Boldriehoeken op een wereldkaart 1. Op zoek naar de kortste afstand Een boldriehoek op een wereldbol kun je je makkelijk inbeelden. Je kiest drie steden , en op het aardoppervlak en je verbindt ze met drie segmenten van grootcirkels. Deze segmenten geven de kortste afstanden weer tussen deze steden. Voilà. Meer is er niet aan.
Figuur 1 Een boldriehoek tussen de steden A, B en C
Op een mercatorkaart is het allemaal een beetje ingewikkelder. Het uitzetten van de drie steden valt nogal mee. De gewone breedteligging moet omgezet worden in de mercatorbreedte met de formule ( ( )). De lengteligging kan behouden blijven. De moeilijkheid zit echter in het tekenen van de kortste verbindingslijnen tussen de drie steden. We kunnen hiervoor geen lijnstukken gebruiken. Rechte lijnen op een mercatorkaart stellen geen grootcirkels voor maar wel loxodromen (kompasrouten). Deze krommen waren de enige routen die tijdens de grote ontdekkingsreizen op zee konden gevolgd worden door zeevaarders die over niet veel meer nautische hulpmiddelen beschikten dan een kompas. Je kunt deze loxodromen beschouwen als krommen die naar de polen toe spiraliseren. Het zijn dus geen kortste verbindingslijnen tussen twee plaatsen op aarde. Vandaar ook dat ze in onbruik zijn geraakt. Op de mercatorkaart van figuur 2 zie je de steden Buenos Aires (Argentinië), Hammerfest (Noorwegen) en New Delhi (Indië) met verbindingslijnen volgens grootcirkels. In deze tekst leggen we uit hoe je soortgelijke figuren maakt in Excel. Deze handleiding kan ook gebruikt worden als je kiest voor een ander projectiesysteem waarvan je de wiskundige formules op het internet vindt, bijvoorbeeld de CassiniSoldner-projectie. We hebben er bewust voor gekozen niet alles tot in de kleinste details uit te leggen. Je moet bij elke stap zelf nog een beetje denkwerk verrichten. Geef dus niet te snel op wanneer je een bepaalde stad in een verkeerd werelddeel ziet verschijnen maar denk bij elke fout goed na over een mogelijke aanpassing van je formules.
Figuur 2 Drie steden en drie grootcirkels op een merctorkaart
2. Van bolcoördinaten naar cartesiaanse coördinaten Je kunt op het internet de bolcoördinaten (de lengteligging en de breedteligging ) van alle steden ter wereld opzoeken. Voor deze opdracht is het echter handiger de positiebepaling van steden te vinden in driedimensionale cartesiaanse coördinaten. Er zijn dus drie onderling loodrechte assen, de x-as, de y-as en de z-as, nodig. Die plaats je zo dat de oorsprong in het middelpunt van de aarde zit, dat de x-as en de y-as het evenaarsvlak bepalen en dat de z-as naar de noordpool wijst.
Figuur 3 Het punt P op de eenheidsbol
In plaats van op de echte aardbol te werken (die met straal ) gebruiken we nu de eenheidsbol (met straal en met als middelpunt het centrum van de aarde). In figuur 3 zie je een stad P, met zijn bolcoördinaten en zijn cartesiaanse coördinaten. Door aandachtig naar de rechthoekige driehoeken in deze figuur te kijken, kun je de cartesiaanse coördinaten van het punt aflezen. Ga na of je deze formule kan verklaren: (
).
3. Vergelijking van een vlak door twee punten en de oorsprong We kiezen nu twee steden op het aardoppervlak en noemen ze en . Als we van deze steden de lengteen breedteligging kennen, kennen we ook de cartesiaanse coördinaten: (
) en (
).
Alle punten op de grootcirkel door A en B liggen in het vlak ABO. Vandaar dat we als voorbereiding op de tekening van een grootcirkel een vergelijking van het vlak ABO proberen te zoeken. We noemen dit vlak . In figuur 4 zie je een willekeurig punt in het vlak . Je kunt dit punt lokaliseren door een veelvoud van de vector ⃗⃗⃗⃗⃗ op te tellen bij een veelvoud van de vector ⃗⃗⃗⃗⃗ . Voor het concrete punt op deze tekening ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . Voor een willekeurig punt in het vlak geldt vinden we bij benadering dat ⃗⃗⃗⃗⃗ dat ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
met en twee willekeurige reële getallen. Elk tweetal reële getallen ( ) stelt bijgevolg een ander punt voor van het vlak . De vergelijking hierboven noemen we een vectoriële vergelijking van het vlak . Als we de vectoriële vergelijking van uitdrukken door middel van coördinaten, vinden we een stelsel van drie vergelijkingen waarin ook de parameters en een rol spelen. Dit stelsel noemen we een stel parametervergelijkingen van het vlak . { We merken op dat één vectoriële vergelijking hier omgezet wordt in een stelsel van drie parametervergelijkingen. In de cursus ruimtemeetkunde zul je dit stelsel met drie parametervergelijkingen verder omvormen tot één enkele cartesiaanse vergelijking (zonder parameters).
z
α
P
A B O
y
x
Figuur 4 Een vlak
door de oorsprong
Voor en vinden we via dit stelsel het punt . Voor en vinden we het punt Als we de parameters en stapsgewijze laten overgaan van 0 naar 1 en van 1 naar 0 (zie figuur 5) dan vinden we punten waarvoor de halfrechte de bol op de cirkelboog ̂ snijdt. Met deze informatie zou je in staat moeten zijn de cartesiaanse coördinaten te berekenen van een tiental tussenliggende punten op een grootcirkelboog.
4. Een tabel met tien tussenliggende punten op een grootcirkel Vooraf zoek je de lengteligging en de breedteligging van twee steden, en , op via een geschikte internetsite. De keuze voor de schermafdruk hieronder viel op Buenos Aires en New Delhi. Meestal vind je lengte- en breedteliggingen die uitgedrukt zijn in graden en minuten. Omdat Excel standaard met radialen werkt, zul je deze hoeken eerst moeten omzetten. Nu kun je een tabel zoals in figuur 5 opstellen. In de meest linkse kolommen zet je de waarden voor de parameters en . De derde, vierde en vijfde kolom geven de cartesiaanse coördinaten van de tien tussenpunten aan. Deze tussenpunten liggen niet op de bol, maar op het lijnstuk . De cartesiaanse coördinaten zijn echter niet geschikt voor het tekenen van een kaartprojectie. Vandaar dat we nog een extra berekening nodig hebben voor de omzetting van de cartesiaanse naar de bolcoördinaten.
Figuur 5 Een Excel-tabel met coördinaten van tussenliggende punten
Voor de zesde en zevende kolom moet je de cartesiaanse coördinaten omzetten naar een lengte- en breedteligging. De formules hiervoor kun je zelf opstellen met behulp van figuur 3. Aangezien de lengteen breedteligging hoeken zijn, is het niet belangrijk van welk punt op de halfrechte je neemt. Voor deze berekening heb je boogtangenten nodig, zowel voor de breedteligging als voor de lengteligging. Voor de breedteligging hoef je deze boogtangens niet te corrigeren: boogtangenten liggen in het interval + *, breedtegraden ook. Maar bij de lengteligging moet je extra voorzichtig zijn. Als de lengteligging van een plaats groter dan
is, dan vind je een boogtangens in het interval +
moet bijtellen. Als de lengteligging kleiner dan +
5.
* en dan moet je hier nog
* waar je duidelijk nog
is, dan ligt de berekende boogtangens in het interval
van aftrekken.
Overhevelen naar een Excelkaart
Indien je gekozen hebt voor een mercatorkaart kun je de achtste kolom in het Excelbestand aanvullen met de mercatorformule
(
(
)). Zoals je reeds in de lessen informatica gedaan hebt, zet je nu in
een Excelgrafiek kolom 7 (de geografische lengte) op de horizontale as uit tegen kolom 8 (de mercatorbreedte) op de verticale as.
Figuur 7 Een spreidingsdiagram maken met een vloeiende lijn en markeringen
Hiervoor kies je best de optie: spreidingsdiagram met vloeiende lijn en met markeringen. Zo ontstaat een tamelijk vloeiende verbindingslijn tussen de twee gekozen steden, die erg aansluit bij het grootcirkelsegment door en . Als je niet tevreden bent over de gladheid van het grootcirkelsegment, hermaak je de figuur met 20 deelpunten in plaats van met 10.
Figuur 8 Boldriehoek met zijden, hoeken en oppervlakte op een mercatorkaart
Voor het tekenen van een volledige boldriehoek zul je heel deze operatie drie keer moeten uitvoeren. Als je alles goed uitvoert, zul je merken dat de verbindingskromme tussen sommige steden uit twee delen kan bestaan. Dat gebeurt wanneer het grootcirkelsegment de datumgrens overschrijdt. In een volgend project over boldriehoeksmeting zal je aan dit werkblad nog enkele mooie berekeningen kunnen toevoegen: de afstand tussen de drie steden, de hoeken van de boldriehoek en de ingesloten oppervlakte.
