PEMODELAN PERMAINAN MONOPOLI MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV
Bilqis El Jilnar 104094003021
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2011 M/1432 H
PEMODELAN PERMAINAN MONOPOLI MENGGUNAKAN RANTAI MARKOV
Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Oleh :
Bilqis El Jilnar 104094003021
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA 2011 M/1432 H
i
PENGESAHAN UJIAN Skripsi berjudul “Pemodelan Permainan Monopoli Menggunakan Rantai Markov “ yang ditulis oleh Bilqis El Jilnar, NIM 104094003021 telah di uji dan dinyatakan lulus dalam sidang Munaqosyah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada tanggal 13 Juni 2011. Skripsi ini telah diterima sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana strata satu (S1) Program Matematika. Menyetujui Penguji 2
Penguji 1
Yanne Irene, M. Si
Taufik Edy Sutanto, M. ScTech NIP. 19790530 200604 1 002
NIP. 19741231 200501 2 018
Pembimbing 1
Pembimbing 2
Hermawan Setiawan, M.Ti
Nur Inayah, M. Si
NIP. 19740623 199312 2 001
NIP.19740125 200312 2 001
Mengetahui
Ketua Program Studi Matematika
Dekan Fakultas Sains Dan Teknologi
Yanne Irene, M. Si
Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M. Si
NIP. 19741231 200501 2 018
NIP. 19680117 200112 1 001
ii
PERNYATAAN DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENARBENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN.
Jakarta, Juni 2011
Bilqis El Jilnar 104094003021
iii
PERSEMBAHAN DAN MOTTO Skripsi ini ku hadiahkan untuk Papa dan Mama tercinta. Orang tua terhebat di dunia. Terima kasih atas segalanya. Maaf...belum bisa memberikan yang terbaik. Bersabarlah...semua pasti akan kembali membaik. Dan aku selalu bangga terlahir sebagai putri kalian... I love you
Kesulitan tidaklah bermaksud menggagalkan langkahmu. Dia hanya sekedar bertanya sebesar apa hasratmu tuk meraih cita, sekuat apa tekadmu untuk meraih impian, jika jawabanmu memuaskannya maka dengan senang hati dia akan memperkenalkanmu pada ”sahabat sejati”nya yaitu kemudahan. ” Maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan ” (QS. Al- Insyirah: 5)
iv
ABSTRAK Permainan monopoli termasuk dalam proses stokastik. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah rantai Markov, sehingga rantai Markov digunakan untuk menggambarkan probabilitas perpindahan bidak pada permainan Monopoli dalam bentuk matriks transisi probabilitas. Untuk menggambarkan Long Run Behaviour dari rantai Markov permainan Monopoli harus dibuktikan bahwa matriks transisi probabilitasnya regular, sehingga diperoleh probabilitas steady state yang menggambarkan tentang probabilitas perpindahan bidak, dimana setelah beberapa periode akan mencapai suatu keadaan seimbang yang tidak berubah–ubah lagi. Sebuah state yang memiliki nilai probabilitas yang tinggi pada saat steady mengindikasikan bahwa petak tersebut mempunyai kemungkinan yang besar untuk terus disinggahi oleh pemain lain. Dari pemodelan dan perhitungan yang dilakukan didapatlah empat petak pertama yang memiliki nilai ekspektasi tertinggi yaitu petak Jalan Gatot Subroto, Jalan Thamrin, Bandara Surabaya dan Bandara Denpasar. Pemodelan yang dilakukan ini banyak mengenyampingkan faktor-faktor lain. Jadi disarankan untuk dilakukan penelitian lanjutan untuk menggambarkan permainan secara keseluruhan. Kata Kunci : Permainan Monopoli, Rantai Markov, dan Nilai Ekspektasi.
v
ABSTRACT
The game of monopoly is included in stochastic process. One special form of stochastic process is a Markov chain, so that the Markov chain can be used to describe the probability of token’s movement in the form of transition probability matrix. To illustrate the long run behavior of markov chain of Monopoly it must be proven that the transition probability matrix is regular, so that will be obtained the steady state probability of the token’s movement from one square to another, where after a few periods will reach a steady state that does not change anymore. A state that has a high probability value at steady condition indicates that the square has a great chance to be visited by other players continuously. From modeling and calculations carried out, we get the first four square that have the highest expected value. The squares are Gatot Subroto street, Thamrin street, Surabaya airport and Denpasar airport. This modeling done with many other factors aside. So it is advisable to do further research to describe the whole game. Keywords: The game of Monopoly, Markov Chain and Expected value. .
vi
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb. Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan hidayah-Nya skripsi ini dapat terselesaikan. Salawat dan salam selalu tercurah kepada junjungan Nabi Muhammad SAW yang menjadi rahmat bagi semesta alam. Dalam penyusunan skripsi ini banyak pihak yang telah memberikan bantuan sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Penulis mengucapkan terima kasih untuk bantuannya yang disampaikan kepada : 1. Dr. Syopiansyah Jaya Putra, M.Si, Dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 2. Yanne Irene, M.Si, Ketua Program Studi Matematika, Summa’ina, M. Si, Sekretaris Program Studi Matematika yang senantiasa memberikan bimbingan dengan penuh kesabaran, nasihat, bantuan, dan semangat kepada penulis. 3. Hermawan Setiawan, M.Ti, Dosen Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan dengan penuh kesabaran. 4. Nur Inayah, M.Si, Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan support dengan penuh kesabaran dalam penyusunan skripsi penulis. 5. Seluruh dosen Program Studi Matematika yang telah mengajarkan ilmuilmu yang bermanfaat bagi penulis. 6. Semua staf Fakultas Sains dan Teknologi yang telah membantu dalam administrasi skripsi ini.
vii
7. Papa dan Mama, yang tak henti-hentinya memberikan do’a, semangat, perhatian, kasih sayang untuk keberhasilan penulis. Abang wawan, Nia, Igam, Nova, Ayen dan dede Davi keponakan tersayang yang telah memberikan dukungan dan inspirasi kepada penulis. 8. Irfan Abubakar beserta keluarga yang telah menemani perjalanan hidup penulis selama di Jakarta, yang turut memberikan do’a, bantuan, dan perhatiannya. 9. Kakakku, Dennis Sugianto yang telah mendampingi dan memberikan banyak bantuan, doa, serta perhatiannya kepada penulis. 10. Sahabat-sahabatku Suci, Nurul, Neneng, Vivi, Lina, Siro, Vay, dan temanteman 2004, Saudara-saudaraku dikosan Maryam, Mpit, Wilda, Nonik, Tiara, Miftarini dan Sensi, terima kasih atas doa, support, dan pengertiannya. 11. Soulmateku Citra annisa, Retno Rondiyahwati dan Lina rahmawati yang banyak memberi support, kasih sayang dan pundaknya untuk mendengar semua keluh kesah penulis. 12. Mahmudi S, Si, Teman diskusi terbaik. 13. Teman-teman seperjuangan Focus Management dan LDK UIN Syarif Hidayatullah atas ilmu, pengalaman, dan ukhuwahnya. Jangan berhenti berkarya, SEMANGAT ! Jakarta, Juni 2011
Penulis
viii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ............................................................................................... i PENGESAHAN UJIAN ........................................................................................ ii PERNYATAAN .................................................................................................... iii PERSEMBAHAN DAN MOTTO ........................................................................ iv ABSTRAK ............................................................................................................. v ABSTRACT .......................................................................................................... vi KATA PENGANTAR ......................................................................................... vii DAFTAR ISI ......................................................................................................... ix DAFTAR TABEL ................................................................................................. xi BAB I
BAB II
PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang .........................................................................
1
1.2
Permasalahan............................................................................
2
1.3
Pembatasan masalah.................................................................
2
1.4
Tujuan Penelitian .....................................................................
3
1.5
Manfaat Penelitian ...................................................................
3
LANDASAN TEORI 2. 1 Teori Probabilitas .....................................................................
4
2. 1. 1 Probabilitas...................................................................
4
2. 1. 2 Probabilitas beberapa peristiwa....................................
6
2. 1. 3 Probabilitas bersyarat.………………………………… 10 2. 2 Sistem Persamaan Linear …………………………………… 11
ix
2. 3 Matrik ....................................................................................... 12 2. 4 Variabel Acak………………………………………………… 14 2. 5 Aritmatika Modulo …………………………………………… 15 2. 6 Proses Stokastik ....................................................................... 15 2. 7 Rantai Markov ......................................................................... 16 2. 7. 1 Matriks transisi probabilitas dari rantai Markov……… 17 2. 7.2 Matriks transisi probabilitas Regular …………………. 18 BAB III
PERMAINAN MONOPOLI 3. 1 Permainan monopoli ................................................................ 20 3. 2 Matriks Transisi Probabilitas ................................................... 26
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN 4. 1 Analisa semua kemungkinan kedua mata dadu ....................... 34 4. 2 Analisa matriks transisi probabilitas ........................................ 39 4. 3
BAB V
Analisa nilai harapan………………………………………..... 47
KESIMPULAN DAN SARAN 5. 1 Kesimpulan…………………………………………………… 51 5. 2 Saran……………………………………………………………51
REFERENSI…………………………………………………………………… 52
x
DAFTAR TABEL
Tabel 3. 1
Nama petak – petak dan harga sewa tanah pada papan Monopoli………………………………………………………
27
Tabel 3. 2
Matriks Transisi Probabilitas ……………………………………28
Tabel 3. 3
Sebaran probabilitas berdasarkan jumlah angka dadu………… 29
Tabel 3. 4
Sebaran probabilitas berdasarkan kartu dana umum…………… 30
Tabel 3. 5
Sebaran probabilitas berdasarkan kartu kesempatan …………… 32
Tabel 4. 1
Matriks Q ……………………………………………………… 43
Tabel 4. 2
Probabilitas steady state Matriks Q …………………………..… 45
Tabel 4. 3
Nilai harapan dari petak pada permainan Monopoli……………..47
Tabel 4. 4
Nilai harapan yang sudah diurutkan……………………………...49
xi
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Permainan monopoli adalah permainan papan yang terkenal di dunia, tidak saja anak-anak yang senang memainkannya, para remaja dan orang dewasa juga larut dalam permainan tersebut. Tujuan utama dari permainan monopoli adalah menguasai semua daerah/petak monopoli melalui pembelian, penyewaan dan pertukaran properti. Setiap pemain melemparkan dadu secara bergiliran untuk memindahkan bidaknya, dan apabila mendarat di petak yang belum dimiliki oleh pemain lain, ia dapat membeli petak itu sesuai harga yang tertera. Bila petak itu sudah dibeli pemain lain, ia harus membayar pemain itu dengan uang sewa yang jumlahnya juga sudah ditetapkan. Permainan ini adalah simulasi dari bisnis properti di dunia nyata. Para pemain dilatih dalam membuat keputusan-keputusan finansial. Seperti
kapan
waktu membeli, menahan dan menjual. Permainan ini sangat mengandalkan intuisi bisnis, pemain diharapkan jeli dalam memperhitungkan faktor lokasi dari aset-aset yang akan dibeli, harga, dan prospek aset tersebut. Dalam permainan Monopoli, suatu petak dikatakan mempunyai prospek yang baik ketika petak tersebut sering disinggahi oleh para pemain lain dan menghasilkan keuntungan bagi pemiliknya. Perpindahan bidak-bidak ditentukan oleh angka yang keluar pada saat pelemparan dadu dan instruksi tambahan pada kartu kesempatan dan dana umum.
1
Pelemparan dadu dilakukan tidak hanya sekali, melainkan berkali-kali pelemparan. Hasil pelemparan dadu tersebut dapat berubah sewaktu-waktu dan tidak pasti, sehingga perpindahan bidak-bidak tersebut tidak dapat diprediksikan. Keadaan yang tidak pasti atau bersifat probabilistik ini termasuk proses stokastik. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah rantai Markov, sehingga rantai Markov digunakan untuk membantu memodelkan permainan monopoli. Berdasarkan latar belakang masalah tersebut maka penulis mencoba membahas tentang “ Pemodelan Permainan Monopoli menggunakan Rantai Markov ”.
1.2
Permasalahan Permasalahan yang akan diselesaikan pada penelitian ini adalah bagaimana
menentukan urutan investasi terbaik dengan melihat nilai harapan keuntungan menggunakan Long Run Behaviour rantai Markov pada permainan Monopoli ?
1.3 Pembatasan masalah Dalam penelitian ini, penulis membatasi masalah yang akan dibahas adalah sebagai berikut : 1.
Perpindahan bidak pada setiap petak berdasarkan hasil pelemparan dadu dan terambilnya kartu dana umum dan kesempatan.
2.
Tidak mengikutsertakan peraturan tentang melempar kembali ketika angka kembar muncul.
2
3.
Pemain diasumsikan langsung keluar dari petak penjara ketika berhenti pada petak penjara.
4.
Harga yang digunakan untuk menghitung nilai harapan adalah harga sewa tanah dan sewa petak perusahaan publik tidak diikutsertakan.
1.4
Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan urutan investasi terbaik
dengan melihat nilai harapan keuntungan menggunakan Long Run Behaviour rantai Markov pada permainan Monopoli
1.5
Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah membantu pemain dalam menentukan
kebijakan atau strategi yang optimal dan tepat dalam membeli petak / daerah dalam permainan monopoli sehingga pemain dapat memenangkan permainan dengan jumlah kekayaan yang diharapkan. Dan penulis berharap penelitian ini dapat menambah wawasan tentang penggunaan rantai Markov, serta dapat membawa masalah-masalah baru dalam bidang proses stokastik, sehingga akan muncul penelitian-penelitian yang lain.
3
BAB II LANDASAN TEORI
2. 1
Teori Probabilitas Menurut [5], ruang contoh adalah himpunan semua kemungkinan yang
terjadi pada suatu percobaan dan biasanya dilambangkan dengan huruf S. Titik contoh
adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-
kemungkinan yang muncul. Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian. Kejadian dengan satu titik sampel disebut kejadian sederhana. Kejadian dengan gabungan beberapa kejadian sederhana disebut kejadian majemuk. Berikut adalah beberapa pengolahan terhadap kejadian yang akan menghasilkan kejadian baru. a.
Irisan dua kejadian. Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang
A B
adalah kejadian yang mengandung semua unsur
persekutuan kejadian A dan B. b.
Kejadian saling terpisah. Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah bila A B = ; artinya A dan B tidak memiliki unsur persekutuan.
c.
Gabungan dua kejadian. Paduan dua kejadian A dan B, dilambangkan dengan A B, adalah kejadian yang mencangkup semua unsur atau anggota A atau B atau keduanya.
2. 1. 1 Probabilitas Menurut [7], definisi mengenai probabilitas dapat dilihat dari tiga macam pendekatan. Yaitu pendekatan klasik, pendekatan frekuensi relatif dan pendekatan subjektif.
4
a. Pendekatan klasik Menurut pendekatan klasik, probabilitas didefinisikan sebagai hasil bagi banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin. P (A)
n ( A) banyaknya cara terjadinya kejadian A n (S ) banyak semua kejadian
(2.1)
Dengan demikian: 1. Nilai probabilitas kejadian (A) selalu berada pada selang [0,1] atau 0 P( A) 1 .
2. Nilai probabilitas dari A, jika A adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi adalah 0 atau P A 0 . 3. Nilai probabilitas dari A, jika A adalah suatu peristiwa yang pasti terjadi adalah satu atau P ( A) 1 . b. Pendekatan frekuensi relatif Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas dapat didefinisikan sebagai berikut: 1. Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa dalam jangka panjang, jika kondisi stabil. 2. Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan. Probabilitas berdasarkan pendekatan ini sering disebut sebagai probabilitas Empiris. Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan, sehingga nilai probabilitas itu merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa tersebut P( X x) lim
f , n
untuk n .
(2.2)
5
Dimana : P( X x)
= probabilitas terjadinya peristiwa x
f
= frekuensi peristiwa x
n
= banyaknya peristiwa yang bersangkutan
c. Pendekatan subjektif Menurut pendekatan subjektif, probabilitas didefinisikan sebagai tingkat kepercayaan individu atau kelompok yang didasarkan pada fakta- fakta atau peristiwa masa lalu yang ada atau berupa terkaan saja. Seorang direktur akan memilih seorang karyawan dari 3 orang calon yang telah lulus ujian saringan. Ketiga calon tersebut sama pintar, sama lincah dan semuanya penuh kepercayaan. Probabilitas tertinggi (kemungkinan diterima) menjadi karyawan ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.
2. 1. 2 Probabilitas beberapa peristiwa A.
Peristiwa saling lepas Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa saling lepas apabila kedua atau
lebih peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Contoh dari peristiwa saling lepas adalah bila kita melempar sebuah koin, keluaran yang mungkin adalah bagian atas atau bagian bawah dari uang logam itu, tetapi keduanya tidak mungkin terjadi secara bersama-sama. Contoh lainnya adalah bila kita melempar sebuah dadu, maka mata dadu yang keluar mungkin mata 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, tetapi keenam mata dadu ini tidak mungkin keluar secara bersamaan. Untuk dua peristiwa A dan peristiwa B yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah sebagai berikut: P( A B) P( A) P( B).
(2.3)
6
Sedangkan untuk tiga peristiwa A, B, dan C yang saling lepas, maka probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P( A B C ) P( A) P( B) P(C ).
B.
(2.4)
Peristiwa tidak saling lepas Dua atau lebih peristiwa dikatakan peristiwa tidak saling lepas apabila kedua
atau lebih peristiwa tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling lepas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
P ( A B ) P( A) P( B) P( A B) .
(2.5)
Contoh : Sebuah perusahaan memiliki 10 karyawan pria dan 14 karyawan wanita separuh dari karyawan pria dan separuh dari karyawan wanita adalah sarjana teknik. Jika diambil seorang karyawan secara acak, berapa probabilitas yang terambil itu adalah wanita atau sarjana teknik? Jawab: Misalkan
P( A)
A
= Wanita
B
= Sarjana teknik
AB
= Wanita dan sarjana teknik
14 0.58 24
12 P( B) 0.50 24
P ( AB )
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.58 0.5 0.29 0.79
7 0.29 24
7
C.
Peristiwa saling bebas Dua peristiwa atau lebih dikatakan saling bebas apabila terjadinya peristiwa
yang satu tidak mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan B yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P( A B) P( A) P( B).
(2.6)
Contoh : Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu dilemparkan ke atas secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya gambar pada mata uang dan angka 4 pada mata dadu ! Jawab : Misalkan :
A
= Munculnya gambar pada mata dadu
B
= Munculnya angka pada mata dadu
P( A)
1 2
P( B)
1 6
1 1 1 P( A B) P( A).P( B) 2 6 12
D.
Peristiwa tidak saling bebas (peristiwa bergantung) Dua peristiwa atau lebih dikatakan peristiwa tidak saling bebas apabila
terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang lainnya. Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah : P( A B) P( A).P( B | A).
(2.7)
Sedangkan untuk tiga peristiwa yang saling bebas , probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
8
P( A B C ) P( A).P( B | A) P(C | ( A B).
(2.8)
Contoh : Dari satu set karu bridge berturut-turut diambil kartu sebanyak 2 kali secara acak. Hitunglah probabilitas terambilnya kartu King (K) pada pengambilan pertama dan kartu As (A) pada pengambilan kedua, jika kartu pada pengambilan pertama tidak dikembalikan ? Jawab : Misalkan :
A
= Pengambilan pertama keluar King
B
= pengambilan kedua keluar As
4 52 4 P( B) 51 P( A)
E.
P ( A B ) P ( A).P ( B )
4 4 0.006 52 51
Peristiwa komplementer Peristiwa komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika
peristiwa A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa tersebut adalah : P( A) P( B) 1.
(2.9)
yang juga berarti P( A) 1 P( B). P( B) 1 P( A).
(2.10) (2.11)
Contoh : Berapakah probabilitas kartu yang dipilih secara acak dari satu set kartu bridge bukan angka sepuluh? Jawab : Misalkan :
A = Pengambilan angka 10. B = pengambilan bukan angka 10.
9
P( A)
n( A) 4 0.0769 N 52
P( B) 1 0.0769 0.9231
2. 1. 3 Probabilitas Bersyarat Menurut [5], probabilitas terjadinya kejadian B bila diketahui bahwa suatu kejadian lain A telah terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dilambangkan dengan P ( B | A) . Lambang P ( B | A) dibaca ”Probabilitas terjadinya B bila A telah terjadi” atau lebih singkat ”Probabilitas B, bila A diketahui”. Didefinisikan sebagai:
P( B | A)
P( A B) , P( A)
P( A) 0.
(2.12)
Jika terjadinya B sama sekali tidak mempengaruhi terjadinya A, maka terjadinya A bebas dari terjadinya B. Definisi 2.1.3.1 : Dua kejadian A dan B dikatakan bebas bila P( B | A) P( B).
(2.13)
P( A | B) P( A).
(2.14)
Atau
Bila hal itu tidak dipenuhi, A dan B dikatakan tidak bebas Dengan menggandakan kedua sisi rumus probabilitas bersyarat yang didefinisikan di atas dengan P(A), kita mendapatkan kaidah penggandaan atau kaidah multiplikatif yang penting berikut ini, yang memungkinkan kita menghitung probabilitas terjadinya dua kejadian sekaligus.
10
Definisi 2.1.3.2 : Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka P( A B) P( A) P( B | A).
2. 2
(2.15)
Sistem Persaman Linear Definisi 2.3.1 : Bentuk a1 x1 a2 x2 an xn b disebut persamaan linear
dengan a1 , a2 ,, an dan b adalah skalar, dimana ai disebut koefisien dan b disebut konstanta dari persamaan sedangkan x1 , x2 ,..., xn disebut variabel. Sekumpulan variabel misalkan
x1 k1 , x2 k2 ,, xn kn disebut solusi dari
persamaan, apabila terpenuhi a1k1 a2 k2 a3k3 an kn b . Solusi tersebut dapat kita tulis dalam notasi vektor k1 , k2 , k3 , , kn . Pandanglah m buah persamaan-persamaan linear dengan n variabel:
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
(1)
aij dan bi masing-masing koefisien-koefisien dan konstanta persaman-persamaan
linear (1) tersebut, untuk i 1, 2, , m dan j 1, 2, , n . Dengan perkalian matriks, persamaan-persamaan di atas dapat ditulis menjadi AX = B, dimana
a11 a A 21 am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
11
berukuran ( m n) dan disebut matriks koefisien dari susunan (1), dan
x1 x 2 . X . . xn
b1 b 2 . B . . bn
dan
adalah vektor-vektor kolom variabel dan konstanta. [2] 2. 3
Matriks Menurut [1], matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segiempat.
Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks. Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Misalnya, matriks A mempunyai tiga baris dan tiga kolom, sehingga ukurannya adalah 3 kali 2 ( ditulis 3 2 ). Sebuah matriks dengan hanya satu kolom disebut matriks kolom, dan sebuah matriks dengan hanya satu baris disebut matriks baris. Anggota pada baris i dan j dari sebuah matriks A akan dinyatakan sebagai aij . Jika banyaknya baris = m dan banyaknya kolom = n, maka matriks Amn dapat
ditulis sebagai:
a11 a A 21 am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
Apabila banyak baris sama dengan banyak kolom atau m n , maka matriks tersebut disebut matriks bujur sangkar.
12
Definisi 2.2.1 : Jika A adalah sebuah matriks m r dan B adalah sebuah matriks
r n , maka hasil kali AB adalah matriks m n yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut. Untuk mencari anggota dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B, kalikan anggotaanggota yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. Jika A = [aij ] adalah suatu matriks umum m r dan B = [bij ] adalah suatu matriks umum r n , maka sebagaimana definisi diatas anggota ( AB )ij pada baris i dan kolom j dari AB diberikan ( AB)ij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j air brj
a11 a12 a 21 a22 AB ai1 ai 2 am1 am 2
(2.16)
a1r a2 r b11 b12 b1 j b1n b21 b22 b2 j b2 n air br1 br 2 brj brn amr
Syarat perkalian matriks adalah jumlah banyaknya kolom matriks pertama sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua. Definisi 2.2.2 : Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar, dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A. Teorema 2.2.2 : Jika A adalah suatu matriks n n yang bisa dibalik, maka untuk setiap matriks b, n1 , sistem persamaan
Ax b tepat mempunyai satu
penyelesaian yaitu, x A1b .
13
2.4
Variabel Acak Menurut [5], Variabel acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa
bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang contoh. Bila suatu ruang contoh mengandung jumlah titik contoh yang terhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah, maka ruang itu disebut ruang contoh diskrit. Bila suatu ruang contoh mengandung tak hingga banyaknya titik contoh yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah ruas garis, maka ruang itu disebut ruang contoh kontinu. Peubah acak yang didefinisikan di atas ruang contoh yang diskrit dan kontinu masing-masing disebut peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu. Definisi 2.4.1 : Sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu variable acak diskrit berikut probabilitasnya disebut sebaran probabilitas diskrit Definisi 2.4.2 : Misalkan X
adalah variable acak diskrit dengan sebaran
probabilitas
x
x1
x2
xn
P( X x)
f ( x1 )
f ( x2 )
f ( xn )
Maka nilai harapan bagi X adalah n
E ( X ) xi f ( xi )
(2. 17)
i 1
14
2. 5
Aritmatika Modulo Menurut [3], Definisi 2.5.1: Misalkan a adalah bilangan bulat dan m
adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m ( dibaca ” a modulo m ”) memberikan sisa jika a dibagi dengan m. Dengan kata lain, a mod m = r sedemikian sehingga a =mq + r, dengan 0 r m . Notasi : a mod m = r sedemikian sehingga a =mq + r, dengan 0 r m . Jika a mod m = 0, maka dikatakan bahwa a adalah kelipatan dari m, yaitu a habis dibagi dengan m. Kadang-kadang dua buah bilangan bulat, a dan b, mempunyai sisa yang sama jika dibagi dengan bilangan bulat positif m. Dikatakan bahwa a dan b kongruen dalam modulo m, dan dilambangkan sebagai a b( mod m )
(2. 18)
Notasi ‘ ’ dibaca ‘kongruen’ Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m, maka ditulis a b ( mod m )
(2. 19)
Definisi 2.5.2: Misalkan a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan > 0, maka a b( mod m ) jika m habis membagi a-b. 2. 6
Proses Stokastik Menurut [4], proses stokastik adalah suatu himpunan variabel acak X t ,
yang terdefinisi pada suatu ruang sampel. Jika terdapat sebagian elemen himpunan terhitung, proses dapat dinotasikan X1 , X 2 , X 3 , .... Jika sebagian besar adalah tidak terhitung, proses dapat dinotasikan dengan { X t : t 0} . Pada kasus pertama,
15
proses disebut proses dengan waktu diskrit, sedangkan untuk kasus kedua disebut proses dengan waktu kontinu. 2. 7
Rantai Markov Proses Markov { X t } adalah proses stokastik yang memiliki sifat bahwa
jika diberi nilai X t , maka untuk s t , nilai X s tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai dari X u untuk u t . Dengan kata lain, probabilitas perilaku tertentu di masa yang akan datang dari suatu proses, jika diketahui state saat ini, tidak dapat dipengaruhi oleh informasi tambahan di masa yang lalu. Rantai Markov diskrit adalah suatu proses Markov yang ruang state-nya adalah himpunan hingga atau himpunan yang dapat dihitung dengan himpunan indeks T = (0, 1, 2, . . . ). Secara umum, sifat markov adalah Pr X n 1 j | X 0 i0 , , X n 1 in 1 , X n i
Pr X n 1 j | X n i
(2.20)
Untuk semua n dan semua state i0 ,, in1 , i, j . Ruang state pada rantai Markov dinyatakan dalam bilangan bulat tak negatif { 0, 1, 2 ,... }, dengan X n i menyatakan bahwa X n berada di state i. Definisi 2.7.1 : Probabilitas bersyarat dimana X n1 yang akan datang berada di state j jika diberikan X n sedang berada di state i disebut probabilitas transisi satu langkah dan dinotasikan dengan Pijn , n 1 . Sehingga pijn ,n 1 Pr X n 1 j | X n i
(2.21)
16
Definisi 2.7.2: Jika probabilitas transisi satu langkah independen terhadap variabel waktu n, maka rantai Markov tersebut memiliki probabilitas transisi stasioner. Maka Pijn , n 1 = Pij independen terhadap n dan Pij adalah probabilitas bersyarat bahwa nilai state melalui sebuah transisi dari i ke j dalam 1 langkah. Dan biasanya disusun ke dalam bentuk matriks
p00 p P 10 pi 0
p01 p11 pi1
p02 p12 pi 2
Dan P pij adalah matriks Markov atau matriks transisi probabilitas dari proses. Dan Pij harus memenuhi kondisi sebagai berikut :
P
ij
1,
untuk semua i
(2.22)
untuk semua i dan j
(2.23)
j
Pij 0,
2. 7. 1 Matrik probabilitas transisi dari rantai Markov Rantai Markov didefinisikan secara sempurna oleh matriks transisi probabilitas satu langkahnya dan syarat dari distribusi probabilitas pada state dari proses pada saat 0. Inti dari perhitungan ini adalah matriks transisi probabilitas nstep P( n ) pij( n ) . Pij( n ) disini melambangkan probabilitas dimana proses terjadi dari state i ke state j setelah melalui n langkah transisi. Pijn Pr X m n j | X m i
(2.24)
17
Teorema 2.7.1 : Probabilitas transisi n-step dari Markov chain memenuhi
Pijn Pik Pkj( n 1)
(2.25)
k 0
dengan
Pij( n ) 10
if i j if i j
Dari teori matriks, hubungan (2.19) sebagai formula dari perkalian matriks, sehingga P( n ) P P( n1) . Dengan iterasi formula ini, kita peroleh P ( n ) P P P P Pn
(2. 26)
n kali
Dengan kata lain, probabilitas transisi n-step Pij( n ) adalah anggota matrik P n , pangkat n dari matriks P.
2. 7.2 Matriks transisi probabilitas Regular Misalkan matriks transisi probabilitas P pij dengan jumlah state yang finite yaitu 0, 1, . . ., N, mempunyai sifat bahwa, ketika dipangkatkan dengan k, matriks P k , elemen-elemennya semuanya bernilai positif. Sehingga matriks transisi probabilitas disebut Regular. Hal penting yang perlu diperhatikan bahwa Rantai Markov regular adalah adanya probabilitas steady state 0 , 1 ,..., N dimana 1 0 untuk j 0,1,..., N dan
j
j 1 , dan distribusi ini independent
dari state awal. Pada matriks transisi probabilitas regular P pij lim Pij( n ) j 0 n
untuk j 0,1,..., N
(2.27)
18
atau, dalam bentuk Rantai Markov X n lim Pr X n j | X 0 i j 0 n
untuk j 0,1,..., N
Ini berarti bahwa untuk jangka panjang n , probabilitas untuk menemukan Rantai Markov di state j adalah kurang lebih j dimana pun rantai itu mulai pada saat 0. Setiap matriks transisi probabilitas pada state 0,1,…, N dikatakan regular jika memenuhi 2 keadaan dibawah ini: 1. Setiap pasang state i, j ada lintasan k1 ,, kr dimana pik1 pk1k 2 pkj 0 2. Setidaknya ada satu state i dimana pii 0 Teorema 2.7.2 : Misalkan P adalah matriks transisi probabilitas probabilitas pada state 0, 1, …, N, dan probabilitas steady state ( 0 , 1 ,, N ) adalah persamaan dari solusi unik yang tidak negatif. N
j k pkj
j 0,1, , N
(2.28)
k 0
N
k 0
k
1
(2.29)
19
BAB III PERMAINAN MONOPOLI
3. 1
Permainan monopoli Menurut [9], sejarah permainan monopoli dimulai pada tahun 1900-an.
Pada tahun 1904, seorang pencipta bernama Lizzie Magie mempatenkan satu permainan yang beliau harapkan dapat menerangkan sebagian ide ekonomi yang diutarakan oleh Henry George. Permainan beliau dikenal sebagai The Landlord’s Game (Permainan Tuan Punya Tanah), dikeluarkan secara komersial beberapa tahun kemudian. Lizzie Magie terus mengembangkan permainannya dengan bantuan beberapa orang peminat. Pada tahun 1924, Lizzie Magie mempatenkan permainan yang diperbaiki. Permainan-permainan lain serupa menyusul. Pada awal tahun 1930-an, Parker Brothers menjual permainan Monopoli. Menjelang tahun 1970-an, sejarah awal permainan monopoli terhapus. Riwayat yang menceritakan Monopoli diciptakan oleh Charles Darrow menjadi cerita rakyat yang paling popular, dan disertakan dengan keterangan permainan Monopoli. Sejarah ini juga diceritakan dalam buku The Monopoly Book: Strategy and Tactics of the World’s Most Popular Game, oleh Maxine Brady yang dicetak dalam tahun 1974. Perlu di ketahui bahwa kini permainan Monopoli adalah merek internasional yang dimiliki Hasbro (Induk dari Parker Brother) dan sudah dijual lebih dari 105 negara dan diterjemahkan dalam 39 bahasa.
20
Menurut [8], untuk memainkan Monopoli, dibutuhkan peralatan-peralatan ini: i.
Bidak-bidak untuk mewakili pemain. Dalam kotak Monopoli disediakan delapan bidak yaitu topi, setrika, anjing, kapal perang, mobil, gerobak, gelas, dan sepatu.
ii.
Dua buah dadu bersisi enam.
iii.
Kartu hak milik untuk setiap properti. Kartu ini diberikan kepada pemain yang membeli properti itu. Di atas kartu tertera harga properti, harga sewa, harga gadai, harga rumah dan hotel.
iv.
Uang-uangan Monopoli.
v.
32 rumah dan 12 hotel dari kayu atau plastik. Rumah biasanya memiliki warna hijau, hotel warna merah.
vi.
Kartu-kartu dana umum dan kesempatan. Sebelum bermain para pemain sebaiknya harus mengetahui isi peraturan
permainan sehingga permainan akan berjalan dengan lancar, peraturan tersebut menurut [6] adalah sebagai berikut: 1. Persiapan Papan permainan diletakkan diatas meja yang cukup besar. Kartu dana umum dan kesempatan diletakkan terbalik didalam petak yang telah tersedia. Pilihlah seorang pemain untuk menjadi bankir yang akan mengurus bank dan bertanggung jawab pada pelelangan. Penting untuk bankir memisahkan dana uang dan properti pribadinya dengan milik bank. Tugas bank di sini adalah: a. Menyimpan semua uang dan akte tanah yang tidak dimiliki oleh para pemain. b. Membayar gaji dan bonus pada pemain .
21
c. Mengumpulkan pajak dan denda dari pemain d. Menjual dan melelang properti e. Menjual rumah dan hotel. f. Meminjam uang kepada para pemain yang menggadaikan properti. Bank tidak dapat ’bangkrut’. Bila bank kehabisan uang, bankir dapat mengeluarkan uang (ditulis pada kertas biasa). Tiap pemain pada permulaan diberi uang sebanyak M 1.500, dibagi dalam nilai sebagai berikut : 2 lembar M 500, 4 lembar M 100, 1 lembar M 50, 1 lembar M 20, 2 lembar M 10, 1 lembar M 5, dan 5 lembar M 1. 2. Permulaan Pemain melempar dadu bergiliran, pemain yang mendapat angka yang terbanyak bermain terlebih dahulu. Permainan dimulai dipetak ”start”. Lemparkan dua dadu putih. Setelah itu jalankan bidak permainan searah jarum jam mengelilingi papan permainan jumlah kotak yang ditunjukkan pada dadu. Pemain perlu mengambil tindakan tergantung di kotak mana pemain tiba. 3
Jika dadu menunjuk angka kembar Pemain dapat terus berjalan, akan tetapi pada lemparan ketiga jika angka
dadu tetap menunjuk angka kembar, maka pemain harus segera masuk penjara. 4. Gaji Jika langkah pemain tiba atau melewati petak ”start”, ambillah M 200 dari bank.
22
5. Berhenti pada properti yang belum dimiliki orang Bila seorang pemain berhenti di atas properti yang belum dimiliki orang lain (dengan cara melempar dadu maupun dengan paksaan kartu kesempatan atau kartu dana umum) pemain tersebut mendapat hak untuk membeli properti tersebut dengan harga yang sudah ditetapkan melalui bank. Setelah membeli properti dan mendapat kartu hak milik dari bank, kartu tersebut harus diletakkan terbuka diatas meja. Jika permain tidak mau membeli properti yang menjadi haknya, ia harus mengembalikan kepada bank untuk dilelang. Ketika anda membeli properti, anda disarankan untuk membeli properti dalam kelompok yang sama. 6. Berhenti pada properti yang dimiliki orang Bila seorang pemain berhenti pada properti yang telah dimiliki pemain lain, dengan perantaraan dadu maupun karena diharuskan oleh kartu dana umum atau kesempatan, pemilik properti tersebut berhak memungut sewa atas tanah tersebut sesuai dengan tarif yang telah ditetapkan di kartu hak milik. Selanjutnya kalau di atas properti itu didirikan rumah-rumah atau hotel, sewanya dapat dipungut lebih tinggi dari tanah yang belum dibangun. Properti yang diagunkan (digadaikan kepada bank) tidak berhak memungut sewa dan kartu harus diletakkan terbalik. Dan hal yang perlu diperhatikan adalah jika seorang pemilik tanah alpa atau lupa memungut sewa, pada waktu gilirannya kehilangan haknya (sewa tidak dapat dipungut lagi). 7. Keuntungan untuk pemain Adalah suatu keuntungan untuk tiap pemain yang memiliki 1 kompleks properti karena dengan demikian ia berhak memungut sebanyak 2 kali lipat. Jika
23
pemain memiliki properti berupa stasiun/bandara maka sewanya ditentukan oleh berapa banyak stasiun yang dimilikinya. Jadi sebuah keuntungan juga bagi pemain yang memiliki stasiun dan bandara lebih dari satu. Jika pemain memiliki fasilitas umum, contohnya Perusahaan Listrik dan Instalasi Air, maka cara membayar sewa adalah dengan cara melempar dadu dan kalikan hasilnya dengan 4. Jika pemain memiliki kedua fasilitas umum tersebut, kalikan dengan 10. 8. Berhenti di kesempatan atau dana umum Pemain mengambil kartu yang teratas setelah menaati petunjuk-petunjuk di dalamnya, maka kartu itu dikembalikan dengan tertutup ditumpukan paling bawah. Hanya kartu ” keluar dari penjara” dapat ditahan hingga terpakai atau dijual kepada lain pemain. 9. Berhenti diatas petak ”Pajak” Bayarlah segera pajak yang dikenakan kepada saudara. 10. Penjara Pemain diharuskan masuk penjara karena : i.
Bidaknya berhenti dipetak ”masuk penjara”
ii.
Mendapat perintah masuk penjara
iii.
Kedua dadu menunjukkan angka kembar sebanyak 3 kali berturutturut.
11. Keluar Penjara Seorang pemain dapat keluar dari penjara : i.
Lemparan dadu menunjukkan angka kembar
ii.
Membeli selembar kartu ”keluar dari penjara” dari pemain lain
24
iii.
Memberi uang denda M 50 kepada bank sebelum tiba gilirannya
iv.
Pemain diberi kesempatan 3 kali lemparan dadu untuk mendapat angka yang sama, setelah itu ia harus segera membayar denda M 50 kepada bank dan berjalan terus menurut angka dadu.
12. Rumah-rumah Rumah dapat dibeli dari bank hanya jika seorang pemain memiliki properti 1 kompleks, rumah-rumah harus didirikan dengan jumlah yang sama ditiap petak. Rumah dapat dibeli segala waktu dengan jumlah menurut kemampuannya akan tetapi harus merata tiap petak 1 rumah dan seterusnya. 13. Hotel-hotel Tiap pemain diharuskan memiliki 4 rumah dalam 1 seri properti sebelum ia diperbolehkan membeli sebuah hotel. Harga hotel telah ditentukan di kartu hak milik. Setelah membeli hotel tersebut pemain harus menyerahkan 4 rumahnya kepada bank, (di atas tiap properti hanya diperbolehkan membangun 1 hotel) 14. Kekurangan bangunan Diwaktu bank telah kehabisan rumah untuk dijual kepada pemain, mereka yang hendak mendirikan rumah harus menanti hingga salah seorang pemain mengembalikan rumahnya kepada bank. Kalau pembeli lebih dari 1 orang, maka rumah tersebut dilelang. 15. Menjual harta kekayaan Bangunan dapat dijual kembali kepada bank dengan setengah harga dari harga yang tertera di akte tanah. Rumah harus dijual secara rata sama dengan cara
25
membelinya. Hotel dijual dengan harga setengah dari harga yang tercantum di akte tanah dan dengan segera ditukar dengan 4 rumah. 16. Mengagunkan properti Jika anda kekurangan uang tunai atau tidak mempunyai cukup uang untuk membayar hutang, anda dapat mengagunkan salah satu dari properti yang belum sempurna. Untuk mengagunkan salah satu properti balikkan kartu akte tanahnya menghadap ke bawah dan ambillah uang yang tertera (tertulis di balik kartu) dari bank. Untuk melunasi satu agunan bayarlah jumlah yang tertera pada kte tanah di tambah 10 % kepada bank kemudian balikkan kartu akte tanah ke atas. Sewa tidak dapat diambil pada properti yang diagunkan. 17. Bangkrut ( PAILIT) Pemain dinyatakan bangkrut (pailit), jika hutangnya tak bisa dibayar. Segala harta kekayaan harus diserahkan kepada kreditornya, dan berhenti bermain. Dalam penyelesaian ini jika pemain tersebut memiliki rumah-rumah atau hotel-hotel harus diserahkan kepada bank, sebagai gantinya ia akan mendapatkan uang sejumlah setengah dari harga pokoknya. Uang tersebut harus dibayarkan kepada kreditornya. Kalau seorang pemain tak memiliki uang untuk membayar pajak denda atau hukuman-hukuman, maka bank segera melelang segala kekayaannya dan pemain ini dinyatakan kalah. 3. 2
Matriks Transisi Probabilitas Matriks Transisi Probabilitas adalah matriks dengan jumlah petak pada
papan monopoli sebagai state-statenya. Petak-petaknya berjumlah 40 petak. Petak–petak tersebut berupa nama-nama jalan dengan harga beli dan sewa yang
26
berbeda-beda. Berikut adalah daftar nama petak – petak beserta harga sewa tanah pada papan Monopoli. Tabel 3. 1 Nama petak – petak dan harga sewa tanah pada papan Monopoli Sewa No
Nama Petak
Sewa No
Nama Petak
(M)
(M)
1
Start
-
21 Parkir Bebas
2
Jalan Dr. Cipto
2
22 Jalan Cihampelas
3
Dana umum
-
23 Kesempatan
4
Jalan Pandanaran
4
24 Jalan Merdeka
18
5
Pajak Penghasilan
-
25 Jalan Braga
20
6
Bandara Medan
2
26 Bandara Surabaya
25
7
Jalan Jenderal Sudirman
6
27 Jalan Teuku Umar
22
8
Kesempatan
-
28 Jalan Diponegoro
22
9
Jalan Iskandar Muda
6
29 Instalasi Air
10 Jalan Mongonsidi
8
30 Jalan Gajah Mada
11 Penjara
-
31 Masuk Penjara
-
10
32 Jalan Pemuda
26
33 Jalan Basuki Rachmat
26
12 Jalan Dr. Sam Ratulangi 13 Perusahaan Listrik
-
18 -
24
14 Jalan Pasar Ikan
10
34 Dana umum
15 Jalan Sultan Hasanuddin
12
35 Jalan Mayjen Sungkono
28
16 Bandara Denpasar
25
36 Bandara Jakarta
25
17 Jalan Magelang
14
37 Kesempatan
18 Dana umum
-
-
-
38 Jalan Thamrin
19 Jalan Pangeran Mangkubumi
14
39 Pajak Super
20 Jalan Malioboro
16
40 Jalan Gatot Subroto
35 50
Matriks Transisi Probabilitas memungkinkan untuk kita melakukan perhitungan probabilitas state di masa mendatang berdasarkan pada state saat ini.
27
Matriks Transisi Probabilitas mempunyai 40 buah baris dan 40 buah kolom. Kolom menggambarkan dari state mana pemain memulai melempar dadu dan baris menggambarkan probabilitas pemain mengakhiri gilirannya atau berhenti pada state tersebut. Secara umum matriks ini akan menunjukkan sebagaimana seringnya pemain berhenti pada beberapa petak dimulai dari petak yang lain. Contohnya, Pada baris Jalan Dr. Cipto berisi probabilitas dimana pemain akan berhenti di setiap petak lainnya dengan satu kali pelemparan yang di mulai dari petak Jalan Dr. Cipto. Sebaliknya, kolom yang dihubungkan dengan petak Jalan Dr. Cipto berisi probabilitas dimana pemain akan berhenti pada petak Jalan Dr. Cipto dalam satu kali pelemparan yang di mulai dari petak lainnya. Pij = Probabilitas kondisi berada dalam state j di masa mendatang berdasarkan
pada state i saat ini. Misalkan P13 adalah Probabilitas pemain berada pada state ”Dana umum” di lemparan berikutnya dan sebelumnya berada pada state ” Start”. Matriks Transisi Probabilitas ditampilkan seperti pada tabel dibawah ini Tabel 3.2 Matriks Transisi Probabilitas Dari Petak Ke 1 2 . i . n
1 p11
2 p12
p21 . pi1 . pn1
p22 . pi2 . pn 2
Pindah ke Petak ke . . j . p1j . . . . .
. .
. .
. .
.
.
p2j
. pij . pnj
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
n p1n
p2n . pin . pnn
28
Untuk mengisi setiap elemen pada semua baris dan kolom maka semua faktor harus dihitung yaitu sebagai berikut : 1. Probabilitas dari pelemparan dadu. Pelemparan dilakukan dengan 2 dadu yang bersisi enam, pada setiap pelemparan dadu, jumlah angka yang muncul pada masing-masing dadu dijumlahkan dan pemain melangkah sesuai jumlah tersebut pada papan monopoli. Jadi ada 36 ruang contoh yang mungkin muncul. Berpindahnya bidak ke satu tempat mempunyai probabilitas sama dengan 0. Sebaran probabilitas diuraikan seperti di bawah ini: Tabel 3.3 Sebaran probabilitas berdasarkan jumlah angka dadu Jumlah angka 7 6,8
Probabilitas 6 36 5 36
5,9
4 36
4 , 10
3 36
3 , 11
2 36
2 , 12
1 36
2. Probabilitas terambilnya kartu kesempatan dan dana umum. Kartu kesempatan dan dana umum mempunyai andil dalam permainan Monopoli karena kartu – kartu ini berpotensial memindahkan bidak-bidak pemain.
29
a. Kartu dana umum berjumlah 16 kartu, 14 kartu tidak membuat pemain berpindah tempat sedangkan 2 diantaranya membuat pemain berpindah tempat ke petak ”Start” dan ”Penjara”. Tabel 3.4 Sebaran probabilitas berdasarkan kartu dana umum Kartu Dana umum Posisi Tidak berpindah Ke Petak " Start " Ke Petak " Penjara "
Probabilitas 14 16 1 16 1 16
Misalkan: Pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum. i. Kejadian pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum dan tetap berada di state 3 merupakan kejadian yang saling bebas, jika didefinisikan: A
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 3
B
= Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah tidak membuat pemain berpindah tempat.
P(A)
= Probabilitas kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 3
P(B)
= Probabilitas kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah tidak membuat pemain berpindah tempat.
30
maka untuk perhitungan probabilitasnya dapat dijabarkan seperti dibawah ini: Q1,3 = Probabilitas pemain masih berada di state 3 Q1,3 P( A) P( B) Q1,3 P( A)
ii.
14 16
Kejadian pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum dan berpindah ke state 1 merupakan kejadian yang saling terpisah, jika didefinisikan: C
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 1
D
= Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah pindah ke petak 1
E
= Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah ke petak 1
P(C)
= Probabilitas Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 1
P(D)
= Probabilitas Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah pindah ke petak 1
P(E)
= Probabilitas Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah ke petak 1
maka untuk perhitungan probabilitasnya dapat dijabarkan seperti dibawah ini: Q1,1 P (C ) P ( D ) P ( E ) P (C ) P ( D )
1 1 P( E ) 16 6
31
iii.
Kejadian pemain berhenti di state 3 dan mengambil kartu dana umum dan berpindah ke state 11 merupakan kejadian yang saling terpisah, jika didefinisikan : F
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 11
G
= Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah pindah ke petak 11
H
= Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah ke petak 11 Q1,11 P( F ) P(G ) P( H ) P( F ) P(G )
1 1 P( H ) 16 16
b. Kartu kesempatan juga berjumlah 16 kartu. 6 kartu tidak membuat pemain berpindah tempat sedangkan 10 diantaranya membuat pemain berpindah tempat yaitu ke petak ”Start”, ”Penjara”, ”Bandara Medan”, ”Perusahaan Publik terdekat”, ”Jalan Dr. Sam Ratulangi”, ”Jalan Braga”, ”Jalan Gatot Subroto”, ” Mundur 3 petak ”, dan 2 kartu memindahkan pemain ke ” Bandara terdekat”. Tabel 3.5 Sebaran probabilitas berdasarkan kartu kesempatan Kartu Kesempatan Posisi Tidak berpindah Ke Petak " Start "
Probabilitas 6 16 1 16
32
Ke Petak " Penjara " Ke Petak ” Bandara Medan ” Ke Petak " Perusahaan Publik terdekat " Ke Petak ” Jalan Dr. Sam Ratulangi ” Ke Petak ” Jalan Braga ” Ke Petak “ Jalan Gatot Subroto ” Mundur 3 Petak Ke Petak " Bandara terdekat "
1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 1 16 2 16
33
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4. 1
Analisa kemungkinan munculnya semua angka dadu Pada analisa tahap ini, akan diperhitungkan kemungkinan munculnya
jumlah semua mata dadu dan akan mengabaikan semua peraturan seperti peraturan tentang mengocok kembali ketika angka kembar muncul, terambilnya kartu dana umum dan kesempatan, termasuk ketika singgah ke petak ”masuk penjara”, dan peraturan lainnya. Tetapkan bahwa Matrik P adalah matriks probabilitas transisi yang menggambarkan perpindahan bidak dari state satu ke state lain yang hanya memperhitungkan kemungkinan munculnya jumlah semua mata dadu. Maka untuk mengisi setiap elemen dalam matriks, berikut adalah uraian perhitungannya Baris 1
P11 = 0 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke petak ”start” lagi.
P12 = 0 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke petak ”Jl. Dr. Cipto”. Karena untuk pindah ke petak ”Jl. Dr. Cipto” pemain membutuhkan angka 1.
P13 =
1 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke 36
petak ”Dana Umum”. Karena petak ”Dana Umum” berada dua petak di
34
depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan mendapat angka 2 yang memiliki probabilitas
P14 =
1 . 36
2 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke 36
petak ”Jln. Pandanaran”. Karena petak ”Jln. Pandanaran” berada tiga petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan mendapat angka 3 yang memiliki probabilitas 1 1 2 . 36 36 36
P15 =
3 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke 36
petak ”Pajak Penghasilan”. Karena petak ”Pajak Penghasilan” berada empat petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan mendapat angka 4 yang memiliki probabilitas 1 1 1 3 . 36 36 36 36
P16 =
4 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke 36
petak ”Bandara Medan”. Karena petak ”Bandaran Medan” berada lima petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan mendapat angka 5 yang memiliki probabilitas 1 1 1 1 4 . 36 36 36 36 36
P17 =
5 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke 36
35
petak ”Jalan Jend. Sudirman”. Karena petak ”Jalan Jend. Sudirman” berada enam petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan mendapat angka 6 yang memiliki probabilitas
P18 =
1 1 1 1 1 5 . 36 36 36 36 36 36
6 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke 36
petak ”Kesempatan”. Karena petak ”Kesempatan” berada tujuh petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan
mendapat
angka
7
yang
memiliki
probabilitas
1 1 1 1 1 1 6 . 36 36 36 36 36 36 36
P19 =
5 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke 36
petak ”Jln. Iskandar Muda”. Karena petak ”Jln. Iskandar Muda” berada delapan petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan mendapat angka 8 yang memiliki probabilitas 1 1 1 1 1 5 . 36 36 36 36 36 36
P110 =
4 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke 36
petak ”Jln. Mongonsidi”. Karena petak ”Jln. Mongonsidi” berada sembilan petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan mendapat angka 9 yang memiliki probabilitas 1 1 1 1 4 . 36 36 36 36 36
36
P111 =
3 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke 36
petak ”Penjara”. Karena petak ”Penjara” berada sepuluh petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan mendapat angka 10 yang memiliki probabilitas
P112 =
1 1 1 3 . 36 36 36 36
2 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke 36
petak ”Jln. Dr. Sam Ratulangi”. Karena petak ”Jln. Dr. Sam Ratulangi” berada sebelas petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan mendapat angka 11 yang memiliki probabilitas
P113 =
1 1 2 . 36 36 36
1 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke 36
petak ”Perusahaan Listrik”. Karena petak ”Perusahaan Listrik” berada dua belas petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan mendapat angka 12 .
P114 = 0 = Probabilitas pemain berada di petak ”start” dan akan berpindah ke petak ”Jln. Pasar Ikan”. Karena petak ”Jln. Pasar Ikan” berada tiga belas petak di depan petak ”start” dan cara untuk mencapai petak tersebut adalah dengan mendapat angka 13 . Sedangkan jumlah maksimal dari kedua dadu yang digunakan adalah 12. Begitu seterusnya dari P115 sampai P140 adalah 0.
37
Untuk mengisi elemen baris ke 2 sampai dengan baris ke 40, dapat mengikuti aritmatika modulo di bawah ini dengan i = 1, 2, 3, . . ., 40 dan untuk j = 0 diasumsikan j = 40.
1 36 , 2 , 36 3 , 36 4 , 36 5 , 36 6 Pij , 36 5 36 , 4 , 36 3 , 36 2 , 36 1 , 36 Pij 0,
untuk j (i 2) mod 40 untuk j (i 3) mod 40 untuk j (i 4) mod 40 untuk j (i 5) mod 40 untuk j (i 6) mod 40 untuk j (i 7) mod 40 untuk j (i 8) mod 40 untuk j (i 9) mod 40 untuk j (i 10) mod 40 untuk j (i 11) mod 40 untuk j (i 12) mod 40 untuk j i 2
atau
j i 13
Jika matriks P telah terisi semua, dapat dilihat bahwa matriks P ini membentuk pola tertentu dan jumlah barisnya memenuhi persamaan (2.22) dan (2.23). Matriks P akan sangat membantu untuk mengisi matriks transisi probabilitas untuk model permainan yang disertakan dengan peraturan pengambilan kartu kesempatan dan dana umum.
38
4.2
Analisa matriks transisi probabilitas Pada tahap ini pemain mulai dari petak ”start”, mengocok dua dadu dan
melangkah sebanyak jumlah titik yang terlihat pada kedua dadu serta mengikutsertakan peraturan tentang terambilnya kartu dana umum dan kesempatan dan berpindah sesuai dengan perintah yang terdapat pada kartu yang terambil. Pengambilan kartu Dana umum terjadi pada state 3, state 18, dan state 34 sedangkan pengambilan kartu kesempatan terjadi pada state 8, state 23, dan state 37. Tetapkan bahwa Matrik Q adalah matriks probabilitas transisi yang menggambarkan perpindahan bidak dari state satu ke state lain yang mengikutsertakan peraturan tentang terambilnya kartu dana umum dan kesempatan. Maka untuk mengisi setiap elemen dalam matriks, berikut adalah uraian perhitungannya : Baris 1
A1
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 1
B1
= Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah pindah ke petak 1
C1
= Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah ke petak 1
Q1,1 P( A1 ) P( B1 ) P(C1 ) 0
D1
1 1 6 1 1 6 7 0 36 16 36 6 576 576 576
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 3
39
E1
= Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah tidak membuat pemain berpindah tempat.
Q1,3 P( D1 ) P( E1 )
F1
1 14 14 36 36 576
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 4
Q1,4 P ( F1 )
2 36
G1
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 5
H1
= Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah mundur tiga langkah ke petak 5
Q1.5 P(G1 ) P( H1 )
3 6 1 3 6 48 6 54 36 36 36 36 576 576 576
I1
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 6
J1
= Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah ke petak 6
Q1,6 P( I1 ) P( J1 )
K1
4 6 1 4 6 64 6 70 36 36 16 36 576 576 576
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 7
Q1,7 P ( K1 )
5 36
L1
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 8
M1
= Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan tetapi pemain tetap di
40
tempat Q1,8 P ( L1 ) P ( M 1 )
6 6 36 36 16 576
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 9
N1
Q1,9 P( N1 )
5 36
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 10
O1
Q1,10 P (O1 )
4 36
P1
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 11
Q1
= Kejadian pemain mengambil kartu dana umum dengan perintah pindah ke petak 11 = Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah
R1
ke petak 11 Q1,11 P ( P1 ) P (Q1 ) P ( R1 )
3 1 1 6 1 3 1 6 3 7 48 7 55 36 36 16 36 16 36 576 576 36 576 576 576
S1
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 12
T1
= Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah ke petak 12
Q1,12 P( S1 ) P(T1 )
U1
2 6 1 2 6 32 6 38 36 36 16 36 576 576 576
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 13
41
V1
= Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah ke petak 13
Q1,13 P(U1 ) P(V1 )
1 6 1 1 6 16 6 22 36 36 16 36 576 576 576
W1
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 16
X1
= Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah ke petak 16
Q1,16 P(W1 ) P( X 1 ) 0
6 2 12 36 16 576
Y1
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 25
Z1
= Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah ke petak 25
Q1,25 P (Y1 ) P ( Z1 ) 0
6 1 6 36 16 576
AO1
= Kejadian pemain berpindah dari petak 1 ke petak 40
BO1
= Kejadian pemain mengambil kartu kesempatan dengan perintah pindah ke petak 40
Q1,40 P( AO1 ) P( BO1 ) 0
6 1 6 36 16 576
Maka probabilitas perpindahan bidak dapat disusun dalam bentuk Matriks Transisi Probabilitas sebagai berikut :
42
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
1 0,01215 0,00868 0,00694 0,00521 0,00347 0,00347 0,00347 0,00521 0,00694 0,00868 0,01215 0,01215 0,01215 0,01215 0,01215 0,01215 0,00868 0,00694 0,00521 0,00347 0,00174 0,00174 0,00347 0,00521 0,00868 0,01215 0,01563 0,01563 0,04340 0,07118 0,09722 0,12326 0,14931 0,17708 0,14931 0,12326 0,09549 0,06771 0,03993 0,01215
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778
3 0,02431 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02431 0,04861 0,07292 0,09722 0,12153 0,14583 0,12153 0,09722 0,07292 0,04861
4 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333
5 0,09375 0,06424 0,03472 0,00521 0,00347 0,00174 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11285 0,14236 0,17188 0,14583 0,11979
6 0,12153 0,09201 0,06250 0,03299 0,00347 0,00174 0 0 0 0 0,00174 0,00347 0,00521 0,00694 0,00868 0,01042 0,00868 0,00694 0,00521 0,00347 0,00174 0 0 0 0,00521 0,01042 0,01563 0,02083 0,02604 0,03125 0,02604 0,02083 0,01563 0,03819 0,06076 0,08507 0,11458 0,14410 0,17361 0,14757
7 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667
8 0,06250 0,05208 0,04167 0,03125 0,02083 0,01042 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,01042 0,02083 0,03125 0,04167 0,05208
9 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111
10 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333
11 0,09549 0,11979 0,14583 0,17188 0,14236 0,11458 0,08681 0,06076 0,03472 0,00868 0,01215 0,01215 0,01215 0,01215 0,01215 0,01215 0,00868 0,00694 0,03299 0,05903 0,08507 0,11285 0,14236 0,17188 0,14757 0,12326 0,09896 0,07118 0,04340 0,01563 0,01389 0,01215 0,01042 0,01042 0,01042 0,01215 0,01215 0,01215 0,03993 0,06771
12 0,06597 0,09201 0,11806 0,14410 0,17014 0,14063 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0,00174 0,00347 0,00521 0,00694 0,00868 0,01042 0,00868 0,00694 0,00521 0,00347 0,00174 0 0 0 0,00174 0,00347 0,00521 0,00694 0,00868 0,01042 0,00868 0,00694 0,00521 0,00347 0,00174 0,00174 0,00347 0,00521 0,00694 0,03646
13 0,03819 0,06424 0,09028 0,11632 0,14236 0,16840 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00174 0,00347 0,00521 0,00694 0,00868 0,01042 0,00868 0,00694 0,00521 0,00347 0,00174 0,00174 0,00347 0,00521 0,00694 0,00868
14 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
15 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
16 0,02083 0,01736 0,01389 0,03819 0,06250 0,08681 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00347 0,00694 0,01042 0,01389 0,01736
17 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
18 0 0 0 0 0 0,02431 0,04861 0,07292 0,09722 0,12153 0,14583 0,12153 0,09722 0,07292 0,04861 0,02431 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
19 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
20 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11285 0,14236 0,17188 0,14583 0,11979 0,09375 0,06424 0,03472 0,00521 0,00347 0,00174 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
21 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,01042 0,02083 0,03125 0,04167 0,05208 0,06250 0,05208 0,04167 0,03125 0,02083 0,01042 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
25 0,01042 0,00868 0,00694 0,00521 0,00347 0,00174 0 0 0 0 0,00174 0,00347 0,03299 0,06250 0,09201 0,12153 0,14757 0,17361 0,14410 0,11458 0,08507 0,05556 0,02778 0 0,00174 0,00347 0,00521 0,00694 0,00868 0,01042 0,00868 0,00694 0,00521 0,00347 0,00174 0,00174 0,00347 0,00521 0,00694 0,00868
26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00347 0,00694 0,01042 0,04167 0,07292 0,10417 0,12847 0,15278 0,17708 0,14583 0,11458 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,00174 0,00347 0,00521 0,00694 0,00868 0,01042 0,03646 0,06250 0,08854 0,11458 0,14063 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0 0 0
34 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02431 0,04861 0,07292 0,09896 0,12500 0,15104 0,12847 0,10590 0,08333 0,05729 0,03125 0,00521 0,00347 0,00174 0 0 0 0 0
35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0 0
36 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0 0 0
37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,01042 0,02083 0,03125 0,04167 0,05208 0,06250 0,05208 0,04167 0,03125 0,02083 0,01042 0 0 0 0 0
38 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0 0
39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,02778 0,05556 0,08333 0,11111 0,13889 0,16667 0,13889 0,11111 0,08333 0,05556 0,02778 0 0 0
40 0,01042 0,00868 0,00694 0,00521 0,00347 0,00174 0 0 0 0 0,00174 0,00347 0,00521 0,00694 0,00868 0,01042 0,00868 0,00694 0,00521 0,00347 0,00174 0 0 0 0,00174 0,00347 0,00521 0,03472 0,06424 0,09375 0,11979 0,14583 0,17188 0,14236 0,11285 0,08507 0,05903 0,03299 0,00694 0,00868
Tabel 4.1 Matriks Q
43
Bisa dikatakan salah satu tujuan Markov adalah memprediksi masa depan, karena memungkinkan untuk menghitung probabilitas berhentinya bidak pada setiap state di masa yang akan datang atau untuk beberapa kali pengocokan berikutnya. Tentunya probabilitas dari perpindahan bidak itu memiliki kondisi yang tidak stabil, yaitu tiap state dapat mengalami perubahan probabilitas untuk periode berikutnya. Para pemain tentunya ingin mengetahui bagaimana probabilitas berhentinya bidak pada setiap state berubah seiringnya waktu berjalan. Bidak tidak selalu tetap berhenti di state tertentu tetapi pasti berpindah ke state yang lain. Sehingga para pemain dapat membuat keputusan berikutnya dalam hal membeli petak atau dapat mengetahui berapa banyak keuntungan yang mereka dapat dari aset – aset yang mereka miliki. Untuk mencari probabilitas steady state dari matriks Q, akan digunakan N
persamaan (2.28), j k pkj atau dapat ditulis dalam bentuk Q , dimana k 0
( 0 , 1 ,, N ) . Q q1,1 q1,40 [1 2 3 40 ] [ 1 2 3 40 ] q 40,1 q40,40 Dan menghasilkan
1q1,1 2 q2,1 3q3,1 40 q40,1 1 1q1,2 2 q2,2 3q3,2 40 q40,2 2 1q1,3 2 q2,3 3q3,3 40 q40,3 3
1q1,40 2 q2,40 3q3,40 40 q40,40 40
44
Dengan persamaan bantuan
1 2 3 40 1 Jika dijadikan semua ruas kanannya sama dengan 0, maka
1 (q1,1 1) 2 q2,1 3q3,1 40 q40,1 0 1q1,2 2 (q2,2 1) 3q3,2 40 q40,2 0 1q1,3 2 q2,3 3 (q3,3 1) 40 q40,3 0
1q1,40 2 q2,40 3q3,40 40 (q40,40 1) 0 Dengan demikian didapat matriks baru dengan memasukkan persamaan bantuan diatas adalah
q2,1 q3,1 (q1,1 1) q (q2,2 1) q3,2 1,2 q1,3 q2,3 (q3,3 1) 1 1 1
q40,1 1 0 q40,2 2 0 q40,3 3 0 1 40 1
Berdasarkan Teorema 2.2.2, perkalian matriks diatas dapat diselesaikan dengan Q b
Q1b Menggunakan program MATLAB akan didapatkan hasil dari yaitu : Tabel 4. 2 Probabilitas steady state dari matrik Q No.
Petak
1 Start petak
P 0,0311
No.
Petak
21 Parkir Bebas Petak
P 0,0287
2
Jalan Dr. Cipto
0,0215
22 Jalan Cihampelas
0,0283
3
Dana umum
0,0190
23 Kesempatan
0,0105
4
Jalan Pandanaran
0,0219
24 Jalan Merdeka
0,0274
45
5
Pajak Penghasilan
0,0235
25 Jalan Braga
0,0319
6
Bandara Medan
0,0299
26 Bandara Surabaya
0,0306
7
Jalan Jenderal Sudirman
0,0229
27 Jalan Teuku Umar
0,0271
8
Kesempatan
0,0088
28 Jalan Diponegoro
0,0268
9
Jalan Iskandar Muda
0,0235
29 Instalasi Air
0,0281
10
Jalan Mongonsidi
0,0233
30 Jalan Gajah Mada
0,0259
11
Penjara
0,0589
31 Masuk Penjara
0,0000
12
Jalan Dr. Sam Ratulangi
0,0274
32 Jalan Pemuda
0,0269
13
Perusahaan Listrik
0,0263
33 Jalan Basuki Rachmat
0,0263
14
Jalan Pasar Ikan
0,0239
34 Dana umum
0,0239
15
Jalan Sultan Hasanuddin
0,0247
0,0251
16
Bandara Denpasar
0,0292
35 Jalan Mayjen Sungkono 36 Bandara Jakarta
17
Jalan Magelang
0,0278
37 Kesempatan
0,0087
18
Dana umum
0,0257
38 Jalan Thamrin
0,0220
19
Jalan Pangeran Mangkubumi Jalan Malioboro
0,0292
39 Pajak Super
0,0219
0,0307
40 Jalan Gatot Subroto
0,0265
20
0,0245
Dapat diurutkan bahwa petak pertama yang paling sering disinggahi oleh pemain adalah petak ”Penjara” sebesar 0.0589, yang diikuti oleh petak ” Jalan Braga” sebesar 0.0319, urutan ke tiga adalah petak ” Start” yaitu sebesar 0. 0311. petak ke empat yang sering disinggahi adalah petak” Jalan Malioboro ” yaitu sebesar 0. 0307, dan petak ke lima yang sering disinggahi adalah petak” Bandara Surabaya ” yaitu sebesar 0. 0306.
46
4. 3
Analisa Nilai Harapan Untuk pengambilan keputusan tentang petak potensial mana yang
sebaiknya dimiliki, maka cara yang digunakan adalah dengan menggunakan nilai harapan sebagai dasar pemilihan. Seorang pemain menjadi kaya dikarenakan mendapatkan uang sewa dari properti atau tanah yang dimilikinya. Untuk mengetahui petak mana yang akan memaksimalkan uang sewa, adalah dengan cara mencari nilai harapannya, yaitu mengalikan probabilitas pemain singgah ke petak tersebut (probabilitas steady state) dengan harga sewa tanah (persamaan 2.17). Pemain dapat memilih berdasarkan nilai harapan yang tertinggi. Tabel 4. 3 Nilai harapan dari petak pada permainan Monopoli No
Petak
Probabilitas
Sewa
Nilai harapan
1
Start
0,0311
-
-
2
Jalan Dr. Cipto
0,0215
2
0,043
3
Dana umum
0,0190
-
-
4
Jalan Pandanaran
0,0219
4
0,0876
5
Pajak Penghasilan
0,0235
-
-
6
Bandara Medan
0,0299
2
0,0598
7
Jalan Jenderal Sudirman
0,0229
6
0,1374
8
Kesempatan
0,0088
-
-
9
Jalan Iskandar Muda
0,0235
6
0,141
10
Jalan Mongonsidi
0,0233
8
0,1864
11
Penjara
0,0589
-
-
12
Jalan Dr. Sam Ratulangi
0,0274
10
0,274
13
Perusahaan Listrik
0,0263
-
-
14
Jalan Pasar Ikan
0,0239
10
0,239
47
15
Jalan Sultan Hasanuddin
0,0247
12
0,2964
16
Bandara Denpasar
0,0292
25
0,73
17
Jalan Magelang
0,0278
14
0,3892
18
Dana umum
0,0257
-
-
19
Jalan Pangeran Mangkubumi
0,0292
14
0,4088
20
Jalan Malioboro
0,0307
16
0,4912
21
Parkir Bebas
0,0287
-
-
22
Jalan Cihampelas
0,0283
18
0,5094
23
Kesempatan
0,0105
-
-
24
Jalan Merdeka
0,0274
18
0,4932
25
Jalan Braga
0,0319
20
0,638
26
Bandara Surabaya
0,0306
25
0,765
27
Jalan Teuku Umar
0,0271
22
0,5962
28
Jalan Diponegoro
0,0268
22
0,5896
29
Instalasi Air
0,0281
-
-
30
Jalan Gajah Mada
0,0259
24
0,6216
31
Masuk Penjara
0,0000
-
-
32
Jalan Pemuda
0,0269
26
0,6994
33
Jalan Basuki Rachmat
0,0263
26
0,6838
34
Dana umum
0,0239
-
-
35
Jalan Mayjen Sungkono
0,0251
28
0,7028
36
Bandara Jakarta
0,0245
25
0,6125
37
Kesempatan
0,0087
-
-
38
Jalan Thamrin
0,0220
35
0,77
39
Pajak Super
0,0219
-
-
40
Jalan Gatot Subroto
0,0265
50
1,325
48
Jika diurutkan seperti tabel dibawah ini akan terlihat urutan investasi terbaik dari petak-petak pada papan monopoli.
No
Tabel 4. 4 Nilai harapan yang diurutkan Petak Probabilitas Sewa
Nilai harapan
40
Jalan Gatot Subroto
0,0265
50
1,325
38
Jalan Thamrin
0,0220
35
0,77
26
Bandara Surabaya
0,0306
25
0,765
16
Bandara Denpasar
0,0292
25
0,73
35
Jalan Mayjen Sungkono
0,0251
28
0,7028
32
Jalan Pemuda
0,0269
26
0,6994
33
Jalan Basuki Rachmat
0,0263
26
0,6838
25
Jalan Braga
0,0319
20
0,638
30
Jalan Gajah Mada
0,0259
24
0,6216
36
Bandara Jakarta
0,0245
25
0,6125
27
Jalan Teuku Umar
0,0271
22
0,5962
28
Jalan Diponegoro
0,0268
22
0,5896
22
Jalan Cihampelas
0,0283
18
0,5094
24
Jalan Merdeka
0,0274
18
0,4932
20
Jalan Malioboro
0,0307
16
0,4912
19
Jalan Pangeran Mangkubumi
0,0292
14
0,4088
17
Jalan Magelang
0,0278
14
0,3892
15
Jalan Sultan Hasanuddin
0,0247
12
0,2964
12
Jalan Dr. Sam Ratulangi
0,0274
10
0,274
14
Jalan Pasar Ikan
0,0239
10
0,239
10
Jalan Mongonsidi
0,0233
8
0,1864
9
Jalan Iskandar Muda
0,0235
6
0,141
7
Jalan Jenderal Sudirman
0,0229
6
0,1374
49
4
Jalan Pandanaran
0,0219
4
0,0876
6
Bandara Medan
0,0299
2
0,0598
2
Jalan Dr. Cipto
0,0215
2
0,043
Terlihat dari tabel di atas bahwa petak ” Jalan Gatot Subroto” adalah petak yang memiliki nilai harapan paling besar. Ini artinya untuk setiap kali giliran atau pengocokan, petak ” Jln. Gatot Subroto” diharapkan menghasilkan rata-rata uang sewa sebesar M 1, 325. lalu diikuti oleh petak ”Jalan Thamrin” dengan nilai harapan sebesar M 0,77, petak “Bandara Surabaya” dengan nilai harapan sebesar M 0,765 dan petak “Bandara Denpasar” dengan nilai harapan sebesar M 0,73. Jadi jika pemain ingin memenangkan permainan Monopoli sebaiknya mempertimbangkan untuk membeli petak “ Jalan Gatot Subroto “ dan “ Jalan Thamrin “ atau kompleks yang berwarna biru dan semua petak bandara. Harga beli petak-petak tersebut memang mahal tapi sepadan dengan nilai harapannya yang besar juga. Sebaliknya petak yang memiliki prospek yang kurang baik adalah kompleks yang berwarna coklat yaitu petak “Jalan Dr. Cipto” dan petak “Jalan Pandanaran” karena memiliki nilai harapan yang kecil.
50
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5. 1
Kesimpulan Dari pembahasan dapat disimpulkan bahwa dengan menggunakan Long
Run Behaviour rantai Markov pada permainan Monopoli, petak ” Jalan Gatot Subroto” adalah petak yang memiliki nilai harapan paling besar. Ini artinya untuk setiap kali giliran atau pengocokan, petak ” Jln. Gatot Subroto” menghasilkan rata-rata uang sewa sebesar M 1, 325. lalu diikuti oleh petak ”Jalan Thamrin” dengan nilai harapan sebesar M 0,77, petak “Bandara Surabaya” dengan nilai harapan sebesar M 0,765 dan petak “Bandara Denpasar” dengan nilai harapan sebesar M 0,73. Jadi jika pemain ingin memenangkan permainan Monopoli sebaiknya mempertimbangkan untuk membeli petak “ Jalan Gatot Subroto “ dan “ Jalan Thamrin “ atau kompleks yang berwarna biru dan semua petak bandara.
5. 2
Saran Pemodelan permainan Monopoli dalam skripsi ini tidak sepenuhnya
mewakili permainan yang sesungguhnya. Maka disarankan untuk penelitian selanjutnya bisa dilakukan dengan memperhatikan peraturan yang lain seperti peraturan setelah muncul angka kembar dan peraturan ketika masuk penjara, sehingga dapat menggambarkan permainan yang sesungguhnya dan menunjukkan kegunaan dari rantai Markov.
51
REFERENSI
[1]
Anton, Howard. Dasar-Dasar Aljabar Linear. Edisi ke-7.Jilid 1. Batam , Interaksara, 2000
[2]
H.S, Suryadi. Seri diktat kuliah: Pengantar Aljabar Linier dan Geometrik Analitik. Jakarta, Gunadarma, 1995.
[3]
Munir Rinaldi. Buku Teks Ilmu Komputer. Matematika Diskrit. Edisi Ke-3. Bandung, Informatika, 2005.
[4]
Taylor, Howard M. An Introduction To Stochastic Modeling Revised Edition. Academic Press Limited
[5]
Walpole, E. Ronald. Pengantar Statistik. Edisi ke-3. Jakarta : PT.Gramedia Pustaka Utama, 1995.
[6]
Petunjuk manual permainan Monopoli
[7]
(http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/16888/3/chapter%2011.p df) [10/05/2011 15.36 WIB]
[8]
(http://id.wikipedia.org/wiki/Monopoli_(permainan)) [10/07/2010 00.53 WIB]
[9]
(http://smp1rangkasbitung.wordpress.com/2009/02/23/pembelajarandengan-model-permainan-monopoly-pakem/) [10/07/2010 00.55 WIB]
52
LAMPIRAN-LAMPIRAN
LAMPIRAN 1 Program Matlab for i=1:39 b(i)=0; end b(end+1)=1; b=b'; Q={40 x 40] for i=1:40 Q(i,i)=Q(i,i)-1; end Q(end,:)=1; phi=inv(Q)*b
LAMPIRAN 2 GAMBAR PAPAN MONOPOLI
LAMPIRAN 3
Baris 1 1 1 6 1 1 6 7 0 36 16 36 6 576 576 576 1 14 14 Q1,3 P( D1 ) P( E1 ) 36 36 576 2 Q1,4 P ( F1 ) 36 3 6 1 3 6 48 6 54 Q1.5 P(G1 ) P( H1 ) 36 36 36 36 576 576 576 4 6 1 4 6 64 6 70 Q1,6 P( I1 ) P( J1 ) 36 36 16 36 576 576 576 5 Q1,7 P ( K1 ) 36 6 6 36 Q1,8 P ( L1 ) P ( M 1 ) 36 16 576 5 Q1,9 P( N1 ) 36 4 Q1,10 P (O1 ) 36 Q1,11 P ( P1 ) P (Q1 ) P ( R1 ) Q1,1 P( A1 ) P( B1 ) P(C1 ) 0
3 1 1 6 1 3 1 6 3 7 48 7 55 36 36 16 36 16 36 576 576 36 576 576 576 2 6 1 2 6 32 6 38 Q1,12 P( S1 ) P(T1 ) 36 36 16 36 576 576 576 1 6 1 1 6 16 6 22 Q1,13 P(U1 ) P(V1 ) 36 36 16 36 576 576 576 6 2 12 Q1,16 P(W1 ) P( X 1 ) 0 36 16 576 6 1 6 Q1,25 P (Y1 ) P ( Z1 ) 0 36 16 576 6 1 6 Q1,40 P( AO1 ) P( BO1 ) 0 36 16 576 Baris 2 5 1 5 Q2,1 P( A2 ) P( B2 ) 0 36 16 576 1 Q2,4 P (C2 ) 36
2 5 1 2 5 32 5 37 36 36 16 36 576 576 576 3 5 1 3 5 48 5 53 Q2,6 P( F2 ) P(G2 ) 36 36 16 36 576 576 576 4 Q2,7 P ( H 2 ) 36 5 6 30 Q2,8 P( I 2 ) P( J 2 ) 36 16 576 6 Q2,9 P( K 2 ) 36 5 Q2,10 P( L2 ) 36 Q2,11 P ( M 2 ) P( N 2 ) Q2,5 P( D2 ) P( E2 )
4 5 1 4 5 64 5 69 36 36 16 36 576 576 576 3 5 1 3 5 48 5 53 Q2,12 P(O2 ) P( P2 ) 36 36 16 36 576 576 576 2 5 1 2 5 32 5 37 Q2,13 P(Q2 ) P( R2 ) 36 36 16 36 576 576 576 1 Q2,14 P( S 2 ) 36 5 2 10 Q2,16 P(T2 ) P(U 2 ) 0 36 16 576 5 1 5 Q2,25 P(V2 ) P(W2 ) 0 36 16 576 5 1 5 Q2,40 P( X 2 ) P(Y2 ) 0 36 16 576 Baris 3 4 1 4 Q3,1 P( A3 ) P( B3 ) 0 36 6 576 1 4 1 1 4 16 4 20 Q3,5 P(C3 ) P( D3 ) 36 36 36 36 576 576 576 2 4 1 2 4 32 4 36 Q3,6 P( E3 ) P( F3 ) 36 36 16 36 576 576 576 3 Q3,7 P (G3 ) 36 4 6 24 Q3,8 P ( H 3 ) P ( I 3 ) 36 16 576 5 Q3,9 P( J 3 ) 36
6 36 Q3,11 P ( L3 ) P ( M 3 )
Q3,10 P ( K 3 )
5 4 1 5 4 90 4 94 36 36 16 36 576 576 576 4 4 1 4 4 64 4 68 Q3,12 P( N 3 ) P(O3 ) 36 36 16 36 576 576 576 3 4 1 3 4 48 4 52 Q3,13 P( P3 ) P(Q3 ) 36 36 16 36 576 576 576 2 Q3,14 P( R3 ) 36 1 Q3,15 P ( S3 ) 36 4 2 8 Q3,16 P(T3 ) P(U 3 ) 0 36 16 576 4 1 4 Q3,25 P (V3 ) P(W3 ) 0 36 16 576 4 1 4 Q3,40 P( X 3 ) P(Y3 ) 0 36 16 576 Baris 4 3 1 3 Q4,1 P ( A4 ) P ( B4 ) 0 36 6 576 3 1 3 Q4,5 P (C4 ) P ( D4 ) 0 36 36 576 1 3 1 1 3 16 3 19 Q4,6 P( E4 ) P( F4 ) 36 36 16 36 576 576 576 2 Q4,7 P (G4 ) 36 3 6 18 Q4,8 P( H 4 ) P( I 4 ) 36 16 576 4 Q4,9 P ( J 4 ) 36 5 Q4,10 P( K 4 ) 36 Q4,11 P ( L4 ) P ( M 4 )
6 3 1 6 3 96 3 99 36 36 16 36 576 576 576 5 3 1 5 3 80 3 83 P( N 4 ) P(O4 ) 36 36 16 36 576 576 576 4 3 1 4 3 64 3 67 P( P4 ) P(Q4 ) 36 36 16 36 576 576 576
Q4,12
Q4,13
3 36 2 P( S4 ) 36
Q4,14 P ( R4 ) Q4,15
1 3 2 1 6 16 6 22 36 36 16 36 576 576 576 3 1 3 Q4,25 P(V4 ) P(W4 ) 0 36 16 576 3 1 3 Q4,40 P( X 4 ) P(Y4 ) 0 36 16 576 Baris 5 2 1 2 Q5,1 P ( A5 ) P ( B5 ) 0 36 6 576 2 1 2 Q5,5 P(C5 ) P( D5 ) 0 36 36 576 2 1 2 2 Q5,6 P( E5 ) P( F5 ) 0 0 36 16 576 576 1 Q5,7 P (G5 ) 36 2 6 12 Q5,8 P( H 5 ) P( I 5 ) 36 16 576 3 Q5,9 P( J 5 ) 36 4 Q5,10 P ( K 5 ) 36 Q5,11 P ( L5 ) P ( M 5 ) Q4,16 P(T4 ) P(U 4 )
5 2 1 5 2 80 2 82 36 36 16 36 576 576 576 6 2 1 6 2 96 2 98 P( N 5 ) P (O5 ) 36 36 16 36 576 576 576 5 2 1 5 2 80 2 82 P( P5 ) P(Q5 ) 36 36 16 36 576 576 576 4 P( R5 ) 36 3 P ( S5 ) 36 2 2 2 2 4 32 4 36 P(T5 ) P(U 5 ) 36 36 16 36 576 576 576 1 P (V5 ) 36
Q5,12 Q5,13 Q5,14
Q5,15 Q5,16 Q5,17
2 1 2 36 16 576 2 1 2 Q5,40 P(Y5 ) P ( Z 5 ) 0 36 16 576 Baris 6 1 1 1 1 1 1 2 Q6,1 P( A6 ) P( B6 ) P(C6 ) 0 0 36 16 36 6 576 576 576 1 1 1 Q6,5 P( D6 ) P( E6 ) 0 36 36 576 1 1 1 Q6,6 P( E6 ) P( F6 ) 0 36 16 576 1 6 6 Q6,8 P (G6 ) P ( H 6 ) 36 16 576 2 Q6,9 P( I 6 ) 36 3 Q6,10 P( J 6 ) 36 Q6,11 P ( K 6 ) P ( L6 ) P ( M 6 ) Q5,25 P (W5 ) P ( X 5 ) 0
4 1 1 1 1 4 1 1 64 2 66 36 36 16 36 16 36 576 576 576 576 5 1 1 5 1 80 1 81 Q6,12 P( N 6 ) P(O6 ) 36 36 16 36 576 576 576 6 1 1 6 1 96 1 97 Q6,13 P( P6 ) P(Q6 ) 36 36 16 36 576 576 576 5 Q6,14 P ( R6 ) 36 4 Q6,15 P( S6 ) 36 3 1 2 3 2 48 2 50 Q6,16 P(T6 ) P(U 6 ) 36 36 16 36 576 576 576 2 Q6,17 P(V6 ) 36 1 14 14 Q6,18 P(W6 ) P( X 6 ) 36 16 576 1 1 1 Q6,25 P(Y6 ) P( Z 6 ) 0 36 16 576 1 1 1 Q6,40 P( AO6 ) P( BO6 ) 0 36 16 576 Baris 7 2 1 2 Q7,1 P( A7 ) P( B7 ) 0 36 16 576
1 36 2 P ( D7 ) 36
Q7,9 P (C7 ) Q7,10
Q7,11 P( E7 ) P( F7 )
3 2 1 3 2 48 2 50 36 36 16 36 576 576 576
4 36 5 P( H 7 ) 36 6 P( I 7 ) 36 5 P( J 7 ) 36 4 P( K 7 ) 36 3 P ( L7 ) 36
Q7,12 P (G7 ) Q7,13 Q7,14 Q7,15 Q7,16 Q7,17
Q7,18 P( M 7 ) P( N 7 ) Q7,19 P (O7 )
2 14 28 36 16 576
1 36
Baris 8 Q8,1 P ( A8 ) P ( B8 ) 0 Q8,10 P (C8 )
1 36
Q8,11 P( D8 ) P( E8 ) 3 36 4 P (G8 ) 36 5 P( H 8 ) 36 6 P( I8 ) 36 5 P( J 8 ) 36 4 P( K8 ) 36
Q8,12 P( F8 ) Q8,13 Q8,14 Q8,15 Q8,16 Q8,17
3 1 3 36 16 576
2 3 1 2 3 32 3 35 36 36 16 36 576 576 576
Q8,18 P( L8 ) P( M 8 )
3 14 42 36 16 576
2 36 1 Q8,20 P (O8 ) 36 Baris 9 Q8,19 P ( N8 )
4 1 4 36 16 576 1 4 1 1 4 16 4 20 Q9,11 P(C9 ) P( D9 ) 36 36 16 36 576 576 576 2 Q9,12 P ( E9 ) 36 3 Q9,13 P( F9 ) 36 4 Q9,14 P (G9 ) 36 5 Q9,15 P ( H 9 ) 36 6 Q9,16 P ( I 9 ) 36 = Kejadian pemain berpindah dari petak 9 ke petak 17 J9 5 Q9,17 P( J 9 ) 36 4 14 56 Q9,18 P( K 9 ) P( L9 ) 36 16 576 3 Q9,19 P ( M 9 ) 36 2 Q9,20 P( N9 ) 36 1 Q9,21 P (O9 ) 36 Baris 10 5 1 5 Q10,1 P( A10 ) P( B10 ) 0 36 16 576 5 1 5 Q10,11 P(C10 ) P( D10 ) 0 36 16 576 1 Q10,12 P( E10 ) 36 2 Q10,13 P ( F10 ) 36 Q9,1 P( A9 ) P( B9 ) 0
3 36 4 P ( H10 ) 36 5 P( I10 ) 36 6 P ( J10 ) 36
Q10,14 P(G10 ) Q10,15 Q10,16 Q10,17
Q10,18 P( K10 ) P( L10 )
5 14 70 36 16 576
4 36 3 Q10,20 P ( N10 ) 36 2 Q10,21 P(O10 ) 36 1 Q10,22 P ( P10 ) 36 Baris 11 Q10,19 P( M 10 )
6 1 1 1 6 1 7 36 16 36 16 576 576 576 1 1 1 Q11,6 P ( D11 ) P ( E11 ) 0 36 16 576 6 1 1 1 7 Q11,11 P( F11 ) P(G11 ) P( H11 ) 0 36 16 36 16 576 1 1 1 Q11,12 P( I11 ) P( J11 ) 0 36 16 576 1 Q11,13 P( K11 ) 36 2 Q11,14 P ( L11 ) 36 3 Q11,15 P ( M 11 ) 36 4 Q11,16 P( N11 ) 36 5 Q11,17 P (O11 ) 36 6 14 84 Q11,18 P( P11 ) P(Q11 ) 36 16 576 5 Q11,19 P ( R11 ) 36
Q11,1 P( A11 ) P( B11 ) P(C11 ) 0
Q11,20 P( S11 ) P(T11 )
4 1 1 64 1 65 36 36 16 576 576
3 36 2 P (V11 ) 36
Q11,21 P(U11 ) Q11,22
1 6 6 36 16 576 1 1 1 P (Y11 ) P ( Z11 ) 0 36 16 576 1 2 2 P ( AO11 ) P( BO11 ) 0 36 16 576 1 1 1 P(CO11 ) P( DO11 ) 0 36 16 576 1 1 1 P ( EO11 ) P( FO11 ) 0 36 16 576
Q11,23 P(W11 ) P( X 11 ) Q11,25 Q11,26 Q11,29 Q11,40
BIODATA PENULIS
DAFTAR RIWAYAT HIDUP Data Pribadi Nama Lengkap
: Bilqis El Jilnar
NIM
: 104094003021
Tempat Tanggal Lahir
: Bima, 20 Desember 1985
Alamat
: Jl. Perintis, Gg. Pisang RT.09/03 Kel. Penaraga Kec. Raba Kota Bima- NTB
Phone / Hand Phone
: 02191402299 / 081382267305
Email
:
[email protected]
Jenis Kelamin
: Perempuan
Riwayat Pendidikan 1. S1
: Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Syarif Hidayatullah Jakarta, Tahun 2004 - 2011
2. SMA
: SMU 2 Raba Kota Bima – NTB , Tahun 2000 - 2003
3. SMP
: SLTP 1 Raba Kota Bima – NTB , Tahun 1997 - 2000
4. SD
: SDN 2 Raba Kota Bima – NTB, Tahun 1991 – 1997
