http://ariefhidayathlc.wordpress.com/ http://www.kompasiana.com/ariefhidayatpwt http://ariefhidayat88.forummi.com/
bilqis
1
PERTEMUAN 1
bilqis
2
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan mahasiswa diharapkan :
pertemuan
ini
– Mengetahui definisi Sistem Persamaan Linier – Dapat membentuk matriks yang merepresentasikan Sistem Persamaan Linier – Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan metode Gauss dan Gauss Jordan
bilqis
3
Contoh Soal berapa nilai x, y dan Z x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0
bilqis
4
Sistem Persamaan Linier
bilqis
5
Persamaan linier : Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1 atau 0 dan tidak terjadi perkalian antar variabelnya. Contoh:
(1)
x + y + 2z = 9
PL
(2)
2x + y = 9
PL
(3)
2xy – z = 9
Bukan PL
Solusi PL (1) : berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaan tersebut. Himpunan solusi untuk persamaan (1) di atas: { … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. } Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution space) bilqis
6
Misal : z t 0
y s 5 x 9 s 2t 4 atau
x t 4 y s 5 9t s z 0 2 atau
xt 4 z s 0 y 9 2s t 5
terserah variable mana yang akan diumpamakan, rumus bilqis berbeda, tapi hasil akhir untuk x, y, dan z tetap sama
7
Sistem Persamaan Linier: Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier.
Contoh: x + y = 3 3x – 5y = 1
Ruang Solusi: berupa semua ordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut; untuk sistem ini ruang solusinya { (2, 1) } bilqis
8
PENYIMPANGAN PADA PENYELESAIAN SUATU SPL Pada beberapa SPL tertentu terdapat penyimpangan – penyimpangan dalam penyelesaiannya, misal : Diberikan SPL sebagai berikut : x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 1 1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 0 1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0 Didapat penyelesaian x1 = 9, x2 = -36, dan x3 = 30 Jika SPL tersebut dituliskan dalam bentuk dua desimal : x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 1 0,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 0 0,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0 Didapat penyelesaian x1 ≈ 55,55;bilqis x2 ≈ -277,778; dan x3 ≈ 255,556
9
Interpretasi Geometrik: Sistem menggambarkan 2 garis lurus pada sebuah bidang datar. g1:
x + y = 3
g2:
3x – 5y = 1
Solusi: g1 dan g2 berpotongan di (2, 1)
Kemungkinan:
berpotongan di 1 titik
Var => sama Konst => tidak
Kelipatan
X+y = 5
X+y = 5
X+y = 7
2X+2y = 10
tidak berpotongan bilqis
berimpit10
Solusi Sistem Persamaan Linier a. Cara Biasa → Seperti SMA b. Eliminasi Gauss c. Eliminasi Gauss - Jordan a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali): I. x + y = 3 3x + 3y = 9 3x – 5y = 1
3x – 5y = 1 8y = 8
y =1
3x – 5 = 1 3x = 6 x = 2 II.
y=3–x 3x – 5(3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1 8x = 16 x = 2 y=3–x y= 1 bilqis
11
b. Eliminasi Gauss (ringkasan):
Sistem Persamaan Linier
→
Matriks Augmented
→
Eliminasi Gauss
→
Substitusi Balik
OBE
bilqis
12
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier b. Eliminasi Gauss
(lihat contoh 3, halaman 5)
x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0
ditulis dalam bentuk matriks augmented
lalu diusahakan berbentuk
1 1 2
9
2 4 -3
1
3 6 -5
0
1 1 2
9
0 1 ?
?
0 0 1
?
dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementarybilqis Row Operation - ERO)
13
Matriks Augmented : (Matriks yang diperbesar) Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien Sistem Persamaan Linier
Contoh :
x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0
Matriks Augmented-nya :
bilqis
1
1
2
9
2
4
-3
1
3
6
-5
0
14
O.B.E sebuah baris dengan kostanta 0 sebuah baris dengan konstanta 0 kemudian pada baris lain Menukar dua buah baris Ciri-ciri eliminasi Gauss (Eselon Baris) Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada di kanan 1 utama baris di atasnya. bilqis 0 15 Dibawah 1 utama harus
Contoh : 1 0 0
4 1
3 6
0
1
7 2 5
0 0 0
1 0
2 1
6 1
0
0
0
0 0 1
Ciri-ciri eliminasi Gauss Jordan (Eselon Baris Tereduksi) Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama) Baris nol terletak paling bawah 1 utama baris berikutnya berada di kanan 1utama baris diatasnya.. Tiap kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain
1 Contoh : 0 0
0
0
1
0
0
1
4 7 1
0 0 0
bilqis
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1 3 0
16
Eliminasi Gauss menggunakan O.B.E : 9 1 1 2 0 2 7 17 0 3 11 27
[baris 1 -2] + baris 2 1 1 2 9
*
2 2 2 2
2 + 4 3 1
=
[baris 1 -3] + baris 3 baris 2 * 1/2
9 1 1 2 0 1 7/ 2 17/ 2 0 0 1/ 2 3/ 2 baris 3 -2 1 1 2 7 0 1 2 0 0 1
0 2 7 17 1 1 2 9
*
3 3 3 3
+
3 6 5 0
0 3 = 11 27
[baris 2 -3] + baris 3 0 1 7/2 17 / 2
*
3 3 3 3
0 3 11 27
+
0 0 1/ 2 3 / 2
=
Substitusi Balik 9 z=3 17 2 7 y z 17/ 2 3 2 y 7 / 2(3) 17/ 2 y 2
x y 2z 9 x 2 2(3) 9 x 1 bilqis
x 1, y 2, z 3 17
x
y
z
1 0 0
1 2 0
2 -7 -½
9 -17 -3/2
1 0 0
1 2 0
2 -7 -½
9 -17 -3/2
1 0 0
1 2 0
2 -7 -½
9 -17 -3/2
Substitusi Balik:
z
y
-1/2 z = -3/2
z =3
2y – 7z = - 17 2y = 21 – 17
y=2
x + y + 2z = 9 x =–2–6+9
x =1
z
bilqis
18
Bentuk eselon baris: 1. Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka entri pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama / leading-1) 2. Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian bawah matriks 3. Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan d/p 1-utama baris yang lebih atas
Bentuk eselon baris tereduksi: 1, 2, 3, ditambah 4. Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama harus di-0-kan bilqis
19
Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier
1. 2. 3.
Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k 0 Menukar posisi dua baris Menambah baris-i dengan k kali baris-j
bilqis
20
c. Eliminasi Gauss-Jordan (ringkasan):
Sistem Persamaan Linier
→
Matriks Augmented
→
Eliminasi Gauss-Jordan
→
Solusi (langsung)
OBE
bilqis
21
Eliminasi Gauss-Jordan
(contoh yang sama)
x + y + 2z = 9
1 1 2
9
2x + 4y – 3z = 1
2 4 -3
1
3x + 6y – 5z = 0
3 6 -5
0
dan diusahakan berbentuk
1 0 0 0 1 0
? ?
0 0 1
?
dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE) (Elementary Row Operation - ERO) bilqis
22
Gauss-Jordan MatLab
bilqis
23
Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan O.B.E idem Gauss disambung dengan : 2 9 1 1 0 1 7 / 2 17/ 2 0 0 1 3
1 1 2 9 0 1 0 2 0 0 1 3 1 1 0 3 0 1 0 2 0 0 1 3
1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3
baris 3 0 0 1 3
baris 3
baris 2
*
7 + baris 2 2
7 / 2 7 / 2 7 / 2 7 / 2
0 1 7/2 17 / 2
+
-2 + baris 1
-1 + baris 3
0 1 0 2
=
0 0 1 3 0 1 0 2
*
*
2 2 2 2 1 1 1 1
+
1 1 2 9
1 1 0 3
+
1 1 0 3
=
1 0 0 1
=
x 1 y 2 z 3
bilqis
24
Suatu SPL mempunyai 3 kemungkinan jawaban, yaitu : 1. Mempunyai jawaban tunggal 2. Mempunyai banyak jawaban 3. Tidak mempunyai jawaban Contoh : Tentukan nilai a agar SPL berikut: x – 2y + 3z = 1 2x – 3y + 9z = 4 x – 3y + (a2 - 4)z = 1 + a i. ii. iii.
Mempunyai jawaban tunggal Mempunyai banyak jawaban Tidak mempunyai jawaban
bilqis
25
Penyelesaian : Matriks Eselon SPL di atas adalah :
3 1 2 0 1 3 0 0 4 a 2
i.
Mempunyai jawaban tunggal a2 – 4 ≠ 0 a ≠ -2 dan a ≠ 2
ii.
Mempunyai banyak jawaban a2 – 4 = 0 dan a +2 = 0 a = -2
iii.
Tidak mempunyai jawaban a2 – 4 = 0 dan a + 2 ≠ 0 a = 2
bilqis
1 2 2 a
26
• Lihat contoh di halaman 5 dan 6 • Lihat contoh di halaman 11 dan 12
bilqis
27
Halaman 5 Example 3. In the left column below we solve a system of equations by operating on the equations in the system, and in the right column we solve the same system by operating on the rows of the augmented matrix. x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y -5z = 0
2 9 1 1 2 4 3 1 3 6 5 0 Add -2 times the first row to the second to obtain 9 1 1 2 0 2 7 17 3 6 5 0
Add -2 times the first equation to the second to obtain
x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3x + 6y -5z = 0 Add -3 times the first equation to the third to obtain
Add -3 times the first row to the third to obtain
x + y + 2z = 9 2y – 7z = -17 3y -11z = -27
9 1 1 2 0 2 7 17 0 3 11 27
bilqis
28
Multiply the second equation by ½ to obtain
Multiply the second row by ½ to obtain
x y 2z 9 7 17 y z 2 2 3 y 11z 27
1 1 2 9 7 17 0 1 2 2 0 3 11 27
Add -3 times the second equation to the third to obtain
Add -3 times the second row to the third to obtain
x y 2z 9 7 17 z 2 2 1 3 z 2 2
1 1 2 7 0 1 2 1 0 0 2
Multiply the third equation by -2 to obtain
Multiply the third row by -2 to obtain
x y 2z 9
1 1 2 7 0 1 2 0 0 1
y
7 17 z 2 2 z3 y
bilqis
9 17 2 3 2
9 17 2 3 29
Add -1 times the second equation to the first to obtain
Add -1 times the second row to the first to obtain
x
11 35 z 2 2 7 17 y z 2 2 z 3
11 1 0 2 7 0 1 2 0 0 1
Add -11/2 times the third equation to the first and 7/2 times the third equation to the second to obtain
Add -11/2 times the third row to the first and 7/2 times the third row to the second to obtain
35 2 17 2 3
1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3
x 1 y2 z 3
The solution : x = 1, y = 2, z = 3
bilqis
30
Halaman 11 0 0 2 0 7 12 2 4 10 6 12 28 2 4 5 6 5 1
Step 1. Locate the leftmost column that does not consist entirely of zeros. 0 0 2 0 7 12 2 4 10 6 12 28 2 4 5 6 5 1 Leftmost nonzero column
Step 2. Interchange the top row with another row, if necessary, to bring a nonzero entry to the top of the column found in Step 1. 2 4 10 6 12 28 0 0 2 0 7 12 The first and second rows in the preceding matrix were interchanged 2 4 5 6 5 1 bilqis
31
Step 3
if the entry that is now at the top of the coloumn found in step 1 is a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1 1 0 2
step 4
-5 -2 -5
3 0 6
6 14 7 12 -5 -1
The first row of the preceding matrix was multiplied by ½
add suitable multiples of the top row to the rows below so that all entries below the leading 1 to zeros 1 0 0
step 5
2 0 4
2 0 0
-5 -2 5
3 0 0
6 14 7 12 -17 -29
-2 times the first row of the preceding matrix was added to the third row
Now cover the top row in the matrix and begin again with step 1 applied to the submatrix that remains. Continue in this way until the entire matrix is in row-echelon form 1 0 0
2 0 0
-5 -2 5
3 0 0
6 14 7 12 -17 -29
left most nonzero coloumn in the submatrix bilqis
32
1 0 0
1 0 0
1 0 0
2 0 0
2 0 0
2 0 0
-5 1 5
-5 1 5
-5 1 0
3 0 0
6 -3,5 -17
3 0 0
3 0 0
6 -3,5 -17
6 -3,5 0.5
14 -6 29
14 -6 29
14 -6 1
The first row in the submatrix was multiplied by -1/2 to introduce a leading 1
-5 times the first row of the submatirx was added to the second row of the submatrix to introduce a zero below the leading 1
The top row in the submatrix was covered, and we returned again to the step 1
leftmost non zero coloumn in the new submatrix 1 0 0
2 0 0
-5 1 0
3 0 0
6 -3,5 1
14 -6 2
The first(and only) row in the submatrix was multiplied by 2 to introduce a leading 1
•The entire matrix is now in row-echelonform. To find the reduce row-echelon form we need the following additional step bilqis
33
Step 6
Begining with the last nonzero row and working upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s 1 0 0
2 0 0
-5 1 0
3 0 0
6 0 1
14 1 2
1 0 0
2 0 0
-5 1 0
3 0 0
0 0 0
2 1 1
1 0 0
2 0 0
0 1 0
3 0 0
0 0 1
7 1 2
7/2 times the third row of the preceding matrix was added to the second row
-6 times the third row was added to the first row 5 times the second row was added to the first row
The last matrix is in reduced row echelon form bilqis
34
Sistem Persamaan Linier Homogen : 1.
Sistem Persamaan Linier dikatakan homogen jika semua suku di kanan tanda “=“ adalah 0.
2.
Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen: Solusi Trivial ( semua xi = 0; i = 1 .. n ): pasti ada Solusi Non-trivial ( solusi trivial, plus solusi di mana ada xi ≠ 0 )
Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya
2
2
-1
0
1
0
-1
-1
2
-3
1
0
1
1
-2
0
-1
0
0
0
1
1
1
0
bilqis
35
Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya 2 -1 1 0
1 -1 1 0
2 -1 1 0
1 -1 1 0
-1 2 -2 1
-1/2 2 -2 1
1
1
-1/2
0
0
3/2
0
0
0
0
0 -3 0 1
0 -3 0 1
1 1 -1 1
0 0 0 0
1/2 1 -1 1
0 0 0 0
0
1/2
0
-3
3/2
0
-3/2
0
-3/2
0
1
1
1
0
bilqis
Brs-1 (1/2)
Brs-2 + brs-1 Brs-3 – brs-1
36
1
1
-1/2
0
1/2
0
0
0
3/2
-3
3/2
0
0
0
-3/2
0
-3/2
0
0
0
1
1
1
0
1
1
-1/2
0
1/2
0
0
0
1
-2
1
0
0
0
1
0
1
0
Brs-2 (2/3) Brs-3 (– 2/3)
Brs-3 – brs-2 Brs-4 – brs-2
0
0
1
1
1
-1/2
0
0
0 0
1
1
0
0
1/2
0
1
-2
1
0
0
0
2
0
0
0
0
3
0
0
bilqis
37
1
1
-1/2
0
1/2
0
0
0
1
-2
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
3
0
0
Brs-3 (1/2) Brs-4 (1/3)
1
1
-1/2
0
1/2
0
0
0
1
-2
1
0
0
0
0
1
0
0 Brs-4 – brs-3
0
0
0
1
0
0
1
1
-1/2
0
1/2
0
0
0
1
-2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0 bilqis
0
38
1
1
-1/2
0
1/2
0
0
0
1
-2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
-1/2
0
1/2
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0 baris-1 + (1/2) baris-2
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
bilqis
39
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
x1 + x2
+ x5 = 0 x3
+ x5 = 0 x4
=0
x5 = s x3 + x5 = 0 x3 = – x5 x2 = t x1 + x2 + x5 = 0 x1 = – x2 – x5 Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s, 0, s ) } Catt => yang diumpamakan dahulu bilqis adalah index terbesar
40
Teorema: Sistem Persamaan Linier Homogen dengan variabel lebih banyak d/p. persamaan mempunyai tak berhingga banyak pemecahan.
Ditinjau dari matriksnya: Sistem Persamaan Linier Homogen dengan kolom lebih banyak d/p. baris mempunyai tak berhingga banyak pemecahan.
bilqis
41
Contoh menggunakan Matlab • Soal x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 Buat matrix pada Matlab
bilqis
42
Matlab Mengenol-kan baris ke-2, kolom 1 Baris 2 = Baris 1 * -2 + baris 2
bilqis
43
Matlab Mengenol-kan baris ke-3, kolom 1 Baris 3 = Baris 1 * -3 + baris 3
bilqis
44
Matlab Membuat nilai 1 pada kolom 2 dan baris 2 Baris 2 = Baris 2 * 1/2
bilqis
45
PR • Contoh pada slide 3, coba tukar antara baris pertama dengan baris 3, apakah hasilnya tetap sama ? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dgn tangan) x+ y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
bilqis
2x + 4y – 3z =
46
PR • Contoh pada slide 8, coba kerjakan 2 SPL yang seharusnya jawabannya sama, tapi kenapa berbeda? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dengan tangan) x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 1 1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 0 1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0
x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 1 0,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 0 0,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0 bilqis
47
PR kerjakan 2 saja • 1.1 3.b, 4.c, 5.d, 11 • 1.2 6.b, 7.c, 8.a, 13.b, 14.c, 15.b, 17, 22
bilqis
48
