BAB IV PERHITUNGAN NUMERIK Dengan memperhatikan fungsi sebaran peluang bertahan dari masingmasing sebaran klaim, sebagai mana ditulis pada persamaan (3.45), (3.70) dan (3.90), perhitungan numerik tidak mudah dilakukan secara manual. Hal ini disebabkan adanya indeks j dan k yang berjalan dari 0 sampai tak hingga. Untuk itu perhitungan numerik dilakukan dengan menggunakan software Mathematica. Program perhitungan numerik beserta hasil outputnya dapat dilihat pada lampiran 3. Agar hasil aslinya dapat dilihat dengan jelas, maka printoutnya tetap dalam format Mathematica. 4.1
Parameter Untuk menentukan nilai fungsi peluang bertahan dalam model risiko klasik
( (u , t ) ), ditentukan nilai dari beberapa parameter dan peubah yang diperlukan. Peubah dari model risiko klasik adalah u dan t, sedangkan parameternya adalah c. Parameter dari fungsi kepekatan peluang peubah acak besarnya klaim adalah , dan b. Sedangkan
adalah parameter fungsi kepekatan peluang peubah acak
waktu antar kedatangan dua klaim yang berurutan. Modal awal (u) ditentukan sebesar 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan 10. Besar premi (c) dipilih 1; 1,1 dan 1,2 agar kelihatan perbedaannya. Untuk besar klaim menyebar eksponensial dan Erlang(2), waktu (t) dipilih 1, 2, 3, ...,10. Sedangkan untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran, nilai t dipilih 1, 2, 3, ...,8. Untuk besar klaim yang menyebar secara eksponensial, nilai sebesar 1 dan untuk besar klaim yang menyebar secara Erlang(2) nilai
diambil sebesar
2. Sedangkan pada besar klaim yang menyebar secara eksponensial campuran nilai
,
dan b berturut-turut dipilih 1/2, 2 dan 1/3. sebagai parameter fungsi kepekatan peluang peubah acak waktu antar
kedatangan dua klaim yang berurutan, dipilih sebesar 1. Parameter terakhir ini adalah merupakan parameter proses Poisson. 36
Meskipun beberapa parameter telah ditentukan di depan, untuk keperluan eksplorasi, pembaca dapat menentukan sendiri semua parameter sesuai dengan keinginan. 4.2
Hasil Perhitungan Numerik Karena keterbatasan tampilan yang dimiliki oleh Mathematica, hasil
perhitungan disusun kembali di dalam workseet pada software Excel. Hasil perhitungan nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik secara lengkap dapat dilihat pada tabel 4.1 sampai dengan tabel 4.9. Interpretasi dari nilai-nilai yang ada pada setiap tabel adalah peluang bertahan suatu perusahaan asuransi dalam interval waktu [0,t] dengan modal awal u dan besar premi per satuan waktu adalah c. Misalnya nilai 0,452522 yang tertera pada tabel 4.1 baris 5 kolom 3 menyatakan bahwa suatu perusahan dengan modal awal 1 dan premi yang masuk per satuan waktu adalah 1, dalam interval waktu [0,5] memiliki nilai peluang bertahan sebesar 0,452522. Nilai yang diperoleh berasumsikan bahwa klaim menyebar eksponensial dengan rataan 1. 4.2.1
Eksponensial ( =1)
Tabel 4.1 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter =1, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1 Nilai Peluang Bertahan
t u=0
u=1
u=2
u=3
u=4
u=5
u=10
1
0,523778
0,754062
0,875804
0,938420
0,969931
0,985508
0,999674
2
0,385753
0,628038
0,782073
0,875724
0,930718
0,962116
0,998509
3
0,318709
0,549107
0,711640
0,820832
0,891398
0,935572
0,996300
4
0,277574
0,493892
0,656836
0,773815
0,854568
0,908518
0,993039
5
0,249096
0,452522
0,612798
0,733435
0,820846
0,882163
0,988814
6
0,227891
0,420046
0,576470
0,698457
0,790187
0,857032
0,983757
7
0,211313
0,393680
0,545864
0,667862
0,762337
0,833318
0,978004
8
0,197894
0,371723
0,519634
0,640851
0,736987
0,811054
0,971688
9
0,186743
0,353070
0,496834
0,616799
0,713841
0,790195
0,964927
10
0,177287
0,336967
0,476781
0,595217
0,692631
0,770659
0,957822
37
Tabel 4.2 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter =1, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1,1 Nilai Peluang Bertahan
t u=0
u=1
u=2
u=3
u=4
u=5
u=10
1
0,536599
0,761944
0,880294
0,940854
0,971205
0,986158
0,999692
2
0,407136
0,645431
0,794328
0,883674
0,935598
0,964993
0,998650
3
0,344789
0,574022
0,731541
0,835242
0,901180
0,941909
0,996770
4
0,306693
0,524715
0,683593
0,794706
0,869793
0,919073
0,994105
5
0,280402
0,488107
0,645581
0,760489
0,841638
0,897341
0,990767
6
0,260881
0,459571
0,614552
0,731250
0,816458
0,877008
0,986885
7
0,245662
0,436536
0,588633
0,705959
0,793894
0,858125
0,982580
8
0,233374
0,417448
0,566579
0,683840
0,773592
0,840636
0,977958
9
0,223189
0,401304
0,547350
0,664304
0,755239
0,824442
0,973106
10
0,214573
0,387424
0,530870
0,646901
0,738570
0,809433
0,968097
Tabel 4.3 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial dengan parameter =1, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1,2 Nilai Peluang Bertahan t u=0
u=1
u=2
u=3
u=4
u=5
u=10
1
0,548979
0,769506
0,884583
0,943173
0,972416
0,986773
0,999708
2
0,427733
0,661876
0,805782
0,891042
0,940091
0,967628
0,998777
3
0,370048
0,597469
0,749936
0,848385
0,910008
0,947577
0,997178
4
0,335091
0,553703
0,708179
0,813567
0,883342
0,928352
0,995003
5
0,311146
0,521613
0,675615
0,784753
0,859960
0,910515
0,992373
6
0,293492
0,496865
0,649395
0,760534
0,839443
0,894178
0,989406
7
0,279825
0,477080
0,627755
0,739882
0,821357
0,879284
0,986203
8
0,268867
0,460831
0,609541
0,722049
0,805321
0,865715
0,982846
9
0,259846
0,447204
0,593966
0,706481
0,791015
0,853335
0,979400
10
0,252267
0,435582
0,580472
0,692763
0,778180
0,842017
0,975913
38
4.2.2
Erlang(2) ( =2)
Tabel 4.4 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter =2, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1 Nilai Peluang Bertahan t u=0
u=1
u=2
u=3
u=4
u=5
u=10
1
0,474548
0,741084
0,892471
0,958325
0,984633
0,994561
0,999981
2
0,340600
0,613471
0,800131
0,903210
0,955505
0,980432
0,999804
3
0,279447
0,534692
0,729146
0,851441
0,922446
0,961226
0,999268
4
0,242587
0,480020
0,673468
0,805632
0,889485
0,939681
0,998212
5
0,217286
0,439259
0,628556
0,765553
0,858147
0,917400
0,996551
6
0,198541
0,407370
0,591431
0,730418
0,828932
0,895270
0,994262
7
0,183937
0,381543
0,560115
0,699431
0,801914
0,873763
0,991366
8
0,172144
0,360075
0,533253
0,679060
0,776989
0,853112
0,987906
9
0,162362
0,341863
0,509892
0,647283
0,753993
0,833421
0,983943
10
0,154079
0,326161
0,489337
0,625109
0,732745
0,814716
0,979538
Tabel 4.5 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter =2, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1,1 Nilai Peluang Bertahan t u=0
u=1
u=2
u=3
u=4
u=5
u=10
1
0,488408
0,751323
0,897816
0,960744
0,985630
0,994945
0,999982
2
0,364106
0,635115
0,814990
0,911867
0,960039
0,982631
0,999833
3
0,307657
0,565021
0,753322
0,867694
0,932242
0,966682
0,999407
4
0,273762
0,517045
0,705941
0,829626
0,905384
0,949420
0,998611
5
0,250577
0,481626
0,668289
0,796967
0,880453
0,932058
0,997410
6
0,233458
0,454130
0,637526
0,768776
0,857649
0,915197
0,995816
7
0,220165
0,432006
0,611823
0,744225
0,836888
0,899112
0,993860
8
0,209466
0,413720
0,589956
0,722652
0,817991
0,883913
0,991587
9
0,200621
0,398288
0,571076
0,703533
0,800757
0,869620
0,989047
10
0,193155
0,385046
0,554570
0,686459
0,784996
0,856207
0,986284
39
Tabel 4.6 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar Erlang(2) dengan parameter =2, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1,2 Nilai Peluang Bertahan t u=0
u=1
u=2
u=3
u=4
u=5
u=10
1
0,502106
0,761117
0,902870
0,963012
0,986559
0,995300
0,999984
2
0,387029
0,655524
0,828698
0,919722
0,964098
0,984578
0,999858
3
0,335338
0,593515
0,775365
0,882169
0,940798
0,971369
0,999520
4
0,304598
0,551845
0,735378
0,850754
0,919044
0,957610
0,998921
5
0,283769
0,521535
0,704209
0,824428
0,899395
0,944194
0,998058
6
0,268532
0,498308
0,679157
0,802147
0,881831
0,931498
0,996955
7
0,256808
0,479840
0,658528
0,783076
0,866157
0,919659
0,995648
8
0,247459
0,464746
0,641211
0,766577
0,852142
0,908694
0,994176
9
0,239799
0,452145
0,626444
0,752163
0,839568
0,898569
0,992574
10
0,233393
0,441444
0,613687
0,739463
0,828241
0,889228
0,990877
4.2.3
Eksponensial Campuran ( =1/2, =2 dan b=1/3)
Tabel 4.7 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter =1/2, =2 dan b=1/3, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1 Nilai Peluang Bertahan t u=0
u=1
u=2
u=3
u=4
u=5
u=10
1
0,567133
0,792685
0,880171
0,925039
0,951868
0,96887
0,996479
2
0,440482
0,675515
0,790809
0,859682
0,904776
0,935263
0,990872
3
0,372842
0,597869
0,722953
0,804794
0,861878
0,902435
0,983717
4
0,32883
0,541689
0,669564
0,758493
0,823472
0,871465
0,975434
5
0,29728
0,498687
0,626271
0,718981
0,78918
0,842661
0,966351
6
0,273271
0,464444
0,590303
0,684849
0,758483
0,816018
0,95672
7
0,25423
0,43636
0,55983
0,655029
0,730882
0,791411
0,946737
8
0,238658
0,412796
0,533596
0,628711
0,70594
0,768669
0,93655
40
Tabel 4.8 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter =1/2, =2 dan b=1/3, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1,1 Nilai Peluang Bertahan t u=0
u=1
u=2
u=3
u=4
u=5
u=10
1
0,580846
0,798626
0,883252
0,926879
0,953042
0,969637
0,996572
2
0,461369
0,68882
0,799485
0,86559
0,908884
0,938134
0,991327
3
0,397651
0,617285
0,737364
0,815487
0,8698
0,90827
0,984852
4
0,356298
0,566103
0,689276
0,774039
0,835562
0,880747
0,977563
5
0,326745
0,527251
0,650749
0,739194
0,805509
0,855627
0,969761
6
0,304322
0,496513
0,619042
0,709449
0,77898
0,832751
0,961661
7
0,286586
0,471437
0,592386
0,683716
0,755402
0,811901
0,953421
8
0,272104
0,450484
0,569581
0,661188
0,734304
0,792847
0,945151
Tabel 4.9 Nilai peluang bertahan dalam model risiko klasik untuk besar klaim menyebar eksponensial campuran dengan parameter =1/2, =2 dan b=1/3, parameter waktu antar kedatangan =1 dan besar premi c=1,2 Nilai Peluang Bertahan t u=0
u=1
u=2
u=3
u=4
u=5
u=10
1
0,593767
0,804255
0,886199
0,92865
0,954174
0,970376
0,996662
2
0,480969
0,701241
0,807617
0,871144
0,91275
0,940835
0,991753
3
0,421067
0,635335
0,750729
0,825395
0,877131
0,913661
0,985892
4
0,382411
0,588789
0,70745
0,788309
0,846617
0,889206
0,979478
5
0,354951
0,553819
0,673245
0,757628
0,820312
0,86732
0,972779
6
0,334236
0,526393
0,645411
0,731787
0,797441
0,847719
0,965974
7
0,317938
0,50419
0,622235
0,709687
0,777379
0,83011
0,95184
8
0,304702
0,485765
0,602576
0,690534
0,759632
0,814224
0,952489
4.3
Analisis Hasil Perhitungan Dengan memperhatikan hasil perhitungan numerik yang disajikan dalam
setiap tebel, menunjukkan bahwa: 1 Perusahaan asuransi yang tidak memiliki modal awal, dalam interval waktu tertentu masih memiliki harapan untuk tetap bertahan, karena nilai 41
peluangnya tidak 0. Hal ini ditunjukkan oleh nilai-nilai yang ada pada kolum u
0 dari setiap tabel.
2 Perusahaan asuransi dengan modal awal yang lebih besar akan memiliki harapan bertahan lebih besar dibanding dengan perusahaan asuransi dengan modal awal yang lebih kecil. 3 Perusahaan asuransi dengan modal awal 10, memiliki peluang bertahan yang besar, bahkan mendekati 1. Hal ini berarti harapan akan terjadi kebangkrutan pada perusahaan tersebut sangat kecil. 4 Disamping dengan memperbesar modal awal, usaha lain untuk meningkatkan harapan bertahan pada perusahaan asuransi adalah dengan cara meningkat rata-rata premi yang masuk per satuan waktu. 5 Untuk interval waktu yang semakin lama, nilai peluang bertahan menuju 0. Sehingga semakin lama perusahaan asuransi berdiri, harapan untuk tetap bertahan akan semakin kecil.
42
