46
BAB V HASIL SIMULASI Pada bab ini akan disajikan beberapa hasil pendekatan numerik harga opsi put Amerika menggunakan metode beda hingga. Algoritma yang disusun di bawah
ini
untuk
menentukan
harga
opsi
put
Amerika.
Selanjutnya
diimplementasikan dengan software Matlab 6.5 yang dijalankan pada komputer dengan sistem operasi Windows XP prosesor Intel (R) Pentium(R) Dual CPU @1.6 GHz (2CPUs) dan memori 512 MB.
5.1 Implementasi pada Matlab Pada pembahasan sebelumnya bahwa penerapan metode beda hingga pada persamaan Black-Scholes menghasilkan suatu sistem persamaan linear yang dapat dinyatakan dalam persamaan matriks. Contohnya adalah persamaan vij
A 1vij 1
yang diperoleh dengan metode beda hingga implisit. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut Matlab mempunyai fasilitas untuk menentukan invers suatu matriks, sehingga metode beda hingga implisit, Crank-Nicholson maupun metode beda hingga eksplisit dan implisit dengan transformasi peubah dapat diimplementasikan pada Matlab. Untuk mengimplementasikan pada Matlab, maka disusunlah algoritma. Berikut ini adalah algoritma untuk metode beda hingga implisit, yaitu: 1 input : S , K , r , , T , M , N 2 tentukan panjang interval untuk S dan t 3 gunakan syarat batas dan syarat akhir opsi put Amerika 4 tentukan elemen-elemen matriks A dengan menggunakan (4.25) 5 tentukan matriks A yang diperoleh dari langkah keempat 6 selesaikan (4.26) 7 gunakan ketentuan syarat keoptimalan opsi put Amerika 8 output : harga opsi put Amerika.
47
Algoritma untuk metode beda hingga Crank-Nicholson sama dengan metode implisit. namun untuk metode eksplisit dan implisit dengan transformasi langkah kedelapan menggunakan interpolasi
akibat dari transformasi
y
ln S dan
W y, t .
V S,t
5.2 Hasil Simulasi dengan Matlab Simulasi hasil implementasi metode beda hingga untuk menentukan harga opsi put Amerika dilakukan dengan mengambil beberapa contoh kasus kontrak opsi. Selanjutnya diamati perbandingan harga opsi yang diperoleh dan waktu komputasi serta diamati pula hubungan harga opsi dengan parameter-parameter yang menen-tukan harga opsi.
5.2.1 Perbandingan metode Suatu kontrak opsi yang diterbitkan pada tanggal 6 Januari 2003 pada saham IBM untuk jangka waktu satu bulan dilakukan ketika harga saham $81.65 dengan harga eksekusi $85, tingkat suku bunga sebesar 8% dan volatilitas 40% (Bodie et al. 2006). Hasil yang diperoleh disajikan dalam Tabel 1 berikut Tabel 1 Perbandingan harga opsi dan waktu komputasi dari empat metode dengan M dan N yang bervariasi Implisit
Crank-Nicholson
Eksplisit dengan transformasi peubah Harga Waktu Opsi ($) (detik)
Implisit dengan transformasi peubah Harga Waktu Opsi ($) (detik)
M
N
Harga Opsi ($)
Waktu (detik)
Harga Opsi ($)
Waktu (detik)
10
10
4.8986
0.0160
4.9161
0.0270
4.8378
0.0130
4.7720
0.0130
30
30
5.3614
0.0167
5.3734
0.0273
5.4233
0.0160
5.3989
0.0160
70
70
5.3703
0.0170
5.3757
0.1100
5.3801
0.0165
5.3693
0.0180
100
100
5.3620
0.0230
5.3658
0.3280
5.3789
0.0210
5.3714
0.0210
300
300
5.3740
0.4530
5.3753
14.9765
5.3799
0.2900
5.3774
0.2970
500
500
5.3750
3.6870
5.3758
265.4220
5.3782
2.1870
5.3766
2.9060
800
800
5.3754
17.9790
5.3759
2297.3280
5.3775
9.2810
5.3765
13.1250
Berdasarkan Tabel 1, grafik perbandingan harga opsi dan waktu komputasi dari empat metode tersebut ditampilkan dalam Gambar 4, 5 dan 6.
48
5.5 5.4 5.3 Implisit
5.2
Crank-Nc 5.1 Imp. Tf 5
Eks. Tf
4.9 4.8 4.7 10\10
30\30
100\100
800\800
Nilai M dan N
Gambar 4 Perbandingan harga opsi
20
2500
18 16
2000
12 Implisit
10
Eks. Tf. Imp. Tf.
8
Waktu (detik)
Waktu (detik)
14 1500
1000
6 4
500
2 0
0 500\500
800\800 Nilai M dan N
Gambar 5 Perbandingan waktu komputasi
500\500
800\800
Nilai M dan N
Gambar 6 Waktu komputasi metode Crank-Nicholson
Dari Gambar 4 terlihat bahwa harga opsi yang diperoleh dengan menggunakan empat metode tersebut relatif hampir sama untuk M dan N yang lebih besar atau sama dengan 100. Gambar 5 dan 6 memperlihatkan metode eksplisit dengan transformasi
peubah waktu komputasinya paling cepat dibandingkan dengan
ketiga metode lainnya, sehingga berdasarkan waktu komputasi metode eksplisit dengan transformasi relatif lebih baik dari pada tiga metode lainnya.
5.2.1 Hubungan harga opsi dengan beberapa parameter yang menentukan harga opsi Dengan menggunakan metode beda hingga eksplisit dengan transformasi peubah, serta nilai S, r, dan T yang bervariasi akan diperlihatkan hubungan antara
49
harga opsi dengan harga saham, harga opsi dengan suku bunga dan harga opsi dengan waktu jatuh tempo. Tabel 2, 3 dan 4 berikut menyajikan harga opsi put amerika dengan S, r, dan T yang bervariasi .
Tabel 2 Harga opsi put dengan parameter K 22, r 0.1, 0.25, T dan M = N = 100 serta harga saham awal yang bervariasi. Harga Saham Awal ($) Harga Opsi put Amerika ($)
17.0
18.0
18.5
19.0
19.5
20.0
5.0000
4.0000
3.5013
3.0380
2.6215
2.2478
20.5
21.0
0.5
21.5
22.0
1.9137 1.6281 1.3762 1.1541
Berdasarkan Tabel 2, diperoleh grafik sebagai berikut
6.0
Harga Opsi ($)
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0 17.0
18.0
18.5
19.0
19.5
20.0
20.5
21.0
21.5
22.0
Harga Saham ($)
Gambar 7 Hubungan harga opsi dengan harga saham awal Gambar 7 memperlihatkan bahwa jika harga saham meningkat maka harga opsi put Amerika akan menurun. Hal ini sesuai dengan Hull (2003) yang menyatakan bahwa jika parameter harga saham meningkat menuju tak hingga sedangkan parameter yang lain tetap maka harga opsi put Amerika akan menurun menuju nol. Tabel 3 Harga opsi put dengan parameter S 20, K 22, dan M = N = 100 serta suku bunga yang bervariasi.
0.25, T
Suku 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bunga(%) Harga OpsiPut 2.6281 2.5714 2.5195 2.4716 2.4273 2.3858 2.3478 2.3122 2.2783 Amerika($)
0.5
10
15
2.2478
2.1254
50
Berdasarkan Tabel 3, diperoleh grafik sebagai berikut 2.8 2.6
Harga Opsi ($)
2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
Suku Bunga (%)
Gambar 8 Hubungan harga opsi degan suku bunga Gambar 8 adalah sesuai dengan Hull (2003) yang menyatakan bahwa jika parameter suku bunga meningkat, sedangkan parameter yang lain tetap maka harga opsi put Amerika akan menurun. Hal tersebut juga sesuai dengan kenyataan, yaitu jika suku bunga relatif rendah ada kemungkinan investor memilih menginvestasikan uangnya pada opsi, sehingga harga opsi menjadi meningkat seiring meningkatnya permintaan. Jika suku bunga relatif tinggi ada kemungkinan investor memilih menginvestasikan uangnya di bank, sehingga permintaan terhadap opsi ada kemungkinan relatif menurun akibatnya harga opsi menjadi menurun.
Tabel 4 Harga opsi put dengan parameter S 20, K 22, r 0.1, dan M = N = 100 serta waktu jatuh tempo yang bervariasi. Waktui Jatuh Tempo (bulan) Harga Opsi put Amerika ($)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.25
11
12
2.0049 2.0500 2.1053 2.1566 2.2020 2.2478 2.2906 2.3268 2.3546 2.3881 2.4117 2.4350
51
Berdasarkan Tabel 4, diperoleh grafik sebagai berikut 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Waktu Jatuh Tempo (bulan)
Gambar 9 Hubungan harga opsi degan waktu jatuh tempo
Gambar 9 adalah sesuai dengan Hull (2003) yang menyatakan bahwa jika parameter waktu jatuh tempo meningkat, sedangkan parameter yang lain tetap maka harga opsi put Amerika akan meningkat. Hal ini terjadi karena terkait dengan kebebasan waktu eksekusi pada opsi Amerika
