Bayes-tétel és a feltámadás∗ Kodácsy Tamás 2004. március 21.
1. Feltételes valószínuség ˝ A mai valószín˝uségszámítás általánosan elfogadott elmélete (Kolmogorov-féle elmélet) a valószín˝uség fogalmát a következ˝o módon határozza meg. Tekintsünk egy kísérletet, és ehhez kapcsolódóan egy A eseményt. Hajtsuk végre a kísérletet n-szer, egymástól függetlenül, azonos körülmények között. Jelölje kA az A bekövetkezésének a számát. Ha knA relatív gyakoriság nagy n esetén egy fix szám körül ingadozik, akkor ezt az A-ra jellemz˝o számot P (A)-val jelöljük, és A valószín˝uségének (probability) nevezzük. [Faz03] A Kolmogorov-féle valószín˝uségszámítás elmélete három alapvet˝o axiómára épül: 1. P (A) ≥ 0 minden A eseményre. 2. A biztos esemény (Ω) mindig bekövetkezik, így P (Ω) = 1. 3. Ha A és B egymást kizáró események, akkor P (A + B) = P (A) + P (B). A valószín˝uség értéke 0 és 1 közötti szám, egy A esemény bekövetkezésének a valószín˝uségét P (A)-val jelöljük. A P (A) = 1 azt jelenti, hogy A bekövetkezése elkerülhetetlen (biztos esemény), ha pedig A bekövetkezése lehetetlen, akkor P (A) = 0. Tegyük fel, hogy A és B olyan események, amelyek bekövetkezésének valószín˝uségét P (A) és P (B) jelöli. A kérdés az, hogy mekkora A esemény bekövetkezésének valószín˝usége, ha B esemény is bekövetkezett? Tételezzük fel, hogy B esemény bekövetkezésének esélye nem 0, ekkor A esemény B-re vonatkozó feltételes valószín˝uségét P (A|B)-vel jelöljük. A feltételes valószín˝uség P (A|B) a következ˝o módon adható meg (A&B az A és B esemény szorzatát jelenti, azaz A&B akkor következik be, ha mind A mind B bekövetkezik). P (B|A) :=
P (B&A) P (A)
1.1. Példa a Bayes-tételre Vegyünk egy példát. Egy zsákban 50 db golyó van, a golyók között van 20 db fehér és 30 db fekete. A fehérek közül 10 db nagy golyó, és 10 db kis golyó van, a feketék közt 20 db nagy és 10 db kis golyó van. Mekkora annak az esélye, hogy ha kihúzunk egy nagy golyót, az fehér lesz? Annak a valószín˝usége, hogy húzáskor egy olyan golyót ∗ 2006.
március 21. Jesenius kerekasztal-beszélgetés, Istenérvek és valószín˝uségszámítás
1
választunk, ami nagy és fehér: P (A&B) = 10 usége, hogy a 50 = 0.2, annak a valószín˝ kiválasztott golyó nagy: P (B) = 10+20 = 0.6 Ebb˝ o l adódóan a kérdésre a válasz: 50 P (A&B) 1 P (A|B) = P (B) = 3 .
1.2. Bayes–formula A Bayes–formula a feltételes valószín˝uség fogalmából következik: P (B|A) = Bizonyítás: P (B|A) =
P (B&A) P (A)
=
P (A|B)P (B) P (A)
P (A&B)P (B) P (B)P (A)
=
P (A|B)P (B) △ P (A)
2. A Bayes–tétel alkalmazása A Bayes–tétel kiváló eszköznek bizonyult a tekintetben is, hogy egy intelligens tervez˝o mellett statisztikai alapú érvelést lehessen megfogalmazni. Richard Swinburne korunk egyik legnagyobb teista filozófusa a bayesianus gondolatmenetet használja fel arra, hogy istenérveket állítson fel, oly módon, hogy a vizsgált hipotézist (Isten létezése) a jelenlegi háttérismeretünk, valamint a hipotézist alátámasztó bizonyítékok alapján becsüli meg. A Bayes–tétel tehát egy olyan eszköz Swinburne kezében, amelynek segítségével a hipotézis, a háttérismeret, és a bizonyítékok meghatározásával különböz˝o istenérveket fogalmaz meg, ezek összefoglalásáról lásd [Sza98]. Swinburne gondolatmeneteiben a Bayes–tétel alkalmazására az alábbi összefüggésben kerül sor [Swi02, 10.o.]: P (h|e&k) =
P (e|h&k)P (h|k) P (e|k)
Bizonyítás: P (h|e&k) = P P(h&e&k) = (e&k)
P (e&h&k) P (h&k) P (h&k) P (e&k)
=
P (e&h&k) P (h&k)
P (h&k) P (k) P (e&k) P (k)
=
P (e|h&k)P (h|k) △ P (e|k)
A képletben h (hypotesis) egy hipotézist jelöl, e (evidence) azokat a bizonyítékokat, amelyek h hipotézist alátámasztják, k (knowledge) pedig a h hipotézist˝ol független háttértudásunkat jelöli. Ez alapján az egyenletben lév˝o valószín˝uségek az alábbiakat jelentik: P (h|e&k) h hipotézis valószín˝uségét fejezi ki annak a fényében, hogy e evidencia a k háttértudás alapján mennyire valószín˝u. Ez h a posteriori valószín˝usége. P (e|h&k) annak valószín˝uségét fejezi ki, hogy az e evidencia mennyire valószín˝u h hipotézist és k háttérismeret figyelembe vétele mellett. P (h|k) azt fejezi ki, hogy h milyen valószín˝u akkor, ha csak a k háttérismeretre támaszkodunk. Azaz h a priori valószín˝uségér˝ol van szó. Ha k tautologikus, és h&k = h, akkor P (h|k)=1. P (e|k) e evidencia valószín˝uségét fejezi ki k háttérismeret tudatában.
2
3. Feltámadás melletti érv [Swi03] Swinburne Jézus feltámadására vonatkozó gondolatmenete a testetöltés (incarnatio) és feltámadás (resurrectio) csodáját kapcsolja össze úgy, hogy azt állítja: a testetöltés csodája ugyanakkora valószín˝uség˝u mint a feltámadás csodája. Hiszen ha elfogadjuk azt, hogy Isten, aki teremtette a világot, teremtménnyé lesz, akit az egek egei sem tudnak befogadni az anyaméhbe kerül, akkor nem akadhatunk meg azon, hogy az emberré lett Isten (aki a élet és halál Ura), legy˝ozi a halált és feltámad. Tehát: „ha Isten megtestesül oly módon, hogy életének óriási csodában kell tet˝oznie, és a [testetöltés] feltételezése esetén egyetlen komoly jelöltje van ennek, a feltámadás, akkor lennie kellett feltámadásnak.” [Swi03] A kérdés így az: hogyan írhatjuk le a testetöltés valószín˝uségét? Az erre választadó következtetés Swinburne egyik legösszetettebb bayesianus érvelése. A képletben szerepl˝o változókat az alábbiakban határozza meg. • A h hipotézis azt teszi fel, hogy Isten testetölt. • Legyen k az a háttérismeret, amit a theologia naturalis, a természeti teológia nyújt nekünk. (Az az ismeret, amelyet Istenr˝ol nem konkrétan a Szentírásból, hanem Isten általános kijelentéséb˝ol: a természetb˝ol, a lelkiismeretb˝ol, és a történelem egészéb˝ol nyerünk.) • Legyen e a történeti bizonyíték, ami három bizonyíték (e1 &e2 &e3 ) szorzatából áll. Ebb˝ol e1 ún. el˝ozetes történeti bizonyíték, e3 pedig utólagos történeti bizonyíték. Az e2 annak a bizonyítéka, hogy Isten megtestesülésének el˝ozetes feltételei teljesülnek valamely meg nem nevezett prófétában (olyan mértékben, de nem feltétlenül ugyanolyan módon, mint Jézusnál). Az e3 annak a bizonyítéka, hogy Isten megtestesülésének utólagos következményei (pl. az élete óriási csodával tet˝oz˝odik be) teljesülnek ugyanannál a prófétánál. Az e2 pedig annak a bizonyítéka, hogy e feltételek ilyen fokig és ilyen módon egyetlen más prófétánál sem teljesültek. P (e|h&k) Mekkora lehet annak a valószín˝usége, hogy a történeti bizonyítékok összessége (e) teljesül amellett, hogy a természeti teológia által nyújtott háttérismeretünk mellett feltesszük: Isten testetöltött? • (e) „Úgy érveltem, hogy a megtestesült Istent˝ol azt várnánk, hogy szent életet éljen, mély erkölcsi igazságokra tanítson minket, a megtestesülését és a megváltása általi megbékélést hirdet˝o egyházat alapítson, valamint azt, hogy o˝ maga isteninek hirdesse magát, és azt hirdesse, hogy az életével elégtételt ad.” Az els˝o három elvárást alátámasztja az, amit Jézusról tudunk, de az utolsó két elvárást talán nem annyira (ld. Messiás–titok). • (h&k) „Ha Jézus életét olyan óriási csoda tet˝ozné be, mint a feltámadás, akkor a megjelenéseivel és az üres sírral kapcsolatban talán sokkal több bizonyítékot várnánk, mint amennyivel rendelkezünk.” =⇒ „Legyünk szerények”, és tegyük fel, hogy ez a valószín˝uség: P (e|h&k) = 1/10
3
P (h|k) Mekkora lehet annak a valószín˝usége, hogy Isten megtestesül? Ennek a becslését két valószín˝uség szorzatából vezetjük le: P (h|k) = P (h|t&k)P (t|k) A t itt a teizmust jelöli, vagyis azt az állítást, hogy létezik a hagyományos felfogásnak megfelel˝o Isten. • P (t|k) annak a valószín˝uségét jelenti, hogy van ilyen Isten, ha feltételezzük a természeti teológia igazságát. Azaz Istennek a természetben, a történelemben és a lelkiismeretben megmutatkozó nyomai és jelei mennyiben igazolják az o˝ létét? Tegyük fel visszafogottan azt, hogy ez a valószín˝uség: 1/2. • P (h|t&k) az a valószín˝uség, hogy ha van Isten, akkor megtestesül. Mennyire szükségszer˝u Isten megtestesülése? Legyen ez az érték is 1/2. =⇒ A fentiekb˝ol következ˝oen a természeti teológia fennállása mellet annak valószín˝usége, hogy Isten megtestesül kb. 25%, hiszen P (h|k) = P (h|t&k)P (t|k) = 1/2 · 1/2 = 1/4 P (e|k) Mekkora annak a valószín˝usége, hogy a természeti teológiából kapott ismeretek fennállása mellett igaz a testetöltés mellett szóló történeti bizonyíték? Írjuk fel két valószín˝uség összegeként a keresett valószín˝uséget, azaz ugyanakkora, mint ha annak a két egymást kizáró esetnek a valószín˝uségét adnánk meg:
P (e|k) = P (e&k&h) + P (e&k&¬h) = P (k) P (h&k)P (¬h&k)P (e&k&h) + P (h&k)P (¬h&k)P (e&k&¬h) = = P (h&k)P (¬h&k)P (k) P (e&h&k)P (h&k) P (e&¬h&k)P (¬h&k) = + = P (h&k)P (k) P (¬h&k)P (k) = P (e|h&k)P (h|k) + P (e|¬h&k)P (¬h|k) {z } | {z } | = P (e|k) (P (h) + P (¬h)) =
Az els˝o kifejezés értékét már kiszámoltuk: 1/10 · 1/4 = 1/40 A második kifejezésben P (¬h|k) = 1 − P (h|k), azaz 3/4. Mennyi P (e|¬h&k)? Ez azt a valószín˝uséget fejezi ki, hogy ha nem kerül sor megtestesülésre, de a természeti teológia által kapott ismereteink igazak, akkor mégis bekövetkeznek azok a történeti események, amelyeket e jelöl. Az e által jelölt történeti bizonyítékok azt foglalják össze, hogy egy próféta beteljesítette a megtestesülésre vonatkozó próféciákat, és ennek utólagos következményei és fennállnak (óriási csoda), és mindez csak egyszer és csak ezzel a prófétával történt meg. Ezek alapján feltenni, hogy nem történt meg a megtestesülés, szinte elképzelhetetlen, legyen ennek az esélye: P (e|¬h&k) = 1/1000. =⇒ A fentiek alapján tehát P (e|k) = 1/40 + 3/4 · 1/1000 = 103/4000 {z } | {z } | 4
Így végül a testetöltésre és egyben a feltámadásra kapott valószín˝uségünk: P (h|e&k) =
P (e|h&k)P (h|k) 1/10 · 1/4 4000 = = ≈ 0.97 P (e|k) 103/4000 4120
Hivatkozások [Faz03] I. Fazekas. Valószín˝uségszámítás. mobiDIÁK könyvtár, Debrecen, 2003. [Swi02] R. Swinburne. Introduction. In R. Swinburne, editor, Bayes’s Theorem, pages 1–20. British Academy, Oxford Univerity Press, 2002. [Swi03] R. Swinburne. A feltmámadás valószín˝usége. Mérleg, (1), 2003. [Sza98] M. Szalai. Swinburne istenérvei. Magyar Filozófiai Szemle, 1, 1998.
5
