BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET. Hani Nurbiantoro Santosa, PhD

BINOVATIF

LISTRIK DAN MAGNET Hani Nurbiantoro Santosa, PhD [email protected]

2

BAB 2 MEDAN LISTRIK DAN HUKUM GAUSS Pendahuluan, Distribusi Muatan Kontinu, Mencari Medan Listrik Menggunakan Integral, Fluks Medan Listrik, Hukum Gauss, Simetri Silinder, Simetri Bola, Simetri Bidang, Hukum Gauss versi Differensial

3

Pendahuluan 𝐸 𝑟

𝑧

Medan listrik akibat

𝑃

satu muatan titik:

𝑄 𝐸 𝑟 = 𝓇 2 4𝜋𝜀0 𝓇

𝑟

dengan

𝑅

𝓇 =𝑟−𝑅 𝑂

𝑥

+𝑄 𝑦

Pendahuluan

4

5

Pendahuluan

𝐸

6

Pendahuluan

𝐸

7

Pendahuluan +2𝑄

−𝑄

Distribusi Muatan Kontinu 

Kita bisa menghitung medan listrik akibat satu atau beberapa muatan titik.



Bagaimana cara menghitung medan listrik akibat distribusi muatan kontinu (muatan yang terdistribusi dalam bentuk bola, kawat lurus, cincin, pelat, dll)? Ada dua cara: 

Integral (selalu bisa, tetapi perhitungannya kadang rumit)



Hukum Gauss (tidak selalu bisa, tetapi perhitungannya sederhana)

+

8

9

d𝑄 d𝐸 𝑟 = 𝓇 2 4𝜋𝜀0 𝓇

Medan listrik akibat distribusi muatan kontinu:

𝑧

𝜌 𝑅 𝐸 𝑟 = d 𝑅 𝓇 2 4𝜋𝜀0 𝓇

𝑃

3

𝑟 d𝑄 d𝑄 = 𝜌 𝑅 d3 𝑅

𝑅 𝑂

𝑥

𝑦

dimana d3 𝑅 = d𝑋. d𝑌. d𝑍 adalah elemen volume di tempat muatan sumber berada.

10

Integral 

Kawat panjang semi infinite memiliki muatan per satuan panjang 𝜆. Hitunglah medan listrik pada titik 𝑃. 𝑠

++++++++++++++++++++++++++

ℓ

d𝑠

∞

𝐸= ℓ 

𝑃

d𝐸

1 d𝑞 1 𝜆. d𝑠 d𝐸 = = 2 4𝜋𝜀0 𝑠 4𝜋𝜀0 𝑠 2 1 𝜆. d𝑠 1 𝜆 = − 2 4𝜋𝜀0 𝑠 4𝜋𝜀0 𝑠

∞ ℓ

1 𝜆 = 4𝜋𝜀0 ℓ

Perhatikan: medan d𝐸 akibat semua elemen d𝑠 memiliki arah yang sama, sehingga bisa langsung diintegralkan.

11

d𝐸

d𝐸𝑧 = d𝐸 cos 𝜃 𝜃



Cincin dengan jari-jari 𝑅 memiliki muatan total 𝑄.



Hitunglah medan listrik pada jarak 𝑧 dari pusat cincin.



Perhatikan: medan listrik komponen 𝑥 dan 𝑦 dari semua elemen akan saling menghilangkan!

d𝐸𝑥

𝑃

𝜃 𝑧

𝑦

𝑥

𝑅 d𝑠

𝑂 +

12

Integral 𝑘 d𝑞 d𝑠 1 d𝐸 = 2 =𝑘 𝑄 2 ; 2 2 𝑅 +𝑧 2𝜋𝑅 𝑅 +𝑧 d𝑠 d𝐸𝑧 = d𝐸 cos 𝜃 = 𝑘 𝑄 2𝜋𝑅 2𝜋𝑅

𝐸𝑧 = 0

𝑄 𝑘 2𝜋𝑅

𝑧 𝑅2 + 𝑧 2

3 2

cos 𝜃 = 𝑧 𝑅2 + 𝑧 2

𝑧 𝑅2 + 𝑧 2

3 2

𝑘𝑄𝑧 d𝑠 = 𝑅2 + 𝑧 2

3 2

13

Integral 

Kawat panjang infinite memiliki muatan per satuan panjang 𝜆. Hitunglah medan listrik pada jarak 𝑟 dari kawat.

d𝐸

𝜃 d𝐸𝑥 = d𝐸 sin 𝜃

𝑃

d𝐸𝑦 = d𝐸 cos 𝜃

𝑦

𝜃

𝑥

𝑟

d𝑥

+++++++++++++++++++++++++++++++++

𝑥



Perhatikan: komponen medan d𝐸𝑥 (sejajar kawat) akibat semua elemen akan saling menghilangkan, sehingga hanya komponen medan d𝐸𝑦 (tegak lurus kawat) yang tersisa.

14

Integral 𝑘 d𝑞 𝑘𝜆 d𝑥 d𝐸 = 2 = 2 ; 2 2 𝑟 +𝑥 𝑟 +𝑥

cos 𝜃 =

𝑘𝜆𝑟 d𝑥 d𝐸𝑦 = d𝐸 cos 𝜃 = 2 𝑥 + 𝑟2 3 ∞

𝐸𝑦 = −∞

𝑘𝜆𝑟 𝑥2 + 𝑟2

𝑟

3 2

𝑟2 + 𝑥2 2

d𝑥 = ⋯

Jika Anda kesulitan mengerjakan integral di atas, cobalah melakukan substitusi 𝑥 = 𝑟 tan 𝜃. Pada akhirnya, Anda akan mendapatkan:

𝜆 𝐸𝑦 = 2𝜋𝑟𝜀0

15

Fluks Medan Listrik 

Fluks medan listrik didefinisikan sebagai banyaknya garis medan listrik yang menembus suatu permukaan.



𝐴 adalah vektor luas: arahnya tegak lurus permukaan, dan besarnya sama dengan luas permukaan.



𝐴 𝜃

𝐸 adalah medan listrik.

𝜙𝐸 = 𝐸 ⋅ 𝐴 = 𝐸𝐴 cos 𝜃

𝐸

16

Fluks Medan Listrik 𝐴

𝐴

𝐴

𝜃

𝐸 𝜃 = 0° 𝜙𝐸 = 𝐸𝐴 cos 0° = 𝐸𝐴 Fluks maksimum

𝐸 𝜃 ≠ 0° 𝜙𝐸 = 𝐸𝐴 cos 𝜃

𝐸 𝜃 = 90° 𝜙𝐸 = 𝐸𝐴 cos 90° = 0 Fluks nol (tidak ada garis medan yang menembus permukaan)

17

Fluks Medan Listrik 𝐴

𝐴 𝜃

𝐸⊥

𝜃

𝜃

𝐴⊥

𝐸

𝐸 𝐴⊥

𝜙 = 𝐴 𝐸 cos 𝜃 = 𝐴𝐸⊥

𝜙 = 𝐸 𝐴 cos 𝜃 = 𝐸𝐴⊥

Fluks = luas permukaan dikali komponen medan yang tegak lurus permukaan

Fluks = medan dikali luas permukaan yang tegak lurus medan

18

Fluks Medan Listrik

Untuk permukaan tertutup, vektor luas mengarah tegak lurus keluar.

𝐴2

𝐴3

𝐴1

𝐴5

𝐴4

19

Fluks Medan Listrik 𝐴2

𝜙3 = 𝐸𝐴3 cos 0° = 𝐸𝐴3

𝜙2 = 𝐸𝐴2 cos 90° = 0

(keluar permukaan)

𝐴1

𝐴3

𝜙1 = 𝐸𝐴1 cos 180° = −𝐸𝐴1

𝐸

(masuk permukaan)

𝐴5

𝐴4 𝜙4 = 𝐸𝐴4 cos 90° = 0

20

Fluks Medan Listrik

Untuk medan listrik yang berubah-ubah dan/atau permukaan yang tidak beraturan, kita harus memakai integral:

𝜙𝐸 =

𝐸 ⋅ d𝐴

21

Hukum Gauss Fluks medan listrik total yang melewati suatu permukaan tertutup (permukaan Gauss) sebanding dengan muatan total yang “terbungkus”:

𝜙𝑡𝑜𝑡 =

𝑞𝑖𝑛 𝐸 ⋅ d𝐴 = 𝜀0

22

𝑧

𝑅 d𝜃

d𝐴 = 𝑅 2 sin 𝜃 d𝜃 d𝜑 d𝐴 dΩ = 2 = sin 𝜃 d𝜃 d𝜑 𝑅

𝜃 𝑅

𝜑

𝑥

𝑦 d𝜑

dΩ = sin 𝜃 d𝜃 d𝜑 d𝑆 cos 𝛼 = d𝐴 = 𝑟 2 dΩ

𝐸

d𝑆

23

𝛼 d𝜙 = 𝐸 ⋅ d𝑆 = 𝐸 d𝑆 cos 𝛼

d𝑆

𝛼

𝑄 d𝑆 cos 𝛼 𝑄 = = dΩ 2 4𝜋𝜀0 𝑟 4𝜋𝜀0 Perhatikan bahwa d𝜙 hanya bergantung pada dΩ! Integralkan hasil di atas untuk semua arah pada permukaan Gauss menghasilkan:

𝜙=

𝑄 d𝜙 = 4𝜋𝜀0

𝑄 dΩ = 𝜀0

d𝐴 = 𝑟 2 dΩ

𝑟

dΩ

+𝑄

24

Hukum Gauss 𝐸

∆Ω

d𝐴2

d𝐴1 1

+𝑄 𝑄 𝜙1 = − ΔΩ 4𝜋𝜀0

𝜙𝑡𝑜𝑡 = 𝜙1 + 𝜙2 = 0 ‼

2 𝑄 𝜙2 = + ΔΩ 4𝜋𝜀0

25

Hukum Gauss 𝜙1 = 0

𝑆1

𝜙2 = 0

𝑆4

𝑆3 𝑆2

−𝑞 𝜙3 = 𝜀0

+𝑞 𝜙4 = 𝜀0

Hukum Gauss 



Pada umumnya, Hukum Gauss bisa digunakan untuk mencari medan listrik dalam situasi-situasi berikut ini: 

Simetri silinder (contoh: kawat panjang infinite)



Simetri bidang (contoh: bidang datar infinite)



Simetri bola (contoh: muatan titik)

Langkah-langkah dalam menggunakan Hukum Gauss: 

Carilah arah medan listrik di tiap-tiap titik menggunakan logika atau prinsip simetri.



Buatlah permukaan Gauss yang sesuai dengan simetrinya. Pastikan bahwa 𝐸 ⋅ d𝐴 pada permukaan tersebut mudah dihitung.



Hitunglah fluks medan listrik pada permukaan tersebut.

26

27

Simetri Silinder 𝑦

𝐸

𝐸

𝑥

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 

Kawat panjang infinite bermuatan 𝜆 per satuan panjang.



Arah medan listrik tegak lurus kawat.

Simetri Silinder

28



Kita juga bisa menentukan bahwa arah medan listrik tegak lurus kawat menggunakan prinsip simetri sebagai berikut.



Misalnya arah medan listrik sejajar kawat ke kanan (sumbu 𝑥 positif). Jika ini benar, sesudah kawatnya kita putar 180° terhadap sumbu 𝑦, arah medan listrik akan berubah ke kiri.



Tetapi hal ini tidak masuk akal! Sesudah kawat diputar 180° terhadap sumbu 𝑦, kawat tetap sama seperti sebelumnya: tidak ada yang berubah dari posisi, orientasi, atau muatannya. Jadi, tidak masuk akal kalau sekarang arah medan berubah ke kiri!



Oleh karena itu, kesimpulan yang masuk akal adalah arah medan pasti tegak lurus kawat.

Buatlah permukaan Gauss berbentuk silinder:

29 𝐸

𝜙𝑎 = 𝐸 ⋅ 𝐴𝑎 = 0 𝐴𝑎

𝜙𝑡 = 𝐸 ⋅ 𝐴𝑡 = 0 𝐴𝑡

ℎ

𝑟

𝜙𝑠 =

𝜙𝑡𝑜𝑡

d𝐴𝑠 𝐸 ⋅ d𝐴𝑠 = 2𝜋𝑟ℎ𝐸

0

0

𝜙𝑡𝑜𝑡 = 𝜙𝑎 + 𝜙𝑠 + 𝜙𝑡 = 𝜙𝑠

𝑞𝑖𝑛 𝜆ℎ 𝜆 = 𝜙𝑠 = ⟹ 2𝜋𝑟ℎ𝐸 = ⟹ 𝐸= 𝜀0 𝜀0 2𝜋𝑟𝜀0

Simetri Bidang

 

Pelat infinite dengan muatan per satuan luas 𝜎. Kita bisa menggunakan logika atau prinsip simetri untuk menentukan bahwa arah medan listrik tegak lurus pelat.

30

31

Buatlah permukaan Gauss berbentuk silinder atau balok yang menembus pelat: 𝜙𝑎 = 𝐸 ⋅ 𝐴𝑎 = 𝐸𝐴 𝜙𝑡 = 𝐸 ⋅ 𝐴𝑡 = 𝐸𝐴 𝑎

𝑠

𝑡

𝜙𝑠 =

𝐸 ⋅ d𝐴𝑠 = 0

𝜙𝑡𝑜𝑡 = 𝜙𝑎 + 𝜙𝑡 = 2𝐸𝐴

𝜙𝑡𝑜𝑡

𝑞𝑖𝑛 𝐴𝜎 𝜎 = ⟹ 2𝐸𝐴 = ⟹ 𝐸= 𝜀0 𝜀0 2𝜀0

32

Simetri Bola

Arah medan listrik dan arah d𝐴 radial keluar.  Buatlah permukaan Gauss berbentuk bola. 

𝑟

𝐸 𝑞

d𝐴

𝜙𝑡𝑜𝑡 =

𝑞𝑖𝑛 𝐸 ⋅ d𝐴 = 𝜀0

𝑞 𝐸. 4𝜋𝑟 = 𝜀0 𝑞 𝐸= 4𝜋𝑟 2 𝜀0 2

Muatan titik 𝑞.