Beginselen van de theorie der veeltermvergelijkingen in één onbekende. Galoistheorie. Frans Keune. voorjaar 2015

Beginselen van de theorie der veeltermvergelijkingen in ´ e´ en onbekende

Galoistheorie Frans Keune voorjaar 2015

Voorwoord Dit boek is voortgekomen uit het dictaat horend bij colleges Galoistheorie gegeven aan de Radboud Universiteit (voorheen Katholieke Universiteit Nijmegen) sinds 1979. Deze colleges werden gegeven voor derdejaars studenten. De benodigde voorkennis bestaat uit de beginselen van de groepentheorie en de theorie van ringen en lichamen. Onderwerpen uit deze theorie¨en die van direct belang zijn voor de Galoistheorie worden in dit boek behandeld, ook als die onderwerpen gewoonlijk gezien worden als behorend tot tweedejaars algebra. Centraal staat het oplossen van veeltermvergelijkingen in ´e´en onbekende x: vergelijkingen van de vorm xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0, waarbij a1 , . . . , an elementen van een lichaam K zijn. M.a.w. het bepalen van de nulpunten van een veelterm f (X) ∈ K[X]. Die nulpunten zitten in het algemeen niet in K maar in een groter lichaam. Neem je dat grotere lichaam zo zuinig mogelijk, dan krijg je een splijtlichaam van f over K. Tot omstreeks 1800 had men recepten voor het oplossen van vergelijkingen van graad ≤ 4. Het gaat daarbij om algemene recepten: toegepast op een vergelijking met willekeurige co¨effici¨enten leidt zo’n recept tot een oplossingsformule. Zulke formules zijn opgebouwd uit de co¨effici¨enten van de veelterm d.m.v. optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken. In 1824 liet de Noorse wiskundige Niels Henrik Abel (1802–1829) in een beknopt artikel van zes pagina’s zien dat voor vijfdegraads vergelijkingen zo’n algemene oplossingsformule niet bestaat. Al in 1799 kwam de Italiaanse wiskundige Paolo Ruffini (1765–1822) met een geschrift van 512 pagina’s waarin hij dat ook aantoonde, maar zijn bewijs bevatte wel een duidelijke lacune. Een diep inzicht in de oplosbaarheid van vergelijkingen werd verkregen door Evariste Galois (1811–1832) door uit te gaan van symmetrie in de oplossingsverzameling: permutaties van de nulpunten van de veelterm die betrekkingen tussen de nulpunten behouden. Tegenwoordig zien we die symmetrie¨en als automorfismen van het splijtlichaam. Tezamen vormen ze een eindige groep, de Galoisgroep. De structuur van die groep bepaalt de oplosbaarheid van de vergelijking. Oplosbaar betekent hier: de nulpunten van de veelterm zijn uit de co¨effici¨enten van die veelterm te verkrijgen door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken.

v

Voorwoord In de tijd van Galois waren abstracte algebra¨ısche structuren als ringen en groepen nog niet uitgevonden. Bij Galois is het begrip groep ontstaan. Het ging daarbij om concrete groepen van permutaties. In de Galoistheorie wordt groepentheorie toegepast op lichaamsuitbreidingen en via de splijtlichamen van veeltermen op vergelijkingen. Met het oog op die toepassingen worden enkele onderwerpen uit de groepentheorie behandeld: de werking van een groep op een verzameling (in paragraaf 5.2 en deelparagraaf 8.8.1), oplosbare groepen (in paragraaf 8.1 en deelparagraaf 8.8.2), enkelvoudige groepen en compositierijen (in paragraaf 8.2) en Sylowondergroepen (in deelparagraaf 8.8.3). De Galoistheorie wordt niet alleen gebruikt bij het oplossen van vergelijkingen, maar algemener bij onderdelen van de wiskunde waar lichaamsuitbreidingen een rol spelen, met name de algebra¨ısche getaltheorie en de algebra¨ısche meetkunde. Om in concrete gevallen conclusies te kunnen trekken, bijvoorbeeld over de oplosbaarheid van een vergelijking, is het nodig Galoisgroepen te berekenen. Daarom besteden we aandacht aan het rekenen in concrete gevallen, met name voor vergelijkingen over Q en over eindige lichamen. Voor vergelijkingen over Q is reductie modulo een priemgetal een belangrijk hulpmiddel. Voor een monische f (X) ∈ Z[X] wordt de vergelijking f (x) = 0 in verband gebracht met de vergelijking waarbij de co¨effici¨enten modulo een priemgetal worden genomen. Belangrijk daarbij is ook de discriminant van een veelterm. Het laatste hoofdstuk is vooral gericht op het berekenen ervan. Een eenvoudiger toepassing van de Galoistheorie betreft constructies met passer en liniaal. Het gaat daarbij om problemen die al in de Griekse oudheid ontstonden. In hoofdstuk 2 wordt een begin gemaakt met de algebra¨ısering van die problemen. Toepassingen van de theorie op passer-en-liniaalconstructies worden gegeven in paragraaf 3.4, paragraaf 6.3 en deelparagraaf 8.8.2. In het najaarssemester van 2014 heeft Maarten Solleveld een eerdere versie van deze tekst gebruikt bij een college Galoistheorie. Ik ben hem dankbaar voor het wijzen op enkele onvolkomenheden in de tekst. Ook opmerkingen van studenten zijn voor mij waardevol geweest. Frans Keune Nijmegen, juni 2015

vi

Notaties en terminologie De wiskunde kent veel standaardnotaties. Die worden in wiskundeteksten algemeen gebruikt en behoeven geen nadere uitleg. Dat geldt ook voor dit boek. Soms kan een keuze worden gemaakt en volgt een auteur zijn eigen voorkeur. Specifiek voor dit boek: - Het gebruikte symbool voor inclusie is ⊆, terwijl ⊂ wordt gebruikt voor echte inclusie. Analoog ≤ en < voor ondergroepen en E en C voor normale ondergroepen. - De natuurlijke getallen beginnen bij 0. De verzameling der natuurlijke getallen wordt aangegeven met N. De verzameling der natuurlijke getallen zonder de 0 wordt aangegeven met N∗ . - Ringen hebben per definitie een eenheidselement en ringhomomorfismen behouden het eenheidselement. De ring der gehele getallen modulo n wordt genoteerd als Zn . De groep van inverteerbare elementen (of eenheden) van een ring R noteren we als R∗ . - Lichaamsuitbreidingen worden genoteerd als L : K. De notatie L/K is gebruikelijker. Ook L|K wordt wel gebruikt. De hier gemaakte keuze komt voort uit de omstandigheid dat de eerste grondige kennismaking van de auteur met Galoistheorie in het boek van Stewart [6] was, waarin deze notatie werd gebezigd. Een klein voordeel ervan is de geringere suggestie dat het om een quoti¨entstructuur zou gaan. Op bladzijde 165 staat een uitgebreid overzicht van de in dit boek gebruikte notaties.

vii

Inhoudsopgave Voorwoord

v

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen 1.1 Vergelijkingen van lage graad . . . . . 1.1.1 Kubische vergelijkingen . . . . 1.1.2 Vierdegraads vergelijkingen . . 1.2 Veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Uitbreidingen en veeltermen . . 1.2.2 Veeltermen en homomorfismen 1.3 Veeltermen over een lichaam . . . . . . 1.4 Lichaamsuitbreidingen . . . . . . . . . 1.4.1 Algebra¨ısch en transcendent . . 1.4.2 Adjunctie en splijtlichamen . . 1.4.3 Oplosbaarheid . . . . . . . . . 1.5 Diagrammen . . . . . . . . . . . . . . Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

1 1 1 3 5 5 7 8 9 9 11 13 14 16

2 Passer-en-liniaalconstructies 2.1 Basisconstructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Klassieke constructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Klassieke constructieproblemen . . . . . . . . . . . . . 2.4 Passer-en-liniaalconstructies en lichaamsuitbreidingen Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

17 17 20 25 26 29

3 Graden van lichaamsuitbreidingen 3.1 Veeltermen over Q . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Multiplicativiteit van de graad . . . . . . . 3.3 De karakteristieke veelterm . . . . . . . . . 3.4 Toepassing op passer-en-liniaalconstructies . Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Splijtlichamen 4.1 Voortzettingen van inbeddingen 4.2 Voortzettingen van inbeddingen 4.3 Normale uitbreidingen . . . . . 4.4 Algebra¨ısche afsluiting . . . . .

. . tot . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

31 31 34 37 39 41

. . . . . . . . . splijtlichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

43 43 48 49 51

. . . . .

. . . . .

. . . . .

ix

Inhoudsopgave 4.5

Eindige lichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Classificatie van eindige lichamen . . . . . . . . . 4.5.2 De algebra¨ısche afsluiting van een eindig lichaam 4.5.3 De multiplicatieve groep van een eindig lichaam . Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

54 54 55 55 56

5 Galoisuitbreidingen 5.1 Definitie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Werking van een groep . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Tussenlichamen van Galoisuitbreidingen . . . . . . . 5.4 De Hoofdstelling van de Galoistheorie . . . . . . . . 5.5 Voorbeelden over Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Splijtlichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Perfecte lichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Samenstelling en doorsnede van Galoisuitbreidingen 5.9 Primitieve elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Normale bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

59 59 61 62 66 71 74 77 80 81 82 84

6 Speciale uitbreidingen 6.1 Worteluitbreidingen . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Cyclotomische uitbreidingen . . . . . . . . . . . 6.3 Construeerbaarheid van regelmatige veelhoeken Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

89 89 91 97 99

7 De Galoisgroep van een veelterm 7.1 Werking van de Galoisgroep op de nulpunten van 7.2 Galoisgroepen isomorf met Sp . . . . . . . . . . . 7.3 Uitbreiding van het grondlichaam . . . . . . . . . 7.4 De discriminant van een veelterm . . . . . . . . . 7.5 Reductie modulo een priemgetal . . . . . . . . . Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

een veelterm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

103 103 105 106 107 112 117

8 Oplosbaarheid 8.1 Oplosbare groepen . . . . . . . . . 8.2 Compositierijen . . . . . . . . . . . 8.3 Oplosbare vergelijkingen . . . . . . 8.4 Algemene vergelijkingen . . . . . . 8.5 Kubische vergelijkingen . . . . . . 8.6 Vierdegraads vergelijkingen . . . . 8.7 Vergelijkingen van priem graad . . 8.8 p-Groepen . . . . . . . . . . . . . . 8.8.1 Een telprincipe . . . . . . . 8.8.2 p-Groepen en oplosbaarheid

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

121 121 124 128 131 135 137 139 143 143 144

x

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

Inhoudsopgave 8.8.3 Sylowondergroepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 9 De discriminant 9.1 Symmetrische veeltermen 9.2 Sommen van machten . . 9.3 De resultante . . . . . . . Opgaven . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

151 151 154 156 160

Bibliografie

163

Notaties

165

Index

169

xi

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen In dit hoofdstuk wordt beschreven hoe een veelterm leidt tot een lichaamsuitbreiding. Oplosbaarheid van veeltermvergelijkingen wordt vertaald in termen van lichaamsuitbreidingen.

1.1 Vergelijkingen van lage graad Er is een recept voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen: kwadraatafsplitsen. Toepassing van dit recept op de ‘algemene’ kwadratische vergelijking ax2 + bx + c = 0

(met a 6= 0)

levert de bekende abc-formule: x=

−b ±

√

b2 − 4ac . 2a

Dit recept was in wezen al bekend bij de Babyloni¨ers. Veel later is het systematisch beschreven door al-Khwarizmi (±790–±840). In die tijd waren het meerdere recepten omdat negatieve getallen niet werden gebruikt.

1.1.1 Kubische vergelijkingen In 1535 vond Niccol` o Fontana (alias Tartaglia, 1499–1557), en al eerder Scipione del Ferro (1465–1526), een recept voor het oplossen van kubische vergelijkingen. Del Ferro had het niet gepubliceerd, maar had wel op zijn sterfbed aantekeningen aan zijn schoonzoon gegeven. Girolamo Cardano (1501–1576) heeft het Tartaglia weten te ontfutselen en het een paar jaar daarna gepubliceerd in zijn standaardwerk Ars Magna. Dit zeer tegen de zin van Tartaglia die er zelf over wilde schrijven. Lodovico Ferrari (1522–1565), een leerling van Cardano, vond al snel daarna een recept voor het oplossen van vierdegraads vergelijkingen. Hij was toen 18.

1

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen We lossen de vergelijking x3 − 3x2 + 9x − 4 = 0 op volgens het recept van Tartaglia. 1. Met x = y + 1 krijgen we een kubische vergelijking in y zonder kwadratische term: y 3 + 6y + 3 = 0. 2. We schrijven y = u + v: u3 + v 3 + 3uv(u + v) + 6(u + v) + 3 = 0 en nemen u en v zodat bovendien uv = −2: u3 + v 3 + 3 = 0. Dit levert een kwadratische vergelijking in u3 : (u3 )2 + 3u3 − 8 = 0. 3. De kwadratische vergelijking in u3 heeft de oplossing √ −3 + 41 3 u = 2 en dan, omdat u3 + v 3 = −3: √ −3 − 41 v = . 2 3

We hadden ook de andere oplossing van de kwadratische vergelijking kunnen kiezen. Dan was alleen de rol van u en v verwisseld; we zijn echter alleen in hun som ge¨ınteresseerd. 4. Kies een van de drie derdemachts wortels van s u=

3

√ −3+ 41 : 2

√ −3 + 41 , 2

bijvoorbeeld de enige re¨ele derdemachts wortel. Dan wordt v bepaald door √ −3− 41 uv = −2, m.a.w. de keuze van de derdemachts wortel uit voor de 2 waarde van v ligt dan vast. Is u re¨eel, dan is v dat ook.

2

1.1 Vergelijkingen van lage graad 5. Elk van de drie derdemachts wortels uit

√ −3+ 41 2

leidt tot een oplossing:

s √ √ −3 + 41 41 3 −3 − x1 = 1 + + 2 2 s s √ √ 41 41 3 −3 + 2 3 −3 − x2 = 1 + ζ3 + ζ3 2 2 s s √ √ 41 41 3 −3 + 3 −3 − x3 = 1 + ζ32 + ζ3 . 2 2 s 3

1.1.2 Vierdegraads vergelijkingen We lossen de vierdegraads vergelijking x4 + 6x2 − 60x + 36 = 0 op volgens het recept van Ferrari en ook op een manier die afkomstig is van Descartes. Beide manieren leiden tot het oplossen van een kubische vergelijking. Deze vierdegraads vergelijking heeft geen term van graad 3. Is zo’n term er wel (x4 + ax3 + · · · = 0 met a 6= 0), dan levert x = y − 14 a een vierdegraads vergelijking in y zonder een term van graad 3. Het recept van Ferrari 1. Uitwerken van (x2 + y)2 voor willekeurige y geeft (x2 + y)2 = x4 + 2yx2 + y 2 . De vergelijking is hiermee te schrijven als (x2 + y)2 = (2y − 6)x2 + 60x + (y 2 − 36). Voor iedere y hebben we zo een vergelijking die equivalent is met de oorspronkelijke. 2. We nemen y zo dat het rechterlid als veelterm in x een dubbel nulpunt heeft. Dat is het geval als de discriminant van deze kwadratische veelterm gelijk is aan 0: 602 − 4(2y − 6)(y 2 − 36) = 0. Dit is een kubische vergelijking in y. Uitwerken geeft y 3 − 3y 2 − 36y − 342 = 0.

3

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen 3. Met een y die aan deze kubische vergelijking voldoet wordt de vergelijking  30 2 (x2 + y)2 = (2y − 6) x + , 2y − 6 ofwel  p x2 + y = ± 2y − 6 x +

30  . 2y − 6

Dit zijn twee kwadratische vergelijkingen in x: x2 +

p

x2 −

p

2y − 6 · x + y + √

en 2y − 6 · x + y − √

30 =0 2y − 6

30 = 0. 2y − 6

Deze twee kwadratische vergelijkingen geven de vier oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking. 4. De kubische vergelijking voor y kan worden opgelost op de manier van Tartaglia: q q √ √ 3 3 y = 1 + 190 + 3 3767 + 190 − 3 3767. Het recept van Descartes 1. We gaan de veelterm x4 + 6x2 − 60x + 36 schrijven als een product van twee kwadratische veeltermen. Ook hierbij is het van belang dat er geen term van graad 3 is. We zoeken dus getallen p, q, r, s zodat x4 + 6x2 − 60x + 36 = (x2 + px + q)(x2 + rx + s), ofwel x4 + 6x2 − 60x + 36 = x4 + (p + r)x3 + (q + s + pr)x2 + (ps + qr)x + qs. 2. Voor de vier onbekenden p, q, r, s hebben we vier vergelijkingen: p+r =0 q + s + pr = 6 ps + qr = −60 qs = 36. We hebben dus r = −p en voor de drie onbekenden p, q, s de drie vergelijkingen p2 + 6 = q + s

4

1.2 Veeltermen

−

60 =s−q p qs = 36.

Optellen en aftrekken van de eerste twee vergelijkingen geeft p2 + 6 −

60 = 2s en p

p2 + 6 +

60 = 2q. p

Vermenigvuldigen: (p2 + 6)2 −

602 = 4qs = 4 · 36. p2

Dit is een kubische vergelijking in p2 . Voor t = p2 hebben we: t3 + 12t2 − 108t − 602 = 0 Hebben we zo’n t, dan kunnen we p, q, r, s berekenen: √ p= t p2 30 t 30 +3+ =3+ + √ 2 p 2 t √ r = −p = − t

q=

s=

p2 30 t 30 +3− =3+ − √ 2 p 2 t

3. We hebben nu twee kwadratische vergelijkingen x2 + px + q = 0

en x2 + rx + s = 0

met p, q, r, s als hierboven. Deze geven de vier oplossingen van de vergelijking. 4. Het getal t wordt gevonden met de methode van Tartaglia: q q √ √ 3 3 t = −4 + 2 190 + 3 3767 + 2 190 − 3 3767.

1.2 Veeltermen 1.2.1 Uitbreidingen en veeltermen Is R een deelring van een commutatieve ring S, dan zeggen we ook wel dat S een uitbreiding is van R. Evenzo bij deellichamen: is K een deellichaam van een lichaam L, dan zien we L ook als een uitbreiding van K. We spreken dan kortweg van de lichaamsuitbreiding L : K. Een veelgebruikte notatie is trouwens L/K.

5

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen 1.1 Notatie. Laat S een commutatieve ring zijn, R een deelring van S en V een deelverzameling van S. De kleinste deelring van S die zowel R als V omvat noteren we als R[V ]. Voor V = {a1 , . . . , an } schrijven we R[a1 , . . . , an ] in plaats van R[{a1 , . . . , an }]. 1.2 Notatie. Laat L een lichaam zijn, K een deellichaam van L en V een deelverzameling van L. Het kleinste deellichaam van L dat zowel K als V omvat noteren we als K(V ). Voor V = {a1 , . . . , an } schrijven we K(a1 , . . . , an ) in plaats van K({a1 , . . . , an }). Bij deze definities gaan we ervan uit dat zo’n kleinste deelring of deellichaam bestaat. Daar is een eenvoudig argument voor. We beperken ons hier tot de kleinste deelring; voor deellichamen gaat het op dezelfde manier. Beschouw alle deelringen T van S die zowel R als V omvatten. Een voorbeeld van zo’n deelring is S. De doorsnede van al deze deelringen T is ook weer zo’n deelring en deze is bevat in elke T afzonderlijk en daarmee dus de kleinste.

In het geval dat V uit slechts ´e´en element s bestaat schrijven we gewoonlijk R[s], respectievelijk K(s). Het is duidelijk dat alle elementen r0 + r1 s + r2 s2 + · · · + rn sn met r0 , . . . , rn ∈ R en n ∈ N tot R[s] behoren en omdat ze tezamen een deelring van S vormen, zijn dit precies de elementen van R[s]. Evenzo bestaat het deellichaam K(s) van L uit alle elementen a0 + a1 s + a2 s2 + · · · + am sm b0 + b1 s + b2 s2 + · · · + bn sn met a0 , . . . , am , b0 , . . . , bn ∈ K, m, n ∈ N en b0 + b1 s + b2 s2 + · · · + bn sn 6= 0. Het lichaam K(s) is het breukenlichaam van het integriteitsgebied K[s]. 1.3 Voorbeeld. De ring Q[i] bestaat uit alle a + bi met a, b ∈ Q. Hogere machten van i hoeven we niet op te schrijven, omdat we i2 = −1 kunnen gebruiken. In 1 = aa−bi dit geval is Q[i] zelfs een lichaam: a+bi 2 +b2 (en a + bi is alleen maar 0 als a = b = 0). Dus: Q[i] = Q(i). Zij R een commutatieve ring. Dan is R uit te breiden tot een ring S zo dat er een element X in S is met S = R[X] en bovendien n X k=0

rk X k =

n X

rk0 X k ⇐⇒ rk = rk0 voor k = 0, . . . , n,

k=0

Elementen van S corresponderen dan met rijen (r0 , r1 , r2 , . . . ) met een staart nullen. De ring S is te construeren door op de verzameling van zulke rijen een som en een product te defini¨eren en vervolgens de ringaxioma’s te verifi¨eren. Deze

6

1.2 Veeltermen ring R[X] hebben we dan verkregen met een abstracte constructie; er was geen uitbreiding van R gegeven. De elementen van R[X] heten veeltermen in de onbepaalde X over R. De ring R[X] heet de veeltermring over R in ´e´en onbepaalde. Veeltermringen met meer onbepaalden krijg je door een rij van deze constructies: R[X1 , . . . , Xn+1 ] = R[X1 , . . . , Xn ][Xn+1 ].

1.2.2 Veeltermen en homomorfismen Heb je een homomorfisme van een veeltermring R[X] naar een ring S, dan is de beperking ervan tot R een homomorfisme van R naar S. De volgende stelling zegt dat ieder homomorfisme van R naar S voort te zetten is tot R[X] en wel door een beeldelement van X te geven. Ieder element van S kan zo’n beeldelement zijn. Dit is de belangrijkste eigenschap van veeltermringen; in feite karakteriseert hij deze ringen. 1.4 Stelling. Laten R en S commutatieve ringen zijn, ϕ : R → S een ringhomomorfisme en s ∈ S. Dan is er een uniek ringhomomorfisme ϕ˜ : R[X] → S, zodat ( ϕ(r) ˜ = ϕ(r) voor alle r ∈ R, ϕ(X) ˜ = s. Bewijs. Is er zo’n ringhomomorfisme ϕ, ˜ dan hebben we voor een f = r0 +r1 X + · · · + rn X n ∈ R[X]: n ϕ(f ˜ ) = ϕ(r ˜ 0 ) + ϕ(r ˜ 1 )ϕ(X) ˜ + · · · + ϕ(r ˜ n )ϕ(X) ˜ = ϕ(r0 ) + ϕ(r1 )s + · · · + ϕ(rn )sn .

Het is dus duidelijk dat er hoogstens ´e´en homomorfisme ϕ˜ : R[X] → S kan zijn zo dat ϕ(r) ˜ = ϕ(r) voor alle r ∈ R en ϕ(X) ˜ = s. Defini¨eren we ϕ˜ door ϕ(r ˜ 0 + r1 X + · · · + rn X n ) = ϕ(r0 ) + ϕ(r1 )s + · · · + ϕ(rn )sn , dan geldt in het bijzonder dat ϕ(r) ˜ = ϕ(r) voor r ∈ R en ϕ(X) ˜ = s. Dat de zo gedefinieerde ϕ˜ een ringhomomorfisme is, is een kwestie van uitschrijven. 1.5 Notatie. Zijn R, S, ϕ en s als hierboven, dan noteren we het beeld van P f= rk X k ∈ R[X] onder ϕ˜ ook als f ϕ (s). Dus: X f ϕ (s) = ϕ(f ˜ )= ϕ(rk )sk . We beschouwen enkele speciale gevallen. 1. Zij R een deelring van een commutatieve ring S en zij s ∈ S. Dan is er dus een ringhomomorfisme ϕ : R[X] → S, f 7→ f (s). Het beeld van dit ringhomomorfisme is juist R[s]. Het beeld van een f ∈ R[X] wordt hier dus verkregen door voor X het element s te substitueren. Het ringhomomorfisme ϕ induceert een isomorfisme van R[X]/ Ker(ϕ) naar R[s].

7

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen 2. Zij ϕ : R → S een homomorfisme van commutatieve ringen. Dan is er een uniek ringhomomorfisme R[X] → S[X] met r 7→ ϕ(r) voor alle r ∈ R en X 7→ X, ofwel f (X) 7→ f ϕ (X). Het beeld van een f ∈ R[X] is dus de veelterm f ϕ ∈ S[X] die verkregen wordt door ϕ toe te passen op de co¨effici¨enten vanf : X X rk X k 7→ ϕ(rk )X k . Het algemene geval zoals beschreven in Stelling 1.4 kan gezien worden als een samenstelling van deze twee bijzondere gevallen: R[X] −→ f 7−→

S[X] −→ fϕ 7−→

S f ϕ (s).

1.6 Voorbeeld. Het unieke ringhomomorfisme Z → Zn induceert een ringhomoP P ak X k . Het beeld van een f ∈ Z[X] morfisme Z[X] → Zn [X], ak X k 7→ wordt vaak genoteerd als f . 1.7 Voorbeeld. Zij α ∈ C. Dan is er een uniek ringhomomorfisme ϕ : Q[X] → C zodat ϕ(X) = α, want er is slechts ´e´en ringhomomorfisme Q → C. Voor α = i hebben we f ∈ Ker(ϕ) ⇐⇒ f (i) = 0 ⇐⇒ X 2 + 1 | f en dus induceert ϕ een isomorfisme van Q[X]/(X 2 + 1) naar Q[i](= Q(i)).

1.3 Veeltermen over een lichaam De veeltermring K[X] over een lichaam is een Euclidische ring onder de norm K[X] \ {0} → N,

f 7→ deg(f ).

In het bijzonder is K[X] een hoofdideaalring. Ieder element 6= 0 is op volgorde en vermenigvuldigen met eenheden na op unieke wijze een product van irreducibele elementen. Een irreducibel element van K[X] noemen we gewoonlijk een irreducibele veelterm over K. De eenheden van K[X] zijn juist de veeltermen van graad 0, ofwel de elementen van K ∗ . Door vermenigvuldigen met een eenheid is een veelterm 6= 0 monisch te maken. Voor iedere f ∈ K[X] met f 6= 0 is er dus een op volgorde na unieke ontbinding f = lc(f )π1 π2 · · · πr met π1 , π2 , . . . , πr monische irreducibele veeltermen. Met lc(f ) wordt bedoeld de kopcoeffici¨ent (= leading coefficient) van f . 1.8 Definitie. Zij K een lichaam en zij f ∈ K[X]. Een a ∈ K heet een nulpunt van f als f (a) = 0.

8

1.4 Lichaamsuitbreidingen 1.9 Propositie. Zij K een lichaam, a ∈ K en f ∈ K[X]. Dan X − a | f ⇐⇒ a is een nulpunt van f . Bewijs.

Delen met rest geeft: f = (X − a)g + r

met g ∈ K[X] en r ∈ K. Omdat K[X] → K, f 7→ f (a) een ringhomomorfisme is, volgt hieruit: f (a) = (a − a)g(a) + r. We hebben dus f = (X − a)g + f (a). De propositie volgt nu eenvoudig. 1.10 Definitie. Zij K een lichaam, f ∈ K[X] en m ∈ N∗ . Een a ∈ K heet een m-voudig nulpunt van f als (X − a)m | f en (X − a)m+1 - f in K[X]. Een 1voudig nulpunt noemen we een enkelvoudig nulpunt. Een meervoudig nulpunt is een m-voudig nulpunt met m > 1. 1.11 Propositie. Zij f een veelterm van graad n over een lichaam K. Dan heeft f hoogstens n nulpunten in K. Bewijs. Laat m het aantal nulpunten zijn van f in K. Dit is ook het aantal monische delers van graad 1 van f . Dus m ≤ n. 1.12 Definitie. Zij f een veelterm over een lichaam K met deg(f ) ≥ 1. We zeggen dat f splijt over K als iedere irreducibele deler van f van graad 1 is. In de volgende paragraaf tonen we aan dat er bij iedere niet-constante veelterm over een lichaam er een uitbreiding van dat lichaam bestaat waarover de veelterm splijt.

1.4 Lichaamsuitbreidingen 1.4.1 Algebra¨ısch en transcendent 1.13 Definitie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding en zij α ∈ L. Dan heet α algebra¨ısch over K als er een f ∈ K[X] is met f 6= 0 en f (α) = 0. Bestaat zo’n f niet, dan heet α transcendent over K. In geval K = Q spreekt men kortweg van algebra¨ısch en transcendent zonder daarbij dus het grondlichaam Q te vermelden. 1.14 Voorbeelden. √ a) 5 is algebra¨ısch: neem f = X 2 − 5. b) ζn ∈ C is algebra¨ısch: neem f = X n − 1.

9

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen c) Iedere a ∈ K is algebra¨ısch over K: neem f = X − a. d) Een n-de eenheidswortel in een lichaam K is algebra¨ısch over het priemlichaam van K: neem f = X n − 1. (Het priemlichaam van K is het kleinste deellichaam van K.) e) De getallen π en e zijn transcendent. √ f) π is algebra¨ısch over Q(π): neem f = X 2 − π. Is L : K een lichaamsuitbreiding, dan is het lichaam L een K-vectorruimte: de scalaire vermenigvuldiging K × L → L is de beperking van de vermenigvuldiging L × L → L van L. Dat het een vectorruimte is volgt rechtstreeks uit de ringaxioma’s. 1.15 Definitie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding. Is L als K-vectorruimte eindig-dimensionaal, dan zegt men dat L : K eindig is. De dimensie van de K-vectorruimte L noemt men de graad van L : K. Deze wordt genoteerd als [L : K]. Is L als K-vectorruimte van oneindige dimensie dan noemt men L : K oneindig. 1.16 Definitie. Een lichaamsuitbreiding L : K heet algebra¨ısch als iedere α ∈ L algebra¨ısch is over K. Een niet-algebra¨ısche uitbreiding noemt men transcendent. 1.17 Voorbeelden. a) C : R is eindig; 1, i is een basis, dus [C : R] = 2. Ook is C : R algebra¨ısch: een α ∈ C is nulpunt van X 2 − (α + α)X + αα ∈ R[X]. b) C : Q is transcendent, want π is transcendent. c) Is K een eindig lichaam van karakteristiek p, dan is Fp het priemlichaam van K en de uitbreiding K : Fp is natuurlijk eindig. Is L : K een lichaamsuitbreiding en α ∈ L, dan beschrijft het homomorfisme ϕ : K[X] → L, f 7→ f (α) het algebra¨ısch of transcendent zijn van α over K. Er zijn twee mogelijkheden: 1. Het homomorfisme ϕ is injectief : alleen voor f = 0 geldt dat f (α) = 0. In dit geval is α transcendent over K. Het homomorfisme ϕ induceert dan een ∼ isomorfisme van K[X] naar K[α] en daarmee ook een isomorfisme K(X) → K(α) tussen de breukenlichamen. 2. Het homomorfisme ϕ is niet injectief : er is een g 6= 0 met g(α) = 0. In dit geval is α algebra¨ısch over K. De kern van ϕ is een ideaal (f ) van de hoofdideaalring K[X] met f monisch. Het homomorfisme induceert een ∼ isomorfisme K[X]/(f ) → K[α], g + (f ) 7→ g(α). Omdat K[α] een deelring

10

1.4 Lichaamsuitbreidingen is van een lichaam, heeft hij geen nuldelers en is (f ) dus een priemideaal 6 (0). Omdat K[X] een hoofdideaalring is, is (f ) een maximaal ideaal en = is f een over K irreducibele veelterm. Omdat K[α] een lichaam is, hebben we in dit geval K(α) = K[α] en dus een isomorfisme ∼

K[X]/(f ) → K(α). 1.18 Definitie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding en zij α ∈ L algebra¨ısch over K. Dan heet de unieke monische veelterm f ∈ K[X] met Ker(ϕ) = (f ) de minimumveelterm van α over K. Het is de unieke monische irreducibele veelterm waar α een nulpunt van is. Graden van lichaamsuitbreidingen houden verband met graden van veeltermen. 1.19 Propositie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding en zij α ∈ L algebra¨ısch over K met minimumveelterm f ∈ K[X]. Dan [K(α) : K] = deg(f ). ∼

Bewijs. Het isomorfisme K[X]/(f ) → K(α), g + (f ) 7→ g(α) is een isomorfisme van K-vectorruimten. Men gaat eenvoudig na dat de elementen X j + (f ) met j < deg(f ) een K-basis van K[X]/(f ) vormen. 1.20 Propositie. Eindige lichaamsuitbreidingen zijn algebra¨ısch. Bewijs. Laat L : K een lichaamsuitbreiding zijn van graad n en zij α ∈ L. Dan is het stelsel 1, α, α2 , . . . , αn in L afhankelijk over K, want het is van lengte n + 1. Deze afhankelijkheid levert een veelterm f ∈ K[X] met f 6= 0 en f (α) = 0.

1.4.2 Adjunctie en splijtlichamen Zij K een lichaam en zij gegeven een algebra¨ısche uitbreiding van het type K(α) : K. We zagen dat, als f de minimumveelterm is van α over K, we een isomorfisme ∼ K[X]/(f ) → K(α), X + (f ) 7→ α hebben. Zijn alleen K en de over K irreducibele monische veelterm f gegeven, dan kunnen nog wel het lichaam K[T ]/(f ) beschouwen. Voor de duidelijkheid hebben we hier een nieuwe onbepaalde T genomen; dus nu f ∈ K[T ]. Het lichaam K kunnen we inbedden in K[T ]/(f ) door a 7−→ a + (f ). Het beeld is een deellichaam van K[T ]/(f ) isomorf met K. We identificeren dit beeld met K, en vatten K[T ]/(f ) dus op als een uitbreiding van K. De veelterm f (X) ∈ K[X] heeft T + (f ) als nulpunt: f (T + (f )) = f (T ) + (f ) = (f ).

11

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen Geven we T +(f ) met α aan, dan hebben we K[T ]/(f ) = K(α) en is α een nulpunt van f (X). We hebben dus aangetoond: 1.21 Stelling. Zij f een monische irreducibele veelterm over een lichaam K. Dan is er een lichaamsuitbreiding K(α) : K zo dat f de minimumveelterm is van α over K. In de situatie van deze stelling spreken we van de adjunctie van een nulpunt van f aan het lichaam K. Een belangrijk gevolg van Stelling 1.21 is: 1.22 Stelling. Zij K een lichaam en zij f een veelterm over K van graad n ≥ 1. Dan is er een lichaamsuitbreiding K(α1 , . . . , αn ) : K zo dat f = lc(f )(X − α1 ) · · · (X − αn ). Bewijs. Met inductie naar n = deg(f ) (bij een willekeurig grondlichaam). Voor n = 1 is het duidelijk. Stel het geldt voor veeltermen van graad n. Laat f ∈ K[X] van graad n + 1 zijn. Zij g een monische irreducibele deler van f . Dan is er volgens Stelling 1.21 een lichaam K(α) met g(α) = 0. Dan ook f (α) = 0. Over K(α) geldt f (X) = (X − α)h(X) met h ∈ K(α)[X] en deg(h) = deg(f ) − 1 = n, dus is er een lichaamsuitbreiding K(α, α1 , . . . , αn ) : K(α) met h(X) = lc(h)(X − α1 ) · · · (X − αn ), en dus ook een uitbreiding K(α, α1 , . . . , αn ) : K met f (X) = lc(f )(X − α)(X − α1 ) · · · (X − αn ). 1.23 Definitie. Met de notatie van Stelling 1.22: het lichaam K(α1 , . . . , αn ) heet een splijtlichaam van f over K. Abstracter geformuleerd: is L : K een lichaamsuitbreiding zo dat f ∈ K[X] splijt over L en f niet splijt over tussenlichamen L0 van L : K met L0 6= L, dan heet L een splijtlichaam van f over K. Merk op dat we spreken van een splijtlichaam en niet van het splijtlichaam. In hoofdstuk 4 zullen we zien dat splijtlichamen op isomorfie na uniek zijn, zie Stelling 4.9.

1.24 Voorbeeld. De veelterm X 4 − 2 ∈ Q[X] heeft vier nulpunten in C. Zij √ 4 α = 2. Dan zijn deze vier nulpunten α, iα, −α en −iα. Dus X 4 − 2 = (X − α)(X − iα)(X + α)(X + iα) en is er binnen C een uniek splijtlichaam van X 4 − 2 over Q, namelijk Q(α, iα, −α, −iα) = Q(α, i). 1.25 Voorbeeld. Zij m ∈ N∗ . De veelterm X m − 1 splijt over C: 2 m−1 X m − 1 = (X − 1)(X − ζm )(X − ζm ) · · · (X − ζm ). m−1 Een splijtlichaam van X m − 1 is het deellichaam Q(1, ζm , . . . , ζm ) = Q(ζm ).

12

1.4 Lichaamsuitbreidingen Is L : K een uitbreiding zo dat een f ∈ K[X] splijt over L, dan is er een uniek tussenlichaam van L : K dat een splijtlichaam is van f over K, namelijk het lichaam K(α1 , . . . , αn ), waarbij α1 , . . . αn de nulpunten zijn van f in L. Is K een deellichaam van C, dan heeft f binnen C een uniek splijtlichaam over K. Dat volgt uit de Hoofdstelling van de Algebra: iedere veelterm over C van graad ≥ 1 splijt over C. Met het splijtlichaam bedoelen we dan vaak dit unieke deellichaam van C. In hoofdstuk 8 bewijzen we de Hoofdstelling van de Algebra met Galoistheorie.

1.26 Definitie. Zij m ∈ N∗ . Het lichaam Q(ζm ) heet het m-de cyclotomische lichaam. Het m-de cyclotomische lichaam is dus het splijtlichaam van X m − 1 over Q. Dat wil nog niet zeggen dat we de graad van deze uitbreiding kennen. Zowel het eerste als het tweede cyclotomische lichaam is het lichaam Q. Het derde is √ van graad 2 over Q: er geldt Q(ζ3 ) = Q( −3). Dit lichaam is ook het zesde cyclotomische lichaam. Er is er nog ´e´en van graad 2, namelijk Q(i). De andere cyclotomische lichamen zijn van hogere graad. We komen daar nog uitvoerig op terug in hoofdstuk 6.

De co¨effici¨enten van de kubische vergelijking van deelparagraaf 1.1.1 zijn elementen van het lichaam Q. In het volgende hoofdstuk zullen we zien dat de kubische veelterm f (X) = X 3 − 3X 2 + 9X − 4 irreducibel over Q is. Adjunctie van een nulpunt levert dus een uitbreiding van graad 3 van Q. Over R kan de veelterm niet irreducibel zijn, want een veelterm van graad 3 over R heeft een nulpunt in R. Er is ´e´en re¨eel nulpunt, de andere twee zijn elkaars complex geconjugeerde.

1.4.3 Oplosbaarheid 1.27 Definitie. Zij n ∈ N∗ . Een lichaamsuitbreiding L : K heet een n-de-machts worteluitbreiding als er een α ∈ L is zodat a) L = K(α) b) αn ∈ K. Is bovendien de veelterm X n − αn ∈ K[X] irreducibel over K, dan heet L : K een irreducibele worteluitbreiding. 1.28 Definitie. Zij f een niet-constante veelterm over een lichaam K. De veelterm f , of de vergelijking f (x) = 0, heet oplosbaar over K als er een keten van worteluitbreidingen Lj : Lj−1 (j = 1, . . . , r) is zodat a) L0 = K, b) f splijt over Lr .

13

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen Uit de recepten voor het oplossen van kwadratische, kubische en vierdegraads vergelijkingen volgt: • Kwadratische vergelijkingen over een lichaam van karakteristiek 6= 2 zijn oplosbaar. • Kubische en vierdegraads vergelijkingen over een lichaam van karakteristiek 6= 2, 3 zijn oplosbaar. Abel bewees dat algemene veeltermen van graad 5 of hoger niet oplosbaar zijn. Dat wil dus zeggen dat er geen algemene formule is vergelijkbaar met de abcformule of de formule van Cardano: een formule opgebouwd uit de co¨effi¨enten, de elementen van het grondlichaam, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken. We bewijzen dit in hoofdstuk 8, zie Gevolg 8.32. Dat er geen algemene formule is wil niet zeggen dat alle vergelijkingen van graad 5 of hoger onoplosbaar zijn. Een flauw voorbeeld is x5 = 0; zie ook opgave 7 voor een iets interessanter voorbeeld. De theorie van Galois maakt duidelijk welke vergelijkingen oplosbaar zijn.

1.5 Diagrammen L

Vaak zullen we meerdere lichaamsuitbreidingen tegelijk beschouwen. Het is dan handig er een diagram van te maken. Een lichaamsuitbreiding L : K geven we dan aan met het diagram hiernaast.

K

Is L : K eindig, zeg [L : K] = n, dan kunnen we dat aangeven door er een n bij te zetten.

L n K

Is L een splijtlichaam van een veelterm f over K, dan kunnen we dat aangeven door er een omcirkelde f bij te zetten.

L f K

In deelparagraaf 1.1.1 berekenden we de nulpunten van de veelterm f (X) = X 3 − 3X 2 + 9X − 4 ∈ Q[X]. Die nulpunten zijn te beschrijven met herhaald worteltrekken hetgeen een keten van lichaamsuitbreidingen levert met het splijtlichaam L van f over Q binnen het grootste lichaam van deze keten. Ook met het rekenwerk in deelparagraaf 1.1.2 vinden we een keten van worteluitbreidingen, in 14

1.5 Diagrammen dit geval voor g(X) = X 4 + 6X 2 − 60X + 36. De gevonden keten is overigens niet de kortste, in Voorbeeld 8.34 kijken we nog een keer naar deze vergelijking. Laat M het splijtlichaam van g zijn over Q.√ We hebben nu diagrammen van worteluitbreidingen (merk op dat Q(ζ3 ) = Q( −3)).

√ q Q −3, −12 − t −

q √ √  Q −3, 3 −3+2 41

√ √ Q( −3, 41)

L

√ Q

−3,

q

120 √ , t

q −12 − t +

−12 − t −

120 √ t

120 √ t





M √ Q( −3)

√ √ Q( −3, t)

f

√ Q

Q

−3,

p 3

√
190 + 3 3767

√ √ Q( −3, 3767)

g

√ Q( −3)

Q

t = −4 + 2

p 3

p √ √ 3 190 + 3 3767 + 2 190 − 3 3767

15

1 Vergelijkingen en lichaamsuitbreidingen

Opgaven √ √ 1. Toon aan dat Q(ζ6 ) = Q(ζ3 ) = Q( −3) en ook dat Q(ζ8 ) = Q( 2, i). 2. Zij K een lichaam van karakteristiek p 6= 0. (i) Toon aan dat (f + g)p = f p + g p voor alle f, g ∈ K[X]. n

n

n

(ii) Toon aan dat (f + g)p = f p + g p voor alle f, g ∈ K[X] en n ∈ N. 3. De veelterm X 3 − 7X − 6 heeft drie nulpunten: −2, −1 en 3. Los de vergelijking x3 − 7x − 6 = 0 op met de methode van Tartaglia. 4. De methode van Tartaglia voor het oplossen van een vergelijking werkt over lichamen van karakteristiek 6= 2, 3. Wat gaat er mis in karakteristiek 2? En in karakteristiek 3? √ 5. Toon aan dat Q( 4 2, i) een splijtlichaam is over Q van elk van de volgende veeltermen (X 4 − 2)(X 8 − 1), X 4 + 2, X 8 − 4. 6. Laat T een onbepaalde zijn en K een lichaam. (i) Toon aan dat de veelterm X 3 − T ∈ K(T )[X] irreducibel is over K(T ). Laat L een lichaam zijn verkregen door adjunctie aan K(T ) van een nulpunt s van X3 − T . (ii) Laat zien dat L = K(s). (iii) Bewijs dat L isomorf is met K(T ). 7. Laat zien dat de vergelijking x5 − 2 = 0 oplosbaar is over Q volgens de in dit hoofdstuk gegeven definitie van oplosbaarheid. 8.

16

(i) Zij K een deellichaam van C met [K : Q] = 2. Toon aan dat er een d ∈ Z is met d√6= 0, 1 en kwadraatvrij (= geen veelvoud van een kwadraat 6= 1) en K = Q( d). √ √ (ii) Laten d1 , d2 ∈ Z kwadraatvrij en 6= 0, 1 zijn zodat Q( d1 ) = Q( d2 ). Bewijs dat d1 = d2 .

3 Graden van lichaamsuitbreidingen In de tweede paragraaf wordt aangetoond dat de graad van lichaamsuitbreidingen multiplicatief is: hebben we eindige uitbreidingen K2 : K1 en K1 : K0 , dan is ook K2 : K0 eindig en de graad is het product van de graden van K2 : K1 en K1 : K0 . Met deze eigenschap kan het berekenen van de graad van een eindige lichaamsuitbreiding worden teruggebracht tot het berekenen van de graad van uitbreidingen van het type K(α) : K, en dus van de graad van minimumveeltermen van elementen. Een veelterm waar een element een nulpunt van is, is vaak snel gevonden. Dat een veelterm irreducibel is, is niet altijd makkelijk in te zien. In de eerste paragraaf worden criteria behandeld voor irreducibiliteit van veeltermen over Q. De multiplicativiteit van de graad heeft gevolgen voor de construeerbaarheid van getallen. Dat is het onderwerp van de laatste paragraaf.

3.1 Veeltermen over Q Het ontbinden van een veelterm in Q[X] is makkelijk terug te voeren tot het ontbinden over Q van een veelterm in Z[X]. Het Lemma van Gauß zegt dat bij zo’n ontbinding er een equivalente ontbinding is waarbij de co¨effici¨enten van de factoren elementen van Z zijn. 3.1 Definitie. Zij f = an X n + an−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ Z[X] met f 6= 0. De inhoud I(f ) van f is de grootste gemene deler van de co¨effici¨enten van f : I(f ) = ggd(an , an−1 , . . . , a1 , a0 ). (Dus I(f ) ∈ N∗ .) Eenvoudige eigenschappen van de inhoud: 3.2 Lemma. Voor f ∈ Z[X] en p een priemgetal noteren we met fp de veelterm in Fp [X] met co¨effici¨enten gelijk aan de co¨effici¨enten van f modulo p. Laten f, g ∈ Z[X] met f 6= 0 en g 6= 0. Dan: (i) I(f ) = 1 ⇐⇒ fp 6= 0 voor alle priemgetallen p. (ii) Als I(f ) = I(g) = 1, dan I(f g) = 1. (iii) I(f g) = I(f ) I(g).

31

3 Graden van lichaamsuitbreidingen Bewijs. (i) Dit volgt eenvoudig uit fp = 0 ⇐⇒ p | I(f ). (ii) Stel I(f ) = I(g) = 1. Uit (i) volgt dat voor alle priemgetallen p geldt fp = 6 0 en gp 6= 0. Omdat de ringen Fp [X] integriteitsgebieden zijn, geldt dan ook fp gp 6= 0 voor alle priemgetallen p, ofwel I(f g) = 1. (iii) Schrijf f = I(f )f0 en g = I(g)g0 . Dan I(f0 ) = I(g0 ) = 1 en dus met (ii) I(f0 g0 ) = 1. We hebben nu I(f g) = I(f ) I(g) I(f0 g0 ) = I(f ) I(g). 3.3 Stelling (Lemma van Gauß). Zij f ∈ Z[X] en stel f = gh met g, h ∈ Q[X]. Dan is er een r ∈ Q∗ zodat rg, 1r h ∈ Z[X]. Bewijs.

Neem m, n ∈ N∗ zo dat mg, nh ∈ Z[X]. Uit Lemma 3.2(iii) volgt nh mngh mnf f mg · = = = . I(mg) I(nh) I(mngh) mn I(f ) I(f )

Neem bijvoorbeeld r =

m I(mg) .

3.4 Gevolg. Zij f ∈ Z[X] met f monisch. Stel f = gh met g, h ∈ Q[X] en g en h monisch. Dan g, h ∈ Z[X]. Bewijs. Er is een r ∈ Q∗ zo dat rg, 1r h ∈ Z[X]. Omdat g en h monisch zijn geldt i.h.b. r, 1r ∈ Z, ofwel r = ±1. Dus g, h ∈ Z[X]. 3.5 Gevolg. Zij f ∈ Z[X] met f monisch. Stel a ∈ Q is een nulpunt van f . Dan a ∈ Z. Bewijs.

Pas Gevolg 3.4 toe op f = (X − a)g.

3.6 Voorbeeld. De veelterm X 3 − 3X + 1 is irreducibel over Q, want hij is van graad 3 en heeft geen geheel nulpunt: is n ∈ Z een nulpunt, dan n3 − 3n + 1 = 0 en dus n | 1, etc. 3.7 Stelling. Zij f ∈ Z[X] en zij p een priemgetal. Stel dat verder geldt: a) p is geen deler van de co¨effici¨ent van de hoogste macht van X in f , b) f is irreducibel over Fp . Dan is f irreducibel over Q. Bewijs. Stel f is reducibel over Q. Volgens het Lemma van Gauß zijn er dan g, h ∈ Z[X] van lagere graad dan f zodat f = gh. In Fp [X] hebben we dan f = gh. Uit (i) volgt deg(f ) = deg(f ), deg(g) = deg(g) en deg(h) = deg(h). Dus deg(g), deg(h) < deg(f ). Dit is in tegenspraak met b). 3.8 Voorbeeld. De veelterm X 3 − 3X + 1 is irreducibel over Q, want X 3 + X + 1 is irreducibel over F2 .

32

3.1 Veeltermen over Q We zullen een criterium afleiden voor het irreducibel zijn van een veelterm over Q, het Criterium van Eisenstein. Dit criterium zullen we nog vaak gebruiken. 3.9 Definitie. Zij f = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ Z[X] en zij p een priemgetal. We noemen f een p-veelterm als a) p - an , b) p | ai voor i = 0, . . . , n − 1. 3.10 Lemma. Zij f = gh met g, h ∈ Z[X]. Als f een p-veelterm is, dan zijn ook g en h p-veeltermen. Bewijs. In Fp [X] hebben we f = an X n als f een p-veelterm is met f = an X n + · · · + a0 . Er geldt f = gh. Dus g = bk X k als g = bk X k + · · · + b0 . Dus is ook g een p-veelterm. 3.11 Stelling (Criterium van Eisenstein). Zij f = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 ∈ Z[X] met n ≥ 1. Laat er een priemgetal p zijn zo dat a) p | ai voor i = 0, . . . , n − 1, b) p - an , c) p2 - a0 . Dan is f irreducibel over Q. Bewijs. Stel f is reducibel over Q. Dan f = gh met g, h ∈ Z[X], deg(g) ≥ 1 en deg(h) ≥ 1. Uit Lemma 3.10 volgt dat g en h evenals f p-veeltermen zijn. Dus a0 = g(0)h(0) en p | g(0), h(0), en dus p2 | a0 . Tegenspraak met c). 3.12 Voorbeeld. Uit het Criterium van Eisenstein volgt dat voor iedere n ∈ N∗ de veelterm X n − 2 irreducibel is over Q. Dit voorbeeld laat zien dat er in Q[X] irreducibele veeltermen zijn van iedere gegeven graad n. In R[X] is dat bijvoorbeeld niet het geval: de graad van een over R irreducibele veelterm is 1 of 2.

We berekenen de minimumveelterm van ζp over Q voor priemgetallen p. Duidelijk is dat ζp een nulpunt is van X p −1 en, omdat X p −1 = (X −1)(X p−1 +· · ·+X +1) en ζp geen nulpunt is van X −1, is ζp een nulpunt van X p−1 +· · ·+X +1. We zullen aantonen dat deze veelterm irreducibel is over Q. Het Criterium van Eisenstein is duidelijk niet direct van toepassing, maar daar is wel wat op te vinden. 3.13 Lemma. Zij K een lichaam, f ∈ K[X] van graad ≥ 1 en a ∈ K. Dan geldt: f (X) is irreducibel over K ⇐⇒ f (X + a) is irreducibel over K.

33

3 Graden van lichaamsuitbreidingen Bewijs. De afbeelding g(X) 7→ g(X + a) is een homomorfisme van de ring K[X] naar zichzelf met g(X) 7→ g(X − a) als inverse. Het is dus een isomorfisme. Ontbindingen van f (X) corresponderen via dit automorfisme dus met ontbindingen van f (X + a). 3.14 Voorbeeld. Zij f (X) = X 3 − 3X 2 + 9X − 4 ∈ Z[X]. In paragraaf 1.1.1 losten we de kubische vergelijking f (x) = 0 op. Met het Criterium van Eisenstein toegepast op f (X + 1) = X 3 + 6X + 3 leiden we af dat f irreducibel is over Q. 3.15 Propositie. Zij p een priemgetal. Dan is X p−1 + · · · + X + 1 de minimumveelterm van ζp over Q. En dus [Q(ζp ) : Q] = p − 1. Bewijs. We passen Lemma 3.13 toe: in plaats van f (X) = X p−1 + · · · + X + 1 beschouwen we g(X) = f (X+1). Uit X p −1 = (X−1)f (X) volgt dat (X+1)p −1 = X · g(X). Over Fp hebben we X p = X · g(X) en dus is g(X) een p-veelterm. De constante term van g(X) is g(0) = f (1) = p. Uit het Criterium van Eisenstein volgt dat g(X) irreducibel is over Q. Dus is ook f (X) irreducibel. Met dezelfde redenering kunnen we algemener de minimumveelterm over Q bepalen van een eenheidswortel van orde een priemmacht. 3.16 Propositie. Zij p een priemgetal en r ∈ N∗ . Dan is X (p−1)p

r−1

+ X (p−2)p

r−1

+ · · · + Xp

r−1

+1

de minimumveelterm van ζpr over Q. En dus [Q(ζpr : Q] = pr−1 (p − 1). Bewijs.

Zij f (X) = X p−1 + X p−2 + · · · + X + 1. Er geldt r

X p − 1 = (X p

r−1

− 1)f (X p

r−1

).

r−1

Hieruit volgt dat ζpr een nulpunt is van f (X p ). We tonen met het Crir−1 terium van Eisenstein aan dat h(X) = f ((X + 1)p ) irreducibel over Q is. r r−1 r Uit (X + 1)p − 1 = ((X + 1)p − 1)h(X) volgt dat in Fp [X] geldt: X p = r−1 r−1 X p h(X), ofwel h(X) = X p (p−1) . Dus is h(X) een p-veelterm en h(0) = f (0) = p. Later, in hoofdstuk 6, bepalen we de graad van elk cyclotomisch lichaam. Het zal blijken dat [Q(ζm ) : Q] = ϕ(m), de Eulerindicator van m.

3.2 Multiplicativiteit van de graad 3.17 Stelling. Laten K2 : K1 en K1 : K0 eindige lichaamsuitbreidingen zijn met α1 , . . . , αn een K1 -basis van K2 en β1 , . . . , βm een K0 -basis van K1 . Dan is

34

3.2 Multiplicativiteit van de graad K2 : K0 ook eindig en heeft een K0 -basis bestaande uit de mn producten αi βj (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m). I.h.b. geldt: [K2 : K0 ] = [K2 : K1 ][K1 : K0 ]. Bewijs.

We bewijzen volledigheid en onafhankelijkheid van het stelsel der αi βj .

Volledigheid. Zij α ∈ K2 . Dan zijn er γ1 , . . . , γn ∈ K1 zodat α = γ1 α1 + · · · + γn αn , want α1 , . . . , αn is een K1 -basis van K2 . Omdat β1 , . . . , βm een K0 -basis is van K1 zijn er aij ∈ K0 zodat γi = ai1 β1 + · · · + aim βm

(i = 1, . . . , n).

Maar dan α=

n X

γi αi =

m n X X i=1

i=1

 m n X X aij αi βj . aij βj αi = i=1 j=1

j=1

Onafhankelijkheid. Stel dat n X m X

aij αi βj = 0

voor aij ∈ K0 .

i=1 j=1

Dan te bewijzen dat aij = 0 voor alle i en j. Er geldt: 0=

m n X X i=1 j=1

aij αi βj =

m n X X i=1

 aij βj αi ,

j=1

Pn Pn en dus j=1 aij βj = 0 voor i = 1, . . . , n, want j=1 aij βj ∈ K1 en α1 , . . . αn is onafhankelijk over K1 , maar dan ook aij = 0, want β1 , . . . , βm is onafhankelijk over K0 . √ 3.18 Voorbeeld. √ We berekenen een√Q-basis van Q(i, 2). We√beschouwen√de √ uitbreidingen Q(i,√ 2) : Q( √2) en Q( 2) : Q. Een Q-basis van Q( 2) : Q √ is 1, 2. Merk op dat Q(i, 2) = Q( 2)(i) en dat√ i een nulpunt is van X 2 + 1 ∈ Q( 2)[X]. 2 De veelterm X 2 +1 is irreducibel over Q( 2), want √ √ anders zou X +1√een nulpunt in Q( 2) en dus √ in R hebben. √ Dus√is 1, i een Q( 2)-basis van Q(i, 2). Een Qbasis van Q(i, 2) is dus 1, 2, i, i 2. Dus:

35

3 Graden van lichaamsuitbreidingen √ Q(i,

√ Q(i, 2)

2) 2

2

√ Q( 2) 2

Q

2

2

√ Q( 2)

Q(i)

2

2

√ Q( −2)

2

Q

√ (In het laatste diagram staan trouwens alle deellichamen van Q(i, 2). Dat zullen we later gemakkelijk inzien.) √ √ √ √ √ 3.19 √ Voorbeeld. [Q( 5, 3 2) : Q( 5)] ≤ 3, Q( 5, 3 2) √ want 3 2 is een nulpunt van X 3 −2 ∈ Q( 5)[X]. ≤3 ≤2 Dus √ √ 3 [Q( 5, 2) : Q] = √ √ √ √ √ √ 3 Q( 5) Q( 3 2) [Q( 5, 2) : Q( 5)][Q( 5) : Q] ≤ 3 · 2 = 6 √ √ en 2 is een deler van [Q( 5, 3 2) : Q]. Evenzo √ 2 3 is 3 (= [Q( 3 √ 2) : √ Q]) een deler, dus is 6 een 3 deler van [Q( 5, 2) : Q]. De graad is dus Q een 6-voud ≤ 6, ofwel hij is 6.

3.20 Voorbeeld. Zij p een oneven priemgetal. We laten −1 zien dat [Q(ζp + ζp−1 ) : Q] = p−1 geldt 2 . Voor ϑ = ζp + ζp 2 2 ϑζp = ζp + 1. Dus is ζp een nulpunt van X − ϑX + 1 ∈ Q(ϑ)[X]. Dus [Q(ζp ) : Q(ϑ)] ≤ 2. Omdat ζp 6= R hebben we dat ζp 6= Q(ϑ), want Q(ϑ) ⊆ R. Uit Propositie 3.14 en de multiplicativiteit van de graad volgt dat [Q(ϑ) : Q] = p−1 2 . Met behulp van de multiplicativiteit van de graad is eenvoudig in te zien dat de som en het product van algebra¨ısche elementen ook algebra¨ısch is. We hebben:

Q(ζp ) 2

Q(ϑ) p−1 2

Q

3.21 Stelling. Zij L : K een lichaamsuitbreiding. Dan vormen de elementen van L die algebra¨ısch zijn over K een deellichaam van L. Bewijs. De elementen van K zijn algebra¨ısch over K. Is α ∈ L∗ algebra¨ısch over K, dan is K(α) : K eindig. Dus is ook K( α1 ) : K eindig, want K( α1 ) = K(α). Laten α, β ∈ L algebra¨ısch zijn over K. Te bewijzen dat de elementen α + β

36

3.3 De karakteristieke veelterm en αβ dat ook zijn. Omdat α algebra¨ısch is over K geldt dat K(α) : K eindig is. Omdat β algebra¨ısch is over K, is β ook algebra¨ısch over K(α). Dus is K(α, β) : K(α) eindig. Uit Stelling 3.17 volgt dat K(α, β) : K eindig is. Omdat α + β, αβ ∈ K(α, β) zijn α + β en αβ algebra¨ısch over K. 3.22 Gevolg. De algebra¨ısche getallen vormen een deellichaam van C. (Dit lichaam noteren we als Q.)

3.3 De karakteristieke veelterm Is een K-basis α1 , . . . , αn van een uitbreiding L van K gegeven en kunnen we de n + 1 machten 1, α, α2 , . . . , αn van een α ∈ L op deze basis uitschrijven, dan is door vegen een niet-triviale combinatie van deze machten te vinden. We hebben dan een niet-triviale veelterm in K[X] waar α een nulpunt van is. We kunnen ook de K-lineaire transformatie ξ 7→ αξ van L gebruiken: 3.23 Definitie. Zij L : K een eindige lichaamsuitbreiding. De karakteristieke van α over K is de karakteristieke veelterm van de K-lineaire veelterm ∆L:K α transformatie µα : ξ 7→ αξ van L. Dus: ∆L:K α (X) = det(XI − µα ), waarbij I de identieke transformatie van L is (ofwel I = µ1 ). De karakteristieke veelterm van een lineaire transformatie is de karakteristieke veelterm van de matrix van die transformatie t.o.v. een basis. Voor L = K(α) is 1, α, . . . , αn−1 een basis als n = [K(α) : K]. Is f = X n + a1 X n−1 + · · · + an de minimumveelterm van α over K, dan is   −an 1 −an−1     ..  , .. (3.1)   . .    1 −a2  1 −a1 met op de leeg gelaten plaatsen een 0, de matrix van µα t.o.v. deze basis. 3.24 Definitie. De matrix (3.1) heet de gezelmatrix van de veelterm f = X n + a1 X n−1 + · · · + an (ook als de veelterm reducibel is). (Engels: companion matrix). We berekenen de karakteristieke veelterm van de gezelmatrix van een veelterm f = X n + a1 X n−1 + · · · + an :

37

3 Graden van lichaamsuitbreidingen X −1 0 .. . 0

0 X −1 .. .

... ... ... .. .

0 0 0 .. .

. . . −1 1 X . . . 0 1 . . . = ... ... . . . 0 0 . . . 0 0 . . .

0

X + a1 an an−1 an−2 .. .

X n−2 0 .. . 1 0

0 ... 0 an X n−1 X 0 an−1 0 −1 X . . . .. · 0 −1 . . . 0 an−2 . . . . .. . .. .. .. . 0 .. 0 0 . . . −1 X + a1 1 0 0 ... 0 f (X) −1 X . . . 0 an−1 0 −1 . . . 0 an−2 = f (X). = .. .. .. .. .. . . . . . 0 0 . . . −1 X + a1

Dus: 3.25 Propositie. Iedere veelterm is de karakteristieke veelterm van z’n gezelmatrix. 3.26 Propositie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding van graad n. Laat f de minimumveelterm zijn van een α ∈ L over K en zij d = deg(f ). Dan n

∆L:K = fd. α 2 d−1 Bewijs. Het stelsel 1, α, α , . . . , α is een K-basis van K(α) over K. Neem een K(α)-basis β1 , . . . , βn/d van L. Dan is volgens het bewijs van Stelling 3.17 β1 , αβ1 , . . . , αd−1 β1 , β2 , αβ2 , . . . , αd−1 β2 , . . . . . . . . . , βn/d , αβn/d , . . . , αd−1 βn/d een K-basis van L. De matrix van de lineaire transformatie µα t.o.v. deze basis is   M   M    , . .   . M waarbij M de gezelmatrix van f is. Dus XI − M XI − M n n L:K ∆α = = det(XI − M ) d = f d . . . . XI − M

38

3.4 Toepassing op passer-en-liniaalconstructies √ 3.27 Voorbeeld. De uitbreiding Q( 3 2) : Q is van graad 3. De minimumveelterm √ van α = 3 2 over Q is X 3 − 2. Zij β = 3 − α + 2α2 . We bepalen de matrix van µβ t.o.v. de basis 1, α, α2 : β = 3 − α + 2α2 βα = 3α − α2 + 2α3 = 4 + 3α − α2 βα2 = 4α3 + 3α2 − α3 = −2 + 4α + 3α2 .  3 4 −2  De matrix is dus −1 3 4 . De karakteristieke veelterm van β over Q is: 2 −1 3

X − 3 1 −2

−4 X −3 1

2 −4 = X 3 − 9X 2 + 39X − 93. X − 3

Omdat β ∈ / Q is β van graad 3 over Q en is X 3 − 9X 2 + 39X − 93 de minimumveelterm van β over Q.

3.4 Toepassing op passer-en-liniaalconstructies 3.28 Stelling. Zij W ⊆ C met W = W , en zij α ∈ KW . Dan is α algebra¨ısch over Q(W ) en is [Q(W )(α) : Q(W )] een macht van 2. Bewijs. Laat α1 , α2 , . . . , αn een constructierij voor α uit W zijn. Beschouw de lichaamsuitbreidingen Q(W )(α1 , . . . , αj ) : Q(W )(α1 , . . . , αj−1 ), voor j = 1, . . . , n. In paragraaf 2.4 hebben we aangetoond dat [Q(W )(α1 , . . . , αj ) : Q(W )(α1 , . . . , αj−1 )] ≤ 2. Uit de multipliciteit van de graad volgt dat [Q(W )(α1 , . . . , αn ) : Q(W )] een macht van 2 is en tevens dat [Q(W )(α) : Q(W )] een deler van deze macht van 2 is, want α = αn . Dus is α algebra¨ısch over Q(W ) en is [Q(W )(α) : Q(W )] een macht van 2; zie het diagram op bladzijde 28. 3.29 Gevolg. De verdubbeling van de kubus is onmogelijk. √ Bewijs. [Q( 3 2) : Q] = 3 en dit is geen macht van 2. 3.30 Gevolg. De kwadratuur van de cirkel is onmogelijk. Bewijs.

π is transcendent.

3.31 Gevolg. Er is geen constructie voor de trisectie van een hoek. Bewijs. Als een hoek met passer en liniaal in drie gelijke delen te verdelen was, dan zou ζ9 construeerbaar zijn uit {0, 1, ζ3 }, en omdat ζ3 ∈ K, ook uit {0, 1}. Dus dan zou ζ9 ∈ K. Echter [Q(ζ9 ) : Q] = 6 en dit is geen macht van 2.

39

3 Graden van lichaamsuitbreidingen We kunnen nu de construeerbaarheid van regelmatige veelhoeken terugbrengen tot het geval van regelmatige p-hoeken met p een priemgetal. 3.32 Lemma. (i) Zijn m, n ∈ N∗ . Dan is ζn construeerbaar uit {0, 1, ζmn }. (ii) Zijn m, n ∈ N∗ met ggd(m, n) = 1. {0, 1, ζm , ζn }.

Dan is ζmn construeerbaar uit

(iii) Zij n ∈ N∗ . Er geldt: ζ2n is construeerbaar uit {0, 1, ζn }. (iv) Zij p een oneven priemgetal. Dan ζpm ∈ / K voor alle m ≥ 2. Bewijs. (i) De afstand van 1 tot ζmn m keer afpassen op de eenheidscirkel. y 1 = nx + m . Hieruit volgt (ii) Er zijn x, y ∈ Z zo dat xm + yn = 1, ofwel mn y x ζmn = ζm ζn . Door herhaald afpassen van de afstanden van 1 tot ζm resp. ζn langs de eenheidscirkel is ζmn dus te construeren.

(iii) Gebruik de tweedeling van een hoek. (iv) Volgens Propositie 3.16 hebben we [Q(ζpm ) : Q] = pm−1 (p − 1) en dit is voor een oneven priemgetal p geen macht van 2 als m ≥ 2. 3.33 Stelling. Zij n ∈ N∗ . Dan: ζn ∈ K ⇐⇒ n = 2s p1 . . . pr met s ∈ N en p1 , . . . , pr verschillende oneven priemgetallen met ζpj ∈ K voor j = 1, . . . , r. Bewijs. ⇒: Dit volgt uit de onderdelen (i) en (iv) van Lemma 3.32. ⇐: Dit volgt uit de onderdelen (ii) en (iii) van Lemma 3.32. Het probleem van de construeerbaarheid van regelmatige veelhoeken is hiermee teruggebracht tot het geval van regelmatige p-hoeken, waarbij p een priemgetal is. 3.34 Definitie. Een priemgetal van de vorm 2n + 1 met n ∈ N heet een Fermatpriemgetal. Als ζp ∈ K, dan is p − 1 een macht van 2, ofwel: 3.35 Propositie. Zij p een oneven priemgetal en zij ζp ∈ K. Dan is p een Fermatpriemgetal.

40

Opgaven Het omgekeerde van Propositie 3.35 is door Gauß bewezen. Het bewijs geven we in paragraaf 6.3. Dit omgekeerde is een positief resultaat: het spreekt uit dat bepaalde getallen construeerbaar zijn. Met Stelling 3.28 verkrijgt men alleen negatieve resultaten.

Opgaven 1. Onderzoek de irreducibiliteit van X4 + 1 X 4 + 4X 2 + 2 X 7 + 49X 2 − 105 X3 − 5 X 4 + 4X 2 + 1

over over over over over

R, resp. Q; Q; Q; F11 ; Q.

2. Beschouw de veelterm f (X) = X 4 − X 3 − 5X 2 + 1. (i) Toon aan dat f geen nulpunt in Q heeft. (ii) Ontbind f over F2 . (iii) Toon aan dat f irreducibel is over Q. 3. Zij α ∈ C zo dat α3 = α + 1. Toon aan dat [Q(α) : Q] = 3. 4. Zij n ∈ N∗ met n ≥ 3. Bewijs dat [Q(ζn ) : Q] = 2 · [Q(ζn + ζn−1 ) : Q]. 5.

(i) Bepaal de minimumveelterm van ζ5 + ζ5−1 over Q. (ii) Schrijf ζ5 met behulp van vierkantswortels (en optellen, vermenigvuldigen, aftrekken, delen, gehele getallen).

(iii) Construeer een regelmatige vijfhoek met passer en liniaal. p p √ √ 6. (i) Toon aan dat Q( 2 + 2) = Q( 2 − 2). p √ (ii) Bepaal [Q( 2 + 2) : Q]. √ √ 7. Bereken de minimumveelterm van 2 − 2 4 2 over Q. √ 8. Zij p een priemgetal. Bereken [Q(ζp , p 2) : Q]. 9. Zij L : K een lichaamsuitbreiding en f ∈ K[X] de minimumveelterm van een α ∈ L over K. (i) Zij n ∈ N∗ . Wat is de minimumveelterm van nα over K? (ii) Zij a ∈ K. Wat is de minimumveelterm van α − a over K? (iii) Als α 6= 0, wat is dan de minimumveelterm van

1 α

over K?

41

3 Graden van lichaamsuitbreidingen 10. Zij f een irreducibele veelterm van graad 3 over een lichaam K en zij L het splijtlichaam van f over K. Bewijs dat [L : K] = 6 of [L : K] = 3. 11. Zij f een veelterm van graad n over een lichaam K en zij L het splijtlichaam van f over K. Bewijs dat [L : K] ≤ n! . Bewijs dat zelfs [L : K] | n! . 12. Bereken de graden van alle uitbreidingen die in het linker diagram op bladzijde 15 voorkomen. 13. Bepaal de graad over Q van de splijtlichamen van de volgende veeltermen X 6 − 1,

X 8 − 1,

X 4 + 5X 2 + 6,

X 6 − 8,

X 17 − 2.

14. Bewijs dat een hoek van ϑ radialen met passer en liniaal in drie gelijke delen te verdelen is dan en slechts dan als cos ϑ3 ∈ KW , waarbij W = {0, 1, eϑi , e−ϑi }. Toon verder aan dat cos

42

3 cos ϑ ϑ ∈ KW ⇐⇒ X 3 − X − reducibel over Q(cos ϑ). 3 4 4

4 Splijtlichamen We gaan nauwkeurig na hoe inbeddingen van een lichaam voortgezet kunnen worden tot een uitbreiding van het lichaam. In het bijzonder bekijken we voortzettingen van inbeddingen tot splijtlichamen en leiden zo af dat splijtlichamen van een veelterm over een gegeven lichaam op isomorfie na uniek zijn. Als toepassing geven we de classificatie van eindige lichamen. Voor ieder lichaam is er een uitbreiding waarover alle veeltermen splijten: de algebra¨ısche afsluiting van het lichaam. Ook de algebra¨ısche afsluiting is uniek op isomorfie na. Voor de stellingen over algebra¨ısche afsluitingen wordt een beroep gedaan op een variant van het keuzeaxioma; in dit geval—zoals gebruikelijk in de algebra—het Lemma van Zorn. Voor het geval van eindige lichamen is een constructieve aanpak natuurlijk ook mogelijk.

4.1 Voortzettingen van inbeddingen In deze paragraaf bestuderen we inbeddingen van een lichaam L in een lichaam L0 waarvan de beperking tot een gegeven deellichaam K van L een al gegeven inbedding van K in L0 is. 4.1 Definitie. Gegeven zijn een lichaamsuitbreiding L : K, een lichaam L0 en een inbedding σ : K → L0 . Een inbedding τ : L → L0 heet een voortzetting van σ tot L, als de beperking van τ tot K de inbedding σ is (d.w.z. τ (a) = σ(a) voor alle a ∈ K; noteren we de beperking van τ tot K als τ |K , dan kunnen we dat dus zo schrijven: τ |K = σ.)

L

τ

L0 σ

K

43

4 Splijtlichamen 4.2 Propositie. Laat gegeven zijn een lichaamsuitbreiding L : K, een lichaam L0 , een inbedding σ : K → L0 en een α ∈ L, algebra¨ısch over K met minimumveelterm f ∈ K[X]. Dan is door τ 7→ τ (α) een bijectie gedefinieerd van de verzameling der voortzettingen van σ tot K(α) naar de verzameling der nulpunten van de veelterm f σ in L0 . Bewijs.

De propositie volgt uit de volgende drie uitspraken:

(i) Zij τ een voortzetting van σ tot K(α). Dan is τ (α) een nulpunt van f σ . (ii) Laten τ1 en τ2 voortzettingen zijn van σ tot K(α) met τ1 (α) = τ2 (α). Dan geldt τ1 = τ2 . (iii) Zij β een nulpunt van f σ . Dan is er een voortzetting τ van σ tot K(α) met τ (α) = β.

L0

L τ

K(α)

σ

K

We bewijzen deze drie uitspraken. (i) Uit f (α) = 0 volgt dat f τ (τ (α)) = 0, ofwel f σ (τ (α)) = 0. (ii) Dit is duidelijk: een inbedding van K(α) is gegeven door de beelden van de elementen van K en het beeld van α. (iii) Beschouw het homomorfisme σ ˜ : K[X] → L0 ,

g 7→ g σ (β).

Het surjectieve homomorfisme π : K[X] → K(α), gedefinieerd door π(g) = g(α), heeft het ideaal (f ) als kern. Omdat σ ˜ (f ) = f σ (β) = 0, is er een homomorfisme τ : K(α) → L met τ π = σ ˜:

44

4.1 Voortzettingen van inbeddingen

K[X]

σ ˜

L0 τ

π K(α)

Dan τ (a) = τ (π(a)) = σ ˜ (a) = σ(a) voor alle a ∈ K en τ (α) = τ (π(X)) = σ ˜ (X) = β. Deze propositie zegt in het bijzonder dat het aantal voortzettingen van σ tot K(α) gelijk is aan het aantal nulpunten van f σ in het lichaam L0 . Het aantal voortzettingen is dus hoogstens gelijk aan de graad van f σ , ofwel de graad van f , ofwel [K(α) : K].

√ 4.3 Voorbeeld. We berekenen de inbeddingen van Q( 4 2) in C. Merk op dat iedere inbedding √ een voortzetting is van de unieke inbedding van Q in C. We schrijven α = 4 2. De minimumveelterm van α over Q is X 4 − 2. Deze heeft vier nulpunten in C, nl. α, iα, −α en −iα. Er zijn dus vier inbeddingen in C: σk Q(α)

C σk : Q(α) → C,

α 7→ ik α,

Q waarbij k = 0, 1, 2, 3. Hadden we niet inbeddingen in C bepaald, maar inbeddingen in Q(α), dan zouden we er twee gevonden hebben: α 7→ α en α 7→ −α. Op grond van dimensies zijn dit tevens automorfismen van Q(α). Het lichaam Q(α) heeft dus twee automorfismen. √ 4.4 Voorbeeld. We berekenen de inbeddingen van Q(α, i) in C, waarbij α = 4 2. Beperken we zo’n inbedding tot Q(α), dan verkrijgen we een inbedding van Q(α) in C. Iedere inbedding van Q(α, i) is dus een voortzetting van een inbedding van Q(α). Deze laatste bepaalden we in het vorige voorbeeld. Voor elk van de inbeddingen σk van Q(α) bepalen we nu de voortzettingen tot Q(α, i). Omdat i / Q(α), immers Q(α) ⊆ R, een nulpunt is van de veelterm X 2 + 1 ∈ Q(α)[X] en i ∈ hebben we dat f = X 2 +1 de minimumveelterm is van i over Q(α). Er geldt f σk = f . Hieruit volgt dat elk van de vier inbeddingen van Q(α) twee voortzettingen heeft tot Q(α, i), nl. ´e´en met i 7→ i en ´e´en met i 7→ −i. In totaal zijn er dus acht inbeddingen in C:

45

4 Splijtlichamen σkl

Q(α, i)

C σk

σkl : Q(α, i) → C,

Q(α)

α 7→ ik α,

i 7→ il ,

Q waarbij k ∈ {0, 1, 2, 3} en l ∈ {1, 3}. Omdat σkl (α), σkl (i) ∈ Q(α, i) voor alle σkl hebben we dus ook acht automorfismen van het lichaam Q(α, i). √ 4.5 Voorbeeld. We berekenen de inbeddingen van Q(β, ζ5 ) in C, waarbij β = 4 5. De inbeddingen van Q(β) in C zijn σk : Q(β) → C,

β 7→ ik β,

waarbij k ∈ {0, 1, 2, 3}. Dit is analoog aan de situatie bij de inbeddingen van Q(α) hierboven. Uit √ ζ5 + ζ5−1 = −1+2 5 ∈ Q(β) en ζ5 ∈ / Q(β) volgt dat de minimumveelterm van ζ5 over Q(β) is f = (X − ζ5 )(X − ζ5−1 ) = X 2 −

√ −1+ 5 X 2

+ 1.

Er geldt ( f σk =

f X2 +

√ 1+ 5 2 X

ζ52 )(X

ζ5−2 )

als k = 0, 2 als k = 1, 3.

+ 1 = (X − − √ √ Immers σk ( 5) = σk (β 2 ) = (ik β)2 = i2k β 2 = (−1)k 5. Er zijn dus acht inbeddingen: σkl

Q(β, ζ5 )

C σk

Q(β)

Q

46

σkl : Q(β, ζ5 ) → C,

β 7→ ik β

ζ5 7→ ζ5l ,

4.1 Voortzettingen van inbeddingen waarbij k ∈ {0, 1, 2, 3}, l ∈ {1, 4} als k = 0, 2, en l ∈ {2, 3} als k = 1, 3. Later zullen we eenvoudig kunnen inzien dat i ∈ / Q(β, ζ5 ). Daaruit volgt dan dat alleen de vier inbeddingen σkl met k = 0, 2 automorfismen van het lichaam Q(β, ζ5 ) bepalen. We hebben gezien dat het aantal voortzettingen van een inbedding van een lichaam K tot een lichaam K(α) met α algebra¨ısch over K hoogstens gelijk is aan de graad van de uitbreiding K(α) : K. Met de hierboven gegeven voorbeelden is het wel duidelijk dat dit te generaliseren is tot willekeurige eindige uitbreidingen L : K. 4.6 Stelling. Gegeven zijn een eindige lichaamsuitbreiding L : K, een lichaam L0 en een inbedding σ van K in L0 . Dan zijn er hoogstens [L : K] voortzettingen van σ tot L. Bewijs.

We bewijzen de volgende uitspraak met inductie naar n:

Is L : K een lichaamsuitbreiding van graad n en is σ : K → L0 een inbedding, dan zijn er hoogstens n voortzettingen van σ tot L. Voor n = 1 is de uitspraak triviaal: er is precies ´e´en voortzetting en dat is σ zelf. Stel dat geldt n > 1 en dat de uitspraak waar is voor uitbreidingen van graad kleiner dan n. Omdat n > 1 is er een α ∈ L met α∈ / K. Dan heeft σ hoogstens [K(α) : K] voortzettingen tot K(α). Uit [L : K] = [L : K(α)][K(α) : K] en [K(α) : K] > 1 volgt dat [L : K(α)] < n. Dus heeft elk van de voortzettingen van σ tot K(α) hoogstens [L : K(α)] voortzettingen tot L. In totaal zijn er dus hoogstens [L : K(α)][K(α) : K] = [L : K] = n voortzettingen van σ tot L.

L0

L

K(α)

σ

K

Het aantal voortzettingen van een inbedding is dus hoogstens de graad van de uitbreiding. Propositie 4.2 maakt duidelijk waardoor het er minder kunnen zijn. De graad van de uitbreiding K(α) : K is gelijk aan de graad van de minimumveelterm f van α over K, terwijl het aantal voortzettingen van σ tot K(α) gelijk is aan het aantal nulpunten van f σ in L. Deze aantallen zijn gelijk dan en slechts dan als f σ splijt over L0 als product van verschillende factoren van graad 1. Het kan dus zijn dat f σ niet splijt over L0 of dat f σ een meervoudig nulpunt heeft in L0 . Van het eerste hebben we voorbeelden gezien. Hier is een voorbeeld van het laatste: 4.7 Voorbeeld. We nemen K = F2 (T ), het lichaam van rationale functies in de onbepaalde T met co¨effici¨enten in F2 . Het is het breukenlichaam van de veeltermring F2 [T ]. De veelterm f (X) = X 2 − T heeft geen nulpunt in K: als hg met g, h ∈ F2 [T ] een nulpunt is, dan g 2 = h2 T en dat is in strijd met de eenduidige ontbinding in K[T ] (en 2 deg(g) = 2 deg(h) + 1 kan ook niet). Omdat f van

47

4 Splijtlichamen graad 2 is, volgt dat f irreducibel is over K. Laat L een splijtlichaam zijn van f over K. Dan L = K(α) met f (α) = 0, ofwel met α2 = T . Over L hebben we f = X 2 − T = X 2 − α2 = (X − α)2 . Dus de inbedding K → L, a 7→ a heeft slechts ´e´en voortzetting tot L. In het volgende hoofdstuk is het aantal voortzettingen van een inbedding van belang. In dit hoofdstuk gaat het alleen om het bestaan van een voortzetting.

4.2 Voortzettingen van inbeddingen tot splijtlichamen In de vorige paragraaf keken we naar voortzettingen van een inbedding σ : K → L0 tot een uitbreiding L van K. We beschouwen nu het speciale geval dat L een splijtlichaam is van een veelterm over K. 4.8 Propositie. Zij K een lichaam en f ∈ K[X] met deg(f ) > 0. Zij σ : K → L0 een inbedding van lichamen zo dat f σ splijt over L0 . Laat L een splijtlichaam zijn van een f ∈ K[X] over K. Dan is er een voortzetting τ van σ tot L. Bewijs.

We bewijzen de volgende uitspraak met inductie naar n:

Is L een splijtlichaam over een lichaam K van een veelterm f van graad n en is σ : K → L0 een inbedding waarbij f σ splijt over L0 , dan is er een voortzetting τ van σ tot L. Voor veeltermen van graad 1 is het duidelijk. τ

Stel dat de uitspraak geldt voor veeltermen van graad n, waarbij n ∈ N∗ , en laat f een veelterm zijn van graad n + 1. Zij α een nulpunt van f σ0 in L. Dan f = (X − α)g met g ∈ K(α)[X] een veelterm van graad n. Het is duidelijk dat L een splijtlichaam is van g over K(α). Laat nu m de K(α) σ minimumveelterm zijn van α over K, dan m | f en dus ook mσ | f σ . Omdat f σ splijt over L0 , splijt ook mσ over L0 . Laat β ∈ L0 een nulpunt zijn van mσ . Dan is er een voortzetting σ 0 van σ tot K(α) 0 0 K met σ 0 (α) = β. Uit f σ = f σ = (X − β)g σ volgt σ0 0 0 dat g splijt over L en omdat deg(g) = n is er een voortzetting τ van σ tot L. Deze is ook een voortzetting van σ. L

L0

Een belangrijk gevolg zegt dat splijtlichamen van een veelterm uniek zijn op isomorfie na:

48

4.3 Normale uitbreidingen 4.9 Stelling. Laat f een niet-constante veelterm zijn over een lichaam K en laten L en L0 splijtlichamen zijn van f over K. Dan is er een isomorfisme τ : L → L0 met τ (a) = a voor alle a ∈ K. Bewijs.

Pas de propositie toe op σ : K → L0 , a 7→ a.

Begrijp goed wat deze stelling inhoudt. Men spreekt wel van de uniciteit van splijtlichamen. Vergelijk de constructie van een splijtlichaam met andere constructies in de wiskunde, zoals bijvoorbeeld de constructie van een breukenlichaam van een integriteitsgebied. Hebben we bij een gegeven integriteitsgebied verschillende breukenlichamen dan is er een uniek isomorfisme tussen deze breukenlichamen dat de identiteit op het integriteitsgebied induceert. We hebben in het geval van splijtlichamen van een veelterm over een gegeven lichaam ook een isomorfisme tussen de splijtlichamen, maar de eis dat deze op het gegeven grondlichaam de identiteit induceert maakt hem niet uniek. Zijn L en L0 splijtlichamen van een f over K, dan zijn er evenveel isomorfismen van L naar L0 die op K de identiteit induceren als er automorfismen van L : K zijn: stel deze automorfismen maar samen met een gegeven isomorfisme van L naar L0 .

4.3 Normale uitbreidingen Is L een splijtlichaam van een f ∈ K[X] over K, dan splijten de minimumveeltermen van de nulpunten van f over L. We gaan bewijzen dat het zelfs zo is dat dan alle minimumveeltermen splijten. Daar is een speciale naam voor: 4.10 Definitie. Een algebra¨ısche lichaamsuitbreiding L : K heet normaal als alle bij L : K optredende minimumveeltermen splijten over L. 4.11 Propositie. Zij f een veelterm over een lichaam K. Laat L een splijtlichaam zijn van f over K. Dan is L : K een normale uitbreiding. Bewijs. Laat g ∈ K[X] irreducibel zijn over K en monisch. Of g optreedt als minimumveelterm bij L : K laten we nog even in het midden. Laat L0 een splijtlichaam zijn van g over L, en laten α en β nulpunten zijn van g in L0 . Omdat α en β dezelfde minimumveelterm over K hebben, is er een isomorfisme ∼

σ : K(α) → K(β)

L0 g

L(α) f K(α)

L(β) f

L f

K(β)

K met σ(α) = β en σ(a) = a voor alle a ∈ K. Het is duidelijk dat L(α) een splijtlichaam is van f over K(α) en dat L(β) een

49

4 Splijtlichamen ∼

splijtlichaam is van f over K(β). Er is dus een isomorfisme τ : L(α) → L(β) dat σ voortzet. I.h.b geldt dat τ (a) = a voor alle a ∈ K. Dus [L(α) : K] = [L(β) : K]. En dus ook [L(α) : L] = [L(β) : L]. Dus als α ∈ L, dan ook β ∈ L. Treedt g dus op als minimumveelterm van de uitbreiding L : K, dan splijt g over L. 4.12 Voorbeelden. √ √ a) Q(i, 4 2) is het splijtlichaam van X 4 − 2 over Q. Dus is Q(i, 4 2) : Q een normale uitbreiding. b) Voor m ∈ N∗ is Q(ζm ) het splijtlichaam van X m − 1 over Q, zie Voorbeeld 1.25. Dus is Q(ζm ) : Q een normale uitbreiding. Omgekeerd hebben we: 4.13 Propositie. Zij L : K een eindige normale uitbreiding. Dan is er een veelterm f ∈ K[X] zodat L een splijtlichaam is van f over K. Bewijs. Omdat L : K eindig is, zijn er α1 , . . . , αn zodat L = K(α1 , . . . , αn ). Laat fi de minimumveelterm zijn van αi over K. Omdat L : K normaal is, splijten de veeltermen fi over L. Dus is L een splijtlichaam van f = f1 f2 · · · fn over K. We hebben dus: 4.14 Stelling. Zij L : K een lichaamsuitbreiding. Dan zijn equivalent: (i) L : K is eindig en normaal. (ii) L is een splijtlichaam van een f ∈ K[X] over K. Is een eindige lichaamsuitbreiding niet normaal, dan is het mogelijk hem verder uit te breiden tot een normale uitbreiding. 4.15 Definitie. Laat L : K een eindige lichaamsuitbreiding zijn. Een lichaamsuitbreiding L : K noemen we een normale afsluiting van L : K als a) L een deellichaam is van L, b) L : K een normale uitbreiding is, c) L het enige tussenlichaam van L : L is dat over K normaal is. 4.16 Stelling. Laat L : K een eindige lichaamsuitbreiding zijn. Dan bestaat er een normale afsluiting van L : K, en deze is uniek in de volgende zin: zijn L : K ˜ : K normale afsluitingen van L : K, dan is er een isomorfisme σ : L → L ˜ en L met σ(α) = α voor alle α ∈ L.

50

4.4 Algebra¨ısche afsluiting Bewijs. Laten α1 , . . . , αr elementen van L zijn zodat L = K(α1 , . . . , αr ). Zij f = f1 · · · fr , waarbij fi de minimumveelterm is van αi over K. Men gaat eenvoudig na dat een uitbreiding L : K een normale afsluiting is van L : K, dan en slechts dan als L een splijtlichaam is van f over L. De stelling volgt nu uit Stelling 4.9. √ √ 4.17 Voorbeeld. Q(i, 4 2) : Q is een normale afsluiting√van Q( 4 2) : Q. Het √ lichaam Q(i, 4 2) is het splijtlichaam van X 4 − 2 over Q( 4 2).

4.4 Algebra¨ısche afsluiting In deze paragraaf wordt het bestaan bewezen van algebra¨ısche afsluitingen en ook de uniciteit op isomorfie na van zo’n afsluiting wordt aangetoond. Een voordeel van het hebben van een algebra¨ısche afsluiting van een lichaam K is dat iedere niet-constante veelterm binnen die algebra¨ısche afsluiting een uniek splijtlichaam heeft. In dit boek maken we daar geen gebruik van, maar dat heeft wel tot gevolg dat er op gelet moet worden hoe splijtlichamen worden gekozen. 4.18 Definitie. Een lichaam L heet algebra¨ısch gesloten als iedere niet-constante veelterm in L[X] splijt over L. Equivalent hiermee: iedere niet-constante veelterm over L heeft een nulpunt in L.

4.19 Voorbeeld. Het lichaam C is algebra¨ısch gesloten. Dit is de Hoofdstelling van de Algebra. Voor een bewijs met behulp van Galoistheorie zie Toepassing 8.58. 4.20 Definitie. Een lichaam K heet een algebra¨ısche afsluiting van een lichaam K als a) K een deellichaam is van K; b) iedere niet-constante veelterm over K splijt over K; c) K is het enige tussenlichaam van K : K waarover iedere niet-constante veelterm over K splijt. 4.21 Propositie. Zij L : K een lichaamsuitbreiding. Dan zijn equivalent: (i) L is een algebra¨ısche afsluiting van K, (ii) L : K is algebra¨ısch en iedere niet-constante veelterm over K splijt over L (iii) L : K is algebra¨ısch en L is algebra¨ısch gesloten.

51

4 Splijtlichamen Bewijs. (i)⇒(ii): Stel L is een algebra¨ısche afsluiting van K. Laat K het deellichaam van L zijn bestaande uit alle elementen die algebra¨ısch over K zijn. (Waarom is dat een deellichaam?) Is f ∈ K[X] niet constant, dan heeft f een nulpunt α in L. Het element α is algebra¨ısch over K, ofwel α ∈ K. Iedere niet-constante veelterm over K splijt dus over K. Omdat er geen echt deellichaam van L is met deze eigenschap, hebben we dus L = K. Dus is L : K algebra¨ısch. (ii)⇒(iii): Laat L : K algebra¨ısch zijn en de eigenschap hebben dat iedere niet-constante veelterm over K splijt over L. Te bewijzen dat L algebra¨ısch gesloten is. Is L0 een algebra¨ısche uitbreiding van L, dan is, omdat L : K algebra¨ısch is, ook L0 : K algebra¨ısch. De minimumveelterm over K van een α ∈ L0 splijt over L en dus is zo’n α een element van L. Het lichaam L heeft dus geen echte algebra¨ısche uitbreidingen, ofwel het is algebra¨ısch gesloten. (iii)⇒(i): Laat L : K algebra¨ısch zijn en L algebra¨ısch gesloten. Iedere veelterm over K is ook een veelterm over L en splijt dus over L. Omdat L : K algebra¨ısch is, is er geen kleiner tussenlichaam van L : K waarover ieder veelterm splijt. 4.22 Voorbeeld. Het lichaam Q der algebra¨ısche getallen is algebra¨ısch gesloten. Het is een algebra¨ısche afsluiting van Q. Voor het bestaan en de uniciteit van algebra¨ısche afsluitingen maken we gebruik van het Lemma van Zorn. Het bewijs is dus verre van constructief. In de volgende paragraaf geven we een meer direct bewijs voor het geval van een eindig lichaam. 4.23 Stelling. Ieder lichaam heeft een algebra¨ısche afsluiting. Bewijs. Zij K een lichaam. Laat VK de verzameling zijn van niet-constante monische veeltermen over K. Kies bij iedere f ∈ VK een onbepaalde Xf . Beschouw de veeltermring R = K[Xf | f ∈ VK ] en daarin het ideaal a = (f (Xf ) | f ∈ VK ). Dit ideaal is niet de hele ring: Stel a = R. Dan 1 ∈ a en dus 1 = g1 f1 (Xf1 ) + · · · + gk fk (Xfk ) met g1 , . . . , gk ∈ R en f1 , . . . , fk ∈ VK . Laat L een splijtlichaam zijn van f1 · · · fk over K en kies voor i = 1, . . . , k een nulpunt αi van fi in L. Definieer een ringhomomorfisme ϕ: R → L

52

4.4 Algebra¨ısche afsluiting door

  ϕ(a) = a ϕ(Xfi ) = αi   ϕ(Xh ) = 0

voor alle a ∈ K, voor i = 1, . . . , k, voor h ∈ VK \ {f1 , . . . , fk }.

Dan 1 = ϕ(g1 )f1 (α1 ) + · · · + ϕ(gk )fk (αk ) = 0. Tegenspraak. Er is dus een maximaal ideaal m van R met m ⊇ a. (Dit volgt uit het Lemma van Zorn.) Dan is R/m een lichaam en de samenstelling σ : K → R → R/m is een inbedding van K in dit lichaam. Voor f ∈ VK hebben we dan f σ (Xf + m) = f (Xf ) + m = m. Dus heeft f σ een nulpunt in R/m. Er is dus een lichaamsuitbreiding K1 : K zo dat iedere niet-constante veelterm over K een nulpunt heeft in K1 . Toepassing van het bovenstaande op K1 in plaats van K etc. levert een keten van lichamen K ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ · · · ⊆ Kn ⊆ Kn+1 ⊆ · · · met de eigenschap dat voor iedere n niet-constante veeltermen over Kn een nulpunt hebben in Kn+1 . Definieer K=

∞ [

Kn .

n=1

Dit is een lichaam onder bewerkingen die afkomen van de bewerkingen in de lichamen Kn . Deze laatste zijn dan deellichamen van K. Zij nu f een nietconstante veelterm over K. Dan is er een n ∈ N∗ zo dat f ∈ Kn [X]. De veelterm f heeft een nulpunt in Kn+1 . Dus heeft f een nulpunt in K. Daaruit volgt dat K algebra¨ısch gesloten is. Verder zijn de uitbreidingen Kn+1 : Kn algebra¨ısch, dus is volgens Propositie 4.21 K een algebra¨ısche afsluiting van K. 4.24 Stelling. Laten L en L0 algebra¨ısche afsluitingen van K zijn. Dan is er een isomorfisme σ : L → L0 met σ(a) = a voor alle a ∈ K. Bewijs. Laat Φ de collectie zijn van alle tweetallen (M, τ ) bestaande uit een deellichaam M van L en een inbedding τ : M → L0 . De collectie Φ is geordend door (M1 , τ1 ) ≤ (M2 , τ2 ) ⇐⇒ M1 ⊆ M2 en τ2 |M1 = τ1 . Iedere lineair geordende deelcollectie heeft duidelijk een bovengrens. Verder is Φ niet leeg. Uit het Lemma van Zorn volgt dat er in Φ een maximaal element, zeg (M0 , τ0 ), is.

53

4 Splijtlichamen Zij α ∈ L. Dan is M0 (α) : M0 algebra¨ısch. Laat f de minimumveelterm zijn van α over M0 . Omdat L0 algebra¨ısch gesloten is, heeft f τ0 een nulpunt in L0 en is τ0 dus voort te zetten tot een inbedding τ 0 van M0 (α) in L0 . Dan (M0 (α), τ 0 ) ∈ Φ en (M0 , τ ) ≤ (M0 (α), τ 0 ). Uit de maximaliteit van (M0 , τ0 ) volgt dat M0 (α) = M0 , ofwel α ∈ M0 . Dus L = M0 en er is een inbedding van L in L0 . Het beeld van L onder deze inbedding is ook algebra¨ısch gesloten en dus gelijk aan L0 .

4.5 Eindige lichamen De classificatie van eindige lichamen leiden we af uit het bestaan en de uniciteit van splijtlichamen. We geven hier een directe constructie van de algebra¨ısche afsluiting van een eindig lichaam. Tot slot laten we zien dat de multiplicatieve groep van een eindig lichaam cyclisch is.

4.5.1 Classificatie van eindige lichamen Is K een een eindig lichaam, dan is de karakteristiek van K een priemgetal p. We hebben dan een eindige uitbreiding K : Fp , zeg [K : Fp ] = n. Dan #(K) = pn , want K is een n-dimensionale Fp -vectorruimte. De groep K ∗ heeft pn − 1 n elementen, dus voor iedere α ∈ K ∗ geldt αp −1 = 1. Dus is ieder element van pn K een nulpunt van de veelterm X − X ∈ Fp [X]. Het lichaam K is dan een splijtlichaam van deze veelterm over Fp . Zij p een priemgetal en zij n ∈ N∗ . We laten zien dat er een op isomorfie na uniek lichaam is met pn elementen. Laat K een splijtlichaam zijn van de veelterm n X p − X over Fp . De nulpunten van deze veelterm vormen een deellichaam van K en dus is K gelijk aan de nulpuntenverzameling. De nulpunten zijn enkelvoudige nulpunten: is α een nulpunt, dan n

n

n

n

X p − X = X p − αp − X + α = (X − α)p − (X − α) = (X − α)((X − α)p

n

−1

− 1).

Het nulpunt α is geen nulpunt van de tweede factor. De veelterm heeft dus pn nulpunten, ofwel #(K) = pn . Bij ieder priemgetal p en bij iedere n ∈ N∗ bestaat er dus een lichaam met pn n elementen. Zo’n lichaam is een splijtlichaam van X p −X over Fp en is dus volgens Stelling 4.9 op isomorfie na bepaald. Een lichaam met pn elementen noteren we als Fpn . We hebben nu:

54

4.5 Eindige lichamen 4.25 Stelling. Het aantal elementen van een eindig lichaam is een macht van een priemgetal. Bij iedere priemmacht is er een op isomorfie na uniek eindig lichaam met als aantal elementen deze priemmacht.

4.5.2 De algebra¨ısche afsluiting van een eindig lichaam Zij p een priemgetal. We construeren een algebra¨ısche afsluiting van Fp . Beschouw de keten Fp ⊂ Fp2! ⊂ Fp3! ⊂ · · · ⊂ Fpn! ⊂ Fp(n+1)! ⊂ · · · en definieer Fp =

∞ [

Fpn! .

n=1

De lichaamsbewerkingen in Fp komen van de lichamen Fpn! . Het lichaam Fp is zo de vereniging van deellichamen Fpn! . 4.26 Stelling. Fp is algebra¨ısch gesloten. Bewijs. Het is duidelijk dat Fp : Fp algebra¨ısch is. Zij f ∈ Fp [X] niet-constant. Dan is er een n ∈ N met f ∈ Fpn! [X]. Een splijtlichaam van f over Fpn! is van de vorm Fpm·n! voor een m ∈ N∗ . Dus splijt f over Fp(mn)! , want m · n! | (mn)!. En dus splijt f over Fp .

4.5.3 De multiplicatieve groep van een eindig lichaam De multiplicatieve groep K ∗ van een lichaam is een Abelse groep. Elementen van eindige orde in deze groep noemt men eenheidswortels. Zij n ∈ N∗ . Een ζ ∈ K ∗ met o(ζ) | n, ofwel ζ n = 1, noemt men een n-de eenheidswortel. Als o(ζ) = n, dan spreekt men van een primitieve n-de eenheidswortel. Laat K een eindig lichaam zijn. De groep K ∗ is eindig, dus zijn alle elementen van deze groep eenheidswortels van K. We bewijzen dat K ∗ cyclisch is. We bewijzen in feite iets algemeners: een eindige ondergroep van de multiplicatieve groep van een lichaam is cyclisch. Zij K een lichaam en A een eindige ondergroep van K ∗ , zeg #(A) = n en n = pk11 · · · pkr r de priemfactorontbinding van n. De n elementen van A zijn nulpunten van de veelterm X n − 1 ∈ K[X]. Dus X n − 1 splijt over K en wel als product van n verschillende lineaire factoren. Voor i = 1, . . . , r hebben we dat de veeltermen ki ki −1 X pi − 1 en X pi − 1 delers zijn van X n − 1 (de tweede is weer een deler van de eerste) en splijten dus ook over K. Neem een nulpunt ai van de eerste veelterm p

ki

die geen nulpunt is van de tweede veelterm. Voor ai geldt dan dat ai i = 1, terwijl

55

4 Splijtlichamen p

ki −1

ai i 6= 1, ofwel o(ai ) = pki i . Dan o(a1 · · · ar ) = pk11 · · · pkr r = n. Gebruik voor het laatste het volgende lemma: 4.27 Lemma. Laten a en b elementen zijn van een Abelse groep met o(a) = m, o(b) = n en ggd(m, n) = 1. Dan o(ab) = mn. Bewijs.

Omdat de groep Abels is, zijn voor alle k ∈ Z equivalent

(ab)k = 1, ak = b−k , ak = b−k = 1,

(want o(ak ) | m, o(b−k ) | n en ggd(m, n) = 1),

m | k en n | k, mn | k

(want ggd(m, n) = 1).

Dus o(ab) = mn. We hebben dus bewezen: 4.28 Stelling. Een eindige ondergroep van de multiplicatieve groep van een lichaam is cyclisch. In het bijzonder hebben we: 4.29 Gevolg. De multiplicatieve groep van een eindig lichaam is cyclisch.

Opgaven √ (i) Bepaal alle inbeddingen van Q( 3 2, ζ3 ) in C. Hoeveel automorfismen heeft √ 3 Q( 2, ζ3 )? √ (ii) Complexe conjugatie is een automorfisme van C. Beperking tot Q( 3 2, ζ3 ) geeft een inbedding van dit lichaam in C. Welke van de gevonden inbeddingen is het? √ 2. Zij p een priemgetal. Bepaal alle inbeddingen van Q(ζp , p 2) in C. q √ √  3. Bepaal alle inbeddingen van Q −3, 3 −3+2 41 in C. (Zie het diagram op pa1.

gina 15.) 4. Zij L : K een lichaamsuitbreiding van graad 2. Toon aan dat L : K normaal is. 5. Zij L : K een normale uitbreiding en zij K 0 een tussenlichaam van L : K. Bewijs dat L : K 0 een normale uitbreiding is. 6. Bepaal een voortbrenger van de multiplicatieve groep van de lichamen F17 , F19 en F29 .

56

Opgaven 7. Zij K een lichaam met kar(K) = p 6= 0. Toon aan dat K geen primitieve p-de eenheidswortel bevat. 8. Zij p een oneven priemgetal. Bewijs dat −1 een kwadraat is in Fp dan en slechts dan als p ≡ 1 (mod 4). 9. Zij p een priemgetal 6= 2, 3. Bewijs dat −3 een kwadraat is in Fp dan en slechts dan als p ≡ 1 (mod 3). 10. Construeer een lichaam met 16 elementen met behulp van een irreducibele veelterm van graad 4. Er zijn 12 elementen van graad 4 over F2 . Hoeveel van deze elementen brengen F∗16 niet voort? 11. Zij L een eindig lichaam van karakteristiek p. Laten K en K 0 deellichamen van L zijn met #(K) = #(K 0 ). Bewijs dat K = K 0 . 12. Zij p een oneven priemgetal. Bewijs dat Fp2 een primitieve 8-ste eenheidswortel bevat. Hoe volgt hieruit dat X 4 + 1 reducibel over Fp is? 13. Zij K een eindig lichaam van karakteristiek p en zij f ∈ Fp [X] de minimumveelterm van een α ∈ K over Fp . n

(i) Toon aan dat f | X p − X, waarbij n = [K : Fp ]. (ii) Laat zien dat f splijt over K en dat f geen meervoudig nulpunt heeft. n

14. Zij p een priemgetal en zij n ∈ N∗ . Bewijs dat X p − X ∈ Fp [X] het product is van alle monische veeltermen in Fp [X] van graad een deler van n die irreducibel zijn over Fp . 15. Zij p een priemgetal en zij f ∈ Fp [X] zonder meervoudig nulpunt. (i) Bewijs dat f niet splijt over Fp als deg(f ) > p. (ii) Zij k ∈ N∗ zo dat deg(f ) > pk . Bewijs dat f een irreducibele deler heeft van graad > k. 16. Zij p een priemgetal. Hoeveel monische over Fp irreducibele veeltermen zijn er van graad 2? Hoeveel van graad 3? En van graad 6? 17. Zij p een priemgetal 6= 2, 5. (i) Toon aan dat Fp4 een primitieve 5-de eenheidswortel ζ bevat. (ii) Zij α = ζ + ζ −1 . Toon aan dat α ∈ Fp2 . (iii) Ga na dat α2 + α − 1 = 0 en laat hiermee zien dat 5 een kwadraat is in Fp dan en slechts dan als p ≡ ±1 (mod 5).

57