7
BAB2 LANDASAN TEORI
2.1. Program Linier Program linear merupakan salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan permasalahan optimasi dengan memaksimalkan atau meminimalkan suatu bentuk fungsi objektif atau fungsi tujuan dengan kendala-kendala berupa fungsi yang linear. Pemecahan masalah Linear Programming dapat dilakukan dengan metode aljabar, metode grafik, metode simpleks atau dengan menggunakan perangkat lunak (software) komputer. Pokok pikiran utama dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah
masalah
terumuskan
dengan
baik,
maka
langkah
berikut
ialah
menterjemahkan masalah ke dalam bentuk model matematika (Siagian, 2006). Masalah program linier pada dasarnya memiliki ketentuan-ketentuan berikut ini (Winston, 2004) 1. Masalah
program
linier
berkaitan
dengan
upaya
memaksimalkan
atau
meminimalkan yangdisebut sebagai fungsi tujuan dari program linier. Fungsi tujuan initerdiri dari variabel-variabel keputusan. 2. Terdapat kendala-kendala atau keterbatasan, yang membatasi pencapaiantujuan yang dirumuskan dalam program linier. Kendala-kendala inidirumuskan dalam fungsi-fungsi
kendala
yang
terdiri dari
variabel-variabelkeputusan
yang
menggunakan sumber-sumber daya yang terbatas itu.
Universitas Sumatera Utara
8
3. Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuksembarang π₯π₯ππ , pembatasan tanda menentukan π₯π₯ππ harus non negatif (π₯π₯ππ β₯ 0)atau tidak dibatasi
tandanya (unretsricted in sign).
4. Memiliki sifat linieritas. Sifat ini berlaku untuk semua fungsi tujuan danfungsifungsi kendala. Formulasi model matematis dari persoalan pengalokasian sumber-sumber pada permasalahan program linier adalah sebagai berikut (Sitorus, 1997): Maks/Min βΆ Z = βππ ππ =1 ππππ π₯π₯ππ Kendala
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦(2.1)
ππ βΆ βππ ππ=1 βππ =1 ππππππ π₯π₯ππ (β€, =, β₯)ππππ
dimana: ππ =fungsi tujuan
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦(2.2)
π₯π₯ππ β₯ 0
ππππ = nilai kontribusi dari variabel keputusan π₯π₯ππ =variabel keputusan
ππππππ =koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi kendala
ππππ = sumber daya yang tersedia dalam fungsi kendala
Fungsi Zpada rumusan program linier merupakan fungsi tujuan yang akan
dicapai atau dioptimalkan. Selanjutnya, persamaan atau pertidaksamaan yang merepresentasikan keterbatasan atau keberadaan kendala yang membatasi pencapaian fungsi tujuan dinamakan fungsi kendala. Untuk m kendala pertama disebut kendala utama atau fungsional dan syarat bahwa nilai variabel keputusan harus lebih dari atau sama dengan ( π₯π₯ππ β₯0) dinamakan kendala-kendala tidak negatif. Setiap kendala dapat berbentuk kendala pertidaksamaan atau persamaan. Fungsi-fungsi kendala dapat bertanda sama dengan (=), lebih kecil atau sama dengan β€),( lebih besar atau sama dengan (β₯), atau kombinasi di antaranya (sebagian fungsi kendala bertanda β€ dan sebagian lainnnya bertandaβ₯).
Universitas Sumatera Utara
9
2.2.Program Non Linier Penyelesaian optimum pada masalah optimasi yaitu memberikan nilai optimum (maksimum/minimum) pada fungsi tujuan dengan nilai variabel-variabel yang tidak bertentangan dengan kendala yang menyangkut variabel-variabel tersebut. Banyak permasalahan optimasi yang tidak dapat dimodelkan dalam bentuk program linier. Hal ini berkaitan dengan bentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala, yakni sebagian atau seluruh fungsi tersebut berupa fungsi non linear. Fungsi non linear dapat berupa fungsi kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi pecahan dan lain-lain. Program non linier merupakan salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan
permasalahan
optimasi dengan
menggunakan
persamaan
dan
pertidaksamaan non linear untuk mencari hasil (output) yang optimum dengan memperhatikan sumber-sumber (input) yang persediaannya terbatas pada nilai tertentu. Suatu permasalahan optimasi disebut non linear jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk non linear pada salah satu atau keduanya. Permasalahan optimasi tersebut tidak akan bisa dipecahkan dengan program linear dimana justru biasanya akan timbul variabel atau fungsi-fungsi baru pada kondisi tertentu dan akan terus berlanjut. Masalah program non linier didefinisikan sebagai berikut(Winston, 2004): Maks/Min Kendala
:ππ = ππ(π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ )
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.3)
: ππ1 (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ) (β€, =, β₯) ππ1
ππ2 (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ) (β€, =, β₯) ππ2 . . .
ππππ (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ) (β€, =, β₯) ππππ π₯π₯1 β₯ 0, π₯π₯2 β₯ 0, β¦ , π₯π₯ππ β₯ 0
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.....(2.4)
Universitas Sumatera Utara
10
Jikaππππ (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ) = 0, maka program non linier tersebut dinamakan
program non linier berkendala (constrained), dan jika ππππ (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ) β 0, maka
program tersebut dinamakan program non linier tidak berkendala (unconstrained).
Batasan-batasan biasanya dinamakan kendala-kendala. Pada m kendala pertama dinamakan kendala-kendala fungsional, sedangkan batasan-batasan π₯π₯1 , β¦ , π₯π₯ππ β₯ 0
dinamakan kendala-kendala tak negatif.
Jika terjadi ππ>ππ maka masalah tidak dapat diselesaikan. Akan tetapi untuk
dapat menyelesaikannya maka haruslah ππ β€ ππ (banyaknya kendala lebih sedikit atau sama dengan banyaknya variabel). Daerah fisibel untuk program non linier adalah himpunan dari nilai-nilai (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦, π₯π₯ππ ) yang memenuhi sejumlah m kendala.
Sebuah nilai di dalam daerah fisibel adalah nilai fisibel, dan sebuah nilai di luar daerah fisibel adalah nilai tidak fisibel.
2.3.Separable Programming
Separable Programming merupakan suatu metode penyelesaian dalam program nonlinier dengan mentransformasi bentuk nonlinier menjadi bentuk linier yang hanya memuat satu variabel. Separable Programming berhubungan dengan fungsi yang berbentuk nonlinier, yang selanjutnya dipisahkan menjadi fungsi dengan variabel tunggal. Misalnya dalam kasus dua variabel fungsi ππ(π₯π₯,π¦π¦)dipisahkan menjadi β(π₯π₯)+ππ(π¦π¦).
Suatu fungsi ππ(π₯π₯) dapat dikatakan terpisah apabila fungsi tersebut dapat
dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari fungsi-fungsi yang hanya memuat satu variabel, S.S. Rao (1978 : 640) merumuskan bentuk umum model nonlinear yang diselesaikan dengan separable programming yaitu sebagai berikut :
ππ(π₯π₯) = βππππ=1 ππππ (π₯π₯ππ ) β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦(2.5)
dengan kendala, βππππ=1 ππππππ οΏ½π₯π₯ππ οΏ½ (β₯, =, β€)ππππ untuk setiap ππ=1,2,β¦,ππ..............(2.6)
Universitas Sumatera Utara
11
Fungsi tujuan yang dibentuk harus dipisahkan berdasarkan variabel. Contoh berikut akan menjelaskan cara penyusunan fungsi separable untuk fungsiβfungsi khusus. Suatu fungsi non linier ππ = π₯π₯1 π₯π₯2 akan diubah menjadi fungsi separable
programming. Langkah pertama yaitu membuat variabel baru berupa π¦π¦1 dan π¦π¦2 ,
dengan: π¦π¦1 = π¦π¦2 =
π₯π₯1 + π₯π₯2 2
π₯π₯1 β π₯π₯2 2
Berdasarkan nilai π¦π¦1 dan π¦π¦2 , maka:
1 1 π₯π₯1 π₯π₯2 = (π₯π₯1 + π₯π₯2 )2 β (π₯π₯1 β π₯π₯2 )2 = π¦π¦12 β π¦π¦22 4 4
maka ππ=π₯π₯1 π₯π₯2 termasuk fungsi yang dapat dipisahkan dengan transformasi bentuk baru fungsi menjadi:
ππ = π¦π¦12 β π¦π¦22 2.3.1. Penyelesaian Separable Programming Penyelesaian separable programming seringkali menggunakan hampiran fungsi linear sepenggal. Gambar 2.1 berikut merupakan ilustrasi hampiran fungsi linear sepenggal untuk suatu fungsi f(x) dengan beberapa grid point.
Universitas Sumatera Utara
12
Gambar 2.1 Grafik hampiran fungsi linear sepenggal pada fungsi nonlinear Pada Gambar 2.6, nilai ππ(π₯π₯) merupakan nilai sesungguhnya dari fungsi
nonlinear, sedangkan ππΜ
(π₯π₯) adalah nilai hampiran fungsi linear sepenggal yang mana dapat dicari dengan rumus pendekatan berikut (Rao, 1978 ): ππ(π₯π₯ 2 )βππ(π₯π₯ 1 )
ππΜ
(π₯π₯) = ππ(π₯π₯1 ) + [
ππ ππ+1 βππ ππ
π₯π₯ ππ+1 βπ₯π₯ ππ π₯π₯βπ₯π₯
](π₯π₯ β π₯π₯1 ); π₯π₯1 β€ π₯π₯ β€ π₯π₯2
ππ(π₯π₯ 3 )βππ(π₯π₯ 2 )
ππΜ
(π₯π₯) = ππ(π₯π₯2 ) + [ ππΜ
(π₯π₯) = ππππ +
π₯π₯ 2 βπ₯π₯ 1
π₯π₯ 3 βπ₯π₯ 2
](π₯π₯ β π₯π₯2 ); π₯π₯2 β€ π₯π₯ β€ π₯π₯3
β¦β¦..(2.7)
β¦β¦(2.8)
. . .
(π₯π₯ β π₯π₯ππ ); π₯π₯ππ β€ π₯π₯ β€ π₯π₯ππ+1,
β¦β¦.(2.9)
Jika pembagian π₯π₯ βπ₯π₯1 dinyatakan sebagai ππ, maka persamaan dapat ditulis menjadi: 2 1
ππΜ
(π₯π₯) = ππ(π₯π₯1 ) + Ξ»οΏ½ππ(π₯π₯2 ) β ππ(π₯π₯1 )οΏ½ = Ξ»ππ(π₯π₯2 ) + (1 β Ξ»)ππ(π₯π₯1 )β¦..(2.10)
Selanjutnya, dengan memberi notasi baru untukβ1 ππ=ππ1 dan ππ= ππ2 maka persamaan (2.7) dapat diubah menjadi:
ππΜ
(π₯π₯) = ππ1 ππ(π₯π₯1 ) + ππ2 ππ(π₯π₯2 );π₯π₯1 β€ π₯π₯ β€ π₯π₯2 ππ1 + ππ2 = 1, dan ππ1 , ππ2 β₯ 0
β¦β¦β¦β¦β¦β¦(2.11) β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦(2.12)
Universitas Sumatera Utara
13
π₯π₯βπ₯π₯
Karena ππ =π₯π₯ βπ₯π₯1 maka, 2 1
π₯π₯ β π₯π₯1 = ππ(π₯π₯2 β π₯π₯1 )
π₯π₯ = π₯π₯1 + ππ(π₯π₯2 β π₯π₯1 )
π₯π₯ = (1 β Ξ» )π₯π₯1 + ππ2 π₯π₯2 = (ππ1 )π₯π₯1 + ππ2 π₯π₯2
β¦β¦β¦β¦β¦β¦.(2.13)
Persamaan (2.9) dan (2.10) juga berlaku untuk interval π₯π₯ππ yang lain, sehingga diperoleh bentuk umum yaitu : (Rao, 1978)
π₯π₯
= βππππ=0 ππππ π₯π₯ππ , dengan n adalah jumlah titik interval β¦β¦β¦β¦β¦..(2.14)
ππ(Μ
π₯π₯) = βππππ =0 ππππ ππππ
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.15)
dimana βππππ =0 ππππ = 1; ππππ β₯ 0, ππ = 0,1,2,3, β¦ , ππ
Persamaan (2.14) merupakan interpretasi baru untuk variabel keputusan yang
akan diselesaikan dengan menggunakan hampiran fungsi linier sepenggal, dengan (2.15) sebagai tambahan fungsi kendala. Adapun langkah-langkah penyelesaian separable programming adalah sebagai berikut: 1. Menyusun fungsi kendala yang separable. Bentuk kendala yang separable terlihat pada persamaan (2.6).
ππππππ οΏ½π₯π₯ππ οΏ½ = ππ11 π₯π₯1 + ππ12 π₯π₯2 + β¦ + ππ1ππ π₯π₯ππ (β€, =, β₯ )ππ1 ππ21 π₯π₯1 + ππ22 π₯π₯2 + β¦ + ππ2ππ π₯π₯ππ (β€, =, β₯ )ππ2
ππππ 1 π₯π₯1 + ππππ 2 π₯π₯2 + β¦ + ππππππ π₯π₯ππ (β€, =, β₯ )ππππ
π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ β₯ 0
2. Menentukan jumlah grid point
Grid point merupakan titikβtitik bagi dari interval ππππ β€π₯π₯ππ β€ ππππ . Batas ππππ dan ππππ
menjadi batas bawah dan batas atas untuk setiap variabel π₯π₯ππ . Setiap variabel π₯π₯ππ Universitas Sumatera Utara
14
dibagi lagi sejumlah ππππ interval. Jika π₯π₯ππππ merupakan nilai π₯π₯ππ pada titik keβk,
maka dapat diperoleh bentuk ππππ = π₯π₯1ππ < π₯π₯2ππ <β―< π₯π₯ππππ <β―<π₯π₯ππππππ =ππππ (Rao, 1978). Notasi π₯π₯1ππ , π₯π₯2ππ ,β¦, π₯π₯ππππ merupakan partisi nilaiβnilai x yang dibagi menjadi ππππ
grid point. Jumlah grid point tersebut ditentukan sesuai kebutuhan dengan batas atas dan bawah tetap dimasukkan sebagai grid point, namun demikian semakin banyak grid point yang dibentuk maka semakin banyak variabel yang mucul dan solusi optimal yang dihasilkan semakin akurat. Adapun interval dari setiap grid point tidak harus berjarak sama.
3. Membentuk nilai fungsi grid point Setiap nilai grid point kemudian disubstitusikan ke fungsi tujuan yang sudah dipisahkan (ππππ (π₯π₯ππ )). Nilai yang didapatkan kemudian menjadi koefisien baru
untuk fungsi tujuan linier. Hal ini juga berlaku untuk fungsi kendala, dimana setiap nilai grid point juga disubstitusikan pada fungsi kendala separable yang telah dibentuk pada langkah 1.
4. Membentuk fungsi tujuan baru yang linier Bentuk dari fungsi tujuan yang linier dari persamaan (2.5) adalah : Maks/Min: ππ = βππππ=1 βππππ=1 ππππππ Ξ»ππππ
β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.16)
Dengan ππ merupakan jumlah grid point. Bentuk fungsi kendala menjadi:
βππππ=1 ππππππππ Ξ»ππππ (β€, =, β₯)ππππ , ππ = 1, 2, β¦ , ππ ππ βππππ=1 Ξ»ππππ = 1, ππ = 1, 2, β¦ , ππ
Ξ»ππππ β₯ 0, ππ = 1, β¦ , ππππ , ππππππ ππ = 1, 2, β¦ , ππ
β¦β¦β¦β¦β¦β¦.(2.17)
5. Menyelesaikan bentuk linier dengan menggunakan software POM QM
2.4.Portofolio 2.4.1. Pengertian Portofolio
Universitas Sumatera Utara
15
Portofolio adalah gabungan dua atau lebih sekuritas yang terpilih sebagai target investasi dari investor pada kurun waktu tertentu dengan suatu ketentuan tertentu pula. Pada hakekatnya pembentukan portofolio adalah mengalokasikan modal ke berbagai sekuritas untuk memperoleh keuntungan yang maksimal dengan resiko yang minimal. Penentuan jumlah modal yang akan diinvestasikan ke berbagai sekuritas menjadi sebuah pengambilan keputusan yang sangat penting mengingat besarnya kerugian yang akan ditanggung oleh investor di masa yang akan datang akibat kesalahan dalam melakukan kebijakan. Sebelum melakukan investasi maka investor perlu mempertimbangkan besarnya aset yang akan dialokasikan ke dalam berbagai portofolio sehingga diperoleh keuntungan yang optimal dengan tingkat resiko tertentu yang masih dapat diterima oleh investor. Investor dapat menginvestasikan dananya pada berbagai aset, baik aset yang berisiko maupun aset yang bebas risiko, ataupun kombinasi dari kedua aset tersebut. Aset berisiko adalah aset-aset yang tingkat return aktualnya mengandung ketidakpastian dimasa yang akan datang. Salah satu contoh aset berisiko adalah saham. Aset bebas risiko merupakan aset yang tingkat return-nya dimasa yang akan datang sudah dapat dipastikan pada saat ini. Contoh aset bebas risiko adalah obligasi yang diterbitkan oleh pemerintah yaitu Obligasi Ritel Indonesia (ORI), Sertifikat Bank Indonesia (SBI) yang diterbitkan oleh Bank Indonesia. Pilihan investor terhadap aset-aset tersebut tergantung dari sejauh mana preferensi investor terhadap risiko. Preferensi risiko adalah kecenderungan seorang individu untuk memilih keputusan berisiko. Preferensi investor terhadap risiko dibedakan menjadi tiga yaitu investor yang berani mengambil risiko (risk taker), investor yang takut atau enggan menanggung risiko (risk averter) dan investor yang berani menanggung risiko yang sebanding dengan return yang diperolehnya (risk moderate). Investor cenderung menghindari risiko (risk averter) dalam pembentukan portofolio efisien yang artinya jika seorang investor dihadapkan pada expected return yang sama namun risiko yang berbeda maka investor tersebut akan memilih risiko yang terendah. Jika seorang investor
Universitas Sumatera Utara
16
dihadapkan risiko yang sama namun expected return yangberbeda maka investor akan memilih expected return yang tertinggi (Halim, 2005). Seseorang yang telah mendapat pelatihan dan terbiasa dalam menghadapi risiko akan cenderung berperilaku memilih pilihan yang berisiko dibandingkan dengan orang lain. Tingkat tanggungjawab dapat mempengaruhi keputusan yang diambil apakah berisiko atau cenderung berhati-hati. Status pekerjaan seorang individu juga memegang peranan penting sebagai salah satu faktor yang mempengaruhi besarnya toleransi risiko yang diterima investor. Misalnya investor yang bekerja pada perusahaan yang dipercaya dapat menjamin masa depannya, akan cenderung memilih jenis investasi dengan risiko tidak terlalu tinggi seperti investasi di sektor riil. Sedangkan investor yang bekerja pada perusahaan yang dinilai belum cukup menjamin masa depannya akan lebih memilih investasi dengan return yang tinggi seperti saham.
2.4.2. Return Return merupakan salah satu faktor yang memotivasi investor untuk berinvestasi dan juga imbalan atas keberanian investor menanggung risiko atas investasi yang dilakukannya. Sumber-sumber return investasi ini ada dua komponen utama yaitu yield dan capital gain (loss). Yield merupakan komponen perolehan yang mencerminkanaliran kas atau pendapatan yang diperoleh secara periodik dari suatu investasi.Misalnya jika berinvestasi pada sebuah obligasi, maka besar yield ditunjukkan daribunga obligasi yang dibayarkan. Demikian pula halnya pada saham, yield ditunjukkan oleh besarnya dividen yang diperoleh. Sedangkan capital gain (loss) sebagai komponen kedua dari return (perolehan) merupakan kenaikan (penurunan) harga suatu surat berharga (dapat berupa saham) yang dapat memberikan keuntungan (kerugian) bagi investor. Dengan kata lain, capital gain (loss) dapat juga diartikan sebagai perubahan harga sekuritas. (Purba, N.M, 2011)
Universitas Sumatera Utara
17
Adanya hubungan positif antara return dan risiko dalam berinvestasi yang dikenal dengan high risk - high return, yang artinya semakin besar risiko yang ditanggung, semakin besar pula return yang diperoleh. Hal ini dimaksudkan sebagai harus ada pertambahan return sebagai kompensasi dari pertambahan resiko yang akan ditanggung oleh investor. Return dapat berupa realized return yang sudah terjadi atau expected return yang belum terjadi tetapi diharapkan akan diperoleh pada masa mendatang. Realized return adalah return yang sudah terjadi yang dihitung berdasarkan data historis. Realized
return berguna sebagai dasar perhitungan
tingkat
pengembalian yang diharapkan (expected return) dan risiko dimasa yang akan datang. Realized return merupakan salah satu komponen penting dalam dunia bisnis karena merupakan salah satu alat ukur kinerja dari sebuah perusahaan. Return ini juga merupakan dasar penentuan return ekspektasi dan risiko dimasa mendatang. Menurut kegunaannya return realisasi dibagi menjadi 3 macam yaitu Return Total (Net Return), Return Relatif (Gross Return), dan Log return. Jika seseorang menginvestasikan dananya pada saham ke-ππ periode π‘π‘1 dengan
harga ππππ(π‘π‘β1) dan harga pada periode selanjutnya π‘π‘2 adalah ππππ(π‘π‘β2) , maka return total pada periode π‘π‘1 sampai π‘π‘2 adalah
(ππ ππ(π‘π‘β2)β ππππ(π‘π‘β1) ) ππ ππ(π‘π‘β1)
. Return total dapat digambarkan
sebagai pendapatan relatif atau tingkat keuntungan (profit rate). Secara umum return total antara periode π‘π‘ β 1 sampai π‘π‘adalah sebagai berikut
(Jogiyanto, 2003).
π
π
ππππ =
(ππ ππππ β ππ ππ(π‘π‘β1)) ππ ππ(π‘π‘β1)
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.18)
dimana: π
π
ππππ
= Return Capital Gain atau Capital Loss saham ke-ππ pada periode π‘π‘.
Universitas Sumatera Utara
18
ππππππ
= Harga penutupan saham ke-ππ pada periode ke-π‘π‘.
ππππ(π‘π‘β1)
= Harga penutupan saham ke-ππ pada periode ke-(π‘π‘β1). Jika harga investasi sekarang ππππ lebih tinggi dari harga investasi periode lalu
ππππ(π‘π‘β1) ini berarti terjadi keuntungan modal (Capital Gain), sebaliknya terjadi kerugian modal (Capital Loss).
Nilai return total dapat bernilai positif atau negatif, bergantung dari selisih harga sekuritas periode sekarang dan sebelumnya. Investor mendapat keuntungan jika nilai return total > 0 (positif) dan mengalami kerugian jika nilai return total < 0 (negatif). Realized return portofolio saham didefinisikan sebagai rata-rata tertimbang dari return-return realized setiap saham tunggal di dalam portofolio. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut (Jogiyanto, 2003)
π
π
ππ = βππππ=1 π₯π₯ππ π
π
ππ
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.19)
dimana: π
π
ππ
π₯π₯ππ
π
π
ππ
ππ
= return portofolio = Proporsi dana yang diinvestasikan pada saham ππ = return saham ke- ππ
= jumlah dari saham tunggal
Expected return adalah return (pengembalian) yang diharapkan akan diperoleh oleh investor pada masa mendatang dan belum terjadi. Dibandingkan dengan return historis, return ekspektasi merupakan return yang penting karena dapat digunakan sebagai pengambilan keputusan investasi.
1.
Expected Return Saham Individual
Universitas Sumatera Utara
19
Expected return secara sederhana merupakan rata-rata tertimbang dari berbagai return. Expected return saham individual dapat menggunakan rumus berikut (Jogiyanto, 2003)
πΈπΈ(π
π
ππ ) = dimana:
π
π
ππππ 2.
βπππ‘π‘=1 π
π
ππππ ππ
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.20)
πΈπΈ (π
π
ππ )
= Expected return saham ke-ππ
ππ
= Banyaknya return yang terjadi pada periode observasi
= Return saham ke-ππ pada periode π‘π‘
Expected Return Portofolio Expected return portofolio adalah rata-rata tertimbang dari return-return ekspetasi masing-masing saham tunggal di dalam portofolio yang dinotasikan dengan πΈπΈοΏ½π
π
ππ οΏ½persamaan berikut (Jogiyanto, 2003).
πΈπΈοΏ½π
π
ππ οΏ½ = βππππ=1 π₯π₯ππ πΈπΈ(π
π
ππ )
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦(2.21)
dimana: πΈπΈοΏ½π
π
ππ οΏ½
= Expected return dari portofolio
π₯π₯ππ
= Proporsi dana yang diinvestasikan pada saham ππ
πΈπΈ(π
π
ππ ) ππ
= Expected return saham ke- ππ
= jumlah dari saham tunggal
2.4.3. Risiko Risiko didefinisikan sebagai besarnya penyimpangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dengan tingkat pengembalian yang dicapai secara nyata (realized return). (Halim, 2005) Semakin besar penyimpangannya maka berarti semakin besar pula tingkat risikonya.
Universitas Sumatera Utara
20
Jika mengacu pada definisi risiko tersebut, maka risiko keuangan didefinisikan sebagai ketidakpastian return mendatang dari suatu investasi, atau bahwa investasi mendapatkan hasil yang lebih kecil dari return yang diperkirakan dan kadang menghasilkan suatu kerugian, yaitu return yang bernilai negatif. Jenis risiko dapat dikelompokkan menjadi dua yaitu risiko sistematis (systematic risk) dan risiko tidak sistematis (unsystematic risk). Risiko sistematis tidak dapat dihilangkan dengan melakukan diversifikasi karena risiko ini dipengaruhi berbagai faktor makro yakni kurs valas, tingkat bunga, kebijakan pemerintah, dan resesi global. Risiko tidak sistematis merupakan risiko yang dapat dihindari atau dikurangi dengan melakukan diversifikasi sebab risiko ini hanya terjadi pada internal satu perusahaan saja. Portofolio akan berjalan efektif dengan mengamati risiko tidak sistematis saja. Salah satu pengukur risiko adalah
standar deviasi atau varians yang merupakan kuadrat dari standar deviasi. (Jogiyanto, 2003)
1. Risiko Saham Individual
ππππ2 =
βπππ‘π‘=1(π
π
ππππ βπΈπΈ(π
π
ππ ))2 ππ
β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.22)
dimana: ππππ2 = risiko saham ke-ππ
π
π
ππππ = return saham ππ pada periode π‘π‘
πΈπΈ(π
π
ππ )
ππ
= Expected return saham ππ
= Banyaknya return yang terjadi pada periode observasi
2. Risiko Saham Portofolio Banyaknya saham dalam suatu portofolio juga dapat mempengaruhi nilai varians dari risiko. Untuk membentuk suatu portofolio minimal diperlukan dua sekuritas, dimana besar risiko dari kedua sekuritas tersebut dapat dihitung dengan besarnya varians dari nilai-nilai kedua sekuritas yang ada dalam portofolio.
Universitas Sumatera Utara
21
Untuk aktiva sebanyak n maka rumus varians untuk portofolio dapat dituliskan sebagai berikut:
ππππ2 = βππππ=1 π₯π₯ππ2 ππ12 + βππππ=1 βππππ=1 2π₯π₯ππ π₯π₯ππ ππππππ
β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.23)
ππβ ππ
ππππ2 = βππππ=1 π₯π₯ππ2 ππ12 + βππππ=1 βππππ=1 2π₯π₯ππ π₯π₯ππ ππππππ(π
π
ππ π
π
ππ ) β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.24) ππβ ππ
dimana: ππππ2
= Risiko portofolio
π₯π₯ππ
= Proporsi dana yang diinvestasikan pada saham ππ
ππ12
= Risikosaham individual
π₯π₯ππ
= Proporsi dana yang diinvestasikan pada saham ππ dengan rumus ππππππ(π
π
ππ π
π
ππ ) sebagai berikut:
πππππποΏ½π
π
ππ π
π
ππ οΏ½ = dimana: π
π
ππ
βπππ‘π‘=1 {(π
π
ππππ β πΈπΈ(π
π
ππ )}{π
π
ππππ βπΈπΈοΏ½π
π
ππ οΏ½} ππ
β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.25)
= return saham ππ pada periode π‘π‘
πΈπΈ (π
π
ππ ) = Expected return saham ππ
π
π
ππ
πΈπΈοΏ½π
π
ππ οΏ½
ππ
= return saham ππ pada periode π‘π‘
= Expected return saham ππ.
= Banyaknya return yang terjadi pada periode observasi
πππππποΏ½π
π
ππ π
π
ππ οΏ½ = kovarian return antara saham ππ dengan saham ππ.
Universitas Sumatera Utara
22
2.5.Uji Normalitas Pada dunia investasi, uji normalitas sering digunakan untuk melihat apakah return saham berdistribusi normal atau tidak. Saham tersebut dapat dimasukkan dalam portofolio jika return saham berdistribusi normal. Tujuan pengujian normalitas dalam return saham adalah untuk mengantisipasi terjadinya ketidakstabilan harga, sehingga dikhawatirkan akan mengalami penurunan harga saham yang sangat signifikan dan merugikan investor. Uji normalitas pada SPSS menggunakan pengujian KolmogorovSmirnov. Uji Kolmogorov-Smirnov merupakan pengujian normalitas yang banyak digunakan, terutama setelahbanyak program statistik yang beredar. Kelebihan dari uji ini adalah sederhana dan tidak menimbulkan perbedaan persepsi di antara satu pengamat dengan pengamat yang lain, yang sering terjadi pada uji normalitas dengan menggunakan grafik. Berikut tahap pengujian menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov a. Hipotesis H0 : data dapat diasumsikan normal, H1 : data tidak dapat diasumsikan berdistibusi normal b. Tingkat signifikansi Ξ± c. Statistik uji Kolmogorov-Smirnov ππ = ππππππππ |πΉπΉβ(ππ) β ππ(ππ)| πΉπΉβ (ππ)adalah distribusi kumulatif data sampel
ππ(ππ) adalah distribusi kumulatif yang dihipot esakan
d. Kriteria uji
H0 ditolak jika p β value < Ξ± e. Perhitungan f. Kesimpulan.
Universitas Sumatera Utara
23
2.6.Operasi Perpangkatan Bentuk Aljabar Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Berikut diperlihatkan barisan segitiga pascal: (ππ + ππ)0
1
(ππ + ππ)1
1
(ππ + ππ)2
1 1
(ππ + ππ)3
1
(ππ + ππ)4
1
(ππ + ππ)5
1
2
1
3 4
5
3 6
10
1 4
10
1 5
1
Demikian seterusnya untuk (ππ + ππ)ππ dengan ππ merupakan bilangan asli.
Pangkat dari ππ (unsur pertama) pada (ππ + ππ)ππ dimulai dari ππ ππ kemudian berkurang
satu demi satu dan terakhir ππ1 pada suku ke-ππ. Sebaliknya, pangkat dari ππ (unsur
kedua) dimulai dengan ππππ pada suku ke-2 yang selanjutnya bertambah satu demi satu dan terakhirππππ pada suku ke-ππ+1.
Berdasarkan barisan segitiga pascal diatas, maka bentuk aljabar suku dua (ππ + ππ)2 dapat dituliskan sebagai berikut:
(ππ + ππ)2 = ππ 2 + 2ππππ + ππ2 1
1
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.26)
1
ππππ = 2 (ππ + ππ)2 β 2 ππ 2 β 2 ππ2
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦..(2.27)
Untuk perkalian lebih dari dua variabel, misalkan perkalianabcdefg,maka
perkalian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: 1
1
1
ππππππππππππππ = 2 (ππππππππππππ + ππ)2 β 2 (ππππππππππππ)2 β 2 ππ2
β¦β¦β¦..(2.28)
Universitas Sumatera Utara
