Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Hoofdstuk 4 - Tellen & kansen Inkijkexemplaar

4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan • signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren om ... Theorie Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: 1. Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? 2. Is herhaling wel of niet toegestaan? Aan de hand hiervan kun je verschillende telproblemen onderscheiden: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? nee

ja

Combinaties Je hebt te maken met een combinatie. Vb. Het kiezen van 3 uit 8 dingen: 8 3 = 56.

()

Je moet nu herhaaldelijk kiezen uit verschillende mogelijkheden. Stel jezelf de volgende vraag: Is herhaling toegestaan? nee

ja

Je hebt te maken met een permutatie.

Je kunt iedere keer uit hetzelfde aantal kiezen.

Vb. Het rangschikken van 3 uit 8 dingen: 8 ∙ 7 ∙ 6 = 336.

Vb. 3 keer uit 8 dingen kiezen: 8 ∙ 8 ∙ 8 = 512.

Als we 3 dingen uit 8 dingen kiezen, waarbij de volgorde van de gekozen dingen niet van belang is, hebben we te maken met combinaties.

(8)

Berekening: 3 = 56. Voorbeelden van telproblemen met combinaties: • Een rijtje maken met twee verschillende letters, b.v. 3 keer een M en 5 keer een K. • Een groepje van 6 leerlingen kiezen uit een klas van 30 leerlingen, waarbij de gekozen leerlingen dezelfde taak krijgen. • Het aantal routes in een rooster.

27


Herhaaldelijk kiezen uit verschillende mogelijkheden Herhaling niet toegestaan: permutaties Als we 3 dingen uit 8 willen rangschikken, waarbij de volgorde wel van belang is, en herhaling niet is toegestaan, hebben we te maken met permutatie. Je kunt je dit voorstellen als het rangschikken van dingen/ het op volgorde zetten van dingen. Je kunt voor de eerste plek uit alle 8 de dingen kiezen, voor de volgende plek uit 1 minder, voor de volgende plek uit weer 1 minder, enz... Ook hier vermenigvuldig je de mogelijkheden met elkaar. Berekening: 8 ∙ 7 ∙ 6 = 336. Rangschikken we alle 8 de dingen, dan kan dat op 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 8! = 40320 manieren.



Voorbeelden van telproblemen met permutaties: • Het aantal mogelijke code’s met 4 cijfers waarbij de cijfers verschillend moeten zijn. • Het op een volgorde zetten van 5 boeken. • Een top 3 maken uit 20 cd’s. Herhaling toegestaan Als we 3 keer achter elkaar uit 8 dingen kiezen, waarbij de volgorde van de gekozen dingen wel van belang is en herhaling wel is toegestaan, dan vermenigvuldigen we alle mogelijkheden met elkaar. Berekening: 8 ∙ 8 ∙ 8 = 83 = 512. Als we eerst uit 10 dan uit 7 en dan uit 8 dingen kunnen kiezen, vermenigvuldig je ook alle mogelijkheden met elkaar. Berekening: 10 ∙ 7 ∙ 8 = 560. Telproblemen waarbij herhaling is toegestaan: • Het aantal mogelijke code’s met 4 cijfers waarbij de cijfers gelijk mogen zijn. • Het inkleuren van 9 hokjes waarbij ieder hokje zwart of wit gekleurd wordt. • Het verloten van 3 prijzen onder 10 mensen waarbij je meerdere prijzen mag winnen.

28


Wat moet ik kunnen? Je moet kunnen herkennen met welk telprobleem je te maken hebt. Vervolgens moet je het aantal manieren uit kunnen rekenen. Combinaties Een telprobleem dat je op kunt lossen met combinaties is altijd voor te stellen als een rijtje met 2 letters. Je schrijft een mogelijk rijtje op en rekent met de GR het aantal mogelijkheden uit.

Hoeveel rijtjes kun je maken met 4A’s en 5B’s? Een mogelijk rijtje is AAAABBBBB. We hebben 9 plekken ,waarvan 5A’s dus dit zij 9 = 126 manieren.

(5)

GR blok: Combinatie uitrekenen

(9)

Om 5 uit te rekenen druk je op 9 MATH 



 ENTER 5

Herhaaldelijk kiezen uit verschillende mogelijkheden Een telprobleem waarbij je herhaaldelijk moet kiezen is altijd voor te stellen als het op een rij zetten van verschillende dingen. 1) Bedenk hoeveel mogelijkheden er zijn voor plek 1. 2) Bedenk hoeveel mogelijkheden er zijn voor plek 2, voor plek 3, enz... Bedenk hier of herhaling is toegestaan of niet. 3) Vermenigvuldig deze mogelijkheden met elkaar.



Een nummerbord bestaat uit 2 cijfers - 2 letters - 2 letters, bijv. 51-CC-LL. Hoeveel verschillende nummerborden bestaan er als herhaling is toegestaan? Voor iedere plek met een cijfer zijn er 10 mogelijkheden, voor iedere plek met een letter zijn er 26 mogelijkheden. Dit geeft: 10∙10∙26∙26∙26∙26=45697600 mogelijkheden.

29


Voorbeeldopgaven Voorbeeldopgave Uit een klas van 10 leerlingen kies je er 4 die samen het klassenfeest gaan organiseren. Hoeveel verschillende groepjes kan je kiezen? Je kunt je dit probleem voorstellen als een rijtje maken met 2 verschillende letters. We hebben dus te maken met een combinatie. We schrijven een W voor een leerling wel kiezen, een N voor een leerling niet kiezen. Een mogelijk rijtje is nu WWWWNNNNNN. 10 We hebben 10 letters, waarvan 4 keer W dus er zijn 4 = 210 groepjes

( )

Voorbeeldopgave Uit een klas van 20 leerlingen kies je er 3 waarbij één leerling de hapjes voor het feest verzorgt, één de financiën doet, en één de locatie regelt. Op hoeveel manieren kan je deze leerlingen kiezen? Je kunt je dit probleem voorstellen als het op een rij zetten van leerlingen. De eerste leerling verzorgt de hapjes, de tweede leerling doet de financien, de derde regelt de locatie. Voor de eerste taak zijn er 20 leerlingen om uit te kiezen, voor de tweede taak 19 en voor de derde taak 18. In totaal zijn er dan: 20 ∙ 19 ∙ 18 = 6840 manieren.

Voorbeeldopgave We zetten 5 boeken op een rij. Hoeveel verschillende rijen zijn er mogelijk? Voor de eerste plek zijn er 5 mogelijkheden, voor de 2de plek zijn er 4 mogelijkheden, voor de 3de plek zijn er 3 mogelijkheden, etc... . Dit geeft 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5! = 120 mogelijkheden. Voorbeeldopgave De tekening hiernaast is een voorbeeld van hoe we 3 van de 9 vakjes kunnen inkleuren. Op hoeveel manieren kunnen we in totaal 3 verschillende vakjes inkleuren? We kunnen ons dit weer voorstellen als het maken van een rijtje met 2 verschillende letters. Schrijf een W voor wit laten en een Z voor zwart kleuren. Een mogelijk rijtje is nu ZWWWZZWWW. 9 Er zijn 9 letters waarvan 3 keer een Z dus dit kan op : 3 = 84 manieren.

()

30


Voorbeeldopgave Examen 2009-II opgave 9(3pt)

Bekijk eerste de eerste rij. Voor de eerste plek zijn er 7 mogelijkheden. Voor de tweede plek blijven er dan nog 6 mogelijkheden over, voor de derde 5 enz. De eerste rij kan dus op 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 7! verschillende manieren gevormd worden. Net zo kan de tweede rij op 7! manieren gevormd worden. In totaal zijn er dus 7! ∙ 7! = 25401600 verschillende opstellingen mogelijk.

31


4.2 Kansen Herkennen Je kunt een vraag over kansrekening herkennen aan: • signaalwoorden: bij een vraag over kansrekening wordt er vaak gevraagd - een kans op een bepaalde gebeurtenis uit te rekenen. - te berekenen hoeveel of welk aantal je kan verwachten. Er is dan vaak al een kans gegeven. Theorie Bij kansrekening hebben we te maken met kansexperimenten, waarbij je de kans op een bepaalde gebeurtenis moet berekenen. In het algemeen geldt: aantal gunstige uitkomsten

- Kans = totaal aantal uitkomsten - Aantal gunstige uitkomsten = kans ∙ totaal aantal uitkomsten. Kansen en percentages Een kans drukken we uit in een getal tussen 0 en 1. Vaak worden in een vraag percentages gegeven, je moet dit om kunnen rekenen naar kansen: - Percentage = kans ∙ 100 percentage - Kans = 100 Notatie Voor de kans op een gebeurtenis gebruiken we de notatie P(…..), bijvoorbeeld: P(twee rode knikkers). Rekenregels Bij het uitrekenen van de kans op twee gebeurtenissen gebruiken we de volgende rekenregels: - P(gebeurtenis 1 of gebeurtenis 2) = P(gebeurtenis 1) + P(gebeurtenis 2). - P(gebeurtenis 1 en gebeurtenis 2) = P(gebeurtenis 1) ∙ P(gebeurtenis 2). - Complementregel: Als een kans op een gebeurtenis A erg veel werk is om uit te rekenen, kun je de complementregel gebruiken: P(gebeurtenis A) = 1 – P(niet A)

32

Vb.:

P(een harten of een ruiten kaart) = P(harten) + P(ruiten) P(een harten en een ruiten kaart pakken) = P(harten) ∙ P(ruiten)

P(minstens 1 ruiten kaart trekken) = 1 – P(geen enkele ruiten kaart trekken)


Wat moet ik kunnen? Een gevraagde kans kun je vaak op de volgende manier berekenen: 1. 2. 3. 4.

Geef iedere gebeurtenis een letter. Geef een mogelijk rijtje van gebeurtenissen. Bereken hoeveel verschillende rijtjes er zijn. Bereken de kans op een rijtje. Let hier op of je met of zonder terugleggen pakt! 5. Vermenigvuldig het aantal verschillende rijtjes met de kans op een rijtje



In een bak zitten een rode, een gele, een groene en blauwe knikker. We trekken er 2 knikkers uit met terugleggen. Hoe groot is de kans op 1 rode en 1 blauwe knikker?

1.

B = blauwe knikker en R = rode knikker.

2. Een mogelijk rijtje is RB 3. Er zijn 2 rijtjes, namelijk RB en BR. 4. P(BR) = P(1e keer blauw) ∙ P(2e keer rood) = 1 1 1 4 ∙ 4 = 16

5. P(1 rode en 1 blauwe) = 2 ∙1/16= 0,125 .

Als er niet gegeven is hoe je de kans moet afronden, geef je antwoord dan in 3 decimalen. Voorbeeldopgaven Voorbeeldopgave In een spel zitten 16 kaarten, waarvan 4 harten, 4 ruiten, 4 schoppen en 4 klaveren. Je trekt tegelijk 3 kaarten. Bereken de kans op 2 harten en 1 ruiten kaart. 1. H=harten trekken R=ruiten trekken. 2. Een mogelijk rijtje is HHR. 3 3. Er zijn 3 letters, waarvan 2 keer een H. Dus er zijn 2 = 3 van die rijtjes mogelijk. 4 3 4 1 4. P(HHR) = 16 ∙ 15 ∙ 14 = 70 . Let op: zonder terugleggen! 3 1 5. P(2 keer harten en 1 keer ruiten) = 2 ∙ 70 =0,043. Gebruik op je examen de notatie P( ... ). Dit kan je punten opleveren.

()

 

()

Voorbeeldopgave Examen 2009-II opgave 10 (4pt)

33


De hond wordt afgekeurd als hij niet in beide rijen potje A kiest. De gevraagde kans kunnen we met de complementregel uitrekenen: P(niet in beide rijen A) = 1 – P(in beide rijen A). 1 1 1 P(in beide rijen A) = P(in 1e rij A én in 2e rij A) = 7 ∙ 7 = 49 . 1 Dus: 1 – P(in beide rijen A) = 1 – 49 ≈ 0,9759. Bij willekeurig kiezen heeft de hond een kans van 0,976 om afgekeurd te worden.

Voorbeeldopgave Examen 2009-II opgave 11 (4pt)

34


De hond moet eerst twee keer A aanwijzen en daarna twee keer X. Dit kunnen we oplossen met het stappenplan: A = potje A kiezen, X = potje X kiezen AAXX Er is maar 1 rijtje mogelijk, want hij moet eerst twee keer A en dan twee keer X kiezen. 1 P(AAXX) = 1 ∙ 11 ∙ ∙ ≈ 0,00061 7

76

6

Dus de gevraagde kans is 0,0006.

4.3 Verwachtingswaarde berekenen Herkennen Je kan aan een examenvraag herkennen dat je een verwachtingswaarde moet berekenen door • signaalwoorden: - hoeveel verwacht je? - wat is de verwachte winst, uitkomst enz.? Theorie De verwachtingswaarde van een kansexperiment is het gewogen gemiddelde van alle mogelijke uitkomsten. Als je het experiment vaak herhaald zul je dus gemiddeld op die uitkomst uitkomen. Om deze te berekenen maak je eerst een kansverdeling. Kansverdeling Een kansverdeling is een tabel, waarbij je de mogelijke uitkomsten in de bovenste rij staan. Daaronder staat bij elke uitkomst de bijbehorende kans. De kansverdeling die bij het gooien van een dobbelsteen hoort: Uitkomst 1 2 3 4 5 6 Kans 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Verwachtingswaarde De verwachtingswaarde bereken je door elke uitkomst te vermenigvuldigen met de bijbehorende kans en die bij elkaar op te tellen. De verwachtingswaarde van het gooien van een dobbelsteen is: 1 1 1 1 1 1 1 ∙ 6 + 2 ∙ 6 + 3 ∙ 6 + 4 ∙ 6 + 5 ∙ 6 + 6 ∙ 6 = 3,5.

35


Winstverwachting Vaak wordt er om een winstverwachting gevraagd. Dit is de gemiddelde winst die je verwacht te maken als je een spel speelt. Hiervoor maak je een kansverdeling waarbij je de mogelijk winst uitzet tegen de kans op die winst. Als je 3 euro verlies maakt, schrijf je dit al een winst van -3.



Wat moet ik kunnen? Om een verwachtingswaarde uit te kunnen rekenen moet je:

We spelen een spel met drie dobbelstenen. Bereken het verwachte aantal zessen na één keer gooien.

1. Een kansverdeling kunnen maken. Om deze te maken pas je toe wat je bij 5.2 over kansen hebt geleerd. Vaak wordt (een deel van) de kansverdeling al gegeven. 2. Elke uitkomst vermenigvuldigen met de bijbehorende kans en die bij elkaar optellen.

1. De kansverdeling die hierbij hoort is:



Uitkomst 0 1 2 3 Kans 125/216 75/216 15/216 1/216



125

25

2. De verwachtingswaarde is dan: 0 ∙ 126 + 1 ∙ 72 + 5 1 1 2 ∙ 72 + 3 ∙ 126 = 2 Dit betekent dat je bij vaak spelen gemiddeld 1 op de 2 keer een 6 kan verwachten.

Voorbeeldopgaven Voorbeeldopgave Voor een loterij koop je 10 loten van 1 euro. In totaal worden er 100.000 loten verkocht. De hoofdprijs is 50.000 euro. Wat is de verwachte winst? Om de kans verdeling te maken berekenen we eerst de volgende kansen: 10

P(winst) = 100000 = 0,0001 P(geen winst) = 1 – P(winst) = 0,9999 Als je niet wint is de winst -10 euro (de kosten van de loten). Als je wint is de winst 50.000 – 10 = 49,990 euro. Dit geeft ons de volgende tabel: Winst Kans

-10 49.990 0.9999 0.0001

De winstverwachting is nu: -10 ∙ 0,9999 + 49.990 ∙ 0,0001 = -5. Je zal dus gemiddeld per keer 5 euro verliezen.

36


Voorbeeldopgave Examen 2009-II Opgave 19 (5pt)

Alle kansen bij elkaar opgeteld moet altijd 1 zijn. De overige kansen bij elkaar opgeteld geeft 65 16 65/81. Dus de waarde die nog ingevuld moet worden is 1 - 81 = 81. 16

32

24

8

1

10 ∙ 81 + 1 ∙ 81 – 8 ∙ 81 – 17 ∙ 81 – 26 ∙ 81 = - 2. De verwachte winst is dus -2 euro.

37

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Recommend Documents