Babeş-Bolyai Tudományegyetem Távoktatási Központ Pszichológia és Neveléstudományok Kar Tanító és Óvodapedagógus Szak. Matematika

Babeş-Bolyai Tudományegyetem Távoktatási Központ Pszichológia és Neveléstudományok Kar Tanító és Óvodapedagógus Szak

Matematika Tanulmányi útmutató V.félév

Bálint Mária középiskolai tanár

1

Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Pszichológia és Neveléstudományok Kar Pedagógia – Tanító és Óvodapedagógus Szak Székelyudvarhelyi Kihelyezett Tagozat Egyetemi év: III. év Félév: 5.

Általános információk a tantárgyról Általános információk az előadásokról, szemináriumokról, szak-, vagy laborgyakorlatokról Tantárgy neve: Matematika Kódszám: Kreditszám: 6,5 Helyszín: Órarend: lásd a megfelelő linket (értesítés) Az előadás, szeminárium, szak-, vagy laborgyakorlat tituláris oktatója Név, tudományos fokozat: Bálint Mária-Magdolna Elérhetőség: 535600 Odorheiu-Secuiesc, str. Attila nr. 5, [email protected], T: 0266-212612, M: 0747-525982

A tantárgy leírása a.) A tantárgy által nyújtható képességek, hozzáértések -

a tanító munkájához szükséges aritmetikai, matematikai ismeretek bővítése, elmélyítése, rendszerezése a matematika feladatmegoldás technikájának alakítása, a matematika különböző területeihez tartozó feladatok megoldási módszereinek elsajátítása által a tanító legyen a matematika hozzáértő és tudatos művelője

b.) Tartalmak

2

1. A matematikai logika alapjai 2. Halmazelmélet. Relációk 3. Számhalmazok. Számrendszerek 4. Algebrai struktúrák 5. A természetes számok oszthatósága 6. Kombinatorika 7. Valószínűségszámítás. Matematikai statisztika. Gráfelmélet 8. Mértani alapfogalmak Az aritmetika feladatok sajátos megoldási módszerei 9. Az ábrázolás módszere 10. A mérlegelv. A fordított út módszere 11. Az összehasonlítás módszere 12. A hipotézisek módszere 13. Arányosság. Százalékok 14. Keverék és ötvözetszámítás. Mozgásos feladatok. A téglalap módszer A hallgatók a tantárgy tanulása révén képessé válnak: -

egységes rendszerben és megfelelő mélységben érteni és értelmezni az alsó tagozat matematikai tartalmait a tananyagban és a különböző versenyeken előforduló standard és nem standard feladatok megoldására, azok továbbgondolására, önálló feladatalkotásra az alsó tagozatos matematika hatékony tanítására

Kötelező könyvészet: o Dr. Csóka, G. (1889): Elemi matematika példatár az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest o Matematika Feladatgyűjtemény az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára, 1996, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest o Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár o Pappné dr. Ádám, Gy. (szerk.) (1996): Matematika az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest o Szerencsi, S. (1975): Matematika, Tankönyvkiadó, Budapest o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár

A találkozások terve/beosztása: I.

Tanulási egység: A matematikai logika alapjai.

3

Kulcsfogalmak: Logikai műveletek, néhány fontos logikai azonosság, illetve tautológia. Kvantorok, a tagadás, az ellenpélda. A különböző bizonyítási módszerek használata feladatok megoldásánál. Logikai feladatok Könyvészet: o -Czondi, J. (szerk.) (2007): Matematika, Tankönyv a IX. osztály számára, Ábel Kiadó, Kolozsvár (62 – 78) o -Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, (10 – 22) o -Szerencsi, S. (1975): Matematika, Tankönyvkiadó, Budapest (9 – 19, 77 - 79) o -Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, (11 – 42) II.

Tanulási egység: Halmazelmélet. Relációk

Kulcsfogalmak: A halmazokkal végezhető műveletek elsajátítása és alkalmazása. A bináris reláció felismerése a matematikában és a mindennapi életben, A bináris homogén relációk tulajdonságainak megállapítás. A két legfontosabb relációtípus és azok haszna a matematikában Könyvészet: o Olosz, E. – Olosz, F (1999): Matematika és módszertan. Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (23 - 34) o Matematika az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1996). Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (21 – 25, 30 – 41) o Matematika. Feladatgyűjtemény az általános képzéshez a tanítóképzős főiskolák számára (1996). Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (19 – 31) o Szerencsi, S. (1975): Matematika, Tankönyvkiadó, Budapest (21 – 57) o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?. Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (140 – 148) III.

Tanulási egység: Számhalmazok. Számrendszerek

Kulcsfogalmak: Az ismert számhalmazok és a számosság. A természetes szám értelmezése. A természetes számokkal végzett műveletek és tulajdonságai. A természetes számok körének bővítése, az egész ill. racionális szám különböző értelmezései, műveletek és műveletsorok A valós számok halmaza. A helyiértékes számírás. A számrendszer felépítésének lényege, át és visszaalakítások, műveletek végzése Könyvészet: o Matematika az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1996), Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (55 – 73, 116 - 120)

4

o Matematika (1997), Tankönyv az V. osztály számára, Editura Radical, Drobeta Turnu-Severin (116 – 166) o Matematika (2001), Tankönyv a VI. osztály számára, Editura Petrion, Bucureşti (10 – 18, 42 – 98) o Olosz, E. – Olosz, F (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (35 – 92, 129 - 157) o Szerencsi, S. (1975): Matematika, Tankönyvkiadó, Budapest (66 - 99) IV.

Tanulási egység: Algebrai struktúrák

Kulcsfogalmak: A belső művelet és a számkörbővítés. A belső műveletek tulajdonságai. A monoid, a csoport, a gyűrű, a test és a számhalmazok. Véges halmazok és az algebrai struktúrák Bibliográfia: o Matematică Algebră Manual pentru clasa a XII-a (1988), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti (16 – 44, 56 – 64, 71 – 74) o Farkas, M. (1998) Algebra. Tankönyv a XII. osztályosok számára, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (7 – 11, 21 – 26, 28 – 57, 83 – 86, 89, 96 – 97) o Roşu, M. – Roman, M. (1995): Matematică pentru perfectionarea învăţătorilor. Editura All Educational, Bucureşti (33 - 37) V.

Tanulási egység: A természetes számok oszthatósága

Kulcsfogalmak: Osztható, osztó, többszörös, O = o x h + m. Az oszthatóság tulajdonságainak ill. az oszthatósági kritériumoknak az alkalmazása. Prímszámok, ln.k.o, lk.k.t. A kongruenciák és a diofantoszi egyenletek alkalmazása. Könyvészet: o Olosz, E. – Olosz, F (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (93 – 118) o Matematika az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1996), Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (103 – 115, 121 - 130) o Gimes Györgyné (szerk.) (1990): Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából, Tankönyvkiadó, Budapest (445 – 455) o Matematika (1997), Tankönyv az V. osztály számára, Editura Radical, Drobeta Turnu-Severin (78 - 102) VI.

Tanulási egység: Kombinatorika

Kulcsfogalmak: A permutáció, a variáció, a kombináció fogalma ismétlés nélkül, illetve ismétléssel, ezek számának meghatározása Könyvészet:

5

o Matematika az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1996), Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (155 - 166) o Olosz, E. – Olosz, F (1999): Matematika és módszertan. Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (179 - 186) o Gimes Györgyné (szerk.) (1990): Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából, Tankönyvkiadó, Budapest (456 - 460) o Elemi matematika példatár az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1998), Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest (55 -59) o Kacsó, F. – Mátéfi, I. (2005): Matematika, Tankönyv a X. osztály számára, Ábel Kiadó, Kolozsvár (156 – 171) VII.

Tanulási egység: Valószínűségszámítás. Matematikai statisztika. Gráfelmélet

Kulcsfogalmak: A valószínűség fogalma. Egy esemény valószínűségének kiszámítása a klasszikus definíció alapján. Egyszerű statisztikai táblázat, grafikus ábrázolások, annak értelmezése, következtetések a középértékek illetve a grafikonok alapján. Egyszerű vonalas gráf megrajzolhatósága Könyvészet: o Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (186 - 195) o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (202 - 206) o Elemi matematika példatár az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1998), Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest (60 - 64) o Kacsó, F. – Mátéfi, I. (2005): Matematika, Tankönyv a X. osztály számára, Ábel Kiadó, Kolozsvár (186 – 212) VIII. Tanulási egység: Mértani alapfogalmak Kulcsfogalmak: A mértani alapfogalmak szabatos értelmezése: egyenes, félegyenes, szakasz, pont, sokszög, szög, sajátos sokszögek, poliéderek, görbe felületű testek, a tengelyes szimmetria, hasonlóság, kerület-, terület- és felszín-, térfogatszámítás Könyvészet: o Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (196 - 202) o Matematika az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1996). Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (1175 – 198) o Elemi matematika példatár az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1998), Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest (65 – 74, 78 - 90) o Peller, J. (2003): A matematikai ismeretszerzési folyamatról, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest (37 – 53, 343 – 362)

6

o Szerencsi, S. (1975): Matematika, Tankönyvkiadó, Budapest (9 – 57, 66 – 99) A szöveges feladatok megoldási módszerei: IX.

Tanulási egység: Az ábrázolás módszere

Kulcsfogalmak: Az ebbe a kategóriába tartozó feladatok felismerése. Ábrák készítése. Az ábrák felhasználása a feladat megoldásában. Könyvészet: o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (125 - 139) o Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (212 – 214, 232 - 240) o Roşu, M. – Roman, M. (1995): Matematică pentru perfectionarea învăţătorilor, Editura All Educational, Bucureşti (71 – 75, 85 – 97) X.

Tanulási egység: A mérleg módszer. A fordított út módszere

Kulcsfogalmak: A mérlegtulajdonságok. A mérlegtulajdonságok helyes alkalmazása a feladatok megoldásánál. A fordított út módszerének lényege. A fordított út módszerének helyes alkalmazása a különböző típusú feladatok megoldásánál Könyvészet: o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (43 - 90) o Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (219 – 223, 232 - 240) o Roşu, M. – Roman, M. (1995): Matematică pentru perfectionarea învăţătorilor, Editura All Educational, Bucureşti (78 – 79, 85 – 97) XI.

Tanulási egység: Az összehasonlítás módszere

Kulcsfogalmak: A kiküszöbölés módszerének, illetve a behelyettesítés módszerének alkalmazása két illetve három ismeretlenes egyenletrendszerekhez vezető aritmetikai feladatok esetében. Könyvészet: o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (91 - 101) o Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (216 – 217, 232 - 240) o Roşu, M. – Roman, M. (1995): Matematică pentru perfectionarea învăţătorilor, Editura All Educational, Bucureşti (75 – 77, 85 – 97)

7

XII.

Tanulási egység: A hipotézisek módszere

Kulcsfogalmak: A módszer lényegének az elsajátítása és alkalmazása a különböző feladatok esetében. Könyvészet: o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (102 - 120) o Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (217 – 219, 232 - 240) o Roşu, M. – Roman, M. (1995): Matematică pentru perfectionarea învăţătorilor, Editura All Educational, Bucureşti (77, 85 – 97) XIII.

Tanulási egység: Arányosság. Százalékok

Kulcsfogalmak: Az arány fogalma, az aránypárok alaptulajdonsága. Annak megállapítása, hogy adott mennyiségek egyenes vagy fordított arányosságban állnak egymással. Az egységrehozatal módszere. Egy adott mennyiség felosztása egyenesen, illetve fordítottan arányos részekre. Százalékszámítás Könyvészet: o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (149 - 154) o Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (163 - 178) o Roşu, M. – Roman, M. (1995): Matematică pentru perfectionarea învăţătorilor, Editura All Educational, Bucureşti (79 - 82, 85 – 97) o Rusu, E. (1973): Aritmetică, Manual pentru liceele pedagogice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti (279 – 330) XIV.

Tanulási egység: Keverék és ötvözetszámítás. Mozgással kapcsolatos feladatok. A téglalap módszer

Kulcsfogalmak: A súlyozott középarányos és a keverékszámítás. A téglalap módszer lényege és a keverékszámítás. Út, idő, sebesség. Egyirányú, illetve ellentétes irányú mozgások. A mozgásos feladatok és a téglalap módszer Könyvészet: o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (155 - 164) o Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (228 - 240)

8

o Roşu, M. – Roman, M. (1995): Matematică pentru perfectionarea învăţătorilor, Editura All Educational, Bucureşti (82 - 97) o Rusu, E. (1973): Aritmetică, Manual pentru liceele pedagogice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti (331) A tanulási egységek feldolgozási módja: Kontakt óra: A tanulási egységek anyagának az alább megadott részét dolgozzuk fel alaposabban: I (10%), II (30%), III (10%), IV (30%) V (10%), VI (50%), VII (10%), VIII (10%), IX (30%) X (20%), XI (10%), XII (30%), XIII (10%), XIV (10%) Önálló tanulás: a Kurzus és a Syllabus segítségével a tanulási egységek fennmaradó részei. Fontos kérelem, javaslat: Kérem a hallgatókat, hogy a II. és a III. találkozási időpontra tanulmányozzák át a Tanulási útmutató és a Kurzus tervezett témaköreit. A teljes anyag hatalmas, a Kontakt órákra beütemezett idő ehhez viszonyítva elenyésző, tehát hatékonyabban tudnánk dolgozni, ha az anyagrész legalább részben ismert lehetne. A felmérés módja: - zárthelyi félévi vizsga - házi dolgozat, koreferátum, aktív részvétel

80% 20%

Értékelési szempontok: -Zárthelyi félévi vizsga Írásbeli dolgozat, melynek kb. 75%-át feladatok megoldása tesz ki. Itt szükséges a tanultak alkalmazása. Az elméleti kérdések következésképpen a dolgozatnak kb. 25%-át teszik ki. A tananyag és a feladatmegoldások szempontjából fontosabb elméleti kérdések fognak szerepelni. -Házi dolgozat, koreferátum, aktív részvétel A hallgatók egyéni dolgozatokat készítenek, a végső jegy 20%-át teszi ki. Az egyéni dolgozatok tárgya minden esetben feladatok megoldása, ahogy az a megfelelő modulban meg van adva. Témakörönként 5 - 5 feladatot kell megoldani és a leszögezett időpontig beadni, beküldeni. Ez az I. modulhoz 20, a II. modulhoz 25 és a III. modulhoz is 25 feladat kidolgozását fogja jelenteni.

9

Szervezési részletek, kivételes esetek kezelése: Pótlási lehetőségek: A pótszesszióban újravizsgázhat, vagy a következő, megfelelő félévben pótolja az elmaradásokat. A vizsgán való csalások következményei, óvások megoldása: A vizsgai csalás – általában – a vizsgáról való kizárást eredményezi. Az írásbeli vizsgával kapcsolatos esetleges óvásokat, az eredmények nyilvánosságra hozatalát követő napon oldjuk meg. Választható/opcionális könyvészet: o Czondi, J. (szerk.) (2007): Matematika, Tankönyv a IX. osztály számára, Ábel Kiadó, Kolozsvár o dr. Csóka, G. (szerk.) (1998): Elemi matematika példatár az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest o Farkas, M. (1998): Algebra. Tankönyv a XII. osztályosok számára, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár o Gimes Györgyné (szerk.) (1990): Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából, Tankönyvkiadó, Budapest o Kacsó, F. – Mátéfi, I. (2005): Matematika, Tankönyv a X. osztály számára, Ábel Kiadó, Kolozsvár o Matematika (1997), Tankönyv az V. osztály számára, Editura Radical, Drobeta Turnu-Severin o Matematika (2001), Tankönyv a VI. osztály számára, Editura Petrion, Bucureşti o Matematika Feladatgyűjtemény az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1996), Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest o Peller, J. (2003): A matematikai ismeretszerzési folyamatról, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest o Roşu, M. – Roman, M. (1995): Matematică pentru perfecţionarea profesorilor, Editura All Educaţional, Bucureşti o Rusu, E. (1973): Aritmetică, Manual pentru liceele pedagogice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti

10

Tartalomjegyzék Általános információk a tantárgyról........................................................... 2 I.MODUL: ................................................................................................... 13 A matematikai logika alapjai..................................................................................... 13 Relációk........................................................................................................................ 13 A számfogalom alakulása ........................................................................................... 13 Algebrai struktúrák .................................................................................................... 13 Célkitűzések:............................................................................................................. 13 Tanulási útmutató: .................................................................................................... 14 1.téma: A matematikai logika alapjai ................................................................... 14 2. téma: Halmazelmélet. Relációk ........................................................................ 26 3. téma: Számhalmazok. Számrendszerek ............................................................ 38 4.téma: Algebrai struktúrák .................................................................................. 50 Az önálló tanulást segítő kérdések, feladatok........................................................... 70 Önálló feledatmegoldásra kitűzött feladatok ............................................................ 71 Beküldésre javasolt feladatok ................................................................................... 81 Szakirodalom ............................................................................................................ 81

II.MODUL:.................................................................................................. 83 Oszthatóság.................................................................................................................. 83 Kombinatorika ............................................................................................................ 83 A valószínűségszámítás, a matematikai statisztika és a gráfelmélet elemei .......... 83 Mértani alapfogalmak ................................................................................................ 83 A szöveges feladatok megoldási módszerei: Az ábrázolás módszere ..................... 83 Célkitűzések:............................................................................................................. 83 Tanulási útmutató: .................................................................................................... 83 5.téma: Természetes számok oszthatósága ........................................................... 84 6.téma: Kombinatorika ......................................................................................... 96 7.téma: A valószínűségszámítás, a matematikai statisztika és gráfelmélet elemei. ............................................................................................................................. 104 8.téma: Mértani elemek ...................................................................................... 108 9.téma: Szöveges feladatok megoldási módszerei: Az ábrázolás módszere....... 117 Az önálló tanulást segítő kérdések, feladatok......................................................... 125 Önálló feledatmegoldásra kitűzött feladatok .......................................................... 125 Beküldésre javasolt feladatok ................................................................................. 144 Szakirodalom .......................................................................................................... 144

III.MODUL: A szöveges feladatok megoldási módszerei:.................... 145 A mérleg módszer. A fordított út módszere ........................................................... 145 Az összehasonlítás módszere.................................................................................... 145 A hipotézisek módszere ............................................................................................ 145 Arányosság, százalékok ............................................................................................ 145 Keverék és ötvözetszámítás. Mozgással kapcsolatos feladatok. A téglalap módszer ..................................................................................................................................... 145 Célkitűzések:........................................................................................................... 145 Tanulási útmutató: .................................................................................................. 146 10.téma: A mérleg módszer. A fordított út módszere......................................... 146 11

11.téma: Az összehasonlítás módszere ............................................................... 155 12.téma: A hipotézisek módszere ....................................................................... 160 13.téma: Arányosság, százalékok ....................................................................... 164 14.téma: Keverék és ötvözetszámítás. Mozgással kapcsolatos feladatok. A...... 171 téglalap módszer ................................................................................................. 171 Az önálló tanulást segítő kérdések, feladatok......................................................... 178 Önálló feledatmegoldásra kitűzött feladatok .......................................................... 179 Beküldésre javasolt feladatok ................................................................................. 186 Szakirodalom .......................................................................................................... 186

12

I.MODUL: A matematikai logika alapjai Relációk A számfogalom alakulása Algebrai struktúrák

Célkitűzések: - A kijelentés és predikátum fogalmának tisztázása - Logikai műveletek, tulajdonságaik, összetett kijelentések – igazságtáblázat készítése hangsúlyosan figyelve a tagadás törvényeire - A kvantorok használata, az egyváltozós nyitott mondatok tagadása, az ellenpélda szerepe - A tétel, a fordított állítás (tétel), az ellentétes állítás (tétel), a fordított ellentétes tétel kapcsolata - A direkt bizonyítási módszer használata szöveges feladatok szintetikus, illetve analitikus módon való megoldásánál - Az indirekt módszerek helyes használata: a skatulya módszer A matematikai indukció elve és módszerének használata - Más bizonyítási módszerek alkalmazása szöveges feladatok megoldásánál: a konstruktív módszer, az algoritmikus módszer, az invariancia elve - A halmazműveletek alkalmazása a halmazábrás feladatok megoldásánál, valamint a kétváltozós relációk értelmezésénél is. - Példákat sorolni a minket körülvevő világból bináris relációkra, a homogén relációk tulajdonságainak felismerése és indoklása, a tulajdonságok leolvasása az ábrázolásról - Tudja tudatosan megkülönböztetni a két legfontosabb bináris relációt a mindennapi életben és a matematikában - A természetes számok is ekvivalenciaosztályok. A halmazelméleti és axiomatikus értelmezés. Az N-en végzett műveletek tulajdonságai - A számkörbővítés. Az egész, a racionális és a valós számok, műveletek ezekkel. - Véges, végtelen, megszámlálható halmazok - Valamely alapú számrendszer megalkotása konkrét példa által. Műveletek más alapú számrendszerekben. - A belső művelet fogalmának, a műveletek tulajdonságainak (kommutativítás, asszociativítás, semleges elem létezése, szimmetrizálható elemek, disztributivítás) mélyítése ismert és az ismerthez közelálló példák által - A monoid, a csoport, a gyűrű, a test. A tanulmányozott négy algebrai struktúrával próbáljunk az eddig ismert műveletek és a hozzájuk rendelt halmazok között rendszert teremteni

13

Tanulási útmutató: A modul négy nagy témát dolgoz fel. Az első téma a kijelentések és predikátumok (nyitott mondatok) fogalmával indít, az ezekkel végezhető műveleteket , tulajdonságaikat mutatja be. A tulajdonságok helyes használata, valamint a helyes kvantifikáció (a bármely és létezik kifejezések használata) segít a szabatos következtetésekben, a tagadáskor előforduló gyakori hibák korrigálásában. A tétel, fordított, ellentétes állítások megfogalmazása, amelyek esetenként tételek is lehetnek, mélyíti a fentieket, hangsúlyozza a szükségesség és elégségesség fogalmát, valamint a fordított ellentétes állítás egyenértékűségét a direkt tétellel. A különböző bizonyítási/feladatmegoldási módszerek több, különböző típusú feladat megoldásához adnak ötletet, módszert. A második téma a halmazműveletek tisztázásával előkészíti a fogalmakat a halmazábrás feladatok megoldásához, másrészt a bináris reláció fogalmához. A bináris relációk kimeríthetetlen sokasága ráirányítja figyelmünket, hogy körülöttünk „minden reláció”. A relációk ábrázolása áttekinthetőbbé teszi a különböző relációkat, a homogén relációknál pedig világosabbá válnak a tulajdonságok. A bináris homogén relációk két jelentős csoportja pedig végleg meggyőz arról, minden osztályozáshoz, illetve rendezéshez tartozik egy-egy reláció. A harmadik téma a számfogalom alakulásával foglalkozik. Bővebben a természetes szám fogalmával, mint tőszám és sorszám, a természetes számok körében végezhető műveletekkel, azok tulajdonságaival. Kitér egy eléggé meglepő és érdekes témára: a végtelen és megszámlálható halmazokra néhány gondolattal és példával. A számkörbővítés szükségességét, az egész, illetve racionális számok lehetséges értelmezési módjait csak érintőlegesen taglalja. Szó van a közönséges és tizedes törtek kapcsolatáról, végül pár gondolat a valós számokról. A harmadik témához tartozik a helyiértékes számírás néhány jellegzetessége. A nem tízes alapú számrendszerek megalkotásából kitűnik, hogy mi is a lényege ennek, milyen számjegyeket használhatunk, az át- és visszaalakítások mikéntjének magyarázata is. A négy alapműveletnek más számrendszerekben való elvégzése által rögzíthetjük a műveletvégzés algoritmusát. A negyedik téma pontosítja az adott halmazon végezhető művelet fogalmát. Példákat találunk véges, illetve végtelen halmazokon végzett műveletekre, mindezek alapját, természetesen a számokkal végzett ismert alapműveletek képezik. Általánosan megfogalmazzuk a műveletek öt tulajdonságát, a megadott példák esetén tanulmányozzuk ezek meglétét. A négy tanulmányozott algebrai struktúrára adott példák rámutatnak arra, hogy mindezek a számhalmazok és műveletek esetén ismertek voltak, csak a megfelelő megnevezés, rendszerbe foglalás az új.

1.téma: A matematikai logika alapjai Célkitűzések: -

A kijelentés és predikátum fogalmának tisztázása Logikai műveletek, tulajdonságaik, összetett kijelentések – igazságtáblázat készítése hangsúlyosan figyelve a tagadás törvényeire

14

-

A kvantorok használata, az egyváltozós nyitott mondatok tagadása, az ellenpélda szerepe A tétel, a fordított állítás (tétel), az ellentétes állítás (tétel), a fordított ellentétes tétel kapcsolata A direkt bizonyítási módszer használata szöveges feladatok szintetikus, illetve analitikus módon való megoldásánál Az indirekt módszerek helyes használata: a skatulya módszer A matematikai indukció elve és módszerének használata Más bizonyítási módszerek alkalmazása szöveges feladatok megoldásánál: a konstruktív módszer, az algoritmikus módszer, az invariancia elve

Kulcsszavak: kijelentés, logikai érték, tagadás, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia, összetett kijelentések, de Morgan képletek, tautológia; predikátum, alaphalmaz, igazsághalmaz, kvantifikáció, a tagadás szabálya; tétel és a hozzá kapcsolódó megfogalmazások; bizonyítási módszerek: direkt: szintetikus, analítikus; indirekt: reductio ad absurdum módszere, skatulya-elv; induktív módszer: a matematikai indukció; más módszerek: konstruktív, algoritmikus, az ellenpéldával történő cáfolás, az invariancia elve. A. Önálló tanulásra kijelölt részek: I.A matematikai logika alapjai című fejezet következő alfejezetei: I.1. A kijelentés. A predikátum I.3. A tételek I.4. Bizonyítási módszerek című részből: - Direkt bizonyítási módszerek A fenti alfejezetek megtalálhatók a Kurzusban …..-ig terjedő oldalakon. B. Kontakt órán feldolgozandó részek: Az indirekt bizonyítási módszerek Az indirekt módszer esetében egy állítás helyes voltát úgy igazoljuk, hogy bebizonyítjuk az ellentétes állítás hamis voltát. Vagyis feltesszük, hogy a bizonyítandó állítás nem igaz. Erre támaszkodva, a logikai következtetések lépéseit helyesen alkalmazva, ellentmondáshoz jutunk. Mivel a következtetésünk lépései helyesek voltak, csak a kiinduló feltétel lehetett helytelen. Tehát a bizonyítandó állítás nem lehet hamis, csakis igaz. A bizonyítás során ellentmondásba kerülhetünk a kiinduló feltevéssel, valamely, már ismert eredménnyel, tétellel, vagy axiómával. A leírt módszert gyakorlatilag a lehetetlenre való visszavezetés módszerének (reductio ad absurdum módszere) nevezzük. Pólya György szerint az indirekt bizonyítási módszerek és a reductio ad absurdum módszere csak nagyon kevésben (szemléletükben) különböznek egymástól. Ez azt jelenti, hogy gyakorlatilag egymásba átfogalmazhatóak.

15

Pl.Öt sziget közül bármelyiket hajó- illetve repülőjárat köt össze, de csak az egyik úgy, hogy egyik járattal sem lehet három szigetet körbejárni. Igazoljuk, hogy minden szigetről két hajó, és két repülőjárat indul. -

Készítsünk rajzot. Tegyük fel a bizonyítandó állítás ellentétesét: nem igaz, hogy… Akkor: indulhat: a.) … b.)…

- Gondolkodjunk először azon, mi van ha 3 repülő járat indul? Nézzük az ábrát. (Pl. induljon A-ból 3 repülőjárat.) - Mi következik ebből a feladat feltételének figyelembe vételével? Miért nem valósulhat ez meg? (Nézzük ABC∆, ACD∆, ABD∆ háromszögeket. Ezek két oldalán repülőjárat van, tehát a harmadik oldal csak hajó lehet. Vagyis BC = h, CD = h, BD = h. Így BCD∆ minden oldala hajóval lesz körbejárva, ami ellentmond a feladat kérésének. Tehát nem indulhat egy helységből 3 repülőjárat.) - Mi történik, ha 1 repülőjáratban gondolkodunk? (Ha egy a repülő, akkor 3 a hajó és ugyanott vagyunk, ahol az előző esetben.) 16

-Indulhat-e négy járat? -Mi következik mindezekből? (Pontosan az, amit a feladat igazolni kért.) • • -Hogy hívjuk a fent alkalmazott módszert? • -Mi is a módszer lenyege? Egy másik indirekt módszer Diridhlet módszer, vagy másképpen skatulya-elv. Pl. Egy 25-ös létszámú osztályban mindenki írt félévi dolgozatot, amelyet a tanár 10-3-ig (bezárólag) osztályozott. Igazoljuk, hogy biztosan volt legalább 4 tanuló, aki azonos dolgozatjegyet kapott. Megoldás: - Hányféle osztályzatot használ a tanár? (8 félét.) -

Gondolkodjunk a lehető legrosszabb esetben: minden osztályzat kerüljön sorra.

(Nyilván, hogy így szerepeljenek az osztályzatok, ritkán történik meg, de előfordulhat.) -

Hányszor kerülnek sorra az osztályzatok?

(háromszor, mert 24-ben a … megvan …). -

De a 25. tanuló osztályzata csak hová kerülhet, és hányadiknak? Tehát, mit következtettünk így ki?

(Van olyan osztályzat, amelyet legalább 4 tanulónak kellett kapnia.) • Hová soroltuk be az osztály tanulóit, a feladat megoldása során? • (Az osztályzatok „skatulyáiba”.) •

Miért indirekt ez a módszer?

(Mert az gondolat, hogy a 8 skatulyába rendre csak legfennebb 3 – 3 tanuló kerülhet a 25-ös osztálylétszám miatt nem lehetséges.) Itt a Dirichlet-elv egyszerűbb változatát használtuk, miszerint, van n skatulya és k ⋅ n + r , r > 0 darab tárgy. Ha elhelyezzük a tárgyakat a skatulyákba, minden skatulyába jut k darab tárgy, de mivel r > 0 , kell legyen legalább egy skatulya, amelybe k + 1 darab tárgy jutott. 17

A fenti feladat esetén tehát n = 8 és k = 3. Pl. Legalább hány tanulója van annak az iskolának, amelynek tanulói közül biztosan ki tudunk választani 3 tanulót úgy, hogy a születésnapjuk az év azonos napján legyen. Megoldás. - Hány skatulyánk van? - Hány tanulóban gondolkodunk, ha az év minden napjára két tanulót számítunk? - Hány tanulója kell legyen hogy egy napra legalább 3 szülinap jusson? (2 · 365 + 1 = 733 (tanuló)). Az induktív bizonyítás módszere

A matematikai gondolkodásban gyakran előfordul mind a deduktív, mind az induktív gondolatmenet. A deduktív gondolatmenet esetében egy általános állításból konkrét esetre következtetünk. Az induktív gondolatmenet esetében sajátos esetekben érvényes kijelentésekből kiindulva jutunk el általánosan érvényes kijelentésekhez. Magát az eljárást indukciónak nevezzük. Ha az általános kijelentést néhány eset megvizsgálására alapoztuk, és később sem végeztünk igazolására semmilyen eljárást, akkor ezt nem teljes indukciónak nevezzük. A teljes indukció módszere az a következtetési mód, amikor az adott szituáció esetén minden esetet megvizsgáltunk és így vontuk le az általános következtetést. Az olyan típusú kijelentések, amelyek végtelen sok természetes számra érvényesek, teljes indukcióval nem igazolhatók (a végtelen sok számú eset miatt). A (∀n ) p(n ) típusú kijelentések bizonyítására a matematikai indukció módszere szolgál. A matematikai indukció elve: Legyen p(n) az n természetes számoktól függő, az n ≥ m természetes számokra érvényesnek bizonyítandó kijelentés. Ha a p(n) kijelentésre érvényesek: - p(m) igaz kijelentés - abból, hogy p(k) kijelentést igaz, ahol k tetszőleges természetes szám, igazolni tudjuk, hogy p(k + 1) is igaz kijelentés akkor, a p(n) kijelentés igaz, minden természetes számra m-től kezdődően. Megjegyzés A matematikai indukció elve tulajdonképpen azt kéri, hogy legyen egy kiinduló szám, amiről egyenként továbblépkedve (p(k) maga után vonja p(k + 1)-et), „átterjed” a tulajdonság minden természetes számra. Mint amikor egy álló, egymástól megfelelő és egyenlő távolságban lévő, dominókból alkotott sor esetén, az első feldöntésével a dőlés végigterjed az egész soron, amennyiben az sehol nincs megszakítva.

18

Pl. Igazoljuk, hogy minden n ∈ N ∗ természetes szám esetén igaz hogy: 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n 2 Megoldás: - Hány lépésből áll a matematikai indukciós bizonyítás? I.lépés. - Melyik számra igazoljuk a kijelentést a bizonyítás első részében? (Arra a legkisebb természetes számra, amelytől kezdve igaznak kell lennie a kijelentésnek. A fenti példánál ez az n = 1 szám. Igazoljuk p(1) igazságát: 1 = 12 ) A p(n) kijelentés szerkezetével való ismerkedés érdekében, még igazoljuk p(2) és p(3) állítások igaz voltát is, bár ezt az indukciós bizonyítás nem kéri. p(2): 1 + 3 = 4 = 2 2 igaz, ahol a 3 = 2 ⋅ 2 − 1 . P(3): 1 + 3 + 5 = 9 = 3 2 igaz , ahol 5 = 2 ⋅ 3 − 1 ) - Mit feltételezünk az indukciós bizonyítás második részében? (II.lépés Elfogadjuk igaznak a p(k) kijelentést, vagyis: F.: p(k): 1 + 3 + 5 … + (2k – 1) = k²) - Mit szeretnénk igazolni ezen feltétel segítségével? (Ennek a segítségével igazoljuk, hogy igaz a p(k + 1) kijelentés, vagyis: K.: p(k + 1): 1 + 3 + 5 +…+(2k + 1) = (k + 1)² Ez utóbbit úgy kaptuk, hogy p(n) kifejezésbe az n helyére k + 1-et írtunk.) bizonyítás: - Mi a leglényegesebb lépés a következtetésben szereplő kijelentés igazolásában? (Alakítsuk át a kijelentésben található összeget, hogy felhasználhassuk a II. rész feltevésének állítását.) - Mit teszünk ezért? (Beírjuk az 1 + 3 + 5 +…+(2k + 1) végtelen összegbe az utolsó előtti tagot, vagyis a 2k + 1 páratlan szám előttit, a 2k – 1-et. Ezt kapjuk: 1 + 3 + 5 +…+ (2k – 1) + (2k + 1) Nyilván az összeg nem változott meg csak formailag, mivel így láthatóvá vált az utolsó két tag. Így már fel tudjuk használni az indukciós feltételt.

19

Az indukciós feltétel alapján az 1 + 3 + 5 … + (2k – 1) összeget helyettesíthetjük k²tel. Így a következő igaz egyenlőséget kapjuk: 1 + 3 + 5 +…+ (2k – 1) + (2k + 1) = k² + (2k + 1) = k² + 2k + 1 = (k + 1)² Ezzel a következtetés egyenlőségét, vagyis p(k + 1)-et igazoltuk.) - Így a matematikai indukció elve alapján, p(n) igaz minden nemnulla természetes számra. •

-Miért igaz a fenti két lépés alapján a p(n) minden nemnulla természetes számra?

(Mert az első lépés alapján igaz az n = 1-re. De a második lépés alapján, ha igaz valamelyikre (k-ra), akkor igaz az ez után következőre is (k + 1-re). Vagyis akkor igaz lesz n = 2-re is. De akkor igaz lesz 3-ra is. És így tovább, igaz lesz minden természetes számra.) Pl.A következő kijelentés egy sajátos oszthatósági esetet igazol. p(n): Minden nemnulla n természetes számra igaz, hogy minden: 9 n − 1 alakú természetes szám osztható 8-cal. Bizonyítás: - Végezzük el az indukciós bizonyítás első lépését. Melyik számot kell behelyettesíteni a kijelentésbe? Esetleg még megpróbálhatjuk az n = … (I.lépés: p(1): 91 − 1 = 8 , ez osztható 8-cal. p(2): 9 2 − 1 = 81 − 1 = 80 , osztható 8-cal.) -Írjuk föl az indukciós bizonyítás II. lépésének a feltevését és következtetését. Hogyan kapjuk ezeket? n helyett mit írunk először, mit írunk másodszor? (II.lépés: F.: p(k): (9 k − 1)M8 K.: p(k + 1): (9 k +1 − 1)M8 ) -Hogyan kell átalakítani a következtetésbe írt kifejezést? (bizonyítás: A 9 k +1 − 1 kifejezést egyenértékű módon átalakítjuk, hogy fel lehessen használni az indukciós feltételt.) - Próbálkozzunk az átalakítással. ( 9 k +1 − 1 = 9 k ⋅ 9 − 1 = 9 k ⋅ 9 − 9 + 9 − 1 = (9 k ⋅ 9 − 9) + 8 = 9 ⋅ (9 k − 1) + 8 )

20

-Jó-e amit kaptunk? Fel lehet-e használni az indukciós feltételt? Megkaptuk-e azt, hogy osztható a következtetésben levő kifejezés 8-cal? (A kapott kéttagú összeg első tagja az indukciós feltétel alapján osztható 8-cal, a másik tag a 8, nyilvánvalóan osztható 8-cal. Mivel az összeg mindkét tagja osztható 8-cal, ezért az egész összeg osztható 8-cal. ) Ezzel a bizonyítás második része is be van fejezve, tehát igaz maga a p(n) is, minden megadott n esetén. Pl.Adott a sík n különböző pontja, amelyek hármanként nem esnek egy egyenesbe (n ≥ 3) . Igazoljuk, hogy ezen pontok által meghatározott egyenesek száma n(n − 1) . 2 - A bizonyítás megkezdése előtt vegyük sorba az n = 3, n = 4, n = 5, n = 6 eseteket. Figyeljük meg hogyan szaporodott 1 pont hozzárajzolásával az egyenesek száma, egészen pontosan, a már meglevők mellé hányat kellett húzni? A bizonyítás II. részénél analóg módon gondolkodunk. - Most járjuk végig a bizonyítás lépéseit. (A bizonyítás leírása részletesen: Bizonyítás: I.lépés n = 3 egyenes estén 3 db egyenesünk van. Valóban 3 =

II.lépés

3 ⋅ (3 − 1) . 2

k (k − 1) egyenes van. 2 (k + 1)k K.: p(k + 1): k + 1 db pont esetén db egyenes van. 2 biz. Elképzeljük, hogy előzőleg már megrajzoltuk a k db, hármanként nem egy egyenesen k (k − 1) db egyenest. (Ezt állítja az levő pontot és megrajzoltuk az általuk meghatározott 2 indukciós feltétel.) Vegyünk fel melléjük még egy, velük hármanként nem kollineáris pontot. Ebből az utolsó pontból a már megrajzolt egyenesek mellé pontosan k db egyenest kell húzni (az utolsónak felvett pontot összekötni a már ottlevőkkel.) k ⋅ (k − 1) k ⋅ (k − 1) + 2k k 2 − k + 2k k 2 + k k ⋅ (k + 1) Tehát összesen +k = = = = egyenes 2 2 2 2 2 van. Ezzel a bizonyítás véget ért, megadva a feleletet, hogy az adott feltételek mellett valóban n(n − 1) db egyenes köti össze a pontokat.) 2

F.: p(k): k db pont esetén

21

A feladat tulajdonképpen azt igazoltatta, hogy egy n oldalú konvex sokszög oldalainak és n(n − 1) átlóinak száma összesen (n ≥ 3). 2 Más bizonyítási módszerek

Ezek a bizonyítási módszerek tulajdonképpen kombinált módszerek, amelyeknél valamelyik módszer a hangsúlyosabb. A konstruktív módszer

A konstruktív módszer segítségével, esetenként felhasználva a matematika valamely területének eredményeit, gyakorlatilag „megszerkesztjük”, megkonstruáljuk magát a megoldást. Pl. „- Ha megfelelően vágod le a hétfejű sárkány fejeit, megmenekülsz!”- figyelmeztette a királyfit táltos paripája. „- Egyiket sem vághatod annyiadikként, ahányadik a nyakán! Legelőször és negyedikként páratlan sorszámú fejet kell levágnod! A hatodik fej levágása után már csak ennek két szomszédja maradt levágatlan.” A királyfi megmenekült. Milyen sorrendben vágta le a sárkány fejeit? - A feladat megoldása a feltételek figyelembe vételével, valóban megszerkeszthető. - Sorszámozzuk ezért a fejeket arab számokkal, a levágás sorszáma legyen római szám. - Melyik három fejet és helyet tudunk először kitölteni? - Megmaradt tehát az első négy fej és az első négy hely. A feltételek ezek sorrendje megállapításához is elegendőek. (Következzen itt a részletes megoldás leírása: Megoldás. Sorszámozzuk meg a feltételeket. Legyenek ezek (1), (2), (3) a feladatban megadott sorrendben. (A levágás sorszáma római szám, a fejek sorszáma arab szám.) (3)-ból: A hatodik fejet ötödiknek vágja le, lásd (3)-as feltétel. A maradék két szomszéd fejet, az ötödiket és a hetediket az (1) alapján csak így vághatja le: a hetediket hatodiknak, az ötödiket hetediknek: 6. – V. 7. – VI. 5. – VII. Maradt tehát az első négy fej és az első négy hely. A (2) alapján először a harmadik fejet, az elsőt pedig negyediknek vághatja le. A maradék második fejet harmadiknak, negyediket pedig másodiknak fogja levágni. Így a fejek levágási sorrendje: I. – 3., II. – 4., III. – 2., IV. – 1., V. – 6., VI. – 7., VII. - 5.)

22

Tehát a megoldás során a feltételekből kiindulva megszerkesztettük, megkonstruáltuk a megoldást. Pl. Nagyapa a következőképpen határozza meg éveinek számát: „Mindegyik gyermekemnek annyi gyereke van, mint ahány testvére. Éveim száma együttesen annyi, mint gyerekeim és unokáim száma együttesen.” Hány éves a nagyapa, ha életkora 50 és 80 év között van? (Megoldás. Sorbavéve a lehetséges eseteket, megszerkesztjük a megfelelő megoldást. Eleinte jobban áttekinthetők az egyes esetek, ha le is rajzoljuk őket. N # # # # Gy Δ ΔΔ ΔΔΔ ΔΔΔΔ U ¤¤ ¤¤¤¤¤¤ ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤ Az összefoglaló táblázatot addig töltjük ki, amíg biztosak leszünk abban, hogy mi a helyes megoldás. GY U Ö

1 0 1

2 2 4

3 6 9

4 12 16

5 20 25

6 30 36

7 42 49

8 56 64

9 72 81

Végigjárva az egymást követő eseteket, látható, hogy a nagyapa 64 éves.) E feladatnál is a megoldás megkonstruálása történt. Az algoritmikus módszer

- Hol találkozunk az alsó tagozatos matematikában algoritmusokkal? - Mi az algoritmus? - Miért hasznosak az algoritmusok? Milyen típusú gondolkodást fejlesztenek? - Milyen típusú gondolkodás kerül hátrányba, ha csak algoritmusokkal találkozik a tanuló? Pl.Egy ötfős kirándulócsoport egy folyóhoz ér, ahol 2 gyerek játszik. Csak egy csónakkal kelhetnek át, amely egyszerre egy kirándulót, vagy legtöbb két gyereket vihet. Át tudnake kelni a felnőttek a túlsó partra, s ha igen, hány fordulatból? • • •

A megoldás tulajdonképpen abból áll, hogy megszerkesztjük, hogy hogyan jut át egy felnőtt. Aztán ezek a lépések ismétlődnek, míg valamennyi felnőtt átjut a folyón. Maga a módszer valóban kombinált: konstruktív és algoritmikus.

23

(Megoldás: átkelés 5 f., 2 gy. 1. 5 f. 2. 5 f., 1 gy. 3. 4 f., 1 gy. 4. 4 f., 2 gy.

2 gy. → 2 gy. ← 1 gy. 1 gy. 1 f. → 1 f., 1 gy. ← 1 gy. 1 f.

Tehát, ahhoz, hogy 1 felnőtt átjusson 2 fordulatra van szükség, vagyis az öt felnőtt átjutásához 10 fordulat fog kelleni, egészen pontosan 9 és fél, mert a feladat nem rögzíti, hogy a felnőttek átkelése után a gyerekeknek hol kell lenniük.) Az ellenpéldával történő cáfolás módszere

Pl.Egy sakktábla, (8x8-as), minden mezőjét megszámozzuk az 1, 2, 3, 4 számok valamelyikével úgy, hogy bármelyik rácspontra illeszkedő négy mező különböző számokat tartalmazzon. Igaz-e, hogy a sakktábla sarokmezői között vannak azonos számozásúak? Megoldás: - Próbáljunk megkonstruálni egy megoldást. - Próbálkozzunk többféle módon, nyilván a feladat követelményeinek megfelelően. - Mi a válasz mindenik esetben? - Tehát minden megkonstruált példa ellenpéldának minősül. - Tudnánk-e olyan méretű „sakktáblát” használni, ahol teljesülnek a feladat követelményei? 1 3

2 4

A fenti 2x2-es tábladarabot ráhelyezzük a sakktáblára és a következő elrendezést kapjuk:

Ezen az elrendezésen látható, hogy a feladat feltétele teljesül, viszont a sarokmezők számozása mind különböző. Tehát amit megszerkesztettünk, az egy ellenpélda. A megszerkesztés azt is mutatja, hogy bárhonnan kezdhetjük a számozott sarkot ráhelyezni a sakktáblára, a fentihez hasonló elhelyezést kapunk. Az is belátható, hogyha a 2x2-es négyzetbe más sorrendbe, de a feladat követelményeinek megfelelően írjuk be a számokat, a válasz ugyanaz. Tehát a válasz mindenképpen nemleges.) A példában tehát ellenpéldát konstruáltunk. 1 3 1 3 1 3 1 3

2 4 2 4 2 4 2 4

1 3 1 3 1 3 1 3

2 4 2 4 2 4 2 4

1 3 1 3 1 3 1 3

2 4 2 4 2 4 2 4

1 3 1 3 1 3 1 3

2 4 2 4 2 4 2 4

24

Az invariancia elve

A feladat megoldásában segít a feladat megoldásakor, illetve a megoldás lépéseinek felépítésekor kapott bizonyos elemek invarianciája, változatlansága. A megoldás során figyelni kell erre, észre kell venni. Pl.A Csodakert fáin 25 banán és 30 narancs van. Egy-egy alkalommal két gyümölcsöt szakítunk le, de rögtön visszanő egy. Ha egyformákat vettünk le, akkor egy narancs nő, ha különbözőeket, akkor egy banán nő helyettük. Milyen gyümölcs marad utolsónak? -

Próbáljuk meg megszerkeszteni a megoldás néhány lépését leírva, hogy mi történik az egyes esetekben. Figyeljünk arra, hogy hogyan változik a narancsok száma, illetve hogyan változik a banánok száma. Mit veszünk észre? Mivel a banánok száma, bármelyik „szedési” módot vesszük figyelembe, páratlan, ezért nem fogyhat el teljesen, vagyis utoljára mindig banán marad.

(Megoldás 1.ha 2 banánt szakítunk egyszerre: 25 b 23 b 21 b 19 b 30 n 31 n 32 n 33 n 2.ha 2 narancsot szakítunk: 25 b 25 b 25 b 30 n 29 n 28 n 3.ha 1b és 1n: 25 b 25 b 25 b 30 n 29 n 28 n Tehát megfigyelve a meggondolásokat, látható, hogy a banánok száma mindig páratlan. Tehát a narancs elfogyhat teljesen, de megmarad 1 banán. ) Itt az invariáns a banánok páratlan száma. •

Tulajdonképpen meg próbáltuk megszerkeszteni a megoldás lépéseit. E közben vettük észre a tényleges választ, a banánok páratlanságának invarianciája miatt. Vagyis ez a módszer is kombinált.

Pl.Van 24 papírlap, melyek közül néhányat 10 részre vágtak. Az így kapott részek közül néhányat ismét 10 részre vágtak., és így tovább. Egyszer valaki kijelenti: „most éppen 2007 papírdarab van.” Jól számolt-e az illető? -

Írjuk le, mi történik, ha 1, 2, 3, … papírlapot helyettesítünk 10 fecnivel. Hogyan növekedik a fecnik száma?

25

-

Honnan lehet tudni, hogy beillik-e a fecnik számának sorába a 2007 db papírfecni?

-

Mi nem változott a feladat megoldása során?

(Megoldás A feladat adataiból következik, hogy a papírfecnik száma 9-cel nő: 24-ről 33-ra 24-ről 42-re, Vagyis ilyen sorban: 24 33 42 51… Ez azt jelenti, hogy ebben a sorban a benne szereplő számoknak 9-cel való osztási maradéka nem változik, mindenik esetben 6. (Ez osztással kipróbálható.) Viszont a 2007nek 9-cel való osztási maradéka 0, tehát a fenti számok sorába nem illeszkedik a 2007. Másképpen: a (2007 – 24) nem osztható 9-cel. Itt az invariancia a 6-os maradék, de azt is lehetne mondani, hogy a papírfecnik számának 9-cel való növekedése az invariáns.) Pl.Egy hosszú egyenes árokban egy sáska, egy szöcske és egy tücsök ül, ebben a sorrendben. Időnként valamelyik átugorja a szomszédját. Előfordulhat-e, hogy 2007 ugrás után újból a kiinduló sorrendben üljenek? (A rovarok csak az árokban, tehát csak egy egyenes mentén szökdöshetnek.) -

Szerkesszünk meg néhány lépést és figyeljünk arra, hogy milyen eredményeket kapunk.

-

Hányadik ugrások eredményeképpen kapjuk vissza valahol az eredeti sorrendet? (2., 4., 6., …) - Tehát a válasz nemleges. -

Mi az invariáns ebben a feladatban?

(Itt is a párosság, mivel az első ugrás után mindenképpen helycsere történik. A visszacserélődés, csak a következő után esedékes.)

2. téma: Halmazelmélet. Relációk Célkitűzések:

-

A halmazműveletek alkalmazása a halmazábrás feladatok megoldásánál, valamint a kétváltozós relációk értelmezésénél is. Példákat sorolni a minket körülvevő világból bináris relációkra, a homogén relációk tulajdonságainak felismerése és indoklása, a tulajdonságok leolvasása az ábrázolásról

26

-

Tudja tudatosan megkülönböztetni a két legfontosabb bináris relációt a mindennapi életben és a matematikában

Kulcsszavak: halmaz, részhalmaz, műveletek halmazokkal (egyesítés, metszet, kivonás, kiegíszítő halmaz, Descartes-szorzat), halmazműveletek és feladatmegoldás, bináris reláció, homogén reláció, a relációk ábrázolása (rács, nyíldiagram, gráf), a bináris homogén relációk tulajdonságai (reflexivítás, irreflexivítás, szimmetria, asszimmetria, antiszimmetria, tranzitivítás), ekvivalencia reláció és osztályfelbontás, rendezési relációk (irreflexív ren dezés, reflexív rendezés, teljes rendezés) A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

II. Halmazok. Relációk című fejezet következő alfejezetei: II.1. Rövid halmazelmélet II.2. Relációk - A relációk ábrázolása - A relációk tulajdonságai A fenti alfejezetek megtalálhatók a Kurzusban …..-ig terjedő oldalakon. B. Kontakt órán feldolgozandó részek: II.2. A relációk

Pl.1. Adottak A = {2,5} és B = {10,11,12,15} halmazok. Képezzük az A×B Descartesszorzatot. Válasszuk a Descartes-szorzat következő részhalmazát: {(2,10); (2,12); (5,10); (5,15)}. Vajon milyen szabály szerint válogattunk? Milyen összefüggés figyelhető meg a Descartes-szorzat választott elempárjai között? - Miből áll a Descartes-szorzat? (Rendezett elempárokból.) -Hogyan képezzük ezeket? (Az elempár első elemét az első halmazból, a másodikat a második halmazból választjuk, vagyis: A × B = {(2,10); (2,11); (2,12); (2,15); (5,10); (5,11); (5,12); (5,15)} . - Most figyeljünk arra, hogy vajon mi lehet a válogatás szabálya? (F.: Ha az elempárok (a,b), akkor a osztója b-nek.) A példa az A és B halmaz elemei között egy kapcsolatot, relációt értelmez. A példánkban azt mondjuk: aρb (a elem ρ relációban van b-vel), ha a osztója b-nek.

27

ρ (ró-görög) Pl.2. (Maradjunk az előző példa két halmazánál.) Ebben a példában ρ relációt megadó szabály legyen: aρb, ha 7a+2>b Milyen számpárok fognak szerepelni ekkor a ρ relációban? (Ekkor a ρ = {(2,15); (5,10); (5,11); (5,12); (5,15)} halmaz pontosan a megadott relációban levő elempárokat adja meg.) Értelmezés. Adottak az A és B halmazok. Az A és B halmazon értelmezett bináris, kétváltozós reláció az A és B halmazok A×B Descartes-szorzatának egy részhalmaza. Megjegyzések -Mivel maga a Descartes-szorzat nem kommutatív, a két halmaz szerepe általában nem felcserélhető. -A fenti példákból adódik, hogy a reláció megadásához, a halmazok megadása mellett, elégséges a Descartes-szorzat részhalmazának megadása. (Ilyen esetben lehet az a feladat, hogy fogalmazzuk meg a reláció, a válogatás, a megfeleltetés szabályát.) -Fordítva is eljárhatunk: megadjuk a két halmazt és azt a szabályt, amely szerint az első halmaz valamely elemének megfeleltetjük a második halmaz valamely elemét. (Ilyenkor viszont az lehet a feladat, hogy adjuk meg az A×B-nek a relációt leíró részhalmazát, vagyis soroljuk fel a relációban levő elempárokat.) -A következőkben a relációban mindig elempár fog szerepelni, vagyis bináris, kétváltozós relációkról lesz szó. Ezeket röviden relációknak fogjuk nevezni. Pl.3. A={Eszter, Anna, Kincső, Rózsa}, B={eper, málna, egres, alma, szamóca, narancs}. ρ = {(Eszter , eper ); (Eszter , egres ); ( Anna, alma ); ( Anna, narancs ); (Rózsa, szamóca )} . Fogalmazzuk meg a reláció szabályát. Megoldás: - Hány eleme lenne az A×B szorzatnak? (Ha képeznénk az A×B szorzatot, annak 24 db eleme lenne.) - Hány elempár szerepel ebből a megadott relációban? (Ebből ad meg a fenti reláció ötöt.) - Teljesül-e az értelmezés azon követelménye mi szerint a megadott két halmaz Descartesszorzatának egy részhalmaza adja meg a relációt? -Meg tudjuk-e fogalmazni a reláció szabályát? (Ha megfigyeljük a megadott relációt, meg tudjuk fogalmazni a reláció törvényét: aρb, ha a és b magánhangzói azonosak.) 28

A fenti példákból látható, hogy bármilyen természetű elemeket tartalmazó halmazokkal fogalmazhatunk relációkat. A példák sora szinte kimeríthetetlen. Pl.4. A = {piros, zöld, fehér, sárga}, B = {Sára, Panka, Zelma, Ernő, Flóra}. (a, b) ∈ A × B, aρb ⇔ ha a szó ugyanazzal a betűvel kezdődik, mint b szó. Soroljuk föl a relációban részt vevő elempárokat, vagyi adjuk meg a relációt az A×B szorzat részhalmazával. - Mi a reláció szabálya? Melyik szavak kerülnek párba? (Tehát ρ = {(piros, Panka), (zöld, Zelma), (fehér, Flóra), (sárga, Sára)}.) Pl.5. A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4}. ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}. Mi a reláció törvénye? (F.: aρb ⇔ a ≤ b .) Pl.6. A = B = a III. éves hallgatók halmaza. (a, b) ∈ A, aρb , ha a hallgató ugyanolyan magas, mint b hallgató. Adjuk meg a relációt a relációban résztvevő elempárok felsorolásával. (Készítünk egy gyors felmérést. A ρ relációt azok a hallgatópárok alkotják, akik ugyanolyan magasak. Tegyük föl, hogy ezekkel a hallgatókkal dolgoztunk: A = {BM, VE, SA, DM, ME, SzT, SzE, BA} és ezeket az adatokat kaptuk: 1,58 – BM, VE 1,59 – SA, DM,ME 1,56 – SzT 1,57 – SzE 1,53 - BA Tehát ρ = {(BM, VE); (VE, BM), (SA, DM); (DM, SA), (SA, ME); (ME, SA), (DM, ME); (ME, DM), (SzT, SzT); (SzE, SzE); (BA, BA)}.) Ha egy relációban A = B, akkor a relációt bináris homogén relációnak nevezzük. A következők egy A halmazon értelmezett bináris homogén relációkra vonatkoznak A relációk tulajdonságai

(1)Relációban van-e egy elem önmagával, vagy nem? (a)Reflexivítás Értelmezés Egy homogén bináris reláció reflexív, ha az A halmaz minden eleme relációban van önmagával. ρ : A → A reflexív ⇔ ∀a ∈ A esetén aρa

Ha a relációt gráffal ábrázoljuk, minden elem esetén megvannak a hurokélek. 29

Ha ráccsal ábrázoljuk, az átlóról nem hiányzik egyetlen metszéspont sem Példák 1.)Reflexív-e a PL.6.-ban megadott reláció? - Relációban van-e a hallgatók halmazának minden eleme önmagával? (A PL.6.-ban egy reflexív reláció van megadva, minden elem relációban van önmagával, minden hallgató ugyanolyan magas, mint önmaga. Ha a gráfot nézzük, minden elem esetében visszafordul önmagába is a nyíl (hurokélek léte). SzT

BA

SA

BM

DM SzE VE ME 2.)Reflexív-e a PL.5.-ben megadott reláció? (A Pl.5.-ban szintén reflexív relációt adtunk meg, mert bármely szám esetén igaz, hogy a ≤ a .) Az alábbi ábra a Pl.5. ábrája ráccsal:

30

3.)A következőkben megadott példáknál csak a halmaz lesz megadva, amelyen a relációt értelmezzük és a reláció rövid leírása. A reflexivítás fennállásának ellenőrzése az olvasóra marad. a.)A természetes számok halmazán az egyenlőségi reláció (reflexív, mert bármely természetes szám egyenlő önmagával). b.)Az emberek egy csoportján az ugyanolyan súlyos reláció c.)Az emberek egy csoportján az ugyanolyan magas, mint d.)Az emberek egy csoportján az ugyanolyan idős e.)Az emberek egy csoportján a nem magasabb f.)A természetes számok halmazán a ≤ g.)A Föld országainak halmazán az ugyanazon a földrészen vannak h.)Az emberek egy csoportjának halmazán ugyanabban a városban lakik i.)Az egy óvodába járó gyerekek halmazán az ugyanabba a csoportba jár j.)Az emberek egy csoportjának halmazán nem hosszabb a haja (b)Irreflexív reláció Értelmezés Egy homogén bináris relációt akkor nevezünk irreflexívnek, ha egyetlen elem sincs amely relációban lenne önmagával. ρ : A → A irreflexív ⇔ ∀a ∈ A esetén aρ/ a

A rácson. illetve a gráfon a reflexivítást jelentő részletek egyetlen esetben sem jelenhetnek meg, vagyis nincs egy hurokél sem és nincs egyetlen pont sem az átlón.

31

Példák 1.)Nyilván, hogy a reflexivításnál felhozott példák nem felelhetnek meg. 2.)a.)Egy megye lakóinak halmazán az édesanyja reláció (egy lakós akkor van relációban egy másikkal, ha az első édesanyja a másodiknak). Nyilván, mivel senki sem lehet saját magának édesanyja, ezért ez egy irreflexív reláció. b.)Az emberek egy csoportja halmazában az alacsonyabb c.)Valamely számhalmazban a > d.)Az emberek egy csoportján a súlyosabb e.)Az emberek egy csoportján a fiatalabb f.)A síklapok halmazán a kisebb területű (egy síklap relációban van egy másikkal, ha a területe kisebb, mint a másik területe) (2)A kölcsönösséggel kapcsolatos tulajdonságok (a)Szimmetria Értelmezés Egy homogén bináris relációt szimmetrikusnak nevezzük, ha abból, hogy egy elem relációban van egy másikkal, következik, hogy a második elem is relációban van az elsővel ρ : A → A szimmetrikus ⇔ ha aρb, akkor bρa

A gráfon ez úgy látszik, hogy két elem között, vagy nincs nyíl, vagy oda-vissza megy a nyíl. Ha a ráccsal való ábrázolást nézzük, akkor minden pont az átlóra nézve szimmetrikusan kell elhelyezkedjen, esetleg magán a főátlón lehet. Példák 1.)A Pl.5. szimmetrikus reláció - Miért? (Mert ha egyik hallgató magassága egyezik a másikéval, akkor a másodiké is egyezik az elsőével, vagyis, ha egy elem rélációban van egy másikkal, akkor a második is az elsővel.) 2.)A reflexivításnál felsoroltak közül szimmetrikusak: a.), b.), c.), d.), g.), h.), i.). - Vegyük sorra és indokoljuk ezeket! 3.)A háromszögek halmazán a kongruencia 4.)Az egyenesek halmazán a merőlegesség (ha a ⊥ b ⇒ b ⊥ a ).

32

(b)Aszimmetria Értelmezés Egy homogén bináris reláció aszimmetrikus, ha egyetlen esetben sem teljesül a szimmetria ρ : A → A aszimmetrikus ⇔ ha aρb, akkor ⇒ / bρ a

A gráffal való ábrázolásnál két pontot ha él köt össze, az csak egyirányú lehet. Nincsenek hurokélek sem. A ráccsal való ábrázolásnál nincs olyan pont, amely valamelyik másiknak az átlóra nézve szimmetrikusa lenne. Példák 1.)A reflexivításnál megadottak közül egyik sem aszimmetrikus 2.)Az irreflexivításnál megadottak közül a 2.) példában megadott mind a hat reláció aszimmetrikus. (Pl. a c.) példánál: ha egy szám nagyobb, mint a másik, akkor nem lehet, hogy a második nagyobb legyen, mint az első.) (c)Antiszimmetria Értelmezés Egy homogén bináris relációt antiszimmetrikusnak nevezünk, ha abból, hogy aρb és bρa következik, hogy a elem egyenlő a b elemmel. ρ : A → A antiszimmetrikus ⇔ ha abból , hogy aρb és bρa ⇒ a = b

A gráffal való ábrázoláson bármely két pontot nem köt össze él, vagy csak egyik irányú él köt össze. Hurokélek léte nem kizárt. A ráccsal való ábrázolásnál nincs olyan pontpár, amelyek egymás szimmetrikusai az átlóra nézve, illetve ezek csak az átlón lehetnek. Példák 1.)Valamely számhalmaz a ≤ relációval - Miért antiszimmetrikus a nem szigorúan kisebb reláció? (Ha a≤b és b≤a, akkor a = b.) 2.)Valamely számhalmaz a ≥ relációval (Ha a≥b és b≥a, akkor a = b). 3.)N, osztója (Ha a|b és b|a, akkor a = b). 4.)A szavak halmazában az „ábécésorrendben nem előzi meg” reláció - Indokoljunk! (Ha egy szót abc rendben nem előz meg egy másik szó, de a másikat sem előzi meg az első, akkor a két szó ugyanaz kell legyen.) 33

(3)Az átörökíthetőségről szóló tulajdonság Tranzitivítás (láncszabály) Értelmezés Egy homogén bináris reláció tranzitív, ha abból, hogy egy elem relációban van egy másodikkal, a második pedig relációban van egy harmadikkal, következik, hogy akkor az első elem is relációban van a harmadikkal. ρ : A → A tranzitív ⇔ ha abból , hogy aρb és bρc ⇒ aρc

A gráfon az látható, hogy ha egy elemből van egy út egy másik felé, a másiktól egy harmadik felé, akkor az első és a harmadik között van egy „direkt” út is. A rácsról a tranzitivítást nehezebb leolvasni. Példák 1.)A Pl.5. és Pl.6. relációk tranzitívak. 2.)A reflexivításnál megadott mind a 10 reláció tranzitív 3.)Az irreflexivításnál megadottak az a.) kivételével mind tranzitívak 4.)A háromszögek halmazán a kongruencia, a hasonlóság 5.)A természetes számok halmazán az oszthatóság 6.)Az emberek egy csoportjának halmazán az unokatestvére reláció nem tranzitív 7.)Az egyenesek halmazán a merőlegesség nem tranzitív - A fenti példák esetén végezzük el az indoklást! Nevezetes kétváltozós homogén relációk (I.)Ekvivalencia reláció

Értelmezés Egy bináris homogén relációt ekvivalencia relációnak nevezünk, ha reflexív, szimmetrikus és tranzitív.

Pl.Adottak a következő halmazok: A = {3 alma}, B = {3 dió}, C = {alma, fésű, öv}, D = {4 egér}, E = {5 kutya}, F = {4 ember}, G = {5 jaguár}, I = {BMW, Opel, Audi, W}. A felsorolt halmazok által alkotott halmazban értelmezzük a következő relációt: Egy halmaz relációban van egy másikkal, ha ugyanannyi elemet tartalmaznak. Igazoljuk, hogy ez egy ekvivalencia reláció. Megoldás: - Ábrázoljuk gráffal a relációt:

34

A B

D

E

I

C

G

F

- Ellenőrízzük az ekvivalencia reláció által kért tulajdonságok meglétét. Reflexív-e ez a reláció?

(Valóban a reláció reflexív, mert egy halmaz ugyanannyi elemet tartalmaz, mint saját maga, vagyis bármely elem relációban van önmagával. A gráf minden elemének megvan a hurokéle.) - Szimmetrikus-e a reláció?

(A reláció szimmetrikus: ha az egyik halmazban ugyanannyi elem van, mint a másikban, akkor a másodikban is ugyanannyi elem van mint az elsőben, vagyis ha egyik elem relációban van egy másikkal, akkor ez a második is relációban van az elsővel. Az ábrát nézve ha két elem között van egy él, akkor megvan a visszafelé tartó él is a két elem között.) - Tranzitív-e a reláció?

(A reláció tranzitív, mert ahol 3 elem kapcsolódik egybe, ott megvan az első és a harmadik közötti direkt él is. Másképpen mondva, ha egy halmazban ugyanannyi elem van, mint egy másikban, a másodikban ugyanannyi van, mint a harmadikban, akkor az elsőben is ugyanannyi van, mint a harmadikban.) Tulajdonság Bármely ekvivalencia reláció azon a halmazon, amelyen értelmezett egy osztályozást valósít meg. Vagyis az alaphalmazt osztályokra bontja. Osztályok: az alaphalmaz olyan részhalmazai, amelyeknek páronként nincs közös elemük (páronként diszjunktak) és az osztályokat képező halmazok egyesítése pontosan az alaphalmazzal egyenlő. Fordítva is igaz. Ha van egy alaphalmaz és azon egy osztályfelbontás, akkor ehhez tartozik egy ekvivalencia reláció, amely ezt az osztályfelbontást létrehozza. Röviden mondva az ekvivalencia reláció az alaphalmaz „osztályozását” valósítja meg.

35

Ha az előző példát nézzük, akkor 3 osztály kaptunk: {A, B, C}; {E, G}; {D, F, I}. Ezek a ráccsal való ábrázoláson láthatóan elkülönülnek. Ezek valóban osztályok: a 3 elemes halmazokat tartalmazó, az 5 elemes halmazokat tartalmazó, illetve a 4 elemes halmazokat tartalmazó osztályokról van szó.. Megjegyzés Ha az összes halmazok halmazán értelmezzük ezt a relációt, már el is jutottunk a számosság fogalmához, amely az ugyanannyi elemet tartalmazó halmazokat sorolja egy osztályba. Egy ilyen osztály reprezentánsa (jele) lesz egy természetes szám. Ezt a relációt nevezzük ekvipotencia relációnak (lásd a Számhalmazok című fejezetet).

Pl. Legyen az alaphalmaz: az emberek egy csoportja, a reláció: ugyanabban az évben született. Igazoljuk, hogy a reláció egy ekvivalencia reláció. Határozzuk meg az ekvivalencia osztályokat! - Vegyük sorra a három tulajdonságot, teljesül-e mindenik? (Bármely ember ugyanabban az évben született, mint önmaga, tehát reflexív. Ha egy ember ugyanabban az évben született, mint egy másik, akkor a másik is ugyanabban az évben született, mint az első, tehát szimmetrikus. Ha egy ember ugyanabban az évben született, mint egy másik, a másik, mint egy harmadik, akkor az első is ugyanabban az évben született, mint a harmadik, tehát tranzitív. Tehát ez egy ekvivalencia reláció.) - Kik fognak egy osztályba tartozni? Kik vannak egymással relációban?

(Akik egy évben születtek, tehát a kortársak. A reláció az emberek adott csoportját ún. kortárs osztályokra bontja föl.) Pl.A háromszögek halmaza és a háromszögek kongruenciája, egybevágósága. Igazoljuk, hogy ez egy ekvivalencia reláció. Melyek az ekvivalencia osztályok? (Hogy ez egy ekvivalencia reláció, az igazolást az olvasóra bízom. Az ekvivalencia osztályok az egymással egybevágó háromszögek.) Pl.A logi készlet lapjainak halmaza és a szín (ugyanolyan színű). Jó-e ez a példa? Osztályozást ad-e meg? (Ez alapján a 48 lapot 3 osztályba soroljuk, tehát az ugyanolyan színű a logi készlet lapjainak halmazán egy ekvivalencia reláció kellett legyen. Igazoljuk is ezt!) Lássunk még egy fontos példát. Legyen az alaphalmaz Z, és a, b két egész szám. Az a szám „kongruencia modulo n” relációban van b számmal, ha a számnak n-nel való osztási maradéka megegyezik a bnek n-nel való osztási maradékával. Jelölés: a ≡ b (mod n).

36

Például 1 ≡ 5(mod 4), 5 ≡ 9 (mod 4) ≡ 13 (mod 4) ≡ -3 (mod 4) ≡-11 (mod 4), stb. Igazoljuk, hogy a reláció ekvivalencia reláció. - Melyik 3 tulajdonsággal kell rendelkeznie? Vegyük sorra ezeket. (…) Ha igazolni tudtuk, hogy ez egy ekvivalencia reláció, akkor hozzátartozik egy osztályfelbontás. Adjuk meg az alaphalmaznak, a Z-nek a ≡ b (mod 4) reláció által létrehozott osztályfelbontását. (Tehát egy osztályba azok az egész számok fognak tartozni, amelyeknek 4-gyel való osztási maradékuk ugyanannyi. Mivel 4 féle maradék lehet, négy osztály, ún. maradékosztály fog lenni. Ezek a következők: {…, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16, 20, …} = 4Z {…, -15, -11, -7, -3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, …} = 4Z + 1 {…, -18, -14, -10, -6, -2, 2, 6, 10, 14, …} = 4Z + 2 {…, -17, -13, -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15, 19, …} = 4Z + 3 ) Ha az ekvivalencia relációkra gondolunk, a példák sora végeláthatatlan, hiszen már egész kicsi kortól osztályozzuk a minket körülvevő világot. Feladat: Elemezzük az előzőkben megadott példák közül a bináris homogén relációkat, válogassuk ki az ekvivalencia relációkat, megadva az alaphalmazon meghatározott osztályozást is. (II.)Rendezési relációk

Értelmezés Egy homogén bináris reláció irreflexív rendezési reláció, ha rendelkezik a következő tulajdonságokkal: irreflexív, aszimmetrikus és tranzitív. Értelmezés Egy homogén bináris reláció reflexív rendezési reláció, ha rendelkezik a következő tulajdonságokkal: reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív. Megjegyzés Ha a fenti rendezési relációk bármelyike olyan, hogy az alaphalmaz bármely két a, b eleme között az a = b, aρb, bρa közül valamelyik mindig fennáll, akkor a rendezési relációt teljes rendezésnek nevezzük. Ez az alaphalmaz elemei között létrehoz egy sorbarendezést. Ellenkező esetben a sorbarendezés nem teljes.

Példák Irreflexív rendezési relációk: a.)Valamely számhalmazon a < b.)Valamely számhalmazon a > c.)Az emberek halmazán az idősebb, mint

37

d.)Az emberek halmazán az könnyebb, mint c.)Az emberek halmazán az magasabb, mint e.)A szavak halmazán a kevesebb betűből áll, mint f.)A természetes számok halmazán: 3-mal osztva több maradékot ad mint Reflexív rendezési relációk: a.)Valamely számhalmazon a ≤ b.)Valamely számhalmazon a ≥ c.)N, oszthatóság d.)Egy halmaz részhalmazainak halmazán a részhalmaz reláció ( P( A) és ⊆ ).

Teljes rendezést valósít meg az irreflexívek közül az a.), b.) Teljes rendezést valósít meg a reflexívek közül az a.), b.), d.). Feladat: A fent felsorolt példák esetén, igazoljuk, hogy valóban rendezési rerlációról van szó. Minden esetben tisztázzuk, hogy milyen típusú a rendezés, azt is, hogy teljes-e, vagy nem az. Pl. Igazoljuk, hogy valamely számhalmazon a < reláció irreflexív teljes rendezési reláció. -Igazoljuk, hogy irreflexív, aszimmetrikus és tranzitív. (Valóban: a < a nem teljesül egyetlen szám esetén sem, tehát irreflexív. Ha a és b számok közül a < b, akkor nem lehet, hogy b < a, tehát asszimetrikus. Ha van három szám:a, b, c, amelyre a < b és b < c, akkor nyilván, hogy a < c, tehát a reláció tranzitív. Vagyis igazoltuk, hogy a reláció irreflexív rendezési reláció. Igaz-e, hogy a rendezés teljes, vagyis bármely két a, b szám esetén fennáll az a < b, b < a, a = b relációk valamelyike. Ez is igaz tulajdonság a számok halmazában. Vagyis igazoltuk, amit a feladat kért.)

3. téma: Számhalmazok. Számrendszerek Célkitűzések:

-

A természetes számok is ekvivalenciaosztályok. A halmazelméleti és axiomatikus értelmezés. Az N-en végzett műveletek tulajdonságai A számkörbővítés. Az egész, a racionális és a valós számok, műveletek ezekkel. Véges, végtelen, megszámlálható halmazok Valamely alapú számrendszer megalkotása konkrét példa által. Műveletek más alapú számrendszerekben

Kulcsszavak: ekvipotencia reláció, kardinális szám, sorszám, a természetes szám értelmezése a halmazelmélet, illetve a Peano-axiómák alapján, véges és végtelen halmazok, megszámlálhatóan végtelenség, megszámlálhatatlanul végtelen halmazok,

38

műveletek a természetes számok halmazában, a műveletek tulajdonságai, az egész számok halmaza, a racionális számok halmaza, tizedes törtek, valós számok halmaza, helyiértékes és nem helyiértékes számírás, valamely nem tízes alapú számrendszer bevezetése, át és visszaalakítások, műveletek nem tízes alapú számrendszerekben A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

III.Számhalmazok. Számrendszerek című fejezet következő alfejezetei: III.1.A természetes számok értelmezése. A számosság fogalma. Véges és végtelen halmazok című alfejezetből: - A természetes számok értelmezése. A kardinális szám és a sorszám III.2.Műveletek a természetes számok halmazában III.3.A számfogalom bővítése A fenti alfejezetek megtalálhatók a Kurzusban …..-ig terjedő oldalakon. B. Kontakt órán feldolgozandó részek: Az ekvipotencia reláció

Értelmezés Vegyük alaphalmaznak az összes halmazok halmazát. Az A és B halmazok legyen ennek két tetszőleges eleme. def

A halmaz ekvipotens B halmazzal ⇔ ha A halmaz bármely eleméhez hozzárendelhető a B halmaz egy és csakis egy eleme és fordítva. Jele: A ~ B Ha szigorúbb matematikai nyelvet használunk: A és B halmaz között bijektív függvény létesíthető. Másképpen: van közöttük egy „egy-egy típusú” megfeleltetés. - Találkoztunk-e a relációknál felsorolt példák sorában ezzel a relációval? - Hol, milyen vonatkozásban? - Vizsgáljuk meg, milyen tulajdonságokkal rendelkezik az ekvipotencia reláció?

(Az ekvipotencia reláció tulajdonságai: reflexív, szimmetrikus és tranzitív.) - Akkor ez a reláció milyen nevezetes reláció? Mi következik ebből?

(Mindezek ismeretében kijelenthető, hogy a fent értelmezett ekvipotencia reláció egy ekvivalencia reláció az összes halmazok halmazán. Ez az ekvivalencia relációk tulajdonsága alapján azt jelenti, hogy az összes halmazok halmazát az ekvipotencia reláció felbontja ekvivalencia osztályokra.

39

Egy osztályba azok a halmazok tartoznak, amelyek ekvipotensek, vagyis amelyek között létesíthető egy-egy típusú megfeleltetés. Ha a szemlélethez folyamodunk, akkor belátható, hogy csak azok a halmazok tartoznak egy ekvivalencia osztályba, amelyek ugyanannyi elemet tartalmaznak (ezen osztályoknak megfelelő szimbólum lesz a kardinális szám.)) - Hogyan is értelmezzük már az óvodában a természetes szám fogalmát?

(Mint egy olyan halmaztulajdonságot, amelyet egyedül csak az illető halmaz elemeinek a darabszáma jellemez. Minden, ugyanannyi elemet tartalmazó halmaznak ugyanazt a természetes számot feleltetjük meg.) Ugyanez matematikailag: Értelmezés Ha, akkor azt mondjuk, hogy az A halmaz számossága,kardinálisa egyenlő B halmaz számosságával, akkor és csakis akkor, ha A ~ B, vagyis ha A és B halmazok ugyanannyi elemet tartalmaznak. A számosság jele: cardA = cardB; A = B ; A = B ; A = B . Értelmezés Az ekvipotencia relációval értelmezett ekvivalencia osztályokat, illetve az azoknak megfelelő szimbólumot, kardinális számnak, tőszámnak nevezzük Véges és végtelen halmazok

E részben ismertnek tekintjük a számhalmazokat, bár értelmezésükre később visszatérünk. Értelmezés Egy halmaz véges, véges számosságú, ha nincs saját magával azonos számosságú, vagyis vele ekvipotens valódi részhalmaza. Pl.Legyenek A = {a, b, c}, cardA = 3; halmazok?

B = {a, b, c, d }, cardB = 4 . Végesek-e a megadott

(Látjuk, hogy A ⊂ B és 3 ≠ 4 , vagyis a megadott két halmaz számossága nem tud ugyanannyi lenni. Vagyis, ha egy olyan halmazt adunk meg, amelynek felsoroltuk minden elemét, az csak véges halmaz lehet.) Hogy tulajdonképpen mi a különbség egy véges és egy végtelen halmaz között, csak a következő példák alapos átgondolása után érthető meg. Értelmezés Egy halmaz végtelen , végtelen számosságú, ha van saját magával azonos számosságú valódi részhalmaza.

40

Pl.Igazoljuk, hogy a természetes számok N halmaza végtelen számosságú. Legyenek A = 2 N , vagyis a páros természetes számok halmaza és B = N , vagyis a természetes számok halmaza. - Igaz-e, hogy 2 N ⊂ N , vagyis a páros természetes számok halmaza valódi részhalmaza a természetes számok halmazának?

(Nyilvánvaló, hogy 2 N ⊂ N , mert N-ben vannak olyan természetes számok, amelyek nem párosak.) - Ugyanannyi-e a két halmaz számossága? Létesíthető közöttük egy-egy megfeleltetés?

(Ennek az igazolására elegendő 2 N és N elemei között létrehozni egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést. Ez a következő: 0 2 4 6 8… ↕ ↕ ↕ ↕ ↕… 0 1 2 3 4… Ez lehetséges, mert ezek a halmazok végtelen sok elemet tartalmaznak, tehát card 2 N = cardN .) Pl.Egy másik példa: Bár jóllehet, hogy N ⊂ Z , mégis cardN = cardZ , vagyis Z is egy végtelen halmaz. - Az előzőhöz hasonló módon eljárva, próbáljuk meg sorbarendezni a Z elemeit.

(A kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést az egymás alá kerülő elemek sora adja meg: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, …) Értelmezés Egy végtelen halmazt megszámlálhatóan végtelen halmaznak nevezünk, ha számossága egyenlő a természetes számok halmazának számosságával,vagyis a halmaz és N között létesíthető egy bijektív megfeleltetés.

Tehát az előzőleg megadott két példa megszámlálhatóan végtelen halmaz. Más példák: 2 N + 1, 3N , Q, a négyzetszámok halmaza, stb. Annak igazolása következik, hogy a Q+ , vagyis a pozitív racionális számok halmaza végtelen. Tehát, ha fel lehet a Q+ elemei között egy sorrendet állítani, akkor a halmaz megszámlálhatóan végtelen. Felírjuk a pozitív racionális számokat a következő módon:

41

1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 5 6 7 2 2 2 2 2 2 2 .... 1 2 3 4 5 6 7 3 3 3 3 3 3 3 ... 1 2 3 4 5 6 7 4 4 4 4 4 4 ... 1 2 3 4 5 6 ... A következő sorrendet állítjuk föl: 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 5 4 3 2 1 1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;... 1 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Látható, hogy a sor átlósan halad, esetenként egyet le, illetve egyet jobbra lépve szélesedik. Ha megtartjuk az ismétlődő racionális számokat 1 2 3 1 2 (pl. = = = ..., = = ... ), még úgy is a táblázatban „ugyanannyian vannak”, mint 1 2 3 2 4 a természetes számok. Hasonlóképpen maga a racionális számok halmaza is sorrendbe állítható, mert egy pozitív tört után rögtön besoroljuk az ellentétesét, megtartva a Z sorbarendezésének rendszerét. Megjegyzés Vannak olyan számhalmazok is, amelyek számossága nagyobb a természetes számok halmazának számosságánál. Ezeket a halmazokat megszámlálhatatlanul végtelen halmazoknak nevezzük, azt mondjuk, hogy ezek kontinuum számosságúak. Ilyen halmaz a valós számok halmaza, egy szakasz pontjainak halmaza, egy egyenes pontjainak halmaza. Előző tanulmányainkból tudjuk, hogy a valós számok halmaza a számegyenes pontjainak halmaza között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ez másképpen pontosan azt jelenti, hogy a valós számoknak megfelelő pontok teljesen kitöltik a számegyenest, kontinuumot alkotnak, latin kifejezést használva. A mellékelt ábra segítségével igazolni lehet, hogy az AB szakaszon ugyanannyi pont van, mint a vele párhuzamos JK egyenesen.

42

A bizonyítás első lépésében igazoljuk, hogy az AE szakaszon ugyanannyi pont van, mint az AC-n, úgy, hogy AE szakasz pontjait rávetítjük az AC szakasz pontjaira a D pontból kiinduló félegyenes segítségével. Analóg módon igazoljuk, hogy EB szakaszon ugyanannyi pont van, mint CB-n. Ezáltal azt igazoltuk, hogy AB szakasznak ugyanannyi pontja van, mint az ACB törött vonalnak. Másodszorra igazoljuk, hogy AC szakasznak ugyanannyi pontja van, mint FJ félegyenesnek. Most az AC szakasz pontjait az E pontból kiinduló félegyenessel vetítjük, majd a CB szakasz pontjait vetítjük FK félegyenesre. E két résszel igazoltuk, hogy AB szakaszon ugyanannyi pont van, mint a JK egyenesen. Más számrendszerek

Ha nem a tízes számrendszerben gondolkodunk, a megalkotás módja analóg a tízes számrendszerével. - Hogyan alkotjuk az egymás után következő egységrendeket a tízes számrendszerben?

(10 egyes = 1 tízes, 10 tízes = 1 százas, 10 százas = 1 ezres, stb.) - Akkor, ha analóg módon kell gondolkodnunk, például a hármas számrendszerben, akkor mit mondhatunk?

43

(Ha a 3-as számrendszerben dolgozunk, akkor 3 egyes alkot egy tízest, 3 tízes alkot egy százast és így tovább.) Nézzük mindezt egy példával. Legyen a szám a 23. Ábrázoljuk és írjuk fel a megadott mennyiséget rendre a tízes, hármas és kettes számrendszerben.

a.) - Hogyan írható föl a 23 a tíz többszörösei segítségével? Tehát 23 = 2 ⋅ 10 + 3 , vagyis ha van 23 darab pont, akkor abból tízesével csoportosítva 2 db tízes csoport lesz és még megmarad 3 db pont, tehát ez számjegyekkel leírva a 23-as számot eredményezi. b.) - Mi lesz a 23 szám hármas számrendszerbeli alakja? Ha a 23 pontot hármasával csoportosítjuk, először is lesz 7 db hármas csoport (lásd a kis karikákat). Másképpen: 23:3=7, kimarad 2 pont, vagyis 2 egyes. De 3 db „tízes” (3 pontot tartalmazó kis karika) alkot egy nagyobb karikát, vagyis egy „százast”. Ilyenből a rajzon két db van, mert ezeket az előzőleg kapott 7 tízes csoportosításával alakítottuk ki. Osztással: 7:3=2, marad 1 (tízes).

44

Mivel nincs legalább 3 db százasunk, itt megállunk a csoportosítással, tehát megkaptuk a 23-as szám 3-as számrendszerbeli alakját: 212 ( 3) . Kiolvasása „kettő egy kettő a 3-as számrendszerben”. Ha eltekintünk a rajztól és az elvégzett osztásokat egymás mellé helyezzük, az utolsó hányados és „hátulról eléfelé” mellé írva a maradékokat, megkapjuk az előzőleg már felírt 212 (3) alakot:

23 : = 7 7:3=2 2 1 Tehát 23 = 212 (3) . c.) - Most keressük meg a 23 kettes számrendszerbeli alakját. Készítsünk rajzot! Ha a 23-at kettes számrendszerbe írjuk először 11 db 2-es csoportot lehet kialakítani és kimarad ebből 1. 23:2=11, m=1. (Kérem ezt rajzon ellenőrizni!) A 11 db tízes csoportból kettesével 5 db százas csoportot lehet kialakítani és megmarad 1 tízes. 11:2=5, m=1. Az 5 db százasból lesz 2 db ezres, megmarad 1 százas. 5:2=2, m=1. A két db ezres viszont egy tízezrest alkot, ezres nem marad ki a csoportosításból. 2:2=1, m=0. Tehát így az 10111( 2 ) számot kaptuk. Ha az osztásokat folyamatosan egymás mellé írjuk, az átalakítás így néz ki: 11 : 2 = 5 5:2=2 2:2=1 23 : 2 = 11 1 1 1 0 Tehát a bekeretezett számjegyeket jobbról balra haladva írjuk egymás után és megkapjuk 10111( 2 ) alakot, ami a 23-as szám kettes számrendszerbeli alakja. Megjegyzés - Figyeljük meg, milyen számjegyek fordulnak elő a hármas számrendszerben, milyenek a kettes számrendszerben. Miért? (Az átalakítás módjából adódik, hogy egy tetszőleges k alapú számrendszerben dolgozva a számrendszer számjegyei 0-tól k-1-ig terjednek, lévén hogy ezeket k-val való osztások maradékaiként kapjuk és az osztásokat addig végezzük, amíg az osztandó kisebb nem lesz az osztónál, ami egyben a számrendszer alapszáma is.

45

- Hogyan kell visszaalakítani a kapott más számrendszerbeli számokat. Másképpen, milyen értéket képviselnek a kapott számban szereplő számjegyek? Nézzük ezt meg először a hármas számrendszerbe átírt 23 esetében.

(A tízes számrendszerből egy másikba való átírás módja mutatja a visszaalakítást is. Ha a 23 = 212 ( 3) kialakítási módját figyeljük, látható hogy a szám áll 2 százasból, 1 tízesből, 2 egyesből. Azt tudjuk, hogy a 3-as számrendszerben 1 tízes = 3 egyes. Mivel 1 százas = 3 tízes, ezért az 1 százas = 3 ⋅ 3 tízes = 3 2 tízes . Összefoglalva: 222 ( 3) = 2 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 31 + 2 = 18 + 3 + 2 = 23 - Érvényes-e analóg szabály a kettes számrendszer esetén?

(Most ugyanez a kettes számrendszerben: 10111( 2 ) = 1 ⋅ 2 4 + 0 ⋅ 2 3 + 1 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 21 + 1 = 23 ) Megjegyezném, hogy ha a tízes számrendszerben egy számot a 10 hatványaival írhatunk föl, ezt egészen természetesnek tekintjük. A k alapú számrendszer kialakításának a módjából adódik tehát, hogy egy tetszőleges szám k rendszerbeli bontott alakjában a k hatványai szerepelnek. Pl. Alakítsuk át tízes számrendszerbe a következő számot, majd visszaalakítással ellenőrizzük az átalakítás helyességét: 320154 ( 6) . 320154 ( 6 ) = 3 ⋅ 6 5 + 2 ⋅ 6 4 + 0 ⋅ 6 3 + 1 ⋅ 6 2 + 5 ⋅ 61 + 4 = 3 ⋅ 7776 + 2 ⋅ 1296 + 36 + 30 + 4 = = 23328 + 2592 + 70 = 25990

A visszaalakítása 6-os számrendszerbe: 25 990 : 6 = 4331 4331 : 6 = 721 4 5

721 : 6 = 120 1

120 : 6 = 20 0

20 : 6 = 3 2

Műveletek a különböző alapú számrendszerekben

A nem tízes alapú számrendszerekben a műveletek elvégzésének algoritmusa ugyanaz, mintha 10-es számrendszerben dolgoznánk. Csupán a helyérték átlépésekre kell figyelni. Mind a négy alapműveletet konkrét példán mutatjuk be, magyarázattal. Összeadás

Tehát az összeadásban a szokásos módon jobbról balra haladunk: 2+1=3=10 /3-asban/, leírom a 0-t az egyesek helyére, megy tovább az 1. 1 2 2 21(3 ) 1+0+2=3=10 /3-asban/, leírom a 0-t a tízesek helyére, megy tovább az 1. 1+1+2=4=11 /3-asban/, leírom az 1-et a százasok helyére, megy tovább az 11 21 0 0 ( 3) 1. 1+2+2=5=12 /3-asban, leírom a 2-t az ezresek helyére, megy tovább az egy. 1 1 1 1

2 2 1 0 2 ( 3) +

46

1+2+1=4=11 /3-asban/, leírom az 1-et tízezresek helyére és leírom az 1-et a százezresek helyére. -Az összeadás helyességét ellenőrizendő, az összeadandókat átírjuk 10-es számrendszerbe, elvégezzük az összeadást, majd az összeget visszaírjuk 3-as számrendszerbe. Próbáljuk ezt önállóan elvégezni. 22102 ( 3) = 2 ⋅ 3 4 + 2 ⋅ 33 + 1 ⋅ 3 2 + 2 = 162 + 54 + 11 = 227 12221( 3) = 1 ⋅ 3 4 + 2 ⋅ 33 + 2 ⋅ 3 2 + 2 ⋅ 3 + 1 = 81 + 54 + 18 + 7 = 160 227 + 160 = 387 387 : 3 = 129, m = 0, 129 : 3 = 43, m = 0, 43 : 3 = 14, m = 1, 14 : 3 = 4, m = 2, 4 : 3 = 1, m = 1 Tehát az összeadást helyesen végeztük el. Végezzük el a következő összeadásokat önállóan. Ha szükséges, itt következik a példák megoldása is: 4424 ( 5) + 3442 + 3214 = 7607 (8) + 4677 + 5137 = 2 1 2

4 4 2 4(5) +

1 1 2

7 6 0 7 (8) +

3442 3 21 4 2 2 1 4 0 (5 )

4677 51 3 7 2 1 6 4 5( 8 )

Kivonás • • • • 0-3-at, nem lehet. Az 1 db tízest felbontjuk 4 db egyesre, 4-3=1, leírjuk az 2 0 0 1 0 ( 4 ) − egyesek helyére. A tízesek helyén 0 db tízes maradt. 0-2-t, nem lehet. A felbontásig előre 2 3 2 3( 4) kell mennünk a tízezresekig. A 2 db tízezres egyikét /tehát 1 tízezres 1 1 0 2 1( 4 ) marad/ felbontjuk 4 db ezresre. Ebből 1 db ezrest felbontunk /marad tehát 3 ezres/ 4 db százasra. A 4 db százas egyikét felbontjuk 4 db tízesre /marad tehát 3 százas/. 4-2=2, leírjuk a tízesek helyére. A százasok helyén maradt 3 százas. 3-3=0, leírjuk a 0-t a százasok helyére. Az ezresek helyén 3 ezres maradt. 3-2=1, leírjuk az ezresek helyére. A tízezresek helyén 1 db tízezres maradt. 1 magában 1, leírjuk az 1-et a tízezresek helyére.

-Az ellenőrzést az összeadáshoz hasonlóan végezzük el.

47

20010 ( 4) = 2 ⋅ 4 4 + 1 ⋅ 4 = 2 ⋅ 256 + 4 = 516 2323( 4 ) = 2 ⋅ 4 3 + 3 ⋅ 4 2 + 2 ⋅ 4 + 3 = 128 + 48 + 11 = 187 516 − 187 = 329 329 : 4 = 82, m = 1, 82 : 4 = 20, m = 2, 20 : 4 = 5, m = 0, 5 : 4 = 1, m = 1 Az eredmény egyezik, tehát a kivonás helyes. Végezzük el a következő kivonásokat: 1000100 ( 2) − 111111 = • • • • • •

1 0 0 01 0 0 ( 2 ) − 11 1111 ==== 101( 2 )

8001( 9 ) − 7876 =

• • •

8 0 01(9 ) − 787 6 = =1 4(9)

Szorzás 2 4 5 5( 6 ) ⋅435 ( 6 )

A részszorzatok: 5x5=25=41, leírom az 1-et, megy tovább a 4. 2 2 0 51 5x5+4=29=45, leírom az 5-öt, megy tovább a 4. 12 2 5 3 5x4+4=24=40, leírom a 0-t, megy tovább a 4. 5x2+4=14=22, leírom a 2-t, leírom a 2-t. 1 51 5 2 A második részszorzat: 21 04 2 21( 6 ) 3x5=15=23, leírom a 3-at, megy tovább a 2. 3x5+2=17=25, leírom az 5-öt, megy tovább a 2. 3x4+2=14=22, leírom a 2-t, megy tovább a 2. 3x2+2=8=12, leírom a 2-t, leírom az 1-et. A harmadik részszorzat: 4x5=20=32, leírom a 2-t, megy tovább a 3. 4x5+3=23=35, leírom az 5-öt, megy tovább a 3. 4x4+3=19=31, leírom az 1-et, megy tovább a 3. 4x2+3=11=15, leírom az 5-öt, leírom az 1-et. A részszorzatokat összeadjuk, így a szorzat 2104221( 6 ) . - Ellenőrizzük a szorzás helyességét.

Az ellenőrzés most is úgy történik, hogy a tényezőket átírva 10-es számrendszerbe, így végezzük el a szorzást, majd a kapott szorzatot visszaalakítjuk a 6-os számrendszerbe.

48

2455 ( 6 ) = 2 ⋅ 6 3 + 4 ⋅ 6 2 + 5 ⋅ 6 + 5 = 432 + 144 + 30 + 5 = 611 435 ( 6 ) = 4 ⋅ 6 2 + 3 ⋅ 6 + 5 = 144 + 18 + 5 = 167 61 1 ⋅1 6 7 61 1 36 6 6 4277 10 2 0 3 7 102037 : 6 = 17006, m = 1, 17006 : 6 = 2834, m = 2, 2834 : 6 = 472, m = 2, 472 : 6 = 78, m = 4, 78 : 6 = 13, m = 0, 13 : 6 = 2, m = 1 Tehát valóban visszakaptuk az előző szorzás eredményét. Még két példa. Végezzük el a szorzásokat: 652 ( 7 ) ⋅ 345 = 652 ( 7 ) ⋅ 345

221022 (3) ⋅ 212 = 221022 ( 3) ⋅ 212

4553 3601 261 6

1212121 2 21 0 2 2 1212121

33546 3

210112211

Osztás Mivel az osztás egyenlősége: O = o ⋅ h + m, 0 ≤ m < o, o ≠ 0 , érvényes bármely számrendszerben, ezért az osztások próbáit ez alapján fogjuk elvégezni. 400214 ( 5) : 43 = 4141 próba : 4141 ⋅43 332

23023

= 132

32214

43

400213

= 341 332 == 44 43

400213 + 1

=1

400214 ( 5)

49

A hányados számjegyeinek megkeresésekor próbálkozunk: 40-ben a 43 nincsen meg, 43 ⋅ 4 , tehát ez jó, aláírjuk és kivonjuk. tehát próbáljuk 400-ban. 332 43 ⋅ 2 , ez nem jó, tehát csak 1-szer van meg. 132-ben keressük a 43-at. 141 Tovább már az előzőek alapján adódik az osztás maradék része.

Végezzük el a következő osztásokat, valamint próbájukat szorzással: 210345 ( 6 ) : 445 = 213570 (8) : 65 = 210345 ( 6 ) : 445 = 242

próba : 445 ⋅ 242

1334

1334

= 3254 3112

3112 1334

= 1425 1334

210254 210254 +

== 51

51 210345 ( 6 )

213570 (8) : 65 = 2505

próba : 2505 ⋅ 65

152

15131

= 415

17636

411

213511

== 470 411

213511 + 57

= 57

213570 (8)

4.téma: Algebrai struktúrák Célkitűzések:

-

A belső művelet fogalmának, a műveletek tulajdonságainak (kommutativítás, asszociativítás, semleges elem létezése, szimmetrizálható elemek, disztributivítás) mélyítése ismert és az ismerthez közelálló példák által A monoid, a csoport, a gyűrű, a test. A tanulmányozott négy algebrai struktúrával próbáljunk az eddig ismert műveletek és a hozzájuk rendelt halmazok között rendszert teremteni

50

Kulcsszavak: művelet-belső művelet fogalma, közismert és kézenfekvő példák műveletekre, művelettábla készítése, a műveletek tulajdonságainak értelmezése, példák felsorakoztatása, a tulajdonságok leolvasása művelettábláról, monoid, csoport, Abel-féle csoport, gyűrű, test, példák és bizonyítások. A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

IV..Algebrai struktúrák című fejezet következő alfejezetei, illetve annak részei: IV.1.A művelet fogalma című alfejezetből néhány példa IV.2.A műveletek tulajdonságai című alfejezetből néhány tulajdonság bizonyítása IV.3.Algebrai struktúrák című részből 3.A gyűrű című alfejezetben megadott 4.)példa bizonyítása A fenti alfejezetek megtalálhatók a Kurzusban …..-ig terjedő oldalakon. B. Kontakt órán feldolgozandó részek:

IV. Algebrai struktúrák IV.1. A művelet (belső művelet) fogalma

Értelmezés Legyen M egy nem üres halmaz. Halmazon értelmezett (belső) műveletnek nevezünk egy olyan függvényt, amely M×M halmazon értelmezett és a függvény értékei szintén az M halmazban vannak. Röviden: ϕ : M × M → M , amelyben ( x, y ) ∈ M × M elempárnak megfelel ϕ ( x, y ) ∈ M elem,

a müvelet eredménye ϕ

Még rövidebben: ( x, y ) a ϕ ( x, y ) . Jelölés: A művelet jele lehet: +, ⋅, o, ∗, ⊕, ⊗, ⊥, ┬,…. (Így a művelet eredménye: x + y, x ⋅ y, x o y, x ∗ y, x ⊕ y, x ⊗ y, x ⊥ y, …) Megjegyzések -Ha a művelet tulajdonságai hasonlóak a számok összeadásának tulajdonságaihoz, akkor a műveletet additív (összeadás típusú) műveletnek nevezzük, jele gyakran az egyszerű + jel. -Ha a művelet a szorzáséval analóg tulajdonságokkal rendelkezik, akkor multiplikatív (szorzás típusú) műveletnek nevezzük, a művelet jelölésére a szorzás jelét használjuk. -Belső művelet: a művelet eredménye is benne van az adott halmazban, vagyis a művelet nem visz ki a halmazból. Más kifejezéssel élve azt is mondhatjuk, hogy az adott halmaz zárt az illető műveletre nézve.

51

Példák és ellenpéldák 1.)N és + (a természetes számok halmazában az összeadás belső művelet) 2.)N és · (a természetes számok halmazában a szorzás belső művelet) 3.)2N-ben az + (bármely két páros természetes szám összege szintén páros természetes szám.) 4.)2N+1-ben a · (bármely két páratlan természetes szám szorzata is páratlan természetes szám.) 5.)N-ben a – nem belső művelet (nem minden két természetes szám különbsége lesz természetes szám.) 6.)N-ben az : nem belső művelet 7.)2N+1-ben az + nem belső művelet (két páratlan természetes szám összege nem lesz páratlan természetes szám) 8.)Z-ben a – belső művelet 9.)Q-ban az +, -, · , és Q‫٭‬-ban az : belső művelet. Más típusú példák

10.) R+ és x ∗ y =

x+ y , vagyis a pozitív valós számok halmazában két szám számtani 2

közepe. 11.) R+ és x o y = xy (két pozitív valós szám szám mértani középarányosa). def

12.) Adott egy H halmaz, ahol H = {1,2,3,4,6,12}, x ∗ y = ln .k .o.( x, y ) , vagyis a művelet eredményét úgy kapjuk meg, hogy kiszámítjuk a két szám legnagyobb közös osztóját. A művelet eredményét ún. művelettáblába foglaljuk. Ezt megtehetjük, mert a H halmaz véges halmaz. Minden eredmény benne van H-ban, ezért a megadott művelet belső művelet H-ban. ‫٭‬ 1 2 3 4 6 12

1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1 2 2 2

3 1 1 3 1 3 3

4 1 2 1 4 2 4

6 1 2 3 2 6 6

12 1 2 3 4 6 12 def

13.) H = {1,2,3,4,6,12}, x o y = lk .k .t.( x, y ) . Készítsük el a művelet tábláját és vizsgáljuk meg, hogy belső művelet lesz-e H halmazon. ○ 1 2 3 4 6 12

1 1 2 3 4 6 12

2 2 2 6 4 6 12

3 3 6 3 12 6 12

4 4 4 12 4 12 12

6 6 6 6 12 6 12

12 12 12 12 12 12 12

52

A művelettábla itt látható. A kérdésre a válasz hasonló az előbbi példánál adott válaszhoz. 14.) Maradékok modulo n Jelölje a mod n az a természetes számnak az n számmal való osztási maradékát. Pl. 5mod3=2, 1mod4=1 Jelölje Rn egy tetszőleges természetes számnak n-nel való osztási maradékait. Rn -ben értelmezünk két műveletet: x ⊕ y = ( x + y )(mod n), illetve x ⊗ y = ( x ⋅ y )(mod n) , vagyis a két szám összegének, illetve szorzatának n-nel való osztási maradékát jelenti a művelet. Igazolható, hogy bármelyik Rn halmazban, a megadott műveletek belső műveletek.

Példaképpen elkészítjük R5 = {0,1,2,3,4}-ben, vagyis az 5-tel való osztás maradékainak halmazában az összeadás és a szorzás művelettábláját. -Kezdjük közösen az elkészítést, majd próbáljuk önállóan befejezni. ⊕ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

⊗ 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

(A két művelettáblát tekintve látható, hogy mind a két művelet esetében az eredmények benne vannak az alaphalmazban.) -Miért nyilvánvaló, hogy a művelettábla eredményei nem visznek ki az öttel való osztás maradékainak halmazából? (Ez azért nyilvánvaló, mert az alaphalmaz az 5-tel való osztás maradékait tartalmazza, a műveletet viszont az értelmezés alapján úgy végezzük, hogy az összeg ill. szorzat 5-tel való osztási maradékát vesszük. ) Ilyen megfontolásból bármelyik Rn maradékhalmazban végezzük a fent értelmezett összeadást, vagy szorzást, a maradék természete miatt soha sem mehetünk ki az adott halmazból. 15.) Maradékosztályok modulo n Adott a Z halmaz. A relációknál megoldott feladatok keretében megvizsgáltuk, hogy az a ≡ b(mod 3), vagy a ≡ b(mod 4) relációk ekvivalencia relációk. - Mit is jelentettek ezek a jelölések?

53

(Emlékeztetőül a ≡ b(mod n) ⇔ ha a-nak és b-nek n-nel való osztási maradéka ugyanannyi.) Mivel ez a reláció egy ekvivalencia reláció, az alaphalmazt, mely jelenleg a Z, felosztja osztályokra. - Hogyan nevezzük ezeket az osztályokat? (Ezeket nevezzük maradékosztályoknak.) - Melyek a maradékosztályok mod3-ra nézve? Miért mondható róluk, hogy osztályok? (Z-ben a maradékosztályok mod3-ra nézve: {…, -12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, …} {…, -11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, 16, …} {…, -13, -10, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14, 17, …} Látható, hogy ezek valóban osztályok. Vagyis egyrészt nincs közös elemük, másrészt egyesítésük visszaadja az alaphalmazt, vagyis a Z-t. Másképpen fogalmazva Z bármely eleme egy és csakis egy osztályba tartozhat, de minden egész szám megtalálható valamelyik osztályban.) ∧

∧

∧

A fenti három maradékosztály jele rendre: 0, 1, 2 ( „0 kalap”). Azért pontosan 0-, 1-, 2kalap, mert az osztályokban rendre azok az egész számok vannak, melyeknek 3-mal való osztási maradékai rendre 0, 1, 2. E három maradékosztály alkotja a maradékosztályok halmazát modulo3, amelyet ⎧∧ ∧ ∧ ⎫ Z 3 − mal jelölünk: Z 3 = ⎨0, 1, 2⎬ . ⎩ ⎭ (A negatív egész számok osztásakor is érvényes az osztás egyenlősége, vagyis: O = o ⋅ h + m, ahol O, o, h ∈ Z , o ≠ 0, 0 ≤ m < o . Konkrét példával élve (-5):3=-2, m=1, mert -5=(-2)·3+1. Ezt használva soroltuk be a fent megadott módon a negatív egészeket az osztályokba.) Pl. Ha a Z-t modulo2 szerint osztjuk föl, akkor ezt a két osztályt kapjuk: ∧

∧

0 = {...,−6,−4,−2,0,2,4,6,8,...} = 2 Z ∧

1 = {...,−7,−5,−3,−1,1,3,5,7,9,...} = 2Z + 1

∧

Ekkor Z 2 = {0, 1} (a maradékosztályok mod2 halmaza két osztályt tartalmaz: a páros és páratlan egész számok halmazát.) A Z n -ben értelmezünk két műveletet: egy összeadás és egy szorzás típusút:+, ·. ∧

∧

∧

∧

( Z n = {0, 1, 2, ... , n − 1} ) ∧

∧

∧

Az összeadás: a + b = a ⊕ b . Vagyis az a és b számokat összeadjuk, vesszük az összegnek n-nel való osztási maradékát és erre „kitesszük” a kalapot. ∧

∧

∧

Hasonló módon értelmezzük a szorzást is: a ⋅ b = a ⊗ b .

54

Bármely Z n esetén igazolható, hogy a fennt értelmezett műveletek belső műveletek Z n – ben. Mivel a maradékosztályok véges halmazok, a maradékosztályokkal végzett műveleteket művelettáblán tanulmányozzuk. ∧

∧

∧

∧

∧

∧

Pl. Z 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} , vagyis a maradékosztályok modulo 6 halmazában elkészítjük az összeadás és a szorzás művelettábláját. -Ezek elkészítésénél megint úgy ajánlom, hogy próbáljunk meg, ha csak lehet önállóan dolgozni. + ∧

0 ∧

1 ∧

2 ∧

3 ∧

4 ∧

5

∧

0 ∧

0 ∧

1 ∧

2 ∧

3 ∧

4 ∧

5

∧

1 ∧

1 ∧

2 ∧

3 ∧

4 ∧

5 ∧

0

∧

2 ∧

2 ∧

3 ∧

4 ∧

5 ∧

0 ∧

1

∧

3 ∧

3 ∧

4 ∧

5 ∧

0 ∧

1 ∧

2

∧

4 ∧

4 ∧

5 ∧

0 ∧

1 ∧

2 ∧

3

∧

•

5 ∧

∧

5

0

∧

∧

0

1

∧

∧

1

2

∧

∧

2

3

∧

∧

3

4

∧

∧

4

5

∧

0 ∧

0 ∧

0 ∧

0 ∧

0 ∧

0 ∧

0

∧

1 ∧

0 ∧

1 ∧

2 ∧

3 ∧

4 ∧

5

∧

2 ∧

0 ∧

2 ∧

4 ∧

0 ∧

2 ∧

4

∧

3 ∧

0 ∧

3 ∧

0 ∧

3 ∧

0 ∧

3

∧

4 ∧

0 ∧

4 ∧

2 ∧

0 ∧

4 ∧

2

∧

5 ∧

0 ∧

5 ∧

4 ∧

3 ∧

2 ∧

1

(Ezekből a művelettáblákból látható, hogy mint a maradékok esetében, itt is a művelet belső művelet az adott maradékosztályok halmazában, vagyis ez esetben a Z 6 -ban.) 16.) Számhalmazokon képlettel értelmezett műveletek. a.) N , ∗, ahol a ∗ b = a + b + 5 , vagyis az a és b összegéhez adjunk 5-öt. b.) Z , o, ahol m o n = m − n + 2 . c.) Q, ⊥; x ⊥ y = xy + 2 x + 2 y + 2 , vagyis a két szám szorzatához add a számok duplájának összegét és ezt még növeld 2-vel.

Ellenőrízzük, hogy ezek a megadott halmazon valóban belső műveletek. (Az a.) példánál, mivel csak összeadás szerepel természetes számok között, az összeg mindig természetes szám. A b.) példánál, összeadás és kivonás van, ezek Z-ben belső műveletek. A c.) példa akár már a természetes számok halmazában belső művelet lett volna, annál inkább a racionális számok halmazában.)

55

IV.2. A műveletek tulajdonságai 1.Kommutativítás

Értelmezés Legyen ∗ : M × M → M egy belső művelet az M halmazon. A ∗ művelet kommutatív (a műveletben szereplő tagok felcserélhetőek), ha bármely x, y ∈ M esetén x ∗ y = y ∗ x . Példák és ellenpéldák 1.)Bármely számhalmazon az +. 2.)Bármely számhalmazon a szorzás. 3.)Fontos megjegyzés: Ha aművelet egy véges halmazon értelmezett, a kommutativítás a művelettábla szimmetriáját jelenti: ha az átló mentén összehajtjuk, a két rész azonos.

Válasszuk ki a művelettáblás példákból azokat, amelyek kommutatívak. (Ilyen műveletek a következők: - Rn − ben az ⊕ és a ⊗ (mert a számok összeadása és szorzása is kommutatív) - Z n -ben az + és ·. def

- a 12. példa / H = {1,2,3,4,6,12}, x ∗ y = ln .k .o.( x, y ) / def

-a 13. példa / H = {1,2,3,4,6,12}, x o y = lk .k .t.( x, y ) / Vizsgáljuk meg a 16)-os példa képlettel megadott műveleteinek kommutativítását: 4.)A 16)-os példa képlettel megadott műveletei a.) N , ∗, ahol a ∗ b = a + b + 5 . Igazoljuk, hogy a megadott művelet kommutatív, vagyis: ∀a, b ∈ N esetén igaz − e, hogy a ∗ b = b ∗ a . Felírjuk, hogy a ∗ b = a + b + 5 , és b ∗ a = b + a + 5 . Mivel N-ben az + kommutatív, ezért igaz , hogy a+b+5=b+a+5. Tehát ∗ művelet kommutatív. Most vizsgáljuk meg önállóan, a fenti példa alapján a másik két műveletet kommutativítását. ( b.) Z , o, ahol m o n = m − n + 2 Kérdezzük, hogy m o n = m o n, ∀m, n ∈ Z (?) mon = m−n+2 Mivel általában m − n ≠ n − m ⇒ o nem kommutatív. nom = n−m+2

56

c.) Q, ⊥; x ⊥ y = xy + 2 x + 2 y + 2 , kommutatív-e? x ⊥ y = xy + 2 x + 2 y + 2 y ⊥ x = yx + 2 y + 2 x + 2 Mivel bármely számhalmazban a szorzás és az összeadás kommutatív, ezért: x ⊥ y = y ⊥ x, ∀x, y ∈ Q .) 5.)Még egy ellenpélda Két halmaz Descartes-szorzata nem kommutatív Legyen H az összes halmazok halmaza és legyen A, B ∈ H . Pl. A = {1,2}; B = {0,1} A × B = {(1,0); (1,1); (2,0); (2,1)} Látható, hogy A × B ≠ B × A . B × A = {(0,1); (0,2); (1,1); (1,2)} 6.)Legyen H az összes halmazok halmaza. Itt a halmazok egyesítése, illetve metszete ( ∪, ill. ∩ ), kommutatív. (Lásd a tulajdonságokat a halmazoknál). 7.)A kijelentések halmazában a konjunkció ( „és” ∧ ), illetve a diszjunkció ( ”vagy” ∨ ) kommutatív. (Lásd a tulajdonságokat a kijelentéseknél). 2.Asszociativítás

Értelmezés Legyen ∗ : M × M → M egy belső művelet az M halmazon. A ∗ művelet asszociatív (a műveletben szereplő tagok csoportosíthatóak), ha bármely x, y, z ∈ M esetén ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) . Példák és ellenpéldák 1.)Mindenik számhalmazban az összeadás és a szorzás asszociatív

Fogalmazzunk egy-egy szöveges feladatot az összeadás és a szorzás asszociativításának bevezetésére a II. illetve a III. osztályban. Oldjuk is meg a feladatot. (A kurzusban található egy-egy példa.) 2.)A 12. és 13. példákban szereplő műveletek szintén asszociatívak. Mindegy, hogy először az első két számnak választom a közös, illetve nem közös tényezőit és ezekhez választom a harmadik szám tényezőit. Sőt maga az eljárás azt is megengedi, hogy három vagy több számnak egyszerre keressük meg a ln.k.o.-ját, vagy lk.k.t.-ét. (Lásd az oszthatóság című fejezetben). 3.)A 14. példában található ⊕ és ⊗ is asszociatív, mert maga a számok összeadása és szorzása is az.

57

4.)A Z n -ben értelmezett két művelet is asszociatív, mert ezek értelmezése az Rn -ben értelmezett műveletre alapoz, (14. példa). x+ y , ill. x o y = xy műveletek 5.)Vizsgáljuk az N-ben értelmezett x ∗ y = 2 asszociativítását. Először a ∗ műveletet vizsgáljuk. ∀x, y, z ∈ N : ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) (?) ⎛x+ y⎞ ⎛ y+ z⎞ (?) ⎜ ⎟∗ z = x ∗⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ x+ y y+z +z x+ 2 2 (?) = 2 2 x + y + 2z 2x + y + z 2 2 = 2 2 Már látható, hogy az egyenlőség nem áll fenn, tehát a számtani középarányos számítás, mint művelet, nem asszociatív. A mértani közép asszociativításának vizsgálata a fentihez hasonló módon történik. Próbáljuk meg önállóan. ∀x, y, z ∈ R+ : ( x o y ) o z = x o ( y o z ) (?) ( x ⋅ y ) o z = x o ( y ⋅ z ) (?) x ⋅ y ⋅ z = x ⋅ y ⋅ z (?) x ⋅ y ⋅ z2 =

x2 ⋅ y ⋅ z

Látható, hogy az utolsó egyenlőség hamis, tehát a művelet nem asszociatív. 6.)Vizsgáljuk meg a 16. példa képlettel megadott műveleteinek az asszociativítását. (Itt is egyszerre az egyenlőség mindkét oldalát alakítjuk. a.) N , ∗, ahol a ∗ b = a + b + 5 ∀a, b, c ∈ N : (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) (?) (a + b + 5) ∗ c = a ∗ (b + c + 5) (?) (a + b + 5) + c + 5 = a + (b + c + 5) + 5 (?) a + b + c + 10 = a + b + c + 10 Tehát a művelet asszociatív.) (b.) Z , o, ahol m o n = m − n + 2

58

(?) ∀m, n, p ∈ Z : ( m o n) o p = m o ( n o p) ( m − n + 2) o p = m o ( n − p + 2) (?) ( m − n + 2) − p + 2 = m − ( n − p + 2) + 2 (?) m−n− p+4 = m−n+ p Tehát ez a művelet nem asszociatív.) (c.) Q, ⊥; x ⊥ y = xy + 2 x + 2 y + 2 ∀x, y, z ∈ Q : ( x ⊥ y ) ⊥ z = x ⊥ ( y ⊥ Z ) (?) ( xy + 2 x + 2 y + 2) ⊥ z = x ⊥ ( yz + 2 y + 2 z + 2) (?) ( xy + 2 x + 2 y + 2) z + 2( xy + 2 x + 2 y + 2) + 2 z + 2 = (?) = x( yz + 2 y + 2 z + 2) + 2 x + 2( yz + 2 y + 2 z + 2) + 2 xyz + 2 xz + 2 yz + 2 z + 2 xy + 4 x + 4 y + 4 + 2 z + 2 = = xyz + 2 xy + 2 xz + 2 x + 2 x + 2 yz + 4 y + 4 z + 4 + 2 (?) xyz + 2 xy + 2 xz + 2 yz + 4 x + 4 y + 4 z + 6 = xyz + 2 xy + 2 xz + 2 yz + 4 x + 4 y + 4 z + 6 Tehát igazoltuk, hogy a megadott művelet asszociatív.) A halmazműveletek melyike asszociatív? A kijelentéseknél találtunk-e asszociatív logikai műveletet? 7.)- Az összes halmazok H halmazán az egyesítés és a metszet asszociatív műveletek. ∀A, B, C ∈ H : ( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ∀A, B, C ∈ H : ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) - A kijelentések halmazán a konjunkció és a diszjunkció is asszociatív műveletek. ∀p, q, r kijelentésre : ( p ∧ q ) ∧ r = p ∧ (q ∧ r ) ( p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r ) Asszociatív-e a számok kivonása? Hát a számok osztása? 8.)A számok kivonása, osztása nem asszociatív műveletek: (a – b) –c ≠ a – (b – c) (a : b) : c ≠ a : (b : c). 3. Semleges elem

Értelmezés Legyen ∗ : M × M → M egy belső művelet az M halmazon. Azt mondjuk, hogy a ∗ műveletnek van semleges eleme, vagy ∗ -ra nézve van semleges elem M-en, és ezt e-vel jelöljük, ha van olyan e ∈ M elem, amelyre x ∗ e = e ∗ x = x , bármelyik x ∈ M esetén. Röviden: e ∈ M semleges elem, ha ∀x ∈ M : x ∗ e = e ∗ x = x . Megnevezés: 59

Additív művelet esetén a semleges elem neve zéruselem, jele: 0. Multiplikatív művelet esetén a semleges elem neve egységelem, jele 1. Példák: 1.)Az összeadás semleges eleme bármely számhalmazon: e = 0. 2.)A szorzás semleges eleme bármelyik számhalmazon: e = 1. 3.)A kivonásnak, osztásnak nincs semleges eleme. ( Bár x – 0 = x, de 0 – x ≠ x. Hasonlóan: x : 1 = x, de 1 : x ≠ x.) def

4.) H = {1,2,3,4,6,12}, x ∗ y = ln .k .o.( x, y ) , semleges elem e = 12 -Hogyan állapítjuk meg művelettábla esetén a semleges elemet? Mit kell észrevenni? Megjegyzés Művelettábla esetén ha valamelyik elem sora, vagy oszlopa azonos a felső sorral, illetve a kezdő oszloppal, akkor az illető elem a semleges elem. Keressük meg, a lk. k. t. művelettáblájában van-e semleges elem? def

(5.) H = {1,2,3,4,6,12}, x o y = lk .k .t.( x, y ) , semleges elem e = 1.) x+ y . Van-e semleges eleme a műveletnek a megadott halmazon? 6.) R+ és x ∗ y = 2

x∗e = e∗ x = x ⇒ e = ? x+e x+e x∗e = = x ⇒ x + e = 2x ⇒ e = x 2 2 mégis, azért nincs senmleges elem, e+ x = x ⇒ e + x = 2x ⇒ e = x 2 mert e egy jól meghatározott szám kellene legyen és nem egy tetszőleges x elem a halmazból. Analóg eredményhez jutunk az R+ és x o y = xy művelet esetén is. Vizsgáljuk meg! xoe = x⋅e

x ⋅ e = x ⇒ x ⋅ e = x2

eo x = e⋅ x

e ⋅ x = x ⇒ e ⋅ x = x2

e = x ⎫⎪ ⎬ ⇒ nincs a műveletnek semleges eleme. e = x ⎪⎭

- Mi lesz a semleges elem Rn − ben ⊕ −ra nézve, illetve a ⊗ − ra nézve ? - Mi lesz a semleges elem Z n − ben + −ra nézve, illetve a ⋅ −ra nézve ? A választ a konkrét példákat vizsgálva adjuk meg. 7.) Rn − ben ⊕ − ra nézve : e = 0; ∧

8.) Z n − ben + −ra nézve : e = 0;

⊗ −ra nézve e = 1. ∧

⋅ − ra nézve e = 1.

60

9.) a.) N , ∗, ahol a ∗ b = a + b + 5 . Mi a semleges elem? Mivel ez a művelet kommutatív, csak az egyik egyenlőségből dolgozunk. a ∗ e = a ⇒ a + e + 5 = a ⇒ e = −5 . Mivel − 5 ∉ N , ezért ennek a műveletnek nincs semleges eleme. Ha viszont a műveletet Z-n értelmezzük, vagy egy ennél is bővebb számhalmazon, akkor e = -5. - Keressük a másik két képlettel megadott példa semleges elmét. b.) Z , o, ahol m o n = m − n + 2 m o e = m ⇒ m − e + 2 = m ⇒ −e + 2 = 0 ⇒ e = 2⎫ ⎬ Látható, hogy ennél a e o m = m ⇒ e − m + 2 = m ⇒ e = 2m − 2 ⎭ műveletnél sincs semleges elem, mert a két egyenlőségből különböző eredményt kaptunk, ami közül az egyik nem is egy szám. c.) Q, ⊥; x ⊥ y = xy + 2 x + 2 y + 2 e ⊥ x = x ⇒ ex + 2e + 2 x + 2 = x ex + 2e = x − 2 x − 2 e ( x + 2) = − x − 2 − ( x + 2) = −1 ∈ Q, ha x ≠ −2 e= x+2 x ⊥ e = x ⇒ xe + 2 x + 2e + 2 = x xe + 2e = x − 2 − 2 x e ( x + 2) = − x − 2 − ( x + 2) = −1 ∈ Q, ha x ≠ −2 e= x+2 Mi történik , ha x = −2 ? − 2 ⋅ e + 2 ⋅ ( −2) + 2e + 2 = −2 ⇒ 4 − +2 = 2, ami igaz. Tehát a művelet semleges eleme az e = -1, minden racionális szám esetén. 10.)Más példák: Legyen A egy halmaz és jelölje P(A) az A halmaz összes részhalmazainak a halmazát. Keressük meg a halmazok egyesítésére.illetve metsztére nézve a semleges elemet. a.) Legyen a művelet ∪ . Itt a semleges elem e = O/ , mert ∀H ∈ P( A) : H ∪ O/ = H . b.) Legyen a művelet ∩ . Itt a semleges elem e = A, mert ∀H ∈ P( A) : H ∩ A = H .

61

4.Szimmetrikus elem

Értelmezés Legyen ∗ : M × M → M egy belső művelet az M halmazon, amely asszociatív és e ∈ M a ∗ művelet semleges eleme. Az x ′ ∈ M elemet az x ∈ M elem szimmetrikusának nevezzük a ∗ műveletre nézve, ha x ∗ x′ = x′ ∗ x = e . Megjegyzések -A szimmetrikus elem létezése feltételezi a művelet asszociativítását és a semleges elem meglétét. -Míg a semleges elem léte „univerzális” tulajdonság (ha van, akkor csak egy van belőle az egész műveletre nézve), addig a szimmetrikus elem léte az adott elemhez kapcsolódik: „az x szimmetrikusa x ′ ”. -Ha egy x elemnek van szimmetrikusa, akkor az x-et szimmetrizálható elemnek, multiplikatív írásmódban invertálható elemnek nevezzük. -Írásmód: általában x ′ , de additív műveletnél x ′ = -x, az x ellentettje, multiplikatív 1 műveletnél viszont x ′ = x −1 = és az x inverzének, fordítottjának, reciprokának x nevezzük. -Ha egy elem szimmetrizálható, akkor csak egy szimmetrikusa van. Példák 1.)Az összeadásra nézve N-ben csak a 0-nak van szimmetrikusa: 0′ = 0 . Az összeadásra nézve Z-ben minden egész számnak van szimmetrikusa, pontosan az adott szám ellentétese: x ′ = -x. Q-ban és R-ben az előzővel megegyező kijelentés érvényes.

2.) A szorzásra nézve N-ben 1′ = 1 . A szorzásra nézve Z-ben 1′ = 1 és (−1)′ = −1. [1 ⋅ 1 = 1, (−1) ⋅ (−1) = 1] . A szorzásra nézve Q ∗ -ban minden nemnulla racionális számnak van szimmetrikusa: 1 x′ = [ x ⋅ x −1 = 1] . x Hasonlóan R ∗ -ban minden nemnulla valós számnak van szimmetrikusa, az illető szám inverze. def

3.a.) H = {1,2,3,4,6,12}, x ∗ y = ln .k .o.( x, y ) művelet táblájából látszik, hogy 12′ = 12 és más elemnek nincs szimmetrikusa. Keressük meg a H halmazon a lk. k.t. segítségével értelmezett műveletre nézve a szimmetrizálható elemeket és ezek szimmetrikusait. b.)A fenti H halmazon értelmezett lk.k.t.-s műveletnél 1′ = 1 és más elemnek nincs szimmetrikusa.

62

Keressük meg R5 -ben a szimmetrizálható elemeket és szimmetrikusaikat az ⊕ és a ⊗ -ra nézve. 4.) R5 − ben ⊕ −ra nézve 0′ = 0, 1′ = 4, 2′ = 3, 3′ = 2, 4′ = 1 , tehát minden elemnek van szimmetrikusa. R5 − ben ⊗ − ra nézve 1′ = 1, 2′ = 3, 3′ = 2, 4′ = 4 , tehát a 0-n kívül minden elemnek van szimmetrikusa. - Keressük meg a Z n -beli elemek szimmetrikusait az +-ra nézve. - Keressük meg Z n -ben az elemek szimmetrikusait a szorzásra nézve. A konkrét példákból kiindulva próbáljunk választ adni, hogy milyennek kell lennie az n számnak, ahhoz, hogy minden nemnulla elemnek legyen inverze. 5.) Z n -ben az +-ra nézve minden elemnek van szimmetrikusa. ∧

Z n -ben a ·-ra nézve nem minden elemnek van szimmetrikusa a 0 -on kívül. Ha n ∧

prímszám, akkor a 0 -n kívül minden maradékosztálynak van szimmetrikusa a maradékosztályok halmazában. 6.)a.) Z , ∗, ahol a ∗ b = a + b + 5 . Láttuk, hogy e = -5 és azt, hogy ez a művelet asszociatív. Megvizsgáljuk, hogy van-e minden elemnek szimmetrikusa. Mivel a művelet kommutatív, ezért az értelmezésben szereplő egyik egyenlőséget használjuk, amiből az x ′ -et kell meghatározni. x ∗ x ′ = x + x ′ + 5⎫ ⎬ ⇒ x + x ′ + 5 = −5 ⇒ x ′ = −10 − x . e = −5 ⎭ Mivel x egész szám, így az x ′ = −10 − x is egész szám. Tehát minden x egész számnak van szimmetrikusa Z-ben az adott műveletre nézve. c.) Q, ⊥; x ⊥ y = xy + 2 x + 2 y + 2 Ebben a műveletben e = -1 és a művelet asszociatív, mint azt előbb bizonyítottuk. Határozzuk meg a szimmetrizálható elemeket. x ⊥ x ′ = xx ′ + 2 x + 2 x ′ + 2 = −1 xx ′ + 2 x ′ = −1 − 2 − 2 x x ′( x + 2) = −3 − 2 x − 2x − 3 ∈ Q, ha x ≠ −2 x′ = x+2

63

Tehát látható, hogy x = -2 kivételével minden racionális számnak van szimmetrikusa az − 2x − 3 adott műveletre nézve. Ezt a szimmetrikust az x ′ = képlettel számítjuk ki. x+2 5.Disztributivítás A disztributivítás (széttagolhatóság) két műveletet összekapcsoló tulajdonság, tehát feltételezi két művelet meglétét az adott halmazon. Értelmezés Legyen ∗ : M × M → M és o : M × M → M két művelet az M halmazon. A ∗ művelet (balról) disztributív a о műveletre nézve, ha ∀x, y, z ∈ M esetén : x ∗ ( y o z ) = ( x ∗ y ) o ( x ∗ z ) A ∗ művelet jobbról disztributív a о műveletre nézve, ha: ∀x, y, z ∈ M : ( y o z ) ∗ x = ( y ∗ x) o ( z o x) Ha a ∗ művelet kommutatív, akkor a kétoldali disztributivítás egybeesik. Példák 1.)Bármelyik számhalmazban a számok szorzása disztributív az összeadásra nézve: a · (b + c) = a b + a · c 2.) A szorzás disztributív a kivonásra is, abban a halmazban, amelyben a kivonás korlátozás nélkül elvégezhető. 3.) A számok osztása jobbról disztributív az + -ra, illetve a - -ra nézve (amennyiben az illető műveletek elvégezhetők).

Írjuk fel a fenti disztributivítások egyenlőségeit. a · (b - c) = a b - a · c (a + b) : c = a : c + b : c,

(a – b) : c = a : c – b : c

Fogalmazzunk egy szöveges feladatot a szorzásnak az összeadásra vonatkozó disztributivítása bevezetésére a III. osztályban. Oldjuk is meg a feladatot. Megjegyzés Az írásbeli szorzás eljárásának kialakításánál és a fejben való szorzásnál is a disztributívítást használjuk. 12 · 12 = 10 · 12 + 2 · 12 = 120 + 24 = 144 Keressünk a halmazműveletek között, amelyek a disztributív tulajdonsággal összekapcsolhatók. Keressük meg a kijelentések tulajdonságai között disztributivítást. 4.) P(A)-ban az ∪ disztributív a ∩ -re nézve, de fordítva is fennáll a disztributivítás: ( B ∩ C ) ∪ D = ( B ∪ D) ∩ (C ∪ D) ( B ∪ C ) ∩ D = ( B ∩ D) ∪ (C ∩ D) Ez a tulajdonság a kijelentések analóg tulajdonságán alapul:

64

( p ∧ q) ∨ r = ( p ∨ r ) ∧ (q ∨ r ) ( p ∨ q) ∧ r = ( p ∧ r ) ∨ (q ∧ r ) , Vagyis a „vagy” disztributív az „és”-re nézve, illetve fordítva. Még két tulajdonság, amely a számok szorzásának disztributivításán alapszik az összeadásra nézve: 5.) Rn − ben ⊗ disztributív az ⊕ − ra nézve: (a ⊕ b) ⊗ c = (a ⊗ c) ⊕ (b ⊗ c) . ∧

∧

∧

∧ ∧

∧ ∧

6.) Z n − ben ⋅ disztributív az + − ra nézve: (a + b) ⋅ c = a⋅ c + b⋅ c . IV.3. Algebrai struktúrák

Értelmezés Adott egy M nem üres halmaz, amelyen értelmezünk egy, vagy több belső műveletet. Ha a műveletek bizonyos, a struktúra értelmezése által előírt tulajdonságokkal rendelkeznek, akkor az M halmazt a művelettel, vagy műveletekkel együtt algebrai struktúrának nevezzük.

A következő algebrai struktúrákról lesz szó: monoid, csoport – egyműveletes struktúrák gyűrű, test – kétműveletes struktúrák 1.Monoid

Értelmezés Adott a ∗ : M × M → M , az M halmazon értelmezett belső művelet. Az ( M ,∗) halmazt monoidnak nevezzük (tehát a halmazt a művelettel együtt), ha a ∗ műveletnek a következő tulajdonságai vannak: ( M 1 ) a művelet asszociatív, vagyis ha bármely x, y, z ∈ M esetén ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) . ( M 2 ) van semleges elem M-ben a műveletre nézve, vagyis létezik e ∈ M semleges elem, amelyre x ∗ e = e ∗ x = x , ∀x ∈ M .

Megjegyzés Ha a ∗ művelet kommutatív, akkor a monoidot kommutatív monoidnak nevezzük. Példák A következőkben felsorolt példák felhasználják az előzőkben igazolt művelet tulajdonságokat. 1.) (N, +), (Z, +), (Q, +), (R, +) kommutatív monoidok. 2.) (N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) kommutatív monoidok. 3.) ( Rn ,⊕), ( Rn ,⊗) kommutatív monoidok. 4.) ( Z n ,+ ), ( Z n ,⋅) kommutatív monoidok. ( Z ,∗) kommutatív monoid. 5.) Z-n a ∗ b = a + b + 5 ;

65

6.) Q-n x ⊥ y = xy + 2 x + 2 y + 2; (Q, ⊥) kommutatív monoid. 7.) ( P ( A),∪); ( P( A),∩) kommutatív monoidok. Feladat: Válasszunk ki a fenti példákból hármat: egy számhalmazost, ahol a művelet a számok összeadása, vagy szorzása, egy véges halmazost és egy számhalmazost, ahol a művelet képlettel van megadva. Vigyük végig minden esetben a monoid bizonyítását (Ezek a bizonyítások ebben az útmutatóban, esetenként a Kurzus megfelelő fejezetében az ezt megelőző részekben megtalálhatók.) 2.A csoport

Értelmezés Adott a ∗ : M × M → M , az M halmazon értelmezett belső művelet. Az ( M ,∗) halmazt csoportnak nevezzük, ha a ∗ műveletnek a következő tulajdonságai vannak: (G1 ) a művelet asszociatív, vagyis ha bármely x, y, z ∈ M esetén ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) . (G2 ) van semleges elem M-ben a műveletre nézve, vagyis létezik e ∈ M semleges elem, amelyre x ∗ e = e ∗ x = x , ∀x ∈ M . (G3 ) a ∗ műveletre nézve M-ben minden elemnek van szimmetrikusa, vagyis van olyan x ′ ∈ M elem, amelyre x ∗ x ′ = x ′ ∗ x = e , bármely x ∈ M esetén.

Megjegyzések -Az értelmezést rövidebben úgy is lehetne fogalmazni, hogy az ( M ,∗) halmazt csoportnak nevezzük, ha érvényesek: ( M ,∗) monoid (G3 ) a ∗ műveletre nézve M-ben minden elemnek van szimmetrikusa, vagyis van olyan x ′ ∈ M elem, amelyre x ∗ x ′ = x ′ ∗ x = e , bármely x ∈ M esetén. -Ha a ∗ művelet kommutatív, akkor a csoportot kommutatív csoportnak, vagy Abel-féle csoportnak nevezzük (Niels Henrik Abel norvég matematikus, 1802-1829). Példák 1.) (Z, +), (Q, +), (R, +) kommutatív csoportok. 2.) (Q ∗ ,⋅), ( R ∗ ,⋅) Abel-féle csoportok. 3.) ( Rn ,⊕) kommutatív csoport ( Z ∗p ,⋅) kommutatív csoport, ha p prímszám.

4.) ( Z n ,+ ) Abel-féle csoport ( R ∗p ,⊗) Abel-féle csoport, ha p prímszám.

( Z ,∗) kommutatív csoport. 5.) Z-n a ∗ b = a + b + 5 ; 6.) x ⊥ y = xy + 2 x + 2 y + 2; (Q − {−2}, ⊥) Abel-féle csoport.

66

Feladat: A monoidnál választott mindhárom struktúra esetén vizsgáljuk meg, hogy teljesülnek-e a csoport, esetleg az Abel-féle csport axiómái. 3. A gyűrű

Értelmezés Adott az M nem üres halmaz és ∗ : M × M → M , o : M × M → M két belső művelet az M halmazon. Az ( M , ∗, o) algebrai struktúra gyűrű, ha a műveletek rendelkeznek a következő tulajdonságokkal: ( I1 ) + ( I 2 ) + ( I 3 ) + ( I 4 ) ( M , ∗) kommutatív csoport ⇔ ⇔ (I 5 ) + (I 6 ) ( M , o) monoid (I 7 ) ⇔ a o művelet balról és jobbról disztributív a ∗ műveletre nézve.

Megjegyzések -Ha a o művelet kommutatív, akkor a gyűrű neve kommutatív gyűrű. Ekkor a kétoldali disztributivítás ugyanazt jelenti. -A o műveletre nézve szimmetrizálható elemeket a gyűrű egységeinek nevezzük. -Mivel egy gyűrűben mind a két műveletnek megköveteljük, hogy legyen semleges eleme, ezért jelölésben és megnevezésben is megkülönböztetjük őket: a ∗ művelet semleges elemét zérus elemnek nevezzük, a o művelet semleges elemét egységelemnek nevezzük. Példák 1.) (Z, +, ·), (Q, +, ·), (R, +, ·) kommutatív gyűrűk. 2.) ( Rn , ⊕, ⊗) kommutatív gyűrű. 3.) ( Z n ,+,⋅) kommutatív gyűrű. - Vizsgáljuk meg a fenti példák helyes voltát, részletesen indokolva az axiómák érvényességét.

A fenti két példa egységei azok amelyek n-nel relatív prímek (a fogalmat lásd az oszthatóságnál). 4.) Igazoljuk, hogy ( Z ,∗,o) kommutatív gyűrű, ahol x∗ y = x + y +6 x o y = xy + 6 x + 6 y + 30 - Belső művelet-e mind a két művelet az egész számok halmazán? (Igen, mert a műveletek képletében csak összeadás és szorzás szerepel). - Vegyük sorra a ∗ művelet tulajdonságait. Hány tulajdonságot kell igazolni? Melyek ezek? Hasonló tulajdonságokat igazoltunk az N halmazon értelmezett a ∗ b = a + b + 5 művelet esetén.

67

-- ( I 1 ) ⇔ G1 ⇔ a ∗ művelet asszociatív-e? (?) ∀x, y, z ∈ Z : ( x ∗ y ) ∗ z = x ∗ ( y ∗ z ) ( x + y + 6) ∗ z = x ∗ ( y + z + 6) (?) ( x + y + 6) + z + 6 = x + ( y + z + 6) + 6 (?) x + y + z + 12 = x + y + z + 12 Tehát a ∗ művelet asszociatív. -- ( I 2 ) ⇔ G2 ⇔ a ∗ művelet kommutatív-e? ∀x, y ∈ Z : x ∗ y = y ∗ x (?) x+ y+6= y+ x+6 Tehát a ∗ művelet kommutatív. -- ( I 3 ) ⇔ G3 ⇔ Van-e a ∗ -ra nézve semleges elem Z-ben (?) (Van-e zérus elem?) x ∗ e1 = x ⇒ x + e1 + 6 = x ⇒ e1 = −6 ∈ Z Tehát a - 6 semleges eleme a ∗ műveletnek a Z halmazban ( e1 = −6 neve zéruselem). -- ( I 4 ) ⇔ G4 ⇔ Van-e a ∗ -ra nézve minden Z-beli elemnek szimmetrikusa x ∗ x ′ = x + x ′ + 6⎫ ⎬ ⇒ x + x ′ + 6 = −6 ⇒ x ′ = −12 − x ∈ Z , amennyiben x ∈ Z . e1 = −6 ⎭ Tehát minden x egész számnak van szimmetrikusa Z-ben az adott műveletre nézve, amit az x ′ = −12 − x képlettel lehet kiszámítani. - Mit lehet mondani, milyen struktúra a ( Z ,∗) ? Tehát a fenti 4 alpont alapján ( I 1 ) + ( I 2 ) + ( I 3 ) + ( I 4 ) ⇒ ( Z ,∗) Abel-féle csoport. - Most a o művelet tulajdonságait vizsgáljuk meg. Hány tulajdonságot kell megvizsgálnunk? Melyeket? Melyik példa volt ehhez hasonló szerkezetű? -- ( I 5 ) ⇔ M 1 ⇔ a o művelet asszociatív-e? ∀x, y, z ∈ Z : ( x o y ) o z = x o ( y o z ) (?) ( xy + 6 x + 6 y + 30) o z = x o ( yz + 6 y + 6 z + 30) (?) ( xy + 6 x + 6 y + 30) z + 6( xy + 6 x + 6 y + 30) + 6 z + 30 = = x ( yz + 6 y + 6 z + 30) + 6 x + 6( yz + 6 y + 6 z + 30) + 30

(?)

xyz + 6 xz + 6 yz + 30 z + 6 xy + 36 x + 36 y + 180 + 6 z + 30 = = xyz + 6 xy + 6 xz + 30 x + 6 x + 6 yz + 36 y + 36 z + 180 + 30 (?) xyz + 6 xy + 6 xz + 6 yz + 36 x + 36 y + 36 z + 210 = xyz + 6 xy + 6 xz + 6 yz + 36 x + 36 y + 36 z + 210 Tehát a o művelet asszociatív. -- ( I 6 ) ⇔ M 2 ⇔ Van-e a o -ra nézve semleges elem Z-ben? (Van-e egység elem?)

68

x o e2 = x

⇒ xe 2 + 6 x + 6e 2 + 30 = x xe 2 + 6e 2 = x − 30 − 6 x e 2 ⋅ ( x + 6) = −5 x − 30

− 5 ⋅ ( x + 2) = −5 ∈ Z x+2 Tehát a o műveletnek is van semleges eleme, a -5. Ennek a neve egységelem. - Mit igazoltunk ezáltal a ( Z ,o) -ra nézve? e2 =

Tehát e két lépést egybevéve igazoltuk, hogy ( I 5 ) + ( I 6 ) ⇒ ( Z ,o) monoid - Még hány axióma igazolása maradt hátra, ahhoz, hogy a struktúra kommutatív gyűrű legyen? --kommutatív-e a o művelet? ∀x, y ∈ Z : x o y = y o x (?)

xy + 6 x + 6 y + 30 = yx + 6 y + 6 x + 30 - Tehát a művelet kommutatív, ezért a ( Z ,o) ? A ( Z ,o) kommutatív monoid. - Az utolsó, amit igazolnunk kell a disztributivítás. Egészen pontosan, hogyan is van ez? ( I 7 ) Disztributív-e a o művelet a ∗ műveletre nézve? ∀x, y, z ∈ Z esetén : x o ( y ∗ z ) = ( x o y ) ∗ ( x o z ) (?) x o ( y + z + 6) = ( xy + 6 x + 6 y + 30) ∗ ( xz + 6 x + 6 z + 30) x( y + z + 6) + 6 x + 6( y + z + 6) + 30 = ( xy + 6 x + 6 y + 30) + ( xz + 6 x + 6 z + 30) + 6 xy + xz + 6 x + 6 x + 6 y + 6 z + 36 + 30 = xy + 6 x + 6 y + 30 + xz + 6 x + 6 z + 30 + 6 xy + xz + 12 x + 6 y + 6 z + 66 = xy + xz + 12 x + 6 y + 6 z + 66 Tehát a o művelet disztributív a ∗ műveletre nézve. Tehát a felsorolt 7+1 axiómából következik, hogy ( Z ,∗,o) kommutatív gyűrű. 4.A test

Értelmezés Ha az ( M , ∗, o) gyűrűben a o műveletre nézve minden nem zérus elemnek van szimmetrikusa, akkor az ( M , ∗, o) struktúrát testnek nevezzük. Ha a o művelet kommutatív, akkor a testet kommutatív testnek nevezzük. Példák 1.) (Q, +, ·), (R, +, ·) kommutatív testek. 2.) ( R p , ⊕, ⊗) , ( Z p ,+,⋅) kommutatív testek, amennyiben p prímszám..

69

3.) Ha a x ∗ y = x + y + 6 x o y = xy + 6 x + 6 y + 30 műveleteket Q-n értelmezzük, akkor (Q,∗,o) kommutatív test. Igazoljuk ezt!

-Előzőleg igazoltuk, hogy ( Z ,∗,o) kommutatív gyűrű. Mivel Z ⊂ Q , a gyűrű tulajdonságai érvényesek Q-n is. Tehát a (Q,∗,o) kommutatív gyűrű. - Mit kell igazolni, hogy ez a gyűrű test legyen? --Van-e minden nem zérus elemnek ( e1 = −6 ) szimmetrikusa a o műveletre nézve? x o x " = e2 , e2 = −5

xx " + 6 x + 6 x " + 30 = −5 xx " + 6 x " = −5 − 30 − 6 x x " ⋅ ( x + 6) = −35 − 6 x − 35 − 6 x x" = ∈ Q, ha x ≠ −6 = e1 x+6 Vagyis minden olyan racionális számnak, ami -6-tól különbözik, ami a gyűrű zérus eleme, van szimmetrikusa a o műveletre nézve, vagyis ezáltal (Q − {−6},o) Abel féle csoport. Tehát a válasz: (Q,∗,o) kommutatív test. Az önálló tanulást segítő kérdések, feladatok

1. Tudatosítsa az öt logikai művelet értelmezését és a tagadással kapcsolatos legfontosabb tulajdonságokat. 2. Több példán át gyakorolja a predikátumok kvantifikációját és ezek tagadásának helyes módját. 3. Mi a tétel, a fordított ellentétes tétel, a fordított állítás és az ellentétes állítás (esetenként tétel) kapcsolata? 4. Mi a matematikai indukció, mint bizonyítási módszer elve és lépései? Gyakoroljuk a bizonyítást egy-egy példán. 5. Egy-egy feladat megoldásával tudatosítsuk a következő feladatmegoldási módszereket: direkt módszerek, indirekt módszerek (a lehetetlenre való visszavezetés módszere és a skatulya-elv), a konstruktív módszer, az algoritmikus módszer, az invariancia elve. 6. A halmazábrázolás módszerével oldjunk meg feladatokat. 7. Világítsunk rá minél több példával a bináris relációk és a homogén relációk lényegére. 8. A homogén bináris relációk és a hat fontos relációtulajdonság. Mondjunk mindenikre példát, olvassuk le a tulajdonságokat gráfról, rácsról. 9. Hogyan ötvöződnek az előző relációtulajdonságok az ekvivalencia relációk, illetve a rendezési relációk értelmezésében? Miért jelentősek ezek a relációk? (osztályozás és rendezés).

70

10. Mi a tőszám és mi a sorszám fogalma. A kardinális számok értelmezési módjai. 11. Halmazok végessége, megszámlálhatósága, megszámlálhatatlanul végtelensége. 12. Gyakoroljuk a műveletsorokat egész számokkal, közönséges törtekkel, tizedes törtekkel. 13. Egy nem tízes alapú számrendszer bevezetésének módja, a számrendszer számjegyei. Műveletek, át- és visszaalakítások a tízes számrendszer és más alapú számrendszerek között. 14. Példákkal és ellenpéldákkal tudatosítsuk egy halmazon értelmezett belső művelet fogalmát, véges halmazok, illetve számhalmazok esetén. 15. A műveletek öt tulajdonságának értelmezése, ezek vizsgálata különböző típusú műveletek esetén. 16. A tanulmányozott négy algebrai struktúra axiómáinak vizsgálata. Önálló feledatmegoldásra kitűzött feladatok Feladatok az I. témához: A matematikai logika elemei. Bizonyítási módszerek 1.Adottak a 265 és 265 számok. a.)Legalább mekkora lehet közöttük az eltérés? b.)Legfeljebb mekkora lehet közöttük az eltérés? 2.a.)Döntsük el, melyik mondat igaz: (i)Minden szürke lap nagy. (ii)Minden nagy lap szürke. (iii)Amelyik lap fekete, az háromszög alakú. (iv)Az összes háromszög alakú lap fekete. (v)A fehérek között van kicsi. (vi)A kicsik között van fehér. (vii)A nagyok között van szürke. (viii)A kicsik között nincs kör alakú. (ix)Egyik négyzet alakú lap sem fekete. b.)Készítsünk olyan ábrát, melyre az első négy mondat igaz. c.)Készítsünk olyan ábrát, amelyikre az első hat mondat igaz. 3.Állapítsuk meg a mondatok valóságértékét: a.)2 vagy 3 páros szám. b.)2 és 4 páros szám. c.)2 és 3 páratlan szám. d.)Nem igaz, hogy 2 nem páratlan. e.)Nem igaz, hogy (2 vagy 3 páratlan). f.)Ha egy mondat igaz, akkor a tagadása is igaz. g.)Ha egy mondat hamis, akkor a tagadása igaz. h.)Nem igaz, hogy (2 páratlan és 3 páros). i.)2 nem páros vagy 3 nem páros. j.)Nem igaz, hogy (2 nem páratlan és 3 nem páros). 4.A gép a bemenő mondatokat tagadja. Fogalmazzuk meg a kijövő mondatokat, ha a bemenő mondatok:

71

(1)Minden madár repül. (2)A 7 páratlan szám. (3)Van illatos virág. (4)Minden élőlény szaporodik. (5)Van olyan eset, hogy ez a gép nem téved. (6)Minden gyerek szereti az édességet. (7)A (2 + 7) kevesebb, mint a (8 + 4). (8) 13 több, mint 10. (9)Van olyan tanuló, aki nem siet. (10)Sem Éva, sem Ilona nem nézi a tv-t. (11)Holnap vagy holnapután hazamegyünk. 5.Az igazmondók újságja mindig igazat ír. A hazugok az újság állításait tagadják. Mit ír a hazugok lapja május 5-én, ha a május 4-ei hírek a következők az igazmondók lapjában: (1)Tegnap mindenütt befejezték a kukorica vetését. (2)Van olyan kisfiú, aki nem tudott részt venni a majálison. (3)Egyetlen kertben sem nyílt ki az orgona. (4)Holnapra legalább 20 ºC-os maximum hőmérséklet várható. (5)Ha holnap esik az eső, akkor elmarad a mérkőzés. 6.Az állítások 20-nál nem nagyobb természetes számokra vonatkoznak: A: Legalább 7 és legfeljebb 16. B: Nem igaz, hogy (páros és kisebb 7-nél). C: Nem páratlan vagy nagyobb 15-nél. D: Ha 3-mal osztható, akkor 15-nél nagyobb. Melyek azok a számok, amelyekre: a.)az A és C állítás igaz b.)a B igaz, vagy a D nem igaz c.)C vagy D igaz d.)Nem igaz, hogy (B is és D is igaz) e.)Mind a négy mondat igaz. 7.A jegypénztárnál öt barátnő áll egymás után sorban. Ezeket tudjuk: a)Anna előbb vett jegyet, mint Lea, de később, mint Joli. b)Sára és Joli nem állt közvetlenül egymás után. c)Zita nem állt sem Anna, sem Sára mögött. Milyen sorrendben álltak a lányok? Az összes megoldást keresse meg. 8.András, Béla és Csaba egy kupac 1 forintossal játszanak a következő szabályok szerint: Ha a kupacban páros számú 1 forintos van, akkor András kapja a felét. Ha a kupacban páratlan számú 1 forintos van, akkor Csaba kap 1 forintot a kupacból és a megmaradó pénz felét pedig Béla kapja. A játék több fordulóból áll, minden forduló után a kupacban maradó pénzzel folytatják a játékot. a.)Hány forintot kapnak fejenként, ha egy 2007 db 1 forintosból álló kupaccal kezdik a játékot? b.)Hány forint van a kupacban kezdetben, ha 2000Ft-nál több, de 3000 Ft-nál kevesebb pénzről van szó és a játék során Csaba összesen egy forintot kapott? 9.Gréta egy zsákba piros, sárga és kék színű kockákat tett. Találomra 15-öt kell kivennie, hogy biztosan legyen a kezében sárga színű, 17-et kell kivennie, hogy biztosan legyen a

72

kezében piros színű és 19-et kell kivennie, hogy biztosan legyen a kezében kék színű kocka. Hány darab kocka van az egyes színekből? 10.Egy városban igazmondók és hazugok élnek. Az igazmondók mindig igazat mondanak, a hazugok mindig hazudnak. Aladár, Béla és Csaba ebben a városban élnek. Egyszer a következő beszélgetés hangzott el: Aladár: - Mi mindannyian hazudósok vagyunk. Béla: - Csak te vagy hazudós. Csaba: Mindketten hazudósok vagytok. Ki a hazudós és ki az igazmondó közülük? 11.Vidor és Benő a királyi udvar két udvari bolondja egyes napokon csak igazat mondanak, más napokon csak hazudnak. Vidor szerdán, pénteken és szombaton hazudik, a többi napon igazat mond. Benő kedden, szerdán, csütörtökön és szombaton mond igazat és a többi napon hazudik. Az egyik napon mindketten ezt állították: „Tegnap igazat mondtam.” A hét melyik napján történhetett ez? 12.Degesz király kincstárában kilenc láda van. A király a kincseit az egyik ládában tarja, de elfelejtette, hogy melyikbe tette. A többi láda a ládákhoz tartozó kulcsok őrzésére szolgál, minden ládában egy másik láda kulcsa található, egy ládának csak egy kulcsa van. Minden kulcs csak egy ládát nyit ki, de a ládák teljesen egyformák és nem lehet ránézésre megállapítani, hogy melyik kulcs melyik ládát nyitja, csak úgy dönthető el ez a kérdés, ha a kulcsokat belepróbáljuk a zárakba. A király a kezében egy kulccsal bement a kincstárba, és sorban kinyitogatta a ládákat úgy, hogy a végén sikerült megtudnia, hogy a kincset melyik ládába tette. Maximálisan hány próbálkozásból sikerült ezt megtennie? 13.Hami répaültetvényében tavasszal megjelent néhány vakond. Április elsején reggel 1, másodikán reggel újabb 3, harmadikán még 5 vakondtúrás keletkezett a kertben, és így tovább az ábra szerint. Összesen hány vakondtúrást számolhatott meg Hami április 15-én a kertjében? 14.Van 55 üres számkártyánk. Ezek közül egyre ráírunk egy 1-est, két másikra egy-egy 2-st, három továbbira egy-egy 3-ast, és így tovább, végül az utolsó tízre egy-egy 10-est. A kapott kártyákat megkeverjük. Az így nyert pakliból legkevesebb hány kártyalapot kell találomra kihúzni, hogy a húzott lapok között biztosan legyen öt azonos számot tartalmazó kártya? Feladatok a II. témához: Halmazelmélet. Relációk 1. Egy csoport turista egy cukrászdában 15 süteményt és 29 fagylaltot fogyasztott el. Tudjuk, hogy 5 turista fogyasztott mindkettőből, 3 pedig semmit sem. Számítsuk ki a turisták számát. 2.Egy iskola 172 tanulója három féle versenyen vett részt: sakkon, rajzon és atlétikán. Mindenki részt vett legalább egy versenyen, 84-en csak egy versenyen vettek részt, ebből

73

23 csak sakkon, 19 csak rajzon. 21 tanuló minden versenyen részt vett, atlétikán 110-en, ebből 41 vett részt a sakkon is. Számítsuk ki: a.)a sakkon részt vevők számát b.)a rajzon részt vevők számát c.)a sakkon vagy rajzon részt vevők számát d.)a sakkon is és rajzon is részt vevők számát. 3.Egy osztály létszáma 30. Az osztályban három nyelvet tanulnak: angolt, németet és spanyolt, Mindenki tanulja valamelyik nyelvet. Angolul 14-en, németül 15-en, spanyolul 25-en tanulnak. Pontosan két nyelvet összesen 6 diák tanul. Hányan tanulják mindhárom nyelvet? 4.Egy matematika versenyen két feladatot tűztek ki. Az elsőt a tanulók 70%-a, a másodikat a tanulók 60%-a oldotta meg. Mindenki megoldott legalább egy feladatot, 9-en mindkét feladatot megoldották. Hány tanuló vett részt a versenyen? 5.Pici, a mindössze 15 dkg-os félmajmocska (galago) ennivalót gyűjt. Egy éjszaka akár 200-300 fát is átkutat mézgát, rovarokat, nektárt keresve. Hány fát látogatott végig az a kis galago, aki 139 fán talált mézgát, 88 fán rovart, 109 fán nektárt, mézgát és nektárt 61 fán, nektárt és rovart 17 fán, mézgát és rovart 28 fán talált és 5 olyan fa volt, amelyen mindhárom féle ennivalóból talált. Gyűjtőútja során nem volt olyan fa, amelyen ne talált volna egy cseppnyi táplálékot. 6.Adottak: A = {3,4,5}, B = {6,8,10,12} halmazok. a.)Állítsuk elő A×B halmazt elemeivel. b.)Ábrázoljuk a kapott szorzatot derékszögű koordináta rendszerben. c.)Adjuk meg a következő relációkat, felsorolva a relációban levő számpárokat, ha a ∈ A, b ∈ B. ρ1 = {(a, b ) a < b}, „kisebb”

ρ 2 = {(a, b ) a b }, „osztja”

ρ 3 = {(a, b ) a − b páros}, „a különbség abszolút értéke páros”

ρ 4 = {(a, b ) a ≡ b(mod 3)}, „ a-nak és b-nek 3-mal való osztási maradéka azonos”. d.)Ábrázoljuk a fenti relációkat ráccsal, nyíldiagrammal. 7.Adjuk meg az {( x, y ) x több betûbôl áll y − nál} reláció tulajdonságait a következő halmazon. Ábrázoljuk a relációt, döntsük el, hogy nevezetes reláció-e? a.) A = {ceruza, tû , kréta, toll} . b.) B = {ceruza, tû , út , kréta} 8.Adottak a következő halmazok: A={3, 4, 5, 6, 8, 12}; B={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}; C={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vizsgáljuk meg a következő relációkhoz tartozó tulajdonságokat. Ez alapján válasszuk ki a nevezetes relációkat. Adjuk meg a rendezési relációhoz tartozó sorrendet, az ekvivalencia relációhoz tartozó osztályozást. (Segít a gráfos ábrázolás.) a.) ( x, y ) x = y a B halmazon,

{ } b.){( x, y ) x y} az A halmazon c.){( x, y ) x y} a B halmazon

74

{ } e.){( x, y ) x − y páros} a B halmazon f .){( x, y ) x − y páratlan} az A halmazon d .) ( x, y ) x y, x ≠ y az A halmazon

g .){( x, y ) x + y = 7} a C halmazon

h.){( x, y ) x + y = 8} a C halmazon

i.){(x, y ) x ≡ y (mod 3)} az A halmazon.

9.Adott A = {Ili, fa, ceruza, felejthetetlen, háló, kitűnő}. A szavak halmazán értelmezzük a következő relációkat: a.) aρb, ha a több szótagból áll, mint b, b.) aρb, ha a ugyanannyi magánhangzót tartalmaz, mint b, c.) aρb, ha a első betűje előbbre van az abc-ben, mint b első betűje. Adjuk meg a relációk tulajdonságait, majd döntsük el, hogy milyen relációk. Ha igen, adjuk meg az osztályokat, illetve a sorrendet. 10. Legyen L a logikai készlet lapjainak halmaza. Vizsgáljuk meg a megadott relációk tulajdonságait. Nevezetes relációk-e? a.) aρb, ha a azonos alakú b-vel, b.) aρb, ha a-nak több csúcsa van, mint b-nek, c.) aρb, ha a és b színe különböző.7. 11.Vizsgáljuk meg a következő relációk tulajdonságait. Állapítsuk meg, hogy melyik nevezetes reláció: a.) (a, b ) a b , osztója az N* halmazon.

{ } b.){(a, b ) a b}, osztója a Z* halmazon.

c.){(a, b ) a valódi osztója b − nek }, az N* halmazon. d .){(a, b ) a = 3b}, az N halmazon,

e.){(a, b ) a ≡ b(mod 4 )}, a Z halmazon.

⎧6 ⎫ ⎧3 3 3⎫ ⎧1 1 1 ⎫ 12.Adott a következő osztályozás: A1 = ⎨ , , ⎬, A2 = ⎨ , , ⎬, A3 = ⎨ ⎬ . Melyik ⎩7 ⎭ ⎩2 4 5⎭ ⎩2 3 7⎭ halmaz osztályozása? Adjunk meg egy relációt, amely ezt az osztályozást eredményezi. 13.A feladatban az A halmaznak megadjuk három részhalmazát: K, L, M. Vizsgáljuk meg, hogy a megadott részhalmazok az A halmaz osztályozását jelentik-e. Javítsunk, ha szükséges. Adjuk meg az osztályozáshoz tartozó ekvivalencia relációt. a.) A = {ló, gőte, egér, fecske, sas, sikló} K={gőte, sikló}, M = {fecske, sas}, L = {ló, egér}. b.) ={személyautó, repülőgép, autóbusz, helikopter, hajó, kamion, } K = {személyautó, autóbusz }, L = {repülőgép, helikopter }, M = {hajó }. c.) A={1, 2, 3, 11, 25, 36, 334, 576} K = {1, 2, 3}, L = {11, 25, 3, 36}, M = {334, 576}. 14.Rendezési relációk-e az alábbiak? Vizsgáljuk meg a tulajdonságokat. a.) mρn, ha m több tízest kapott a héten, mint n - egy osztály tanulóinak halmazán

75

b.) mρn, ha m az n fölött van - az egymásra rakott könyvek halmazán c.) mρn, ha m közvetlenül az n alatt van - az egymásra rakott könyvek halmazán. 15.A következő halmazok esetében adjunk meg egy ekvivalencia, majd egy rendezési relációt, valamint a hozzájuk tartozó osztályozást, illetve a sorrendet. a.) A = {veréb, ló, elefánt, sas, medve}, ⎧ 5 8 4 7 11 13 ⎫ b.) B = ⎨ , , , , , ⎬ , ⎩2 3 9 2 2 9 ⎭ c.) C = {0,15;1,03;10,5;30,1;501;310} . 16.Legyen A és B két tetszőleges nem üres halmaz. Osztályozása-e A ∪ B -nek a következő halmazrendszer: A ∩ B, A − B, B − A ? Feladatok a III. témához: Számhalmazok. Számrendszerek 1.Jelöljön A, B olyan halmazokat, amelyre A = 4, B = 6. Határozzuk meg a következő

halmazok számosságának lehető legkisebb illetve legnagyobb értékét: a.) A − B, b.) B − A, c.) A ∩ B, d .) A ∪ B. 2.Az A és B halmazok esetében A = 6, B = 10, A − B = 4. Határozzuk meg card ( A ∩ B ) és card ( A ∪ B ) értékét. 3.Egy osztály tanulóinak 2/3 része közepesnél nem rosszabb tanuló, 3/5 része közepesnél nem jobb tanuló. Hány közepes tanuló van, ha az osztálylétszám 30? 4.A természetes számokat 0-tól kezdődően egymás után írjuk ilyenformán: 0 1 2 3 … 9 10 11 12 … .Milyen számjegy áll a 2007. helyen? 5.Hány oldalas az a könyv, amelynek oldalait 3-sal kezdték számozni és 1531 számjegyet használtak fel a megszámozásához. 6.A 48 ⋅ 36 ⋅ 60 szorzatban változtassuk meg mindhárom tényezőt úgy, hogy a szorzat ne változzék. 7.Számítsuk ki: 1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 − 4 ⋅ 5 + ... + 99 ⋅ 100 = 8.Mennyi az összege annak a legkisebb és annak a legnagyobb kétjegyű természetes számnak, amelyben a tízesek helyén legalább 5, az egyesek helyén legfeljebb 8 áll? 9.Gondoltam egy kétjegyű számra. Felcseréltem a számjegyeit, a kapott számhoz hozzáadtam 14-et, majd vettem ennek a felét, aztán felcseréltem a kapott szám számjegyeit. Így 34-et kaptam. Melyik számra gondoltam? 10.Két szám összege 246. Ha a nagyobbikat a kisebbikkel osztjuk, a hányados 7 és a maradék 6. Melyik ez a két szám? 11.Ha egy kétjegyű számot elosztunk a megfordítottjával, akkor a hányados 4, a maradék 3. Ha ugyanezt a számot a számjegyei összegével osztjuk, akkor a hányados 8, a maradék 7 lesz. Melyik ez a szám? 12.Mennyi a 995 ezresekre, százasokra és tízesekre kerekített értékeinek összege? 13.Egy tört egyszerűsített alakja 2/5. A tört számlálójának és nevezőjének összege egy kétjegyű négyzetszám. Melyik ez a tört? 14.Egy árut 184 800 lejjel drágítottak. Így az új ár 1/3-a ugyanannyi, mint a régi ár 3/4-e. Hány lej volt a régi, hány lej volt az új ár?

76

15.Egy tört nevezője a számláló négyzeténél eggyel kisebb. Ha a számlálót eggyel növeljük, és az így kapott törtet az eredeti törttel összeadjuk, 3/5-öt kapunk. Melyik ez a tört? 16.Három egymásutáni páratlan természetes szám négyzetének összege bbbb alakú. Mely számokról van szó? 17.Két természetes szám összegének, különbségének, szorzatának és hányadosának az összege 72. Melyik ez a két szám? 18.Soroljunk fel öt racionális számot, amely a 2/3 és 2/4 közé esik. 19.Az osztás elvégzése nélkül határozzuk meg, hogy mely számoknak van véges tizedes tört alakjuk: 21/60, 117/99, 6/15, 15/42. 20.Írjuk át közönséges törtté az alábbi tizedes törteket: 0,3(4), 0,(125), 3,42(179), 10,45, 8,00(179), 0,375, 5,(27). 1 3 2 5 7 7 21.Ábrázoljuk számegyenesen: 0, , , , , , . 4 2 1 6 3 2 22.Számítsuk ki: 1 ⎛3 ⎞ a.) 0, (6 ) − ⎜ + 0,125 ⎟ − 8 : (4 − 9 ) + 0,8(3) ⋅ 6 = 3 ⎝4 ⎠

2008 7⎞ ⎛ : 4 − ⎜ 0,1(6 ) + ⎟ ⋅ 6 = 1004 8⎠ ⎝ c.)(324,14 − 40,42 ) : (− 8,2 ) + 1,25 ⋅ 3,5 =

b.) 0, (4) + 0,375 ⋅ 3 −

d .)0,27 : 3 2 − 0,03 + 1,2 ⋅ 5 + 4 3 = 2

3 3⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 29 e.)⎜1 : 2 − ⎟ ⋅ ⎜14 − 51 : 4 ⎟ = 5 ⎠ ⎝ 40 10 5 ⎠ ⎝ 5 2 f .)3,8 ⋅ 5 − 2,1 + 6,3 ⋅ 2,1 = 11 ⎤ ⎡ g .) ⎢4,3(8) + ⎥ : 0, (5) = 18 ⎦ ⎣ 1 22 ⎤ ⎡ 5 h.) ⎢2 − 1 + ⎥ : [2, (45) − 1, (3) + 0,7(3)] = ⎣ 11 3 30 ⎦ 23.Egy-egy műveleten belül az azonos betűk azonos számokat jelölnek. Milyen számok kerülnek a betűk helyére: a.) AB+ b.) ATT+ c.) HAH·7 AB TK EH7 AB CKKT CCC

77

24.a.)Írjuk le a 12-t hat darab egyessel. b.)Írjuk le a 100-at öt darab ötössel. c.)Írjuk le a 100-at öt darab hármassal. 25.A számpiramis minden téglalapjában az alatta levő két szám összege áll. Töltsük ki a piramis üres téglalapjait ennek megfelelően. 26.Írjuk be a négyzetekbe az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8-at úgy, hogy egy-egy egyenes mentén a szorzatuk a körbe írt szám legyen.

78

27.Az alábbi számok ötös számrendszerben íródtak: 321, 403, 342, 444, 424, 340, 410, 301. Ezekből négy olyan számpár készíthető, amelyek összege tízes számrendszerbe átírva 200. határozzuk meg ezen számpárokat 28.Az üres körökbe írjunk egy-egy számjegyet, hogy az egyenlőség igaz legyen: 3Ο1( 4) = 1ΟΟ2 ( 3) . 29.A 3251-et írjuk át kettes, négyes, hatos és nyolcas számrendszerbe. Ellenőrizzük visszaalakítással. 30.Határozzok meg a számrendszer x alapját: a.)1241(5) = 304 ( x ) b.)41(8) = 201( x ) c.)10110001( 2) = 342 ( x ) 31.Határozzuk meg a megadott számok összegét, különbségét, szorzatát, hányadosát az adott számrendszerben: a.)234134 ( 7 ) és 123( 7 ) . b.)471222 (8) és 27 ( 7 ) 32.Milyen számrendszerben igazak: a.)12 ( x ) + 13 ( x ) = 30 ( x ) b.)100 ( x ) − 1( x ) = 11( x ) c.)12 ( x ) ⋅ 7 ( x ) = 80 ( x )

d .)1520 ( x ) : 12 ( x ) = 123( x )

Feladatok a IV. témához: Algebrai struktúrák 1. Az egész számok Z halmazán értelmezzük a következő műveletet: o:Z×Z→Z, xoy=x+y+xy, ∀ x,y∈Z. Vizsgáljuk az adott művelet tulajdonságait: belső művelet-e az adott halmazon, asszociativítás, kommutativítás, van-e semleges elem az adott halmazban az adott műveletre nézve, vannak-e invertáható elemek, s ha igen, melyek ezek. 2. Ha Rn jelöli az n-nel való osztási maradékok halmazát, készítsük el az összeadás és a szorzás művelettábláját az R3 , R4 , R5 , R6 , R7 , R8 halmazokban. Minden esetben adjunk választ a következő kérdésekre: -belső művelet-e az illető művelet az adott halmazban, -asszociatív, kommutatív-e az illető művelet, -keressük meg a művelet semleges elemét, -soroljuk fel az invertálható elemeket, és adjuk meg a szimmetrikusaikat is. 3. Adott a H={a∈N| 18Ma} halmaz. a.) Igazoljuk, hogy a H halmaz zárt a következő műveletekre nézve:a⊥b=ln.k.o.{a,b} és a┬b=lk.k.t.{a,b}, a,b∈ H. (Zárt egy halmaz egy műveletre nézve: ha a művelet belső művelet az adott halmazon). Készítsük el a művelettáblákat. b.) Vizsgáljuk az adott műveletek asszociatív, kommutatív voltát, valamint a semleges elem létezését. 4. Az N halmazon értelmezzük az N×N→N, (m,n)→mon=mn műveletet. Vizsgáljuk a művelet tulajdonságait. Határozzunk meg olyan számhármasokat, amelyekre (mon)op=mo(nop). 5. Adott a ◘:Q×Q→Q, (x,y)→x◘y=xy-x-y+2 művelet. Vizsgáljuk a művelet tulajdonságait. Mi változik a művelet tulajdonságaival kapcsolatban, ha az alaphalmazt Z-re cseréljük?

79

6. A szigorúan pozitív valós számok halmazán értelmezzük a következő műveletet: 2 ab aΔb= . Vizsgáljuk a művelet tulajdonságait. a +b 7. Oldjuk meg az R6 halmazban a következő egyenleteket. Segít az összeadás, illetve a szorzás művelettáblája. a.) 5⊗x⊕2=4, b.) 3⊗x⊕4=4, c.) 2⊗x⊕3=2. 8. Igazoljuk, hogy ( R4 , ⊕ ) Abel-féle csoport. 9. Igazoljuk, hogy ( Z,⊥ ) kommutatív csoport, ahol ⊥:Z×Z→Z, (x,y)→ x⊥y = x+y-1. 10. Az egész számok Z halmazán értelmezzük a következő műveleteket: x⊥y = x+y+3, ∀x,y∈Z és x┬y = xy+3x+3y+6, ∀x,y∈Z. Igazoljuk, hogy ( Z, ⊥,┬ ) kommutatív gyűrű. 11. A valós számok R halmazán értelmezzük a következő műveleteket: x⊥y = x+y -2, ∀x,y∈R és xTy = xy - 2x - 2y +6, ∀x,y∈R. Igazoljuk, hogy ( R, ⊥,T ) kommutatív test. ∧

∧

∧

12. Oldjuk meg Z 6 -ban: 2 x + 3 = 1, x ∈ Z 6 . 13.Az egész számok Z halmazán értelmezzük a következő műveleteket: x ∗ y = x + y − 3 és x o y = ( x − 3)( y − 3) + 3 . Oldjuk meg Z-ben a következő ⎧ x ∗ ( y + 1) = 4 egyenletrendszert: ⎨ , x,y∈Z. ⎩( x − y ) o 1 = 5 14.Az valós számok R halmazán adott az x ∗ y = 2 xy − x − y + 1 . a.)Igazoljuk, hogy a ∗ művelet asszociatív. b.)Oldjuk meg R-ben az x ∗ (1 − x) = 0 egyenletet. 15.A valós számok halmazán értelmezzük a következő műveletet: x ∗ y = − xy + 2 x + 2 y − 2 . a.)Oldjuk meg R-ben az x ∗ 4 = 10 egyenletet. b.)Határozzuk meg azt az a ∈ R elemet, amelyre x ∗ a = a ∗ x = a , bármely x valós szám esetén. 16.A racionális számok Q halmazán értelmezzük az x ∗ y = 2 xy − 6 x − 6 y + 21 műveletet. Határozzuk meg a ∗ műveletre nézve szimmetrizálható elemeket. 17.Adott a ( Z 8 ,+,⋅) , a maradékosztályok modulo 8 gyűrűje. ∧

∧

∧

∧

a.)Számítsuk ki az S = 1+ 2+ 3+ ... + 7 összeget. b.)Számítsuk ki a Z 8 szorzásra nézve invertálható elemeinek a szorzatát. 18.Az egész számok halmazán értelmezzük a következő műveleteket: x ∗ y = x + y − 3, x o y = xy − 3( x + y ) + 12 . a.)Igazoljuk, hogy: 1 o (2 ∗ 3) = (1 o 2) ∗ (1 o 3) . b.)Disztributív-e a o művelet a ∗ -ra nézve? b.)Oldjuk meg az egész számpárok Z×Z halmazán a következő egyenletrendszert: ⎧( x − 3) ∗ y = 2 ⎨ ⎩( x − y ) o 4 = 10

80

19.A racionális számok halmazában bármely a, b ∈ Q esetén értelmezzük az a ∗ b = ab + 4a + 4b + 12 műveletet. a.)Tanulmányozzuk a művelet tulajdonságait. b.)Tanulmányozzuk, mennyiben változnak a művelet tulajdonságai, amennyiben Q helyett a műveletet N-ben, illetve Z-ben vesszük. 20.Készítsük el az ⊕ és a ⊗ művelettábláit R9 -ben, illetve R11 -ben. Adjuk meg ezek alapján a két művelet tulajdonságait. 21.A valós számok halmazában adottak a következő műveletek: x ∗ y = x + y + 5, x o y = xy + 5 x + 5 y + 20 .Igazoljuk, hogy a o művelet disztributív a ∗ műveletre nézve? 22.Az egész számok halmazán értelmezzük az alábbi műveleteket: x ∗ y = x + y − 2, x o y = xy − 2 x − 2 y + 6 . Igazoljuk, hogy ( Z ,∗,o) kommutatív gyűrű.

Beküldésre javasolt feladatok Témakörönként válasszon ki és oldjon meg az önálló munkára kitűzött feladatok közül 5-5 feladatot. Úgy válogasson, hogy a témakörön belül ne legyen két, azonos alponthoz kapcsolódó feladat, vagyis minél jobban fogja át a feladatok megoldása által a megfelelő témakört. A beküldés határideje a kontakt órán leszögezett. Szakirodalom o Czondi, J. (szerk.) (2007): Matematika, Tankönyv a IX. osztály számára, Ábel Kiadó, Kolozsvár (62 – 78) o Farkas, M. (1998) Algebra. Tankönyv a XII. osztályosok számára, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (7 – 11, 21 – 26, 28 – 57, 83 – 86, 89, 96 – 97) o Matematică Algebră Manual pentru clasa a XII-a (1988), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti (16 – 44, 56 – 64, 71 – 74) o Matematika az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1996). Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (21 – 25, 30 – 41, 55 – 73, 116 – 120) o Matematika. Feladatgyűjtemény az általános képzéshez a tanítóképzős főiskolák számára (1996). Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (19 – 31) o Matematika (1997), Tankönyv az V. osztály számára, Editura Radical, Drobeta Turnu-Severin (116 – 166) o Matematika (2001), Tankönyv a VI. osztály számára, Editura Petrion, Bucureşti (10 – 18, 42 – 98) o Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, (10 – 92, 129 – 157) o Roşu, M. – Roman, M. (1995): Matematică pentru perfectionarea învăţătorilor. Editura All Educational, Bucureşti (33 - 37) o Szerencsi, S. (1975): Matematika, Tankönyvkiadó, Budapest (9 – 57, 66 – 99)

81

o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, (11 – 42, 140 – 148)

82

II.MODUL: Oszthatóság Kombinatorika A valószínűségszámítás, a matematikai statisztika és a gráfelmélet elemei Mértani alapfogalmak A szöveges feladatok megoldási módszerei: Az ábrázolás módszere

Célkitűzések: - Az oszthatóság, osztó, többszörös fogalmának tisztázása, az oszthatósági tulajdonságok, az oszthatósági kritériumok haszna a feladatok megoldásánál - Prímszámok, összetett számok, szorzótényezőre bontások, közös osztók, közös többszörösök, ln. k. o., lk. k. t és megkeresésük különböző eljárásokkal. - Kongruenciák és alkalmazásaik - Lineáris diophantoszi egyenletek megoldása és megoldhatóságának tanulmányozása különböző esetekben - A permutáció, variáció, kombináció alaptípusainak a felismerése egyszerűbb problémák esetében, ezek számának meghatározása. A hallgatók kombinatív képességének fejlesztése. - Egy elemi esemény valószínűségének meghatározása a klasszikus valószínűségi mező esetén. Az elemi eseményekkel végezhető műveletek alkalmazása a feladatok megoldásánál - Egy statisztikai felmérés adatainak statisztikai sorba rendezése, a gyakoriságok kiszámítása. A megfelelő grafikus ábra kiválasztása, elkészítése, a statisztikai mutatók kiszámítása - Egy elemi gráf körbejárhatóságának eldöntése - Az geometria alapfogalmainak ismerete, azok alkalmazása elemi geometriai feladatok megoldásánál - Tudjon megoldani szakaszos ábrázolással, vagy más, ábrázoláson alapuló módszerrel aritmetika feladatokat Tanulási útmutató: Ez a modul öt témát dolgoz fel. Az ötödik téma a természetes számok oszthatóságával foglalkozik. Tisztázza az osztható szó jelentését, osztó, többszörös fogalmát. Felsorakoztatja az oszthatósági reláció tulajdonságait. Magyarázatát adja a közismert, illetve ritkábban alkalmazott oszthatósági kritériumoknak. A prímszámok megkeresésére szolgáló eljárás, a prímtényezőre bontás után közös osztókról, közös többszörösökről, azok alkalmazásairól van szó. A relációknál

83

bevezettük a kongruencia relációt, ennek néhány tulajdonsága és azok alkalmazása következik. Végül a lineáris diophantoszi egyenletek parciális és általános megoldása zárja a sort. A hatodik téma a hallgatók kombinációs készségének fejlesztésével bevezet a sorrendi és kiválasztási kérdések témakörébe. Permutációk, variációk és kombinációk jelentését tanulmányozzuk ismétlés nélküli és ismétléses formában. Ezek számának meghatározására vonatkozó képleteket értelmezzük, magyarázzuk a feladatok megoldása által. A hetedik téma szorosan kapcsolódik a kombinatorikához, mivel az elemi események valószínűségének kiszámítása sok esetben vezet egy-egy kombinatorikai feladat megoldásához. A hetedik témához tartozik egy egyszerű statisztikai felmérés adatainak feldolgozása, az adatok táblázatos megjelenítése, gyakoriságok kiszámítása, a grafikus ábrázolások elkészítése, a statisztikai sor mutatóinak kiszámítása. A gráfelmélet néhány egyszerű fogalmának felhasználása segítségével annak eldöntése, hogy egy gráf milyen mértékben körbejárható. A nyolcadik téma a sík és térgeometria néhány fogalmát tisztázza. Csak azokkal, és olyan mélységben foglalkozunk, amennyi az alsó tagozatos geometria sikeres tanulmányozásához szükséges. Ezek: egyenes, félegyenes, szakasz, pont, sokszögek, a szög, párhuzamosság, merőlegesség, sokszögek, háromszögek, négyszögek, tengelyes szimmetria, hasonlóság, néhány egyszerű test, poliéderek, görbe felületű testek, kerületszámítás, területszámítás, felszínszámítás, térfogatszámítás. A kilencedik témával megkezdjük az aritmetikai feladatok sajátos megoldási módszereinek tanulmányozását. Az ábrázolás módszeréről van szó, amely a szakaszos ábrázoláson túl még magában foglalja más, ábrázolás módszerével megoldható feladatok megoldását. Itt a sikeres ábra elkészítése és az ábráról való „olvasás” a feladat megoldásának nyitja.

5.téma: Természetes számok oszthatósága Célkitűzések: -

-

Az oszthatóság, osztó, többszörös fogalmának tisztázása, az oszthatósági tulajdonságok, az oszthatósági kritériumok haszna a feladatok megoldásánál Prímszámok, összetett számok, szorzótényezőre bontások, közös osztók, közös többszörösök, ln. k. o., lk. k. t. és megkeresésük különböző eljárásokkal. Kongruenciák és alkalmazásaik Lineáris diophantoszi egyenletek megoldása és megoldhatóságának tanulmányozása különböző esetekben

Kulcsszavak: osztó, többszörös, valódi osztó, nem valódi osztó, prímszám, összetett szám, az osztók száma, összeg, szorzat oszthatósága, oszthatóság összetett számmal, ln.k.o, lk.k.t meghatározása különböző módszerekkel, kongruenciák és alkalmazása, diophantoszi egyenletek megoldása, ilyen egyenletekhez vezető szöveges feladatok

84

A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

IV.Oszthatóság a természetes számok halmazában című fejezetből a teljes elméleti rész, értelmezésekkel, példákkal, bizonyításokkal, magyarázatokkal. Ez megtalálható a Kurzusban …..-ig terjedő oldalakon. B. Kontakt órán feldolgozandó részek:

Kontakt órán ki fogunk jelenteni minden értelmezést, fontos tulajdonságot röviden, ezek alkalmazására feladatokat fogunk megoldani.

V. Természetes számok oszthatósága, összefoglalás Minden I-IV osztályos gyakorló tanító által ismeretes a maradékos osztás tétele: O = o · h + m, ahol 0 ≤ m
85

-Ha két számnak egy harmadikkal való osztási maradéka ugyanannyi, akkor a két szám különbsége osztható a harmadik számmal, és fordítva. Az oszthatósági kritériumokat itt kihagyjuk, feltételezve, hogy mindenki ismeri. A 0-val való osztás értelmetlen! A 0 kivételével minden szám osztható 1-gyel és önmagával. Ezt a két osztót nem valódi osztóknak nevezzük. Azokat a számokat, amelyeknek csak nem valódi osztóik vannak, prímszámoknak, törzsszámoknak nevezzük. Azokat a számokat, amelyeknek vannak valódi osztóik is, vagyis az 1-en és önmagukon kívül vannak osztóik, összetett számoknak nevezzük. A számelmélet alaptétele alapján minden összetett szám a szorzótényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen felbontható véges sok prímszám szorzatára. A számok prímtényezőkre bontását szintén ismert eljárásnak tekintem.

- Ha van egy „nagy” szám, meddig kell keresgélni az adott szám prímtényezőit, ameddig biztosan kijelenthetjük, hogy az illető nem bontható tényezőkre, tehát nem összetett, hanem prímszám? (Amíg az osztási hányados kisebb lesz, mint az osztó. Ha addig egyetlen prímszámmal sem osztható, akkor a szám prímszám.) Egy természetes szám osztóinak a száma: Ha N = a p ⋅ b q ⋅ c r ⋅ d s , akkor az osztók száma = (p + 1) · (q + 1) · (r + 1) · (s + 1). Az osztók meghatározhatók, társosztókként párosítva és felsorolva, vagy szám tényezőre bontásából, társítva az összes lehetséges esetet.

Két, vagy több természetes számnak lehetnek közös osztói. Mivel az osztók halmaza véges, a közös osztók halmaza is véges, tehát van legnagyobb eleme. Ez a legnagyobb közös osztó, ln.k.o., ( , ). Az ln k.o.-t vagy a fenti értelmezés alapján határozzuk meg, vagy a számok tényezőre bontásából választjuk a közös szorzótényezőket az előforduló legkisebb hatványon. Az ln.k.o.-t még az ún. Euklideszi algoritmussal is meg lehet határozni (lásd a Kurzusban). Ha két szám ln.k.o.-ja 1, akkor a számokat viszonylagos prímszámoknak nevezzük.

Tulajdonságok: (1)Ha (a, b) = 1 és a|(k · b), akkor a|k. (2)Ha (c, b) = 1 és b|a és c|a, akkor (b · c)|a. Ezeket a tulajdonságokat az összetett számokkal való oszthatóság tanulmányozásánál használjuk. Két vagy több természetes számnak lehetnek közös többszörösei. Mivel a többszörösök halmaza végtelen, ezért a közös többszörösök halmaza is végtelen lesz. Így ennek legkisebb eleme fog lenni, ezt nevezzük a legkisebb közös többszörösnek, lk.k.t., [ , ].

86

A lk.k.t.-t meghatározhatjuk az értelmezés alapján, a számok törzstényezőkre bontásából, választva a közös és nem közös tényezőket, az előforduló legnagyobb hatványon. A ln.k.o.-t és a lk.k.t.-t összekapcsolja a következő összefüggés: (a, b)·[a, b] = a · b. Kongruenciák. Két természetes szám kongruens egymással az n nemnulla természetes számmal való osztásra nézve (modulo n), ha n-nel való osztási maradékuk megegyezik. Ez azt jelenti, hogy a két szám különbsége osztható n-nel. a ≡ b(mod n) ⇔ (a − b) M n

Tulajdonságok Ha a és b számok kongruensek egymással az n-nel való osztásra vonatkozóan, akkor: - az összegük is kongruens lesz modulo n - a külünbségük is kongruens lesz modulo n - a szorzatul is kongruens lesz modulo n - egy tetszőleges számmal való szorzatuk is kongruens lesz modulo n - ugyanarra a kitevőre emelt hatványuk is kongruens lesz modulo n (A teljesen pontos matematikai leírását a tulajdonságoknak lásd a Kurzusban.) Ezek a tulajdonságok elég kényelmes bánásmódot engednek meg a kongruenciák esetén. Diophantoszi egyenletek Értelmezés Az ax + by = c kétismeretlenes egyenletet diophantoszi egyenletnek nevezzük, ha a, b, c egész számok és az egyenlet megoldásait is az egész számok körében keressük. Megjegyzés Itt csak az I fokú (lineáris ) és két ismeretlenes diophantoszi egyenletekkel foglalkozunk. A diophantoszi egyenleteket konkrét példákon keresztül tárgyaljuk. Az éppen használt tulajdonság szabatosan a Kurzusban van megadva. Megoldott gyakorlatok, feladatok

Most az itt röviden összefoglalt tudnivalók feladatokon való gyakorlását fordított sorrendben végezzük, tehát a példákat a diophantoszi egyenletekkel kezdjük. Először oldjunk meg egy alaptípusú diophantoszi egyenletet. 1.)Egy partin 31 egyidős nő és 21 egyidős férfi vett részt, az éveik száma egész években van számítva. Valaki azt mondja: A nők összéveinek száma csak 1-gyel több, mint a férfiak éveinek száma összesen. Hány évesek a nők és hány évesek a férfiak? Ha a nők életkorát x, a férfiakét y jelöli, a következő egyenlethez jutunk: 31x = 21y + 1 Próbálgatással keressük az egyenlet parciális megoldását. Látható, hogy 31x – 1 értéke osztható kell legyen 3-mal is és héttel is. Legyen x = 1 31 · 1 – 1 = 30, bár osztható 3-mal, de 7-tel nem.

87

Akkor az x-nek csak minden harmadik értékét kell kipróbálnunk x = 4 ⇒ 31 ⋅ 4 − 1 = 123 M/ 7 x = 7 ⇒ 31 ⋅ 7 − 1 = 216 M/ 7 x = 10 ⇒ 31 ⋅ 10 − 1 = 309 M/ 7 x = 13 ⇒ 31 ⋅ 13 − 1 = 402 M/ 7 x = 16 ⇒ 31 ⋅ 16 − 1 = 495 M/ 7

x = 19 ⇒ 31 ⋅ 19 − 1 = 588M 7, y = 588 : 21 = 28 Az egyenlet megoldása tehát x = 19, y = 28. Vagyis a partin résztvevők19, illetve 28 évesek. Írjuk föl az egyenlet általános megoldását ⎧ xk = x0 + k ⋅ b ,k ∈ N ⎨ ⎩ yk = y0 + k ⋅ a Vagyis ⎧ x k = 19 + k ⋅ 21 ,k ∈ N ⎨ ⎩ y k = 28 + k ⋅ 31

k = 1 esetén x1 = 40, y1 = 59 . Ez az eredmény is elfogadható. k = 2 esetén x 2 = 61, y 2 = 90 . Ez az eredmény is elfogadható, bár nehezen valószínű. 2.)Egy bentlakásos otthonban 17 lejes pulóvereket és 10 lejes nadrágokat vásároltak, összesen 245 lej értékben. Hány nadrágot és hány pulóvert vásároltak? Jelölje x a pulóverek számát, y a nadrágok számát. A feladat egyenlete így írható: 17x + 10 y = 245 Írjuk át az egyenletet, hogy a megadott típusú legyen. 17x = -10y + 245 A kurzus szerint, ha az együtthatók a Z-ben vannak, akkor a megoldásokat is a Z-ben kell keresni. Ezek egy sajátos esete lesz az egyenlet megoldása N-ben. Először vizsgáljuk az egyenlet megoldhatóságát. A tétel szerint, ha ( a , b ) = 1 , akkor van megoldás Z-ben. Jelen esetben ez fönnáll, mert 17 és 10 relatív prímek. Mivel a szabad tag nagyobb, mint y együtthatója (c > b), ezért a szabad tagból leválasztjuk a b = 10 legnagyobb többszörösét. 245 = 24 · 10 + 5 17x = -10y + 24 · 10 + 5 17x = 10(24 – y) + 5 Elnevezzük a 24 – y-t z-nek z = 24 – y és behelyettesítjük az egyenletbe 17x = 10z+5

88

Most jutottunk el az alaptípusú egyenlethez. Ennek találgatással keressük a parciális megoldását. Észrevehető, hogy az egyenlet jobb oldala osztható 5-tel, tehát a bal oldalon is 5-tel osztható szám kell szerepeljen x értékének. Próbáljuk az x = 5-öt 17·5 = 10z + 5 Ha a z = 8, akkor az egyenlőség igaz. Így meg is találtuk a 17x = 10z+5 egyenlet parciális megoldását: ( x 0 , z 0 ) = (5,8) Innen az eredeti egyenlet parciális megoldása: z 0 = 8 ⇒ 24 − y 0 = 8 ⇒ y 0 = 24 − 8 = 16

Tehát ( x0 , y 0 ) = (5,16) Az egyenlet általános megoldása Z-ben: ⎧ x k = 5 + k ⋅ (−10) k∈Z ⎨ = 16 + ⋅ 17 y k ⎩ k Ha rendre a k-nak értékeket adunk (nyilván 0 körüli egész értékekkel próbálkozunk), látható, hogy magának a feladatnak egyetlen természetes számpár megoldása lesz, maga a parciális megoldás. F.: Tehát 5 pulóvert és 16 nadrágot vásároltak azért a pénzért. 3.)Önálló munkára javasolom: Fogalmazzunk szöveges feladatot a 14x + 45y = 258 egyenletre és oldjuk is meg a természetes számok halmazában. A kongruenciákkal kapcsolatos feladat

Számítsuk ki a 2007121 + 2008122 + 2009123 kifejezésnek 9-cel való osztási maradékát. A feladat megoldásánál kongruenciákat és azok tulajdonságait fogjuk használni. 2007 M9 ⇒ 2007 ≡ 0(mod 9) ⇒ 2007121 ≡ 0121 (mod 9), mivel 0121 = 0 ⇒ 2007121 ≡ 0(mod 9) 2008 ≡ 1(mod 9) ⇒ 2008122 ≡ 1122 (mod 9) ≡ 1(mod 9)

Az összeg utolsó tagját lépésekben vizsgáljuk: 2009 ≡ 2(mod 9) ⇒ 2009 6 ≡ 2 6 (mod 9) ≡ 1(mod 9) (2009 6 ) 20 ≡ 2009120 (mod 9) ≡ 120 (mod 9) ≡ 1(mod 9)

⎫⎪ 123 ⎬ ⇒ 2009 ≡ 8(mod 9) 120 2009 ≡ 1(mod 9)⎪⎭ Összeadva a maradékokat, látjuk, hogy 0 + 1 + 8 = 9, vagyis látható, hogy a kifejezés osztható 9-cel.

2 3 ≡ 8(mod 9)

89

Az oszthatósággal kapcsolatos általános feladatok

1.)Írj fel egy tetszőleges számot, majd írd fel azt a hatjegyű számot, amelyet ennek a számnak kétszeri egymás után írásával kapsz. Igazold, hogy a kapott szám mindig osztható 13-mal. Megoldás Legyen a szám abc . Igazolni kell, hogy bármilyen is ez a háromjegyű szám, a kétszeri egymás után írásával kapott abcabc szám osztható lesz 13-mal. Írjuk föl az abcabc szám egy sajátos felbontását: ezresek és egyesek összegére. Ezt kapjuk: abcabc = abc ⋅ 1000 + abc = abc ⋅ (1000 + 1) = abc ⋅ 1001 Bontsuk az 1001-et tényezőkre. Ezt kapjuk: 1001 = 7 · 11 · 13. Mivel az abcabc szám felbontható olyan két szám szorzatára, melynek egyik tényezője osztható 13-mal, ezért maga az abcabc is osztható 13-mal. 2.)Két háromjegyű szám összege osztható 37- tel. Ha ezt a két számot egymás mellé írjuk, egy hatjegyű számot kapunk. Igazoljuk, hogy ez a szám osztható 37-tel. Megoldás Tehát a feltétel ezt mondja: abc + efg osztható 37-tel. Igazolandó, hogy abcefg M37. Bontsuk az előzőhöz hasonlóan a kapott hatjegyű számot, majd egy kicsit alakítsuk: abcefg = abc ⋅ 1000 + efg = abc ⋅ (999 + 1) + efg = abc ⋅ 999 + (abc + efg ) A 999 tényezőre bontásakor 999 = 33 ⋅ 37 eredményt kapjuk. Mivel az abcefg összegalakjában az összeg mind a két tagja osztható 37-tel, ezért maga a szám is osztható 37-tel. 3.)Igazoljuk, hogy ha abc M37 , akkor bca M37 Megoldás Az előző feladatban kapott eredményt, nevezetesen, hogy 999 osztható 37-tel, ezt fogjuk felhasználni. Ha abc M37 , akkor (abc ⋅ 10) M37 abc ⋅ 10 = a ⋅ 1000 + b ⋅ 100 + c ⋅ 10 = b ⋅ 100 + c ⋅ 10 + a − a + a ⋅ 1000 = bca + a ⋅ 999 A kapott összeg osztható egy számmal úgy, hogy az összeg egyik tagja is osztható a számmal. Akkor a mások tag is osztható a számmal.

90

4.)a.)Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat szét lehet-e osztani két csoportba úgy, hogy a két csoportban levő számok összege egyenlő legyen? b.)Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számokat szét lehet-e osztani két csoportba úgy, hogy a két csoportban levő számok szorzata egyenlő legyen? Megoldás a.)Ha el lehetne osztani a számokat a kért módon akkor a számok összegének párosnak kellene lennie. Az 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 összeg értéke 45, (pl. 45 = 4 · (9 + 1) + 5 ), tehát a válasz nem. b.)Az egyik csoportban szerepelni fog szorzótényezőként a 7-es szám és mivel nincs még egy szám 9-ig, amelynek bontásában szerepelne a 7-es, ezért a válasz nem. 5.)Lehet-e 9 egész szám összege is, szorzata is 9? Lehet-e 10 egész szám összege is, szorzata is 10? Lehet-e 8 egész szám összege is, szorzata is 8? Megoldás Ha a számok -1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1, 9, ezek megfelelnek annak is, hogy összegük is és szorzatuk is 9 legyen. Ha a számok 4, 2, 1, 1, -1, 1, -1, 1, ezek megfelelnek a követelményeknek. A 10 darabos feltétel nem teljesíthető. - Ha a 10 = (±10) · (±1) szorzásra gondolunk, a -10 eleve nem szerepelhet, mert 9 db -1es összegével sem lesz a számok összege 10. Ha arra gondolunk, hogy az egyik szám a 10, akkor a páratlan darab ±1-es értéke páratlan szám, így 10-hez adva nem eredményezhet 10-et. - Ha 10 = (±5) · (±2) szorzásra gondolunk, ezek összege rendre 7, 3, -3, -7, vagyis páratlan. Viszont páros darab ±1-es maradt fenn, ezek összege mindig páros. Egy páratlan és egy páros szám összege viszont nem lesz 10-zel egyenlő. 6.)Egy táblára felírjuk az 1, 2, 3, 4, …, 1990 számokat. Ezek közül két tetszőleges számot letörölünk és helyükre a különbségüket írjuk fel. Az eljárást addig ismételjük, amíg egyetlen szám marad. Milyen lesz ez a szám: páros, vagy páratlan? Megoldás Az 1990 darab szám fele, vagyis 995 darab szám páros és 995 darab szám páratlan. Most figyeljük meg melyik esetben hogyan változik a páros illetve páratlan számok száma az egyes esetekben. - Ha két páros számot törölünk le helyettük egy páros szám kerül vissza, tehát marad 995 páratlan és 994 páros szám. - Ha két páratlant törülünk le, a helyükre szintén páros kerül, tehát lesz 993 páratlan és 996 páros - Ha egy párost és egy páratlan törülünk le, akkor páratlan kerül vissza, tehát lesz 995 páratlan és 994 páros. Ezt figyelve észrevehető, hogy a páros számok előfordulnak páros számszor is és páratlan számszor is. A páratlanok száma viszont mindig páratlan. Vagyis utoljára mindig páratlan marad.

91

A feladat tulajdonképpen az invariancia elve alapján megoldható feladatok körébe tartozik, ahol a páratlan számok darabszámának páratlansága az invariáns. 7.)Igazoljuk, hogy (10 20 + 8) M 72. Megoldás Mivel 72 = 8 · 9 és (8, 9) = 1, ezért minden olyan szám, amely osztható 8-cal is és 9-cel is, az osztható lesz 72-vel is. A szám felírva így néz ki: 1000 12... 308 . 19 db 0

Tehát az utolsó 3 helyen 008 áll, ezért a szám osztható 8-cal. A szám számjegyeinek összege 9, tehát 9-cel is osztható. Ezért (10 20 + 8) M 72. 8.)Melyik az a legkisebb szám, amely osztható az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 számok mindegyikével? Megoldás Nyilván a számok lk. k. t.-ét keressük, ami 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 40 ⋅ 63 = 2520 . 9.)Mennyi a 22227777 szám legnagyobb kétjegyű osztója? Megoldás A legnagyobb kétjegyű szám a 99. 99 = 9 · 11, vagyis kérdezzük, hogy osztható-e a szám 9-cel is és 11-gyel is. Belátható, hogy a 22227777 szám valóban osztható 99-cel. 10.)Melyik az a legkisebb 36-tal osztható pozitív egész szám, amelyben csak páros számjegyek vannak? Megoldás 36 = 4 · 9, tehát a számnak osztható kell lennie 4-gyel és 9-cel. A szám nyilván nem lehet egyjegyű (a számnak 36-nál nagyobbnak kell lennie). Mivel a számjegyei párosak, ezért összegük 9 nem lehet, a legkisebb összeg 18 lehet. Viszont ekkor nem lehet kétjegyű, mert 18 = 9 + 9, a 99 viszont nem megfelelő szám. Így legalább háromjegyű számra kell gondoljunk. Vegyük sorba a lehető számjegyeket: 2 + 0 +… = 18, nem lehet 2 + 2 +… = 18, nem lehet … 2 + 8 +8 = 18, ez éppen megfelel, mert maga a szám osztható is 4-gyel. Tehát a keresett szám 288. 11.)a.)Van-e olyan szám, amelyben a számjegyek szorzata 111? b.)Van-e 10 olyan egymást követő egész szám, amelyek összege osztható 10-zel? Megoldás a.)111 = 3 · 37, mivel a 37 prímszám, számjegy nem lehet, így a válasz nem. 92

b.)Ha a 10 egymást követő szám rendre: a, a + 1, a + 2, a + 3, a + 4, a + 5, a + 6, a + 7, a + 8, a + 9 összegük 10a + 45, aminek a végződése 5, vagyis nem lesz 10-zel osztható. A válasz itt is nemleges. 12.)Az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyek megfelelő sorrendjével írd föl a legkisebb 99cel osztható 9-jegyű számot. Megoldás A 99 a 9 és 11 szorzata. Tehát a számnak oszthatónak kell lennie mindkettővel. Látható, hogy a számjegyek jók, összegük osztható 9-cel. A 11-gyel való oszthatóságra figyelve: a számjegyek váltakozó előjellel vett összege osztható kell legyen 11-gyel. Jelölje a az 1., 3., 5., 7., 9. helyen levő számjegyek összegét és b a 2., 4., 6., 8. helyen levő számjegyek összegét. a + b = 45, a – b osztható kell legyen 11-gyel. Mivel a + b páratlan ezért az a – b sem lehet páros, vagyis ±11 lehet. Innen kiszámítható, hogy vagy az van hogy a = 28 és b = 17, vagy hogy a = 17 és b = 28. Ha a legkisebb számot akarjuk, megpróbáljuk, hogy lehetne-e, hogy az első négy helyre 1234 kerüljön. Így b nem lehet 28. De lehet 17. Így alakul a szám: 1234_5_6_. A fennmaradó helyekre pontosan megfelelnek a 7, 8, 9 számjegyek. A kapott 123 475 869 szám pontosan megfelel a követelményeknek. 13.)Melyek azok a háromjegyű számok, amelyeknek pontosan 5 pozitív osztója van? Megoldás Ha az osztók számát megadó összefüggést jól alkalmazzuk az ilyen számok a 4 alakúak kell legyenek, ahol nyilván a szám prím. Sorra vesszük a prímszámok negyedik hatványait: 2 4 = 16, 3 4 = 81, 5 4 = 625, 7 4 = 2307 . Tehát egyetlen jó szám van, a 625. Ellenőrzésként D625 = {1,5,25,125,625} . 14.)A szultán a születésnapján néhány rabot szabadon akar engedni. A 100 cellás börtönben 100 darab börtönőr van. Az 1. őr minden ajtót kinyit. A 2. börtönőr minden 2. ajtót bezár. A 3. börtönőr minden 3. ajtót kinyit, ha az zárva van és minden harmadik ajtót bezár, ha az nyitva van. A 4. börtönőr így tesz minden negyedik ajtóval és így tovább. Mely cellák ajtaja marad nyitva az utolsó őr után és melyek ezek? Hány rab szabadul ki ilyenformán? Megoldás Próbáljuk meg, a feladattal való barátkozás végett fölírni az első néhány zárkát és leírni, hogy hogyan nyitnak-csuknak az egymás után következő börtönőrök. A könnyebb áttekinthetőség végett az adatokat táblázatba írjuk.

93

1.c. I.ő. k II.ő. k III.ő. k IV.ő. k V.ő. k VI.ő. k VII.ő. k VIII.ő. k IX.ő. k X.ő. k

2.c. k b b b b b b b b b

3.c. k k b b b b b b b b

4.c. k b b k k k k k k k

5.c. k k k k b b b b b b

6.c. k b k k k b b b b b

7.c. k k k k k k b b b b

8.c. k b b k k k k b b b

9.c. k k b b b b b b k k

10.c. k b b b k k k k k b

Ha a táblázatot figyeljük, az első 10 cella közül az 1. c., 4. c., 9.c. maradt nyitva. Azért ezek, mert mindig akkor történik változás a cellák zárján, amikor a cella sorszáma osztható az őr sorszámával. Viszont csak páros osztó esetén záródik be, mert az első őr mindeniket kinyitotta. Ezért csak azok nem záródnak vissza, amelyeknek páratlan számú osztójuk van, vagyis amelyek sorszáma négyzetszám. Vagyis a következő cellák rabjai szabadulnak: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 47, 64, 81, 100, vagyis összesen 10 rab szabadul. 15.)Két prímszám különbsége 1995. Hány osztója van a két prímszám összegének? Megoldás Nem lehet mindkettő páratlan., tehát az egyik prím 2 kell legyen. Ezért összegük 1999. Erről megállapítható, hogy prímszám. (Egészen 43-ig kell próbálni az osztást ennek a megállapítása végett.) 100! törtet egyszerűsítsük, amíg lehet. Mi lesz a végeredményül kapott tört 2100 nevezője? Megoldás 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ ...100 . A nevezőben 100 darab 2-es van. Az a A tört így néz ki: 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 kérdés, hogy a számlálóban levő számok tényezőkre bontásában hány 2-es található.

16.)A

50-ig így fordulnak elő a 2 kitevői: 1, 2, 1, 3, 1 2, 1, 4, 1, 2 1, 3, 1, 2, 1 5, 1, 2, 1, 3 1, 2, 1, 4, 1, vagyis innen 47 darab kettest kapunk, 51-től 100-ig így következnek a kitevők: 2, 1, 3, 1, 2 1, 6, 1, 2, 1 3, 1, 2, 1, 4 1, 2, 1, 3, 1 2, 1, 5, 1, 2, vagyis innen 50 darab kettest kapunk. Tehát egyszerűsítés után a nevezőben 2 3 = 8 fog szerepelni. 17.)Hányféleképpen lehet a 1995-öt előállítani egymás után következő páratlan egész számok összegeként? Megoldás

94

Az a kérdés, hogy milyen páratlan egészekkel osztható az 1995. Ha tényezőkre bontjuk 1995 = 3 · 5 · 7 · 19. Tehát az 1995-nek 16 osztója van, ezek mind páratlan számok. D1995 = {1,3,5,7,15,19,21,35,57,95,105,133,285,399,665,1995} Tehát az 1995 felírható 3, 5, 7, 15, 19, 21 és 35 féleképpen. Ezen felírások középső tagja az 1995-nek az illető számmal való osztásával kapható meg. 1995 = 663 + 665 + 667 1995 = 395 + 397 + 399 + 401 + 403 1995 = 279 + 281 + 283 + 285 + 287 + 289 + 291 Amikor 15 páratlan szám összegeként írjuk föl, a középső tag 133. Amikor 19 páratlan szám összegeként írjuk föl, a középső tag 105. Amikor 21 páratlan szám összegeként írjuk föl, a középső tag 95. Amikor 35 páratlan szám összegeként írjuk föl, a középső tag 57. 18.)A következő szorzat eredményét prímszámok hatványának szorzata alakjában írjuk fel. Mi lesz ebben a felírásban a 2 kitevője? 31 · 32 · 33 ·…· 60 (F.: 30.) 19.)Hány nullára végződik az 1 · 2 · 3 · 4 ·…· 2008 szorzat? Megoldás Másképpen az a kérdés, hogy hányadik hatványon szerepel az 5 ebben a szorzatban. Az 5-tel osztható számok száma ahány egész számszor van meg 2008-ban az 5, vagyis ⎡ 2008 ⎤ = 401 . Aztán még van további ötös tényező, azokban, melyek 25-tel egyenlő ⎢ ⎣ 5 ⎥⎦ ⎡ 2008 ⎤ oszthatók, számszerint még ⎢ = 80 darab, aztán még 16 darab, még 3 darab és még ⎣ 25 ⎥⎦ 1 darab. Összesen tehát az ötös tényezők száma 401 + 80 + 16+ 3 + 1 = 501. A szám tehát 501 darab 0-ban végződik. 20.)Melyik az a legkisebb prímszám, amely előállítható két különböző prímszám összegeként is, három különböző prím összegeként is, négy különböző prím összegeként is, valamint öt különböző prím összegeként is? Megoldás Próbáljuk meg megszerkeszteni a megoldást. Adjuk össze az öt legkisebb prímszámot. A 2 nem lehet közötte, mert akkor nem lehet az összeg is prímszám. 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 39. Ez nem jó, mert nem prímszám. De nem lehet jó a 41 sem, mert amikor két prím összegeként kellene fölírni, nem jöhetne szóba a 2. Így a 43-mal próbálkozunk. Egy fölírás: 43 = 41 + 2 43 = 3 + 17 + 23 43 = 2 + 11 + 13 + 17

95

43 = 3 + 5 + 7 + 11 + 17 21.)Egy háromjegyű páratlan számról meg kell állapítani, hogy prím-e, vagy összetett. Okos Berci 3-tól 31-ig nem talált osztót. Ezek után kijelentette, hogy biztosan prím. Igaza volt-e? Miért? (A válaszadást az olvasóra bízom.) Az itt következő feladatok nem lineáris diophantoszi egyenletek. Mindhárom fakultatív anyag, viszont a megoldás az oszthatóság témakörébe tartozik. 22.) Három prímszám szorzata ötszöröse az összegüknek. Melyek ezek a számok? Megoldás a · b · c = 5 ·(a + b + c) Mivel a baloldalon levő szorzat osztható kell legyen 5-tel, ezért az egyik szám 5 kell legyen. Legyen a = 5. Így ezt kapjuk: b · c = 5 + b + c. Átrendezve ezt kapjuk: b · c – b – c + 1 = 6. Ha a baloldalon levő kifejezést tényezőkre bontjuk, akkor ezt kapjuk: (b – 1)(c – 1) = 6. Mivel 6 = 6 · 1, vagy 6 = 3 · 2, ezért a 7 és 2, vagy 4 és 3 számpárt kapjuk. Ez utóbbi nem lehet, mert 4 nem prím. A feladat megoldása: 2, 5, 7 számok. 23.)Kati szobája téglalap alakú, hossza és szélessége méterekben kifejezve egész szám, területe négyzetméterben mérve eggyel kisebb, mint a kerülete méterekben mérve. Mekkora a szoba hosszúsága és szélessége? 1 1 1 24.)Oldd meg az + = egyenletet a pozitív egész számok halmazán. a b 7

6.téma: Kombinatorika Célkitűzések:

-

A permutáció, variáció, kombináció alaptípusainak a felismerése egyszerűbb problémák esetében, ezek számának meghatározása. A hallgatók kombinatív képességének fejlesztése.

Kulcsszavak: permutációk (sorrendi kérdések) ismétlés nélkül és ismétléssel, a permutációk száma, faktoriális, variációk (kiválasztási és sorrendi kérdések) ismétlés nélkül és ismétléssel, a variációk számának meghatározása, kombinációk (kiválasztási kérdések) ismétlés nélkül és ismétléssel, a kombinációk számának kiszámítása

96

A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

Ebből a témából önálló tanulásra a feladatmegoldást javasolom minél bővebb mértékben. A kontakt órán a teljes fejezetet feldolgozzuk, esetleg néhány a Kurzusban megoldott feladatot fogunk átugrani. B. Kontakt órán feldolgozandó részek: VI.1.Permutációk ismétlés nélkül és ismétléssel ( Pn ) (sorrendi kérdések)

1.feladat Az 1, 2, 3 számjegyekből, ismétlés nélkül, hány háromjegyű szám írható? 123 231 312 132 213 321 F. 6 db. van. A fenti példában előállítottuk 3 elem ismétlés nélküli permutációit: 3 elemet 3 helyre rendeztünk úgy, hogy egy elem csak egyszer szerepelhetett. - Miért kaptunk pontosan hatféle elrendezést -a helyek sorszáma: I.

II.

III.

↑ ↑ ↑ 3-ból 2-ből 1-ből választok választok „választok” Tehát a permutációk száma: 3·2·1 = P3 („permutáció 3 elemből”) A szorzatot sűrítve még így is jelölik:3! („3 faktoriális”) 2.feladat Az ALOM szó betűiből hány négybetűs, nem föltétlenül értelmes szót lehet fölírni? (tegyük föl, hogy a betűk kártyákon állnak, tehát nem ismétlődhetnek.) ALOM L… M… O… ALMO L… M… O… AOLM L… . . AOML L… . . AMLO L… . . AMOL L… M… O… Látható, hogy négy oszlop van, mivel a 4 betűből bármelyik betű állhat az első helyen. Hogy a maradék 3 helyre a fennmaradó 3 betűt 6 féle módon tudjuk elhelyezni, azt már láttuk az előző feladatban. P4 = 4 ⋅ 6 = 24 db permutáció van. A felsorolt formák: 4 elem ismétlés nélküli permutációi (valójában a 24-ből csak 6-ot soroltunk föl, a többi csak el van kezdve).

97

A permutációk számának megállapításához így gondolkodunk: I. II. III. IV. .. .. .. .. 4- 3- 2- 1P4 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 4!= 24 (db) ből ból ből ből választunk 3.feladat Egy gyerek öt kedvenc könyvét (Benedek Elek, Móra Ferenc, Gárdonyi Géza, Kányádi Sándor, Lázár Ervin) cserélgeti egy könyvespolcon. Minden nap egyféle sorrendet alakít ki. Hány napig kell cserélgetnie, ha azt akarja, hogy minden sorrendet kialakítson? 5 hely – 5 könyv P5 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5!= 120 F.120 napig tart, amíg az összes sorrendet ki tudja alakítani. Egy-egy sorrend 5 elemnek egy permutációja, ismétlés nélkül. 4.feladat Az ALMA szó betűiből négybetűs szavakat alkotunk. Hányat lehet? Fel lehet írni mind a 24-et, de közülük 12-t ki kell húzni: ennyi esetben kapunk olyant, amit már előzőleg megkaptunk. Így gondolkodunk: Vesszük úgy, mintha mind a 4 betű különböző lenne, de az így kapható számot osztani kell 2!-sal, jelen esetben 2-vel, mert ha rögzítjük két nem ismétlődő betű pozicióját: ALMA, minden esetben pontosan feleannyi felírás van, mert A-t A-val felcserélve nem kapunk új felírásokat. Egészen pontosan: annyiszor kevesebb permutáció van, ahányszor az ismétlődő betűk a fennmaradt helyekre elhelyezhetők lennének, ha azok különbözők volnának. Amit így felírtunk 4 elem permutációi (4 elemet 4 helyre rendeztünk), amelyek közül 2 ismétlődött. 4! 24 Jele: P42,1,1 = P42 = = = 12 2! 2 5.feladat Adottak a következő számkártyák: 1 2 3 3 3 . Hány ötjegyű szám alkotható ezekből? Itt az 1 2 kártyák minden rögzített poziciója esetén hatszor kevesebb eset van ( P3 = 6 ). 5! 120 Tehát P53,1,1 = = = 20 . 3! 6 6.feladat Az 1, 2 számjegyekből hány olyan ötjegyű szám írható föl, amelyben az 1-es háromszor, a 2-es pedig kétszer szerepel? 98

P53, 2 =

5! 120 = = 10 3!⋅2! (3 ⋅ 2 ⋅ 1) ⋅ (2 ⋅ 1)

A fenti példák alapján foglaljuk össze: -n elem nem ismétléses permutációja azt jelenti, hogy n db különböző elemből választunk n helyre. Ezek száma: Pn = n!= n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1 Pn : n elem permutációinak száma, vagy n! „n faktoriális” – mindkettő ugyanazt a dolgot jelöli. -Az ismétléses permutációnál is n elem van, és n hely van, de az elemek közül k1 db egyforma, k 2 db egyforma, ... , k n db egyforma, k1 + k 2 + ... + k n = n . n! k , k ,..., k A permutációk száma: Pn 2 n1 = k1!⋅k 2 !⋅... ⋅ k n !

7.feladat a.)Hányféle módon lehet egymás mellé helyezni a TERELTE szó betűit? b.)Hát az ÉDESAPU szó esetében? a.) TERELTE T = 2 db ⎫ E = 3 db ⎪⎪ 7! 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 3, 2 ,1,1 = = = 420 (db) ⎬Ö = 7 ⇒ P7 R = 1 db ⎪ 3!⋅2!⋅1!⋅1! (3 ⋅ 2 ⋅ 1) ⋅ (2 ⋅ 1) ⋅ 1 ⋅ 1 L = 1 db ⎪⎭ b.)Nincs ismétlődés ⇒ P7 = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5040 (db) VI.2.Variációk ismétlődés nélkül és ismétlődéssel ( Vnk , Ank ) (kiválasztási és sorrendi kérdések)

1.feladat Van négy számkártya: 2 3 4 5 . Hány db háromjegyű szám rakható ki ezekből? ☺ ☺ ↑ ↑ 4-ből 3-ból választunk 234 243 324 342 423 432 6 db

☺ ↑ 2-ből 235 . . . . . 6 db

4·3·2 = 24 (db) 245 . . . . . 6 db

345 . . . . . 6 db

99

Amit felírtunk 4 elem 3-ad osztályú variációi, ismétlés nélkül. (4 elemből 3 helyre választottunk, ismétlődés nélkül) Jele: V43 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24(db) Tehát: -n különböző elem k-ad osztályú variációi: n elemből választunk k helyre és minden elem csak egyszer szerepelhet. (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) A variációk száma: Vnk = n1⋅ 4 44442444443 k db szorzótényezö

Más képlet (levezethető): Vnk =

n! (n − k )!

2.feladat A 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával hány háromjegyű szám írható fel, ha a számjegyek ismétlődhetnek? ☺ ☺ ☺ 4-ből 4-ből 4-ből Tehát ismétléssel 4 elemből választunk 3 helyre. választok 3, i V4 = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 4 3 = 64(db) Itt 4 elem ismétléses variációiról van szó. Az ismétléses variációnál n elemből választunk k helyre, de a kiválasztott elemek megint szerepelhetnek. Vnk ,i = n k 3.feladat Egy nyuszika egy öt fokozatú lépcső tetején áll. Ugrándozik lefelé úgy, hogy bármelyik lépcsőfokra ráugorhat, vagy át is ugorhatja. Hányféle ugráskombinációt próbálhat ki, amíg a földre ér? Minden lépcsőfoknál 2 lehetőség közül választhat: vagy ráugrik, vagy nem. Mivel 4 lépcsőfok van, ezért 2 lehetőségből választ 4 helyre: V24,i = 2 4 = 16 , vagy: I. II. III. IV. (lépcsőfok) 2· 2· 2· 2 4.feladat Dobókockával dobunk egymás után négyszer és az eredményeket (a dobások számjegyét) egymás mellé írjuk. Így minden négy dobás után egy-egy négyjegyű számot kapunk. Hány esetben lesz a kapott négyjegyű szám 4-gyel osztható? A 4-gyel való oszthatóság szabálya alapján jó végződések: 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64. Tehát 9 db jó végződés van.

100

I . II . III . IV . 1424 3 14243 ide választunk a 6 −ból

Az első két hely esetén 6-ból választunk: V62,i = 6 2 = 36 .

fix: 9 jó végzödés

Tehát Ö = 9·36 = 324 jó szám van. 5.feladat Adott a mellékelt elrendezés. Hányféleképpen olvasható ki A VIZSGA szó, ha csak jobbra vagy lefelé lehet haladni?

VIZS IZSG ZSGA

A V-től az A-ig haladva 5 lépéslehetőség. Ebből az elrendezést figyelve 3 történhet 5! = 10 jobbra és 2 lefelé. Tehát a lépések száma: P53, 2 = 3!⋅2! Megjegyzés -A feladat ugyanaz, mintha a j, j, j, l, l betűket rendezném 5 helyre (jobbra 3×, lefelé 2×) tehát valóban P53, 2 -ről van szó. -Másképpen megoldva: indexeljük a betűket azzal a számmal, amely azt mutatja, hogy az illető betűhöz hányféle módon juthatunk. Az utolsó betű (A) indexe megadja az összlehetőségek számát: V1 I 1 Z 1 S1 I 1 Z 2 S 3 G4 Z 1 S 3 G6 A10 Látható, hogy így is az eredmény 10.

6.feladat Ugyanaz a feladat a következő elrendezés esetében: MATEK 4 lépés van M-től K-ig. Minden esetben kétféle lehetőség ATEK van. Tehát V24,i = 2 4 = 16 , vagy: TEK EK K M 1 A1 T1 E1 K1 Bármelyik K-hoz jutunk, az mind jó, tehát a K betűk indexeit összeadjuk A1 T2 E3 K 4 Ö = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 T1 E3 K 6 E1 K 4 K1

101

VI.3.Kombinációk ismétlés nélkül és ismétléssel ( C nk ,

( )) (kiválasztási kérdések) k n

A feladat: -n elemből k elemet tartalmazó részhalmazokat alkotni, -másképpen: n elemből válasszunk ki k darabot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorrendje nem számít. Bármelyik megfogalmazást tekintjük, n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációiról van szó.

Megjegyzés Az első megfogalmazásban azért nem kell hangsúlyozni, hogy nem fontos a sorrend, mert maga a halmaz fogalma tartalmazza azt, hogy az elemek sorrendjétől el lehet tekinteni. 1.feladat A {2, 3, 4, 5} halmaznak hány 3 elemes részhalmaza van? F. 4 db, éspedig: {2, 3, 4}; {2,. 3, 5}; {2, 4, 5}; {3, 4, 5}. Megjegyzés -A variációk 1.)-es feladatánál ugyanezekből a számjegyekből alkottunk ismétlődés nélkül háromjegyű számokat. Ahhoz viszonyítva most 6× kevesebb eset van. Miért? (Az egyszer kiválasztott 3 számot itt nem kell átrendezni más sorrendbe, mint a variációknál, tehát annyiszor kevesebb eset van, mint ahányszor a 3 elemet a megadott 3 helyre sorrendbe tudtuk volna helyezni, vagyis P3 -szor kevesebb eset van.) Amit fölírtunk 4 elemnek 3-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációi. V 3 4⋅3⋅ 2 = 4 eset van. C 43 = 4 = 3 ⋅ 2 ⋅1 P3 Általában a nem ismétléses kombinációk számát megadó képlet: C nk =

Vnk n! = Pk k!⋅(n − k )!

2.feladat Osszunk szét 5 tanuló között 3 egyforma ajándékot úgy, hogy minden gyerek csak 1-1 ajándékot kaphat. Hányféle módon lehet? Most a tanulókból választunk az ajándékokhoz. Mivel az ajándékok egyformák, a kiválasztott 3 tanuló között nem kell cserélgetni az ajándékokat, tehát nem variációról, hanem kombinációról van szó. V 3 5⋅4⋅3 = 10 C 53 = 5 = P3 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3.feladat Ugyanaz a feladat, de egy tanuló több ajándékot is kaphat. Megoldás:

102

V53 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = -Kaphatnak a tanulók 1-1 ajándékot (mint az előbb). Ezek száma: C = = 10 P3 3 ⋅ 2 ⋅ 1 3 5

-Kaphat egy tanuló 2 ajándékot és egy tanuló 1-et. Így az 5 tanulóból 2-t választunk és megduplázzuk, mert lehet, hogy az első kaphat 2-t és a második 1-et, vagy fordítva. 5⋅4 2 ⋅ C 52 = 2 ⋅ = 20 2 ⋅1 -Kaphat egy tanuló 3 ajándékot: 5 féle képpen. Tehát összesen 10 + 20 + 5 = 35 eset van. Amit felírtunk ebben a 3. példában az 5 elem 3-ad osztályú ismétléses kombinációi voltak. 7⋅6⋅5 Megfigyelhető, hogy 35 = C 53+3−1 = C 73 = = 35 3 ⋅ 2 ⋅1 Az ismétléses kombinációk számát megadó képlet: C nk ,i = C nk+ k −1 . Tehát az ismétléses kombinációk számának kiszámítása visszavezetődik a nem ismétléses kombináció képletére. Tehát: n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációja azt jelenti, hogy az n db elemből k darabot úgy választunk, hogy bármelyik elem többször is előfordul. 4.feladat Egy urnában 20 cédula van 1-20-ig megszámozva. Kihúzunk 5 cédulát úgy, hogy minden húzás után a kihúzott cédulát visszatesszük. Hány esetben lesz a kihúzott legkisebb szám nagyobb hatnál? 14 db olyan cédula van, amelyen hatnál nagyobb számok vannak. Tehát 14 elemből kell 5-ös sorozatokat alkotni, ahol a sorrend nem számít, vagyis kombinációról van szó. Mivel minden húzás után visszatevődik a már kihúzott cédula, ezért ismétléses a kombináció. A válasz tehát: C145,i = C145 +5−1 = C185 = 8568 . Még három feladat, mostmár „ömlesztve” 5.feladat Hány átlója van egy szabályos 12 oldalú sokszögnek? A 12 db hármanként nem kollineáris pontból 2-2-t választva „meghúzzuk” az összes lehetséges egyenest. Ezek között a sokszög oldalai is ott lesznek, tehát ezeket levonjuk. Azért van szó kombinációról, mert a két kiválasztott pont sorrendje nem számít (nem számít, hogy „oda, vagy vissza” húzzuk az egyenest).

103

V122 12 ⋅ 11 = 66 C = 2 P2 2 12

66 – 12 = 54 (db átló)

6.feladat Egy polcon 15 üveg bor van: 10 fehér és 5 vörös. Hányféle módon lehet kiválasztani ezek közül 6 üveggel, hogy közötte 2 üveg vörös bor legyen? 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 5⋅4 C 52 = C104 = = 210 ( fehér bor ) = 10 (vörös bor ) 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 2 ⋅1 Tehát C 52 ⋅ C104 = 210 ⋅ 10 = 2100 féleképpen. 7.feladat Egy 32-es létszámú osztályban létre kell hozni egy 5 tagú bizottságot, amelyben legyen 1 titkár, a másik 4 csak tag. Hány olyan eset van, amikor Kovács Éva: a.) titkára a bizottságnak? b.) nem titkár, de tag a bizottságban? c.) szerepel a bizottságban? a.)Ha K.É. a titkár, akkor a maradék 31 tanulóból választunk 4 helyre: C 314 . b.)Valaki titkár lesz, K.É. tag. A titkár helyére 31 féle választás van. A 3 tag helyére C 303 (3 helyre választunk, mert a titkárt már kiválasztottuk és K.É. is elfoglalt egy helyet.) Tehát Ö = 31· C 303 . 3 . c.)Az előző kettőből következik, hogy Ö = C 314 + 31· C 30

7.téma: A valószínűségszámítás, a matematikai statisztika és gráfelmélet elemei. Célkitűzések: - Egy elemi esemény valószínűségének meghatározása a klasszikus valószínűségi mező esetén. Az elemi eseményekkel végezhető műveletek alkalmazása a feladatok megoldásánál - Egy statisztikai felmérés adatainak statisztikai sorba rendezése, a gyakoriságok kiszámítása. A megfelelő grafikus ábra kiválasztása, elkészítése, a statisztikai mutatók kiszámítása - Egy elemi gráf körbejárhatóságának eldöntése Kulcsszavak: elemi esemény, biztos, lehetetlen esemény, komplementer események, két esemény összege, két esemény szorzata, két esemény különbsége, egymást kizáró események, teljes eseményrendszer, a valószínűség klasszikus definíciója, mennyiségi-,

104

minőségi ismérvek, statisztikai sor, abszolút gyakoriság, relatív gyakoriság, kumulált gyakoriságok, különböző diagramok, statisztikai mutatók: módusz, medián, középarányosok, szórásnégyzet, szórás, a gráf csúcsának fokszáma, zárt Euler-vonal, nyílt Euler-vonal. A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

Ebben a témakörben önálló tanulásra javasolom A matematkai statisztika elemei és A gráfelmélet elemei című részt teljesen, A valószínűségszámítás elemei című részből az elméletet. Ezen részek megtalálhatók a Kurzusban a …oldalakon. B. Kontakt órán feldolgozandó részek:

A kontakt órán valószínűségszámítási feladatokat fogunk megoldani, a feladatmegoldás közben sor kerül a fontosabb elméleti fogalmak magyarázatára. A klasszikus definíció (ún. klasszikus valószínűségi mezőre igaz), vagyis az elemi események száma véges és minden esemény egyenlően valószínű. Ekkor az A esemény valószínűsége: a kedvezö esetek száma P( A) = az összes eset száma 1.feladat Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy kocka dobásakor párost dobjunk? -az összes esetek száma = 6 -kedvező esetek száma = 3 3 1 P ( A) = = 6 2 2.feladat A magyar kártyával való játék a „66”. Esemény: egy kártyalap osztása. Legyenek a következő események: A1 :" ászt kap." A2 :" számost kap." A3 :" a többi közül kap." Számítsuk ki mindenik esemény valószínűségét. Igazoljuk, hogy ezek teljes eseményrendszert alkotnak. 12 3 4 1 4 1 = , P( A2 ) = = , P( A3 ) = = 20 5 20 5 20 5 A három esemény teljes eseményrendszert alkot: egymást kizárják és egy kártyalap húzásakor valamelyik esemény biztosan bekövetkezik. P ( A1 ) =

105

Másrészt valószínűségeik összege valóban 1. 1/5 + 1/5 + 3/5 = 5/5 = 1. 3.feladat Két dobókockával dobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kapott számok összege 10 legyen? -Ha két dobókockával dobunk, akkor összesen 36 féle számpár fordulhat elő. Vagyis az összes esetek száma 36. -A jó számpárok: 4 + 6, 5 + 5, 6 + 4, vagyis a kedvező esetek száma 3. 3 1 P ( A) = = 36 12 4.feladat Két urna van, az egyikben 8 golyó van 1-8-ig számozva, a másikban 7 golyó 1-7-ig számozva. a.)Mi a valószínűsége annak, hogy egyet-egyet húzva mindkét urnából, az első urnából páratlant húzzunk, a második urnából párost húzzunk? b.)Mi a valószínűsége annak, hogy a két urnából ellentétes paritású golyót húzzunk? Megoldás a.)Nyilván két esemény van: hogy az első urnából páratlant húzzunk (A esemény), valamint: a második urnából párost húzzunk (B esemény). A két eseménynek egyszerre kell bekövetkeznie. Kiszámítjuk külön-külön mindkét esemény valószínűségét: -az A eseménynél az összes esetek száma 8, ebből kedvező 4 (a páratlanok: 1, 3, 5, 7). -a B eseménynél az összes esetek száma 7, ebből 3 eset kedvező. 3 4 1 P ( A) = = , P( B) = 7 8 2 Ha az első urnából például kihúztuk az 1-es számozású golyót, mellé a második urnából 3 jó golyót húzhatunk, a 3-as mellé ugyanúgy. Tehát, hogy a két esemény egyszerre következzék be, ennek a valószínűsége a két esemény valószínűségének a szorzata lesz. P = P(A) · P(B) = 1/2·3/7 = 3/14. b.)Az ellentétes paritás azt jelenti, hogy húzhatunk az elsőből páratlant és a másodikból párost (mint az előző alpontban), vagy fordítva, az elsőből párost (C esemény) és a másodikból páratlant (D esemény). Tehát először kiszámítjuk ez utóbbi húzásának valószínűségét. 4 4 4 P = P(C ) ⋅ P( D) = ⋅ = 8 7 14 Most, mivel az a.) alpont eseménye is megfelel, de a vele ellentétes esemény is megfelel, ezért a két valószínűséget összeadjuk. 3 4 1 P= + = 14 14 2

106

5.feladat Egy urnában 10 fehér és 6 fekete golyó van. Két golyót húzunk visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége annak, hogy: a.)mindkét golyó fehér legyen, b.)mindkét golyó fekete legyen, c.)az első fehér, a második fekete legyen, d.)az első fekete, a második fehér legyen, e.)mindkét golyó fehér legyen, f.)mindkét golyó fekete legyen. Megoldás Itt arra kell figyelni, hogy az első golyó húzása után a második húzásra összesen is és az adott színből is kevesebb golyó maradt. a.) Hogy fehéret húzzunk először: a 16-ból 10-et. Ha már kihúztunk egy fehéret akkor a maradék 15 golyóból 9 a fehér. Tehát: 10 9 3 P= ⋅ = 16 15 8 b.)Hasonlóan gondolkodunk: 6 5 1 P= ⋅ = 16 15 8 c.)Először fehéret, azután feketét: 10 6 1 P= ⋅ = 16 15 4 d.)Először feketét, aztán fehéret: 6 10 1 P= ⋅ = 16 15 4 e.)Azonos színű, ami azt jelenti, hogy vagy mind a kettő fehér (a.) alpont), vagy mind a kettő fekete (b.) alpont. Tehát az itt kapott valószínűségeket összeadjuk. P = 3/8 + 1/8 =1/2 f.)Most a c.) és d.) alpontok eredményeit használjuk föl. P = 1/4+1/4=1/2 6.feladat 100 almából 10 romlott. Mi a valószínűsége, hogy találomra 5 almát kivéve romlott is legyen közöttük? Megoldás 5 -Az összes esetek száma: 100 almából hányféle módon választhatunk 5 almát: C100 -A helyett, hogy kiszámítanánk, hogy hogyan választhatunk romlottat, azt számítjuk ki, hogy hogyan választhatunk egészségeset. Mert akkor az esetek fennmaradó részében csak romlottat választhatunk. 5 Az egészségesek választásánál 90 almából választjuk a kért 5 darabot: C 90 Hogy az 5 választott alma közül legalább egy romlott legyen, az az esetek fennmaradó részében történhet meg, vagyis ezek kiegészítő események, valószínűségük összege 1. Tehát a romlottak választásának valószínűsége: C 905 P = 1− 5 C100

107

7.feladat Egy nyilvántartóban 10 000 lap van, 1től 10 000-ig számozva. Mi a valószínűsége annak, hogy a találomra kihúzott nyilvántartó lap sorszáma tartalmazza az 5-ös számjegyet? Megoldás -Az összes esetek száma 10 000. -A kedvező eseteknél megint az esemény be nem következésében gondolkodunk, vagyis a komplementer esemény valószínűségét fogjuk kivonni 1-ből. Hány esetben történik meg, hogy a számokban ne szerepeljen az 5-ös? Akkor csak hány számjegyből alkotunk számokat? Hány helyre választjuk ezeket? Összesen 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 = 9 4 = 6561 ilyen szám van. 6561 3439 Tehát P = 1 − = 10 000 10 000 8.feladat Képezzük az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyekből az összes különböző számjegyeket tartalmazó hétjegyű számot. Ezek közül kiválasztunk egyet. Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott számban az 1-es és 2-es számjegyek egymás mellett, növekvő sorrendben álljanak? Megoldás -Az összes esetek száma: hányféle módon helyezhető el 7 helyre 7 különböző számjegy? P7 = 7! -A kedvező esetek száma. Képzeljük el, hogy az első két helyet a számban elfoglalta az 12. A maradék 5 helyre a többi számot P5 = 5! módon tudjuk elhelyezni. A hétjegyű számon ez az 12 elrendezés „végigmegy”, vagyis összesen 6 poziciója van. Akkor a kedvező esetek száma összesen 6 ⋅ P5 . Tehát a valószínűség: P=

6 ⋅ P5 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 1 = = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 7 P7

8.téma: Mértani elemek Célkitűzések: - A geometria alapfogalmainak ismerete, azok alkalmazása elemi geometriai feladatok megoldásánál Kulcsszavak: egyenes, félegyenes, szakasz, pont, a szög, párhuzamosság, merőlegesség, sokszögek, háromszögek, négyszögek, tengelyes szimmetria, hasonlóság, egyszerű testek, poliéderek, görbe felületű testek, kerületszámítás, területszámítás, felszínszámítás, térfogatszámítás A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

108

Ebben a témakörben önálló tanulásra javasolom a teljes fejezetet. Ezen részek megtalálhatók a Kurzusban a …oldalakon. B. Kontakt órán feldolgozandó részek:

A kontakt órán néhány mértan feladatot fogunk megoldani, érintve a problémásabb részeket. 1.Egy 3 cm élű kocka mindenik lapját egybevágó kis négyzetekre osztottuk. Mindegyik lapon kiválasztjuk a középső kis négyzetlapot és erre merőlegesen a szemközti lapig egy négyzetes oszlopot kifúrunk a kockából. Mennyi lesz az így kapott lyukas test térfogata és felszíne? Megoldás Vegyük először, hogy hány kis 1 cm élű kockából állna a nagykocka, ha ezekből építettük volna föl? (A szemléltetéshez használhatunk egy Rubik-kockát.) 3 · 3 · 3 = 27 darab kiskockából. Ezekből veszünk el néhányat. Ha elölről fúrunk át hátrafelé, akkor kiveszünk 3 kiskockát. Ha egyik oldalról fúrunk (pl. balról jobbra) át a szemközti oldal irányába, akkor már csak kettőt kell elvennünk, mert a középsőt már elvettük. Ha fentről fúrunk lefelé, a helyzet ugyanez, vagyis két kiskockát kell elvennünk. Összesen elvettünk 3 + 2 + 2 = 7 kiskockát, a maradék test térfogata 27 – 7 = 20 (cm³). Most nézzük a felszínét. Az eredeti kocka felszíne 6 · 9 = 54 (cm²). Ezekből hiányzik 1-1 kiskocka, tehát a lyukas nagykocka felülete 54 – 6 = 48 (cm²). Most nézzük a lyukakat. Egy – egy befelé haladó lyuknak négy oldala van, tehát ezek felszíne 6 · 4 = 24 (cm²), ami az előbbi felszínhez hozzáadódik. Tehát a lyukas kocka felszíne 48 + 24 = 72 (cm²). Megjegyzés Segítségként nem árt, ha van 27 db dobókockánk, papírboltban elég olcsón vásárolható. Még jobb megoldás, ha a tanítónő már I. osztályban elkészítteti a gyerekekkel, vagy közösen elkészítenek annyi dobókockát (1 dm-es élűt, mert ez egyébre is jó), ahány gyerek van az osztályban. Ha felpöttyözik, akkor már I. osztályban a számok alkotásánál, a műveletvégzésnél jól használhatók. 2.Az alábbi ábra felső két sorában a baloldalt látható, egyforma kiskockákból álló építmények mellett jobbról az szembőlnézetük, oldalnézetük és felülnézetük van megrajzolva. Rajzoljuk meg ezeket a nézeteket az alsó három test esetén, tudva, hogy mind a három 6 kiskockából áll.

109

Megoldás Rendre a következőket kell látnunk:

3.Az asztalra letettünk néhány egyforma méretű kockát. Ha ezeket elölről, illetve oldalról nézzük, akkor az ábrán látható nézeteket látjuk. Legkevesebb hány kocka lehet az asztalon? Legfeljebb hány kockából állhat az építmény?

Megoldás Először nézzük a lehető legtöbb kockából álló építményt.

110

Rajzolunk egy 4×4-es négyzetet. Ebbe beleírjuk, hogy az adott pozicióban egymás fölött hány kiskockának kell állnia. Próbáljuk meg önállóan kitölteni a négyzetet, eltakarva az alatta levő megoldást.

F. Legtöbb 20 darab kiskockából állhat az építmény. Legkevesebb 6 kiskockából állhat az építmény. 4.Az ABCD négyzetet papírból vágtuk ki. Jelölje E az AB oldal felezőpontját. Az EC egyenes mentén behajtjuk a papírlapot, így lesz egy kétrétegű és egy egyrétegű része a négyzetnek. Hányad része a négyzet területének az egyrétegű rész? Megoldás Rajzoljuk le, hogy behajtva a négyzetet, mit kaptunk. Aztán rajzoljuk le a behajtás előtti poziciót is. Hányad részét is hajtottuk be a négyzet területének?

111

F. Tehát az egyrétegű rész az egész négyzet területének pontosan a fele. 5.Katának nyolc darab 1 cm élű kockája van, melyek mindegyike kívülről teljesen fehér. Pisti azt állítja, hogy be tud festeni kívülről két lapot úgy a kockákon (tehát összesen két darab 1 cm oldalhosszúságú négyzetet), hogy a nyolc kockából már sehogyse lehessen összerakni egy nagyobb, 2 cm élű, teljesen fehér kockát. Döntsük el, hogy igaza van-e Pistinek, és ha igen, adjuk meg, melyik lapot kell befestenie. Megoldás Ha egy kiskockán két szemközti lapot fest be, akkor akárhogyan is rakja össze a nyolc kiskockából álló nagyobb kockát, lesz egy másszínű lapja, ami kívül kerül. 6.Józsi 20 db 1 cm oldalhosszúságú kis kockából megépített egy téglatestet úgy, hogy a kis kockákat egymásra helyezte és nem használt ragasztót. Töltsd ki a táblázatot, ha a, b, c jelöli a téglatest éleinek lehetséges hosszát, T1 , T2 , T3 , az egyes oldallapok területeit, F pedig a téglatest felszínét. AZ egy téglatesthez tartozó értékeket egy oszlopba írd. a b c T1 T2 T3 F

112

(Ez a feladat házi feladatnak marad.) 7.Egy sík négy pontja által meghatározott egyenesek hány részre oszthatják a síkot? Vizsgáljuk meg az összes esetet! (Ez a feladat is házi feladatnak marad.) 8.Egy négyzet alakú termet azonos méretű négyzet alakú fehér és barna csempékkel kívánunk beborítani. Számításaink szerint ehhez 625 darab csempe szükséges. Középre egy barna csempét teszünk, melyet fehér színűekkel rakunk körbe. Majd ezeket barnákkal, majd azokat fehérekkel és így felváltva folytatjuk a csempézést. A munka végeztével hány barna és hány fehér csempe fogja borítani a termet? Megoldás A megoldáshoz elkezdjük elkészíteni az ábrát, de nyilván nem fogjuk megrajzolni az összes sor csempelapot. A barnák száma: 1 + (25 – 9) + (81 – 49) + … A fehérek száma: (9 – 1) + (49 – 25) + (121 – 81) + … Az összeg minden tagjának fölírását és a számítást az olvasóra bízom. 9.Anna matek órára egy papírkockát készített. A kocka minden lapjára ráírta, hogy hány lappal határos, Minden éléhez odaírta, hogy hány élet köt össze, minden csúcsához odaírta, hogy hány él fut össze benne. Mennyi az így leírt számok összege? 10.Dominik egy négyzetbe berajzolta a szimmetriatengelyeit. Hány háromszög és négyszög keletkezett összesen? (A 9. és 10. feladat házi feladat.) 11.Flóra 6 cm × 8 cm-es téglalapokat szeretne szétvágni: a.) 4 négyzetre, b.) 6 négyzetre, c.) 8 négyzetre. Szét lehet-e vágni így a téglalapokat, ha a négyzeteknek nem kell föltétlenül egybevágóknak (egyformáknak) lenniük? Megoldás Először próbálkozzunk, csak azután nézzük meg a megadott mintát. Feltehetjük azt a kérdést is, hogy még hány darabra lehetne vágni a megadott méretű téglalapot. Próbáljunk erre is választ adni.

113

12.Letettünk az asztalra hat darab egyforma, papírból kivágott szabályos háromszöget. Az elrendezés a mellékelt képet mutatja. Melyik betűvel jelzett háromszöget tettük le sorrendben harmadikként? Megoldás Itt is az önálló munkát ajánlom.

A felszedés sorrendje: A, D, F, E, B, C vagy A, D, F, E, C, B, ugyanis az utolsó kettő nem fedi egymást, tehát a letevési sorrendjük nem megállapítható. F. Sorrendben harmadikként az E háromszöget tettük le. 13.Az ábrán látható háromszögek mindenike szabályos. A legkisebb háromszög oldalai 1 cm hosszúak. A háromszögek oldalai olyan cérnából készültek, melynek centimétere 1 114

másodperc alatt égne el, ha az egyik végén meggyújtanánk. Hány másodperc alatt ég el az ábra háromszögeit alkotó cérna, ha a legnagyobb háromszög egyik csúcsánál meggyújtjuk?

14.A rajzon egy vasúti pályaszakaszt ábrázoltunk. A sín két oldalán álló, vezetéktartó oszlopokat pontokkal jelöltük. A szomszédos oszlopok távolsága egy-egy oldalon 25 m. Béla egyszer összesen 99 oszlopot számolt meg egy egyenes vasúti szakasz két oldalán. Hány kilométer hosszú ez a szakasz az első oszloptól a kilencvenkilencedik oszlopig?

15.Egy 10 cm oldalú négyzetlapot tíz, egyforma méretű, 1 cm széles csíkra vágunk fel, s ezeket 1 cm hosszú takarással a végüknél egymáshoz ragasztjuk. Hány cm² lesz az így kapott papírcsík területe? (A 13., 14., 15. feladat házi feladat legyen.) 115

16.Az udvari ékszerész kincses zsákjában 60 darab ezüst és 60 darab arany 1 cm élű kiskocka van. Találomra vesz ki közülük néhányat. a.)Hány kiskockát vegyen ki a zsákból, hogy biztosan össze tudjon állítani egy olyan 3 cm oldalélű tömör kockát, melynek minden lapja arany színű? b.)Hány kiskockát vegyen ki találomra a zsákból, ha egy olyan 4 cm oldalélű tömör kockát szeretne összeállítani, melynek minden lapja biztosan azonos színű? Megoldás a.) A 3 cm élű tömör kocka 27 kiskockából áll, ezekből 26 látszik, 1 a belsejében van. Tehát kiveheti az összes ezüst színűt és 25 darab arany színűt és még mindig nincs meg az aranyos kockája. De mikor a 26. arany színű kiskockát kiveszi, akkor biztosan össze tudja állítani az aranyos kockát. b.)Egy 4 cm élű nagykocka 64 kiskockából áll, ebből 8 db nincs a kocka felszínén. Tehát kivehet 55 db ezüst színűt, vagy 55 darab arany színűt és még mindig nincs kész. Amikor az 56. valamelyik színűt kiveszi, akkor megvan az egyszínű nagykockája. Vagyis 111 darabot kell kivennie. 17.Az alábbi hálókból kockákat hajtogatunk. Mindegyik kockánál összeszorozzuk a szemközti lapokon található számokat. Melyik esetben kapunk a szorzatok között 6-tal oszthatót? (Több ilyen kocka is lehet!)

Megoldás Rendre az alábbi szorzatokat kapjuk: (1) 18, 7, 15 (2) 3, 63, 20 (3) 36, 16, 35 (4) 42, 105, 128 (5) 405, 16, 84. Vagyis csak a (2) eset nem felel meg. 18.Daraboljuk fel az ábrán látható alakzatot a vonalak mentén 4 egybevágó, összefüggő részre! Keressünk minél több megoldást. Ha két megoldás elforgatással egymásba átvihető, azokat nem tekintjük különbözőknek! 116

(Maradjon ez a feladat is házi feladatnak.)

9.téma: Szöveges feladatok megoldási módszerei: Az ábrázolás módszere Célkitűzések: - Tudjon megoldani szakaszos ábrázolással, vagy más, ábrázoláson alapuló módszerrel aritmetika feladatokat Kulcsszavak: a feladat adatainak ábrázolása szakaszok segítségével, nem szakaszokból álló ábrák készítése, életkoros feladatok ábrázolása pontokkal, töltögetős feladatok megoldása táblázattal, stb. A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

Ebben a témakörben önálló gyakorlásra javasolom a teljes fejezetet. Ezen részek megtalálhatók Tuzson, Z.(2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat? című könyvében a 125 – 139 oldalakon. B. Kontakt órán feldolgozandó részek: A.Szakaszos ábrázolás

A szakaszos ábrázolás módszerének lényege az, hogy a feladat adatait szakaszokkal ábrázoljuk. Az ábra elkészítéséhez először kiválasztjuk a legkisebb számot, általában ezt jelöljük egy szakasz hosszával. A többi értéket ennek a szakasznak a függvényében ábrázoljuk a nagyságával arányosan. Az itt következő első három feladat típusfeladat, ezek megoldását föltétlenül vázoljuk. 1.Két szám összege 36, különbségük 16. Melyik ez a két szám? Megoldás a + b = 36 a – b = 16 117

a = ?, b = ? I. II.

36 16

Az ábrán a kisebbik szám van ábrázolva egy szakasszal, a nagyobbik egy hosszabb szakasszal, de látható, hogy a két szakasz közti eltérés 16. I. megoldás Ha a 36 – 16 művelettel kezdjük, akkor a nagyobbik számból elvettük azt, amivel az a kisebbiknél több volt. Így az ábra szerint is az összegben két egyforma érték maradt, amit elosztva kétfelé. Megkapjuk a kisebbik számot. 36 – 16 = 20, 20 : 2 = 10 (I. szám) 10 + 16 = 26 (II. szám) F.: A két szám a 10 és a 26. Próba: 10 + 26 = 36, 26 – 10 = 16. II. megoldás A kisebbiket egészítjük ki a nagyobbra, vagyis 36 + 16 = 52. Így ezt, ha elosztjuk 2-vel, először a nagyobbik számot fogjuk megkapni. 52 : 2 = 26 (II. szám) 26 – 10 = 16 (I. szám) III. megoldás Ezt a megoldást csak akkor alkalmazhatjuk, ha a két szám összege és a különbsége is páros. 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Így a két szám összegét is, de a különbségét is feleztük. Most, ha a félösszeghez hozzátesszük a félkülönbséget, megkapjuk a nagyobbik számot, ha pedig kivonjuk a félkülönbséget, akkor a kisebbik számot kapjuk meg. 18 + 8 = 26, 18 – 8 = 10. 2.Két szám különbsége 28, arányuk 5. Melyik ez a két szám? Megoldás b/a = 5 b – a = 28 a = ?, b = ?

118

I. II.

28 Ha a két szánm aránya 5, az azt jelenti, hogy az egyik a másiknak ötszöröse. Az ábráról leolvasható a megoldás. 28 : 4 = 7 (I. szám) 5 · 7 = 35 (II.szám) F.: a két szám az 5, illetve a 35. Próba: 35 : 7 = 5, 35 – 7 = 28. 3.Két szám összege 240. Ha az egyiket elosztjuk a másikkal, a hányados 4, a maradék 20. Melyik ez a két szám? Megoldás a + b = 240 a : b = 4, m = 20 a = ?, b = ? b

20

a

240

240 – 20 = 220 220 : 5 = 44 (b szám) 44 · 4 + 20 = 196 (a szám) F.: Az osztandó 196, az osztó 44. Próba: 196 : 44 = 4, 196 + 44 = 240. 176 =20 4.Bontsuk fel a 72-t négy összeadandóra úgy, hogy ha az első számhoz hozzáadunk 5-öt, a második számból elveszünk 5-öt, a harmadikat megszorozzuk öttel, a negyediket elosztjuk öttel, akkor ugyanazt a számot kapjuk. Megoldás a + b + c + d = 72 a+5=b–5=c·5=d:5 a = ?, b = ?, c = ?, d = ?

119

a b

5 5 72

c d A c számnak megfelelő szakasszal mérünk. Így az a + b szám 10 ilyen szakasz. A négy szám összesen: 10 + 1 + 25 = 36 ilyen szakasz. 72 : 36 = 2 (c szám) 2 · 25 = 50 (d szám) 2 · 5 – 5 = 5 (a szám) 2 · 5 + 5 = 15 (b szám) F.: A számok 5, 15, 2, 50. Próba: 5 + 5 = 10 15 – 5 = 10 2 · 5 = 10 50 : 2 = 10 5 + 15 + 2 +50 = 72. 5.Andrásnak, Bálintnak és Cecíliának összesen 360 bélyege van. Ha András adna 15-öt Bálintnak és 35-öt Cecíliának, akkor Andrásnak háromszor kevesebb lenne, mint Cecíliának, és kétszer kevesebb, mint Bálintnak. Kinek hány bélyege van? Megoldás Készítsük el azt az ábrát, amely azt ábrázolja, hogy András valóban odaadta a bélyegeket a két társának. A 360

B C

Az összeg nem változott, tehát ha András odaadta volna, akkor 360 : 6 = 60 leje maradt volna. Tehát 60 + 15 + 35 = 110 leje volt Andrásnak. Bálint: 60 · 2 = 120, 120 – 15 = 105 (lej) Cecilia: 60 · 3 = 180, 180 – 35 = 145 (lej) 6.Most apám 61 éves, én 40 éves vagyok. Hány évvel ezelőtt volt apám nyolcszor idősebb nálam? 120

Megoldás 60 – 40 = 21 (év, a korkülönbség) A korkülönbség az idők során nem változik, tehát akkor is 21 év volt, amikor az apa nyolcszor annyi idős volt, mint a gyermeke. Erre készítjük az ábrát: én

21

apa 21 : 7 = 3 (év) 40 – 3 = 37 F.: Ez ezelőtt 37 évvel volt. 7.Egy gyereknek 100 darabnál annyival kevesebb diója van, mint amennyivel több lenne, ha most 9-szer több diója lenne. Hány diója van a gyereknek? van lenne -Hol van ezen az ábrázoláson a 100-nak a helye? Ez a kulcsa a megoldásnak. -Olvassuk el mégegyszer a feladat szövegét.! van lenne

A feladat megoldásának befejezését az olvasóra bízom. (F.: A gyereknek 20 diója volt.) 8.Egy udvaron tyúkok, rucák, libák és pulykák vannak. A tyúkok száma fele, a rucák száma harmada, a libák száma negyede a többi baromfi számának. Hány baromfi van az udvaron, ha a pulykák száma 260? (A feladat megoldását az olvasóra bízom. A megoldás nyitja, hogy az egyes állatfajok számát tudjuk megadni az összes állathoz viszonyítva.)

121

B.Más, ábrázolásos módszerek

1.Ha egy osztályban a tanulókat egyesével ültetjük, akkor 14 tanulónak nem jut hely. Ha a tanulókat kettesével ültetjük a padokba, akkor 3 pad üresen marad. Hány tanuló, illetve hány pad van az osztályban? Megoldás Ha 1 t/pad, 14 t állni fog Ha 2 t/pad, 3 pad üres ? t, ? pad Az ábrán a padokat rövid szakaszok, a tanulókat jelöljük. Elképzeljük, hogy ezt az elrendezést az osztályteremben valóságosan is megejtjük.

. . .

. . .

A baloldali elrendezés az eredeti, ebből megvalósítjuk a jobboldalit. Először is leültetjük a 14 álló tanulót. Ez azt fogja jelenteni, hogy kell lennie 14 olyan padnak, amiben 1 tanuló ül. Továbbá a második elrendezés szerint üresnek kell maradnia 3 padnak. Tehát 3 padot kiürítünk. Mivel másodszorra egyetlen tanulónak sem szabad állnia, ezért ezeknek is kell legyen helye, vagyis le kell tudnunk ültetni. Tehát számítunk még 3 padot, mert 3 tanulót állítottunk fel. Ha ezekhez hozzá számítjuk a 3 megürült padot, akkor már meg is van az osztályban levőpadok száma: 14 + 3 + 3 = 20. A tanulók száma 20 + 14 = 34. Ellenőrzés: (20 – 3) · 2 = 34.

122

2.Ha a tanulókat kettesével ültetjük, akkor 13 tanulónak nem jut hely, ha a tanulókat négyesével ültetjük, akkor 4 pad marad üresen és az utolsó padban hárman fognak ülni. Hány tanuló és hány pad van a teremben? (A feladat megoldása házi feladat). 3.Egy téglalap szélessége 23 m. Számítsuk ki a hosszúságát, tudva hogy , ha a hosszúságát a duplájára, a szélességét 2 m-rel növelném, a téglalap területe 1215 m²-rel nőne. A rajzon az eredeti téglalap fehérrel van rajzolva, amennyivel megnőtt a 2m területe, azok a satírozott részek. Az ábráról leolvasható, hogy a 23 m satírozott részek területe: 1215 = h · (23 + 2 + 2), ahol h az eredeti téglalap hosszúságát jelölte. h = 1215 : 27 = 45. F.: A téglalap hosszúsága 45 m. Ellenőrzés: Az eredeti terület: 45 · 23 = 1035 (m²) A megnövelt téglalap területe: 90 · 25 = 2250 (m²) A kettőkülönbsége: 2250 – 1035 = 1215 (m²). 4.Karcsi most kétszer olyan idős, mint Feri. Négy évvel ezelőtt Karcsi háromszor olyan idős volt, mint Feri. Hány évesek most? Megoldás Egy összefoglaló táblázatot készítünk, melyben a feladatban szereplő legkisebb életkort egy ponttal fogjuk jelölni. Ez a mi esetünkben Feri életkora 4 évvel ezelőtt. Ennek a függvényében töltjük ki a táblázatot. 4 éve most Feri • •+4 év Karcsi ••• •••+4 év

Most leírjuk, hogy a Karcsi mostani életkora a Feriének duplája: •••+4 év = (•+4 év) + (•+4 év)

A kapott egyenlőség mindkét oldaláról elhagyjuk az egyenlőket: „két pontot és 4 évet” • = 4 év. F.: Feri most 8 éves, Karcsi 16 éves. Ellenőrzés: a 8-nak a 16 valóban a duplája, 4 évvel ezelőtt 4, illetve 12 évesek voltak, ezek meg is felelnek a feladat követelményeinek. 5.Egy lány most ötször olyan idős, mint akkor volt, mikor a bátyja olyan idős volt, mint ő most. Amikor ő annyi idős lesz, mint a bátyja most, akkor életkoruk együtt 88 év lesz. Hány éves most a lány, illetve a bátyja? Megoldás

123

volt

most lesz lány ☻ ☻☻☻☻☻ ☻☻☻☻☻ ☻☻☻☻ bátyja ☻☻☻☻☻ ☻☻☻☻☻ ☻☻☻☻☻ ☻☻☻☻ ☻☻☻☻ ☻☻☻☻ Az utolsó oszlopban levő 22 ☻jel összesen 88 évet ér.Tehát 1☻ = 4 év. F.: A lány most 20 éves, a bátyja 36 éves. (Ellenőrízzük a kapott eredményt!) 6.Két szomszéd egy teli vödör tejet, vagyis 8 l tejet kapott ajándékba. Volt otthon két edényük: egy 5 l-es és egy 3 l-es, ezzel akarták pontosan kétfelé tölteni. Hogyan kellett eljárniuk? Így töltögethetünk: 8l 5l 3l 8 5 3 5 3 2 3 3 2 5 1 7 1 4 1 3 4 4 7.Tamás, János és István felesége Judit, Mária és Zsuzsa. Mindenik házaspárnak van egy gyereke: Emmi, András és Miska. Állapítsuk meg, hogy kik tartoznak egy családba, ha: 1. Mária és István gyerekei együtt fociznak az iskola fiúcsapatában. 2. Tamás fiát nem Andrásnak hívják. 3. János felesége nem Zsuzsa. Megoldás Töltsük ki a következő táblázatot, közben írjuk is le a megoldás lényeges mozzanatait: Judit Mária Zsuzsa Tamás János István 1. ═> Mária és István nem lehet férj és feleség, tehát a megfelelő részt kihúzzuk és fiaik vannak. 2. ═>Tamás fia Miska kell legyen és ő egyben a Mária fia is. Tamás és Mária közös téglalapjába beírjuk a Miska nevet. Tamás sorában kihúzzuk a többi téglalapot, a Mária oszlopában szintén. 3. ═> János felesége így csak Judit lehet. Tehát az Istváné Zsuzsa. Nekik van még fiúk. F.: A családok:Tamás, Mária, Miska János, Judit, Emmi István, Zsuzsa, András. 124

Az önálló tanulást segítő kérdések, feladatok

1. Tudatosítsuk a következő kifejezések értelmét: osztó, többszörös, valódi osztók, nem valódi osztók, prímszámok, összetett számok, ln.k.o., lk.k.t., relatív prímszámok. 2. Az oszthatósági kritériumok és tulajdonságok, az ln.k.o. és lk.k.t. jelentésének gyakorlása feladatmegoldások által. 3. A kongruencia jelentése és alkalmazása oszthatósági feladatoknál. 4. Milyen típusú szöveges feladatok vezetnek a diophantoszi egyenletekhez, ezek megoldása különböző esetekben. 5. Próbáljuk összekapcsolni és tudatosítani a hatféle kombinatorikus értelmezést, gyakorolni önálló feladatmegoldás által. 6. Tudatosítsuk a valószínűség klasszikus definicióját különböző típusú egyszerű események valószínűségének kiszámításánál. 7. Minőségi, mennyiségi diszkrét, illetve folytonos ismérvekre vonatkozó adatok gyűjtése, statisztikai sorba rendezése, grafikus ábrázolása és a jellemző értékek kiszámítása által gyakoroljuk, rögzítsük a vonatkozó alapfogalmakat. 8. Egyszerű vonalas gráf megrajzolhatóságát kijelentő tételek gyakorlása néhány konkrét példa által. 9. Egyszerű feladatok megoldásával tudatosítsunk néhány elemi mértani fogalmat, térmértani alakzatok kirakását, felszínszámítást, térfogatszámítást szögletes testeknél. 10. Gyakoroljuk típus és nem típusfeladatok esetében a szakaszos ábra elkészítését és felhasználását a feladatok megoldásánál, illetve más ábrák készítését és felhasználását egyes szöveges feladatok megoldásánál. Önálló feledatmegoldásra kitűzött feladatok Feladatok az V. témához: Természetes számok oszthatósága 1.Ellenőrízzük a 9-es, 11-es próbával az alábbi szorzások helyességét: a.) 10569 ⋅ 73984 = 116080896

b.) 6547 ⋅ 56127 = 367463469 2.Vizsgáljuk meg, hogy 689241 osztható-e 7-tel, 11-gyel, 13-mal. 3.Keressünk két-két olyan számot, amelynek pontosan 3, ill. pontosan 4 osztója van. 4.a.)Írjuk fel az összes 738ab alakú 6-tal osztható számot. b.)Írjuk fel az összes 738ab alakú 24-gyel osztható számot. 5.Két szám hányadosának és maradékának összege 85, a maradék a hányados kétszeresénél 1-gyel nagyobb. Melyik ez a két szám? Hány megoldás van? Mi a legkisebb osztandó? 6.Határozzuk meg azt a legkisebb természetes számot, amelynek 8, 9, 10, 11-gyel való osztási maradéka 1.

125

7.Határozzuk meg azt a legkisebb természetes számot, amelynek 8, 9, 10, 11-gyel való osztási maradéka rendre 1, 2, 3, 4. 8.Hány olyan háromjegyű szám van, amelynek öttel való osztási maradéka 3, 7-tel való osztási maradéka 5. 9.Öt különböző prímszám összege 104. Határozzuk meg ezt az öt számot, ha az egyik számjegyei egyenlőek, másik két szám ugyanazokat a számjegyeket tartalmazza, csak fordított sorrendben. Határozzuk meg azt a legkisebb, illetve legnagyobb különböző számjegyekből álló ötjegyű számot, amely osztható 75-tel. 10.Határozzuk meg a megadott számok esetén a ln.k.o.-t és lk.k.t.-t: a.)20, 30, 45 b.)60, 504, 1260 c.)90, 84, 3465 11.Melyik az a legkisebb természetes szám, amely 7-tel , 8-cal, 9-cel osztva rendre 6, 7, 8 maradékot ad. 12.a.)Melyek azok a számpárok, amelyek ln.k.o.-ja 4, lk.k.t.-e 48. b.)Melyek azok a számpárok, amelyek ln.k.o.-ja 6, lk.k.t.-e 1260. 13.Gondoltam egy háromjegyű számot. Ha elveszek belőle hetet, 7-tel osztható, ha elveszek belőle 8-at, nyolccal osztható, ha elveszek belőle 9-et, kilenccel osztható számot kapok. Melyik számra gondoltam? 14.Írjuk fel az 1, 3, 4, 5 számjegyekkel és még egy számjeggyel azt a legnagyobb ötjegyű számot, amely osztható 12-vel. 15.Igazoljuk, hogyha egy kétjegyű számot megszorozunk 2-vel, majd ez a szám után írjuk az eredeti számot, olyan négy vagy ötjegyű számot kapunk, amely osztható 67-tel. 16.Tudva, hogy az (5a-4b) és (9a+3b) kifejezések mindketten oszthatók 17-tel. Igazoljuk, hogy akkor a (11b-a) kifejezés is osztható 11-gyel. 17.A 10839-et és a 11863-at elosztva ugyanazzal a háromjegyű számmal mind a kétszer ugyanaz a maradék. Mennyi ez a maradék? 18.Melyik az a négyjegyű szám, amellyel a 25707-et osztva32-t, a 37568-at osztva 43-at kapunk maradékul. 19.Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek 12 osztója van? 20.Határozzuk meg az a, b természetes számokat, tudva, hogy (a,b)=70 és [a,b]=4550, a
126

26.Mely egész n számok esetén lesz egész szám a következő kifejezés: 5nn+−11 . 27.Az út egyik oldalán villanyoszlopok vannak 60 m távolságra egymástól. A másik oldalon fák vannak 35 m-re egymástól. Egyik helyen éppen egymással átellenben van egy oszlop és egy fa. Legközelebb hány m-re lesznek ismét egymással szemben? 28.Adott egy páros szám, amelyik 3-mal osztva 2 maradékot ad. Mennyi lesz a számnak 6-tal való osztási maradéka? 29.Igazoljuk, hogy bármely páratlan természetes szám négyzetéből 1-et elvéve, 8-cal osztható számot kapunk. 30.Határozzuk meg 10-ek azt a legmagasabb hatványét, amellyel az 1-től 50-ig (bezárólag) terjedő természetes számok szorzata osztható. Feladatok a VI. témáhozhoz: Kombinatorika 1.a.)A dó, mi, szó hangokból hányféle 3 tagú dallam képezhető, ha minden hangot egyszer használunk fel? b.)Hányféle háromszínű zászlót készíthetünk a piros, fehér, zöld színnel? c.)Három betűkártyát teszünk egymás mellé: L, Á, T. Hányféle szó rakható ki? 2.a.)Egy vonat büfékocsiból, egy első osztályú kocsiból, egy másodosztályú dohányzó és egy másodosztályú nemdohányzóból áll. Hányféle módon lehet ezeket a vagonokat egymáshoz csatolni? b.)A nagymamát meglátogatja négy unokája. Mindenik ad egy köszöntő puszit. Hányféle sorrendben történhet a puszilkodás? c.)Katóka egy négyszínű tollat kap ajándékba: k, p, z, f. hányféle sorrendben próbálhatja ki? 3.A fodrászhoz négy vendég érkezik: két barna, egy szőke és egy fekete. Milyen sorrendben mosathatják meg a hajukat, ha csak a haj színét vesszük számításba? 4.Négy számkártyánk van: 0 1 3 5. Hány négyjegyű számot készíthetünk belőlük? Ezek közül hány páros? Hány van 4-gyel osztható? Melyek oszthatók 3-mal? Melyek oszthatók 5-tel? Melyek nagyobbak 4000-nél? 5.Meseországban 3 nap egy esztendő. Az időjárás naponta háromféle lehet: napos, borús, esős. Ez az időjárás egy napon belül is 3 féle módon változhat: délelőtt, délután és éjszaka. Hányféle lehet az időjárás Meseország egy esztendejében? 6.Peti a fogalmazásra két jegyet kapott: egyet a tartalomra, egyet a helyesírásra. Hányféle jegyet kaphatott, ha az osztályozás 4-től 10-ig történik? 7.a.)Felfűzünk 2 piros és 3 fehér gyöngyöt. Hányféle gyöngysort kaphatunk? b.)A gyerekek lehúzóst gyűjtenek. Kata eddig négyet kapott, de ebből 2 egyforma. Hányféle módon tudja felragasztani egy sorba? 8.Egy gyerek a kirándulásra 2 db zsíros és 2 db lekváros kenyeret vitt. Hányféle sorrendben ehette meg őket? 9.Egy erdei futóversenyen négy állat jutott a döntőbe. Az első két helyezett kap díjat. a.)Hányféle módon kaphatnak, ha a díjak egyformák? b.)Hányféle módon kaphatnak, ha a díjak különbözők? 10.Készítsünk 3 csíkos zászlókat. Piros, sárga, kék színű ceruzánk van. Két nem szomszédos szám lehet azonos színű is. Hány lehetőség van? 11.Három pénzérmét feldobunk egyszerre. Milyen lehetőségek adódnak, ha mindeniken fej, vagy írás lehet?

127

12.Egy dobókockával kétszer dobunk egymás után. Hányféle számpárt kaphatunk, ha a dobások sorrendje is számít? 13.Készítsönk monogramokat az A, B, T, R betűk felhasználásával. Mondjunk lehetséges neveket néhány monogramhoz. 14.Készítsünk 3 hangú dallamokat a dó, re, mi hangokból. Egy hangot többször is felhasználhatunk. Rendezzük el a lehetőségeket egy fadiagramon. 15.Egy lóistállóban levő 6 lóból kettőt megvásároltak. Hányféle eset lehetséges? 16.a.)Egy lányhoz, aki egy panelház 10. emeletén lakik 5 barátja jön látogatóba. A liftbe egyszerre csak hárman férnek be. Hányféle módon érhetnek a barátok a tizedikre? b.)Agy költő 5 verse közül kettőt kell kiválasztani megtanulásra. Hányféle módon lehet kiválasztani a verseket? c.)Öt színes ceruza közül kettőnek kitörött a hegye. Hányféle módon történhetett? 17.Egy tanulónak a következő napon 5 tanórája van: román, magyar, matek, rajz, fizika. Csak háromból van írásbeli házi feladat. Hányféle eset lehetséges? 18.a.)Egy körön felveszünk 5 pontot. Ezeket kettőnként összekötjük egy-egy egyenessel. Hány egyenest kaphatunk? b.)Ha az öt pont közül hármat választunk, ezeket összekötve háromszögeket kapunk. Hány háromszög lehetséges? 19.Ötfajta dísztávirat közül (A, B, C, D, E) hányféle módon választhatunk nem feltétlenül különböző kettőt? 20.Egy cukrászdában ötféle fagylalt kapható: csoki, eper, málna, puncs, citrom. Hányféleképpen kérhetünk 3, nem feltétlenül különböző gombócot? 21.a.)Emőke babájának 3 különböző színű szoknyája és 4 különböző színű blúza van. Hányféle módon öltöztetheti a babáját? b.)Az iskolától a postáig két úton lehet eljutni. Innen a nagymama házáig háromféle utat választhatunk. Hányféle úton juthatunk el az iskolától nagymamáig? Készítsünk fagráfot a választási lehetőségekről. 22.a.)Írjuk le az összes ötjegyű számot, amelyben 3 db kilences és két db nullás van. Hány db számot kell leírnunk? b.)Hogyan változik a lehetőségek száma, ha 3 db kilences és 3 db nullás számkártyából kell hatjegyű számokat képeznünk? 23.A hármas számrendszerben hány egyjegyű, kétjegyű, háromjegyű szám képezhető? 24.Egy dobókockát kétszer dobunk egymás után. a.)Hányféle kimenetele van a kísérletnek? b.)Hányféle kimenetel van, amelyben legalább egyszer hatost dobunk? c.)Hányféle kimenetel van, amelyben legfennebb egyszer dobunk hatost? d.)Hány kimenetel van, amelyben minden dobáskor páros számot dobunk? e.)Hány kimenetel van, amelyben minden szám 3-nál nagyobb? 25.Hány olyan kétjegyű szám van, amelynek: a.)minden számjegye páratlan? b.)minden számjegye páros? c.)számjegyeinek összege 6? d.)egyik számjegye öttel nagyobb, mint a másik? 26.Hány olyan háromjegyű szám van, amelynek: a.)minden számjegye 6-nál nagyobb? b.)minden számjegye 3-nál kisebb?

128

c.)minden számjegye 3-nál nagyobb páros szám? 27.a.)Nagyi a hétvégére meghívja mindhárom unokáját. Minden eset előfordulhat, attól, hogy senki sem megy, addig, hogy mind a 3 unoka odamegy. Összesen hány lehetőség van a vendégek megjelenésére? b.)Megduplázódik-e az esetek száma, ha a nagyinak 4 unokája van? 28.Képezzük az összes kétjegyű számot a 4, 3, 2, 1 számjegyekből. Melyikre igaz, hogy osztható a számjegyei összegével? 29.Hány nyolcjegyű szám képezhető a 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 számjegyekből? 30.A gyerekek találkoznak egymással. Mindenki mindenkivel kezet fog. Hány kézfogás történik, ha 2, 3, 4, …, n gyerek van? 31.Hat csapat mindenike mindenik csapattal játszik. Hány mérkőzésvezetőre van szükség? 32.Hányféleképpen olvasható ki a KATALIN szó a következő elrendezésekből, ha csak jobbra és lefelé haladhatunk: a.) KATALI ATALIN

b.) KATAL ATALI TALIN

c.) KATA ATAL TALI ALIN 33.a.)Hányféleképpen ülhet le egy fényképezéshez egyvonalba a család négy tagja, ha a két gyerek egymás mellé akar kerülni? b.)Hát, ha a gyerekek nem akarnak egymás mellé kerülni? 34.Hány egyenessel köthetők össze egy kocka csúcsai? Ezek közül hány él, hány lapátló, hány testátló? 35.Hány olyan háromjegyű szám van, amelyben a.)a számjegyek csökkenő sorrendben vannak? b.)a számjegyek növekvő sorrendben vannak? 36.Az ANGOL szó betűinek elkészítjük mind a 120 lehetséges sorrendjét. Ezeket ábécé rendbe szedjük. Mi a 86. szó utolsó betűje ebben a listában? 37.Tekintsük az összes háromjegyű pozitív egész számot, amelynek minden számjegye páratlan. Mennyi az összegük? 38.Készítsünk négy betűkártyát: A, R, K, Ó. Hány 2, 3, 4 betűs szó rakható ki ezekből? Keressünk közöttük értelmeseket. 39.Ha feldobunk öt különböző pénzérmét (1 banis, 5 banis, 10 banis, 50 banis, 1 centes), hány különböző lehetőség van, a szerint, hogy melyik oldalukra esnek? 40.a.)Öt gyerek olyan társasjátékot játszik, amelyben egyszerre hárman játszanak. Hány játszmát kell lejátszani, amíg minden lehetséges hármas csoportra sor kerül? b.)Ha közben sakkversenyt is szerveznek több, vagy kevesebb játszmát játszanak, mint a.)-ban? 41.Hat kosárcsapat egy egyfordulós körversenyt játszik egymással. Hányféle sorrendben végezhetnek a csapatok? 42.Hány 19-cel kezdődő ötjegyű szám alkotható az 1, 3, 5, 7, 9 számjegyekből, ha egy számjegyet csak egyszer használhatunk fel? 43.Hányféle módon olvasható ki a KOLLOKVIUM szó, a.)ha csak jobbra vagy csak lefelé léphetünk? b.)ha csak jobbra vagy csak lefelé léphetünk, de minden lépés után irányt változtatunk?

129

KOLLOK OLLOKV LLOKVI LOKVIU OKVIUM 44.Hányféle módon olvasható ki az alábbi elrendezésből a ZSÁMBÉK szó, ha csak lefelé, rézsút balra, illetve rézsút jobbra álló szomszédos betűkön lehet haladni: Z SSS ÁÁÁÁÁ MMMMMMM BBBBB ÉÉÉ K 45.Egy hat fős társaság egy étteremben egy kör alakú asztal körül helyezkedik el. Hányféleképpen történhet ez meg, ha két elhelyezést csak akkor tekintünk különbözőnek, ha a társaságnak van legalább egy olyan tagja, akinek a bal, vagy a jobboldali szomszédja a két esetben különböző? 46.Tíz ember ül le egy kerek asztal mellé. Hányféleképpen helyezkedhetnek el, ha azt akarjuk, hogy Jani és Peti föltétlenül egymás mellé üljön? 47.Hány nyolcjegyű szám képezhető a 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 számjegyekből? 48.Az 1, 2, 3, …, 15 számokat sorozatba rendeztük. Hány olyan eset van, amikor az 1, 2 számok csökkenő sorrendben kerülnek egymás mellé? 49.Tíx tanuló között hányféleképpen lehet kiosztani 3 különböző tárgyat, ha egy tanuló több tárgyat is kaphat? 50.Hány olyan hatjegyű szám van, amelynek minden számjegye 6-nál nagyobb és 9-nél kisebb? 51.Autórendszámot készítünk 15 betűből és 10 számjegyből. Minden elrendezésben 3 betű és 3 számjegy szerepel. Hány rendszám képezhető ilyen módon? 52.Hányféleképpen lehet kiválasztani a HORKOL szó betűiből egy mássalhangzót és egy magánhangzót? 53.Egy dobókockával ötször dobunk egymás után. Hányféle dobássorozat lehetséges? 54.Egy 200 tagú testület négy tisztségviselőt választ: elnököt, titkárt, pénztárost és jegyzőt. Hányféle módon választhat? 55.Csak jobbra vagy lefelé. Hányféle módon olvasható ki a DIPLOMA szó? DIPLOMA IPLOMA PLOMA LOMA OMA MA A 56.Van 100 db tévékészülék, ezek Közül 10 hibás. Hányféle óképpen lehet kiválasztani 15 készüléket úgy, hogy közöttük legyen a.)3 hibás b.)ne legyen hibás.

130

57.Röplabda csapatot állít össze 5 lány és 3 fiú. Hányféleképpen alkothatnak két négyfős csapatot, ha azt szeretnék, hogy mindkét csapatban legyen legalább egy fiú? 58.Egy osztályban a tanár az első sorban ülő négy tanulót szólítja két alkalommal is a táblához. Hányféle változatban mehettek a tanulók a táblához, ha ugyanaz a személy kétszer is kimehetett és a sorrendet nem kell figyelembe venni. 59.Egy rekeszben 20 üveg sör van: 15 üveg világos, 5 üveg barna sör. Hányféle módon választhatunk ki 6 üveg sört, hogy pontosan két barna sörünk legyen? 60.Adott a térben 10 pont, amelyek közül bármely négy nem illeszkedik egy síkra. Hány tetraédert határoznak meg? 61.a.)Egy 10 elemű halmaznak hány 3 elemű részhalmaza van? b.)Hát egy öt elemű halmaznak összesen hány részhalmaza van?

Feladatok a VII. témához: Valószínűség, statisztika, gráfok 1.Egy urnában 100 darab golyó van 1-100-ig számozva. Egy golyót kihúzunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott szám: a.)prímszám legyen? b.)néggyel osztható legyen? 2.Két dobókockával dobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kapott számok összege teljes négyzet legyen? 3.Egy urnában 3 fehér, 2 piros és 4 fekete golyó van. Mi a valószínűsége annak, hogy három golyót kihúzva, legyen egy-egy mindhárom színből? 4.Van 50 bélyeg, amiből 10 darab okmánybélyeg. Mi a valószínűsége annak, hogy 4 bélyeget látatlanul kihúzva legyen közöttük okmánybélyeg is? 5.Egy U urnában 8 fehér és 3 fekete golyó van. Egy másik V urnában 5 fehér és 6 fekete golyó van. Egyet-egyet húzunk. Mi a valószínűsége annak, hogy mind a kettő fehér legyen? 6.Egy urnában 6 fehér és 4 fekete golyó van. Egymás után két golyót húzunk, anélkül, hogy az elsőt visszatennénk. Mi a valószínűsége annak, hogy: a.)mind a kettő fehér legyen? b.)mind a kettő fekete legyen? c.)Az első fehér, a második fekete legyen? d.)az első fekete, a második fehér legyen? e.)Mind a kettő azonos színű legyen? f.)különböző színűek legyenek? 7.Ugyanaz a feladat, de az első golyót, miután a színét feljegyezték, visszateszik. 8.Három dobókockát dobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy: a.)azonos számokból álló hármast dobjunk? b.)legalább egyszer dobjunk 1-est? c.)a kapott számok összege 10 legyen? 9.Egy pénzérmét egymás után többször dobnak. Mi a valószínűsége annak, hogy? a.)három dobásból legalább egyszer fej legyen? b.)három dobásból 2 írás és 1 fej legyen? c.)három dobásból háromszor írás legyen?

131

10.Tíz tanuló közül 6 fiú és 4 lány. Négyfős csapatot állítunk össze. Mi a valószínűsége annak, hogy a.) a csapat csak fiúkból álljon? b.)a csapatban lányok is legyenek? c.)a csapatban 2 fiú és 2 lány legyen? 11.Egy urnában 2 fehér és 3 fekete, egy másikban 5 fehér és 6 fekete golyó van. Mindkettőből egyet-egyet húzunk. Mi a valószínűsége annak, hogy: a.)mindkettő fehér legyen? b.)Mindkettő fekete legyen? c.)legalább az egyik fehér legyen? d.)Két azonos színűt húzzunk? 12.Egy urnában 60 golyó van. A piros húzásának a valószínűsége 1/3. A fehérek illetve a sárgák száma arányos a 2, illetve 3-mal. Mi a valószínűsége annak, hogy egyet húzva: a.)ne legyen piros b.)piros, vagy sárga legyen, c.)sárga legyen. 13.Mi a valószínűsége annak, hogy találomra választva egy olyan p egész számot,

amelyre p ≤ 13 , a

p 2 − 48 természetes szám legyen?

14.Adott az ABCD négyzet, amelyet az xOy derékszögű koordináta rendszerben ábrázolva a csúcsai A(-a, -a), B(a, -a), C(a, a), D(-a, a), ahol a>0, pontok lesznek. Mi a valószínűsége annak, hogy találomra választva egy pontot az ABCD négyzet belsejéből, ez ne legyen a négyzetbe írt kör belsejében? 15.Feldobunk három dobókockát egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége annak, hogy az így kapott pontok összege 10 legyen? 16.Egy szabályos dobókockát kétszer egymás után feldobunk, és a dobás eredményeit egymás mellé írjuk. Mi a valószínűsége annak, hogy, hogy az így kapott kétjegyű szám osztható lesz hárommal? 17.Öt cédulára rendre felírjuk a 0, 2, 4, 6, 8 számjegyeket, majd egy urnába téve hármat kihúzunk közülük, ezeket a kihúzás sorrendjében egymás mellé tesszük. Mi a valószínűsége, hogy az így kapott szám osztható legyen a.) 9-cel, b.) 18-cal. 18.A 2-es és a 3-as számjegyek számjegyek felhasználásával írjunk fel találomra egy tízjegyű számot. Mi a valószínűsége annak, hogy a.)3-mal osztható számot kapunk, b.)9-cel osztható számot kapunk? 19.Készítsétek el az osztályotokba járó tanulók megoszlását testvéreik száma szerint. A táblázatban az abszolút gyakoriságok mellett tüntessük fel a relatív gyakoriságokat és a kumulált gyakoriságokat. Ábrázoljuk az adatokat bot-diagrammal. Számítsuk ki a kapott statisztikai sor móduszát, mediánját és számtani átlagát. 20.Ugyanazok a feladatok az osztály tanulóinak valamely tantárgyból elért eredményeivel kapcsolatban. A statisztikai sort kördiagrammal ábrázoljuk. Természetesen, mivel az alsó tagozaton a gyerekek minősítést kapnak, ez minőségi ismérv, ezért nem lehet középértékeket megállapítani, illetve számítani. 21.A következő táblázat egy 100 m-es síkfutás időeredményeit tartalmazza, amelyen 40 személy vett részt.

132

Idő (s) A versenyzők száma Idő (s) A versenyzők száma 10,5 – 10,7 1 11,5 – 11,7 7 10,7 – 10,9 1 11,7 – 11,9 6 10,9 – 11,1 2 11,9 – 12,1 5 11,1 – 11,3 5 12,1 – 12,3 4 11,3 – 11,5 7 12,3 – 12,5 2 Egészítsük ki a táblázatot a relatív és a kumulált gyakoriságokkal. Állapítsuk meg, azoknak a futóknak a számát, akik 11,7 másodpercnél jobb időt futottak. A versenyzők hány %-a ért el 11,5 másodpercnél jobb időt? Készítsük el a statisztikai sor hisztogramját és a gyakorisági poligont. Számítsuk ki a 40 versenyző középidejét, valamint az adatok szórásnégyzetét. 22. A következő táblázat egy iskola 160 tanulójának testmagasság szerinti megoszlását tartalmazza. Testmagasság (cm) A tanulók száma 150 - 154 10 154 - 158 16 158 - 162 44 162 - 166 47 166 - 170 28 170 - 174 15 Egészítsük ki a táblázatot a gyakoriságokkal. Készítsünk hisztogramot. Számítsuk ki a móduszt, a mediánt és a tanulók középmagasságát, valamint a szórást. 23.Tanulmányozzuk a következő gráfokat az Euler-vonal létezése, nyílt, illetve zárt volta szempontjából:

133

Feladatok a VIII. témához: Mértani alapfogalmak 1.Igaz-e, hogy, ha egy e egyenes átmegy az AB szakasz felezőpontján, akkor A és B egyenlő távolságra van e-től? 2.Adott az ABCD négyzet. Legyenek M, N az AB, P, Q a BC oldalak harmadolópontjai, valamint R, S egy-egy pont a CD, illetve DA oldalon úgy, hogy AM=CR=DS. Adjuk meg az ábrán található pontpárok által meghatározott párhuzamos, illetve merőleges egyenespárokat. 3.Adott egy 4 cm oldalú négyzet. a.)Mekkora a benne elhelyezhető legnagyobb kör? b.)Mekkora a négyzetet tartalmazó legkisebb kör? Fogalmazzuk meg a kérdést kockára és gömbre is. Válaszoljuk is meg. 4.Egy négyzetrács részlete van az ábrán. Hányféleképpen választhatunk ki úgy 4-4 pontot, hogy azok négyzetet határozzanak meg? 5.Egy négyzetre egységkockákat (1 cm x 1 cm x 1 cm) helyeztünk. Az ábrán feltüntettük, melyik négyzetcentiméterére hányat. Mekkora az így kapott test felszíne? Konvex-e a test? Hány lapja, éle, csúcsa van? 6.Tegyük föl, hogy egy kocka élegyenesei, illetve lapátlói mentén egy-egy légtornász gyakorol. Az egyik át akar mászni a másikhoz. Hová kell kifeszítsék a kötelet, hogy a legrövidebb úton mászhassanak? Vizsgáljuk meg az összes egyenespár esetét. 7.Adott az ABCDEFGH kocka, melynek éle 3 cm. Határozzuk meg a kocka felületén haladó legrövidebb utat, mely az alábbi pontokat köti össze: a.) BG, b.) UV, c.) UZ, d.)UN, e.)AG, ahol U, V, Z felezőpontok, N a HG él G-hez közelebb eső negyedelőpontja. 8.Hol vannak a síkon azon pontok, amelyek köré 2 cm sugarú kör rajzolható úgy, hogy: a.)a kör átmenjen egy rögzített P ponton, b.)a kör érintsen egy e egyenest, c.)a kör érintsen egy adott, 3 cm sugarú kört. 9.Adott a metsző e és f egyenespár. Jelöljük meg a síkon azon pontok halmazát, amelyek: a.)e-től és f-től egyenlő távolságra vannak, b.)e-hez közelebb vannak, mint f-hez, c.)mindkét egyenestől 2 cm-re vannak, d.)Valamelyik egyenestől kevesebb, mint 1 cm-re vannak. Adjuk meg a válaszokat e║f esetén is. 10.Adjuk meg egy AB= 4 cm hosszú szakasztól 2 cm-re levő pontok halmazát. 11.Hogy ne bontsam meg a családi békét, egyenlő közel akarok állni az enyéimhez. A szobánk négyzet alakú, sarkait ABCD jelöli. Hová álljak, ha: a.)anyám az A, apám a C sarokban ül?

134

b.)anyám az A, apám a C, az öcsém a D sarokban ül? Hogyan változik a megoldás téglalap alakú szoba esetén? 12.Milyen alakzatot kapunk, ha a sík egy t egyenese körül megforgatjuk a sík: a.)egy P pontját, amely nincs rajta a t egyenesen, b.)egy, a t-vel párhuzamos egyenesét, c.)egy, a t-re merőleges egyenesét, d.)egy, a t tengelyt metsző egyenesét, e.)a t-re illeszkedő középpontú körét. 13.a.)Szerkesszük meg a háromszöget, amelynek két oldala a=7 cm, b=5 cm, az a-hoz tartozó magassága 4 cm. b.)Ha a magasság nem lenne megadva és mi választanánk, akkor milyen korlátok között tehetnénk? 14.Két metsző e és f egyenes szöge 30°. Szerkesszük meg azt a 2 cm sugarú kört, amely mind a kettőt érinti. (Hová kell leszúrni a körző csúcsát?) 15.Adott a síkban egy e egyenes és az O középpontú 2 cm sugarú kör. Szerkesszük meg azt az 1 cm sugarú kört, amely mindkét alakzatot érinti és az O pont az e-től 3 cm-re legyen. 16.Adott az AB=5 cm-es szakasz. Adjunk meg egy egyenest, A-tól 1 cm-re és B-től 2 17.Itt van egy játék: Állítsuk a garázsban levő autókat a számuknak megfelelő helyre. A 0-val jelzett hely használható, a garázsban az autók mozgatásához elegendő hely van,egy rekeszben egyszerre csak egy autó fér el. Az is cél, hogy a helycsere a lehető legkevesebb mozgatásból történjen! 18.A falu és környéke térképének léptéke 1:10 000, tehát ami 1 cm a papíron, az a valóságban 10 000 cm, vagyis 100 m. A térkép bal szélén levő kilátótorony az 532 m magas csúcsra épült. A csúcsot körülvevő vonalak a szintvonalak, ezeket 20 méterenként, a terep 20 m, 40 m, 60 m, … magasságban levő pontjait összekötve rajzolták meg. a.)Milyen hosszan húzódik a Falu a műút mellett? b.)Hány cm kell legyen a keretbe rajzolt, csíkozott mérce? c.)Milyen hosszú a patak és a zsilip hídja közé eső szakasz a valóságban? d.)Mennyit kell menni a templomtól a kilátóig az úton, ha az emelkedést elhanyagoljuk? e.)Milyen messze van légvonalban a templom és a kilátó? f.)A falut téglalappal közelítve, hány m²-nek adódik a területe? g.)Hány métert emelkedik az út a hídtól a kilátóig? 19.Rajzoljuk le egy dallam egyik sorának tükörképét és kopogjuk le együtt. 20.Rajzoljunk a négyzetrácsos papírra hajót, vitorlával, zászlóval, majd rajzoljuk meg a tükörképét pl. vízen. 21.Rajzoljunk olyan síkidomot, amelynek pontosan 0, 1, 2, 3, illetve 4 tükörtengelye van. 22.Rajzoljunk két, egymásra merőleges e és f egyenest. Valamelyik síknegyedbe helyezzünk el egy háromszöget, és:

135

a.)tükrözzük a háromszöget az e-re, majd a kapott képet az f-re. Milyen helyzetben van ez utóbbi Δ az eredetihez képest? b.)tükrözzük az eredeti háromszöget előbb f-re, majd a képét e-re nézve. Mit tapasztalunk a most kapott végső Δ és az a.) pontban kapott Δ viszonyában? Hogyan magyarázzuk? 23.Melyek a tükrös nyomtatott nagybetűk? Írjunk le velük szavakat, melyeknek van tükörtengelyük (vízszintes vagy függőleges). 24.Egy négyzetből egyenes vágással eltávolítunk egy darabot. Hogyan tegyük, hogy a maradék rész is szimmetrikus legyen? 25.Van sok pálcikánk, hosszúságuk 7 cm, 6 cm, 5 cm. Hány különböző (páronként nem egybevágó) háromszöget tudunk kirakni belőlük? 26.Az alábbi, egységnégyzetekből összerakott alakzatokat egy k cm x k cm-es négyzethálóra akarjuk fölrajzolni átfedés nélkül. Milyen legkisebb k-ra oldható meg a feladat? Hogyan? Mekkora téglalapba rajzolható bele? 27.Illesszünk össze négyzetet az adott alakzat egybevágó példányainak felhasználásával. Minden esetben adjuk meg a legkisebbet. 28.A három nagyobb síkidomot le szeretnénk fedni a számozott egységek megfelelő számú példányával. Írjuk az alakzat mellé, hogy melyikkel lehetséges és hány példány szükséges.

29.Az adott kockák közül melyiknek a palástja lehet az ábrán levő kiterítés? Teljesül-e rá, hogy a szemköztes oldalakon levő pontok összege egyenlő? 30.Egy kocka palástját teljes élek mentén fölvágjuk úgy, hogy síkba teríthető, de összefüggő legyen. a.)Keressük meg a 11 lehetséges, páronként nem egybevágó megoldást. b.)Alkossunk legalább öt feladatot a fentiek ismeretében: 1.Öt négyzethez hová illesszük a hatodikat, hogy egy kocka kiterítése legyen? 2.Hová hány pöttyöt tegyünk, hogy a szemközti lapokon az összeg … legyen? 3.Hány tengelyesen szimmetrikus kiterítés van?

136

31.Egy 5 cm élű kockát zöldre festünk, majd 1 cm élű kiskockákra daraboljuk föl. Hány olyan egységkockát kapunk, amelynek: a.)1, b.)2, c.)3, d.)4, e.)0 befestetlen éle van? 32.Egybevágó szabályos háromszögekből, amelyek teljes oldalak mentén csatlakoznak, különböző alakzatokat illesztünk össze. Hányféle alakzatot kaphatunk, ha a.)3, b.)4, c.)5, d.)6 háromszögünk van? 33.Teljes oldaluk mentén négyzeteket illesztünk össze. Hányféle alakzatot kaphatunk, ha a.)3, b.)4, c.)5 négyzetet illesztünk össze? 34.Az asztalra tettünk néhány párhuzamos helyzetű, egybevágó kockát. Elölnézete és oldalnézete az ábra szerinti. Mennyi a kockák minimális és maximális száma?

35.Adott egy szabályos hatszög. Építsünk föl hozzá egy olyan testet, amelynek a.) 6+1 csúcsa, b.)3·6 éle, c.)6+2 lapja, d.)2·6+1lapja, e.)ugyanannyi csúcsa, mint lapja van. 36.Folytassuk a rajzok sorozatát még legalább két téglalappal úgy, hogy az oldalak mindig ugyanannyival változzanak. a.)Mérjük meg a téglalapok területét az adott egységgel. b.)Keressünk összefüggést a területek mérőszáma között. c.)Hány egység lesz a területe a 10. téglalapnak? (csak számítással határozzuk meg, ha csak lehet.) 37.Egy téglalap alakú kiskertnek minden oldala egész méterekkel mérhető és mindegyik legalább 14 m. Három oldalának bekerítéséhez 60 m hosszú kerítést használnak fel. a.)Mennyi lehet a kiskert két szomszédos oldala? b.)Számítsuk ki a lehetséges kiskertek területét. 38.24 db 1 cm oldalú négyzetből hányféle különböző téglalap készíthető, ha mindegyik négyzetet felhasználjuk. A téglalapok közül melyiknek lesz a legnagyobb, ill. a legkisebb kerülete?

137

39.Változtassuk úgy egy 65 x 50 méteres téglalap oldalait, hogy azok mindig egészek legyenek és a területe ne változzon. Számítsunk minden esetben kerületet is. Melyik oldalpárhoz tartozik a leghosszabb kerület? 40.Egy labdarúgópálya méretei 97 m, 49 m. Ha a két alapvonalon túl a fűsáv még 2 mrel, az oldalvonalon kívül pedig 1 m-rel tovább megvan, akkor hány m² területtel kell nagyobbat gondozni? 41.Adott az ABCD téglalap, P pont a DC oldalon úgy, hogy PC a hosszúság negyede. Az eredeti téglalap területének hányada az ABCP négyszög területe? 42.Egy téglalap egyik oldalát 1,5-szeresére, a másik oldalát valahányszorosára növelve, a területe hatszorosára növekedett. Hányszorosára növeltük a másik oldalt? 43.Egy iskola egy olyan téglalap alakú telken van, amelynek hosszabbik oldala négyszerese a rövidebbnek. A téglalap egynegyed részét az iskolaépület foglalja el, amelynek alapterülete 784 m². Mekkora a telek területe? 44.Az ABCD négyzetben G és F a BC ill. CD oldalak felezőpontjai. Az AGFΔ területe 7,2 m², mekkora az ABGΔ területe? 45.Egy téglalap alakú játszóteret 1 m széles járda szegélyez. Mekkorák a téglalap oldalai, ha az egyik oldal kétszerese a másiknak és a járda készítéséhez 640 db olyan négyzet alakú betonlapot használtak fel, amelyek oldalhossza 50 cm. 46.Egy 2x3 méteres konyha padlóját 15x20 cm-es téglalap alakú kerámialapokkal fedték le. Hány db-ot kellett vásárolni? 47.Területük alapján állítsuk csökkenő sorrendbe a következő négyszögeket:

48.Az ábra egy telek alaprajza, amelyen négy kút van. Hogyan lehet a telket négy egybevágó részre felosztani úgy, hogy mindeniken 1-1 kút legyen?

138

49.Melyik sokszög darabolható 16 egység területű négyzetté? 50.a.)Hogyan lehet egy háromszöget átdarabolni legfeljebb két vágással téglalappá? b.)Milyen háromszögek esetén elég egyetlen vágás? 51.Egy téglalap oldalai 4 és 9 egység. Hogyan lehet két darabra vágni, nem feltétlenül egy szakasszal, hogy a két darabból egy négyzetet lehessen összeállítani? 52.Állapítsuk meg, hogy a négyzethálóval felosztott 5×5-ös nagy négyzeteknek hányad része van bevonalkázva? 53.Hogyan lehet az ábrán látható deszkadarabot két egyenes mentén szétfűrészelni, hogy a keletkező darabokból egy négyzetet lehessen összeállítani? Lehet-e egyetlen egyenes mentén fűrészelni úgy, hogy így is összeállítható legyen a négyzet?

139

54.Három szabályos háromszöget oldalaik mentén összeragasztottunk. Hogyan lehet a kapott alakzatot négy egybevágó részre vágni? 55.Keresse meg egy négyzet n=4, 6, 7, 8, 9, 11 kisebb négyzetre való felbontását.

56.a.)Hány kicsi kockából áll az építmény? b.)Hányból állna, ha analóg építve 1,5-ször ilyen magas lenne?

140

c.)Hány kiskockányi az építmény magassága, ha 225 db kockából tudjuk felépíteni? 57.Ilyen kockából a rajzon látható A, B, C részeket vágtuk ki. Hány cm²-rel nőtt az egyes esetekben a maradék test felszíne az eredeti kockáéhoz képest?

58.Egy téglatest élhosszúságai egész számok. Milyen élekkel valósítható meg, hogy térfogata 64 egység legyen. Mikor a legkisebb a felszíne? 59.Egy téglatest élei 2, ill. 3 cm, a felszíne 62 cm². Hány cm a harmadik él? 60.Egy téglatest egyik éle 2 cm-rel, a másik 4 cm-rel hosszabb a legrövidebb élénél. Élvázának elkészítéséhez 84 cm drót kell. Milyen hosszúak a téglatest élei? 61.Egy kocka térfogata 27 cm³. Egy nagyobb kocka felszíne az ő felszínének a négyszerese. A nagyobb kocka minden csúcsánál kivágunk egy 1 cm³ térfogatú kockát. Mekkora az így keletkezett maradék test felszíne és térfogata? 62.Egy tömör fakockát az egyik lapjával párhuzamos síkokkal rétegekre vágunk. Hány síkkal kell szétvágni, ha a kapott testek együttes felszíne a kocka felszínének a 2-szerese lesz? 63.Hányszorosa a nagy téglalap területe az A, B, C fekete háromszögek területének? 64.Melyik lapból hánnyal lehet kirakni a hatszöget? 65.Ábránkat szabályos háromszögrácsra rajzoltuk. A rajz folytatásával határozzuk meg mindenik csillag területét. Rajz nélkül folytassuk a számsort a felismert összefüggés alapján.

141

Feladatok a IX. témához: Az ábrázolás módszere 1.Két gyereknek összesen 600 leje van. Ha az első gyerek a másodikénak dupláját költi, mindkettőjüknek 150 – 150 leje marad. Hány lejük volt eredetileg külön-külön? 2.Egy csoport ember gyógynövényeket gyűjt. Három csoportban dolgoznak. Az első csoport 2 kg-mal gyűjtött többet, mint a második, a második 1 kg-mal kevesebbet, mint a harmadik. Az utolsó két csoport együtt 21 kg-ot gyűjtött. Hány kg gyógynövényt gyűjtöttek összesen? 3.Három tanulónak összesen 891 leje van. Az elsőnek négyszer annyi, mint a másodiknak, a harmadiknak 90 lejjel több, mint az elsőnek. Hány lejük van külön-külön? 4.Négy embernek 1660 leje van. Hány lejük van külön-külön, ha az első pénzének 2/9-e 20 lejjel több, mint a második pénzének 2/7-e, 40 lejjel több, mint a harmadik pénzének 2/5-e és 60 lejjel több, mint a negyedik pénzének 2/3-a. 5.Öt család egy kirándulásra indulva költőpénznek rendre a következő összegeket viszi: 900 lej, 1200 lej, 1150 lej, 1400 lej és 1000 lej. Minden család ugyanannyit költ és a hazatérésnél megállapítják, hogy összesen 1400 lejük maradt. Hány lejt költöttek családonként és melyik családnak mennyi pénze maradt? 6.Egy összejövetelen négyszer annyi fiú van, mint lány. Egy adott időpontban elmegy 4 fiú és 4 lány. Így hétszer annyi fiú marad, mint lány. Hány fiú és hány lány volt eredetileg? 7.Egy osztályteremben a tanulók kettesével ülnek a padokban, de még így is üresen marad egy pad. Egyszer egy előadás alkalmával a tanítónénivel együtt hármasával ültek be a padokba, így 6 padot tudtak felszabadítani. Hány tanuló járt az osztályba és hány pad volt a teremben? 8.Hány tanuló van abban az osztályban, amelyben, ha egy fiúból és egy lányból álló csoportokat alkotnak, akkor 8 lány nem kerül be a csoportokba, ha olyan csoportokat alkotnak, melyek 3 lányból és egy fiúból állnak, akkor 4 fiú marad ki a csoportokból? 9.Az apa, az anya és a fiú életkora összesen 94 év. Az anya életkora az apáénak három negyede, a fiúénál pedig 26 évvel több. Hány évesek külön-külön? 10.Az anya 30 éves a fia 7 éves. Hány év múlva lesz az anya kétszer annyi idős, mint a fia? 11.Három ládában összesen 90 alma van. Ha a második ládából átteszünk 3 almát az elsőbe, akkor ott 4 almával lesz több, mint a második ládában. Ha a második ládából átteszünk 5 almát a harmadik ládába, akkor a második ládában 15 almával lesz több, mint a harmadik ládában. Számítsuk ki, hány alma van az egyes ládákban. 12.Egy számot összeadtak a negyedével, az összeg 115 lett. Melyik ez a szám? 13.Két szám osztási hányadosa 3, a maradék 10. Ha az osztandót, az osztót, a hányadost és a maradékot összeadjuk, az összeg 143. Melyik az a két szám? 14.Három szám összege 1002. Az első két szám összege a harmadik duplája, A két szám különbsége a harmadik számmal egyenlő. Melyik a három szám? 15.Három szám összege 1359. Ha az elsőből 174-et, a másodikból 35-öt, a harmadikból 187-et vonnak ki, a különbségek egyenlőek lesznek. Melyik a három szám? 16.Három szám összege 1990. Határozzuk meg a számokat, tudva, hogy ha a másodikat az elsővel elosztjuk 3-at kapunk, ha a harmadikat osztjuk el a másodikkal, a hányados 2, a maradék 110.

142

17.Két szám különbsége 226, ha az elsőt 2-vel növeljük, a második nyolcada lesz. Melyek ezek a számok? 18.Ha egy italraktárban minden ládába 15 üveget raknak, két láda üresen maradna. Számítsuk ki a ládák és az üvegek számát, tudva, hogya ládák száma 0,2 része az üvegek számának. 19.Ha a virágokat hármasával teszik vázákba, megmarad 6 szál virág. Ha négyesével teszik a vázákba, 2 váza marad üresen. Hány váza és hány szál virág van? 20.Egy anya ötször idősebb a lányánál. Két évvel ezelőtt hatszor volt idősebb, mint a lánya. Hány éves az anya és hány éves a lánya? Egy apa 47 éves, a fia 23 éves. Hány évvel ezelőtt volt az apa ötször idősebb a fiánál? 21.Három természetes szám összege1999. Határozzuk meg a számokat, tudva hogy az első szám 43-mal kisebb a második szám felénél, a harmadik pedig 87-tel nagyobb az első kettő különbségénél. 22.Egy négyzet alakú szoba padlóját négyzet alakú burkolólapokkal fedetik be úgy, hogy egyetlen lapot se kelljen elvágni. A csempés először a szélén körben rakta le a lapokat egysorosan és ehhez 56 lapot használt fel. Hány darab lap kell az egész padló burkolásához? 23.Egy versenyen az első helyért 5 pont jár, a másodikért 3 pont, a harmadikért 2 pont. Számítsuk ki, hogy hány helyezést kaptak annak az iskolának a tanulói, ahol összesen 25 pontot kaptak, és mindenik helyezésből legkevesebb kettőt valósítottak meg. 24.Hatévvel ezelőtt Beáta édesapja és édesanyja életkorának különbsége egyenlő volt az ő életkorával. Jelenleg az édesanyja háromszor idősebb a lányánál Az édesapa 34 éves. Hány éves Beáta? Hát az édesanyja? 25.Keressük meg azt a két számot, melyek közül az első a második harmada, a második fele pedig 7-tel nagyobb az elsőnél. 26.Karcsi 9 évvel idősebb, mint Előd, életkoruk aránya 5:2. Hány évesek a fiúk? 27.Egy házaspár gyereket vár. A férj végrendeletében ez áll: ha fia születik, akkor a vagyon 2/3-át a fiú örökli, a felesége az 1/3-át. Ha lánya születik, akkor a felesége örökli a 2/3-át, a leány pedig csak az 1/3-át. Az apa valóban meghal mielőtt gyerekei megszületnének. Milyen arányban osszák szét a vagyont, ha ikrei születnek: egy fiú és egy lány? 28.Botond testvére Enikő. Amikor megkérdezték Botondot, hogy hány évesek, így válaszolt: Ha a húgom annyi idős lesz, mint én vagyok most, akkor együtt 35 évesek leszünk. Most és háromszor annyi idős vagyok, mint a húgom volt akkor, amikor én olyan idős voltam, mint a húgom most. Hány évesek a testvérek? 29.Ha egy számhoz hozzáadjuk a 2/3-átés az így kapott számból kivonjuk az összeg 1/3át, akkor 10-et kapunk. Melyik ez a szám?

143

Beküldésre javasolt feladatok Témakörönként válasszon ki és oldjon meg az önálló munkára kitűzött feladatok közül 5-5 feladatot. Úgy válogasson, hogy a témakörön belül ne legyen két, azonos alponthoz kapcsolódó feladat, vagyis minél jobban fogja át a feladatok megoldása által az illető témakört. A beküldés határideje a kontakt órán leszögezett. Szakirodalom o Elemi matematika példatár az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1998), Nemzeti tankönyvkiadó, Budapest (55 -74, 78 - 90) o Gimes Györgyné (szerk.) (1990): Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából, Tankönyvkiadó, Budapest (445 – 460) o Kacsó, F. – Mátéfi, I. (2005): Matematika, Tankönyv a X. osztály számára, Ábel Kiadó, Kolozsvár (156 – 171, 186 - 212) o Matematika az általános képzéshez a tanítóképző főiskolák számára (1996), Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest (103 – 115, 121 – 130, 155 – 166, 175 – 198) o Matematika (1997), Tankönyv az V. osztály számára, Editura Radical, Drobeta Turnu-Severin (78 - 102) o Olosz, E. – Olosz, F (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (93 – 118, 179 – 202, 212 – 214, 232 – 240) o Peller, J. (2003): A matematikai ismeretszerzési folyamatról, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest (37 – 53, 343 – 362) o Roşu, M. – Roman, M. (1995): Matematică pentru perfectionarea învăţătorilor, Editura All Educational, Bucureşti (71 – 75, 85 – 97) o Szerencsi, S. (1975): Matematika, Tankönyvkiadó, Budapest (108 - 133) o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (125 – 139, 202 - 206)

144

III.MODUL: A szöveges feladatok megoldási módszerei: A mérleg módszer. A fordított út módszere Az összehasonlítás módszere A hipotézisek módszere Arányosság, százalékok Keverék és ötvözetszámítás. Mozgással kapcsolatos feladatok. A téglalap módszer

Célkitűzések:

-

-

-

-

-

Minden esetben lényeges, hogy ismerje fel a feladat típusát. Tudatosítsa a feladatmegoldások által a mérlegtulajdonságokat, amik tulajdonképpen az egyenlőségek és az egyenletrendszerek tulajdonságai is. Ez azt jelenti, hogy ne formálisan dolgozzon az egyenlőségben résztvevő mennyiségekkel, hanem azok valóságosságában gondolkodjék és járjon el a feladatmegoldások során. Használjon a különböző fordított utas feladatoknál megfelelő ábrát, ha szükséges. Tudja indokolni a feladatmegoldás lépéseit. Tudja rendszerezve felírni a feladat adatait az összehasonlítás módszerénél. Tudatosan használja úgy a kiküszöbölés, mind a behelyettesítés módszerénél a célravezető lépést. Ha az első ismeretlent meghatározta, tudja végigvinni a feladat megoldását, meghatározva a többi ismeretlen mennyiség értékét is. Tudatosan használja az egy hipotézises feladatok megoldásának lépéseit. Értse és tudja használni a két hipotézises feladatmegoldás módszerét, vagyis tudja, hogy a helyes megoldásra a hiba változása vezet rá (ez nem egy „találgatásos” módszer!) Értse és tudja, hogy mit jelent két mennyiség aránya, tudja felhasználni a százalékos arány kiszámításánál. Értse helyesen az egyenesen arányos mennyiségek és a fordítottan arányos mennyiségek kifejezéseket, tudja felhasználni ezeket hármassszabállyal megoldható feladatoknál (egységrehozatallal). Mennyiségek osztása adott értékekkel egyenes, illetve fordított arányban. Keverék és ötvözetszámítás és a súlyozott középarányos kapcsolata. Mozgásos feladatok: út, idő, sebesség fogalma. Azonos irányú és ellentétes irányú mozgások. Mindkét témánál a téglalap módszer és alkalmazásának lehetőségei.

145

Tanulási útmutató:

Ez a modul öt témát dolgoz fel. Feldolgozza az ábrázolás módszerén kívül az összes sajátos aritmetikai feladatmegoldási módszert. Az tizedik téma a mérlegmódszerrel és a fordított út módszerével foglalkozik. A mérleg módszer tulajdonképpen az egyenletek és egyenletrendszerek megoldásának lépéseit hozza le az alsó tagozatos matematika szintjére. A fordított út módszere hozzájárul a művelet fogalmának mélyítéséhez, a gondolkodás rugalmasságának, a koncentrációnak a fejlesztéséhez, mivel a feladatok megoldásánál hátulról haladunk lépésekben visszafelé, mígcsak meg nem tudjuk válaszolni a feladat kérdését. A tizenegyedik téma az összehasonlítás módszere. Az összehasonlítás történhet kiküszöböléssel, amikor egyik ismeretlent kiejtjük, vagy történhet úgy, hogy az egyik ismeretlen helyett behelyettesítjük a másik ismeretlen megfelelő kifejezését. A tizenkettedik téma a hipotézises, vagy hamis feltételezéses feladatokat tartalmazza. Ide is két típusú feladat tartozik. Mindkét esetben a hibás feltétel által kreált szituáció, illetve annak változása adja meg a megoldás kulcsát. A tizenharmadik témához tartoznak azok a feladatok, amelyek arányt tartalmaznak, a százalékszámítás, a hármassszabály egységrehozatallal és az arányos osztásos feladatok. A tizennegyedik téma a keverék, ötvözetszámítás és a mozgásos feladatok megoldása. Ezek kapcsolódnak a súlyozott középarányos fogalmához. Mindkettőnél több esetben alkalmas módszer a téglalappal való ábrázolás.

10.téma: A mérleg módszer. A fordított út módszere Célkitűzések: - Minden esetben lényeges, hogy ismerje fel a feladat típusát. - Tudatosítsa a feladatmegoldások által a mérlegtulajdonságokat, amik tulajdonképpen az egyenlőségek és egyenletrendszerek tulajdonságai is. Ez azt jelenti, hogy ne formálisan dolgozzon az egyenlőségben résztvevő mennyiségekkel, hanem azok valóságosságában gondolkodjék és járjon el a feladatmegoldások során. - Használjon a különböző fordított utas feladatoknál megfelelő ábrát, ha szükséges. Tudja indokolni a feladatmegoldás lépéseit. Kulcsszavak: a négy mérleg - tulajdonság ismerete, két vagy több mérleget összekapcsoló tulajdonság, „gondoltam egy számra” típusú feladatok, feladatok megoldása szakaszos ábra, vagy gráf segítségével, táblázatos fordított menetes feladatok, vagy más fordított menetes feladatok. A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

Önálló feladatmegoldás Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat? című könyve alapján.

146

B. Kontakt órán feldolgozandó részek:

Kontakt órán példaként meg fogunk oldani egy-egy mintafeladatot. A mérleg módszer

A módszernél a feladat mennyiségeit egy, vagy több mérlegre helyezzük. Kezdetben a mérleget is megrajzoljuk, később ez már csak az egyenlőségek kijelölését jelenti. A mérlegtulajdonságok: (1) Ha a mérleg mindkét oldalára ugyanannyit teszünk, vagy ugyanannyit veszünk el, a mérleg egyensúlyban marad. a =b ⇔ a±c =b±c (2) Ha a mérleg mindkét oldalán levő mennyiségnek ugyanannyiszorosát, vagy ugyanannyiad részét vesszük, a mérleg egyensúlyban marad. a = b ⇔ a ⋅ c = b ⋅ c, a : c = b : c (3) Ha két, vagy több, egyensúlyban levő mérleg ugyanazon oldalon levő tányérjainak tartalmát egy-egy tányérba helyezzük, a mérlegegyensúly megmarad. 1.Három csoki 10 g-mal nehezebb, mint 125 g. Hány g egy csoki? Megoldás Megrajzoljuk a mérleget és ráhelyezzük a mennyiségeket a mérlegtányérokra: 125 g

10 g

A (2)-es tulajdonság szerint, mindkét tányérban levő mennyiségnek a harmadrészét hagyjuk ott. 135 : 3 = 45 F.:Egy csoki tömege 45 g. 2.Öt szem cukorka tömege 10 g-mal kevesebb, mint két szem ugyanilyen cukorka és 70 g együttes tömege. Hány g egy szem cukorka tömege? Megoldás Mérlegrajz nélkül. 5c + 10 g = 2c + 70 g Rendre elvesszük az egyforma mennyiségeket: 5c + 10 g = 2c + 70 g / -2c 3c + 10 g = 70 g / -10 g 3c = 60 g / : 3 1c = 20 g. F.: Egy cukorka tömege 20 g. Itt kétszer használtuk az (1) - es és egyszer a (2) – es tulajdonságot.

147

3.Három alma és 1 krumpli 1 káposztát ér. 4 almáért 2 krumplit lehet kapni. Hány almáért lehet 1 káposztát kapni? Hány krumpliért kapsz 1 káposztát? Megoldás Két mérleges feladat. 3a + 1 kr = 1 ká (1) 4a = 2 kr (2) (2) alapján: 2a = 1 kr Ezt behelyettesítjük az (1)-be: 3a + 2a = 1 ká 1 ká = 5a F.: 1 ká = 2,5 kr. 4.Helyettesítsd az alábbi egyenlőségekben az illető alakzatot számmal, hogy igaz legyen: @ + # + $ + 24 = 88 @ + @ + 24 + # = $ $ $ + @ = # + 24 Megoldás Átírjuk a jeleket betűkké: a + b + c + 24 = 88 (1) 2a + 24 + b = 2c (2) c + a = b + 24 (3) (1) ⎫ ⎬ ⇒ b + b + 24 + 24 = 88 (3)⎭ 2b + 48 = 88 / − 48 2b = 40 / : 2 b = 20⎫ ⎬ ⇒ 2a + 24 + 20 = 2c (2) ⎭ 2a + 44 = 2c / : 2 c = a + 22 (3) ⇒ c + a = 20 + 24 = 44⎫ ⎬ ⇒ a + 22 + a = 44 c = a + 22 ⎭ 2a + 22 = 44 2a = 22 / : 2 a = 11 c = 11 + 22 = 33 F.: a = 11, b = 20, c = 33. Ellenőrzés: 11 + 20 + 33 + 24 = 88 22 + 24 + 20 = 66 33 + 11 = 20 + 24. 148

Mind a három feltételteljesül. Fogalmazzunk egy szöveges feladatot a fenti egyenletrendszerre: Egy sál, egy pulóver és egy nadrág ára 88 lejnél 24 lejjel kevesebbe kerül. Két nadrág 24 lejjel drágább, mint két sál és egy pulóver. A nadrág és a sál viszont 24 lejjel drágább a pulóvernél. Hány lejbe kerülnek a ruhadarabok külön-külön?

A következő feladat házi feladat. 5.Mérleg módszerrel oldd meg a következő egyenletrendszereket, mindenikre fogalmazz szöveges feladatot: a.) a + 3b + c = 125 b.) a + b = 35 b + c = 45 b + c = 55 a–b=5 a + c = 24 (Az eredmények: a.) a = 30, b = 25, c = 20. b.) a = 2, b = 33, c = 22.) 6.Ketten szilvát ettek. Az első mondja a másodiknak: „Adj nekem 2 szilvát és akkor ugyanannyi szilvám lesz, nekem is, mint neked.” A második mondja: „Inkább te adj nekem kettőt, mert akkor nekem kétszer annyi lesz, mint neked.” Kinek hány szilvája volt eredetileg? Megoldás A megoldás trükkje az, hogy a szilvamennyiséget a két szilva híján jelöljük valamilyen betűvel: Legyenek: I. gy.: a + 2 II. gy.: b + 2 A mérlegek: a = b + 4 a + 4 = 2b Behelyettesítéssel: b + 4 + 4 = 2b b = 8, a = 12. F.: Tehát az egyik gyereknek10, a másiknak 14 szilvája volt. A következő feladat házi feladat 7.Apa, anya és a három lány együtt 88 évesek. Anya 10 évvel idősebb, mint a három lány együtt. Az apa és az anya életkora közti különbség egyenlő a legkisebb lány életkorával. Az egyik lány 2 évvel fiatalabb, a másik ugyanannyival idősebb, mint a harmadik. Hány évesek külön-külön? (E.: Az életkorok rendre: 5 év, 7 év, 9 év, 31 év, 36 év.)

149

A fordított út módszere

A fordított út módszerénél fordított sorrendben végezzük el a műveleteket. 1.Gondoltam egy számra, megszoroztam öttel, hozzáadtam 42-t, ezt elosztottam héttel, amit kaptam, abból kivontam 11-et és így 20-at kaptam. Melyik számra gondoltam? Megoldás I.megoldás A “gondoltam egy számra” típusú feladatoknál a gyerekek jobban látják a feladat szerkezetét és az adatokat is könnyebben megjegyzik, ha megtanítjuk az adatokat ráírni egy „vonalas gráfra”. :7

+42

·5

-11 20

Most visszafelé haladva kitöltjük az üres téglalapokat, a visszafelé tartó nyílakra rá is írjuk, hogy éppen melyik műveletet végeztük. A számítások: 20 + 11 = 31, 31 · 7 = 217, 217 – 42 = 175, 175 : 5 = 35 35

:5

:7

+42

·5

217

175 -42

-11 20

31 ·7

+11

F.: A gondolt szám a 35. II.megoldás Ugyanezt a feladatot egyenlettel is meg lehet oldani, a felírt egyenletet pedig a „visszabontogatás” módszerével oldjuk meg. Az egyenlet: ( x ⋅ 5 + 42) : 7 − 11 = 20 Mindig az utolsó művelet ellentétesét végezzük. Először a 20-hoz hozzáadunk 11-et. ( x ⋅ 5 + 42) : 7 = 20 + 11 ( x ⋅ 5 + 42) : 7 = 31 Most szorzunk 7-tel. x ⋅ 5 + 42 = 31 ⋅ 7 x ⋅ 5 + 42 = 217 Kivonunk 42-t. x ⋅ 5 = 217 − 42 x ⋅ 5 = 175 Osztunk 5-tel.

150

x = 175 : 5 x = 35

2.Egy leány az első nap elköltötte pénzének felét, a második nap a megmaradt pénzének harmadát, aztán megint a maradék felét, majd a negyedik napon az akkorra maradt pénz harmadát. Így aztán 24 tallérja maradt. Mennyi pénze volt eredetileg? Megoldás A megoldáshoz szakaszos ábrát készítünk:

I.n II.n III.n

24 t

Az ábráról a következő olvasható le: Ha az utolsó szakasz fele 24 tallér, akkor az egész szakasz 48 tallért ér (24 · 2 = 48). Ennyi pénz maradt a harmadik napra. A középső szakasznál: A második nap elfogyasztott pénz után 2/3 résznyi maradt, aminek az értéke 48 tallér. Ezért az egész középső szakasz értéke (48 : 2) · 3 = 72. Tehát az első nap után 72 tallér maradt a második napra. Akkor az első napon ennek a duplája kellett a rendelkezésére állnia, vagyis 144 tallér (72 · 2 = 144). F.: Eredetileg 144 tallérja volt. Megjegyzés A számításokat, bármilyen egyszerűek legyenek is azok, le kell írni! A megoldáshoz fagráfot (ágrajz) is készíthetünk:

151

A számítások sorrendje, maga a gondolatmenet is, azonos az előzőkben leírttal. 3.Hány tojás volt abban a kosárban , amelynek a tartalmát három vevő úgy vásárolta meg, hogy az első megvette a tojások felét és egy fél tojást, a második a megmaradt tojások felét és egy fél tojást, a harmadik ugyancsak a neki maradt tojások felét vette meg és egy fél tojást, ha tudjuk, hogy egyetlen tojást sem kellett széttörni és 4 tojás maradt? Hányat vásároltak fejenként? Megoldás A szakaszos ábra: 1/2t 1/2t I.v

1/2t II.v

4t III.v

Az ágrajz:

152

Az ábrákról leolvasható: 1 1 1 4 t. ⋅ 2 = 9t. A III. vásárló 9 tojásból vásárolt. 4t. + t. = 4 t. 2 2 2 1 1 1 9 t. ⋅ 2 = 19t. A II. vásárló 19 tojásból vásárolt. 9t. + t. = 9 t. 2 2 2 1 1 1 19 t. ⋅ 2 = 39t. Az I. vásárló 39 tojásból vásárolt. 19t. + t. = 19 t. 2 2 2 Az első 20 tojást, a második 10 tojást, a harmadik 5 tojást vett meg. Valóban, egész tojásokat vásároltak és 4 tojás maradt meg. A következő feladatot önálló munkára javasolom. 4.Egy berendezés elkészítéséhez egy tekercs huzalt használtak fel a következőképpen: az első nap 50 métert és a megmaradt huzal felét, a második nap a maradékból 40 métert és az azután maradt huzal harmadát, aztán 30 métert és a maradék huzal negyedét. Hány m huzal volt a tekercsben, ha 90 m huzal maradt? (F.: 580 m volt a huzal hossza.) 5.Egy apa minden pénzét a gyerekeire hagyta a következőképpen: A legidősebb kapjon 1000 krajcárt és a maradék pénz 1/10-ét, a második a maradékból kapjon 2000 krajcárt és a megmaradt pénz 1/10-ét, a harmadik a maradékból 3000 krajcárt kapjon és a maradék 1/10-ét, és így tovább. Ezzel a végrendelettel mindenik gyerek ugyanannyi pénzt kapott. Hány krajcárról végrendelkezett az apa, és hány gyereke volt? Megoldás

153

Az ágrajzról a következő egyenlőségek olvashatók le: 1000 kr + O = 2000 kr +  (1) 9O = 2000 kr + 10 (2) Az (1) egyenlőség alapján: O =  + 1000 kr Ezt behelyettesítjük a (2)-be: 9 + 9000 kr = 10 + 2000 kr Tehát: 1 = 7000 kr, 1O = 8000 kr. Ez azt jelenti, hogy eredetileg 81 000 kr pénz volt és a legnagyobb gyerek 9000 krajcárt kapott. Most nézzük a többieket: 81000 – 1000 = 80000, 80000 : 10 = 8000, 80000 – 8000 = 72000. Tehát amikor az első megkapta a maga 9000 krajcárját, maradt 72000 krajcár. 72000 – 2000 = 70000, 70000 : 10 = 7000, 70000 – 7000 =63000. A második is megkapta a maga 9000 krajcárját, maradt 63000 krajcár. 63000 – 3000 = 60000, 60000 : 10 = 6000, 60000 – 6000 = 54000. A harmadik is 9000 krajcárt kap. Végig kell vinni a számításokat, valóban igazságos így az elosztás és a feladatkövetelményeinek megfelelően történt az elosztás. F.: 81000 krajcár volt az örökség, 9 gyerek volt és minden gyerek 9000 krajcárt kapott.

154

6.Három fiúnak volt valamennyi almája. Az első fiú a sajátjából adott a másik kettőnek annyit, amennyi annak már volt. Aztán a második adott a másik kettőnek annyit, amennyi annak már volt. Ugyanígy adott a harmadik is a másik kettőnek. Így aztán mindenik fiúnak 8-8 almája lett. Hány almájuk volt eredetileg a fiúknak külön-külön? Megoldás A megoldás lépéseit egy táblázatba írjuk be, amelyet hátulról eléfelé haladva töltünk ki. A táblázatban megjelöltem azt az adatot, amelyikből adott az illető gyerek. eredetileg az I. adás után a II. adás után a III. adás után I. fiú 13• 2 4 8 II. fiú 7 14• 4 8 III. fiú 4 8 16• 8 7.A mesebeli róka egy legénnyel ilyen egyezséget kötött: valahányszor átmegy egy hídon a róka megkétszerezi a fiú pénzét, amiből aztán ez köteles fizetni 24 krajcár vámot. A legény úgy gondolta, hogy jó vásárt csinált, de miután a harmadik hídon is átment és kifizette a vámot, nem maradt egy krajcárja sem. Mennyi pénze volt eredetileg? (A feladat megoldása házi feladat.) (F.: 21 krajcárral indult neki a hídaknak a legény.)

11.téma: Az összehasonlítás módszere Célkitűzések: - Minden esetben lényeges, hogy ismerje fel a feladat típusát. - Tudja rendszerezve felírni a feladat adatait. Tudatosan használja úgy a kiküszöbölés, mind a behelyettesítés módszerénél a célravezető lépést. Ha az első ismeretlent meghatározta, tudja végigvinni a feladat megoldását, meghatározva a többi ismeretlen mennyiség értékét is. Kulcsszavak: a kiküszöbölés elve, a behelyettesítés elve A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

Önálló feladatmegoldás Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat? című könyve alapján. B. Kontakt órán feldolgozandó részek:

Kontakt órán példaként meg fogunk oldani egy-egy mintafeladatot.

155

A. Összehasonlítás kiküszöböléssel

A kiküszöböléssel megoldandó feladatoknál, ha két mennyiség szerepel a feladatban fontos, hogy az egyik mennyiséget kifejező számokat egyenlővé tegyük, ha szükség, mindkét adatsort végigszorozva a megfelelő számmal. 1.Hét fenyőgerenda és 12 tölgyfagerenda össztömege 750 kg, míg 3 fenyőgerenda és 8 tölgyfagerenda össztömege 450 kg. Hány kg egy-egy gerenda tömege külön-külön? Megoldás A feladat adatait úgy írjuk föl, hogy a megfelelő mennyiségek egymás alá kerüljenek. fenyőgerenda 7 db 3 db

tölgygerenda 12 db 8 db

össztömeg 750 kg 450 kg

(1) (2)

Kiválasztjuk például a fenyőgerendát és ezek darabszámát tesszük egyenlővé, beszorozva az (1) adatsort 3-mal, a (2) adatsort 7-tel. 21 db 36 db 2250 kg (3) 21 db 56 db 3150 kg (4) Ha a (4)-ből kivonjuk a (3)-at, megkapjuk a tölgygerendák egységtömegét - db 20 db 900 kg Tehát 1 db tölgygerenda tömege 45 kg. A kapott értéket visszahelyettesítjük az (1), vagy (2) adatsorba. Itt most a (2)-be, mert ott kisebbek a számok. 8 db tölgygerenda tömege 360 kg lesz. 3 db 360 kg 450 kg Tehát 1 db fenyőgerenda tömege (450 – 360) : 3 = 30 (kg). F.: A tölgygerenda tömege 45 kg, a fenyőgerenda tömege 30 kg. 2.Egy medence kiürítéséhez három csapot használtak. Ha az első csap 2 órát, a második 3 órát, a harmadik 6 órát van nyitva, akkor 220 l víz folyna ki. Ha 3, 2, ill. 6 órát vannak nyitva, akkor 210 l víz folyna ki. Ha pedig 2, 2, ill. 3 órát vannak nyitva, akkor 145 l víz folyna ki. Mennyi az egyes csapok vízhozama l/h-ban? Megoldás Felírjuk az adatokat: I. csap II. csap III. csap vízhozam 2h 3h 6h 220 l (1) 3h 2h 6h 210 l (2) 2h 2h 3h 145 l (3) A megoldás lényege, hogy kétszer két adatsort választva, ugyanazt az adatot ejtsük ki. Most ez a III. csap lesz. Választjuk az (1) és (3) adatsort.

156

2h 2h

2h 3h

3h 6h

145 l 220 l

(3) / ·2 (1)

4h 2h 2h

4h 3h 1h

6h 6h -

290 l 220 l 70 l

(4)

Másodszorra a (2) és (3) adatsort választjuk. 2h 2h 3h 3h 2h 6h

145 l 210 l

(3) / ·2 (2)

4h 3h 1h

290 l 210 l 80 l

(5)

4h 2h 2h

6h 6h -

Most tovább párosítjuk az előzőkben kapott (4) és (5) adatsort és úgy folytatjuk, mint az első feladatban, mert mostmár a kapott (4) és (5) egyenlőségekben csak 2 ismeretlen van. Itt az I. csapot fogjuk kiejteni. 1h 2h

2h 1h

-

2h 2h

4h 1h

-

160 l 70 l

-

90 l

3h Tehát a II. csap hozama 30 l víz óránként.

80 l / ·2 70 l

A visszahelyettesítésnél csak a (4), vagy (5) adatsorig megyünk vissza, mert ott csak két ismeretlen van. Az (5)-be helyettesítve: 1h 60 l 80 l Tehát az első csap hozama 20 l/h. Visszahelyettesítünk az (1), (2), (3) valamelyikébe, jelenleg a (3)-ba. 40 l 60 l 100 l + 3 h = 145 l 3 h = 45 l Tehát a III. csap hozama 15 l/h.

3h

145 l

F.: A csapok hozama rendre 20 l/h, 30 l/h, 15 l/h. 3.Kutya üldöz nyulat. Köztük a távolság 40 kutyaugrás. Hány ugrással éri utol a kutya a nyulat, ha a nyúl 6 ugrással teszi meg azt a távolságot, amit a kutya 5 ugrással, továbbá a kutya és a nyúl ugyanannyi idő alatt ugrik egyet?

157

Megoldás ny

k

40 ku Tudjuk, hogy a kergetés közben mindkettő halad előre. A kutya hosszabbakat ugrik, mert a feladat szerint 5 ku hossza = 6 nyu hosszával, viszont maga az ugrás egyidőben történik, mert a feladat szerint a kutya és a nyúl ugyanannyi idő alatt ugrik egyet. Ez azt jelenti, hogy a kutyának 40 kutyaugrásnyi hosszat kell behoznia. A 40 kutyaugrás (40 : 5) · 6 = 48 nyúlugrásnyi hátrányt jelent. Minden 6 nyúlugrás után 1 ugrásnyival kerül hozzá közelebb a kutya, ez alatt a kutyának 5-öt kell ugrania. Tehát 48 · 5 = 240 nyúlugrás, illetve 40 · 5 = 200 kutyaugrás után fogja a kutya utolérni a nyúlat. 4.Agár követ rókát. A rókának 12 rókaugrás előnye van. Hány ugrás után éri utol az agár a rókát, ha amíg az agár 7-et ugrik, addig a róka 8-at, valamint az agár 5 ugrással ugyanakkora távot tesz meg, mint a róka 6 ugrással. Megoldás r

a

12 ru-hossz Tudjuk még: 7 au ideje = 8 ru ideje 5 au hossza = 6 ru hossza Beszorozzuk a felső egyenlőséget 5-tel, az alsót 7-tel, hogy az agárugrások száma térben és időben egyezzen. 35 au ideje = 40 ru ideje 35 au hossza = 42 ru hossza Tehát azt látjuk, hogy 35 agárugrás alatt a róka 40-et ugrik, nem 42-t. Tehát 2 ugráshossznyival lemarad. Ez azt is jelenti, hogy az agár 35 agárugrás alatt 2 rókaugrásnyi előnyt hoz be. 12 rókaugrást kell behozzon, ezt hatszor 35 ugrás alatt tudja megtenni. 12 : 2 = 6. 6 · 35 = 210 (au), 6 · 40 = 240 (ru). Tehát az agárnak 210-et kell ugrania, amíg utoléri a rókát. Addig a róka 240-et fog ugrani.

158

B.Behelyettesítéssel

A behelyettesítés módszerénél az egyik adatot helyettesítjük a vele egyenértékű mennyiséggel. 5.Ha 1 órát autóval, 3 órát kerékpárral és 3 órát gyalog megyünk, akkor 150 km-t tudunk megtenni. Ha 1-1 órát kerékpárral meg gyalog haladunk csak 30 km-t teszünk meg. Tudva, hogy ha 1 órát kerékpár helyett autóval utaznánk, akkor 40 km-rel többet tennénk meg, számítsuk ki hány km teszünk meg 1 óra alatt autóval, ill. kerékpárral meg gyalog. Megoldás Felírjuk az adatokat. a k gy összút 1h 3h 3h 150 km (1) 1h 1h 30 km (2) 1 h k + 40 km = 1 h a (3) Ha a (2)-es adatsort beszorozzuk 3-mal, be tudjuk helyettesíteni az (1)-be és megvan, hogy hány km-t tesz meg 1 óra alatt autóval. (2) / ⋅ 3 ⇒ 3 h k + 3 h gy = 90 km⎫ ⎬ ⇒ 1 h a + 90 km = 150 km ⇒ 1 h a = 60 km (1) ⎭ 1 h a = 60 km⎫ ⎬ ⇒ 1 h k + 40 km = 60 km ⇒ 1 h k = 20 km (3) ⎭ 1 h k = 20 km⎫ ⇒ 20 km + 1 h gy = 30 km ⇒ 1 h gy = 10 km. (2) ⎬⎭ F.: Autóval, kerékpárral, illetve gyalog 1 óra alatt rendre 60 km, 20 km, illetve 10 km utat teszünk meg. 6.Egy boríték, 4 képeslap és 4 ívpapír összesen 385 lej. Egy képeslap ára 2 boríték és 3 ívpapír árával egyenértékű. 8 ívpapír 5 lejjel drágább, mint 3 boríték. Hány lejbe kerül 11 mindenikből? Megoldás 1 b ára + 4 k ára + 4 í ára = 385 lej (1) 1 k ára = 2 b ára + 3 í ára (2) 8 í ára = 3 b ára + 5 lej (3) 1 b ára, 1 k ára, 1 í ára = ? lej?

159

(2) / ⋅ 4 ⇒ 4 k ára = 8 b ára + 12 í ára ⎫ ⎬ ⇒ 1 b ára + 8 b ára + 12 í ára + 4 í ára = 385 lej ⇒ (1) ⎭ ⇒ 9 b ára + 16 í ára = 385 lej ⎫ ⎬ ⇒ 15 b ára + 10 lej = 385 lej ⇒ 1 b ára = 25 lej (3) / ⋅ 2 ⇒ 16 í ára = 6 b ára + 10 lej ⎭ 1 b ára = 25 lej ⎫ ⎬ ⇒ 8 í ára = 75 lej + 5 lej ⇒ 1 í ára = 10 lej (3) ⎭ 1 b ára = 25 lej ⎫ ⎪ 1 í ára = 10 lej ⎬ ⇒ 1 k ára = 50 lej + 30 lej ⇒ 1 k ára = 80 lej. (2) ⎪⎭ F.: Egy képeslap, 1 boríték és 1 ívpapír ára rendre 80 lej, 25 lej és 10 lej. (Ezek az árak valamikor a 90-es éves végén voltak érvényben!)

12.téma: A hipotézisek módszere Célkitűzések: - Minden esetben lényeges, hogy ismerje fel a feladat típusát. - Tudatosan használja az egy hipotézises feladatok megoldásának lépéseit. Értse és tudja használni a két hipotézises feladatmegoldás módszerét, vagyis tudja, hogy a helyes megoldásra a hiba változása vezet rá (ez nem egy „találgatásos” módszer!) Kulcsszavak: a feladat típusának felismerése, annak felismerése, hogy egy, vagy két hipotézises a feladat, tudatosan használni mindkét típus esetén a feladatmegoldás lépéseit. A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

Önálló feladatmegoldás Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat? című könyve alapján. B. Kontakt órán feldolgozandó részek:

Kontakt órán példaként meg fogunk oldani egy-egy mintafeladatot. A.Egy hipotézises feladatok

Ezek az ún. “ láb-fej” típusú feladatok. Minden esetben arra teszünk feltételt, hogy a teljes mennyiség egyféle. Az így kapott eltérésből következtetünk arra, hogy akkor a másik mennyiségből hány darab kellett legyen.

160

1.Egy tanuló 50 és 80 lapos füzeteket vásárolt, összesen 18 füzetet. Hány darabot vásárolt az egyes füzetekből, ha a füzeteknek összesen 1050 lapja volt? Megoldás Feltételezzük, hogy minden füzet 50 lapos. Ez csak 18 · 50 = 900 lapot eredményezne, tehát kellett legyenek 80 lapos füzetek is. Elképzeljük, hogy azáltal, hogy 50 laposoknak feltételeztük az összes füzetet, minden füzethez kiosztottunk már 50-50 lapot. Így a maradék lapokat 30-asával kell ráhelyezni annyi 50 lapot tartalmazó paksamétára, ahányra jut. 1050 – 900 = 150, 150 : 30 = 5 Tehát a fennmaradt 150 lapot 5 csomóra tudtuk ráhelyezni 30-asával. Vagyis a 80 lapos füzetek száma 5, a többi 50 lapos, vagyis 13 darab 50 lapos füzet van. F.: 13 db 50 lapos, 5 db 80 lapos füzet van Ellenőrzés: 13 · 50 + 5 · 80 = 650 + 400 = 1050. B.Két hipotézises feladatok

2.Ha egy teremben a tanulókat négyesével ültetjük, akkor 18 tanulónak nem jut hely. Ezért ötösével ültetjük őket, így pedig 4 padra nem lesz szükség. Hány tanuló és hány pad van a teremben? Megoldás ha 4 t/p, akkor 18 t áll (1) ha 5 t/p, akkor üres 4 p (2) ?t, ?p Általában a feltételt a kisebbik mennyiségre tesszük. Nincs jelentősége annak, hogy milyen értékkel indulunk, de a feladatban szereplő számításokat el kell tudnunk végezni. (I) Feltételezzük, hogy 5 pad volt az osztályban. Ez alapján, ha az (1) adatsort vesszük figyelembe, 5 · 4 + 18 = 38 tanulóhoz jutunk. Ha a (2) adatsort vesszük figyelembe, (5 – 4) · 5 = 5 tanulót kapunk.

Nyilván a feltevésünk helytelen volt, számítjuk a kapott tanulószám eltérését. Eltérés: 38 – 5 = 33 (t). Most az első feltételezéshez viszonyítva 1-et változtatunk a feltételezésünkön. (II)Feltételezünk 6 padot. (1) alapján: 6 · 4 + 18 = 42 (t) (2) alapján: (6 – 4) · 5 = 10 (t) Eltérés: 42 – 10 = 32 (t). Megnézzük, hogy hogyan változott a két eltérés. Tehát a padok számát 1-gyel növelve az eltérés 1-gyel csökkent.

161

El kell fogynia a 33 tanulónyi eltérésnek (ha az I. feltételt nézzük), tehát 5 + 33 = 38 pad van. A tanulók száma: 38 · 4 + 18 = 152 + 18 = 170. F.: 38 pad és 170 tanuló van a teremben Ellenőrzés: (38 – 4) · 5 = 34 · 5 = 170. 3.Egy gazdának hétszer több tyúkja van, mint rucája. Ha elad 15 tyúkot és vesz 3 rucát, akkor a tyúkok száma négyszer lesz több a rucák számánál. Hány tyúkja ill. hány rucája van? Megoldás (1) ( 2) ⎫ ( I ) felt. 3 r ⇒ 3 ⋅ 7 = 21 (ty ) ⇒ 21 − 15 = 6 (ty )⎪ kellene legyen 6 · 4 = 24 (ty) ⎬ ⎪⎭ 3 + 3 = 6 (r ) Tehát az eltérés: 24 – 6 = 18 (ty). (1) ( 2) ⎫ ( II ) felt. 4 r ⇒ 4 ⋅ 7 = 28 (ty ) ⇒ 28 − 15 = 13 (ty )⎪ kellene legyen 7 · 4 = 28 (ty) ⎬ ⎪⎭ 4 + 3 = 7 (r ) Tehát az eltérés: 28 – 13 = 15 (ty).

A két feltételezés eltérését összehasonlítva látjuk, hogy amikor a rucák számát 1-gyel növeltük az eltérés 3-mal csökkent. Ahhoz.hogy az eredeti 18-as számú eltérés elfogyjon 18 : 3 = 6-szor kell egyet-egyet növelni a rucák számán. Tehát 9 ruca és 63 tyúk van. Ellenőrzés: 63 – 15 = 48, 9 + 3 = 12, 48 = 4 · 12. 4.Négy év múlva az anya kétszer idősebb lesz a fiánál. Hat évvel ezelőtt a fiú életkora kétszerese volt a húgáénak. 14 év múlva az anya életkora a leány életkorának lesz a duplája. Hány éves a három személy? Megoldás (I)Feltételezzük, hogy a lány (ő a legfiatalabb) 2 éves. Az adatokat táblázatba írjuk. A táblázat kitöltésénél figyelembe vettük az első két feltételt, vagyis, hogy 6 éve f = 2·l és 4 év múlva a = 2·f. A többi részt kizárólag az eltelt időt figyelembe véve töltöttük ki. 6 éve most 4 év múlva 14 év múlva l 2 8 12 22 f 4 10 14 24 a 28 38 Ha eltaláltuk volna a lány életkorát, akkor az utolsó oszlopban az anyánál a 22 duplája kellene szerepeljen. Eltérés 6 év. (II) l = 3 (év)

162

6 éve most 4 év múlva 14 év múlva l 3 9 13 23 f 6 12 16 26 a 32 42 Eltérés: 2 · 23 – 42 = 4 (év) A lány életkorát 1 évvel növelve az eltérés 2 évvel fogyott. Látható, hogyha 5 évesnek vesszük a lányt, akkor az eltérés pontosan elfogy. Ha elvégezzük az ellenőrzést, látható, hogy pontosan megfelelünk a feladat követelményeinek. F.: Jelenleg a lány 11 éves, a fiú 16 éves, az anya 36 éves. (Javasolom a feladat megoldását az ábrázolás módszerével is, pontokkal ábrázolva az életkorokat!) 5.Egy tanulónak 1500 leje van 5, 10 és 50 lejes bankjegyekből. A 10 lejesek száma fele az 5 lejesek számának. Az 50 lejesek száma 2/5 része az 5 lejesek számának. Hány bankjegy van mindenikből külön-külön? Megoldás Az adatok alapján az 5 lejesek száma osztható kell legyen 2-vel is és 5-tel is, tehát 10 többszöröse kell legyen. ( I ) 10 db 5 lejes ⇒ 5 db 10 lejes ⇒ 4 db 50 lejes Így a pénzösszeg: 10 · 5 + 5 · 10 + 4 · 50 = 50 + 50 + 200 = 300 (lej) Az eltérés 1500 – 300 = 1200 (lej). ( II ) 20 db 5 lejes ⇒ 10 db 10 lejes ⇒ 8 db 50 lejes Így a pénzösszeg: 20 · 5 + 10 · 10 + 8 · 50 = 100 + 100 + 400 = 600 (lej) Az eltérés 1500 – 600 = 900 (lej). Az eltérés akkor fogy el, ha még háromszor 10-zel növeljük az 5 lejesek számát. F.: 50 db 5 lejes, 25 db 10 lejes és 20 db 50 lejes volt. (Ellenőrízzük!) 6.A réten 25 állat legelt. Háromszor annyi tehén volt, mint ló, és kétszer annyi bárány, mint disznó. Tudjuk, hogy nem minden lónak a szőre egyforma színű. Melyik állatból hány legelt a réten? A feladat megoldása legyen házi feladat. (F.: 4 ló, 12 tehén, 6 bárány és 3 disznó volt.) 7.Nagymamának 35 csirkéje van: 9, 10 ill. 12 naposak. Az összéletkoruk 403 nap. Számítsuk ki, hány csirke van mindenikből. Mondhatunk-e egyértelmű választ? A feladat ugyancsak házi feladat legyen.

163

Oldjuk meg diophantoszi egyenlet segítségével is. (F.: három jó megoldást kapunk: (1) 9 napos 5 db, 10 napos 1 db, 12 napos 29 db. (2) 9 napos 3 db, 10 napos 4 db, 12 napos 28 db. (1) 9 napos 1 db, 10 napos 7 db, 12 napos 27 db.

13.téma: Arányosság, százalékok Célkitűzések: - Minden esetben lényeges, hogy ismerje fel a feladat típusát. - Értse és tudja, hogy mit jelent két mennyiség aránya, tudja felhasználni a százalékos arány kiszámításánál. Értse helyesen az egyenesen arányos mennyiségek és a fordítottan arányos mennyiségek kifejezéseket, tudja felhasználni ezeket hármassszabállyal megoldható feladatoknál (egységrehozatallal). Mennyiségek osztása adott értékekkel egyenes, illetve fordított arányban. Kulcsszavak: arány, aránypár, százalék, egyenesen arányos mennyiségek, fordítottan arányos mennyiségek, hármasszabály egységrehozatallal, arányos osztás egyenesen arányos részekre, illetve fordítottan arányos részekre A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

Önálló feladatmegoldás Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat? című könyve alapján. B. Kontakt órán feldolgozandó részek:

Kontakt órán példaként meg fogunk oldani egy-egy mintafeladatot. A.Az arány és a százalék fogalma Két ugyanazzal a mértékegységgel mért mennyiség aránya az a/b viszony azt mutatja meg, hogy a hányszorosa b-nek, vagy b hányadrésze a-nak. A százalék, vagy százalékos arány az adott mennyiség valahány század részét jelenti. Az aránypár két egyenértékű arány egyenlőségjellel összekapcsolva. Az aránypárok alaptulajdonsága: a c = ⇔ a ⋅ d = b ⋅ c , vagyis a beltagok szorzata egyenlő a kültagok szorzatával. b d

1.Egy szám 25 %-a egyenlő egy másik szám 80 %-ával. A számok összege 84. Melyek ezek a számok? Megoldás Egy szám 25%-a, az a szám negyedrészét jelenti, a 80%-a pedig a szám 80 század részét, vagyis a 4 ötödét. 164

Lerajzoljuk:

84

A rajzról leolvasható, hogy az összeg 21 db kicsi szakaszt tartalmaz, aminek az értéke 84 : 21 = 4. Tehát a kisebbik szám 5 · 4 = 20, a nagyobbik 16 · 4 = 64. F.: a számok a 20 és a 64. 2.Az a szám 25 %-a a b-nek. Hány %-a a b az a+b –nek? Megoldás a b a+b Ha b és a + b viszonyát nézzük, látható, hogy az a + b-nek 4/5-e a b. 20 ) 4 80 = = 80% 5 100 3.Az a és b számok egyenesen arányosak 18 illetve 12-vel. Hány %-a: a.) az a a b -nek? b.) a b az a -nak? c.) a – b az a + b –nek? Megoldás Az, hogy az a és b számok egyenesen arányosak 18 illetve 12-vel, ezt jelenti: a b = , vagyis a szám úgy aránylik a 18-hoz, mint b szám a 12-höz. 18 12 Rajzban ezt úgy jelöljük, hogy a számnak 18 egységnyi szakaszt, b-nek 12 ugyanakkora egységnyi szakaszt rajzolunk. a b A rajzról leolvasható, hogy a szám a b számnak a másfélszerese, tehát 150%-a. b szám az a-nak a két harmada, tehát 66,(6)%-a. Az a - b az a + b-nek az ötöde, tehát a a 20%-a. 4.Egy termék az árának 10 %-ával drágult. Aztán megint drágult az új ár 10 %-ával. Így az ára 133 100 lej lett. a.)Számítsuk ki a termék eredeti árát. b.)Az eredeti árának hány %-ával nőtt a termék ára a két áremelés után?

165

Megoldás a.)Lépésenként jövünk vissza az emelt ártól az eredeti árhoz. 110%....................133 100 lej 100%.................... x lej 100 ⋅ 133100 x= = 121000 (lej ) , ez az első áremelés utáni ár. 110 110%....................121 100 lej 100%.................... x lej 100 ⋅ 121100 x= = 110000 (lej ) , ez az eredeti ár. 110 b.)110000 lej………………..100% 133100 lej………………... x % 100 ⋅ 133100 x= = 121% 110000 Tehát az eredeti árhoz képest 21%-kal emelkedett a termék ára. 5.Egy óra árát 25 %-kal felemelték, de így nem volt kelendő. Ezért az új árat 25 %-kal csökkentették. Jól jártak-e a vásárlók? Megoldás Ha az áremelkedés 25%-os, akkor az óra eredeti ára, annak 125%-ára emelkedik Ha az árcsökkentés 25%-os, akkor az óra, az eredeti árának 75%-ára csökken. Legyen ez az ár x. 125 75 5 3 15 x⋅ ⋅ = x ⋅ ⋅ = x ⋅ , vagyis az így kapott ár kevesebb az eredetinél. 100 100 4 4 16 A vásárlók jól jártak! B.Egyenesen arányos, illetve fordítottan arányos mennyiségek. Hármasszabály Két mennyiség változása egyenesen arányos, ha az egyik valahányszoros növekedése, illetve csökkenése, a másik mennyiség ugyanannyiszoros növekedését, illetve csökkenését vonja maga után. Két mennyiség változása fordítottan arányos, ha az egyik valahányszoros növekedése, illetve csökkenése, a másik mennyiség ugyanannyiszoros csökkenését, illetve növekedését vonja maga után. A hármassszabályt nem írjuk föl aránypárral, az alsó tagozaton ezt nem használják, kizárólag az egységrehozatal módszerét. Ezt a feladatmegoldás során mutatjuk be.

6.240 m vásznat 20 szövőnő 4 nap alatt állít elő. Hány nap alatt készít 5 szövőnő 120 m vásznat? Megoldás Úgy írjuk föl az adatsort, hogy az ismeretlen mennyiség maradjon utolsónak a sorban.

166

240 m..............................20 nő……………….4 nap 120 m……………………5 nő……………….x nap A felső adatsorból lépésenként alakítjuk ki az alsó adatsort. Arra törekedünk, hogy az egyes mennyiségeket 1-re hozzuk le, vagy arra a számra, amit a feladat adatai értelemszerűen megengednek Ha 240 m..............................20 nő……………….4 nap Akkor 120 m…………………..20 nő……………….2 nap Ha 120 m…………………..20 nő……………….2 nap Akkor 120 m……………………5 nő……………….2 · 4 = 8 (nap) F.: 5 szövőnő 120 m vásznat 8 nap alatt sző meg. Megjegyzések: -A fenti feladatban a vászon hossza és a megszövéséhez szükséges napok száma , ha a szövőnők száma változatlan, egyenesen arányos mennyiségek -Ha viszont egy állandó hosszúságú vászon megszövéséhez szükséges szövőnők számát és a szükséges napok számát viszonyítjuk, ezek fordítottan arányos mennyiségek. Minél kevesebb a szövőnő, annál több napra van szükség a megszövéshez. 7.Egy tehenészetben 120 napra, 160 tehénnek 216 t takarmányra van szüksége. Ha a napi adag nem változik, akkor 648 t takarmány 320 tehénnek hány napra lesz elég? Megoldás 216 t……………….160 tehén…………120 nap 648 t……………….320 tehén…………..x nap Ha 216 t……………….160 tehén…………120 nap Akkor 216 t………………..320 tehén…………..60 napra elég. Ha 216 t………………..320 tehén………………60 nap Akkor 648 t………………...320 tehén……………...180 napra lesz elég. (648 : 216 = 3, 60 · 3 = 180) F.: A megadott takarmánymennyiség a 320 tehénnek 180 napra lesz elég. Megjegyzések: -Ennél a feladatnál az azonos takarmánymennyiség esetén a tehenek száma és, hogy hány napra lesz elég a takarmány, ezek fordítottan arányos mennyiségek. -Ugyanannyi számú tehén esetén a takarmány mennyisége és az, hogy ez hány napra elég, ezek egyenesen arányos mennyiségek. Minél több a takarmány, annál több napra elég, ha a tehenek számát nem változtatják. 8.Egy étkezdében 150 embernek 12 napra 900 kg kenyérre van szüksége. Hány kg kenyér szükséges 70 embernek 18 napra? A feladat házi feladat legyen.

167

(F.: 70 embernek 18 napra 945 kg kenyérre van szüksége.) 9.Egy 10 tagú csoport egy munkát 20 nap alatt végezne el. Miután a csoport 10 napot dolgozott, a csoportból 6 munkást máshová irányítottak. Hány nap alatt fejezi be a munkát a maradék munkás? Megoldás Megfigyelhető, hogy a munkások eredetileg pont az idő feléig dolgoztak. Tehát a munka felét már elvégezték, amikor a 6 munkás elment, vagyis ugyanannyi munka maradt hátra. 10 m………………a munka felét……………………10 nap 4 m………………a munka felét…………………….x nap Ha 10 m………………a munka felét……………………10 nap Akkor 2 m……………….a munka felét……………………5 · 10 = 50 (nap alatt) Ha 2 m………………….a munka felét……………………50 (nap alatt) Akkor 4 m………………….a munka felét……………………25 (nap alatt) F.: A munkát a maradék munkás 25 nap alatt fejezi be. 10.Tíz munkás 10 nap alatt végezne el egy munkát. 3 nap múlva jön még 4 munkás. Hány nap alatt végezték el így a munkát? Megoldás Látható, hogy az alatt a 3 nap alatt, amíg csak 10 munkás dolgozott, a munka 3/10-ét végezték el. Az a kérdés, hogy a többi 7/10 résznyi munkát a 14 ember mennyi idő alatt tudja elvégezni? 10 m………………..…egész munka………..…….10 nap 14 m…………………7/10 rész munka…………….x nap Ha 10 m………………egész munka……………….10 nap Akkor 1 m……………….1/10 rész…………………..10 nap Ha 1 m……………….1/10 rész…………………..10 nap Akkor 1 m……………….7/10 rész…………………...70 nap Ha 1 m……………….7/10 rész…………………...70 nap Akkor 14 m………………7/10 rész…………………..70 : 14 = 5 (nap) F.:A 14 munkás 5 nap alatt fejezi be a munkát. 9.Egy menyasszonyi ruhát 12 varrónő 18 nap alatt készít el. 12 nap múlva 4 varrónő elmegy. Hány nap alatt fejezik be a munkát az ott maradt varrónők? A feladat házi feladat lesz. (F.: 9 nap alatt fejezték be.)

168

C.Arányos osztás

10.Egy menedékházban három személy a szállásért összesen 45000lejt fizetett. Az első 2, a második 3, a harmadik 4 éjszakát aludt a menedékházban. Hogyan oszlik a fizetség? Megoldás A teljes összeget az ott töltött éjszakák számával egyenesen arányosan osztjuk el. Ha a VI. osztályos módszert alkalmazzuk, akkor: Jelölje rendre x, y, z az első, második, harmadik személy által kifizetendő összeget. Felírjuk az aránysort és alkalmazzuk az aránysor tulajdonságát: Az aránysort kiegészíthetjük egy olyan új taggal, amelynek számlálója az aránysor arányai számlálóinak összege és nevezője az aránysor nevezőinek az összege. x y z x + y + z 45000 = = 5000 = = = 2 3 4 2+3+ 4 9 Tehát az első személy 2 · 5000 lejt = 10 000 lejt, a második 3 · 5000 lejt = 15 000 lejt, a harmadik 4 · 5000 lejt = 20 000 lejt kellett fizessen. F.: Az összeget így osztották el: 10 000 lej, 15 000 lej, 20 000 lej. Megjegyzés: A feladatot szakaszos ábrával is meg lehet oldani. 11.Három testvér, akiknek életkora rendre 3, 5 és 6 év, összesen 210 diót szedett. A két nagyobbik úgy egyezett, hogy a legkisebb kapja a legtöbb diót. Osszuk el a diókat az életkorukkal fordított arányban. Hány diót kap egyik-egyik testvér? Megoldás A 210-et fordított arányban osztjuk el a 3, 5, 6 számokkal. Jelölje a testvérek által kapott diók számát rendre x, y, z. x y z x + y + z 210 210 30 = = = = = ⋅ = 300 1 1 1 1 1 1 21 1 21 + + 3 5 6 3 5 6 30 x = 300 ⇒ 3 x = 300 ⇒ x = 100 1 3 y = 300 ⇒ 5 y = 300 ⇒ y = 60 1 5 z = 300 ⇒ 6 z = 300 ⇒ z = 50 1 6 F.: A legkisebb 100 diót, a középső 60, a legnagyobb 50 diót kapott.

169

12. Egy újítás elkészítésében 3 mérnök, 2 technikus és 1 munkás vett részt. Az újításért 22 milliót kaptak. Számítsuk ki, hogy melyik hány lejt kapott, ha tudjuk, hogy a mérnök háromszorosát a munkásénak, a munkás pedig kétszeresét a technikusénak. A feladat házi feladat lesz. (F.: A mérnök 6 milliót, a munkás 2 milliót, a technikus 1 milliót kapott.) 13.Egy almafáról Attila 4 óra alatt, öccse pedig 8 óra alatt tudná leszedni az almát. Mennyi idő alatt szednék le az almát együtt? Megoldás Attila 1 óra alatt az almák negyedét, az öccse a nyolcadát szedné le. Együtt 1 óra alatt az almamennyiség 3 nyolcadát szednék le. Akkor 1 nyolcadát együtt 20 perc alatt, a teljes mennyiséget pedig 160 perc, vagyis 2 óra 40 perc alatt szednék le. F.: Együtt 2 óra 40 perc alatt szednék le az almát. 14.Négy ács épít egy házat. Az első egymaga egy év alatt építi fel, a második egymaga 2 év alatt, a harmadik egyedül 3 év alatt, a negyedik pedig 4 év alatt. Mennyi idő alatt építik fel, ha együtt dolgoznak? Megoldás Hogy ne kelljen törtekkel dolgozni (hogy egy negyedikes tanuló is meg tudja oldani a feladatot), nem egy évben gondolkodunk, hanem 12 évben. I. ács 12 év alatt 12 ház II. ács 12 év alatt 6 ház III. ács 12 év alatt 4 ház IV. ács 12 év alatt 3 ház Tehát, ha együtt dolgoznak 12 év alatt 25 házat építenek fel. Akkor 1 házat 12/25 év alatt építenek föl, ami egy fél évnél egy kicsivel kevesebb. 15.Egy medence feltöltéséhez három csapot használunk. Az első és a második a medencét 3 óra alatt tölti fel, az első és a harmadik 6 óra alatt, a második és a harmadik pedig 4 óra alatt tölti meg. Hány óra alatt töltenék fel a medencét külön-külön Megoldás I. és II. 3 óra alatt I. és III. 6 óra alatt II. és III. 4 óra alatt Hány óra alatt külön-külön? 12 óra alatt I. és II. 4 kád I. és III. 2 kád II. és III. 3 kád Összesen 12 óra alatt 4,5 kád Ebből következik, hogy III. csap 12 óra alatt 0,5 kádat, vagyis 24 óra alatt 1 kádat.

170

Ebből következik, hogy II. csap 12 óra alatt 2,5 kádat, vagyis 0,5 kádat 12/5 óra alatt, vagyis 1 kádat 24/5 óra alatt tölt meg, ami 4 óra 48 percet jelent. Ebből következik, hogy I. csap 12 óra alatt 1,5 kádat, vagyis 8 óra alatt 1 kádat. F.: A kádat rendre a következő időtartamok alatt töltik meg: 8 óra, 4 óra 48 perc, 24 óra. 16.Mennyi vízben kell feloldani 400 g sót ahhoz, hogy a sóoldat töménysége 4 %-os legyen? Megoldás A töménység fogalmát kell tisztázni. A 4%-os sóoldat azt jelenti, hogy 100 oldatban 4 g só van. Felírjuk a hármassszabályt: 4 g só…………………96 g víz 400 g só………………..x g víz F. 9600 g vízben kell feloldani, vagyis 9,6 l vízben.

14.téma: Keverék és ötvözetszámítás. Mozgással kapcsolatos feladatok. A téglalap módszer Célkitűzések: - Minden esetben lényeges, hogy ismerje fel a feladat típusát. - Keverék és ötvözetszámítás és a súlyozott középarányos kapcsolata. Mozgásos feladatok: út, idő, sebesség fogalma. Azonos irányú és ellentétes irányú mozgások. Mindkét témánál a téglalap módszer és alkalmazásának lehetőségei. Kulcsszavak: Keverék, ötvözet, finomság, súlyozott középarányos, út, idő, sebesség, egyirányú mozgások, ellentétes irányú mozgások, a téglalap módszer lényege A. Önálló tanulásra kijelölt részek:

Önálló feladatmegoldás Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat? című könyve alapján. B. Kontakt órán feldolgozandó részek:

Kontakt órán példaként meg fogunk oldani egy-egy mintafeladatot. A.Keverékszámítás, súlyozott közép

1.Összevegyítenek 5 liter 3 ºC-os és 7 liter 15 ºC-os vizet Határozzuk meg a kapott keverék hőmérsékletét. 171

Megoldás Vesszük a súlyozott aritmetikai közép képletét: 5 ⋅ 3 + 7 ⋅ 15 120 = = 10 ( o C ) ms = 5+7 12 F.: A keverék hőmérséklete 10 ºC lesz. 2.Összevegyítenek 5 kg 18 lej/kg-os, 10 kg 15 lej/kg-os és 15 kg 10 lej/kg-os cukorkát. Hány lejbe fog kerülni a keverékből 1 kg? A feladat megoldása házi feladat. (F.: A kevert cukorka kg-ja 13 lej lesz.) 3.Hány kg 400 lej/kg-os búzát kell összekeverni 6 kg 550 lej/kg-os búzával, hogy a keverék ára 450 lej/kg legyen? Megoldás I. megoldás Megoldjuk először a súlyozott középarányos képletével: x ⋅ 400 + 6 ⋅ 550 = 450 x+6 x ⋅ 400 + 3300 = ( x + 6) ⋅ 450 x ⋅ 400 + 3300 = 450 x + 2700 50 x = 600 x = 12 F.: A 400 lej/kg-os búzából 12 kg-ot kell összevegyíteni. II. megoldás Megoldjuk a feladatot a téglalap módszerrel. A téglalap módszer lényege az, hogy a feladatban szereplő mennyiségek bizonyos jellemzőit téglalapokkal ábrázoljuk. Felhasználjuk, hogy ezen téglalapok területe egyenlő kell legyen, illetve területeik összege egyenlő kell legyen egy másik téglalap területével. Nyilván, hogy az alsó tagozaton ez a módszer csak akkor alkalmazható, ha a gyerekek a téglalap területének kiszámításával már tisztában vannak Ebben a feladatban az egyes búzamennyiségek árát fogjuk téglalappal ábrázolni.

172

Az ábrán a 400 lej/kg búza x kg-jának árát ábrázolja az FIJK téglalap területe. Az 550 lej/kg búza 6 kg-jának árát ábrázolja az EFGH téglalap területe. Az összbúzamennyiség (6 + x kg) árát jelöli az EILM téglalap területe. Mivel a kétféle búza összára egyenlő kell legyen a keverék búza árával, kapjuk, hogy: TFIJK + TEFGH = TEILM Mivel ezek a területek egyrésze fedi egymást, innen kapjuk, hogya KJLN téglalap területe egyenlő kell legyen az MNGH téglalap területével. Felírjuk a területeket: TKJLN = x ⋅ (450 − 400) TMNGH = 6 ⋅ (550 − 450) A kapott egyenlet jóval egyszerűbb, mint amit a súlyozott középarányosnál kaptunk. 50 · x = 600 x = 12. 4.68 %-os és 78 %-os kénsav oldatunk van. Milyen arányban kell kevernünk ezeket és melyikből mennyire van szükség ahhoz, hogy 100 g 70 %-os oldatot nyerjünk? Megoldás A feladatot először téglalap módszerrel oldjuk meg, aztán ellenőrzésképpen súlyozott középarányossal is. Az ábrán: TEGFGH = a 68%-os kénsav mennyisége

173

TFIJK = a 78%-os kénsav mennyisége TEILM = az összekevert mennyiség

TEFGH + TFIJK = TEILM ⇒ THGNM = TNLJK ⇒ (70 − 68) ⋅ x = (100 − x) ⋅ (78 − 70) ⇒ ⇒ 2 x = (100 − x) ⋅ 8 ⇒ 2 x = 800 − 8 x ⇒ 10 x = 800 ⇒ x = 80 F.: A 68%-os kénsavból 80 g szükséges, a 78%-osból 20 g. II. megoldás x ⋅ 68 + (100 − x) ⋅ 78 = 70 ⇒ 68 x + 7800 − 78 x = 7000 ⇒ 800 = 10 x ⇒ x = 80 100 B .Mozgással kapcsolatos feladatok

1.6 óra előtt 8 perccel indul egy biciklista A-ból B-be 15 km/h sebességgel. Egy másik ugyanonnan indul 7 órakor 20 km/h sebességgel. Hány órakor éri utol a második az elsőt, és A-tól milyen távolságra? Megoldás 5h 52min, 15 km/h A

B 7h, 20 km/h

174

I. megoldás Először téglalap módszerrel oldjuk meg a feladatot. A mozgásos feladatoknál a mozgó test által megtett utat ábrázoljuk téglalapok területével. Általában akkor alkalmazzuk a téglalap módszert, ha a két mozgó test által megtett út egyenlő.

A korábban elinduló biciklista amíg a mögötte jövő utoléri ugyanakkora utat tesz meg, mint az. Ezt alkalmazzuk a módszernél. TEFGH = TIJKH ⇒ TEFLI = TLGKJ Az egyenlet felírásánál percben fogunk dolgozni. ⇒ 68 ⋅ 15 = x ⋅ 5 ⇒ x = 204 204 perc = 3 óra 24 perc. F.: A második biciklista 3 h 24 min múlva éri utol az elsőt. Az általuk megtett út: Az első biciklista összesen 204 + 68 = 272 percet ment. 60 min………………….15 km 272 min………………….x km 15 ⋅ 272 272 x= = = 68 (km) 60 4 Ellenőrzés: A második biciklista 204 percet ment. 60 min………………….20 km 204 min………………….x km 204 ⋅ 20 204 x= = = 68 (km) 60 3 175

II. megoldás Megoldható a feladat a d = v · t, út=sebesség·idő képlettel is. Az első biciklista útja, illetve a második biciklista útja, ha ugyanazt az időt jelöljük xszel, mint előbb: d1 = (68 + x) ⋅ 15, d 2 = 20 x d1 = d 2 ⇒ 68 ⋅ 15 + 15 x = 20 x ⇒ 5 x = 1020 ⇒ x = 204. III. megoldás A második biciklista indulásakor az első már megtett 68 percnyi utat. Ez a távolság: 60 min………………….15 km 68 min…………………..x km 68 ⋅ 15 68 x= = = 17 (km) 60 4 Tehát a másodiknak 17 km-t kell behoznia. Óránként 5 km-t hoz be. Akkor: 5 km…………………….60 min 17 km…………………….x min 17 ⋅ 60 x= = 17 ⋅ 12 = 204 (min). 5 2.A és B között a távolság 147 k m. 6 órakor indul egy biciklista A-ból B-be 15 km/h sebességgel. Egy másik ugyancsak 6 órakor indul B-ből A-ba 20 km/h sebességgel. Hány órakor találkoznak és hol? Megoldás 15 km/h

6h

20 km/h

A

B 147 km

A feladat megoldására a téglalap módszer nem alkalmas, mert nyilvánvalóan, az egyik biciklista több utat tesz meg, mint a másik. I. megoldás Úgy gondolkodunk, hogy a biciklisták minden órában (15 + 20) km-rel kerülnek közelebb egymáshoz. Hány óra alatt fogy el a távolság közöttük, ha minden órában 35 km-t „fogyasztanak el” az útból? 147 : 35 = 4,2 óra alatt, vagyis 4 h 12 min alatt. Milyen távol lesznek ekkor a kiindulási ponttól? 4 h 12 min = 252 min Az A-ból induló biciklista által megtett út: 60 min…………………15 km 252 min…………………x km 252 ⋅ 15 252 x= = = 63 (km) 60 4

176

Tehát a B-ből induló biciklistának a találkozásig 147 – 63 = 84 km-t kellett megtennie. Ellenőrzés: 60 min…………………….20 km 252 min……………………x km 252 ⋅ 20 252 x= = = 84 (km). 60 3 F.:A biciklisták 10 h 12 min-kor és A helységtől 68 km-re találkoztak. II. megoldás Nyilván képlettel is meg lehet oldani a feladatot, mégpedig azt felhasználva, hogy mindketten ugyanannyi ideig mentek, az általuk megtett út összesen 147 km. 15 x + 20 x = 147 ⇒ 35 x = 147 ⇒ x = 4,2 (h) . 3.A gyors a Bukarest és Nagyvárad távolságot 12 óra alatt teszi meg, a személy 15 óra alatt. Tudva, hogy a gyors sebessége óránként 10 km/h-val több, mint a személyé, szám. ki a B-Nv távolságot. Megoldás

Mivel mindkettő ugyanazt a távolságot teszi meg, alkalmazzuk a téglalap módszert. A személy által megtett út a HIJK téglalap területe. A gyors által megtett út az EFGH téglalap területe. TEIJL = TFGKL ⇒ 3v = 10 ⋅ 12 ⇒ v = 40 Tehát a személy sebessége 40 km/h, akkor az általa megtett út 40 · 15 = 600 (km). Ha a gyors (40 + 10) km/h-s sebességével számolunk, az út így is 50 · 12 = 600 (km). F.: a Nagyvárad – Bukarest távolság 600 km.

177

II. megoldás A gyors 12 órát megy, tehát, mivel óránként 10 km/h-val nagyobb a sebessége, ez 120 km többletutat jelentene a személlyel szemben. De a személy 3 órával többet megy, mint a gyors, vagyis ezt a többletet 3 óra alatt „dolgozza le”. Így a személy sebessége 120 : 3 = 40 km/h. 4.Egy mozgó test AM-et 12 km/h-val tette meg, MB-t pedig 5 km/h-val. AM=MB. Az egész távolsághoz 4 óra és egy negyed kellett. Számítsuk ki az AB távolságot. Megoldás I.megoldás Bár a téglalap módszer alkalmazható, mert AM = MB, mégis így sem kapunk ebben az esetben egyszerűbb egyenletet, mint képlettel. Ennél a feladatnál is percekkel számolunk. 4 h 15 min = 255 min. Jelölje az AM távolság megtételéhez szükséges időt x. Az egyenlet: 12 x = (255 − x) ⋅ 5 ⇒ 17 x = 255 ⋅ 5 ⇒ x = 75 (min) Az AM távolságot (60 + 15) perc alatt tette meg, tehát ennek hossza 12 + 3 km. F.: Az AB távolság 30 km. Ellenőrzés: Az MB távolságnak is ugyanennyinek kell lennie. A megtételéhez szükséges idő 255 – 75 = 180 perc. Akkor MB = 3 · 5 = 15 (km). II. megoldás Ábrázoljuk szakaszokkal a megfelelő időket. Amikor az AM megtételéhez szükséges időt ábrázoljuk, akkor 5 szakaszt rajzolunk, mert a sebesség 12 km/h, az MB megtételéhez szükséges időnél pedig 12 szakaszt, mert itt a sebesség 5 km/h. AM ideje

255 min

MB ideje 255 : 17 = 15 Egy szakasz 15 percet ér. Akkor AM ideje 5 · 15 = 75 (min).

Az önálló tanulást segítő kérdések, feladatok

11. Tudatosítsa a mérleg tulajdonságokat, azt, hogy hogyan dolgozunk két, vagy három mérleges feladatok esetén. 12. Tudatosítsa, hogy hogyan dolgozik, milyen modell segítségével a különböző típusú fordított menetes feladatok megoldásánál. (A modellek: lineáris gráf, vagy visszabontogatós egyenlet, szakaszos ábra, vagy ágrajz, táblázat, vagy egyéb rajz, modell).

178

13. Mi a kiküszöbölés elve a két adatsoros feladatoknál, és ha meghatározta az egyik ismeretlen értékét, hogyan kell eljárni a másik meghatározásához. Hogyan történik a megoldás három adatsoros feladatoknál? 14. Tudatosítsa a behelyettesítéses feladatok megoldási elvét, ha az egyik ismeretlen a másiknak valahányszorosa, vagy valamennyi hányada, illetve ha a másiknál valamennyivel több, vagy kevesebb. 15. Tudatosítsa az egy hipotézises típusú feladatok megoldási módszerét, azt is, hogy mindegy, hogy melyik adatra tesszük az eredeti feltételt. 16. Tudatosítsa, hogy a két hipotézises feladatoknál miért vezet eredményre a két feltételezés. Tudatosítsa azt is, hogy a második hipotézisben szereplő szám az elsőhöz viszonyítva csökkenhet, vagy nőhet, valamint azt is, hogy bármilyen, a feladat szempontjából értelmezett értékből kiindulhatunk. 17. Mit jelent az arány, mit jelent az aránypár, mit jelent az aránysor, mi ezek fő tulajdonsága, mi a százalék értelmezése. 18. Mit jelent megadott mennyiségek között az egyenesen arányosság, mit jelent a fordítottan arányosság? Tudatosítsa az egységrehozatal lépéseit! 19. Mit jelent egy megadott mennyiséget adott számokkal egyenes, illetve fordított arányban osztani? Hogyan Történik ez? 20. A súlyozott középarányos képletének használata a keverékszámításos feladatoknál. A keverék és ötvözetes feladatoknál hogyan használjuk a téglalap módszert. 21. A mozgásos feladatoknál hogyan gondolkodunk a „találkozásos” feladatoknál, hogyan az „utoléréses” feladatoknál. Hol, és hogyan lehet alkalmazni a téglalap módszert?

Önálló feledatmegoldásra kitűzött feladatok Feladatok az X. témához: A mérleg módszer. A fordított út módszere 1.Egy pénzösszeg harmadát könyvekre, a maradék negyedét írószerekre, az újabb maradék negyedét füzetekre költötték. Ezután 450 lej maradt. Mennyi pénz volt eredetileg? 2.Mennyi pénze volt annak a vásárlónak, aki először elköltötte pénzének 3/7-ét, aztán a maradék 3/5-ét, aztán 160 lejt. Így 240 leje maradt. Mennyi pénze volt eredetileg és rendre hogyan költekezett? 3.Egy tanuló így költekezett: Az első nap elköltötte pénzének felét és még 5 lejt. Azután a maradék pénz felét és még 5 lejt. Harmadszorra is a maradék felét és még 5 lejt, negyedszerre ugyanúgy, és aztán semmi pénze nem maradt. Mennyi pénze volt eredetileg? 4.Egy matematika versenyen az első próba után kiesett a versenyzők harmada, egy tanuló lemondott. A második próba után kiesett a tanulók ötöde, aztán 4 tanuló mondott le. A harmadik próba után a tanulók negyede esett ki, majd lemondott 8 tanuló. Így 40 tanuló maradt versenyben. Hány tanuló indult a versenyen?

179

5.Ha egy labdát egy bizonyos magasságból elengednek, a födet érés után feleakkora magasságra ugrik föl, mint amilyen magasból elengedték. Tudjuk, hogy egy labda miután elengedték háromszor ért földet és háromszor ugrott föl. Harmadszorra 1 m magasra emelkedett. Milyen magasságból ejtették le? 6.Gondoltam egy számra. Elosztottam 3-mal, az eredményhez hozzáadtam 5-öt, a kapott számot megszoroztam 6-tal, A szorzatból kivontam 42-t. Így a legkisebb háromjegyű számot kaptam. Melyik számra gondoltam? 7.Gondoltam egy számra, megszoroztam 4-gyel, a szorzatból kivontam 3-at, a különbséget megszoroztam 3-mal, a szorzathoz hozzáadtam 5-öt, az összeget elosztottam 4-gyel, a hányadoshoz 1-et adtam. Így az eredeti szám háromszorosát kaptam. Magyarázzuk meg, miért. 8.Egy vándorkereskedő 3 vásárba ment el. Az elsőben megkétszerezte a pénzét és 30 tallért költött. A másodikban megháromszorozta a pénzét és 54 tallért költött. A harmadikban megnégyszerezte a pénzét és 72 tallért költött el. Ekkor még maradt 48 tallérja. Hány tallérral indult eredetileg? 9.Egy osztályban a gyerekek fele és még egy fél gyerek sportol, a megmaradt gyerekek fele és még egy fél gyerek zenét tanul, a többi négy pedig színjátszó körre jár. Hány gyerek van az osztályban? 10.Marika vásárolni megy. Az egyik üzletben elkölti Pénzének 2/5-ét és még 10 lejt, a második helyen 30 lejjel kevesebbet, mint a megmaradt pénz ¾-e, a harmadik alkalommal a megmaradt pénz felét költi és még 30 lejt. Hány lejjel indult vásárolni, ha végül 10 lejjel tért haza? Hány lejt költött az egyes üzletekben? 11.Hat évvel ezelőtt Beáta édesapja és édesanyja életkorának különbsége egyenlő volt az ő életkorával. Jelenleg az édesanyja háromszor idősebb a lányánál Az édesapa 34 éves. Hány éves Beáta? Hát az édesanyja? 12.Tamás és István a pénzüket számolják. Ha Tamás adna Istvánnak 50 lejt, akkor ugyanannyi pénzük lenne. Ha István adna Tamásnak 200 lejt, akkor Tamásnak kétszer annyi pénze lenne, mint Istvánnak. Mennyi pénzük van a fiúknak külön-külön? 13. Milyen nehéz az a hal, amelynek a farka annyi, mint a félteste, a feje annyi, mint a farka és a félteste, a teste pedig 2 kg-mal nehezebb, mint a félfeje és a félfarka. 14.Egy dinnye hétszer súlyosabb egy almánál. Ha két almát és három dinnyét mérünk, akkor 6 kg 90 dag-gal tudjuk kiegyensúlyozni. Mennyi a tömege az almának? Hát a dinnyének? 15.Egy cirkuszban a mérleghintán egy majom és egy kutya 5 dobozt tart egyensúlyban, két macska és egy kutya 3 dobozt egyensúlyoz ki, két kutya pedig 8 macskát tud egyensúlyban tartani. Hány macskát tart egyensúlyban egy majom? 16.Egy áruházban három különböző árut csomagolnak. A három együtt 5000 Ft-ot ér, az egyik 250 Ft-tal, a másik 1450 Ft-tal drágább a harmadiknál. Hány forintba kerülnek külön-külön? 17.Sanyiék osztályában annyian vannak, hogy ha még egyszer annyian és még feleannyian lennének, éppen 75 lenne az osztályuk létszáma. Hány gyerek jár az osztályba? Melyik egyenlőség tartozik a szöveghez? Oldjuk is meg! (i) ♠ + (♠/2) = 75 (iv) ♠·2 = 75 – (♠·2) (ii) ♠ + ♠ + (♠/2) = 75 (v) 75 – (♠/2) = ♠ + ♠ (iii) 75 – (♠·2) = ♠/2 (vi) 75 – (♠/2) = 2·♠

180

18.Egy pohár tömege 10 dag. A pohár és a palack ugyanannyit nyom, mint a kancsó. A palack tömege egyenlő a pohár és a tányér tömegével. Két kancsó annyit nyom, mint 3 tányér. Mennyi a palack tömege? 19.Két tányérban cukorkák vannak. Az első tányérból átteszünk a második tányérba annyi cukorkát, hogy az ott lévő cukorkák száma megduplázódjon. Most a másodikból teszünk át az elsőbe annyi cukorkát, mint amennyi ott van. Végül megint annyi cukorkát teszünk át az elsőből a másodikba, hogy az ott levő cukorkák száma megduplázódjon. Így mindkét tányérban 32 szem cukorka lesz. Hány szem volt eredetileg a tányérokban? 20.Összesen 18 pénzérmém van, 2 és 5 forintosak. Arra jár egy jó tündér és ráüt a pénzekre. Ekkor minden 2 forintos 5 forintossá, és minden 5 forintos két forintossá változik. Megszámolva a pénzemet úgy találom, hogy kétszer annyi pénzem lett, mint a varázslat előtt. Mennyi lehetett a 2 forintosok és az 5 forintosok száma eredetoleg? 21.Az apa és az anya együttes tömege 160 kg. A két legidősebb gyerek tömege 110 kg. A két legfiatalabb 90 kg, a középső gyerek pedig 50 kg. Az egész család együttes tömege 310 kg. Hogyan lehet ez, és hány kilósak a gyerekek? 22.Két tartály közül az egyikben 80 l víz, a másikban 350 l víz van. Percenként 5 l vizet töltünk mindenikbe. Hány perc múlva lesz a második tartályban háromszor annyi, mint az elsőben? 23.Zolinak 35 leje van, Istvánnak 8 leje. Mindenik kap naponta 1-1 lejt. Hány nap múlva lesz Zolinak kétszer annyi pénze, mint Istvánnak? 24.Öt játékos megegyezett, hogy a vesztes minden játszma után megkétszerezi a többi pénzét. Összesen öt játszmát játszottak , mindenik játékos egyszer veszített. Az öt játszma befejezése után ninden játékosnak 128 Ft-ja volt. Mennyi pénze volt az egyes játékosoknak a játék megkezdése előtt? 25.Peti egy műveletsor eredményét kiszámítva 250-et kapott. Később rájött, hogy az utolsó műveletben öttel szorzott az 5-tel való osztás helyett, és az utolsó előttiben -4-et hozzáadott a -4 kivonása helyett. Melyik számot kapja eredményül, ha az utolsó két műveletet helyesen végzi el? 26.Géza meg akart szorozni egy számot hattal, de ehelyett elosztotta hattal. Azután hozzá akart adni 14-et, ehelyett lavont belőle 14-et. Így 16-ot kapott eredményül. Mennyi lett volna az eredmény, ha helyesen végzi el a műveleteket? Feladatok az XI. témához: Az összehasonlítás módszere 1.Tudjuk, hogy 12 pohár és 10 tányér ára106 lej. 15 pohár és 25 tányér ára 220 lej. Mennyibe kerül 6 pohár és 6 tányér? 2.Egy tanuló 10 ugyanolyan könyvet és 15 füzetet vásárolt, értük 315 lejt fizetett. Mennyibe kerül 17 ugyanolyan könyv és 2 ugyanolyan füzet, ha tudjuk, hogy egy füzet ára harmada egy könyv árának. 3.Egy virágüzletben 35 szál szegfűt, 17 szál rózsát és 72 szál kálát adtak el, összesen 818 lejért. Tudva, hogy a kála szálja kétszer olyan drága, mint a szegfű szálja, valamint, hogy a rózsa szálja 2 lejjel drágább, mint a szegfű szálja, számítsuk ki, hogy mennyi az egyes virágok szálja. 4.Ha András venne két matek füzetet és két rajzfüzetet, 12 lejt fizetne. Ha 3 matek füzetet és 5 rajzfüzetet vásárolna, 14 lejjel fizetne többet. Hány füzetet vásárolhat a 10 lej pénzéből?

5.Egy könyvtár számára 9 szekrényt, 6 asztalt, 64 széket vásároltak, amiért 2808 lejt fizettek. Tudva, hogy egy szék harmadannyiba kerül, mint egy asztal, egy asztal viszont harmadannyiba, mint egy szekrény, számítsuk ki az egyes bútordarabok árát. 6.Öt könyv és 3 füzet ára 64 lej, 3 könyv és 5 füzet ára 48 lej. Hány könyvet és hány füzetet vásárolhattak 103 lejre, ha összesen 13 darabot vásároltak? 7.Egy medencét három csap tölt meg. Az első és a második együtt 12 óra alatt, az első és a harmadik 15 óra alatt, a második és a harmadik 20 óra alatt. a.)Számítsuk ki az egyes csapok hozamát. b.)Mennyi idő alatt tölti meg a medencét a három csap, ha egyszerre vannak megnyitva? 8.Az agár kergeti a nyulat, amely 90 nyúlugrás előnyben van. Amíg a nyúl tízet ugrik, addig az agár 7 ugrást végez, de az agár két ugrásának hossza a nyúl 5 ugrásának a hosszával ér fel. Hány ugrás után éri utol az agár a nyulat? 9.Egy kőolajfinomítóban naponta töltenek meg vagonokat benzinnel. Tudjuk, hogy 12 tartályból ha naponta megtöltöttek 72 vagont, 20 nap alatt üresedtek ki. Ha 15 tartály volt teli és naponta 105 vagont töltöttek meg, akkor 14 napra volt elég. Számítsuk ki, hogy hány nap alatt üresedik ki 16 tartály benzin, ha naponta 160 vagont töltenek meg? 10.Egy üzletben az árukészletet 236 kg almával és 132 kg szőlővel töltötték föl, amiért 1500 lejt fizettek. Tudva, hogy a szőlő kg-ja fele az almáénak, számítsuk ki hány lejbe került egy kg alma, illetve egy kg szőlő. 11.Egy fenyőgerenda tömege 24 kg, egy nyárfagerendáé 26 kg, egy tölgyfagerendáé 30 kg. Összevegyítve van 200 db gerenda, ezek össztömege 5132 kg, és tudjuk, hogy nyárfagerendábólból kétszer annyi van, mint fenyőgerendából. Hány darab gerenda van az egyes fajtákból? 12.Háromféle edényünk van: 4 l-es, 7 l-es és 8 l-es. Hét literesből öttel több van, mint a 4 l-esek számának háromszorosa. Nyolc literesből összesen annyi van, mint 4 l-es és 7 l-es. Tudjuk, hogy az edényekbe 1215 l folyadék fér. Számítsuk ki, melyik fajtából hány darab van. Feladatok az XII. témához: A hipotézisek módszere 1.Egy udvaron tyúkok és nyulak vannak, ezeknek összesen 43 fejük és 124 lábuk van. Hány tyúk és hány nyúl van az udvaron? 2.Egy gyümölcsös kosárban háromszor több szilva van, mint alma. Az asztalnál 4 személy ül, mindenike kivesz egyet-egyet a kosárból. Így a kosárban negyedannyi alma marad, mint szilva. 3.Egy üzletben 210 kg almát adtak el két fajtából és így ebből a bevételük 256 lej volt. Az egyik fajta alma ára 1,3 lej/ kg, a másik fajtáé 1,1 lej/kg. Számítsuk ki az eladott almamennyiséget fajtánként. 4.Egy kg cukor ára 1 lejjel több, mint 1 kg liszt ára. Ha egy háziasszony az összes pénzére cukrot venne, ez 17 kg-ra lenne elég és még maradna 4 leje. Ha minden pénzére lisztet vásárolna, akkor 20 kg lisztet tudna megvenni. Hány lejből vásárolhatott a háziasszony? 5.Egy előadásra 415 belépőjegyet adtak el 4, illetve 6 lejes jegyeket. A jegyekért 216 lejt fizettek. Melyik fajtából hány jegyet adtak el?

182

6.Egy osztályteremben ha a tanulók kettesével ülnek be a padokba, 9 tanulónak nem jut hely. Ha hármasával ülnek a padokba, akkor 7 pad üresen marad és egy padban egy tanuló fog ülni. Hány tanuló és hány pad van? 7.Egy fizika versenyen 5 pontot adnak minden jól megoldott feladatért és levonnak 3 pontot minden elrontott feladat esetén. Egy tanulónak 10 feladatot kellett megoldania és erre 26 pontot szerzett. Hány feladatot oldott meg helyesen? 8.Ha egy fiú két évvel idősebb lenne, akkor életkora harmada lenne az apáénak. Ha az apa 4 évvel idősebb lenne, akkor az apa és a fia életkorának aránya 4:1 lenne. Határozzuk meg az apa és a fiú életkorát. 9.Egy gazdasági udvaron tyúkok, rucák és juhok vannak, összesen 100-an. Tudva, hogy 280 lábat számlálhatunk és, hogy a rucák száma harmada a tyúkokénak, számítsukki az egyes állatok számát. 10.Egy matematika teszt 10 kérdésből áll. Minden helyes válaszért 10 pont jár, a rossz válaszokért 3 pontot vonnak le. Julcsi minden kérdésre válaszolt és így 61 pontot szerzett. Hány kérdésre válaszolt helyesen? 11.Két tartály közül az egyikben 80 l víz, a másikban 350 l víz van. Percenként 5 l vizet töltünk mindenikbe. Hány perc múlva lesz a második tartályban háromszor annyi, mint az elsőben? 12.Zolinak 35 leje van, Istvánnak 8 leje. Mindenik kap naponta 1-1 lejt. Hány nap múlva lesz Zolinak kétszer annyi pénze, mint Istvánnak? 13.Van 250 darab tölgyfagerenda és fenyőgerenda. Ezek együttes tömege1960 kg. Egy fenyőgerenda tömege 28 kg, a tölgyfagerendáé 46 kg. Melyik fajtából hány darab van? 14.Egy üdülőhajó 159 kabinjának minden helyét elfoglalta a 379 utas. A fülkék 2, 3 és 4 személyesek. A hajón nyolcszor annyi kétszemélyes fülke van, mint négy személyes. Hány fülke van az egyes fajtákból? 15.Egy 30 fiúból és lányból álló csoport 186 kg erdei gyümölcsöt gyűjtött. Ha tudjuk, hogy a lányok egyenként 8 kg gyümölcsöt gyűjtöttek, a fiúk pedig 5 kg-ot, számítsuk ki hány fiú és hány lány van a csoportban. 16.Három év múlva az apa életkora hatszorosa lesz a fia életkorának, 23 év múlva az apa életkora kétszerese lesz a fia korának. Számítsuk ki az apa és a fiú életkorát. 17.Több gyerek egy labdát szeretne vásárolni. Ha mindenik gyerek 2,5 lejt adna, akkor 5 lej hiányozna a labda árából. Ha mindenik 3,5 lejt adna, akkor 4 lejjel több pénz gyűlne a szükségesnél. Hányan vannak a gyerekek és mennyibe kerül a labda? 18.Egy osztályba 30 gyerek jár, több a fiú, mint a lány. Egyik szünetben a lányok egyegy linzert, a fiúk egy-egy pogácsát vettek. Mindkét sütemény egész számú forintba került. Ha a lányok vettek volna pogácsát és a fiúk linzert, akkor az osztály összesen 2 Fttal kevesebbet költött volna. Hány fiú és hány lány jár ebbe az osztályba? 19.Egy farmon 36 tehén van. Ha a takarmányt 5 kg/nap fejadagokban fogyasztják, akkor 5 nappal hamarabb elfogy, mintha 4 kg/napos fejadagokban fogyasztanák. Számítsuk ki hány kg takarmány volt. 20.Van egy 15 000 literes tartály és két csap. Nyitva hagyjuk mindkét csapot 20 percen át, aztán, ha a második csapot elzárjuk, akkor a tartály 8 perc múlva telik meg. Ha az első csapot zárjuk el, és a másodikon folyik tovább a víz, akkor a tartály 5 perc alatt telik meg. Számítsuk ki a csapok hozamát.

183

Feladatok az XIII. témához: Arány, arányosság, százalékok 1.Két csap együtt egy medence 3 negyedét 5óra 15 perc alatt tölti meg. Az egyik csap magában a medence 2/5-ét 4 óra alatt tölti meg. Mennyi idő alatt tölti meg a medencét a második csap magában? 2.Egy Farm 20 tehene 1550 kg takarmányt fogyaszt el 15 nap alatt. Hány nap alatt fogyaszt el ugyanilyen takarmányozás mellett 18 tehén 4590 kg takarmányt? 3.Nyolc munkás 12 nap alatt 336 m sáncot tud kiásni. Ugyanilyen munkaütem mellett hány munkás kell legyen, hogy kiáshassanak 7 nap alatt 245 m sáncot? 4.Egy lakópark házainak meszelésén 90 munkás dolgozik négy csoportban. Minden csoportnak ugyanakkora felületet kell kimeszelnie. Az első csoport 10 nap alatt, a második csoport 12 nap alatt, a harmadik csoport 15 nap alatt, míg a negyedik csoport 20 nap alatt tudja befejezni saját részét. Számítsuk ki, hogy hány munkásból állnak az egyes csapatok. 5.Egy medencébe 13 csapon keresztül 4680 l víz 72 perc alatt folyt ki. Kilenc azonos hozamú csapon mennyi idő alatt folyik ki 6750 l víz? 6.Egy építkezésnél 5 t törtkövet 30 km távolságra 750 lejért szállítottak el. Mennyibe kerül 8 t törtkőnek 40 km-re való szállítása? 7.Egy farmon 18 traktor 8 nap alatt 656 ha földet szántott meg. Két csoportban dolgoztak. Az első csoport naponta 4 ha-t tud megszántani, a második csoport 5 ha-t naponta. Hány traktor van az egyes csoportokban? 8.Egy lakóházat egy kőműves 18 nap alatt tud felfalazni, egy másik 12 nap alatt, ha napi 8 órát dolgoznak. Mennyi idő alatt tudják felrakni, ha együtt dolgoznak? 9.Egy 8 munkásból álló csapat 5 nap alatt, napi 8 órát dolgozva 12312 munkadarabot állít elő. Egy másik csapat 12 munkásból áll, ezek napi 9 órát dolgozva 4 nap alatt 13800 munkadarabot állít elő. Melyik csoport dolgozott hatékonyabban? 10.Egy cukrászdában üdítőt készítenek44 litert. Ehhez 99 rész vizet és 1 rész eszenciát használnak föl. Hány l vizet és mennyi eszenciát használtak föl? 11.Nyolc munkás 20 nap alatt végezne el egy munkát. Öt nap múlva jön még 7 munkás. Hány nap alatt végezték el így a munkát? 12.Két gyermekcsoport egy munkát 8 óra alatt tud elvégezni. Két órai közös munka után az egyik csoport gyermek elment, így a másik csoport nak a munka elvégzéséhez 18 órára volt szüksége. Számítsuk ki, mennyi idő alatt végeznék el a munkát a csoportok külön-külön. 13.Osszunk el 132 szem cukorkát három gyerek életkorával egyenesen arányosan, ha a gyerekek életkora rendre 2, 3 illetve 6 év. El tudnánk-e osztani az életkorokkal fordítottan arányosan? Hány szemet kapnának ilyenformán? 14.Egy téglalap méreteinek aránya 9:7-hez, kerülete 153,6 cm. Számítsuk ki a téglalap méreteit. 15.Három vándor találkozott. Egyiknél 3, másiknál 5 cipó volt, s ezt egyenlően elosztották hármójuk között, ugyanis a harmadiknál nem volt élelem. Ő azonban 8 tallért adott a másik kettőnek a kapott élelemért. Ezt a nyolc tallért hogyan kell igazságosan szétosztani a két vándor között? 16.Két rekeszben összesen 90 kg alma van. Mennyi alma van az egyes rekeszekben, ha az első rekesz almáinak 25 %-a ugyanannyi, mint a második rekesz almáinak 20 %-a.

184

17.Két munkás együtt 1720 alkatrészt készített el. Hány alkatrészt készítettek különkülön, ha a második munkás 15%-kal többet készített, mint az első? 18.Egy iskolában a tanulók 60%-a általános iskolás. A líceumi tanulók 45%-a fiú. A líceumi lányok 50%-a sportol. Hány tanulója van az iskolának, ha 99 líceumi sportoló lány jár ide? 19.Egy 70 cm tó szélén cölöpöt vernek le a csónakok kikötéséhez. A cölöp 3/5-e mélyül az iszapba, 205-a kilátszik a vízből. Milyen hosszú a cölöp? 20.Két szám összegének a 40%-a megegyezik a két szám különbségével. Melyik ez a két szám? 21.Kati betett a bankba 720 lejt, egy évre rá kivett 250 lejt. Tudva azt, hogy az éves kamat 48%, számítsuk ki, mennyi pénze lesz a bankban két év múlva. 22.Egy díjazás alkalmával egy pénzösszeget négy tanuló között osztottak szét. Az első tanuló kapta az összeg 35%-át, a másik három tanuló pedig a 6, 5 és 4 számokkal egyenesen arányos pénzösszegeket kapott. Ha az első és második tanuló által kapott pénzösszegek különbsége151,2 lej, határozzuk meg a díjazáskor kiosztott teljes összeget, valamint, hogy mennyi pénzt kaptak a tanulók külön-külön. 23. Egy ötvözet rézből, ónból és cinkből áll, ezek mennyisége arányos a 24, 70 és 6 számokkal. Számítsuk ki: a.)milyen mennyiséget kell összevegyíteni az egyes mennyiségekből, ha 1350 g ötvözetet akarunk nyerni. b.)milyen tömegű rezet, illetve cinket kell venni, ha az ón tömege 1,12 kg? Feladatok az XIV. témához: Keverék-, ötvözetszámítás. Mozgásos feladatok 1.Összevegyítenek 5 kg 18 lej/kg-os cukorkát 10 kg 15 lej/kg-os cukorkával. Hány lejbe kerül a keverék cukorka egy kg-ja? 2.Összevegyítenek 4 l 80º-os alkoholt, 2,5 l 75º-os alkoholt és 6 l 70º-os alkoholt. Hány fokos lesz az így kapott keverék? 3.Egy traktor az úton egyenletes sebességgel halad. 2 óra múlva még 14 km-re van a célhelytől. Öt óra múlva már túl haladna a célon 25 km-rel. Milyen sebességgel haladt? Milyen távol volt a kiindulási ponttól a célja? 4.Egy vonat egyenletes sebességgel haladva a Bukarest – Ploiesti távolságot, amely 60 km, 50 perc alatt teszi meg. Egyik nap az út felénél 5 percet állt. Milyen sebességgel kellett mennie, hogy időre odaérjen a célhoz. 5. A személyvonat A-ból B-be 12 óra 35 perckor indul és 40 km/óra sebességgel halad. A gyors B-ből A-ba 17 óra 45 perckor indul és 75 km/óra sebességgel halad. 18 óra 35 perckor találkoznak. Hány órakor ér egyik-egyik vonat a másik állomásra? 6.Két város távolsága 671 km. Két autó egymással szembe haladva 5óra 30 perc elteltével találkozik. Tudva, hogy az első sebessége 2 km/órával nagyobb, mint a másodiké, számítsuk ki a második autó sebességét és azt, hogy a két város távolságát mennyi idő alatt teszik meg az egyes autók. 7.Összeolvasztanak egy 0,830 finomságú és egy 0,750 finomságú ötvözetet, így 1260 g 0,810 finomságú ötvözetet nyerve. Milyen tömegű ötvözeteket kellett összeolvasztani?

185

8.Egy vonat A-ból B-be indul Déli 12 órakor 35 km/óra sebességgel. A másik vonat szintén A-ból indul 12 óra 30 perckor, 70 km-óra sebességgel. Hány órakor és A helységtől milyen távolságra éri utol a gyors a személyt? 9.Egy vonat A-ból B-be 12óra 35 perckor indul 60 km-óra sebességgel. 14 óra 5 perckor indul egy másik vonat B-ből A-ba 80 km/óra sebességgel. A két helység távolsága 398 km. Hány órakor és A helységtől milyen távolságra találkoznak a vonatok? 10.Két hajó egy kikötőből egyidőben indul egyirányban. A hajók sebessége 25 km/óra, a másodiké 20 km/óra. Az első a célba a második hajó előtt 4 órával ér. Számítsuk ki a két kikötő távolságát. 11.Egy vonat két város közti távolságot 10 óra alatt tenne meg. Egyszer 20 km/órával lassabban haladt és emiatt 2 órát késett. Mekkora volt a vonat sebessége? Mekkora volt a megtett távolság? 12.Egy motoros az útjának felét 30 km/óra sebességgel teszi meg a tervezett 60 km/óra sebesség helyett. Be tudja-e hozni a motoros a lemaradását? 13.Borka meglátogatta a nagymamáját. Az utat oda-vissza 5 óra alatt tette meg. A sebessége menet 13 km/óra, jövet 12 km/óra volt. Milyen távol lakik Borka a mamájától? 14.Van egy 48%-os és egy 60%-os oldatunk. Mennyit kell összekeverni ezekből, hogy 10 kg 50%-os oldatot kapjunk? 15.Egy sóoldat tömege 1650 g, töménysége 18%. a.)Mennyi vizet kell belekeverni, hogy a töménysége 11 %-os legyen? b.)Mennyi sót kell belekeverni, hogy a , hogy az oldat töménysége 24%-os legyen? 16.Két biciklista Ugyanarról a helyről indul ugyanabba az irányba. Ha az első 5 órát megy, a második 3 órát, akkor az első 10 km-rel több utat tesz meg, mint a második. Ha az első 13 órát megy és a második 6 órát, akkor az első 62 km-rel tett meg nagyobb utat, mint a második. Határozzuk meg a biciklisták sebességét. 17. Ha a gyors és a személy Egyszerre indul A-ból B-be, akkor a Gyors 2 óra múlva 56 km-rel lesz a személy előtt. Ha ők egyszerre indulnak egyik A-ból, a másik B-ből, 3 óra múlva találkoznak, ezután a gyorsnak A helységig még 1 óra 48 percet kell mennie. Számítsuk ki az AB távolságot.

Beküldésre javasolt feladatok Témakörönként válasszon ki és oldjon meg az önálló munkára kitűzött feladatok közül 5-5 feladatot. Úgy válogasson, hogy a témakörön belül ne legyen két, azonos alponthoz kapcsolódó feladat, vagyis minél jobban fogja át a feladatok megoldása által az illető témakört. A beküldés határideje a kontakt órán leszögezett. Szakirodalom o Olosz, E. – Olosz, F. (1999): Matematika és módszertan, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (163 – 178, 216-223, 228 - 240)

186

o Roşu, M. – Roman, M. (1995): Matematică pentru perfectionarea învăţătorilor, Editura All Educational, Bucureşti (75 – 82, 82 - 97) o Rusu, E. (1973): Aritmetică, Manual pentru liceele pedagogice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti (279 – 331) o Tuzson, Z. (2000): Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat?, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár (43 – 120, 149 - 164)

187