BAB IV PERHITUNGAN HARGA PREMI BERDASARKAN FUNGSI PERMINTAAN PADA TITIK KESETIMBANGAN Berdasarkan asumsi batasan interval pada bab III, untuk simulasi perhitungan harga premi pada titik kesetimbangan, maka fungsi permintaan untuk kelas ke- 𝑗, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑘 dan batasan intervalnya adalah 𝑓𝑗 ⎧ 𝜋𝑗 − 𝜇𝑗 ⎪ ⎪ 𝑓 𝑗 𝐷𝑗 �𝜋𝑗 � = ⎨𝑀𝑗 − 𝜇𝑗 ⎪ ⎪ 𝑓𝑗 ⎩𝑚𝑗 − 𝜇𝑗
𝜇𝑗 < 𝑚𝑗 ≤ 𝜋𝑗 ≤ 𝑀𝑗 𝜋𝑗 ≥ 𝑀𝑗
𝜋𝑗 ≤ 𝑚𝑗
(4.1)
dimana 𝐷𝑗 �𝜋𝑗 � adalah fungsi permintaan, 𝑓𝑗 = 𝑎𝑟𝑗 , 𝑀𝑗 , 𝑚𝑗 adalah batas atas dan bawah
interval dari harga premi (𝜋𝑗 ).
Pada titik kesetimbangan untuk kelas ke- 𝑗, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑘, dengan rataan 𝜇𝑗 dan
ragam 𝜎𝑗2 , sedangkan ragam total pada titik kesetimbangan adalah 𝑘
𝜎 2 = � 𝐷𝑗 (𝝅∗ )𝜎𝑗2 . 𝑗=1
(4.2)
Selanjutnya, akan dikemukakan dua kasus perhitungan harga premi di tiap kelas risiko berdasarkan fungsi permintaan pada titik kesetimbangan. Kasus pertama, perhitungan harga premi menggunakan pendekatan pertama, dan kasus kedua, perhitungan harga premi menggunakan pendekatan kedua.
4.1 Perhitungan Harga Premi dengan Pendekatan Pertama Pada kasus ini, perhitungan harga premi menggunakan pendekatan pertama melalui persamaan (3.6) dengan parameter 𝑎 = 𝑞1−𝛼 �𝑟�∑𝑘𝑗=1 𝐷𝑗 (𝜋 ∗ )𝜎𝑗2
𝑞1−𝛼 𝑑𝑗 𝑟𝑗 ,
𝑗 = 1, ⋯ , 𝑘.
dan 𝑓𝑗 =
Harga premi pada titik kesetimbangan adalah 𝜋𝑗∗ = 𝜇𝑗 + 𝑞1−𝛼 𝑑𝑗 𝜎𝑗2 untuk setiap 𝑀𝑗 ,
𝑗 = 1, ⋯ , 𝑘
(4.3)
36
dalam interval 𝑚𝑗 ≤ 𝜇𝑗 + 𝑞1−𝛼 𝑑𝑗 𝜎𝑗2 ≤ 𝑀𝑗 ,
𝑗 = 1, ⋯ , 𝑘.
Bukti:
Untuk membuktikan
bahwa persamaan (4.3)
adalah titik keseimbangan, dengan
menyubstitusi persamaan ( 4.2) dan 𝑛𝑗 = 𝐷𝑗 (𝜋 ∗ ) dalam persamaan (3.6) diperoleh 𝑘
𝑟𝑗 𝑃�𝑗 �𝐷(𝜋 ∗ )� = 𝜇𝑗 + 𝑞 �� 𝐷𝑗 (𝜋 ∗ )𝜎𝑗2 𝑟𝐷𝑗 (𝜋 ∗ ) 1−𝛼 𝑗=1
𝑘
𝑞1−𝛼 𝑑𝑗 𝑟𝑗 2 𝑟𝑗 𝑞1−𝛼 𝑞1−𝛼 𝑑𝑗 𝜎𝑗2 �� = 𝜇𝑗 + 𝜎 𝑟 𝑑𝑗 𝑟𝑗 𝑞1−𝛼 𝑞1−𝛼 𝑑𝑗 𝜎𝑗2 𝑗 𝑗=1
𝑘
𝑞1−𝛼 𝜎𝑗2 �� 𝑟𝑗 = 𝜇𝑗 + 𝑟 = 𝜇𝑗 +
𝑞1−𝛼 𝜎𝑗2
𝑗=1
(4.4)
√𝑟
Persamaan (4.4) menyatakan bahwa 𝜋 ∗ dalam persamaan (4.3) adalah titik
kesetimbangan, jika dan hanya jika 𝑑𝑗 = 1⁄√𝑟, dan 𝑚𝑗 ≤ 𝜇𝑗 + 𝑞1−𝛼 𝜎𝑗2 ⁄√𝑟 ≤ 𝑀𝑗 , 𝑗 =
1, ⋯ , 𝑘 sehingga persamaan (4.3) dapat ditulis menjadi 𝜋𝑗∗
= 𝜇𝑗 + 𝑞1−𝛼
𝜎𝑗2
√𝑟
,
𝑗 = 1, ⋯ , 𝑘
(4.5)
dengan menyubstitusikan persamaan (4.5) ke dalam persamaan (4.1) menghasilkan 𝑟𝑗 𝐷𝑗 (𝜋 ∗ ) = 2 (4.6) 𝜎𝑗 4.2 Perhitungan Harga Premi dengan Pendekatan Kedua Pada kasus ini, perhitungan harga premi menggunakan pendekatan kedua melalui persamaan (3.17) dengan parameter 𝑎 yaitu 𝑘
𝐷𝑗 (𝜋 ∗ )𝜎𝑗2 𝑡 𝑎=� � , 𝑟 𝑟𝑗 𝑗=1
(4.7)
37
di mana 𝑡 > 0 dan 𝑓𝑗 = 𝑡𝑑𝑗 𝑟𝑗 , 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑘, dengan konstanta 𝑑𝑗 = √𝑘⁄√𝑟𝑡 , 𝑗 =
1, ⋯ , 𝑘, sehingga didapatkan harga premi pada titik kesetimbangan yaitu
𝜋𝑗∗ = 𝜇𝑗 + 𝑡𝑑𝑗 𝜎𝑗2 , 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑘, dalam interval 𝑚𝑗 ≤ 𝜇𝑗 + 𝑡𝑑𝑗 𝜎𝑗2 ≤ 𝑀𝑗 .
Selanjutnya dengan menyubstitusi diperoleh
𝜋𝑗∗ − 𝜇𝑗 = 𝑡𝑑𝑗 𝜎𝑗2
𝐷𝑗 (𝜋 ∗ ) =
(4.8)
ke persamaan
(4.1)
𝑟𝑗 𝜎𝑗2
(4.9)
kemudian menyubstitusi persamaan (4.7) dan (4.9) ke dalam persamaan (3.17) menghasilkan 𝜋𝑗∗
𝑘
𝑡𝜎𝑗2 𝑟𝑗 𝑘𝑡 �� = 𝜇𝑗 + = 𝜇𝑗 + � 𝜎𝑗2 , 2 𝑟 √𝑟 𝑟𝑗 𝑗=1 𝑟𝑗 𝜎𝑗 𝑟𝑗 𝜎𝑗2
(4.10)
karena 𝑑1 = 𝑑2 = ⋯ = 𝑑𝑘 = √𝑘⁄√𝑟𝑡, maka harga premi pada titik kesetimbangan adalah
𝜋𝑗∗ = 𝜇𝑗 + 𝑡𝑑𝑗 𝜎𝑗2 = 𝜇𝑗 +
4.3
Simulasi Kasus Hipotetik
√𝑘𝑡 √𝑟
𝜎𝑗2
untuk setiap 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑘
(4.11)
Misalkan suatu perusahaan asuransi menawarkan suatu produk yang berjangka waktu satu periode, kepada nasabah yang karakteristiknya tertuang dalam portfolio terdiri dari lima kelas risiko. Peluang terjadinya klaim untuk tiap kelas risiko adalah 𝑞𝑗 ,
dengan rataan klaim 𝜔𝑗 dan ragam klaim 𝜈𝑗2 . Rataan untuk tiap kelas adalah 𝜇𝑗 dan ragamnya 𝜎𝑗2 , diperlihatkan dalam Tabel 1, dengan asumsi mengikuti sebaran normal baku dan 𝑛𝑗 berjumlah besar sehingga berlaku teorema limit pusat. Tabel 1. Perhitungan rataan dan ragam dari lima kelas risiko Kelas 𝒋 1 2 3 4 5
Peluang terjadinya klaim 𝒒𝒋 0.050 0.100 0.210 0.185 0.250
Rataan klaim 𝝎𝒋 2,100 10,000 13,000 15,000 17,000
Ragam klaim 𝝂𝟐𝒋
100,000 200,000 100,000 6,000,000 8,000,000
Rataan 𝝁𝒋 = 𝒒𝒋 𝝎𝒋 105 1,000 2,730 2,775 4,250
Ragam
𝝈𝟐𝒋 = 𝝁𝟐𝒋 𝒒𝒋 �𝟏 − 𝒒𝒋 � +𝝊𝟐𝒋 𝒒𝒋
214,475 9,020,000 28,058,100 35,034,375 56,187,500
38
Gambar 1
dan 2 memperlihatkan fungsi harga premi dengan pendekatan
pertama dan kedua pada kelas ke-1. Perhitungan 𝑟𝑗
dan 𝜋𝑗 pada Gambar 1
menggunakan pendekatan pertama dengan ditetapkan nilai 𝛼 = 0.20. Perhitungan 𝑟𝑗
dan 𝜋𝑗 pada Gambar 2 menggunakan pendekatan kedua dengan ditetapkan nilai
𝑡 = 0.15. Perhitungan untuk kelas lainnya diperlihatkan melalui lampiran 3.
Gambar 1. Fungsi Harga Premi dengan Pendekatan Pertama pada Kelas ke-1.
Gambar 2. Fungsi Harga Premi dengan Pendekatan Kedua pada Kelas ke-1.
Dari pengamatan Gambar 1 dan Gambar 2, terlihat kedua gambar adalah hampir sama, hal tersebut memberi kesimpulan bahwa hubungan harga premi dan jumlah peserta pada kelas ke-1 melalui kedua pendekatan adalah relatif sama. Hal tersebut
39
juga berlaku untuk empat kelas risiko lainnya (dari eksekusi program pada lampiran 5). Perbedaan yang mungkin terjadi dari kedua pendekatan, pada penentuan nilai 𝛼 yang
dipilih pada pendekatan pertama dibandingkan dengan penentuan nilai 𝑡 pada pendekatan kedua.
Pada tiap kelas risiko diberikan nilai 𝑓𝑗 yang sama untuk kedua pendekatan.
Nilai 𝑓𝑗 diasumsikan sebagai jumlah peserta pada saat 𝜋𝑗 = 𝜇𝑗 + 1. Penentuan nilai 𝑟𝑗
pada titik kesetimbangan berdasarkan nilai 𝑓𝑗 yang diberikan. Tabel 2 memperlihatkan,
perhitungan nilai 𝑟𝑗 pada tiap kelas risiko, dilakukan dengan menggunakan pendekatan pertama, dengan nilai 𝛼 = 0.20 sehingga diperoleh nilai 𝑞1−𝛼 = 0.8416, dimana 𝑞1−𝛼
adalah 1 − 𝛼 persentil dari sebaran normal baku. Pada titik kesetimbangan besarnya premi 𝜋𝑗∗ dan jumlah peserta 𝑛𝑗 = 𝐷(𝜋 ∗ ), masing-masing dihitung dengan
menggunakan persamaan (4.5) dan (4.6).
Tabel 2. Perhitungan titik kesetimbangan menggunakan pendekatan pertama Kelas 1 2 3 4 5
𝒇𝒋 51,000 48,000 38,000 35,000 31,000
𝒓𝒋 4.3E+09 4.0E+09 3.2E+09 2.9E+09 2.6E+09
𝝅∗𝒋 107.57 1,108.13 3,066.36 3,195.23 4,923.64
𝒏𝒋 = 𝑫(𝝅∗ ) 19,835.44 443.91 112.97 83.33 46.02
Tabel 3 memperlihatkan, perhitungan nilai 𝑟𝑗 untuk tiap kelas risiko, dilakukan
menggunakan pendekatan kedua, dan diberikan nilai 𝑡 = 0,15.
Pada titik
kesetimbangan harga premi 𝜋𝑗∗ , dan jumlah peserta 𝑛𝑗 = 𝐷(𝜋 ∗ ), masing-masing dihitung dengan menggunakan persamaan (4.11) dan (4.9).
Tabel 3. Perhitungan titik kesetimbangan menggunakan pendekatan kedua Kelas 1 2 3 4 5
𝒇𝒋 51,000 48,000 38,000 35,000 31,000
𝒓𝒋 1.55E+10 1.46E+10 1.16E+10 1.07E+10 9.44E+09
𝝅𝒋 105.70 1,029.63 2,822.16 2,890.08 4,434.56
𝒏𝒋 = 𝑫�𝝅𝒋 � 72,393.83 1,620.10 412.32 304.15 167.97
40
Perbedaan titik kesetimbangan, antara pendekatan pertama dan pendekatan kedua disebabkan oleh berbedanya penentuan nilai 𝑟𝑗 dari kedua pendekatan tersebut.
Akibatnya, terjadi perbedaan penghitungan harga premi melalui persamaan (4.5) dan (4.11), dan perbedaan penghitungan jumlah peserta melalui persamaan (4.6) dan (4.9).
