azt tudjuk, hogy r(x,y)=0, akkor korrelálatlannak nevezzük őket. A korrelációs együttható abszolút értéke legfeljebb 1, azaz

 1  r x, y   1 és a  1 értéket akkor és csak akkor éri el, ha X és Y között lineáris kapcsolat van: y  b1  x  b0

141

Ha b10, akkor r(x, y)=1, ha b10, akkor r(x, y)=–1. Pozitív sztochasztikus kapcsolatnál 0r(x, y)1, míg negatív sztochasztikus kapcsolatnál –1r(x, y)0. Természetesen, minél szorosabb a kapcsolat, r x, y  annál jobban közelíti az 1-et. A korrelációs együtthatót a mintabeli, tapasztalati adatokból az alábbi módon becsülhetjük: n

d

r  x, y  

i 1

xi

 d yi

n

n

i 1

i 1

 d x2i   d y2i ahol: d xi  xi  x és d yi  yi  y.

Feladat: Számítsuk ki a mintapéldában szereplő változó korrelációs együtthatóját! A 20. Táblázatban közölt adatok alapján:

r( x , y ) 

2980 ,4 37293,2  326 ,5

 0 ,85

A lineáris regressziós vizsgálat során általában az első regressziós egyenest alkalmazzuk. Ekkor a ”b0” és ”b1” becsült értékeire a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazva – a levezetések mellőzésével – az alábbi eredményt kapjuk: n

b1 

d i 1

xi

 d yi

n

d i 1

2 xi

b0  y  b1  x

A regressziós egyenes „b1” együtthatóját regressziós együtthatónak nevezzük. Mint az egyenes iránytangense statisztikai értelemben megadja, hogy x egységnyi változása mekkora átlagos változást idéz elő y-ban. A „b0” együttható pedig az x=0 helyhez ad regressziós becslést. Feladat: Mintapéldánkban határozzuk meg a regressziós egyenes egyenletét! 2980,4 b1   0,08 37293,2 b0  20,8  0,08  83,9  14,1 Így a regressziós egyenes egyenlete: y  0,08x  14,1

142

VIII.4.a Az elméleti korrelációs együttható Korábban már megismertük az események függetlenségének alapvető jellemzőit. Ezekből – többek között – az is következik (a bizonyítást mellőzzük), hogy két független valószínűségi változó (X és Y) szorzatának várható értéke egyenlő várható értékeinek szorzatával:

M  XY   M  X   M Y  Mivel azonban egy valószínűségi változónak a saját várható értékétől vett eltérésének a várható értéke mindig nulla, az előbbi szorzat várható értéke is zérus. Definíció:

A C XY   M X  M  X   Y  M Y  várható értéket az X és Y valószínűségi változók kovarianciájának nevezzük. Ha a C(XY) kifejezésében elvégezzük a szorzást, és tagonként vesszük a várható értéket, akkor: C XY   M  XY   M  X   M Y  Ugyancsak igazolható, hogy

C  XY   D( X )  D( Y )

azaz, két valószínűségi változó kovarianciájának abszolút értéke nem lehet nagyobb a két szórás szorzatánál. Az elméleti korrelációs együttható R(X,Y) fogalmához úgy juthatunk el, ha a kovarianciát elosztjuk a két szórás szorzatával, hiszen ekkor olyan kifejezést kapunk, amely a valószínűségi változók értékeitől nem függő abszolút határok között mozog: R X ,Y  

C  XY  D X   DY 

A korrelációs együttható értéke nulla, ha X és Y függetlenek. Ez fordítva általában nem igaz: abból, hogy két valószínűségi változó korrelációs együtthatója nulla, nem feltétlenül következik, hogy a két változó független is egymástól (kivétel, ha X és Y együttes eloszlása normális). Ha a két változónál csak azt tudjuk, hogy R(X,Y)=0, akkor korrelálatlannak nevezzük őket. A korrelációs együttható abszolút értéke legfeljebb 1, azaz

 1  R X ,Y   1 és a  1 értéket akkor és csak akkor éri el, ha X és Y között lineáris kapcsolat van: y  b1 x  b0

Ha b10, akkor R(X, Y)=1, ha b10, akkor R(X, Y)=–1. Pozitív sztochasztikus kapcsolatnál 0R(X, Y)1, míg negatív sztochasztikus kapcsolatnál –1R(X, Y)0.

143

Természetesen, minél szorosabb a kapcsolat, R X ,Y  annál jobban közelíti az egységet. Az elméleti korrelációs együtthatót a mintabeli, tapasztalati korrelációs együtthatóból becsülhetjük: n

r  x, y  

d i 1

xi

 d yi

n

n

i 1

i 1

 d x2i   d y2i ahol: d xi  xi  x és d yi  yi  y. Természetesen azt is meg kell vizsgálnunk, hogy az r(x,y) tapasztalati korrelációs együttható szignifikánsnak tekinthető-e. Ekkor a Ho: R(X, Y)=0 nullhipotézisből indulunk ki, vagyis az lesz az alapfeltételezésünk, hogy a két változó egymástól független normális eloszlású. Igazolható, hogy normális alapeloszlás mellett az R(X, Y)=0 nullhipotézis esetén r(x, y)-nek az alábbi függvénye DF=n-2 szabadsági fokkal t-eloszlást követ: n2 t sz  r  1 r2 A függelékben található tkrit kritikus értékek alapján, adott  szignifikancia szinten a tsz tkrit esetben elvetjük az R(X, Y)=0 nullhipotézist és ezzel a kapcsolat fennállásának hipotézisét fogadjuk el.

A szignifikáns korrelációs együttható csak azt jelenti, hogy R(X, Y) értéke nagy valószínűséggel nem zérus. Feladat: Számítsuk ki a korábbi mintapéldában szereplő változók korrelációs együtthatóját és végezzük el a szignifikancia vizsgálatot! A táblázatban közölt adatok alapján:

r( x , y ) 

2980 ,4 37293,2  326 ,5

 0 ,85

A lineáris korrelációs együttható szignifikancia vizsgálata: Ho: R(X, Y)=0 DF=n-2=14-2=12 =0,05 12 t sz  0 ,85   5 ,56 1  0 ,85 2 tkrit =2,17 Mivel tsz  tkrit, ezért a nullhipotézist elvetjük, és nagy biztonsággal állíthatjuk, hogy a két változó között korrelációs (sztochasztikus) kapcsolat van. (Emlékeztetőül: az előjel – korrelációs együttható értéke 0,71 volt).

144

VIII.5 Az r(x,y) és a regressziós egyenes összefüggése Korábban az Y változót felírtuk úgy, mint az Yˆ regressziós függvény és az "e" rezidium összege: Y  Yˆ  e ahol: "e" a véletlenszerű eltérést képviseli. Bizonyítható, hogy az összefüggés a változók szórásnégyzeteire is érvényes:  2 Y    2 Yˆ   2 e Tapasztalati adatokból számolva: 2 1 n s y2    yi  y n i 1 és 2 1 n s ˆy2    ˆyi  y n i 1 ahol: yˆ i az xi értékekből a regressziós függvénnyel számolt becsült érték. Végül a rezidiumokból számolt szórásnégyzet: 1 n se2    ei2 n i 1 2 2 Látható, hogy s yˆ képviseli s y azon részét, amelyet x változásával magyarázhatunk és s e2 a „magyarázatlan” (x-hatás kikapcsolása után) részt jelenti.











Bizonyíthatóak még az alábbi összefüggések is: r 2 x , y  

s ˆy2 s y2

 1

se2 s y2

Az r2(x, y) – amelyet determinációs együtthatónak is neveznek – azt fejezi ki, hogy a sztochasztikus kapcsolatban a teljes változás hányad része tulajdonítható x-nek. Értékét %-os formában is megadhatjuk. Példa: A mintapélda adatai alapján határozzuk meg a determinációs index értékét! r 2 x , y   0 ,85 2  0 ,72 Az eredményt úgy értelmezhetjük, hogy a termésátlagok változásában a műtrágya felhasználás 72 %-ban játszott szerepet.

VIII.5.a A regressziós becslés pontossága Nyilvánvaló, hogy a sztochasztikus kapcsolat mérőszámaiból csak akkor vonhatunk le helyes következtetéseket, ha megfelelően nagy mintánk van. Így az eredmények értékeléséhez hozzátartozik a mérőszámok hibájának vizsgálata is. A pontosság jellemzése céljából tehát most a b0, b1, yˆ paraméterek becslésének szórását (standard hibáját) kell meghatároznunk. A regressziós együttható standard hibái: Levezetés nélkül, de a fenti összefüggések felhasználásával, a regressziós együtthatók standard hibaképletei:

145

n

e

se 

2





 s y2 1  r 2 n A reziduális szórás becslésére az alábbi torzítatlan becslést is használják: i 1

n

 e2

se 

i 1

n2

n

y



i 1

 yˆ i 

2

i

n2

A regressziós együtthatók hibái: n

sb 0  se 

 x

2 i

i 1

n

n   d x2 i

i 1

se

s b1 

d

2 x

A standard hibák azt mutatják meg, hogy végtelen sok n elemű mintát véve az alapsokaságból az egyes mintákból becsült „b0” paraméterek átlagosan sb0 egységgel, a „b1” paraméterek pedig sb1 egységgel szóródnak az alapsokasági regressziófüggvény körül. Konfidencia intervallum a becsült paraméterekre

A becsült paraméterekre konfidencia intervallumokat is konstruálhatunk. Nagy minták esetén normális eloszlás táblázatot, kis minták esetén a Student-eloszlás t-táblázatát használjuk (DF=n – 2):

b0  t

1

b1  t

1



 sb0   0  b0  t

1

2



 sb1  1  b1  t

1

2





 sb0

2

 sb1

2

A konfidencia intervallum úgy értelmezhető (pl: ( 1   ) =95%), hogy sok ismételt mintavétel végrehajtása során (pl.: 100 mintavétel) átlagosan 95 esetben a becsült regressziós együtthatóhoz rendelt konfidencia tartomány lefedi a valóságos értékeket. A lineáris kapcsolat szignifikancia vizsgálata: A t-próba segítségével azt is ellenőrizhetjük, hogy az Y és X változók között szignifikáns lineáris kapcsolat van-e. Nullhipotézisünk és ellenhipotézisünk: H o : 1  0 H1 : 1  0

A próbastatisztika: t sz 

b1 sb1

146

A tkrit értéket  szignifikancia szinten DF=n–2 szabadsági foknál találjuk meg. Ha tsztkrit, elvetjük Ho-t és valós lineáris összefüggést tételezünk fel X és Y között. Az átlagos, vagy az egyedi yi értékek becslése: Az eddigiekben mindig feltételezzük, hogy az adott xi értékek rögzített értékek, azaz nem valószínűségi változók. (Mintapéldánkban ez úgy értelmezhető, hogy a műtrágya mennyiségét tudatosan mi állítjuk be, azaz X változik, de nem a véletlen hatására). Ebben az esetben minden egyes xi értékhez az yi értékeknek egy eloszlása tartozik. Előfordulhat azonban olyan eset is, amikor xi értékek is a véletlen hatására ingadoznak egy általunk ismeretlen M(xi) várható érték körül. Ilyenkor mind az xi, mind az yi értékek mintáról mintára változhatnak. (Mintapéldánkban ez úgy állhat elő, ha X értékeit a gazdálkodók sokaságára értelmezzük, így ezek az értékek a mi számunkra valószínűségi változóként viselkednek.) A regresszióbecslés pontosságának vizsgálatakor a modellben szereplő paraméterek standard hibái alapján következtethetünk a számított yˆ i függvényértékek pontosságára is. Az X változó értelmezési tartományában minden egyes xi értékhez tartozik egy regresszióérték, amelyet az yˆ i  b0  b1  xi becslés alapján állíthatunk elő. Ez a becslés – az előzőek alapján – két különböző célra használható fel. Becsülhetjük vele Y átlagos volumenét, vagyis egy adott xi értékhez tartozó feltételes várható értéket (átlagos yi értéket). Mintapéldánkban ekkor azt vizsgáljuk, hogy egy adott xi műtrágya felhasználáshoz átlagosan mekkora terméshozam várható. Az „b0” és „b1” paraméterek mintavételi hibáiból fakadóan ennek a becslésnek is van standard hibája, mégpedig: ( xi  x ) 2 1 s ˆy  se   n  ( xi  x ) 2

A feltételes várható érték (1-) szintű konfidencia intervalluma: M ( yˆ / xi )  yˆ i  t   s y 1

2

Becsülhetünk azonban egy egyedi yi értéket is. Ekkor a standard hiba: s yi  se 

( xi  x ) 2 1  1 n  ( xi  x ) 2

A konfidencia intervallum pedig: yi  yˆ i  t

1



 s yi

2

Mindkét esetben xi értékeit végigfuttatva egy konfidencia sávot kapunk, amelynek szélessége ( 1   ) -tól függ.

147

52. ábra: A várható értékek és egyedi értékek konfidencia intevalluma

A regressziós vonalhoz közelebb eső sáv a várható érték-, a távolabb eső pedig az egyedi értékek konfidencia intervallumát mutatja. Így, ha a lineáris regresszióra megfogalmazott feltételeink teljesülnek, akkor (1-) valószínűséggel állíthatjuk, hogy egy megfigyelt pont a szélesebb sávba esik, azaz a pontoknak csak  %-a eshet-e sávon kívül.

VIII.6 Idősorok elemzése63,64 Egyes időpontokban, általában azonos időközönként végzett megfigyelések sorozatát idősornak nevezzük. Ebben az esetben tehát az X változó időpontokat jelöl, valójában nem sztochasztikus jellegű, s ennek függvényében vizsgáljuk a sztochasztikusan változó Y értékek alakulását. Ilyen jellegű adatsorokat a gazdasági, társadalmi élet jellemzésére, vizsgálatára gyakran használunk. Idősorokra példa a Magyarországon évente felsőfokú végzettséget szerző hallgatók száma, a BUX index napi záró értéke, a napi maximum hőmérséklet, egy bolt napi, heti vagy havi árbevétele, egy bizonyos termék havonta értékesített mennyisége, stb. Idősorok sajátosságainak vizsgálatánál is első lépésként célszerű az adatokat ábrázolni. Az ábrázolás hasonló módon történik, mint a fent bemutatott példáknál. A vízszintes tengelyen most a t időpontokat (időszakokat), a függőleges tengelyen a megfelelő y értékeket ábrázoljuk. A szóródás diagramtól eltérően azonban most vonaldiagramot célszerűbb készítünk, ugyanis így könnyebben felismerhetőek az adatsorban meglévő szabályszerűségek. Példaként a Magyarországon felsőoktatásban tanuló illetve dolgozó hallgatók/oktatók számának65 alakulását mutatja a következő ábra.

63

Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995 Korpás A.-né (szerk.): Általános statisztika I., II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996 65 Forrás: http://portal.ksh.hu/pls/ksh/docs/hun/xstadat/xstadat_eves/tabl2_06_07ia.html 64

148

53. ábra

Az idősorok adatainak elemzéséhez használható leíró statisztikai eszközöket lényegében már megismertünk a tárgy első részében. A különböző (jellemzően vonalas) ábrázolási módok mellett természetesen indexekkel, átlagokkal is jellemezhetjük az adatokat. Ezekre részletesen most nem térünk ki, csak az átlagszámolás tartam- és állapotidősorok közötti különbségére hívjuk fel a figyelmet. Tartamidősorok66 adatai összegezhetők, így átlagolásukra is a szokásos számtani átlagot használhatjuk. Állapotidősorok67 egy-egy időpontra vonatkoznak, összegüknek nincs tárgyi értelme. Ebben az esetben az idősor átlaga az átlagos állománynagyságot mutatja. Két időpont esetén ez a nyitó- és a záróállomány számtani átlaga. Több időpont esetén a két-két időpont közötti időszakokra számított átlagos állományok számtani átlaga. Az így kapott átlagot kronologikus átlagnak nevezzük (jelölése: Yk ), és kizárólag állapotidősorok adatainak átlagolására használjuk. A megfigyelt időpontok adataiból (Y1, Y2, … Yn) tehát a kronológikus átlagot az alábbi összefüggéssel számolhatjuk:

Y Y1 n 1   Yt  n 2 t 2 2 Yk  n 1 Tekintsük a következő példát68. Egy utazási iroda valutakészletének és -értékesítésének adatai az alábbiak:

66

Mozgó sokaságok időbeli alakulását mutatják, a sor elemei egy-egy időtartam alatt bekövetkező események adatait mutatják. 67 Álló sokaságok időbeli változását mutatják, a sor elemei egy-egy időpontra vonatkozó állapotfelvételek eredményeit rögzítik. 68 Forrás: Korpás A.-né (szerk.) : Általános statisztika I. nemzeti Tannkönyvkiadó, Budapest, 1996, pp.89.-90.

149

Hónap Június Július Augusztus Szeptember Október November December

Valutakészlet a hónap utolsó napján [eUSD] 18,8 19,6 20,2 19,8 21,1 20,3 19,2

Valutaértékesítés [eUSD] --35,8 35,2 34,3 33,5 32,4 35,8

Határozzuk meg a 2. félévben a havi átlagos valutaértékesítést, s az átlagos valutakészletet! A havi átlagos valutaértékesítés: 35,8  35,2  34,3  33,5  32,4  35,8 207 Y    34,5eUSD 6 6 Az adott hónapban értékesített valuta mennyisége tartamidősor, így összegének van értelme (a 2. félévben összesen 207eUSD-t adott el az iroda), így átlagolásukra a számtani átlagot használtuk. A 2. félévben az átlagos valutakészlet (július 1-je és december 31-e között): 18,8 19,2  19,6  20,2  19,8  21,1  20,3  2  20eUSD Yk  2 6 (A július 1-jei készlet a június 30-aival azonos.) A valutakészlet csak időpontokra értelmezhető, így átlagolására a kronologikus átlagot használtuk.

VIII.7 Idősorok összetevőinek vizsgálata Idősorok elemzésének két fő megközelítésmódja ismert. Az egyik az ún. sztochasztikus modell, mely szerint az idősor pillanatnyi értékeit saját korábbi állapotából és a véletlen hatásokból lehet magyarázni. E felfogás szerint a véletlen változó beépül a folyamatba, annak aktív alkotóeleme lesz, a jelenség fő mozgatójává válik. A másik, az ún determinisztikus modell felfogása szerint az idősor alakulását egy tartósan érvényesülő hosszútávú tendencia (trend), és egy tartósan ható, szabályos, jól modellezhető hullámmozgás (periódikus ingadozás) határozza meg, s ezektől eseti-egyedi eltérítő hatást eredményez a véletlen. A Gazdaságstatisztika tárgyban nem foglalkozunk a sztochasztikus modellel, az – többek között – az Ökonometria c. tárgy anyaga. A determinisztikus modell felfogása szerint az idősorok értékeit négy fő tényező (összetevő) határozza meg. Hosszútávú vagy tartós irányzat. Ez az összetevő az idősor pályájának a hosszútávú alapirányzatát jelenti, az idősorban hosszabb időszakon át, tartósan érvényesülő tendencia (trend). Az idősorok grafikus ábrázolásánál bemutatott adatokon például jól látszik, hogy a hallgatók száma folyamatosan nőtt az 1990/91-es tanévtől a 2006/07-es tanévig. Ugyanakkor az oktatók száma is alapvetően emelkedő tendenciát mutat, annak ellenére, hogy időnként egy-egy évben csökkent az oktatók létszáma.

150

A periodikus ingadozás az idősorokban rendszeresen ismétlődő hullámzást jelenti. Két fajtáját különböztetjük meg, a szezonális vagy idényszerű hullámzást, és a ciklikus vagy konjukturális ingadozást.  A ciklikus mozgások a trendgörbe, vagy trendegyenes körüli hosszútávú kilengésekre, ingadozásokra vonatkoznak. Az üzleti és gazdasági tevékenységek esetében az ingadozásokat csak akkor nevezzük ciklikusnak, ha azok több mint egy éves időintervallum után ismétlődnek. Az üzleti ingadozások fontos példáját adják az un. üzleti ciklusok, melyek a konjunktúra, a recesszió, a stagnálás és a megújulás időszakait foglalják magukban. A tárgy keretében nem foglalkozunk a ciklikus ingadozás elemzésével.  A szezonális ingadozások azokra az azonos, vagy majdnem azonos mintákra vonatkoznak, amelyeket az idősor az egymás után következő időszakokban (például évente, havonta, stb.) követ. Az idősor adataiban jellemzően azonos időszakok egymás utáni sorozatai ismétlődnek, így amennyiben a megfigyelt változót az egyes időszakokban fellépő szezonális hatások érik, az időszakonkénti eltérések a trendtől nagyon hasonló, ismétlődő mintázatot mutatnak. Ilyen szezonális hatás például a karácsony előtti, vagy a hétvégi nagyobb bevásárlás. Sörből is jellemzően többet fogyasztunk a nyári hónapokban, mint télen. Az ismétlődő időszakoknak megfelelően a szezonális ingadozások periódushossza állandó. Az üzleti, gazdasági adatok elemzésénél jellemzően az éven belüli ingadozásokat szezonális ingadozásnak tekintjük. Szabálytalan vagy véletlen ingadozások. Az idősor értékeinek negyedik összetevője a véletlen hatásokból fakadó eltérések. Ezt az összetevőt valószínűségi változónak tekintjük. A véletlen ingadozás sok, önmagában nem jelentős tényező együttes hatása az idősorra. Bár előfordulhat, hogy egy-egy tényező (sztrájk, árvíz, stb.) jelentősebb hatást gyakorol a megfigyelt mennyiségre, feltesszük, ezek csak rövid ideig okoznak változást, így hatásuk összességében véletlennek tekinthető. Esetenként azonban e hatások elég intenzívek lehetnek ahhoz, hogy újabb ciklikus vagy másféle ingadozást idézzenek elő. Az idősorok determinisztikus modell szerinti elemzése az ingadozásokat előidéző összetevők (matematikai) leírását jelenti. Feltesszük, hogy az idősor Y változója a fenti összetevők összegeként (vagy szorzataként) adódik, tehát az elemzés lényegében az idősor komponenseinek felbontását jelenti. Ezért szokták a modellt dekompozíciós eljárásnak is nevezni. Attól függően, hogy az idősor összetevői között milyen kapcsolatot tételezünk fel, beszélhetünk additív (a komponensek összegének tekintjük az Y változót) vagy multiplikatív (a komponensek szorzataként állítjuk elő Y-t) modellről. Különböző módszerek állnak rendelkezésünkre akár a trend, akár a szezonális eltérések jellemzésére, a tárgy keretében azonban mindkettőre csak egy-egy módszert mutatunk be.

VIII.7.a Trend becslése mozgóátlagok segítségével Az idősor alapirányzatának meghatározásánál az idősor kiegyenlítése, kisimítása a célunk úgy, hogy a periodikus és a véletlen ingadozás hatását kiküszöböljük. Mozgóátlag módszernél az eltéréseket átlagolással igyekszünk „eltüntetni”. Mozgóátlagolásnál az idősor előre elhatározott számú első néhány eleméből számtani átlagot képzünk, majd az első elemet kihagyva, s a következőt bevonva folytatjuk a számítást az utolsó adatig. Az így képzett átlagokat páratlan elemszám esetén a részsorozat középső elemének tekintjük. Páros elemszámú mozgóátlagok képzésénél azonban a részsorozatok indexei nem egész számok (pl. 2 elem esetén 1,5, 2,5, 3,5, … n-0,5), ezért az így kapott átlagokból kéttagú mozgóátlagokat

151

képzésével kapjuk az egész indexű elemeket. Ez utóbbi műveletet nevezzük középre igazításnak vagy centírozásnak. Mozgóátlagolás alkalmazásakor meghatározó a mozgóátlag elemszámának megválasztása. Amennyiben az idősorban szezonális eltéréseket is találunk, akkor a szezonális hullámzás kisimítására a mozgóátlag taglétszámát úgy kell megválasztani, hogy az a perióduson belüli szakaszok (szezonok) számával azonos, vagy annak egész számú többszöröse legyen. A módszer bemutatására tekintsük az alábbi példát 69. Háztartások számára értékesített gázmennyiség (milló m3) Nógrád megyében 1990 és 1994 között negyedéves bontásban az alábbiak szerint alakult: I. 3,5 6,7 7,4 8,2 9,3

1990 1991 1992 1993 1994

II. 3,1 6,4 7,2 8,1 8,0

III. 2,4 5,1 5,2 7,2 7,2

IV. 3,9 7,2 8,0 8,5 11,7

A gázfogyasztás értékeit (és a mozgóátlagolással kapott trendértékeket is) a következő ábra mutatja: 14 12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

54. ábra

Mivel éves periodicitásról és negyedéves szezonalitásról van szó, a mozgóátlagok elemszámának célszerű 4-et választani. A számításokat az alábbi táblázat tartalmazza: Ért.gáz 3,5 3,1 2,4 3,9 6,7 6,4 5,1 7,2 7,4 7,2 5,2 8 69

Időszak 1990 - I 1990 - II 1990 - III 1990 - IV 1991 - I 1991 - II 1991 - III 1991 - IV 1992 - I 1992 - II 1992 - III 1992 - IV

cMA(4)

3,63 4,44 5,19 5,94 6,44 6,63 6,74 6,85 7,05 7,26

Forrás: Korpás A.-né (szerk.): Általános statisztika II. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996, pp. 249.-250.

152

8,2 8,1 7,2 8,5 9,3 8 7,2 11,7

1993 - I 1993 - II 1993 - III 1993 - IV 1994 - I 1994 - II 1994 - III 1994 - IV

7,63 7,94 8,14 8,26 8,25 8,65

VIII.7.b Szezonalitás vizsgálata A szezonhatás vizsgálatánál arra keresünk választ, hogy a rendszeresen (s azonos periódushosszal) visszatérő hatások, milyen mértékben vagy arányban térítik el az idősor értékeit az alapirányzattól. Vizsgálatánál ki kell szűrnünk a trendhatást és a véletlen hatásokat az adatokból. Additív modell esetén a szezonalitást a trendtől való eltérés nagyságával, azaz a trendtől vett abszolút eltéréssel, multiplikatív modellnél a relatív eltéréssel jellemezzük. Additív modellnél az idősor egy elemének értékét a komponensek összegeként, míg multiplikatív modellnél a szorzataként írhatjuk fel. yij  yîj  s j   ij yij  yîj  s*j ij A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor értékeiből rendre kivonjuk (ill. az idősor értékeit rendre elosztjuk) a trendértékeket (értékekkel). yij yij  yîj  s j   ij  s *j   ij yˆ ij Az így nyert különbségeket egyedi szezonális eltéréseknek (ill. hányadosoknak) nevezzük. Ezt követően minden periódusból vesszük a j-edik eltérést (hányadost), és ezek számtani átlagát képezzük. Ezzel a véletlen hatást szűrjük ki, illetve tompítjuk.

 yij  yîj  n/ p

sj 

 y n/ p

ij

/ yˆ ij 

s  n/ p n/ p Ha a trendet nem lineáris függvénnyel határozzuk meg, akkor nem teljesül az a feltétel, hogy a szezonális eltérések összege (illetve átlaga) 0 (multiplikatív modellnél, hogy szorzatuk 1) legyen. Mozgóátlagolással kapott trendértékek esetén ez elméletileg teljesül, de ha kevés számú megfigyelésünk van, akkor előfordulhat, hogy az átlag nem 0 (illetve a szorzat nem 1). Ilyenkor az előbbiekben kiszámított ún. nyers szezonális eltéréseket (ill. szezonindexeket) korrigáljuk. A korrekció úgy történik, hogy a szezonális eltérések átlagát levonjuk az sj értékekből (illetve az sj* értékeket elosztjuk az átlaggal). i 1

* j

i 1

p

s  sj 

p

s

sj j 1

j 1

* j

s  sj  p p Az így kapott szezonális eltérések (additív modell) azt fejezik ki, hogy az adott szezonban a szezonhatás miatt az idősor értékei átlagosan mennyivel magasabbak vagy alacsonyabbak a trend szerinti értéknél. Multiplikatív modellnél pedig a szezonindexek azt mutatják, hogy a szezonhatás miatt az idősor értéke az adott szezonban átlagosan hányszorosa az alapirányzat szerinti értéknek. ' j

*' j

153

*

Példaként tekintsük ismét Nógrád megye lakossági gázfogyasztását! Additív modellt alkalmazva a szezonalitás jellemzésére, a számítási eredményeket a következő táblázatba foglaltuk össze. Ért.gáz 3,5 3,1 2,4 3,9 6,7 6,4 5,1 7,2 7,4 7,2 5,2 8 8,2 8,1 7,2 8,5 9,3 8 7,2 11,7

Időszak cMA(4) Különb. 1990 – I 1990 – II 1990 – III 3,63 -1,23 1990 – IV 4,44 -0,54 1991 – I 5,19 1,51 1991 – II 5,94 0,46 1991 – III 6,44 -1,34 1991 – IV 6,63 0,58 1992 – I 6,74 0,66 1992 – II 6,85 0,35 1992 – III 7,05 -1,85 1992 – IV 7,26 0,74 1993 – I 7,63 0,57 1993 – II 7,94 0,16 1993 – III 8,14 -0,94 1993 - IV 8,26 0,24 1994 – I 8,25 1,05 1994 – II 8,65 -0,65 1994 – III 1994 – IV

s’j 0,96 0,09 -1,32 0,27 0,96 0,09 -1,32 0,27 0,96 0,09 -1,32 0,27 0,96 0,09 -1,32 0,27 0,96 0,09 -1,32 0,27

Sz.korr. ért. 2,54 3,01 3,72 3,63 5,74 6,31 6,42 6,93 6,44 7,11 6,52 7,73 7,24 8,01 8,52 8,23 8,34 7,91 8,52 11,43

Az egyes negyedévek szezonális eltérései: sI=0,9475

sII=0,08

sIII=-1,34

sIV=0,255.

A korrekciós tényező: (0,9475+0,08-1,34+0,255)/4=-0,0575/4=-0,01438.

Ezt az értéket rendre levonva a nyers szezonális eltérésekből kapjuk a tényleges sj’ értékeket, melyeket a táblázatban tüntettünk fel.

VIII.7.c Auto- és keresztkorreláció idősorok elemzésénél Gazdasági idősorok adatainak elemzése a korrelációszámítás szempontjából számos speciális problémát vet fel. Gyakran előfordul, hogy egy vagy több idősor egymást követő adatai egymástól nem függetlenek, hanem szoros korrelációban állnak egymással. Ez a jelenség az autokorreláció, amennyiben egy változó egymást követő adatainak kapcsolatát vizsgáljuk, és keresztkorreláció, ha több változó hasonló kapcsolatát nézzük. A regressziós modellben ez úgy jelentkezik, hogy az egymást követő reziduális értékek között korrelációs kapcsolat mutatkozik. Az autokorreláció különböző rendű lehet. Elsőrendű az autokorreláció, ha az idősorban a hibatényező t-edik értéke a (t-1)-edik, közvetlen szomszédos értékkel van korrelációs kapcsolatban.

154

IX. Felhasznált irodalom 1. Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 1989 2. Curwin, J. – Slater, R.: Quantitative Methods for Business Decisions, Third Edition, Chapman & Hall, London, 1991 3. Csernyák L.(szerk.): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1990 4. Fleming, M. C. - Nellis, J. G.: The Essence of Statistics for Business, Prentice Hall, New York, 1991 5. Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996 6. Kövesi J.: A menedzsment kvantitatív módszerei I., Rang-módszerek alkalmazása, oktatási segédanyag, Budapest, 1998 7. Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 1998 8. Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 2001 9. Lukács O.: Matematikai statisztika, Példatár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987 10. Reimann

J.

–

Tóth

J.:

Valószínűségszámítás

és

matematikai

statisztika,

Tankönyvkiadó, Budapest, 1985 11. Sincich, T.:Statistics by Example, Dellen Publishing Company, San Fransisco, 1990 12. Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995 13. Szabó G. Cs. (szerk.): Alkalmazott statisztika I., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1994 14. Szép K. – Vígh J.(2004): A minőség a hivatalos statisztikában. Statisztikai szemle, 82. évf. 8.sz.

155

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar

Recommend Documents