BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Marek Dvořák Je Sportka spravedlivá?

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

Marek Dvořák Je Sportka spravedlivá? Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Jana Čerbáková Studijní program: Matematika

2006

Děkuji Mgr. Janě Čerbákové za volbu zajímavého tématu, za čas, který si vyhradila na konzultace a také za pečlivou kontrolu textu, cenné podněty a připomínky, které pomohly zkvalitnit tuto práci. Mé poděkování patří také doc. Ing. Jaroslavu Bernardovi, CSc. za zapůjčení publikace [3].

Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 24.5.2006

Marek Dvořák

Obsah 1 Sportka 1.1 Fenomén „Sportkaÿ . . . . 1.2 Vznik Sportky . . . . . . . 1.3 Vývoj technického zázemí 1.4 Pravidla hry . . . . . . . . 1.5 Změny v pravidlech . . . . 1.6 Výhry . . . . . . . . . . .

. . . . . .

6 6 7 7 8 10 10

2 Výpočty pravděpodobností 2.1 Pravděpodobnost vytažení čísla . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Pravděpodobnosti výher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 14

3 Je Sportka spravedlivá? 3.1 Potřebná tvrzení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Statistická spravedlivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ekonomický přístup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 19 22

4 Dodatky

28

Literatura

39

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Název práce: Je Sportka spravedlivá? Autor: Marek Dvořák Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Jana Čerbáková e-mail vedoucího: [email protected] Abstrakt: V předložené práci se zabýváme sázkovou loterií Sportka provozovanou v České republice akciovou společností SAZKA. V úvodu práce zdůrazňujeme význam Sportky na trhu loterií v ČR a přinášíme základní informace o jejím vzniku a vývoji. Po seznámení s pravidly hry a jejich změnami počítáme pravděpodobnosti vytažení čísel v závislosti na jednotlivých pozicích. Následuje výpočet pravděpodobností výher v jednotlivých pořadích v závislosti na změnách v pravidlech Sportky. Hlavní část práce obsahuje základní tvrzení z teorie testů dobré shody, které následně umožní testovat hypotézu o parametrech multinomického rozdělení na základě napozorovaných četností tažených čísel. V závěru přinášíme alternativní pohled na spravedlivost Sportky, který vychází z konceptu ceny sázenky. Klíčová slova: četnost, pravděpodobnosti výher, Sportka, spravedlivost

Title: Is Sportka fair? Author: Marek Dvořák Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Jana Čerbáková Supervisor’s e-mail address: [email protected] Abstract: In the thesis we study Sportka lottery operated by SAZKA Inc. In the opening part we emphasize its influence on the lottery market in the Czech Republic and we bring the information about its inception and technical innovations. Explanation of Sportka’s rules and its changes is followed by counting the probability of drawing numbers depending on its sequence. Probability of gaining prices depending on the changes in the rules is discussed next. The main part of this paper deals with the Chi-Squared goodness-of-fit theory that enables to test hypothesis about the parameters of multinomial distribution. The alternative view to the fairness problem is discussed at the very end of this work. Keywords: fairness, frequency, probability of winning, Sportka

Úvod Obsahem následujících stran bude pohled na nejznámější číselnou loterii provozovanou v České republice. Jedná se o sázkovou hru „Sportkaÿ, která existuje již téměř 50. let na českém loterijním trhu. V této práci je naší snahou přiblížit čtenáři Sportku z co možná nejširšího úhlu pohledu. V 1. kapitole jsou uvedeny informace o vzniku Sportky, pravidlech hry a jejich změnách a podmínek pro vyplácení výher. Nechybí ani zmínka o vývoji zařízení určených pro provozování Sportky. Ve 2. kapitole je předmětem našeho zájmu výpočet pravděpodobnosti vytažení čísla z osudí v závislosti na předpokládané pozici ve skupině vylosovaných čísel. Na základě změn v pravidlech vypočteme také šance sázejících na vítězství. Cílem této práce je odpovědět na otázku, zda je Sportka „spravedlivá hraÿ, čemuž je věnována 3. kapitola. Zabýváme se v ní dvěma možnými pohledy na význam slova „spravedlivostÿ. Ve statistickém náhledu využijeme tvrzení z teorie testů dobré shody, že Pearsonova statistika χ2 má asymptoticky χ2 -rozdělení. Na základě porovnání její hodnoty s kritickou hodnotou χ2 -rozdělení testujeme hypotézu o shodnosti pravděpodobností tažených čísel v multinomickém rozdělení. Výsledky těchto testů jsou zpracovány v tabulkách v závislosti na změnách v pravidlech hry. Závěrečné části práce patří popisu zacházení SAZKY s finančními prostředky vybranými na vkladech a ekonomickému pohledu na spravedlivost Sportky.

Kapitola 1 Sportka 1.1

Fenomén „Sportkaÿ

Sportka je druhá nejstarší loterie v historii poválečného Československa a nejoblíbenější loterie v dřívější československé i současné české populaci. Jak je vidět i z obrázku 4.1, její vliv na loterijní trh provozovaných SAZKOU (jakožto dominantní sázkové organizace) je značný. K její popularitě přispěla řada faktorů, mimo jiné skutečnost, že losování probíhala o přestávkách sportovních utkání, která se těšila velkému zájmu obyvatel. Televizní přenosy losování od 70. let probíhaly často s populárními osobnostmi české kultury a sportu. Na obrázku 1.1 losuje spolu s moderátorem Milošem Frýbou hokejový brankář Jiří Holeček.

Zdroj: [3]

Obrázek 1.1: Televizní losování z r. 1978

1. Sportka

1.2

7

Vznik Sportky

Vznik číselné loterie Sportka souvisí se vznikem celé společnosti SAZKA, která tuto loterii provozuje. SAZKA byla založena v srpnu roku 1956 a už o dva měsíce později zavedla první stejnojmennou číselnou loterii Sazka. Vzhledem k její velké oblibě pak Československá vláda dne 13. 3. 1957 přijala návrh na rozšíření sázení o nový druh číselné loterie - Sportku. Její první tah se uskutečnil 22. 4. 1957. Losování probíhalo každou neděli dopoledne na různých místech republiky o přestávce sportovních utkání. Na televizní obrazovce se Sportka objevuje pravidelně od roku 1973. Vysílání tahů z vlastního studia v sídle SAZKY se uskutečňuje od roku 1996. Celý vývoj Sportky se ubíral (a doposud ubírá) ke zvyšování maximálních výher. V rozmezí let 1960 a 1965 došlo dokonce k jejímu 13-ti násobnému navýšení až na 200 000 Kčs, neboť se zrušil horní strop pro nejvyšší vyplacené částky. V současné době dosahují nejvyšší výhry i sta miliónů korun. Je to možné proto, že se nevyplacené částky přičítají do následujících slosování (tzv. Jackpot). Přesný popis tohoto mechanizmu popíšeme v kapitole 3.3. Přehled rekordních Jackpotů uvádí tabulka 1.1. Jackpot v mil.Kč 148,6 112,9 106,0 100,5

datum 7.4.2002 17.8.2003 10.7.2005 6.11.2005

počet výherců 2 1 1 1

individuální výhra 74 291 514 Kč 112 931 592 Kč 106 034 128 Kč 103 639 648 Kč

3, 18, 11, 6,

vsazená vítězná čísla 8, 9, 12, 17, 20, 20, 29, 32, 45, 46, 12, 13, 36, 45, 49, 8, 19, 26, 40, 49,

43 42 32 15

Tabulka 1.1: Nejvyšší výhry v historii Sportky

1.3

Vývoj technického zázemí

S nárůstem obliby sázení začala SAZKA čelit problému s rychlostí zpracování sázenek. Proto v roce 1967 přistoupila od manuálního ke strojovému zpracování. Od počátku 70. let byly zaváděny stroje TCM 5, které dokázaly třídit sázenky do skupin dle výhry. Seznamy výher společně s vyúčtováním však byly nadále zhotovovány manuálně. K další podstatné modernizaci procesu strojního zpracování sázenek došlo v roce 1984. Tehdy byl zaveden tzv. off-line systém. Pro něj byly zakoupeny třídící zařízení DPM 6000 propojené s centrálním výpočetním systémem. Systém off-line umožňoval načíst každou sázenku do diskové paměti, zaznamenat na mikrofilm a vyhotovit kompletní vkladové uzávěrky sběren.

1. Sportka

8

Zpracování výher pak probíhalo z 96% bez dotyku lidské ruky, zbylé sázenky označené strojem za chybné se následně třídily ručně. V roce 1993 pak došlo k přechodu k dodnes používanému online systému zpracovávání sázenek pomocí zařízení Spektra II. V současné době dochází k další výměně terminálů za účelem splnění přísných kritérií bezpečnosti celého systému. Více o této výměně, která by měla být hotova do roku 2007, si lze přečíst v [5].

Obrázek 1.2: Sázenka pro hru Sportka a Šance

1.4

Pravidla hry

Pravidla Sportky se po dobu historie hry neustále vyvíjela, věnujme se nejprve těm současným. V úvodu výkladu pravidel krátce pojednáme o další číselné loterii s názvem „Šanceÿ, protože ta se v současné době losuje vždy s losováním Sportky

1. Sportka

9

a některá pravidla Sportky se bezprostředně dotýkají hry Šance. Dalším důvodem, proč se o ni zmiňujeme, je společná sázenka pro Sportku i Šanci, viz obrázek 1.2. Ve hře Šance se losuje z 6 bubnů, každý obsahuje 10 koulí s čísly 0 až 9. Z každého bubnu je vylosováno 1 číslo, dohromady se tedy losuje šestice čísel. Chce-li hrát zákazník hru Šance, musí vsadit alespoň jeden sloupec Sportky. Výhra v Šanci je dosažena v případě shody vylosovaných čísel s čísly obsaženými v koncovém šestičíslí výrobního čísla sázenky, přičemž záleží na pořadí vylosovaných čísel. Nyní už se věnujme Sportce. Sázející tipuje šest čísel ze čtyřiceti devíti tak, že zakřížkuje příslušná čísla v prvním sloupci sázenky (viz obrázek 1.2). Chce-li sázející uzavřít více sázek na jedno losování, vyplní svými tipy i další sloupce sázenky, maximálně 10 sloupců. Sloupce se tipují postupně, žádné nelze vynechat. Každý vsazený sloupec, který obsahuje 6 tipovaných čísel, je v současnosti zpoplatněn částkou 16 Kč. Jestliže se hráč účastní i loterie Šance, zaplatí o 10 Kč navíc. Na sázence Sportky lze samostatně uzavřít sázky na středeční nebo nedělní slosování, popř. systémovou sázku (systém). Při tipování formou systému vyplňuje sázející svým tipem pouze první sloupec sázenky, a to kombinací 7 až 15 čísel. Počet takto zakřížkovaných čísel musí být rovněž označen v dolní části sázenky u položky „Systémÿ. Vklad pro systémovou sázku je násobkem základního vkladu za jednu sázku a počtu všech šestic, které lze k vytvořit kombinací zaškrtnutých čísel. Těch je 6 , k = 7, . . . , 15. Nechceli sázející uzavřít sázku ve hře Šance, musí zaškrtnout kolonku označenou „Šance Neÿ. Sázky lze uzavírat i metodou náhodného tipu zaškrtnutím políčka „Nÿ. V tom případě vybere terminál náhodná čísla pro všechny uzavřené sázky. Více o některých zajímavostech spočívajících v náhodném generování si lze přečíst např. v [2]. Nakonec je terminálem vytištěno potvrzení sázky. Převzetím potvrzení sázky zákazník vyslovuje souhlas se všemi pravidly, kterými se Sportka řídí. Toto potvrzení pak také slouží jako jediný doklad pro výplatu případných výher. Na konci každého sázkového období (dvakrát týdně ve středu a v neděli) se provádí dva samostatné tahy (tzv. 1. tah a 2. tah). Ke slosování každého tahu se používá elektromechanické osudí. Před slosováním je do každého ze dvou osudí vloženo 49 po sobě jdoucích čísel 1 až 49. Při slosování 1. tahu je z jednoho osudí postupně vylosováno 6 čísel bez vracení. Po vylosování těchto čísel je ze zbývajících čtyřiceti tří čísel vylosováno dodatkové číslo. Totéž se provede vzápětí i při losování 2. tahu s druhým osudím. Všechna vylosovaná čísla jsou poté vyhlášena spolu s šestičíslím hry Šance a tabulkou výher pro daný den.

1. Sportka

1.5

10

Změny v pravidlech

Sportka zaznamenala během své historie mnoho změn v pravidlech losování. Na samém počátku se losovalo z osudí 6 čísel ze 49. Od roku 1962 bylo zavedeno tipování sedmého prémiového čísla, na který bylo možné vyhrát různé věcné ceny. V roce 1965 byla Sportka rozšířena na tzv. dvousázku. Losování 2. tahu se konalo vždy v Praze v budově SAZKY, přibližně 3 hodiny po losování 1. tahu. V prosinci 1980 byl schválen nový herní řád, který mimo jiné přinesl ustanovení samostatného výherního pořadí pro správné tipování pěti čísel a dodatkového čísla. V únoru 1991 byla zrušena maximální hranice pro výše výher a v srpnu 1993 byl zřízen Jackpot, o kterém se zmíníme ve 3. kapitole. Od roku 1995 pak byl zaveden dvojí hrací cyklus s losováním v neděli a ve středu. Shrnutí zásadních změn v pravidlech uvádí tabulka 1.2. Důsledky změn v pravidlech budeme podrobně zkoumat ve 2. kapitole v souvislosti s pravděpodobnostmi výher. Vzhledem k tomu, že se nepodařilo zjistit, kdy došlo k výměně osudí, budeme předpokládat, že se tak stalo současně se změnou pravidel hry.

16. 14. 1. 15.

týden týden týden týden

datum 1957 až 13. týden 1965 1965 až 52. týden 1976 1977 až 14. týden 1995 1995 až doposud

neděle neděle neděle středy

1 2 2 a

událost tah, bez dod. čísla tahy, bez dod. čísla tahy, oba s dod. čísly neděle 2 tahy, vše s dod. čísly

Tabulka 1.2: Změny v pravidlech losování Sportky

1.6

Výhry

Jestliže sázející natipuje správně dostatečný počet čísel buď v prvním nebo v druhém tahu, může vyhrát finanční hotovost. Při správném tipování 1) šesti čísel, získává sázející výhru 1. pořadí, 2) pěti čísel a dodatkového čísla (5 + 1), získává sázející výhru 2. pořadí, 3) pěti čísel, získává sázející výhru 3. pořadí, 4) čtyř čísel, získává sázející výhru 4. pořadí, 5) tří čísel, získává sázející výhru 5. pořadí. Přitom je možné, že s jedním vsazeným sloupcem lze uspět v obou tazích. Pak je samozřejmě sázejícímu vyplacena výhra za oba tahy. Jestliže existuje

1. Sportka

11

v konkrétním pořadí více výherců, dělí se mezi sebou rovným dílem. Není-li dosažena výhra v některém z pořadí, převede se tato částka k výhře v 1. pořadí. Není-li vyplacena výhra v 1. pořadí, pak se částka převede k výhře v 1. pořadí v následujícím losovacím období.

Kapitola 2 Výpočty pravděpodobností 2.1

Pravděpodobnost vytažení čísla

V této části se budeme zabývat teoretickými pravděpodobnostmi vylosování konkrétního čísla v jednom tahu Sportky v závislosti na pozici, ve které je vytaženo. Tyto pravděpodobnosti spočítáme na základě způsobu losování a ze znalosti pravidel hry. K výpočtům prováděných v této kapitole nám bude užitečná věta o celkové pravděpodobnosti. S Věta 2.1 Nechť (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Je-li P( n Bn ) = 1, kde {Bn } je konečná nebo spočetná posloupnost navzájem vylučujících se jevů (tj. {Bn } je úplný systém jevů) a je-li P[Bn ] > 0 pro všechna n ∈ N, pak pro A ∈ A platí: P(A) =

X

P(A|Bn ) · P(Bn ).

n

Důkaz : Lze najít např. v [4], str. 28, věta 2.1.

Uvažujme kouli s číslem i, 1 ≤ i ≤ 49, a zaveďme náhodnou veličinu (c) ξi jako indikátor, že koule s číslem i bude tažena na c-tém místě v dané sedmici čísel, c ∈ {1, . . . , 7}. Zaměřme se nejprve na jednotlivé pozice 1 až 7. Je-li c = 1, pak (1)

P[ξi

= 1] =

1 . 49

Pravděpodobnost vytažení i -té koule na pozici c = 2 vypočteme podle věty 2.1 o celkové pravděpodobnosti, přičemž úplný systém jevů z této věty tvoří dvě situace, které mohou nastat: 1) i -tá koule je vytažena na 1. pozici, 2) i -tá koule není vytažena na 1. pozici.

2. Výpočty pravděpodobností

13

Současné vytažení koule i na obou pozicích není možné, neboť se koule v průběhu losování nevrací zpět do osudí, takže (2)

P[ξi

(1)

= 1|ξi

= 1] = 0.

(2)

(1)

(2.1)

Potom (2)

P[ξi

= 1]

1 X

=

P[ξi

(2.1)

(1)

= j] · P[ξi

= 1|ξi

= j] =

j=0 (2.1)

(2)

=

P[ξi

(1)

= 1|ξi

(1)

= 0] · P[ξi

= 0] =

1 48 1 · = . 48 49 49

Nyní vypočteme pravděpodobnost pro c = 3, tj. že koule s číslem i bude vytažena na 3. pozici, 1 ≤ i ≤ 49. Úplný systém jevů tvoří situace pro kouli i v předchozích dvou tazích - a ty jsou následující: 1) koule i je vytažena na 1. pozici a není vytažena na 2. pozici (1) (2) (2) (1) (1) P[ξi = 1 ∩ ξi = 0] = P[ξi = 0|ξi = 1] · P[ξi = 1] = 1 ×

1 49

=

1 , 49

2) koule i není vytažena na 1. pozici a je vytažena na 2. pozici (1) (2) (2) (1) (1) 1 P[ξi = 0 ∩ ξi = 1] = P[ξi = 1|ξi = 0] · P[ξi = 0] = 48 × 48 = 49

1 , 49

3) koule i není vytažena na 1. pozici a není vytažena na 2. pozici (1) (2) (2) (1) (1) P[ξi = 0 ∩ ξi = 0] = P[ξi = 0|ξi = 0] · P[ξi = 0] = 47 × 48 = 48 49

47 . 49

Výpočet byl proveden podle definice podmíněné pravděpodobnosti. Označme B1 jev popsaný v 1), B2 jev popsaný v 2) a B3 jev popsaný v 3). Aplikací věty 2.1 dostáváme (3) P[ξi

= 1] =

3 X

(3)

P(ξi

n=1 (3) P[ξi

= 1|Bn ) · P(Bn ) = (2)

(1)

= 0] · P[ξi

(2)

= 0] = 0,

(2)

= 1] = 0.

= 1|ξi = 0 ∩ ξi 1 47 1 = · = . 47 49 49 =

(2)

(1)

= 0 ∩ ξi

= 0] =

Druhá rovnost plyne z toho, že (3)

= 1|ξi

(3)

= 1|ξi

P[ξi

P[ξi

(1)

= 1 ∩ ξi

(1)

= 0 ∩ ξi

Analogicky se postupuje i v případě dalších pozic včetně dodatkové (sedmé) pozice. Postupně dojdeme k závěru, že teoretická pravděpodobnost vytažení libovolného čísla i na určité pozici, 1 ≤ i ≤ 49, v dané sedmici čísel nezávisí na pozici, kde má být vytaženo, tedy (c)

P[ξi = 1] =

1 , 49

∀c ∈ {1, 2, . . . , 7}.


14

Označme ξi indikátor, že číslo i bude vylosováno mezi sedmi čísly v jednom tahu Sportky, i = 1, . . . , 49. Pak P[ξi = 1] =

2.2

7 1 = . 49 7

(2.2)

Pravděpodobnosti výher

Nyní spočítáme teoretické pravděpodobnosti výher ve Sportce na základě současných pravidel hry. Budeme předpokládat, že sázející vsadil 1 sloupec Sportky. Nechť pro jednoduchost probíhá pouze jeden tah Sportky a neprobíhá losování dodatkového čísla. Označme pi pravděpodobnost správného tipování i čísel z 6, i = 0, . . . , 6. Po zakřížkování sázenky máme v osudí 6 čísel, která jsou pro nás z hlediska výhry příznivá a 43 čísel, která jsou z hlediska výhry nepříznivá. Z osudí se vybere postupně 6 čísel, přičemž na pořadí, v jakém byla vylosována, nezáleží. Pravděpodobnost shody i tipovaných čísel s šesti vylosovanými, i = 0, . . . , 6, je podíl příznivých kombinací ku počtu všech šestic, které lze dostat výběrem z 49 čísel. Pravděpodobnost, že uhádneme i čísel z 6, i = 0, . . . , 6, je 43 1 6 pi = · · 49 , i ∈ {0, . . . , 6}. (2.3) i 6−i 6 Je-li X náhodná veličina, značící počet správně tipovaných čísel ve Sportce v jednom libovolném tahu, pak podle výpočtů pravděpodobnosti výher v (2.3) má X hypergeometrické rozdělení. Připomeňme definici tohoto rozdělení. Definice 2.2 Nechť N , A a n jsou přirozená čísla, pro která platí A < N , n < N . Nechť X je náhodná veličina, která nabývá pouze celočíselných hodnot s pravděpodobnostmi N −A A · pro max{0, A + n − N } ≤ k ≤ min{A, n}. P(X = k) = k N n−k n

Pak řekneme, že X má hypergeometrické rozdělení. V našem A=6 N = 49 n=6 k

případě je počet vítězných čísel, počet čísel v osudí, počet tažených čísel, počet vylosovaných vsazených čísel.

Uvažujme nyní losování jednoho tahu Sportky s dodatkovým číslem. Zaměřme se na pravděpodobnosti výher, které nejsou ovlivněny dodatkovým číslem (tzn. na výhry v 1., 4., a 5. pořadí). Ve všech těchto případech stačí dosadit i = 6, resp. i = 4, resp. i = 3 do


15

vzorce (2.3) a dostáváme po řadě pravděpodobnosti výher v 1., resp. 4., resp. 5. pořadí. Přitom nezáleží na tom, zda uhádneme či neuhádneme dodatkové číslo, a proto jsme ho do výpočtů nemuseli zahrnovat. Nyní se zabývejme pravděpodobností výhry v 2. pořadí p06 , tj. správného tipování pěti čísel a dodatkového čísla. Z prvních šesti tažených čísel musíme uhádnout 5 čísel a v jednom se musíme splést. Tuto pravděpodobnost spočítáme dosazením i = 5 do vzorce (2.3). Ze zbývajících 43 čísel musíme 1 uhádnout dodatkové číslo, což nastane s pravděpodobností 43 . Tudíž platí 43 6 · 1 1 0 5 · . p6 = (2.4) 49 43 6 Dopočtěme ještě pravděpodobnost výhry v 3. pořadí p05 , kdy musíme uhádnout 5 čísel z 6 a nesmíme uhádnout dodatkové číslo. Pravděpodobnost, že uhádneme 5 čísel z 6, je p5 a dodatkové číslo neuhádneme s pravděpodobností 42 . Proto 43 43 6 · 1 42 0 5 · . p5 = (2.5) 49 43 6 Přehled pravděpodobností výher při losování jednoho tahu včetně dodatkového čísla uvádí tabulka 2.1. i 6 5+1 5 4 3

typ výhry 1. pořadí 2. pořadí 3. pořadí 4. pořadí 5. pořadí

pravděpodobnost . p6 = 0,000000072 . p06 = 0,000000429 . p05 = 0,000018021 . p4 = 0,000968620 . p3 = 0,017650404

Tabulka 2.1: Pravděpodobnosti výher v jednotlivých pořadích

Nyní shrneme výsledky na základě změn v losování uvedené v tabulce 1.2. Označme pip , (resp. piv ) pravděpodobnost prohry (resp. pravděpodobnost výhry) v i-tém období, i = 1, . . . , 4. 1. období (1 tah bez losování dodatkového čísla) V tomto období se prováděl pouze 1 tah bez losování dodatkového čísla. Nejnižší výhra se vyplácela za 3 správně tipovaná čísla. Výsledné hodnoty pravděpodobností spočteme podle P (2.3).. Pravděpodobnost výhry: p1v = 6i=3 pi = 0,0186. . Pravděpodobnost prohry tvoří doplněk: p1p = 1 − p1v = 0,9814. Označme U náhodnou veličinu značící počet uhádnutých čísel v tomto období. Pak P 36 . EU = 6k=0 kpk = 49 = 0, 73.


varU =

P6

k=0

k 2 pk −

P6

k=0

16

kpk

2

=

5547 9604

. = 0, 58.

2. období (2 tahy bez losování dodatkového čísla) K dispozici jsou 2 tahy, neuvažujeme losování dodatkového čísla. Nejnižší výhra byla vyplacena za 3 správně tipovaná čísla. Opět použijeme (2.3). Pravděpodobnost prohry znamená, že uhádneme nejvýše 2 čísla v obou ta2 . P2 zích, tedy p2p = = 0,9631. i=0 pi . Pravděpodobnost výhry tvoří doplněk: p2v = 1 − p2p = 0,0369.

3. období (2 tahy s dodatkovými čísly) Označme pro zjednodušení zápisu qi pravděpodobnost výhry i -tého pořadí, i = 1, . . . , 5. Pak podle tabulky 2.1 je q1 = p 6 ,

q2 = p06 ,

q3 = p05 ,

q4 = p4 ,

q5 = p3 .

(2.6)

2 . P Pravděpodobnost prohry: p3p = 1 − 5i=1 qi = 0,9631. . Pravděpodobnost výhry: p3v = 1 − p3p = 0,0369.

4. období (2 losovací dny, 2 tahy s dodatkovými čísly) Ustanovení středy jako dalšího losovacího dne nemá vliv na vypočtené hodnoty. Podmínky středečního a nedělního losování jsou stejné. Všimněme si, že zavedení 2. tahu Sportky v 2. období téměř zdvojnásobilo pravděpodobnost p1v . Přidáním dalšího výherního pořadí v roce 1980 se nezměnila celková pravděpodobnost výhry v 3. období oproti celkové šanci na výhru v 2. období, neboť se snadno ověří, že p2v = 1 −

2 X i=0

!2 pi

=1−

1−

5 X

!2 qi

= p3v .

i=1

Byl to zřejmě marketingový krok, kterým se mělo nahradit vyplácení věcných cen za uhádnutí kombinace s dodatkovým číslem.

Kapitola 3 Je Sportka spravedlivá? Čtenář, který si přečte název této kapitoly, očekává, že se v následujících odstavcích dočká odpovědi typu „ano/neÿ. Nicméně i člověk nematematického vzdělání by jistě očekával upřesnění významu slova spravedlivost. Zabývejme se tedy vymezením pojmu spravedlivá hra na příkladě Sportky. První přístup, jak se vypořádat se spravedlivostí Sportky, se týká samotného průběhu losování. Můžeme se tedy ptát, zda jsou tahy koulí z osudí regulérní. V tomto přístupu zkoumáme, zda zázemí losování, tedy např. nesymetrie koulí či jejich různá hmotnost nebo další nenáhodné vlivy neovlivňují losování. Zda je Sportka spravedlivá podle tohoto přístupu, odvodíme na základě práce s již vyhlášenými čísly. Druhý přístup se inspiruje teorií her. Pozornost bude věnována zejména tomu, zda „maláÿ pravděpodobnost výhry ve Sportce je dostatečně kompenzovaná výší výher. Zkoumáme tedy, zda je hra vyvážená z ekonomického pohledu. Definice 3.1 Hra je pro 2 subjekty A, B spravedlivá, jestliže platí pA · zA − pB · zB = 0,

(3.1)

kde pA , (resp. pB ) značí pravděpodobnost výhry subjektu A, (resp. B) a zA , (resp. zB ) reprezentuje výši výhry subjektu A, (resp. B). V případě Sportky bude zA znamenat částku určenou na výplatu výher a zB budeme interpretovat jako zisk SAZKY. První přístup, popsaný výše, je statistický a založený na znalosti mnoha výsledků daného pokusu, kdežto druhý má spíše ekonomický charakter. Zabývejme se nejprve podrobně statistickým přístupem k pojetí spravedlivé hry.

3.1

Potřebná tvrzení

Než začneme analyzovat statistický přístup k spravedlivosti Sportky, uveďme potřebné teoretické zázemí.

3. Je Sportka spravedlivá?

18

Nejprve zadefinujeme multinomické rozdělení náhodného vektoru, protože (jak později ukážeme) tažená čísla na jednotlivých pozicích mají právě toto rozdělení. Definice 3.2 Mějme osudí s koulemi s čísly 1, 2, . . . , k, a nechť pravděpodobnost vytažení koule s číslem i je rovna pi , 0 < pi < 1, i = 1, . . . , k, Pk a i=1 pi = 1. Postupně táhneme nezávisle na sobě n-krát koule po jedné s vracením a zaznamenáváme počet vytažení koule s číslem i do veličiny Xi , i = 1, . . . , k. Označme X = (X1 , . . . , Xk )0 a p = (p1 , ..., pk )0 . Pak řekneme, že X má multinomické rozdělení. Značíme X ∼ M(n; p1 , . . . , pk ) a platí P(X1 = x1 , . . . , Xk = xk ) = pro xi = 0, 1, . . . , n,

i = 1, . . . , k,

n! · px1 1 · · · pxk k x1 ! · · · xk !

x1 + . . . + xk = n.

Nyní vyslovíme tvrzení, na jehož základě odvodíme kritický obor testu hypotézy o parametrech multinomického rozdělení. Věta 3.3 Nechť X = (X1 , . . . , Xk )0 má multinomické rozdělení M(n; p). Položme Yi :=

Xi − npi , √ npi

Y = (Y1 , . . . , Yk )0 .

i = 1, . . . , k,

d (1) Pro n → ∞ platí Y → N(0, Q), kde  √ 1 − p1 − p1 p2  −√p1 p2 1 − p2  Q= .. ..  . . √ √ − p1 pk − p2 pk

√ . . . − p1 pk √ . . . − p2 pk .. .. . . . . . 1 − pk

   . 

(2) Náhodná veličina 2

χ =

k X (Xi − npi )2 i=1

npi

(3.2)

má pro n → ∞ asymptoticky rozdělení χ2k−1 . Důkaz : Lze najít v [1], str. 269-270, věta 12.4 a 12.5.

Poznámka 3.4 Náhodná veličina (3.2) zavedená ve větě 3.3 se nazývá Pearsonova statistika.


3.2

19

Statistická spravedlivost

V této části budeme testovat hypotézu, zda všechna čísla ve Sportce mají stejnou pravděpodobnost vytažení v závislosti na pozici a obdobích. K testování využijeme znalosti o asymptotickém rozdělení Pearsonovy statistiky χ2 . Je třeba si ale uvědomit, že jsme ve větě 3.3 pracovali s náhodným vektorem X (počty vytažených koulí v n pokusech), který měl multinomické rozdělení. To znamená, že se předpokládalo losování s vracením. Každý tah Sportky spočívá v postupném losování sedmi čísel bez vracení. Vracení koulí zpět do osudí se ve Sportce realizuje až po sedmi vylosovaných číslech. Je tedy třeba se zajímat o pozice, na jakých byla čísla vylosována. Vektor X = (X1 , . . . , X49 )0 , kde Xi , i = 1, . . . , 49, vyjadřuje, kolikrát byla koule s číslem i vylosována v n tazích, nemá multinomické rozdělení. Je to z toho důvodu, že teoretická pravděpodobnost vytažení P čísla i v jednom tahu Sportky, i = 1, . . . , 49, je dle (2.2) pi = 17 , takže 49 i=1 pi 6= 1. (c) Nechť máme k dispozici vylosovaná čísla z n tahů Sportky. Označme pi teoretickou pravděpodobnost vytažení koule i na c-té pozici v každém tahu (c) Sportky. Nechť Xi je náhodná veličina vyjadřující počet vytažení čísla i v n pokusech na c-tých pozicích, i = 1, . . . , 49, c = 1, . . . , 7. (1) Nejprve se zaměříme na čísla losovaná na 1. pozicích. Označme ξij indikátor, že číslo i bylo taženo v j-tém losování na 1. pozici, i = 1, . . . , 49, (1) (1) j = 1, . . . , n. Pak ξij a ξis jsou pro j 6= s nezávislé náhodné veličiny. Pro P (1) (1) 1 , i = 1, . . . , 49, tudíž 49 = 1. čísla losovaná na 1. pozici je pi = 49 i=1 pi Pak 1 (1) (1) P[ξij = 1] = pi = , ∀i = 1, . . . , 49, ∀j = 1, . . . , n. 49 Vzhledem k tomu, že 1 (1) , ∀i = 1, . . . , 49, ∀j = 1, . . . , n, ξij ∼ Alt 49 pak (1) Xi

=

n X

(1) ξij

j=1

1 ∼ Bi n, 49

,

∀i = 1, . . . , 49.

P49 (1) = n a tím jsou splněny podmínky z definice 3.2, tedy Zřejmě i=1 Xi (1) (1) (1) 1 1 0 X = (X1 , . . . , X49 )0 ∼ M(n, p), kde p = 49 , . . . , 49 . Jestliže vyjdeme z kapitoly 2.1 a uvažujeme, že (c)

(c)

P[ξij = 1] = pi =

1 , 49

∀c ∈ {2, . . . , 7},

∀j = 1, . . . , n,

pak ve všech losovacích obdobích mají čísla i na c-tých pozicích stejnou teoretickou P49 (c) pravděpodobnost vytažení,Pi49= 1,(c). . . , 49, c = 2, . . . , 7 a platí = 1, c = 2, . . . , 7. Zřejmě = n, c = 2, . . . , 7. Proto i=1 pi i=1 Xi (c) (c) 0 (c) i vektory X = (X1 , . . . , X49 ) , c = 2, . . . , 7 mají multinomické rozdělení.


20

Nyní k samotnému provedení testu spravedlivosti podle prvního přístupu: Informace o číslech tažených v jednotlivých losovacích dnech včetně jejich pozic v dané sedmici jsou k dispozici v [5]. Z dat vybereme čísla vylosovaná na 1. pozicích a rozdělíme je v závislosti na změnách v pravidlech. Jak již bylo řečeno, budeme předpokládat, že změny v pravidlech souvisely s technickými inovacemi osudí. Zjištění spravedlivosti Sportky podle statistického přístupu provedeme testem hypotézy (1)

: p1 = p2 = . . . = p49 =

(1)

: H0 neplatí.

H0 H1

(1)

(1)

(1)

1 , 49

Víme, že veličina χ2 =

k X

(1) Xi

−

(1) npi

2

(1)

i=1

npi

má podle věty 3.3 asymptoticky χ2 -rozdělení o k − 1 stupních volnosti, kde (1) k je v našem případě počet koulí v osudí. Hypotézu H0 zamítneme, jestliže χ2 ≥ χ2k−1 (α), kde χ2k−1 (α) je kritická hodnota χ2 -rozdělení o k − 1 stupních volnosti definovaná jako P X > χ2k−1 (α) = α, kde X je náhodná veličina s χ2 -rozdělením o k − 1 stupních volnosti. Do vzorce (3.2) dosadíme k = 49 počet koulí v osudí, n počet losovacích období, (1) Xi empirické četnosti čísel i v n losovacích obdobích na 1. pozicích, i = 1, . . . , k, (1) (1) 1 pi teoretická pravděpodobnost vytažení koule i, pi = 49 , ∀i = 1, . . . , k. Vzhledem k tomu, že Pearsonova statistika má χ2 -rozdělení pouze asymptoticky, je kvůli použitelnosti aproximace zapotřebí (viz [1]), aby (1)

npi ≥ 5 pro všechna i = 1, . . . , k.

(3.3)

V současnosti se používá citlivější Yarnoldovo kritérium, pro které stačí, aby (1)

npi ≥ 5q

pro všechna i = 1, . . . , k při k ≥ 3, (1)

kde q je podíl tříd, pro něž platí npi < 5. Vzhledem k velkému počtu losování je předpoklad (3.3) splněn pro všechna období. Hodnota n je uvedená na posledním řádku tabulky 4.1. Pracovali jsme s daty z rozmezí let 1957 až 2005, přičemž jsme rozlišili


21

výsledky na základě změn losování uvedených v tabulce 1.2. Tabulka 4.1 uvádí, kolikrát byla vylosována jednotlivá čísla na prvních pozicích v různých obdobích. Relativní četnosti výskytu jednotlivých koulí jsou v tabulce 4.2. Graf četností výskytu koulí v obou tazích na prvních pozicích je na obrázku 4.2. Nyní zbývá spočítat Pearsonovu statistiku pro jednotlivá období. Údaje shrnuje tabulka 3.1. období 1.období neděle

1.tah 1.tah

2.období

neděle

3.období

neděle

2.tah 1.tah 2.tah 1.tah

neděle 4.období

2.tah 1.tah

středa

2.tah

χ2 36,14 48,37 31,50 58,14 51,92 48,22 49,97 34,60 48,75

Tabulka 3.1: Pearsonova statistika pro čísla vylosovaná na 1. pozicích

Test provedeme na hladině významnosti 5%. Pro příslušnou kritickou hodnotu χ2 -rozdělení platí χ248 (0,05) = 65,17.

(3.4)

Vzhledem k tomu, že jsou všechny Pearsonovy statistiky v tabulce 3.1 (1) menší než kritická hodnota (3.4), nezamítáme hypotézu H0 o shodnosti pravděpodobností tažených čísel na 1. pozicích na hladině významnosti 5%. (1) Hypotézu H0 dokonce nezamítáme ani pro α = 0,1, neboť χ248 (0,10) = 60,91. Pro čísla vylosovaná na dalších pozicích testujeme hypotézy (c)

: p1 = p2 = . . . = p49 =

(c)

: H0 neplatí,

H0

H1

(c)

(c)

(c)

1 , 49

kde c ∈ {2, . . . , 7}. Analogicky dostáváme hodnoty χ2 pro čísla tažená na 2., 3., . . ., 7. pozicích. V tabulce 3.2 jsou tučně uvedeny Pearsonovy statistiky, které překračují kritickou hodnotu χ248 (0, 05). V těchto případech pak zamítáme hypotézu (c) (4) H0 , c = 2, . . . , 7. Dle tabulky 3.2 jsme zamítali hypotézu H0 pro čísla tažená v 2. období v losování 1. tahu. V tabulce 4.5 vidíme značné odlišnosti v četnosti čísel v 2. období při losování 1. tahu (např. číslo 38 bylo taženo pouze 3krát, kdežto číslo 11 bylo taženo 23krát).


1.období

neděle

2.období

neděle

3.období

neděle

1.tah 1.tah 2.tah 1.tah 2.tah 1.tah

neděle 4.období

2.tah 1.tah

středa

2.tah

22 2. poz 41,37 58,17 44,67 53,99 44,26 52,24 46,48 39,49 55,04

3. poz 48,74 63,79 43,23 49,44 49,95 29,71 52,77 38,62 57,48

4. poz 46,84 80,50 35,51 39,90 37,83 31,63 55,91 52,77 40,01

5. poz 34,47 36,64 38,73 48,30 55,34 41,76 56,09 43,16 45,60

6. poz 38,99 36,48 47,40 42,39 47,88 44,03 46,65 61,50 53,81

7. poz 54,41 56,27 36,35 54,69 47,53 48,05

Tabulka 3.2: Pearsonova statistika pro čísla vylosovaná na 2. až 7. pozicích

3.3

Ekonomický přístup

Zkoumejme, v jakém postavení je ve Sportce sázející a v jakém SAZKA jako zřizovatel této loterie. K tomu je třeba si uvědomit, kam směřují finanční prostředky získané na vkladech a jak je SAZKA přerozděluje na výhry. Situaci okomentujeme pro současná pravidla hry. V tomto odstavci budeme pracovat s následujícími pojmy: I Herní jistina - úhrn sázkových vkladů přijatých pro jedno losování. I Výherní jistina - 50% herní jistiny Sportky za příslušné sázkové období. Je rozdělena stejným dílem pro oba tahy. To znamená, že 14 herní jistiny putuje na výhry 1. tahu Sportky, 14 herní jistiny na výhry 2. tahu Sportky. Z každé z těchto čtvrtin zvlášť se pak podle tzv. výherních kvót stanovují částky pro výplatu výher v jednotlivých pořadích. Kvóty jsou pevně stanoveny, viz tabulka 3.3. výh. pořadí 1. 2. 3. 4. 5.

počet uhodnutých tažených čísel 6 5 + dodatkové 5 4 3

rozdělení výh. jistiny λ1 = 34% λ2 = 5% λ3 = 9% λ4 = 12% λ5 = 40%

Tabulka 3.3: Rozdělení výherní jistiny do jednotlivých pořadí

Všimněme si, že největší částka vybraná na vkladech je určena pro výhru v 5. pořadí, kde SAZKA předpokládá nejvíce výherců. Pro 2. pořadí je částka nejnižší, protože se předpokládá velmi malý počet výherců.


23

I Jackpot - nevyčerpané částky, které se převádí do 1. pořadí následujícího sázkového období. Jackpot je vyplacen pouze v případě, že sázející vyplní všech 10 sloupců sázenky svými tipy včetně účasti na hře Šance. Všechny sázky musí soustředit do jednoho losovacího dne a aspoň v jednom sloupci musí vyhrát výhru v 1. pořadí. Podle současných tarifů sázející zaplatí za takovou sázku 170 Kč (10 × 16 Kč za 10 sloupců sázenky + 10 Kč za doprovodnou hru Šance). Přerozdělování výher má právo dle předpisů měnit generální ředitel SAZKY, obvykle se ale vše řídí těmito dodatečnými pravidly: (1) Výše částky pro výhry v jednotlivých pořadích se zaokrouhluje na koruny. (2) Vyhraje-li více lidí stejnou výhru, dělí se rovným dílem. (3) V případě, že by výhra přepočtená na jednoho účastníka dle (2) byla ve vyšším pořadí menší než výhra v pořadí nižším, stanoví se výhra v těchto pořadích stejnou částkou, která se vypočítává ze součtu výherních kvót. (4) Nevyčerpané výherní kvóty Sportky nebo jejich nedělitelné zbytky se převádějí do výhry 1. pořadí ještě v tomtéž losovacím období. V případě, že nebude naplněna výhra v 1. pořadí, převede se tato nevyčerpaná částka do výherní kvóty 1. pořadí v následujícím sázkovém období. Nyní popíšeme celý postup, jak Sazka přerozděluje finanční prostředky. Vše si vysvětlíme na modelovém příkladě ze 6. a 7. sázkového týdne roku 2005. Ze zdroje [5] jsme získali výplatní tabulky, které jsou v modifikované verzi na obrázku 3.1. Příklad: Představme si, že je 7. sázkový týden, středa 16. 2. 2005 a že se již uzavřely terminály pro uzavírání sázek pro toto losovací období. Je tedy znám finanční obnos, který se získal na vkladech od všech sázejících. V našem případě se jedná o částku 45 416 400 Kč uvedenou v kolonce Vsazeno na obrázku 3.1. Z této částky se vypočte výherní jistina pro oba tahy. Z výherní jistiny jde polovina na výplatu výher v 1. tahu a polovina na výplaty v 2. tahu. Na každý z tahů tak v našem případě připadá 11 354 100 Kč. Uvažujme 2. tah Sportky (pro 1. tah se provedou následující úvahy analogicky). Podle tabulky 3.3 se rozdělí částka 11 354 100 Kč na výhry v jednotlivých pořadích. Výše výher jsou uvedeny v tabulce 3.4, přičemž k výhře v 1. pořadí zatím není přičten Jackpot. Po uzavření terminálů proběhne losování čísel. V 2. tahu byla v našem případě vylosována čísla 16,

33,

27,

30,

18,

24 a dodatkové 28.

V té chvíli je znám počet výherců v jednotlivých pořadích. Čteme třetí sloupec Počet výher ve středečním losování 2. tahu na obrázku 3.1. Nyní se provede výpočet výše výher na jednoho hráče, přičemž se řídíme pravidly (1),(2),(3) a (4):


24 1. 2. 3. 4. 5.

pořadí pořadí pořadí pořadí pořadí

3 860 567 1 021 1 362 4 541

394 705 869 492 640

Kč Kč Kč Kč Kč

Tabulka 3.4: Výhry určené pro jednotlivá pořadí v 2. tahu

Začneme výpočtem výhry pro 5. pořadí. Zde rozdělujeme částku 4 541 640 Kč mezi 52 006 výherců. Po zaokrouhlení tak každý dostane 87 Kč, viz sloupec Výše výhry u 5. pořadí. K výhře v 1. pořadí se převede částka (4 541 640 - 52 006 × 87) Kč = 17 118 Kč. Analogicky postupujeme při rozdělování výher 4., 3., a 2. pořadí, přičemž po řadě přičítáme k výhře v 1. pořadí částky 192 Kč, 15 Kč, 0 Kč. Vidíme, že v 2. pořadí se částka určená na výhry rozdělila mezi výherce přesně.

Obrázek 3.1: Výsledkové listiny


25

Nyní zbývá vypočítat dle pravidla (4) výhru v 1. pořadí s Jackpotem středečního 2. tahu. Zde vítězí dle tabulky jediný sázející. K základní částce 3 860 394 Kč uvedené v prvním řádku tabulky 3.4 určené pro 1. pořadí přičteme „zbytkové částkyÿ z nižších pořadích (tedy 17 118 Kč, 192 Kč a 15 Kč) a ještě částku, která je uvedená v kolonce Převod v 6. sázkovém týdnu neděle, Sportka 2. tah, což je v našem případě 47 615 802,5 Kč. Dostáváme (3 860 394 + 17 118 + 192 + 15 + 47 615 802,5) Kč = 51 493 521,5 Kč. To je částka určená pro výhru v 1. pořadí s Jackpotem v tabulce středečního losování 2. tahu. Z této tabulky na obrázku 3.1 je vidět, že vítěz získal v 2. tahu spolu s výhrou v 1. pořadí i Jackpot. Tento úspěšný sázející musel vsadit „plnouÿ, jak se obvykle nazývá kompletně vyplněná sázenka včetně účasti na hře Šance. Protože se výhry dle pravidla (1) zaokrouhlují na celé koruny dolů, vítěz získá 51 493 521 Kč, přičemž 0,5 Kč se převádí do nedělního losování 7. sázkového týdne do 2. tahu Sportky (viz kolonka Převod pod středečním losováním 2. tahu). ♦ Nyní se již můžeme zaměřit na to, zda je pro sázející Sportka spravedlivá z ekonomického pohledu. Analýzu situace budeme provádět pro současná pravidla hry. Učiňme následující zjednodušující předpoklady: P 1 V daný den hraje Sportku jen jeden hráč, který vyplní 1 sloupec sázenky a nehraje hru Šance. Jeho vklad do hry činí c0 = 16 Kč. P 2 Losuje se 1 tah Sportky. P 3 Neuvažujeme Jackpot - tedy z předchozího období se nepřičítá žádná částka k výhře v 1. pořadí. Výhry se nebudou dělit mezi více výherců, neboť v našem modelovém případě hraje jen 1 člověk - odpadají pravidla (2) a (3). Pro další výpočty použijeme veličiny qi (pravděpodobnost výhry v i-tém pořadí), i = 1, . . . , 5, zavedené v (2.6). Připomeňme, že 1 . = 0, 00000007, 13983816 1 . q2 = = 0, 00000043, 2330636 3 . q3 = = 0, 00001802, 166474 645 . q4 = = 0, 00096862, 665896 8815 . q5 = = 0, 01765040. 499422

q1 =

(3.5)


26

Je-li v našem případě h = 16 Kč velikost herní jistiny pro toto losování, pak podle pravidel přerozdělení platí pro výherní jistinu wc = h2 = 8 Kč. Předpokládejme, že zisk SAZKY z tvoří druhá polovina částky z herní jistiny, tedy z = wc . Výherní jistina se dále nerozděluje, protože dle P 2 předpokládáme losování pouze jednoho tahu Sportky. Označme wi , i = 1, . . . 5, výši výhry v i-tém pořadí. Pak platí wi = λi wc , i = 1, . . . , 5,

(3.6)

kde λi , i = 1, . . . , 5, jsou zavedeny v tabulce 3.3. V případě výhry v 1. pořadí se k částce w1 nepřičítají výhry wi z nižších pořadích, i = 2, . . . , 5, protože hráč vsadil jen 1 sloupec sázenky. Z téhož důvodu může sázející vyhrát pouze jednu výhru. Sportka je podle definice 3.1 spravedlivá, jestliže platí ! 5 5 X X qi wi − z · 1 − qi = 0. i=1

i=1

Po dosazení za wi , i = 1, . . . , 5 podle (3.6) dostáváme ! 5 5 X X wc · λi qi − wc 1 − qi = 0. i=1

(3.7)

i=1

Dosadíme-li do levé strany (3.7) příslušné hodnoty, dostaneme výsledek −7,8 Kč, takže hra není pro sázejícího spravedlivá a finančně je zvýhodněna SAZKA. Všimněme si ještě jedné zajímavosti. Ve vzorci (3.7) se objevuje ve všech členech nenulové číslo wc , kterým můžeme rovnici zkrátit a dostaneme vztah, který nezávisí na ceně jedné sázky. Hra by tedy byla v tomto zjednodušeném modelu nespravedlivá podle definice 3.1 při jakékoliv ceně sázenky.

Závěr Na základě teorie testů dobré shody jsme až na jeden případ nezamítali hypotézu na hladině významnosti 5%, že jsou ve Sportce všechna čísla na konkrétní pozici tažena se stejnou pravděpodobností. Sportka se ukázala jako nespravedlivá ve výše popsaném zjednodušeném ekonomickém modelu. Zjistili jsme, že v případě jednoho hráče Sportka není spravedlivá ve smyslu definice 3.1. Postupy, které jsme prezentovali v kapitole 3.3, lze zobecnit na případ n hráčů, kdy se jednotlivé výhry dělí mezi více správných tipů. Rovněž lze situaci řešit pro případ, kdy se přičítá částka ∆ z předcházejícího losovacího období k výhře v 1. pořadí. Sportka vždy na konci losování oznámí Jackpot pro další losovací období. Díky výherním tabulkám tak lze zkoumat závislost mezi tímto avizovaným Jackpotem a částkou, která se následně vybere na vkladech. Zřejmě při velmi vysokých Jackpotech dochází k tzv. „sázkovému šílenstvíÿ, kdy by bylo možné poukázat na závislost počtu sázejících na zveřejněném Jackpotu. I toto by se dalo modelovat. Na úplný závěr poznamenejme, že výpočty pravděpodobností v 2. kapitole byly prováděny pomocí programu Maple 6.0 a na práci s daty o vylosovaných číslech se využil Microsoft Excel 2000.

Kapitola 4 Dodatky

Zdroj: Výroční zprávy SAZKY, a.s.

Obrázek 4.1: Podíl vkladů do Sportky na vkladech do čís. loterií provozovaných SAZKOU

4. Dodatky

29

Zdroj: SAZKA, a.s.

Obrázek 4.2: Graf četností jednotlivých čísel na 1. pozicích (1957-2005)

4. Dodatky

č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 n

30

1.období neděle

2.období neděle

3.období neděle

4.období neděle středa

1.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

10 4 3 11 11 9 8 9 10 5 11 9 8 11 9 5 7 8 13 10 10 8 8 6 5 7 10 10 12 9 9 6 11 8 6 7 12 7 6 4 7 10 8 14 4 8 11 11 7 412

16 13 9 9 14 17 15 16 7 15 16 11 16 11 13 16 11 12 7 9 12 9 19 15 11 9 15 12 8 19 13 13 8 11 8 7 9 9 15 22 11 10 12 15 10 18 11 15 11

15 6 10 9 10 15 9 14 11 10 12 16 13 9 12 10 13 11 17 8 11 18 12 14 13 14 13 11 9 17 14 11 13 12 16 10 9 15 12 12 14 15 8 14 18 18 13 10 14 1220

14 22 15 23 23 20 22 18 23 17 29 20 13 17 24 21 17 18 12 21 32 15 16 22 13 23 26 10 14 14 23 26 19 14 12 17 24 16 22 21 13 27 22 20 15 22 20 23 16

11 24 26 14 24 17 28 15 20 16 16 27 18 21 18 14 20 21 14 16 17 19 19 17 18 14 21 23 26 24 28 9 18 20 18 29 20 13 19 24 14 21 17 15 18 24 19 19 23 1892

6 10 9 15 9 10 13 11 13 16 8 8 9 10 14 6 16 18 13 15 9 5 10 14 15 12 7 14 11 13 11 10 6 12 7 13 14 12 9 13 11 16 10 9 12 9 18 20 10

12 11 9 11 11 13 12 11 11 8 9 8 12 10 6 9 17 7 14 13 9 15 8 9 13 11 7 16 22 8 12 10 10 10 7 15 19 5 17 15 12 10 12 15 16 11 13 8 12 1122

10 11 7 8 14 14 10 15 15 14 12 8 14 13 11 11 17 18 11 9 11 11 8 10 12 13 12 9 10 5 10 10 14 16 11 15 16 11 11 13 12 12 12 8 5 14 8 9 11

11 10 17 11 16 12 20 13 14 14 13 9 13 15 6 9 10 8 14 11 11 10 13 13 12 7 8 10 11 11 9 10 6 13 7 18 21 12 9 12 10 13 8 15 7 13 12 6 8 1122

Σ 105 111 105 111 132 127 137 122 124 115 126 116 116 117 113 101 128 121 115 112 122 110 113 120 112 110 119 115 123 120 129 105 105 116 92 131 144 100 120 136 104 134 109 125 105 137 125 121 112

Tabulka 4.1: Tabulka četností vytažených čísel na 1. pozicích (1957-2005)

4. Dodatky

č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

1.období neděle

31 2.období neděle

3.období neděle

4.období neděle

středa

1.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

0,024 0,010 0,007 0,027 0,027 0,022 0,019 0,022 0,024 0,012 0,027 0,022 0,019 0,027 0,022 0,012 0,017 0,019 0,032 0,024 0,024 0,019 0,019 0,015 0,012 0,017 0,024 0,024 0,029 0,022 0,022 0,015 0,027 0,019 0,015 0,017 0,029 0,017 0,015 0,010 0,017 0,024 0,019 0,034 0,010 0,019 0,027 0,027 0,017

0,026 0,021 0,015 0,015 0,023 0,028 0,025 0,026 0,011 0,025 0,026 0,018 0,026 0,018 0,021 0,026 0,018 0,020 0,011 0,015 0,020 0,015 0,031 0,025 0,018 0,015 0,025 0,020 0,013 0,031 0,021 0,021 0,013 0,018 0,013 0,011 0,015 0,015 0,025 0,036 0,018 0,016 0,020 0,025 0,016 0,030 0,018 0,025 0,018

0,025 0,010 0,016 0,015 0,016 0,025 0,015 0,023 0,018 0,016 0,020 0,026 0,021 0,015 0,020 0,016 0,021 0,018 0,028 0,013 0,018 0,030 0,020 0,023 0,021 0,023 0,021 0,018 0,015 0,028 0,023 0,018 0,021 0,020 0,026 0,016 0,015 0,025 0,020 0,020 0,023 0,025 0,013 0,023 0,030 0,030 0,021 0,016 0,023

0,015 0,023 0,016 0,024 0,024 0,021 0,023 0,019 0,024 0,018 0,031 0,021 0,014 0,018 0,025 0,022 0,018 0,019 0,013 0,022 0,034 0,016 0,017 0,023 0,014 0,024 0,027 0,011 0,015 0,015 0,024 0,027 0,020 0,015 0,013 0,018 0,025 0,017 0,023 0,022 0,014 0,029 0,023 0,021 0,016 0,023 0,021 0,024 0,017

0,012 0,025 0,027 0,015 0,025 0,018 0,030 0,016 0,021 0,017 0,017 0,029 0,019 0,022 0,019 0,015 0,021 0,022 0,015 0,017 0,018 0,020 0,020 0,018 0,019 0,015 0,022 0,024 0,027 0,025 0,030 0,010 0,019 0,021 0,019 0,031 0,021 0,014 0,020 0,025 0,015 0,022 0,018 0,016 0,019 0,025 0,020 0,020 0,024

0,011 0,018 0,016 0,027 0,016 0,018 0,023 0,020 0,023 0,029 0,014 0,014 0,016 0,018 0,025 0,011 0,029 0,032 0,023 0,027 0,016 0,009 0,018 0,025 0,027 0,021 0,012 0,025 0,020 0,023 0,020 0,018 0,011 0,021 0,012 0,023 0,025 0,021 0,016 0,023 0,020 0,029 0,018 0,016 0,021 0,016 0,032 0,036 0,018

0,021 0,020 0,016 0,020 0,020 0,023 0,021 0,020 0,020 0,014 0,016 0,014 0,021 0,018 0,011 0,016 0,030 0,012 0,025 0,023 0,016 0,027 0,014 0,016 0,023 0,020 0,012 0,029 0,039 0,014 0,021 0,018 0,018 0,018 0,012 0,027 0,034 0,009 0,030 0,027 0,021 0,018 0,021 0,027 0,029 0,020 0,023 0,014 0,021

0,018 0,020 0,012 0,014 0,025 0,025 0,018 0,027 0,027 0,025 0,021 0,014 0,025 0,023 0,020 0,020 0,030 0,032 0,020 0,016 0,020 0,020 0,014 0,018 0,021 0,023 0,021 0,016 0,018 0,009 0,018 0,018 0,025 0,029 0,020 0,027 0,029 0,020 0,020 0,023 0,021 0,021 0,021 0,014 0,009 0,025 0,014 0,016 0,020

0,020 0,018 0,030 0,020 0,029 0,021 0,036 0,023 0,025 0,025 0,023 0,016 0,023 0,027 0,011 0,016 0,018 0,014 0,025 0,020 0,020 0,018 0,023 0,023 0,021 0,012 0,014 0,018 0,020 0,020 0,016 0,018 0,011 0,023 0,012 0,032 0,037 0,021 0,016 0,021 0,018 0,023 0,014 0,027 0,012 0,023 0,021 0,011 0,014

Σ 0,018 0,019 0,018 0,019 0,023 0,022 0,024 0,021 0,021 0,020 0,022 0,020 0,020 0,020 0,020 0,018 0,022 0,021 0,020 0,019 0,021 0,019 0,020 0,021 0,019 0,019 0,021 0,020 0,021 0,021 0,022 0,018 0,018 0,020 0,016 0,023 0,025 0,017 0,021 0,024 0,018 0,023 0,019 0,022 0,018 0,024 0,022 0,021 0,019

Tabulka 4.2: Tabulka relativních četností vytažených čísel na 1. pozicích (1957-2005)

4. Dodatky

č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

32

1.období neděle

2.období neděle

3.období neděle


1.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

12 12 9 6 11 10 2 13 10 7 9 6 6 6 12 7 5 5 9 5 7 12 6 9 7 5 6 10 11 9 7 7 9 10 6 11 10 6 6 16 9 8 10 9 7 12 8 11 6

15 18 11 13 9 8 6 15 6 13 8 11 16 13 18 9 12 15 13 14 10 12 12 14 11 14 10 18 7 8 21 14 11 17 20 22 15 10 12 11 9 5 7 11 15 11 13 15 12

12 4 12 14 11 12 11 13 16 16 17 10 13 9 14 7 13 10 22 15 10 15 12 11 15 12 11 9 14 17 11 9 11 14 9 12 10 9 15 14 7 12 16 17 11 20 10 9 17

16 16 20 13 22 24 19 26 21 16 19 10 23 19 22 26 22 18 14 22 15 25 19 25 23 16 15 11 12 25 27 23 22 17 22 20 26 9 26 24 13 17 16 20 20 22 14 17 17

15 20 21 16 16 13 22 19 15 18 17 22 16 24 22 23 13 12 28 24 27 18 26 18 26 23 14 22 17 16 14 22 14 18 16 18 22 19 20 21 17 15 20 21 31 21 16 20 18

12 10 19 17 14 12 6 14 12 10 6 11 9 12 7 8 9 14 11 18 10 11 11 15 12 8 10 19 13 13 11 9 13 16 11 6 7 10 8 17 7 10 8 14 16 18 8 9 10

14 14 7 13 14 9 9 15 8 10 15 15 16 8 11 5 12 6 11 12 14 8 7 7 9 16 10 17 9 12 16 12 10 7 19 9 11 12 9 19 11 8 10 14 11 13 13 11 13

9 7 11 12 14 12 10 11 12 8 8 15 15 11 15 10 5 13 15 9 11 12 9 12 15 13 7 12 19 11 12 12 8 18 11 12 6 14 19 10 11 12 9 9 10 15 11 8 11

11 12 8 7 10 11 12 11 9 15 19 14 6 12 21 9 9 15 10 18 9 10 9 7 8 11 19 12 14 10 15 10 17 8 10 6 6 8 11 13 12 9 8 16 9 15 15 11 14

Σ 116 113 118 111 121 111 97 137 109 113 118 114 120 114 142 104 100 108 133 137 113 123 111 118 126 118 102 130 116 121 134 118 115 125 124 116 113 97 126 145 96 96 104 131 130 147 108 111 118


4. Dodatky

č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

33

1.období neděle

2.období neděle

3.období neděle


1.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

4 14 11 13 2 10 13 10 11 5 10 5 5 11 9 12 6 9 9 9 4 5 7 10 9 5 10 5 7 5 7 8 8 7 14 13 8 10 8 6 6 11 11 12 5 8 10 6 9

11 4 14 14 17 12 11 15 15 13 9 22 9 14 10 4 16 10 13 12 19 22 11 6 10 12 9 10 11 14 10 13 10 13 13 14 13 13 15 8 13 18 7 9 9 10 23 14 16

14 11 15 9 10 14 14 5 19 13 15 14 11 7 14 17 9 19 13 9 12 12 15 19 6 14 9 9 13 17 11 12 10 14 5 11 16 11 13 9 13 16 15 11 15 10 12 15 13

18 26 28 14 15 14 24 21 29 22 24 20 20 15 23 18 19 18 13 17 24 8 17 19 22 21 19 23 21 19 17 18 20 22 20 14 9 27 16 15 18 16 19 24 18 16 25 24 17

20 15 15 22 17 22 16 26 17 26 19 22 14 20 25 14 16 22 21 9 17 22 21 21 23 26 18 20 22 15 11 22 10 16 27 20 27 17 22 20 19 29 17 20 17 21 12 17 19

11 14 13 10 10 15 12 8 7 11 7 10 13 9 15 15 18 13 14 12 12 12 8 6 11 12 12 10 13 11 11 17 15 8 15 12 10 10 8 9 10 12 10 13 11 10 16 9 11

5 9 11 17 11 12 13 6 21 10 14 9 12 13 11 8 23 10 5 13 16 13 9 8 11 10 12 10 15 11 11 9 11 9 8 12 14 8 14 11 18 13 6 13 12 11 13 10 10

10 15 10 11 9 16 9 14 12 13 10 11 9 11 8 13 9 9 13 13 8 11 12 19 8 20 17 11 12 14 12 7 11 15 13 11 9 14 9 9 9 9 11 5 12 9 15 15 9

13 5 7 4 20 10 11 10 11 10 7 19 10 10 8 16 10 19 14 13 11 15 10 7 11 11 5 7 13 10 12 7 10 11 11 9 10 13 16 14 19 12 12 14 9 13 10 16 16

Σ 106 113 124 114 111 125 123 115 142 123 115 132 103 110 123 117 126 129 115 107 123 120 110 115 111 131 111 105 127 116 102 113 105 115 126 116 116 123 121 101 125 136 108 121 108 108 136 126 120


4. Dodatky

č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

34

1.období neděle

2.období neděle

3.období neděle


1.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

13 11 4 9 6 8 10 12 7 5 11 17 11 10 10 8 5 12 7 9 6 6 12 10 5 11 12 8 12 11 8 7 7 6 9 9 7 3 10 9 4 4 7 10 6 6 10 6 6

9 11 6 11 11 7 10 10 14 16 23 14 13 12 14 9 14 6 14 18 10 18 13 17 9 16 17 12 20 15 6 21 8 20 19 13 11 3 8 8 11 11 19 10 5 9 12 10 17

10 10 10 10 12 15 14 11 10 15 15 9 18 12 8 12 12 11 9 16 10 11 17 9 18 16 14 15 13 14 10 12 18 12 15 19 14 11 8 12 12 14 9 11 12 18 11 7 9

25 21 20 18 26 21 21 18 19 12 21 18 17 14 16 15 20 18 25 18 28 24 23 17 19 30 15 15 14 24 20 14 15 17 18 21 14 15 21 21 22 18 23 12 21 22 22 18 20

23 17 19 23 18 20 11 13 20 19 21 21 25 28 17 25 16 11 21 22 15 18 8 28 21 22 16 19 25 18 17 20 21 16 19 20 17 21 21 20 19 17 19 22 21 22 17 17 20

12 9 9 18 11 13 15 8 12 9 14 12 8 5 13 14 11 15 12 9 14 13 19 10 12 15 8 7 11 8 10 16 10 12 13 12 11 12 14 12 12 11 10 10 11 8 9 10 12

12 14 6 18 11 12 7 9 6 14 11 4 14 16 11 13 7 11 9 18 13 9 18 12 11 12 12 9 15 13 10 8 16 6 13 7 8 16 16 9 15 18 12 8 8 14 6 14 10

8 12 7 15 3 13 12 21 10 10 12 12 14 8 8 10 15 19 11 16 13 14 9 11 11 10 12 9 11 18 9 6 10 18 9 10 9 14 17 10 12 9 6 12 13 9 15 9 10

8 11 9 14 12 15 7 11 5 9 9 13 10 14 11 13 16 7 15 9 13 16 4 10 11 14 13 7 13 11 10 10 17 15 8 14 8 17 13 15 12 13 15 10 10 11 8 11 14

Σ 120 116 90 136 110 124 107 113 103 109 137 120 130 119 108 119 116 110 123 135 122 129 123 124 117 146 119 101 134 132 100 114 122 122 123 125 99 112 128 116 119 115 120 105 107 119 110 102 118


4. Dodatky

č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

35

1.období neděle

2.období neděle

3.období neděle


1.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

7 9 8 10 11 6 9 6 8 7 11 5 6 12 11 6 9 9 7 9 7 10 8 6 10 7 12 10 7 10 9 3 9 9 9 5 6 13 12 6 7 8 12 4 8 11 13 11 4

15 13 12 10 16 7 11 11 13 15 12 11 12 10 10 12 14 11 8 10 10 14 13 8 10 14 9 10 17 13 12 12 16 22 13 13 14 10 17 18 13 19 15 13 6 10 11 11 14

11 15 12 15 23 13 13 19 8 10 11 10 10 12 13 15 12 8 15 12 11 10 7 13 9 15 9 13 12 12 9 12 12 15 13 12 13 15 14 14 9 7 10 15 8 15 19 14 16

25 15 13 22 12 27 17 22 15 22 25 27 23 18 18 9 22 21 16 20 20 20 17 16 23 29 20 17 16 14 14 23 19 20 22 16 26 24 13 18 18 20 22 16 18 20 25 19 12

31 23 15 18 23 29 22 26 16 15 26 17 18 13 19 14 14 14 21 24 19 14 24 25 18 21 30 19 19 13 22 21 26 21 19 14 17 19 23 13 20 13 16 14 20 20 14 18 16

12 7 15 11 22 11 9 10 16 8 9 13 13 5 11 9 8 11 18 16 8 11 13 13 9 15 14 13 12 10 11 15 11 10 9 8 9 10 10 12 10 13 12 8 10 9 18 12 12

7 11 8 9 7 12 9 15 10 16 15 10 13 9 11 10 6 5 13 6 20 16 10 15 8 12 4 10 11 9 9 17 11 14 15 15 9 14 14 19 9 9 10 14 8 17 16 12 12

7 10 19 6 8 14 12 10 8 9 10 12 10 13 16 8 11 17 15 9 11 14 14 12 11 10 8 14 12 9 13 9 5 12 10 17 20 11 10 9 13 11 16 12 9 14 8 13 10

9 18 9 12 9 16 8 11 8 14 12 18 14 8 10 6 14 14 9 17 7 10 10 9 16 10 8 11 13 13 10 10 18 10 14 13 14 7 8 12 14 13 14 11 6 10 7 10 17

Σ 124 121 111 113 131 135 110 130 102 116 131 123 119 100 119 89 110 110 122 123 113 119 116 117 114 133 114 117 119 103 109 122 127 133 124 113 128 123 121 121 113 113 127 107 93 126 131 120 113


4. Dodatky

č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

36

1.období neděle

2.období neděle

3.období neděle


1.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

14 9 6 9 9 11 8 6 5 8 4 8 13 6 11 9 10 5 10 4 5 12 12 15 10 7 4 9 5 7 10 11 7 8 10 11 6 6 9 9 8 10 9 10 10 8 7 5 7

17 12 15 9 8 12 10 10 13 10 9 13 15 7 7 17 18 13 18 14 13 12 13 10 17 12 12 14 13 10 9 10 12 12 12 20 17 13 11 17 10 12 15 11 9 10 12 16 9

12 14 9 8 14 14 11 14 17 8 15 10 15 16 15 14 17 9 16 13 11 20 10 10 15 8 11 19 10 9 11 15 8 16 17 14 12 14 9 9 11 13 4 14 6 11 9 18 15

17 20 23 25 17 23 24 15 12 11 13 24 26 23 22 14 22 21 18 19 24 16 20 23 21 20 24 21 20 18 23 28 20 13 20 16 17 19 20 14 24 22 19 18 13 13 14 22 15

15 19 25 18 17 22 17 12 14 23 25 22 19 27 17 21 16 24 18 18 16 18 24 26 13 16 21 22 24 15 16 29 14 20 15 16 22 26 14 27 19 14 19 20 18 15 22 24 12

13 14 11 12 10 9 7 7 13 9 20 11 13 21 17 10 16 10 14 11 8 10 12 15 13 11 11 9 12 13 12 15 10 7 9 12 12 13 5 10 11 8 6 16 9 10 11 9 14

13 13 12 12 10 12 9 7 14 8 13 20 11 9 12 13 23 12 9 13 8 16 11 11 9 11 12 14 12 10 10 12 3 9 9 16 11 16 7 8 10 9 14 13 11 12 8 15 9

17 10 12 11 6 7 15 12 14 12 8 10 6 13 10 15 12 8 15 21 15 10 8 13 11 5 11 9 10 13 8 13 15 12 11 18 10 10 10 12 13 5 14 12 6 9 24 13 7

10 13 9 4 12 8 10 8 14 7 11 12 13 9 11 6 9 8 14 10 17 12 11 13 21 12 15 11 11 7 8 16 7 13 11 13 9 23 10 13 8 8 14 11 15 16 11 14 13

Σ 128 124 122 108 103 118 111 91 116 96 118 130 131 131 122 119 143 110 132 123 117 126 121 136 130 102 121 128 117 102 107 149 96 110 114 136 116 140 95 119 114 101 114 125 97 104 118 136 101


4. Dodatky

37

č. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

3.období neděle


1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

1.tah

2.tah

24 22 27 18 19 29 19 22 20 13 13 20 20 23 25 21 11 30 22 20 16 15 17 16 28 12 17 17 16 19 15 14 20 15 17 25 10 14 19 25 21 19 24 18 25 21 20 19 14

22 17 23 20 14 24 13 16 24 16 12 26 21 21 15 18 17 29 19 14 21 18 20 13 16 20 10 19 18 22 23 20 19 25 19 13 17 17 25 25 15 18 12 17 27 21 34 20 21

12 10 13 8 13 8 13 14 7 10 10 15 16 14 15 10 8 10 9 11 8 10 15 18 9 11 14 14 9 10 8 12 7 11 9 11 10 16 17 11 8 15 15 9 10 12 7 16 13

12 15 9 6 12 14 22 11 5 6 9 13 13 10 12 11 7 22 8 13 14 11 13 11 9 11 16 8 9 14 8 13 16 14 14 6 8 14 10 13 8 14 11 8 12 8 15 14 9

8 14 12 9 12 13 13 14 18 13 11 11 15 12 10 16 11 16 14 9 10 9 9 8 9 8 13 18 5 9 12 10 12 8 11 12 8 7 14 8 7 7 8 11 13 22 13 16 13

8 8 15 8 15 14 5 14 8 12 15 10 6 11 12 14 17 17 12 16 18 6 12 13 10 8 13 7 13 12 9 17 9 10 12 7 15 11 13 10 11 6 10 16 10 15 14 9 8

Σ 86 86 99 69 85 102 85 91 82 70 70 95 91 91 89 90 71 124 84 83 87 69 86 79 81 70 83 83 70 86 75 86 83 83 82 74 68 79 98 92 70 79 80 79 97 99 103 94 78


4. Dodatky

38

Zdroj: SAZKA, a.s.

Obrázek 4.3: Graf četností tažených čísel v období 1957-2005

Literatura [1] Anděl J.: Základy matematické statistiky, Matfyzpress, Praha, 2005. [2] Anděl J., Zvára K.: Náhodné tipy ve Sportce, Český statistický bulletin č. 1, roč. 16, 2005. [3] Bernard B.: Evropské loterie a hry, Academia, Praha, 1998. [4] Štěpán J., Zvára K.: Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, Praha, 1997 [5] Internetový zdroj: http://www.sazka.cz

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Marek Dvořák Je Sportka spravedlivá?

Recommend Documents