Barisan Deret
ANALISIS REAL (BARISAN DAN DERET)
Kus Prihantoso Krisnawan
August 30, 2012
Yogyakarta
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern
Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum dari suatu barisan.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern
Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum dari suatu barisan. Contoh: Misalkan diberikan sebuah barisan (un ) yang didefinisikan sbb: u0 = u1 = u2 = 1 dan un+3 Un+2 det = n!, n ≥ 0. un+1 un Buktikan bahwa un ∈ Z untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah un+3 =
n! un+2 un+1 + un un
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah n! un+2 un+1 + un un Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh un+3 =
u3
=
1·1 1 + =2 1 1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah n! un+2 un+1 + un un Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh un+3 =
u3
=
u4
=
1·1 1 + =2 1 1 2·1 1 + =3 1 1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah n! un+2 un+1 + un un Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh un+3 =
u3
=
u4
=
u5
=
1·1 1 + =2 1 1 2·1 1 + =3 1 1 3·2 2·1 + =4·2 1 1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Jawab: Bentuk relasi rekursif dari barisan (un ) adalah n! un+2 un+1 + un un Perhitungan untuk beberapa suku, diperoleh un+3 =
u3
=
u4
=
u5
=
u6
=
u7
=
u8
=
1·1 1 + =2 1 1 2·1 1 + =3 1 1 3·2 2·1 + =4·2 1 1 4·2·3 3·2·1 + =5·3 2 2 5·3·4·2 4·3·2·1 + =6·4·2 3 3 6·4·2·5·3 5·4·3·2·1 + =7·5·3 4·2 4·2 Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2 Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2 Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga un+3
=
un+2 un+1 + n! (n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n! = un (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2 Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga un+3
= =
un+2 un+1 + n! (n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n! = un (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · (n + 2)n! (n + 1)n! + n! = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · ·
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2 Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga un+3
un+2 un+1 + n! (n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n! = un (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · (n + 2)n! (n + 1)n! + n! = = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · = (n + 2)n(n − 2) · · · =
shg dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut benar.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Search for a pattern Kita perkirakan, rumus umum dari barisan tersebut adalah un = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · Selanjutnya, gunakan induksi matematika untuk menunjukkan rumus yang diperoleh adalah benar. Untuk n = 3 maka u3 = 3 − 1 = 2 Asumsikan rumus tersebut benar untuk un+2 , un+1 , dan un sehingga un+3
un+2 un+1 + n! (n + 1)(n − 1) · · · n(n − 2) · · · + n! = un (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · (n + 2)n! (n + 1)n! + n! = = (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · (n − 1)(n − 3)(n − 5) · · · = (n + 2)n(n − 2) · · · =
shg dapat disimpulkan bahwa rumus tersebut benar. Dan karena n bilangan bulat maka (n + 2)n(n − 2) · · · juga bilangan bulat. Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Definisi: i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞ jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat n sedemikian hingga |xn − L| < untuk setiap n > n .
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Definisi: i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞ jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat n sedemikian hingga |xn − L| < untuk setiap n > n . ii. Sebuah barisan (xn ) dikatakan menuju takhingga jika untuk setiap > 0 terdapat n sedemikian hingga xn > untuk n > n .
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Definisi: i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞ jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat n sedemikian hingga |xn − L| < untuk setiap n > n . ii. Sebuah barisan (xn ) dikatakan menuju takhingga jika untuk setiap > 0 terdapat n sedemikian hingga xn > untuk n > n . Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the squeezing principle (teorema apit). The squeezing principle i. Jika an ≤ bn ≤ cn untuk setiap n dan jika (an ) dan (cn ) konvergen ke L < ∞ maka (bn ) juga konvergen ke L.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Definisi: i. Sebuah barisan (xn ) dikatakan konvergen menuju L < ∞ jika dan hanya jika untuk setiap > 0 terdapat n sedemikian hingga |xn − L| < untuk setiap n > n . ii. Sebuah barisan (xn ) dikatakan menuju takhingga jika untuk setiap > 0 terdapat n sedemikian hingga xn > untuk n > n . Salah satu metoda untuk menentukan limit adalah the squeezing principle (teorema apit). The squeezing principle i. Jika an ≤ bn ≤ cn untuk setiap n dan jika (an ) dan (cn ) konvergen ke L < ∞ maka (bn ) juga konvergen ke L. ii. Jika an ≤ bn untuk setiap n dan (an ) menuju takhingga maka (bn ) juga menuju takhingga. Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan
Contoh: Misalkan (xn ) adalah barisan bilangan real sedemikian sehinga lim (2xn+1 − xn ) = L.
n→∞
Tunjukkan bahwa barisan (xn ) konvergen ke L.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Jawab: Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap > 0 terdapat n sedemikian sehingga jika n ≥ n , berlaku L − < 2xn+1 − xn < L +
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Jawab: Berdasarkan hipotesis, didapat bahwa untuk setiap > 0 terdapat n sedemikian sehingga jika n ≥ n , berlaku L − < 2xn+1 − xn < L + Sehingga L−
<
2xn+1 − xn < L +
2(L − )
<
4xn+2 − 2xn+1 < 2(L + )
··· 2
k−1
(L − )
<
2k xn+k − 2k−1 xn+k−1 < 2k−1 (L + )
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan
diperoleh (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L − ) < 2k xn+k − xn < (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L + )
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan
diperoleh (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L − ) < 2k xn+k − xn < (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L + ) 1 1 1 (1 − k )(L − ) < xn+k − k xn < (1 − k )(L + ) 2 2 2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan
diperoleh (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L − ) < 2k xn+k − xn < (1 + 2 + · · · + 2k−1 )(L + ) 1 1 1 (1 − k )(L − ) < xn+k − k xn < (1 − k )(L + ) 2 2 2 pilih k sdm shg | 21k xn | < dan | 21k (L ± )| < . maka untuk m ≥ n + k L − 3 < xm < L + 3.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞
Krisnawan
√ n
n=1
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞ Solusi: Nilai xn =
√ n
√ n
n=1
n − 1 > 0 untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞ Solusi: Nilai xn =
√ n
√ n
n=1
n − 1 > 0 untuk setiap n.
Perhatikan bahwa dengan menggunakan rumus binomial dapat diperoleh n = (1 + xn )n n n n 2 = 1+ xn + xn + · · · + xnn−1 + · · · + xnn . 1 2 n−1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Deret
Limit Barisan Contoh: Tunjukkan bahwa limn→∞ Solusi: Nilai xn =
√ n
√ n
n=1
n − 1 > 0 untuk setiap n.
Perhatikan bahwa dengan menggunakan rumus binomial dapat diperoleh n = (1 + xn )n n n n 2 = 1+ xn + xn + · · · + xnn−1 + · · · + xnn . 1 2 n−1 Sehingga n>
Krisnawan
n 2
xn2 ,
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Deret
Limit Barisan
dengan demikian r xn <
2 , n−1
untuk n ≥ 2.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Deret
Limit Barisan
dengan demikian r xn <
2 , n−1
untuk n ≥ 2. selanjutnya, karena 0 ≤ xn <
q
Krisnawan
2 n−1
Pertemuan 1, 2, & 3
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Deret
Limit Barisan
dengan demikian r xn <
2 , n−1
untuk n ≥ 2. q 2 selanjutnya, karena 0 ≤ xn < n−1 q 2 dan karena barisan n−1 konvegen ke 0 maka (xn ) konvergen ke 0.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Contoh: Misalkan (an ) adalah barisan bilangan real dengan sifat untuk setiap n ≥ 2 terdapat bilangan bulat k dengan ak n 2 ≤ k < n sedemikian sehingga an = 2 . Tunjukkan bahwa lim an = 0.
n→∞
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Contoh: Misalkan (an ) adalah barisan bilangan real dengan sifat untuk setiap n ≥ 2 terdapat bilangan bulat k dengan ak n 2 ≤ k < n sedemikian sehingga an = 2 . Tunjukkan bahwa lim an = 0.
n→∞
Bukti: Definisikan barisan (bn ) sbb: bn = max{|ak |, 2n−1 ≤ k < 2n }.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Contoh: Misalkan (an ) adalah barisan bilangan real dengan sifat untuk setiap n ≥ 2 terdapat bilangan bulat k dengan ak n 2 ≤ k < n sedemikian sehingga an = 2 . Tunjukkan bahwa lim an = 0.
n→∞
Bukti: Definisikan barisan (bn ) sbb: bn = max{|ak |, 2n−1 ≤ k < 2n }. Jika kita jabarkan deret ini maka didapatkan b1
=
max{|a1 |}
b2
=
max{|a2 |, |a3 |}
b3
=
max{|a4 |, |a5 |, |a6 |, |a7 |}
··· bn
=
max{|a2n−1 |, |a2n−1 +1 |, · · · |a2n −1 |} Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Selanjutnya karena an = b 0 ≤ bn ≤ n−1 2 ,
ak 2
untuk
Krisnawan
n 2
≤ k < n, maka
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Selanjutnya karena an = b 0 ≤ bn ≤ n−1 2 ,
ak 2
untuk
n 2
≤ k < n, maka
sehingga 0 ≤ bn ≤
bn−1 bn−2 bn−3 b1 ≤ 2 ≤ 3 ≤ · · · ≤ n−1 2 2 2 2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Selanjutnya karena an = b 0 ≤ bn ≤ n−1 2 ,
ak 2
untuk
n 2
≤ k < n, maka
sehingga 0 ≤ bn ≤ Dengan limn→∞
bn−1 bn−2 bn−3 b1 ≤ 2 ≤ 3 ≤ · · · ≤ n−1 2 2 2 2
b1 2n−1
= 0, maka didapat limn→∞ bn = 0.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Limit Barisan Selanjutnya karena an = b 0 ≤ bn ≤ n−1 2 ,
ak 2
untuk
n 2
≤ k < n, maka
sehingga 0 ≤ bn ≤ Dengan limn→∞
bn−1 bn−2 bn−3 b1 ≤ 2 ≤ 3 ≤ · · · ≤ n−1 2 2 2 2
b1 2n−1
= 0, maka didapat limn→∞ bn = 0.
Di lain pihak kita dapatkan |an | ≤ bn , untuk setiap n, sehingga dengan teorema squeez didapatkan bahwa (an ) konvergen ke 0. Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan monoton naik jika xn ≤ xn+1 untuk setiap n, dan monoton turun jika xn ≥ xn+1 untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan monoton naik jika xn ≤ xn+1 untuk setiap n, dan monoton turun jika xn ≥ xn+1 untuk setiap n. Definisi: Barisan (xn ) dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sedemikian sehingga |xn | ≤ M untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton
Definisi: Barisan (xn ) dikatakan monoton naik jika xn ≤ xn+1 untuk setiap n, dan monoton turun jika xn ≥ xn+1 untuk setiap n. Definisi: Barisan (xn ) dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sedemikian sehingga |xn | ≤ M untuk setiap n. Teorema Weierstrass: Barisan monoton yang terbatas merupakan barisan konvergen.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton
Contoh: Buktikan bahwa barisan (an ), yang didefinisikan, s r q √ an = 1 + 2 + 3 + · · · + n, n ≥ 1 adalah barisan konvergen.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton
Contoh: Buktikan bahwa barisan (an ), yang didefinisikan, s r q √ an = 1 + 2 + 3 + · · · + n, n ≥ 1 adalah barisan konvergen. Bukti: Barisan an adalah barisan monoton naik karena an ≤ an+1 . Kita akan buktikan bahwa barisan ini terbatas.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton Perhatikan bahwa s an =
r
q √ 2 + 3 + ··· + n
1+ v v u s u u r u2 u 2 3 · 23 n · 2n t2 · 2 t + + + · · · + = 2 2n 22 23
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton Perhatikan bahwa s an =
r
q √ 2 + 3 + ··· + n
1+ v v u s u u r u2 u 2 3 · 23 n · 2n t2 · 2 t + + + · · · + = 2 2n 22 23 v v u s u u r √ u1 u 2 3 n t t + + ··· + = 2 + 2 3 2 2n 2 2 s r q √ √ 2 1 + 1 + 1 + · · · + 1. < Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton r Misalkan bn = 1 + √ bn+1 = 1 + bn
q 1+
p √ 1 + · · · + 1 maka
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton r Misalkan bn = 1 + √ bn+1 = 1 + bn
q 1+
p √ 1 + · · · + 1 maka
Kita tahu √bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton r Misalkan bn = 1 + √ bn+1 = 1 + bn
q 1+
p √ 1 + · · · + 1 maka
Kita tahu √bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2. Sehingga terbukti secara induktif bahwa bn < 2 untuk setiap n.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton r Misalkan bn = 1 + √ bn+1 = 1 + bn
q 1+
p √ 1 + · · · + 1 maka
Kita tahu √bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2. Sehingga terbukti secara induktif bahwa bn < 2 untuk setiap n. √ √ dengan demikian an < bn 2 < 2 2 untuk setiap n ((an ) terbatas).
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Search for a pattern Limit Barisan Barisan Monoton
Barisan Monoton r Misalkan bn = 1 + √ bn+1 = 1 + bn
q 1+
p √ 1 + · · · + 1 maka
Kita tahu √bahwa b1√= 1 < 2, sehingga jika bn < 2 maka bn+1 = 1 + bn < 1 + 2 < 2. Sehingga terbukti secara induktif bahwa bn < 2 untuk setiap n. √ √ dengan demikian an < bn 2 < 2 2 untuk setiap n ((an ) terbatas). Karena barisan (an ) naik dan terbatas maka (an ) konvergen. Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Deret Berjatuhan (Telescoping Sereies) Contoh Tentkan hasil dari √
1
1 1 1 √ +√ √ + ··· + √ √ √ +√ n+ n+1 1+ 2 2+ 3 3+ 4
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Deret Berjatuhan (Telescoping Sereies) Contoh Tentkan hasil dari √
1
1 1 1 √ +√ √ + ··· + √ √ √ +√ n+ n+1 1+ 2 2+ 3 3+ 4
Jawab: Perhatikan bahwa √ √ √ √ 1 k +1− k √ = = k +1− k √ k +1−k k + k +1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Deret Berjatuhan (Telescoping Sereies) Contoh Tentkan hasil dari √
1
1 1 1 √ +√ √ + ··· + √ √ √ +√ n+ n+1 1+ 2 2+ 3 3+ 4
Jawab: Perhatikan bahwa √ √ √ √ 1 k +1− k √ = = k +1− k √ k +1−k k + k +1 Sehingga jumlahan di atas sama dengan √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( 2− 1)+( 3− 2)+( 4− 3)+· · ·+( n + 1− n) = n + 1−1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 = Tunjukkan bahwa
an2 +1 2 ,
dengan n ≥ 1.
1 1 1 1 1 + + + ··· + + =1 a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1 an + 1 an+1 − 1 untuk semua n ≥ 1.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 = Tunjukkan bahwa
an2 +1 2 ,
dengan n ≥ 1.
1 1 1 1 1 + + + ··· + + =1 a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1 an + 1 an+1 − 1 untuk semua n ≥ 1. Jawab: Perhatikan bahwa ak+1 − 1 =
ak2 − 1 2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 = Tunjukkan bahwa
an2 +1 2 ,
dengan n ≥ 1.
1 1 1 1 1 + + + ··· + + =1 a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1 an + 1 an+1 − 1 untuk semua n ≥ 1. Jawab: Perhatikan bahwa ak+1 − 1 =
ak2 − 1 (a + 1)(ak − 1) = k 2 2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 = Tunjukkan bahwa
an2 +1 2 ,
dengan n ≥ 1.
1 1 1 1 1 + + + ··· + + =1 a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1 an + 1 an+1 − 1 untuk semua n ≥ 1. Jawab: Perhatikan bahwa ak+1 − 1 =
ak2 − 1 (a + 1)(ak − 1) = k 2 2
sehingga 1 = ak+1 − 1 Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Misalkan a0 = 1, a1 = 3, dan an+1 = Tunjukkan bahwa
an2 +1 2 ,
dengan n ≥ 1.
1 1 1 1 1 + + + ··· + + =1 a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1 an + 1 an+1 − 1 untuk semua n ≥ 1. Jawab: Perhatikan bahwa ak+1 − 1 =
ak2 − 1 (a + 1)(ak − 1) = k 2 2
sehingga 1 1 1 = − ak+1 − 1 ak − 1 ak + 1 untuk k ≥ 1. Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
(1)
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Persamaan (1) sama dengan 1 1 1 = − ak + 1 ak − 1 ak+1 − 1 untuk k ≥ 1.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Persamaan (1) sama dengan 1 1 1 = − ak + 1 ak − 1 ak+1 − 1 untuk k ≥ 1. Sehingga 1 1 + ··· + a1 + 1 an + 1
=
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Persamaan (1) sama dengan 1 1 1 = − ak + 1 ak − 1 ak+1 − 1 untuk k ≥ 1. Sehingga 1 1 + ··· + a1 + 1 an + 1
=
1 1 1 1 − + − a1 − 1 a2 − 1 a2 − 1 a3 − 1 1 1 − +··· + an − 1 an+1 − 1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Persamaan (1) sama dengan 1 1 1 = − ak + 1 ak − 1 ak+1 − 1 untuk k ≥ 1. Sehingga 1 1 + ··· + a1 + 1 an + 1
1 1 1 1 − + − a1 − 1 a2 − 1 a2 − 1 a3 − 1 1 1 − +··· + an − 1 an+1 − 1 1 1 = − a1 − 1 an+1 − 1 =
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Persamaan (1) sama dengan 1 1 1 = − ak + 1 ak − 1 ak+1 − 1 untuk k ≥ 1. Sehingga 1 1 + ··· + a1 + 1 an + 1
1 1 1 1 − + − a1 − 1 a2 − 1 a2 − 1 a3 − 1 1 1 − +··· + an − 1 an+1 − 1 1 1 = − a1 − 1 an+1 − 1 1 1 = − . 2 an+1 − 1 =
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Dengan demikian 1 1 1 + ··· + + a0 + 1 an + 1 an+1 − 1
Krisnawan
=
1 1 1 1 + − + a0 + 1 2 an+1 − 1 an+1 − 1
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh
Dengan demikian 1 1 1 + ··· + + a0 + 1 an + 1 an+1 − 1
= = =
1 1 1 1 + − + a0 + 1 2 an+1 − 1 an+1 − 1 1 1 + a0 + 1 2 1
untuk semua n ≥ 1.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Tentukan
49 X
1 p √ n + n2 − 1 n=1
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Tentukan
49 X
1 p √ n + n2 − 1 n=1
Jawab: Kita punya 1 p √ n + n2 − 1
=
1 s q
Krisnawan
n+1 2
+
q
n−1 2
2
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Tentukan
49 X
1 p √ n + n2 − 1 n=1
Jawab: Kita punya 1 p √ n + n2 − 1
=
=
1 s q
n+1 2
+
q
n−1 2
2
1 q
n+1 2
Krisnawan
+
q
n−1 2
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Tentukan
49 X
1 p √ n + n2 − 1 n=1
Jawab: Kita punya 1 p √ n + n2 − 1
=
=
=
1 s q
n+1 2
+
q
n−1 2
2
1 q
n+1 2
+
q
n+1 2 n+1 2
−
Krisnawan
−
q
n−1 2
q
n−1 2 n−1 2 Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh Tentukan
49 X
1 p √ n + n2 − 1 n=1
Jawab: Kita punya 1 p √ n + n2 − 1
=
=
=
1 s q
n+1 2
+
q
n−1 2
2
1 q
n+1 2
+
q
n+1 2 n+1 2
−
Krisnawan
−
q
n−1 2
q
n−1 2 n−1 2
r =
n+1 − 2
Pertemuan 1, 2, & 3
r
n−1 . 2
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh sehingga 49 X
p n+ n=1
1 √
n2 − 1
=
49 X
r
n=1
Krisnawan
n+1 − 2
r
n−1 2
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh sehingga 49 X n=1
p n+
1 √
49 X
n2 − 1
r
r n+1 n−1 = − 2 2 n=1 r r r r 1+1 1−1 2+1 2−1 = − + − 2 2 2 2 r r r r 3+1 3−1 4+1 4−1 − + − + 2 2 2 2 r r 49 + 1 49 − 1 +··· + − 2 2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh sehingga 49 X n=1
p n+
1 √
49 X
n2 − 1
r
r n+1 n−1 = − 2 2 n=1 r r r r 1+1 1−1 2+1 2−1 = − + − 2 2 2 2 r r r r 3+1 3−1 4+1 4−1 − + − + 2 2 2 2 r r 49 + 1 49 − 1 +··· + − 2 2 r r r 2−1 48 + 1 49 + 1 = − + + 2 2 2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Contoh sehingga 49 X n=1
p n+
1 √
n2 − 1
= =
= =
49 X
r
r n+1 n−1 − 2 2 n=1 r r r r 1+1 1−1 2+1 2−1 − + − 2 2 2 2 r r r r 3+1 3−1 4+1 4−1 − + − + 2 2 2 2 r r 49 + 1 49 − 1 +··· + − 2 2 r r r 2−1 48 + 1 49 + 1 − + + 2 2 2 √ 1 7 − √ + √ + 5 = 5 + 3 2. 2 2
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi q p √ √ Tentukan limx→∞ x+ x+ x− x Jawab:
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi q p √ √ Tentukan limx→∞ x+ x+ x− x Jawab: r lim
x→∞
! q √ √ x+ x+ x− x =
Krisnawan
p √ x + x + x −x lim q p √ √ x→∞ x+ x+ x+ x
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi q p √ √ Tentukan limx→∞ x+ x+ x− x Jawab: r lim
x→∞
! q √ √ x+ x+ x− x =
p √ x + x + x −x lim q p √ √ x→∞ x+ x+ x+ x r q 1+
=
lim s
x→∞
1+
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
r 1 x
+
1 x
q
1 x3
+1
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Limit Fungsi q p √ √ Tentukan limx→∞ x+ x+ x− x Jawab: r lim
x→∞
! q √ √ x+ x+ x− x =
p √ x + x + x −x lim q p √ √ x→∞ x+ x+ x+ x r q 1+
=
lim s
x→∞
1+ =
Krisnawan
1 2
Pertemuan 1, 2, & 3
r 1 x
+
1 x
q
1 x3
+1
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224!
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer:
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136 224 = 1 · 136 + 88
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136 224 = 1 · 136 + 88 136 = 1 · 88 + 48
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136 224 = 1 · 136 + 88 136 = 1 · 88 + 48 88 = 1 · 48 + 40
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136 224 = 1 · 136 + 88 136 = 1 · 88 + 48 88 = 1 · 48 + 40 48 = 1 · 40 + 8
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136 224 = 1 · 136 + 88 136 = 1 · 88 + 48 88 = 1 · 48 + 40 48 = 1 · 40 + 8 40 = 5 · 8
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136 224 = 1 · 136 + 88 136 = 1 · 88 + 48 88 = 1 · 48 + 40 48 = 1 · 40 + 8 40 = 5 · 8 Thus, gcd(1704, 224) = 8.
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136 224 = 1 · 136 + 88 136 = 1 · 88 + 48 88 = 1 · 48 + 40 48 = 1 · 40 + 8 40 = 5 · 8 Thus, gcd(1704, 224) = 8. 2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1!
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136 224 = 1 · 136 + 88 136 = 1 · 88 + 48 88 = 1 · 48 + 40 48 = 1 · 40 + 8 40 = 5 · 8 Thus, gcd(1704, 224) = 8. 2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1! Answer:
Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136 224 = 1 · 136 + 88 136 = 1 · 88 + 48 88 = 1 · 48 + 40 48 = 1 · 40 + 8 40 = 5 · 8 Thus, gcd(1704, 224) = 8. 2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1! Answer: x 3 − 1 = x · (x 2 − 1) + (x − 1) Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136 224 = 1 · 136 + 88 136 = 1 · 88 + 48 88 = 1 · 48 + 40 48 = 1 · 40 + 8 40 = 5 · 8 Thus, gcd(1704, 224) = 8. 2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1! Answer: x 3 − 1 = x · (x 2 − 1) + (x − 1) x 2 − 1 = (x + 1) · (x − 1) Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
Barisan Deret
Deret Berjatuhan
Example 1. Find the gcd of 1704 and 224! Answer: 1704 = 7 · 224 + 136 224 = 1 · 136 + 88 136 = 1 · 88 + 48 88 = 1 · 48 + 40 48 = 1 · 40 + 8 40 = 5 · 8 Thus, gcd(1704, 224) = 8. 2. Find the gcd of x 3 − 1 and x 2 − 1! Answer: x 3 − 1 = x · (x 2 − 1) + (x − 1) x 2 − 1 = (x + 1) · (x − 1) Krisnawan
Pertemuan 1, 2, & 3
