Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gazdaság- és Társadalomtudományi Kar

Dr. Kövesi János – Erdei János – Nagy Jenő Bence – Dr. Tóth Zsuzsanna Eszter

Gazdaságstatisztika Oktatási segédanyag a Gazdaságstatisztika című tárgyhoz a Gazdálkodási és menedzsment (BA), Műszaki menedzser (BSc), Nemzetközi gazdálkodás (BA), valamint az Alkalmazott közgazdaságtan (BA) alapszakok részére

Budapest 2011

Tartalomjegyzék I. BEVEZETŐ ....................................................................................................................................................... 5 I.1 A SZÁMOK SZEREPE A GYAKORLATI ÉLETBEN ................................................................................................ 6 I.2 A MÉRÉS, A MÉRÉSI SKÁLÁK .......................................................................................................................... 7 I.2.a Névleges (nominális) skála .................................................................................................................... 8 I.2.b Sorrendi (ordinális skála) ..................................................................................................................... 8 I.2.c Intervallumskála .................................................................................................................................... 9 I.2.d Arányskála (abszolút skála) .................................................................................................................. 9 II. A GAZDASÁGSTATISZTIKA TERÜLETE ............................................................................................. 10 II.1 A GAZDASÁGSTATISZTIKA ÉS A GAZDASÁG SZINTJEI .................................................................................. 11 II.2 A GAZDASÁGI ALANYOK............................................................................................................................. 12 II.3 GAZDASÁGI ÜGYLETEK, GAZDASÁGI FOLYAMATOK ................................................................................... 14 II.4 A GAZDASÁGSTATISZTIKA MÓDSZEREI ....................................................................................................... 17 II.4.a A gazdaságstatisztika alapműveletei .................................................................................................. 17 II.5 STATISZTIKAI OSZTÁLYOZÓ RENDSZEREK .................................................................................................. 18 II.6 HIVATALOS STATISZTIKAI SZOLGÁLAT ....................................................................................................... 20 II.7 NEMZETGAZDASÁGI MÉRLEGRENDSZER ..................................................................................................... 23 III. MINTAVÉTEL ............................................................................................................................................. 26 III.1 A MATEMATIKAI STATISZTIKA TÁRGYA .................................................................................................... 27 III.2 MINTAVÉTELI HIBA ................................................................................................................................... 28 III.3 MINTAVÉTELI ELJÁRÁSOK ......................................................................................................................... 29 III.3.a Egyszerű véletlen mintavétel............................................................................................................. 29 III.3.b Rétegzett mintavétel .......................................................................................................................... 30 III.3.c Csoportos mintavétel ........................................................................................................................ 31 III.3.d Többlépcsős mintavétel..................................................................................................................... 32 III.3.e Nemvéletlen mintavételi eljárások .................................................................................................... 32 IV. LEÍRÓ STATISZTIKA ............................................................................................................................... 34 IV.1 A LEÍRÓ STATISZTIKA HELYE, SZEREPE A STATISZTIKA VILÁGÁBAN ......................................................... 35 IV.2 A STATISZTIKAI LEÍRÁS CÉLJA, MÓDSZEREI............................................................................................... 35 IV.3 AZ ADATOK ÁBRÁZOLÁSA......................................................................................................................... 36 IV.4 TAPASZTALATI ELOSZLÁSOK..................................................................................................................... 39 IV.5 TAPASZTALATI ELOSZLÁSOK KÖZÉPÉRTÉK MUTATÓI ................................................................................ 44 IV.5.a Medián (Me) ..................................................................................................................................... 44 IV.5.b Módusz (Mo) ..................................................................................................................................... 46

()

IV.5.c Számtani átlag x ........................................................................................................................... 47 IV.5.d Egyéb átlagfajták .............................................................................................................................. 48 IV.5.e Választás a középértékek között ........................................................................................................ 49 IV.5.f Kvantilisek ......................................................................................................................................... 50 IV.6 AZ INGADOZÁS MÉRŐSZÁMAI ................................................................................................................... 52 IV.6.a Terjedelem (R) .................................................................................................................................. 52 IV.6.b Átlagos abszolút különbség (G) ........................................................................................................ 53 IV.6.c Átlagos abszolút eltérés (∆) .............................................................................................................. 53 IV.6.d Tapasztalati szórás (s), korrigált tapasztalati szórás (s*) ................................................................. 54 IV.6.e Relatív szórás (v) ............................................................................................................................... 55 IV.7 AZ ELOSZLÁS ALAKJÁT JELLEMZŐ EGYÉB MUTATÓSZÁMOK ..................................................................... 55 IV.7.a Aszimmetria mutató .......................................................................................................................... 56 IV.7.b Csúcsossági mutató........................................................................................................................... 57 IV.8 ESETTANULMÁNY – LEÍRÓ STATISZTIKAI ELEMZÉS ................................................................................... 58 V. RÉSZEKRE BONTOTT SOKASÁG VIZSGÁLATA, STANDARDIZÁLÁS, INDEXSZÁMÍTÁS ..... 65 V.1 RÉSZEKRE BONTOTT SOKASÁG VIZSGÁLATA .............................................................................................. 66 V.2 RÉSZ- ÉS ÖSSZETETT VISZONYSZÁMOK....................................................................................................... 67 V.3 AZ ISMÉRVEK KÖZÖTTI KAPCSOLAT FOGALMA ÉS FAJTÁI ........................................................................... 71 V.4 STANDARDIZÁLÁS ...................................................................................................................................... 73 V.4.a Különbségfelbontás ............................................................................................................................ 75

2

V.4.b Hányadosfelbontás ............................................................................................................................. 78 V.5 INDEXSZÁMÍTÁS ......................................................................................................................................... 81 V.5.a Elemzés dinamikus viszonyszámokkal ................................................................................................ 81 V.6 INDEXSZÁMÍTÁS ALAPJAI: AGGREGÁLT SOKASÁG ...................................................................................... 82 V.6.a Két időszakra vonatkozó indexszámítás ............................................................................................. 83 V.6.b A legfontosabb volumen- és árindex formulák ................................................................................... 85 V.6.c Az indexek átlagformái ....................................................................................................................... 87 V.6.d Néhány fontos indexösszefüggés ........................................................................................................ 88 V.6.e Aggregátumok különbsége.................................................................................................................. 89 V.7 FONTOSABB ÁRINDEXEK ............................................................................................................................ 92 V.7.a Termelői árindexek............................................................................................................................. 92 V.7.b A fogyasztói árindex ........................................................................................................................... 96 V.7.c A hazai fogyasztói árindex.................................................................................................................. 96 V.7.d Tőzsdeindex ........................................................................................................................................ 99 V.7.e Reálbér ............................................................................................................................................. 100 V.7.f Reáljövedelem ................................................................................................................................... 101 V.7.g Bruttó hazai termék .......................................................................................................................... 101 V.8 TERÜLETI INDEXEK .................................................................................................................................. 105 VI. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK ............................................................. 108 VI.1 VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ALAPOK ......................................................................................................... 109 VI.1.a A valószínűség fogalma................................................................................................................... 110 VI.1.b Műveletek eseményekkel ................................................................................................................. 111 VI.1.c A valószínűségszámítás axiómarendszere ....................................................................................... 114 VI.1.d Valószínűség meghatározásának módszerei ................................................................................... 115 VI.2 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ JELLEMZŐI .................................................................................................... 117 VI.3 DISZKRÉT ELMÉLETI ELOSZLÁSOK .......................................................................................................... 121 VI.3.a Diszkrét egyenletes eloszlás ............................................................................................................ 121 VI.3.b Binomiális eloszlás ......................................................................................................................... 121 VI.3.c Hipergeometrikus eloszlás .............................................................................................................. 122 VI.3.d Poisson-eloszlás .............................................................................................................................. 123 VI.4 FOLYTONOS ELMÉLETI ELOSZLÁSOK ....................................................................................................... 124 VI.4.a Folytonos egyenletes eloszlás ......................................................................................................... 124 VI.4.b Exponenciális eloszlás .................................................................................................................... 125 VI.4.c Normális (Gauss-) eloszlás ............................................................................................................. 125 VI.5 KÖZPONTI HATÁRELOSZLÁS TÉTELE ....................................................................................................... 128 VII. BECSLÉS ................................................................................................................................................... 130 VII.1 A BECSLÉS TULAJDONSÁGAI .................................................................................................................. 131 VII.1.a Torzítatlan becslés ......................................................................................................................... 131 VII.1.b Konzisztens becslés ........................................................................................................................ 132 VII.1.c Hatásos becslés .............................................................................................................................. 134 VII.1.d Elégséges becslés........................................................................................................................... 134 VII.2 A PONTBECSLÉS MÓDSZEREI .................................................................................................................. 135 VII.2.a Exponenciális eloszlás paraméterének grafikus becslése .............................................................. 136 VII.2.b Normális eloszlás paramétereinek grafikus becslése .................................................................... 136 VII.3 INTERVALLUMBECSLÉS.......................................................................................................................... 137 VII.3.a Konfidenciaintervallum a normális eloszlás várható értékére ...................................................... 138 VII.3.b Konfidenciaintervallum a normális eloszlás várható értékére, ha az elméleti szórás ismeretlen.. 140 VII.3.c Sokasági arány becslése ................................................................................................................ 141 VII.3.d Sokasági variancia becslése, ......................................................................................................... 142 VIII. HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK: NEMPARAMÉTERES PRÓBÁK.................................................... 145 VIII.1 A HIPOTÉZISVIZSGÁLAT ÁLTALÁNOS MENETE ...................................................................................... 146 VIII.2 ILLESZKEDÉSVIZSGÁLAT χ2-PRÓBÁVAL ............................................................................................... 150 VIII.3 χ2-PRÓBA ALKALMAZÁSA HOMOGENITÁSVIZSGÁLATRA ...................................................................... 152 VIII.4 χ2-PRÓBA ALKALMAZÁSA FÜGGETLENSÉGVIZSGÁLATRA ..................................................................... 154 VIII.4.a Minőségi ismérvek asszociációja ................................................................................................. 157 IX. HIPOTÉZISVIZSGÁLATOK: PARAMÉTERES PRÓBÁK ................................................................ 158

3

IX.1 EGYMINTÁS PRÓBÁK ............................................................................................................................... 159 IX.1.a Várható értékre irányuló próbák .................................................................................................... 159 IX.1.b Szórásnégyzetre vonatkozó próba ................................................................................................... 161 IX.2 KÉT- ÉS TÖBBMINTÁS PRÓBÁK ................................................................................................................ 162 IX.2.a Két független minta várható értékének összehasonlítása ................................................................ 163 IX.2.b Páros minták várható értékének összehasonlítása .......................................................................... 166 IX.2.c Két szórásnégyzet (szórás) összehasonlítása .................................................................................. 168 IX.2.d Több szórás összehasonlítására vonatkozó próbák ........................................................................ 169 IX.2.e Varianciaanalízis ............................................................................................................................ 171 X. KORRELÁCIÓ- ÉS REGRESZIÓELEMZÉS, IDŐSORELEMZÉS .................................................... 174 X.1 DETERMINISZTIKUS ÉS SZTOCHASZTIKUS KAPCSOLATOK ......................................................................... 175 X.2 A KAPCSOLAT SZEMLÉLTETÉSE ................................................................................................................ 175 X.3 IDŐSOROK ELEMZÉSE, ............................................................................................................................... 176 X.4 IDŐSOROK ÖSSZETEVŐINEK VIZSGÁLATA ................................................................................................. 178 X.4.a Trend becslése mozgóátlagok segítségével ...................................................................................... 179 X.4.b Szezonalitás vizsgálata ..................................................................................................................... 181 X.4.c Auto- és keresztkorreláció idősorok elemzésénél ............................................................................. 183 X.5 AZ ELŐJEL–KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓ .................................................................................................. 183 X.6 A LINEÁRIS REGRESSZIÓ ÉS A KORRELÁCIÓ .............................................................................................. 185 X.6.a Az elméleti korrelációs együttható ................................................................................................... 190 X.7 AZ R(X,Y) ÉS A REGRESSZIÓS EGYENES ÖSSZEFÜGGÉSE ............................................................................ 192 X.7.a A regressziós becslés pontossága ..................................................................................................... 193 XI. TÁRGYMUTATÓ ...................................................................................................................................... 197 XII. FELHASZNÁLT IRODALOM ............................................................................................................... 199

4

I. Bevezető

5

I.1 A számok szerepe a gyakorlati életben A modern társadalmat és folyamatait (termelés, szolgáltatás, államigazgatás, pihenésszórakozás stb.) számok nélkül nem lehetne megszervezni. Irányító-, ház-, emelet- és ajtó számokkal jelöljük lakásunkat, személyi- és személyi igazolványszámokkal, telefonszámokkal, bankkártya és PIN kódokkal rendelkezünk, a repülőjáratokat, busz és villamos vonalakat, a személygépkocsikat, a labdarúgókat, az alapanyagokat a raktárban, a dokumentációs rajzokat mind számokkal különböztetjük meg egymástól, számokkal jellemezzük a tenisz- és sakk világranglistán található sportolókat, a Forma 1 jelenlegi állását stb. Pontszámok kísérnek valamennyiünket az óvodában végzett iskolaérettségi teszttől kezdve tanulási, értékelési folyamataink kritikus lépéseinél, – miközben tudásunkat, képességeinket osztályzatokkal, vagy éppen az intelligenciahányadossal kísérjük megmérni. De számokkal mérjük egy cég teljesítményét (1.200.000 fm; 250.000 pár; 15.000 db., 6800 ügyfél stb.) és eredményét is (2,5 milliárd Forint árbevétel; 35 ezer Dollár nyereség). Számok jellemzik termékeinket a vállalati cikkjegyzékben, egyes műszaki jellemzőket is számokkal ”fogjuk meg” (80 Watt, 0,5 kilogramm, stb.). Az észlelt földrengés erejét is rögtön számokban szokás kifejezni (6,8 a Richter skálán), de még egy labdarugó csapat továbbjutási esélyét is százalékok segítségével szokás kifejezni („80 százalék, hogy továbbjut”). Anélkül, hogy példáinkat tovább sorolnánk, belátható, hogy a különböző problémák „jellemzésére” használt számok jelentésében lényeges eltéréseket érezhetünk (pl. 1-es vagy 5-ös osztályzat egy tantárgyból, vagy 1 és 5 kg alma közötti különbség egyértelműen látható). A számok önmagukban tehát nem értékelhetők anélkül, hogy a mögöttük lévő „tartalmat” ne ismernénk! A „szám” tehát – modell, amelynek segítségével egzaktan megkíséreljük leírni, jellemezni a vizsgált jelenséget, eseményt, folyamatot, fogalmat, személyt stb. A számot az esetek döntő többségében méréssel vagy megszámolással nyerjük, és éppen a mérés „erőssége” fogja megkülönböztetni egymástól a méréssel nyert számok – az adatok – erősségét. A szám a matematikus, a statisztikus eszköze, az adat – a mögötte lévő tartalommal és méréssel együtt – az alkalmazóé. Az alkalmazó szakember számára az adat az információ hordozója, amely azzal az előnnyel rendelkezik, hogy szám lévén a matematika (determinált vagy sztochasztikus) egzakt apparátusa segítségével „kezelhetővé” válik. A szám, az apparátus és a probléma, a valóság azonban egymástól nem választható el – mert ez komoly félreértelmezések forrása lehet! Egyes problémák kezelésére, megoldására ugyanis például egyes számok, műveletek, módszerek nem alkalmazhatók. Az alkalmazott statisztika oldaláról közelítő felfogásban tehát fontosabb a probléma, a valóság, a szám mögött levő tartalom. Ezt sohase tévesszük szem elől. Mindig ennek átgondolása után válasszuk meg a megfelelő statisztikai modellt és módszereket, és különösen a szakmai értelmezés kapcsán vizsgáljuk meg körültekintően a modell (az adat, a szám) és a valóság, a probléma viszonyát.

6

I.2 A mérés, a mérési skálák1 A számszerű információ hordozója az adat. Az adat egy méréssel vagy megszámlálással nyert szám. Ezzel egy olyan „területre” értünk, amely az alkalmazott statisztikának igen fontos kérdése, a klasszikus statisztikának kevésbé: Mit értünk „mérés” alatt, milyen mérési skálákat ismerünk, hogy lehet mérési skálát „készíteni”, egyik skáláról a másikra kerülni, két különböző mérési „erősségű” adattal egyidejűleg dolgozni stb.? Hagyományos értelmezés szerint a mérés összehasonlítást jelent valamilyen skálával vagy etalonnal. Ez azt jelenti, hogy egy fizikai vagy kémiai mennyiséget a választott mértékegységben kifejezett számértékével jellemzünk. A mérés mai átfogóbb értelmezésében a hangsúly a mérőeszköz használati módjáról eltolódik a mérőeszköz (skála) létrehozásának logikai folyamatára. Ezt a szemléleti változást tükrözi Stevens 1951-es definíciója is: „A mérés számok hozzárendelése objektumokhoz, azok tulajdonságaihoz, eseményekhez, szabályoknak valamilyen halmaza szerint.” Ennek a gondolatnak az általánosabb értelmezése Schnell szerint: „A mérés a mért jellemzők közötti viszony kifejezése szimbólumok közötti viszonnyal. Ennek megfelelően a mérés a mért jellemzőket szimbólumokra, a jellemzők halmazán értelmezett viszonyt a szimbólumok halmazára értelmezett viszonyra képezi le.” A skála a mérési eredmények értelmezéséhez szükséges információkat rögzíti. Egy mérési skála létrehozásához az alábbi információkat kell megadni: • a mért jellemzők lehetséges kimenetelének definiálása, • a mért jellemzők halmazán értelmezett relációk definiálása, • a szimbólumok halmazának definiálása, • a szimbólumok halmazán értelmezett relációk definiálása, • a mért jellemzők és a szimbólumok közötti leképzés definiálása, • a mért jellemzők halmazán értelmezett relációk és • a szimbólumok halmazán értelmezett relációk közötti leképzés definiálása. A mérés során alkalmazott számsoroktól elvárt tulajdonságok alapján négy különböző skálatípust különböztetünk meg: névleges (nominális), sorrendi/rangsor (ordinális), intervallum- és arányskálát. A mérési skálákat, a mérés szintjét a hozzárendelési szabályok határozzák meg. Mindegyik skálát invarianciájának mértékével lehet jellemezni, vagyis azokkal a transzformációkkal, amelyek a skála struktúráját változatlanul hagyják. Mielőtt az egyes skálákat részletesebben ismertetnénk, a számokból alkotható formális rendszerek néhány lényeges vonását kell megvizsgálnunk. A számok különféle relációk és műveletek szerint alkothatnak formális rendszert. A rendszert alkotó relációk és műveletek közül az egyenlőség, a sorrendiség és az additívitás minősül lényegesnek a mérési skálák meghatározása szempontjából. Az egyenlőséget, a sorrendiséget és az additivitást a következő axiómák szerint írhatjuk le: l. vagy A=B vagy A≠B 2. ha A=B, akkor B=A 3. ha A=B és B=C, akkor A=C 4. ha A>B, akkor BB és B>C, akkor A>C 6. ha A=P és B>0, akkor A+B>P 7. A+B=B+A 1

Dr. Szabó Gábor Csaba (szerk): Alkalmazott statisztika I., egyetemi jegyzet (41061), Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1994 alapján

7

8. ha A=P és B=Q, akkor A+B=P+Q 9. (A+B)+C=A+(B+C) Az első három axióma az egyenlőség, a 4-5. a sorrendiség, a 6-9. az additivitás (összeadás) axiómái. Ezeket az axiómákat használjuk a mérési skálák megkülönböztetésére, vagyis a hozzárendelési szabályok a fenti axiómákban fejeződnek ki.

I.2.a Névleges (nominális) skála A névleges skála (vagy másképpen fogalmazva a névleges mérés szintje) a számok legkötetlenebb hozzárendelését jelenti. A névleges skálán az egyenlőség az egyedüli reláció az 1., 2. és 3. axiómának megfelelően. A névleges mérés szintjén valamilyen objektum (dolog) megjelölésére (megnevezésére) számot használunk, megjegyezve, hogy szóval vagy betűvel való jelölés is megfelelő lenne. Ebben az esetben a számok csak azonosításra szolgálnak, a mérés során hozzárendelt számoktól csak a megkülönböztethetőséget követeljük meg. A névleges számhozzárendelésnek két típusát ismerjük: - az egyedi dolgok azonosító számozása; - osztályok azonosítása (az egyes osztályokon belül lévő dolgok azonos számot kapnak). A névleges skálán a számok hozzárendelése teljesen kötetlen, és így a számok bármilyen transzformációja alkalmazható. A jelölésre tehát bármilyen szám megfelel. A névleges skála a legegyszerűbb mérési forma. A hozzárendelési szabály ebben az esetben a következő: ne rendeljünk azonos számokat különböző osztályokhoz (dolgokhoz) vagy különböző számokat azonos osztályokhoz (dolgokhoz, jelenségekhez, személyekhez stb.).

I.2.b Sorrendi (ordinális skála) A névleges skála továbbfejlesztésének legegyszerűbb lépése, ha két dolgot valamilyen közös tulajdonság alapján hasonlítunk össze. A sorrendi skála megalkotásához a számok azonossági tulajdonságát kifejező axiómákat a számok sorrendiségét tükröző 4. és 5. axiómával egészítjük ki. A sorrendi skála a dolgok viszonylagos helyét is meghatározza, azaz rendezi azokat. A gyakorlatban számos olyan eset van, amikor a megfigyelendő dolgokat valamilyen közös tulajdonságuk alapján hasonlítjuk össze és állítjuk sorrendbe vagy másképpen kifejezve rangsort készítünk. Hangsúlyoznunk kell, hogy a sorrendi skálán mért dolgoknak egy közös tulajdonság szerint kell összehasonlíthatóknak és tranzitívnak lenni. A sorrendi skála az egyenlőségen kívül a kisebb (<) és nagyobb (>) relációkat is tartalmazza. Ha a tranzitivitás hiányzik, akkor körsorrendről beszélünk (pl. A csapat legyőzi B-t, B csapat C-t, de C csapat legyőzi A-t). Az egyszerű sorrendi skálán mért dolgokhoz különböző – nagyobb vagy kisebb – sorszámokat rendelünk. Bármilyen „sorrendmegőrző” transzformáció a skálát változatlanul hagyja, ezért bármelyik monoton növekvő függvény szerint transzformálhatunk. A sorrendet jelölő mindegyik számhoz hozzáadhatunk egy állandó számot vagy vehetjük a sorszámok logaritmusát, négyzetét, stb. A sorrendi skálán mért dolgok nincsenek egymástól egyenlő távolságra, vagyis az egymást követő intervallumok nem azonos nagyságúak. Ezért a sorrendi skála számaival csak azokat a műveleteket végezhetjük, amelyek nem tételezik fel az intervallumok azonosságát. Például a két közismert statisztikai jellemzőt – a számtani átlagot és szórást – szigorúan véve nem számíthatjuk ki a sorrendi mérés szintjén nyert számokból. Igaz ugyan, hogy ezeket a statisztikai jellemzőket gyakorlatilag sokszor eredményesen használhatjuk, mégis sorrendi skála esetében a következtetéseket illetően igen óvatosan kell eljárnunk. A sorrendi mérésből nyert számokkal tehát csak azok a műveletek végezhetők, amelyek a skálainvariancia követelményének megfelelnek. 8

A statisztikai műveletek közül tehát alkalmazhatjuk a névleges mérésre engedélyezett műveleteket, továbbá számíthatunk mediánt, kvantiliseket és rangkorrelációs együtthatót. Megjegyezzük, hogy jelenleg számos gazdasági, társadalomtudományi jelenséget csak sorrendi skálán mérhetünk. Az így kapott számok gyakran magasabb szintű mérésnek tűnnek, s ezért sajnos gyakori a nem engedélyezett műveletek alkalmazása, amelynek eredménye a homályos vagy félrevezető értelmezés.

I.2.c Intervallumskála Ha skálánk rendelkezik a sorrendi skála tulajdonságaival, továbbá a skálán lévő bármelyik két szám különbsége ismert és meghatározott nagyságú, akkor intervallum mérési skáláról beszélünk. Az intervallumskálát a közös és állandó mértékegység jellemzi és a számokat ennek alapján rendeljük a sorba rendezett dolgokhoz. Az intervallumskálán számszerűen egyenlő különbségek a valóságban is egyenlők. Például a 35°C és 45°C közötti hőmérséklet különbség ténylegesen egyenlő a 87°C és 97°C közötti különbséggel. Egy intervallumskálán tehát bármely két intervallum aránya független a mértékegységtől és a nullponttól. Az intervallumskála nullpontját és mértékegységét szabadon választjuk meg. Következésképpen a skálát egy konstans hozzáadása nem változtatja meg, így tehát bármelyik intervallumskála x′=ax+b transzformációja megengedett (ha a≠0). Intervallumskálán mérjük a naptári időt, a tengerszint feletti magasságot, bizonyos pszichológiai, pszichofizikai jelenségeket, az intelligenciát, a szélességi-hosszúsági köröket, a vízállást stb. Az intervallumskálán nyert adatokból a mértani átlag és a relatív szórás kivételével valamennyi statisztikai jellemző és mutató számítható.

I.2.d Arányskála (abszolút skála) Az arányskála rendelkezik az előbbi skálák összes tulajdonságával, valamint a 6-9. axiómákban megfogalmazott additivitási tulajdonsággal is. Az arányskálának valódi nullpontja van és bármelyik két pontjának aránya független a mértékegységtől. Az arányskálának mindig van abszolút nullpontja még akkor is, ha ezt gyakorlatilag nem lehet elérni (pl. a hőmérséklet abszolút nullpontja). Az arányskála számszerű értékei egy konstans értékkel való szorzással transzformálhatók: x′′=c·x , ahol c bármilyen nullától különböző szám. Egy mérésnek a másikhoz való aránya változatlan marad akkor is, ha a skála az engedélyezett transzformációnak megfelelően változik (pl. két különböző tárgy hosszát centiméterben és hüvelykben mérve a centiméter- és hüvelykarányok azonosak). Tömeget, hosszúságot, villamos ellenállást, általában a klasszikus műszaki tulajdonságokat stb. arányskálán mérjük. Az arányskálák a műszaki és természettudományokban gyakoriak, míg a gazdaság-, társadalomtudományok területén ritkán használatosak. Az arányskálán kapott számokkal az összes arimetikai és statisztikai műveletek elvégezhetők.

9

II. A gazdaságstatisztika területe

10

II.1 A gazdaságstatisztika és a gazdaság szintjei A gazdaságstatisztika alapvetően a statisztika, mint tudományos módszertan egyik speciális területét jelenti, amely a gazdasági folyamatok és a gazdaság állapotának számszerű leírásával, valamint az ezekre épülő elemzésekkel foglalkozik. A gazdaság múltbeli és a jelenlegi helyzetét tárja fel és elemzi annak érdekében, hogy a jövőre vonatkozó döntéseket alaposabban lehessen előkészíteni. Ebben az értelmezésben a gazdaságstatisztika egy szakstatisztika, azonban gazdaságstatisztika fogalma alatt érthetjük azt a konkrét, gyakorlati tevékenységet is, ami a gazdaságstatisztika elveinek és módszereinek alkalmazására irányul. Az előbbi meghatározás elég tágan határozza meg a gazdaságstatisztika területét, éppen ezért célszerű a gazdaságstatisztikát a gazdaság különböző szintjein külön vizsgálni, ugyanis a különböző szinteken eltérő módszereket, elveket alkalmaznak a gazdasági folyamatok eseményeinek, tényeinek leírása és elemzése során. E szempont szerint a következő szinteket szokás elkülöníteni. Nemzetgazdasági (vagy makro) szint: Ezen a szinten egy ország összes gazdasági szereplőjét egy rendszerként vizsgáljuk. E rendszeren belül a háztartások, a vállalatok, államháztartás jelennek meg fő szereplőként. Ezen a szinten a gazdaságstatisztika jellemzően egységes képet mutat az elméletek és az alkalmazott módszerek szempontjából, ugyanis a nemzetközi szervezetek, szövetségek (ENSZ, Európai Unió) az egyes országokkal szemben olyan standardok felállítását kívánták meg, amelyben egységes módszerek, elvek és mutatószámok alapján összehasonlíthatóvá válik az egyes országok gazdasági helyzete, gazdasági teljesítménye. Nemzetgazdasági ágak, különböző piacok, illetve földrajzi területek szintje: Ezen a szinten a gazdaság szereplőinek egy nagyobb részhalmazával foglalkozunk, amely valamilyen szempont alapján egy sajátos részét, szeletét képviseli a nemzetgazdaság egészének. A gazdaságstatisztika ezen a szinten elég változatos, ugyanis a különböző területek mérőszámai, mutatószámai, és csoportosítási elvei sajátosak, az adott területre jellemzőek. Ezek a sajátosságok többnyire hagyományoknak köszönhetőek, melyek sokszor régebbre nyúlnak vissza az időben, mint ahogy a nemzetgazdasági szintű statisztika módszerei kifejlődtek. A különböző szakstatisztikák kialakulhattak például aszerint, hogy a gazdasági egységek vizsgált csoportjai milyen tevékenységeket végeznek. Eszerint beszélhetünk például agrárstatisztikáról, építőipari statisztikáról, bányászati statisztikáról, idegenforgalmi statisztikáról, stb. Hasonlóan a különböző ágazati statisztikákhoz, léteznek különböző piacokhoz köthető szakstatisztikák. Így például a munkaerőpiaccal kapcsolatban foglalkoztatottsági statisztikákról beszélhetünk, de sajátos gazdaságstatisztikai módszerei, mutatószámai vannak az ingatlanpiacnak, értékpapír és tőkepiacnak. A nemzetgazdaság egészén belül hasonlóan egy réteget képezhetünk kisebb földrajzi egységek (pl. régiók, megyék) szerint is. Az ilyen regionális statisztikák esetén alapvetően hasonló jellegű mutatókat számolhatunk, mint makroszinten, de a számbavétel során csak az adott földrajzi területeken élő, működő gazdasági szereplők adatait összegezzük. A gazdaságstatisztikának léteznek további részterületei, szakstatisztikái, amelyek szakmai szempontokból szintén ehhez a szinthez sorolhatóak, bár a gazdaság szereplőinek összességére vonatkoznak. Ilyen például az adóstatisztika, környezetstatisztika. Vállalati szintű (mikroszintű) gazdaságstatisztika: Ezen a szinten részben alkalmazhatóak az ágazati illetve a makroszintű statisztikai módszerek. Azonban ezen a szinten az alkalmazott statisztikai módszerek tekintetében elég

11

nagy változatosságot látunk. Gyakoriak ezen a szinten is a makro vagy ágazati szintű statisztikákra emlékeztető leíró jellegű statisztikák, azonban ezen a szinten további statisztikai módszerek is helyet kaphatnak a statisztikai eszköztárban. Például a speciális idősorok a vállalati előrejelzések jelentős része (vevői igények, termelés előrejelzése), mintavételen alapuló hipotézisvizsgálati módszerek húzódnak meg a bejövő áru ellenőrzések, vagy a termelés szabályozása mögött. Klaszteranalízist alkalmazhatnak a vállalati marketingesek a vállalat piacának felosztására, vagy éppen korrelációs és regressziós kapcsolatokat kereshetnek a professzionális pénzügyi befektetők. Azonban e szint változatossága mellett megemlítendő az, hogy a vállatok szintjén is általánosan alkalmazzák azokat a standardokat, amelyeket a nemzetgazdasági és az ágazati szintű statisztikák, valamint az állami szféra egyéb alrendszerei megkívánnak tőlük. A vállalati statisztikai tevékenység sokszor nem különül el a többi tevékenységtől, hanem annak részét képezi. Például, amikor a vállalat a számvitel keretein belül nyilvántartásokat vezet saját tevékenységéről, egyben elvégzi a hivatalos statisztikai szolgálat számára is egyes makroszintű statisztikák elemi adatgyűjtését. Több nemzetgazdaságot átfogó gazdaságstatisztika szintje: Lehetséges azonban a nemzetgazdaság, mint alapegység helyett olyan gazdaságstatisztikákkal is foglalkozni, amelyek több nemzetgazdaság együttesének jellemzésére vonatkozik. A különböző nemzetgazdaságok összevonása történhet például földrajzi alapon, vagy éppen valamilyen nemzetközi szervezethez, szövetséghez való tartozás alapján is. (pl. EU országok, OPEC országok). E fejezet további részeiben főként a makrogazdasági szinttel fogunk foglalkozni. A gazdaságstatisztika makrogazdasági szintje elsősorban azért alakult ki, hogy megalapozza a kormányzati munkát, adatokat szolgáltasson a gazdaságpolitikai döntések előkészítésére. Azonban az összegyűjtött adatokat és ezek értékelését nem kizárólag a kormányzat veszi igénybe. A társadalom további szereplői (gazdasági társaságok, magánszemélyek) is hozzáférnek a gazdaság egészéről gyűjtött információkhoz, sőt bizonyos esetekben igénylik is különböző statisztikák elkészítését, ami korábban nem volt. Erre példaként említhető az, hogy néhány éve nyugdíjas érdekvédelmi szervezetek nyomására kialakult Magyarországon a nyugdíjasok sajátos fogyasztási szokásait figyelembe vevő nyugdíjas fogyasztóiár-index kiszámításának rendszere, amelynek eredményeit azóta a nyugdíjasokat érintő gazdaságpolitikai döntéseknél a kormányzat egyre inkább kénytelen külön figyelembe venni.

II.2 A gazdasági alanyok Gazdaságstatisztika alanyai mindazon természetes és jogi személyek, akik (amelyek) gazdasági szempontból önállóak, terméket és/vagy szolgáltatásokat hoznak létre, a megtermelt javak elosztásával (például kereskedelmével) foglalkoznak, a megtermelt javakat elfogyasztják/felhasználják, jövedelemre tesznek szert, a vagyonukkal kapcsolatban önállóan ügyleteket hajtanak végre. A gazdaságstatisztika alanyait jellemzően funkciójuk szerint szokás csoportosítani. Ilyen funkció alatt a termelő, elosztó, fogyasztó jelleget értjük. Eszerint a gazdasági alanyokat a következő csoportokba sorolhatjuk: -

Korporációk (vállalatok, vállalkozások) Állami szervezetek Háztartások Egyéb szervezetek (non-profit szervezetek)

12

A gazdaságstatisztika alanyait a nemzetközi ajánlásokban intézményi egységeknek is nevezik. Az intézményi egységekekenbelülmegkülönböztetik a természetes személyeket (háztartások), és a jogi személyeket (korporációk, non-profit intézmények, kormányzat). Az intézményi egységek összességét intézményi szektornak is nevezzük. A gazdasági alanyok mindegyike több funkcióval is rendelkezhet. A korporációkat (vállalatokat) elsősorban termelő funkciójuk alapján ismerjük. A termelés fogalma alatt szokás egyben a szolgáltatásokat is érteni. Sőt egyre inkább az figyelhető meg, hogy a fejlettebb országokban a szolgáltatások (és ezen belül a nem anyagi jellegű szolgáltatások) jelentősége egyre nagyobb. A gazdaságstatisztikában a vállalatok rendelkeznek elosztó (disztribúciós) jellegű funkcióval is. Ilyen például a vállalatok kereskedelmi és logisztikai tevékenysége. A vállalatok a fogyasztásban is részt vesznek, ezt szokás termelő-fogyasztásnak nevezni. Ezt azonban a hozzáadott értéken alapuló számítások esetén nem szokás figyelembe venni. A korporációk fogalma azért használatos a gazdaságstatisztikában, mert ez egy olyan gyűjtőfogalom, ami a hagyományos értelemben vett vállalatokon túl magában foglalja az összes olyan szervezetet, amelyek célja piacra hozandó termék vagy szolgáltatás előállítása, függetlenül azok jogi formájától és tulajdonosi szerkezetüktől. Tehát itt figyelembe vesszük az állami, magán és vegyes tulajdonú társaságokat is, vagy az egy tulajdonos és a több résztulajdonos által birtokolt szervezeteket is. A korporációkon belül szokás külön figyelembe venni a pénzügyi tevékenységet végző szervezeteket, ilyenek a kereskedelmi bankok, biztosítók, nyugdíjintézetek. Az állami szektor (a kormányzat és az államháztartás további szervezetei) jelentős szerepet játszik (játszanak) az újraelosztásban. A kormányzat a gazdaság szereplőitől beszedett adókból különböző transzfereket (pl. nyugdíj, ösztöndíj, ártámogatások, szubvenciók) juttatnak más gazdasági szereplőkhöz. Azonban az állami szektor szolgáltatásokat is nyújt (pl. egészségügyi ellátás, oktatás), amelyeket figyelembe vesznek a gazdaságstatisztikában, így az azokat előállító szervezeteket is gazdasági alanyoknak tekintjük. A kormányzati szektort szokás alszektorokra bontani: ezek a központi kormányzat, az önkormányzatok és a társadalombiztosítási alapok. A gazdasági alanyok csoportosításában érdekes típus a háztartások esete. Ugyanis a háztartások tagjai nem egyenként számítanak gazdasági alanynak, hanem a háztartásokat tekintjük egy alapegységnek. Ennek az az oka, hogy a háztartások tagjai, aki annak ellenére, hogy jövedelmükre legtöbb esetben külön-külön tesznek szert, a megszerzett javak és jövedelmek birtoklását, illetve felhasználását közösen végzik. Gazdasági értelemben a háztartások esetében az elsődlegesen megfigyelhető funkció a fogyasztás. De megemlíthető az is, hogy a lakosság esetében is számolnak a statisztikusok termelő funkciót jelentő gazdasági tevékenységgel. Ilyen például a saját felhasználásra termelt zöldségek, gyümölcsök esete. A profitorientált szervezetek mellett külön veszik figyelembe a non-profit szervezeteket, melyek sajátos volta abból ered, hogy ezeknek nem célja a nyereség szerzése, és a tulajdonosnak nem származik ezek működéséből profitjuk. Azonban működésük közben termelő, szolgáltató tevékenységet végezhetnek, lehetnek ezeknek valamilyen elosztó, újraelosztó funkciójuk. A működésükkel jellemzően a háztartásokat, vagy az állami szektort szolgálják. A gazdasági alanyokat a funkciójuk szerinti felosztás mellett szokás aszerint is megkülönböztetni, hogy azok belföldi vagy külföldi illetékességű intézmények. Ez elsőre igen egyszerű elhatárolásnak számít, azonban ezek elkülönítése, a külföldi illetőségű intézmények kivétele a hazai összesítésekből a gyakorlatban számos problémát vet fel. Természetes

13

személyek esetén sem egyszerűen az állampolgárság dönti el, hogy ki számít belföldi illetékességűnek, azaz rezidensnek. Ezek megoldására léteznek kialakult módszerek, szokások, fennállnak nemzetközi egyezmények, hogy elkerülhető legyen a különböző országok közötti kettős számbavétel.

II.3 Gazdasági ügyletek, gazdasági folyamatok A gazdasági folyamatok vizsgálata során szükséges, hogy megkülönböztessük a gazdasági folyamatok egységeit. A gazdasági folyamatok elemi egységei a gazdasági ügyletek, melyeket nevezhetjük gazdasági műveleteknek, tranzakcióknak is. A gazdaságstatisztika célja az, hogy a gazdasági folyamatokat, illetve azok egészét írjuk le, és ne az egyes gazdasági ügyleteket. Azonban a gazdasági folyamatok megismerése csak akkor lehetséges, ha az annak részeit jelentő gazdasági ügyleteket is megvizsgáljuk. A gazdasági ügyletek jellemzően párosával merülnek fel, ugyanis a gazdasági alanyok között jellemzően csere zajlik. Például, amikor egy termék adásvétele történik, akkor a két gazdasági szereplő közül az egyik valamilyen jószágot, javakat ad a másiknak, aki pedig pénzt ad cserében az előbbinek. E két dolog alapvetően két külön tranzakciónak foghatnánk fel, azonban a statisztikai számbavétel során e két tranzakciót nem különítjük el, hiszen ezek egyazon gazdasági folyamatnak a részei. Helyette a pénzmozgást, mint rész-tranzakciót, arra használjuk fel, hogy meghatározzuk az alapvető, elsődleges tranzakció nagyságát, pénzben fejezzük ki az adott áru, vagy szolgáltatás értékét. Más a helyzet akkor, amikor az összetartozó tranzakciók részei időben elkülönülnek egymástól. Ilyenkor az egyik gazdasági szereplő a másiktól kap valamilyen árut vagy szolgáltatást, de az ellentételezés később, akár több részletben, külön-külön gazdasági ügyletek keretében történik. Ezeknek az ügyleteknek a gazdasági folyamatok egészére gyakorolt hatásait már lehet, hogy másképpen vesszük számban, különösen akkor, ha azok eltérő számbavételi időszakba esnek. Speciális esetben előfordulhat, hogy a gazdasági alanyok között a tranzakció egyoldalú, ilyen például az ajándékozás, vagy a különböző transzferek esete (pl. hallgatói ösztöndíj kifizetése). A gazdasági ügyleteket többféle módon lehet csoportosítani. Egyik csoportosítás azon alapszik, hogy az adott ügylet valamilyen pénzmozgásról szól-e, vagy sem. E csoportosításban monetáris és nem monetáris tranzakciókról beszélünk. Monetáris tranzakció például akkor következik be, amikor az egyik gazdasági szereplő fizet a másiknak, az egyik félnél új követelés keletkezik a másikkal szemben, vagy éppen megszűnik egy fél tartozása. Nem monetáris tranzakció például az, amikor javak átadása, átvétele történik, valamely gazdasági szereplő munkát végez. A nem-monetáris tranzakciók speciális esete a barter (árucsere), ugyanis ilyenkor mind a két fél valamilyen jószágot ad a másiknak. A barter felfogható két külön tranzakciónak is. Alapvető kérdés, nehézség a statisztikában, hogy milyen értéken (áron) lehet számba venni az ilyen fajta cserefolyamatot. Nem-monetáris tranzakciónak számítanak a természetbeni transzferek, amikor valamely gazdasági alany ellentételezés nélkül ad valamilyen jószágot egy másik gazdasági szereplőnek, például ajándékozás formájában. Lényeges kategória még a nem-monetáris tranzakciók csoportjában a gazdasági egységen belüli tranzakciók köre. Ezek ugyanis jellegüket tekintve szinte bármilyen típusúak lehetnek, azonban számbavételük sok esetben nem történik meg, hiszen részletes megismerésük nem lényeges ahhoz, hogy a gazdaság egészét jellemző folyamatokat leírjuk. Megjegyzendő azonban, hogy az adott gazdasági alanyok, vállalatok szintjén éppen ezeknek a gazdasági egységen belüli tranzakcióknak a megismerése lényeges, ugyanis ezek alapos elemzése révén az adott gazdasági alany javíthatja saját működését, gazdálkodását.

14

A gazdasági ügyletek egy másik alapvető csoportosítása az, ha a tranzakciók természete szerint a vizsgáljuk őket. Ez alapján a következők szerint szokás csoportosítani a gazdasági ügyleteket: • Javakkal és szolgáltatásokkal kapcsolatos ügyletek • Disztributív (elosztási) tranzakciók • Pénzügyi aktívákban és passzívákban bekövetkezett változások • Egyéb felhalmozási jellegű tranzakciók Ezt a csoportosítást jellemzően különböző gazdasági alanyok közötti tranzakciók segítségével vizsgáljuk, vagyis jellemzően a gazdasági egységek belső tranzakcióit nem vesszük figyelembe a számbavétel során. A javakkal és a szolgáltatásokkal kapcsolatos ügyletek alatt a javak létrehozását, átalakítását, és elfogyasztását jelentő ügyleteket értjük. A disztributív (elosztási) tranzakciók pedig azok, amikor a javak helye, a javakat birtokló személy változik. Ez a két kategória alapvetően nem monetáris jellegű tranzakciót jelent, de mégis jellemzően van egy kapcsolódó, ellentételező jellegű monetáris rész-tranzakció az ilyen jellegű gazdasági folyamatokban, így az ilyen fajta tranzakciókat a hozzájuk kapcsolódó monetáris tranzakción keresztül veszik számba a gazdaságstatisztikában. A pénzügyi aktívák és passzívák változásai olyan gazdasági műveletek, amelyek során valamilyen pénzmozgás, vagy követelésállomány változás miatt az egyes gazdasági szereplő rendelkezésére álló pénz mennyisége változik. Szorosan értelmezve például ebbe a kategóriába tartozhatna minden áru és szolgáltatás árának kifizetése, a munkabérek átutalása is. Azonban a számbavétel során itt csak olyan monetáris jellegű tranzakciókat szokás vizsgálni, amelyek elkülönült pénzmozgások, vagyis nem kapcsolódnak valamilyen más tranzakcióhoz. Rendszerint az itt számba vett tranzakciók során valamilyen tartozás, ill. követelés keletkezik, vagy szűnik meg. Ebbe a kategóriába tartoznak különböző hitel és kölcsön ügyletek, amelyek valamely gazdasági alanyok között köttetnek meg. A felhalmozási jellegű tranzakciók során jellemzően a gazdasági szereplő tőkéjének állományában történik változás. Ilyen történik olyankor, amikor egy szervezet saját jövedelméből egy termelőeszközt hoz létre, tőkeként fekteti be a megszerzett jövedelmét, vagy éppen fordítottan, egy eszköz az amortizáció révén elveszti értékét. Felhalmozás az is, amikor valamilyen tőkejószág értékében változás áll be. Például egy ingatlan értéke megnő egy közelbeli infrastukturális változás miatt, vagy éppen értékét veszti egy károsodás, sérülés miatt. A természetes személyek esetében a tipikus felhalmozási tevékenység az, amikor a személy lemond a jövedelmének jelenbeli elfogyasztásáról és befekteti azt tőkeként. A gazdasági szereplők között és a gazdasági alanyokon belül lezajlódó ügyletek egy-egy csoportja alkot egy gazdasági folyamatot. A gazdasági folyamat fogalma abban tér el a gazdasági folyamatot alkotó egyes gazdasági ügyletektől, hogy a gazdasági folyamat egy adott időszakra vonatkozik, és az adott időszakban előforduló gazdasági ügyletek összességét jelenti. A statisztikai számbavétel során nem az elemi gazdasági tranzakciók megismerése a cél, hanem a folyamatoké. A különböző gazdasági szereplők közötti gazdasági ügyleteket többnyire nem vizsgáljuk részletesen. Például rendszerint nem lényeges, hogy a munkavállaló melyik percben dolgozott éppen, és melyikben nem, pedig a munkaidőnek akár minden percét értelmezhetnénk külön-külön gazdasági ügyletnek. A folyamatoknak is létezik egy olyanfajta csoportosítása, amelyben az a kérdés, hogy a folyamatot elsődlegesen pénzmozgás jellemzi-e. E csoportosításban a gazdasági folyamat lehet reálfolyamat, vagy jövedelmi folyamat. A reálfolyamatok a használati értékek mozgását tükrözik. Ide tartoznak a termelő jellegű, anyaghoz, tárgyhoz köthető folyamatok (pl. termelés, elosztás, felhasználás). Ezek esetében felmerül, hogy mérésüket az elsődleges,

15

természetes mértékegységekben végezzük. Vagyis például az elvégzett munkát munkaórákban, a legyártott teherautókat darabszámban, az elhasznált villamos energiát kilowattban mérjük. Azonban amikor különböző gazdasági tevékenységek összességét szeretnénk meghatározni, leírni a gazdaságstatisztika segítségével, akkor ezek a naturális mértékegységek gondot jelentenek. Ugyanis nehéz lenne összeadni 1000 munkaórát, 2 teherautót és 100 kilowatt villamos energiát. Éppen ezért a reálfolyamatokat is jobbára pénzben fejezzük ki. Ilyenkor az a kérdés, hogy milyen áron értékeljük az adott reálfolyamat tartalmát. A gazdasági folyamatok másik csoportját a jövedelmi folyamatok jelentik. A jövedelmi folyamatok valamilyen pénzmozgásokat fejeznek ki. Többnyire a jövedelmi folyamatok mögött valamilyen reálfolyamat áll, de vannak a jövedelmi folyamatoknak olyan típusai, amelyek mögött nem áll közvetlenül reálfolyamat (pl. vállalati nyereség kifizetése, szociális jellegű transzferek kifizetése). A gazdasági folyamatok értékelése többnyire úgy történik, hogy valamilyen pénzegységben fejezzük ki a gazdasági folyamat nagyságát, értékét. Azonban a különböző javak pénzben kifejezett értéke nem állandó, ugyanannak a jószágnak (ill. egy ugyanolyan használati értékű jószágnak) a pénzben kifejezett értéke, vagyis az ára időről-időre változik. E változás legfontosabb összetevője az infláció, de számos más tényező is szerepet játszik. A pénz effajta értékváltozásai miatt a pénz segítségével értékelt folyamatokat a számbavétele módja szerint kétféle csoportba oszthatjuk: nominálértéken számított folyamatok és reálértéken számított folyamatok. A nominális értéken számított folyamatok, melyeket szokás rövidítve nominálfolyamatoknak is nevezni, a gazdaságban lejátszódó, mindenkori tényleges árakon értékelt folyamatokat jelentenek. A javaknak, jövedelmeknek ez az elsődleges jellege, rendszerint a gazdaságstatisztika adatforrásaiban a nominális érték jelenik meg. A reálértéken számított folyamatok akkor válnak lényegessé, amikor a különböző időpontban lezajlott folyamatokat szeretnék összehasonlítani. Ilyenkor az időben bekövetkező árváltozásokkal korrigált értéken vesszük figyelembe a folyamatot. A folyamatok reálértéken történő számbavételéhez tudnunk kell, hogyan alakulnak időben a különböző javak árai. Erre a statisztikusok különböző árindexeket hoznak létre, amely egy választott időszak (ezt nevezzük bázisidőszaknak) árait veti össze a gazdasági folyamat időpontjában (a tárgy időszakban) érvényes árakkal. Árindexnek különböző típusai vannak, attól függően, hogy a tranzakciók és javak milyen csoportjára vonatkoznak. Beszélünk például termelői, ipari, építőipari, fogyasztói, energiafelhasználási árindexről. A különböző gazdasági folyamatok leírásakor a termékekkel kapcsolatos tranzakciókat (a termékek keletkezése, átalakítása, átadása, felhasználása) általában akkor veszik számba, amikor azok ténylegesen végbemennek. Hasonlóan a jövedelmekkel kapcsolatos tranzakciókat is a jövedelmek keletkezésének időszakában szokás kimutatni. Ezek az időpontok nem esnek sokszor egybe sem azzal az időponttal, amikor valamilyen megállapodás, előírás szerint a tranzakció esedékessé válik, sem azzal az időponttal, mikor a tranzakció ellentételezése valamilyen pénzmozgás keretében megtörténik. A gazdasági folyamatok effajta számbavételét eredményszemléletű számbavételnek nevezzük. Ezzel szemben, ha a gazdasági folyamatok leírásakor az ellentételezés, kifizetés, megfizetés pénzmozgásait vesszük figyelembe, akkor pénzforgalmi szemléletű számbavételről beszélünk.

16

II.4 A gazdaságstatisztika módszerei A gazdaságstatisztika célja, hogy a sokaság egységeinek, a gazdasági alanyoknak bizonyos ismérveit megfigyelje és a kapott információkat rendszerezze, tömörítse. Ehhez a tevékenységhez a következő statisztikai alapműveleteket használjuk.

II.4.a A gazdaságstatisztika alapműveletei A sokaság nagyságának meghatározása a sokaság típusától függően eltérő módon valósulhat meg. Diszkrét véges sokaságok nagyságát megszámlálás útján végezhetjük el. Folytonos véges sokaság nagysága méréssel határozható meg. Speciális esetnek tekinthetők a végtelen sokaságok, ilyen esetben a sokaság nagyságával nincs értelme foglalkozni. Másik speciális eset a mozgó sokaságok nagyságának meghatározása. Ekkor a sokaság nagyságát összeadás segítségével kapjuk a részsokaságok nagyságából. Alapvető statisztikai művelet az összehasonlítás. Ilyenkor két vagy több sokaság nagyságát, vagy valamilyen más adatát (ismérvértékeit, statisztikai mutatószámait) vetjük össze. Az összehasonlítás technikája lehet valamilyen egymás mellé tétel, felsorolás, de akár különbségek vagy hányadosok képzése is. A gazdaságstatisztika szempontjából az osztályozás, mint alapművelet komoly előkészítő, összehangolási munkát igényel a gazdaságstatisztikusok részéről. Az osztályozás alapvetően azt jelenti, hogy csoportosítjuk a sokaság (vagy a minta) elemeit egy vagy több ismérv alapján. Az osztályozás során meghatározzuk, illetve megismerjük a sokaság vizsgálatunk szempontjából lényeges szerkezetét. Az osztályozás során célszerű arra törekedni, hogy a sokaságot úgy bontsuk csoportokra, hogy a csoportok minél inkább „homogének” legyenek. Ha nem sikerül homogén csoportokat létrehozni, akkor a vitatható besorolású elemek, vagy éppen a csoportok közötti különbségtétel értelmetlensége miatt a következtetések értéke gyengülhet. Az osztályok kialakítása az úgynevezett csoportképző ismérv (ismérvek) segítségével történik. Amennyiben egy mennyiségi ismérv szerint csoportosítunk, akkor a csoportosító ismérv adatsorát csoportosító sornak nevezzük. Az egy ismérv szerinti osztályba soroláskor, gyakran csak az osztályok mérete, gyakorisága a kérdés, ilyenkor gyakorisági táblázatról beszélünk. Viszont azt is tehetjük, hogy az osztályba sorolt sokaság csoportjaihoz nem a gyakoriságot, hanem más ismérvet (ismérveket) adunk meg. Ilyenkor általában a csoportképző ismérv és a többi ismérv, tulajdonság összehasonlítása a vizsgálatunk célja. Az alábbi táblázatban olyan példát láthatunk, ahol mindkét dolog (gyakoriság, más ismérv) megjelenik egyszerre. A táblázatban a magyar egyetemek és főiskolák hallgatóinak osztályba sorolását láthatjuk. Ebben a táblázatban az osztályba sorolás csoportosító ismérve a hallgató képzési területe. Az „összes hallgató” oszlop az adott osztályba eső elemek (hallgatók) számát, gyakoriságát adja meg. Ezekből az adatokból a sokaság szerkezetét ismerhetjük meg, vagyis például azt, hogy a gazdasági és menedzsment területen tanul a legtöbb hallgató, és például a számuk több mint tízszerese a természettudományokat tanuló hallgatóknak. Az „Ebből nő” nevű oszlop pedig a nők arányszámáról, mint egy további ismérvről ad tájékoztatás. Ezzel már a képzési terület (a csoportosító ismérv) és a nők aránya (mint további ismérv) között figyelhetünk meg összefüggéseket. (pl. a nők kerülik a műszaki tudományokat, kedvelik az egészségügyet).

17

Képzési terület Tanárképzés, oktatástudomány Művészetek Humán tudományok Társadalomtudományok Gazdaság és irányítás Jog Természettudományok Informatika Műszaki tudományok Mezőgazdaság Egészségügy, szociális gondoskodás Szolgáltatás Összesen

Összes hallgató, db 53 563 5 463 26 932 44 772 87 651 18 474 7 217 12 791 50 974 11 773 31 751 29 271 380 632

Ebből nő, % 71,2 56,9 69,1 65,0 66,2 61,7 47,1 20,8 18,3 45,5 76,2 57,3 57,8

1. Táblázat: A hallgatók száma az egyetemi, főiskolai szintű oktatásban képzési területek szerint (Forrás: Magyar statisztikai évkönyv 2005, KSH)

A több ismérv szerinti csoportosítás esetét szokás kombinatív osztályozásnak is hívni. A több osztályba sorolt adatok gyakoriságait tartalmazó táblázatokat kombinációs tábláknak nevezik. A két ismérv szerinti osztályozáshoz használt gyakorisági táblázatot kontingencia táblának is hívják. Az osztályokba történő besorolás során fontos a teljességre és az egyértelműségre törekedni, vagyis amikor az adatokat a csoportosító ismérv szerint osztályozzuk, akkor a sokaság összes elemét be kell sorolni, nem maradhat ki a sokaság egyetlen eleme sem. Másik lehetséges hiba az, ha az osztályok között átfedés van. Amennyiben az osztályokat jól alakítjuk ki, nem fordulhat elő, hogy a sokaság valamely elemét két osztályban is számba veszik. Az osztályozás akkor sikeres, ha az osztályokon belüli elemek homogén tulajdonságokkal rendelkeznek, az osztályok között viszont (a csoportképző ismérveken kívül) eltérő tulajdonságokat tudunk megvizsgálni, megfigyelni.

II.5 Statisztikai osztályozó rendszerek A gazdaságstatisztikában az osztályozásoknak nagy szerepe van, ugyanis elég sok és sokféle adatot kell összesíteni. A különböző osztályozáshoz használt ismérvek, eltérő mértékben okoznak nehézségeket a statisztikai elemzések során. Például a gazdasági alanyok területi osztályozása viszonylag egyszerűen történhet, csak a területi egységeket kell kialakítani, meghatározni. Más esetekben az osztályba sorolás nehezebb, komoly előkészítő munkát kíván az osztályok megfelelő kialakítása, valamint az egyes esetek besorolására is speciális szabályokat kell létrehozni. Ilyen bonyolultabb eset például a gazdasági tevékenységek osztályozása. Magyarországon a gazdaságstatisztikában alkalmazott osztályozási rendszereket a Központi Statisztikai Hivatal alakítja ki. Az osztályozási rendszereknek gyakran használt és egyben bonyolultabb esetei a gazdasági tevékenységek osztályozása (kínálat osztályozása), valamint a termékek (produktumok) felhasználási célok szerinti osztályozása (kereslet osztályozása). A tevékenységek szerinti osztályozás alapvetően két ismérven alapul. A gazdasági szereplők esetében vizsgálni kell a különböző végzett tevékenységeket és a különböző tevékenységek esetén a termelési (hozzáadott) értéket. A két ismérvet meghatározott szabályok szerint veszik 18

figyelembe akkor, amikor az adott gazdasági szereplőnek meghatározzák az osztályozási rendszer szerinti főtevékenységét, amely a későbbiekben a különböző gazdaságstatisztikai elemzésekben alapvető csoportképző ismérv lesz. Magyarországon a TEÁOR (A gazdasági tevékenységek egységes ágazati osztályozási rendszere) nevű osztályozási rendszert alkalmazzák a különböző gazdasági szereplők főtevékenységének meghatározására. A TEÁOR a tevékenységi osztályozások nemzetközi szinten harmonizált rendszerein alapul. Ilyen nemzetközi rendszert legmagasabb szinten az ENSZ dolgozott ki (ISIC), de ehhez igazodva az Európai Unió is megalkotta saját osztályzási rendszerét (NACE). A TEÁOR közvetlenül az EU-s rendszeren alapul, minimális mértékben tér el attól. Számos osztályozási rendszerben (és a tevékenységi osztályozási rendszerekben is) a sokaság egységeinek besorolása nem egy szinten, hanem akár több szinten történik. Az előbb említett tevékenységi osztályozási rendszerek négyszintű struktúrát alkalmaznak. Magyarul a struktúra szintjeit a következőképpen nevezik: • nemzetgazdasági ág, illetve alág • ágazat, • alágazat, • szakágazat. A nemzetgazdasági ágak, alágak azonosítására egy, illetve két nagybetűt használnak, az ezeknél finomabb osztályokat pedig 2-4 számjegyű kódok azonosítják. (Tehát pl. a szakágazatok kódjai négyjegyűek.) Azonban a különböző osztályzási rendszerek, főként az alsóbb szinteken eltérnek. Az alábbi táblázat a háromféle, négyszintű tevékenységi osztályozási rendszer különböző szintjein meghatározott osztályainak számát, vagyis az osztályozás mélységét adja meg. Az osztályozási fokozat Neve

Az osztályok száma Kódja

ISIC

NACE

TEÁOR

I. Nemzetgazdasági ág 1 nagybetű

17

17

17

II. Ágazat

2 számjegy

60

60

62

III. Alágazat

3 számjegy

159

222

224

IV. Szakágazat

4 számjegy

292

503

514

2. Táblázat: tevékenységi osztályozó rendszerek osztályainak száma különböző szinteken.

Mint látható, a különböző rendszerek a nemzetgazdasági ág szintjén egységesen 17 osztályt határoznak meg. Ezeket a következő táblázat részletezi:

19

A nemzetgazdasági ág Betűkódja Neve A Mezőgazdaság, vad- és erdőgazdálkodás B Halgazdálkodás C Bányászat D Feldolgozóipar E Villamosenergia-, gáz-, gőz és vízellátás F Építőipar G Kereskedelem, javítás H Szálláshely-szolgáltatás és vendéglátás I Szállítás, raktározás, posta és távközlés J Pénzügyi közvetítés K Ingatlanügyletek, gazdasági szolgáltatás L Közigazgatás és védelem, kötelező társadalombiztosítás M Oktatás N Egészségügyi és szociális ellátás O Egyéb közösségi és személyi szolgáltatás P Háztartások tevékenysége Q Területen kívüli szervezetek 3. táblázat: A nemzetgazdasági ágak meghatározása a tevékenységi osztályozó rendszerekben

Azonban a tevékenységek osztályozásán túl további területek vannak, ahol a Központi Statisztikai Hivatal országos érvényű számjelrendszert, osztályozó rendszert alakított ki, ezek (a teljesség igénye nélkül) a következők: • A gazdasági szervezetek gazdálkodási forma szerinti osztályozása (GFO) – ezt a különböző szervezetek csoportosítására alkalmazzák, a GFO megjelenik az adott szervezet egyedi statisztikai számjelében is. • Szolgáltatások Jegyzéke (SZJ) • Ipari termékek és szolgáltatások jegyzéke (BTO, Belföldi Termékosztályozás) • Foglalkozások Egységes Osztályozási Rendszere (FEOR) • Területi számjelrendszer • Szakmakód jegyzék • Építményjegyzék

II.6 Hivatalos statisztikai szolgálat A hivatalos statisztikai szolgálatnak azt a közcélú statisztikai információs rendszert nevezzük, amelyet egy állam működtet azért, hogy makroszinten adatokat szolgáltasson a politikai (pl. gazdaságpolitikai, társadalompolitikai), közigazgatási döntéshozók számára az ország gazdasági, társadalmi és természeti környezetének egészéről. Bár e rendszerek elsődleges feladata az információ szolgáltatása társadalom- és gazdaságpolitikai intézkedések meghozására, a kapott eredményeket bárki felhasználhatja. Az ország egészéről szóló 20

statisztikai adatok alapvetően közjószágnak tekinthetők, a hivatalos statisztikai szolgálat által kezelt statisztikai adatokat így maga az állam sem sajátíthatja ki. A statisztikai szolgálat legfontosabb megrendelője maga az állam, azonban a statisztikai felmérések, elemzések eredményeit a hivatalos statisztikai szolgálat rendszeresen megjelenő kiadványok, közlemények formájában közzéteszi, ezzel lehetőséget adva a gazdaság és a társadalom többi szereplőjének (pl. vállalatoknak, non-profit szervezeteknek, de akár a magánszemélyeknek is), hogy tevékenységük során ezen információk felhasználásának előnyeit is élvezzék. Az információk ismételt, többszöri felhasználása nem jár többletköltséggel. Ha a statisztikai adatokat csak az állam használhatná fel, akkor az információs monopólium lenne, ami ronthatná a gazdaság összesített hatékonyságát. Magyarországon a hivatalos statisztikai szolgálat centralizált jelleggel működik, vagyis egy intézményesített rendszer keretében végzik az összes társadalmi és gazdasági kérdéskör tekintetében a statisztikai feladatokat az ország egészére kiterjedően. Azonban e rendszer többcsatornás, ugyanis számos hivatal, állami intézmény vesz részt az adatok összegyűjtésében. A magyarországi hivatalos statisztikai szolgálatban összefogó szerepe van a Központi Statisztikai Hivatalnak (KSH), azonban további szervek is részét alkotják a hivatalos statisztikai szolgálatnak. A gazdasággal összefüggő kérdésekben ilyen szervek például a különböző minisztériumok, a Magyar Nemzeti Bank, a Gazdasági Versenyhivatal, a Pénzügyi Szervezetek Állami Felügyelete, stb. A magyarországi hivatalos statisztikai szolgálat, és ezen belül elsősorban a KSH működését a Statisztikai törvény (1993. évi XLVI. tv.) és további jogszabályok határozzák meg. A KSH tevékenységei jellemzően a következők: adatokat gyűjtése, mérése; más szerveknél folyó statisztikai tevékenységek összehangolása, szakmai irányítása; az adatok összességének tárolása, feldolgozása; az adatok és eredmények közzététele. A KSH konkrét feladatai elég szerteágazóak. Szakemberei évente megtervezik az úgynevezett Országos Statisztikai Adatgyűjtési Programot (OSAP), melynek végrehajtását az előterjesztés és elfogadás után folyamatosan figyelemmel kísérik. A KSH dolgozza ki, határozza meg az alkalmazandó statisztikai módszereket, fogalmakat, osztályozási rendszereket, amelyeket folyamatosan közzé tesz minden érintett számára. Számos országos érvényű számjelrendszert alakít ki és adaptál a nemzetközi rendszerek alapján. A statisztikai hivatalnak fontos szerepe van más kormányzati információ-rendszerek, nyilvántartások kialakításában, valamint számos jogszabályi előkészítő munkában, rendszeresen tartja a kapcsolatot a különböző nemzetközi szakmai szervezetekkel, valamint rendszeres időközönként jelentéseket készít az Országgyűlés, a Kormány számára. Az adatgyűjtés a hivatalos statisztikai szolgálat keretében alapvetően két formában történik. Egyrészt származhatnak az információk a különböző adminisztratív nyilvántartásokból, valamint végezhetnek kifejezetten statisztikai célú adatgyűjtéseket. Amennyiben az adatok különböző nyilvántartásokból származnak, akkor annak az a fő előnye, hogy az ilyen adatok megszerzése lényegesebben olcsóbb. A különböző nyilvántartások (cégnyilvántartás, népesség-nyilvántartás, adózók nyilvántartása, föld és ingatlan-nyilvántartás) a gazdaságstatisztikai tevékenységtől függetlenül is léteznek az országban. E nyilvántartások rendszerint elég pontosak, az ott szereplő adatok megbízhatóak, teljeskörűek és megszerzésük nem okoz többlet terhet a gazdasági szereplőknek. Azonban e nyilvántartásokat nem statisztikai céllal tartják fenn, nem statisztikai céllal gyűjtik az adatokat. További problémaként merül fel az adatok másodlagos használata során, hogy a statisztikai célra megfelelően használható adatok viszonylag későn állnak rendelkezésre, valamint az, hogy a nyilvántartások személyes adatokat, üzleti információkat tartalmaznak. A nyilvántartásból kivett adatokat a statisztikai feldolgozás előtt át kell alakítani úgy, hogy azokból később konkrét személyekre ne lehessen következtetni, viszont az adatok egésze továbbra is változatlanul tartalmazza a statisztikai vizsgálatok szempontjából lényeges tulajdonságokat.

21

Az információszerzés másik lehetősége az, ha a hivatalos statisztikai szolgálat keretében statisztikai célú adatgyűjtéseket végeznek. Ennek alapvető előnye, hogy a statisztikai céllal gyűjtik az adatokat. Ezzel a vizsgált jelenségeket a lehető legjobban tudják leképezni. Azonban a statisztikai célú adatgyűjtések külön terhet jelentenek az adatszolgáltatóknak és az adatok ilyenfajta megszerzése összességében elég drága. A felmérésekkel szerzett adatok kevésbé megbízhatóak, és a nem-válaszolás aránya is jelentős lehet. A hivatalos statisztikai szolgálat keretein belül statisztikai adatgyűjtéseket csak úgy lehet végezni, ha azt előzőleg megfelelő jogszabály elrendelte. Ilyenkor az adatszolgáltatóknak az adatokat ingyenesen kell megadniuk, és az adatszolgáltatás kötelező. A nyilvántartásokból és statisztikai adatgyűjtésekből származó adatokat a statisztikai feldolgozás előtt különböző statisztikai célú nyilvántartásban összesítik, melyeket statisztikai regisztereknek nevezünk. A statisztikai regiszterek egyrészt a feldolgozáshoz, másrészt a további adatgyűjtésekhez is adatokat szolgáltatnak. Magyarországon ilyen regiszterek a vállalkozási regiszter, a pénzügyi vállalkozások regisztere, költségvetési intézmények regisztere, háztartások regisztere, nonprofit intézmények regisztere. A statisztikai regiszterek statisztikai céloknak megfelelően tartalmazzák a feldolgozásokhoz szükséges adatokat, a különböző osztályozásokat, de az egyes gazdasági alanyok elérhetőségét (név, cím, telefon) is. A statisztikai regisztereket elsősorban a hivatalos statisztikai szolgálat használja, nyilvánosságuk általában korlátozott, nem teljeskörű. A hivatalos statisztikai szolgálat keretein belül végzett statisztikai tevékenység eredményei egy tájékoztatási rendszeren keresztül jutnak el a felhasználókhoz. A tájékoztatási rendszer kiadványokból és más adathordozókon lévő adatállományokból történő közlésekből áll. A hivatalos statisztikai szolgálathoz tartozó szervek által nyilvánosságra hozott adat hivatalos statisztikai adat, vagyis különböző jogok, kötelezettségek érvényesítése kapcsán előre meghatározott módon használják azokat. A Központi Statisztikai Hivatal és a Hivatalos Statisztikai Szolgálat egyéb szervei egy előre kiadott tájékoztatási naptár szerint hoznak nyilvánosságra hivatalos statisztikai adatokat. Alapvetően havi, negyedéves, éves jellegű tájékoztatók, gyorsjelentések léteznek. A statisztikai tevékenység egyfajta speciális szolgáltatásként értelmezhető, ami részben közszolgáltatásként is értelmezhető. Mint ahogy más ipari és szolgáltatási szektorokban is, itt is egyre erősödik a minőség kérdése. A statisztika minőségének megítélése többféle szempont alapján lehetséges, ezen összetevők jellemzően a következők: relevancia, pontosság, időszerűség, közlés időbeli pontossága, összehasonlíthatóság, koherencia, hozzáférhetőség, érthetőség (Szép–Vígh, 2004). A relevancia arra vonatkozik, hogy a statisztikai tevékenység eredménye megfelelő választ nyújt-e az érintettek számára, kielégíti-e azok információs igényét. Ugyanezt értelmezhetjük úgy is, hogy a kapott statisztikai adat hozzájárul-e a valós problémák megoldásához. A pontosság egyrészt jelenti azt, hogy a statisztikai adat mennyire közelíti meg a valóságot, a sokasági értéket, vagyis mekkora a mintavételi hiba. Azonban a pontosság kérdéskörébe beletartoznak a nem mintavételi hibák is, amelyek a helytelen számbavétellel összefüggő esetleges lefedési hibákra, adatrögzítési, adatkezelési hibákra vezethetők vissza. A statisztikai tevékenység során fontos az időszerűség, vagyis a vizsgált időszak és ehhez képest a közlés időpontja között eltelt idő. Az időszerűség sokszor összefügg a pontossággal, hiszen több idő alatt alaposabban, precízebben és mélyebben lehet vizsgálni egyes gazdasági folyamatokat, azonban a kevésbé pontos információk gyorsaságukkal kedvezőek lehetnek az alkalmazók, döntéshozók számára. Egyre inkább fontosabbá válik a közlés időbeli pontossága is. A statisztikai adatok közzététele jellemzően előre bejelentett közlési időpontokhoz kötött, amely már sokszor nem csak napot, hanem óra-perc pontosságot jelent. Amennyiben az érintettek az aktuális statisztikai adatokat késve kapják meg, akár ez bizonytalanságot is jelenthet számukra (pl. tőzsdén).

22

Fontos elvárás a statisztikai tevékenységgel kapcsolatban az összehasonlíthatóság. Ez értelmezhető időben vagy térben. Az időbeni összehasonlíthatóság arra vonatkozik, hogy a korábbi időszakok (pl. évek) statisztikai eredményei összevethetőek legyenek a mostani adatokkal, a térbeli összehasonlíthatóság pedig elsősorban a különböző országok közötti összevetés lehetőségére vonatkozik. A koherencia a különböző helyen és időben közölt statisztikai adatok összekombinálhatóságára vonatkozik, vagyis arra, hogy az alkalmazó a különböző forrásokból kapott adatokból képezhet-e újabb értelmes, valóságot tükröző mutatókat. A statisztikai adatok felhasználói egyre inkább többféle forrást, tájékoztatási csatornát várnának el a statisztikai szolgálatoktól, és mindezt lehetőség szerint alacsonyabb költségekkel szeretnék megtenni. E tényezők jelentik a hozzáférhetőség területét. Érthetőség egyre inkább fontosabb kérdéssé kezd válni a statisztika minőségével kapcsolatban, mivel a gazdasági folyamatok leírása egyre összetettebbé válik, egyre nagyobb szakmai felkészültséget igényel. A felhasználók szintjén mégis el kell érni azt, hogy minden közölt adatot úgy értelmezhessenek, ahogy azt a statisztikusok tették. Mindezt a közzétett adatok mellett rendelkezésre álló értelmező leírások (ún. metaadatok) nagyobb mennyiségével lehet elősegíteni.

II.7 Nemzetgazdasági mérlegrendszer Egy ország hivatalos statisztikai szolgálatában a legfontosabb gazdaságstatisztikai jellegű kérdés az adott ország nemzeti jövedelmének meghatározása, és az ezzel kapcsolatos összefüggések feltárása. Magyarországon a nemzeti jövedelem meghatározására irányuló első ilyen jellegű statisztikai elemzések a XX. század elején történtek és Fellner Frigyes nevéhez köthetők. Ezek világviszonylatban úttörő jellegű munkának számítottak. A termelés, forgalmazás, fogyasztás nemzeti szintű meghatározását manapság a nemzetgazdasági mérlegrendszer nevű módszertan segítségével szokás elvégezni. Ezt a módszertant a 70-es évek végén dolgozta ki az ENSZ Statisztikai Bizottsága, a jelenleg érvényes módszertani ajánlás legutóbb 1993-ban módosult. A módszertan angol elnevezése System of National Accounts (SNA), magyarul egyszerűen nemzeti számláknak is szokás nevezni. Magyarország a nemzeti számlák rendszerét kezdettől fogva alkalmazta, szemben a többi kelet-európai országgal, akik kizárólag csak a KGST által előírt statisztikai módszertant alkalmazták. A rendszerváltásig Magyarországon egyszerre végezték a két különböző statisztikai módszertan szerinti számításokat, aminek nemzetközi szinten az volt az előnye, hogy a magyar különbségeken keresztül elemezhetővé vált a többi szocialista ország gazdasági teljesítménye is. Az 1990-es évektől kezdve Magyarországon csak az ENSZ ajánlásai szerint készítik a nemzeti számlákat. Az Európai Unió 1995-ben adta ki az ENSZ új módszertani ajánlásaira épített Európában érvényes statisztikai számlarendszerét, a European System of Accounts (ESA’95) nevű módszertani gyűjteményt, amely teljesen kompatibilis az ENSZ ajánlásával. Ma Magyarországon lényegében ezt alkalmazzák. A nemzetgazdasági mérlegrendszer feladata, hogy képet adjon a termelés folyamatáról, a termelés-forgalmazás-fogyasztás kapcsolatrendszeréről. A nemzeti számlák előnye, hogy a gazdasági jelenségeket nemzeti szinten egy fogalmilag egységes, konzisztens és számszerűen koherens módon írja le. A módszertan nemzetközi szinten harmonizált, elvei közismert közgazdasági elméletekre támaszkodnak. A nemzeti számlákban az alapvető mértékegység a nemzeti valuta, a mérlegrendszerben értékben (jellemzően a nemzeti valuta egységében) fejezik ki az adatokat. Azonban az alapstatisztikák között gyakoriak a naturális mértékegységben kifejezett mutatók.

23

Megjegyzendő, hogy nemzetközi összehasonlításban sem a nemzeti valuták, sem egy választott valuta nem jellemezné jól a gazdasági folyamatokat a valuták árfolyamváltozásai és az infláció miatt, ezért a nemzeti számlákat az országok közötti összehasonlítás esetén gyakran a vásárlóerő paritás nemzetközi statisztikai szervezetek által megállapított egységeiben készítik el. A nemzetgazdasági mérlegrendszert különböző időtávokra szokás elkészíteni, a negyedéves és éves összeállítás a leggyakoribb eset. Azonban az alkalmazók részéről az lenne az ideális, ha a számítások naprakészek volnának, vagyis minden mutató azonnal rendelkezésre állna. Az eredmények ilyen gyors megadása még manapság sem lehetséges, hiszen idő szükséges ahhoz, hogy az alapadatokat összegyűjtsék. A legjobb minőségű alapinformációk naptári évre vonatkozóan léteznek. Ennek legfontosabb oka az, hogy a nemzeti számlákban eredményszemlélet érvényesítése történik, tehát a termékekkel kapcsolatos ügyleteket akkor számolják el, amikor azok ténylegesen megtörténnek, a keletkezett jövedelmeket is akkor veszik számba, amikor azok létrejönnek. Azonban ezekről a tranzakciókról sokszor csak később van tudomásunk, ugyanis a tranzakciók nyilvántartása inkább a pénzmozgások, elszámolások időpontjához kapcsolódik. Az eredményszemlélet alkalmazása miatt egy állandó, de statisztikai szempontból jól kezelhető hiba van a számításokban. Ha negyedéves szinten vizsgáljuk a nemzeti számlákat, akkor nagyobb a hibalehetőség az eredményszemléletű összeállítás miatt, az éves hibaarányhoz képest ez a hiba megnégyszereződik. A nemzeti számlákban a nemzetgazdasági elszámolások alapfogalma a GDP (Gross Domestic Product), magyarul ez Bruttó Hazai Terméket jelent. Ez egy mutatószám, ami három oldalról külön-külön kiszámítható. A GDP kiszámolható a termelési oldaláról, a felhasználási oldalról és a jövedelmi adatok alapján is. A háromfajta kiszámításnak egyenlőséget kell kihoznia. Ez az egyezőség az, ami miatt mérlegrendszernek nevezik ezt a módszertant. Ez az egyezőség alapvető közgazdasági összefüggések következménye. A GDP az úgynevezett hozzáadott értéket tartalmazza, amikor termelési oldalról számítjuk ki. A hozzáadott értéket vállalatok, gazdasági vállalkozások esetében úgy kapjuk meg, hogy a gazdasági egységek által egy év alatt létrehozott termékek és szolgáltatások értékéből (a bruttó kibocsátásból) kivonjuk a gazdasági egységek folyó termelő fogyasztását, ami az adott időszakban a termeléshez felhasznált alapanyag felhasználást jelenti. Azonban a GDP tartalmazza a termeléshez használt eszközök értékcsökkenését is, erre utal a „bruttó” szó a mutató elnevezésében. Amennyiben a GDP-ből kivonnánk az amortizációt is, akkor a Nettó hazai termék (NDP) mutatót kapnánk. Számos további mutatót lehet kiszámolni különböző hatások elhagyásával, figyelembe vételével. A GDP termelési oldalról történő kiszámítása során figyelembe veszik még az egyéni és kisvállalkozások hozzáadott értékét az előbbiekhez hasonlóan, valamint ezen túl a költségvetési intézmények, a nem nyereségorientált szervezetek és a lakosság gazdasági tevékenységének hozzáadott értékét is. Sőt megjegyzendő, hogy a GDP kiszámítása során meghatározott módszerek alapján a fekete gazdaság adatait is becslik. Termelési oldalról a GDP olyan módon is felépíthető , hogy a különböző ágazatok adatait külön-külön határozzák meg. A GDP felhasználási oldalról történő kiszámítása során a következő fő tényezőket veszik figyelembe: • Végső fogyasztás, összes végső fogyasztási kiadás: azoknak a termékeknek és szolgáltatásoknak az értéke, amelyeket a háztartások vagy a társadalom végső szükségleteinek kielégítésére felhasznál, elfogyaszt. • Háztartások végső fogyasztási kiadásai: a rezidens háztartások termékek és szolgáltatások fogyasztására fordított kiadásai • Államháztartás végső fogyasztási kiadásai: az államháztartás által finanszírozott kiadás. Ide tartozik: államigazgatás, honvédelem, közszolgáltatások egy része

24

•

Háztartásokat segítő non-profit intézmények végső fogyasztása: az e szektor által finanszírozott végső fogyasztás

A GDP felhasználási adatokból történő kiszámítása a következő egyszerűsített kalkulációs sémát követi: +háztartások végső fogyasztási kiadásai +államháztartás végső fogyasztási kiadásai +háztartásokat segítő non-profit intézmények végső fogyasztása +bruttó állóeszköz-felhasználás +készletváltozás +export - import = bruttó hazai termék Mint azt korábban említettük a GDP kiszámítható jövedelmi adatokból is, ennek egyszerűsített kalkulációs sémája a következő: +bérek és keresetek +társadalombiztosítási hozzájárulás -termelési támogatás +termelési adó +bruttó működési eredmény, illetve vegyes jövedelem = bruttó hazai termék Bármely módszerrel is számoljuk a GDP-t, a végösszegnek azonos eredményre kell vezetnie. A GDP-t nemzetközi szinten általánosan elfogadják, mint az adott ország teljesítményének mutatószámaként. A GDP-t arra is alkalmazzák, hogy a különböző országok nemzetközi szintű kötelezettségvállalásait meghatározzák, például a GDP-n alapul a különböző nemzetközi szervezetekben (mint például az ENSZ) a tagdíj mértéke, úgyhogy e mutató nemzetközi szinten történő egységes alkalmazását részben ennek köszönhető. Gyakorta adják meg a GDP egy főre vetített értékét, mellyel az ország fejlettségét szokás jellemezni. Azonban ezzel kapcsolatban bizonyos elemzők kritikákat is megfogalmaznak, ugyanis mint minden statisztikai mutató, ez sem jó mindenre. Az ellenzők szerint az egy főre jutó GDP-t nem szabad úgy felfogni, mint a jólét mutatóját (bár megjegyezhető, hogy szoros kapcsolatban áll azzal), de még kevésbé szabad például a lakosság jó közérzetének mutatójaként alkalmazni.

25

III. Mintavétel Valószínűségszámítás Matematikai statisztika

Valószínűségelmélet Axiómák, alaptételek

Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek

Hipotézisvizsgálat

Elméleti eloszlások

Összefüggésvizsgálat

26

III.1 A matematikai statisztika tárgya2 A matematikai statisztika a valószínűségszámítás önálló fejezete, amely a gyakorlat számára igen nagy jelentőségű. A matematikai statisztika tárgya a véletlen tömegjelenségekben rejlő statisztikai törvényszerűségek vizsgálata. A valószínűségelméletben ismertnek tételezzük fel valamely változó eloszlásfüggvényét és annak paramétereit, ezek birtokában tudunk válaszolni valószínűségi jellegű kérdésekre. A gyakorlatban (és a matematikai statisztikában) azonban arra a kérdésre keressük a választ, hogy pl. bizonyos típusú házgyári panel esetében mi a valószínűsége, hogy a hosszabbik oldal hosszát jelölő ξ valószínűségi változó értéke [399,401) intervallumba esik. Tapasztalatból tudjuk, hogy a panel hossza (ξ) normális eloszlású valószínűségi változó. Nem tudjuk azonban, hogy az adott gyártási technológia alkalmazásakor milyen µ várható értékű és σ szórású normális eloszlású valószínűségi változóval számolhatunk. A paraméterek ismerete nélkül a kérdéses valószínűséget nem tudjuk kiszámítani. Ahhoz, hogy ezek alapján a paramétereket meghatározhassuk, meg kell mérnünk az adott típusú panelből minél több darabnak a hosszabbik oldalát. A matematikai statisztika foglalkozik azzal a kérdéssel, hogy a kapott mérési eredményekből hogyan kaphatjuk meg pl. a várható értéket. Mint látni fogjuk nem arról van szó, hogy pontosan kiszámoljuk a keresett elméleti értéket (paramétert), hanem meg kell elégednünk annak közelítő meghatározásával, becslésével. Sokszor konkrét feltevést, hipotézist szeretnénk megvizsgálni, eldönteni, hogy a tapasztalati adatok alapján hipotézisünk elfogadható-e, vagy ellenkezőleg az adatok nem támasztják alá feltevésünket, elvetjük hipotézisünket. Valamely hipotézis helyességének eldöntésével foglalkozik a matematikai statisztika hipotézisvizsgálatról szóló fejezete. A becsléselmélet mellett a hipotézisvizsgálat a matematikai statisztika másik nagy problémaköre, amelynek alapjául ugyancsak megfigyelési (mérési) adatok szolgálnak. Minthogy a gyakorlatban mindig véges számú minta alapján számolunk, a helyes döntést 100%-os biztonsággal nem tudjuk megadni. A matematikai statisztika megállapítja a hibás döntés meghozatalának valószínűségét, és olyan módszereket szolgáltat, amelyek alkalmazása esetén a hibás döntés viszonylag ritkán fordul elő. A mondottak alapján a matematikai statisztika alapvető feladatát nagy általánosságban így fogalmazhatjuk meg: következtetés tapasztalati (megfigyelési, mérési) adatokból események ismeretlen valószínűségeire, valószínűségi változók ismeretlen eloszlásfüggvényére vagy azok paramétereire. A matematikai statisztika lényegét foglalja össze az 1. ábra.

2

A fejezet Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985 felhasználásával készült.

27

Mintavételi alapelvek Következtetés

Sokaság

F(x), M(ξ M(ξ), D(ξ D(ξ) ….

Fn(x), Me, Me, s*...

Minta Mintavétel

1. ábra: Mintavételi alapelvek

III.2 Mintavételi hiba3 A vizsgálat tárgyát képező egységek összességét, halmazát statisztikai sokaságnak, vagy röviden sokaságnak nevezzük. A statisztikai minta valamely valószínűségi változóra vonatkozó véges számú független kísérlet vagy megfigyelés (mérés) eredménye: véges sok, azonos eloszlású független valószínűségi változó együttese. Az egyes megfigyelési eredményeket a minta elemeinek, a megfigyelések számát a minta nagyságának vagy elemszámának nevezzük4. Mint láttuk a matematikai statisztika lényege, hogy a sokaságnak csak egy részét (a mintát) vizsgáljuk, ezért a statisztikai módszerek alkalmazásakor sohasem (kivéve természetesen a 100%-os mintavételt, de az már nem matematikai statisztika) lehetünk biztosak a döntésünkben. Következtetésünk természetesen alapvetően a mintán, a mintából meghatározott jellemzőkön alapul. Ugyanakkor mi nem a minta, hanem az egész sokaság tulajdonságaira vagyunk kíváncsiak, azaz a részleges megfigyelések eredményeiből következtetünk a teljes sokaságra. A statisztikai mintavételek és az ebből származó adatokat felhasználó elemzések, következtetések tehát mindig tartalmaznak hibákat. A hiba szó jelentése ebben az esetben kissé eltér a hétköznapi szóhasználatban megszokottól. A statisztikai hiba nem jelent szükségképpen valamilyen tévedést, nem megfelelő munkavégzést, figyelmetlenséget stb. hiszen a leggondosabban elvégzett mintavétel és elemzés is tartalmaz hibákat, melyek egy része elkerülhetetlen. A statisztikai hiba, aminek egy része a módszertan sajátosságaiból (mintavétel, tömörítés, közelítés, becslés stb.) adódik, a statisztika szükségszerű velejárója. A mintavétellel kapcsolatos hibák alapvetően két nagy csoportba sorolhatók. Egyik részük a mintával kapcsolatos teendőkhöz, az adatgyűjtéshez kapcsolódik, s független attól, hogy teljes körű vagy részleges-e az adatgyűjtés. Ilyen hibák adódhatnak abból, hogy a vizsgálni kívánt sokaságot nem tudjuk teljesen vagy helyesen áttekinteni, pontatlan az adatgyűjtés (kérdőív, a mérés stb.), hibásan rögzítik az adatokat stb. Ezek nagy része elsősorban emberi figyelmetlenségből, nem kellő körültekintésből, hibából (a szó hétköznapi értelmében), félreértésből stb. származik. Az ilyen hibák tehát függetlenek attól, hogy a teljes 3

A fejezet Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996 felhasználásával készült. 4 Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985

28

sokaságot vizsgáljuk-e, vagy mintavételt alkalmazunk, ezért ezeket nem mintavételi hibának nevezzük. A hibák másik forrása az, hogy a részleges vizsgálatok (mintavétel) esetén pusztán abból a tényből adódóan, hogy nem a teljes sokaságot figyeljük meg, hiba adódhat. Ezt a hibát a továbbiakban mintavételi hibának nevezzük. A mintavétel tervezésekor – nem lebecsülve a nem mintavételi hiba jelentőségét – elsősorban a jól mérhető, számszerűsíthető mintavételi hibából indulunk ki, és olyan eljárásokat keresünk, amelyek mellett a mintavételi hiba a lehető legkisebb. A mintavételi hiba a sokaság jellegén, az alkalmazott mintavételi eljáráson és a szóban forgó mutatószám milyenségén túlmenően alapvetően a mintanagyságtól függ, ahogy azt a 2. ábra is mutatja: mintavételi hiba

mintanagyság

2. ábra: A mintanagyság és a mintavételi hiba kapcsolata

Az ábrából látható, hogy a pontosság és az olcsóság (kicsi mintaszám) egymásnak ellentmondó követelmények. A mintavételek tervezésének éppen ez a kiindulópontja.

III.3 Mintavételi eljárások5 A statisztikai minta fenti definíciója szerint a minta elemeinek azonos eloszlásúnak és függetlennek kell(ene) lenniük. E feltételeket a gyakorlati mintavételi feladatok során csak viszonylag ritkán lehet pontosan teljesíteni, mivel ez nem csak a mintavételi stratégiától (visszatevéses v. visszatevés nélküli), hanem a sokaság jellegétől is függ. Például a nagy elemszámú homogén sokaságból vett (pl. folyamatos tömegtermelés minőségi ellenőrzését szolgáló) véletlen minták jó közelítésben ilyennek tekinthetők, még akkor is, ha a kiválasztás visszatevés nélkül történik. A mintavétellel kapcsolatos legalapvetőbb elvárás, hogy reprezentatív legyen a minta, amit főképp a véletlen kiválasztás biztosít. Ezért először ezeket a véletlenen alapuló mintavételi terveket tekintjük át, majd megemlítünk néhány gyakorlatban használt nemvéletlen mintavételi eljárást is.

III.3.a Egyszerű véletlen mintavétel Ez a legegyszerűbb mintavételi eljárás. Egyszerű véletlen mintavételt használunk homogén, véges elemszámú sokaság esetén, amikor a mintát visszatevés nélkül választjuk ki, minden lehetséges n elemű minta kiválasztásának azonos valószínűséget biztosítva. Mint már említettük, a gyakorlatban a vizsgált sokaságok ritkán homogének, ezért tiszta alkalmazása viszonylag ritka, de jó kiindulópontul szolgál az összetettebb eljárások tárgyalásához.

5

A fejezet Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996 felhasználásával készült.

29

Emellett egyfajta viszonyítási alapul szolgál, a további eljárások pontosságát, költségét stb. általában az egyszerű véletlen mintához hasonlítjuk. Az egyszerű véletlen minta készítése általában a sokaság elemeit tartalmazó komplett lista segítségével történik. Ennek összeállítása az első feladat. A következő lépés a mintanagyság meghatározása, amelyet a pontossági követelmények, a sokaság szórása, valamint gyakorlati szempontok (pl. költségkeret) határoznak meg. A minta kiválasztása ezután a lista alapján véletlenszerűen (véletlen szám táblázat, illetve számítógépes véletlenszám-generátor) történik. Természetesen a mintavétel gyakorlati megvalósítása során a véletlen mintavételt más módon is próbáljuk közelíteni. Gyakran alkalmazzák a szisztematikus kiválasztást, amelynek lényege az, hogy ha n elemű mintát kívánnak venni, egy N elemű sokaságból, akkor először meghatározzák a k=N/n lépésközt, majd egyetlen véletlen kiindulópontból (k0) egymás után felveszik a k lépésközt. Így az első mintaelem a k0-adik sokasági elem lesz, a második a k0+k-dik, és így tovább. Ha a lista végére értünk, akkor a számolást a sokaság elejétől folytatjuk. Ez az eljárás rendkívül egyszerű, hiszen a minta így gyorsan és mechanikusan kiválasztható. Könnyen belátható, hogy ha a lista a vizsgált tulajdonság, jellemző (statisztikában használt fogalommal: ismérv) szerint véletlenszerűen van sorba rendezve, akkor a szisztematikus kiválasztás megegyezik a véletlen kiválasztással. Ha például egy ABC sorrendben felvett listánk van a Minőségmenedzsment I. éves hallgatókról, akiknek az előző félévi statisztika tudását (osztályzatait) szeretnénk mintavétel segítségével megvizsgálni, akkor a szisztematikus kiválasztás megegyezik a véletlen kiválasztással, hiszen nagyon valószínű, hogy a nevek kezdőbetűi és a kapott osztályzat között nincs sztochasztikus összefüggés. Más a helyzet azonban, ha a két ismérv sztochasztikus kapcsolatban van egymással. Ha a hallgatók a félév során látogatott órák száma szerint vannak sorbarendezve, s ebből a listából választunk szisztematikus mintavétellel a statisztika tudás becslésére, akkor a kapott minta nem a véletlen minta tulajdonságaival fog rendelkezni. (Feltételezve természetesen, hogy az órán való részvétel és a vizsgajegy között van valamilyen – pozitív vagy negatív – kapcsolat.) A legnagyobb hibák akkor adódnak, ha a lista a vizsgált ismérv szerint periodikus hullámzást mutat. Ilyen esetben a szisztematikus kiválasztás félrevezető eredményeket adhat.

III.3.b Rétegzett mintavétel A rétegzett mintavétel alkalmazása elsősorban akkor célszerű, ha a sokaság heterogén, s előzetes információink vannak arra nézve, hogy ezt a sokaságot hogyan lehet - a vizsgált ismérv szempontjából – homogén, de legalábbis kevésbé heterogén csoportokba sorolni. Ha jól választottuk meg a rétegképző ismérvet, a rétegzett mintavétel azonos mintanagyság esetén általában kisebb mintavételi hibát eredményez, mint az egyszerű véletlen kiválasztás. Másként fogalmazva, ha azonos pontosságot akarunk elérni egy egyszerű véletlen és egy rétegzett mintavétel segítségével, akkor az egyszerű véletlen mintavétel esetén ehhez nagyobb minta, és így nagyobb költségek szükségesek. A gyakorlati tapasztalatok azt mutatják, hogy jól végrehajtott rétegzéssel az eredeti mintanagyság tört része (harmada, negyede) is elegendő a megfelelő pontosság eléréséhez. Rétegzett mintavétel esetén az elsődleges cél – azaz, hogy a heterogenitást is figyelembe vevő mintából megbízható következtetéseket tudjunk levonni – mellett természetesen következtetéseket szeretnénk megfogalmazni az egyes részsokaságok jellemzőire is. Alkalmazása többnyire szintén listák felhasználásával történik, sőt feltételezi a rétegenkénti listák ismeretét is. Rétegzett mintavétel során először is a sokaságot többé-kevésbé homogén

30

rétegekbe soroljuk be úgy, hogy a rétegek átfedésmentesen és teljesen fedjék a sokaságot, majd az egyes rétegeken belül, egymástól függetlenül egyszerű véletlen mintavételt hajtunk végre. Annak meghatározására, hogy a teljes mintaszámot hogyan osszuk szét az egyes rétegek között, azaz az egyes rétegekből vett minták elemszáma mekkora legyen, több módszer is létezik: •

Egyenletes elosztás. Ennek lényege, hogy minden egyes rétegbe azonos számú mintaelem kerüljön. Ennek az elosztásnak a fő előnye, hogy egyszerű, semmilyen komoly tervezési, szervezési előkészítést nem igényel, végrehajtása egyszerű. Másrészt, ha végeredményként az egyes rétegek mutatóira is kíváncsiak vagyunk, ennél az elosztásnál az egyes rétegek mintavételi hibáinak összege minimális.

•

Arányos elosztás. Lényege, hogy a mintába a rétegek elemszámának megfelelő arányba választjuk meg az elemszámot, kétszer nagyobb rétegből kétszer nagyobb mintát veszünk. Előnye szintén az egyszerűség. További előnyös tulajdonság, hogy a mintában ugyanazok a súlyarányok érvényesülnek, mint a sokaságban. Végül kedvező tulajdonsága az arányos elosztással kapott mintának, hogy ha a rétegenkénti elméleti (sokasági) szórásokat nem ismerjük, illetőleg azonosnak tekintjük, akkor az alapvető mutatók esetében optimálisnak tekinthető, azaz az ebből számított mutatók mintavételi hibája minimális. Ezért ez az elosztás a gyakorlat számára kivételesen fontos.

•

Neyman-féle optimális elosztás. Alkalmazásához előre ismernünk kell rétegenként az elméleti (sokasági) szórásokat. Ekkor rögzített mintanagyság esetén kedvezőbb tulajdonságú mintát kapunk, ha a nagyobb szóródású rétegekből nagyobb, a kisebb szóródásúakból kisebb mintát veszünk. Fontos tulajdonsága ennek az elosztásnak, hogy a főátlagot ilyen mintából számítva (adott mintaszám mellett) minimális mintavételi hibához jutunk. Innen az optimális elnevezés. Hátránya viszont, hogy végrehajtása általában nem egyszerű, hiszen nehéz megbízható előzetes információkat nyerni a rétegenkénti szórásra.

•

Költségoptimális elosztás. Ez az elosztás feltételezi, hogy a sokasági szórások ismerete mellett előre ismerjük az egyes rétegek megfigyelési egységköltségeit is.

III.3.c Csoportos mintavétel Csoportos mintavételt homogén, véges sokaságokból való mintavételkor használunk, olyankor, amikor a sokasági elemek teljes listája nem áll rendelkezésre, de nagyobb összetartozó egységekre (csoportokra) rendelkezésre áll a lista. Ugyancsak csoportos mintavételt alkalmazunk olyan esetekben, amikor a csoportok (pl. területek) koncentráltságuk következtében viszonylag olcsóbban figyelhetők meg, mint hasonló számosságú, de nem koncentráltan előforduló egyedek. Csoportos mintavétel esetén a csoportok közül választunk egyszerű véletlen mintavétellel, majd az így kiválasztott csoportot teljes körűen megfigyeljük. Ha az általános iskolás gyerekek fogmosási szokásait szeretnénk megvizsgálni, akkor az egyszerű véletlen mintavétel azt jelentené, hogy az összes általános iskolás gyerek közül kellene választani, ami nem egyszerű feladat, nem beszélve arról, hogy milyen utazási vagy egyéb költséggel járna egy-egy tanulót megkérdezni az ország különböző településein. Ehelyett sokkal egyszerűbb, ha az általános iskolák közül választunk véletlenszerűen (ilyen lista létezik, s viszonylag könnyen hozzáférhető), majd a kiválasztott iskola valamennyi tanulóját megkérdezzük. A csoportos mintavétel általában egyszerűsíti, és olcsóbbá teszi a

31

mintavételt az azonos nagyságú véletlen mintához képest. A csoportos minta pontosságának lényeges meghatározója a csoporton belüli homogenitás ill. heterogenitás. Ha ugyanis nagy a csoporton belüli homogenitás, akkor a csoportos mintavétel azáltal, hogy a kiválasztott csoportok minden elemét megfigyeli, sok felesleges megfigyelést tartalmaz, ami adott mintanagyság esetén rontja a pontosságot és a hatásosságot.

III.3.d Többlépcsős mintavétel A többlépcsős mintavételt hasonló esetekben használjuk, mint a csoportos mintavételt, a különbség mindössze annyi, hogy a többlépcsős esetben több lépésen keresztül jutunk el a megfigyelési egységekig. A legegyszerűbb és leggyakoribb eljárás a kétlépcsős mintavétel, amikor az első lépésben csoportos mintavételt alkalmazunk, majd a – csoportos mintavétellel ellentétben – mintába került csoportokból is (többnyire egyszerű véletlen) mintát veszünk. Alkalmazásához lényegében ugyanazok a feltételek szükségesek, mint a csoportos kiválasztás esetén, de előnyös tulajdonsága az, hogy, többé-kevésbé homogén csoportok teljeskörű – és ennélfogva redundáns – megfigyelése helyett ebben a lépésben is mintára támaszkodik, így általában azonos mintanagyság esetén kisebb mintahibákat eredményez, mint a csoportos mintavétel.

III.3.e Nemvéletlen mintavételi eljárások Az eddig tárgyalt mintavételi módszerek a véletlen kiválasztáson alapultak, ezzel biztosítva a minta kedvező tulajdonságait, reprezentativitását. Vannak azonban a gyakorlatban kialakult olyan eljárások, melyek nem a véletlen kiválasztáson alapulnak, ezért ezek a minták nem tekinthetők statisztikai mintának. Az így kapott mintáknak hátrányos tulajdonságaik vannak. Ezek leglényegesebbje az, hogy esetükben általában nincs biztosítva az, hogy a sokaságra valóban jellemzők legyenek, így félrevezető következtetések forrásai lehetnek. Ugyancsak nem lehetséges ilyen minták esetén a mintából számított jellemzők hibáját meghatározni, azaz a bizonytalanságot, a tévedés várható nagyságát becsülni. Mindazonáltal a nemvéletlen eljárásokat viszonylag széles körben alkalmazzák, elsősorban azért, mert végrehajtásuk egyszerűbb, és esetenként összehasonlíthatatlanul olcsóbb, mint egy korrekten megtervezett és végrehajtott véletlen mintavétel. Főleg igénytelen felvételek (gyors elővizsgálatok) esetén alkalmazhatók. Az alábbiakban röviden bemutatjuk a nemvéletlen mintavételi eljárások főbb módszereit: •

A szisztematikus kiválasztásról már volt szó az egyszerű véletlen kiválasztással kapcsolatban. Láttuk azonban, hogy bizonyos esetekben – főleg időbeli megfigyelések esetén – a periodicitás miatt kerülendő. Az ilyenkor kapott minta nem tekinthető véletlen mintának.

•

A másik eléggé elterjedt módszer a kvótás kiválasztás. Ennek lényege, hogy a felvételt készítő személyek (kérdező biztosok) megkapják előre, hogy milyen összetételű mintához kell jutniuk, de előre adott kereteken belül rájuk van bízva az, hogy ezeket véletlen kiválasztással kitöltsék. Ne felejtsük el azonban, hogy a szubjektív, ötletszerű kiválasztás nem azonos a tervezett véletlen kiválasztással.

•

A következő nem véletlen eljárás a koncentrált kiválasztás. Ennek lényege, hogy erősen koncentrált sokaságok esetén, ahol tehát viszonylag kevés egyed rendelkezik nagy befolyással a sokasági jellemző kialakításában, ezeknek nagyobb esélyt adunk a mintába való bekerülésre. A fogyasztói árindex számításánál például, úgy választják ki az ún. reprezentásokat, hogy azok a forgalom döntő hányadát képviseljék. Ezek alapján a cukor 32

árindexét célszerű a legjellemzőbb, legnagyobb forgalmat jelentő csomagolt kilós kristálycukor árindexéhez (is) kötni. Ez a termék tehát mindenféleképpen bekerül a mintába, ezért nem lehet véletlen kiválasztásról beszélni. •

Inkább érdekessége, mintsem jelentősége miatt említjük a hólabda kiválasztást, amelyet ritka és nehezen számbavehető sokaságok esetén alkalmaznak. A mintavétel során kiindulnak néhány kiválasztott egyedből, majd ezek mindegyike ismeretségi körében keresi a következő mintaelemeket, és az új egyedek szintén továbbadják a kérdőíveket, illetőleg segítenek újabb egyedeket bevenni a mintába.

Összefoglalás Az eddigiek során áttekintettük a mintavétel tervezése során alkalmazott főbb véletlen és nemvéletlen eljárásokat. Ezek mindegyike külön-külön fontos módszer, de a gyakorlatban az említett eljárásokat többnyire kombináltan alkalmazzák. Az egyik ilyen kombinált alkalmazás lényege az, hogy a helyes mintavétel kialakításához szükséges információkat egy előzetes, általában kisebb igényű és költségű mintavétellel biztosítják. Ezeket szokták előzetes mintavételnek nevezni. Ezek leggyakrabban a sokaság homogenitását ill. heterogenitását, a homogén rétegek kialakulásának, kialakításának feltételeit igyekeznek felmérni. A két- illetve többfázisú mintavételt gyakran alkalmazzák a minőségellenőrzés, -szabályozás területén. A késztermék ellenőrzés gyakori módja a szekvenciális mintavétel, amelynek lényege az, hogy az első lépcsőben végrehajtott és értékelt mintavétel eredményétől függően végeznek további vizsgálatokat. Külön problémát jelent a gyártásközi ellenőrzés megtervezése, ahol az esetleges veszélyes hibák mielőbbi felderítése folyamatos ellenőrzést, mintavételt igényel. Ebben az esetben a mintavétel tervezése elsősorban a mintanagyság és a mintavétel időperiódusának meghatározását jelenti.

33

IV. Leíró statisztika Valószínűségszámítás Matematikai statisztika

Valószínűségelmélet Axiómák, alaptételek

Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek

Hipotézisvizsgálat

Elméleti eloszlások

Összefüggésvizsgálat

34

IV.1 A leíró statisztika helye, szerepe a statisztika világában A számszerű információ, annak mérése és elemzése alapvető szerepet játszik a társadalmi és gazdasági jelenségek elemzésében. E számszerű adatok a legtöbb esetben azzal a sajátossággal rendelkeznek, hogy a megfigyelésük, a feldolgozásuk, elemzésük és az elemzés eredményeinek felhasználása tudományos módszereket igényel. A statisztika a tömegesen előforduló jelenségekre, folyamatokra vonatkozó információk összegyűjtésének, leírásának, elemzésének, értékelésének és közlésének tudományos módszertana. A nemzetközi irodalomban elterjedt csoportosítás szerint megkülönböztetünk: • a leíró statisztikát, amelynek célja a vizsgálat tárgyát képező jelenség tömör, számszerű jellemzése az adatok elemzése és rendezése alapján (pl. 10 évente tartott népszámlálások adatainak feldolgozása); • míg a következtető statisztika célja a mintából történő következtetés és általánosítás a teljes sokaságra vonatkozóan (pl. néhány ezer háztartás jövedelmi adataiból megfelelő pontossággal megbecsülhető, hogy a magyar lakosság körében milyen jövedelmi különbségek vannak), vagyis a jelenségekre, folyamatokra vonatkozóan olyan megállapításokat tehetünk, amelyek nem csak a közvetlen megfigyelésen alapulnak. • A statisztikai döntéselmélet a véletlen környezet által bekövetkező események figyelembevétele mellett, több lehetséges cselekvési lehetőség közül az optimálisnak vélt kiválasztásához ad számszerű információkat (pl. beruházási döntések, új termékek bevezetésére vonatkozó döntések stb.). A leíró statisztika a megfigyelt adatok bemutatását, összefoglaló jellemzését tűzi ki célul, és ehhez az elemzéshez sokoldalú eszköztárt kínál, ebben a fejezetben célunk ennek az eszköztárnak a bemutatása.

IV.2 A statisztikai leírás célja, módszerei A leíró statisztika a numerikus információk összegyűjtését, az információk összegzését, tömör jellemzését szolgáló módszereket foglal magában, legfontosabb területei: • adatgyűjtés • adatok ábrázolása • adatok csoportosítása, osztályozása • adatokkal végzett egyszerűbb aritmetikai műveletek • eredmények megjelenítése A statisztikai jellemzőket általában három fő csoportba soroljuk, éppen az alapján, hogy az adatok milyen jellegzetességét ragadják meg: • • •

középértékek ingadozásmutatók az eloszlás alakjára jellemző egyéb mérőszámok

Az egyedi mérésekből származó adatok lehetnek diszkrétek és folytonosak.

35

A diszkrét adatok szükségképpen ugrásszerűen változnak. Például a számlálás alapján nyert adatok diszkrét típusúak (pl. téves telefonhívások száma, balesetek száma, adott időszak alatt bekövetkező gépmeghibásodások száma stb.). A folytonos adatok általában mérésből származnak. Jellemzőjük, hogy egy adott intervallumon belül elvileg bármilyen értéket felvehetnek. A mérés korlátai miatt ezek az adatok is ugrásszerűen változnak, de az ugrások nagysága a mérőeszköztől függ, maguk az adatok lényegüket tekintve folytonosak (pl. átmérő, nyúlás, gépkocsi abroncsok futásteljesítménye, nedvességtartalom).

IV.3 Az adatok ábrázolása Néhány példa: A hiba típusa gömb alakú gázzárvány gázzárvány-halmaz átolvadási hiány összeolvadási hiány gyökátfolyás hernyó alakú gázzárvány gyökoldali szélkiolvadás egy oldalról hegesztett kötésben átolvadási hiány helyi szélkiolvadás éles bemetszés nélkül alapanyag-varrat közötti összeolvadási hiány wolfrám zárvány egyenetlen varratfelület összesen:

Szabvány jelölése

Gyakoriság

Kumulált Relatív Kumulált relatív gyakoriság gyakoriság gyakoriság

2011 2013 402 401 504

78 26 14 12 4

78 104 118 130 134

53,06% 17,69% 9,52% 8,16% 2,72%

53,06% 70,75% 80,27% 88,44% 91,16%

2016

3

137

2,04%

93,20%

5013

3

140

2,04%

95,24%

4021

2

142

1,36%

96,60%

515

2

144

1,36%

97,96%

4011 3041 514

1 1 1 147

145 146 147

0,68% 0,68% 0,68% 100,00%

98,64% 99,32% 100,00%

3. ábra: Az adatok táblázatba rendezése

4. ábra: Oszlopdiagram

36

5. ábra: Kördiagram

6. ábra: Sávdiagram

7. ábra: Vonaldiagram

37

Az összes szőlőtermelés felhasználása

8. ábra: Adatok ábrázolása piktogram segítségével

38

IV.4 Tapasztalati eloszlások Az adatok ábrázolásának általános lépései a következők: 1. Osztálybasorolás (folytonos adatok és nagyszámú diszkrét megfigyelés esetén), 2. A gyakoriságok (fi) megállapítása. (Gyakoriság a sokaságban levő azonos tulajdonságú (azonos osztályba tartozó) elemek száma.) 3. A relatív gyakoriságok (gi) megállapítása:

gi =

fi , n

ahol n a megfigyelt elemek száma. 4. Az összegzett (kumulált) gyakoriságok (fi’), illetve összegzett relatív gyakoriságok (gi’) megállapítása, 5. Gyakorisági táblázat készítése (fi , gi , fi’ , gi’ adataiból), 6. A gyakorisági (relatív gyakorisági), illetve összegzett gyakorisági (relatív gyakorisági) hisztogramok (folytonos adatok esetén a poligon és az ogiva) felvétele (tapasztalati eloszlások elkészítése), 7. Grafikus ábrázolás. Feladat: Egy folyamatos üzemben 24 órán keresztül feljegyezték a gépleállások számát. A leállásokra vonatkozóan az alábbi értékek adódtak óránkénti megoszlásban: Óra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Leállások 5 3 1 2 0 3 4 5 2 6 1 1 száma Óra 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Leállások 4 0 2 3 2 0 2 3 1 4 1 6 száma 4. Táblázat: 24 óra alatti gépleállások alakulása

A példa adatai a következő gyakorisági táblázatba és hisztogramba rendezhetők: leállások száma óránként 0 1 2 3 4 5 6 összesen

az előfordulások gyakorisága (fi) 3 5 5 4 3 2 2 24 5. Táblázat

39

relatív gyakoriság (gi) 0,125 0,208 0,208 0,168 0,125 0,083 0,083 1,000

9. ábra: Gyakoriságok ábrázolása diszkrét adatok esetén

A kumulált (összegzett) gyakorisági táblázat és hisztogram: leállások száma 0 1 2 3 4 5 6

kumulált gyakoriság (fi’) 3 8 13 17 20 22 24

kumulált relatív gyakoriság (gi’) 0,125 0,333 0,541 0,709 0,834 0,917 1,000

6. Táblázat

10. ábra: Kumulált relatív gyakoriságok ábrázolása diszkrét adatok esetén

40

Feladat: Mint későbbi tanulmányaink (Vállalati pénzügyek) során látni fogjuk, gazdasági elemzéseinknél gyakran szükség van a részvényektől elvárt hozam becslésére. (A részvények elvárt hozama időben viszonylag stabil, így a jövőre vonatkozó becsléseinket múltbeli adatainkra alapozhatjuk). A Budapesti Értéktőzsde Részvényindexét (BUX) – az ideiglenes index némi változtatásával és 1991-ig visszafelé is meghatározva – 1995 január 1-i hatállyal vezették be. Az index bázisa az 1991. január 2-án számított 1000 pont. Egy 5 éves időszak havi hozamainak értékeit az alábbi táblázatban foglaltuk össze. dátum

BUX[%]

dátum

BUX[%]

február 1.

-7,54

november 1.

2,03

március 1. április 5.

-0,17 -11,02

december 2. január 6.

12,51 32,3

május 2. június 1. július 1. augusztus 1. szeptember 1. október 3.

-2,5 -8,24 4,91 13,01 -8,45 16,88

február 3. március 3. április 1. május 5. június 2. július 1.

2,44 -2,91 10,03 3,79 12,9 15,99

november 1. december 1. január 5. február 1. március 1. április 3.

-5,08 -4,89 -18,98 4,05 1,62 11,68

augusztus 1. szeptember 2. október 1. november 3. december 1. január 7.

-8,2 6,34 -7,26 -6,75 20,24 -7,22

május 2. június 1. július 3. augusztus 1. szeptember 1. október 2.

5,44 -4,79 2,06 5,16 1,81 -6,05

február 2. március 2. április 1. május 4. június 2. július 1.

11,27 4,84 -1,21 -17,48 10,63 3,45

november 1. december 1. január 4. február 1. március 1. április 1.

-0,93 2,92 35,26 7,81 9,75 7,67

augusztus 3. szeptember 1. október 1. november 2. december 1. január 7.

-36,06 -12,97 26,91 12,53 5,51 3,16

május 2. június 3. július 1. augusztus 1. szeptember 3. október 1.

11,06 12,39 -12,85 21,26 18,57 6,46

február 1. március 1. április 1. május 3. június 1.

-13,63 -2,37 9,02 4,58 4,59

7. Táblázat

Dolgozzuk fel a havi hozam adatokat leíró statisztikai eszközökkel! 41

Az Y szerint képzett osztály alsó

felső

Osztályközép

abszolút

relatív

gyakoriság

határa X10

X11

X 1*

f1

g1

X20

X21

X 2*

f2

g2

Xi0

Xi1

fi

g i =gi

Xk0

Xk1

fk

gk

N

1

X i∗ =

1 ( XXii0* + X i1 ) 2 X k*

Összesen

fi N

11. ábra: Gyakorisági sor

Ahol: • X (adatainkat jellemző) mennyiségi ismérv, • Adathalmazunkból k db osztályt képzünk, • A 0-s index az osztály alsó határát, az 1-es index pedig az osztályköz felső határát jelenti, • Xi* az osztályközép, • fi az abszolút vagy tapasztalati gyakoriság, gi pedig a relatív gyakoriság. Mérlegelendő szempontok az osztályozásnál: • Mi a célunk az osztályozással? • A teljes értékközt hány rész-értékközre bontsuk fel, vagyis hány osztályt alakítsunk ki?6 • Az osztályhatárok megállapításánál, kialakításánál milyen szempontokat célszerű figyelembe venni? A fenti példánk alapján a gyakoriság táblázat: Osztályhatárok -40,00 ≤ x <-30,00 -30,00 ≤ x <-20,00 -20,00 ≤ x <-10,00 -10,00 ≤ x < 0,00 0,00 ≤ x < 10,00 10,00 ≤ x < 20,00 20,00 ≤ x < 30,00 30,00 ≤ x < 40,00 Összesen

fi 1 0 6 17 23 13 3 2 65

F’i 1 1 7 24 47 60 63 65

gi [%] 1,54 0,00 9,23 26,15 35,38 20,00 4,62 3,08 100,00

8. Táblázat

6

A szakirodalomban szereplő javaslatok az osztályok számára (k) vonatkozóan:

2 k > n , illetve k = 1 + 3,3 ⋅ lg n

42

g’i [%] 1,54 1,54 10,77 36,92 72,30 92,30 96,92 100,00

A gyakorisági hisztogram: Az egyes értékközök felé emelt téglalapok területe arányos az egyes osztályokhoz tartozó tapasztalati gyakoriságokkal. A piros (folytonos) vonallal jelölt függvényt sűrűségfüggvénynek nevezzük.

12. ábra: Sűrűségfüggvény

A kumulált relatív gyakorisági hisztogram: n = 65 x = 3 ,19 % s * = 12 ,05 %

13. ábra: Eloszlásfüggvény

A kumulált gyakoriságok grafikus ábrázolással nyert képét tapasztalati eloszlásfüggvénynek is szokás nevezni. A folytonos adatok eloszlásfüggvényét folytonos vonallal is összeköthetjük, és az így kapott görbét ogivának nevezzük. Ez azt mutatja meg, hogy megközelítően milyen lenne a tapasztalati eloszlásfüggvény, ha az osztályközöket minden határon túl csökkentenénk, az osztályközökbe eső adatok számát pedig minden határon túl növelnénk. Az ogivát felhasználhatjuk egy adott értéknél kisebb értékek számának vagy relatív gyakoriságának meghatározására. Fordítva is eljárhatunk, vagyis megállapíthatjuk azt az értéket, amelyik alá adott relatív gyakorisággal esnek az adatok. Az ilyen értékeket kvantiliseknek nevezzük.

43

IV.5 Tapasztalati eloszlások középérték mutatói A középérték mutatók a gyakorisági eloszlás helyzetét egyetlen, az adatokkal azonos mértékegységű számértékkel jellemzik. E középértékekkel kapcsolatos elvárásaink, hogy legyenek: • Közepes helyzetűek • Tipikusak • Egyértelműen meghatározhatóak • Könnyen értelmezhetőek A középérték-mutatóknak két nagy csoportja ismeretes: • Helyzeti középértékek: az adatok közötti elhelyezkedésüknél fogva jellemzik a vizsgált gyakorisági eloszlás helyzetét. • Számított középértékek: az adatokkal kapcsolatos számszerű összefüggésük révén jellemzik vizsgált gyakorisági eloszlás helyzetét. Az alábbiakban bemutatásra kerülő középérték mutatók a medián, a módusz, a számtani átlag, a harmonikus átlag, a mértani átlag és a négyzetes átlag.

IV.5.a Medián (Me) Jellemzői: helyzeti középérték, közepes helyzetű. A medián a változó azon számértéke, amelynél az összes előforduló számérték fele kisebb, fele pedig nagyobb, tehát a rangsorba állított sokasági számértékeket két egyenlő gyakoriságú osztályra bontja. Röviden: a nagyságrend szerint rendezett adatok középső értéke (páros számú adat esetén a két középső érték átlaga). Példa: 6, 8, 4, 9, 7, 3, 5, 4, 9, 7, 8, 11, 5, 7, 9, 3, 10, 5, 2, 5,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 4, 5, 7, 8, 9, 11 2, 3, 5, 5, 7, 9, 10

Me=6 Me=7,5 Me=5

Ha a BUX index korábbi, 65 havi hozamadatait vesszük alapul, akkor e 65 adatot sorba állítva, a rangsor 33. tagja lesz a medián, hiszen ennél 32 kisebb, és 32 nagyobb érték lesz a rangsorban, ez pedig 3,79. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-36,06 -18,98 -17,48 -13,63 -12,97 -12,85 -11,02 -8,45 -8,24 -8,2

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-7,54 -7,26 -7,22 -6,75 -6,05 -5,08 -4,89 -4,79 -2,91 -2,5

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

-2,37 -1,21 -0,93 -0,17 1,62 1,81 2,03 2,06 2,44 2,92

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

3,16 3,45 3,79 4,05 4,58 4,59 4,84 4,91 5,16 5,44

44

41 5,51 42 6,34 43 6,46 44 7,67 45 7,81 46 9,02 47 9,75 48 10,03 49 10,63 50 11,06

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

11,27 11,68 12,39 12,51 12,53 12,9 13,01 15,99 16,88 18,57

61 62 63 64 65

20,24 21,26 26,91 32,3 35,26

Osztályközös gyakorisági sor esetén a medián az alábbi formulával becsülhető: N − f me' −1 Meˆ = X me ,0 + 2 ⋅ hme f me ahol me annak a legelső osztályköznek a sorszáma, amelyre igaz, hogy N f me' ≥ 2 és Xme,0 az me sorszámú osztályköz alsó határa, és a hme pedig ennek az osztálynak az osztályközhosszúsága, ami egyszerűen a felső és alsó osztályhatár értékének a különbsége.

Példa: Vegyük a korábbi BUX-indexes példánkat, és tegyük fel, hogy csak a gyakorisági táblázat áll rendelkezésünkre, és nem ismerjük egyenként az összes hozamadatot. Nézzük meg, hogy ilyen esetben hogyan becsülhető a medián! osztályhatárok -40,00 ≤ x <-30,00 -30,00 ≤ x <-20,00 -20,00 ≤ x <-10,00 -10,00 ≤ x < 0,00 0,00 ≤ x < 10,00 10,00 ≤ x < 20,00 20,00 ≤ x < 30,00 30,00 ≤ x < 40,00 összesen

f me' ≥

N 2

N/2=32,5

Meˆ = X me , 0

fi 1 0 6 17 23 13 3 2 65

f’i 1 1 7 24 47 60 63 65

gi [%] 1,54 0,00 9,23 26,15 35,38 20,00 4,62 3,08 100,00

g’i [%] 1,54 1,54 10,77 36,92 72,30 92,30 96,92 100,00

a mediánt tartalmazó osztály az ötödik osztály: 0,00 ≤ x < 10. N − f me' −1 32,5 − 24 2 + ⋅ hme = 0,00 + ⋅ (10,00 − 0,00) = 3,69 f me 23

A medián előnye, hogy mindig egyértelműen meghatározható, és mivel valódi középérték, így érzéketlen az adathalmazunkban szereplő szélsőértékekre, amely szélsőségesen nagy vagy kicsi értékeket általában a véletlen szeszélyei alakítják, és nem függ a többi ismérvértéktől sem. Ha az adathalmazunkban sok az egyforma ismérvérték, akkor sem tanácsos használni.

45

IV.5.b Módusz (Mo) A módusz – a mediánhoz hasonlóan – helyzeti középérték. A módusz nem mindig határozható meg egyértelműen, és nem is mindig létezik. Diszkrét változó esetén a változó leggyakrabban előforduló értéke (korábbi példánkban az óránkénti 1 és 2 leállás gyakorisága egyaránt 5-5 volt). leállások száma óránként 0 1 2 3 4 5 6 összesen

az előfordulások gyakorisága 3 5 5 4 3 2 2 24

Folytonos ismérv esetén a módusz a gyakorisági görbe maximum helye. Folytonos változó esetén a mediánhoz hasonló módon osztályközös gyakorisági sorból is becsülhető.

Moˆ = X mo,0 +

da ⋅ hmo da + d f

Ebben a képletben mo a móduszt tartalmazó osztályköz sorszáma, da és df

d f = f mo − f mo +1

d a = f mo − f mo −1

A móduszt mindig az az osztályköz tartalmazza, amelyikhez a hisztogram legmagasabb oszlopa tartozik7. osztályhatárok -40,00 ≤ x <-30,00 -30,00 ≤ x <-20,00 -20,00 ≤ x <-10,00 -10,00 ≤ x < 0,00 0,00 ≤ x < 10,00 10,00 ≤ x < 20,00 20,00 ≤ x < 30,00 30,00 ≤ x < 40,00 összesen

fi 1 0 6 17 23 13 3 2 65

f’i 1 1 7 24 47 60 63 65

gi [%] 1,54 0,00 9,23 26,15 35,38 20,00 4,62 3,08 100,00

g’i [%] 1,54 1,54 10,77 36,92 72,30 92,30 96,92 100,00

Folytonos ismérv esetén a móduszt a legnagyobb gyakoriságú osztály tartalmazza:

7

Megjegyzés: néha a módusz becslésének egyszerűen a móduszt tartalmazó osztályköz osztályközepét tekintik (példánkban ez 5,00 lenne), ezt nyers módusznak hívják. Bárhogyan is határozzuk meg a móduszt, az arra kapott közelítő érték esetleges, mert függ az osztályközök számától és hosszától.

46

da ( 23 − 17) ⋅ hmo = 0,00 + ⋅ (10,00 − 0,00) = 3,75 da + d f ( 23 − 17) + ( 23 − 13) A módusz előnye, hogy a mediánhoz hasonlóan nem függ sem az összes, sem a kiugró ismérvértékektől. A módusz hátránya, hogy nem határozható meg mindig egyértelműen, és nem is mindig létezik. Moˆ = X mo ,0 +

IV.5.c Számtani átlag (x ) A leggyakrabban használt középértékmutató: az „átlag”, számított középérték. Az a szám, amellyel az átlagolandó számértékeket helyettesítve azok összege változatlan marad. Számítása: n

x=

r

∑x ∑ f x i =1

n

i

≅

i =1 r

∗ i i

∑f i =1

r

= ∑ g i xi∗ i =1

i

ahol: xi = az i. tag számértéke xi*= az i. osztály osztályközepe fi = az i. osztály gyakorisága gi = az i. osztály relatív gyakorisága r = osztályok száma Diszkrét példa: leállások száma óránként 0 1 2 3 4 5 6 összesen 6

x=

∑f i =0

i

⋅ xi

6

∑f i =0

=

az előfordulások gyakorisága 3 5 5 4 3 2 2 24

0 ⋅ 3 + 1⋅ 5 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 = 2,54 24

i

Folytonos példa: Vegyük ismét a korábbi BUX-indexes példánkat! Ha a rendelkezésre álló 65 egyedi adatunkból számítjuk ki a számtani átlagot: 65

x=

∑x i =1

65

i

=

− 7,54 + ( −0,17) + ( −11,02) + ... + 9,02 + 4,58 + 4,59 207,37 = = 3,19 %-ot kapunk. 65 65

47

Az osztályközös gyakorisági táblázatunkat alapul véve is becsülhetjük a számtani átlagot: osztályhatárok -40,00 ≤ x <-30,00 -30,00 ≤ x <-20,00 -20,00 ≤ x <-10,00 -10,00 ≤ x < 0,00 0,00 ≤ x < 10,00 10,00 ≤ x < 20,00 20,00 ≤ x < 30,00 30,00 ≤ x < 40,00 összesen 8

x=

∑fx i =1 8

i

∑f i =1

∗ i

=

fi 1 0 6 17 23 13 3 2 65

f’i 1 1 7 24 47 60 63 65

gi [%] 1,54 0,00 9,23 26,15 35,38 20,00 4,62 3,08 100,00

g’i [%] 1,54 1,54 10,77 36,92 72,30 92,30 96,92 100,00

1 ⋅ ( −35,00) + 0 ⋅ ( −25,00) + 6 ⋅ ( −15,00) + 17 ⋅ ( −5,00) + 65

i

+ 23 ⋅ 5,00 + 13 ⋅ 15,00 + 3 ⋅ 25,00 + 2 ⋅ 35,00 = 3,77 65 8

x = ∑ g i xi∗ = 0,0154 ⋅ ( −35,00) + 0 ⋅ ( −25,00) + 0,0923 ⋅ ( −15,00) + 0,2615 ⋅ ( −5,00) + 0,3538 ⋅ 5,00 + i =1

+ 0,20 ⋅ 15,00 + 0,0462 ⋅ 25,00 + 0,0308 ⋅ 35,00 = 3,77 Ebben az esetben a két eredmény (3,19 és 3,77) közötti eltérés összefüggésben van a sokaság számosságával, az osztályközök hosszával, és az osztályközepek megválasztásával. A számtani átlag előnye, hogy bármely alapadathalmazból egyértelműen meghatározható, minden alapadatot felhasznál. A hátránya – a módusszal és mediánnal szemben –, hogy érzékeny a szélsőértékekre.

IV.5.d Egyéb átlagfajták Harmonikus átlag ( x h ) : Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve ezek reciprokainak összege változatlan marad. Számítása: r

xh =

n n

1 ∑ i =1 xi

≅

∑f i =1

r

∑f i =1

i

i

1 xi∗

Alkalmazása: Leggyakrabban akkor használjuk, ha az értékek reciprokainak összege értelmezhető. Ilyen esetekkel elsősorban a leíró statisztikai viszonyszámok és indexek számításánál találkozunk.

48

Mértani átlag ( x g ) : Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok szorzata változatlan marad. Számítása:

x g = n πxi ≅ ∑ πxi∗ fi

fi

ahol:π (produktum) az összeszorzás jele. Egy n tagú sokaság x1, x2, …, xn megfigyelt értékeinek mértani átlagát úgy számítjuk ki, hogy az értékeket összeszorozzuk, és a szorzatból annyiadik gyököt vonunk, ahány értéket összeszoroztunk8. Alkalmazása: A mértani átlagot akkor használjuk, ha az értékek szorzata értelmezhető, illetve az átlagolandó értékek exponenciálisan nőnek vagy csökkennek. Leggyakrabban az időbeli fejlődés átlagos ütemének vizsgálatakor használjuk. Idősorok elemzése során (pl. termelés évenkénti alakulása, tőzsdeindex havi változása, stb.) általában az időszakról időszakra bekövetkezett növekedést, vagy csökkenést vizsgáljuk. Négyzetes átlag ( x q ) : Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok négyzetösszege változatlan marad. Számítása: n

xq =

∑ xi2 i =1

n

r

≅

∑f i =1

i

⋅ xi∗

2

r

∑f i =1

i

Egy n tagú sokaság x1, x2, …, xn értékeiből a négyzetes átlagot úgy számítjuk ki, hogy az átlagolandó értékek négyzeteinek számtani átlagát vesszük és ebből négyzetgyököt vonunk. Természeténél fogva a négyzetes átlag a kiugróan magas értékekre reagál érzékenyen. Alkalmazása: A négyzetes átlag alkalmazására leginkább akkor kerül sor, amikor az értékek között pozitív és negatív értékek egyaránt előfordulnak, de az előjeleknek a vizsgálat szempontjából nincs jelentőségük, az értékek abszolút nagyságát kívánjuk a középértékekkel jellemezni. Tipikus alkalmazási területe a szórásszámítás.

IV.5.e Választás a középértékek között Bebizonyítható, hogy ugyanazon pozitív xi értékekből számított különböző fajta átlagok között a következő nagyságrendi reláció áll fenn: xmin ≤ xh ≤ x g ≤ x ≤ xq ≤ xmax 8

Megjegyzés: ha az értékek között 0 is szerepel, akkor a mértani átlagot nem használhatjuk.

49

A harmonikus és a mértani átlag a nagyon alacsony, a négyzetes átlag a magas értékekre mutat fokozott érzékenységet. Az átlagolandó értékek jellege, és az átlag számításához rendelkezésre álló információ együttesen határozza meg, hogy milyen esetben melyik átlagfajtát célszerű használni. A választás során érdemes mérlegelni a következőket: • Egyértelműen meghatározható-e? • Az összes rendelkezésre álló adattól függ-e vagy sem? • Mennyire érzékeny a szélsőségesen nagy vagy kicsi értékekre? • Mekkora és milyen módon értelmezhető hibával képes helyettesíteni az alapadatokat?

Mo Me x

14. ábra: Középértékek összehasonlítása

x Me Mo

IV.5.f Kvantilisek Eddig egyenlő osztályköz-hosszúságú gyakorisági sorokat képeztünk, az ilyen osztályközök relatív gyakoriságai eltértek egymástól. Lehetőség van olyan osztályhatárok keresésére, amelyek egyenlő relatív gyakoriságokat fognak közre. Az ilyen osztályközök – általában – nem egyenlő hosszúságúak. Ezen osztályhatárok megállapításához használjuk a kvantiliseket. A kvantilisek azok az értékek, amelyek különböző adott arányokban bontják fel az adathalmazt. A p-edrendű kvantilis az eloszlást p/ 1-p arányban osztja ketté. Meghatározásuk úgy történik, hogy adatainkat nagyság szerint növekvő sorrendbe rendezzük (rangsort készítünk), majd az értékeket k számú egyenlő gyakoriságú csoportra osztjuk, és az egyes csoportok felső határán lévő ismérvértékeket vesszük. Ezek lesznek a kvantilis értékek. A különböző számú csoportba rendezéshez a kvantilisek konkrét elnevezései tartoznak. Ha az adatokat két részre osztjuk, akkor a mediánt (Me) kapjuk. Négy részre való osztásnál kvartiliseket (Qi, i=1,2,3) ad, öt rész esetén kvintiliseket (Ki, i=1, 2, 3, 4), tíz rész esetén deciliseket (Di, i=1,2,…,9) száz részre való osztásnál percentiliseket (Pi, i=1,2,3,…,99) nyerünk. Ha például az egyetemre jelentkezők pontszámát értékelve 112 pont a hatodik decilis érték, ez azt jelenti, hogy a jelentkezők hatvan százaléka 112 pontnál kevesebbel, 40%-a pedig 112 ponttal, vagy annál többel rendelkezik.

50

k

Elnevezés

Általános jelölés

i lehetséges értéke

Lehetséges kvantilisek

2

Medián

-

1

Me

4

Kvartilis

Qi

1,2,3

Q1, Q 2, Q 3

5

Kvintilis

Ki

1,2,3,4,

K1, K 2, K 3, K4

10

Decilis

Di

1,2,…,9

D 1, D 2, … D 9

100

Percentilis

Pi

1,2,…,99

P 1, P 2, …,P 99

9. Táblázat: A leggyakrabban használt kvantilisek

Példa: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-36,06 -18,98 -17,48 -13,63 -12,97 -12,85 -11,02 -8,45 -8,24 -8,2

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

-7,54 -7,26 -7,22 -6,75 -6,05 -5,08 -4,89 -4,79 -2,91 -2,5

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

-2,37 -1,21 -0,93 -0,17 1,62 1,81 2,03 2,06 2,44 2,92

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

3,16 3,45 3,79 4,05 4,58 4,59 4,84 4,91 5,16 5,44

41 5,51 42 6,34 43 6,46 44 7,67 45 7,81 46 9,02 47 9,75 48 10,03 49 10,63 50 11,06

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

11,27 11,68 12,39 12,51 12,53 12,9 13,01 15,99 16,88 18,57

61 62 63 64 65

20,24 21,26 26,91 32,3 35,26

Számítása: Rangsorba rendezett adataink i/k-ik tagja. i ( N + 1) Értéke: X i / k = X [∗si / k ] + {si / k }( X [∗si / k ]+1 − X [∗si / k ] ) k (Megjegyzés: a [ ] az egészrészt, a { } a zárójelben levő mennyiség törtrészét jelöli.) A BUX-indexes példánk alapján számítsuk ki a következő kvantiliseket! si / k =

Alsó kvartilis: 1 s1 / 4 = ⋅ (1 + 65) = 16,5 4 Tehát az alsó kvartilisünk a rangsorba rendezett 65 db havi hozamadat 16,5-ik tagja. Számítása:

Q1 = X [∗s1 / 4 ] + {s1 / 4 }( X [∗s1 / 4 ]+1 − X [∗s1 / 4 ] ) = −5,08 + 0,5 ⋅ (−4,89 − (−5,08)) = −4,985 (egyszerűbb számítás: egyszerűen a rangsor 16. és 17. értékének számtani átlaga) Értelmezése: a rangsorba rendezett adatok 1/4-e kisebb, mint -4,985, és 3/4-e pedig nagyobb. Felső kvartilis: 3 s3 / 4 = ⋅ (1 + 65) = 49,5 4 Tehát a felső kvartilisünk a rangsorba rendezett 65 db havi hozamadat 49,5-ik tagja. Q3 = X [∗s3 / 4 ] + {s3 / 4 }( X [∗s3 / 4 ]+1 − X [∗s3 / 4 ] ) = 10,63 + 0,5 ⋅ (11,06 − 10,63) = 10,845

51

Értelmezése: a rangsorba rendezett adatok 3/4-e kisebb, mint 10,845, és 1/4-e pedig nagyobb. Alsó decilis 1 s1 / 10 = ⋅ (1 + 65) = 6,6 10 D1 = X [∗s1 / 10 ] + {s1 / 10 }( X [∗s1 / 10 ]+1 − X [∗s1 / 10 ] ) = −12,85 + 0,6 ⋅ (−11,02 − (−12,85)) = −11,752 Értelmezése: a rangsorba rendezett adatok 1/10-e kisebb, mint -11,752, és 9/10-e pedig nagyobb. Felső decilis: 9 s9 / 10 = ⋅ (1 + 65) = 59,4 10 D9 = X [∗s 9 /10 ] + {s9 / 10 }( X [∗s9 / 10 ]+1 − X [∗s9 / 10 ] ) = 16,88 + 0,4 ⋅ (18,57 − 16,88) = 17,556 Értelmezése: a rangsorba rendezett adatok 9/10-e kisebb, mint 17,556, és 1/10-e pedig nagyobb.

IV.6 Az ingadozás mérőszámai A rendelkezésre álló adathalmazunkban szereplő értékek változékonysága, szóródása kétféleképpen is megragadható: az egyes értékek egymás közötti különbségein, vagy pedig az egyes értékeknek egy kitüntetett értéktől (középérték) való eltérésein keresztül. A másik csoportosítási lehetőség: léteznek abszolút és relatív ingadozásmutatók. Az abszolút szóródási mutatók mértékegysége ugyanaz, mint az alapadatoké. A relatív szóródási mutatók elvonatkoztatnak az eredeti mértékegységtől, és különböző ismérvértékek szóródásának az összehasonlítását szolgálják. A most bemutatásra kerülő legfontosabb ingadozásmutatók: a terjedelem, az interkvantilis terjedelem, az átlagos abszolút különbség, az átlagos abszolút eltérés, a tapasztalati szórás, a korrigált tapasztalati szórás és a relatív szórás.

IV.6.a Terjedelem (R) Az adathalmazban szereplő legnagyobb és legkisebb adat különbsége. Számítása: R = X max − X min Előnye a könnyű számítás, hátránya, hogy csak a két legszélsőségesebb ismérvértéktől függ. A hátránya miatt gyakran használják az interkvantilis terjedelemmutatót, mivel a két szélső kadrendű kvantilis jelentősen csökkenti a véletlennek a szélsőértékeket alakító szerepét. Pl. Az interkvartilis terjedelemmutató a felső és alsó kvartilis különbségeként adódik: R1 / 2 = Q3 − Q1 Vegyük ismét a korábbi BUX-indexes példánkat, és számítsuk ki a terjedelmet: R = 35,26 − ( −36,06) = 71,32

52

Az interkvartilis terjedelem: R1 / 2 = 10,845 − ( −4,985) = 15,83

IV.6.b Átlagos abszolút különbség (G) Ez a szóródási mutató a minden lehetséges módon párba állított értékek különbségeinek abszolút értékéből számított számtani átlag. Ez a G ingadozásmutató azt mutatja meg, hogy az x ismérv értékei átlagosan mennyire különböznek egymástól. Mértékegysége ugyanaz, mint az alapadatoké.

G= ahol N az adatok számát jelenti. Speciális felhasználási területe meglehetősen kényelmetlen.

N N 1 ∑∑ X i − X j N ( N − 1) i =1 j =1

a

koncentrációelemzés,

hátránya,

hogy

számítása

Mivel a BUX-indexes példában meglehetősen kényelmetlen számítani, így egy egyszerűbb példán keresztül mutatjuk be: Példa: Véletlenszerűen kiválasztunk 5 MBA hallgatót, és kiszámítjuk a Kvantitatív módszerek tárgy vizsgáján elért eredményük átlagos abszolút különbségét. Az elért pontok: 45, 52, 76, 87, 92

45 52 76 87 92

45 0 7 31 42 47

52 76 7 31 0 24 24 0 35 11 40 16 10. Táblázat

87 42 35 11 0 5

92 47 40 16 5 0

516 = 25,8 , azaz az 5 MBA hallgató Kvantitatív módszerek tárgy vizsgán elért pontja 5(5 − 1) átlagosan 25,8 ponttal tér el egymástól. G=

IV.6.c Átlagos abszolút eltérés (∆ ∆) Az átlagos abszolút eltérés az ingadozásmutatók azon csoportjába tartozik, amelyek a szóródást az értékeknek egy kitüntetett értéktől való eltéréseire támaszkodva jellemzik. Tulajdonképpen az egyes értékek és a számtani átlag különbségeinek abszolút értékeiből számított számtani átlag. Számítása: n

∆ =

∑ di

i =1

ahol: d i = xi − x

n

53

Ez a mutató is becsülhető osztályközös gyakorisági sorból a tapasztalati gyakoriságok felhasználásával. Ebben az esetben a di eltérések számításánál az osztályközepeket kell alapul vennünk. r

∆ ≅

∑ fi d i

i =1

r

∑ fi

i =1

A BUX-indexes példánk átlagos abszolút eltérése: (Az egyedi adatokból számított számtani átlagot felhasználva) n

∆ =

∑ di

i=1

n

=

− 7 ,54 − 3 ,19 + − 0 ,17 − 3 ,19 + ... + 4 , 59 − 3 ,19 = 8 , 93 65

Azaz az egyes hozamadatok átlagosan 8,93%-kal térnek el a számtani átlagtól. Osztályközös gyakorisági sorból becsülve (az ugyanígy becsült számtani átlaggal számolva és a gyakoriságokkal súlyozva):

∆=

1⋅ −35−3,77 + 0⋅ − 25−3,77 + 6⋅ −15−3,77 +...+3⋅ 25−3,77 + 2⋅ 35−3,77 = 9,244 65

IV.6.d Tapasztalati szórás (s), korrigált tapasztalati szórás (s*) Ahogy a számtani átlag „az átlag”, úgy a tapasztalati és a korrigált tapasztalati szórás „a szórás”. A szórás az adathalmazunk változékonyságának legfontosabb mérőszáma. Nagyon hasonlít az előbbi mutatóhoz, és jelentése is hasonló: annyiban tér el, hogy a di eltérések előjelét nem abszolút érték képzésével, hanem négyzetre emeléssel „oldja meg”, majd a négyzetreemelést gyökvonással „teszi jóvá”. A szórás az átlagtól vett di eltérések négyzetes átlaga. Ennek megfelelően azt mutatja, hogy az értékek mennyire térnek el a számtani átlagtól. Számítása:

(

)

n 2 n 2 r ∗ 2 ∑ xi − x ∑ di ∑ f i ( x − x) i s = i =1 = i =1 ≅ i =1 r n n ∑ f i =1 i n

s = *

(

∑ xi − x

i =1

)

2

n −1

BUX-indexes példánk szórása az egyedi adatokból számolva (az egyenkénti adatokból számított számtani átlagtól való átlagos eltérést mérve):

(

)

n 2 ∑ xi − x s = i =1 = n

(− 7,54 − 3,19)2 + (− 0,17 − 3,19)2 + ... + (4,58 − 3,19)2 + (4,59 − 3,19)2 65

54

=11,95

(

)

n 2 ∑ xi − x s∗ = i = 1 = n −1

(− 7,54 − 3,19)2 + (− 0,17 − 3,19)2 + ... + (4,58 − 3,19)2 + (4,59 − 3,19 )2 64

=12,04

Osztályközös gyakorisági sorból becsülve: osztályhatárok -40,00 ≤ x <-30,00 -30,00 ≤ x <-20,00 -20,00 ≤ x <-10,00 -10,00 ≤ x < 0,00 0,00 ≤ x < 10,00 10,00 ≤ x < 20,00 20,00 ≤ x < 30,00 30,00 ≤ x < 40,00 összesen

fi 1 0 6 17 23 13 3 2 65

f’i 1 1 7 24 47 60 63 65

gi [%] 1,54 0,00 9,23 26,15 35,38 20,00 4,62 3,08 100,00

g’i [%] 1,54 1,54 10,77 36,92 72,30 92,30 96,92 100,00

(Gyakorisági sorból becsült számtani átlaggal) 8 2 ∑ fi d i 1 ⋅ (−35 − 3,77) 2 + 0 + 6 ⋅ (−15 − 3,77) 2 + ... + 3 ⋅ (25 − 3,77) 2 + 2 ⋅ (35 − 3,77) 2 = ≈ 12,34 s = i=18 65 ∑f i=1 i

IV.6.e Relatív szórás (v) A szórás és a számtani átlag hányadosa. Elsősorban különböző sokaságok vagy ismérvek szóródásának összehasonlítására használják. A relatív szórás úgy is értelmezhető, mint az értékek átlagtól vett átlagos eltérése, ezért minél kisebb a relatív szórás, a számtani átlag annál jobban jellemzi az alapadatokat. Számítása: v=

s ⋅ 100[%] X

IV.7 Az eloszlás alakját jellemző egyéb mutatószámok A gyakorisági eloszlások alakmutatói annak tömör és számszerű jellemzésére szolgálnak, hogy azok milyen tekintetben és milyen mértékben térnek el az ebből a szempontból etalonnak tekintett normális eloszlás jellegzetes gyakorisági görbéjétől (a haranggörbétől)9.

9

Megjegyzés: mivel a normális eloszlás egy móduszú, így ennek az összehasonlításnak csak szintén egy móduszú gyakorisági eloszlások esetén van értelme. Ha egy gyakorisági görbének több módusza van, akkor az arra enged következtetni bennünket, hogy az elemzést a sokaság részekre bontásával célszerű folytatni, mert az eddig megismert mutatószámok nem alkalmasak a vizsgált jelenség tömör, számszerű jellemzésére.

55

Az eltérések fajtái: • az etalonnak tekintett normális eloszlás haranggörbéjéhez képest bal ill. jobb oldali aszimmetria; • a gyakorisági eloszlás ábrájának csúcsosabb, vagy lapultabb, mint a normális eloszlásé.

15. ábra: Eloszlások alakjának lehetséges eltérése a normál eloszlástól

IV.7.a Aszimmetria mutató A bal oldali aszimmetriával rendelkező eloszlások grafikus ábrája a módusztól jobbra hosszan elnyúlik. Ennek megfelelően a jobb oldali aszimmetriát mutató eloszlásokat pedig balra hosszan elnyúló eloszlásoknak nevezik10. Többféle aszimmetria mérőszám létezik, mi ezek közül most egyet mutatunk be: Pearson-féle mutatószám: P=

3 ⋅ ( x − Me) s

A Pearson-féle mutatószám mérsékelten aszimmetrikus eloszlásoknál nem szokott 1-nél nagyobb lenni. Ez a mutató az átlag és a medián különbségére alapozza az aszimmetria jellemzését11. Nézzük a BUX-indexes példánkat! (egyedi adatokból indulunk ki, és nem osztályközös gyakorisági sorból)

10

A társadalmi-gazdasági jelenségek elemzésekor általában bal oldali aszimmetriával találkozunk. Ennek oka, hogy a 0 érték, vagy a vizsgált társadalmi-gazdasági jelenség természetéből adódóan valamilyen minimális érték kemény alsó korlátot képez, míg felülről nem létezik ilyen korlát. Pl. a jövedelmek vagy a vagyon nagyságának eloszlása tipikusan bal oldali aszimmetriát mutat.

11

A mérsékelt bal vagy jobb oldali aszimmetriát mutató gyakorisági sorok esetén a medián többnyire harmadolja a módusz és az átlag közötti távolságot úgy, hogy az átlaghoz esik közelebb. A Pearson-féle mutatószám valójában az átlag és a módusz különbségére alapozza az aszimmetria jellemzését, de a medián könnyebben becsülhető osztályközös gyakorisági sorból, mint a módusz.

56

P=

3 ⋅ ( x − Me) 3 ⋅ (3,19 − 3,79) = = −0,15 s 11,95

Enyhe jobb oldali aszimmetria12 (15. ábra).

IV.7.b Csúcsossági mutató A csúcsossági mutatók közül is egy mutatót emelünk ki. Ez a mutató azon a megfigyelésen alapszik, hogy minél csúcsosabb egy eloszlás, annál kisebb a felső és alsó kvartilis különbségének a fele a két szélső decilis különbségéhez viszonyítva. Normális eloszlás esetén ennek értéke 0,263, ami a mutató értékeléséhez ad támpontot. Minél lapultabb a vizsgált gyakorisági eloszlás, annál nagyobb K értéket kapunk. A BUX-indexes példánk csúcsosságának kiszámításához felhasználjuk a korábban kiszámított kvartiliseket és deciliseket: K=

Q3 − Q1 10,845 − ( −4,985) 15,83 = = = 0,27 2 ⋅ ( D9 − D1 ) 2 ⋅ (17,556 − ( −11,752)) 58,616

Esetünkben valamivel laposabb a gyakorisági eloszlás, mint a normális eloszlásé.

Összefoglalás: A gyakorisági eloszlások helyzetének, szóródásának és alakjának jellemzésére szolgáló mutatószámok közül gyakorlati szempontból az átlag és a szórás a legfontosabb. Az átlag és a szórás ismeretében a valószínűségszámítás egyes eredményeire támaszkodva elég jó becslés adható arra, hogy az értékek milyen intervallumon belül ingadoznak. Ha az átlag és a szórás mellett még ismert néhány alkalmasan megválasztott kvantilis, vagy az aszimmetria és a csúcsosság valamilyen mutatószáma is, egészen jól felvázolható a vizsgált gyakorisági eloszlás grafikus képe még akkor is, ha sem az alapadatokat, sem a gyakorisági sort nem ismerjük.

12

A mutató pozitív értéke bal oldali, negatív értéke pedig jobb oldali aszimmetriára utal.

57

IV.8 Esettanulmány – leíró statisztikai elemzés Végezzük el a 11. Táblázat alapján 100 MBA hallgató bérének leíró statisztikai elemzését! Ssz. BrBér/hó Pozíció 1 300 Felső 2 810 Felső 3 220 Közép 4 500 Közép 5 250 Beoszt. 6 375 Beoszt. 7 210 Beoszt. 8 145 Beoszt. 9 100 Beoszt. 10 400 Beoszt. 11 110 Beoszt. 12 350 Közép 13 164 Beoszt. 14 104 Közép 15 340 Beoszt. 16 650 Közép 17 250 Felső 18 600 Közép 19 1000 Felső 20 331 Beoszt. 21 500 Felső 22 278 Beoszt. 23 1100 Felső 24 835 Felső 25 240 Beoszt. 26 450 Beoszt. 27 400 Beoszt. 28 350 Felső 29 550 Beoszt. 30 80 Felső 31 700 Beoszt. 32 250 Közép 33 400 Beoszt. 34 355 Közép 35 380 Beoszt. 36 450 Felső 37 330 Beoszt. 38 520 Közép 39 150 Beoszt. 40 800 Közép 41 790 Közép 42 330 Közép 43 390 Közép 44 850 Felső 45 500 Beoszt. 46 370 Beoszt. 47 400 Közép 48 350 Beoszt. 49 65 Beoszt. 50 70 Felső

Nem Életkor Férfi 28 Férfi 43 Nő 28 Férfi 44 Nő 25 Férfi 36 Nő 28 Nő 27 Nő 26 Nő 28 Férfi 24 Nő 40 Nő 30 Nő 29 Férfi 39 Férfi 25 Nő 36 Férfi 28 Férfi 41 Férfi 33 Nő 39 Férfi 30 Férfi 53 Nő 39 Férfi 31 Nő 26 Nő 28 Férfi 33 Férfi 26 Férfi 44 Férfi 28 Férfi 34 Nő 32 Férfi 38 Nő 27 Nő 34 Nő 26 Férfi 39 Nő 33 Nő 45 Nő 33 Férfi 26 Nő 30 Férfi 33 Nő 30 Nő 31 Nő 34 Nő 45 Nő 25 Férfi 35

Ssz. BrBér/hó Pozíció 51 350 Beoszt. 52 222 Beoszt. 53 900 Közép 54 120 Beoszt. 55 400 Felső 56 450 Közép 57 340 Közép 58 320 Közép 59 200 Közép 60 730 Közép 61 300 Felső 62 210 Beoszt. 63 451 Közép 64 103 Beoszt. 65 65 Felső 66 230 Beoszt. 67 340 Beoszt. 68 255 Beoszt. 69 600 Közép 70 425 Közép 71 320 Közép 72 195 Beoszt. 73 707 Közép 74 225 Beoszt. 75 400 Közép 76 342 Beoszt. 77 200 Közép 78 370 Közép 79 575 Beoszt. 80 500 Felső 81 510 Felső 82 90 Közép 83 120 Felső 84 810 Felső 85 80 Beoszt. 86 250 Beoszt. 87 260 Beoszt. 88 700 Felső 89 550 Közép 90 500 Beoszt. 91 275 Beoszt. 92 900 Felső 93 280 Közép 94 182 Beoszt. 95 250 Közép 96 350 Felső 97 200 Közép 98 625 Közép 99 250 Beoszt. 100 720 Beoszt.

11. Táblázat

58

Nem Életkor Férfi 29 Férfi 31 Nő 38 Férfi 33 Férfi 45 Férfi 36 Férfi 45 Férfi 32 Férfi 32 Férfi 40 Férfi 38 Férfi 32 Férfi 36 Nő 25 Férfi 46 Nő 33 Férfi 31 Férfi 34 Férfi 35 Nő 35 Nő 35 Nő 27 Férfi 40 Férfi 31 Férfi 50 Férfi 33 Férfi 29 Férfi 45 Férfi 29 Férfi 32 Férfi 25 Férfi 31 Nő 42 Férfi 45 Nő 27 Nő 32 Nő 27 Férfi 42 Férfi 28 Férfi 26 Férfi 31 Férfi 40 Férfi 37 Nő 30 Nő 26 Férfi 48 Nő 25 Férfi 33 Férfi 28 Nő 29

A leíró statisztikai elemzés menete: 1. Osztályok számának meghatározása. (egy lehetséges módszer) 2k 0 > N h0 =

2 7 = 128 > 100 1100 − 65 h0 = = 147,85 ≈ 150 7

Ymax − Ymin k0

2. Gyakorisági táblázat

osztályhatárok 65 215 215 365 365 515 515 665 665 815 815 965 965 1115 Összesen:

fi 22 33 22 8 9 4 2 100

gi 0,22 0,33 0,22 0,08 0,09 0,04 0,02 1,00

f i’ 22 55 77 85 94 98 100

gi ’ 0,22 0,55 0,77 0,85 0,94 0,98 1,00

f i’ 15 38 60 76 83 89 94 98 99 100

gi ’ 0,15 0,38 0,6 0,76 0,83 0,89 0,94 0,98 0,99 1,00

12. Táblázat

Egy kicsit „gyakorlatiasabb” osztályba sorolással: k0 = 10 Legyen h0 = 110

osztályhatárok 65 175 175 285 285 395 395 505 505 615 615 725 725 835 835 945 945 1055 1055 1165 Összesen:

fi 15 23 22 16 7 6 5 4 1 1 100

gi 0,15 0,23 0,22 0,16 0,07 0,06 0,05 0,04 0,01 0,01 1,00 13. Táblázat

3. Medián 1 s1 / 2 = (100 + 1) = 50,5 2 Me = 350 + 0,5(350 − 350) = 350

59

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

65 65 70 80 80 90 100 103 104 110 120 120 145 150 164 182 195 200 200 200

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

210 210 220 222 225 230 240 250 250 250 250 250 250 255 260 275 278 280 300 300

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

320 320 330 330 331 340 340 340 342 350 350 350 350 350 355 370 370 375 380 390

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

400 400 400 400 400 400 425 450 450 450 451 500 500 500 500 500 510 520 550 550

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

575 600 600 625 650 700 700 707 720 730 790 800 810 810 835 850 900 900 1000 1100

Medián becslése a gyakorisági táblázat (2. osztályba sorolást alkalmazva) alapján

Meˆ = xme ,0 ! f me ≥

N − f me' −1 + 2 ⋅ hme f me

N 2

Meˆ = 285 +

50 − 38 ⋅ 110 = 345 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

65 65 70 80 80 90 100 103 104 110 120 120 145 150 164 182 195 200 200 200

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

210 210 220 222 225 230 240 250 250 250 250 250 250 255 260 275 278 280 300 300

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

4. Kvartilisek meghatározása 1 (100 + 1) = 25,25 4 Q1 = 225 + 0,25 ⋅ ( 230 − 225) = 226,25 s1 / 4 =

3 (100 + 1) = 75,75 4 Q3 = 500 + 0,75 ⋅ (500 − 500) = 500 s3 / 4 =

60

320 320 330 330 331 340 340 340 342 350 350 350 350 350 355 370 370 375 380 390

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

400 400 400 400 400 400 425 450 450 450 451 500 500 500 500 500 510 520 550 550

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

575 600 600 625 650 700 700 707 720 730 790 800 810 810 835 850 900 900 1000 1100

5. Módusz mo=2

Moˆ = xmo ,0 +

da ⋅ hmo da + d f

d a = f mo − f mo −1 d f = f mo − f mo+1 Moˆ = 175 +

23 − 15 ⋅ 110 = 273 ( 23 − 15) + ( 23 − 22)

6. Számtani átlag Y =

Σf i xi∗ 15 ⋅ 120 + 23 ⋅ 230 + ... + 1 ⋅ 1000 + 1 ⋅ 1110 39280 = = = 392,8 Σf i 100 100

Becslés gyakorisági táblázatból: Osztályhatárok 65 175 175 285 285 395 395 505 505 615 615 725 725 835 835 945 945 1055 1055 1165

Osztályközép 120 230 340 450 560 670 780 890 1000 1110 Összesen: 14. Táblázat

7. Grafikus ábrázolás, hisztogram 7 osztályba sorolva:

61

fi 15 23 22 16 7 6 5 4 1 1 100

fiYi 1800 5290 7480 7200 3920 4020 3900 3560 1000 1110 39280

62

17. ábra 94 5 10 55 11 6 To 5 vá bb

83 4

72 5

61 5

50 5

39 5

28 5

17 5

Gyakoriság

11 15 To vá bb

96 5

81 5

66 5

51 5

36 5

21 5

Gyakoriság

Hisztogram

35

30

25

20

15

10

5

0

10 osztályba sorolva: 16. ábra

Hisztogram

25

20

15

10

5

0

8. Terjedelem R = x max − x min = 1100 − 65 = 1035 Interkvartilis terjedelemmutató R0,5 = Q3 − Q1 = 500 − 226,25 = 273,75 9. Átlagos abszolút eltérés:

∑d δ =

= 17964,8 (egyedi adatokból számolva)

i

1 N

∑x

i

1 N

−x =

∑d

i

=

1 17964,8 = 179,65 100

10. Tapasztalati szórás N

∑ ( x − x) i =1

N

s=

= 5279635,8

2

i

∑(x i =1

i

− x) 2

n N

s∗ =

=

∑ (x i =1

i

− x) 2

n −1

=

(egyedi adatokból számolva)

5279635,8 = 229,8 100 5279635,8 = 230,93 99

Becslés a gyakorisági táblázat segítségével: Osztályhatárok Osztályközép 65 175 120 175 285 230 285 395 340 395 505 450 505 615 560 615 725 670 725 835 780 835 945 890 945 1055 1000 1055 1165 1110 Összesen:

fi fiYi 15 1800 23 5290 22 7480 16 7200 7 3920 6 4020 5 3900 4 3560 1 1000 1 1110 100 39280 15. Táblázat

63

di -272,8 -162,8 -52,8 57,2 167,2 277,2 387,2 497,2 607,2 717,2

di2 74419,84 26503,84 2787,84 3271,84 27955,84 76839,84 149923,8 247207,8 368691,8 514375,8

fi·di2 1116298 609588,3 61332,48 52349,44 195690,9 461039 749619,2 988831,4 368691,8 514375,8 5117816

10

∑f i =1

sˆ =

⋅ d i = 5117816 2

i

5117816 = 226,2 100

11. Relatív szórás V=

s 229,8 = = 0,585 Y 392,8

A relatív szórás önmagában nem árul el sok mindent. Ha egy másik évfolyam 100 főből álló mintájának relatív szórásával össze tudnánk hasonlítani, akkor a két relatív szórás közül a kisebbik esetén a számtani átlag jobban reprezentálja az alapadatokat.

12. Aszimmetria

P=

3( x − Me) 3(392,8 − 350) = = 0,5587 s 229,8

Mérsékelt bal oldali aszimmetria (jobbra elnyúló eloszlás).

13. Lapultság, csúcsosság

1 (100 + 1) = 10,1 10 D1 = 110 + 0,1(120 − 110) = 111

s1 / 10 =

9 (100 + 1) = 90,9 10 D9 = 730 + 0,9(790 − 730) = 784

s9 / 10 =

K=

Q3 − Q1 500 − 226,25 = = 0,2034 2( D9 − D1 ) 2(784 − 111)

Mivel 0,2034<0,263, csúcsosabb, mint a normál eloszlás.

64

V. Részekre bontott sokaság vizsgálata, standardizálás, indexszámítás

65

V.1 Részekre bontott sokaság vizsgálata A gyakorlatban sokszor előfordul, hogy olyan sokaságot kell vizsgálnunk, amelyek egységei olyan kisebb-nagyobb csoportokra sorolhatóak, melyeken belül az egységek az elemzés ismérve szempontjából jellegzetesen eltérő módon viselkednek, így például a budapesti lakások fajlagos –egy négyzetméterre vetített- ára is nagy különbségeket mutat nemcsak az egyes kerületek között, hanem sokszor az egyes kerületeken belül is. Ezekben az esetekben a teljes sokaság mellett szükséges a részekre bontott sokaság vizsgálata is, pontosan azért, mert a teljes sokaságra vonatkozó elemzési eredmények nem fedik fel az előzőekben említett jellegzetes eltéréseket, ami sok esetben komoly információveszteséggel járhat együtt13. A vizsgált ismérv szempontjából lényegesen eltérő jellegzetességeket mutató részekre bontható sokaságokat az adott ismérv szempontjából heterogén sokaságoknak nevezzük. Így minden olyan esetben, amikor felmerül a vizsgált sokaság heterogenitásának gyanúja, célszerű a sokaságot részekre bontva is elemezni, mert a sokaság egyes részsokaságaira kapott eredmények, és azok egymással való összehasonlítása lényegi információkat adhat a vizsgált jelenségről. A részekre bontott elemzés elvégzéséhez részsokaságokat kell kialakítani, ami nem mindig egyszerű feladat. Olyan csoportképző ismérvet kell tehát választani, amely a részsokaságok között meglévő heterogenitást meg tudja ragadni. Természetesen nemcsak egy sokaság valamely ismérv szerinti elemzése esetén jelentkezhetnek a sokaság heterogenitásából fakadó problémák, hanem olyan esetekben is, amikor egyszerre több sokaságot vizsgálunk viszonyszámok segítségével. Ilyenkor gyakran előfordul az, hogy az együtt vizsgált sokaságok egészének és egyes részeinek egymáshoz viszonyított nagysága lényegesen eltérő módon alakul. Az ilyen elemzések céljából azonos módon kell a sokaságon belül a részsokaságokat kialakítani. A viszonyszám két, egymással összefüggő statisztikai adat hányadosa, amelynek általános formulája: Viszonyszám (V)= Viszonyítandó adat (A) / Viszonyítási alap (B) A viszonyszámok három fő típusát különböztetjük meg: 1. Megoszlási viszonyszám: valamely részadatnak az egészhez való viszonyát fejezi ki, így pl. nyugdíjasok aránya a népességen belül, valamely cég piaci részesedése egy adott termék forgalmazásában. 2. Intenzitási viszonyszám: két, egymással kapcsolatban lévő, különböző fajta adat hányadosa. a. Fajlagos mérőszámok: egy termékre jutó anyagfelhasználás, 100 km-re jutó üzemanyag-fogyasztás, egy háziorvosra jutó betegek száma, egy főre jutó GDP, egy lakosra jutó vízfogyasztás b. Sűrűségi, ellátottsági mérőszámok: népsűrűség (fő/km2), személygépkocsi sűrűség (gépkocsi/1000 fő) c. Arányszámok: születési, halálozási arányszám (1000 (!) főre jutó születések, halálozások száma)

13

Ez az információveszteség a sokaság mennyiségi ismérv szerinti elemzésekor ismerhető fel (pl. leíró statisztikai feldolgozás során), mert ilyenkor a gyakorisági eloszlás grafikus képe rendszerint többmóduszú. Ennek következtében egyik középérték sem jellemzi jól a sokaságot, ami a szórás, és a relatív szórás nagy értékeiben is meg fog nyilvánulni.

66

3. Dinamikus viszonyszám: két összehasonlított időszak vagy időpont adatának a hányadosa, ahol a viszonyítandó adat (A) a tárgyidőszak adata, a viszonyítási alap (B) pedig a bázis időszak adata. A megoszlási és dinamikus viszonyszámokat azonos fajta, azonos mértékegységű adatokból számítjuk, ezért tiszta számok, nincs mértékegységük, kifejezhetők %-os vagy ‰-es formában.

V.2 Rész- és összetett viszonyszámok Abból indulunk ki, hogy adott egy m számú részre bontott sokaság. A teljes sokaságot fősokaságnak, a sokaságok részeit pedig részsokaságoknak nevezzük. A részsokaságok egymástól való megkülönböztetésére a j indexet használjuk, amelynek lehetséges értékei: j=1, 2, …, M. A továbbiakban azzal foglalkozunk, hogy a részekre bontott fősokaság vizsgálatával hogy gazdagíthatjuk elemzésünket, és milyen kapcsolat van a fősokaságra és a részsokaságokra vonatkozó elemzési eredmények között. Az egyes részsokaságokra vonatkozó részviszonyszámok: A V j = j , ahol j=1, 2, …, M Bj A fősokaságra vonatkozó összetett viszonyszám (aggregált, súlyozott számtani átlag és súlyozott harmonikus átlag) formulái: M

V=

∑Aj j=1 M

∑Bj j=1

M

=

∑ B j ⋅ Vj j=1

M

∑Bj j=1

M

=

∑A j=1

j

M

Aj

j=1

j

∑V

Vagyis az összetett viszonyszám az egyes részviszonyszámoknak az azok nevezőjében szereplő Bj adatokkal súlyozott számtani átlaga, illetve az egyes részviszonyszámok számlálójában szereplő Aj adatokkal súlyozott harmonikus átlaga. Így ez rávilágít arra, hogy minden összetett viszonyszám egyben súlyozott átlag is. Rész- és főátlagok Yij-vel jelöljük a vizsgált mennyiségi ismérvnek a j-edik részsokaság (j=1, 2, …, M) i-edik (i= 1, 2, …., Nj) egységénél felvett értékét. A fősokaság nagyságát N-nel jelöljük, ami M

N = ∑ N j összefüggéssel fejezhető ki. j =1

A j-edik részsokaságra vonatkozó részátlag: N Nj Sj 1 j Yj = Yij , és a j-edik részsokaság értékösszegét ∑Yij = N , j = 1,2,..., M , ahol S j = ∑ N j i =1 i =1 j jelenti. Az egész sokaságra vonatkozó főátlag: N 1 M j 1 M Y = ∑∑ Yij = ∑ S j N j =1 i =1 N j =1

67

Példa14 Ismeretes, hogy budapesti lakótelepeken a lakásárak különböző tényezők következtében lényegesen eltérnek egymástól. Ennek illusztrálása céljából egy hirdetési újságból kigyűjtötték mindazoknak az 1+2 fél szobás lakásoknak az árát, amelyek egy adott napon az újságban Budapest III. kerületében meghirdetésre kerültek. A négy lakótelepről aznap eladásra kínált sokaságokat egy-egy részsokaságnak tekintették. Az adatokat az alábbi táblázat tartalmazza: j

Ár (mFt) Yij

Nj

1

Békásmegyer

2,0; 2,8; 1,9; 2,8; 1,8; 2,7; 1,9; 2,1; 2,2; 2,4; 2,0; 1,8; 2,3; 2,3; 2,5

15

33,5

1,6933

2

Pók utcai

5,9; 5,2; 4,0; 4,7; 4,5; 5,4; 3,8; 3,8

8

37,3

4,31875

3

Óbudai

3,2; 2,8; 3,7; 3,1; 2,6; 2,6; 3,8; 3,9; 2,5; 3,0; 3,8; 4,0

12

39

3,49

4

Kaszásdűlő

2,8; 2,8; 3,5; 2,9; 3,6; 2,5; 4,2; 2,4; 3,4; 3,5

10

31,6

2,904

45

141,4

12,406

Össz:

Sj

Nj

A lakótelep neve

∑ (Y

ij

i =1

− Yj )2

Feladatunk az, hogy határozzuk meg és hasonlítsuk össze egymással az egyes részsokaságokba tartozó lakások átlagos kínálati árát, és állítsuk elő azokból az adott napon eladásra kínált 45 lakás átlagos árát. Békásmegyeri lakótelep átlagára: 2,0 + 2,8 + ... + 2,5 33,5 Y1 = = = 2,233mFt 15 15 A másik három lakótelep átlagárai rendre: 37,3 Y2 = = 4,6625mFt 8 39 Y3 = = 3,25mFt 12 31,6 Y4 = = 3,16mFt 10 Látható, hogy a Pók utcai lakások átlagos kínálati ára a legmagasabb. Az összes lakás átlagára, vagyis a főátlag: Y=

15 ⋅ 2,23 + 8 ⋅ 4,6625 + 12 ⋅ 3,25 + 10 ⋅ 3,16 141,4 = = 3,142mFt 45 45

Rész- és fősokaságok varianciája és szórása A szórás számítása: a d = Y − Y átlagtól vett eltérésekből indul ki. Ha a sokaságot részekre bontjuk, akkor a fenti d ij = Yij − Y , i = 1,2,..., N , j = 1,2,..., M eltérés két részre bontható: belső és külső eltérésre. 14

Forrás: Hunyadi – Vita: Statisztika közgazdászoknak, KSH, Budapest, 2002

68

Belső eltérés: Bij = Yij − Y j , i = 1,2,..., N , j = 1,2,..., M , amely az egyes sokasági egyedeknek a saját részsokasági átlagától vett eltérését méri. Külső eltérés: K j = Y j − Y , j = 1,2,..., M , amely az egyes részsokasági átlagoknak a főátlagtól vett eltérését számszerűsíti. A három eltérés közötti összefüggés: d ij = Bij + K j , ahol dij a teljes eltérés. Ezek a következőkre hívják fel a figyelmet: bármely Yij ismérvérték két ok miatt térhet el a főátlagtól: • Részben azért, mert az ismérvértékek minden részsokaságon belül ingadoznak az adott részsokaságra jellemző részátlag körül, • Részben pedig azért, mert az egyes részátlagok rendszerint ingadoznak még a főátlag körül. Az első fajta ingadozás a csoportképző ismérven kívüli összes egyéb tényezőnek, a második fajta ingadozás pedig kizárólag a csoportképző ismérvnek tudható be. Ez pedig annak köszönhető, hogy a csoportképző ismérv alkalmazásának célja, hogy a fősokaságok olyan részsokaságokra bontsuk, amelynek elemei az adott ismérv szempontjából jobban hasonlítanak egymáshoz, mint más részsokaság elemeihez, így az Y ismérv egy-egy részsokaságon belüli ingadozása csakis más tényezőknek tulajdonítható. Visszatérve példánkhoz: A legmagasabb kínálati árú Pók utcai lakás ára 5,9 millió Ft korábbi táblázatunk szerint. Ez a kínálati ár (általunk nem vizsgált okok miatt) 5,9-4,6=1,3 millió Ft-tal magasabb, mint az ugyanebbe a csoportba tartozó lakások átlagos kínálati ára (ez az 5,9 mFt értékű lakás belső eltérése). A Pók utcai lakások átlagos kínálati ára a lakótelep egyedi sajátosságai miatt 4,63,13=1,47 mFt-tal magasabb, mint a III. kerületi ilyen típusú lakások átlagos ára (ez pedig a külső eltérés). Így végül az adott 5,9 mFt értékű lakás 1,3+1,47=2,77 mFt-tal drágábban került meghirdetésre, mint egy általunk vizsgált átlagos lakótelepi lakás. A háromféle eltérés alapján háromféle szórás, illetve variancia számítható: Teljes szórás, illetve teljes variancia: fősokaságra vonatkozó szórás N

σ=

1 M j ∑∑ (Yij − Y )2 = N j =1 i =1

N

N

N

1 M j 2 1 M j 1 M j 2 2 2 d , illetve σ = ( Y − Y ) = ∑∑ ij ∑∑ ij ∑∑ dij N j =1 i =1 N j =1 i =1 N j =1 i =1

A belső eltérések felhasználásával egy részsokaságra vonatkozó részszórás, illetve részvariancia:

σj =

1 Nj

Nj

1 B , illetve σ = ∑ Nj i =1 2 j

2 ij

Nj

∑B i =1

2 ij

Ha a belső eltéréseket nemcsak egy-egy részsokaságra, hanem az egész fősokaságra vonatkozóan átlagoljuk, akkor a belső szóráshoz jutunk:

69

N

σB =

1 M j 2 ∑∑ Bij N j =1 i =1

A belső szórás azt mutatja meg, hogy a fősokaság egyes egységeihez tartozó Yij ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el saját részátlaguktól. A belső szórás négyzete a belső variancia. A részvarianciák és a belső variancia közötti összefüggés: M

σ B2 =

∑N σ j =1

j

2 j

N A belső variancia tehát a részvarianciáknak az egyes részsokaságok nagyságával súlyozott átlaga.

A külső eltérésekből kiindulva az egész sokaságra számított szórás a külső szórás: 1 M 1 M 2 ( ) N Y − Y = ∑ j j ∑ N j K 2j N j =1 N j =1 A külső szórás azt mutatja meg, hogy a részátlagok átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól.

σK =

A háromféle variancia közötti összefüggés: σ 2 = σ K2 + σ B2 Másik gyakran használt formája: SST=SSK+SSB, ahol SSB a belső, SSK a külső, SST pedig a teljes eltérés-négyzetösszeg.15 Az Y ismérv SST teljes eltérés négyzetösszegének, változékonyságának SSK nagyságú része a részsokaságok képzésére használt csoportképző ismérvnek tulajdonítható, azzal magyarázható. Ezzel szemben az SSB nagyságú rész az Y ismérv szóródását előidéző más, kiemelten nem vizsgált tényezők együttes hatásának tudható be. A részsokaságok képzésére használt Y ismérv annál hasznosabbnak tekinthető, minél nagyobb az SSK/SST vagyis σk2/σ2 hányados. Példánkhoz visszakanyarodva nézzük meg az előbbiek számításának menetét! A főátlag és a táblázatban található lakásárak alapján a teljes szórás számítása (mind a 45 lakásnak vesszük a főátlagtól vett eltérését): (2,0 − 3,142) 2 + (2,8 − 3,142) 2 + ... + (3,5 − 3,142) 2 43,43 = = 0,9824mFt 45 45 Az első részsokaság – békásmegyeri lakások- σ1 szórása: 1,6933 σ1 = = 0,336mFt 15 Ennek számításához felhasználtuk a korábbi táblázatunk utolsó oszlopát, amely a számításhoz szükséges négyzetösszeget tartalmazza.

σ=

15

Az SS jelölés a statisztikában a Sum of Squares = négyzetösszeg elnevezés rövidítése.

70

σ 2 = 0,7347mFt σ 3 = 0,5393mFt σ 4 = 0,539mFt A részsokaságok szórásai egymással közvetlenül nehezen hasonlíthatóak össze, mivel az egyes részsokaságokban a kínálati árak más-más átlag körül szóródnak. A relatív szórások értékei: V1 = 15,05% V2 = 15,76% V3 = 16,6% V4 = 17,06% Ezeket összehasonlítva azt látjuk, hogy a békásmegyeri lakások árai a legegyöntetűbbek. A belső szórás: 12,406 σ B2 = = 0,2757 , illetve σ B = 0,2757 = 0,525mFt 45 Ez azt jelenti, hogy a kínálati lakásárak átlagosan mintegy 0,5 mFt-tal térnek el saját részsokaságuk átlagától, ami a teljes szórásnál észrevehetően kisebb. A külső szórásnégyzet és szórás: σ k2 = σ 2 − σ B2 = 0,9824 − 0,2757 = 0,7067 → σ k = 0,8406

σ k2 SSK = ≈ 0,72 , amely összefüggés úgy interpretálható, hogy a kínálati lakásárak σ 2 SST ingadozásának mintegy 72%-a azzal magyarázható, hogy a lakás a négy lakótelep közül melyiken található, 28% pedig egyéb, itt külön nem vizsgált tényezőknek tulajdonítható, amely alapján állíthatjuk azt, hogy a négy lakótelep megkülönböztetése hasznos a vizsgált kínálati árak ingadozásának magyarázata szempontjából.

V.3 Az ismérvek közötti kapcsolat fogalma és fajtái Két ismérv: X és Y ismérv között háromféle természetű kapcsolat lehetséges: - A két ismérv független egymástól - A két ismérv között sztochasztikus kapcsolat van - A két ismérv függvényszerű kapcsolatban áll egymással. A sztochasztikus kapcsolat lényege, hogy a megfigyelt sokaság egységeinek X ismérv szerinti milyenségét, hovatartozását ismerve levonható ugyan bizonyos következtetés az egységek Y szerinti hovatartozásáról, de ez a következtetés nem teljesen egyértelmű. Az ismérvek közötti kapcsolat elemzésekor a következő három kérdésre keressük a választ: 1. Van-e kapcsolat a vizsgált ismérvek között? 2. Milyen következetesen érvényesül, más szóval milyen szoros a kapcsolat? 3. Hogyan lehet felhasználni az ismérvek közötti kapcsolat természetének ismeretét arra, hogy egy adott egység bizonyos ismérvek szerinti milyenségéből következtethessünk annak más ismérvek szerinti hovatartozására?

71

Az egyidejűleg vizsgált két ismérv fajtája (a változók mérési szintje, lásd 1. fejezet) szerint a továbbiakban a következő eseteket különböztetjük meg: - Asszociáció(s kapcsolat): az egymással kapcsolatban álló ismérvek minőségi vagy területi ismérvek (mindkét változó nominális mérési szintű) - Vegyes kapcsolat: az egyik vizsgált ismérv mennyiségi ismérv, a másik területi vagy minőségi ismérv (azaz az egyik változó intervallum- vagy arányskálán, a másik pedig nominális skálán mérhető). - Korrelációs kapcsolat: mindkét vizsgált ismérv mennyiségi ismérv (mindkét változó intervallum- vagy arányskálán mérhető). - Rangkorrelációs kapcsolat: mindkét változó sorrendi skálán mérhető. Az asszociációs kapcsolatról majd a hipotézisvizsgálatoknál a függetlenségvizsgálat kapcsán fogunk szólni, a korrelációs kapcsolat bemutatásával külön fejezet foglalkozik jegyzetünkben, és e tárgynak nem része a rangkorreláció tárgyalása. Korábbi példánkat (lakótelepi példa) alapul véve azonban itt ejtünk szót a vegyes kapcsolatról. A vegyes kapcsolat szorosságának mutatója: H2 és varianciahányadosnak vagy szórásnégyzet-hányadosnak nevezzük. A H2 az Y ismérv szórásnégyzetének az X ismérv által magyarázott hányada. σ2 σ2 SST − SSB SSK H2 = = = 1 − B2 = K2 SST SST σ σ 2 A H mutató értékét gyakran százalékká alakítva használják. Így 0 ≤ H 2 ≤ 1 A H2=0 eset akkor fordul elő, ha SSK = σ K2 = 0 . Ez akkor következhet be, ha az X ismérv szerint képzett osztályok részátlagai mind egyformák. Ez akkor fordul elő, ha X és Y függetlenek egymástól. A H2=1 eset ezzel szemben akkor áll elő, ha σ K2 = σ 2 , azaz σ B2 = 0 . Ez pedig annyit jelent, hogy az X szerint képzett csoportokon belül nem szóródik Y. Ekkor az X szerinti hovatartozás mindent elmond Y-ról. A varianciahányados H2=1 értéke a vizsgált két ismérv függvényszerű kapcsolatát jelzi. Az óbudai lakótelepeken lévő lakások árát vizsgáló példánkban láttuk, hogy a vizsgált két ismérv közül az egyik területi (melyik lakótelepen van a lakás), a másik mennyiségi (mennyibe kerül). Így a két ismérv közötti kapcsolat vegyes kapcsolatként jellemezhető. σ 2 SSK ≈ 0,72 , azaz láttuk, hogy a kínálati lakásárak szóródását 72%-ban H 2 = k2 = σ SST magyarázza, hogy melyik lakótelepen van a lakás, és a lakásárak szóródásának maradék 28%áért pedig más, a példában nem vizsgált tényezők, ismérvek magyarázzák (pl. hányadik emeleten van a lakás, milyen a tájolása, tömegközlekedési viszonyok, a lakótelep infrastruktúrája stb.). A gyakorlatban meg szokták határozni a H = H 2 szóráshányadost is, amely 0 és 1 között mozog. A szóráshányados 0 értéke a két ismérv függetlenségét jelzi, H=1 pedig a két ismérv közötti függvényszerű kapcsolatra utal. A H nem fejezhető ki százalékosan, hanem kizárólag a kapcsolat szorosságának megítélésére használható a 0-hoz, illetve 1-hez való közelségét figyelembe véve. A példánk alapján H = H 2 = 0,72 ≈ 0,848 , amely érték szoros kapcsolatot mutat a lakás ára és a lakótelepi elhelyezkedés között.

72

V.4 Standardizálás16 Amikor gazdasági elemzést végzünk, akkor nagyon gyakran kell különböző átlagokat, viszonyszámokat számítanunk és összehasonlítanunk. A standardizálás a viszonyszámok közül az ún. intenzitási viszonyszámok összehasonlításával foglalkozik. Az intenzitási viszonyszám két egymással összefüggő, de különböző fajta adat hányadosa. Az intenzitási viszonyszámok alkalmazása meglehetősen elterjedt a gazdaságstatisztikában, mivel jól alkalmazható számos társadalmi-gazdasági jelenség színvonalának a jellemzésére.17 A standardizálás lényegében két azonos tartalmú, de valamilyen szempontból különböző összetett intenzitási viszonyszám összehasonlítására szolgáló statisztikai módszer. Ha heterogén, valamely adott ismérv alapján eltérő csoportokból álló sokasággal állunk szemben, és e sokaság adataiból számolunk intenzitási viszonyszámot, akkor a teljes sokaságra vonatkozó mérőszám mellett a heterogenitást előidéző ismérv változatainak megfelelő csoportok intenzitási viszonyszámaira is szükség van az elemzés során.18 A teljes sokaságra számított viszonyszámra hatnak a részviszonyszámok és a megoszlások egyaránt. Ezek viselkedése időnként meglepő jelenségeket produkál, ugyanis előfordulhat az, hogy egy országban az egyes korcsoportok összehasonlításában rendre alacsonyabb halálozási arányszámok mellett összességében mégis magasabb halálozási arányszám tapasztalható egy másik országgal szemben az eltérő korstruktúra következményeként (vagyis az első országban pl. nagyobb lehet az idősebb korosztálynak az aránya a teljes népességen belül, amely így nagyobb halálozási arányszámot indukál). Előfordulhat az is, hogy X és Y azonos profilú vállalatok esetében az átlagkereseteket összehasonlítva azt tapasztaljuk, hogy mindegyik állománycsoportban magasabbak a keresetek az X vállalatnál az Y-hoz képest, ennek ellenére a foglalkoztatottak összességére nézve azonban fordított a helyzet. Ez utóbbi jelenség magyarázata egy olyan létszámstruktúra következménye lehet, hogy bár az X vállalatnál minden állománycsoportban magasabbak az átlagkeresetek, ám az X vállalat teljes létszámának nagyobb arányát teszik ki az alacsonyabb átlagkeresetűek, így a magyarázat a létszámstruktúrában keresendő. Az ilyen eredmények nyilván azért adódhatnak, mert az említett két tényező hatásának intenzitása és iránya különböző lehet. Ebben a fejezetben a cél az, hogy egy olyan statisztikai módszerrel ismerkedjünk meg, amely a különböző hatásokat szétválasztja, vagyis az összetett viszonyszámok közötti tényleges eltérés (pl. két vállalatnál az átlagkeresetek számszerű különbsége) megállapításán és számszerű kifejezésén túl azt is meg fogjuk vizsgálni, hogy a két tényező (vagyis az egyes állománycsoportokon belül az átlagkeresetek eltérése, illetve az állománycsoportok vállalaton belüli szerkezete) külön-külön milyen szerepet játszik a szóban forgó eltérés létrejöttében. A csoportosított sokaságban a teljes sokaságra vonatkozó viszonyszámot összetett viszonyszámnak, a csoportokra vonatkozó viszonyszámokat pedig részviszonyszámnak fogjuk nevezni. 16

Hunyadi – Vita: Statisztika közgazdászoknak, KSH, Budapest, 2002, felhasználásával Intenzitási viszonyszám a népsűrűség (fő/km2), a születési arányszám, az egy főre jutó termelés, és az életszínvonal sok más megismert mutatószáma. 18 Például az alkalmazásban állók átlagkeresetének jellemzéséhez az egyes állománycsoportok, végzettség, nem, munkakör, gazdasági ág stb. szerint csoportosításban is kell átlagokat, illetve viszonyszámokat számítani, ugyanígy a halandóság vizsgálatánál a népességre vonatkozó arányszám mellett a különböző korcsoportokra, férfiakra és nőkre, megyei, illetve régiók szerinti bontásban ugyancsak meg kell határozni az arányszámokat. 17

73

Az összetett viszonyszám a megfelelő részsokaságok adataiból aggregát formában, súlyozott számtani átlag és súlyozott harmonikus átlag formában számítható ki. Jelölések: i=1, 2, …, Nj: a j. csoport elemeinek száma j=1, 2, …., M: a sokaság csoportjainak a sorszáma xij: a j. csoport i. elemének értéke sj: a j. csoport értékösszege M

N = ∑ N j : a sokaság összes elemének száma j=1

Részviszonyszám számítása: V j =

Aj Bj

Formula

Összetett viszonyszám M

V=

Aggregát

∑A

j

∑B

j

j=1 M

j=1

M

V=

Súlyozott számtani átlag

∑B j=1

j

⋅ Vj

M

∑B j=1

j

M

V=

Súlyozott harmonikus átlag

∑A j=1

j

M

Aj

j=1

j

∑V

Az összetett intenzitási viszonyszám nagyságát két tényező határozza meg: 1. a részintenzitási viszonyszámok nagysága 2. a teljes sokaság összetétele, vagyis a különböző nagyságú részintenzitási B viszonyszámokhoz kapcsolódó súlyarányok ( j ). B Külön-külön az egyes tényezők hatásának a kimutatására használható statisztikai módszer a standardizálás. Az összehasonlítás eredménye pedig kifejezhető különbségek vagy hányadosok formájában, így az előbbit különbség-felbontásnak, az utóbbit pedig hányadosfelbontásnak nevezik. A különbség-felbontást általában térbeli összehasonlítások, a hányados-felbontást pedig időbeli összehasonlítások elvégzéséhez használják.19 Időbeli20 vagy térbeli21 összehasonlítást végezve az összetett intenzitási viszonyszámok eltérése két tényező hatására vezethető vissza: 1. A megfelelő részviszonyszámok eltéréseire, 19

Ez alól kivétel a születési és a halálozási arányszám, amelyek esetében mind térbeli, mind időbeli összehasonlításnál a különbségfelbontás alkalmazása a jellemző. 20 Pl. ugyanazon vállalat esetében az átlagkeresetek alakulását vizsgáljuk két év összehasonlításában, vagy a halálozási arányszám alakulását vizsgáljuk két különböző évben ugyanazon ország esetében. 21 Pl. két vállalatot összehasonlítva vizsgáljuk az átlagkeresetek eltéréseit, vagy két országot összehasonlítva vizsgáljuk a halálozási arányszám alakulását.

74

2. Az összehasonlított sokaságok összetételének, struktúrájának a különbözőségére a részsokaságok képzésére használt csoportképző ismérv szerint.

Részsokaság sorszáma

Első sokaság(pár) Számláló

Nevező

Második sokaság(pár)

Viszonyszám

Számláló

Nevező

Hányados

Különbség

k1

Viszonyszám

1

A01

B01

V01

A11

B11

V11

i1

2

A02

B02

V02

A12

B12

V12

i2

k2

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

j

A0j

B0j

V0j

A1j

B1j

V1j

ij

kj

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

M

A0M

B0M

V0M

A1M

B1M

V1M

iM

kM

Fősokaság

ΣA0j

ΣB0j

ΣA1j

ΣB1j

I

K

16. Táblázat: Két összetett intenzitási viszonyszám meghatározása és összehasonlítása

A táblázat utolsó két oszlopa a részviszonyszámok összehasonlítására szolgáló kj különbségeket, valamint ij hányadosokat, valamint az összetett viszonyszámok K különbségét, illetve I hányadosát tartalmazza, ahol k j = V1 j − V0 j , ij =

V1 j V0 j

,

K = V1 − V0 , I=

V1 . V0

M

V1 =

∑ A1 j j=1 M

∑B j=1

M

és V0 =

1j

∑A

0j

∑B

0j

j=1 M

j=1

A két emlegetett tényező hatását oly módon fogjuk kimutatni, hogy a két összehasonlítandó összetett viszonyszám közötti tényleges K különbséget, illetve a két mutató I tényleges hányadosát úgy kapjuk meg, hogy felbontjuk őket K’ (valamint I’) és K” (valamint I”) összetevőkre úgy, hogy • K’ (illetve I’) kizárólag a megfelelő részviszonyszámok közötti eltéréseknek a két összetett viszonyszám közötti eltérésre gyakorolt hatását • K” (illetve I”) pedig kizárólag a két sokaság eltérő szerkezetének, más néven összetételének a két összetett viszonyszám közötti eltérésre gyakorolt hatását mutassa, és • K=K’+K”, illetve I=I’·I” teljesüljön.

V.4.a Különbségfelbontás A K = V1 − V0 különbség felbontásának célja olyan K’ és K” összefoglaló mutatószámok meghatározása, hogy

75

• • •

K’ azt mutassa, hogy a megfelelő részviszonyszámok közötti kj eltérések önmagukban mekkora eltérést indokolnak V1 és V0 között, K” azt mutassa, hogy a két sokaság eltérő összetétele önmagában mekkora eltérést indokol V1 és V0 között, A két összefoglaló mutatószám összege egyezzen meg a tényleges K különbséggel.

A K különbséget teljes különbségnek, a K’ mutatót részhatás-különbségnek, a K” mutatót pedig összetételhatás-különbségnek nevezzük. A K = V1 − V0 különbség felírható a következő (súlyozott számtani átlag) formulában is22:

K=

∑BV − ∑B V ∑B ∑B 1 1

0 0

1

M

K = V − V0 = '

' 1

'

∑ Bsj ⋅V1 j j =1

M

∑B j =1

sj

0

M

−

∑ Bsj ⋅V0 j j =1

M

∑B j =1

M

=

sj

∑ Bsj ⋅ (V1 j − V0 j ) j =1

M

∑B j =1

sj

M

=

∑B j =1 M

sj

⋅kj

∑B j =1

sj

A fenti módon számított K’ fiktív különbség eleget tesz az első követelménynek, ugyanis a V1 ’ és V0 ’ fiktív összetett viszonyszámok a megfelelő V1j és V0j részviszonyszámoknak ugyanazokkal a Bsj súlyokkal számított átlagai. A mindkét sokaságra azonosnak feltételezett súlyokat standard súlyoknak, a V1 ’ és V0 ’ fiktív összetett viszonyszámokat pedig standardizált összetett viszonyszámoknak nevezzük, amelyek csak azért térhetnek el egymástól, mert a számításukhoz használt részviszonyszámok különbözőek. Ugyanígy: '' '' ∑ B1Vs − ∑ B0Vs K '' = V1 − V0 = ∑ B1 ∑ B0 A fenti módon számított K” fiktív különbség eleget tesz a második követelménynek, hiszen most mindkét összetett viszonyszámot a részviszonyszámok azonos, más néven standard sorozatának átlagaként állítottuk elő. A V1 ’ és V0 ’, valamint a V1 ” és V0 ” fiktív összetett viszonyszámok az összetett viszonyszám nagyságát meghatározó két tényező közül egyidejűleg csak az egyiknek a szempontjából különböznek. Ezért e fiktív összetett viszonyszámok K’, ill. K” különbségei pontosan azt mutatják, amire kíváncsiak vagyunk. A K=K’+K” technikai követelmény teljesülésének feltételei:23 1. ha K’-ben Bs=B0, akkor K”-ben Vs=V1 2. ha K’-ben Bs=B1, akkor K”-ben Vs=V0

Példa

22

Súlyozott harmonikus átlag formula:

K=

∑A − ∑A A A ∑V ∑V 1

0

1

0

1

0

23

, ezt a megoldást választva az A adatok a súlyok.

K”1 olyan összetételhatás-különbséget jelöl, melynek számítása során tárgyidőszaki részviszonyszámok V1 sorozatát tekintjük standardnak.

76

Hasonlítsuk össze a I. és II. országokban a munkanélküliségi rátát, és magyarázzuk az azt alakító tényezőket! I. Életkor

gazdaságilag aktívak (ezer fő)

II.

munkanélküliek (ezer fő)

gazdaságilag aktívak (ezer fő)

munkanélküliek (ezer fő)

15-19

24,1

6,1

191,2

37,4

20-24

225,1

26,8

321,4

32,8

25-29

366,2

26,1

249,6

17,1

összesen

615,4

59

762,2

87,3

I. gazdaságilag aktívak (ezer fő)

Életkor

II.

Munkanélküliek (ezer fő)

B0

A0

Munkanélküliségi ráta

gazdaságilag aktívak (ezer fő)

V0

B1

Munkanélküliek (ezer fő)

Munkanélküliségi ráta

A1

V1

15-19

24,1

6,1

0,253

191,2

37,4

0,196

20-24

225,1

26,8

0,119

321,4

32,8

0,102

25-29

366,2

26,1

0,071

249,6

17,1

0,068

összesen

615,4

59

762,2

87,3

37,4 6,1 = 0,25 V1(15−19 ) = = 0,196 és a többi részviszonyszám ugyanígy 24,1 191,2 számítható a többi korcsoportban, adatokat lsd. a fenti táblázatban.

Pl. V0(15 −19 ) =

Az összetett viszonyszámok (vagyis a két ország munkanélküliségi rátájának) számítása: ∑ A0 j = 59 = 0,096 ∑ A1 j = 87,3 = 0,115 V0 = V1 = ∑ B0 j 615,4 ∑ B1 j 762,2 A két összetett viszonyszám közötti különbség: K= V1 − V0 = 0,115 − 0,096 = 0,019 A feladat, hogy ezt a K=0,019 különbséget (vagyis a munkanélküliségi rátában megmutatkozó 1,9%-nyi eltérést a II. ország javára) felbontsuk részhatás- (K’) és összetételhatás-különbségre (K”). Részhatás-különbség: ∑ BsV1 − ∑ BsV0 , K' = ∑ Bs ∑ Bs

K 0' =

∑B V − ∑B V ∑B ∑B 0 1

0 0

0

0

=

válasszuk

standard

súlynak

a

Bs=B0-t,

így

24,1 ⋅ 0,196 + 225,1 ⋅ 0,102 + 366,2 ⋅ 0,068 − 0,096 = 0,086 − 0,096 = −0,01 615,4

Ekkor az összetételhatás-különbség számításához a tárgyidőszaki részviszonyszámok V1 sorozatát kell standardnak tekinteni, vagyis Vs=V1. Így: BV BV K1'' = ∑ 1 1 − ∑ 0 1 = 0,115 − 0,086 = 0,029 ∑ B1 ∑ B0 K = K 0' + K1'' = −0,01 + 0,029 = 0,019

77

Vagyis a -0,01 értékű részhatás-különbség azt jelenti, hogy a II.-vel jelölt országban minden korcsoportban kisebb a munkanélküliségi ráta, és ha csak a részviszonyszámok közötti eltérést vesszük alapul, akkor áltagosan az -0,01-gyel (vagyis 1%-kal kisebb) munkanélküliségi rátát indokolna II.-ben I.-hez képest. A 0,029 értékű összetételhatás-különbség pedig a szerkezetből (vagyis a korcsoportok eltérő arányából) fakadó hatást mutatja. Ha megnézzük az egyes korcsoportok arányát a népességen belül akkor az az I- országban rendre: 3,9%; 36,58%, és 59,5%, ugyanez a II. országban: 25,1%; 42,16% és 32,74%. Ezekből az adatokból azt látjuk, hogy a II. országban a legnagyobb munkanélküliségi rátával jellemzett 15-19 éves korosztály a népesség 25,1%-át teszi ki szemben az I. ország mindössze 3,9%-ával. Ugyanez mondható el a második legnagyobb munkanélküliségi rátával jellemezhető 20-24 éves korosztályról, míg a legkisebb munkanélküliségi rátával rendelkező korosztály a II. országban a népességnek csak 32,74%-át teszi ki, szemben az I. ország 59,5%-ával. Mindezen szerkezetbeli különbségek mutatnak rá arra, hogy a K”=0,029 –es érték azt mutatja, hogy ha csak a szerkezeti hatást vesszük alapul, akkor az a II. országban átlagosan 2,9%-kal magasabb munkanélküliségi rátát indokol az I. országhoz képest. E két hatás összegeként adódik az 1,9%-os átlagos eltérés. A példa kiválóan rávilágít a részhatás- és összetételhatás jelentőségére, ugyanis a II. országban annak ellenére magasabb a munkanélküliségi ráta összességében, hogy az egyébként minden korcsoportban alacsonyabb az I. országhoz képest.

V.4.b Hányadosfelbontás A tényleges vagy fiktív összetett viszonyszámok hányadosait összefoglaló néven standardizáláson alapuló indexeknek nevezzük. A gyakorlatban e hányadosok százalékként értelmezett értékeit használjuk. E hányadosok használata főleg az összetett intenzitási viszonyszámok időbeli összehasonlítása során terjedt el, így a százalékos változások használata magától értetődő. A probléma lényegét tekintve ugyanaz, mint a különbségfelbontás esetén. Az egymással összehasonlítani kívánt összetett intenzitási viszonyszámok hányadosát képezzük:

I=

V1 = V0

∑ A : ∑ A = ∑ A : ∑B = ∑BV : ∑B V ∑B ∑B ∑ A ∑B ∑B ∑B 1

0

1

1

1 1

0 0

1

0

0

0

1

0

Ezt a hányadost kívánjuk felbontani két olyan I’-vel és I”-vel jelölt index szorzatára, amelyek közül az I’ részhatás-index azt mutatja, hogy a részviszonyszámok változása önmagában hogyan hatott az összetett viszonyszám változására, az I” összetételhatás-index pedig azt, hogy a sokaság összetételének változása önmagában hogyan alakította az összetett viszonyszámot. Az I hányadost összhatásindexnek nevezzük. A számításhoz szükséges képletek, ahol felhasználjuk a különbségfelbontás során használt gondolatmenetet (Bs itt is a számítás során használt súlyt, Vs a részviszonyszámok valamilyen standard sorozatát jelenti):

V1 ' I = ' = V0 '

∑BV : ∑BV ∑B ∑B s 1

s 0

s

s

BV =∑ ∑BV

s 1

s 0

Az I = I '⋅I " összefüggés akkor teljesül, ha: 1. I’-ben Bs=B0 és I”-ben Vs=V1 2. I’-ben Bs=B1 és I”-ben Vs=V0

78

V1 '' és I = '' = V0 ''

∑ BV : ∑ B V ∑B ∑B 1 s

0 s

1

0

Az I’1 index különböző formulái: BV I1' = ∑ 1 1 = ∑ B1V0

∑ BV ⋅i = ∑ BV ∑ BV ∑ BV 1 0

1 0

1 1 1 1

=

∑A A ∑i

1

,

1

i ahol az első az I’1 aggregát formája, a második az ij hányadosok (a megfelelő részviszonyszámok hányadosainak) változását mutató súlyozott számtani átlag formula, míg az utolsó kettő ugyanezen ij hányadosok súlyozott harmonikus átlag formulája.

Példa Egy vállalkozás jellemző adatai az egyes években: Állománycsoport Fizikai Szellemi Összesen

Létszám megoszlása % 2003 2004 72 81 28 19 100 100

Átlagbér (ezer Ft/hó) 2003 2004 80 86 200 220

Elemezzük a cégnél foglalkoztatottak átlagbérének változását, és annak alakulására ható tényezőket! Állománycsoport Fizikai Szellemi Összesen

2003 Létszám (%) Átlagbér (eFt/hó) B0 V0 72 80 28 200 100 113,6

2004 Létszám (%) Átlagbér (eFt/hó) B1 V1 81 86 19 220 100 111,4

Két időszak összehasonlítása esetén célszerű hányados-felbontással elemezni a cégnél a foglalkoztatottak átlagbérének alakulását. Számítsuk ki a hiányzó adatokat, vagyis a két vállalatra jellemző átlagbért, mint összetett viszonyszámokat: BV 72 ⋅ 80 + 28 ⋅ 200 V0 = ∑ 0 0 = = 113,6eFt / hó 100 ∑ B0

∑ BV ∑B

81 ⋅ 86 + 19 ⋅ 220 = 111,46eFt / hó 100 1 Összhatás-index számítása: V 111460 I= 1 = = 0,98 = 98% V0 113600 2003-ról 2004-re az átlagbér (valamennyi állománycsoportot figyelembe véve) átlagosan 2%kal csökkent. BV BV B V 81 ⋅ 86 + 19 ⋅ 220 V' I ' = 1 ' = ∑ s 1 : ∑ s 0 → I '1 = ∑ 1 1 = = 1,08 = 108% V0 ∑ Bs ∑ Bs ∑ B1V0 80 ⋅ 81 + 200 ⋅ 19 V1 =

1 1

=

79

Mivel az átlagbér (mint részviszonyszám) mindkét állománycsoportban nőtt, ez az átlagbér növekedésében 8%-ot indokolna.

I '' =

V1 '' = V0''

∑ BV : ∑ B V ∑B ∑B 1 s

0 s

1

0

→ I "0 =

∑ BV ÷ ∑ B V ∑B ∑B 1 0

0 0

1

0

=

80 ⋅ 81 + 200 ⋅ 19 72 ⋅ 80 + 28 ⋅ 200 ÷ = 90,7% 100 100

Egyszerűbben számítva: I '' = I ÷ I ' = 98% ÷ 108% = 90,7% A 90,7%-os összetételhatás-index azt mutatja, hogy a magasabb átlagbérűek aránya 28%-ról 19%-ra csökkent, az alacsonyabb átlagbérűek aránya 72%-ról 81%-ra nőtt. Ez az együttes átlagbért 9,3%-kal csökkentette.

80

V.5 Indexszámítás V.5.a Elemzés dinamikus viszonyszámokkal A dinamikus viszonyszámok idősorok adataiból számított hányadosok. A dinamikus viszonyszámoknak minden kettőnél több adatból álló idősor esetén kétféle fajtája képezhető. Az egyik lehetőség a Y bt = t , t = 1,2,..., n Yb bázisviszonyszámok számítása, ahol Y1, Y2, …, Yn az idősor időben egymást követő adatait jelöli, Yb pedig az állandó bázisnak választott adat. Ilyen célra vagy az idősor bármelyik adata választható vagy a rendelkezésre álló idősoron kívül eső adat is. A dinamikus viszonyszámok másik fajtáját az Y lt = t , t = 2,..., n Yt −1 láncviszonyszámok képezik, melyek esetében a bázisadat állandóan változik. A láncviszonyszámok esetében a bázis mindig a viszonyítás tárgyát időben közvetlenül megelőző adat. A bázisviszonyszámokkal – bázisuk állandósága miatt – számos tekintetben ugyanúgy lehet számolni, mint magukkal az Yt adatokkal. Az egymást közvetlenül követő bázisviszonyszámok hányadosa láncviszonyszámot ad, mert: bt Y Y Y = t : t −1 = t bt −1 Yb Yb Yt −1 Új bázisra, így Yb-ről Yc-re úgy térhetünk át, hogy az Yb bázisú bázisviszonyszámokat Yc elosztjuk -vel, ami nem más, mint az új bázisnak a régi bázisra vonatkozó Yb bázisviszonyszáma, mivel Yt Yc Yt : = Yb Yb Yc Két azonos bázisú bázisviszonyszám-sor ugyanazon időegységekre vonatkozó tagjainak hányadosai megegyeznek a két idősorból számítható intenzitási viszonyszámok bázisviszonyszám-sorával, ugyanis At Bt At Ab : = : Ab Bb Bt Bb A gyakorlatban igen hasznos még az az összefüggés, hogy a b bázisidőegységet követő k Y darab láncviszonyszám szorzata az b + k bázisviszonyszámot adja, mivel Yb Yb +1 Yb + 2 Y Y ⋅ ⋅ ... ⋅ b + k = b + k Yb Yb +1 Yb + k −1 Yb

81

Példa Elemezzük bázis- és láncviszonyszámokkal egy vállalatnál dolgozók létszámának az alakulását! évek

létszám

2000

52

100,0%

100,0%

82,5%

2001

63

121,1%

121,1%

100,0%

2002

71

112,7%

136,5%

112,7%

2003

68

95,8%

130,8%

107,9%

bt Y Y Y = t : t −1 = t bt −1 Yb Yb Yt −1 Yt Yc Yt : = Yb Yb Yc Yb +1 Yb + 2 Y Y ⋅ ⋅ ... ⋅ b + k = b + k Yb Yb +1 Yb + k −1 Yb

előző év=100%

2000=100%

2001=100%

130,8% 68 71 68 = : = = 95,8% 136,5% 52 52 71 68 63 68 : = 130,8% : 121,1% = 108% 52 52 63 121,1% ⋅112,7% ⋅ 95,8% = 130,8%

V.6 Indexszámítás alapjai: aggregált sokaság Az indexeket a gazdaságban, az üzleti világban, az életkörülmények változásának elemzése során és egyéb területeken is széles körben használják. A KSH havi rendszerességgel teszi közzé pl. a fogyasztói árindexet, a termelői árindexeket, az export és import volumenindexét, a bruttó átlagkeresetek indexét, a GDP volumenindexét. A gazdálkodó szervezetek számára fontos információt adnak a gazdaság működésének általános jellemzői, illetve a működési területükre vonatkozó részletezettebb mutatószámok, és természetesen saját tevékenységükkel kapcsolatosan olyan indexszámok, mint pl. értékesítésük változása, eladási áraik változása, beszerzéseik volumen és árváltozása. A különböző fajta, illetve minőségileg különböző, de valamilyen oknál fogva együtt vizsgálni kívánt javak összességét aggregált sokaságnak nevezzük. Az aggregált sokaság nagysága értékben adható meg, ezt aggregátumnak hívjuk. Ez az aggregált sokaság rendszerint kisebb sokaságokból: azonos vagy egymáshoz nagyon hasonló fajta jószágféleségek kisebb-nagyobb tömegeiből tevődik össze. Egy ilyen aggregált sokaság nagysága az aggregátum: n

n

i =1

i =1

A = ∑ qi ⋅ pi = ∑ vi Ahol: • qi az i-edik fajta jószágféleség azon egységeinek valamilyen alkalmas mértékegységben kifejezett mennyisége, melyek az aggregált sokaságba tartoznak; • pi az i-edik fajta jószágféleség egységára; • vi=pi·qi az i-edik fajta jószágféleség azon egységeinek összértéke, melyek az aggregált sokaságba tartoznak; • n az aggregált sokaságba tartozó jószágféleségek száma. Ennek megfelelően az A aggregátum tartalma attól függ, hogy milyen fajta jószágféleségeket vizsgálunk, milyen időszakot veszünk alapul, és mi a számításhoz használt qi és pi adatok

82

tartalma. Ugyanakkor az is nyilvánvaló, hogy egy A aggregátum nagysága mind a qi mennyiségi adatoktól, mind a pi egységáradatoktól függ. A különféle aggregátumok időbeli és térbeli összehasonlításával, illetve a q és p mennyiségeknek az aggregátum időbeli változásában vagy területi különbségeiben játszott szerepének kimutatásával az indexszámítás foglalkozik. E kérdésekre választ adó mutatókat indexeknek fogjuk nevezni. Az indexszámok valamilyen szempontból összetartozó, de különnemű (különböző fajta, vagy különböző minőségű), közvetlenül nem összesíthető javak összességére vonatkozóan a mennyiségek, az árak időbeli vagy térbeli összehasonlítására szolgálnak. Nevezzük az aggregált sokaságba tartozó jószágféleségeket termékeknek, az egyes jószágféleségekhez tartozó qi mennyiségeket termelt mennyiségeknek, a pi árakat pedig egységáraknak. Ekkor vi nem más, mint az i-edik termékből termelt mennyiség összértéke, azaz az i-edik termékhez tartozó termelési érték.

V.6.a Két időszakra vonatkozó indexszámítás Adva van n számú termék, és két időszakra vonatkozóan ismertek az egyes termékekből termelt mennyiségek, valamint a termékek egységárai.24 Az indexszámítás alapadatait az alábbi táblázat tartalmazza. Termék Termelt Egységár sorszáma (i) mennyiség A bázisidőszakban

Termelt mennyiség

Egységár

A tárgyidőszakban

1

q01

p01

q11

p11

2

q02

p02

q12

p12

… i

… q0i

… p0i

… q1i

… p1i

… n

… q0n

… p0n

… q1n

… p1n

jelölés

q0

p0

q1

p1

17. Táblázat: Indexszámítás alapadatai

A táblázatban lévő adatok birtokában a következő három alapkérdés tehető fel akár az egyes termékekre vonatkozóan, akár pedig a termékek összességére vonatkozóan: 1. Hogyan változott a termelés értéke? 2. Hogyan változott a termelés mennyisége (volumene)? 3. Hogyan változott az ár, illetve az árszínvonal25?

Példa: Egy elektronikai cikkeket forgalmazó vállalat forgalma 4 különböző mosógépből a 2005-2006 években:

24

Fel kell hívni a figyelmet a qi és pi adatok eltérő természetére. A qi adatok valamely időszakra vonatkozóan értelmezhetőek, ezzel szemben a pi adatok időponthoz kötődnek. Az aggregátumok számítása a gyakorlatban úgy történik, hogy az egyes termékekből termelt mennyiségeket mindig a vizsgált időszakon belül éppen érvényes egységárakon értékelik. 25 Egy termék esetében árváltozásról, a termékek adott körére vonatkozóan pedig árszínvonal-változásról szokás beszélni.

83

Termék típusa EWW 16781 W ZWQ 5100 LAVAMAT 47280 L 47330 Összesen

Eladott mennyiség (db)

Egységár (Ft/db)

Eladás értéke (ezer Ft) aggregátumok 2005 (q0·p0) 2006 (q1·p1) 3203500 3034200

2005 (q0) 43

2006 (q1) 39

2005 (p0) 74500

2006 (p1) 77800

36 49

34 42

87600 68700

89500 69500

3153600 3366300

3043000 2919000

56 184

48 163

59800 -

61200 -

3348800 13072200

2937600 11933800

Egy termékre vonatkoztatva a három kérdést a következő dinamikus viszonyszámok adnak választ: • • •

q1i ⋅ p1i v1i = egyedi termelési érték index q0i ⋅ p0i v0i q iq = 1i egyedi volumenindex q0i p i p = 1i egyedi árindex p0i

iv =

Az egy termékre megadott iv, iq és ip dinamikus viszonyszámokat egyedi indexeknek nevezzük, ezek rendre azt mutatják, hogy a bázisidőszakról a tárgyidőszakra hogyan (hány %kal) változott az adott termékre vonatkozó termelési érték, termelt mennyiség, és egységár. E három index között az iv = iq ⋅ i p összefüggés áll fenn. Amennyiben ezeket a kérdéseket a termékek összességére vonatkoztatjuk, akkor csak a termelési érték változására adható egyértelmű válasz, mivel a különféle termékekhez tartozó egységárak és mennyiségek általában nem összegezhetőek, addig az a termelési érték adatokkal minden további nélkül megtehető. Ezért a termékek összességére vonatkozóan a termelési érték változására az alábbi értékindex ad választ: q ⋅p v Iv = ∑ 1 1 = ∑ 1 ∑ q0 ⋅ p0 ∑ v0 Mivel az aggregátum nagysága mind a qi, mind pedig a pi adatoktól függ, az értékindexben mindkettőnek a hatása kifejezésre jut. Az értékindex számításához használt két aggregátum ugyanis mind a q, mind pedig a p adatokban különbözik egymástól. Ezzel szemben két, csak mennyiségekben különböző aggregátum hányadosa, ahol ps mindkét időszakra érvényesnek tekintett egységárakat jelöl, amely azt tükrözi, hogy hogyan változott a vizsgált aggregátum kizárólag a mennyiségek változása következtében26: q ⋅p Iq = ∑ 1 s ∑ q0 ⋅ ps 26

Ez az eljárás ötletét tekintve megegyezik a standardizálással. Mindkét esetben úgy érjük el, hogy valamely adat vagy mutatószám csak a bennünket érdeklő és általunk vizsgálni kívánt tényező hatását tükrözze, hogy azzal a feltevéssel élünk, miszerint a kérdéses adat, mutatószám nagyságát befolyásoló más tényezők nem változnak- standardak. Ez a feltevés a valóságot egyszerűsítő fikció csupán.

84

Ezért az Iq mutatószám alkalmas a termékek összességére vonatkozó termelési mennyiség változásának megválaszolására. Az Iq volumenindex a termelés volumenének a változását mutatja a termékek valamely adott körére vonatkozóan. Ehhez hasonlóan az árindex, amelyben qs valamilyen – mindkét időszakra vonatkoztatottmennyiségeket jelöl, az egyedi árváltozások összefoglaló mérőszáma. q ⋅p Ip = ∑ s 1 ∑ qs ⋅ p0 Az Ip mutatószám azt fejezi ki, hogy miként változott a vizsgált aggregátum kizárólag az egységárak vonatkozásában. Az Ip árindex az árszínvonal változásának mértékét mutatja a vizsgált termékek összességére vonatkozóan. Érdemes arra felhívni a figyelmet, hogy az értékindex két tényleges – egy tárgyidőszaki és egy bázisidőszaki – aggregátum hányadosa, addig a volumenindex és az árindex két-két feltételezett – fiktív- aggregátumé. Majd látni fogjuk, hogy e két fiktív aggregátum közül az egyik, de csak az egyik, valamelyik időszak tényleges aggregátuma lesz.

V.6.b A legfontosabb volumen- és árindex formulák Ahhoz, hogy a fentebb látható volumenindex és árindex formulák használhatóak legyenek, el kell dönteni, hogy mik legyenek a mindkét időszakra érvényes ps egységárak, illetve qs termelt mennyiségek. Az alábbi megoldások állnak rendelkezésre: • Bázisidőszaki adatok: Iq-ban ps=p0, Ip-ben qs=q0; • Tárgyidőszaki adatok: Iq-ban ps=p1, Ip-ben qs=q1; 1 1 • Átlagos adatok használata: Iq-ban ps = ( p0 + p1 ) ; Ip-ben qs = ( q0 + q1 ) 2 2 • A bázisidőszaki adatok és tárgyidőszaki adatok felhasználásával nyert indexek egyszerű (súlyozatlan) mértani átlagolása, ami a ps egységárak, illetve a qs mennyiségek közvetett módon történő megválasztásával egyenértékű. Bázisidőszaki súlyozású (Laspeyres-féle) volumen- és árindex: q ⋅p q ⋅p I q0 = ∑ 1 0 és I p0 = ∑ 0 1 ∑ q0 ⋅ p0 ∑ q0 ⋅ p0 Tárgyidőszaki (Paasche-féle) volumen- és árindex: q ⋅p q ⋅p I q1 = ∑ 1 1 és I 1p = ∑ 1 1 ∑ q0 ⋅ p1 ∑ q1 ⋅ p0 Gyakori a Fisher-féle index alkalmazása is: I qF = I q0 ⋅ I q1 és I pF = I 0p ⋅ I 1p

Példa27 A táblázatban a magyar háztartások egy főre jutó fogyasztására vonatkozó kiragadott információkat találunk. A táblázatban egységárnak nevezett árak éves átlagárak, minden

27

Hunyadi, L., Vita, L.: Statisztika közgazdászoknak, Központi Statisztikai Hivatal, Budapest, 2002, 194. o.

85

esetben egy-egy teljes évre vonatkozó átlagárakról van szó, ráadásul több egynél többféle konkrét áruféleséget jellemez. Termék

Me

Mennyiség 2001 q0

2004 q1

Egységár (Ft)

Egyedi index (%) (2001=100%)

2001 p0

iv

iq

2004 p1

ip

Tej

Liter

87,2

77,4

20,7

43,6

187

88,8

210,6

Tojás

db

233,0

212,0

4,3

8,2

173,5

91,0

190,7

Sertéshús

Kg

19,4

17,2

192,4

359,8

165,8

88,7

187,0

Baromfihús

Kg

18,6

18,4

118,1

207,3

173,6

98,9

175,5

Kenyér

Kg

72,5

70,1

31,0

58,8

183,4

96,7

189,7

Burgonya

Kg

49,4

49,3

18,2

30,1

165,1

99,8

165,4

Cukor

Kg

21,1

19,5

43,5

79,8

169,5

92,4

183,4

Alma

Kg

18,3

16,2

24,9

36,2

128,7

88,5

145,4

Déligyüm.

kg

6,2

9,1

97,4

100,7

151,7

146,8

103,4

A táblázat utolsó három oszlopa az egyedi indexeket tartalmazza, így pl. a tej esetében: 77,4 ⋅ 43,6 3374,64 = = 1,87 iv = 87,2 ⋅ 20,7 1805,04 77,4 = 0,887 iq = 87,2 43,6 ip = = 2,106 20,7 Mindez azt jelenti, hogy az egy főre jutó tejfogyasztás értéke 87%-kal nőtt, miközben az egy főre jutó tejfogyasztás mértéke 11,3%-kal csökkent, a tej egységára pedig 110,6%-kal nőtt 2001-ről 2004-re. Az összes többi termékre az egyedi indexek ugyanígy értelmezhetőek. A következő lépésben meghatározzuk az egy főre jutó élelmiszer-fogyasztás érték-, volumenés árindexeit. Értékindex számítása: 77,4 ⋅ 43,6 + 212 ⋅ 8,2 + ... + 9,1 ⋅ 100,7 23780,64 Iv = = = 171,6% 87,2 ⋅ 20,7 + 233 ⋅ 4,3 + ... + 6,2 ⋅ 97,4 13860,14 Eszerint az egy főre jutó élelmiszer-fogyasztás értéke a termékek összességére vonatkozóan 71,6%-kal nőtt a vizsgált időszakban. A fogyasztás bázisidőszaki súlyozású volumenindexe: 77,4 ⋅ 20,7 + 212 ⋅ 4,3 + ... + 9,1 ⋅ 97,4 13204,43 I q0 = = = 95,3% 87,2 ⋅ 20,7 + 233 ⋅ 4,3 + ... + 6,2 ⋅ 97,4 13860,14 Eszerint az egy főre jutó élelmiszer-fogyasztás volumene 4,7%-kal csökkent. A fogyasztás bázisidőszaki súlyozású árindexe: 87,2 ⋅ 43,6 + 233 ⋅ 8,2 + ... + 6,2 ⋅ 100,7 25268,94 I 0p = = = 182,3% 13860,14 13860,14 Az elfogyasztott élelmiszerek árszínvonala 82,3%-kal nőtt 2001-ről 2004-re. Tárgyidőszaki súlyozású volumenindex:

86

23780,64 = 94,1% 25268,94 Tárgyidőszaki súlyozású árindex: 23780,64 I 1p = = 180,1% 13204,43 I q1 =

A Fisher-féle indexek: I qF = 0,953 ⋅ 0,941 = 94,7%

I pF = 1,823 ⋅ 1,801 = 181,2% Látjuk, hogy a különböző módon számított volumen- és árindexek eltérnek egymástól: • A belőlük levonható következtetések majdnem ugyanazok • Mindegyik index a neki megfelelő legkisebb és legnagyobb egyedi index közé esik • A Fisher-féle volumen- és árindex szorzata Iv-vel egyenlő • A Paasche-féle indexek rendre kisebbek a megfelelő Laspeyres-féle indexeknél.

V.6.c Az indexek átlagformái Ha az indexek aggregát formáinak számlálójában, illetve nevezőjében szereplő q·p szorzatokat átmenetileg a viszonyszámok esetében használatos A, illetve B szimbólummal A jelöljük, akkor a szóban forgó formulák az I = ∑ = V alakban is felírhatóak. E formula ∑B pedig nem más, mint az összetett viszonyszám jól ismert képlete. Az index így nem egyszerűen viszonyszám, hanem összetett viszonyszám is, hiszen a termelési érték változását nem egy termékre, hanem egyszerre többféle termékre vonatkozóan mutatja. Minden aggregát formában felírható index egyben a megfelelő egyedi indexek súlyozott átlaga, azaz összetett viszonyszám is. Az indexek emellett speciális összetett viszonyszámok is, mert a számításukhoz szükséges qi adatok rendszerint nem összesíthetőek közvetlenül. Indexformula

A

B

V

Iv

q1p1

q0 p0

iv

Iq0

q1p0

q0 p0

iq

Iq1

q1p1

q0 p1

iq

Ip0

q0p1

q0 p0

ip

Ip1

q1p1

q1 p0

ip

18. Táblázat: A, B és V adatok a legfontosabb indexformulákban

Minden index előállítható a részviszonyszámok szerepét játszó megfelelő egyedi indexek súlyozott számtani vagy harmonikus átlagaként is. Így például a volumenindexek a következő alakot öltik: ∑ q0 p1iq = ∑ q1 p1 = ∑ v1 I q1 = ∑ q0 p1 ∑ q1 p1 ∑ v1 iq iq 87

I q0 =

∑q p i ∑q p 0

0

0 q 0

=

∑q p qp ∑ i 1

0

1

0

=

∑v i ∑v

0 q 0

q

Ennek analógiájára könnyen végrehajtható az árindexek hasonló formuláinak előállítása is. Ezeket a formulákat átlagformulának hívjuk, és mindig a megfelelő egyedi indexek az átlagolandó értékek, és valamilyen q·p alakban felírható tényleges vagy fiktív értékadatok a súlyok.

V.6.d Néhány fontos indexösszefüggés A termelési érték, a termelt mennyiség és egységár között fennálló v=q·p összefüggés következtében egy termékre vonatkozóan az iv = iq ⋅ i p összefüggés is fennáll. Ennek alapján természetes, hogy elvárás a termékek összességére vonatkozó I v = I q ⋅ I p összefüggés teljesülésének a követelése is: I q0 ⋅ I 1p = I v

I q1 ⋅ I p0 = I v I qF ⋅ I pF = I v Az összefüggés leggyakrabban a volumenindex ún. közvetett módon történő meghatározására I használják fel az I q = v alakban. Ennek az összefüggésnek gyakorlati szempontból fontos Ip interpretációja: ha az Iv értékindex valamilyen pénzösszeg (pl. lakossági jövedelem) nagyságának változását, az Ip árindex pedig adott pénzösszegért megvásárolni kívánt termékek árszínvonalának változását jelenti, akkor az Iq volumenindex nem más, mint az adott pénzösszegért megvásárolható termékek volumenváltozását kifejező mutatószám. Ezt a szóban forgó összeg reálérték-változásának nevezik. Ha például Magyarországon a rendelkezésre álló jövedelem 1999-ben 10,7%-kal volt több, mint 1998-ban, miközben a fogyasztói árindex értéke 110% volt. Ennek következtében a 110,7 ≈ 100,6 %. lakosság rendelkezésre álló jövedelmének reálértéke 0,6%-kal nőtt, mert 110 Más szavakkal ez azt jelenti, hogy a lakosság 1999. évi jövedelméért 0,6%-kal több terméket és szolgáltatást tudott vásárolni, mint 1998-ban. Az aggregát formával rendelkező indexek arra is felhasználhatók, hogy valamely index és az annak formulájában szereplő egyik aggregátum ismeretében meghatározzuk az ismeretlen aggregátumot. Ezen belül nagy gyakorlati jelentősége van a következő műveletnek: ∑ q1 ⋅ p1 = ∑ v1 Ip Ip Valamely aggregátumnak egy árindexszel való osztását deflálásnak nevezzük. A ∑ q1 ⋅ p1 alakú aggregátumokat a gazdaságstatisztikában folyóáras aggregátumoknak vagy folyóáras adatoknak szokás nevezni. Egy ilyen folyóáras adatnak és egy alkalmas árindexnek – ún. deflátor-indexnek – a hányadosaként bázisidőszaki árszínvonalon kifejezett aggregátumhoz jutunk, amelyet a megfelelő folyóáras aggregátum reálértékének

88

neveznek. Ha a ∑ v1 helyébe 1-et írunk, akkor azt kapjuk meg, hogy a pénzegység mennyit ér a tárgyidőszakban a bázisidőszaki árszínvonalon számítva. Ez nem más, mint a pénz vásárlóerejének a változása. Magyarországon például a forint vásárlóereje 1999-ről 2000-re mintegy 9%-kal csökkent, ha egy forintnyi aggregátum deflálására a fogyasztói árindexet használjuk, amelynek értéke 1 = 0,911 . 2000-ben 109,8% volt 1999-hez képest, és így 1,098 A deflálás ellentéte a tárgyidőszaki színvonalra való átárazás, ami úgy történik, hogy a ∑ q0 ⋅ p0 bázisidőszaki folyóáras aggregátumot megszorozzuk egy alkalmas árindexszel.

V.6.e Aggregátumok különbsége Eddig az aggregátumok hányadosait vizsgáltuk, bizonyos esetekben azonban az aggregátumok különbségének van jelentősége. A I q0 ⋅ I 1p = I v és I q1 ⋅ I p0 = I v összefüggésekben szereplő indexek számlálói és nevezői közötti különbségeket véve a különbségek között fennáll a K v = K q + K p összefüggés, amelyben K valamely index számlálójának és nevezőjének a különbségét jelöli, K alsó indexei pedig azt jelzik, hogy melyik index számlálója és nevezője közötti különbségről van szó. A gyakorlatban a leggyakrabban az Ip0 vagy Ip1 árindexek számlálójában és nevezőjében szereplő aggregátum különbségeként számítható különbségek hasznosak a gyakorlatban: K 0p = ∑ q0 p1 −∑ q0 p0 =∑ q0 ( p1 − p0 ) és K 1p = ∑ q1 p1 −∑ q1 p0 =∑ q1 ( p1 − p0 ) Ezek ugyanis azt mutatják, hogy az árváltozások önmagukban mekkora változást idéztek elő a vizsgált aggregátumban. A Kp különbségeket árváltozásból adódó többletkiadásnak (ha Kp pozitív), vagy megtakarításnak (ha Kp negatív) szokás nevezni. Példa Három termék mennyiségi és egységár adatai a következők: Termék

Mennyiség Bázis

Ár Tárgy

Bázis

Időszak A B C

10 5 10

Tárgy Időszak

15 4 12

6 20 5

7 30 10

A, Számítsuk ki az egyedi érték-, volumen- és árindexeket! B, Számítsuk ki a termékek összességére vonatkozóan az értékindexet, valamint az ár- és volumenindexet a megismert formulákkal! C, Hasonlítsuk össze a Laspeyres és Paasche-féle indexeket és indokoljuk eltérésüket! D, Mutassuk be az érték-, ár- és volumenindexek összefüggéseit! E, Számítsuk ki, hogy az értékadat különbségéből mennyi volt a volumenváltozás, ill. az árváltozás hatása! (különbségfelbontás) A, Számítsuk ki az egyedi érték-, volumen- és árindexeket!

89

Termék A B C

iq (volumen) 1,5 0,8 1,2

iq =

q1 q0

ip =

p1 p0

iv =

v1 q1 p1 = v0 q0 p0

ip (ár) 1,167 1,5 2,0

iv (érték) 1,75 1,2 2,4

B, Számítsuk ki a termékek összességére vonatkozóan az értékindexet, valamint az ár- és volumenindexet a megismert formulákkal! ÉRTÉKINDEX

Iv =

∑q p ∑q p

=

1 1

0

0

15*7 + 4*30 + 12*10 = 164,3% 10*6 + 5* 20 + 10*5

ÁR- ÉS VOLUMENINDEXEK

∑q p ∑q p ∑q p = ∑q p

Ip = Iq

s

1

s

0

1

s

0

s

Bázisidőszaki adatok használatával (Laspeyres-féle index)

∑q p ∑q p ∑q p = ∑q p

I p0 = Iq0

0

1

0

0

1

0

0

0

=

10* 7 + 5*30 + 10*10 = 152, 4% 10* 6 + 5* 20 + 10*5

=

15*6 + 4 * 20 + 12*5 = 109,5% 10*6 + 5* 20 + 10*5

Tárgyidőszaki adatok használatával (Paasche-féle index)

90

∑q p ∑q p ∑q p = ∑q p

I p1 =

1 1

1

I q1

15*7 + 4*30 + 12*10 = 150% 15*6 + 4 * 20 + 12 *5

=

15*7 + 4*30 + 12*10 = 107,8% 10 *7 + 5*30 + 10 *10

0

1 1 0

=

1

Fisher-féle indexek: I pF = I p 0 I p1 = 1,524 *1, 5 = 151, 2% I qF = I q 0 I q1 = 1, 093*1, 078 = 108, 7% Ha a kétfajta volumenindexre rátekintünk, akkor látható, hogy mindkét index ugyanazoknak az iq egyedi volumenindexeknek a súlyozott számtani átlaga. Mivel egy súlyozott számtani átlag nagyságát az átlagolandó értékek nagysága mellett a súlyok egymás közötti aránya határozza meg, nyilvánvaló, hogy a kétféle számítás eredménye közötti eltérést csakis a súlyok egymás közötti arányainak az eltérése idézheti elő. A kétfajta módon számított volumenindexek minden olyan esetben eltérő eredményt adnak, amikor Szóródnak az egyedi volumenindexek Szóródnak az egyedi árindexek Az egyedi volumen- és árindexek közötti sztochasztikus kapcsolat van. Ha az egyedi volumen- és árindexek közötti sztochasztikus kapcsolat pozitív irányú, akkor Iq0 < Iq1, ha pedig a kétféle egyedi index között negatív irányú kapcsolat áll fenn, akkor Iq0 > Iq1. C, Hasonlítsuk össze a Laspreyes és Paasche-féle indexeket és indokoljuk eltérésüket! I q1 p I q0 I 1p p I p0 Oka: szóródnak az egyedi volumenindexek és az egyedi árindexek is, valamint a kisebb egyedi volumenindexhez nagyobb egyedi árindex tartozik, a nagyobbhoz pedig kisebb (negatív korrelációs kapcsolat van iq és ip indexek között). D, Mutassuk be az érték-, ár- és volumenindexek összefüggéseit!

I v = I q0 I 1p = 1,095*1,5 = 1, 643 = 164,3% I v = I q1 I p0 = 1,078*1,524 = 1, 643 = 164,3% I v = I qF I pF = 1, 087 *1,512 = 164,3% E, Számítsuk ki, hogy az értékadat különbségéből mennyi volt a volumenváltozás, ill. az árváltozás hatása! (különbségfelbontás)

K v = K q0 + K 1p = K q1 + K p0

91

K v = ∑ q1 p1 − ∑ q0 p0 = (15*7 + 4*30 + 12*10) − (10*6 + 5* 20 + 10*5) = 345 − 210 = 135 K q0 = ∑ q1 p0 − ∑ q0 p0 = (15*6 + 4*20 + 12*5) − 210 = 20 K 1p = ∑ q1 p1 − ∑ q1 p0 = 345 − 230 = 115 A Kv különbség abszolút számban mutatja az értékváltozást. Ebből a Kq nagyságú változás a volumenváltozás, a Kp pedig az árváltozás hatása. A volumenváltozás és az árváltozás hatásának a számszerűsítése a kétféle felbontásnál általában eltér egymástól, ami az alkalmazott indexformulák különbségéből származik.

V.7 Fontosabb árindexek Sokféle árindexet számítanak és publikálnak a gazdasági minden szintjén, a KSH havi rendszerességgel és megfelelő részletezettségben közli a mezőgazdasági termékek felvásárlási árindexét, az ipar árindexeit, az építőipari árindexet, a külkereskedelmi egységértékindexet, valamint a fogyasztói árindexet. A gazdálkodó szervezetek számára fontos információkat nyújtanak a működésük elemzéséhez és tervezéséhez a fenti mutatók, de képesnek kell lenniük arra is, hogy a saját tevékenységeikkel kapcsolatos árváltozások szintjét, valamint a bejövő és kimenő árváltozásokat jellemző árindexeket meg tudják határozni.

V.7.a Termelői árindexek A termelői árindexek a kibocsátott termékek és szolgáltatások átlagos árváltozását mérik, és meghatározásuk az egyes termékek első tranzakciójánál megjelenő árak alapján történik. Az előállított javak sokszínűsége, és a termelésükkel foglalkozó cégek nagy számossága miatt ezek az indexek mintavételes módszerrel készülnek, tehát reprezentatív megfigyelésen alapuló indexek. Az ipari termelői árindex az iparba sorolt gazdálkodó szervezetek által előállított és értékesített termékek, szolgáltatások átlagos árváltozását fejezi ki. A KSH külön meghatározza a belföldi értékesítési és az export árindexet, majd ezen indexek súlyozott átlagaként az ipar egészére nézve számít termelői árindexet. Súlyként a bázis időszaki belföldi, illetve az export árbevételt használják. Az ipar árindexe Év

Termelőiár-index

Belföldi Exportértékesítésiár-index

Termelőiár-index

2000 = 100,0

Belföldi Exportértékesítésiár-index Előző év = 100,0

2000

100,0

100,0

100,0

111,6

114,5

108,5

2001

105,2

109,4

101,5

105,2

109,4

101,5

2002

103,3

111,2

96,9

98,2

101,6

95,5

2003

105,8

116,8

97,2

102,4

105,0

100,3

2004

109,5

126,6

96,8

103,5

108,4

99,6

2005

114,2

137,2

98,0

104,3

108,4

101,3

Forrás: Statisztikai évkönyv 2005, KSH, 252. o.

92

A termelőiár-index, a belföldi és export-értékesítésiár-index alakulása (2000-2005), 2000=100% 150,0 140,0

2000=100%

130,0 Termelőiár-index

120,0

Belföldi értékesítésiár-index 110,0

Export értékesítésiár-index

100,0 90,0 80,0 2000

2001

2002

2003

2004

2005

Évek

A mezőgazdasági értékesítés árainak, azaz a termelőknek fizetett áraknak a változását kifejező indexek a felvásárlási és termelői árindexek. A felvásárlási árindex a feldolgozás, valamint a továbbértékesítés céljára vásárolt mezőgazdasági termékek átlagos árváltozását méri. A termelői árindex az előzőeken túlmenően a mezőgazdasági termelők által a piacon eladott termékek árváltozását is felöleli. Bár az indexek már önmagukban összehasonlítás eredményei, a gazdaságstatisztikai elemzésekben az is elég gyakori, hogy két, egymással valamilyen kapcsolatban lévő termékcsoport indexeit szintén összehasonlításnak vetik alá, s ennek az összehasonlításnak az eredményét ugyancsak egy hányados formájában adják meg. Ilyen összehasonlításra árindexek esetében szokott a legtöbbször sok kerülni, gyakran kerül sor egymással összefüggő területekre vonatkozó árindexek összehasonlítására. A két árindex hányadosát árollónak nevezik. Az árolló azt mutatja, hogy a bevételt biztosító termékek bázisidőszakival azonos, illetve egységnyi volumenéért mennyivel nagyobb vagy kisebb volumenű másféle termék kapható cserébe a tárgyidőszakban. Az agrárolló a mezőgazdasági termeléshez használt különféle termékek és szolgáltatások és a mezőgazdasági termékek teljes termelői árindexének a hányadosa. Ebben az esetben az indexszámítással vizsgált két termékhalmaz között az a kapcsolat, hogy az egyik termékhalmaz beszerzése előfeltételét képezi a másik termékhalmazba tartozó termékek előállításának. Ez egyben azt is jelenti, hogy a második halmaz eladásával nyert bevétel részben vagy teljes egészében az első halmaz beszerzésének fedezetéül szolgál. Mezőgazdaságiár-indexek Termékcsoportok

2002

2003

2004

2005

2002

Előző év = 100,0 Növénytermesztési és kertészeti termékek

86,2

99,4

94,6

2003

2004

2000=100% 113,7

98,0

2005

103,7

120,2

97,4

gabonafélék

103,1

133,3

79,2

90,1

83,1

110,8

87,8

79,1

ipari növények

103,8

98,8

102,4

102,8

126,1

124,6

127,6

131,2

zöldségfélék

102,8

107,6

104,0

107,6

102,3

110,0

114,4

123,1

gyümölcsök

107,8

113,7

75,1

121,6

94,2

107,1

80,4

97,8

94,4

93,6

103,9

101,8

114,4

107,1

111,3

113,3

89,2

89,7

110,1

103,1

114,5

102,7

113,1

116,6

104,2

100,1

94,7

99,7

114,2

114,3

108,2

107,9

105,9 106,1

94,6 109,2

100,7

104,3 113,0

110,5 119,9

104,5 130,9

105,2

99,3

106,2

106,0

104,5

115,9

123,1

130,4

Ebből:

Élő állatok és állati termékek Ebből: élő állatok állati termékek Mezőgazdasági termékek termelőiár-indexe összesen Folyó termelőfelhasználás Mezőgazdasági beruházás Mezőgazdasági ráfordítások árindexe Agrárolló

98,5 100,7 106,6 101,5

106,1

108,7

100,0

97,0

99,8

87,0

100,7

Forrás: Statisztikai Évkönyv 2005, KSH, 250. o.

93

113,4 92,0

120,4 91,8

130,9 79,8

130,0 136,3 130,9 80,4

A mezőgazdasági termékek termelőiár-indexének, a mezőgazdasági ráfordítások árindexének és az agrárollónak az alakulása 2002-2005 között (2000=100% ) 140,0 130,0

2000=100%

120,0

Mezőgazdasági termékek termelőiár-indexe összesen

110,0

Mezőgazdasági ráfordítások árindexe

100,0 90,0

Agrárolló

80,0 70,0 60,0 2002

2003

2004

2005

évek

Az építőipari árindex meghatározása az elkészült épületek, építmények egyedisége és általában hosszabb átfutási ideje miatt közvetett módon, speciális becslési eljárással történik. Jelenleg a hazai gyakorlatban e célra az építési-szerelési árak indexét számítják oly módon, hogy az építési költségek változását mérik. Az építési költségtényezők közül az anyagköltségeket, és a bérköltségeket veszik figyelembe. Az anyagárindexet az egyedi anyagárindexekből az anyag-felhasználási adatokkal súlyozva származtatják. A bérindex az építőiparban teljes munkaidőben foglalkoztatottak havi bruttó átlagkeresetének a változását méri. A két költségnem indexének a súlyozott átlaga adja az építési-szerelési tevékenység árindexét. Építőipariár-indexek Ágazat, alágazat

2002

2003

2004

2005

104,5

105,7

104,7

104,2

szerkezetkész épület(rész), egyéb építmény

104,6

106,2

105,3

104,8

épületgépészeti szerelés

105,1

105,0

103,4

102,8

befejező építés

102,2

104,7

103,2

103,6

115,0

121,6

127,3

132,7

szerkezetkész épület(rész), egyéb építmény

115,2

122,3

128,8

135,0

épületgépészeti szerelés

114,8

120,5

124,6

128,1

befejező építés

113,9

119,3

123,1

127,5

Előző év = 100,0 Építőipar Ebből

2000 = 100,0 Építőipar Ebből:

Forrás: Statisztikai évkönyv 2005, KSH, 254. o.

94

Az építőipariár-index alakulása 2002-2005 között

Előző év = 100%, illetve 2000=100%

140,0 130,0

132,7 127,3

120,0 110,0 100,0

121,6

Építőipariár-index (előző év = 100%)

115,0

Építőipariár-index (2000=100%) 104,5

105,7

104,7

104,2

90,0 80,0 2002

2003

2004

2005

Évek

A külkereskedelmi tevékenység a nemzetgazdaság és külföld közötti termék és szolgáltatás cseréjét foglalja magában. Az export és import árszínvonalának változását mérő árindexek számítására a nemzetközi gyakorlatban eltérő módszereket használnak. A külkereskedelmi árak változásának leképezése során az alábbi két fő irányzattal lehet találkozni: • Egységértékindex és • Reprezentánsokon alapuló árindex számítás. Az egységértékindex számítás az áruforgalom vámstatisztikai adatközlésén, az ország vámhatárán áthaladó termékek megfigyelésén alapul, figyelembe véve a különböző jellegű szolgáltatásokat, kiemelt ügylettípusokat (bérmunka, pénzügyi lízing, kölcsönügyletek, stb.). Az egységértéket a vámbizonylatok alapján a termékcsoportok értékadatainak és mennyiségi adatainak a hányadosaként származtatják. A termékcsoportok egységértékeiből számított indexek képezik az export és import árindex számításának az alapját. A súlyozáshoz az értéksúlyokat használják. Heterogén termékcsoportok egységárai további finomításra kerülnek abból a célból, hogy az összetétel-változás hatását, a nem árváltozás jellegű ármozgás hatását kiszűrjék, és így az összehasonlíthatóság feltételeit biztosítsák. A jelenlegi hazai export és import árindexek egységértékindexek, melyek Fisher-féle súlyozással készülnek. A reprezentánsokon alapuló külkereskedelmi árindexeknél az ármegfigyelés mintavételes eljárással kiválasztott termékekre, reprezentánsokra vonatkozik. A mintavétel során árucsoportonként a legnagyobb forgalmú termékeket választják ki, az ármegfigyelés pedig a legnagyobb forgalmú exportőrök, illetve importőrök áraira vonatkozik. A reprezentánsok jó körülhatárolásával és kiválasztásával a tiszta ármozgás általában jobban követhető, mint az egységértékindex esetében, de költségesebb, mert külön közvetlen ármegfigyelést igényel. Fontos összehasonlításnak tekinthető az exportált és importált termékek árindexének a Ix hányadosaként előálló I cs = mp cserearányindex esetében is, mert az exportért kapott Ip árbevétel a legtöbb országban az importtal kapcsolatos kiadások fő forrását képezi, ahol az Ipx az exportált, az Ipm az importált termékek árindexet jelöli. A cserearányindex azt mutatja meg, hogy az exportált termékek és szolgáltatások bázisidőszakival azonos, illetve egységnyi volumenéért hányszor akkora volumenű terméket és szolgáltatást lehet importálni a tárgyidőszakban, mint a bázisidőszakban. Ha értéke 1 felett van, akkor javult, ellenkező esetben romlott a cserearány.

95

V.7.b A fogyasztói árindex A fogyasztói árindex a gazdaság és a társadalom legfontosabb mutatószámainak egyike, felhasználása sokrétű, és ezen a mutató számításán keresztül jól érzékelhető a gyakorlati indexszámítás összetett volta. Számításának célja a fogyasztói árszínvonal változásának mérése, a fogyasztói árváltozások összességének a jellemzése. Arra a kérdésre ad választ, hogy a fogyasztási cikkek és szolgáltatások árai átlagosan hogyan változtak egyik időszakról a másikra. Főbb felhasználási területe az infláció nyomon követése, összehasonlítása, a pénz vásárlóereje változásának kifejezése, életszínvonallal kapcsolatos mérőszámok (reálbérindex, reáljövedelemindex) számításánál deflátorként való felhasználása, volumenváltozások mérése a nemzetgazdasági elszámolásokban, indexálás, kamatlábak meghatározása, adókulcsok változtatása stb. A fogyasztói árindex, mint általános mérőszám a sokféle feladat közül egyiket sem tudja maradéktalanul kielégíteni. Elvileg minden konkrét felhasználási területre külön indexet kellene számolni, a valóságban azonban egyféle index készül, és azt használják a különböző területeken, aminek az az oka, hogy az index meghatározásának nagy a munka- és költségigénye, illetve az egyes felhasználási területekre számított indexek közötti eltérések általában nem olyan jelentősek, hogy a többi index előállításának többletköltsége arányban állna a kapott eltérésekkel.

V.7.c A hazai fogyasztói árindex A fogyasztói árindex a háztartások által a fogyasztási szükségletek kielégítésére vásárolt termékek és szolgáltatások átlagos árváltozását fejezi ki. Legfőbb jellemzői: a teljes lakosságra vonatkozik, a vásárolt fogyasztás árváltozását tükrözi, mintavételes módszerrel készül, a kínálati árakra épül, domináns szerepe van az elárusítóhelyeken való megfigyelésnek, havonta készül az előző év decemberéhez viszonyítva, az index számításához a súlyadatokat a háztartási költségvetési felvétel biztosítja, Laspeyres-típusú. Az egyedi árakból súlyozott átlagárat számítanak, s ebből árindexet három bázison: az előző év decemberi árainak bázisán, a közvetlenül megelőző hónap árainak bázisán, és az előző év azonos havi adatainak bázisán. A globális árindex mellett a termékek és szolgáltatások egyes csoportjaira és a lakosság rétegeire is számítják külön-külön, a közzététele szabályozott. A cél minden olyan termék és szolgáltatás árának változását nyomon követni, amelyekhez a lakosság vásárlás útján jut. A mintába kerülő termékeket és szolgáltatásokat úgy választják ki, hogy azok a lakosság vásárlását teljes egészében, annak minden területét reprezentálják. A kiválasztás másik szempontja, hogy olyan elemek kerüljenek bele a mintába, amelyek nagy súllyal szerepelnek a lakosság fogyasztásában, tehát azt jól jellemzik. Az indexszámítás ún. reprezentánsokra épülő ármegfigyelésre épül, ezeket a reprezentánsokat a KSH-ban választják meg. A fogyasztás minden egyes csoportjából választanak a csoport jellegének megfelelő számút, a homogén csoportokból kevesebbet, a heterogénekből többet. A reprezentánsokat az ún. Reprezentáns Katalógus foglalja magába, amelyet évente felülvizsgálnak. A reprezentánsok a használati értéket meghatározó, legfontosabb minőségi jellemzőkkel körülhatárolt, viszonylag nagy volumenű termék-, illetve szolgáltatásféleségek (például sertéscomb csont és csülök nélkül; házi jellegű kenyér; Multifilter cigaretta, rövid (85 mm); női szandál bőr, ragasztott műtalppal; színes sztereó televízió, képernyő mérete 70–75 cm, teletextes; propán-bután gáz, háztartási, 11,5 kg-os palackban; autóbenzin, ólommentes, 95-ös oktánszámú; teljes árú menetjegy, gyorsvonat II. o. 200 km).

96

Az 1992-től érvényben lévő gyakorlat szerint az árindex számítása 1800 reprezentánsra épül (szemben a korábbi 3000-rel). Az elmúlt években fokozatosan csökkentették – az EU országok gyakorlatát követve – így 2001-re már 1100 lett a reprezentánsok száma, jelenleg 900 reprezentánssal dolgoznak. A reprezentánsok árait a KSH területi munkatársai havonta írják fel az ország településein az üzletekben, szolgáltató helyeken, piacokon (ezek az ún. felíró-helyek). Követelmény, hogy az árindex az adott havi valóságos kínálatot tükrözze, ezért a felírás napján – ami felíró-helyenként a hónap 1. és 20. között terített – ténylegesen kapható áruk árait írják fel. Cél továbbá, hogy az index kifejezze a tényleges keresletet is, ezért az olyan reprezentánsok esetében, amelyeken belül különböző választékelemek találhatók, a leginkább keresett áru árát jegyzik. Ugyanakkor fontos követelmény az adott tételek minőségi összehasonlíthatósága, tehát az állandóság, folyamatosság is. Ezt 1992-től nemcsak a reprezentánsoknak a főbb minőségi jellemzőkkel meghatározott definíciói biztosítják, hanem az is, hogy az egyes konkrét felíró-helyeken az árösszeírók lehetőség szerint folyamatosan ugyanannak a választékelemnek az árát írják fel, amelyikkel a felírást elkezdték. Minden megyében feljegyzik minden reprezentánsnak az árát, mégpedig több felíró-helyen, így havonta reprezentánsonként 35–150, összesen pedig mintegy hetvenötezer ár gyűlik össze az árindexszámításhoz. A hazai fogyasztói árindex számításánál a 900 reprezentáns mindegyike a 156 fogyasztási csoport valamelyikébe tartozik. A 156 árucsoporthoz, ún. alapsorhoz tartozó súlyarányok a fogyasztás szerkezetét képviselik, adatforrások a „Háztartási költségvetési felvétel”. Az egyes reprezentánsok egyedi árindexeit a tárgy havi és a bázis havi átlagos árak alapján számítjuk ki. A legrészletesebb fogyasztási csoportok árindexét a hozzájuk tartozó reprezentánsok egyedi árindexeinek súlyozott (illetve néhány esetben súlyozatlan) számtani átlagaként számítjuk ki.

Forrás: Statisztikai évkönyv 2005, KSH

Az indexszámítás menete A fogyasztói árindex számítás első lépése a reprezentánsokra számított árindex, ami számtani átlag formában számított átlagárak hányadosa. A j-edik reprezentáns árindexét (ij) az alábbi képlettel számítják: p /n p i j = ∑ ij1 j1 = j1 ∑ pij 0 / n j 0 p j 0 Ahol:

97

pij1, pij0: a j-edik reprezentánsra vonatkozó i-edik ármegfigyelés a tárgy- illetve a bázishónapban; p ij1 , p ij 0 : a j-edik reprezentáns átlagára a tárgy-, illetve a bázishónapban; nj1, nj0: a j-edik reprezentánsra vonatkozó árfelírások száma a tárgy- illetve a bázis hónapban. A fogyasztói árindex számításának második lépése az alapsorokra felírt árindexek meghatározása. Az r-edik alapsor árindexe: ∑ wrj ⋅ i j Ir = wr Ahol: wrj: az r-edik alapsor j-edik reprezentánsának a súlya wr = ∑ wrj : az r-edik alapsor súlya, amely az alapsorhoz tartozó reprezentánsok súlyának összege A harmadik lépés a fogyasztási főcsoportokra vonatkozó indexek meghatározása. Ezek a főbb csoportok: 1. élelmiszerek 2. szeszes italok, dohányáruk, kábítószerek 3. ruházat és lábbeli 4. lakásszolgáltatás, víz, elektromos energia, gáz és egyéb tüzelőanyag 5. lakberendezés, lakásfelszerelés és háztartási szolgáltatások 6. egészségügy 7. közlekedés 8. posta- és hírközlés 9. pihenés és kultúra 10. oktatás 11. szálláshely-szolgáltatás, vendéglátás 12. egyéb használati cikk A fogyasztóiár-index alakulása kiadási főcsoportok szerint 1991-2005 között 2 000,0 1 800,0

Élelmiszer

1 600,0 Szeszes ital, dohányáru

1 200,0

Ruházat és lábbeli

1 000,0 Tartós fogyasztási cikk

800,0 600,0

Háztartási energia

400,0 200,0

Egyéb cikk, üzemanyag

0,0 Szolgáltatás 19 91 19 92 19 93 19 94 19 95 19 96 19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03 20 04 20 05

1990=100%

1 400,0

évek

98

Fogyasztóiár-index kiadási főcsoportok szerint Év

Élelmiszer

Szeszes ital, dohányáru

Ruházat és lábbeli

1991

121,9

125,1

132,1

1992

145,6

149,6

162,5

1993

188,1

177,5

1994

232,1

1995

Tartós fogyasztási cikk

Háztartási energia

Egyéb cikk, üzemanyag

Szolgáltatás

Összesen

131,7

181,0

143,4

141,9

135,0

150,5

259,2

182,4

178,8

166,1

189,6

167,1

311,8

221,8

221,9

203,4

206,6

220,1

186,8

348,3

263,9

267,0

241,6

304,3

248,1

264,6

231,6

522,5

335,9

336,4

309,7

1996

356,9

314,1

332,3

276,1

692,3

422,2

425,2

382,8

1997

419,4

373,5

394,4

299,6

899,3

490,2

506,8

452,9

1998

479,8

430,6

450,0

323,9

1 060,3

542,7

588,9

517,7

1999

493,7

480,1

497,7

345,3

1 160,0

622,5

676,1

569,5

2000

539,1

532,9

526,6

351,2

1 265,6

715,9

741,7

625,3

2001

613,5

592,6

554,5

354,7

1 396,0

751,0

814,4

682,8

2002

646,6

650,1

576,7

349,0

1 472,8

781,8

866,5

719,0

2003

664,1

719,5

594,0

344,1

1 580,0

812,2

917,7

752,5

2004

707,3

800,8

614,2

342,0

1 802,8

843,9

987,4

803,7

2005

725,0

826,9

615,5

1 914,4

881,8

1 042,0

832,3

1990

135,2

130,7

123,3

120,8

127,6

128,9

125,6

128,9

1991

121,9

125,1

132,1

131,7

181,0

143,4

141,9

135,0

1992

119,4

119,6

123,0

114,3

143,2

127,2

126,0

123,0

1993

129,2

118,6

116,7

111,0

120,3

121,6

124,1

122,5

1994

123,4

116,4

116,1

111,8

111,7

119,0

120,3

118,8

1995

131,1

120,1

120,2

124,0

150,0

127,3

126,0

128,2

1996

117,3

126,6

125,6

119,2

132,5

125,7

126,4

123,6

1997

117,5

118,9

118,7

108,5

129,9

116,1

119,2

118,3

1998

114,4

115,3

114,1

108,1

117,9

110,7

116,2

114,3

1999

102,9

111,5

110,6

106,6

109,4

114,7

114,8

110,0

2000

109,2

111,0

105,8

101,7

109,1

115,0

109,7

109,8

2001

113,8

111,2

105,3

101,0

110,3

104,9

109,8

109,2

2002

105,4

109,7

104,0

98,4

105,5

104,1

106,4

105,3

2003

102,7

110,7

103,0

98,6

107,3

103,9

105,9

104,7

2004

106,5

111,3

103,4

99,4

114,1

103,9

107,6

106,8

2005

102,5

103,3

100,2

97,7

106,2

104,5

105,5

103,6

1990 = 100,0

334,1 Előző év = 100,0

Forrás: Statisztikai évkönyv 2005, KSH,

A főcsoportokra számított indexeket az alapsorokból vett indexek súlyozott átlagaként számolják. Végül a globális fogyasztói árindex az alapsorokra számított indexek súlyozott átlagaként kerül meghatározásra: m

I = ∑ wr ⋅ I r r =1

Ahol: Ir: az r-edik alapsor árindexe m: az alapsorok száma m

∑w r =1

r

=1

V.7.d Tőzsdeindex A tőzsdén jegyzett, illetve forgalmazott részvények, árfolyamok mozgásának alakulása a gazdaság, a piac fontos jellemzője. A tőzsdeindex a tőzsdén forgalmazott részvények átlagos árfolyamváltozását mutatja. Statisztikailag a tőzsdeindexek a részvények reprezentatív kiválasztású mintájából a tőzsdekosár alapján számított árindexek. A tőzsdekosár tehát a tőzsdeindex számításánál figyelembe vett részvényeket tartalmazza. Az indexkosárba kerülő részvények kiválasztása gyakorlatilag ún. kvázi koncentrált mintavétellel történik, ez azt jelenti, hogy a nagyobb tőkeértéket képviselő cégek értékpapírjai kerülnek a

99

mintába. A tőzsde tőkeértékének jelentős hányadát felölelő cégek részvényei megfelelően reprezentálják a piacot. A tőkeérték a részvény darabszámának és piaci árának szorzata. Tartalmilag az index a mintába került részvények árfolyamváltozását kifejező egyedi (ip) indexek súlyozatlan vagy súlyozott átlaga. Súlyozatlan átlagolás esetén az indexkosárban lévő részvények árfolyam változásai egyenlő súlyt kapnak az index kialakításában. A súlyozott indexben figyelembe veszik az egyes részvények relatív fontosságát, súlyozási tényezőként a tőkeértéket használják. A BUX-index A Budapesti Értéktőzsde Részvényindexét, a BUX-ot 1991. január 2-ai nyitó nappal számítják, ez a bázis 100 ponttal. A BUX kosárba a forgalom szempontjából a legjelentősebb részvények kerülnek, a kosár összetétele általában évenként felülvizsgálatra kerül és változik. A BUX az indexkosárban szereplő részvénytársaságok piaci értékének (piaci ár x törzsrészvények mennyisége) változásait tükrözi. Az indexkosár egy elméleti, ún. piaci portfoliót jelképez, az összpiacra jellemző értékpapír-struktúrát modellezve. Az index létrehozásának alapvető célja az volt, hogy ezen értékpapírcsomag bázis időponthoz viszonyított értékváltozását mutassa, azaz a piacon értékmérő funkciót töltsön be. Ilyen minőségében az indexnek az a legfontosabb feladata, hogy minél pontosabban mutassa az értékpapírpiac egészének állapotát, illetve minél jobban kövesse a piac változásait, folyamatait. A kosáron belül az egyes részvények súlya korábban 15%-ban volt maximálva, a súlyozási tényezőt pedig a cégek mérete (kapitalizációja jelentette). Az 1999 októberi kosárrevízió a kosáron belüli súlyozást megváltoztatta, megszűnt a 15%-os limit, a súlyozási tényező pedig az ún. közkézhányad lett, amely azon részvények összessége, amely az 5%-nál kisebb tulajdoni hányaddal rendelkező befektetők tulajdonában vannak.28

V.7.e Reálbér Ahhoz, hogy a lakosság életszínvonalának alakulásáról megbízható és összehasonlításra alkalmas információkar kapjunk, átfogó mutatószámokra van szükség. Elsősorban olyanokra, amelyek a jövedelmek oldaláról jellemzik a helyzetet. Ezért számítják rendszeresen a reálbért, amely a keresetek reálértékét fejezi ki, tehát a fogyasztási cikkek és szolgáltatások azon mennyiségét, amelyet a lakosság a keresetéért az adott árakon vásárolhat. A reálbér két tényezőtől függ: 1. a névleges (nominális) kereslettől 2. a fogyasztói árak alakulását jelző fogyasztói árindextől. A reálbérindex = (egy főre jutó nominál kereset index) / (fogyasztói árindex) Az egy főre jutó nominál kereset megállapítható a munkaviszonyból származó összes kereset és a foglalkoztatottak létszámának hányadosaként. A kereset tartalmazza a kifizetett munkabért, prémiumokat, jutalmakat, újítási és pályázati díjakat, ez azonban csak a munkaviszonyban állókra számított érték. A keresetek esetében a nettó kereseteket veszik alapul, mivel ez jellemzi az életszínvonalat, és a fogyasztásra, megtakarításra fordítható kereseti szintet (ezt kiegészítik a kifizetett táppénz összegével, mert az szintén része az elköthető jövedelemnek). Általában mindezeket teljes munkaidőben foglalkoztatottakra szokás számítani. 28

2007 augusztusában a BUX-kosárban az alábbi részvények szerepelnek: Danubius (0,95%), Econet (0,12%), Egis (1,98%), ÉMÁSZ (0,44%), FHB (1,21%), Fotex (1,06%), Magyar Telekom (12,71%), Mol (33,5%), OTP (32,03%), Pannonplast (0,59%), Rába (0,64%), Richter (14,13%), Synergon (0,33%), TVK (0,29%).

100

V.7.f Reáljövedelem A reálbérindex mellett számítják a reáljövedelem indexét is. Ezt az egy főre jutó nominál jövedelem indexének és a fogyasztói árindexnek a hányadosaként számítják. A nominál jövedelem ugyancsak nettó mutató, amely tartalmazza a kereseteken kívül a lakossági jövedelmek értékét is (nyugdíj, családi pótlék, gyes, gyed stb.). Ezek egy részét olyanok kapják, akik nincsenek munkaviszonyban, ezért az egy főre jutó nominál jövedelmet az egész népesség, illetve ezen belül egyes rétegek egy főjére szokták számítani. A reáljövedelem indexének alakulására a következők hatnak: • a reálbérindex alakulása • a kereseteken kívüli jövedelemtételek reálértékének az alakulása • a kereső-eltartott arány módosulása. A reálkereset és a reáljövedelem indexe Egy keresőre jutó nettó nominálátlagkereset

Év

Fogyasztóárindex

Egy keresőre jutó reálkereset

Egy főre jutó reáljövedelem

Egy keresőre jutó nett átlagkereset

1990 = 100,0

Fogyasztóiár- Egy keresőre Egy főre jutó index jutó reálkereset reál-jövedelem Előző év = 100,0

1991

125,5

135,0

93,0

98,3

125,5

135,0

93,0

98,3

1992

152,2

166,1

91,7

94,9

121,3

123,0

98,6

96,5

1993

179,2

203,4

88,1

90,3

117,7

122,5

96,1

95,2

1994

228,1

241,6

94,5

92,7

127,3

118,8

107,2

102,6

1995

256,8

309,7

82,9

87,7

112,6

128,2

87,8

94,6

1996

301,5

382,8

78,8

87,1

117,4

123,6

95,0

99,4

1997

374,2

452,9

82,7

87,8

124,1

118,3

104,9

100,9

1998

443,0

517,7

85,6

91,0

118,4

114,3

103,6

103,6

1999

499,3

569,5

87,7

91,7

112,7

110,0

102,5

100,8

2000

556,2

625,3

89,0

95,7

111,4

109,8

101,5

104,3

2001

646,3

682,8

94,7

100,7

116,2

109,2

106,4

105,2

2002

773,0

719,0

107,6

106,9

119,6

105,3

113,6

106,2

2003

883,6

752,5

117,4

111,9

114,3

104,7

109,2

104,7

2004

933,9

803,7

116,2

116,4

105,7

106,8

99,0

104,0

2005

1 028,2

832,3

123,5

110,1

103,6

106,3

Forrás: Statisztikai évkönyv 2005, KSH, 89. o. Az egy keresőre jutó reálkereset és az egy főre jutó reáljövedelem alakulása 1991-2005 között 140,0 120,0

1990=100%

100,0 Egy keresőre jutó reálkereset

80,0

Egy főre jutó reáljövedelem

60,0 40,0 20,0

2005

2004

2003

2002

2001

2000

1999

1998

1997

1996

1995

1994

1993

1992

1991

0,0

évek

V.7.g Bruttó hazai termék Korábban már írtunk a GDP számbavételének módjáról, most, mint statisztikai mutatót értelmezzük, azaz az indexszámítás oldaláról vizsgáljuk meg a számítását. A bruttó hazai termék valamely adott időszak alatti gazdasági összteljesítmény pénzértéke.

101

A GDP az ún. rezidens gazdasági egységek bruttó hozzáadott értékeinek összegeként áll elő, ami az egyes egységekre vonatkozó két aggregátum különbsége.29 Rezidens gazdasági egységeken azokat a gazdasági egységeket értjük, melyek az adott ország gazdasági területén tartósan – de legalább egy évig- jelentős mértékű gazdasági tevékenységet fejtenek ki. A gazdasági egységek (bruttó) hozzáadott értékének definiálása céljából tekintsük először valamely gazdasági egység által adott időszak alatt – rendszerint egy év alatt – kibocsátott n

termékek összességét, illetve e termékek összértékét megadó BT = ∑ qi ⋅ pi aggregátumot, i =1

ahol qi a vizsgált gazdasági egység által kibocsátott termékféleségek száma. A pi alapár az az ár, amit a terméket kibocsátó egység i-edik fajta terméke egy egységének értékesítésekor realizál. Ezt az aggregátumot a szóban forgó gazdasági egység adott időszakra vonatkozó bruttó termelésének vagy bruttó kibocsátásának nevezzük.

Forrás: Statisztikai évkönyv 2005, KSH

Ezután nézzünk egy másik aggregált sokaságot: mindazon termékek összességét, melyeket az általunk vizsgált gazdasági egységnek más gazdasági egységektől kellett beszereznie a saját termékei előállításához. E termékek összértékét folyó termelőfelhasználásnak nevezzük és m

FTF-fel jelöljük, amely az FTF = ∑ κ jπ j módon határozható meg, ahol κj a vizsgált j =1

gazdasági egység termékeinek előállításához szükséges j-edik fajta termékből beszerzendő mennyiség, πj a termeléshez szükséges j-edik fajta termék egységára, m a beszerzendő termékek száma. A BT és FTF aggregátumok különbségét a vizsgált gazdasági egység hozzáadott értékének vagy bruttó hozzáadott értékének nevezzük: HÉ = BT − FTF Ha ebből levonjuk a vizsgált gazdasági egység állótőkéjének az adott időszakban elfogyasztott értékét, az ún. amortizációt, akkor a nettó hozzáadott értékhez vagy nettó termeléshez jutunk. A bruttó termelés nem más, mint valamely gazdasági egység által egy adott időszak folyamán kibocsátott termékek összesített értéke. A hozzáadott érték ennek az a része, amivel a vizsgált gazdasági egység saját tevékenysége és állótőkéje egy részének elfogyasztása révén 29

A gazdasági egységek fogalma tágan értelmezendő, a kifejezetten a piaci termelés folytatására létesített szervezeteken kívül közéjük tartoznak a pénzügyi tevékenységet folytató gazdasági szervezetek, és a különféle szolgáltatásokat nyújtó költségvetési és non-profit intézmények, sőt a háztartások is.

102

megnövelte az általa termelt termékek előállításához más egységektől beszerzett termékek összértékét. A nettó termelés a vizsgált gazdasági egység által az adott időszak alatt újonnan előállított összérték. E három mutatószámot összefoglaló néven termelési mutatószámoknak nevezzük. A bruttó termelés gyakorlatban történő meghatározásával kapcsolatban meg kell jegyezni: • a gyakorlatban nem a ∑ q ⋅ p képlet alapján határozzák meg, hanem az értékesítése árbevétel és a kész-, félkész és befejezetlen termékek állománykülönbözeteinek összegzésével. Az állománykülönbözetek a különböző készültségű termékek időszak végi és időszak eleji állományainak különbségei. • Az értékesített kész- és félkész termékeket alapáron, a raktározásra kerülő kész- és félkész termékeket pedig ún. közvetlen költségen értékelik, amely az adott termék előállításával közvetlen kapcsolatba hozható ráfordítások összege. • A kereskedelmi cégek bruttó termelése az árrés, ami a forgalmazott termékek eladási és beszerzési áron számított értékének a különbözete. A pénzintézetek bruttó termelési értéke a kapott és fizetett kamatok különbözeteként meghatározható kamatrésnek és a banki szolgáltatásokért járó díjbevételnek az összege, a piaci szolgáltatásokat nyújtó cégeknek pedig a szolgáltatásért kapott díjbevétel a bruttó termelése. • A nem piaci szolgáltatásokat nyújtó különféle egységek bruttó termelését a ráfordítások szintjén értékelik. Több gazdasági egység bruttó termelését összegezve rendszerint kisebb-nagyobb halmozódás lép fel. Ez azt jelenti, hogy bizonyos termékek többször is számbavételre kerülnek, mert a gazdasági egységek közötti munkamegosztás következtében gyakori, hogy az egyik egység által kibocsátott termékeket egy vagy több másik egység is felhasználhatja saját kibocsátású termékeinek előállításához, s emiatt ugyanennek a terméknek az értéke rendszerint több gazdasági egység bruttó termelésében is megjelenik. A halmozódás mértéke attól függ, hogy milyen a gazdaság szervezeti rendszere, és milyen mértékű a gazdasági szervezetek közötti munkamegosztás. Az egész nemzetgazdaság rezidens gazdasági egységeinek bruttó termelését összegezve, majd ezt az összeget a termékadók egyenlegével30 szükség szerint módosítva a bruttó kibocsátás nevű makrogazdasági aggregátumhoz jutunk, ami jelentős halmozódást tartalmaz. Az összes rezidens gazdasági egység bruttó hozzáadott értékét összegezve a bruttó hazai termékhez jutunk, ami már gyakorlatilag halmozódásmentes aggregátum. Ezt is korrigálni kell a termékadók egyenlegével. Ez már csak annyiban tartalmazhat halmozódást, hogy a vizsgált időszakban kibocsátott állóeszközök értékének egy része az adott eszközöket még ugyanazon időszakban termelésbe állító egységek hozzáadott értékének részét képezheti. A nettó termelés több gazdasági egységre történő összesítése ugyanakkor már teljesen kiküszöböli a halmozódást. A bruttó hazai terméket és annak volumenváltozását mutató indexet igen sok célra használják, mindenekelőtt a gazdasági fejlettség és jólét színvonalának és változásának, illetve a gazdasági növekedés ütemének számszerű jellemzésére. A bruttó hazai termék értékét a népesség adott évi átlagos számával osztva annak egy főre vetített értékéhez jutunk, ami már némileg megfoghatóbb képet ad az ország elmúlt évekbeli gazdasági összteljesítményéről.

Példa 30

Erre azért van szükség, mert az alapárakon értékelt bruttó termelést a javak végső felhasználói által fizetendő piaci beszerzési árak szintjére hozzuk fel. Ha ezt nem tennénk meg, akkor a kibocsátás és a végső felhasználás között nem lenne összhang.

103

Egy főre jutó bruttó hazai termék (GDP) Megnevezés

2001

2002

2003

2004

2005

Érték, Ft 1 499 362 1 693 513 1 869 349 2 049 271 2 183 664 1990 = 100,0 114,5 119,8 125,1 131,5 137,3 Előző év = 100,0 104,3 104,6 104,4 105,1 104,5 Érték, euró 5 841 6 970 7 374 8 142 8 803 Forrás: Magyar Statisztikai Évkönyv 2005, Központi Statisztikai Hivatal, 221. o. Az egy főre jutó GDP alakulása 2001-2005 között

1990=100% ill. előző év = 100%

150,0 137,3

140,0 131,5 125,1

130,0 119,8 120,0

114,5

110,0 100,0

104,3

104,6

2001

2002

104,4

105,1

104,5

2003

2004

2005

90,0 80,0 évek

Forrás: Statisztikai évkönyv 2005, KSH

104

Bruttó hozzáadott érték gazdasági ág szerint 2003 2003 2004 2005

Gazdasági ág kódja

F

Mezőgazdaság, vad-, erdő-, halgazdálkodás Bányászat Feldolgozóipar Villamosenergia-, gáz, gőz-, vízellátás Építőipar

G

Kereskedelem, javítás

H

Szálláshelyszolgáltatás, vendéglátás Szállítás, raktározás, posta, távközlés Pénzügyi közvetítés Ingatlanügyletek, gazdasági szolgáltatás

A+B C D E

I J K

L

M N O

A–O

Közigazgatás, védelem; kötelező társadalombiztosítás Oktatás Egészségügyi, szociális ellátás Egyéb közösségi, személyi szolgáltatás Bruttó hozzáadott érték összesen, alapáron Termékadók egyenlege Bruttó hazai termék, piaci beszerzési áron

2005

volumenindex, előző év = 100,0

folyó áron, milliárd Ft

megnevezése

2004

697,1 36,7 3 571,0

697,4 36,7 3 564,7

853,0 38,2 3 907,1

815,9 42,3 4 188,0

154,4 101,6 104,2

97,6 110,6 105,0

474,5 772,1

474,5 775,3

542,5 861,1

547,1 899,9

101,9 103,9

98,9 102,0

1 854,0

1 845,2

1 963,0

2 058,1

103,4

103,8

265,6

286,3

303,8

298,3

100,5

101,2

1 271,2 624,1

1 270,1 622,6

1 392,0 695,9

1 438,4 859,3

105,3 115,7

104,4 114,9

2 775,8

2 763,4

2 983,0

3 293,1

100,3

106,2

1 456,1 939,0

1 456,1 944,3

1 552,6 921,8

1 644,6 1 063,3

101,5 102,7

100,8 110,0

807,9

807,4

890,5

872,1

98,1

98,0

685,3

686,4

745,1

844,9

100,7

106,7

16 230,5

16 230,5

17 649,6

18 865,2

105,2

104,3

2 705,2

2 705,2

3 062,7

3 161,5

103,0

104,1

18 935,7

18 935,7

20 712,3

22 026,8

104,9

104,2

Forrás: Statisztikai Évkönyv 2005, KSH, 223. o.

V.8 Területi indexek Ha az indexszámításban az időegységek szerepét területi egységek veszik át, akkor az azokhoz tartozó aggregátumok összehasonlítása területi indexekhez vezet. A területi indexszámítás esetében azonban több olyan probléma is fellép, ami időbeli összehasonlítások esetén nem, különösen akkor, ha a területi egységek eltérő valutájú országok. Az ilyen indexeket nemzetközi indexeknek nevezzük, és a nemzetközi összehasonlítások során gyakran egy főre vetített aggregátumokat hasonlítanak össze, vagyis gyakori az egy főre jutó bruttó hazai termék, vagy az egy főre jutó lakossági fogyasztás volumenére irányuló nemzetközi összehasonlítás. A területi indexek legfontosabb sajátossága az, hogy a területi egységeknek – az időegységekkel szemben – nincs egyértelmű sorrendjük akár az országok, akár országon

105

belüli kisebb területi egységek esetén sem. Ebből adódóan a területi indexekkel kapcsolatos legfontosabb követelmény, hogy a bárhogyan elvégzett, de végső soron azonos relációjú összehasonlítások azonos eredményre vezessenek. Ez azt jelenti, hogy az A/B relációjú összehasonlítás eredménye legyen reciprok viszonyban a B/A relációjú összehasonlítással, másrészt bármely két ország közvetett összehasonlítása ugyanazt az eredményt adja, mint a közvetlen összehasonlítás. Három ország esetén ez azt követeli meg, hogy az A/C relációjú közvetlen összehasonlítás eredménye legyen ugyanannyi, mint az A/B és B/C relációjú összehasonlítások eredményének a szorzata. A másik fontos sajátosság az, hogy eltérő valutájú országok esetében az árindexek számlálója és nevezője nem azonos mértékegységű, és így a nemzetközi árindex nem fejezhető ki százalékos formában. Az árindex ilyenkor azt mutatja meg, hogy a két összehasonlított ország valutáinak vásárlóereje hogyan viszonyul egymáshoz. Ennek az az oka, hogy ilyenkor az p adott termékre vonatkozó A hányados azt jelzi, hogy B ország egy valutaegysége hány A pB p valutát ér, ha azt éppen az adott termék megvásárlására fordítják. Ezeket a A hányadosokat pB egyedi vásárlóerő-paritásnak szokták nevezni. A termékek valamely körére számított nemzetközi árindex az egyedi vásárlóerő-paritások súlyozott átlaga. Az A/B relációjú nemzetközi árindex azt mutatja, hogy B ország egy valutaegysége A ország hány valutaegységével egyenértékű, ha azt az indexszámítással vizsgált termékek megvásárlására fordítjuk. Ezt az indexet gyakran vásárlóerő-paritásnak nevezik, és PPP(A/B)-vel jelölik. Érdemes megjegyezni, hogy országok összehasonlításakor a különböző súlyozású indexformulákkal kapott eredmények közötti eltérés rendszerint jóval nagyobb, mint ahogy azt az időbeli összehasonlításoknál megszoktuk. Ennek az a magyarázata, hogy két ország termelési vagy fogyasztási szerkezete és/vagy árstruktúrája között jóval nagyobb különbség lehet, mint egy ország ugyanilyen struktúráiban. A termékek azonos körének létezése az indexszámítás lényeges előfeltétele. A kétoldalú nemzetközi összehasonlításokban szinte egyeduralkodónak számít a Fisher-formula, ami a két ország közötti összehasonlítás esetén bizonyos értelemben kiegyenlíti a csak az egyik vagy csak a másik ország adatainak súlyként való használatából adódó egyoldalúságokat. Két ország közötti összehasonlításokra a nemzetközi árindex a következő formulákkal határozható meg: p q A ⋅ pB ⋅ A ∑ q ⋅p pB ∑ q A ⋅ p A I pA ( A / B) = ∑ A A = = ∑ q A ⋅ pB ∑ q A ⋅ pB ∑ q A ⋅ p A pB p qB ⋅ pB ⋅ A ∑ ⋅ q p pB ∑ q B ⋅ p A I pB ( A / B) = ∑ B A = = ∑ qB ⋅ pB ∑ qB ⋅ p B ∑ q B ⋅ p A pB

I pF ( A / B) = I PA ( A / B) ⋅ I PB ( A / B)

106

Példa31 Az alábbi táblázat 1993. évi összehasonlítási eredményeket mutat Magyarországra és Ausztriára vonatkozóan: Ország Az egy főre jutó lakossági fogyasztás értéke Ezer HUF-ban Ezer ATS-ben Magyarország 255,7 80,4 Ausztria 655,1 175,7 Forrás: Hunyadi-Vita (2002, 235.o.)

Határozzuk meg, értelmezzük és hasonlítsuk össze egymással a táblázat adatai alapján meghatározható Magyarország/Ausztria relációjú volumen- és árindexeket. Hasonlítsuk össze a nemzetközi árindexet a hivatalos árfolyammal! (az osztrák schilling 1993. évi átlagos középárfolyama 7,91 HUF volt) 80,4 255,7 = 45,8% I qH ( H / A) = = 39% I qF ( H / A) = 0,458 ⋅ 0,39 ≈ 42,3% 175,7 655,1 Eszerint Magyarországon az egy főre jutó lakossági fogyasztás volumene mintegy 42%-a az ausztriainak. Az osztrák és magyar árak alapján számított volumenindexek között 6,8 százalékpont különbség van. Ez annak a következménye, hogy hazánkban azokból az árucikkekből fogyasztanak viszonylag többet, melyek esetében a forint Magyarországon viszonylag nagyobb vásárlóerejű (erősebb), és így a magyar árakkal számított volumenindexben e viszonylag magas egyedi volumenindexű árucikkek kisebb súlyt kapnak, mint a másik indexben. Ezért a magyar árakkal számított volumenindex értéke kisebb lesz, mint az osztrák árakkal számított ugyanilyen relációjú volumenindexé. Az árindexek értéke: 655,1 I PA ( H / A) = = 3,72 HUF / ATS 175,7 255,7 I PH ( H / A) = = 3,18 HUF / ATS 80,4 I qA ( H / A) =

I PF ( H / A) = 3,72 ⋅ 3,18 = 3,44 HUF / ATS Ez azt jelenti, hogy a lakossági fogyasztás körében 1 osztrák schilling vásárlóereje 3,44 magyar forint vásárlóerejével egyenértékű. Ez az 1993. évi átlagos 1ATS=7,91HUF középárfolyammal szembeállítva első látásra hihetetlennek tűnhet, ha azonban belegondolunk abba, hogy a lakossági fogyasztásba számos olyan termék és szolgáltatás is beletartozik, melyekre nézve a forint vásárlóereje a hivatalos átváltási kulcsnál kedvezőbb, akkor már nem annyira meglepő az eredmény. Az átlagos vásárlóerő-paritás ugyanis a számunkra kedvező és kedvezőtlen termékenkénti vásárlóerő-paritások súlyozott átlagaként áll elő. Az I pF ( H / A) : 7,91 = 0,435 = 43,5% hányados azt mutatja, hogy a lakossági fogyasztás területén a magyar hivatalos árfolyam segítségével schillingre átszámított magyar árszínvonal 1993-ban 43,5%-át tette ki az osztrák árszínvonalnak.

31

Hunyadi, L., Vita, L. (2002): Statisztika közgazdászoknak, KSH, Budapest, 235. o.

107

VI. Valószínűségi változó, elméleti eloszlások Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet

Matematikai statisztika

Axiómák, alaptételek

Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek

Hipotézisvizsgálat

Elméleti eloszlások

Összefüggésvizsgálat

108

VI.1 Valószínűségszámítás alapok A hétköznapi és az üzleti életben is gyakran használunk olyan kifejezéseket, mint „nem valószínű”, „biztosra vehető”, „elképzelhető”, „esélytelen”, „valószínűleg”, „nem biztos”, stb. Ezek a kifejezések egy kívánt, vagy éppen elkerülendő eseménnyel kapcsolatos bizonytalanságot mutatják. Nem tudjuk pontosan megmondani, hogy bekövetkezik-e az általunk feltételezett történés. Bármennyire is igyekszünk kiszámíthatóvá tenni a gazdasági és üzleti élet folyamatait, s számokkal jellemezni szinte minden tevékenységünket, a legtöbb esetben annyira összetettek ezek a folyamatok, annyira sok szempontot kell figyelembe venni a döntéseknél, hogy lehetetlen minden tényezőt pontosan felmérni, számszerűsíteni. Még ha össze is gyűjtjük az összes látható, megismerhető adatot, nagyon kevés eseményt lehet pontosan előre jelezni. Melyik vállalat lehet például biztos abban, hogy a termékei mindig sikeresek lesznek, vagy, hogy az üzleti környezete stabil marad, vagy, hogy szervezeti formája éppen az adott körülményeknek megfelelő? Sokan úgy vélik, a véletlen események kezelhetetlenek, nem kiszámíthatók, ezért döntéseinkben legfeljebb a szerencsére hagyatkozhatunk. Sőt, időnként hajlamosak vagyunk a véletlent azonosítani az oknélküliséggel, a rendezetlenséggel, a „sors szeszélyének”, a „vakszerencsének” betudni a következményeket. Néha valóban nincs más mód, mint a megérzéseinkre, ösztöneinkre, jobb esetben szakmai tudásunkra, tapasztalatunkra hallgatni, de sok esetben a véletlen események törvényszerűségei is megismerhetők, a várható eredmények modellezhetők. Éppen ezzel foglalkozik a matematika egyik ága, a valószínűségszámítás. A valóságban megfigyelt eseményeknek alapvetően két fajtáját különböztethetjük meg, attól függően, hogy a kezdeti, kiindulási feltételekből mennyire tudunk következtetni az esemény végkimenetelére. Ha az ún. peremfeltételeket feltárjuk, s ismertek a jelenség lefolyásának szabályai is, a feltételek ismeretéből viszonylag nagy pontossággal megadható a végeredmény. Ezeket hívjuk determinisztikus jelenségeknek. A legtöbb ilyen a természettudományok területén figyelhető meg. A csillagászok például nagy pontossággal meg tudják mondani, hogy mikor tér vissza a Föld közelébe egy üstökös, mikor és hol várható teljes vagy részleges napfogyatkozás. Ohm-törvénye ismeretében pontosan kiszámolható, hogy adott ellenállás és feszültség mellett mekkora áramerősség folyik egy vezetékben. Még hosszasan sorolhatnánk a példákat a műszaki és természettudományi területekről. A társadalmi, gazdasági élet törvényszerűségeit is igyekszünk minél jobban megismerni, de e területeken már nem annyira egyértelműek a feltételek, a szabályok, mint a természettudományokban. A jelenségek másik nagy csoportjánál nem tudjuk, de lehet, hogy nem is akarjuk feltárni az összes peremfeltételt, nem ismerjük a jelenség lefolyásának pontos törvényszerűségeit, így nem lehet előre megadni, hogy milyen eredmény következik be. Ezeket a jelenségeket véletlen, sztochasztikus jelenségeknek nevezzük. A valószínűségszámítás a véletlen tömegjelenségek törvényszerűségeinek feltárásával, leírásával foglalkozik. Véletlen (sztochasztikus) jelenségen olyan eseményeket, folyamatokat értünk tehát, amelyeknél a figyelembe vett (vehető) körülmények, környezeti feltételek nem határozzák meg egyértelműen a jelenség lefolyását, így annak több végeredménye, kimenetele lehet. Ha e véletlen jelenségek – elvileg azonos körülmények között – tetszőleges számban megfigyelhetők ill. megismételhetők, akkor az ilyen jelenségeket véletlen tömegjelenségnek nevezzük. (A véletlen jelenségekkel kapcsolatos megfigyeléseket szokás kísérleteknek is

109

nevezni, függetlenül attól, hogy a jelenséget csak megfigyeljük, vagy annak előidézésében tevékenyen közreműködtünk.)

VI.1.a A valószínűség fogalma A véletlen események egyik legfontosabb jellemzője bekövetkezésük valószínűsége. A valószínűségszámítás elmélete abból indul ki, hogy a véletlen kísérletek lehetséges eredményeihez egyértelműen hozzárendelhető egy számérték: az adott esemény valószínűsége. A valószínűségszámítás alapvető célja az események ezen objektív valószínűségének a meghatározása. Objektív valószínűségen azt értjük, hogy egy adott kísérlet során egy esemény bekövetkezésének valószínűsége egy adott mérőszám, amely független attól, hogy ismerjük-e, meg tudjuk-e határozni, illetve milyen pontosan tudjuk meghatározni. A valószínűség fogalmát többféleképpen is definiálhatjuk32. Az ún. klasszikus valószínűség meghatározás szerint a valószínűség nem más, mint a számunkra kedvező esetek száma, osztva az összes lehetséges eset számával. Ez a megközelítés azonban csak akkor alkalmazható, ha az összes elemi esemény valószínűsége azonos. (Ez a helyzet leginkább a szerencsejátékoknál áll elő. E játékok vizsgálata vezetett a valószínűségszámítás kialakulásához, ezért nevezzük ezt a területet klasszikus valószínűségszámításnak.) A tapasztalati alapú, statisztikai oldalról közelítő definíció szerint a valószínűség az a számérték, amely körül a véletlen esemény relatív gyakorisága ingadozik (18. ábra). A relatív gyakoriság (jelölése: gA v. g(A)) a megfigyelt (kedvező) esemény (jelöljük A-val) bekövetkezésének száma (fA v. f(A)) osztva az összes kísérlet, megfigyelés számával (n). Az fA számot az A esemény gyakoriságának nevezzük. Az események valószínűségét P betűvel jelöljük, zárójelbe téve a vizsgált eseményt. Az A esemény valószínűségének jelölése: P(A).

A valószínűség fogalma A

n

f(A)

g ( A) =

f ( A) n

lim g ( A) = P( A) n→∞

Készítette: Erdei János

18. ábra: A valószínűség fogalma

32

Lásd pl. Szabó G. Cs. (szerk.): Alkalmazott statisztika I., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1994

110

Minél nagyobb az n, vagyis minél többször ismételjük meg a kísérletet, a relatív gyakoriságok annál nagyobb stabilitást mutatnak. Azt a törvényt, mely szerint egy kísérletet igen sokszor egymástól függetlenül elvégezve, a relatív gyakoriságok stabilitást mutatnak, a nagy számok törvényének nevezzük. Ez a törvényszerűség teszi lehetővé a valószínűség gyakorlati alkalmazását. A valószínűség fenti definíciójából egyenesen következik, hogy bármely esemény valószínűségének a [0,1] zárt intervallumbeli számnak kell lennie. Annak ellenére, hogy több korábbi definíció is szinte tálcán kínálta a valószínűségszámítás matematikai igényű megalapozásának lehetőségét, ez csak az 1930-as években A. N. Kolmogorovnak sikerült. Az általa felállított axiómarendszer segítségével minden korábbi állítás, most már a matematika szabályainak megfelelően is, bizonyíthatóvá vált. A Kolmogorov-féle valószínűségelmélet a valószínűség fogalmának meghatározásánál halmazelméleti és eseményalgebrai összefüggésekre is épít. Feltételezi ugyanis, hogy a véletlen események reprezentálhatók az elemi események halmazának, az eseménytérnek bizonyos részhalmazaival, amely részhalmazok azokból az eseményekből állnak, amelyek bekövetkezése esetén a kérdéses véletlen összetett esemény bekövetkezik. Az elemi események és események fogalmának ilyen elvont megfogalmazása jelentős szerephez jut a valószínűségszámítás Kolmogorov-féle matematikai elméletében. Mielőtt megismernénk a valószínűségszámítás axiómarendszerét, tekintsük át röviden az eseményalgebra néhány alapfogalmát.

VI.1.b Műveletek eseményekkel A véletlen jelenségek (kísérletek) végrehajtása előtt nem tudjuk előre meghatározni, hogy milyen eredmény következik be, azt azonban általában meg tudjuk mondani, hogy mik lehetnek a kísérlet eredményei. Egy kísérlet lehetséges kimeneteleit (eredményeit) elemi eseményeknek, az összes elemi esemény halmazát eseménytérnek nevezzük. Az eseménytér jelölésére Ω vagy H betűt használjuk. A kísérletre vonatkozó bármely esemény az eseménytér egy adott részhalmazaként értelmezhető. Az események jelölésére latin nagybetűket (A, B, C, … ) ill. indexszel ellátott latin nagybetűket (A1, A2, A3, ….) alkalmazunk. Példa: Figyeljük meg egy szabályos, hatoldalú dobókockával történő dobás felülre kerülő oldalának pontszámát! Ebben az esetben hat kimenetele lehet a kísérletnek: az 1-es pontszám lesz felül, a 2-es pontszám lesz felül, a 3-as pontszám lesz felül, a 4-es pontszám lesz felül, az 5-ös pontszám lesz felül, a 6-os pontszám lesz felül. Jelöljük a fenti eseményeket sorban A1-el, A2-vel, A3-mal, A4-el, A5-tel és A6-tal. Az eseményteret ez a hat elemi esemény alkotja: H = {A1, A2, A3, A4, A5, A6}. Egy kísérlettel kapcsolatban különböző állításokat fogalmazhatunk meg, melyeket egy vagy több elemi esemény alkot. Ilyen (összetett) esemény lehet a kockadobásnál például, hogy páros számot dobunk (jelöljük B-vel), hogy a dobott szám kisebb 3-nál (C), vagy, hogy 1-et,

111

4-et vagy 5-öt dobunk a kockával (D). Minden ilyen esemény tehát az eseménytér valamely részhalmazával reprezentálható. A B esemény, azaz hogy páros számot dobunk, a H halmaz B = {A2, A4, A6} részhalmazával írható le. A C esemény a C = {A1, A2}, a D pedig a D = {A1, A4, A5} részhalmazzal adható meg. Akkor mondhatjuk, hogy egy összetett esemény bekövetkezett, ha az eseményt alkotó valamelyik elemi esemény lett a kísérlet eredménye. Ha például a dobott szám 2 (A2 esemény következett be), akkor egyúttal bekövetkezett a párosat dobunk esemény is (a B esemény), hiszen az A2 eleme a B-nek is. Ezzel egyidejűleg bekövetkezik minden olyan esemény, melynek eleme az A2, így pl. az általunk megfogalmazott C esemény is. Látható, hogy a véletlen események és a halmazok között kölcsönösen egyértelmű kapcsolat létesíthető, így az eseményalgebrában is felhasználhatjuk a halmazelméletben megismert összefüggéseket. A H halmazt, mint eseményt, biztos eseménynek nevezzük, hiszen bármi is a kísérlet végeredménye, ez az esemény bekövetkezik. Az üres halmazt – amely nem tartalmazza a H egyetlen elemét sem – mint eseményt, lehetetlen eseménynek hívjuk, hiszen bármi is a kísérlet kimenetele, ez az esemény nem következhet be. (A lehetetlen eseményt ∅-val jelöljük.) Tegyük fel, hogy két kockával dobunk egyszerre. Legyen A esemény, hogy két 1-est dobunk, B pedig, hogy a dobott szám összege 6-nál kisebb. Ekkor, valahányszor az A bekövetkezik, bekövetkezik B is. Ez azt jelenti, hogy az A-t reprezentáló halmaz része a B-nek. Ha valahányszor, amikor A bekövetkezik, bekövetkezik B is, azt mondjuk, hogy az A esemény maga után vonja B eseményt, s az alábbi módon jelöljük: A ⊂ B. Események közötti összefüggéseket szemléletesen ábrázolhatjuk az ún. Venn-diagramon. Az eseményteret (H) egy négyzet vagy egy téglalap szemlélteti, s ezen belül általában kör illetve ellipszis mutatja az ezen az eseménytéren bekövetkező eseményeket.

A

B

H

19. ábra: A ⊂ B

Ellentétes esemény Egy A esemény „be nem következése” maga is esemény, jelöljük ezt A -al, s A komplementerének vagy ellentett eseményének hívjuk. A az eseménytér mindazon elemeit tartalmazza, melyek az A eseményben nincsenek benne, de H-hoz tartoznak. Események összege (egyesítése) Legyen A és B egy eseménytér két eseménye. Azt az eseményt, hogy közülük legalább az egyik bekövetkezik, az A és B esemény összegének nevezzük, és A+B-vel jelöljük. Az A+B esemény tehát akkor következik be, ha vagy A, vagy B, vagy mindkettő bekövetkezik.

112

A

B

H 20. ábra: A+B

Események szorzata (közös része) Legyen A és B egy eseménytér két eseménye. Azt az eseményt, amely akkor következik be, ha az A és a B is bekövetkezik, azaz a két esemény egyszerre következik be, az A és B események szorzatának nevezzük, és A⋅B-vel (röviden AB-vel) jelöljük. Előfordulhat, hogy a két esemény közös része az üres halmaz, ilyenkor a két esemény sosem következhet be egyszerre. Ekkor az A-t és B-t egymást kizáró eseményeknek nevezzük. AB

A

B

H 21. ábra: A⋅B

Események különbsége Legyen A és B egy eseménytér két eseménye. Azt az eseményt, ami akkor következik be, ha az A esemény bekövetkezik, de B nem, az A és B események különbségének nevezzük, s A-Bvel jelöljük.

A

B

H 22. ábra: A-B

Az eseményekkel végezhető alapműveletek ismeretében most már pontosan definiálhatjuk az összetett esemény fogalmát is. Egy eseményt összetett eseménynek nevezünk, ha előállítható – a triviális felbontástól eltérően – két esemény összegeként. Bármely eseményre nyilvánvalóan igaz az alábbi összegzés: A = A+A és A = A+∅. Ezt a felbontást nevezzük triviális felbontásnak. Az összetett esemény az eseménytér olyan részhalmaza, mely egynél több elemet tartalmaz. Ettől eltérően, elemi esemény az eseménytér egyelemű részhalmaza, ezért csak triviális felbontása létezik. (A lehetetlen eseményt nem tekintjük sem elemi, sem összetett eseménynek.)

113

Korábbi kockadobás példánkban tehát az A1, A2, A3, A4, A5, A6 események elemi események, s a definiált B, C, és D események összetett események. Teljes eseményrendszer Egy kísérlettel kapcsolatos B1, B2, …, Bn események (melyek közül egyik sem lehetetlen esemény) teljes eseményrendszert alkotnak, ha egymást páronként kizáró események, s összegük a biztos esemény. Az elemi események (a H eseménytér egyelemű részhalmazai) nyilvánvalóan teljes eseményrendszert alkotnak, ha megszámlálható sokan vannak, hiszen egymást páronként kizárják, s összegük a biztos esemény.

VI.1.c A valószínűségszámítás axiómarendszere Mint korábban említettük a valószínűségszámítás axiomatikus megalapozása Kolmogorov nevéhez fűződik, aki 1933-ban német nyelven megjelent könyvében a valószínűségszámítás addig sajátosnak tekintett alapjait a modern matematika általános fogalma közé sorolta. Három axiómát fogalmazott meg, melyek segítségével a valószínűségszámítás tételei bizonyíthatóvá váltak, így a valószínűségszámítás is bekerült a matematika általánosan elfogadott területei közé.

Andrej N. Kolmogorov

I. axióma: Egy tetszőleges A esemény bekövetkezési valószínűsége 0 ≤ P(A). II. axióma: A biztos esemény valószínűsége 1, azaz P(H) = 1. III. axióma: Ha A és B egymást kizáró események, azaz A⋅B = 0, akkor P(A+B)= P(A) + P(B). A III. axiómát addíciós tételnek, vagy a valószínűség additív tulajdonságának is szokás nevezni, amely nem vezethető le az I. és II. axiómákból. Szemléltetése Venn-diagram segítségével a 23. ábrán látható.

A

B

H

23. ábra: Kolmogorov III. axiómájának szemléltetése

Az axiómarendszerből kiindulva néhány alapvető valószínűségszámítási tétel fogalmazható meg (a bizonyításoktól eltekintünk, azokat az érdeklődő hallgatók a fejezet végén található könyvekben megtalálják): • •

az ellentétes esemény valószínűsége : P( A ) = 1 – P(A) a lehetetlen esemény valószínűsége: P(∅) = 0 Fordítva nem igaz a tétel, azaz abból, hogy egy esemény valószínűsége 0, nem következik, hogy az lehetetlen esemény.

114

•

a III. axióma kiterjesztése két esemény összegére, ha az együttes bekövetkezés nem kizárt (AB ≠ 0): P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

A·B

A

B

H 24. ábra: III. axióma kiterjesztése

• • •

ha A1, A2, …. An események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A1) + P(A2) + ….+ P(An) = 1 ha az A esemény maga után vonja a B eseményt (A⊂B), akkor P(B–A) = P(B) – P(A), amiből következik, hogy P(A) ≤ P(B) ha egy kísérletben az eseménytér n számú egyenlően valószínű elemi eseményt tartalmaz, akkor a kísérlettel kapcsolatban megfogalmazható bármely véletlen esemény valószínűségét megkapjuk, ha a véletlen eseményt alkotó elemi események számát elosztjuk az összes elemi esemény számával (klasszikus valószínűségszámítás).

VI.1.d Valószínűség meghatározásának módszerei •

•

Klasszikus valószínűségmeghatározás - (kombinatorikus számítási mód) kedvező esetek száma P( A) = lehetséges esetek száma Geometriai úton - Ha egy véletlen kísérlettel kapcsolatos elemi eseményeket egy korlátos geometriai alakzat (szakasz, ív, síkidom v. test) pontjainak véletlenszerű kiválasztásával modellezhetünk, és a pontok egyenletes eloszlására vonatkozó feltétel teljesül, akkor a kísérlettel kapcsolatos események valószínűségét geometriai módszerekkel (hosszúság, terület v. térfogat kiszámításával) határozhatjuk meg33.

33

Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985, pp. 29.

115

•

• • •

Valószínűségszámítási tételek segítségével - Feltételes valószínűség fogalma, Teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel, Szorzási szabály, Események függetlensége Elméleti eloszlások segítségével Empirikus adatokból Szubjektív becsléssel

Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet

Matematikai statisztika

Axiómák, alaptételek

Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek

Hipotézisvizsgálat

Elméleti eloszlások

Összefüggésvizsgálat

25. ábra: A valószínűségszámítás fő területei

Eddig a sztochasztikus jelenségekben megfigyelt események bekövetkezésének ill. be nem következésének a valószínűségét vizsgáltuk. Ha egy kísérlettel kapcsolatos eseménytéren minden elemi eseményhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot, ezt a hozzárendelést valószínűségi változónak nevezzük. Kockadobás esetén például legyen az A1 esemény, hogy 1-est dobunk, A2 esemény a 2-es dobás, stb. Az egyes elemi eseményekhez rendeljünk hozzá egy számot – célszerűen a dobott szám értékét –, akkor az így létrehozott függvénykapcsolat alapján azt mondhatjuk, hogy a kísérlet lehetséges eredményei: 1, 2, 3, 4, 5, vagy 6. A valószínűségi változó fogalma nem adja meg, hogy az elemi eseményekhez milyen valós számokat rendeljünk. Természetes azonban, hogy ha egy elemi esemény bekövetkezésekor egyúttal számértékek is adódnak, akkor célszerű az egyes elemi eseményekhez ezeket a számokat hozzárendelni. A hozzárendeléshez azonban nem feltétlenül szükséges, hogy a kísérlet során számértékeket kapjunk eredményül. Az előbbi hozzárendelést akkor is elvégezhetjük, ha a kocka oldalai nem számokkal, hanem mondjuk színekkel vannak jelölve. Piros dobás 1-es, kék dobás 2-es stb. A valószínűségi változót általában görög kisbetűvel jelöljük, leggyakrabban a kis kszhi vagy éta betűkkel: ξ vagy η.

116

Attól függően, hogy a valószínűségi változó milyen értékeket vehet fel, két fő csoportot különböztetünk meg: diszkrét és folytonos valószínűségi változót: • Diszkrét valószínűségi változóról akkor beszélünk, ha a valószínűségi változó véges, vagy megszámlálhatóan végtelen értéket vehet fel. Diszkrét valószínűségi változó például a fenti kockadobásnál megfigyelt számértékek, a selejtes termékek száma egy adott műszakban, a balesetek száma egy adott időszak alatt, a születések, halálozások száma egy évben, stb. • Folytonos valószínűségi változóról akkor beszélünk, ha a valószínűségi változó megszámlálhatatlanul végtelen sok értéket vehet fel. Folytonos valószínűségi változó pl. a telefonbeszélgetések hossza, vagy motorgyártásnál a henger felületi érdessége, a BUX index értéke, az ország GDP-je, stb.

VI.2 Valószínűségi változó jellemzői34 a) Valószínűség-eloszlás függvény Diszkrét esetben a ξ valószínűségi változó eloszlását egyértelműen jellemzi az, hogy a változó a lehetséges értékeit milyen valószínűséggel veszi fel. Ezt adja meg a pk valószínűségeloszlás: pk = P(ξ=k). tulajdonságai: 0 ≤ pk ≤ 1 ∞

∑p

k = −∞

k

=1

P(a ≤ ξ < b) =

b −1

∑p

k =a

k

Feladat: Rajzoljuk fel a kockadobás valószínűség-eloszlás függvényét!

34

A fejezet Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985; Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995, megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült.

117

b) Eloszlásfüggvény Az eloszlásfüggvény [jelölése: F(k) v. folytonos változó esetén F(x)] megadja, hogy a ξ valószínűségi változó mekkora valószínűséggel vesz fel egy adott k-nál (folytonos esetben xnél) kisebb értéket, azaz: F(k) = P(ξ < k) ill. F(x) = P(ξ < x). tulajdonságai: monoton növekvő, azaz F(a) ≤ F(b), ha a < b F(-∞) = 0, F(∞) = 1 balról folytonos pk és F(k) kapcsolata: pk = F(k+1)-F(k) k −1

∑p

F(k) =

i = −∞

i

P(a ≤ ξ < b) = F(b)-F(a) =

b −1

∑p k =a

k

Feladat: Rajzoljuk fel a kockadobás eloszlásfüggvényét! c) Sűrűségfüggvény Ha a ξ folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x), akkor az f(x) = F’(x) függvényt a ξ sűrűségfüggvényének nevezzük. tulajdonságai: f(x) ≥ 0 ∞

∫ f ( x)dx = 1

−∞

f(x) és F(x) kapcsolata: xi

∫ f ( x)dx

F(xi) =

; f(x)=F’(x)

−∞

b

P(a ≤ ξ < b) = F(b)-F(a) =

∫ f ( x)dx a

d) Várható érték A ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékei legyenek k1, k2, k3, …. , akkor ξ várható értékének az M (ξ ) = ∑ p i k i összeget nevezzük; i

ha ξ folytonos valószínűségi változó és sűrűségfüggvénye f(x), akkor a ξ várható értéke M (ξ ) =

∞

∫ x ⋅ f ( x)dx.

−∞

Ha ξ1 ,ξ 2 ...ξ n tetszőleges valószínűségi változók, s létezik a várható értékük, akkor összegük várható értéke egyenlő a valószínűségi változók várható értékének összegével:

118

M (ξ1 + ξ 2 + ... + ξ n ) = M (ξ1 ) + M (ξ 2 ) + ... + M (ξ n ) Ha c egy tetszőleges valós szám, akkor M(c) = c. Ha M(ξ) létezik, akkor létezik M(cξ) is, és M(cξ) = c M(ξ). e) Szórás, szórásnégyzet (variancia) A várható érték körül a valószínűségi változók különböző eloszlásoknál más-más módon „tömörülhetnek”. Elég nagy különbség van a végeredményt tekintve például az alábbi két eset között, holott a várható érték mindkettőben azonos. Az évfolyam Gazdaságstatisztika jegyének várható értéke abban az esetben is közepes, ha mindenki hármast kap, s akkor is, ha az évfolyam egyik fele jelest, a másik fele pedig elégtelent kap. Annak vizsgálatára, hogy a valószínűségi változó mennyire tér el a középértéktől, a szórást használjuk. Ha a ξ - M(ξ) valószínűségi változó négyzetének létezik a várható értéke, akkor az alábbi összefüggést ξ szórásnégyzetének nevezzük: 2 D 2 (ξ ) = M (ξ − M (ξ ))

(

)

Ennek négyzetgyöke a D(ξ ) = D 2 (ξ ) a ξ valószínűségi változó szórása. Ha ξ valószínűségi változónak létezik a várható értéke, akkor D 2 (ξ ) = M ξ 2 − M 2 (ξ )

( )

Ha ξ valószínűségi változó szórása létezik, akkor tetszés szerinti a és b valós szám esetén D 2 (aξ + b ) = a 2 D 2 (ξ ) Ha ξ 1 ,ξ 2 ...ξ n független valószínűségi változók és szórásaik léteznek, akkor összegük és különbségük szórásnégyzete egyenlő a valószínűségi változók szórásnégyzetének összegével: D 2 (ξ 1 + ξ 2 + ... + ξ n ) = D 2 (ξ 1 ) + D 2 (ξ 2 ) + ... + D 2 (ξ n ) .

Példa: Határozzuk meg hatoldalú szabályos dobókockával történő dobások várható értékét és szórását! ξ = a dobott szám 1 p k = P (ξ = k ) = , k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 M(ξ) = 1/6⋅(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 3,5 2 2 A D (ξ ) = M ξ − M 2 (ξ ) összefüggést felhasználva: D2(ξ) = 1/6⋅(1+4+9+16+25+36) – (21/6)2 = 91/6 - (21/6)2 = 546/36-441/36 = 105/36. D(ξ) ≈ 1,7078

( )

f) Medián Valamely ξ valószínűségi változó mediánja, me(v Me) az a valós szám, amelyre P(ξ<me) = 0,5. g) Kvantilisek A mediánhoz hasonlóan értelmezhetjük a p-kvantilist. A p-kvantilis az a valós szám, mely az eloszlást p : (1-p) arányban osztja ketté. A fentiek alapján a medián a 0,5-kvantilis. Kvantilis jelölése: xp. Kvantiliseket p adott értékeinél a p-kvantilis megnevezés helyett az értékre utaló

119

szóhasználattal jelöljük pl. x0,25 kvartilis, x0,1 decilis, x0,01 centilis, stb. Valószínűségi változók jellemzésére gyakran használjuk a kvartiliseket. Az x0,25 értéket első v. alsó, az x0,75 értéket pedig harmadik v. felső kvartilisnek is szokás nevezni. h) Módusz Ha ξ valószínűségi változó lehetséges értékei között van olyan, amelyet nagyobb valószínűséggel vesz fel, mint a többit, akkor ezt az értéket ξ móduszának nevezzük. Folytonos valószínűségi változó esetén ξ módusza a sűrűségfüggvény (lokális) maximumhelye(i). A módusz jele: mo v. Mo. i) Momentumok A ξ valószínűségi változó momentumainak nevezzük a következő számértékeket: - k-adik momentum M(ξk), - k-adik abszolút momentum M(|ξk|), - k-adik centrális momentum M{[ξ-M(ξ)]k}, - k-adik centrális abszolút momentum M[|ξ-M(ξ)|k], ahol k =1,2,3,…. Látható, hogy ξ első momentuma M(ξ), a valószínűségi változó várható értéke, s második centrális momentuma M{[ξ-M(ξ)]2}, a szórásnégyzete. j) Ferdeség A ferdeség egy eloszlás aszimmetriájának fokát, azaz a szimmetriától való eltérését mutatja. Ha egy eloszlás sűrűségfüggvénye a centrális maximumától inkább jobbra elnyúló, akkor azt bal oldali aszimmetriának vagy pozitív ferdeségűnek nevezzük. Ha az ellenkező oldalra nyúlik el, akkor jobb oldali aszimmetriának vagy negatív ferdeségűnek nevezzük. Ferde eloszlások esetében a várható érték általában a módusznak az elnyúló véggel azonos oldalán fekszik. Pearson-féle első és második ferdeségi együttható: (M (ξ ) − mo ) 3(M (ξ ) − me ) α1 = v. α 2 = D(ξ ) D(ξ ) Gyakran használjuk a ferdeség jellemzésére a harmadik centrális momentumból képzett ferdeségi együtthatót: 3 M [ξ − M (ξ )] γ1 = D 3 (ξ ) Unimodális eloszlás esetén a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének grafikonja γ1<0 esetén a módusztól balra, γ1>0 esetén a módusztól jobbra hosszan elnyúlik.

(

)

k) Csúcsosság A csúcsossági mutató egy eloszlásnak – a vele megegyező várható értékű és szórású – normális eloszláshoz viszonyított csúcsosságának (lapultságának) fokát méri. A csúcsosság mérőszáma a negyedik centrális momentumból képzett együttható: 4 M [ξ − M (ξ )] γ2 = −3 D 4 (ξ ) Ha γ2>0, akkor a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye magasabban „ugrik ki” és csúcsosabb, mint a megfelelő normális eloszlású valószínűségi változóé.

(

)

120

VI.3 Diszkrét elméleti eloszlások35 A valószínűségi változók száma elvileg végtelen lehet. A gyakorlatban azonban viszonylag kis számú valószínűségeloszlás-típus fordul elő. Diszkrét valószínűségi változók közül a menedzsment területén legfontosabbak az alábbi eloszlások.

VI.3.a Diszkrét egyenletes eloszlás Az egyik legegyszerűbb eloszlásfajta. Gyakorlatban főképp a szerencsejátékokkal kapcsolatban találkozhatunk vele. A menedzsment és az üzleti élet területén ritkán fordul elő. Egyenletes eloszlás esetén a ξ valószínűségi változó által felvehető véges számú érték mindegyike egyenlően valószínű, vagyis 1 p k = P (ξ = k ) = , k = 1, 2, …, n n Ebben az esetben a várható értéket és a szórást (ill. szórásnégyzetet) viszonylag egyszerűen, az alapképletekbe történő behelyettesítéssel kapjuk: 1 n 1 n 1 n  M (ξ ) = ∑ k i D 2 (ξ ) = ∑ k i2 −  ∑ k i  n i =1 n i =1  n i =1 

2

VI.3.b Binomiális eloszlás Ha egy kísérlet során az A esemény bekövetkezését, ill. be nem következését vizsgáljuk – azaz alternatív, két kimenetelű eseményről beszélünk -, s az A esemény bekövetkezési valószínűsége P(A) = p, és a kísérletet n-szer egymástól függetlenül megismételjük, akkor ha a vizsgált ξ valószínűségi változó az A esemény bekövetkezésének száma, a ξ valószínűségeloszlását binomiális eloszlásnak nevezzük, s az alábbi összefüggéssel határozhatjuk meg: n p k = P(ξ = k ) =   p k q n −k , ahol q = 1-p k  Az eloszlás várható értéke és szórásnégyzete:

M(ξ) = np,

D2(ξ) = npq.

A binomiális eloszlást a gyakorlatban elsősorban a visszatevéses mintavétel során alkalmazzuk, ill. bizonyos feltételek esetén a hipergeometrikus eloszlás helyettesítésére. Ha p(n+1) szorzat egész szám, akkor az eloszlásnak két módusza van, az (n+1)p-1 és az (n+1)p helyen. Ha p(n+1) nem egész, akkor az eloszlás unimodális és a módusz az (n+1)p egész része. Ha n nagy, akkor az eloszlás módusza az eloszlás várható értékéhez közeli szám, azaz a binomiális eloszlás legnagyobb valószínűséggel a várható értékéhez közeli értéket vesz fel.

Példa: A Felvillanyozzuk Kft. 24 speciális karácsonyfaégőt csomagol egy dobozba. A gyártás során a selejtarány 0,25. Átvételkor minden egyes kartonból 5 égőt vesznek ki visszatevéses mintavétellel. A megrendelő nem veszi át a tételt, ha hibás égőt talál a dobozban. Mekkora az átvétel valószínűsége? n=5 35

A fejezet Csernyák L.(szerk.): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1990; Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985; Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 1989, megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült.

121

k=0 p = 0,25  5 5 P(ξ = 0) = p 0 =  0,25 0 (1 − 0,25) = 0,2373  0 Hány selejtet tartalmaz a minta a legnagyobb valószínűséggel, s mekkora ez a valószínűség? p(n+1) = 1,5 → p(n+1) egész része = 1  5 5 −1 P(ξ = 1) = p1 =  0,251 (1 − 0,25) = 0,3955 1 Mekkora annak a valószínűsége, hogy a mintában legfeljebb 1 selejtes égő lesz? n=5 k = 0 v. 1 → P(ξ≤1) = p0 + p1 = 0,2373 + 0,3955 = 0,6328 p = 0,25 Adjuk meg a mintában levő selejt számának várható értékét és szórását! M(ξ) = np = 5⋅0,25 = 1,25 D2(ξ) = npq = 5⋅0,25⋅0,75 = 0,9375 → D(ξ) = 0,9682

VI.3.c Hipergeometrikus eloszlás Ha visszatevés nélkül n elemű mintát veszünk egy N elemszámú sokaságból, melyben s a nem megfelelő egyedek száma, valamint a megfigyelt ξ valószínűségi változó a mintában található selejtes darabok száma, akkor ξ valószínűség-eloszlása hipergeometrikus eloszlással írható le.  s  N − s     k  n − k   p k = P(ξ = k ) = N   n Az eloszlás várható értéke és szórásnégyzete: M(ξ) = np, n −1   D 2 (ξ ) = np (1 − p )1 − ,  N −1 s ahol p = . N Ha ugyanabból a sokaságból visszatevéssel, illetve visszatevés nélkül veszünk n elemű mintát, akkor a mintában levő selejtes darabok számának várható értéke ugyanakkora, de a visszatevés nélküli mintavétel esetén a szórás kisebb. Ha n<
122

 3   21      0 4 p 0 = P (ξ = 0 ) =     = 0 , 5632  24     4 

Az átvétel valószínűsége ≈ 0,56, azaz a doboz elutasításának valószínűsége 1-0,56=0,44.

VI.3.d Poisson-eloszlás Diszkrét eloszlások közül ez az eloszlás az egyik leggyakrabban előforduló eloszlás a gyakorlatban. A Poisson-eloszlást a kis valószínűségű, vagyis ritka események eloszlástörvényének is nevezik, mivel ezzel az eloszlással írhatók le az ún. véletlen pontelhelyezkedések. Az egyenesen, síkon, térben véletlenszerűen elhelyezkedő pontok esetén egy adott tartományba eső pontok száma, vagy a véletlenszerű időpontokban bekövetkező eseményeknél adott időtartam alatt bekövetkező események száma igen gyakran Poisson-eloszlású. Ilyen eloszlás például e jegyzetben a gépelési hibák száma (Legalábbis nagyon remélem, hogy ez ritka eseménynek tekinthető, s így valóban Poisson eloszlással modellezhető.) Az eloszlás valószínűség-eloszlás függvénye:

λk

e −λ , ahol λ>0 valós szám, az eloszlás paramétere; k = 1, 2, 3, …. k! Az eloszlás várható értéke és szórásnégyzete: M(ξ) = λ, D2(ξ) = λ. p k = P(ξ = k ) =

A Poisson-eloszlás segítségével bizonyos esetekben közelíthetjük a binomiális eloszlást. Ha n elég nagy és p kicsi, akkor aránylag kis k értékekre a binomiális eloszlást a λ = np paraméterű Poisson-eloszlás megfelelő tagjaival közelíthetjük. Az eloszlás módusza, ha λ egész szám, akkor az eloszlás bimodális mo1 = λ-1 és mo2 = λ. Ha λ nem egész szám, akkor a módusz λ egész részénél van, az eloszlás unimodális. Ez azt jelenti, hogy a Poisson-eloszlás legnagyobb valószínűséggel a várható értékét, vagy ahhoz közeli (annál kisebb) értéket vesz fel.

123

Példa: Egy mobilszolgáltató társaságnál az ország egy ritkán lakott területén egy adott cellából kezdeményezett hívások száma naponta átlagosan 5 hívás. Mi a valószínűsége, hogy naponta legalább 3, legfeljebb 7 hívást kezdeményeznek ebből a cellából? λ=5 k = 3, 4, 5, 6, 7 P(3≤ξ≤7) = p3+p4+p5+p6+p7 ≈ 0,1404 + 0,1755 + 0,1755 +0,1462 +0,1044 = 0,742 Hány hívást kezdeményeznek naponta a legnagyobb valószínűséggel, és mekkora ez a valószínűség? Mivel λ egész szám, ezért a λ-1 és a λ bekövetkezésének a valószínűsége a legnagyobb, azaz naponta 4 vagy 5 hívást kezdeményeznek a legnagyobb valószínűséggel, s ez a valószínűség: p4 = p5 = 0,1755.

VI.4 Folytonos elméleti eloszlások36 VI.4.a Folytonos egyenletes eloszlás A folytonos egyenletes eloszlás a gyakorlatban ritkán fordul elő. Legfőbb alkalmazási területe a különböző eloszlású valószínűségi változók számítógépes szimulációja. Egy ξ folytonos valószínűségi változó a véges hosszúságú (a,b) intervallumon (ahol a
ha x ≤ a

Az egyenletes eloszlás várható értéke: Az egyenletes eloszlás szórása:

ha a 〈 x ≤ b ha x 〉 b M(ξ) = (a+b)/2

D(ξ ) =

36

(b − a ) 2 12

A fejezet Csernyák L.(szerk.): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1990; Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985; Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 1989, megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült.

124

VI.4.b Exponenciális eloszlás Exponenciális eloszlás leginkább bizonyos véletlen hosszúságú időtartamok eloszlásaként lép fel. Exponenciális eloszlással írható le például egy olyan berendezésnek ill. alkatrésznek az élettartama, hibamentes működési ideje, melynek tönkremenetelét nem kopás vagy természetes elhasználódás okozza, hanem váratlan törés szakadás illetve egyéb véletlen ok. Az exponenciális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: 0, ha x 〈0  f (x) =  , ahol λ>0  -λx  λ e ha x ≥ 0 eloszlásfüggvénye: 0,  F ( x) =   1 − e -λx várható értéke

ha x〈0 ha x ≥ 0

M(ξ) = 1/λ

és szórása: D(ξ) = 1/λ.

Példa: A Felvillanyozzuk Kft. speciális karácsonyfaégőinek átlagos élettartama a gyári mérések szerint 250 üzemóra. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy égő éppen a 100-adik órában megy tönkre? M(ξ) = 1/λ = 250 óra → λ = 1/250 = 0,004 1/óra −100

− 99

P(99 < ξ < 100) = F(100) – F(99) = 1 − e 250 − (1 − e 250 ) = 0,673 − 0,67 = 0,003 Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy égő 250 üzemóra előtt tönkremegy? −

1

250

P(ξ < 250) = F(250) = 1 − e 250 = 1 − e −1 ≈ 0,632 Legfeljebb hány órát működik az égők fele? A keresett érték az eloszlás mediánja. P(ξ < me) = F(me) = 1 − e

−

1 me 250

= 0,5

→

me = 173,3 óra

VI.4.c Normális (Gauss-) eloszlás A leggyakoribb eloszlás a gyakorlati életben a menedzsment területén előforduló elméleti eloszlások közül. Ha egy valószínűségi változó értékét nagyszámú, egymástól függetlenül ható véletlen tényező határozza meg úgy, hogy az egyes tényezők külön-külön csak igen kis mértékben járulnak hozzá az összes véletlen hatásból eredő ingadozáshoz, és az egyes tényezők hatásai összeadódnak, akkor általában normális eloszlású valószínűségi változót kapunk. (Lásd később a központi határeloszlás tételt.)

125

Normális eloszlással írható le például: • arányos skálán mérhető termékjellemzők (például: szélesség, hosszúság, vastagság, tömeg, összetétel) és technológiai paraméterek (például: hőmérséklet, nyomás, sebesség) matematikai modellezése, • egyéb, több tényező összegződése révén előálló mennyiség eloszlásának modellezése (például: testmagasság, munkabérek, eseményidő a hálótervezésben, élettartam, két meghibásodás között eltelt idő), • véletlen jellegű mérési hibák matematikai leírása, • technológiai folyamatok irányítási algoritmusának kialakítása (például: számtani átlag alapján történő szabályozás). A normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye: − 1 f ( x) = e σ 2π

( x−µ )2 2σ 2

, ahol -∞<x<∞ ,

eloszlásfüggvénye: x

várható értéke: M(ζ)=µ

0 − 1 F ( x0 ) = e σ 2π −∫∞ és szórása: D(ζ)=σ.

( x− µ )2 2σ 2

dx

Az F(x) függvény nem elemi függvény, értékeit táblázat alapján határozhatjuk meg. A µ, σ paraméterű normális eloszlást röviden N(µ, σ)–val jelöljük. A µ=0, σ=1 paraméterű normális eloszlású valószínűségi változót standard normális eloszlásúnak nevezzük. Normális eloszlás esetén ennek a standard normális eloszlásnak az eloszlásfüggvény értékei találhatóak meg táblázatban, s tetszőleges N(µ, σ)-ra vonatkozó valószínűségeket az N(0,1) táblázat segítségével határozzuk meg. A normális eloszlással történő gyakorlati számításokat jelentősen megkönnyítjük, ha az x−µ z=

σ

transzformációval az x változó helyett bevezetjük a z változót, s az így kapott. standard normális eloszlás valószínűségi függvényeivel számolunk. A standard normális eloszlás jelentőségét az adja, hogy bármely N(µ, σ) eloszlás F(x) eloszlásfüggvénye mindig kifejezhető az N(0,1) eloszlás Φ(z) eloszlásfüggvényével: F(x) = Φ(z ) Mivel a standard normális eloszlás 0 körül szimmetrikus, ezért: Φ(-z) = 1-Φ(z) Példa: Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy az N(µ, σ) eloszlású valószínűségi változó a várható értékétől legfeljebb szórásnyira, két szórásnyira, három szórásnyira tér el! P(µ-σ < ξ < µ+σ) = F(µ+σ) – F(µ-σ) =  µ +σ − µ   µ −σ − µ  Φ  − Φ  = Φ(1) − Φ (−1) = Φ(1) − (1 − Φ (1)) = 2Φ(1) − 1 = σ σ     P(µ-σ < ξ < µ+σ) = 2⋅0,8413 –1 = 0,6826

126

A fenti számolási menetet alkalmazva 2 ill. 3-szoros szórásnyira való eltérésre az alábbi eredmények adódnak: P(µ-2σ < ξ < µ+2σ) = 2⋅0,9772 –1 = 0,9544, P(µ-3σ < ξ < µ+3σ) = 2⋅0,99865 –1 = 0,9973, Vagyis a ξ a várható értékétől legfeljebb szórásnyira kb. 0,68, legfeljebb két szórásnyira kb. 0,95 ill. legfeljebb három szórásnyira kb. 0,997 valószínűséggel tér el. A normális eloszlás fenti tulajdonságát nevezzük „háromszigma szabálynak”. Ezt mutatja a 26. ábra.

µ-3σ

µ-2σ

µ-1σ

µ

µ+1σ

µ+2σ

µ+3σ

68,26 % 95,44 % 99,73 % 26. ábra: A „háromszigma szabály”

Példa: Egy gép által készített alkatrész hossza normális eloszlású, melynek várható értéke 20 cm, szórása 0,4 cm. Mi a valószínűsége, hogy az alkatrész hossza az előírástól legfeljebb 0,6 cmrel tér el? P(19,4 < ξ < 20,6) = F(20,6) – F(19,4) =  20,6 − 20   19,4 − 20  Φ  − Φ  = Φ (1,5) − Φ(−1,5) = 2Φ(1,5) − 1 =  0,4   0,4  = 2⋅0,9332 –1 = 0,8664 Milyen szórással kell dolgoznia a gépnek, hogy 98%-ban jó alkatrészt készítsen, ha a tűrés ±0,5 cm? P(19,5 < ξ < 20,5) = F(20,5) – F(19,5) = 0,98 0,5  20,5 − 20   19,5 − 20  Φ  − Φ  = 2Φ ( ) − 1 = 0,98 σ σ σ      0,5  Φ  = 0,99 σ 

127

A standard normális eloszlás táblázat alapján: 0,5 ≈ 2,33 → σ ≈ 0,21

σ

Tehát kb. 0,21 cm-es szórás esetén a gép által gyártott alkatrészek 98%-a megfelelő méretű.

VI.5 Központi határeloszlás tétele37 A központi határeloszlás tétele a sok véletlen komponens különféle függvényeinek (például összegének, szorzatának, maximumának) aszimptotikus eloszlásaival foglalkozó határeloszlás-tételek közül a legfontosabb a gyakorlat számára. A tétel magyarázatot ad arra, hogy miért találkozunk oly gyakran a természet és a társadalom jelenségeinek törvényszerűségeit vizsgálva a normális eloszlással.

A központi határeloszlás tétele értelmében, ha η1, η2, ....., ηn, azonos eloszlású, véges M(ηi) várható értékű és véges D(ηi) szórású független valószínűségi változók, akkor a belőlük képzett ξ = η1+ η2+ .....+ ηn valószínűségi változó eloszlása n→ ∞ esetén nM(ηi) várható értékű, D(ηi ) ⋅ n szórású normális eloszlás. A tapasztalat azt mutatja, hogy már aránylag kis n esetén is az előbbiekben felsorolt tulajdonságokkal rendelkező valószínűségi változók összegéből képzett ξ valószínűségi változó közelítőleg normális eloszlásúnak tekinthető. (27. ábra)

37

A fejezet Csernyák L.(szerk.): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1990; Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985; megfelelő fejezeteinek a felhasználásával készült.

128

27. ábra: A dobott számok összegének valószínűség-eloszlása

129

VII. Becslés Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet

Matematikai statisztika

Axiómák, alaptételek

Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek

Hipotézisvizsgálat

Elméleti eloszlások

Összefüggésvizsgálat

130

Az előző fejezetben már említettük, hogy az elméleti eloszlásokkal történő számoláshoz elsősorban azok paramétereinek ismerete szükséges. A gyakorlatban egy adott probléma elemzésénél többnyire tapasztalatból tudjuk az eloszlás jellegét, de nem ismerjük az eloszlás alakját pontosan meghatározó paramétereket. Tudjuk például, hogy a labdarúgó mérkőzéseken a gólok száma jó közelítéssel Poisson-eloszlású. Ugyanilyen eloszlással írható le mondjuk a Tiszán egy év alatt levonuló árhullámok száma, csak éppen más λ paraméterrel. Minden – majdnem minden – elméleti eloszlásnak van(nak) paramétere(i), melyeket általában nem ismerünk, azokat a ξ-re vonatkozó statisztikai mintából kell közelítőleg meghatároznunk, becsülnünk, mert csak ezek ismeretében tudunk a vizsgált jelenséggel kapcsolatos valószínűségi kérdésekre válaszolni. Korábbi fejezetekben felvázoltuk a statisztikai következtetés logikai menetét, s annak első lépését, a mintavétel módszereit is áttekintettük. A második lépéssel, a mintából származó adatok feldolgozásával (tömörítésével, rendezésével, ábrázolásával stb.) a leíró statisztika foglalkozik, melyet szintén részletesen megismertünk. Már akkor említettük, hogy a mintából számított mutatókat (átlag, szórás, stb.) a sokasági jellemzőkre való következtetésre, az ismeretlen paraméterek becslésére (is) használjuk. Ebben az esetben tehát a mintából meghatározunk egy számértéket, s ezt a számot tekintjük az ismeretlen paraméter közelítő értékének. Ezt az eljárást nevezzük pontbecslésnek. Nem arról van tehát szó, hogy a mintából kiszámoljuk az ismeretlen paramétert. A mintából számolt mutatók értékei függnek a véletlentől, mintáról mintára változnak, így maguk is valószínűségi változónak tekinthetők. A mintából számolt mutatók eloszlását mintavételi eloszlásnak nevezzük. Annak megítélése, hogy a mintából számolt mutató (amit minta statisztikának vagy röviden statisztikának is neveznek) mikor tekinthető az ismeretlen elméleti paraméter „jó” becslésének, többféle szempontból történhet.

VII.1 A becslés tulajdonságai38 Tudjuk, hogy a sokaság paramétereit általában több statisztikával is becsülhetjük. Így pl. a várható értéket - normális eloszlású alapsokaság esetében - a mintaátlaggal és a mediánnal is becsülhetjük, a szórást a minta szórásával, de a terjedelem segítségével is becsülhetjük stb. Természetesen felmerül a kérdés, hogy ezek közül melyik becslést kell választanunk. Hogy ilyen esetekben a legmegfelelőbb becslést választhassuk, kritériumokat kell felállítanunk arra vonatkozólag, hogy mikor fogadjunk el egy becslést jónak, illetve mikor tartsuk jobbnak az egyik becslést a másiknál. A statisztikai becslés Fisher-féle kritériumait az alábbiakban foglaljuk össze39.

VII.1.a Torzítatlan becslés A legfontosabb tulajdonság, amit egy „jónak” minősített becsléstől megkívánunk, hogy a becslés a szóban forgó paraméterérték körül ingadozzék. Pontosabban azt kívánjuk meg, hogy a becslés (az illető statisztika) várható értéke éppen a megfelelő paraméterérték legyen. Ha egy becslésre ez a követelmény teljesül, akkor torzítatlan becslésről beszélünk. Így pl. torzítatlan a becslés, ha a mintaátlagok várható értéke megegyezik az alapsokaság várható értékével: M (x ) = M (ξ ) , vagy a korrigált tapasztalati szórásnégyzet várható értéke az elméleti varianciával egyenlő: M ( s *2 ) = D 2 (ξ ) . Ez azonban nem igaz a tapasztalati 38 39

Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 1998 A VII.1 részben található ábrák a STATISTICA for Windows programmal készültek

131

szórásnégyzetre. A tapasztalati szórásnégyzet várható értéke (az elméleti varianciát az n −1 2  1 egyszerűség kedvéért σ2-el jelölve): M ( s 2 ) = σ = 1 − σ 2 . Az empirikus n n  (tapasztalati) szórásnégyzet tehát elméleti variancia torzított becslése. Látható, hogy a „torzítás mértéke” függ a mintaszámtól, s a mintaszám növekedésével csökken. Az ilyen tulajdonságú becsléseket aszimptotikusan torzítatlan becslésnek nevezzük. A torzítatlanság nem azt jelenti, hogy egy adott mintából kapott becslés egyenlő az ismeretlen paraméterrel, sőt arra sem ad feleletet, hogy a mintából kapott becslés értéke közel, vagy távol esik-e a valódi paramétertől. A torzítatlanság esetében csupán abban lehetünk biztosak, hogy nincs semmiféle szisztematikus, egyirányú eltérés a becslés és a becsült paraméter között.

Példa: Vizsgáljuk meg n = 3 elemű statisztikai minták alapján a kockadobás tapasztalati és korrigált tapasztalati szórását. (Az első fejezet 1.2.1 pontjában (ld. 9. o.) meghatároztuk a kockadobás elméleti szórását, s azt találtuk, hogy D(ξ) ≈ 1,71.) A kísérletet 50-szer megismételve a számított tapasztalati ill. korrigált tapasztalati szórásokat az alábbi ábrán (28. ábra) láthatjuk. n=3 elemû minták szórásai 3.0

2.5

2.0 1,73 1.5

1,41

1.0

0.5

0.0 0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

T_SZ3 K_TSZ3

28. ábra: Tapasztalati szórások összehasonlítása

Az ábrán folytonos vonal mutatja a tapasztalati ill. szaggatott vonal a korrigált tapasztalati szórásokat a mintaszám függvényében. Vízszintes folytonos vonallal jelöltük a kétfajta szórás (50-50 elem) átlagát. A korrigált tapasztalati szórások átlaga 1,73, a tapasztalati szórásoké 1,41. Jól látható, hogy a korrigált tapasztalati szórások az elméleti (1,71) szórás körül ingadoznak (átlaguk közel esik az elméleti értékhez), míg a tapasztalati szórások átlaga 1,41, jóval nagyobb az eltérés az elméleti értéktől.

VII.1.b Konzisztens becslés Konzisztensnek (összetartónak) nevezzük a becslést akkor, ha ingadozása a becsült paraméter körül a minta elemszámának növelésével egyre csökken. A korábbiakban láttuk, hogy a számtani átlag torzítatlan becslése a várható értéknek, s szórása σ x =

σ

. Nyilvánvaló, hogy n n → ∞ esetén σ x → 0 , vagyis a számtani átlag konzisztens becslése a várható értéknek.

132

Példa: Az előző példához hasonlóan „kevésbé matematikai módon”, tapasztalati adatokból vizsgáljuk meg a kockadobás esetén a két empirikus szórás viselkedését a mintaszám növekedésének függvényében. A 29. ábra mutatja a kapott eredményeket. Az ábrán folytonos vízszintes vonal jelzi az elméleti értéket (D(ξ)≈1,71). Az ábrából egyértelműen látszik, hogy a mintaszám növekedésével mind a korrigált tapasztalati, mind a tapasztalati szórás az elméleti érték körül ingadozik (torzítatlan ill. aszimptotikusan torzítatlan becslés), s az ingadozás mértéke a mintaszám növekedésével egyre kisebb (konzisztens a becslés). Kockadobás szórása

2.0

1.6

1.2

0.8

0

T_SZ_ K_T_SZ

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

29. ábra: A kockadobás szórása a mintaszám függvényében (n=100)

Megfigyelhetjük, hogy kb. 30-35 elemű minták esetén a különbség a két szórás között már gyakorlatilag elhanyagolható. Az alábbi ábrán csak az első 50 adatot ábrázolva, a két szórás közötti különbség jobban megfigyelhető. Kockadobás szórása

2.4

2.0

1.6

1.2

0.8

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

30. ábra: A kockadobás szórása a mintaszám függvényében (n=50)

133

T_SZ_ K_T_SZ

VII.1.c Hatásos becslés Két becslés összehasonlításakor a hatásosság vagy más néven efficiencia kritériuma alapján döntjük el, hogy a kettő közül melyik a jobb. A hatásosságot nagyon fontos becslési kritériumnak tekintjük. Két becslés közül a kevésbé ingadozót nevezzük hatásosabbnak. Az ingadozás mértéke a szórás, ezért a becslések ingadozását is a szórásukkal jellemezzük. Tehát két becslés közül a kisebb szórású becslést tekintjük hatásosabbnak, jobbnak. Gyakran előfordul, hogy a torzítatlan becslések között van olyan, amelyiknek a szórása az összes többi becslés szórásánál kisebb (adott n mellett). Ekkor ezt a minimális szórású, torzítatlan becslést hatásosnak nevezzük, és a többi becslés hatásfokát ehhez mérjük. Példa: A „szokott” módon, tapasztalati adatokból hasonlítsuk össze (n=5 elemű minták alapján) a kockadobás átlagát és mediánját. A kísérletet 50-szer megismételve, a minták átlagait és mediánjait a mutatja. n=5 elemû minták átlaga és mediánja 6.5

5.5

4.5

3.5

2.5

1.5

0.5 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

ATL MED

31. ábra: A kockadobás átlaga és mediánja

Az ábrán szaggatott vonallal összekötve a négyzetek a mediánokat, s folytonos vonallal összekötve körök jelölik az egyes minták átlagait. Vízszintesen behúzott folytonos vonal a várható értéket mutatja (M(ξ) = 3,5). Megfigyelhetjük, hogy a medián is és az átlag is az elméleti érték körül ingadozik (torzítatlan becslések), ugyanakkor az átlagok eltérése, ingadozása kisebb, mint a mediánoké. Kiszámolva a két adatsor korrigált tapasztalati * * szórásait, az eredmények az alábbiak: s átlag = 0,794 ; s medián = 1,320 . Az átlag szórása valóban kisebb, mint a mediáné, az adatok alapján kb. 40%-kal. Az átlag tehát hatásosabb becslés, mint a medián.

VII.1.d Elégséges becslés Egy becslés elégséges, ha az lényegében minden információt tartalmaz a paraméterre vonatkozóan. Ez más szóval annyit jelent, nincs más olyan becslés, amelyik a paraméterről több információt szolgáltatna, mint az elégségesnek minősülő becslés.

134

VII.2 A pontbecslés módszerei Az eddigiek során is használtunk különféle becslőfüggvényeket pontbecslés céljára, de ezeket csak „ösztönösen” választottuk. Így természetesen adódott, hogy pl. a várható értéket a mintából számított átlaggal vagy más középértékkel becsüljük. Ez az ún. analógia elve, ami azt jelenti, hogy a mintából a becsülendő jellemzővel megegyező tartalmú mutatót számítunk ki, és ennek segítségével becsüljük a megfelelő sokasági jellemzőt. Léteznek azonban olyan általános elvek, módszerek, amelyek segítségével olyan esetekben is tudunk jó tulajdonságú becslőfüggvényeket készíteni, amikor a megérzés vagy az analógia már nem segít. A legegyszerűbb grafikus becslést kivéve nem célunk ezek részletes ismertetése, csak röviden felsoroljuk illetve ismertetjük lényegüket40,41.

40 41

•

Maximum-likelihood módszer (a legnagyobb valószínűség elve): az eljárás lényege az ún. likelihood függvény felállítása, amely nem más, mint a mintaelemek együttes sűrűségfüggvénye, s az ismeretlen paraméter becslésére azt a statisztikát használjuk, melyre ez a függvény maximális értéket vesz fel. Ez az egyik legjobb és leggyakrabban alkalmazott eljárás.

•

Legkisebb négyzetek módszere: nem pusztán a statisztikai becslésre szolgáló eljárás, hanem alkalmazható más becslési feladatok megoldására is. A módszer lényege, hogy egy elméleti modellnek (ez lehet egy eloszlás vagy sűrűségfüggvény, de lehet egy egyszerű konstans függvény is) a paramétereit határozza meg úgy, hogy a tényleges és a becsült paraméterekkel illesztett modellek négyzetes eltérése, azaz az eltérések négyzetösszege minimális legyen.

•

Momentumok módszere abban áll, hogy ha k számú paramétert akarunk becsülni, akkor az eloszlás első k számú elméleti momentumát egyenlővé tesszük a mintából számított tapasztalati momentumokkal. Ily módon az ismeretlen paraméterekre egyenletrendszert nyerünk, amely kedvező esetben megoldható.

•

Grafikus paraméterbecslés: az előző matematikai eljárásokhoz képest, ez inkább a gyakorlat számára könnyebben kezelhetőbb eljárás. Bár pontossága természetesen a grafikus ábrázolás adta lehetőségektől függ, de egyszerűsége miatt sokszor jól használható. Lényegük, hogy valamilyen módon (többnyire logaritmizálással) linearizáljuk az eloszlásfüggvényt, s az adatokat grafikusan ábrázolva az egyenes meredekségéből és/vagy tengelymetszetéből következtetünk az eloszlás ismeretlen paraméteré(ei)re.

Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985 Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996

135

VII.2.a Exponenciális eloszlás paraméterének grafikus becslése Az exponenciális eloszlást viszonylag egyszerűen „kiegyenesíthetjük”. Az eloszlás eloszlásfüggvénye: F ( x) = 1 − e − λx . Mindkét oldalból 1-et kivonva, (-1)-el megszorozva, majd az egyenletet logaritmizálva és újra megszorozva (–1)-gyel, az alábbi összefüggést kapjuk: -ln[1-F(x)]= λx Ha x függvényében ábrázoljuk a baloldalon lévő kifejezést, egy egyenest kapunk, melynek tengelymetszete 0, iránytangense (meredeksége) éppen az ismeretlen λ paraméter (32. ábra).

32. ábra: Exponenciális eloszlás λ paraméterének grafikus becslése

VII.2.b Normális eloszlás paramétereinek grafikus becslése42 Normális eloszlás eloszlásfüggvényének „kiegyenesítése” már nem végezhető el egyszerű logaritmizálással, mivel az eloszlásfügvény elemi függvényét nem ismerjük. Speciális beosztású ordinátatengelyű koordinátarendszert alkalmazva azonban az eloszlásfüggvény képe linearizálható. A függőleges tengelyen az eloszlásfüggvény értékeit ábrázoljuk úgy, hogy az eloszlásfüggvény középértékéből (0,5) kiindulva az egységnyi távolság 1 szórásnyi legyen. Az egyszerűség kedvéért ábrázoljuk most a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét (Φ(z)). Tudjuk, hogy a függvény –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 helyen felvett értékei a következők 0,00135; 0,0228; 0,1587; 0,5; 0,8413; 0,9772 és 0,99865. Ábrázoljuk most ezeket a pontokat úgy, hogy a Φ(1) egy távolságegységgel feljebb a Φ(-1) egy távolságegységgel lejjebb, a Φ(2) 2 távolságegységgel feljebb a Φ(-2) 2 távolságegységgel lejjebb stb. kerüljön , mint a Φ(0) =0,5. Az ordináta tengely skálázása ezáltal egyenlőtlen lett, viszont így a Φ(z) függvény képe egyenes, ahol nyilván a többi érték is ezen az egyenesen fekvő pontot határoz meg (33. ábra)

42

Lukács O.: Matematikai statisztika, Példatár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987

136

0,998 0,977 0,841 0,5

0,158 0,0228 0,0013

-3

-2

-1

0

1

2

3

33. ábra: Gauss-papíros ábrázolás

Ha az x tengelyt most átskálázzuk (-3 helyébe -3σ, -2 helyébe -2σ stb. kerül), akkor az előző pontok egy 0 várható értékű, σ szórású normális eloszlású változó eloszlásfüggvényének a pontjai. Végül toljuk el az ordinátatengelyt eredeti helyzetével párhuzamosan az x tengely mentén -µ egységgel. Az így kapott koordinátarendszerben a µ várható értékű, σ szórású normális eloszlású változó F(x) eloszlásfüggvényének képe egyenes. Ha a minta adatai alapján kapott tapasztalati eloszlásfüggvényt az előbbi koordinátarendszerben (ún. Gauss-papíron) ábrázoljuk, normális eloszlás esetén a pontok közelítőleg egy egyenesre esnek. Behúzva az egyenest, a normális eloszlás tulajdonságait ismerve becsülhetjük az ismeretlen paramétereket. Az egyenes és a függőleges tengely (ill. gyakrabban az y = 0,5 ordináta érték) metszéspontjánál leolvasva az x tengely értékét kapjuk az eloszlás µ paraméterét. A 0,1587 ill. a 0,8413 y érték és az egyenes metszéspontjánál pedig a µ-σ ill. a µ+σ értékeket olvashatjuk le az x tengelyen, amiből a µ ismeretében σ könnyen meghatározható.

VII.3 Intervallumbecslés A becslésről szóló eddigi fejtegetéseink során az eloszlás valamely ismeretlen paraméterét egyetlen mennyiséggel, a mintaelemekből számított statisztika numerikus értékével, tehát egyetlen számadattal becsültük, azaz pontbecslést alkalmaztunk. Mivel a mintából számolt statisztika is valószínűségi változó, aktuális értéke általában eltér a becsült paramétertől. Ha sokszor (sok n-es mintából) végezzük a becslést, akkor a mintastatisztika értékei – torzítatlan becslés esetén – az elméleti érték körül szóródnak. A szóródás mértéke természetesen függ a minta nagyságától. Bár egyetlen mintából nem tudjuk megmondani a becsült paraméter pontos értékét, a mintastatisztika eloszlásának ismeretében (ezeket neveztük mintavételi eloszlásoknak) sokszor meg tudunk adni egy olyan intervallumot, amely az ismeretlen paramétert nagy – mondjuk 95%-os – valószínűséggel tartalmazza. Az ilyen intervallumot az adott paraméterre vonatkozó 95%-os konfidencia-intervallumnak (megbízhatósági intervallumnak) nevezzük. A továbbiakban a különböző paraméterekre vonatkozó intervallumbecsléssel foglalkozunk.43

43

Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985

137

VII.3.a Konfidenciaintervallum a normális eloszlás várható értékére44 Tegyük fel, hogy a ξ valószínűségi változó N(µ,σ0) eloszlású, ahol σ0 szórás ismert. A µ paramétert statisztikai mintából a számtani átlaggal becsüljük. Tudjuk, hogy az átlag eloszlása (mintavételi eloszlás) szintén normális eloszlású M (x) = µ várható értékkel, és D(ξ ) =

σ0

n szórással. A normális eloszlás ismert tulajdonsága, az ún 2σ-szabály alapján az átlag értéke 95,44% valószínűséggel a várható érték ± 2 szórás tartományba, vagyis a σ σ  σ σ     µ − 2 0 , µ + 2 0  intervallumba esik: P µ − 2 0 < x < µ + 2 0  = 0,9544 . n n n n  

Ha ismernénk tehát a µ várható értéket, és a számegyenesen megrajzolnánk a fenti intervallumot, akkor az n elemű minták számtani közepét kiszámolva 100 esetből kb. 95 mintaközép ebbe az intervallumba esik. Sajnos azonban µ értékét nem ismerjük (éppen ezt szeretnénk becsülni), a fenti intervallumot nem tudjuk megrajzolni. Rendezzük át az σ σ   összefüggést a következő formára: P x − 2 0 < µ < x + 2 0  = 0,9544 . n n  Ezen összefüggés valószínűségelméleti értelme a következő. Az ismeretlen µ paraméter nem valószínűségi változó, hanem egy állandó, a számegyenes egy adott pontja. Valószínűségi σ σ   változó viszont az  x − 2 0 , x + 2 0  intervallum két végpontja. Azaz annak a n n  valószínűsége, hogy ez a véletlen helyzetű intervallum tartalmazza (lefedi) a µ pontot, közelítőleg 95%. (34. ábra)

µ 34. ábra: Konfidenciaintervallumok a µ várható értékre

44

Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985

138

σ σ   Az  x − 2 0 , x + 2 0  intervallumot a normális eloszlás várható értékére vonatkozó 95%n n  os (pontosabban 95,44%-os) konfidenciaintervallumnak nevezzük. Természetesen nem csak 95%-os intervallumot lehet szerkeszteni. Ha a sokaság elméleti szórása ismert (σ0), akkor az átlag mintavételi eloszlása lapján tetszőleges kicsiny α>0 számhoz meghatározható olyan zα/2 σ σ   mennyiség, hogy a P x − zα / 2 0 < µ < x + zα / 2 0  = 1 − α . n n  σ σ   Normális eloszlás esetén tehát az  x − zα / 2 0 , x + zα / 2 0  intervallum (1-α) szintű n n  konfidencia intervallum a µ várható értékre. Adott eloszlás esetén minél nagyobb a megbízhatósági szint (1-α), annál szélesebb intervallumot kapunk. Nagy biztonsággal csak viszonylag hosszabb intervallumról állíthatjuk, hogy valóban tartalmazza az ismeretlen paramétert. Mint látható az intervallum hossza függ még a minta nagyságától és az alapsokasági (σ0) szórástól. Az eddigiekben csak kétoldali intervallumról beszéltünk, mivel a gyakorlatban ez az elterjedtebb. Ha csak alsó vagy csak felső határokat kívánunk becsülni, akkor a követendő eljárás az eddigiekhez hasonló lesz. A részletek mellőzésével belátható, hogy felső korlát σ   esetén P µ < x + zα 0  = 1 − α kapható, ahol zα a standard normális eloszlás táblázatból n  kereshető ki45. Azaz annak a valószínűsége, hogy az ismeretlen sokasági paraméter az σ  σ  x + zα 0 érték alá esik, 1-α. Hasonló módon az alsó korlátra a P µ > x − zα 0  = 1 − α n n  összefüggést kapunk. Példa: ROM chipek előállításánál az égetőkemence maximum hőmérsékletét vizsgálták. Korábbi vizsgálatok alapján tudják, hogy a folyamatban a maximum hőmérsékletek elméleti szórása 12 °C. A vizsgálat céljára 8 elemű véletlen mintát vettek és az átlag hőmérséklet 492 °C-ra adódot. Adjunk 95%-os szinten intervallumbecslést a kemence hőmérsékletének várható értékére!46 n=8 x = 492°C σ0=12°C ε=0,95 → α=0,05 → kétoldali becslés: α/2=0,025 → zα/2=1,96 behelyettesítve a fenti összefüggésbe: 492 − 1,96

12 12 < µ < 492 + 1,96 , 8 8

483,68 < µ < 500,32 45 46

Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996 Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 1989

139

A ROM chipek érzékenysége miatt a chipeket nem szabad tartósan túl magas hőhatásnak kitenni, ezért a technológiát úgy kell beállítani, hogy a hőmérséklet hosszabb távon ne haladja meg az 500 °C-ot. A minta alapján – 95%-os megbízhatósággal - teljesíti-e ezt a feltételt az égetőkemence? n=8 x = 492°C σ0=12°C ε=0,95 → α=0,05 → egyoldali becslés → zα=1,645 σ 12 ≈ 499 °C µ < x + zα 0 = 492 + 1,645 n 8 A fenti gondolatmenet nem csak a normális eloszlás várható értékének becslésére igaz, hanem a mintavételi eloszlás ismeretében egyéb paraméterek konfidenciaintervallumának meghatározására is. A továbbiakban – a részletes levezetés mellőzésével – a legfontosabb paraméterek intervallumbecsléseit mutatjuk be.

VII.3.b Konfidenciaintervallum a normális eloszlás várható értékére, ha az elméleti szórás ismeretlen47 Ebben az esetben továbbra is feltételezzük, hogy a sokaság N(µ,σ) eloszlású, de sem µ-t sem σ-t nem ismerjük. A problémát ezúttal az okozza, hogy bár az átlag továbbra is normális eloszlású, de az elméleti szórás nem ismert, így kénytelenek vagyunk a szórást a mintából x−µ x−µ becsülni (s*), ennélfogva az helyett kénytelenek vagyunk a * változót használni. σ n s n Ez viszont már nem normális eloszlású, hanem t- (Student-) eloszlású valószínűségi változó, ν = n-1 szabadságfokkal. (A szabadságfokot szokták még DF-fel és néha f-fel is jelölni. Mi a továbbiakban elsősorban majd a DF jelölést használjuk.) A Student-eloszlás a normális eloszláshoz hasonlóan szimmetrikus eloszlás, az eloszlás egy paramétere az ún. szabadságfok (ν) jellemzi. A t-eloszlás ismeretében nézzük tehát az intervallumbecslés határainak meghatározását. Az előző esethez képest „csak” annyi a különbség, hogy normális eloszlás  s* s*   =1−α helyett a t-eloszlást kell alkalmaznunk. P x − t α / 2 (ν ) < µ < x + tα / 2 (ν ) n n   A tα/2(ν) értéket a ν = n-1 szabadságfokú t-eloszlás táblázatából kereshetjük ki. Az s* - az eddigieknek megfelelően – a korrigált tapasztalati szórást jelöli.

47

Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996

140

Példa: Tegyük fel, hogy az előző – ROM égetőkemencés – példánál nem ismerjük az elméleti szórást, de továbbra is tudjuk, hogy a maximum hőmérsékletek normális eloszlással írhatók le. A nyolcelemű minta korrigált tapasztalati szórása s*= 4,5°C, az átlag továbbra is 492°C. Adjunk becslést 95%-os megbízhatósági szinten a kemence hőmérsékletének várható értékére!48 n=8 x = 492°C s*=4,5°C ν(DF)=n–1=8–1=7 ε = 0,95 → α=0,05 → kétoldali becslés: α/2=0,025 → tα/2=2,365

492 − 2,365

4,5 4,5 < µ < 492 + 2,365 , 8 8

488,24 < µ < 495,76

VII.3.c Sokasági arány becslése49 A vizsgált egyedek (pl. férfiak aránya a népességen belül, a selejtes termékek aránya stb.) sokasági arányát jelöljük nagy P-vel. Ennek torzítatlan (pont)becslése a p=k/n relatív gyakoriság, ahol n a mintaszám, k a mintában talált „kedvező” esetek száma. Mivel n rögzített (nem valószínűségi változó), k binomiális eloszlást követ, így p is binomiális eloszlású lesz, M(p)=P várható értékkel és D2(p)=P(1-P)/n varianciával. Mivel az elméleti variancia eleve ismeretlen az sp2=p(1-p)/n értékkel becsüljük. A mintából számított p ismeretében a binomiális eloszlás táblázatából könnyen megkaphatjuk a keresett intervallumot. Ezt az eljárást azonban a gyakorlatban ritkán alkalmazzuk, mert diszkrét jellege meglehetősen pontatlanná teszi. Az első fejezetben láttuk, hogy bizonyos feltételek mellett a binomiális eloszlás jól közelíthető normális eloszlással. Ha például p közel van 0,5-hez, akkor már n=20 elemű minta is elegendő a normális közelítéshez. Ekkor a kétoldali konfidenciaintervallum:

 P p − zα / 2 

48 49

p (1 − p ) < P < p + zα / 2 n

p (1 − p )   = 1−α  n 

Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 1989 Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996

141

Példa: A Felvillanyozzuk Kft. napi termeléséből vett n = 200 elemű mintában a hibás égők száma 24 db. 95%-os megbízhatósági szint mellett adjunk intervallumbecslést a sokasági arányra. n = 200 p = 24/200 = 0,12 ε = 0,95 → α = 0,05 → kétoldali becslés: α/2 = 0,025 → zα/2 = 1,96 0,12 − 1,96

0,12 ⋅ 0,88 0,12 ⋅ 0,88 < P < 0,12 + 1,96 200 200 0,075 < P < 0,165

VII.3.d Sokasági variancia becslése50,51 Ebben a részben a normális eloszlású sokaság szórásnégyzetének intervallumbecslését mutatjuk be. Ha a sokaság eloszlása nem normális, akkor még nagy minták esetén sem érvényes az itt következő intervallumbecslés. A σ2 (pont)becslésére használt tapasztalati és korrigált tapasztalati szórásnégyzetek közelítőleg az ún. χ2-eloszlással írhatók le. A χ2-eloszlás jellemzőit, alakját egy paramétere – a t-eloszláshoz hasonlóan – a szabadságfok határozza meg. Különböző χ2-eloszlásokat mutat a 35. ábra. Sajnálatos módon az eddig megszokott, kényelmes mintavételi eloszlásoktól eltérően, a χ2-eloszlás csak pozitív értékekre van értelmezve, nem szimmetrikus, de ettől eltekintve ugyanúgy használhatjuk intervallumbecslésre, mint a standard normál ill. a t-eloszlásokat. A szabadságfok növekedésével az eloszlás közelít a normális eloszláshoz, amit a későbbiekben a konfidencia intervallumok meghatározásánál is kihasználunk. Chi-négyzet eloszlás sûrûségfüggvénye

f(x) 0.5

0.4

DF = 2

0.3

DF = 4 DF = 7

0.2

0.1

0.0 0

2

4

6

8

10

12

14

35. ábra: χ2-eloszlás sűrűségfüggvénye52

50

Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996 Sincich, T.:Statistics by Example, Dellen Publishing Company, San Fransisco, 1990 52 Készült a STATISTICA for Windows program segítségével 51

142

x

16

Mivel az eloszlás nem szimmetrikus, kétoldali becslés esetén az eloszlás alsó és felső oldalán kijelölt α/2 valószínűség nem egyforma hosszúságú intervallumokat jelent, ennél fogva az előzőekben vizsgált esetekkel ellentétben a konfidencia-intervallum nem lesz szimmetrikus a pontbecslésre. Normális eloszlású valószínűségi változó ismeretlen varianciájának megbízhatósági intervallumát az alábbi összefüggéssel határozhatjuk meg:

 (n − 1)s*2 ( n − 1)s*2  2  = 1 − α P <σ < 2 2 χ χ 1−α / 2  α /2  A χ α2 / 2 és a χ 12−α / 2 értékeket a ν (ill. DF) = n-1 szabadságfokú χ2 táblázatból lehet meghatározni. Ha a konfidencia-határokat az eloszlás elméleti szórására szeretnénk vonatkoztatni, akkor mindkét határ pozitív előjelű négyzetgyökét kell képeznünk. Ha a σ becslését a tapasztalati szórással végeztük, akkor a számlálóban (n-1) helyett n-nel szorozzuk a szórást.

Példa: A Felvillanyozzuk Kft. karácsonyfaégőinek élettartamát n = 16 elemű mintából vizsgálva azt találták, hogy az élettartamok korrigált tapasztalati szórása 10 óra. Határozzuk meg az égők varianciájára, ill. szórására vonatkozó 95%-os konfidencia-határokat! n = 16 s* = 10 óra ν(DF) = n – 1 = 16 – 1 = 15 ε = 0,95 → α = 0,05 → kétoldali becslés: α/2 = 0,025 → 1 – α/2 = 0,975

(16 − 1)10 2 < σ 2 < (16 − 1)10 2 27,5

6,26

54,5 < σ2 < 239,6 7,38 < σ < 15,5 Nagy szabadsági fok (nagy mintaszám) esetén a χ2-eloszlás közelíthető normális eloszlással. Ha a mintaszám n>30, akkor felhasználva azt az eredményt, hogy a 2 χ 2 − 2ν − 1 mennyiség közelítőleg standard normális eloszlású változó, adott α valószínűséghez tartozó 2 1 χ2α értéke kifejezhető a standard normális eloszlás uα értékéből: χ α2 = uα + 2ν − 1 . 53 2

(

(

53

Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995

143

)

)

Példa: Tegyük fel, hogy az előző példában említett vizsgálatot n=50 elemű mintából végezték. 95%os megbízhatósági szinten milyen intervallumban található az elméleti szórás? n=50 s*=10 óra ν(DF)=n–1=50–1=49 ε = 0,95 → α=0,05 → kétoldali becslés: α/2=0,025 → 1-α/2=0,975

(50 − 1)10 2 < σ 2 < (50 − 1)10 2 71,4

32,4

68,6 < σ2 < 151,2 8,28 < σ < 12,3 Mivel n elég nagy, ezért a χ2 értékeket normális eloszlással közelítve azt kapjuk, hogy 2 1 χ 02,975 = 1,96 + 2 ⋅ 49 − 1 = 69,72 ill. 2

(

χ 02, 025 =

)

(

)

2 1 − 1,96 + 2 ⋅ 49 − 1 = 31,11 . 2

Ezeket behelyettesítve a konfidenciahatárok képletébe, a szórásranégyzetre ill szórásra az alábbi intervallumok adódnak: 70,3 < σ2 < 157,5 8,38 < σ < 12,55

144

VIII. Hipotézisvizsgálatok: nemparaméteres próbák Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet

Matematikai statisztika

Axiómák, alaptételek

Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek

Hipotézisvizsgálat

Elméleti eloszlások

Összefüggésvizsgálat

145

A hipotézisvizsgálat a becsléselmélet mellett, a mintából a sokaságra történő statisztikai következtetés másik fontos területe. Az előző fejezetben azt mutattuk be, hogy a minta alapján hogyan lehet közelítőleg meghatározni (becsülni) a sokaság bizonyos jellemzőit. Számos esetben azonban nemcsak egy paramétert szeretnénk meghatározni, hanem mondjuk két v. több paramétert összehasonlítani, konkrét szakmai kérdéseket szeretnénk eldönteni a tapasztalati adatok alapján. Így például kíváncsiak lehetünk arra, hogy a termelési folyamat bizonyos jellemzői (selejtarány, termék tulajdonságai, méretei stb.) megfelelnek-e az előírásnak, a sör töltési térfogata azonos-e a két (v. több) különböző töltősoron, vagy a telefonhívások száma valóban megnőtt-e az új reklámkampány hatására. Az ilyen jellegű kérdések mintavétel segítségével történő megválaszolása a statisztikai hipotézisvizsgálat területe. A mintavételi eredményekre támaszkodó következtetés, döntés természetes velejárója a bizonytalanság, a tévedés lehetősége. Ezért valahányszor mintából nyert adatokra támaszkodva kell választ adnunk a példaként megfogalmazott vagy ahhoz hasonló kérdésekre, valójában annak eldöntéséről van szó, hogy a mintavétel eredménye inkább cáfolja vagy inkább alátámasztja-e a feltett kérdésre adott igenlő választ. Ebben a fejezetben a hipotézisvizsgálatok általános kérdéseiről, valamint néhány konkrét módszerről lesz szó.

VIII.1 A hipotézisvizsgálat általános menete54 Statisztikai hipotézisen a vizsgált sokaság(ok)ra (valószínűség-eloszlásra) vagy ennek paramétere(i)re vonatkozó valamilyen feltevést értünk. Ha ennek ellenőrzésére (ill. bizonyítására) mintát használunk, akkor statisztikai hipotézisvizsgálatról (statisztikai próbáról) beszélünk. Ebben az esetben – mivel a minta csak része a sokaságnak, de nem azonos vele – valamilyen hiba elkövetésének lehetősége mindig fennáll. Az elkövethető hiba kétféle lehet: elsőfajú hiba és másodfajú hiba. Az elsőfajú hibát csak igaz hipotézisek vizsgálata során követhetjük el. Akkor fordul elő, ha egy igaz hipotézist a minta adatai alapján nem fogadunk el. Az elsőfajú hiba elkövetésének valószínűségét α-val jelöljük, értéke egy adott próba során tetszőleges kicsinyre csökkenthető. A másodfajú hibát csak hamis hipotézisek vizsgálata során követhetünk el. Másodfajú hiba akkor jelentkezik, ha a hamis hipotézist a minta adatai alapján nem utasítjuk el. A másodfajú hiba valószínűségét β-val jelöljük, s értéke egy adott próba során bármely konkrét – a feltett hipotetikustól eltérő – alapsokasági paraméterre vonatkozóan kiszámítható. A másodfajú hiba veszélye csökken a hipotetikus és a tényleges várható érték eltérésének növekedésével, viszont nő, ha adott próba esetén az elsőfajú hibát csökkentjük (36. ábra). Az első- és másodfajú hiba egyidejűleg csak a mintaelemek számának növelésével csökkenthető. A próbák tervezésénél és az eredmények értelmezése során ezekre tekintettel kell lennünk.

54

Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 1998

146

„jó”

„rossz”

„jó”

Nincs hiba ε

Másodfajú hiba β

„rossz”

A minta minősítése a sokaságról

Sokaság

Elsőfajú hiba α

Nincs hiba e

36. ábra: A következtetés hibái

Példa: Egy szabályozott gyártási folyamatban a kritikus minőségi jellemző µ0=3,1 cm3, σ0=0,08 cm3 normális eloszlást követ. a.) Számolja ki a µ0 ± 2σ0 beavatkozási határok esetén n = 1 elemű mintavétel mellett az elsőfajú hiba valószínűségét! b.) Mekkora a másodfajú hiba valószínűsége, ha a várható érték µ1=3,3 cm3 -re változott?

Első-, másodfajú hiba számolása nn == 11

α/2 µ0=3,1

α/2

Első-, másodfajú hiba számolása

FBH=3,26

nn == 11

α/2

ABH=2,94 cm3

β

µ0=3,1 → µ1=3,3

cm3

 2,94 − 3,1  =  0,08 

µµ00±±2σ 2σ00 FBH=3,26 cm3

α/2

P(ξ0
ABH=2,94 cm3

 3,26 − 3,3   2,94 − 3,3   − Φ =  0,08   0,08 

β=P(ABH<ξ ξ1
=Φ(-2) = 2,28%

α = 2·2,28 = 4,56%

Φ (− 0,5) − Φ (− 4,5 ) = 1 − 0,6915 =

Készítette: Erdei János

Készítette: Erdei János

147

30,85%

c.) Mekkora az első és másodfajú hiba valószínűsége, µ0 ± 3σ0 beavatkozási határok valamint n=1 és n=4 elemű mintavétel mellett?

Első-, másodfajú hiba számolása

Első-, másodfajú hiba számolása α/2

nn == 11 µ0=3,1 → µ1=3,3

n=4

α/2

ABH=2,86 cm3

ABH=2,98 cm3

µµ00±±3σ 3σ00 α

 2,86 − 3,1  = Φ = 2  0,08  Φ(-3) = 0,13%

α = 0,26%

FBH=3,22 cm3

FBH=3,34 cm 3

α/2

ABH=2,86 cm3

FBH=3,34 cm3

α/2

 3,34 − 3,3   2,86 − 3,3   − Φ =  0,08   0,08 

 3,22 − 3,3   2,98− 3,3   − Φ =  0,04   0,04 

β = Φ

β = Φ

Φ (0,5 ) − Φ (− 5,5 ) = 69,15%

σx =

0,08 = 0,04 4

= Φ (− 2) − Φ (− 8 ) = 2,28%

Készítette: Erdei János

Készítette: Erdei János

Attól függően, hogy a feltételezésünk (hipotézisünk) mire vonatkozik, a statisztikai próbák két csoportját különböztethetjük meg. Ha a vizsgált valószínűségi változó eloszlása ismert, de ismeretlen paraméter(eke)t tartalmaz, akkor a hipotézisvizsgálat az ismeretlen paraméter(ek)re irányul. (Például a Gauss eloszlás µ paraméterére, azaz az eloszlás várható értékére.) Ekkor paraméteres próbáról beszélünk. Ha az eloszlás típusa nem ismert, akkor a feltevés magára az eloszlásra vonatkozik. (Például két vagy több valószínűségi változó eloszlása megegyezik-e; vagy feltehető-e, hogy a valószínűségi változó adott eloszlással írható le.) A hipotézisvizsgálatoknak ezt a csoportját nemparaméteres próbáknak nevezzük. A hipotézisvizsgálatok általános menetét röviden az alábbiakban vázolhatjuk: 1. Szakmai megfontolások alapján felállítjuk az igazolandó hipotézist, 2. Kiválasztjuk a legmegfelelőbb statisztikai próbát, 3. Felállítjuk az un. nullhipotézist – jelölése: H0 – (ez gyakran, főleg a paraméteres próbáknál, a szakmai feltételezés ellentéte) és az un. alternatív vagy ellenhipotézist – jelölése: H1. 4. A hipotéziseket úgy kell megfogalmazni, hogy egyszerre ne lehessenek igazak, így a nullhipotézisről hozott döntésünk közvetetten a H1-re vonatkozó döntést is jelent. Mind a null-, mind az ellenhipotézis lehet egyszerű és összetett hipotézis. Egy hipotézist egyszerűnek mondunk, ha fennállásának feltételezése a sokaság eloszlását egyértelműen meghatározottá teszi. Egyszerű hipotézisre példa: M(ξ)=µ=500°C, mert normális eloszlásról lévén szó, a szórást ismerjük, így µ értéke az eloszlást egyértelműen meghatározza. A 450°C<M(ξ)=µ<500°C állítás ellenben összetett hipotézis, mert a hipotézist mindazon σ szórású normális eloszlások kielégítik, amelyek várható értéke 450 és 500 között van. 5. A továbbiakban azt tételezzük fel, hogy a nullhipotézis egyszerű, az ellenhipotézis pedig mindig összetett. 6. Meghatározzuk az elsőfajú hibát (szignifikancia szintet), a mintanagyságot, és végrehajtjuk a mintavételt. 7. Meghatározzuk az előző pontban választott feltételek melletti elfogadási, ill. elutasítási (kritikus) tartományokat. Elfogadási tartománynak nevezzük azt a tartományt,

148

amelybe a nullhipotézis fennállása esetén α szignifikancia szint mellett a statisztikai jellemző számított értéke legalább ε=1-α valószínűséggel kerül. Az elutasítási tartomány viszont az, amelybe a nullhipotézis fennállása esetén, α szignifikancia szint mellett a jellemző számított értéke legfeljebb α valószínűséggel kerülhet. A kritikus tartomány lehet egyoldali vagy kétoldali (37. ábra). Kétoldali kritikus tartomány felvételére akkor kerül sor, ha a nullhipotézisben feltételezet helyzettől való eltérés ténye érdekel bennünket, s az eltérés iránya nem. Egyoldalú tartományt pedig akkor alkalmazunk, ha a H0-ban rögzített állapottól való meghatározott irányú eltérésre számítunk55. elfogadási tartomány

elutasítási tartomány

37. ábra: Kritikus tartományok egy- és kétoldali esetben

8. Meghatározzuk a próbához szükséges jellemző számított értékét. A becsléselmélethez hasonlóan a minta adataiból egy meghatározott összefüggés (próbafüggvény) felhasználásával meghatározunk egy számértéket, amely H0 és bizonyos kiindulási feltételek fennállása esetén adott elméleti eloszlást követ, így értéke csak kis valószínűséggel (α) esik a kritikus tartományba. 9. Megvizsgáljuk, hogy a jellemző számított értéke az elfogadási illetve az elutasítási tartományba esik-e, és ez alapján döntünk a nullhipotézis elfogadásáról (vagy elutasításáról (38. ábra)

Statisztikai Statisztikai próbák próbák elve elve f(f(χχ22))

22 2 P(χ << χχ222krit (α)|H P(χ (α)|H0 igaz) igaz) == 11- αα == εε szám P(χszám szám < χ krit krit (α)|H00 igaz) = 1- α = ε

DF DF (szabadsági (szabadsági fok) fok) αα

εε =1=1- αα

χχ22 szám szám

χχ22krit krit

χχ22 szám szám

χχ22

Készítette: Készítette:Erdei ErdeiJános János

38. ábra: Döntés a nullhipotézisről

55

Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996

149

10. Értelmezzük az előző pont eredményét a szakmai hipotézisre, és megtesszük a konkrét intézkedéseket a gyakorlatban, A hipotézisvizsgálat logikája szerint tehát azt vizsgáljuk meg egy adott próbával, hogy a mintából kapott eredmény eltérése a hipotézistől a véletlennek tulajdonítható-e, vagy az eltérést a ténylegesen fennálló különbség okozza. Ha a mintából számított érték az elfogadási tartományba esik, akkor az adott szignifikancia szinten, az adott minta (minták) alapján az eltérést a véletlennek tulajdonítjuk, azaz statisztikailag nem tartjuk szignifikánsnak. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy a statisztikailag szignifikáns eltérés nem azonos a gyakorlatilag jelentős eltéréssel. Lehet, hogy egy adott, vizsgált eltérésre mindkettő fennáll, de lehet, hogy csak az egyik. Előfordulhat tehát például, hogy egy statisztikailag szignifikáns eltérés gyakorlatilag nem minősül jelentősnek, ill. fordítva.

VIII.2 Illeszkedésvizsgálat χ2-próbával56 Az olyan statisztikai próbát, amelynek alapján arról döntünk, hogy valamely ξ valószínűségi változó F (tapasztalati) eloszlása lehet-e adott F0 (elméleti) eloszlásfüggvénnyel jellemzett eloszlás, illeszkedésvizsgálatnak nevezzük. Ilyenkor tehát a H0 nullhipotézis: H0: F = F0 Ha a nullhipotézis az eloszlás paramétereinek ismeretét is feltételezi, akkor tiszta illeszkedésvizsgálatról beszélünk. Ha viszont hipotézisünk csak az eloszlás jellegét (normalitás, exponencialitás stb.) tételezi fel, és a paramétereket a mintából kell becsülnünk, akkor becsléses illeszkedésvizsgálatot végzünk. Az illeszkedésvizsgálatra szolgáló próbák alkotják a nemparaméteres próbák egyik nagy csoportját. E próbák közül legelterjedtebb a χ2-próba és a Kolmogorov-próba. A χ2-próba mind diszkrét, mind folytonos eloszlások esetében alkalmazható, de nagy mintaelemszámot igényel. A próba segítségével azt tudjuk eldönteni, hogy adott szignifikancia szinten a tapasztalati gyakoriságok szignifikánsan eltérnek-e a feltételezett elméleti gyakoriságoktól, avagy az eltérés csupán a véletlen következménye. χ2-próbával történő illeszkedésvizsgálatnál az ún. próbastatisztikát (a számított értéket) az alábbi képlet szolgáltatja: r

( f i − Fi )2

i =1

Fi

χ =∑ 2

DF=r–l–l

ahol: DF: a szabadságfok, az eloszlás paramétere fi: a tapasztalati gyakoriság Fi: az elméleti gyakoriság l: a becsült paraméterek száma r: a kategóriák vagy osztályok száma

56

Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 1998

150

A Yates-féle korrekció: A korábbi fejezetekben láttuk, hogy amikor diszkrét adatokra folytonos eloszlások eredményeit alkalmazzuk, bizonyos folytonossági korrekciókat alkalmazhatunk. Hasonló korrekció létezik a χ2-eloszlás alkalmazása esetén is. Ez a korrekció 2 r ( f − F − 0,5) i i 2 a fenti egyenlet χ = ∑ alakú módosítását igényli. Általában csak DF=1 Fi i =1 szabadságfok esetén alkalmazzuk. Nagy minták esetén ugyanis a korrekcióval gyakorlatilag ugyanahhoz az eredményhez jutunk, mint korrekció nélkül, de a kritikus értékek körül bonyodalmak léphetnek fel. Kisebb minták esetén, amikor a várt gyakoriságok 5 és 10 közé esnek, legjobb, ha a χ2-nek mind a korrigált, mind a korrigálatlan értékét kiszámoljuk. Ha egy adott hipotézist tekintve mindkét érték alapján ugyanarra a következtetésre jutunk, akkor ritkán ütközünk nehézségekbe. Ha egymásnak ellentmondó következtetésre jutunk, akkor próbálkozhatunk a minta növelésével, vagy más módszert alkalmazhatunk57. Feladat: Hogyan lehet egy játékkockáról eldönteni, hogy szabályos-e?

Példa: A Tiszán egy adott időszakban levonuló árhullámok számát vizsgálva az elmúlt 68 év során, az alábbi eredményeket kapták: 30 év volt amikor nem volt árhullám, 25 olyan év volt, amikor 1 árhullám vonult le az adott időszakban, 9 év volt amikor 2 és 4 olyan év volt, amikor 3 vagy több árhullám következett be. Feltehető-e, hogy a folyón levonuló árhullámok száma modellezhető Poisson-eloszlással?58 árhullámok száma

0

1

2

3 v. több

gyakoriság [db]

30

25

9

4

λ=? nem ismerjük → a mintából kell becsülnünk Poisson-eloszlás esetén M(ξ)=λ ← x Mivel az elmúlt 68 év során a kérdéses időszakban összesen 55 árhullám volt: λ≈55/68 ≈ 0,8 Nullhipotézis felállítása: H0 = az árhullámok száma λ=0,8 paraméterű Poisson-eloszlású H1: az árhullámok száma nem λ=0,8 paraméterű Poisson-eloszlású

57 58

Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995 Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985

151

Mintavétel, adatok feldolgozása, kritikus érték meghatározása: Ha az árhullámok száma valóban λ≈0,8 paraméterű Poisson-eloszlással írható le, akkor annak valószínűsége, hogy az adott időszakban nem lesz árhullám (Poisson-eloszlás táblázatából) 0, 4493, hogy 1 árhullám vonul le: 0,3595, hogy 2: 0,1438, s hogy 3 vagy több (1-az eddigiek összege): 0,0474. Az elméleti gyakoriságok ebből már „automatikusan” adódnak, hiszen ha 0,4493 valószínűséggel nincs árhullám az adott időszakban, akkor ez elméletileg 68 év során összesen 68⋅0,4493 = 30,55 alkalommal következik be. Hasonló módon a többi elméleti gyakoriságot kiszámolva az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza: k

f(k)

pk

F(k)

0

30

0,4493

30,55

1

25

0,3595

24,45

2

9

0,1438

9,78

3 v. több

4

0,0474

3,22

Σ

68

1

68

DF=r-l-1=4-1-1=2 α=5% → táblázatból: χ2elm.=5,99 Számított érték meghatározása: 2 ( 30 − 30,55) χ = 2 sz

30,55

+

0,55 2 0,78 2 0,78 2 + + ≈ 0,27 24,45 9,78 3,22

A számított és a kritikus érték összehasonlítása: χ2elm.=5,99 >> χ2sz=0,27 Döntés a nullhipotézisről: Mivel a számított érték jóval kisebb, mint a kritikus – a számított érték az elfogadási tartományba esik –, ezért 95%-os megbízhatósági szinten nincs okunk a H0-t elutasítani. A folyón levonuló árhullámok száma modellezhető λ=0,8 paraméterű Poisson-eloszlással.

VIII.3 χ2-próba alkalmazása homogenitásvizsgálatra Homogenitásvizsgálat segítségével eldönthetjük, hogy két valószínűségi változó azonos eloszlásúnak tekinthető-e. A közösnek feltételezett eloszlásfüggvény a próbában nem szerepel, s annak jellegére vonatkozóan semmilyen kikötésünk nincs. A nullhipotézisünk természetesen az, hogy a valószínűségi változó két sokaságon belüli eloszlása azonos, s az alternatív hipotézisünk ennek ellentéte, hogy a két szóban forgó eloszlás nem azonos. Diszkrét valószínűségi változó esetén a próba közvetlenül vagy csoportképzéssel elvégezhető, míg folytonos valószínűségi változó esetén az adatokat 152

osztályokba kell sorolnunk. Célszerű az adatokat táblázatos formába rendezni. A táblázat elemi részeit celláknak nevezzük, amelyek bal felső sarkában a tapasztalati, jobb alsó sarkában az elméleti gyakoriságokat szokás feltüntetni. A sor, ill. oszlop szerint összegzett gyakoriságokat marginális vagy peremgyakoriságoknak nevezzük. Az így összeállított táblázatot kontingencia-táblázatnak nevezzük. A két minta nagysága nem kell, hogy azonos legyen, de a vizsgált változó szerint mindkét mintán belül azonos osztályokat kell képezni. A próbastatisztika: r

2

χ = ∑∑ 2

(f

i =1 j=1

ahol:

Fij =

− Fij )

2

ij

Fij

f i• ⋅ f • j

az elméleti gyakoriság N r : a sorok száma fi• : i-edik sor peremgyakorisága (sorösszege) f•j : j-edik oszlop peremgyakorisága (oszlopösszege) N : mintaszám

DF=(r-1)·(s-1), ám mivel s=2 minden esetben, így DF=r-1 Példa: Az engedéllyel rendelkező budai és pesti virágárusok közül egymástól függetlenül egy-egy mintát vettek a virágárak vizsgálata céljából. A két mintába került árusoktól - többek között - a rózsa szálankénti árát is megkérdezték. Vizsgáljuk meg 1%-os szignifikancia szinten annak a hipotézisnek a helyességét, hogy a rózsaárak nagyság szerinti eloszlása a budai és pesti virágárusok körében azonos. Az adatokat a következő táblázat tartalmazza59. Ár [Ft/db] -55 56-65 66-75 76-85 86-95 96-105 106-

budai [db] 3 22 18 15 6 6 2

pesti [db] 5 6 18 21 18 10 6

Nullhipotézis felállítása: H0: Fbudai = Gpesti H1: Fbudai ≠ Gpesti Mintavétel, adatok feldolgozása, kritikus érték meghatározása: n1=72 n2=84 DF=r-1=7–1=6 χ2 krit=16,8

N=156

r=7 α=0,01

Sor- és oszlopösszegek kiszámítása: 59

Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996

153

sorösszegek: f1• =8; f2• =28; f3• =36 stb.; az oszlopösszegek: f•1⋅ =72; f•2 =84 Elméleti gyakoriságok meghatározása: F11= 8⋅72/156=3,69 F12= 8⋅84/156=4,31 F21= 28⋅72/156=12,92 stb., az eredményeket az alábbi kontingencia táblázat mutatja: 3

5

8

3.69 22

4.31 6

28

12.92 18

15.08 18

36

16.62 15

19.38 21

36

16.62 6

19.38 18

24

11.08 6

12.92 10

16

7.38 2

8.62 6

8

3.69

72

4.31

84

156

Számított érték meghatározása: χ2 szám=(3-3,69)2/3,69+0.111+6.375+5.465+0.115+0.099+0.157+0.135+2.327+1.995+ +0.260+0.223+0.776+0.665=18,83 A számított és a kritikus érték összehasonlítása: χ2 szám=18,83 > χ2 krit=16,8 Döntés a nullhipotézisről: A számított érték a kritikus tartományba esik, ezért 1%-os szignifikancia szinten a két sokaság egyezését elutasítjuk.

VIII.4 χ2-próba alkalmazása függetlenségvizsgálatra Az a kérdés, hogy két valószínűségi változó között van-e sztochasztikus kapcsolat vagy sem, kontingencia táblázat segítségével és χ2-próba alkalmazásával dönthető el. A χ2-próbával történő függetlenségvizsgálat valójában a diszkrét – minősítéses – ill. csoportosított (kategorizált) folytonos változók közötti kapcsolat vizsgálatára használható. Két (v. több) folytonos valószínűségi változó közötti kapcsolat vizsgálata, ill. a kapcsolat jellegének meghatározása a korreláció – és regresszióelemzés területe. A próba során hasonlóan járunk el, mint a homogenitásvizsgálatnál, „csak” a kontingencia táblázat mérete változ(hat)ik, nem feltétlenül két oszlopból áll (homogenitásvizsgálatnál mindig s=2 volt). Újabb különbség – bár a próba elvégzésében nem okoz eltérést –, hogy a homogenitásvizsgálatnál értelemszerűen ugyanazt a valószínűségi változót (pl. rózsa ára) hasonlítottuk össze két minta alapján, míg a függetlenségvizsgálatnál természetesen két teljesen különböző változó közötti kapcsolatot vizsgálunk (pl. van-e összefüggés a szem és a haj színe között, van-e kapcsolat a szülők iskolai végzettsége és a gyerekek iskolai

154

végzettsége között stb.). A nullhipotézisünk természetesen az, hogy a két valószínűségi változó között nincs sztochasztikus kapcsolat, a két változó független egymástól, s az alternatív hipotézisünk ennek ellentéte, azaz a két változó nem független egymástól, közöttük sztochasztikus v. függvénykapcsolat van. Az egyes cellák elméleti gyakoriságait a marginális értékek felhasználásával becsüljük. A próbastatisztika: r

s

χ = ∑∑ 2

(f

ij

i =1 j =1

− Fij )

2

Fij

DF=(r-1)·(s-1) Az elméleti gyakoriságok: Fij = ahol

f i• ⋅ f • j N

,

s: az oszlopok száma, a többi jelölés pedig megegyezik a homogenitásvizsgálatnál (ld. előző pont) leírtakkal.

155

Példa: Egy szociológiai vizsgálatban a mintába került személyektől megkérdezték a saját és szüleik iskolai végzettségét. A megkérdezettek és az apjuk iskolai végzettsége közötti összefüggést a következő táblázat tartalmazza. Vizsgáljuk meg 1%-os szignifikancia szinten, azt a nullhipotézist, hogy a megkérdezettek és apjuk iskolai végzettsége független egymástól60.

Apa iskolai végzettsége Befejezetlen alapfokú Befejezett alapfokú Középfokú Felsőfokú

Megkérdezett iskolai végzettsége Bef.-tlen Bef.-ett KözépFelsőalapfokú alapfokú fokú fokú 429

441

489

76

7

92

285

54

26 0

95 16

468 69

107 69

Nullhipotézis felállítása: H0: az iskolai végzettségek függetlenek egymástól H1: az iskolai végzettségek nem függetlenek egymástól Mintavétel, adatok feldolgozása, kritikus érték meghatározása N=2723 s=4 DF=(r-1)·(s-1)=3⋅3=9 χ2 krit=21,7

r=4 α=0,01

Sor- és oszlopösszegek kiszámítása: sorösszegek: f1• =1435; f2• =438; stb., az oszlopösszegek: f•1⋅ = 462; f•2 =644, stb. Elméleti gyakoriságok meghatározása: F11=462·1435/2723=244 F21=462·438/2723=74 : F12=644·1435/2723=339 F22=644·438/2723=104 stb.

60

Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996

156

Az eredményeket az alábbi kontingencia táblázat mutatja: Apa iskolai végzettsége Befejezetlen alapfokú Befejezett alapfokú Középfokú Felsőfokú Σ

Bef.-tlen alapfokú 429 244 7 74 26 118 0 26 462

Megkérdezett iskolai végzettsége Bef.-ett KözépFelsőalapfokú fokú fokú 441 489 76 339 691 161 92 285 54 104 211 49 95 468 107 165 335 78 16 69 69 36 74 18 644 1311 306

Σ 1435 438 696 154 2723

Számított érték meghatározása: χ2 szám=(429-244)2/244+…+2,8=710,4 A számított és a kritikus érték összehasonlítása: χ2 szám=710,4 >> χ2 krit=21,7 Döntés a nullhipotézisről: A számított érték a kritikus tartományba esik, sokkal nagyobb, mint a kritikus érték, ezért 1%os szignifikancia szinten a két változó függetlenségét elutasítjuk.

VIII.4.a Minőségi ismérvek asszociációja61 A függetlenség, vagy a kapcsolat léte és szorossága a minőségi ismérvek közötti asszociációval vizsgálható. Egy kontingencia táblához az r =

χ2

módon definiálhatjuk N (q − 1) a minőségi ismérvek (vagy osztályozások) közötti Cramer-féle asszociációs együtthatót, ahol q=min(r,s). Az együttható 0 és 1 közötti értékeket vesz fel. Minél közelebb esik az érték a 0hoz, annál gyengébb, minél közelebb esik 1-hez, annál erősebb a függés a két eseményrendszer között. Példa: Az előző példa adatai alapján határozzuk meg az asszociációs együtthatót. N=2723 χ2 szám=710,4 r=s=4 → q=4 r=

61

χ2 N (q − 1)

=

710,4 = 0,295. 2723(4 − 1)

Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995

157

IX. Hipotézisvizsgálatok: paraméteres próbák Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet

Matematikai statisztika

Axiómák, alaptételek

Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek

Hipotézisvizsgálat

Elméleti eloszlások

Összefüggésvizsgálat

158

Az előző fejezetben elmondottak alapján, a paraméteres próbák szigorúbb alkalmazási feltételeket igényelnek (hiszen például eleve feltételezik az adott elméleti eloszlás ismeretét), ezért kevésbé széleskörűen alkalmazhatók. Általában arányos, esetleg intervallum skáláról származó adatokkal dolgozhatunk velük, viszont erősségük (a hamis nullhipotézis elutasításának valószínűsége) nagyobb, mint a nemparaméteres próbáké. A paraméteres próbák végrehajtásának általános menete ill. az elkövethető kétféle hiba is (első-, másodfajú hiba) azonos az előző fejezetben tárgyaltakkal. Egy-egy konkrét hipotézisvizsgálat elvégzésére használható próbák csak a vizsgálat tárgyát képező nullhipotézisben, az alkalmazási feltételekben, a próbafüggvényben és annak eloszlásában térnek el egymástól, így a próbák elméletének, sajátos logikájának megismerése után gyakorlatilag bármilyen hipotézisvizsgálatot el tudunk végezni, csak az adott próba alkalmazási feltételeire kell kellő figyelmet fordítanunk. A továbbiakban ennek figyelembevételével tárgyaljuk a paraméteres próbákat. E próbák közül elsősorban a minőségügyi eljárásokban leggyakrabban alkalmazott, a normális eloszlás paramétereire vonatkozó statisztikai próbákat tekintjük át. A próbákat többféle szempont szerint csoportosíthatjuk. Elsősorban aszerint, hogy mire vonatkozik a nullhipotézis (szórásra, várható értékre), hány és mekkora minta szükséges a vizsgálathoz (egy-, két- ill. többmintás próbák) és két mintás esetben milyen a minták közötti kapcsolat (független és páros próbák).

IX.1 Egymintás próbák Az egymintás próbák mindig egy adott sokaság valamely jellemzőjére vonatkozó feltevések helyességének ellenőrzésére szolgálnak. Ennek érdekében a rendelkezésre álló egyetlen mintából meghatározott jellemzőt (átlag, tapasztalati szórás) valamely feltételezett, vagy kívánatosnak tartott állapothoz viszonyítjuk. Egymintás (átlag) próbával ellenőrizhetjük például, hogy a sör töltési térfogata az előírt 500 ml (várható érték) körül ingadozik-e. Egymintás próbáknál a nullhipotézisünk az, hogy az adott elméleti jellemző (a várható érték vagy az elméleti szórás) egyenlő a feltételezett értékkel. Az előző példánál tehát a nullhipotézist így írhatjuk fel: H0: M(ξ)=µ=500 ml. Az alternatív hipotézis egy- (pl. µ>500 ml vagy µ<500 ml) vagy kétoldali (pl. µ≠500 ml) is lehet.

IX.1.a Várható értékre irányuló próbák A feltételek függvényében több próbát is alkalmazhatunk. Nullhipotézisünk természetesen minden esetben: H0: µ=m0, vagyis a várható érték egy adott m0 értékkel egyenlő. Abban az esetben, ha ismerjük az alapsokasági szórást (σ0), vagy ha nem ismerjük, de nagy mintával dolgozunk (n>30 és a σ0-t a korrigált tapasztalati szórással becsüljük), egymintás z-próbával, ha nem ismerjük az alapsokasági szórást, és kis mintánk van, akkor egymintás t-próbával vizsgálhatjuk a fenti nullhipotézist. Szakmai feltevésünktől függően, mindkét próba esetén alkalmazhatunk egy- vagy kétoldali ellenhipotézist. A két statisztikai próbával kapcsolatos alapismereteket az alábbi táblázat foglalja össze.

159

z-próba egyoldali

t-próba

kétoldali

Próbastatisztika Elutasítási tartomány Feltételek

kétoldali

µ>m0 (µ<m0)

µ≠m0

µ=m0

H0 H1

egyoldali

µ>m0 (µ<m0)

µ≠m0 x−µ x−µ z sz = ≈ * σ0 n s n

zsz>zα zsz<-zα/2 vagy (zsz<-zα) zsz>zα/2 σ0 ismert v. n>30

t sz =

x−µ s* n

tsz>tα (tsz<-tα)

(DF=n-1) tsz<-tα/2 vagy tsz>tα/2

19. Táblázat: Egymintás z- és egymintás t-próba

Példa: A VII.3.a alfejezetben bemutatott példában a ROM chipek gyártása során a kemence hőmérsékletére vonatkozó n=8 elemű minta alapján, átlag hőmérséklet 492°C-ra adódott. Korábbi vizsgálatok alapján tudjuk, hogy a folyamatban a maximum hőmérsékletek elméleti szórása 12°C. Feltehető-e, hogy a maximum hőmérséklet 500°C?62 n=8 x = 492°C σ0=12°C H0: µ=500°C H1: µ≠500°C ismert az elméleti szórás → z-próbát használhatunk α=0,05 → táblázatból leolvasott érték: zα/2=1,96 elfogadási tartomány: -1,96
492 − 500 =-1,89 12 8 zsz az elfogadási tartományba esik, H0-t 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk a próbastatisztika értéke: z sz =

Szakmai tapasztalatunk alapján úgy gondoljuk, hogy a kemence maximum hőmérséklete kisebb, mint 500°C. Vizsgáljuk meg ezt a feltevésünket, az előző minta adatai alapján! H0: µ=500°C H1: µ<500°C A próbastatisztika értéke természetesen nem változott: zsz=-1,89. α=0,05 → zα=-1.645 elfogadási tartomány: -1,645
Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 198

160

Példa: A Szovjetunió hagyományos fegyverzet terén szerzett előnyének csökkentésére az USA Védelmi Minisztériuma kiválasztott egy, a Chrysler Corporationnél tervezett új harckocsi típust. Kiterjedt vizsgálatok azt mutatták, hogy az új harckocsi átlagosan 45 mérföld/órás sebességet képes elérni. A szovjetek leggyorsabb tankjával (T-72) való összehasonlítás érdekében a Védelmi Minisztérium adatokat szerzett n=16 T-72-es tank maximum sebességéről, s az alábbi statisztikai eredményeket kapták: az átlag sebesség 43,5 mérföld/óra, s*=3,0 mérföld/óra szórással. Feltehető-e α=5%-os szignifikancia szinten, hogy a T-72-esek maximális sebessége kisebb az új amerikai harckocsik sebességénél, azaz 45 mérföld/óránál?63 n=16 x = 43,5m / h s*=3,0 m/h H0: µ=45 m/h H1: µ<45 m/h Nem ismert az elméleti szórás, n<30 (s feltételezve természetesen, hogy a maximális sebesség normális eloszlású) → t-próbát használhatunk α=0,05, DF=n-1=16-1=15 → Elfogadási tartomány: -1,753 < tsz

tα=-1,753

43,5 − 45 =-2,00 3,0 16 tsz az elutasítási tartományba esik, H0-t 5%-os szignifikancia szinten nem fogadjuk el. A próbastatisztika értéke: t sz =

IX.1.b Szórásnégyzetre vonatkozó próba A normális eloszlású sokaság varianciájára (szórására) vonatkozó H0: σ2=σ02 hipotézist a ( n − 1)s * 2 2 próbastatisztikával vizsgálhatjuk, ahol n a mintaszám, s* pedig a mintából χ sz = 2

σ0

számolt korrigált tapasztalati szórás. A próba alkalmazása során különösen fontos a sokaság normalitására vonatkozó feltétel betartása. Ekkor, H0 fennállása esetén a fenti próbafüggvény n-1 szabadságfokú χ2-eloszlást követ. A nullhipotézist egy- és kétoldali alternatívával szemben is vizsgálhatjuk. Figyelembe véve a χ2-eloszlás már ismert sajátosságait, a próba kritikus tartományai az alábbiak: 2 H 1 : σ 2 > σ 02 ⇒ χ szám > χα2 2 H 1 : σ 2 < σ 02 ⇒ χ szám < χ12−α 2 2 H 1 : σ 2 ≠ σ 02 ⇒ χ szám < χ α2 / 2 vagy χ szám > χ12−α / 2

63

Sincich, T.:Statistics by Example, Dellen Publishing Company, San Fransisco, 1990

161

Példa: A sör töltési folyamatában a töltési szintre vonatkozó szabványelőírások betartása miatt – a betöltött mennyiség mellett –, fontos paraméter a töltési szint ingadozása is. Ezért a minőségbiztosítási osztály előírásai szerint a töltési szint szórásának 2 ml alatt kell lennie. Ennek ellenőrzésére a töltőüzem minőségellenőre n=10 elemű mintát vett a folyamatból és kiszámolta a minta szórását: s*=2,5 ml. Feltehető-e 5%-os szignifikancia szinten, hogy a töltési folyamat szórása nem éri el 2 ml-t? n=10 s*=2,5 ml

→

s*2=6,25 ml2

H0: σ2=4 ml2 (valójában a szakmai hipotézisünk σ2≤4 ml2) H1: σ2>4 ml2 α=0,05, DF=n-1=10-1=9 → 2 Elfogadási tartomány: χ sz < 16,9

χ2α=16,9

9 ⋅ 6,25 =14,06 4 χ2sz az elfogadási tartományba esik, H0-t 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk.

A próbastatisztika értéke: χ sz2 =

IX.2 Két- és többmintás próbák A két- és többmintás próbák – ideértve a meglehetősen speciális páros mintás próbákat is – annak a kérdésnek a vizsgálatára használhatók, hogy két vagy több – meghatározott szempontból eltérő (pl. különböző műszakok, gépek stb.) – sokaságban a vizsgált paraméterek (várható értékek, szórások) is különböznek-e egymástól. Míg tehát az egymintás próbák valamilyen feltételezett, előírt értékhez viszonyítják az egyetlen sokaságot, addig a többmintás próbák két vagy több sokaság egymással való összehasonlítására szolgálnak64. Kétmintás (átlag) próbával ellenőrizhetjük például, hogy két töltőgép azonos mennyiséget tölt-e a söröspalackokba. Többmintás próbáknál a nullhipotézisünk az, hogy az adott elméleti jellemzők (a várható értékek vagy az elméleti szórások) egyenlők egymással. Az előző példánál tehát a nullhipotézist így írhatjuk fel: H0: µ1=µ2. Az alternatív hipotézis általában egy vagy kétoldali is lehet, de néhány próbánál a gyakorlatban legtöbbször csak egy adott alternatívával szembeni vizsgálatot végzünk.

64

Sincich, T.:Statistics by Example, Dellen Publishing Company, San Fransisco, 1990

162

IX.2.a Két független minta várható értékének összehasonlítása A minta függetlensége azt jelenti, hogy az egyik sokaságban egy elem mintába kerülése ill. be nem kerülése semmilyen módon nem befolyásolja a másik sokaságban az elemek mintába kerülésének valószínűségét. Az egymintás esethez hasonlóan ebben az esetben is több próba közül választhatunk. Nullhipotézisünk természetesen minden esetben: H0: µ1=µ2, vagyis a két várható érték egyenlő. Abban az esetben, ha ismerjük az alapsokasági szórásokat (σ1 és σ2), vagy ha nem ismerjük, de nagy mintával dolgozunk (n1>30 és n2>30, s az elméleti szórásokat a korrigált tapasztalati szórással becsüljük), kétmintás z-próbával, ha nem ismerjük az alapsokasági szórást, de feltehető a szórások egyezése, akkor kétmintás t-próbával vizsgálhatjuk a fenti nullhipotézist. Ha mindkét sokaság normális eloszlású, az elméleti szórásokat nem ismerjük, de a szórások különböznek egymástól, akkor a kétmintás t-próba nem alkalmazható, helyette a Welchpróbát használhatjuk. Szakmai feltevésünktől függően, mindhárom próba esetén alkalmazhatunk egy- vagy kétoldali ellenhipotézist. Az első két statisztikai próbával kapcsolatos alapismereteket az alábbi táblázat foglalja össze. z-próba egyoldali

t-próba

kétoldali

kétoldali

µ1>µ2 (µ1<µ2)

µ1≠µ2

µ1=µ2

H0 H1

µ1>µ2 (µ1<µ2)

Próbastatisztika

z sz =

Elutasítási tartomány Feltételek

egyoldali

µ1≠µ2 x1 − x 2

σ 12

n1

2 +σ2

*

t sz =

x1 − x 2

s  1 + 1  n2   n1

**

2 p

n2

zsz>zα zsz<-zα/2 vagy (zsz<-zα) zsz>zα/2 σ1 és σ2 ismert v. n1 és n2>30

tsz>tα (tsz<-tα)

tsz<-tα/2 vagy tsz>tα/2

σ1=σ2

20. Táblázat

*: ha elméleti szórások nem ismertek, de n1 és n2>30, akkor σ12≈s1*2és σ22≈s2*2 **: ahol s 2p =

(n1 − 1) s1*2 + (n 2 − 1) s 2*2 , DF=n1+n2-2 n1 + n 2 − 2

163

Példa: A Fogyasztóvédelmi Felügyelőség két fajta cigaretta („A” és „B”) szén-monoxid (CO) emisszióját hasonlította össze. A minták statisztikai adatait az alábbi táblázat tartalmazza. Hasonlítsuk össze, hogy a két fajta cigaretta CO kibocsátása eltér-e egymástól? „A”

„B”

Mintaszám

11

10

Átlag

16,4 mg

15,6 mg

Korr. tap. szórás

1,2 mg

1,1 mg

H0: µ1=µ2 H1: µ1≠µ2 Az elméleti szórásokat nem ismerjük → kétmintás t-próbát használhatunk (egyelőre tételezzük fel, hogy a két sokaságban a szórások megegyeznek, de ezt természetesen a későbbiekben egy statisztikai próbával fogjuk ellenőrizni) α=0,02 DF=11+10-2=19 → tα/2=2,539 Elfogadási tartomány: -2,54
(

)

Példa: Két gyártó egy-egy kávéfajtájának kiskereskedelmi egységárát (1lb-ra vonatkoztatva) szeretnénk összehasonlítani. Véletlenszerű mintát véve országszerte e kávéfajtákat áruló boltok közül, s feldolgozva az adatokat, a kapott statisztikai jellemzőket a következő táblázat mutatja: „A” „B” Mintaszám

63

58

Átlag

$2,98

$2,93

Korr. tap. szórás

$0,11

$0,07

1%-os szignifikancia szinten feltehető-e, hogy az „A” típusú kávé drágább, mint a „B”? H0: µ1=µ2 H1: µ1>µ2 Az elméleti szórásokat nem ismerjük, de a mintaszám elég nagy mindkét mintában → kétmintás z-próbát használhatunk α=0,01→ zα=2,33 Elfogadási tartomány: 2,33>zsz

164

A próbastatisztika értéke: z sz =

2,98 − 2,93 0,112 63

2 + 0,07

= 3,01 58

zsz az elutasítási tartományba esik, H0-t 1%-os szignifikancia szinten nem fogadjuk el Welch-próba65 Mint korábban is utaltunk rá, ha a két alapsokasági szórás ismeretlen, s ráadásul nem tételezhető fel a két szórás egyezése (ill. az ezt vizsgáló statisztikai próba elutasítja a szórások egyezését, ld. később), akkor nem alkalmazhatjuk a kétmintás t-próbát. Ilyen esetekben a két sokaság várható értékének összehasonlítására a Welch-próbát használhatjuk, melynek próbastatisztikája: x1 − x 2 tf = . s1*2 s2*2 + n1 n2

s2*2 Az f paraméter értékét a következő módon számíthatjuk ki. Legyen c =

f =

*2 1

s

n1

n2 s *2 + 2

, ekkor

n2

(n1 − 1)(n2 − 1) . Ha a H0 hipotézis igaz, akkor a tf statisztika közelítőleg DF=f (n1 − 1)c 2 + (n2 − 1)(1 − c )2

szabadságfokú Student-(t-) eloszlású, vagyis adott ε = (1-α) megbízhatósági szinthez a ttáblázatból az f szabadságfoknak megfelelő kritikus érték könnyen meghatározható. Ha mindkét minta elemszáma elég nagy (>40), akkor a tf statisztika közelítőleg normális eloszlású, azaz a kritikus értékek a normális eloszlás táblázatából kereshető ki. Példa: Tegyük fel, hogy a cigaretták CO emissziójának vizsgálatakor a szórások nem azonosak (ld. fentebb a Példa-1-et). Végezzük el így az összehasonlítást! H0: µ1=µ2 H1: µ1≠µ2 Az elméleti szórásokat nem ismerjük, nem azonosak → Welch-próba α=0,02 DF=f = ? c=(1,12/10)/(1,22/11+1,12/10)=0,48 f=(11-1)(10-1)/((11-1)0,482+(10-1)(1-0,48)2)=18,99≈19 tα/2=2,54 Elfogadási tartomány: -2,54
65

Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985

165

tf =

16,4 − 15,6 =1,59 0,131 + 0,121

A próbastatisztika (tf) értéke tsz elfogadási tartományba esik, H0-t 2%-os szignifikancia szinten elfogadjuk. Figyeljük meg, hogy mind a kritikus, mind a számított értékre ugyanazt az eredményt kaptuk, mint az első példában. Valószínűleg a szórások különbözőségére vonatkozó feltételezésünk nem helytálló, így a kétmintás t-próba is alkalmas volt a vizsgálat elvégzésére.

IX.2.b Páros minták várható értékének összehasonlítása Az eddig tárgyalt kétmintás statisztikai próbák alkalmazásánál fontos feltétel volt a minták függetlensége. Ez a feltétel a gyakorlatban legtöbbször teljesül, de vannak bizonyos speciális esetek, amikor a két minta elemei között van valamilyen kapcsolat. Az ún. páros minták esetén a mintaelemek nem függetlenek egymástól, „van bennük valamilyen közös tényező” (pl. ugyan az a mérőeszköz, ugyan azt az alkatrészt, embert stb. vizsgáljuk). Páros mintáknál tehát az egyik minta elemeinek kiválasztása maga után vonja a másik minta elemeinek kiválasztását, s így a két minta elemei nem tekinthetők egymástól függetleneknek. Az ilyen páros (összefüggő) sokaságokban a két sokaság (s ebből következően természetesen a minta) elemei egymással kölcsönös és egyértelmű megfeleltetésbe hozhatók. A páros elnevezés onnan származik, hogy a két sokaság egymáshoz rendelt egységeinek összessége egy elempárokból álló, egyetlen sokaságnak is tekinthető. Ha például két iskola tanulóinak testsúlyát szeretnénk összehasonlítani, akkor csak nehezen és mesterkélten képzelhető el a tanulók párokba rendezése, márcsak a két iskola létszámának különbsége miatt is. Ugyanakkor, ha egy új fogyókúra eljárás hatékonyságát szeretnénk értékelni, akkor célszerű ugyanazon személyek testsúlyát megmérni két időpontban, a fogyókúra előtt és után. Ebben az esetben annak megítélésére, hogy valóban csökkent-e a fogyókúra után a testsúly, már nem véletlenszerűen választunk a fogyókúrázók közül, az első minta elemei meghatározzák a második mintát is. Természetesen az összefüggő sokaságokból is vehetünk független mintákat, de ez általában nem célszerű, mert így elveszítjük az elempárok egyenkénti összehasonlításával nyerhető információt. Mivel a páros minták elemei egymásnak megfeleltethetők, így természetesen a két minta nagysága azonos. Az ilyen mintákat rendszerint oly módon kezeljük, hogy az egymásnak megfeleltethető elemeik különbségét (vagy hányadosát) képezzük, majd a továbbiakban e különbségeket (vagy hányadosokat) már egyetlen minta elemeinek tekintjük66. Páros minták várható értékeinek összehasonlítására is ezt az eljárást követjük. Képezzük a két minta különbségét, s ha a kapott eltérések eloszlása normális, akkor kiszámolva a különbségek átlagát és tapasztalati szórását, az így kapott minta alapján végezhetünk egy egymintás t-póbát annak megállapítására, hogy a különbségek szignifikánsan eltérnek-e nullától. (Természetesen nem csak a nullától való eltérést, azaz a két sokaság várható értékének egyezését, hanem egy adott különbség meglétét is vizsgálhatjuk.) Képezve tehát páronként a különbségeket (di), majd a különbségek átlagát ( d ) és korrigált tapasztalati szórását (sd), a nullhipotézisünket, vagyis a két várható érték egyezését

66

Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985

166

(H0: µ1=µ2), az alábbi próbastatisztikával vizsgálhatjuk: t sz =

d sd

. Ha H0 igaz, tsz értéke

n DF=n-1 szabadságfokú t-eloszlást követ. A H0 hipotézis vizsgálatát egy- és kétoldali alternatívával szemben is vizsgálhatjuk.

Példa: Egy sportcipőket gyártó cég szeretné meghatározni, hogy egy új típusú cipő („A”) élettartama nagyobb-e az előzőtől („B”)? Felkértek tíz kocogót, hogy teszteljék a termékeket. Az eredményeket (az élettartamokat hetekben mérve) a következő táblázat mutatja (az élettartamok normális eloszlást követnek)67:

„A”cipő „B” cipő

1. 27 23

2. 35 28

3. 19 16

4. 39 31

Kocogó 5. 6. 7. 34 32 15 38 30 17

8. 26 22

9. 18 15

10. 17 16

95%-os megbízhatósági szinten vizsgálva feltehető-e az élettartartamok különbözősége? H0: µ1=µ2 H1: µ1>µ2 n=10 Képezzük az eltéréseket : di

1. 4

2. 7

3. 3

4. 8

5. -4

6. 2

7. -2

8. 4

9. 3

10. 1

Az eltérések átlaga: d = 2,6 A különbségek korrigált tapasztalati szórása (sd): 3,66 α=0,05 DF=n-1=10-1=9 Elfogadási tartomány: tsz<1,83

→

tα=1,83

A próbastatisztika értéke: tsz=2,6/(3,66/√10)=2,25 Mivel tsz az elutasítási tartományba esik, H0-t 5%-os szignifikancia szinten nem fogadjuk el, azaz az új cipők élettartama valóban nagyobb, mint a régieké.

67

Sincich, T.:Statistics by Example, Dellen Publishing Company, San Fransisco, 1990

167

IX.2.c Két szórásnégyzet (szórás) összehasonlítása68 Szórásokra vonatkozó próbákat szórásnégyzetek segítségével végezhetünk. A szórásnégyzetekre vonatkozó próbák a normális alapeloszlástól való eltérésre sokkal érzékenyebbek, mint az átlagpróbák. Általános esetben – mivel a varianciák azonossága a várható értékek összehasonlítására leggyakrabban alkalmazott kétmintás t-próba feltétele – a szórásokra vonatkozó próbákat az átlagpróbák előtt célszerű elvégezni. Két független, ismeretlen várható értékű és szórású, normális eloszlást követő valószínűségi változó varianciáinak azonosságára vonatkozó hipotézisünket az ún. F-próbával ellenőrizhetjük. A két alapeloszlásból vett n1 és n2 elemű minták s1*2 illetve s 2*2 korrigált varianciái torzítatlan becslései az alapeloszlás σ 12 illetve σ 22 varianciáinak. A fenti feltételek s *2 mellett a H0: σ12=σ22 nullhipotézist az F = 1*2 próbastatisztikával vizsgálhatjuk, ahol s2 *2 *2 s1 >s2 . Ha H0 és a kiindulási feltételek teljesülnek, akkor az így képzett F érték az ún. FisherSnedecor féle F-eloszlást követi, amely a számláló (DF1) és a nevező (DF2) szabadságfokától (DF1,2=n1,2 -1) függ. A számítást mindig úgy kell végeznünk, hogy a számlálóban a nagyobb variancia szerepeljen. Az F próbát ily módon mindig egyoldali próbaként végezzük, hiszen azt vizsgáljuk, hogy s1*2 szignifikánsan nagyobb-e s2*2 értéknél, vagyis ellenhipotézisünk H1: σ12>σ22. (Megjegyezzük, hogy az F-próbát baloldali és kétoldali alternatíva esetén is elvégezhetjük, de ez most nem témája jegyzetünknek.) Táblázataink is egyoldali próbára vonatkoznak (mégpedig Fα, DF1, DF2, kritikus értékeit adják meg). Példa: Vizsgáljuk meg, hogy a korábbi „cigarettás” példánál valóban feltételezhető-e a szórások egyezése? Adataink az alábbiak voltak: „A” „B” Mintaszám

11

10

Átlag

16,4 mg

15,6 mg

Korr. tap. szórás

1,2 mg

1,1 mg

H0: σ12=σ22 H1: σ12>σ22 α=0,05 DF1=11-1=10 mivel az első („A” jelű) minta szórása a nagyobb, ez kerül majd a számlálóba, DF2=10-1=9 → Fα=3,14 Elfogadási tartomány: Fsz<3,14 A próbastatisztika értéke: Fsz=1,22/1,12=1,19 Mivel Fsz az elfogadási tartományba esik, H0-t 5%-os szignifikancia szinten elfogadjuk, azaz az alapsokasági szórások nem különböznek egymástól, „jogosan” használtuk a kétmintás tpróbát. 68

Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 1998

168

IX.2.d Több szórás összehasonlítására vonatkozó próbák69 Az F-próbát csak abban az esetben alkalmazzuk, ha két minta szórását hasonlítjuk össze. Ha több normális eloszlásból származó mintát kell összehasonlítanunk, akkor az ún. Bartlettpróbát vagy Cochran-próbát alkalmazzuk. Bartlett-próba Legyen r darab mintánk és a megfelelő mintadarabszámok n1, n2, ...., nr, a j-edik minta k-adik eleme xjk, a j-edik minta átlaga x j , korrigált tapasztalati szórásnégyzete s *j 2 . Számítsuk ki a következő mennyiséget: r  2,3026  2 *2 χ =  f log s − ∑ (n j − 1) log s j  , ahol A  j =1  2

r

f = ∑ n j − r, s 2 = j =1

1 f

r

∑ (n j − 1) s *j 2

A = 1+

j =1

 r  1  1 1 − . 3(r − 1)  n f  j =1 j −1 

∑

A fenti képletből nyert χ2 értéket a χ2-táblázatban az r-1 szabadságfokhoz tartozó kritikus (a megállapodás szerinti α szinthez tartozó) elméleti χ2 értékekkel kell összehasonlítani. Ha a táblázatban talált χ2 érték nem kisebb, mint a képlettel számított, akkor megmaradhatunk a nullhipotézisünk mellett (amely természetesen a szórások egyezését állítja), ellenkező esetben a próba szignifikáns eltérésre mutat (azaz legalább egy szórás szignifikánsan eltér a többitől), s így a nullhipotézist elvetjük, vagyis kijelentjük, hogy a minták nem tekinthetők egyforma szórású normális eloszlású sokaságból származóknak.

Példa: Egy laboratóriumban próbatesteken keménységvizsgálatokat végeznek. 5 szériát vizsgálnak, és ezek szórásnégyzetét kívánják összehasonlítani. A keménységet Rockwellben mérik. Az alábbi táblázat feltünteti az összehasonlítandó szórásnégyzeteket, a mintadarabszámokat (mindjárt eggyel csökkentve, mert a számításban így szerepelnek) és a számításhoz szükséges részeredményeket. j

sj*2

log sj*2

69

(nj-1)sj*2

(nj-1) log sj*2

1/(nj-1)

1

4,00

06021

84

336,00

50,5764

0,0119

2

2,59

0,4133

93

240,87

38,4369

0,0108

3

2,89

0,4609

39

112,71

17,9751

0,0256

4

5,86

0,7679

18

105,48

13,8222

0,0556

5

1,61

02069

15

24,15

3,1035

0,0667

249

819,21

123,9141

0,1706

∑ innen:

nj-1

f = 249 s2 = 3,28

r=5 szabadságfok = 4

Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 1998

169

A = 1,014 χ2 = 10,324 A számított χ2 érték a 95%-os szintnél található 9,49-nél nagyobb, tehát ekkora χ2 előfordulásának kevesebb a valószínűsége, mint 5% azonos szórású alapsokaságok esetén. Ezért az összehasonlítás eredményeképpen megállapíthatjuk, hogy a szórások közötti eltérések szignifikánsak. Cochran-próba E módszer segítségével azt dönthetjük el, hogy a szórások között talált legnagyobb érték tekinthető-e a többivel azonos eloszlásból származónak. A Cochran-próbát akkor alkalmazhatjuk, ha az alapeloszlás normális és a minták mind azonos darabszámúak. A közös mintadarabszámot most n-el jelöljük (a szabadságfok f=n-1), az r darab különböző minta korrigált szórásnégyzetét pedig ismét s1*2, s2*2, …sr*2 - tel, utóbbiak közül a legnagyobb legyen smax*2. Kiszámítjuk a g=

2 smax

s12 + s22 + ...+ sr2

próbastatisztikát.

A kiértékeléshez szükséges táblázatok segítségével a már ismert módon eldönthetjük, hogy a legnagyobb szórás jelentős mértékben különbözik-e a többitől. Ha a legnagyobb érték túllépi a számára megengedett határt, akkor nem tekinthetjük az összes alapsokaságot egyenlő szórásúnak. Ilyenkor vagy teljesen elejtjük a homogenitásra vonatkozó feltevésünket, vagy pedig csak ezt a kiugró szórással rendelkező mintát (vagy ha több minta szórása lépte át a szignifikancia-határt, mindegyik ilyent) kizárjuk a sokaságból és megvizsgáljuk, hogy a megmaradó sokaságra eredeti feltevésünk fenntartható-e. Ezt tehát semmi esetre sem tekinthetjük természetesnek, hanem a megmaradó sokaságra meg kell ismételnünk a Cochranpróbát, azaz g értékét a megmaradó adatokból újra ki kell számítani és r új értékének figyelembevételével összevetni az ábrával. A megmaradó sokaságot a szórás szempontjából homogénnek csak akkor tekinthetjük, ha az utoljára végzett Cochran-próba „nem szignifikáns” eredményt mutat.

Példa: Műselyem szakítóerő vizsgálatánál (n=10) kapott r=20 vizsgálat adataiból számolt korrigált tapasztalati szórások között, található-e kiugró érték? Az adatokat az alábbi táblázat mutatja: i

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9

10.

si*2

24,9

8,4

21,2

8,0

8,4

6,0

26,3

26,7

6,8

12,5

i

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

si*2

12,5

11,4

4,8

22,2

22,6

16,1

10,9

9,6

60,5

10,9

H0: a szórások nem különböznek H1: a legnagyobb szórás (19. minta) különbözik a többitől

170

α=0,05 r=20

DF (f)=n-1=10-1=9 gkr=0,136

smax*2=60,5 g=60,5/(24,9+8,4+…+10,9)=60,5/330,7=0,183 A számított g érték nagyobb, mint a kritikus érték, így 5%-os szignifikancia szinten elutasítjuk H0-t, azaz a szórások egyezését.

IX.2.e Varianciaanalízis A varianciaanalízis a matematikai statisztikai eljárások között kiemelkedő jelentőséggel bír. Nem csak egy „egyszerű” hipotézisvizsgálat, hanem bonyolult gyakorlati problémák (elsősorban kísérlettervek) elemzésére, értékelésére használható módszer. Ennek ellenére most a hipotézisvizsgálatok között tárgyaljuk, mivel a legegyszerűbb eset, az ún. egyszeres osztályozású varianciaanalízis, lényegében több normális eloszlású sokaság várható értékének összehasonlítására alkalmazható, azaz a H0: µ1=µ =…=µr nullhipotézis helyességének a sokaságokból egymástól függetlenül vett minták alapján történő ellenőrzésére szolgál. Ellenhipotézisünk minden esetben az lesz, hogy nem minden várható érték egyforma. A próba elvégzéséhez előfeltétel még – a normalitáson kívül –, hogy az ismeretlen alapsokasági szórások megegyezzenek (Cochran- v. Bartlet-próba segítségével ezt ellenőrizhetjük). A próba elvégzéséhez mindenekelőtt (természetesen a csoportok átlagának és szórásának meghatározása után, amelyek már a szórások egyezésének vizsgálatához is szükségesek) képezzük az összes megfigyelés számtani átlagát ( x ), ami megegyezik a mintaátlagoknak 1 r ni 1 r ( x i) a minta elemszámával súlyozott számtani közepével: x = ∑ ∑ x ij = ∑ n i x i n i =1 j =1 n i =1 Ahol: ni az i-edik minta elemszáma, n az összes minta elemszáma n=n1+n2+…+nr. Ezek után képezzük az összes mért értéknek(xij) az összes adat átlagától( x ) való eltérésének a

∑∑ (x r

négyzetösszegét az ún teljes négyzetösszeget:

ni

i =1 j=1

)

2

ij

− x , amely két négyzetösszeg

összegére bontható.

∑ n (x r

Az egyik az ún. csoportok közötti

i =1

i

i

− x)

2

négyzetösszeg, amely a csoportok közti

∑ ∑ (x r

eltéréseket magyarázza, méri, a másik a csoportokon belüli

ni

i =1 j =1

− x i ) négyzetösszeg, 2

ij

amely a csoportokon belüli eltéréseket, a véletlen hatásokat mutatja70. Ha H0 igaz, s a kiindulási feltételek is teljesülnek, akkor bizonyítható, hogy a csoporton belüli négyzetösszeg χ2-eloszlású n-r szabadságfokkal, s a csoportok közötti négyzetösszeg független a csoporton belüli négyzetösszegtől, és szintén χ2-eloszlású r-1 szabadságfokkal. Ha ez igaz, akkor a négyzetösszegek és a megfelelő szabadságfokok hányadosából képzett ún

70

Lukács O.: Matematikai statisztika, Példatár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987

171

külső (sk2) ill. belső (sb2) szórásnégyzetek egymástól függetlenek, s a közös várható értékük az ismeretlen, de egyenlő alapsokasági szórás: M(sk2)=M(sb2)=σ. A két szórás egyezésének vizsgálatával így ellenőrizhetjük eredeti hipotézisünket, a várható értékek azonosságát. Két szórás összehasonlítására a korábban megismert F-próba használható, képezve az F=sk2/sb2 statisztikát, amely – H0 fennállása esetén – (r-1, n-r) paraméterű F-eloszlású71. A varianciaanalízis eredményeinek összefoglalására gyakran alkalmazzák az ún. szórásfelbontó táblázatot, amit a varianciaanalízis angol nevének rövidítéséből ANOVA táblának is szokás nevezni. Az egyszeres osztályozású varianciaanalízis ANOVA táblájának felépítését mutatja a következő táblázat: Négyzetösszeg NégyzetSzabadneve összegek ságfok r 2 Csoportok r-1 n i (x i − x ) ∑ közötti * i =1 r n Csoporton n-r (xij − x i )2 ∑∑ i =1 j =1 belüli ** r n 2 Teljes n-1 i

∑∑ (x i

i =1 j=1

ij

−x

)

Szórás becslése sk 2

F érték

p-érték

sk2/sb2

p

sb 2

-

-

-

-

-

21. Táblázat: ANOVA tábla

*: a kísérlettervezésből vett szóhasználattal szokták faktornak v. kezelésnek is nevezni ill. **: a csoporton belüli ingadozást hibának A p-érték az a legnagyobb elsőfajú hiba valószínűség, melynél még a nullhipotézist elfogadnánk. Ennek segítségével ugyanúgy dönthetünk a nullhipotézisről, mint a számított és elméleti értékek összevetésével. Ha a p-érték meghaladja az általunk elvárt elsőfajú hiba értéket, akkor elfogadjuk a nullhipotézist, ha kisebb, akkor elutasítjuk azt. Példa: Egy áruházláncnál megvizsgálták, hogy 3 boltjukban azonos-e az egy vásárlásnál fizetett összeg. Minden boltban kiválasztottak 6 véletlen mintát. A vásárláskor fizetett összegeket az alábbi táblázat mutatja (dollárban): 1. bolt 2. bolt 3. bolt 12,05

15,17

9,48

23,94

18,52

6,92

14,63

19,57

10,47

25,78

21,4

7,63

17,52

13,59

11,90

18,45

20,57

5,92

Feltételezve, hogy a kifizetések normális eloszlásúak, s szórásuk egyenlő, van-e különbség a 3 üzlet között?

71

Lukács O.: Matematikai statisztika, Példatár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987

172

H0: µ1=µ2=µ3 H1: legalább az egyik várható érték eltér a többitől n1=n2=n3=6 r=3 Az átlagok boltonként: $18,73 Az összes adat átlaga: $15,2

$18,14

$8,72

A számításokat elvégezve, az ANOVA tábla:

Csoportok közötti Csoporton belüli Teljes

Négyzetösszegek

Szabadságfok

Szórás becslése

F érték

p érték

378,4

2

189,2

13,26

0,0005

214,1

15

14,3

-

-

592,5

17

-

-

-

Az Fsz számított értéke: 13,26. α=0,05 A számláló szabadságfoka: 2 A nevező szabadságfoka: 15 A kritikus érték: Fkr=3,68 Mivel Fsz>>Fkr, a H0 nullhipotézist 5%-os szignifikancia szinten elutasítjuk, azaz az átlagok ill. legalább egy átlag szignifikánsan különbözik a többitől. Esetünkben ez értelemszerűen a 3. bolt, ahol az egy vásárlásnál kifizetett összeg nagysága átlagosan kevesebb, mint a fele a másik két bolt átlagánál.

173

X. Korreláció- és regreszióelemzés, idősorelemzés Valószínűségszámítás Valószínűségelmélet

Matematikai statisztika

Axiómák, alaptételek

Mintavétel

Kombinatorika

Leíró statisztika

Geometriai val.sz.

Becslés

Val.szám. tételek

Hipotézisvizsgálat

Elméleti eloszlások

Összefüggésvizsgálat

174

X.1 Determinisztikus és sztochasztikus kapcsolatok72 A társadalmi, a műszaki és a gazdasági jelenségek törvényszerűségeit nemcsak önmagunkban, hanem a jelenségekkel szoros kapcsolatban lévő más tényezők összefüggésében is vizsgálhatjuk. Az eddigi fejezetekben a véletlen tömegjelenségek leírását mindig egy már bekövetkezett állapot valószínűségelméleti, matematikai-statisztikai vizsgálatával végeztük el. A korreláció- és regresszió- számítás során arra keressük a választ, hogy egy adott állapot milyen tényezők hatására jött létre, az egyes tényezők milyen mértékben befolyásolják a jelenség alakulását, a tényezők milyen szoros kapcsolatban vannak egymással. A változók közötti összefüggés szorosságát, a sztochasztikus kapcsolat erősségét, intenzitását korrelációszámítással, míg az összefüggés jellegét regressziószámítással határozzuk meg. Utóbbi esetben az összefüggésekben lévő sztochasztikus tendenciát, a kapcsolat természetét valamilyen függvénnyel írjuk le. Ha a vizsgálatok során az idő a független változó, a számításokat idősorelemzésnek, trendszámításnak nevezzük. A determinisztikus („függvényszerű”) és a sztochasztikus jelenség, kapcsolat fogalmával már az VI.1. fejezetben foglalkoztunk. Ugyancsak megismerkedtünk a sztochasztikus függetlenség fogalmával is. Emlékeztetünk arra, hogy determinisztikus kapcsolatnál X változó adott értékeihez Y változó meghatározott értéke tartozik, míg sztochasztikus kapcsolatnál Y változónak több lehetséges értéke is létezhet. Ezek az értékek és a hozzá tartozó valószínűségék az Y változónak az X változóra, mint feltételre vonatkozó feltételes valószínűségek, amelyek a feltételre vonatkozó feltételes valószínűség eloszlást alkotják. A gyakorlati számítások során azonban csak az eloszlások feltételes várható értékével és varianciájával jellemezzük a sztochasztikus kapcsolatot. Így röviden azt is mondhatjuk, hogy X és Y közötti sztochasztikus kapcsolat (korreláció) esetén csak az egyik tényező (X) és a másik tényező (Y) átlagos értéke között van határozott kapcsolat. Ez azt is jelenti, hogy a két változó nem független, de nincs közöttük funkcionális (determinisztikus) összefüggés, vagyis az egyik változó értékét az X változó nagysága mellett még bizonyos egyéb véletlen hatások is befolyásolják. Hangsúlyozni kell, hogy a korrelációs és regressziós számítás a kapcsolatot jellemzi, de semmit nem mond az oksági viszonyról. Tehát két, vagy több változó közötti sztochasztikus kapcsolat megállapításából nem következik, hogy a változók oksági összefüggésben vannak, azaz, hogy egyik tényező változása oka a másik tényező változásának. Az oksági kapcsolatot csak alapos szakmai és statisztikai vizsgálattal lehet megállapítani.

X.2 A kapcsolat szemléltetése A nagyobb számítási munkát igénylő matematikai módszerek alkalmazása előtt a kapcsolat létezésére vonatkozó szakmai feltevésünket grafikus ábrázolással célszerű szemléltetni. Az xi; yi értékpárok által meghatározott pontdiagram, illetve empirikus regressziófüggvény szemlélteti a kapcsolatot.

72

Dr. Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Program, Budapest, 2001

175

Y = 5.07E-02 - 0.647872X

Y = -8.6E-02 + 0.690286X R-Sq = 62.5 %

R-Sq = 70.9 %

3

3

2

2

1

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3 -3

-2

-1

0

1

2

-3

3

-2

-1

0

1

2

3

Negatív korreláció

Pozitív korreláció

Y = -7.4E-02 + 0.208348X

Y = 12.0958 + 6.07684X + 1.16686X**2

R-Sq = 3.4 %

R-Sq = 88.4 %

3

40

2 30

1

0

20

-1 10

-2

-3

0

-2

-1

0

1

2

-3

Nincs korreláció

-2

-1

0

1

2

3

Nem lineáris korreláció

39. ábra: Pontdiagramok

Ha a pontok vonulási iránya (képzeletbeli tengelye) felfelé mutat, pozitív korrelációról beszélünk (növekvő xi értékekhez növekvő yi értékek tartoznak), ellenkező esetben a korreláció negatív. A görbevonali korreláció azt jelzi, hogy nem lehet minden korrelációt egyértelműen pozitívnak, vagy negatívnak tekinteni.

X.3 Idősorok elemzése73,74 Egyes időpontokban, általában azonos időközönként végzett megfigyelések sorozatát idősornak nevezzük. Ebben az esetben tehát az X változó időpontokat jelöl, valójában nem sztochasztikus jellegű, s ennek függvényében vizsgáljuk a sztochasztikusan változó Y értékek alakulását. Ilyen jellegű adatsorokat a gazdasági, társadalmi élet jellemzésére, vizsgálatára gyakran használunk. Idősorokra példa a Magyarországon évente felsőfokú végzettséget szerző hallgatók száma, a BUX index napi záró értéke, a napi maximum hőmérséklet, egy bolt napi, heti vagy havi árbevétele, egy bizonyos termék havonta értékesített mennyisége, stb. Idősorok sajátosságainak vizsgálatánál is első lépésként célszerű az adatokat ábrázolni. Az ábrázolás 73 74

Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995 Korpás A.-né (szerk.): Általános statisztika I., II., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996

176

hasonló módon történik, mint a fent bemutatott példáknál. A vízszintes tengelyen most a t időpontokat (időszakokat), a függőleges tengelyen a megfelelő y értékeket ábrázoljuk. A szóródás diagramtól eltérően azonban most vonaldiagramot célszerűbb készítünk, ugyanis így könnyebben felismerhetőek az adatsorban meglévő szabályszerűségek. Példaként a Magyarországon felsőoktatásban tanuló illetve dolgozó hallgatók/oktatók számának75 alakulását mutatja a következő ábra.

Az idősorok adatainak elemzéséhez használható leíró statisztikai eszközöket lényegében már megismertünk a tárgy első részében. A különböző (jellemzően vonalas) ábrázolási módok mellett természetesen indexekkel, átlagokkal is jellemezhetjük az adatokat. Ezekre részletesen most nem térünk ki, csak az átlagszámolás tartam- és állapotidősorok közötti különbségére hívjuk fel a figyelmet. Tartamidősorok76 adatai összegezhetők, így átlagolásukra is a szokásos számtani átlagot használhatjuk. Állapotidősorok77 egy-egy időpontra vonatkoznak, összegüknek nincs tárgyi értelme. Ebben az esetben az idősor átlaga az átlagos állománynagyságot mutatja. Két időpont esetén ez a nyitó- és a záróállomány számtani átlaga. Több időpont esetén a két-két időpont közötti időszakokra számított átlagos állományok számtani átlaga. Az így kapott átlagot kronologikus átlagnak nevezzük (jelölése: Yk ), és kizárólag állapotidősorok adatainak átlagolására használjuk. A megfigyelt időpontok adataiból (Y1, Y2, … Yn) tehát a kronológikus átlagot az alábbi összefüggéssel számolhatjuk:

Y Y1 n −1 + ∑ Yt + n 2 t =2 2 Yk = n −1 Tekintsük a következő példát78.

75

Forrás: http://portal.ksh.hu/pls/ksh/docs/hun/xstadat/xstadat_eves/tabl2_06_07ia.html Mozgó sokaságok időbeli alakulását mutatják, a sor elemei egy-egy időtartam alatt bekövetkező események adatait mutatják. 77 Álló sokaságok időbeli változását mutatják, a sor elemei egy-egy időpontra vonatkozó állapotfelvételek eredményeit rögzítik. 78 Forrás: Korpás A.-né (szerk.) : Általános statisztika I. nemzeti Tannkönyvkiadó, Budapest, 1996, pp.89.-90. 76

177

Egy utazási iroda valutakészletének és -értékesítésének adatai az alábbiak: Hónap Június Július Augusztus Szeptember Október November December

Valutakészlet a hónap utolsó napján [eUSD] 18,8 19,6 20,2 19,8 21,1 20,3 19,2

Valutaértékesítés [eUSD] --35,8 35,2 34,3 33,5 32,4 35,8

Határozzuk meg a 2. félévben a havi átlagos valutaértékesítést, s az átlagos valutakészletet! A havi átlagos valutaértékesítés: 35,8 + 35,2 + 34,3 + 33,5 + 32,4 + 35,8 207 Y = = = 34,5eUSD 6 6 Az adott hónapban értékesített valuta mennyisége tartamidősor, így összegének van értelme (a 2. félévben összesen 207eUSD-t adott el az iroda), így átlagolásukra a számtani átlagot használtuk. A 2. félévben az átlagos valutakészlet (július 1-je és december 31-e között): 18,8 19,2 + 19,6 + 20,2 + 19,8 + 21,1 + 20,3 + 2 = 20eUSD Yk = 2 6 (A július 1-jei készlet a június 30-aival azonos.) A valutakészlet csak időpontokra értelmezhető, így átlagolására a kronologikus átlagot használtuk.

X.4 Idősorok összetevőinek vizsgálata Idősorok elemzésének két fő megközelítésmódja ismert. Az egyik az ún. sztochasztikus modell, mely szerint az idősor pillanatnyi értékeit saját korábbi állapotából és a véletlen hatásokból lehet magyarázni. E felfogás szerint a véletlen változó beépül a folyamatba, annak aktív alkotóeleme lesz, a jelenség fő mozgatójává válik. A másik, az ún determinisztikus modell felfogása szerint az idősor alakulását egy tartósan érvényesülő hosszútávú tendencia (trend), és egy tartósan ható, szabályos, jól modellezhető hullámmozgás (periódikus ingadozás) határozza meg, s ezektől eseti-egyedi eltérítő hatást eredményez a véletlen. A Gazdaságstatisztika tárgyban nem foglalkozunk a sztochasztikus modellel, az – többek között – az Ökonometria c. tárgy anyaga. A determinisztikus modell felfogása szerint az idősorok értékeit négy fő tényező (összetevő) határozza meg. Hosszútávú vagy tartós irányzat. Ez az összetevő az idősor pályájának a hosszútávú alapirányzatát jelenti, az idősorban hosszabb időszakon át, tartósan érvényesülő tendencia (trend). Az idősorok grafikus ábrázolásánál bemutatott adatokon például jól látszik, hogy a hallgatók száma folyamatosan nőtt az 1990/91-es tanévtől a 2006/07-es tanévig. Ugyanakkor az oktatók száma is alapvetően emelkedő tendenciát mutat, annak ellenére, hogy időnként egy-egy évben csökkent az oktatók létszáma.

178

A periodikus ingadozás az idősorokban rendszeresen ismétlődő hullámzást jelenti. Két fajtáját különböztetjük meg, a szezonális vagy idényszerű hullámzást, és a ciklikus vagy konjukturális ingadozást. • A ciklikus mozgások a trendgörbe, vagy trendegyenes körüli hosszútávú kilengésekre, ingadozásokra vonatkoznak. Az üzleti és gazdasági tevékenységek esetében az ingadozásokat csak akkor nevezzük ciklikusnak, ha azok több mint egy éves időintervallum után ismétlődnek. Az üzleti ingadozások fontos példáját adják az un. üzleti ciklusok, melyek a konjunktúra, a recesszió, a stagnálás és a megújulás időszakait foglalják magukban. A tárgy keretében nem foglalkozunk a ciklikus ingadozás elemzésével. • A szezonális ingadozások azokra az azonos, vagy majdnem azonos mintákra vonatkoznak, amelyeket az idősor az egymás után következő időszakokban (például évente, havonta, stb.) követ. Az idősor adataiban jellemzően azonos időszakok egymás utáni sorozatai ismétlődnek, így amennyiben a megfigyelt változót az egyes időszakokban fellépő szezonális hatások érik, az időszakonkénti eltérések a trendtől nagyon hasonló, ismétlődő mintázatot mutatnak. Ilyen szezonális hatás például a karácsony előtti, vagy a hétvégi nagyobb bevásárlás. Sörből is jellemzően többet fogyasztunk a nyári hónapokban, mint télen. Az ismétlődő időszakoknak megfelelően a szezonális ingadozások periódushossza állandó. Az üzleti, gazdasági adatok elemzésénél jellemzően az éven belüli ingadozásokat szezonális ingadozásnak tekintjük. Szabálytalan vagy véletlen ingadozások. Az idősor értékeinek negyedik összetevője a véletlen hatásokból fakadó eltérések. Ezt az összetevőt valószínűségi változónak tekintjük. A véletlen ingadozás sok, önmagában nem jelentős tényező együttes hatása az idősorra. Bár előfordulhat, hogy egy-egy tényező (sztrájk, árvíz, stb.) jelentősebb hatást gyakorol a megfigyelt mennyiségre, feltesszük, ezek csak rövid ideig okoznak változást, így hatásuk összességében véletlennek tekinthető. Esetenként azonban e hatások elég intenzívek lehetnek ahhoz, hogy újabb ciklikus vagy másféle ingadozást idézzenek elő. Az idősorok determinisztikus modell szerinti elemzése az ingadozásokat előidéző összetevők (matematikai) leírását jelenti. Feltesszük, hogy az idősor Y változója a fenti összetevők összegeként (vagy szorzataként) adódik, tehát az elemzés lényegében az idősor komponenseinek felbontását jelenti. Ezért szokták a modellt dekompozíciós eljárásnak is nevezni. Attól függően, hogy az idősor összetevői között milyen kapcsolatot tételezünk fel, beszélhetünk additív (a komponensek összegének tekintjük az Y változót) vagy multiplikatív (a komponensek szorzataként állítjuk elő Y-t) modellről. Különböző módszerek állnak rendelkezésünkre akár a trend, akár a szezonális eltérések jellemzésére, a tárgy keretében azonban mindkettőre csak egy-egy módszert mutatunk be.

X.4.a Trend becslése mozgóátlagok segítségével Az idősor alapirányzatának meghatározásánál az idősor kiegyenlítése, kisimítása a célunk úgy, hogy a periodikus és a véletlen ingadozás hatását kiküszöböljük. Mozgóátlag módszernél az eltéréseket átlagolással igyekszünk „eltüntetni”. Mozgóátlagolásnál az idősor előre elhatározott számú első néhány eleméből számtani átlagot képzünk, majd az első elemet kihagyva, s a következőt bevonva folytatjuk a számítást az utolsó adatig. Az így képzett átlagokat páratlan elemszám esetén a részsorozat középső elemének tekintjük. Páros elemszámú mozgóátlagok képzésénél azonban a részsorozatok indexei nem egész számok (pl. 2 elem esetén 1,5, 2,5, 3,5, … n-0,5), ezért az így kapott átlagokból kéttagú mozgóátlagokat

179

képzésével kapjuk az egész indexű elemeket. Ez utóbbi műveletet nevezzük középre igazításnak vagy centírozásnak. Mozgóátlagolás alkalmazásakor meghatározó a mozgóátlag elemszámának megválasztása. Amennyiben az idősorban szezonális eltéréseket is találunk, akkor a szezonális hullámzás kisimítására a mozgóátlag taglétszámát úgy kell megválasztani, hogy az a perióduson belüli szakaszok (szezonok) számával azonos, vagy annak egész számú többszöröse legyen. A módszer bemutatására tekintsük az alábbi példát 79. Háztartások számára értékesített gázmennyiség (milló m3) Nógrád megyében 1990 és 1994 között negyedéves bontásban az alábbiak szerint alakult: I. 3,5 6,7 7,4 8,2 9,3

1990 1991 1992 1993 1994

II. 3,1 6,4 7,2 8,1 8,0

III. 2,4 5,1 5,2 7,2 7,2

IV. 3,9 7,2 8,0 8,5 11,7

A gázfogyasztás értékeit (és a mozgóátlagolással kapott trendértékeket is) a következő ábra mutatja: 14 12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

40. ábra

Mivel éves periodicitásról és negyedéves szezonalitásról van szó, a mozgóátlagok elemszámának célszerű 4-et választani. A számításokat az alábbi táblázat tartalmazza: Ért.gáz 3,5 3,1 2,4 3,9 6,7 6,4 5,1 7,2 7,4 7,2 5,2 79

Időszak 1990 - I 1990 - II 1990 - III 1990 - IV 1991 - I 1991 - II 1991 - III 1991 - IV 1992 - I 1992 - II 1992 - III

cMA(4)

3,63 4,44 5,19 5,94 6,44 6,63 6,74 6,85 7,05

Forrás: Korpás A.-né (szerk.): Általános statisztika II. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996, pp. 249.-250.

180

8 8,2 8,1 7,2 8,5 9,3 8 7,2 11,7

1992 - IV 1993 - I 1993 - II 1993 - III 1993 - IV 1994 - I 1994 - II 1994 - III 1994 - IV

7,26 7,63 7,94 8,14 8,26 8,25 8,65

X.4.b Szezonalitás vizsgálata A szezonhatás vizsgálatánál arra keresünk választ, hogy a rendszeresen (s azonos periódushosszal) visszatérő hatások, milyen mértékben vagy arányban térítik el az idősor értékeit az alapirányzattól. Vizsgálatánál ki kell szűrnünk a trendhatást és a véletlen hatásokat az adatokból. Additív modell esetén a szezonalitást a trendtől való eltérés nagyságával, azaz a trendtől vett abszolút eltéréssel, multiplikatív modellnél a relatív eltéréssel jellemezzük. Additív modellnél az idősor egy elemének értékét a komponensek összegeként, míg multiplikatív modellnél a szorzataként írhatjuk fel.

yij = yˆ ij + s j + ε ij

yij = yˆ ij ⋅ s*j ⋅ηij

A trendhatást úgy szűrjük ki, hogy az idősor értékeiből rendre kivonjuk (ill. az idősor értékeit rendre elosztjuk) a trendértékeket (értékekkel). yij = s *j ⋅ η ij yˆ ij

yij − yˆ ij = s j + ε ij

Az így nyert különbségeket egyedi szezonális eltéréseknek (ill. hányadosoknak) nevezzük. Ezt követően minden periódusból vesszük a j-edik eltérést (hányadost), és ezek számtani átlagát képezzük. Ezzel a véletlen hatást szűrjük ki, illetve tompítjuk.

∑ (y n/ p

sj =

i =1

ij

− yˆ ij )

∑ (y n/ p

s = * j

n/ p

i =1

ij

/ yˆ ij )

n/ p

Ha a trendet nem lineáris függvénnyel határozzuk meg, akkor nem teljesül az a feltétel, hogy a szezonális eltérések összege (illetve átlaga) 0 (multiplikatív modellnél, hogy szorzatuk 1) legyen. Mozgóátlagolással kapott trendértékek esetén ez elméletileg teljesül, de ha kevés számú megfigyelésünk van, akkor előfordulhat, hogy az átlag nem 0 (illetve a szorzat nem 1). Ilyenkor az előbbiekben kiszámított ún. nyers szezonális eltéréseket (ill. szezonindexeket) korrigáljuk. A korrekció úgy történik, hogy a szezonális eltérések átlagát levonjuk az sj értékekből (illetve az sj* értékeket elosztjuk az átlaggal). p

s 'j = s j −

∑s j =1

p

j

s *'j = s *j ÷

p

181

∑s j =1

p

* j

Az így kapott szezonális eltérések (additív modell) azt fejezik ki, hogy az adott szezonban a szezonhatás miatt az idősor értékei átlagosan mennyivel magasabbak vagy alacsonyabbak a trend szerinti értéknél. Multiplikatív modellnél pedig a szezonindexek azt mutatják, hogy a szezonhatás miatt az idősor értéke az adott szezonban átlagosan hányszorosa az alapirányzat szerinti értéknek. Példaként tekintsük ismét Nógrád megye lakossági gázfogyasztását! Additív modellt alkalmazva a szezonalitás jellemzésére, a számítási eredményeket a következő táblázatba foglaltuk össze. Ért.gáz 3,5 3,1 2,4 3,9 6,7 6,4 5,1 7,2 7,4 7,2 5,2 8 8,2 8,1 7,2 8,5 9,3 8 7,2 11,7

Időszak cMA(4) Különb. 1990 – I 1990 – II 1990 – III 3,63 -1,23 1990 – IV 4,44 -0,54 1991 – I 5,19 1,51 1991 – II 5,94 0,46 1991 – III 6,44 -1,34 1991 – IV 6,63 0,58 1992 – I 6,74 0,66 1992 – II 6,85 0,35 1992 – III 7,05 -1,85 1992 – IV 7,26 0,74 1993 – I 7,63 0,57 1993 – II 7,94 0,16 1993 – III 8,14 -0,94 1993 - IV 8,26 0,24 1994 – I 8,25 1,05 1994 – II 8,65 -0,65 1994 – III 1994 – IV

s’j 0,96 0,09 -1,32 0,27 0,96 0,09 -1,32 0,27 0,96 0,09 -1,32 0,27 0,96 0,09 -1,32 0,27 0,96 0,09 -1,32 0,27

Sz.korr. ért. 2,54 3,01 3,72 3,63 5,74 6,31 6,42 6,93 6,44 7,11 6,52 7,73 7,24 8,01 8,52 8,23 8,34 7,91 8,52 11,43

Az egyes negyedévek szezonális eltérései: sI=0,9475

sII=0,08

sIII=-1,34

sIV=0,255.

A korrekciós tényező: (0,9475+0,08-1,34+0,255)/4=-0,0575/4=-0,01438.

Ezt az értéket rendre levonva a nyers szezonális eltérésekből kapjuk a tényleges sj’ értékeket, melyeket a táblázatban tüntettünk fel.

182

X.4.c Auto- és keresztkorreláció idősorok elemzésénél Gazdasági idősorok adatainak elemzése a korrelációszámítás szempontjából számos speciális problémát vet fel. Gyakran előfordul, hogy egy vagy több idősor egymást követő adatai egymástól nem függetlenek, hanem szoros korrelációban állnak egymással. Ez a jelenség az autokorreláció, amennyiben egy változó egymást követő adatainak kapcsolatát vizsgáljuk, és keresztkorreláció, ha több változó hasonló kapcsolatát nézzük. A regressziós modellben ez úgy jelentkezik, hogy az egymást követő reziduális értékek között korrelációs kapcsolat mutatkozik. (A korrelációs kapcsolat elemzését, lásd később.) Az autokorreláció különböző rendű lehet. Elsőrendű az autokorreláció, ha az idősorban a hibatényező t-edik értéke a (t-1)edik, közvetlen szomszédos értékkel van korrelációs kapcsolatban.

X.5 Az előjel–korrelációs együttható A sztochasztikus kapcsolat szorosságát – a grafikus ábrázolást követően – viszonylag kevés számítási munkával ellenőrizhetjük. Az előjel–korrelációs együttható, mint szorossági mérőszám, az igényesebb elemzések előtt nyújthat hasznos információt. Feladat: 14 év adatai alapján vizsgáljuk meg az 1ha szántóterületre vonatkoztatott műtrágya felhasználás (xi=kg/ha) és az évi búza termés átlagok (yi=q/ha) közötti kapcsolatok jellegét és szorosságát. (Az alábbi táblázat a későbbiekben felhasználásra kerülő részszámításokat is tartalmaz). i

xi

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. ∑

19,9 31,9 31,6 41,4 53,5 58,7 67,2 70,4 76,3 101,3 124,4 136,2 166,6 195,0 1174,3

yi 12,5 17,0 16,9 19,1 17,9 15,6 18,6 21,7 21,7 25,9 25,2 27,1 21,3 30,7 291,2

dxi = xi − x dyi = yi − y -64,1 -52,0 -52,3 -42,5 -30,4 -25,2 -16,7 -13,5 -7,6 17,4 40,5 52,3 82,7 111,1

-8,3 -3,8 -3,9 -1,7 -2,9 -5,2 -2,2 0,9 0,9 5,1 4,4 6,3 0,5 9,9 22. Táblázat

x = 83,9 y = 20,8

183

d x2i 4108,8 2704,0 2735,3 1806,2 924,2 635,0 278,9 182,2 57,8 302,8 1640,2 2735,3 6839,3 12343,2 37293,2

d y2i 68,9 14,4 15,2 2,9 8,4 27,0 4,8 0,8 0,8 26,0 19,4 39,7 0,2 98,0 326,5

d xi ⋅ d y i 532,0 197,6 204,0 72,2 88,2 131,0 36,7 -12,1 -6,8 88,7 178,2 329,5 41,3 1099,9 2980,4

A grafikus ábrázolás pozitív korrelációt és feltehetően lineáris összefüggést mutat. (Szakmai szempontból ez a feltételezés csak az adott műtrágya felhasználási szinten lehet igaz, hiszen

közismert a növekvő műtrágya felhasználás csökkenő hatékonysága is). 41. ábra

Az előjel-korrelációs együttható értelmezéséhez és meghatározásához vegyük figyelembe, hogy pozitív korreláció esetén xi átlagosnál alacsonyabb értékeihez általában az átlagosnál alacsonyabb yi értékek tartoznak, és ez fordítva is igaz. Ha tehát d xi és d yi eltéréseket hasonlítjuk össze, akkor pozitív korreláció esetén az esetek nagy részében az eltérések előjele megegyezik. (Negatív korreláció esetén a helyzet fordított lesz). Ebből lehet következtetni a kapcsolat irányára és szorosságára is. (Az azonos és eltérő előjelű eltérés párok egyenlő aránya a kapcsolat hiányát jelzi).

Az előjel-korrelációs együtthatást (re) az alábbiak szerint értelmezzünk: re =

u−v u+v

ahol: u=az előjel egyezések száma, v=az előjel eltérések száma (u+v=n). Nyilvánvaló, hogy re értéke (-1) és (+1) között helyezkedik el. Függvényszerű (determinisztikus) kapcsolat esetén re=1, de ez fordítva nem feltétlenül igaz. (Megjegyezzük, ha valamelyik eltérés párban az egyik, vagy mindkét eltérés nulla, akkor az adott egységnél u=0,5 és v=0,5 értékekkel számolunk). Mintapéldánkban u=12, v=2, ezért: re =

12 − 2 = 0,71 14

184

amelyből a két változó következtethetünk.

közepesnél

jóval

erősebb,

pozitív

irányú

kapcsolatára

Ha a pontdiagramban behúzzuk az y = y és x = x egyeneseket, akkor u az I. és III. negyedbe eső pontok számának az összessége, míg v a II. és IV. negyedben található pontok összege lesz.

X.6 A lineáris regresszió és a korreláció A regresszió számítás feladata a változók közötti összefüggés jellegének meghatározása. Ennek során a pontdiagramos ábrázolással érzékeltetett tendenciát valamilyen analitikusan ismert függvénnyel próbáljuk leírni. A Y = f ( X ) regressziós függvényt a legkisebb négyzetek elve és módszere alapján határozzuk meg. Ez azt a követelményt támasztja, hogy az adott függvénytípust (egyenes, parabola, exponenciális, stb.) használata során a n

∑ (y i =1

− ˆyi )

2

i

összeg minimális legyen. Az yi − yˆ i eltérések (reziduumok) négyzeteinek összege jól jellemzi a ponthalmaz és a regressziós vonal kölcsönös viszonyát. A leggyakrabban alkalmazott lineáris regressziós modellben a legkisebb négyzetek módszere azt a regressziós egyenest tekinti a legjobban illeszkedőnek, amely a pontdiagram egyes pontjaitól átlagosan a lehető legkisebb merőleges távolságban halad (42. ábra).

42. ábra: Merőleges távolságok

Egy ilyen egyenesnek az egyenletét azonban csak bonyolult számításokkal lehet meghatározni. Másik megoldási lehetőségnek adódik, ha nem a merőleges távolságok minimalizálására törekszünk, hanem a pontoknak a regressziós egyenestől vett függőleges,

185

vagy vizszintes távolságainak négyzetes összegét választjuk a lehető legkisebbre (43. ábra, 44. ábra, 45. ábra).

43. ábra: Függőleges távolságok Y = b0 + b1 ⋅ X

44. ábra: Négyzetes (függőleges) távolságok

Y = b0 + b1 ⋅ X

45. ábra: Négyzetes (vízszintes) távolságok

186

A legkisebb négyzetek módszerével előállított egyenest első regressziós egyenesnek nevezzük, ha a függőleges távolságokra minimalizálunk, illetve második regressziós egyenesnek nevezzük, ha a vízszintes távolságokra minimalizálunk. Ez a két egyenes általában nem esik egybe (46. ábra, 47. ábra).

46. ábra: Erős lineáris kapcsolat

47. ábra: Gyenge lineáris kapcsolat

Nyilvánvaló, hogy a két regressziós egyenes között annál nagyobb a különbség, minél jobban szóródnak a ponthalmaz pontjai. Kvalitatív módon belátható az is, hogy annál erősebb a lineáris kapcsolat a két változó között, minél kevésbé tér el egymástól a két regressziós egyenes. Az egyik szélső esetben, ha az összes pont egy egyenesre esik, akkor a két regressziós egyenes meredeksége egyenlő (48. ábra). Ebben az esetben abszolút lineáris kapcsolatról beszélünk. A másik szélső esetben a regressziós egyenesek merőlegesek egymásra (49. ábra), azaz semmilyen lineáris kapcsolatról nem beszélhetünk.

48. ábra: Abszolút lineáris kapcsolat

187

49. ábra: Nincs lineáris kapcsolat

A lineáris korreláció analízis lényegében azt vizsgálja, hogy mennyire tér el az első regressziós egyenes meredeksége a másodiktól. Ha a meredekségek aránya r 2 ( x, y ) , akkor ennek négyzetgyöke a Pearson-féle tapasztalati korrelációs együttható. A korrelációs együttható értéke nulla, ha X és Y függetlenek. Ez fordítva általában nem igaz: abból, hogy két valószínűségi változó korrelációs együtthatója nulla, nem feltétlenül következik, hogy a két változó független is egymástól (kivétel, ha X és Y együttes eloszlása normális). Ha a két változónál csak azt tudjuk, hogy r(x,y)=0, akkor korrelálatlannak nevezzük őket. A korrelációs együttható abszolút értéke legfeljebb 1, azaz

− 1 ≤ r ( x, y ) ≤ +1 és a ± 1 értéket akkor és csak akkor éri el, ha X és Y között lineáris kapcsolat van: y = b1 ⋅ x + b0 Ha b1>0, akkor r(x, y)=1, ha b1<0, akkor r(x, y)=–1. Pozitív sztochasztikus kapcsolatnál 0
r ( x, y ) =

∑d i =1

xi

n

⋅ d yi n

∑d ⋅∑d i =1

2 xi

i =1

2 yi

ahol: d xi = xi − x és d yi = y i − y .

188

Feladat: Számítsuk ki a mintapéldában szereplő változó korrelációs együtthatóját! A 22. Táblázatban közölt adatok alapján:

r( x , y ) =

2980 ,4 37293,2 ⋅ 326 ,5

= 0 ,85

A lineáris regressziós vizsgálat során általában az első regressziós egyenest alkalmazzuk. Ekkor az ”b0” és ”b1” becsült értékeire a legkisebb négyzetek módszerét alkalmazva – a levezetések mellőzésével – az alábbi eredményt kapjuk: n

b1 =

∑d i =1

xi

⋅ d yi

n

∑d i =1

2 xi

b0 = y − b1 ⋅ x

A regressziós egyenes „b1” együtthatóját regressziós együtthatónak nevezzük. Mint az egyenes iránytangense statisztikai értelemben megadja, hogy x egységnyi változása mekkora átlagos változást idéz elő y-ban. A „b0” együttható pedig az x=0 helyhez ad regressziós becslést. Feladat: Mintapéldánkban határozzuk meg a regressziós egyenes egyenletét! 2980,4 = 0,08 37293,2 b0 = 20,8 − 0,08 ⋅ 83,9 = 14,1 b1 =

Így a regressziós egyenes egyenlete: y = 0,08 x + 14,1

189

X.6.a Az elméleti korrelációs együttható Korábban már megismertük az események függetlenségének alapvető jellemzőit. Ezekből – többek között – az is következik (a bizonyítást mellőzzük), hogy két független valószínűségi változó (X és Y) szorzatának várható értéke egyenlő várható értékeinek szorzatával:

M ( XY ) = M ( X ) ⋅ M (Y ) Mivel azonban egy valószínűségi változónak a saját várható értékétől vett eltérésének a várható értéke mindig nulla, az előbbi szorzat várható értéke is zérus. Definíció:

A C ( XY ) = M {[ X − M ( X )] ⋅ [Y − M (Y )]} várható értéket az X és Y valószínűségi változók kovarianciájának nevezzük. Ha a C(XY) kifejezésében elvégezzük a szorzást, és tagonként vesszük a várható értéket, akkor: C ( XY ) = M ( XY ) − M ( X ) ⋅ M (Y ) Ugyancsak igazolható, hogy

C ( XY ) ≤ D( X ) ⋅ D( Y )

azaz, két valószínűségi változó kovarianciájának abszolút értéke nem lehet nagyobb a két szórás szorzatánál. Az elméleti korrelációs együttható R(X,Y) fogalmához úgy juthatunk el, ha a kovarianciát elosztjuk a két szórás szorzatával, hiszen ekkor olyan kifejezést kapunk, amely a valószínűségi változók értékeitől nem függő abszolút határok között mozog: R( X ,Y ) =

C ( XY ) D( X ) ⋅ D(Y )

A korrelációs együttható értéke nulla, ha X és Y függetlenek. Ez fordítva általában nem igaz: abból, hogy két valószínűségi változó korrelációs együtthatója nulla, nem feltétlenül következik, hogy a két változó független is egymástól (kivétel, ha X és Y együttes eloszlása normális). Ha a két változónál csak azt tudjuk, hogy R(X,Y)=0, akkor korrelálatlannak nevezzük őket. A korrelációs együttható abszolút értéke legfeljebb 1, azaz

− 1 ≤ R( X ,Y ) ≤ +1 és a ± 1 értéket akkor és csak akkor éri el, ha X és Y között lineáris kapcsolat van: y = b1 x + b0

190

Ha b1>0, akkor R(X, Y)=1, ha b1<0, akkor R(X, Y)=–1. Pozitív sztochasztikus kapcsolatnál 0
r ( x, y ) =

∑d i =1

xi

n

⋅ d yi n

∑d ⋅∑d i =1

2 xi

i =1

2 yi

ahol:

d xi = xi − x és d yi = y i − y . Természetesen azt is meg kell vizsgálnunk, hogy az r(x,y) tapasztalati korrelációs együttható szignifikánsnak tekinthető-e. Ekkor a Ho: R(X, Y)=0 nullhipotézisből indulunk ki, vagyis az lesz az alapfeltételezésünk, hogy a két változó egymástól független normális eloszlású. Igazolható, hogy normális alapeloszlás mellett az R(X, Y)=0 nullhipotézis esetén r(x, y)-nek az alábbi függvénye DF=n-2 szabadsági fokkal t-eloszlást követ: n−2 t sz = r ⋅ 1− r2 A függelékben található tkrit kritikus értékek alapján, adott α szignifikancia szinten a tsz >tkrit esetben elvetjük az R(X, Y)=0 nullhipotézist és ezzel a kapcsolat fennállásának hipotézisét fogadjuk el.

A szignifikáns korrelációs együttható csak azt jelenti, hogy R(X, Y) értéke nagy valószínűséggel nem zérus. Feladat: Számítsuk ki a korábbi mintapéldában szereplő változók korrelációs együtthatóját és végezzük el a szignifikancia vizsgálatot! A táblázatban közölt adatok alapján:

r( x , y ) =

2980 ,4 37293,2 ⋅ 326 ,5

= 0 ,85

A lineáris korrelációs együttható szignifikancia vizsgálata: Ho: R(X, Y)=0 DF=n-2=14-2=12 α=0,05

191

t sz = 0 ,85 ⋅

12 = 5 ,56 1 − 0 ,85 2

tkrit =2,17 Mivel tsz > tkrit, ezért a nullhipotézist elvetjük, és nagy biztonsággal állíthatjuk, hogy a két változó között korrelációs (sztochasztikus) kapcsolat van. (Emlékeztetőül: az előjel – korrelációs együttható értéke 0,71 volt).

X.7 Az r(x,y) és a regressziós egyenes összefüggése Korábban az Y változót felírtuk úgy, mint az Yˆ regressziós függvény és az "e" rezidium összege: Y = Yˆ + e ahol: "e" a véletlenszerű eltérést képviseli. Bizonyítható, hogy az összefüggés a változók szórásnégyzeteire is érvényes: σ 2 (Y ) = σ 2 Yˆ + σ 2 (e ) Tapasztalati adatokból számolva: 2 1 n s 2y = ⋅ ∑ yi − y n i =1

()

és s ˆ2y =

(

)

(

)

1 n ⋅ ∑ ˆyi − y n i =1

2

ahol: yˆ i az xi értékekből a regressziós függvénnyel számolt becsült érték. Végül a rezidiumokból számolt szórásnégyzet: 1 n 2 ⋅ ∑ ei n i =1 Látható, hogy s y2ˆ képviseli s y2 azon részét, amelyet x változásával magyarázhatunk és s e2 a „magyarázatlan” (x-hatás kikapcsolása után) részt jelenti. s e2 =

Bizonyíthatóak még az alábbi összefüggések is: s ˆ2y

s e2 r (x , y ) = 2 = 1 − 2 sy sy 2

Az r2(x, y) – amelyet determinációs együtthatónak is neveznek – azt fejezi ki, hogy a sztochasztikus kapcsolatban a teljes változás hányad része tulajdonítható x-nek. Értékét %-os formában is megadhatjuk.

192

Példa:A mintapélda adatai alapján határozzuk meg a determinációs index értékét! r 2 ( x , y ) = 0 ,85 2 = 0 ,72 Az eredményt úgy értelmezhetjük, hogy a termésátlagok változásában a műtrágya felhasználás 72 %-ban játszott szerepet.

X.7.a A regressziós becslés pontossága Nyilvánvaló, hogy a sztochasztikus kapcsolat mérőszámaiból csak akkor vonhatunk le helyes következtetéseket, ha megfelelően nagy mintánk van. Így az eredmények értékeléséhez hozzátartozik a mérőszámok hibájának vizsgálata is. A pontosság jellemzése céljából tehát most az b0, b1, yˆ paraméterek becslésének szórását (standard hibáját) kell meghatároznunk. A regressziós együttható standard hibái: Levezetés nélkül, de a fenti összefüggések felhasználásával, a regressziós együtthatók standard hibaképletei: n

∑e

se =

2

(

= s y2 1 − r 2

i =1

n

)

A reziduális szórás becslésére az alábbi torzítatlan becslést is használják: n

se =

∑ e2 i =1

n−2

∑ (y n

=

i =1

− ˆy y )

2

i

n−2

A regressziós együtthatók hibái: n

sb 0 = s e ⋅

∑⋅ x

2 i

i =1

n

n ⋅ ∑ d x2 i =1

s b1 =

i

se

∑d

2 x

A standard hibák azt mutatják meg, hogy végtelen sok n elemű mintát véve az alapsokaságból az egyes mintákból becsült „b0” paraméterek átlagosan sb0 egységgel, a „b1” paraméterek pedig sb1 egységgel szóródnak az alapsokasági regressziófüggvény körül.

193

Konfidencia intervallum a becsült paraméterekre

A becsült paraméterekre konfidencia intervallumokat is konstruálhatunk. Nagy minták esetén normális eloszlás táblázatot, kis minták esetén a Studen-eloszlás t-táblázatát használjuk (DF=n-2):

b0 − t

1−

b1 − t

1−

α

⋅ sb0 < β 0 < b0 + t

1−

2

α

⋅ sb1 < β1 < b1 + t

1−

2

α

α

⋅ sb0

2

⋅ sb1

2

A konfidencia intervallum úgy értelmezhető [(pl: ( 1 − α ) =95%)], hogy sok ismételt mintavétel végrehajtása során (pl.: 100 mintavétel) átlagosan 95 esetben a becsült regressziós együtthatóhoz rendelt konfidencia tartomány lefedi a valóságos értékeket. A lineáris kapcsolat szignifikancia vizsgálata: A t-próba segítségével azt is ellenőrizhetjük, hogy az Y és X változók között szignifikáns lineáris kapcsolat van-e. Nullhipotézisünk és ellenhipotézisünk: H o : β1 = 0 H 1 : β1 ≠ 0 A próbastatisztika: t sz =

b1 sb1

A tkrit értéket α szignifikancia szinten DF=n–2 szabadsági foknál találjuk meg. Ha tsz>tkrit, elvetjük Ho-t és valós lineáris összefüggést tételezünk fel X és Y között. Az átlagos, vagy az egyedi yi értékek becslése: Az eddigiekben mindig feltételezzük, hogy az adott xi értékek rögzített értékek, azaz nem valószínűségi változók. (Mintapéldánkban ez úgy értelmezhető, hogy a műtrágya mennyiségét tudatosan mi állítjuk be, azaz X változik, de nem a véletlen hatására). Ebben az esetben minden egyes xi értékhez az yi értékeknek egy eloszlása tartozik. Előfordulhat azonban olyan eset is, amikor xi értékek is a véletlen hatására ingadoznak egy általunk ismeretlen M(xi) várható érték körül. Ilyenkor mind az xi, mind az yi értékek mintáról mintára változhatnak. (Mintapéldánkban ez úgy állhat elő, ha X értékeit a gazdálkodók sokaságára értelmezzük, így ezek az értékek a mi számunkra valószínűségi változóként viselkednek.) A regresszióbecslés pontosságának vizsgálatakor a modellben szereplő paraméterek standard hibái alapján következtethetünk a számított yˆ i függvényértékek pontosságára is. Az X változó értelmezési tartományában minden egyes xi értékhez tartozik egy regresszióérték, amelyet az yˆ i = b0 + b1 ⋅ xi

194

becslés alapján állíthatunk elő. Ez a becslés – az előzőek alapján – két különböző célra használható fel. Becsülhetjük vele Y átlagos volumenét, vagyis egy adott xi értékhez tartozó feltételes várható értéket (átlagos yi értéket). Mintapéldánkban ekkor azt vizsgáljuk, hogy egy adott xi műtrágya felhasználáshoz átlagosan mekkora terméshozam várható. Az „b0” és „b1” paraméterek mintavételi hibáiból fakadóan ennek a becslésnek is van standard hibája, mégpedig: s ˆy = se ⋅

( xi − x ) 2 1 + n ∑ ( xi − x ) 2

A feltételes várható érték (1-α) szintű konfidencia intervalluma: M ( yˆ / xi ) = yˆ i ± t

1−

α

⋅ sy

2

Becsülhetünk azonban egy egyedi yi értéket is. Ekkor a standard hiba: s yi = s e ⋅

( xi − x) 2 1 + +1 n ∑ ( xi − x ) 2

A konfidencia intervallum pedig: yi = yˆ i ± t

1−

α

⋅ s yi

2

Mindkét esetben xi értékeit végigfuttatva egy konfidencia sávot kapunk, amelynek szélessége ( 1 − α ) -tól függ.

50. ábra: A várható értékek és egyedi értékek konfidencia intevalluma

195

A regressziós vonalhoz közelebb eső sáv a várható érték-, a távolabb eső pedig az egyedi értékek konfidencia intervallumát mutatja. Így, ha a lineáris regresszióra megfogalmazott feltételeink teljesülnek, akkor (1-α) valószínűséggel állíthatjuk, hogy egy megfigyelt pont a szélesebb sávba esik, azaz a pontoknak csak α %-a eshet-e sávon kívül.

196

XI. Tárgymutató additív modell, 182 árindex fogyasztói árindex, 96 külkereskedelmi árindex, 95 termelői árindex, 92 árolló, 93 asszociációs együttható, 158 átlagos abszolút eltérés, 53 átlagos abszolút különbség, 53 autokorreláció, 184 Bartlett-próba, 170 becslés elégséges becslés, 135 hatásos, 135 intervallumbecslés, 138 konzisztens becslés, 133 pontbecslés, 136 torzítatlan becslés, 132 belső szórás, 70 binomiális eloszlás, 122 Bruttó hazai termék (GDP), 24, 102 ciklikus ingadozás, 180 Cochran-próba, 171 cserearányindex, 95 csoportképző ismérv, 17 decilis, 50 deflálás, 88 determinációs együttható, 193 determinisztikus jelenségek, 110 determinisztikus kapcsolat, 176 diszkrét adat, 36 diszkrét egyenletes eloszlás, 122 diszkrét elméleti eloszlás, 122 egymintás próba, 160 egymintás szórásnégyzet próba, 162 egymintás t-próba, 160 egymintás z-próba, 160 egyszeres osztályozású varianciaanalízis, 172 ellenhipotézis, 149 eloszlásfüggvény, 119 elsőfajú hiba, 147 eredményszemléletű számbavétel, 16 exponenciális eloszlás, 126 folytonos adat, 36

folytonos egyenletes eloszlás, 125 folytonos elméleti eloszlás, 125 főátlag, 67 F-próba, 169 függelenségvizsgálat, 155 gazdasági folyamat, 15 gazdasági ügylet, 14 gazdaságstatisztika alanyai, 12 gyakoriság, 39 hányadosfelbontás, 74 harmonikus átlag, 48 hipergeometrikus eloszlás, 123 hivatalos statisztikai szolgálat, 20 homogeniásvizsgálat, 154 illeszkedésvizsgálat, 151 indexszámok, 83 árindex, 85 egyedi árindex, 84 egyedi termelési érték index, 84 egyedi volumenindex, 84 értékindex, 84 Fisher-féle indexek, 85 Laspeyres-féle indexek, 85 Paasche-féle indexek, 85 volumenindex, 85 interkvartilis terjedelem, 52 jövedelmi folyamat, 16 keresztkorreláció, 184 kétmintás próba, 160 kétmintás t-próba, 164 kétmintás z-próba, 164 kombinatív osztályozás, 18 konfidencia-intervallum, 138 kontingencia táblázat, 18 korrelációs együttható, 189 korrigált tapasztalati szórás, 54 kovariancia, 191 központi határeloszlás tétele, 129 kumulált gyakoriság, 39 kumulált relatív gyakoriság, 39 különbségfelbontás, 74 külső szórás, 70 kvantilis, 50, 120 kvartilis, 50 legkisebb négyzetek módszere, 136

197

leíró statisztika, 35 másodfajú hiba, 147 medián, 44, 120 mérési skála arányskála, 9 intervallum skála, 9 névleges skála, 8 sorrendi skála, 8 mértani átlag, 49 mintavétel arányos elosztás, 31 csoportos mintavétel, 31 egyenletes elosztás, 31 egyszerű véletlen mintavétel, 29 hólabda kiválasztás, 33 koncentrált kiválasztás, 33 költségoptimális elosztás, 31 kvótás kiválasztás, 32 mintavételi hiba, 29 nem mintavételi hiba, 29 nemvéletlen mintavételi eljárások, 32 Neyman-féle optimális elosztás, 31 rétegzett mintavétel, 30 szisztematikus kiválasztás, 32 többlépcsős mintavétel, 32 módusz, 46, 121 monetáris tranzakció, 14 mozgóátlag, 181 multiplikatív modell, 182 négyzetes átlag, 49 nem monetáris tranzakció, 14 nemparaméteres próba, 149 nemzetgazdasági mérlegrendszer, 23 nominális értéken számított folyamat, 16 normális eloszlás, 126 nullhipotézis, 149 összetételhatás-különbség, 76 paraméteres próba, 149 páros minta, 167 pénzforgalmi szemléletű számbavétel, 17 Poisson eloszlás, 124 próbafüggvény, 150

reálértéken számított folyamat, 16 reálfolyamat, 15 relatív gyakoriság, 39, 111 relatív szórás, 55 reprezentáns, 96 részátlag, 67 részhatás-különbség, 76 reziduum, 186 sokaság, 28 aggregált sokaság, 82 fősokaság, 67 heterogén sokaság, 66 részsokaság, 67 standard normális eloszlás, 127 standardizálás, 73 statisztikai minta, 28 sűrűségfüggvény, 119 számtani átlag, 47 szezonális ingadozás, 180 szórás, 120 szórásnégyzet (variancia), 120 sztochasztikus jelenségek, 110 sztochasztikus kapcsolat, 176 tapasztalati szórás, 54 teljes eseményrendszer, 115 terjedelem, 52 többmintás próba, 160 valószínűség, 111 valószínűség-eloszlás függvény, 118 valószínűségi változó, 117 várható érték, 119 varianciahányados, 72 vegyes kapcsolat, 72 viszonyszám, 66 bázisviszonyszám, 81 dinamikus viszonyszám, 67 intenzitási viszonyszám, 66 láncviszonyszám, 81 megoszlási viszonyszám, 66 összetett viszonyszám, 67 részviszonyszám, 67 Welch-próba, 166

198

XII. Felhasznált irodalom 1. Banks, J.: Principles of Quality Control, Wiley, New York, 1989 2. Curwin, J. – Slater, R.: Quantitative Methods for Business Decisions, Third Edition, Chapman & Hall, London, 1991 3. Csernyák L.(szerk.): Valószínűségszámítás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1990 4. Fleming, M. C. - Nellis, J. G.: The Essence of Statistics for Business, Prentice Hall, New York, 1991 5. Hunyadi L. – Mundruczó Gy. – Vita L.: Statisztika, Aula Kiadó, Budapest, 1996 6. Kövesi J.: A menedzsment kvantitatív módszerei I., Rang-módszerek alkalmazása, oktatási segédanyag, Budapest, 1998 7. Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 1998 8. Kövesi J.: Kvantitatív módszerek, Oktatási segédanyag, BME MBA Mérnököknek program, Budapest, 2001 9. Lukács O.: Matematikai statisztika, Példatár, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987 10. Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985 11. Sincich, T.:Statistics by Example, Dellen Publishing Company, San Fransisco, 1990 12. Spiegel, Murray R.: Statisztika: Elmélet és gyakorlat, Panem – McGraw-Hill, Budapest, 1995 13. Szabó G. Cs. (szerk.): Alkalmazott statisztika I., Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1994 14. Szép K. – Vígh J.(2004): A minőség a hivatalos statisztikában. Statisztikai szemle, 82. évf. 8.sz.

199