BAB IV PEMBAHASAN. Sampel Polinomial. (Horner, 1971) (Horner, 1971) (Neill, 2010) (Neill, 2010) (Neill, 2010) (Horner, 1971) (Neill, 2010)

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

BAB IV PEMBAHASAN

4.1 Sampel Polinomial Penelitian Sampel-sampel yang digunakan dalam penelitian ini berupa persamaan polinomial derajat dua, tiga, empat, dan n yang didapat dari berbagai sumber literatur. Sampel polinomial ditunjukkan pada Tabel 4.1. Tabel 4.1 Sampel Polinomial No

Derajat

Sampel Polinomial

Polinomial 1

2

3

Sumber

Polinomial

‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͺ‫ ݔ‬൅ ͺͳ

(Horner, 1971)

derajat 2

‫ ݔ‬ଶ െ ͳ͵‫ ݔ‬െ ͵Ͳ

(Horner, 1971)

‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͲ‫ ݔ‬െ ͳͶ

(Neill, 2010)

‫ ݔ‬ଶ ൅ ͷ‫ ݔ‬൅ ͳͳ

(Neill, 2010)

‫ ݔ‬ଶ െ ͵‫ ݔ‬൅ ͷ

(Neill, 2010)

Polinomial

‫ ݔ‬ଷ െ ͺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳʹ

(Horner, 1971)

derajat 3

‫ ݔ‬ଷ ൅ ͵‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͹

(Horner, 1971)

‫ ݔ‬ଷ ൅ ͵‫ ݔ‬ଶ ൅ ͵‫ ݔ‬൅ ʹ

(Horner, 1971)

‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ‫ ݔ‬ଶ െ ͷ‫ ݔ‬െ ͸

(Horner, 1971)

‫ ݔ‬ଷ െ Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵

(Neill, 2010)

Polinomial

‫ ݔ‬ସ ൅ ͹‫ ݔ‬ଷ െ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͹‫ ݔ‬െ ͳ

(Horner, 1971)

derajat 4

‫ ݔ‬ସ െ ʹ‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ‫ ݔ‬ଶ െ ͹‫ ݔ‬൅ ͳ

(Horner, 1971)

‫ ݔ‬ସ െ ͳ͸‫ ݔ‬ଷ ൅ ͺ͸‫ ݔ‬ଶ െ ͳ͹͸‫ ݔ‬൅ ͳͲͷ

(Horner, 1971)

‫ ݔ‬ସ െ ͷ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͳ͵‫ ݔ‬ଶ െ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳͲ

(James, Smith & Wolford, 2000)

4

Polinomial

‫ ଻ ݔ‬൅ ͵‫ ଺ ݔ‬െ Ͷ‫ ݔ‬ହ െ ʹ‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ

(Horner, 1971)

derajat n

‫ ଼ ݔ‬െ ‫ ଻ ݔ‬െ ͵ͻ‫ ଺ ݔ‬൅ ͵͹‫ ݔ‬ହ ൅ ͶͶ͸‫ ݔ‬ସ

(James, Smith &

െͳͲͺ‫ ݔ‬ଷ െ ͳͻʹͺ‫ ݔ‬ଶ െ ʹͷ͸‫ݔ‬

Wolford, 2000)

൅ͳͻʹͲ

commit to user

52

53 digilib.uns.ac.id


4.2 Pencarian Akar Kompleks Polinomial Secara Manual Pencarian akar kompleks masing-masing sampel polinomial yang telah ditentukan secara manual dilakukan sebelum kalkulator dibangun. Pencarian akar kompleks polinomial dilakukan dengan menerapkan masing-masing algoritma secara manual. Algoritma yang digunakan dalam pencarian akar kompleks polinomial secara manual adalah rumus kuadrat (Alg 2.1), Cardano (Alg 2.2), Viete’s (Alg 2.3), Bairstow (Alg 2.4), revisis algoritma Bairstow (Alg 2.5), dan Muller (Alg 2.6). Sampel yang digunakan yaitu satu sampel polinomial derajat dua, tiga, dan empat. Sampel tersebut dapat dilihat pada Tabel 4.1. Perhitungan manual ini merupakan dasar pembangunan program kalkulator. Berikut ini merupakan pembahasan lebih rinci mengenai perhitungan masing-masing algoritma : 4.2.1 Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Dua a. Pencarian akar kompleks ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͹‫ ݔ‬൅ ͳʹ menggunakan rumus kuadrat 1. Berdasarkan bentuk polinomial derajat dua yaitu ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݔ݌‬൅ ‫ݍ‬, maka nilai p = 7 dan q = 12. 2. Menentukan nilai diskriminan ௣ ଶ

଻ ଶ

‫ ܦ‬ൌ ቀଶቁ െ ‫ ݍ‬ൌ ቀଶቁ െ ͳʹ ൌ ሺ͵ǡͷሻଶ െ ͳʹ ൌ ͳʹǡʹͷ െ ͳʹ ൌ Ͳǡʹͷ 3. Menentukan akar kompleks polinomial ௣

଻

‫ݔ‬ଵ ൌ െ ଶ ൅ ξ‫ ܦ‬ൌ െ ଶ ൅ ඥͲǡʹͷ ൌ െ͵ǡͷ ൅ Ͳǡͷ ൌ െ͵ǡͲ ൅ ͲǡͲ݅ ‫݌‬ ͹ ‫ݔ‬ଶ ൌ െ െ ξ‫ ܦ‬ൌ െ െ ඥͲǡʹͷ ൌ െ͵ǡͷ െ Ͳǡͷ ൌ െͶǡͲ ൅ ͲǡͲ݅ ʹ ʹ Dengan demikian, maka penyelesaian polinomial

‫ ݔ‬ଶ ൅ ͹‫ ݔ‬൅ ͳʹ

menggunakan Rumus Kuadrat menghasilkan dua akar kompleks yakni െ͵ǡͲ ൅ ͲǡͲ݅ dan െͶǡͲ ൅ ͲǡͲ݅.

4.2.2 Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Tiga a. Pencarian akar kompleks polinomial ‫ ݔ‬ଷ െ Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵ menggunakan algoritma Cardano 1. Berdasarkan bentuk polinomial derajat tiga yaitu ‫ ݔ‬ଷ ൅ ‫ ݔݎ‬ଶ ൅ ‫ ݔݏ‬൅ ‫ݐ‬, maka r = -4, s = -2, dan t = 3.

commit to user



‫ݕ‬ൌ‫ݔ‬൅

2. Mensubtitusikan

௥

pada

ଷ

persamaan

kubik,

sehingga

mengasilkan persamaan tereduksi ‫ ݕ‬ଷ ൅ ‫ ݕ݌‬൅ ‫ ݍ‬ൌ Ͳ. Nilai p dan q didapat dari : ‫݌‬ൌ

͵‫ ݏ‬െ ‫ ݎ‬ଶ ͵ሺെʹሻ െ ሺെͶሻଶ െ͸ െ ͳ͸ െʹʹ ൌ ൌ ൌ ൌ െ͹ǡ͵ ͵ ͵ ͵ ͵

ʹሺെͶሻଷ ሺെͶሻሺെʹሻ െͳʹͺ ͺ ʹ‫ ݎ‬ଷ ‫ݏݎ‬ െ ൅‫ ݐ‬ൌ െ ൅͵ൌ െ ൅͵ ‫ݍ‬ൌ ͵ ͵ ʹ͹ ͵ ʹ͹ ʹ͹ െͳʹͺ ͹ʹ ͺͳ െͳͳͻ െ ൅ ൌ ൌ െͶǡͶ ‫ݍ‬ൌ ʹ͹ ʹ͹ ʹ͹ ʹ͹ 3. Menghitung nilai diskriminan ‫ ݌‬ଷ ‫ ݌‬ଶ െ͹ǡ͵ ଷ െͶǡͶ ଶ ‫ ܦ‬ൌቀ ቁ ൅ቀ ቁ ൌ൬ ൰ ൅൬ ൰ ൌ െʹǡͶଷ ൅ െʹǡʹଶ ൌ െͻǡͺ ͵ ʹ ͵ ʹ 4. Dari perhitungan di atas, diketahui bahwa nilai diskriminan dari persamaan polinomial tersebut bernilai kurang dari nol. Kasus seperti ini disebut sebagai irreducible case yang akan menghasilkan akar kompleks. Dengan demikian, pencarian akar kompleks polinomial menggunakan algoritma Cardano dilakukan dengan menerapkan ܿ‫ ߮ݏ݋‬ൌ െ ܿ‫ ߮ݏ݋‬ൌ െ ܿ‫ ߮ݏ݋‬ൌ െ

௤ ଶඥሺȁ௣ȁΤଷሻయ

, berikut ini detail perhitungannya :

‫ݍ‬ ʹඥሺȁ‫݌‬ȁΤ͵ሻଷ

ൌെ

ሺെͶǡͶሻ

ሺെͶǡͶሻ ʹඥሺȁെ͹Ǥ͵ȁΤ͵ሻଷ

ൌെ

ʹξͳͶǡ͸Ͳ͸͵ͳ

ൌെ

ሺെͶǡͶሻ ʹඥሺʹǤͶሻଷ

ሺെͶǡͶሻ ሺെͶǡͶሻ ൌെ ሺʹሻሺ͵ǡͺʹͳͺʹሻ ͹ǡ͸Ͷ͵͸Ͷ

ܿ‫ ߮ݏ݋‬ൌ Ͳǡͷ͹͸͸ͳͳ Sehingga, ߮ ൌ Ͳǡͻͷ͸ʹʹͳ͹ͳ Dengan demikian, maka solusi dari persamaan tereduksi ‫ ݕ‬ଷ ൅ ‫ ݕ݌‬൅ ‫ ݍ‬ൌ Ͳ adalah sebagai berikut : x

ȁ௣ȁ

௥

ఝ

‫ݔ‬ଵ ൌ െ ଷ ൅ ʹ ή ට ଷ ቀ ଷ ቁ ‫ݔ‬ଵ ൌ െ ସ

ሺିସሻ ଷ

ȁି଻ǡଷȁ

൅ʹήට ଻ǡଷ

ଷ

ቀ

଴ǡଽହ଺ଶଶଵ଻ଵ

‫ݔ‬ଵ ൌ ଷ ൅ ʹ ή ට ଷ ሺͲǡ͵ͳͺ͹Ͷͳሻ commit to user

ଷ

ቁ



ସ

଻ǡଷ

‫ݔ‬ଵ ൌ ଷ ൅ ʹ ή ට ଷ ሺͲǡ͵ͳͺ͹Ͷͳሻ ସ

‫ݔ‬ଵ ൌ ଷ ൅ ʹ ή ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ʹ ή ͲǡͻͶͻ͸͵ͳ ସ

‫ݔ‬ଵ ൌ ଷ ൅ ʹǡͻ͸ͻͶͶʹ ‫ݔ‬ଵ ൌ Ͷǡ͵Ͳʹ͹͹͸ x

ȁ௣ȁ

௥

‫ݔ‬ଶ ൌ െ ଷ െ ʹ ή ට ‫ݔ‬ଶ ൌ െ

ሺିସሻ ଷ

ଷ

ఝିగ

ቀ

െʹήට

ȁି଻ǡଷȁ

ଷ

ቁ

ቀ

ଷ

଴ǡଽହ଺ଶଶଵ଻ଵିଷǡଵସଵହଽ ଷ

ቁ

ସ

‫ݔ‬ଶ ൌ ଷ െ ʹ ή ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹ ή ሺെͲǡ͹ʹͺͶͷ͸ͻͺͳሻ ସ

‫ݔ‬ଶ ൌ ଷ െ ʹ ή ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹ ή Ͳǡ͹Ͷ͸ʹͲʹͷͲ͹ ‫ݔ‬ଶ ൌ െͳ x

ȁ௣ȁ

௥

ఝାగ

‫ݔ‬ଷ ൌ െ ଷ െ ʹ ή ට ଷ ቀ ‫ݔ‬ଷ ൌ െ

ሺିସሻ ଷ

െʹήට

ȁି଻ǡଷȁ ଷ

ଷ

ቁ

ቀ

଴ǡଽହ଺ଶଶଵ଻ଵାଷǡଵସଵହଽ ଷ

ቁ

ସ

‫ݔ‬ଷ ൌ ଷ െ ʹ ή ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹ ή ሺͳǡ͵͸ͷͻ͵ͺሻ ସ

‫ݔ‬ଷ ൌ ଷ െ ʹ ή ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹ ή ͲǡʹͲ͵Ͷʹͺ ସ

‫ݔ‬ଷ ൌ ଷ െ Ͳǡ͸͵͸ͳͲͻ ‫ݔ‬ଷ ൌ Ͳǡ͸ͻ͹ʹʹͶ Dengan demikian, berdasarkan algoritma Cardano, polinomial ‫ ݔ‬ଷ െ Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵ memiliki tiga akar diantaranya adalah Ͷǡ͵Ͳʹ͹͹͸ ൅ ͲǡͲ݅, െͳǡͲ ൅ ͲǡͲ݅ , dan Ͳǡ͸ͻ͹ʹʹͶ ൅ ͲǡͲ݅. b. Pencarian akar kompleks polinomial ‫ ݔ‬ଷ െ Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵ menggunakan algoritma Viete’s 1. Berdasarkan bentuk polinomial derajat tiga yaitu ‫ ݔ‬ଷ ൅ ‫ ݔݎ‬ଶ ൅ ‫ ݔݏ‬൅ ‫ݐ‬, maka r = -4, s = -2, dan t = 3. 2. Mensubtitusikan ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬൅

௥ ଷ

pada persamaan ‫ ݔ‬ଷ െ Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵,

sehingga mengasilkan persamaan tereduksi ‫ ݕ‬ଷ ൅ ‫ ݕ݌‬൅ ‫ ݍ‬ൌ Ͳ. Nilai p commit to user dan q didapat dari :



‫݌‬ൌ

͵‫ ݏ‬െ ‫ ݎ‬ଶ ͵ሺെʹሻ െ ሺെͶሻଶ െ͸ െ ͳ͸ െʹʹ ൌ ൌ ൌ ൌ െ͹ǡ͵ ͵ ͵ ͵ ͵

ʹሺെͶሻଷ ሺെͶሻሺെʹሻ െͳʹͺ ͺ ʹ‫ ݎ‬ଷ ‫ݏݎ‬ െ ൅‫ ݐ‬ൌ െ ൅͵ൌ െ ൅͵ ‫ݍ‬ൌ ͵ ͵ ʹ͹ ͵ ʹ͹ ʹ͹ െͳʹͺ ͹ʹ ͺͳ െͳͳͻ െ ൅ ൌ ൌ െͶǡͶ ‫ݍ‬ൌ ʹ͹ ʹ͹ ʹ͹ ʹ͹ 3. Menghitung nilai d dan c ݀ൌ

െ‫ ݌‬͹Ǥ͵ ൌ ൌ ʹǡͶͶ ͵ ͵

‫݌‬ଷ ‫ ݍ‬ଶ ‫ݍ‬ ܿ ൌെ ൅ ඨ ൅ ʹ͹ Ͷ ʹ ܿ ൌെ

ሺെ͹ǡ͵ሻଷ ሺെͶǡͶሻଶ ሺെͶǡͶሻ ൅ඨ ൅ ʹ͹ Ͷ ʹ

ሺെ͹ǡ͵ሻଷ ሺെͶǡͶሻଶ ൅ ܿ ൌ ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ඨ ʹ͹ Ͷ ܿ ൌ ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ඥെͳͶǡ͸Ͳ͸͵ͳͲͲͳ ൅ Ͷǡͺͷ͸͵ͳͲͲͳͶ ܿ ൌ ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ඥെͻǡ͹ͷ ܿ ൌ ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ͵ǡͳʹʹͶͻͺͻͻͻ݅ 4. Langkah selanjutnya adalah mencari nilai r. Nilai r didapat dari akar య

pangkat tiga dari nilai c ൫ ξܿ൯. Di bawah ini akan dijelaskan mengenai detail perhitungan nilai r : య

య

‫ ݎ‬ൌ ξܿ ൌ ඥʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ͵ǡͳʹʹͶͻͺͻͻͻ݅ Nilai ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൅ ͵ǡͳʹʹͶͻͺͻͻͻ݅ kemudian diubah menjadi bentuk trigonometri. ߩ ൌ ȁܿȁ ൌ ඥܽଶ ൅ ܾ ଶ ൌ ඥʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶଶ ൅ ͵ǡͳʹʹͶͻͺͻͻͻଶ ൌ ඥͶǡͺͷ͸͵ͳͲͲͳͶ ൅ ͻǡ͹ͷ ൌ ඥͳͶǡ͸Ͳ͸͵ͳͲͲͳ ൌ ͵ǡͺʹͳͺʹͲʹͶͻ ‫ݕ‬ ͵ǡͳʹʹͶͻͺͻͻͻ ൰ ߠ ൌ ‫ି݊ܽݐ‬ଵ ቀ ቁ ൌ ‫ି݊ܽݐ‬ଵ ൬ ‫ݔ‬ ʹǡʹͲ͵͹Ͳ͵͹ͲͶ ൌ ‫ି݊ܽݐ‬ଵ ሺͳǡͶͳ͸ͻ͵ʹ͵ͳͻሻ ൌ Ͳǡͻͷ͸ʹʹͳ͹ͳ

commit to user



Karena nilai x dan y bernilai positif, maka sudut yang terbentuk berada di kuadran satu. Sudut yang terbentuk oleh θ adalah 54,79o. Nilai variable r dihitung dengan menggunakan rumus berikut : ‫ ݎ‬ൌ యඥߩ ൬ܿ‫ݏ݋‬

ߠ ൅ ʹ݇ߨ ߠ ൅ ʹ݇ߨ ൅ ‫݊݅ݏ‬ ݅൰ ͵ ͵

Dengan nilai k = 0, 1, 2. x

‫ ݎ‬ൌ యඥߩ ቀܿ‫ݏ݋‬

ఏାଶ௞గ ଷ

൅ ‫݊݅ݏ‬

‫ ݎ‬ൌ యξ͵ǡͺʹͳͺʹͲʹͶͻ ቀܿ‫ݏ݋‬

ఏାଶ௞గ ଷ ହସǡ଻ଽ ଷ

݅ቁ

൅ ‫݊݅ݏ‬

ହସǡ଻ଽ ଷ

݅ቁ

‫ ݎ‬ൌ ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹሺሺͳͺǡʹ͸ሻ ൅ ሺͳͺǡʹ͸ሻ ݅ሻ ‫ ݎ‬ൌ ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅ x


ఏାଶ௞గ ଷ

൅ ‫݊݅ݏ‬


ఏାଶ௞గ ଷ

݅ቁ

ହସǡ଻ଽାଶ஠ ଷ

൅ ‫݊݅ݏ‬

ହସǡ଻ଽାଶ஠ ଷ

݅ቁ

‫ ݎ‬ൌ ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹሺሺͳ͵ͺǡʹ͸ሻ ൅ ሺͳ͵ͺǡʹ͸ሻ ݅ሻ ‫ ݎ‬ൌ ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹሺെͲǡ͹Ͷ͸ʹͲʹͷͲ͹ ൅ Ͳǡ͸͸ͷ͹ͳͻͲʹ͵݅ሻ ‫ ݎ‬ൌ െͳǡͳ͸͸͹ ൅ ͳǡͲͶͲͺ͵͵݅ x


ఏାଶ௞గ ଷ

൅ ‫݊݅ݏ‬


ఏାଶ௞గ ଷ

݅ቁ

ହସǡ଻ଽାସ஠ ଷ

൅ ‫݊݅ݏ‬

ହସǡ଻ଽାସ஠ ଷ

݅ቁ

‫ ݎ‬ൌ ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹሺሺʹͷͺǡʹ͸ሻ ൅ ሺʹͷͺǡʹ͸ሻ ݅ሻ ‫ ݎ‬ൌ ͳǡͷ͸͵Ͷ͹ͳͻʹሺെͲǡʹͲ͵Ͷʹͺ͵͵ʹ ൅ ሺെͲǡͻ͹ͻͲͺͻͺ͵ͻ݅ሻሻ ‫ ݎ‬ൌ െͲǡ͵ͳͺͲͷͶͶͺ͸ െ ͳǡͷ͵Ͳ͹͹ͻͶ͹ͳ݅ Dari ketiga nilai r yang memenuhi yaitu nilai r dengan k sama dengan nol yang mengasilkan nilai r positif yaitu ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅. 5. Menghitung nilai akar polinomial pertama dengan perhitungan sebagai berikut : ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ ݎ‬൅

݀ ‫ݎ‬

‫ݔ‬ଵ ൌ ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅ ʹǡͶͶ ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅ commit to user ‫ݔ‬ଵ ൌ ʹǡͻ͸ͻͶͶʹ͵ͲͶ ൅



6. Kedua akar polinomial lainnya didapat dengan menggunakan nilai ଵ

ଵ

ଵ

ଵ

variabel ߱ଵ ൌ െ ଶ ൅ ଶ ξ͵݅ dan ߱ଶ ൌ െ ଶ െ ଶ ξ͵݅. Berikut detail perhitungannya : x

ଵ

ଵ

߱ଵ ‫ ݎ‬ൌ ቀെ ଶ ൅ ଶ ξ͵݅ቁ ή ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅ ߱ଵ ‫ ݎ‬ൌ െͳǡͳ͸͸͸͸͹ ൅ ͳǡͲͶͲͺ͵͵݅

x

ଵ

ଵ

߱ଶ ‫ ݎ‬ൌ ቀെ ଶ െ ଶ ξ͵݅ቁ ή ͳǡͶͺͶ͹ʹͳͳͷʹ ൅ ͲǡͶͺͻͻͶ͸Ͷ͹ͳ݅ ߱ଶ ‫ ݎ‬ൌ െͲǡ͵ͳͺͲͷͶ െ ͳǡͷ͵Ͳ͹͹ͻ݅

x

ௗ

‫ݔ‬ଶ ൌ ߱ଵ ‫ ݎ‬൅ ఠ ௥ భ

‫ݔ‬ଶ ൌ െͳǡͳ͸͸͸͸͹ ൅ ͳǡͲͶͲͺ͵͵݅ ൅

ʹǡͶͶ െͳǡͳ͸͸͸͸͹ ൅ ͳǡͲͶͲͺ͵͵݅

‫ݔ‬ଶ ൌ െʹǡ͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵ ൅ ͻǡͻͻʹͲͲ͹ʹʹͳ͸ʹ͸Ͷͳ‫ ܧ‬െ ͳͷ݅ x

ௗ

‫ݔ‬ଷ ൌ ߱ଵ ‫ ݎ‬൅ ఠ ௥ భ

ଶǡସସ

‫ݔ‬ଷ ൌ െͲǡ͵ͳͺͲͷͶ െ ͳǡͷ͵Ͳ͹͹ͻ݅ ൅ ି଴ǡଷଵ଼଴ହସିଵǡହଷ଴଻଻ଽ௜ ‫ݔ‬ଷ ൌ െͲǡ͸͵͸ͳͲͺͻ͹ͳͲ͸ͷ͵ʹͷ Jadi, berdasarkan algoritma Viete’s, akar-akar polinomial ‫ ݔ‬ଷ െ Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵ adalah sebagai berikut : ‫ݔ‬ଵ ൌ ʹǡͻ͸ͻͶͶʹ͵ͲͶ ‫ݔ‬ଶ ൌ െʹǡ͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵͵ ൅ ͻǡͻͻʹͲͲ͹ʹʹͳ͸ʹ͸Ͷͳ‫ ܧ‬െ ͳͷ݅ ‫ݔ‬ଷ ൌ െͲǡ͸͵͸ͳͲͺͻ͹ͳͲ͸ͷ͵ʹͷ c. Pencarian akar kompleks polinomial ‫ ݔ‬ଷ െ Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵ menggunakan algoritma Bairstow Pencarian akar 1 dan 2 Iterasi 1 1. Menentukan nilai ‫ݑ‬ଵ ൌ ‫ݒ‬ଵ ൌ Ͳ 2. Menghitung nilai ܾଵ ǡ ܾଶ ǡ ǥ ǡ ܾ௡ menggunakan rumus ܾ௞ ൌ ܽ௞ െ ܾ௞ିଵ ‫ ݑ‬െ ܾ௞ିଶ ‫ ݒ‬dengan pembagian sintesis : ܾ଴ ൌ ܽ଴ ൌ ͳ

commit ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻtoൌuser െͶ ܾଵ ൌ ܽଵ െ ܾ଴ ‫ ݑ‬ൌ െͶ െ



ܾଶ ൌ ܽଶ െ ܾଵ ‫ ݑ‬െ ܾ଴ ‫ ݒ‬ൌ െʹ െ ሺെͶ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െʹ ܾଷ ൌ ܽଷ െ ܾଶ ‫ ݑ‬െ ܾଵ ‫ ݒ‬ൌ ͵ െ ሺെʹ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺെͶ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ ͵ 3. Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai ܿଵ ǡ ܿଶ ǡ ǥ ǡ ܿ௡ିଵ dengan rumus ܿ௞ ൌ ܾ௞ െ ܿ௞ିଵ ‫ ݑ‬െ ܿ௞ିଶ ‫ݒ‬. Berikut detail perhitungan : ܿ଴ ൌ ܾ଴ ൌ ͳ ܿଵ ൌ ܾଵ െ ܿ଴ ‫ ݑ‬ൌ െͶ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͶ ܿଶ ൌ ܾଶ െ ܿଵ ‫ ݑ‬െ ܿ଴ ‫ ݒ‬ൌ െʹ െ ሺെͶ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െʹ 4. Nilai ο‫ ݑ‬dan ο‫ ݒ‬didapat dengan menghitung persamaan berikut: ο‫ ݑ‬ൌ

௕೙ ௕೙షభ ௖೙షభ ቚ௖ ೙షమ

ฬ

௖೙షమ ฬ ௖೙షయ ௖೙షమ ௖೙షయ ቚ

ൌ

௕ ௖భ ฬ య ฬ ௕మ ௖బ ௖మ ௖భ ቚ௖ ௖ ቚ భ బ

ሺଷήଵሻିሺሺିଶሻήሺିସሻሻ

ଷ ቚ ିଶ ିଶ ቚ ିସ

ൌ

ିସ ቚ ଵ ିସ ቚ ଵ

ିହ

ο‫ ݑ‬ൌ ൫ሺିଶሻήଵ൯ିሺሺିସሻήሺିସሻሻ ൌ ିଵ଼ ൌ Ͳǡʹͺ ο‫ ݒ‬ൌ ο‫ ݒ‬ൌ

௖ ௕೙ ฬ ೙షభ ฬ ௖೙షమ ௕೙షభ ௖೙షభ ௖೙షమ ቚ௖ ቚ ೙షమ ௖೙షయ

ൌ

௖ ฬ మ ௖భ ௖మ ቚ௖ భ

௕య ฬ ௕మ ௖భ ௖బ ቚ

ሺሺିଶሻήሺିଶሻሻିሺሺଷሻήሺିସሻሻ ൫ሺିଶሻήଵ൯ିሺሺିସሻήሺିସሻሻ

ൌ

ିଶ ଷ ቚ ିସ ିଶ ିଶ ିସ ቚ ቚ ିସ ଵ ቚ

ଵ଺

ൌ ିଵ଼ ൌ െͲǡͺͻ

5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :‫ݑ‬௜ାଵ ൌ ‫ݑ‬௜ ൅ ο‫ݑ‬௜ ݀ܽ݊‫ݒ‬௜ାଵ ൌ ‫ݒ‬௜ ൅ ο‫ݒ‬௜ . ‫ݑ‬ଶ ൌ ‫ݑ‬ଵ ൅ ο‫ݑ‬ଵ ൌ Ͳ ൅ Ͳǡʹͺ ൌ Ͳǡʹͺ ‫ݒ‬ଶ ൌ ‫ݒ‬ଶ ൅ ο‫ݒ‬ଶ ൌ Ͳ ൅ ሺെͲǡͺͻሻ ൌ െͲǡͺͻ 6. Melakukan pengecekkan ȁο‫ݑ‬ଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬ଵ ȁ ൏ ߝ ȁͲǡʹͺȁ ൅ ȁെͲǡͺͻȁ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ ͳǡͳ͹ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakuakn iterasi berikutnya yaitu iterasi ke 2, 3, dan seterusnya dengan mengulang langkah 2

hingga

6.

ȁο‫ݑ‬ଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬ଵ ȁ ൏ ߝ

Iterasi

akan

dihentikan

ketika

kondisi

telah terpenuhi. Tabel 4.2 menampilkan hasil

perhitungan pada masing-masing iterasi.

commit to user



Tabel 4.2 Nilai u, v, ο‫ݑ‬, dan ο‫ ݒ‬Masing-Masing Iterasi Menggunakan Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Tiga Iterasi

u

ο࢛

v

ο࢜

ke1

0

2

0

0.27777778

-0.88888889

0.28 -0.89

0.02550501

0.19334998

3

0.30 -0.70

-0.00050706

-0.00168531

4

0.30 -0.70

-0.00000009

-0.00000014

5

0.30 -0.70

-0.0000000000000011

0.0000000000000023

Berdasarkan Tabel 4.2, pada iterasi ke 5 persamaan ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ telah terpenuhi, sehingga iterasi dihentikan. Nilai u dan v yang telah didapat kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan berikut untuk mendapatkan polinomial tereduksi: ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݔݑ‬൅ ‫ݒ‬ሻሺ‫ ݔ‬௡ିଶ ൅ ܾଵ ‫ ݔ‬௡ିଷ ൅ ܾଶ ‫ ݔ‬௡ିସ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܾ௡ିଷ ‫ ݔ‬൅ ܾ௡ିଶ ሻ ൅ ‫ݎ݁݀݊݅ܽ݉݁ݎ‬ Maka, ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ Ͳǡ͵‫ ݔ‬െ Ͳǡ͹ሻሺ‫ ݔ‬െ Ͷǡ͵ሻ ൌ Ͳ Berdasarkan polinomial kuadrat yang dihasilkan, nilai akar kompleks adalah : x

‫ݎ‬ଵ ൌ

ି௨ାξ௨మ ିସ௩ ଶ

ൌ

ି଴ǡଷାඥሺ଴ǡଷሻమ ିସሺି଴ǡ଻ሻ ଶ

ൌ

ି଴ǡଷାඥ଴ǡ଴ଽିሺିଶǡ଼ሻ ଶ

ൌ

ି଴ǡଷାଵǡ଻ ଶ

‫ݎ‬ଵ ൌ Ͳǡ͹ x

‫ݎ‬ଶ ൌ

ି௨ିξ௨మ ିସ௩ ଶ

ൌ

ି଴ǡଷିඥሺ଴ǡଷሻమ ିସሺି଴ǡ଻ሻ ଶ

ൌ

ି଴ǡଷିඥ଴ǡ଴ଽିሺିଶǡ଼ሻ ଶ

ൌ

ି଴ǡଷିଵǡ଻ ଶ

‫ݎ‬ଶ ൌ െͳ Pencarian akar 3 Pencarian akar ketiga didapat dari sisa (remainder) pembentukan polinomial tereduksi yaitu (x – 4,3) sehingga nilai ‫ݎ‬ଷ ൌ Ͷǡ͵

commit to user



d. Pencarian akar kompleks polinomial ‫ ݔ‬ଷ െ Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵ menggunakan revisi algoritma Bairstow Pencarian akar 1 dan 2 Iterasi 1 1. Menentukan nilai ‫ݑ‬ଵ ൌ ‫ݒ‬ଵ ൌ Ͳ 2. Menghitung nilai ܾଵ ǡ ܾଶ ǡ ǥ ǡ ܾ௡ menggunakan rumus ܾ௞ ൌ ܽ௞ െ ܾ௞ିଵ ‫ ݑ‬െ ܾ௞ିଶ ‫ ݒ‬dengan pembagian sintesis : ܾ଴ ൌ ܽ଴ ൌ ͳ ܾଵ ൌ ܽଵ െ ܾ଴ ‫ ݑ‬ൌ െͶ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͶ ܾଶ ൌ ܽଶ െ ܾଵ ‫ ݑ‬െ ܾ଴ ‫ ݒ‬ൌ െʹ െ ሺെͶ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െʹ ܾଷ ൌ ܽଷ െ ܾଶ ‫ ݑ‬െ ܾଵ ‫ ݒ‬ൌ ͵ െ ሺെʹ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺെͶ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ ͵ 3. Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai ܿଵ ǡ ܿଶ ǡ ǥ ǡ ܿ௡ିଵ dengan rumus ܿ௞ ൌ ܾ௞ െ ܿ௞ିଵ ‫ ݑ‬െ ܿ௞ିଶ ‫ݒ‬. Berikut detail perhitungan : ܿ଴ ൌ ܾ଴ ൌ ͳ ܿଵ ൌ ܾଵ െ ܿ଴ ‫ ݑ‬ൌ െͶ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͶ ܿଶ ൌ ܾଶ െ ܿଵ ‫ ݑ‬െ ܿ଴ ‫ ݒ‬ൌ െʹ െ ሺെͶ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െʹ 4. Nilai ο‫ ݑ‬dan ο‫ ݒ‬didapat dengan menghitung persamaan berikut: ο‫ ݑ‬ൌ

௖೙షయ ௕ ฬ ೙షభ ฬ ௕೙ ௖೙షమ ௖೙షమ ௖೙షయ ቚ ቚሺ௖ ೙షభ ି௕೙షభ ሻ ௖೙షమ

ൌ

ሺሺିଶሻήሺିସሻሻିሺଵήଷሻ

ହ

௕ ௖బ ฬ మ ฬ ௕య ௖భ ௖బ ௖భ ቚ௖ ି௕ ௖ ቚ మ మ భ

ൌ

ିଶ ଵ ቚ ଷ ିସ ିସ ଵ ቚ ቚ ଴ ିସ ቚ

ο‫ ݑ‬ൌ ൫ሺିସሻήሺିସሻ൯ିሺ଴ήଵሻ ൌ ଵ଺ ൌ Ͳǡ͵ͳ ο‫ ݒ‬ൌ

௕೙షభ ௖೙షమ ฬ ሺ௖೙షభ ି௕೙షభ ሻ ௕೙ ௖೙షమ ௖೙షయ ቚ ቚሺ௖ ೙షభ ି௕೙షభ ሻ ௖೙షమ

ൌ

ሺሺିସሻήଷሻିሺ଴ήሺିଶሻሻ

ିଵଶ

ฬ

ο‫ ݒ‬ൌ ൫ሺିସሻήሺିସሻ൯ିሺ଴ήଵሻ ൌ

ଵ଺

௖ ௕మ ฬ భ ฬ ௖మ ି௕మ ௕య ௖బ ൌ ௖భ ቚ௖ ି௕ ௖ ቚ మ మ భ

ିସ ିଶ ቚ ଴ ଷ ିସ ଵ ቚ ቚ ଴ ିସ ቚ

ൌ െͲǡ͹ͷ

5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :‫ݑ‬௜ାଵ ൌ ‫ݑ‬௜ ൅ ο‫ݑ‬௜ ݀ܽ݊‫ݒ‬௜ାଵ ൌ ‫ݒ‬௜ ൅ ο‫ݒ‬௜ . ‫ݑ‬ଶ ൌ ‫ݑ‬ଵ ൅ ο‫ݑ‬ଵ ൌ Ͳ ൅ Ͳǡ͵ͳ ൌ Ͳǡ͵ͳ ‫ݒ‬ଶ ൌ ‫ݒ‬ଶ ൅ ο‫ݒ‬ଶ ൌ Ͳ ൅ ሺെͲǡ͹ͷሻ ൌ െͲǡ͹ͷ 6. Melakukan pengecekkan ȁο‫ݑ‬ଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬ଵ ȁ ൏ ߝ

commit to user ȁͲǡ͵ͳȁ ൅ ȁെͲǡ͹ͷȁ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ



ͳǡͲ͸ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakukan iterasi berikutnya yaitu iterasi ke 2, 3, dan seterusnya dengan mengulang langkah 2

hingga

6.

Iterasi

akan

dihentikan

ketika

kondisi

ȁο‫ݑ‬ଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬ଵ ȁ ൏ ߝ telah terpenuhi. Hasil iterasi ditampilkan pada Tabel 4.3. Tabel 4.3 Nilai u, v, ο‫ݑ‬, dan ο‫ ݒ‬Masing-Masing Iterasi Menggunakan Revisi Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Tiga Iterasi

u

ο࢛

v

ο࢜

ke1

0

2

0

0.31250000

-0.75000000

0.31 -0.75

-0.00972985

0.05265568

3

0.30 -0.70

0.00000549

0.00011996

4

0.30 -0.70

-0.00000000004

-0.00000000016

Berdasarkan Tabel 4.3 diketahui bahwa pada iterasi ke 4 telah memenuhi persamaan ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ . Kemudian nilai u dan v yang telah didapat disubtitusikan ke dalam persamaan beriku untuk mendapatkan polinomial tereduksit: ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݔݑ‬൅ ‫ݒ‬ሻሺ‫ ݔ‬௡ିଶ ൅ ܾଵ ‫ ݔ‬௡ିଷ ൅ ܾଶ ‫ ݔ‬௡ିସ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܾ௡ିଷ ‫ ݔ‬൅ ܾ௡ିଶ ሻ ൅ ‫ݎ݁݀݊݅ܽ݉݁ݎ‬ Maka, ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ Ͳǡ͵‫ ݔ‬െ Ͳǡ͹ሻሺ‫ ݔ‬െ Ͷǡ͵ሻ ൌ Ͳ Akar 1 dan 2 didapat dari perhitungan berikut : ‫ݎ‬ଵ ൌ

െ‫ ݑ‬േ ξ‫ݑ‬ଶ െ Ͷ‫ ݒ‬െͲǡ͵ ൅ ඥሺͲǡ͵ሻଶ െ ͶሺെͲǡ͹ሻ ൌ ʹ ʹ

‫ݎ‬ଵ ൌ

െͲǡ͵ ൅ ඥͲǡͲͻ െ ሺെʹǡͺሻ െͲǡ͵ ൅ ͳǡ͹ ൌ ൌ Ͳǡ͹ ʹ ʹ

‫ݎ‬ଶ ൌ

െ‫ ݑ‬േ ξ‫ݑ‬ଶ െ Ͷ‫ ݒ‬െͲǡ͵ െ ඥሺͲǡ͵ሻଶ െ ͶሺെͲǡ͹ሻ ൌ ʹ ʹ

‫ݎ‬ଶ ൌ

െͲǡ͵ െ ඥͲǡͲͻ െ ሺെʹǡͺሻ െͲǡ͵ െ ͳǡ͹ commit ൌ to user ൌ െͳ ʹ ʹ



Pencarian akar 3 Akar 3 didapat dari sisa (remainder) pada saat pembentukkan polinomial tereduksi yaitu (x – 4,3) sehingga nilai ‫ݎ‬ଷ ൌ Ͷǡ͵ 4.2.3

Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Empat

a. Pencarian akar kompleks polinomial ‫ ݔ‬ସ െ ͷ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͳ͵‫ ݔ‬ଶ െ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳͲ menggunakan algoritma Bairstow Pencarian akar 1 dan 2 Iterasi 1 1. Menentukan ‫ݑ‬ଵ ൌ ‫ݒ‬ଵ ൌ Ͳ 2. Menghitung nilai ܾଵ ǡ ܾଶ ǡ ǥ ǡ ܾ௡ menggunakan rumus ܾ௞ ൌ ܽ௞ െ ܾ௞ିଵ ‫ ݑ‬െ ܾ௞ିଶ ‫ ݒ‬dengan pembagian sintesis : ܾ଴ ൌ ܽ଴ ൌ ͳ ܾଵ ൌ ܽଵ െ ܾ଴ ‫ ݑ‬ൌ െͷ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͷ ܾଶ ൌ ܽଶ െ ܾଵ ‫ ݑ‬െ ܾ଴ ‫ ݒ‬ൌ ͳ͵ െ ሺെͷ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ ͳ͵ ܾଷ ൌ ܽଷ െ ܾଶ ‫ ݑ‬െ ܾଵ ‫ ݒ‬ൌ െͳͻ െ ሺͳ͵ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺെͷ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͳͻ ܾସ ൌ ܽସ െ ܾଷ ‫ ݑ‬െ ܾଶ ‫ ݒ‬ൌ ͳͲ െ ሺെͳͻ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ͵ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ ͳͲ 3. Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai ܿଵ ǡ ܿଶ ǡ ǥ ǡ ܿ௡ିଵ dengan rumus ܿ௞ ൌ ܾ௞ െ ܿ௞ିଵ ‫ ݑ‬െ ܿ௞ିଶ ‫ݒ‬. Berikut detail perhitungan : ܿ଴ ൌ ܾ଴ ൌ ͳ ܿଵ ൌ ܾଵ െ ܿ଴ ‫ ݑ‬ൌ െͷ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͷ ܿଶ ൌ ܾଶ െ ܿଵ ‫ ݑ‬െ ܿ଴ ‫ ݒ‬ൌ ͳ͵ െ ሺെͷ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ ͳ͵ ܿଶ ൌ ܾଶ െ ܿଵ ‫ ݑ‬െ ܿ଴ ‫ ݒ‬ൌ െͳͻ െ ሺͳ͵ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺെͷ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͳͻ 4. Nilai ο‫ ݑ‬dan ο‫ ݒ‬didapat dengan menghitung persamaan berikut: ο‫ ݑ‬ൌ

௕೙ ௕೙షభ ௖೙షభ ቚ௖ ೙షమ

ฬ

௖೙షమ ฬ ௖೙షయ ௖೙షమ ௖೙షయ ቚ

ൌ

௕ ௖మ ฬ ర ฬ ௕య ௖భ ௖య ௖మ ቚ௖ ௖ ቚ మ భ

ሺଵ଴ήሺିହሻሻିሺሺିଵଽሻήଵଷሻ

ൌ

ଵ଴ ቚ ିଵଽ ିଵଽ ቚ ଵଷ

ଵଷ ቚ ିହ ଵଷ ቚ ିହ

ଵଽ଻

ο‫ ݑ‬ൌ ൫ሺିଵଽሻήሺିହሻ൯ିሺଵଷήଵଷሻ ൌ ି଻ସ ൌ െʹǡ͸͹ ο‫ ݒ‬ൌ

௖ ௕೙ ฬ ೙షభ ฬ ௖೙షమ ௕೙షభ ௖೙షభ ௖೙షమ ቚ௖ ቚ ೙షమ ௖೙షయ

ൌ

௖ ௕ర ିଵଽ ଵ଴ ฬ య ฬ ቚ ቚ ௖మ ௕య ଵଷ ିଵଽ ௖య ௖మ ൌ ିଵଽ ଵଷ ቚ user ቚ ቚ௖ commit ቚ to ଵଷ ିହ మ ௖భ



ο‫ ݒ‬ൌ

ሺሺିଵଽሻήሺିଵଽሻሻିሺଵଷήଵ଴ሻ ൫ሺିଵଽሻήሺିହሻ൯ିሺଵଷήଵଷሻ

ൌ

ଶଷଵ ି଻ସ

ൌ െ͵ǡͳʹ

5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :‫ݑ‬௜ାଵ ൌ ‫ݑ‬௜ ൅ ο‫ݑ‬௜ ݀ܽ݊‫ݒ‬௜ାଵ ൌ ‫ݒ‬௜ ൅ ο‫ݒ‬௜ . ‫ݑ‬ଶ ൌ ‫ݑ‬ଵ ൅ ο‫ݑ‬ଵ ൌ Ͳ ൅ Ͳǡʹͺ ൌ െʹǡ͸͹ ‫ݒ‬ଶ ൌ ‫ݒ‬ଶ ൅ ο‫ݒ‬ଶ ൌ Ͳ ൅ ሺെͲǡͺͻሻ ൌ െ͵ǡͳʹ 6. Melakukan pengecekkan terhadap ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ ȁο‫ݑ‬ଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬ଵ ȁ ൏ ߝ ȁെʹǡ͸͹ȁ ൅ ȁെ͵ǡͳʹȁ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ→ belum terpenuhi Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakukan iterasi kedua dengan mengulang langkah 2 hingga 6. Di bawah ini merupakan hasil perhitungan iterasi berikutnya : Tabel 4.4 Nilai u, v, ο‫ݑ‬, dan ο‫ ݒ‬Masing-Masing Iterasi Menggunakan Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Empat Iterasi

u

v

ο࢛

ο࢜

ke1

0

2

0

-2.66216216

-3.12162162

-2.7 -3.1

-0.06977005

3.14694849

3

-2.7 0.02

-0.13655869

1.44655453

4

-2.8 1.5

-0.11275151

0.47476358

5

-2.9 1.9

-0.01855564

0.05273624

6

-3.0 2.0

-2.01893667E-4

6.1868688E-4

7

-3.0 2.0

-2.78227877E-8

8.01465508E-8

8

-3.0 2.0

-7.54951656E-16

1.421085471E-16

Berdasarkan Tabel 4.4, diketahui bahwa pada iterasi ke 8 persamaan ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ telah terpenuhi, sehingga iterasi dihentikan. Nilai u dan v yang telah didapat kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan berikut untuk mendapatkan polinomial tereduksi: ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݔݑ‬൅ ‫ݒ‬ሻሺ‫ ݔ‬௡ିଶ ൅ ܾଵ ‫ ݔ‬௡ିଷ ൅ ܾଶ ‫ ݔ‬௡ିସ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܾ௡ିଷ ‫ ݔ‬൅ ܾ௡ିଶ ሻ ൅ ‫ݎ݁݀݊݅ܽ݉݁ݎ‬

commit to user



Maka, ሺ‫ ݔ‬ଶ െ ͵‫ ݔ‬൅ ʹሻሺ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͷሻ ൌ Ͳ Dimana ሺ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͷሻ merupakan polinomial tereduksi. Akar 1 dan 2 didapat dari perhitungan berikut : ‫ݎ‬ଵ ൌ

െ‫ ݑ‬േ ξ‫ݑ‬ଶ െ Ͷ‫ ͵ ݒ‬൅ ඥሺെ͵ሻଶ െ Ͷሺʹሻ ͵ ൅ ξͻ െ ͺ ͵ ൅ ͳ ൌ ൌ ൌ ൌʹ ʹ ʹ ʹ ʹ

‫ݎ‬ଶ ൌ

െ‫ ݑ‬േ ξ‫ݑ‬ଶ െ Ͷ‫ ͵ ݒ‬െ ඥሺെ͵ሻଶ െ Ͷሺʹሻ ͵ െ ξͻ െ ͺ ͵ െ ͳ ൌ ൌ ൌ ൌͳ ʹ ʹ ʹ ʹ

Pencarian akar 3 dan 4 Akar 3 dan 4 didapat dari polinomial tereduksi yaitu ሺ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͷሻ. Dengan demikian, maka perhitungan akar 3 dan 4 dimana nilai u = -2 dan v = 5 adalah : െ‫ ݑ‬൅ ξ‫ݑ‬ଶ െ Ͷ‫ ʹ ݒ‬൅ ඥሺെʹሻଶ െ Ͷሺͷሻ ʹ ൅ ξͶ െ ʹͲ ‫ݎ‬ଷ ൌ ൌ ൌ ʹ ʹ ʹ ‫ݎ‬ଷ ൌ

ʹ ൅ ξെͳ͸ ʹ ൅ Ͷ݅ ൌ ൌ ͳ ൅ ʹ݅ ʹ ʹ

‫ݎ‬ସ ൌ

െ‫ ݑ‬െ ξ‫ݑ‬ଶ െ Ͷ‫ ʹ ݒ‬െ ඥሺെʹሻଶ െ Ͷሺͷሻ ʹ െ ξͶ െ ʹͲ ൌ ൌ ʹ ʹ ʹ

ʹ െ ξെͳ͸ ʹ ൅ Ͷ݅ ൌ ൌ ͳ െ ʹ݅ ʹ ʹ Dari perhitungan di atas, maka diketahui akar-akar polinomial dari ‫ݎ‬ସ ൌ

persamaan ‫ ݔ‬ସ െ ͷ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͳ͵‫ ݔ‬ଶ െ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳͲ ൌ Ͳ adalah 1, 2, 1+2i, dan 1-2i. b. Pencarian akar kompleks polinomial ‫ ݔ‬ସ െ ͷ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͳ͵‫ ݔ‬ଶ െ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳͲ menggunakan revisi algoritma Bairstow Pencarian akar 1 dan 2 Iterasi 1 1. Menentukan nilai ‫ݑ‬ଵ ൌ ‫ݒ‬ଵ ൌ Ͳ 2. Menghitung nilai ܾଵ ǡ ܾଶ ǡ ǥ ǡ ܾ௡ menggunakan rumus ܾ௞ ൌ ܽ௞ െ ܾ௞ିଵ ‫ ݑ‬െ ܾ௞ିଶ ‫ ݒ‬dengan pembagian sintesis : ܾ଴ ൌ ܽ଴ ൌ ͳ

commit ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻtoൌuser െͷ ܾଵ ൌ ܽଵ െ ܾ଴ ‫ ݑ‬ൌ െͷ െ



ܾଶ ൌ ܽଶ െ ܾଵ ‫ ݑ‬െ ܾ଴ ‫ ݒ‬ൌ ͳ͵ െ ሺെͷ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ ͳ͵ ܾଷ ൌ ܽଷ െ ܾଶ ‫ ݑ‬െ ܾଵ ‫ ݒ‬ൌ െͳͻ െ ሺͳ͵ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺെͷ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͳͻ ܾସ ൌ ܽସ െ ܾଷ ‫ ݑ‬െ ܾଶ ‫ ݒ‬ൌ ͳͲ െ ሺെͳͻ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ͵ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ ͳͲ 3. Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai ܿଵ ǡ ܿଶ ǡ ǥ ǡ ܿ௡ିଵ dengan rumus ܿ௞ ൌ ܾ௞ െ ܿ௞ିଵ ‫ ݑ‬െ ܿ௞ିଶ ‫ݒ‬. Berikut detail perhitungan : ܿ଴ ൌ ܾ଴ ൌ ͳ ܿଵ ൌ ܾଵ െ ܿ଴ ‫ ݑ‬ൌ െͷ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͷ ܿଶ ൌ ܾଶ െ ܿଵ ‫ ݑ‬െ ܿ଴ ‫ ݒ‬ൌ ͳ͵ െ ሺെͷ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ ͳ͵ ܿଶ ൌ ܾଶ െ ܿଵ ‫ ݑ‬െ ܿ଴ ‫ ݒ‬ൌ െͳͻ െ ሺͳ͵ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺെͷ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͳͻ 4. Nilai ο‫ ݑ‬dan ο‫ ݒ‬didapat dengan menghitung persamaan berikut: ο‫ ݑ‬ൌ

ο‫ ݑ‬ൌ

ο‫ ݒ‬ൌ

ο‫ ݒ‬ൌ

௕ ௖೙షయ ฬ ೙షభ ฬ ௕೙ ௖೙షమ ௖೙షయ ௖೙షమ ቚ ቚሺ௖ ೙షభ ି௕೙షభ ሻ ௖೙షమ ሺିଵଽήሺଵଷሻሻିሺሺିହሻήଵ଴ሻ ሺଵଷήଵଷሻିሺିହή଴ሻ

ൌ

ൌ

௕ ௖భ ฬ య ฬ ௕ర ௖మ ௖భ ௖మ ቚ௖ ି௕ ௖ ቚ య య మ ିଵଽ଻ ଵ଺ଽ


ൌ

ሺଵଷήଵ଴ሻିሺ଴ήሺିଵଽሻሻ

ଵଷ଴

ฬ

ሺଵଷήଵଷሻିሺିହή଴ሻ

ൌ

ൌ

ିଵଽ ିହ ቚ ଵ଴ ଵଷ ଵଷ ିହ ቚ ቚ ଴ ଵଷ

ൌ െͳǡͳ͹

௕య ௖ ฬ మ ฬ ௖య ି௕య ௕ర ௖భ ௖మ ቚ௖ ି௕ ௖ ቚ య య మ

ଵ଺ଽ

ቚ

ൌ

ଵଷ ିଵଽ ቚ ଴ ଵ଴ ଵଷ ିହ ቚ ቚ ଴ ଵଷ

ቚ

ൌ Ͳǡ͹͹

5. Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :‫ݑ‬௜ାଵ ൌ ‫ݑ‬௜ ൅ ο‫ݑ‬௜ ݀ܽ݊‫ݒ‬௜ାଵ ൌ ‫ݒ‬௜ ൅ ο‫ݒ‬௜ . ‫ݑ‬ଶ ൌ ‫ݑ‬ଵ ൅ ο‫ݑ‬ଵ ൌ Ͳ ൅ ሺെͳǡͳ͹ሻ ൌ െͳǡͳ͹ ‫ݒ‬ଶ ൌ ‫ݒ‬ଶ ൅ ο‫ݒ‬ଶ ൌ Ͳ ൅ Ͳǡ͹͹ ൌ Ͳǡ͹͹ 6. Melakukan pengecekkan terhadap ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ ȁο‫ݑ‬ଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬ଵ ȁ ൏ ߝ ȁͳǡͳ͹ȁ ൅ ȁͲǡ͹͹ȁ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ ͳǡͻͶ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi Karena persamaan di atas belum terpenuhi, maka dilakukan iterasi berikutnya yaitu iterasi ke 2, 3, dan seterusnya dengan mengulang langkah 2

hingga

6.

Iterasi

akan

commit to user

dihentikan

ketika

kondisi



ȁο‫ݑ‬ଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬ଵ ȁ ൏ ߝ telah terpenuhi. Hasil perhitungan masing-masing iterasi ditampilkan dalam Tabel 4.5. Tabel 4.5 Nilai u, v, ο‫ݑ‬, dan ο‫ ݒ‬Masing-Masing Iterasi Menggunakan Revisi Algoritma Bairstow pada Penyelesaian Polinomial Derajat Empat Iterasi

u

ο࢛

v

ο࢜

ke1

0

0

-1.17

0.77

2

-1.17

0.77

-1.17165517

0.92034965

3

-2.34

1.69

-0.92093913

0.56265879

4

-3.26

2.25

0.23101677

-0.22547716

5

-3.03

2.03

0.02695486

-0.02646247

6

-3.0

2.0

3.03114375E-4

-2.99554673E-4

7

-3.0

2.0

3.71394534E-8

3.68663724E-8

Berdasarkan hasil perhitungan pada Tabel 4.5, diketahui bahwa pada iterasi ke 7 iterasi dihentikan karena telah memenuhi persamaan ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ. Nilai u dan v yang telah didapat kemudian disubtitusikan ke dalam persamaan berikut: ሺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݔݑ‬൅ ‫ݒ‬ሻሺ‫ ݔ‬௡ିଶ ൅ ܾଵ ‫ ݔ‬௡ିଷ ൅ ܾଶ ‫ ݔ‬௡ିସ ൅ ‫ ڮ‬൅ ܾ௡ିଷ ‫ ݔ‬൅ ܾ௡ିଶ ሻ ൅ ‫ݎ݁݀݊݅ܽ݉݁ݎ‬ Maka, ሺ‫ ݔ‬ଶ െ ͵‫ ݔ‬൅ ʹሻሺ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͷሻ ൌ Ͳ Dimana ሺ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͷሻ merupakan polinomial tereduksi. Akar 1 dan 2 didapat dari: ‫ݎ‬ଵ ൌ

െ‫ ݑ‬൅ ξ‫ݑ‬ଶ െ Ͷ‫ ͵ ݒ‬൅ ඥሺെ͵ሻଶ െ Ͷሺʹሻ ͵ ൅ ξͻ െ ͺ ͵ ൅ ͳ ൌ ൌ ൌ ൌʹ ʹ ʹ ʹ ʹ

‫ݎ‬ଶ ൌ

െ‫ ݑ‬െ ξ‫ݑ‬ଶ െ Ͷ‫ ͵ ݒ‬െ ඥሺെ͵ሻଶ െ Ͷሺʹሻ ͵ െ ξͻ െ ͺ ͵ െ ͳ ൌ ൌ ൌ ൌͳ ʹ ʹ ʹ ʹ

Pencarian akar 3 dan 4 Akar 3 dan 4 didapat dari polinomial tereduksi yang dihasilkan yaitu ሺ‫ ݔ‬ଶ െ commit to user ʹ‫ ݔ‬൅ ͷሻ. Perhitungan akar 3 dan 4 dimana u = -2 dan v = 5 adalah :



െ‫ ݑ‬൅ ξ‫ݑ‬ଶ െ Ͷ‫ ʹ ݒ‬൅ ඥሺെʹሻଶ െ Ͷሺͷሻ ʹ ൅ Ͷ݅ ‫ݎ‬ଷ ൌ ൌ ൌ ൌ ͳ ൅ ʹ݅ ʹ ʹ ʹ ‫ݎ‬ସ ൌ

െ‫ ݑ‬െ ξ‫ݑ‬ଶ െ Ͷ‫ ʹ ݒ‬െ ඥሺെʹሻଶ െ Ͷሺͷሻ ʹ ൅ Ͷ݅ ൌ ൌ ൌ ͳ െ ʹ݅ ʹ ʹ ʹ

Dari perhitungan di atas, maa diketahui akar-akar polinomial dari persamaan ‫ ݔ‬ସ െ ͷ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͳ͵‫ ݔ‬ଶ െ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳͲ ൌ Ͳ adalah 1, 2, 1+2i, dan 1-2i. c. Pencarian akar kompleks polinomial ‫ ݔ‬ସ െ ͷ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͳ͵‫ ݔ‬ଶ െ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳͲ menggunakan algoritma Muller Pencarian akar 1 Iterasi 1 1. Menentukkan tiga poin tebakan awal yaitu ‫ݔ‬଴ ǡ ‫ݔ‬ଵ ǡ ‫ݔ‬ଶ yaitu 1, 2, 3. 2. Kemudian menghitung nilai ݄଴ ǡ ݄ଵ ǡ ݄ଶ berikut : ݄଴ ൌ ‫ݔ‬଴ െ ‫ݔ‬ଶ ൌ ͳ െ ͵ ൌ െʹ ݄ଵ ൌ ‫ݔ‬ଵ െ ‫ݔ‬ଶ ൌ ʹ െ ͵ ൌ െͳ ݄ଶ ൌ ݄଴ ‫݄ כ‬ଵ ‫ כ‬ሺ݄଴ െ ݄ଵ ሻ ݄ଶ ൌ ሺെʹሻ ‫ כ‬ሺെͳሻ ‫ כ‬൫ሺെʹሻ െ ሺെͳሻ൯ ݄ଶ ൌ ʹ ‫ כ‬ሺെͳሻ ൌ െʹ 3. Menghitung masing-masing persamaan fungsi dari ketiga tebakan awal tersebut, ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻǡ ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻǡ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ. x

݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ ൌ ݂ሺͳሻ ൌ ሺͳሻସ െ ͷሺͳሻଷ ൅ ͳ͵ሺͳሻଶ െ ͳͻሺͳሻ ൅ ͳͲ ݂ሺͳሻ ൌ ͳ െ ͷ ൅ ͳ͵ െ ͳͻ ൅ ͳͲ ݂ሺͳሻ ൌ Ͳ

x

݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൌ ݂ሺʹሻ ൌ ሺʹሻସ െ ͷሺʹሻଷ ൅ ͳ͵ሺʹሻଶ െ ͳͻሺʹሻ ൅ ͳͲ ݂ሺʹሻ ൌ ͳ͸ െ ͶͲ ൅ ͷʹ െ ͵ͺ ൅ ͳͲ ݂ሺʹሻ ൌ Ͳ

x

݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ ൌ ݂ሺ͵ሻ ൌ ሺ͵ሻସ െ ͷሺ͵ሻଷ ൅ ͳ͵ሺ͵ሻଶ െ ͳͻሺ͵ሻ ൅ ͳͲ ݂ሺ͵ሻ ൌ ͺͳ െ ͷ ‫ʹ כ‬͹ ൅ ͳ͵ ‫ ͻ כ‬െ ͳͻ ‫ ͵ כ‬൅ ͳͲ ݂ሺ͵ሻ ൌ ͺͳ െ ͳ͵ͷ ൅ ͳͳ͹ െ ͷ͹ ൅ ͳͲ ݂ሺ͵ሻ ൌ ͳ͸

commit to user



4. Menghitung nilai x

ܽൌ ܽൌ

x

ܾൌ ܾൌ

௛భ ൫௙ሺ௫బ ሻି௙ሺ௫మ ሻ൯ି௛బ ൫௙ሺ௫భ ሻି௙ሺ௫మ ሻ൯ ௛మ ଵ଺ିଷଶ ିଶ

ൌ

ିଵሺ଴ିଵ଺ሻିሺିଶሻሺ଴ିଵ଺ሻ ିଶ

ൌͺ

௛బ మ ൫௙ሺ௫భ ሻି௙ሺ௫మ ሻ൯ି௛భ మ ൫௙ሺ௫బ ሻି௙ሺ௫మ ሻ൯ ௛మ ସ‫כ‬ሺିଵ଺ሻାଵ଺ ିଶ

ൌ

ି଺ସାଵ଺ ିଶ

ൌ

ሺିଶሻమ ሺ଴ିଵ଺ሻିሺିଵሻమ ሺ଴ିଵ଺ሻ ିଶ

ൌ ʹͶ

ܿ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ ൌ ͳ͸ 5. Menghitung nilai diskriminan dari perhitungan di atas ‫ ܦ‬ൌ ඥܾ ଶ െ Ͷܽܿ ൌ ඥʹͶଶ െ ሺͶ ‫ כ‬ͺ ‫ͳ כ‬͸ሻ ൌ ξͷ͹͸ െ ͷͳʹ ൌ ξ͸Ͷ ൌ ͺ

6. Menghitung akar polinomial ‫ݔ‬ଷ . Nilai b lebih dari nol, sehingga tanda operator yang digunakan yaitu “+”. ‫ݔ‬ଷ ൌ ‫ݔ‬ଶ െ

ʹܿ ʹ ‫ͳ כ‬͸ ͵ʹ ൌ ͵െ ൌ͵െ ൌʹ ܾ൅‫ܦ‬ ʹͶ ൅ ͺ ͵ʹ

‫ ݕ‬ൌ ܿ ൌ ͳ͸ 7. Melakukan pengecekkan terhadap nilai y ‫ ݕ‬൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ ͳ͸ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi Pada langkah 6 persamaan belum terpenuhi sehingga dilakukan iterasi kedua dengan mengulang langkah 2 hingga 7 dimana nilai yang digunakan sebagai tebakan awal adalah nilai ‫ݔ‬଴ ൌ ʹǡ ‫ݔ‬ଵ ൌ ͵ dan ‫ݔ‬ଶ ൌ ʹ. Iterasi 2 ‫ݔ‬଴ ൌ ʹǢ‫ݔ‬ଵ ൌ ͵Ǣ‫ݔ‬ଶ ൌ ʹ ݄଴ ൌ ͲǢ݄ଵ ൌ ͳǢ݄ଶ ൌ Ͳ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ ൌ ͲǢ ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൌ ͳ͸Ǣ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ ൌ Ͳ ‫ ݕ‬ൌ ܿ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ଷ ሻ ൌ Ͳ Pengecekkan terhadap y : ‫ ݕ‬൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ Ͳ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → terpenuhi

commit to user



Karena persamaan di atas terpenuhi, maka iterasi dihentikan dan akar polinomial didapat yaitu nilai ‫ݔ‬ଶ = 2. Dengan demikian, akar 1 polinomial tersebut adalah 2.

Pencarian akar 2 Sebelum dilakukan pencarian akar kompleks kedua, persamaan polinomial ‫ ݔ‬ସ െ ͷ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͳ͵‫ ݔ‬ଶ െ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳͲ

terlebih

dahulu

direduksi

menjadi

polinomial tereduksi. Reduksi polinomial dilakukan dengan membagi polinomial dengan akar yang didapat sebelumnya. Reduksi polinomial lebih mudah dilakukan menggunakan metode Horner :

Berdasarkan perhitungan di atas, maka persamaan hasil reduksi adalah ‫ ݔ‬ଷ െ ͵‫ ݔ‬ଶ ൅ ͹‫ ݔ‬െ ͷ ൌ Ͳ. Langkah selanjutnya adalah mengulang langkah 1 hingga 7 untuk mendapatkan akar kedua menggunakan persamaan polinomial hasil reduksi. Hasil perhitungan untuk pencarian akar kedua adalah sebagai berikut : Iterasi 1 ‫ݔ‬଴ ൌ ͳǢ ‫ݔ‬ଵ ൌ ʹǢ‫ݔ‬ଶ ൌ ͵ ݄଴ ൌ െʹǢ݄ଵ ൌ െͳǢ݄ଶ ൌ െͳ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ ൌ ͲǢ ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൌ ͷǢ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ ൌ ͳ͸ ܽ ൌ ͵Ǣ ܾ ൌ ͳͶǢ ܿ ൌ ͳ͸ ‫ܦ‬ൌʹ ‫ݔ‬ଷ ൌ ͳ ‫ ݕ‬ൌ ܿ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ଷ ሻ ൌ ͳ͸ Pengecekkah terhadap y : ‫ ݕ‬൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ ͳ͸ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi, lakukan iterasi dengan mengulang langkah 2 hingga 7

commit to user



Iterasi 2 ‫ݔ‬଴ ൌ ʹǢ ‫ݔ‬ଵ ൌ ͵Ǣ‫ݔ‬ଶ ൌ ͳ ݄଴ ൌ ͳǢ݄ଵ ൌ ʹǢ݄ଶ ൌ െʹ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ ൌ ͲǢ ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൌ ͳ͸Ǣ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ ൌ Ͳ ܽ ൌ ͺǢ ܾ ൌ െͺǢ ܿ ൌ Ͳ ‫ܦ‬ൌͺ ‫ ݕ‬ൌ ܿ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ଷ ሻ ൌ Ͳ Pengecekkan terhadap y : ‫ ݕ‬൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ Ͳ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → terpenuhi, iterasi dihentikan Dengan demikian, maka nilai akar polinomial kedua adalah ‫ݔ‬ଶ ൌ ͳ. Pencarian akar 3 Mereduksi polinomial sebelumnya yaitu ‫ ݔ‬ଷ െ ͵‫ ݔ‬ଶ ൅ ͹‫ ݔ‬െ ͷ ൌ Ͳ, dengan membagi persamaan tersebut dengan akar yang ditemukan : 1

-3

7

→koefisien -5 polinomial

Akar ← 1

1 -2 5 1 -2 5 0 Polinomial tereduksi yang didapat yaitu ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͷ ൌ Ͳǡkemudian mengulang langkah 1 hingga 7 menggunakan persamaan baru dengan tiga tebakan awal ‫ݔ‬଴ ǡ ‫ݔ‬ଵ ǡ ‫ݔ‬ଶ yaitu 1, 2, 3. Berikut hasil perhitungan : Iterasi 1 ‫ݔ‬଴ ൌ ͳǢ‫ݔ‬ଵ ൌ ʹǢ‫ݔ‬ଶ ൌ ͵ ݄଴ ൌ െʹǢ݄ଵ ൌ െͳǢ݄ଶ ൌ െͳ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ ൌ ͶǢ ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൌ ͷǢ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ ൌ ͺ ܽ ൌ ͳǢ ܾ ൌ ͶǢ ܿ ൌ ͺ ‫ ܦ‬ൌ ʹǡͶͷͲʹͻ͸ͻͲͻͺͳ͹Ͷ‫ ܧ‬െ ͳ͸ ൅ Ͷ݅ ‫ݔ‬ଷ ൌ ͳ ൅ ʹ݅ ‫ ݕ‬ൌ ܿ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ଷ ሻ ൌ ͺ

Pengecekkan terhadap y : ‫ ݕ‬൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ

commit to user



ͺ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi, dilakukan iterasi dengan mengulang langkah 2 hingga 7

Iterasi 2 ‫ݔ‬଴ ൌ ʹǢ‫ݔ‬ଵ ൌ ͵Ǣ‫ݔ‬ଶ ൌ ͳ ൅ ʹ݅ ݄଴ ൌ ͳ െ ʹ݅Ǣ݄ଵ ൌ ʹ െ ʹ݅Ǣ݄ଶ ൌ ʹ ൅ ͸݅ ݂ሺ‫ݔ‬଴ ሻ ൌ ͲǢ ݂ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൌ ͳ͸Ǣ ݂ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ ൌ Ͳ ܽ ൌ Ͷ ൅ Ͷ݅Ǣ ܾ ൌ െͳʹ ൅ Ͷ݅Ǣ ܿ ൌ Ͳ ‫ ܦ‬ൌ ͳʹ െ Ͷ݅ ‫ ݕ‬ൌ ܿ ൌ ݂ሺ‫ݔ‬ଷ ሻ ൌ Ͳ Pengecekkan terhadap y : ‫ ݕ‬൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ Ͳ ൏ ͲǡͲͲͲͲͲͲͲͳ → terpenuhi, iterasi dihentikan Pada iterasi kedua, proses dihentikan karena persamaan di atas telah terpenuhi. Dengan demikian, akar polinomial ketiga adalah ‫ݔ‬ଶ ൌ ͳ ൅ ʹ݅. Pencarian akar 4 Akar keempat didapat dari hasil pembagian polinomial yang telah direduksi sebelumnya yaitu ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͷ ൌ Ͳdengan akar yang telah didapat yaitu ͳ ൅ ʹ݅. 1

-2

→koefisien 5 polinomial

Akar ← ͳ ൅ ʹ݅

1+2i -5 1 -1+2i 0 Berdasarkan perhitungan di atas, maka didapat polinomial tereduksi yaitu ‫ ݔ‬െ ͳ ൅ ʹ݅ ൌ Ͳǡsehingga nilai akar polinomial terakhir adalah ͳ െ ʹ݅.

4.3 Pembangunan Program Kalkulator Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat N Sebelum program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n dibangun, terlebih dahulu dilakukan analisa dan perancangan program agar program yang dibuat sesuai dengan kebutuhan. Di bawah ini merupakan commit to user pembahasan analisa kebutuhan serta perancangan program kalkulator:



4.3.1 Analisa Kebutuhan Program Kalkulator Analisa kebutuhan program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n dilakukan dengan mendefinisikan kebutuhan-kebutuhan program, baik kebutuhan fungsional maupun kebutuhan non fungsional. Hasil analisa kebutuhan akan menjadi dasar pembangunan program kalkulator. 4.3.1.1 Deskripsi Sistem Program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n merupakan sebuah perangkat lunak berbasis dekstop yang digunakan khusus untuk mencari akar-akar kompleks polinomial derajat dua, tiga, empat, dan n. Program kalkulator dibangun dengan menggunakan bahasa pemrograman Java. Program kalkulator dilengkapi dengan berbagai algoritma khusus pencarian akar kompleks polinomial seperti rumus kuadrat, algoritma Viete’s, Cardano, Bairstow, Revisi Bairstow, dan Muller. Program kalkulator dapat menyelesaikan persamaan polinomial derajat dua, tiga, empat, dan juga n. Input program berupa koefisien variabel x, sedangkan outputnya berupa nilai akar-akar kompleks polinomial hasil perhitungan menggunakan algoritma yang dipilih dan pendekatan Matlab, galat yang dihasilkan, dan jumlah iterasi yang dilakukan. Dengan program kalkulator ini diharapkan dapat menjadi media pembelajaran untuk orang awam, sehingga dapat memudahkan dalam menyelesaikan persamaan polinomial derajat n. 4.3.1.2 Kebutuhan Fungsional Tabel 4.6 menampilkan kebutuhan-kebutuhan fungsional dari program kalkulator pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat n.

Tabel 4.6 Kebutuhan Fungsional Kalkulator Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n Kode

Kebutuhan Fungsional

F.1

Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat dua

F.2

Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat tiga

F.3

Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat empat

F.4

Pengguna dapat mencari akar-akar kompleks polinomial derajat n

F.5

Pengguna dapat melihat petunjuk peggunaan dan informasi program

commit to user



4.3.1.3 Kebutuhan Non Fungsional Berikut ini merupakan kebutuhan non-fungsional pada program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n :

Tabel 4.7 Kebutuhan Non Fungsional Kalkulator Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n Kode

Kebutuhan Non Fungsional

NF.1

Desain antarmuka yang user friendly dan sederhana, sehingga mudah digunakan untuk orang awam

NF.2

Program dapat terkoneksi dengan program Matlab

NF.3

Program dapat menyelesaikan persamaan polinomial dalam waktu singkat

4.3.2 Perancangan Program Kalkulator Perancangan sistem dilakukan berdasarkan hasil analisa kebutuhan program sebelumnya. Kebutuhan fungsional program kalkulator dimodelkan menggunakan use case diagram, kemudian diidentifikasi aktor dan masing-masing use case. Setelah dimodelkan menggunakan use case diagram, dilakukan perancangan prototipe antarmuka program kalkulator. Masing-masing use case kemudian dimodelkan dengan model analisis yaitu dengan membuat sequence diagram dan class diagram sehingga memudahkan dalam implementasi program kalkulator. 4.3.2.1 Model Use Case Berikut ini merupakan pemodelan kebutuhan fungsional menggunakan model use case serta pembahasannya : 4.3.2.1.1 Diagram Use Case Use case diagram menggambarkan masing-masing fungsional yang terdapat pada program kalkulator. Gambar 4.1 menunjukkan use case diagram untuk program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n.

commit to user



System Mencari akar kompleks polinomial derajat 2

Mencari akar kompleks polinomial derajat 3

Mencari akar kompleks polinomial derajat 4 Pengguna Mencari akar kompleks polinomial derajat n

Melihat petunjuk penggunaan dan informasi program

Gambar 4.1 Use case diagram Kalkulator

4.3.2.1.2 Identifikasi Pengguna Pada program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n hanya terdapat satu pengguna. Pengguna mencakup semua golongan seperti orang awam, pelajar, mahasiswa, dan lain sebagainya. 4.3.2.1.3 Definisi Use Case Definisi use case berdasarkan use case diagram yang tertera pada Gambar 4.1 dijabarkan dalam Tabel 4.8 berikut ini :

Tabel 4.8 Use Case dan Deskripsi Use Case Kode UC.1

UC.2

Use Case

Deskripsi

Mencari akar kompleks

Melakukan pencarian akar-akar kompleks

polinomial derajat 2

polinomial derajat dua




polinomial derajat tiga menggunakan algoritma yang dipilih

UC.3




polinomial derajat empat menggunakan algoritma yang dipilih

commit to user



Tabel 4.7 Lanjutan Use Case dan Deskripsi Use Case Kode UC.4

Use Case

Deskripsi



polinomial derajat n

polinomial derajat n menggunakan algoritma yang dipilih

UC.5

Melihat petunjuk

Melihat petunjuk peggunaan program

penggunaan dan

kalkulator dan informasi program kalkulator

informasi program

pencarian akar polinomial derajat n

4.3.2.1.4 Kesesuaian Use Case Diagram dengan Kebutuhan Fungsional Tabel 4.9 berikut menunjukkan kesesuaian antara use case yang dibuat dengan kebutuhan fungsional program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n.

Tabel 4.9 Kesesuaian Use Case dengan Kebutuhan Fungsional Kode Kebutuhan

Kebutuhan Fungsional

Kode Use case

Pengguna dapat mencari F.1

akar-akar kompleks

Use Case

Mencari akar kompleks UC.1


polinomial derajat dua Pengguna dapat mencari F.2

akar-akar kompleks



polinomial derajat tiga Pengguna dapat mencari F.3

akar-akar kompleks



polinomial derajat empat Pengguna dapat mencari F.4

akar-akar kompleks


polinomial derajat n

polinomial derajat n Pengguna dapat melihat F.5

petunjuk peggunaan dan

Melihat petunjuk UC.5

informasi programcommit to user

penggunaan dan informasi program



4.3.2.1.5 Use Case Scenario Di bawah ini dijabarkan use case scenario untuk masing-masing use case: Nama use case

: Mencari akar kompleks polinomial derajat 2

Kode use case

: UC.1

Tabel 4.10 Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2 Field Name

Field Description

Name


Assumption

Program kalkulator telah berjalan, Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab

Actors

Pengguna

Pre-condition

Program menampilkan tabulasi ‘Polinomial Derajat 2’

Use case

Use case berfungsi apabila pengguna menginputkan

Initiation

koefisien variabel x dan mengklik ‘Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat’

Use Case Dialog

Sistem meminta pengguna untuk membuka tabulasi ‘Polinomial Derajat 2’ Sistem menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 2’ Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x dan mengklik button ‘Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat’ Sistem melakukan validasi terhadap koefisien yang diinputkan Sistem menentukan input Matlab Sistem menghitung akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menghitung akar kompleks dengan rumus kuadrat Sistem menghitung galat Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan dengan rumus kuadrat Sistem menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menampilkan galat

commit to user



Tabel 4.10 Lanjutan Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2 Field Name

Field Description

Use Case

Program menampilkan akar-akar kompleks hasil

Termination

perhitungan dengan Rumus Kuadrat, akar-akar kompleks pendekatan Matlab, dan galat perhitungan

Tabel 4.11 Combine Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2 Use Case Name


Assumption


Actors

Pengguna

Pre-condition


Actor

System

1. Mengklik tabulasi ‘Polinomial Derajat 2’ 2. Menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 2’ 3. Menginputkan koefisien variabel x 4. Mengklik ‘Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat’ 5. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan 6. Menentukan input perhitungan Matlab 7. Menghitung akar kompleks dengan pendekatan Matlab 8. Menghitung akar kompleks dengan rumus commit kuadratto user



Tabel 4.11 Lanjutan Combine Scenario UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2 Actor

System 9. Menghitung galat 10. Menampilkan akar kompleks perhitungan rumus kuadrat 11. Menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab 12. Menampilkan galat

1st alternative 5. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan, input tidak tepat 6. Menampilkan notifikasi ‘Input tidak tepat’

Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.1 yaitu mencari akar kompleks polinomial derajat 2 :

commit to user



Pengguna

Sistem

Mengklik tab 'Polinomial Derajat 2'

Menampilkan tab 'Polinomial Derajat 2'

Menginputkan koefisien variabel x

Mengklik 'Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat'

Validasi

tidak

Notifikasi 'Input tidak tepat'

ya Menentukan input Matlab

Menghitung pendekatan Matlab

Mencari akar-akar kompleks dengan Rumus Kuadrat

Menghitung galat

Menampilkan akar kompleks

Menampilkan pendekatan Matlab

Menampilkan galat

Gambar 4.2 Activity Diagram UC.1 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2 Nama use case


Kode use case

: UC.2


Field Description

Name


Assumption

Program kalkulator telah berjalan, commit to user Program kalkulator terkoneksi dengan Matlab



Tabel 4.12 Lanjutan Scenario UC.2 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 3 Actors

Pengguna

Pre-condition


Use case


Initiation

koefisien variabel x, memilih algoritma penyelesaian, dan mengklik ‘OK’

Use Case Dialog

Sistem meminta pengguna untuk membuka tabulasi ‘Polinomial Derajat 3’ Sistem menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 3’ Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x Sistem meminta pengguna memilih algoritma penyelesaian Sistem meminta pengguna mengklik button ‘OK’ Sistem melakukan validasi terhadap koefisien yang diinputkan Sistem menentukan input Matlab Sistem menghitung akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menghitung akar kompleks dengan algoritma Sistem menghitung galat Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan dengan algoritma terpilih Sistem menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menampilkan galat Sistem menampilkan jumlah iterasi

Use Case


Termination

perhitungan dengan algoritma terpilih, akar-akar kompleks pendekatan Matlab, galat perhitungan, dan jumlah iterasi

commit to user





Assumption


Actors

Pengguna

Pre-condition


Actor

System

1. Mengklik tabulasi ‘Polinomial Derajat 3’ 2. Menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 3’ 3. Menginputkan koefisien variabel x 4. Memilih algoritma penyelesaian 5. Mengklik ‘OK’ 6. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan 7. Menentukan input perhitungan Matlab 8. Menghitung akar kompleks dengan pendekatan Matlab 9. Menghitung akar kompleks dengan algoritma terpilih 10. Menghitung galat 11. Menampilkan akar kompleks perhitungan algoritma terpilih 12. Menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab 13. Menampilkan galat 14. Menampilkan jumlah iterasi commit to user




System

1st alternative 6. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan, input tidak tepat 7. Menampilkan notifikasi ‘Input tidak tepat’ Pengguna


Sistem



Memilih algoritma

Mengklik 'OK'

Validasi

tidak




Mencari akar-akar kompleks dengan algoritma yang dipilih

Menghitung galat



Menampilkan galat

Menampilkan iterasi

Gambar 4.3 Activity Diagram UC.2 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat commit to user 3



Nama use case


Kode use case

: UC.3


Field Description

Name


Assumption


Pre-condition


Use case


Initiation


Use Case Dialog

Sistem meminta pengguna untuk membuka tabulasi ‘Polinomial Derajat 4’ Sistem menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 4’ Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x Sistem meminta pengguna memilih algoritma penyelesaian Sistem meminta pengguna mengklik button ‘OK’ Sistem melakukan validasi terhadap koefisien yang diinputkan Sistem menentukan input Matlab Sistem menghitung akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menghitung akar kompleks dengan algoritma Sistem menghitung galat Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan dengan algoritma terpilih Sistem menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menampilkan galat Sistem menampilkan jumlah iterasi

commit to user



Tabel 4.14 Lanjutan Scenario UC.3 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 4 Field Name

Field Description

Use Case


Termination




Assumption


Actors

Pengguna

Pre-condition


Actor

System

1. Mengklik tabulasi ‘Polinomial Derajat 4’ 2. Menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat 4’ 3. Menginputkan koefisien variabel x 4. Memilih algoritma penyelesaian 5. Mengklik ‘OK’ 6. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan 7. Menentukan input perhitungan Matlab 8. Menghitung akar kompleks dengan pendekatan Matlab 9. Menghitung akar kompleks dengan algoritma 10. Menghitung galat commit to user




System 11. Menampilkan akar kompleks perhitungan algoritma 12. Menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab 13. Menampilkan galat 14. Menampilkan jumlah iterasi

1st alternative 6. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan, input tidak tepat 7. Menampilkan notifikasi ‘Input tidak tepat’

Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.3 yaitu mencari akar kompleks polinomial derajat 4 :

commit to user



Pengguna


Sistem



Memilih algoritma

Mengklik 'OK'

Validasi

tidak





Menghitung galat



Menampilkan galat

Menampilkan iterasi

Gambar 4.4 Activity Diagram UC.3 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat commit4to user



Nama use case

: Mencari akar kompleks polinomial derajat n

Kode use case

: UC.4

Tabel 4.16 Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n Field Name

Field Description

Name

Mencari akar kompleks polinomial derajat n

Assumption


Pre-condition

Program menampilkan tabulasi ‘Polinomial Derajat n’

Use case


Initiation


Use Case Dialog

Sistem meminta pengguna untuk membuka tabulasi ‘Polinomial Derajat n’ Sistem menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat n’ Sistem meminta pengguna untuk menginputkan derajat polinomial Sistem meminta pengguna untuk mengklik ‘OK’ Sistem melakukan validasi derajat polinomial yang diinputkan Sistem menampilkan pilihan algoritma Sistem meminta pengguna untuk mengisi koefisien variabel x Sistem meminta pengguna memilih algoritma penyelesaian Sistem meminta pengguna mengklik button ‘OK’ Sistem melakukan validasi terhadap koefisien yang diinputkan Sistem menentukan input Matlab Sistem menghitung akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menghitung akar kompleks dengan algoritma

commit to user Sistem menghitung galat



Tabel 4.16 Lanjutan Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n Field Name

Field Description

Use Case Dialog

Sistem menampilkan akar kompleks hasil perhitungan dengan algoritma terpilih Sistem menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab Sistem menampilkan galat Sistem menampilkan jumlah iterasi

Use Case


Termination


Tabel 4.17 Combine Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n Use Case Name


Assumption


Actors

Pengguna

Pre-condition

Program menampilkan tabulasi ‘Polinomial Derajat n’

Actor

System

1. Mengklik tabulasi ‘Polinomial Derajat n’ 2. Menampilkan halaman ‘Polinomial Derajat n’ 3. Menginputkan derajat polinomial 4. Mengklik ‘OK’ 5. Melakukan validasi derajat polinomial 6. Menampilkan pilihan algoritma

commit to user



Tabel 4.17 Lanjutan Combine Scenario UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n Actor

System

7. Menginputkan koefisien variabel x 8. Memilih algoritma penyelesaian 9. Mengklik ‘OK’ 10. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan 11. Menentukan input perhitungan Matlab 12. Menghitung akar kompleks dengan pendekatan Matlab 13. Menghitung akar kompleks dengan algoritma terpilih 14. Menghitung galat 15. Menampilkan akar kompleks perhitungan algoritma 16. Menampilkan akar kompleks pendekatan Matlab 17. Menampilkan galat 18. Menampilkan jumlah iterasi 1st alternative 5. Melakukan validasi derajat polinomial yang diinputkan, input tidak tepat 6. Menampilkan notifikasi ‘Input tidak tepat’ 2nd alternative 10. Melakukan validasi koefisien yang diinputkan, input tidak tepat 11. Menampilkan notifikasi ‘Input tidak tepat’

Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.4 yaitu mencari akar kompleks polinomialcommit derajatton user :



Pengguna

Mengklik tab 'Polinomial Derajat n'

Sistem

Menampilkan tab 'Polinomial Derajat n'

Menginputkan derajat polinomial

Mengklik 'OK'

Validasi

tidak


ya Menampilkan pilihan algoritma


Memilih algoritma

Mengklik 'OK'

Validasi

tidak





Menghitung galat



Menampilkan galat

Menampilkan iterasi

Gambar 4.5 Activity Diagram UC.4 : Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat commit to user n



Nama use case

: Melihat petunjuk penggunaan dan informasi program

Kode use case

: UC.5

Tabel 4.18 Scenario UC.5 : Melihat Petunjuk Penggunaan dan Informasi Program Field Name

Field Description

Name


Assumption


Pre-condition

Program menampilkan tabulasi ‘About’

Use case

Use case berfungsi apabila pengguna mengklik tabulasi

Initiation

‘About’

Use Case Dialog

Sistem meminta pengguna untuk membuka tabulasi ‘About’ Sistem menampilkan halaman ‘About’ Program menampilkan halaman ‘About’

Use Case Termination

Tabel 4.19 Combine Scenario UC.5 : Melihat Petunjuk Penggunaan dan Informasi Program Use Case Name


Assumption


Actors

Pengguna

Pre-condition

Program telah berjalan

Actor

System

1. Mengklik tabulasi ‘About 2. Menampilkan halaman ‘About

Berikut ini merupakan activity diagram untuk use case UC.5 yaitu melihat petunjuk penggunaan dan informasi program : commit to user



Pengguna

Sistem

Mengklik tab 'About'

Menampilkan tab 'About'

Menampilkan petunjuk penggunaan dan informasi program

Gambar 4.6 Activity Diagram UC.5 : Melihat Petunjuk Penggunaan dan Informasi Program

4.3.2.1.6 Flowchart Program Kalkulator Gambar 4.7 menunjukkan diagram alur (flowchart) program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n. Berikut ini merupakan penjelasan Gambar 4.7 : 1. Program memiliki empat tabulasi berdasarkan masing-masing derajat polinomial yakni polinomial derajat dua, tiga, empat, dan n. 2. Input masing-masing algoritma berupa koefisien masing-masing variabel x. 3. Proses yang dilakukan dalam program kalkulator yaitu menghitung nilai pendekatan akar kompleks dengan menggunakan Matlab dan mencari akar-akar kompleks polinomial menggunakan algoritma yang dipilih. 4. Nilai galat masing-masing akar kompleks polinomial didapat dari perhitungan galat relatif. Perhitungan galat relatif yang mengunakan formula yang diusulkan dalam penelitian ini. Perhitungan galat relatif suatu akar kompleks polinomial menggunakan Persamaan 2.64. Dalam perhitungan galat, nilai eksak diubah menjadi nilai pendekatan numerik yang didapat dari perhitungan Matlab. Penggunaan solusi numerik hasil

commit to user perhitungan Matlab ini dikarenakan beberapa sampel polinomial yang



digunakan dalam penelitian tidak disertai dengan solusi eksak. Selain itu, penyelesaian polinomial berderajat tinggi sulit diselesaikan dengan metode analitik. Oleh karena itu, digunakan alternatif lain untuk mendapatkan nilai eksak persamaan polinomial yaitu dengan menggunakan solusi numerik yang mendekati solusi eksak yang didapat dari perhitungan perangkat lunak matematika, Matlab. Seperti yang disebutkan dalam situs MathWorks (2016), Matlab merupakan perangkat lunak matematika berbasis matriks yang dapat mengekspresikan komputasi matematika. Matlab telah digunakan oleh jutaan insinyur dan ilmuwan di seluruh dunia untuk melakukan analisa dan desain. 5. Output dari perhitungan dalam program kalkulator adalah akar-akar kompleks polinomial

ሺ‫ݔ‬ଵ ǡ ‫ݔ‬ଶ ,‫ݔ‬ଷ ǡ ǥ ǡ ‫ݔ‬௡ ሻ,

masing-masing

galat

yang

dihasilkan

ሺ݃ଵ ǡ ݃ଶ ,‫ݔ‬ଷ ǡ ǥ ǡ ݃௡ ሻ, serta jumlah iterasi yang dilakukan untuk penyelesaian polinomial menggunakan algoritma Bairstow, revisi algoritma Bairstow, dan Muller ሺ݅ଵ ǡ ݅ଶ ,‫ݔ‬ଷ ǡ ǥ ǡ ݅௡ ሻǤ

commit to user

Algoritma Cardano

Revisi Revisi Rumus R mus Ru Kuadrat K adrat Ku

Perhitungan galat

x1, x2 g1, g2

Revisi Revisi Rumus R mus Ru Kuadrat K adrat Ku

Perhitungan galat

x1, x2 g1, g2

commit to user

Keterangan : a, b, c, d = koefisien polinomial r = akar kompleks g = galat i = iterasi

x1, x2, x3 g1, g2, g3

Perhitungan galat

Perhitungan Matlab

Perhitungan Matlab

Perhitungan Matlab

ya

Cardano

tidak

Viete’s tidak

tidak

Perhitungan galat

x1, x2, x3 g1, g2, g3 i1, i2, i3

Perhitungan galat

x1, x2, x3 g1, g2, g3 i1, i2, i3

Perhitungan galat

x1, x2, x3 g1, g2, g3

tidak

x1, x2, x3, x4 g1, g2, g3, g4 i1, i2, i3, i4

ya

Perhitungan galat

Revisi Algoritma Bairstow

Perhitungan Matlab

x1, x2, x3, x4 g1, g2, g3, g4 i1, i2, i3, i4

Gambar 4.7 Diagram Alur Kalkulator Polinomial

Selesai

Algoritma Bairstow

Revisi Algoritma Bairstow

Algoritma Bairstow

Algoritma Viete’s

Perhitungan galat

Perhitungan Matlab

Perhitungan Matlab

Perhitungan Matlab

Perhitungan Matlab

ya

ya

ya

Bairstow

ya

Bairstow tidak

Muller

x1, x1, x2, x2, x3, x3, x4, x4, ..., ..., xn xn g1, g1, g2, g2, g3, g3, g4, g4, ..., ..., gn gn i1, i1, i2, i2, i3, i3, i4, i4, ..., ..., in in

x1, x2, x3, x4 g1, g2, g3, g4 i1, i2, i3, i4

Perhitungan galat

Muller

Perhitungan Matlab

ya

Perhitungan galat

Algoritma 2

a, b, c

Algoritma 1

Perhitungan Matlab

Pilihan algoritma

95

x1, x1, x2, x2, x3, x3, x4, x4, ..., ..., xn xn g1, g1, g2, g2, g3, g3, g4, g4, ..., ..., gn gn i1, i1, i2, i2, i3, i3, i4, i4, ..., ..., in in

Perhitungan galat

Algoritma 2

a, b, c, d

Algoritma 1

Perhitungan Matlab

Pilihan algoritma

koefisien

Revisi Bairstow

koefisien Revisi Bairstow

ya

n, bilangan genap

ya

tidak

a, b, c, d

derajat

a, b, c

ya

n, bilangan ganjil

Polinomial derajat n

ya

tidak

Polinomial derajat 4

tidak

ya

ya

tidak

Revisi Rumus Kuadrat

tidak


ya

Rumus Kuadrat

a, b

ya


Mulai

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id



4.3.2.1 4.3.2.2 Prototipe Antarmuka Hasil analisa kebutuhan dan perancangan program diimplementasikan dalam antarmuka atau user interface. Antarmuka merupakan tampilan program yang dilihat oleh pengguna. Untuk memudahkan implementasi, terlebih dahulu dibuat prototipe antarmuka. Prototipe antarmuka merupakan sampel antarmuka sebelum diimplementasikan menggunakan Java GUI. Berikut ini merupkan prototipe antarmuka masing-masing tabulasi :

a. Tabulasi Polinomial Derajat 2 Polinomial Derajat 2

Polinomial Derajat 3


Polinomial Derajat n

About

Masukkan Masukkan koefisien koefisien polinomial polinomial ::

Pilih Pilih algoritma algoritma :: Rumus Kuadrat Akar Akar kompleks kompleks pendekatan pendekatan Matlab Matlab :: Akar Akar 11 == Akar Akar 22 == Akar Akar kompleks kompleks perhitungan perhitungan kalkulator kalkulator :: Akar kar 11 == Akar Akar 22 == Galat Galat yang yang dihasilkan dihasilkan :: Galat Galat 11 == Galat Galat 22 ==

Gambar 4.8 Prototipe Tabulasi Polinomial Derajat 2

commit to user



b. Tabulasi Polinomial Derajat 3 Polinomial Derajat 2




About


Pilih Pilih algoritma algoritma :: Algoritma Cardano

OK

Akar Akar kompleks kompleks perhitungan perhitungan kalkulator kalkulator ::

Akar Akar kompleks kompleks pendekatan pendekatan Matlab Matlab ::

Akar kar 11 ==

Akar Akar 11 ==

Akar Akar 22 ==

Akar Akar 22 ==

Akar Akar 33 ==

Akar Akar 33 ==

Galat Galat yang yang dihasilkan dihasilkan ::

Iterasi Iterasi yang yang dilakukan dilakukan ::

Gambar 4.9 Prototipe Tabulasi Polinomial Derajat 3

c. Tabulasi Polinomial Derajat 4 Polinomial Derajat 2




About


Pilih Pilih algoritma algoritma :: Algoritma Bairstow

OK



Akar kar 11 ==

Akar Akar 11 ==

Akar Akar 22 ==

Akar Akar 22 ==

Akar Akar 33 ==

Akar Akar 33 ==

Akar Akar 44 ==

Akar Akar 44 ==



Gambar 4.10 Prototipe Tabulasi Polinomial Derajat 4 commit to user



d. Tabulasi Polinomial Derajat n Polinomial Derajat 2


Masukkan Masukkan derajat derajat polinomial polinomial ::



About

OK


Pilih Pilih algoritma algoritma :: Algoritma Muller

OK





Gambar 4.11 Prototipe Tabulasi Polinomial Derajat n

4.3.2.3 Model Analisis Use case diagram direalisasikan dalam analisis model program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial. Melalui analisi model, kebutuhan program akan dispesifikasikan kembali berdasarkan kebutuhan-kebutuhan yang telah dianalisis dan apa yang dapat program lakukan untuk membantu pengguna. Sebelum program kalkulator dibangun, dilakukan analisis struktur logika dari situasi permasalahan dan cara masing-masing elemen logika saling berinteraksi. Dalam penelitian ini, model analisis dilakukan dengan membuat robustness diagram, sequence diagram, dan class diagram. 4.3.2.3.1 Robustness Diagram Robustness diagram merupakan salah satu cara untuk menghasilkan analisis class diagram untuk sebuah use case. Berikut ini merupakan robustness diagram program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n :

commit to user



ProsesKalkulator

TampilanKalkulator

Gambar 4.12 Robustness Diagram Program Kalkulator

Berdasarkan robustness diagram di atas, diketahui bahwa dalam porgram kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n terdapat satu boundary yakni

TampilanKalkulator

dan

satu

control

yakni

ProsesKalkulator.

TampilanKalkulator merupakan model interaksi antara program kalkulator dengan pengguna.

TampilanKalkulator

berupa

kelas

antarmuka

program.

TampilanKalkulator ini telah mencakup seluruh tabulasi pada program yaitu tabulasi Polinomial Derajat 2, Polinomial Derajat 3, Polinomial Derajat 4, Polinomial Derajat n, dan About. Proses yang dilakukan kalkulator dalam mencari akar-akar kompleks polinomial terdapat dalam kelas control ProsesKalkulator. 4.3.2.3.2 Sequence Diagram Dalam

sequence diagram

dipaparkan interaksi objek yang disusun

berdasarkan urutan proses dalam sistem. Proses yang terjadi pada masing-masing use case akan dijabarkan dalam bentuk interaksi objek sesuai dengan urutannya mulai dari inputan user hingga output yang dihasilkan. Berikut ini merupakan sequence diagram masing-masing use case : a. UC.1 Mencari akar kompleks polinomial derajat 2

commit to user



: Pengguna

: TampilanKalkulator

: ProsesKalkulator

1 : input koefisien variabel x 2 : klik 'Penyelesaian dg Rumus Kuadrat 3 : inputKoefisien()

4 : validate()

sd Jika input tidak valid 5 : menampilkan notifikasi sd Jika input valid 6 : inputMatlab()

7 : findingRootsUsingMatlab()

8 : rumusKuadrat()

9 : hitungGalat()

10 : cetakPendekatanMatlab() 11 : cetakAkar() 12 : cetakGalat()

Gambar 4.13 Sequence Diagram UC.1 Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat 2

commit to user



b. UC.2 Mencari akar kompleks polinomial derajat 3

: Pengguna


: ProsesKalkulator

1 : input koefisien variabel x 2 : pilih algoritma 3 : klik 'OK' 4 : inputKoefisien()

5 : validate()



9 : perhitunganAlgoritma()

10 : hitungGalat()

11 : cetakPendekatanMatlab() 12 : cetakAkar() 13 : cetakGalat() 14 : cetakIterasi()


commit to user



c. UC.3 Mencari akar kompleks polinomial derajat 4

: Pengguna


: ProsesKalkulator

1 : input koefisien variabel x 2 : pilih algoritma 3 : klik 'OK' 4 : inputKoefisien()

5 : validate()




10 : hitungGalat()



commit to user



d. UC.4 Mencari akar kompleks polinomial derajat n

: Pengguna


: ProsesKalkulator

1 : input derajat polinomial 2 : klik 'OK' 3 : inputDerajat() 4 : validate()

sd Jika derajat tidak valid 5 : menampilkan notifikasi

sd Jika derajat valid

7 : input koefisien variabel x

6 : menampilkan pilihan algoritma

8 : pilih algoritma 9 : klik 'OK' 10 : inputKoefisien()

11 : validate()




16 : hitungGalat()


Gambar 4.16 Sequence Diagram UC.4 Mencari Akar Kompleks Polinomial Derajat n commit to user



4.3.2.3.3 Class Diagram Class diagram program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n ditunjukkan pada Gambar 4.17. <> ProsesKalkulator <> TampilanKalkulator

+inputKoefisien() +inputMatlab() +findingRootsUsingMatlab() +rumusKuadrat() +algoritmaCardano() +algoritmaVietes() +algoritmaBairstow() +revisiBairstow() +algoritmaMuller() +hitungGalat() +inputDerajat()

+cetakPendekatanMatlab() +cetakAkar() +cetakGalat() +cetakIterasi()

Gambar 4.17 Class Diagram Program Kalkulator

4.3.3 Implementasi Program Kalkulator Algoritma-algoritma khusus pencarian akar kompleks polinomial seperti algoritma rumus kuadrat (Alg 2.1), Cardano (Alg 2.2), Viete’s (Alg 2.3), Bairstow (Alg 2.4), revisis algoritma Bairstow (Alg 2.5), dan Muller (Alg 2.6) diimplementasikan dalam sebuah program yang ditulis menggunakan bahasa pemrograman java. Di bawah ini akan dijelaskan mengenai implementasi algoritma-algoritma tersebut : 4.3.3.1 Implementasi Algoritma Rumus Kuadrat Algoritma rumus kuadrat merupakan algoritma yang digunakan untuk mencari akar kompleks suatu persamaan polinomial berderajat dua. Algoritma rumus kuadrat (Alg 2.1) adalah algoritma sederhana. Gambar 4.18 merupakan flowchart algoritma rumus kuadrat.

commit to user



Mulai

Input koefisien a[]

d = a[1] * a[1] - 4 * a[0] p = -a[1] / 2

q = (-sqrt(d)/2) d >= 0 ?

tidak

x1 = p+"+"+q+"i" x2 = p+"-"+q+"i"

ya x1 = (sqrt(d)/2)+p x2 = (-sqrt(d)/2)+p

x1, x2

Selesai

Gambar 4.18 Flowchart Rumus Kuadrat Berikut ini merupakan pseudocode implementasi algoritma rumus kuadrat : Algoritma Rumus Kuadrat {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat dua} Input : a[] Output : arrayakar[] Deskripsi Algoritma input(a) d ← a[1] * a[1] - 4 * a[0] p ← -a[1] / 2 IF (d >= 0) arrayakar[0] ← (sqrt(d)/2)+p arrayakar[1] ← (-sqrt(d)/2)+p ELSE q ← (-sqrt(d)/2) arrayakar[0] ← p+"+"+q+"i" arrayakar[1] ← p+"-"+q+"i" ENDIF RETURN arrayakar

4.3.3.2 Implementasi Algoritma Cardano Penyelesaian persamaan polinomial derajat tiga dapat dilakukan dengan user menggunakan algoritma Cardano.commit Dalamtoalgoritma Cardano terdapat dua pilihan



penyelesaian persamaan polinomial derajat tiga. Pilihan penyelesaian tersebut bergantung pada nilai diskriminan yang dihasilkan. Flowchart algoritma Cardano dapat dilihat pada Gambar 4.19. Mulai

Input koefisien a[]

p = ((3*a[1])-a[2]^2)/3 q = ((2*a[2]^3)/27)-(a[2]*a[1]/3)+a[0] diskriminan = ((p/3)^3)+((q/2)^2) cosA = -q/(2*sqrt((|p|/3)^3) rad = acos(cosA) diskriminan > 0 ?

tidak

x1 = ((-a[2]/3)+(2*sqrt(|p|/3)*cos(rad/3))) x2 = ((-a[2]/3)-(2*sqrt(|p|/3)*cos(rad-pi()/3))) x3 = ((-a[2]/3)-(2*sqrt(|p|/3)*cos(rad+pi()/3)))

ya u = (-1*(q/2))^(1/3)+ sqrt(diskriminan) v = (-1*(q/2))^(1/3)- sqrt(diskriminan) x1 = (-a[2]/3) + u + v y = (-a[2]/3)-((u+v)/2) z = ((u-v)/2) * sqrt(3) x2 = y+"+"+z+"i" x3 = y+"-"+z+"i"

x1, x2,x3

Selesai

Gambar 4.19 Flowchart Algoritma Cardano

Secara keseluruhan, algoritma Cardano (Alg 2.2) dapat dijabarkan dalam pseudocode berikut ini : Algoritma Cardano {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat tiga} Input : a[] Output : arrayakar[] commit to user Deskripsi Algoritma



input(a) p ← ((3*a[1])-a[2]^2)/3 q ← ((2*a[2]^3)/27)-(a[2]*a[1]/3)+a[0] diskriminan ← ((p/3)^3)+((q/2)^2) IF (diskriminan > 0) u ← cbrt(-1*(q/2))+ sqrt(diskriminan) v ← cbrt(-1*(q/2))- sqrt(diskriminan) w ← (-a[2]/3) + u + v arrayakar[0] ← w y ← (-a[2]/3)-((u+v)/2) z ← ((u-v)/2) * sqrt(3) arrayakar[1] ← y+"+"+z+"i" arrayakar[2] ← y+"-"+z+"i" ELSE IF (diskriminan <= 0) cosA ← -q/(2*sqrt((|p|/3)^3) rad ← acos(cosA) arrayakar[0] ← ((-a[2]/3)+(2*sqrt(|p|/3)*cos(rad/3))) arrayakar[1] ← ((-a[2]/3)-(2*sqrt(|p|/3)*cos(rad-pi()/3))) arrayakar[2] ← ((-a[2]/3)-(2*sqrt(|p|/3)*cos(rad+pi()/3))) ENDIF RETURN arrayakar

4.3.3.3 Implementasi Algoritma Viete’s Algoritma Viete’s merupakan algoritma penyelesaian persamaan polinomial derajat tiga. Gambar 4.20 merupakan flowchart algoritma Viete’s. Mulai

Input koefisien a[]

omega1 = (-1 + sqrt(3) i) / 2 omega2 = (-1 - sqrt(3) i) / 2 p = ((3*a[1]) – a[2]^2) / 3 q = ((2*a[2]^3)/27) – (a[2]*a[1]/3) + a[0] c = (-q/2) + sqrt((p^3/27) + (q^2/4)) r = c^(1/3) d = -p/3

x1 = r + (d/r) x2 = (omega1*r) + (d/(omega1*r)) x3 = (omega2*r) + (d/(omega2*r))

x1, x2,x3

Selesai

commit to user Gambar 4.20 Flowchart Algoritma Viete’s



Dalam pembangunan kalkulator pencarian akar kompleks polinomial, algoritma Viete’s (Alg 2.3) dapat dijabarkan dalam pseudocode berikut : Algoritma Viete’s {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat tiga} Input : a[] Output : arrayakar[] Deskripsi Algoritma input(a) omega1 ← -0.5 imomega1 ← 0.5 * sqrt(3) omega2 ← -0.5 imomega2 ← -0.5 * sqrt(3) p ← ((3*a[1]) – a[2]^2) / 3 q ← ((2*a[2]^3)/27) – (a[2]*a[1]/3) + a[0] d ← -p/3 imd ← 0.0 dd ← (p^3/27) + (q^2/4) IF (dd < 0) c ← (-q/2) imc ← sqrt(-1*dd) ELSE c ← (-q/2) + sqrt(dd) imc ← 0.0 ENDIF normc ← sqrt(c^2 + imc^2) taninvers ← atan(imc/c) tetha ← 0.0 IF (c > 0 || imc > 0) tetha ← toDegrees(taninvers) //kuadran 1 ELSE IF( c < 0 || imc > 0) tetha ← 180 - |toDegrees(taninvers)| // kuadran 2 ELSE IF ( c < 0 || imc < 0) Tetha ← 180 + |toDegrees(taninvers)| // kuadran 3 ELSE IF ( c > 0 || imc < 0) tetha ← 360 - |toDegrees(taninvers)| // kuadran 4 ENDIF r ← normc^(1/3) * cos(toRadians(tetha/3) im r ← normc^(1/3) * sin(toRadians(tetha/3) dr ← ((d*r) + (imd*imr)) / (r^2+imr^2) imdr ← ((-imr*d) + (imd*r)) / (r^2 + imr^2) z1 ← r + dr imz1 ← imr + imdr omega1r ← (omega1*r) – (imomega1*imr) imomega1r ← (omega1*imr) + (imomega1*r) omega2r ← (omega2*r) – (imomega2*imr) imomega2r ← (omega2*imr) + (imomega2*r) domega1r ← ((d*omega1r)+(imd*imomega1r)) / (omega1r^2+imomega1r^2) imdomega1r ← ((-imomega1r*d)+(imomega1r*imd)) / (omega1r^2+imomega1r^2) z2 ← omega1r + domega1r imz2 ← imomega1r + imdomega1r domega2r ←((d*omega2r)+(imd*imomega2r)) / (omega2r^2+imomega2r^2) imdomega2r ←((-imomega1r*d)+(imomega1r*imd)) / (omega1r^2+imomega1r^2) commit to user z3 ← omega2r + domega2r



imz3 ← imomega2r + imdomega2r arrayakar[0] ← z1+"+"+ imz1+"i" arrayakar[1] ← z2+"+"+ imz2+"i" arrayakar[2] ← z3+"+"+ imz3+"i" RETURN arrayakar

4.3.3.4 Implementasi Algoritma Bairstow Algoritma Bairstow digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial berderajat n. Algoritma Bairstow menggunakan sistem iterasi dalam mencari akar polinomial berderajat n. Flowchart algoritma Bairstow tertera pada Gambar 4.21.

commit to user



Mulai

Input koefisien a[], n Ɛ = 1E-8

u=0 v=0

k=0

k = (n-1) ?

tidak

b[k] = a[k]+b[k-1]u+b[k-2]v k++

tidak

c[k] = b[k] + c[k-1]u + c[k-2]v k++

ya k=0

k = (n-2) ? tidak

ya Δu = b[n] * c[n-3] - b[n-1] * c[n-2] /

(c[n-2] * c[n-2]) - c[n-1] * c[n-3] Δv = b[n-1] * c[n-1] - b[n] * c[n-2] / tidak

(c[n-2] * c[n-2]) - c[n-1] * c[n-3]

u = u + du v = v +dv

|Δu| + |Δv| < Ɛ

sq = u * u + 4 * v

sq < 0 ?

tidak

x[n-1] = u/2 + sqrt(-sq) / 2 x[n-2] = u/2 +-sqrt(-sq) / 2

tidak


ya x[n-1] = u/2 + sqrt(-sq) / 2 i x[n-2] = u/2 +-sqrt(-sq) / 2 i

n=n–2 a[] = b[]

n=1?

tidak

n=2?

ya u = -a[n-1] / a[n-2] x[0] = -a[0] / a[1]

v = -a[n] / a[n-2] sq = u * u + 4 * v

sq < 0 ?

ya

x[n-1] = u/2 + sqrt(-sq) / 2 i x[n-2] = u/2 +-sqrt(-sq) / 2 i

x1, x2,x3,...,xn

Selesai

commit to user Gambar 4.21 Flowchart Algoritma Bairstow



Berikut ini merupakan pseudocode algoritma Bairstow (Alg 2.4) yang digunakan dalam pembangunan kalkulator pencarian akar kompleks polinomial : Algoritma Bairstow {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat n} Input : a[], n Output : arrayakar[] Deskripsi Algoritma input(a) input(n) epsilon ← 1e-8 //nilai toleransi WHILE (n >= 3) DO u ← 0 v ← 0 error ← 1 c[n] ← b[n] ← a[n] WHILE (error > epsilon) DO b[n-1] ← a[n-1] + u * b[n] c[n-1] ← b[n-1] + u * c[n] FOR (i = n - 2; i > 0; i--) DO b[i] ← a[i] + u * b[i+1] + v * b[i+2] c[i] ← b[i] + u * c[i+1] + v * c[i+2] ENDFOR b[0] ← a[0] + u * b[1] + v * b[2] det ← (c[2] * c[2]) - c[1] * c[3] nu ← b[0] * c[3] - b[1] * c[2] nv ← b[1] * c[1] - b[0] * c[2] IF (det == 0) du ← dv ← 1 ELSE du ← nu / det dv ← nv / det ENDIF u ← u + du v ← v + dv error ← sqrt(du * du + dv * dv) ENDWHILE sq = u * u + 4 * v IF (sq < 0) p ← u/2 q ← sqrt(-sq) / 2 arrayakar[n-1] ← p+“+”+q+“i” arrayakar[n-2] ← p+“-”+q+“i” ELSE arrayakar[n-1] ← (u/2)+(sqrt((s*q)/2)) arrayakar[n-2] ← (u/2)-(sqrt((s*q)/2)) ENDIF n ← n - 2 FOR (i = 0; i < n + 1; i++) DO a[i] ← b[i+2] ENDFOR ENDWHILE IF (n == 2) u ← -a[1] / a[2] commit to user v ← -a[0] / a[2]



sq ← u * u + 4 * v IF (sq < 0) p ← u/2 q ← sqrt(-sq) / arrayakar[0] ← arrayakar[1] ← ELSE arrayakar[0] ← arrayakar[1] ← ENDIF ELSE IF (n == 1) arrayakar[0] ← -a[0] ENDIF RETURN arrayakar

2 p+“+”+q+“i” p+“-”+q+“i” (u/2)+(sqrt((s*q)/2)) (u/2)-(sqrt((s*q)/2))

/ a[1]

4.3.3.5 Implementasi Revisi Algoritma Bairstow Revisi algoritma Bairstow (Alg 2.5) merupakan pengembangan algoritma Bairstow (Alg 2.4). Langkah-langkah yang dilakukan dalam revisi algoritma Bairstow sama persis dengan algoritma Bairstow. Perbedaan dari kedua algoritma tersebut hanya terdapat pada rumus yang digunakan dalam menentukan nilai ∆u dan ∆v yang akan berpengaruh pada nilai u dan v. Flowchart revisi algoritma Bairstow adalah sebagai berikut :

commit to user



Mulai

Input koefisien a[], n Ɛ = 1E-8

u=0 v=0

k=0

k = (n-1) ?

tidak

b[k] = a[k]+b[k-1]u+b[k-2]v k++

tidak

c[k] = b[k] + c[k-1]u + c[k-2]v k++

ya k=0

k = (n-2) ? tidak

ya

tidak

Δu = (b[n-1] * c[n-2]) - (b[n] * c[n-3]) / ((c[n-1]-b[n-1]) * c[n-3]) - (c[n-2] * c[n-2]) Δv = (b[n] * c[n-2]) - (b[n-1] * (c[n-1]-b[n-1])) / ((c[n-1]-b[n-1]) * c[n-3]) - (c[n-2] * c[n-2])

u = u + du v = v +dv

|Δu| + |Δv| < Ɛ

sq = u * u + 4 * v

sq < 0 ?

tidak


tidak


ya


n=n–2 a[] = b[]

n=1?

tidak

n=2?

ya u = -a[n-1] / a[n-2] x[0] = -a[0] / a[1]

v = -a[n] / a[n-2] sq = u * u + 4 * v

sq < 0 ?

ya


x1, x2,x3,...,xn

Selesai

commit to user Gambar 4.22 Flowchart Revisi Algoritma Bairstow



Berikut ini merupakan pseudocode dari revisi algoritma Bairstow : Revisi Algoritma Bairstow {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat n} Input : a[], n Output : arrayakar[] Deskripsi Algoritma input(a) input(n) epsilon ← 1e-8 //nilai toleransi WHILE (n >= 3) DO u ← 0 v ← 0 error ← 1 c[n] ← b[n] ← a[n] WHILE (error > epsilon) DO b[n-1] ← a[n-1] + u * b[n] c[n-1] = b[n-1] + u * c[n]; FOR (i = n - 2; i > 0; i--) DO b[i] ← a[i] + u * b[i+1] + v * b[i+2] c[i] ← b[i] + u * c[i+1] + v * c[i+2] ENDFOR b[0] ← a[0] + u * b[1] + v * b[2] det ← ((c[1]-b[1]) * c[3]) - (c[2] * c[2]) nu ← (b[1] * c[2]) - (b[0] * c[3]) nv ← (b[0] * c[2]) - (b[1] * (c[1]-b[1])) IF (det == 0) du ← dv ← 1 ELSE du ← nu / det dv ← nv / det ENDIF u ← u + du v ← v + dv error ← sqrt(du * du + dv * dv) ENDWHILE sq = u * u + 4 * v IF (sq < 0) p ← u/2 q ← sqrt((-s*q)/2) arrayakar[n-1] ← p+“+”+q+“i” arrayakar[n-2] ← p+“-“+q+“i” ELSE arrayakar[n-1] ← (u/2)+(sqrt((s*q)/2)) arrayakar[n-2] ← (u/2)-(sqrt((s*q)/2)) ENDIF n ← n - 2 FOR (i = 0; i < n + 1; i++) DO a[i] ← b[i+2] ENDFOR ENDWHILE IF (n == 2) u ← -a[1] / a[2]; v ← -a[0] / a[2]; sq ← u * u + 4 * v; commit to user IF (sq < 0)



p ← u/2 q ← ඥെ‫ݍݏ‬Τʹ arrayakar[0] ← arrayakar[1] ←

p+“+”+q+“i” p+“-”+q+“i”

ELSE arrayakar[0] ← (u/2)+(sqrt((s*q)/2)) arrayakar[1] ← S(u/2)-(sqrt((s*q)/2)) ENDIF ELSE IF (n == 1) arrayakar[0] ← -a[0] / a[1] ENDIF RETURN arrayakar

4.3.3.6 Implementasi Algoritma Muller Algoritma Muller merupakan generalisasi dari metode secant dimana dalam mencari akar kompleks dilakukan dengan beberapa perulangan hingga nilai akar konvergen. Flowchart algoritma Muller ditampilkan pada Gambar 4.23.

commit to user



Mulai

Input koefisien a[] dan b[]=null, n, epsilon = 1E-8 J=0

x0 = 1, x2 = 2, x3 = 3

h0 = x0 - x2, h1 = x1 - x2 h2 = h0 * h1 * (h0 – h1) f0 = f(x0), f1 = f(x1), f2 = f(x2) a = ((h1*(f0-f2))-(h0*(f1-f2)))/h2 b = (((h0^2)*(f1-f2))- ((h1^2)*(f0-f2)))/h2 c = f(x2) D = sqrt((b^2)-(4*a*c))

b>=0?

tidak

x3 = x2 – ((2c)/(b-D)) y=c

tidak ya x3 = x2 – ((2c)/ (b+D)) y=c

y > epsilon ?

tidak

x0 = x1, x1 = x2, x2 = x3

tidak

a[] = b[i+1] + (a[i+1]*x3) i--

ya x[n-1] = x3

b[] = a[] n = n -1 i=n

n=1?

tidak

i > -1 ?

ya

ya

x[n-1] = -1*a[0]

i=n?

ya x1, x2,x3,...,xn

a[] = b[i+1] i--

Selesai

commit to user Gambar 4.23 Flowchart Algoritma Muller



Di bawah ini merupakan psuedocode pada implementasi algoritma Muller dalam program kalkulator : Algoritma Muller {Algoritma ini digunakan untuk mencari akar kompleks polinomial derajat n} Input : a[], n Output : arrayakar[] Deskripsi Algoritma input(a) input(n) epsilon ← 1e-8 m ← n FOR (int i = 0; i <= n; i++) DO b[i] ← 0.0 ENDFOR FOR (int j=0; j < (m-1); j++)DO loop ← false x0 = 1.0 x1 = 2.0 x2 ← 3.0 WHILE (loop == false)DO h0 ← x0 - x2 h1 ← x1 - x2 h2 ← h0 * h1 * (h0 – h1) f0 ← f(x0) f1 ← f(x1) f2 ← f(x2) a ← ((h1*(f0-f2))-(h0*(f1-f2)))/h2 b ← (((h0^2)*(f1-f2))- ((h1^2)*(f0-f2)))/h2 c ← f(x2) D ← sqrt((b^2)-(4*a*c)) IF (b >= 0)DO x3 ← x2 – ((2c)/(b+D)) ELSE x3 ← x2 – ((2c)/(b-D)) ENDIF y ← c IF ( y > epsilon) DO x0 ← x1 x1 ← x2 x2 ← x3 loop ← false ELSE arrayakar[n-1] ← x3 loop ← true ENDIF ENDWHILE System.arraycopy(a, 0, b, 0, n+1) n ← n – 1 FOR (int i = n; i > -1 ; i--)DO IF ( i == n)DO a[i] ← b[i+1] ELSE a[i] ← b[i+1] + (a[i+1]*x3) commit to user ENDIF



ENDFOR IF ( n == 1)DO arrayakar[n-1] ← -1*a[0] ENDIF ENDFOR RETURN arrayakar

4.4 Hasil Implementasi Program Kalkulator Algoritma-algoritma khusus pencarian akar kompleks polinomial seperti rumus kuadrat (Alg 2.1), Cardano (Alg2.2), Viete’s (Alg 2.3), Bairstow (Alg 2.4), revisi Bairstow (2.5), dan Muller (Alg 2.6) diimplementasikan dalam bahasa Java. Antarmuka program kalkulator dibuat sederhana untuk memudahkan pengguna. Tampilan antarmuka implementasi program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat n dapat dilihat pada Gambar 4.24. keterangan lebih lanjut mengenai program dapat dilihat pada Lampiran 1.

Gambar 4.24 Antarmuka Program Kalkulator Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n

commit to user



4.5 Pengujian Program Kalkulator dengan Metode Black Box Pengujian perangkat lunak dilakukan secara manual menggunakan balck box testing. Tujuan dilakukannya pengujian adalah untuk mengetahui kualitas kinerja program kalkulator, mengetahui apakah semua fungsional telah berjalan seperti seharusnya. Pengujian balck box dilakukan dengan menginputkan data-data yang mungkin diinputkan oleh pengguna. Pengujian balck box dilakukan pada seluruh fungsional-fungsional yang terdapat pada program kalkulator. Tabel 4.20 menunjukkan hasil pengujian program kalkulator dengan menggunakan metode black box.

commit to user

Menginputkan koefisien variabel x tetapi

tidak lengkap (terdapat variabel yang

kosong) dan mengklik button

Mencari akar

kompleks polinomial

derajat 2


kosong) dan mengklik button

kompleks polinomial

derajat 2

notifikasi ‘Input tidak

‘Input tidak tepat’

kompleks pendekatan Matlab, dan galat perhitungan

dengan algoritma, akar kompleks pendekatan Matlab, dan galat perhitungan

button ‘Penyelesaian dengan Rumus

Kuadrat’

derajat 2

dengan algoritma, akar

kompleks perhitungan


lengkap sesuai format dan mengklik

kompleks polinomial

Berhasil menampilkan akar


Menampilkan akar



tepat’

Berhasil menampilkan

Menampilkan notifikasi

tepat’



Mencari akar

‘Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat’


Mencari akar

‘Penyelesaian dengan Rumus Kuadrat’

dengan Rumus Kuadrat’

derajat 2

tepat’



dan mengklik button ‘Penyelesaian

kompleks polinomial

Hasil Berhasil menampilkan

Output Menampilkan notifikasi

Input

Tidak menginputkan koefisien variabel x

Deskripsi

Mencari akar

commit to user

4

3

2

1

No

Tabel 4.20 Pengujian Program Kalkulator Menggunakan Metode Black Box

120

Sukses

Sukses

Sukses

Sukses

Ket.


8

7

6

5

No

memilih algoritma dan mengklik button

‘OK’



kosong), memilih algoritma dan mengklik

kompleks polinomial

derajat 3

Mencari akar

kompleks polinomial

derajat 3

dengan algoritma, akar kompleks pendekatan Matlab, galat perhitungan, dan jumlah iterasi


dan mengklik button ‘OK’

derajat 3




lengkap sesuai format, memilih algoritma

Menampilkan akar



tepat’



kompleks polinomial


derajat 3


‘Input tidak tepat’ tepat’




tidak sesuai format, memilih algoritma

kompleks polinomial




Hasil


Output

Mencari akar


commit to user

Mencari akar

button ‘OK’

Tidak menginputkan koefisien variabel x,

Input

Mencari akar

Deskripsi

Tabel 4.20 Lanjutan Pengujian Program Kalkulator Menggunakan Metode Black Box

121

Sukses

Sukses

Sukses

Sukses

Ket.


12

11

10

9

No


‘OK’



kosong), memilih algoritma dan mengklik

kompleks polinomial

derajat 4

Mencari akar

kompleks polinomial

derajat 4




derajat 4





Menampilkan akar



tepat’



kompleks polinomial


derajat 4







kompleks polinomial




Hasil


Output

Mencari akar


commit to user

Mencari akar

button ‘OK’


Input

Mencari akar

Deskripsi


122

Sukses

Sukses

Sukses

Sukses

Ket.



Menampilkan notifikasi ‘Input tidak tepat’

Menginputkan derajat polinomial tidak

sesuai format dan mengklik button ‘OK’

Mencari akar

kompleks polinomial




kompleks polinomial

derajat n

‘OK’

derajat n

Mencari akar




kompleks polinomial



tepat’



tepat’



penyelesaian

pilihan algoritma


algoritma penyelesaian

Mencari akar

derajat n

kompleks polinomial

format dan mengklik button ‘OK’


Menampilkan pilihan

Mencari akar

Menginputkan derajat polinomial sesuai

tepat’

derajat n


tepat’

derajat n




kompleks polinomial

Hasil Berhasil menampilkan

Output Menampilkan notifikasi

Input

Tidak menginputkan derajat polinomial

Deskripsi

Mencari akar

commit to user

17

16

15

14

13

No


123

Sukses

Sukses

Sukses

Sukses

Sukses

Ket.


19

18

No

kompleks pendekatan Matlab, galat perhitungan, dan jumlah iterasi

kompleks pendekatan Matlab, galat perhitungan, dan jumlah iterasi

Mengklik tab ‘About’

Melihat petunjuk program kalkulator dan petunjuk penggunaan

peggunaan dan

informasi program

Menampilkan informasi




derajat n

penggunaan

kalkulator dan petunjuk

informasi program






Hasil

kompleks polinomial

Menampilkan akar

Output


Input

Mencari akar

Deskripsi


124

Sukses

Sukses

Ket.


commit to user



Hasil pengujian program kalkulator dengan menggunakan metode black box menunjukkan seluruh fungsional pada program kalkulator dapat berfungsi sebagaimana mesinya. Dari seluruh fungsional dengan jumlah keseluruhan 17 kasus uji, 100% fungsional sistem dapat berjalan dengan baik. Hasil pengujian dapat dilihat pada Tabel 4.21 berikut ini :

Tabel 4.21 Ringkasan Pengujian Program Kalkulator dengan Metode Black Box No

1

Deskripsi


2


3


4

Mencari akar kompleks polinomial derajat n

5

Jumlah

Hasil

Kasus Uji

Diterima

Tidak diterima

4

4

0

4

4

0

4

4

0

6

6

0

1

1

0

19

19

0


Jumlah

4.6 Penyelesaian Sampel Polinomial dan Analisa Perbandingan Galat Setelah program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial dibangun, masing-masing sampel-sampel polinomial yang telah ditentukan dicari akar-akar kompleksnya menggunakan masing-masing algoritma yang tersedia pada program kalkulator. Hasil perhitungan berupa akar-akar kompleks, galat, dan jumlah iterasi. Hasil perhitungan sampel-sampel polinomial menggunakan kalkulator pencarian akar kompleks polinomial dijabarkan lebih rinci di bawah ini :

commit to user



4.3.1 Polinomial Derajat Dua Hasil perhitungan sampel polinomial derajat dua menggunakan kalkulator pencarian akar kompleks polinomial derajat dua dan galat perhitungan dijabarkan dalam Tabel 4.22. Tabel 4.22 Hasil Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Dua Menggunakan Rumus Kuadrat No

1.

2.

3.

4.

5.

Sampel

Perhitungan Rumus Kuadrat

Perhitungan Matlab

Polinomial

Akar

Galat(%)

Akar

‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͺ‫ ݔ‬൅ ͺͳ

-9.0

1.409765E-6

-9.000000

-9.0

1.409765E-6

-8.999999

15.0

0.0

15.0+0.0i

-2.0

0.0

-2.0+0.0i

‫ ݔ‬ଶ െ ͳ͵‫ ݔ‬െ ͵Ͳ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͲ‫ ݔ‬െ ͳͶ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͷ‫ ݔ‬൅ ͳͳ ‫ ݔ‬ଶ െ ͵‫ ݔ‬൅ ͷ

-11.244998

1.783497E-14

-11.244998

1.244998

1.579686E-14

1.244998

-2.5+2.179449i 2.146547E-13

-2.500000+2.179449i

-2.5-2.179449i

2.146547E-13

-2.500000-2.179449i

1.5+1.65831i

9.930137E-15

1.500000+1.658312i

1.5-1.65831i

9.930137E-15

1.500000-1.658312i

Pada penyelesaian persamaan polinomial derajat dua menggunakan rumus kuadrat (Alg 2.1), diketahui bahwa galat yang dihasilkan sangat kecil yakni dibawah 1%. Galat terkecil yang dihasilkan mencapai 0.0% terjadi pada perhitungan sampel persamaan ‫ ݔ‬ଶ െ ͳ͵‫ ݔ‬െ ͵Ͳ, sedangkan galat yang dihasilkan pada pencarian akar kompleks polinomial pada keempat sampel lainnya berada antara 1.409765E-6% hingga 9.930137E-15%. Namun, secara keseluruhan, rumus kuadrat sangat baik digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial derajat dua dengan rata-rata galat yang dihasilkan dari kelima sampel di atas adalah sebesar 2.81952966549601E-07%. Rata-rata galat tersebut didapat dari jumlah seluruh galat yang dihasilkan pada kelima sampel kemudian dibagi banyaknya akar yang dihasilkan dari kelima sampel yaitu sebanyak 10 akar.

commit to user



4.3.2 Polinomial Derajat Tiga Penyelesaian sampel-sampel persamaan polinomial derajat tiga menggunakan perhitungan Matlab, algoritma Cardano, Viete’s, Bairstow, dan revisi Bairstow serta galat yang dihasilkan dari perhitungan tertera dalam Tabel 4.23.

commit to user

2.

1.

No

0.0

-0.513451

commit to user

െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͹

‫ ݔ‬ଷ ൅ ͵‫ ݔ‬ଶ

5.423440

E-14

0.476836-

1.242229i

1.242229i

1.476836+

2.096412E-16i

E-14

1.242229i

1.242229i

E-14 -2.953672-

1.476836-

1.123232

2.291622i

1.590059+

2.750847E-16i

75.153861

25.292943

75.153861

55.160452

160.970199

55.160452

Galat (%)

Viete’s

0.476836+ 5.423441

-3.953672

E-14

2.291622i

-3.180118-

1.837212

4.256726-

൅ ͳʹ

2.291622i

E-14

2.291622i

൅ ͳͻ‫ݔ‬

Akar 1.590060-

Galat (%)

4.256726+ 1.837212

Akar

Cardano

‫ ݔ‬ଷ െ ͺ‫ ݔ‬ଶ

Polinomial

Sampel Galat (%)

E-8

2.570782

E-9

2.957732

E-14

4.108131

E-14

1.242229i

0.476836-

1.242229i

E-14

5.277054

E-14

0.476836+ 5.277054

-3.953672

-0.513451

2.291622i

4.256726-

2.291622i

4.256726+ 4.108131

Akar

Bairstow

5

5

1

1

16

16

Iterasi

Galat (%)

Revisi Bairstow

0.0

E-11

3.779656

E-14

4.108131

E-14

1.242229i

0.476836-

1.242229i

E-14

6.993341

E-14

0.476836+ 6.993341

-3.953672

-0.513451

2.291622i

4.256726-

2.291622i

4.256726+ 4.108131

Akar

Tabel 4.23 Hasil Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Tiga

6

6

1

1

171339

171339

Iterasi

128

1.242229i

0.476836-

1.242229i

0.476836+

-3.953672

-0.513452

2.291622i

4.256726-

2.291622i

4.256726+

Akar

Matlab


5.

4.

3.

No

8.548717

E-13

-0.5-

0.866025i

4.440892E-16i 2.969442+ 5.551115E-17i

6.192596

E-14

‫ ݔ‬ଷ െ Ͷ‫ ݔ‬ଶ

െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵

0.697224

-1.000000

4.302776

E-14

-0.636109

2.220446E-16i

E-14

4.777041

-2.3333333-

2.220446

2.220446E-16i

E-14

E-14

-1.000000

-2.333333-

8.881784

-0.333333+

2.666666

NaN+NaNi

NaN+NaNi

NaN+NaNi

Akar

36.389103

133.333333

30.987750

66.666666

22.222222

33.333333

NaN+NaNi

NaN+NaNi

NaN+NaNi

Galat (%)

Viete’s

commit to user

െ ͷ‫ ݔ‬െ ͸

-3.0

0.0

E-13

0.866025i

2.0

8.548717

E-14

4.440892

Galat (%)

-0.5+

-2.0

Akar

Cardano

2.220446

‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ‫ ݔ‬ଶ

൅ ͵‫ ݔ‬൅ ʹ

‫ ݔ‬ଷ ൅ ͵‫ ݔ‬ଶ

Polinomial

Sampel

0.697224

-1.0

4.302776

-1.0

-3.000000

2.0

0.866025i

-0.5-

0.866025i

-0.5+

-2.000000

Akar

E-14

3.184694

0.0

E-14

4.128398

E-14

4.440892

E-11

4.787282

0.0

E-13

8.548717

E-13

8.548717

E-10

2.279066

Galat (%)

Bairstow

5

5

1

7

1

7

17

17

1

Iterasi

0.697224

-1.0

4.302776

-1.0

-3.0

2.0

0.866025i

-0.5-

0.866025i

-0.5+

E-14

3.184694

0.0

E-10

9.583662

E-14

4.440892

E-14

8.881784

0.0

E-13

8.770762

E-13

8.770762

E-7

2.216681

Galat (%)

Revisi Bairstow

-2.000000

Akar

Tabel 4.23 Lanjutan Hasil pencarian akar kompleks polinomial derajat tiga

4

4

1

3

1

3

5

5

1

Iterasi

129

0.697224

-1.0+0.0i

4.302776

-1.000000

-3.000000

2.0

0.866025i

-0.5-

0.866025i

-0.5+

-1.999999

Akar

Matlab




Tabel 4.24 Rata-Rata Galat Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Tiga Algoritma Cardano Viete’s Bairstow Revisi Bairstow

Rata-Rata galat (%) 1.43568059121049E-13 64.15201457 1.92955658379859E-09 1.48444243802628E-08

Rata-rata galat pencarian akar kompleks polinomial derajat tiga didapat dari jumlah seluruh galat yang dihasilkan dibagi dengan banyaknya akar yang dihasilkan dari lima sampel polinomial. Berdasarkan Tabel 4.24, diketahui bahwa dalam pencarian akar kompleks polinomial derajat tiga, algoritma Cardano lebih unggul dibandingkan algoritma lainnya. Hal ini dikarenakan algoritma Cardano memiliki galat paling rendah dan cukup stabil. Cardano dengan rata-rata 1.43568059121049E-13% Rata-rata jumlah iterasi yang dilakukan oleh algoritma Bairstow dalam melakukan pencarian akar-akar kompleks polinomial adalah 10, sedangkan ratarata jumlah iterasi revisi algoritma Bairstow adalah 34271. Berdasarkan rata-rata jumlah iterasi tersebut, algoritma Bairstow lebih cepat dalam menemukan akar-akar polinomial derajat tiga. Hal ini dikarenakan, pada penyelesaian persamaan ‫ ݔ‬ଷ െ ͺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳʹ, revisi algoritma Bairstow memerlukan 171339 iterasi untuk menemukan nilai akar yang konvergen, sedangkan algoritma Bairstow hanya memerlukan 16 iterasi saja. Pembahasan lebih lanjut mengenai masing-masing algoritma dijelasakan di bawah ini : x

Algoritma Cardano Galat

yang

dihasilkan

dari

penyelesaian

sampel-sampel

polinomial

menggunakan algoritma Cardano berada pada range 0.0% hingga 8.548717E13%. Galat yang dihasilkan dari perhitungan algoritma Cardano dapat dikatakan stabil, karena nilai galat yang dihasilkan hampir sama dan sangat kecil yaitu mendekati nol. Pada implementasinya, penyelesaian algoritma Cardano dibedakan menjadi dua cara berdasarkan nilai diskriminan yang dihasilkan seperti yang telah dijelaskan pada Alg 2.2, yaitu :

commit to user



a. Apabila diskriminan ≥ 0, maka penyelesaian dilakukan dengan mencarin ௥

nilai u dan v. Akar polinomial didapat dari ‫ݔ‬ଵ ൌ െ ଷ ൅ ‫ ݑ‬൅ ‫ݒ‬ ௥

‫ݔ‬ଶǡଷ ൌ െ ଷ െ

௨ା௩

േ ξ͵

ଶ

௨ି௩ ଶ

dan

݅, sehingga menghasilkan dua akar kompleks.

b. Apabila diskriminan < 0 (irreducible case), maka penyelesaian dilakukan dengan menggunakan trigonometri, dimana akar-akar polinomial didapat dari : ‫ݔ‬ଵ ൌ െ ଷ ൅ ʹ ή ට

ȁ௣ȁ

‫ݔ‬ଶ ൌ െ െ ʹ ή ට

௥

ȁ௣ȁ

ଷ

ଷ

௥

ȁ௣ȁ

௥

ଷ

ఝ

ቀ ଷ ቁ ఝିగ

ቀ

ଷ

ఝାగ

‫ݔ‬ଷ ൌ െ ଷ െ ʹ ή ට ଷ ቀ

ଷ

ቁ ቁ

Tabel 4.22 menunjukkan bahwa galat pencarian akar kompleks polinomial derajat tiga menggunakan algoritma Cardano mencapai 0.0% pada persamaan ‫ ݔ‬ଷ െ ͺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳʹ dan ‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ‫ ݔ‬ଶ െ ͷ‫ ݔ‬െ ͸. Penyelesaian persamaan ‫ ݔ‬ଷ െ ͺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳʹ menghasilkan nilai diskriminan yaitu 152.56, sedangkan persamaan ‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ‫ ݔ‬ଶ െ ͷ‫ ݔ‬െ ͸ menghasilkan nilai diskriminan yaitu -8.33 (irreducible case). Dengan demikian, maka tingkat ketelitian algoritma Cardano tidak dipengaruhi oleh cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial karena galat mencapai 0.0% pada sampel dengan nilai diskriminanya lebih dari dan kurang dari 0. x

Algoritma Viete’s Penyelesaian persamaan polinomial derajat tiga menggunakan algoritma Viete’s tidak direkomendasikan, karena galat perhitungan yang dihasilkan sangat besar yakni berada pada kisaran 22.222222% hingga 160.970199%. Berdasarkan Tabel 4.22, algoritma Viete’s tidak dapat menyelesaikan persamaan ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͵‫ ݔ‬ଶ ൅ ͵‫ ݔ‬൅ ʹ. Berikut ini merupakan pembahasan lebih rinci penyelesaian persamaan ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͵‫ ݔ‬ଶ ൅ ͵‫ ݔ‬൅ ʹ : 1. Berdasarkan bentuk persamaan polinomial derajat tiga, ‫ ݔ‬ଷ ൅ ‫ ݔݎ‬ଶ ൅ ‫ ݔݏ‬൅ ‫ݐ‬, maka nilai variabel-variabel pada persamaan ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͵‫ ݔ‬ଶ ൅ ͵‫ ݔ‬൅ ʹ adalah : r = 3, s = 3, t = 2

commit to user



௥

2. Mensubtitusikan ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݔ‬൅ pada persamaan ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͵‫ ݔ‬ଶ ൅ ͵‫ ݔ‬൅ ʹ, sehingga ଷ

mengasilkan persamaan tereduksi ‫ ݕ‬ଷ ൅ ‫ ݕ݌‬൅ ‫ ݍ‬ൌ Ͳ. Berikut merupakan perhitungan nilai p dan q : ‫݌‬ൌ

͵‫ ݏ‬െ ‫ ݎ‬ଶ ͵ሺ͵ሻ െ ሺ͵ሻଶ ͻ െ ͻ Ͳ ൌ ൌ ൌ ൌͲ ͵ ͵ ͵ ͵

ʹሺ͵ሻଷ ሺ͵ሻሺ͵ሻ ͷͶ ͻ ʹ‫ ݎ‬ଷ ‫ݏݎ‬ െ ൅‫ ݐ‬ൌ െ ൅ʹൌ െ ൅ʹൌ ʹെ͵൅ʹൌͳ ‫ݍ‬ൌ ͵ ͵ ʹ͹ ͵ ʹ͹ ʹ͹ 3. Menghitung nilai masing-masing variable yang diperlukan dalam pencarian akar kompleks polinomial menggunakan algoritma Viete’s ݀ൌ

െ‫ ݌‬െͲ ൌ ൌͲ ͵ ͵

‫݌‬ଷ ‫ ݍ‬ଶ ͳ Ͳଷ ͳଶ ‫ݍ‬ ඨ ඨ ൅ ൌെ ൅ ൅ ൌ െͲǤͷ ൅ ξͲ ൅ ͲǤʹͷ ܿ ൌെ ൅ ʹ ʹ͹ Ͷ ʹ͹ Ͷ ʹ ܿ ൌ െͲǤͷ ൅ ͲǤͷ ൌ Ͳ 4. Menentukan nilai r య

య

‫ ݎ‬ൌ ξܿ ൌ ξͲ ൌ Ͳ 5. Menghitung nilai akar polinomial pertama dengan perhitungan sebagai berikut : ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ ݎ‬൅

݀ Ͳ ൌ Ͳ൅ ‫ݎ‬ Ͳ

6. Kedua akar polinomial lainnya didapat dengan menggunakan nilai variabel ଵ

ଵ

ଵ

ଵ

߱ଵ ൌ െ ଶ ൅ ଶ ξ͵݅ dan ߱ଶ ൌൌ െ ଶ െ ଶ ξ͵݅. Berikut detail perhitungannya : ଵ

ଵ

ଵ

ଵ

x

߱ଵ ‫ ݎ‬ൌ ቀെ ଶ ൅ ଶ ξ͵݅ቁ ‫ Ͳ כ‬ൌ Ͳ

x

߱ଶ ‫ ݎ‬ൌ ቀെ ଶ െ ଶ ξ͵݅ቁ ‫ Ͳ כ‬ൌ Ͳ

x

‫ݔ‬ଶ ൌ ߱ଵ ‫ ݎ‬൅ ఠ ൌ Ͳ ൅ ଴ ௥

x

ௗ

଴

భ

ௗ

‫ݔ‬ଷ ൌ ߱ଵ ‫ ݎ‬൅ ఠ

భ

଴

ൌ Ͳ ൅ ଴ ௥

Berdasarkan perhitungan di atas, diketahui bahwa nilai variabel p = 0 sehingga mengakibatkan perhitungan lainnya menghasilkan nilai nol. Pada perhitungan perhitungan akar kompleks, ‫ݔ‬ଵ ǡ ‫ݔ‬ଶ ǡ ‫ݔ‬ଷ , terdapat kesalahan perhitungan dimana semua variabel bernilai nol. Pemrograman Java tidak dapat menangai kondisi commit to user tersebut sehingga menghasilkan nilai NaN (Not a Number).


x


Algoritma Bairstow Dalam pencarian akar kompleks polinomial menggunakan algoritma Bairstow, polinomial akan direduksi secara bertahap. Seperti yang telah dijelaskan pada Alg 2.4, reduksi polinomial dilakukan setelah memenuhi persamaan ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ dan iterasi dihentikan. Nilai u dan v yang didapat kemudian disubstitusikan pada persamaan berikut untuk mendapatkan polinomial tereduksi :

Berdasarkan bentuk persamaan di atas, diketahui bahwa terdapat polinomial kuadrat yang terbentuk dari nilai u dan v. Polinomial kuadrat ini kemudian diselesaikan menggunakan rumus kuadrat untuk mendapatkan dua akar kompleks polinomial. Pencarian akar berikutnya dilakukan dengan mencari nilai u dan v dari polinomial tereduksi yang terbentuk yang memenuhi ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ. Polinomial kemudian akar direduksi kembali hingga semua akar ditemukan. Dalam penyelesaian polinomial kubik, polinomial akan direduksi menjadi polinomial kuadrat dan sisa (remainder), sehingga dua akar didapat dari polinomial kuadrat dan satu akar didapat dari sisa. Berdasarkan Tabel 4.22 diketahui bahwa galat perhitungan mencapai 0.0% pada akar 2.0 untuk persamaan ‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ‫ ݔ‬ଶ െ ͷ‫ ݔ‬െ ͸ dimana akar 2.0 berasal dari sisa (remainder) yang dihasilkan, sedangkan persamaan ‫ ݔ‬ଷ െ Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵ mencapai galat 0.0% pada pencarian akar -1.0 dimana -1.0 didapat dari perhitungan polinomial kuadrat yang dihasilkan. Dengan demikian, galat 0.0% muncul pada perhitungan polinomial kuadrat maupun sisa, sehingga ketelitian algoritma Bairstow tidak dipengaruhi oleh penyelesaian polinomial kuadrat. Selain itu, banyaknya iterasi tidak dipengaruhi oleh besarnya koefisien masingmasing variabel x yang menyusun persamaan polinomial. Hal ini dikarenakan berdasarkan Tabel 4.22, iterasi terbanyak dilakukan dalam penyelesaian persamaan ‫ ݔ‬ଷ െ ͺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳʹ dan ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͵‫ ݔ‬ଶ ൅ ͵‫ ݔ‬൅ ʹ yang memiliki maksimal iterasi 16 dan 17. commit to user



x

Revisi algoritma Bairstow Seperti algoritma Bairstow, akar-akar kompleks polinomial Bairstow didapat dari polinomial kuadrat hasil reduksi. Hal ini telah dijelaskan pada Alg 2.5. Pada pencarian akar kompleks polinomial derajat tiga dengan menggunakan revisi algoritma Bairstow, galat perhitungan mencapai 0.0% pada tiga sampel polinomial

yaitu

pada

akar

-3.953672

persamaan

untuk

‫ ݔ‬ଷ ൅ ͵‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͹, pada akar 2.0 untuk persamaan ‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ‫ ݔ‬ଶ െ ͷ‫ ݔ‬െ ͸ dan pada akar -1.0 untuk persamaan ‫ ݔ‬ଷ െ Ͷ‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͵. Namun, persamaan ‫ ݔ‬ଷ ൅ ͵‫ ݔ‬ଶ െ ʹ‫ ݔ‬൅ ͹ menghasilkan akar -3.953672 dari sisa hasil reduksi. Sedangkan pada kedua persamaan lainnya, galat mencapai 0.0% pada akar dari polinomial kuadrat hasil reduksi. Dengan demikian, maka ketelitian algoritma Bairstow tidak dipengaruhi oleh penyelesaian polinomial kuadrat yang dilakukan. Berdasarkan

data

dalam

Tabel

4.22

diketahui

bahwa

persamaan

‫ ݔ‬ଷ െ ͺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳʹ melakukan sebanyak 171339 kali perulangan untuk mendapatkan akar nilai akar yang konvergen. Berikut merupakan detail perhitungannya : Pencarian akar 1 dan 2 Iterasi 1 1. Menentukan nilai variabel u dan v sama dengan nol ( ‫ݑ‬௜ ൌ ‫ݒ‬௜ ൌ Ͳ ). 2. Menghitung nilai ܾଵ ǡ ܾଶ ǡ ǥ ǡ ܾ௡ menggunakan rumus ܾ௞ ൌ ܽ௞ െ ܾ௞ିଵ ‫ ݑ‬െ ܾ௞ିଶ ‫ ݒ‬dengan pembagian sintesis : ܾ଴ ൌ ܽ଴ ൌ ͳ ܾଵ ൌ ܽଵ െ ܾ଴ ‫ ݑ‬ൌ െͺ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͺ ܾଶ ൌ ܽଶ െ ܾଵ ‫ ݑ‬െ ܾ଴ ‫ ݒ‬ൌ ͳͻ െ ሺെͺ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ ͳͻ ܾଷ ൌ ܽଷ െ ܾଶ ‫ ݑ‬െ ܾଵ ‫ ݒ‬ൌ ͳʹ െ ሺͳͻ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺെͺ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ ͳʹ 3. Dari nilai u, v, dan b, langkah yang harus dilakukan selanjutnya adalah menghitung nilai ܿଵ ǡ ܿଶ ǡ ǥ ǡ ܿ௡ିଵ dengan rumus ܿ௞ ൌ ܾ௞ െ ܿ௞ିଵ ‫ ݑ‬െ ܿ௞ିଶ ‫ݒ‬. Berikut detail perhitungan : ܿ଴ ൌ ܾ଴ ൌ ͳ ܿଵ ൌ ܾଵ െ ܿ଴ ‫ ݑ‬ൌ െͺ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ െͺ ܿଶ ൌ ܾଶ െ ܿଵ ‫ ݑ‬െ ܿ଴ ‫ ݒ‬ൌ ͳͻ െ ሺെͺ ‫Ͳ כ‬ሻ െ ሺͳ ‫Ͳ כ‬ሻ ൌ ͳͻ commitmenghitung to user 4. Nilai ο‫ ݑ‬dan ο‫ ݒ‬didapat dengan persamaan berikut:



ο‫ ݑ‬ൌ ο‫ ݑ‬ൌ ο‫ ݒ‬ൌ ο‫ ݒ‬ൌ 5.

௖೙షయ ௕ ฬ ೙షభ ฬ ௕೙ ௖೙షమ ௖೙షమ ௖೙షయ ቚ ቚሺ௖ ೙షభ ି௕೙షభ ሻ ௖೙షమ

ൌ

ሺሺଵଽሻήሺି଼ሻሻିሺଵήଵଶሻ

ିଵ଺ସ

൫ሺି଼ሻήሺି଼ሻ൯ିሺ଴ήଵሻ

ൌ


ฬ

ሺሺି଼ሻήଵଶሻିሺ଴ήሺଵଽሻሻ

଺ସ

ൌ

ൌ

൫ሺି଼ሻήሺି଼ሻ൯ିሺ଴ήଵሻ

௕ ௖బ ฬ మ ฬ ௕య ௖భ ௖బ ௖భ ቚ௖ ି௕ ௖ ቚ మ మ భ

ൌ െʹǤͷ͸ʹͷ

௖ ௕మ ฬ భ ฬ ௖మ ି௕మ ௕య ௖బ ௖భ ቚ௖ ି௕ ௖ ቚ మ మ భ

ିଽ଺ ଺ସ

ൌ

ଵଽ ଵ ቚ ଵଶ ି଼ ି଼ ଵ ቚ ቚ ଴ ି଼ ቚ

ൌ

ି଼ ଵଽ ቚ ଴ ଵଶ ି଼ ଵ ቚ ቚ ଴ ି଼ ቚ

ൌ െͳǤͷ

Menghitung nilai u dan v untuk perhitungan iterasi berikutnya dengan menggunakan rumus :‫ݑ‬௜ାଵ ൌ ‫ݑ‬௜ ൅ ο‫ݑ‬௜ ݀ܽ݊‫ݒ‬௜ାଵ ൌ ‫ݒ‬௜ ൅ ο‫ݒ‬௜ . ‫ݑ‬ଶ ൌ ‫ݑ‬ଵ ൅ ο‫ݑ‬ଵ ൌ Ͳ ൅ ሺെʹǤͷ͸ʹͷሻ ൌ െʹǤͷ͸ʹͷ ‫ݒ‬ଶ ൌ ‫ݒ‬ଶ ൅ ο‫ݒ‬ଶ ൌ Ͳ ൅ ሺെͳǤͷሻ ൌ െͳǤͷ

6. Melakukan pengecekkan terhadap ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ ȁെʹǤͷ͸ʹͷȁ ൅ ȁെͳǤͷȁ ൏ ͲǤͲͲͲͲͲͲͲͳ ͶǤͲ͸ʹͷ ൏ ͲǤͲͲͲͲͲͲͲͳ → belum terpenuhi, maka dilakukan iterasi kedua Iterasi berikutnya dilakukan dengan mengulang langkah 2 hingga 6. Hasil iterasi ditampilkan pada Tabel 4.25. Tabel 4.25 Nilai u, v, ο‫ݑ‬, dan ο‫ ݒ‬Masing-Masing Iterasi Menggunakan Revisi Algoritma Bairstow pada Penyelesaian ‫ ݔ‬ଷ െ ͺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳʹ Iterasi

U

ke-

ο࢛

v

ο࢜

1

0

0

-2.5625

-1.5

2

-2.5625

-1.5

-2.79835199

-1.47885572

3

-5.36

-2.98

2.44098917

1.18712391

4

-2.92

-1.79

-3.61192005849

-1.84431017106

5

-6.53

-3.64

2.33195565802

1.23795570541

6

-4.2

-2.4

6.01307421653

3.03486541070

7

1.81

0.64

-3.25168331978

-1.64861506661

8

-1.44

-1.01

-2.29233695302

-1.17048974620

9

-3.73

-2.18

-215.68245926834 commit to user

-110.88015606237



Tabel 4.24 Lanjutan Nilai u, v, ο‫ݑ‬, dan ο‫ ݒ‬Masing-Masing Iterasi Menggunakan Revisi Algoritma Bairstow pada Penyelesaian ‫ ݔ‬ଷ െ ͺ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳʹ Iterasi

U

v

10

-219.14

-113.06

107.84732098746

55.44316617721

11

-111.57

-57.62

53.93584602999

27.72775678494

12

-57.63

-29.89

26.99231522405

13.87621870729

13

-30.64

-16.02

13.54510587062

6.96278519647

14

-17.09

-9.05

6.87176126488

3.53083934664

15

-10.22

-5.52

3.64583852339

1.86043189473

ke-

‫ڭ‬ 85000 ‫ڭ‬ 171339

‫ڭ‬ 40.16 ‫ڭ‬ -8.51

∆࢛ ࢛

‫ڭ‬

∆࢜ ࢜

‫ڭ‬

20.35

-22.01241278044

‫ڭ‬ 23.37

‫ڭ‬ -11.30230595491

‫ڭ‬

‫ڭ‬

1.93940422357E-13

6.04767795794E-13

Berdasarkan perhitungan diatas, diketahui bahwa untuk menghasilkan nilai konvergen dimana nilai ο‫ ݑ‬dan ο‫ ݒ‬mendekati nol dan ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ memerlukan banyak perulangan. Hal ini terjadi pada kasus-kasus tertentu, seperti salah satunya pada persamaan polinomial ini dimana persamaan memiliki nilai variabel lebih besar dibandingkan sampel lainnya ini. Kombinasi variabel pada persamaan polinomial juga dapat mempengaruhi banyaknya iterasi yang dilakukan untuk mendapat nilai yang konvergen.

4.3.3 Polinomial Derajat Empat Penyelesaian sampel-sampel persamaan polinomial derajat empat dilakukan dengan menggunakan algoritma Bairstow (Alg 2.4), revisi algoritma Bairstow (Alg 2.5), dan algoritma Muller (Alg 2.6) yang telah diimplementasikan dalam program kalkulator pencarian akar kompleks polinomial. Hasil pencarian akar-akar kompleks polinomial derajat empat tertera dalam Tabel 4.26.

commit to user

2.

1.

No

commit to user

൅ͳ

൅ ʹ‫ ݔ‬ଶ െ ͹‫ݔ‬

‫ ݔ‬ସ െ ʹ‫ ݔ‬ଷ

െͳ

െ ‫ ݔ‬ଶ ൅ ͹‫ݔ‬

‫ ݔ‬ସ ൅ ͹‫ ݔ‬ଷ

Polinomial

Sampel

1.678508i

7 1.678508i

-0.245876-

1.571447E-13

-0.245876+

-0.245876-

7

0.148276

2.343476

1.678508i

1.571447E-13

-0.245876+

1

1

0.979145i

1.678508i

2.604775E-9

1.434491E-8

0.148276

2.343476

0.979145i

6

0.064830-

3.101672E-14

1.895001E-14

1.871880E-14

9.027433E-9

9.027433E-9

3.006717E-14

3.006717E-14

2.442581E-14

2.138051E-13

Galat

Revisi Bairstow

0.064830+0.

0.064830-

6

0.142799

-7.272459

Akar

979145i

3.101672E-14

0.064830+0.

1

1

Iterasi

979145i

2.442581E-14

3.945675E-12

Galat

0.142799

-7.272459

Akar

Bairstow

6

6

1

1

6

6

1

1

Iterasi

2.343476+0.0i

5.299910E-21i

0.148277-

1.678508i

-0.245876+

1.678508i

-0.245876-

4.676465E-24i

0.142799-

0.979145i

0.064830-

0.979145i

0.064830+

4.715715E-8i

-7.272459+

Akar

Tabel 4.26 Hasil Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat Empat

0.0

9.359401E-14

1.571447E-13

1.570766E-13

1.943682E-14

3.218310E-05

3.218310E-05

1.148820E-06

Galat

Muller

6

9

2

1

12

46

2

1

Iterasi

137

1.678508i

-0.245876-

1.678508i

-0.245876+

0.148276

2.343476

0.979145i

0.064830-

979145i

0.064830+0.

0.142799

-7.272459

Akar

Matlab


4.

3.

No

Akar

4.999999

3.000000

1.0

7.0

1.000000+

Polinomial

‫ ݔ‬ସ െ ͳ͸‫ ݔ‬ଷ

൅ ͺ͸‫ ݔ‬ଶ

െ ͳ͹͸‫ݔ‬

൅ ͳͲͷ

‫ ݔ‬ସ െ ͷ‫ ݔ‬ଷ

Sampel

8

2.0

1.776357E-13

8

8

2.0+0.0i

1.0+0.0i

1.0+2.0i

1.776357E-13

1.110223E-13

5.347542E-14

2

2

2

1

1

2

2

1

Iterasi

1.000000-

2.000000i

1.000000+

6.999999

1.0

2.999999

5.000000

Akar

138

1.999999

1.776357E-13

1.110223E-13

1

5.347542E-14

5.033011E-13

0.0

3.045183E-13

6.927792E-13

Galat

2.0

1.0

5.347542E-14

1.0+2.0i

3.0+0.0i

1.0+0.0i

7.0+0.0i

5.0+0.0i

Akar

1.000000

8

1.0-2.0i

1

1

8

8

1

Iterasi

1.332268E-13

1

5.347542E-14

2.543601E-9

0.0

6.217249E-13

9.076802E-10

Galat

Matlab

0.999999

3.580362E-14

1.0+2.0i

6.999999

1.0

3.000000

5.000000

Akar

Muller

2.000000i

1.000000-

െ ͳͻ‫ ݔ‬൅ ͳͲ

1

9

9

1

1

Iterasi

Revisi Bairstow

2.0i

2.0i

commit to user

൅ ͳ͵‫ ݔ‬ଶ

3.580362E-14

3.045183E-13

0.0

2.085467E-7

2.212001E-7

Galat

Bairstow

Tabel 4.26 Lanjutan hasil pencarian akar kompleks polinomial derajat empat




Berikut ini merupakan analisa masing-masing algoritma untuk penyelesaian persamaan polinomial derajat empat : x

Algoritma Bairstow Penyelesaian persamaan polinomial derajat empat menggunakan algoritma Bairstow cukup baik. Hal ini dikarenakan galat perhitungan berkisar antara 0.0% hingga 2.212001E-7%. Galat mencapai 0.0% pada penyelesaian persamaan ‫ ݔ‬ସ െ ͳ͸‫ ݔ‬ଷ ൅ ͺ͸‫ ݔ‬ଶ െ ͳ͹͸‫ ݔ‬൅ ͳͲͷ dimana persamaan tersebut memiliki nilai-nilai koefisien lebih besar dibandingkan dengan sampel lainnya. Dengan demikian, ketelitian algoritma Bairstow tidak dipengaruhi oleh besar kecilnya koefisien yang menyusun suatu persamaan.

x

Revisi Algoritma Bairstow Revisi algoritma Bairstow menghasilkan galat yang sangat rendah yakni 0.0% hingga 9.027433E-9%. Galat mencapai 0.0% terdapat pada pencarian akar persamaan ‫ ݔ‬ସ െ ͳ͸‫ ݔ‬ଷ ൅ ͺ͸‫ ݔ‬ଶ െ ͳ͹͸‫ ݔ‬൅ ͳͲͷ dimana nilai akarnya 1.0. Hal tersebut sama dengan penyelesaian polinomial dengan menggunakan algoritma Bairstow.

x

Algoritma Muller Pencarian akar kompleks polinomial derajat empat menggunakan algoritma Muller menghasilkan galat berkisar 0.0% hingga 3.218310E-05% dengan jumlah maksimal iterasi yang cukup besar yakni mencapai 46 iterasi. Galat mencapai 0.0% pada penyelesaian persamaan ‫ ݔ‬ସ െ ʹ‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ‫ ݔ‬ଶ െ ͹‫ ݔ‬൅ ͳ dan ‫ ݔ‬ସ െ ͳ͸‫ ݔ‬ଷ ൅ ͺ͸‫ ݔ‬ଶ െ ͳ͹͸‫ ݔ‬൅ ͳͲͷ. Dengan demikian, besarnya galat tidak dipengaruhi oleh besar kecilnya koefisien masing-masing variabel x.

Tabel 4.27 Rata-Rata Galat dan Iterasi Pencarian Akar Kompleks Derajat Empat Algoritma Bairstow Revisi Bairstow Muller

Rata-rata galat (%) 2.7918843298595E-08 1.34421873307271E-09 4.09468833907407E-06

Iterasi 5 4 6

Berdasarkan Tabel 4.27, diketahui bahwa revisi algoritma Bairstow lebih commit tolainnya user karena memiliki rata-rata galat unggul dibandingkan algoritma-algoritma



yang paling kecil. Selain itu, revisi algoritma Bairstow juga menunjukkan performa yang baik dengan rata-rata jumlah iterasi terendah yakni 4.

4.3.4 Polinomial Derajat N Penyelesaian persamaan polinomial derajat n dapat dilakukan dengan berbagai algoritma yang tersedia dalam program kalkulator yaitu algoritmaalgoritma murni seperti algoritma Bairstow (Alg 2.4), revisi algoritma Bairstow (Alg 2.5), dan algoritma Muller (Alg 2.6) maupun kombinasi algoritma. Dasar kombinasi algoritma yang digunakan adalah polinomial tereduksi. Pencarian akar kompleks polinomial menggunakan algoritma Bairstow, revisi algoritma Bairstow, dan Muller dilakukan secara bertahap, dimana polinomial akan direduksi setiap kali akar kompleks ditemukan. Pada algoritma Bairstow dan revisi algoritma Bairstow, reduksi polinomial menghasilkan polinomial kuadrat, dan polinomial tereduksi. Berikut ini merupakan persamaan tereduksi yang dihasilkan:

Pembahasan lebih detail mengenai algoritma Bairstow dan revisi algoritma Bairstow terdapat pada Alg 2.4 dan Alg 2.5. Berdasarkan persamaan di atas, didapat polinomial kuadrat dan polinomial tereduksi. Polinomial kuadrat akan diselesaikan menggunakan rumus kuadrat untuk mendapatkan dua akar kompleks polinomial, sedangkan polinomial tereduksi digunakan kembali untuk mendapatkan nilai u dan v selanjutnya. Setelah melalui beberapa iterasi dan ditemukan nilai u dan v yang memenuhi kondisi ȁο‫ݑ‬௜ାଵ ȁ ൅ ȁο‫ݒ‬௜ାଵ ȁ ൏ ߝ, dilakukan reduksi kembali dengan mensubtitusikan hasil perhitungan pada persamaan di atas. Proses ini kemudian dilakukan berulang hingga semua akar didapat. Penyelesaian polinomial menggunakan algoritma Muller dilakukan bertahap. Pencarian satu akar kompleks dilakukan dengan beberapa iterasi hingga ditemukan nilai akar yang konvergen. Setelah didapat akar yang konvergen dan memenuhi syarat ‫ ݕ‬൏ ߝ, maka iterasi dihentikan dan dilakukan reduksi polinomial. Reduksi polinomial pada algoritma Muller dilakukan dengan membagi polinomial sebelumnya dengan akar yang commit ditemukan. Hasil reduksi polinomial berupa to user



polinomial tereduksi yang kemudian digunakan dalam pencarian akar selanjutnya. Dengan demikian, reduksi polinomial dilakukan setiap kali akar ditemukan. Proses ini berlanjut hingga semua akar ditemukan. Pada kombinasi algoritma, pencarian akar kompleks dilakukan dengan menggunakan algoritma pertama. Setelah didapat akar polinomial, persamaan polinomial direduksi sehingga menghasilkan polinomial tereduksi. Polinomial tereduksi kemudian digunakan untuk mencari akar kompleks berikutnya. Polinomial akan terus direduksi hingga menghasilkan polinomial kubik atau polinomial kuartik. Penyelesaian polinomial derajat n dimana n merupakan bilangan ganjil akan menghasilkan polinomial kubik setelah melalui beberapa kali reduksi. Polinomial kubik kemudian diselesaikan dengan algoritma penyelesaian polinomial kubik. Penyelesaian polinomial berderajat n dimana n merupakan bilangan genap akan menghasilkan polinomial kuartik. Polinomial kuartik yang dihasilkan dari proses reduksi akan diselesaikan menggunakan algoritma pencarian akar kompleks polinomial kuartik (polinomial derajat tiga). Dengan demikian, maka kombinasi algoritma yang digunakan dibedakan berdasarkan derajat polinomial (n). Kombinasi algoritma dapat dilihat pada Tabel 3.1. Hasil pencarian akar kompleks polinomial derajat n menggunakan algoritma Bairstow, revisi algoritma Bairstow, dan Muller tertera pada Tabel 4.28. Tabel 4.29 menunjukkan hasil pencarian akar kompleks polinomial berderajat ganjil menggunakan kombinasi algoritma, sedangkan Tabel 4.30 menunjukkan hasil pencarian akar kompleks polinomial berderajat genap menggunakan kombinasi algoritma.

commit to user

1.

No

commit to user -4.024945

1.998401E-13

0.999999

32

1.044485

2.551052E-13

1.044485

32

0.505307i

0.505307i

7

2.121439E-12

6.620053E-14

4.251753E-14

-0.602156+ 2.121439E-12

4.820421E-10

-0.602156-

-0.602156+

7 0.505307i

4.820421E-10

0.872559i

9.523163E-9

9.523163E-9

0.505307i

-0.602156-

0.872559i

0.092386-

4

0.092386-

1.446222E-9

0.872559i

0.092386+

0.872559i

4

15

15

7

7

5

5

5.572632E-15i

1.044485+

6.218298E-15i

1.000000-

0.505307i

-0.602156+

0.505307i

-0.602156-

0.872559i

0.092386-

0.872559i

-4.024945+

Akar

0.092386+

1.446222E-9

1

Iterasi

0.092386+

2.185548E-7

Galat

െ ʹ‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ

1.000000

Akar

3.424238E-8i

1

Iterasi

െ Ͷ‫ ݔ‬ହ

7.813826E-9

Galat

Revisi Bairstow

-4.024945

Akar

Bairstow

‫ ଻ ݔ‬൅ ͵‫଺ ݔ‬

Polinomial

Sampel

Tabel 4.28 Hasil Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n

5.825269E-13

7.161635E-13

8.192837E-13

7.204360E-13

1.033300E-05

1.033300E-05

9.340089E-07

Galat

Muller

18

13

18

16

126

2

1

Iterasi

142

1.044485

0.999999

0.505307i

-0.602156+

0.505307i

-0.602156-

0.872559i

0.092386-

0.872559i

0.092386+

-4.024945

Akar

Matlab


2.

No

-2.243726+

0.742886i

൅ ͶͶ͸‫ ݔ‬ସ

െ ͳͲͺ‫ ݔ‬ଷ

4.230974+

4.230974+

൅ ͳͻʹͲ

1.026733

2.162632E-14

1.026733

6

-1.429501

4.659905E-14

-1.429501

6

0.692541i

0.692541i

4.230974-

15

4.230974-

2.504055E-12

0.692540i

0.692541i

15

0.742886i

-2.243726-

0.742886i

0.742886i

2.504055E-12

2.428810E-9

1.383556E-10

Galat

0.0

3.106603E-14

5.773776E-10

5.773776E-10

6.239721E-9

-2.243726+ 6.239721E-9

2.508048

-5.079776

Akar

െ ʹͷ͸‫ݔ‬

1

1

23

23

Iterasi

Revisi Bairstow

-2.243726-

commit to user

െ ͳͻʹͺ‫ ݔ‬ଶ

1.380749E-8

1.380749E-8

5.531531E-11

2.508048

െ ͵ͻ‫଺ ݔ‬

൅ ͵͹‫ ݔ‬ହ

Galat

5.979733E-12

Akar

Bairstow

-5.079776

‫ ଼ݔ‬െ ‫଻ݔ‬

Polinomial

Sampel

6

6

1

1

11

11

11

11

Iterasi

1.026732

-1.429501

0.692541i

4.230975-

692541i

4.230974+0.

0.742889i

-2.243724-

0.742889i

-2.243729+

2.508048

6.697303E-7i

-5.079777-

Akar

Tabel 4.28 Lanjutan Hasil Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n

1.081316E-13

1.087311E-13

2.595698E-05

2.101301E-05

1.802509E-04

1.802509E-04

7.082627E-14

1.949266E-05

Galat

Muller

6

9

39

2

82

9

6

1

Iterasi

143

1.026733

-1.429501

0.692541i

4.230974-

0.692541i

4.230974+

0.742886i

-2.243726-

0.742886i

-2.243726+

2.508048

-5.079776

Akar

Matlab


commit to user 0.999999

2.551052E-13

1.044485

32

1.044485

1.998401E-13

0.999999

32

0.505307i

0.505307i

-0.602156-

-0.602156+ 4.820421E-10

7

0.505307i

0.505307i

1.998401E-13

2.551052E-13

4.820421E-10

-0.602156+ 4.820421E-10

-0.602156-

7

0.872559i

1.446220E-9

1.446220E-9

0.872559i

4.820421E-10

0.092386-

1

0.092386-

1.446204E-9

0.872559i

0.092386+

0.872559i

1

32

32

7

7

4

4

1

1.044485

0.999999

0.505307i

-0.602156+

0.505307i

-0.602156-

0.872559i

0.092386+-

0.872559i

-4.024945+

0.092386+

1.446204E-9

9.904182E-8

0.092386+

-4.024945


1 6.581418E-9i

Akar

െ Ͷ‫ ݔ‬ହ

Iterasi

4.634037E-13

Galat

-4.024945

Akar

2.551052E-13

1.998401E-13

4.820421E-10

4.820421E-10

8.448769E-06

8.449362E-06

7.637558E-07

Galat

Bairstow – Muller

‫ ଻ ݔ‬൅ ͵‫଺ ݔ‬

Iterasi

Bairstow – Revisi Bairstow

Galat

Bairstow – Cardano

Akar

Polinomial

Sampel

Ganjil

32

32

7

7

50

2

1

Iterasi

144

1.044485

0.999999

0.505307i

-0.602156+

0.505307i

-0.602156-

0.874652i

0.093608+

-4.004483

0.093614

Akar

Matlab

Tabel 4.29 Hasil Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n Menggunakan Kombinasi Algoritma dimana n Merupakan Bilangan



െ Ͷ‫ ݔ‬ହ

‫ ଻ ݔ‬൅ ͵‫଺ ݔ‬

Polinomial

Sampel


4.251753E-14

1.044485

15

-4.024945

6.620053E-14

-4.024945

15

0.505307i

0.505307i

-0.602156+

-0.602156+ 2.121439E-12

7

0.505307i

0.505307i

-0.602156-

-0.602156-

7

0.872559i

0.872559i

2.121439E-12

1

0.092386-

0.092386+

9.523148E-9

1

1.000000

0.092386-

9.523148E-9

0.092386+

1

Akar

0.872559i

7.009593E-9

1.000000

Iterasi

4.251753E-14

6.620053E-14

2.121439E-12

2.121439E-12

9.523164E-09

9.523164E-09

7.343393E-09

Galat

15

15

7

7

9

9

1

Iterasi

Revisi Bairstow-Bairstow

0.872559i

Galat

Akar

Revisi Bairstow- Cardano

Bilangan Ganjil

1.044485

-4.024945

0.505307i

-0.602156+

0.505307i

-0.602156-

2.952506E-23i

1.000000+

0.795978i

-0.485547-

0.795978i

0.670319+

Akar

4.251753E-14

6.620053E-14

2.121439E-12

2.121439E-12

7.009571E-09

39.84178893

66.44185631

Galat

Revisi Bairstow – Muller

15

15

7

7

7

2

1

Iterasi

145

0.505307i

-0.602156-

0.505307i

-0.602156+

0.872559i

0.092386-

0.872559i

0.092386+

0.999999

1.044485

-4.024945

Akar

Matlab

Tabel 4.29 Lanjutan Hasil Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n Menggunakan Kombinasi Algoritma dimana n Merupakan


0.092386+

0.092386-

5.572632E-15i

5.572632E-15i

1.044485+

18

1.044485+

5.825269E-13

6.218298E-15i

6.218298E-15i

1.000000-

13

1.000000-

7.161635E-13

0.505307i

0.505307i

-0.602156+

18

-0.602156+

8.192837E-13

0.505307i

5.825269E-13

7.161635E-13

8.192837E-13

7.204360E-13

3.115449E-14

3.115449E-14

7.813406E-09

Galat

Muller-Bairstow

0.505307i

-0.602156-

-0.602156-

16

1 0.872559i

commit to user

0.872559i

7.204360E-13

5.596376E-14

0.872559i

0.872559i

0.092386-


1

5.596376E-14

0.092386+

-4.024945

Akar

െ Ͷ‫ ݔ‬ହ

1

Iterasi

4.413369E-14

Galat

-4.024945

Akar

Muller- Cardano

‫ ଻ ݔ‬൅ ͵‫଺ ݔ‬

Polinomial

Sampel

Bilangan Ganjil

18

13

18

16

4

4

1

Iterasi

5.572632E-15i

1.044485+

6.218298E-15i

1.000000-

0.505307i

-0.602156+

0.505307i

-0.602156-

0.872558i

0.092386+

0.872558i

0.092386-

-4.024945

Akar

5.825269E-13

7.161635E-13

8.192837E-13

7.204360E-13

3.406934E-14

3.406934E-14

9.904224E-08

Galat

Muller-Revisi Bairstow

18

13

18

16

4

4

1

Iterasi

-0.602156-

0.505307i

-0.602156+

0.872559i

0.092386-

0.872559i

0.092386+

0.999999

1.044485

-4.024945

Akar

Matlab

digilib.uns.ac.id 0.505307i

146

Tabel 4.29 Lanjutan Hasil Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n Menggunakan Kombinasi Algoritma dimana n Merupakan


0.742886i -2.243726-

0.742886i -5.079776


2.162632E-14

1.026733

6

-1.429501

4.659905E-14

-1.429501

6

0.692541i

0.692541i

15

4.230974+

2.50406E-12

4.230974-

4.230974+

15

2.508048

0.742886i

0.692541i

2.504055E-12

4.230974-

11

11

-2.243726+

0.692541i

5.531531E-11

2.508048

5.962248E-12

1

െ ʹͷ͸‫ ݔ‬൅ ͳͻʹͲ

1.520651E-8

-2.243726-

െ ͳͲͺ‫ ݔ‬ଷ െ ͳͻʹͺ‫ ݔ‬ଶ

2.058673E-8i

-5.079776+

Akar

0.742886i

1

Iterasi

൅ ͵͹‫ ݔ‬ହ ൅ ͶͶ͸‫ ݔ‬ସ

Galat

2.162632E-14

4.659905E-14

2.504055E-12

2.504055E-12

5.531531E-11

2.401967E-06

2.402046E-06

5.663953E-07

Galat

Bairstow – Muller

-2.243726+ 1.520651E-8

Akar

Bairstow – Revisi Bairstow

‫ ଼ ݔ‬െ ‫ ଻ ݔ‬െ ͵ͻ‫଺ ݔ‬

Sampel Polinomial

Genap

6

6

15

15

5

98

2

1

Iterasi

1.026733

-1.429501

0.692541i

4.230974+

0.692541i

4.230974-

0.742886i

-2.243726-

0.742886i

-2.243726+

2.508048

-5.079776

Akar

Matlab

147

Tabel 4.30 Hasil Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n Menggunakan Kombinasi Algoritma dimana n Merupakan Bilangan


0.692541i -2.243726-

0.742886i 4.230974-

commit to user 3.106603E-14 0

-1.429501 1.026733

6

6

1.026733

-1.429501

2.508048

2.428810E-09

2.508048

11

-5.079776

1.383556E-10

-5.079776

11

0.742886i

0.692541i

0

3.106603E-14

2.428810E-09

1.383556E-10

-2.243726+ 6.239732E-09

4.230974+

6.239743E-09

5.773500E-10

0.742886i 93

93

4.230974+

5.773225E-10

Galat

0.692541i 5.773774E-10

5.773774E-10

1


6.245005E-09

-2.243726-


0.692541i

4.230974-

Akar

0.742886i

1

Iterasi

൅͵͹‫ ݔ‬ହ ൅ ͶͶ͸‫ ݔ‬ସ

Galat

6

6

11

11

11

11

2

1

Iterasi

Revisi Bairstow – Muller

-2.243726+ 6.245005E-09

Akar

Revisi Bairstow – Bairstow

‫ ଼ ݔ‬െ ‫ ଻ ݔ‬െ ͵ͻ‫଺ ݔ‬

Sampel Polinomial

Genap

1.026733

-1.429501

0.692541i

4.230974+

0.692541i

4.230974-

0.742886i

-2.243726-

0.742886i

-2.243726+

2.508048

-5.079776

Akar

Matlab

148

Tabel 4.30 Lanjutan Hasil Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n Menggunakan Kombinasi Algoritma dimana n Merupakan Bilangan


0.692542i -5.079777

0.692542i -5.079777

commit to user 7.082627E-14

2.508048

6

2.508048

1.026733

1.081316E-13

1.026733

6

-1.429501

9

1.087311E-13

-2.243724-

-1.429501

82

-2.243729

0.742889i

1.802509E-04

-2.243724-

9

9

4.230975-

0.742889i

31.431448

-2.243729

1.266651E-05

1


2.847729E-05

4.230975-


0.692542i

4.230975+

Akar

0.692542i

1

Iterasi

൅͵͹‫ ݔ‬ହ ൅ ͶͶ͸‫ ݔ‬ସ

2.847729E-05

Galat

7.082627E-14

1.081316E-13

1.087311E-13

1.802509E-04

31.431448

1.266651E-05

2.824276E-05

2.824276E-05

Galat

6

6

9

82

68

68

1

1

Iterasi

Muller - Revisi Bairstow

4.230975+

Akar

Muller – Bairstow

‫ ଼ ݔ‬െ ‫ ଻ ݔ‬െ ͵ͻ‫଺ ݔ‬

Sampel Polinomial

Genap

1.026733

-1.429501

0.692541i

4.230974+

0.692541i

4.230974-

0.742886i

-2.243726-

0.742886i

-2.243726+

2.508048

-5.079776

Akar

Matlab

149

Tabel 4.30 Lanjutan Hasil Pencarian Akar Kompleks Polinomial Derajat n Menggunakan Kombinasi Algoritma dimana n Merupakan Bilangan



digilib.uns.ac.id

Keterangan pada Tabel 4.29 dan Tabel 4.30: Pencarian akar menggunakan algoritma Bairstow Pencarian akar menggunakan revisi algoritma Bairstow Pencarian akar menggunakan algoritma Muller

Berdasarkan Tabel 4.28 diketahui bahwa algoritma Bairstow, revisi algoritma Bairstow, dan Muller mampu menyelesaikan polinomial derajat n dengan galat yang dihasilkan sangat kecil. Berdasarkan data pada Tabel 4.29 dan Tabel 4.30 diketahui bahwa penyelesaian persamaan polinomial menggunakan kombinasi algoritma memiliki hasil yang hampir sama dengan menggunakan algoritma seperti biasa. Hal ini terbukti dengan adanya kesamaan antara hasil pencarian akar pada Tabel 4.29 dan Tabel 4.30 dengan Tabel 4.28. Tabel 4.30 dengan sel berwarna biru nilainya sama dengan hasil pencarian dengan algoritma Bairstow pada Tabel 4.28, begitu pula dengan sel berwarna oranye sama dengan hasil pencarian akar dengan revisi Bairstow pada Tabel 4.28 dan sel berwarna hijau sama dengan hasil pencarian akar menggunakan algoritma Muller pada Tabel 4.28. Hasil pencarian akar kompleks polinomial menggunakan kombinasi algoritma berbeda pada tiga akar terakhir yang didapat untuk polinomial derajat n dimana n merupakan bilangan ganjil. Sedangkan pada polinomial derajat n dimana n merupakan bilangan genap, maka empat akar terakhir akan berbeda. Galat yang dihasilkan pada pencarian akar kompleks polinomial derajat n menggunakan kombinasi algoritma Bairstow – Cardano, Bairstow – Revisi Bairstow, Bairstow – Muller, Revisi Bairstow – Cardano, Revisi Bairstow – Bairstow sangat rendah yakni dibawah 1%. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa kombinasi algoritma tersebut dapat digunakan dengan baik dalam penyelesaian polinomial derajat n. Galat terkecil mencapai 0.0% pada pencarian akar persamaan ‫ ଼ ݔ‬െ ‫ ଻ ݔ‬െ ͵ͻ‫ ଺ ݔ‬൅ ͵͹‫ ݔ‬ହ ൅ ͶͶ͸‫ ݔ‬ସ െ ͳͲͺ‫ ݔ‬ଷ െ ͳͻʹͺ‫ ݔ‬ଶ െ ʹͷ͸‫ ݔ‬൅ ͳͻʹͲ menggunakan kombinasi algoritma Revisi Bairstow – Bairstow dan Revisi Bairstow – Muller. Galat 0.0% didapat dari pencarian akar menggunakan Revisi Bairstow pada kedua kombinasi algoritma tersebut.

commit to user

150



Pada Tabel 4.29 dan Tabel 4.30 diketahui bahwa terdapat tiga kombinasi algoritma dengan galat yang cukup besar. Berikut ini merupakan penjelasannya : 1. Revisi Bairstow – Muller (Tabel 4.29) Penyelesaian persamaan polinomial ‫ ଻ ݔ‬൅ ͵‫ ଺ ݔ‬െ Ͷ‫ ݔ‬ହ െ ʹ‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ menggunakan kombinasi algoritma Revisi Bairstow menghasilkan galat yang besar pada proses pencarian dua akar terakhir yaitu 39.84178893% dan 66.44185631%. Pada pencarian empat akar pertama menggunakan algoritma Revisi Bairstow menghasilkan akar dan galat yang tepat dan benar. Hal ini terlihat bahwa empat akar pertama hasil algoritma Revisi Bairstow – Muller (sel berwarna oranye pada Tabel 4.29) bernilai sama dengan empat akar pertama hasil algoritma Revisi Bairstow (empat baris terakhir penyelesaian persamaan ‫ ଻ ݔ‬൅ ͵‫ ଺ ݔ‬െ Ͷ‫ ݔ‬ହ െ ʹ‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ pada Tabel 4.28). Namun, terjadi pergeseran angka ketika proses masuk pada algoritma Muller. Pergeseran angka yang terjadi sangat kecil. Pada pencarian akar pertama menggunakan algoritma Muller pada kombinasi Revisi Bairstow – Muller masih menghasilkan nilai yang sesuai. Namun, pada pencarian akar berikutnya efek pegeseran angka sangat terlihat. Adanya kesalahan pada hasil perhitungan sebelumnya akan menghasilkan nilai tidak tepat pada perhitungan berikutnya. Oleh karena itu, perhitungan tersebut menghasilkan galat yang besar. Hal ini juga dipengaruhi oleh ketelitian perhitungan pada program Java. Detail perhitungan terdapat pada Lampiran 2. 2. Muller – Bairstow dan Muller – Revisi Bairstow (Tabel 4.2) Pada penyelesaian persamaan ‫ ଼ ݔ‬െ ‫ ଻ ݔ‬െ ͵ͻ‫ ଺ ݔ‬൅ ͵͹‫ ݔ‬ହ ൅ ͶͶ͸‫ ݔ‬ସ െ ͳͲͺ‫ ݔ‬ଷ െ ͳͻʹͺ‫ ݔ‬ଶ െ ʹͷ͸‫ ݔ‬൅ ͳͻʹͲ menggunakan algoritma Muller Bairstow dan Muller – Revisi Bairstow menghasilkan galat yang sama pada pencarian akar ke lima yaitu 31.431448%. Pencarian akar keempat menggunakan algoritma Muller menghasilkan akar -2.243724-0.742889i, apabila pencarian akar dilanjutkan menggunakan algoritma Muller akan menghasilkan nilai sekawan dari akar kompleks tersebut yaitu -2.243724-0.742889i. Namun, pada kombinasi Muller – Bairstow dan Muller – Revisi Bairstow menghasilkan -2.243729 sehingga menghasilkan galat yang besar. Hal ini dikarenakan input untuk algoritma Bairstow dan Revisi Bairstow merupakan bilangan real, sedangkan output dari

commit to user algoritma Muller merupakan bilangan kompleks. Oleh karena itu, terdapat nilai



imaginer output algoritma Muller tidak terhitung dalam algoritma Bairstow dan Revisi Bairstow. Algoritma dalam penyelesaian akar polinomial derajat n dapat diketahui dengan menghitung nilai rata-rata galat yang dihasilkan dan rata-rata jumlah langkah kerja yang dilakukan. Rata-rata galat didapat dari jumlah seluruh galat yang dihasilkan dibagi dengan banyaknya akar yang dihasilkan. Untuk kombinasi algoritma Cardano, rata-rata galat didapat dari jumlah seluruh galat yang dihasilkan untuk menyelesaiakan persamaan ‫ ଻ ݔ‬൅ ͵‫ ଺ ݔ‬െ Ͷ‫ ݔ‬ହ െ ʹ‫ ݔ‬ଷ ൅ ʹ dibagi banyaknya akar yang dihasilkan yaitu 7. Tabel 4.31 menunjukkan nilai rata-rata galat yang dihasilkan dan rata-rata jumlah langkah kerja yang dilakukan pada masing-masing kombinasi algoritma.

Tabel 4.31 Rata-Rata Galat dan Iterasi Pencarian Akar Kompleks Derajat n No

Kombinasi Algoritma

Rata-rata galat (%)

Rata-rata iterasi

1

Bairstow

2.62347809508259E-09

12

2

Bairstow – Revisi

8.8918779643174E-09

10

Bairstow 3

Bairstow – Muller

1.53555473779719E-06

19

4

Bairstow – Cardano

5.51058633925391E-10

12

5

Revisi Bairstow

1.69204593737167E-08

8

6

Revisi Bairstow –

2.84040213353398E-09

19

Bairstow 7

Revisi Bairstow - Muller 7.08557635107149

8

8

Revisi Bairstow –

3.72289154574655E-09

7

Cardano 9

Muller

0.0000299043000191301

24

10

Muller – Bairstow

2.09544651882645

13

11

Muller – Revisi

2.09544649363791

21

4.27781615793958E-13

10

Bairstow 12

Muller – Cardano

commit to user



Berdasarkan Tabel 4.31, diketahui bahwa algoritma terbaik dalam pencarian akar kompleks derajat n adalah kombinasi Muller – Cardano dimana nilai rata-rata galat yang dihasilkan yaitu 4.27781615793958E-13%. Namun, berdasarkan ratarata jumlah iterasi yang dilakukan, kombinasi algoritma Revisi Bairstow – Cardano lebih unggul dengan rata-rata jumlah iterasi yaitu tujuh iterasi.

commit to user

BAB IV PEMBAHASAN. Sampel Polinomial. (Horner, 1971) (Horner, 1971) (Neill, 2010) (Neill, 2010) (Neill, 2010) (Horner, 1971) (Neill, 2010)

Recommend Documents