BAB VIII LEAST-SQUARES FITTING Deskripsi: Pada bab ini akan dibahas mengenai analisis statistik dari beberapa hasil pengukuran pada satu kuantitas tunggal dengan menggunakan grafik kurva y vs x. Hal tersebut menjadi pokok bahasan yang paling menarik dalam statistik, tetapi karena pokok bahasan ini sederhana maka harus dipahami dengan baik sebelum membahas hal yang lebih umum selanjutnya. Manfaat: Memberikan metode least-squares fitting yang benar saat melakukan beberapa pengukuran. Relevansi: Metode least-squares fitting merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menganalisis data hasil pengukuran dalam suatu grafik. Learning Outcome: Mahasiswa memahami dan mampu mengimplementasikan least-squares fitting pada suatu data hasil pengukuran dengan benar. MATERI: Sepanjang bab ini, kita memiliki N pasang hasil pengukuran (𝑥1 , 𝑦1 ), … , (𝑥𝑁 , 𝑦𝑁 ) dari dua variabel x dan y. Masalah yang dihadapi yaitu bagaimana menemukan nilai-nilai terbaik dari
parameter dari kurva bahwa grafik y vs x agar sesuai dengan yang diharapkan. Kami berasumsi bahwa hanya pengukuran y mengalami ketidakpastian yang cukup, sedangkan untuk x diabaikan. [ Untuk kasus di mana kedua x dan y memiliki ketidakpastian yang signifikan, lihat pembahasan berikut Persamaan ( 8.17 ) . ] Berbagai kemungkinan kurva dapat dianalisis, dan ada dua asumsi yang berbeda tentang ketidakpastian dalam y. Beberapa kasus yang lebih penting adalah sebagai berikut : 8.1 Kurva Garis Lurus, 𝒚 = 𝑨 + 𝑩𝒙
Jika y yang diharapkan menyimpang pada garis lurus y = A + Bx, dan jika pengukuran y memiliki ketidakpastian yang sama, maka estimasi terbaik untuk konstanta A dan B adalah:
dan
𝐴=
∑𝑥 2 ∑𝑦 − ∑𝑥 ∑𝑥𝑦 ∆ 47
𝐵=
di mana penyebut ∆, adalah
𝑁∑𝑥𝑦 − ∑𝑥 ∑𝑦 ∆
∆= 𝑁∑𝑥 2 − (∑𝑥)2
Berdasarkan poin-poin yang diamati, estimasi terbaik untuk ketidakpastian dalam pengukuran y adalah 𝑁
1 � �(𝑦𝑖 − 𝐴 − 𝐵𝑥𝑖 )2 𝛿𝑦 = �� 𝑁−2 𝑖=1
Ketidakpastian pada A dan B adalah : ∑𝑥 2 𝜎𝐴 = 𝜎𝑦 � ∆
Dan
𝑁 𝜎𝐵 = 𝜎𝑦 � ∆ 8.2 Kurva Garis Lurus, 𝒚 = 𝑩𝒙
Jika y yang diharapkan menyimpang pada garis lurus melewati titik pusat kurva (0,0) , y = Bx , dan jika pengukuran y memiliki ketidakpastian yang sama, maka estimasi terbaik untuk konstanta B adalah : 𝐵=
∑𝑥𝑦 ∑𝑥 2
Berdasarkan poin diukur, estimasi terbaik untuk ketidakpastian dalam pengukuran y adalah : 𝜎𝑦 = � dan ketidakpastian dalam B adalah :
1 ∑(𝑦𝑖 − 𝐵𝑥𝑖 )2 𝑁−1 𝜎𝐵 =
𝜎𝑦
�∑𝑥 2
48
8.3 WEIGHT FIT UNTUK KURVA GARIS LURUS , 𝒚 = 𝑨 + 𝑩𝒙
Jika y diperkirakan akan terletak pada garis y = A + Bx, dan jika nilai 𝑦𝑖 yang diukur, telah 1
berbeda, dengan diketahui ketidakpastian 𝜎𝑖 , maka kami memperkenalkan 𝑤𝑖 = 𝜎2 , dan
estimasi terbaik untuk konstanta A dan B adalah: 𝐴=
dan
∑𝑤𝑥 2 ∑𝑤𝑦 − ∑𝑤𝑥 ∑𝑤𝑥𝑦 ∆
𝐵=
dimana
𝑖
∑𝑤 ∑𝑤𝑥𝑦 − ∑𝑤𝑥 ∑𝑤𝑦 ∆
∆= ∑𝑤 ∑𝑤𝑥 2 − (∑𝑤𝑥)2
Ketidakpastian di A dan B adalah :
𝜎𝐴 = � Dan
∑𝑤𝑥 2 ∆
∑𝑤 𝜎𝐵 = � ∆
8.4 Grafik Kurva Lainnya
Jika y diharapkan berada pada polinomial dalam x, yaitu, 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 + . . . + 𝐻𝑥 𝑛 ,
maka metode least-squares fit dapat digunakan, meskipun persamaan yang cukup rumit jika n besar. Curves bentuk 𝑦 = 𝐴𝑓(𝑥) + 𝐵𝑔(𝑥) + . . . + 𝐻𝑘(𝑥) ,
dimana 𝑓(𝑥) , . . . , 𝑘(𝑥) adalah fungsi diketahui, juga dapat ditangani dengan cara yang sama. Jika y diharapkan akan diberikan oleh fungsi eksponensial 𝑦 = 𝐴𝑒 𝐵𝑥 ,
maka kita bisa " melinierkan " masalah dengan menggunakan variabel 𝑧 = 𝑙𝑛 ( 𝑦 ) , yang
harus memenuhi hubungan linear
49
𝑧 = 𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛(𝐴) + 𝐵𝑥 ,
Kita kemudian dapat menerapkan linear least-square fit untuk z sebagai fungsi dari x. Catatan, bagaimanapun, bahwa jika ketidakpastian dalam nilai yang terukur dari y semua sama, dan kesamaannya pasti tidak benar dari nilai-nilai z . Kemudian, tegasnya, metode least-square tertimbang harus digunakan. Contoh: Panjang vs Massa untuk Keseimbangan Pegas Seorang siswa membuat skala untuk mengukur massa dengan pegas. Dia menempel ujung atasnya pada dudukan yang kuat, tergantung sebuah panci dibawahnya, dan menempatkan 1 meter tongkat dibelakangnya untuk pengaturan pembacaan panjang pegas. Sebelum dia bisa menggunakan skala, dia harus mengkalibrasi, yaitu, dia harus menemukan hubungan antara massa dalam panci dan panjang pegas . Untuk melakukan kalibrasi ini, dia mendapat lima massa 2 kg yang akurat, kemudian menambahkannya ke dalam pan satu per satu, merekam panjang yang sesuai l , seperti yang ditunjukkan pada tiga kolom pertama dari Tabel 8.1. Dengan asumsi pegas mematuhi hukum Hooke, ia mengantisipasi bahwa panjang l harus menjadi fungsi linear dari m, 1 = 𝐴 + 𝐵𝑚
( Di sini , konstanta A adalah panjang diturunkan dari pegas, dan B adalah
𝑔 𝑙
, di mana k
adalah konstanta pegas biasa. ) Persamaan kalibrasi di atas akan membiarkan dia menemukan massa m diketahui dari panjang l yang sesuai, setelah itu dia harus mencari nilai konstanta A dan B. Untuk menemukan konstanta ini , dia menggunakan metode least-square. Apa jawaban dia untuk A dan B? Plot data kalibrasi pada suatu gafik . Jika dia menempatkan massa m diketahui dalam panci dan mengamati panjang pegas menjadi 1 = 53,2 cm , apakah itu m ?
50
Tabel 8.1 . Missa 𝑚𝑖 (dalam kg ) dan panjang 𝑙 ( dalam cm ) untuk pegas .
Seperti yang sering terjadi dalam masalah seperti itu, kedua variabel tersebut tidak disebut x dan y , dan satu harus berhati-hati untuk mengidentifikasi yang mana. Membandingkan dengan bentuk standar, y = A + Bx , kita melihat bahwa panjang 1 memainkan peran variabel y, sedangkan massa m memainkan peran variabel x. Konstanta A dan B diberikan oleh dengan penggantian 𝑥𝑖 ⟷ 𝑚𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑦𝑖 ⟷ 𝑙𝑖
( Korespondensi ini ditunjukkan dengan judul "x " dan " y " dalam Tabel 8.1 . ) Untuk menemukan A dan B , kita perlu menemukan jumlah ∑𝑚𝑖 , ∑𝑙𝑖 , ∑(𝑚𝑖 )2 , ∑𝑚𝑖 𝑙𝑖 , sehingga dua
kolom terakhir Tabel 8.1 menunjukkan jumlah mil dan Milt , dan jumlah yang sesuai akan ditampilkan di bagian bawah setiap kolom. Menghitung konstanta A dan B sekarang mudah. Penyebut ∆ adalah ∆= 𝑁∑𝑚2 − (∑𝑚)2
= 5 × 220 × −302 = 200
Selanjutnya, dari kita menemukan intercept ( panjang teregang ) ∑𝑚2 ∑𝑙 − ∑𝑚 ∑𝑚𝑙 ∆ 220 × 256,6 − 30 × 1622 = = 39 𝑐𝑚 ∆
𝐴=
Akhirnya , dari kita menemukan kemiringan 𝐵=
𝑁 ∑𝑚𝑙 − ∑𝑚 ∑𝑙 5 × 1622 − 30 × 256,6 = = 2,06 𝑐𝑚/𝑘𝑔 ∆ ∆
51
Gambar 8.2 . Sebuah plot data dari Tabel 8.1 dan garis kecocokan kalibrasi Sebuah plot data dan garis kurva kalibrasi menggunakan nilai A dan B ditunjukkan pada Gambar 8.2 . Jika massa m menarik pegas menjadi 53,2 cm, maka menurut persamaan kalibrasi massa adalah
Latihan Soal:
𝑚=
𝑙 − 𝐴 (53,2 − 39,0)𝑐𝑚 = = 6,9 𝑘𝑔 𝐵 2,06 𝑐𝑚/𝑘𝑔
1) Gunakan metode least-square fit untuk menemukan garis 𝑦 = 𝐴 + 𝐵𝑥 sesuai dengan tiga poin ( 1 , 6 ) , ( 3 , 5 ) , dan ( 5 , 1 ). Dengan menggunakan kertas grafik, plot tiga
poin tersebut ke dalam kurva y. Kalkulator Anda mungkin memiliki fungsi built-in untuk menghitung A dan B, jika Anda tidak tahu bagaimana menggunakannya , luangkan waktu untuk belajar dan kemudian memeriksa jawaban Anda sendiri untuk masalah ini . 2) Kerjakan soal nomor 8.7 pada teks buku wajib halaman 200.
52
