BEBERAPA FAKTOR YANG MEMENGARUHI KEBERHASILAN PENGGABUNGAN DUA PERUSAHAAN
ARIF WICAKSONO UTOMO
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Beberapa Faktor yang Memengaruhi Keberhasilan Penggabungan Dua Perusahaan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Desember 2013 Arif Wicaksono Utomo NIM G54061662
ABSTRAK ARIF WICAKSONO UTOMO. Beberapa Faktor yang Memengaruhi Keberhasilan Penggabungan Dua Perusahaan. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RETNO BUDIARTI. Perusahaan akan membayar dividen kepada para pemegang saham sedemikian rupa sehingga besarnya akumulasi total pembayaran dividen yang dihitung berdasarkan nilai sekarang sesuai harapan pemegang saham. Dividen akan dibayarkan berdasarkan strategi barier, artinya jika surplus perusahaan telah melebihi optimal barrier keuntungan perusahaan, maka kelebihan dari barrier keuntungan tersebut semuanya akan dibayarkan sebagai dividen kepada para pemegang saham. Pembayaran dividen akan terhenti bila perusahaan mengalami kebangkrutan. Jumlah pendapatan bersih yang dihasilkan oleh gabungan dua perusahaan dimodelkan dengan gerak Brown bivariat dengan parameter drift µ dan ragam per satuan waktu. Fungsi surplus merupakan turunan model gerak Brown dan dari fungsi surplus didapatkan hasil tentang potensi untung dan rugi pada penggabungan dua perusahaan. Jika optimal barrier perusahaan gabungan lebih kecil dari hasil penjumlahan optimal barrier setiap perusahaan, untuk nilai koefisien korelasi sama dengan satu, dan hasil kali dari nilai tingkat bunga dengan koefisien ragam dari proses agregat pendapatan bersih setiap perusahaan pada tingkat suku bunga kurang dari 6,87%, maka merger akan mendapatkan keuntungan. Kata kunci: gabungan, dividen optimal, strategi barrier, gerak Brown.
ABSTRACT ARIF WICAKSONO UTOMO. Several Factors that Influence the Merger Process of Two Companies. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RETNO BUDIARTI. A company will payout dividends to its shareholders in such a way it maximizes the expectation of discounted dividends. Dividends are paid according to strategy barrier. The strategy barrier is to pay dividends to shareholders whenever the surplus attains the optimal barriers. The dividend payments are stopped whenever the company becomes ruin. The aggregate net income stream of two companies are modeled by bivariate Brownian motion with µ as a drift parameter and as a variance parameter per unit time. Surplus function can be obtained by using the model of Brownian motion. It is used to obtain result about the potensial gain or loss upon merging two companies. If the combined company's optimal barrier is smaller than the sum of the optimal barrier of each companies, for the value of correlation coefficient equals to one, and for each companies, multiplication of interest and the square of the coefficient of variation of its aggregate net income process is less than 6,87%, so the merger of two companies would be benefit. Keywords: merger, optimal dividends, barrier strategy, Brownian motion.
BEBERAPA FAKTOR YANG MEMENGARUHI KEBERHASILAN PENGGABUNGAN DUA PERUSAHAAN
ARIF WICAKSONO UTOMO
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013
Judul Skripsi : Beberapa Faktor yang Memengaruhi Keberhasilan Penggabungan Dua Perusahaan Nama : Arif Wicaksono Utomo NIM : G54061662
Disetujui oleh
Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
Ir Retno Budiarti, MS Pembimbing II
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juli 2012 ini optimasi dividen, dengan judul Beberapa Faktor yang Memengaruhi Keberhasilan Penggabungan Dua Perusahaan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. dan Ibu Ir. Retno Budiarti MS. selaku dosen pembimbing, serta seluruh dosen di Departemen Matematika IPB yang telah banyak memberikan pelajaran tentang berbagai ilmu Matematika kepada penulis. Tak lupa terima kasih juga untuk para staf tata usaha serta staf perpustakan Departemen Matematika IPB yang telah banyak membantu penulis dalam hal administrasi perkuliahan semasa penulis menjalani masa-masa kuliah. Terima kasih juga untuk teman-teman Math 43 untuk dukungan dan doa serta persahabatan yang telah terjalin selama ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, adik serta seluruh keluarga atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Desember 2013 Arif Wicaksono Utomo
DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
x
DAFTAR LAMPIRAN
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA HASIL DAN PEMBAHASAN
2 10
Formulasi Masalah
10
Optimal Barrier
13
Situasi Sebelum dan Setelah Penggabungan
14
Syarat Cukup untuk Penggabungan
16
Generalisasi
17
SIMPULAN DAN SARAN
18
Simpulan
18
Saran
18
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
20
RIWAYAT HIDUP
32
DAFTAR GAMBAR 1 Ilustrasi M(t), D(t), dan X(t) 2 Ilustrasi nilai harapan dari present value dividen perusahaan V(x;b) sebagai fungsi dari modal awal x 3 Grafik turunan kedua g(y) terhadap y
11 13 14
DAFTAR LAMPIRAN 1 2 3 4 5 6 7
Pembuktian Teorema 2 Pembuktian Persamaan (2) Pembuktian Persamaan (5), (7) dan (8) Pembuktian Persamaan (11) Pembuktian Persamaan (12) Pembuktian Persamaan (14) Sintaks Grafik 3 menggunakan software Mathematica 7.0
21 23 25 27 28 29 30
PENDAHULUAN Latar Belakang Pada zaman modern seperti sekarang ini, perusahaan melakukan berbagai cara untuk meningkatkan keuntungan serta mempelajari cara untuk mengantisipasi risiko-risiko yang menyebabkan kerugian hingga berpotensi menyebabkan kebangkrutan bagi perusahaan tersebut. Salah satu solusi untuk mengantisipasi hal di atas adalah dengan melakukan penggabungan antara dua perusahaan dan menentukan faktor-faktor apa saja sehingga penggabungan dua perusahaan dapat meningkatkan surplus atau keuntungan perusahaan tersebut. Proses surplus adalah proses akumulasi kekayaan yang diperoleh dengan penjumlahan modal awal (initial capital) dengan total pendapatan yang masuk kemudian dikurangi dengan total dividen yang dibayarkan kepada pemegang saham. Bila suatu ketika besar modal dan total pendapatan perusahaan lebih kecil dari jumlah akumulasi dari dividen yang harus dibayar maka perusahaan mengalami kerugian yang berpotensi mengalami kebangkrutan. Kerugian ini disebabkan karena jumlah dividen yang dibayar melebihi batas kemampuan dari perusahaan tersebut sehingga diperlukan suatu strategi optimasi dividen untuk menentukan batasan banyaknya modal yang optimal sehingga dividen dapat mulai dibayar pada suatu batasan modal tersebut. Tulisan ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Gerber dan Shiu (2006) yang berjudul “ On The Merger of Two Companies”. Perumusan Masalah Asumsi awal, perusahaan akan membayar dividen kepada pemegang saham sedemikian rupa sehingga dapat memaksimalkan present value dari total angsuran pembayaran dividen sesuai harapan pemegang saham. Pembayaran dividen akan terhenti bila perusahaan mengalami kebangkrutan. Nilai sekarang (present value) dari perusahaan sendiri adalah nilai dari total pendapatan yang masuk kas perusahaan dikurangi dengan dividen yang dibayarkan sebagai kas keluar, yang nilainya sesuai dengan yang telah disepakati antara para pemegang saham dengan perusahaan sesuai dengan strategi optimasi dividen. Tujuan Penelitian Tujuan karya ilmiah ini adalah untuk mengetahui faktor-faktor yang memengaruhi keberhasilan penggabungan dua perusahaan.
2
TINJAUAN PUSTAKA Untuk memahami masalah-masalah yang terjadi pada karya tulis ini diperlukan pengertian beberapa konsep berikut ini. Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak bisa diprediksi secara tepat, tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. (Hogg dan Craig 1995) Definisi 2 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan . (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 3 (Kejadian) Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh . (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 4 (Kejadian Lepas) Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 5 (Medan- ) Medanadalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh , yang memenuhi syarat berikut: 1. 2. Jika , maka 3. Jika , maka (Hogg et al. 2005) Definisi 6 (Ukuran Peluang) Misalkan adalah ruang contoh suatu percobaan acak dan adalah medanpada . Suatu fungsi P yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata () atau disebut ukuran peluang jika: 1. P tak negatif, yaitu untuk setiap , 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan maka 3. P bernorma satu, yaitu Pasangan disebut ruang peluang atau ruang probabilitas. (Hogg et al. 2005)
3
Definisi 7 (Kejadian Saling Bebas) Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: = . Secara umum, himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmett dan Stirzaker 1992) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 8 (Peubah Acak) Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi yang terdefinisi pada Ω yang memetakan setiap unsur ke satu dan hanya satu bilangan real disebut peubah acak. Ruang dari adalah himpunan bagian bilangan real Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z.
Sedangkan nilai (Hogg et al. 2005)
Definisi 9 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak dikatakan diskret jika semua himpunan nilai dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Hogg et al. 2005) Definisi 10 (Fungsi Sebaran) Misalkan adalah peubah acak dengan kejadian maka peluang dari kejadian adalah
Misalkan kejadian
Fungsi FX disebut fungsi sebaran dari peubah acak . (Hogg et al. 2005) Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang) Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret yang diberikan oleh:
adalah fungsi
(Hogg et al. 2005) Definisi 12 (Peubah Acak Poisson) Suatu peubah acak dikatakan menyebar Poisson dengan parameter , jika memiliki fungsi massa peluang:
(Hogg et al. 2005) Definisi 13 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai
4
untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi disebut fungsi kepekatan peluang (probability density function) bagi . (Hogg et al. 2005) Definisi 14 (Peubah Acak Eksponensial) Peubah acak kontinu disebut menyebar eksponensial dengan parameter jika fungsi kepekatan peluangnya diberikan oleh
(Hogg et al. 2005) Definisi 15 (Peubah Acak Gamma) Peubah acak kontinu disebut menyebar Gamma dengan parameter jika fungsi kepekatan peluangnya diberikan oleh
(Hogg et al. 2005) Definisi 16 (Fungsi Sebaran dan Kepekatan Peluang Marjinal) Misalkan and adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi sebaran dan fungsi kepekatan peluang bersama . Fungsi sebaran marjinal dari peubah acak dan adalah masing-masing
Fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak X dan Y adalah masingmasing
(Ghahramani 2005) Teorema 1 (Peubah Acak Bebas) Misalkan adalah n peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama dan fungsi kepekatan peluang marjinal masingmasing Peubah-peubah acak dikatakan bebas secara bersama jika dan hanya jika
Bukti Teorema 1 dapat dilihat di Ghahramani, 2005. Definisi 17 (Sebaran Bersyarat Peubah Acak Kontinu) Misalkan dan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi sebaran bersama Fungsi sebaran bersyarat dari dengan syarat ditulis atau diberikan oleh
5
untuk sembarang x dan f Y ( y) 0. (Ghahramani 2005) Definisi 18 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat) Misalkan dan merupakan dua peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama maka fungsi kepekatan peluang bersyarat X dengan syarat ditulis diberikan oleh
untuk sembarang x dan (Ghahramani 2005) Momen, Nilai Harapan, dan Ragam Definisi 19 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu) Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang Nilai harapan dari dinotasikan dengan adalah jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas divergen, maka nilai harapan dari tidak ada. (Hogg et al. 2005) Definisi 20 (Ragam Peubah Acak Kontinu) Misalkan adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang dan nilai harapan . Ragam dari X dinotasikan dengan atau X2 adalah X2 E (( X E ( X )) 2 )
( x E ( X )) 2 f X ( x)dx
jika integral di atas konvergen. Jika integral di atas tidak konvergen maka ragam dari tidak ada. (Hogg et al. 2005) Definisi 21 (Nilai Harapan Bersyarat) Misalkan dan merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama dan fungsi kepekatan peluang bersyarat dari dengan syarat adalah Nilai harapan bersyarat dari dengan syarat diberikan oleh dengan (Ghahramani 2005) Proses Stokastik Definisi 22 (Proses Stokastik) Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (state space) S.
6
(Ross 1996) Definisi 23 (Proses Pencacahan) Proses stokastik disebut proses pencacahan (counting process) jika menyatakan banyaknya kejadian (events) yang telah terjadi sampai waktu t. Jadi proses pencacahan N(t) harus memenuhi: (i) (ii) Nilai adalah integer. (iii) Jika , maka (iv) Untuk , maka sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (Ross 1996) Kadangkala, proses pencacahan ditulis yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu ]. Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut. Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga merupakan salah satu contoh penting dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Definisi 24 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan intensitas , jika: (i) (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas dan stasioner. (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan rataan (mean) . Jadi, untuk semua dan maka:
(Ross 1996)
Definisi 25 (Waktu Antar Kedatangan) Barisan { X n , n 1,2,...} disebut barisan waktu antar kedatangan (sequence of interarrival times) dari suatu proses Poisson, dengan X n menyatakan jarak antar waktu kejadian proses Poisson ke-(n-1) dengan kejadian proses Poisson ke-n. (Ross 2000)
7
Integral Parsial Definisi 26 (Integral Parsial) Aturan yang berkaitan dengan aturan hasil kali untuk turunan disebut aturan pengintegralan parsial dengan formula Misalkan, jika dan , maka turunannya adalah dan . Dengan demikian, menurut aturan substitusi, rumus pengintegralan parsial menjadi (Stewart 1998) Hukum Total Peluang Definisi 27 (Hukum Total Peluang) Misalkan ruang contoh dipartisi ke dalam buah kejadian yang saling lepas satu dengan yang lainnya. Kejadian-kejadian tersebut memiliki , dimana Misalkan terdapat suatu kejadian yang lain dengan , maka berlaku kejadian-kejadian terhadap sebagai berikut:
di mana sehingga diperoleh
diasumsikan saling lepas satu dengan yang lain, sebagai berikut:
dengan peluang bersyarat Jadi didapat
dapat ditulis
dengan penguraian secara rinci sebagai beirikut:
inilah yang disebut sebagai hukum total peluang. (Hogg et al. 2005) Waktu Kebangkrutan Definisi 28 (Waktu Kebangkrutan) Misalkan T menyatakan waktu kebangkrutan dan U(t) surplus perusahaan pada waktu t. Maka waktu kebangkrutan yang dinotasikan dengan T adalah waktu di mana nilai surplus perusahaan bernilai negatif U(t)<0. (Dickson et al. 2004)
Gerak Brown (Brownian Motion) Definisi 29 (Gerak Brown) Proses stokastik waktu kontinu adalah Gerak Brown jika: 1) , di mana adalah fungsi kontinu dari 2) memiliki inkremen stasioner dan inkremen bebas.
8
3) Untuk setiap
, Wt berdistribusi normal dengan nilai harapan 0 dan ragam (Klugman et al 1998)
Definisi 30 (Gerak Brown dengan Parameter Drift) Proses stokastik waktu kontinu dinamakan gerak Brown adalah proses stokastik dengan nilai harapan dan ragam 2 , untuk suatu dan 0 . Persamaannya sebagai berikut: X (t ) t W (t )
Dengan kata lain gerak Brown adalah proses stokastik dengan sebagai parameter drift dan 2 parameter ragam, dengan modal awal X(0) = x. Berdasarkan salah satu sifat gerak Brown menyatakan setiap inkremen menyebar normal dangan dan Misal didefinisikan dan maka
(a1) Dari persamaan (a1) dapat dilihat
,
(a2) (a3) (a4) (a5) (Taylor dan Karlin 1998)
Teorema 2 Gerak Brown (Brownian motion) dengan parameter drift dan parameter ragam , untuk a < x < b dapat dituliskan. , untuk a < x < b. (Taylor dan Karlin 1998) Bukti Teorema 2 disajikan pada Lampiran 1.
9
HASIL DAN PEMBAHASAN
Formulasi Masalah Gerber et al. (2004) menyatakan bahwa sebuah perusahaan memiliki modal awal x > 0. Jika tidak ada dividen yang dibayarkan maka fungsi surplus yang diturunkan dari model gerak Brown dengan parameter drift dan parameter ragam sehingga modelnya dapat ditulis sebagai berikut: (1) Keterangan: adalah fungsi surplus yang merupakan model gerak Brown dengan parameter drift dan ragam untuk nilai . x adalah modal awal, adalah gerak Brown.
.
Perusahaan akan membayarkan dividen berdasarkan optimal barrier-nya dengan parameter optimal barrier . Artinya, pada saat surplus perusahaan mencapai atau melebihi b, maka kelebihan arus kas tersebut akan dibayarkan sebagai dividen. Misalkan adalah nilai maksimum yang dapat dicapai oleh maka dapat ditulis:
Kemudian, misalkan dinotasikan sebagai dividen agregat yang dibayarkan antara waktu 0 dan waktu t, maka
Diasumsikan bahwa pembayaran dividen tidak memiliki pengaruh terhadap keberlangsungan perusahaan, sehingga fungsi surplus pada waktu t dapat diubah menjadi X(t) – D(t) di mana X(t) adalah surplus perusahaan dan D(t) adalah dividen yang dibayar oleh perusahaan. Misalkan juga D menyatakan present value dari akumulasi pembayaran dividen hingga terjadinya kebangkrutan dengan
di mana
10
menyatakan waktu ketika perusahaan bangkrut. Misalkan , menyatakan nilai harapan present value dari akumulasi pembayaran dividen hingga bangkrut, ditulis:
Gambar 1 Ilustrasi Grafik Sebagai fungsi dari modal awal x, memenuhi persamaan diferensial homogen orde-2 sehingga dapat ditulis menjadi: (2) Bukti Persamaan 2 disajikan pada Lampiran 2. Nilai harapan present value dari akumulasi dividen perusahaan hingga perusahaan tersebut mengalami bangkrut dinotasikan dengan di mana x adalah modal awal dan b adalah ambang batas optimal dividen (optimal barrier). Fungsi memiliki syarat , (3) . (4) Persamaan (3) menjelaskan bahwa jika perusahaan mengalami kebangkrutan dan tidak ada dividen yang dibayar. Persamaan (4) menjelaskan bahwa terdapat dua situasi, pertama perusahaan memiliki modal awal sebesar , kedua perusahaan memiliki modal awal sebesar dan bernilai sangat kecil). Berdasarkan Persamaan (3) dan (4) solusi pada persamaan diferensial homogen Persamaan (2) adalah (5)
11
Misalkan fungsi
dan
berturut-turut adalah pembilang dan penyebut pada
dan (6) dengan r
2 2 2
2
(7)
dan s
2 2 2
2
0 adalah tingkat suku bunga.
(8)
Bukti Persamaan (5), (7), dan (8) disajikan pada Lampiran 3. Misalkan, b* menyatakan nilai optimal b, artinya b* adalah nilai dari b (ambang batas besarnya modal awal (x) pada saat dividen dapat mulai dibayar) yang meminimumkan misalkan, buat turunan sama dengan nol, Maka turunan
sebagai berikut:
sehingga, (9)
(10) Berdasarkan Persamaan (9) dan (5) diperoleh . Bukti Persamaan (11) disajikan pada Lampiran 4. Berdasarkan Persamaan (11) dan (2) turunan kedua dari fungsi fungsi kontinu pada saat nilai x sebesar , atau , maka
(11)
adalah
(12) Bukti Persamaan (12) disajikan pada Lampiran 5. Bentuk dari fungsi syarat untuk Gambar 2).
,
, dapat dengan mudah diperoleh dengan , dan untuk (lihat
12
Gambar 2 Ilustrasi nilai harapan dividen perusahaan sebagai fungsi dari modal awal (x). Optimal Barrier Subbab ini akan menjelaskan mengenai b* yang merupakan optimal barrier atau batasan banyaknya modal yang optimal sehingga dividen bisa dibayarkan kepada pemegang saham. Misalkan merupakan koefisien ragam dari gerak Brown, dapat ditulis sebagai berikut: (13) Selanjutnya, berdasarkan Persamaan (10), (7), dan (8) diperoleh
dengan kata lain
:
dapat ditulis sebagai berikut: (14)
di mana (15)
Bukti Persamaan (14) dan (15) disajikan pada Lampiran 6. Untuk mempermudah melihat hubungan fungsi ditambahkan suatu fungsi bebas pada di mana ditulis
dengan ,
dapat dapat
(16) sehingga (17) dan (18)
13
Fungsi dengan y ≥ 0, adalah fungsi naik, dengan dan . Dengan menggunakan suatu software matematika ditemukan nilai saat ~ y = 0.3708.
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0.5
1.0
Gambar 3 Grafik Turunan Kedua
terhadap y,
dengan ,
(19a)
dan (19b) Dari grafik turunan kedua, Gambar dan sintaks Gambar
adalah saat nilai ~ y sebesar 0.3708. dan disajikan pada Lampiran 7.
Situasi Sebelum dan Setelah Penggabungan Misalkan dua perusahaan, dengan variabel j = 1, 2, diasumsikan bahwa keuntungan perusahaan yang merupakan selisih dari pemasukan perusahaan dikurangi pengeluaran perusahaan dalam bentuk dividen adalah gerak Brown dengan parameter drift j dan ragam 2j per satuan waktu. Optimal barrier untuk dividen perusahaan j adalah (20) b *j j f ( j ) , dengan f ( j ) didefinisikan pada Persamaan (17) dan j (21) j j Misalkan V j ( x; b) menunjukkan nilai harapan dari present value akumulasi dividen perusahaan j hingga mengalami kebangkrutan, x adalah modal awal perusahaan dan strategi barrier sesuai dengan parameter b yang digunakan. Selanjutnya, diasumsikan bahwa jumlah dari proses pendapatan bersih (sebelum pembayaran dividen) adalah gerak Brown bivariat dengan koefisien korelasi . Diasumsikan bahwa penggabungan tidak memengaruhi model dan parameternya. Karena itu, setelah penggabungan hasil dari penjumlahan proses surplus (sebelum pembayaran dividen) adalah gerak Brown, dengan:
14
(22) dan (23) sehingga, optimal barrier dari dividen perusahaan setelah penggabungan adalah (24) dengan (25) Misalkan Vm ( x; b) menyatakan nilai harapan dari present value akumulasi dividen perusahaan yang digabung hingga mengalami kebangkrutan. Kemudian keuntungan hasil penggabungan dua perusahaan adalah (26) di mana x j adalah banyaknya modal awal dari perusahaan j, j = 1, 2 dan adalah banyaknya modal dari dua perusahaan yang bergabung. Setiap persamaan dari tiga persamaan yang ada pada Persamaan (26) dapat dihitung dengan menggunakan penjabaran dari Persamaan (5), (7), (8) dan (10). Keuntungan penggabungan adalah jika persamaan (26) bernilai positif. Kemudian dari persamaan (12) dan (25) dapat ditarik kesimpulan di mana Persamaan (26) dapat menggambarkan kondisi perusahaan yang digabung akan mengalami untung atau rugi sebagai berikut:
(27) dengan asumsi yang sama berlaku untuk setiap perusahaan. Misalkan diasumsikan bahwa present value perusahaan j adalah , j = 1, 2 dan ) adalah jumlah banyaknya modal perusahaan yang telah bergabung. Terdapat dua kesimpulan yang diakibatkan Persamaan (26): a. Jika (28) maka,
(29) artinya, hasil penggabungan perusahaan dalam kondisi positif atau perusahaan untung. b. Jika (30)
15
maka,
(31) artinya, present value penggabungan perusahaan dikurangi dengan jumlah present value dari dua perusahan jika tidak digabung bernilai negatif yang artinya penggabungan perusahaan dinilai merugikan untuk dua perusahaan tersebut. Penjelasan lebih lanjut mengenai keuntungan hasil penggabungan adalah dengan melihat Gambar 2, dengan menyesuaikan menjadi dan menjadi . Keuntungan penggabungan dapat dilihat dari banyaknya jumlah modal pada masing-masing perusahaan. Jika Persamaan (28) terpenuhi maka penggabungan menghasilkan keuntungan: . Jika Persamaan (30) terpenuhi maka penggabungan mengakibatkan kerugian: . Syarat Cukup untuk Penggabungan Subbab ini memiliki tujuan mendapatkan syarat cukup untuk Persamaan (24). Jika =1, berdasarkan Persamaan (25) bahwa
Persamaan di atas dapat ditulis sebagai rata-rata tertimbang dari
dan
:
. Jadi, jika maka juga memiliki nilai yang sama dengan * * * , berdasarkan Persamaan (28) bm b1 b2 . Jika
dan
, dan
(32) Persamaan (32) sesuai dengan kondisi penggabungan menghasilkan keuntungan pada Persamaan (28) yang disebabkan dari Persamaan (24) dan (20), untuk membuktikan syarat cukup Persamaan (32), merupakan fungsi convex untuk nilai antara dan , atau f " ( ) 0 untuk nilai antara dan . Sekarang ~ dapat dilihat Persamaan (19a), g" ( y) 0 untuk 0 y y 0,3708 hal tersebut diketahui dari Persamaan (17) bahwa
16
untuk j = 1 dan j = 2, kita dapat membuktikan Pertidaksamaan (30). Akibatnya, untuk kedua perusahaan (perusahaan 1 dan perusahaan 2) berlaku
Dari hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa perusahaan akan untung bila hasil kali dari nilai tingkat suku bunga ( ) dengan ragam ( 2 ) kurang dari 6,87%. Generalisasi Cai et al. (2006) mengembangkan model pada Persamaan (12) dengan mengasumsikan bahwa tingkat bunga yang dikenakan pada seluruh akumulasi modal pada tingkat bunga konstan, yang pada karya ilmiah ini dinyatakan dengan , Kita misalkan menyatakan nilai harapan dari dividen yang didiskon hingga bangkrut, jika strategi barrier sesuai dengan parameter b yang digunakan, dan misalkan b * menyatakan optimal barrier. Untuk 0 , Cai et al (2006) membuktikan bahwa (33) merupakan pengembangan dari Persamaan (17). Selanjutnya, dan untuk 0 < x < b*, dan untuk . Oleh karena itu, Gambar 1 tetap berlaku jika kita mengganti pada sumbu x dengan . Misal dua saham perusahaan, yang diberi label 1 dan 2, kemudian V1 dan V2 adalah nilai harapan dari present value fungsi dividen, dan dan berturutturut adalah optimal barrier. Untuk perusahaan yang akan digabung, misalkan merupakan nilai harapan dari present value fungsi dividen gabungan dua perusahaan dan adalah optimal barrier-nya. Dari Persamaan (22) dan (32) bahwa
yang merupakan Persamaan (27) yang diperumum (generalisasi). Penggabungan menghasilkan keuntungan bila kondisi pada Persamaan (28) terpenuhi. Jika Persamaan (28) terpenuhi maka keuntungan yang didapatkan sebesar
Sebaliknya jika yang terpenuhi Persamaan (30) maka kerugian yang diakibatkan penggabungan perusahaan sebesar
17
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Berdasarkan pembahasan yang telah disajikan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa terdapat beberapa faktor yang harus dipenuhi sehingga perusahaan akan menghasilkan keuntungan. Pada saat surplus perusahaan mencapai optimal barrier penggabungan dua perusahaan akan menguntungkan jika: sehingga . Untuk nilai =1, didapatkan suatu syarat cukup sehingga penggabungan dua perusahaan dapat menguntungkan, yaitu pada saat
Artinya perusahaan akan untung pada saat hasil kali dari tingkat suku bunga () dan ragam ) kurang dari 6,87% untuk kedua perusahaan yang bergabung. Saran Untuk permasalahan selanjutnya disarankan untuk menganalisis lebih lanjut mengenai waktu dapat dilakukannya penggabungan, atau lebih tepatnya, kapan waktu yang tepat untuk malakukan penggabungan dua perusahaan.
DAFTAR PUSTAKA Cai J, Gerber HU, Yang H. 2006. Optimal dividends in an ornstein-uhlenbeck type model with credit and debit interest. North American Actuarial Journal Vol 10(2):94-108. Dickson, David CM, Waters HR. 2004. Some optimal dividends problems. ASTIN Bulletin 34:49–74. Gerber HU, Shiu ESW. 2004. Optimal dividends analysis with brownian motion. North American Actuarial Journal Vol. 8(1):1-20. Gerber HU, Shiu ESW. 2006. On the merger of two companies. North American Actuarial Journal Vol. 10(3):1-8. Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Ed ke-3. New Jersey (US): Pearson Prentice Hall.
18
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Process. Ed ke-3. Oxford (GB): Clarendon Press. Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-5. New Jersey (US): Prentice Hall, Inc. Hogg RV, Craig AT, McKean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed Ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs. Klugman SA, Panjer HH, Willmot GE. 1998. Loss Models – From Data to Decisions. NewYork (US): John Wiley & Sons. Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed ke-2. New York. John Wiley & Sons. Ross SM. 2000. Introduction to Probability Models. Ed ke-7. California (US): Academic Press. Stewart J. 1998. Terjemahan dari: Calculus. Ed. ke-4. Susila IN dan Gunawan H. Jakarta (ID): Penerjemah Erlangga. Taylor HM, Karlin S. 1998. An Introduction to Stochastic Modeling. Ed ke-3. New York (US): Academic Press.
19
Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2 Berdasarkan Taylor dan Karlin (1998) untuk membuktikan Teorema 2, terdapat dua asumsi yang harus dipenuhi, yaitu: 1. Diasumsikan u(x) merupakan fungsi yang dapat diturunkan dua kali. 2. Diasumsikan inkremen t, t pada interval (a,b), (t b t a ) , memiliki selisih nilai yang sangat kecil sehingga dapat diabaikan. Kemudian berdasarkan hukum peluang total, maka: u(x) = P{X(T) = b|X(0) = x} = [P{X(T) = b|X(0) = x, X( t) = x+ X} |X(0) = x] = E[u(x+ X)], di mana a < x < b. Selanjutnya, menggunakan ekspansi deret Taylor maka persamaan u(x+ X) dapat ditulis menjadi: 1 u(x+ X) = u ( x) u ' ( x)X u" ( x)(X ) 2 o(X ) 2 . 2 Kemudian berdasarkan definisi u(x) di atas maka: 1 u(x)=E[u(x+ X)]=E[ u ( x) u ' ( x)X u" ( x)(X ) 2 o(X ) 2 ] 2 1 = u ( x) u ' ( x) E[X ] u" ( x) E[(X ) 2 ] E[o(X ) 2 ] . 2 Kemudian berdasarkan (a2), (a3), a(5) pada Definisi 30, maka: 1 u ( x) u ( x) u ' ( x) t u" ( x) 2 t ot 2 1 u ( x) u ( x) u ' ( x) t u" ( x) 2 t ot 2 1 0 u ' ( x) t u" ( x) 2 t ot 2 1 0 [u ' ( x) u" ( x) 2 o]t . 2 Misalkan t 0 maka persamaan di atas menjadi suatu persamaan diferensial 1 0 u ' ( x) u" ( x) 2 , untuk a < x < b. 2 Solusi dari persamaan diferensial di atas adalah: Misalkan dan , maka persamaan menjadi: 1 0 2 A 2 A 2 1 0 ( 2 A ) A . 2 Akar-akar dari persamaan di atas adalah 1 1 2 A= 0 dan 0 2 A 2 A A 2 2 2 atau A1 0 dan A2 22 sehingga solusi umum persamaan diferensial menjadi:
20
u ( x) Ce x ( 0) De
x(
2
)
2
2 x
u ( x) C De di mana C dan D adalah konstanta. Menentukan nilai dari C dan D berdasarkan peluang u(a)=0 dan u(b)=1, artinya peluang u pasti terjadi saat x = b, dan tidak terjadi saat x = a sehingga: 2
u (a) C De
u (b) C De
a(
b(
2
)
2 2
2
)
0
(L1)
1
(L2)
kemudian u (a) C De u (b) C De 2 a
De
2 b
D[e
2 2
b(
2
)
0
)
1 _
2 b
2
De
2
a(
1
2
2 a
e ] 1 1 D 2 b . 2 a 2
e 1
Subtitusi D
2 b
e
u (a) C De
a(
2
2
2
e
2
ke Persamaan u(a):
2 a
e
2
2
2
a( )
e
0C
e
Didapatkan nilai C
2
2
2 b
e
2
) 2 a
e
2
2 b
e
2
Maka solusi khusus untuk u(x) adalah:
e
u ( x)
a(
2
2
2 b
e
2
2 a
e
2 x
u ( x)
e
2
e
2
e
2 2 a
e
2
.
2 x
1
2 b
e
2 a
2 b 2
)
2
2 a
e
2
e
2
2 a
e
2
.
a(
2
2
2 b
e
1
dan D
e
0C
2
)
2 a
e
2
2
2 b
e a(
2
2
)
2 a
e
2
.
21
Lampiran 2 Pembuktian Persamaan 2 X (t ) t W (t )
Di mana adalah gerak Brown, adalah parameter drift dan 2 adalah parameter ragam, dengan modal awal Selanjutnya, V V ( x X ), dengan menggunakan ekspansi deret Taylor V ( x) X dapat ditulis menjadi: 1 V ( x) X V ( x) V ' ( x)X V " ( x)(X ) 2 (X ) 2 2
kemudian
V ( x) E[V ( x X )] 1 V ( x) V ' ( x) E[(X )] V " ( x) E[(X 2 )] E[t ] 2
sehingga 1 V ( x; b) V ( x; b) V ' ( x; b) E[(X )] V " ( x; b) E[(X 2 )] E[t ] . 2
Berdasarkan Definisi (30) V ( x; b) V ( x; b) V ' ( x; b)dt
2 2
V " ( x; b)dt .
Selanjutnya diketahui
E[V ( x; b)] edtV ( x; b).
(a5)
Dengan menggunakan pendekatan deret Taylor 1
ex n 0
xn 1 x . n!
Sehingga edtV ( x; b) (1 dt )V ( x; b) V ( x; b) dt[V ( x; b)] .
Kemudian dari (a5) E[V ( x; b)] V ( x; b) dt[V ( x; b)]
V ( x; b) V ' ( x; b)dt
2 2
V " ( x; b)dt V ( x; b) dt[V ( x; b)]
V ( x; b) V ( x; b) dt[V ( x; b)] V ' ( x; b)dt dt[V ( x; b)] V ' ( x; b)dt
2 2
2 2
V " ( x; b)dt 0 .
V " ( x; b)dt 0
22
Lampiran 3 Pembuktian Persamaan (5), (7) dan (8)
2
V " ( x; b) V ' ( x; b) V ( x; b) 0 2 Dengan menggunakan persamaan diferensial orde-2 persamaan di atas menjadi
2
A 2 A 0 .
2 Solusi dari persamaan di atas dapat dicari dengan menggunakan rumus ABC . Dari hasil di atas didapatkan dua akar untuk persamaan diferensial di atas dan
maka solusi umum
menjadi:
V ( x) We
x
2 2 2
Ve
2
x
2 2 2
2
W dan E adalah konstanta, berdasarkan Persamaan (3) dan (4) yang menyatakan dan , maka 0( r ) V (0) We Ve 0( s ) 0 V (0) W V 0 dan V ' (b) rWeb( r ) sVe b( s ) 1 kemudian, untuk V(0) kedua ruas dikalikan reb (r )
V (0) W V 0
reb (r )
dan untuk V ' (b) kedua ruas dikalikan 1
V ' (b) rWeb( r ) sVeb( s ) 1
1
Kemudian untuk mendapatkan V eliminasi rWeb (r ) dari dua persamaan diatas: V (0) rWeb ( r ) rVeb ( r ) 0
V ' (b) rWeb( r ) sVeb( s ) 1 _
rVeb( r ) sVeb( s ) 1 V [reb( r ) reb( s ) ] 1 1 . re seb ( s ) Kemudian untuk mendapatkan W, substitusi V ke Persamaan V
b( r )
V (0) W
W
re
re
b(r )
b( r )
1 0 seb ( s )
1 seb ( s )
setelah nilai W dan V didapatkan, subtitusi W dan V ke solusi umumV(x;b)
23
1 e xr 1 e xs reb ( r ) seb ( s ) reb ( r ) seb ( s ) e xr e xs V ( x) br re sebs V ( x)
atau
V ( x)
e rx e sx rerb sesb
dengan r
2 2 2
2
dan
s
2 2 2
Lampiran 4 Pembuktian Persamaan 11
e rx e sx re rb* se sb* . Saat x = b*, maka: e rb* e sb* V (b*; b*) rb* re se sb* Misal: u = e rb* e sb* u’ = re rb* se sb* v = re rb* se sb* v’ = r 2 e rb* s 2 e sb* u ' v uv' V ' (b*; b*) v2 [(re rb* se sb* )(re rb* se sb* )] [(e rb* e sb* )(r 2 e rb* s 2 e sb* )] = (re rb* se sb* )(re rb* se sb* ) V ( x; b*)
(e rb* e sb* )(r 2 e rb* s 2 e sb* ) (re rb* se sb* )(re rb* se sb* ) berdasarkan Persamaan (10) = 1
r 2erb* s 2esb* 0
maka:
(e rb* e sb* )(0) (re rb* se sb* )(re rb* se sb* ) = 1 0 V ' (b*; b*) 1 V " (b*; b*) 0 .
V ' (b*; b*) 1
Lampiran 5 Pembuktian Persamaan 12 Akan dibuktikan bahwa : V (b*; b*) Bukti: Berdasarkan Lampiran 3
2
24
V ' (b*; b*) 1
V " (b*; b*) 0
dan
serta 2 (2) V ' ' ( x; b) 0 2 Jika x = b = b* merupakan kondisi yang optimal, maka Persamaan Diferensial (2) dapat ditulis menjadi: V ( x; b) V ' ( x; b)
V (b*; b*) V ' (b*; b*)
2 V ' ' (b*; b*) 0 2
Sehingga dengan cara subtitusi (2.6.1) dan (2.6) ke Persamaan (2) 2 V (b*; b*) (1) (0) 0 2 V (b*; b*) 0 V (b*; b*) V (b*; b*) . Lampiran 6 Pembuktian Persamaan 14 Akan dibuktikan bahwa b* f ( ). Berdasarkan Persamaan (7), (8), dan (11) 2 s b* ln . rs r Di mana
r
2 2 2
s
dan
2
2 2 2
2
sehingga b*
2 2 2 2
2 b*
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 ln 2 2 2
2 2 2 2 ln 2 2 2 2
.
Misalkan subtitusi ke persamaan di atas b*
2 2 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
25
2 2 2 2 ln 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 1 2 2 2 2 b* ln 2 2 (1 1 2 1 2
2 2
b*
(1 1 2 2 b* ln 2 (1 1 2 2 1 2
2
(1 1 2 2 ln 2 (1 1 2 2 1 2
2
b*
.
terbukti b* f ( ) dengan f ( )
2 1 2 2
(1 1 2 2 ln (1 1 2 2
.
Lampiran 7 Sintaks software Mathematica 7 untuk Grafik 3 f[y_] := f''[0]0; f''[]2; Plot[f''[y],{y,0,4}]
f''[y]
26
2.0
1.5
1.0
0.5
1
2
3
4
5
6
7
Grafik fungsi 1.0
0.5
0.5 0.5
1.0
Grafik fungsi
1.0
1.5
2.0
2.5
27
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 11 Desember 1987 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, anak dari pasangan bapak Grambang Suwahyo dan ibu Sri Nurdayani. Tahun 1999 penulis lulus dari MI (Madrasah Ibtidaiyah) pambangunan UIN Jakarta. Tahun 2002 penulis lulus dari MTs (Madrasah Tsanawiyah) UIN Jakarta. Tahun 2005 penulis lulus dari SMA Muhammadiyah 25 Setia Budi. Penulis melanjutkan kuliah di IPB pada tahun 2006 melalui jalur SPMB. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam bebagai kegiatan kemahasiswaan antara lain GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf kewirausahaan periode 2008-2009. Selain itu penulis terlibat dalam beberapa kegiatan, antara lain: Matematika Ria 2008 dalam rangkaian Pesta sains Nasional 2008, dan berbagai kegiatan yang diselenggarakan oleh GUMATIKA maupun BEM FMIPA IPB.
