BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
A. Learning Obstacle pada Konsep Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat Setelah melakukan uji instrumen pada beberapa jenjang pendidikan, ditemukan beberapa learning obstacle yang terkait dengan konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Learning obstacle tersebut dibagi menjadi 4 tipe, yaitu: Tipe 1: Learning obstacle terkait konteks variasi informasi yang ada pada soal. Tipe 2: Learning Obstacle terkait dengan konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Tipe 3: Learning Obstacle terkait dengan kemampuan siswa dalam menyelesaikan soal-soal penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat yang harus dimodelkan terlebih dahulu. Tipe 4: Learning Obstacle terkait koneksi konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan konsep matematis yang lain.
1. Learning Obstacle Tipe 1 Learning Obstacle tipe 1 yang muncul pada konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat yakni terkait dengan variasi informasi yang tersedia pada soal dan materi dasar mengenai pengertian bilangan bulat. Ketika 21
22
siswa diberikan soal sederhana mengenai materi contoh dan non-contoh bilangan bulat. Terlihat masih banyak siswa yang bingung dan salah dalam menjawab soal tersebut. Hasil uji instrumen yang telah dilakukan menunjukkan bahwa beberapa siswa dari berbagai jenjang pendidikan dan bahkan siswa kelas XII pun masih banyak yang belum paham, seperti pada soal berikut: 1.
Perhatikan daftar bilangan berikut yaitu -3, 2, +5, 14 , 2
6 , 4
0, 12, -9, -
1
+4, -10, -2 .
Manakah bilangan di atas yang merupakan bilangan: a. Bilangan bulat positif
c. Bilangan bulat bukan positif dan negatif
b. Bilangan bulat negatif
d. Yang bukan bilangan bulat
Dari pertanyaan (a), beberapa siswa masih ada yang salah dalam memberikan jawaban. Rata-rata mereka bingung dalam membedakan bilangan positif yang ada tanda positif dengan yang tidak ada tanda positifnya. Dari 14
pertanyaan (b), banyak sekali siswa yang masih salah mengira bahwa - 2 bukan bilangan bulat, padahal jika dihitung hasilnya adalah -7. Dari pertanyaan (c), siswa banyak yang tidak tahu dan salah dalam menjawabnya. Dari pertanyaan (d), siswa masih salah membedakan yang contoh dan non-contoh bilangan bulat.
23
Beberapa contoh jawaban siswa dari soal 1 uji instrumen
Gambar 4.1. Gambar Beberapa Jawaban Siswa dari Soal 1 Uji Instrumen
Tabel 4.1. Tabel Hasil Uji Instrumen Soal 1 pada Tingkat SMP Kelas VII
Kelas VIII
Kelas IX
(37 orang )
(34 orang )
(36 orang )
LangkahNo Langkah B
S
%B
B
S
%B
B
S
%B
15
22
40,5 %
7
27
20,6 %
17
19
47,2 %
1
36
2,7 %
2
32
6,3 %
3
33
8,3 %
24
13
64,9 %
15
19
44,1 %
17
19
47,2 %
a. menentukan bilangan bulat positif b. menentukan bilangan bulat
1 negatif c. menentukan bilangan bulat bukan positif dan negatif
24
d. menentukan yang bukan
1
36
2,7 %
1
33
2,9 %
0
36
0%
bilangan bulat
Tabel 4.2. Tabel Hasil Uji Instrumen Soal 1 pada Tingkat SMA Kelas X
Kelas XI
Kelas XII
(40 orang )
(32 orang )
(31 orang )
LangkahNo Langkah B
S
%B
B
S
%B
B
S
%B
13
27
32,5 %
17
15
53,1 %
24
7
77,4 %
1
39
2,5 %
1
31
3,1 %
3
28
9,7 %
16
24
40 %
23
9
71,9 %
24
7
77,4 %
2
38
5,0 %
1
31
3,1 %
1
30
3,2 %
a. menentukan bilangan bulat positif b. menentukan bilangan bulat negatif
1 c. menentukan bilangan bulat bukan positif dan negatif d. menentukan yang bukan bilangan bulat
25
Terlihat bahwa siswa masih banyak yang kurang mengerti definisi bilangan bulat itu sendiri. Siswapun masih bingung membedakan contoh dan non-contoh bilangan bulat. Seharusnya definisi bilangan bulat itu sudah dikuasai sebelum melangkah ke materi selanjutnya dan seharusnya siswa mampu menyelesaikan soal yang diberikan. Menurut teorema Kontras-Variasi dalam Teori Bruner (Suherman, 2008) bahwa dalam pembelajaran matematika seharusnya menggunakan contoh dan non-contoh serta variasi yang beragam, sehingga pemahaman konsep menjadi lebih mantap. Siswa bisa memilih mana yang termasuk dan tidak termasuk ke dalam konsep tersebut, serta bisa menunjukkan lebih banyak contoh untuk konsep tersebut sebagai aplikasinya. Kenyataannya
dalam
pembelajaran
konsep
penjumlahan
dan
pengurangan selama ini, seperti yang terlihat dalam buku-buku yang digunakan sebagai bahan ajar, belum terdapat variasi soal yang dapat membantu siswa untuk dapat lebih memahamkan materi yang berkaitan dengan kemampuan memilih informasi pada soal. Dalam hal ini, tentu harus dilakukan perbaikan sebagai upaya untuk memberikan pengalaman belajar yang lebih pada siswa agar siswa dapat lebih siap dalam menghadapi berbagai permasalahan terkait dengan variasi informasi pada soal.
26
2.
Learning Obstacle Tipe 2 Learning obstacle tipe 2 terkait konsep penjumlahan dan pengurangan
bilangan bulat. Siswa diberikan soal sederhana mengenai operasi bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif. Dari uji instrumen kepada beberapa jenjang pendidikan, siswa masih memiliki kendala dalam menjumlahkan ataupun mengurangkan bilangan bulat terutama antara bilangan bulat positif dan negatif. Contoh soalnya sebagai berikut: 2. Dalam suatu permainan, Mail ikut bermain sebanyak lima kali dan memperoleh nilai sebagai berikut: -10, 35, 20, 0, dan -40. Berapa jumlah nilai yang diperoleh Mail? 3.
Daging ayam dimasukan kedalam ruang pendingin bersuhu – 200 C. kemudian daging ayam dikeluarkan untuk dijual. Suhuny naik 30 C setiap 1 jam. Daging ayam tersebut terjual pada jam ke-6 setelah dikeluarkan dari ruang pendingin. Berapakah suhunya ketika itu? Dari soal no.2 dan no.3 ini, untuk tingkat SMP masih banyak yang
salah terutama dalam mengoperasikan bilangan tersebut, walaupun rata-rata untuk siswa SMA sudah benar dalam menyelesaikannya. Dari gambaran hasil kerja beberapa siswa, menunjukan bahwa siswa tersebut belum bisa dalam mengoperasikan bilangan tersebut. Siswa hanya diajarkan cara-cara pengerjaan soal tanpa benar-benar memahami konsep tersebut. Menurut teori Piaget (Suherman, 2008) bahwa pada tahap operasi formal yaitu usia 11 tahun ke atas, siswa sudah bisa berpikir abstrak, tanpa dibantu dengan benda konkret lagi. Kemampuan
analisis,
sintesis,
kombinatorial,
eksplorasi,
pemecahan masalah sedikit demi sedikit bisa dikembangkan.
menemukan,
27
Beberapa contoh jawaban siswa dari soal 2 uji instrumen
Gambar 4.2. Gambar Beberapa Jawaban Siswa dari Soal 2 Uji Instrumen
Beberapa contoh jawaban siswa dari soal 3 uji instrumen
Gambar 4.3. Gambar Beberapa Jawaban Siswa dari Soal 3 Uji Instrumen
Tabel 4.3. Tabel Hasil Uji Instrumen Soal 2 dan Soal 3 pada Tingkat SMP Langkah-
Kelas VII
Kelas VIII
Kelas IX
(37 orang )
(34 orang )
(36 orang )
No Langkah Menjumlahkan
2
23 bilangan bulat
14
62,2 %
23
11
67,6 %
29
7
80,6 %
28
menghitung peningkatan
3
18
19
48,6 %
18
16
52,9 %
23
13
63,9 %
15
22
40,5 %
15
19
44,1 %
23
13
63,9 %
suhu menghitung hasil akhir
Tabel 4.4. Tabel Hasil Uji Instrumen Soal 2 dan Soal 3 pada Tingkat SMA Kelas X
Kelas XI
Kelas XII
(40 orang )
(32 orang )
(31 orang )
LangkahNo Langkah B
S
%B
B
S
%B
B
S
%B
24
16
60,0 %
31
1
96,9 %
30
1
96,8 %
31
9
77,5 %
31
1
96,9 %
27
4
87,1 %
21
19
52,5 %
26
6
81,3 %
30
1
96,8 %
Menjumlahkan
2
bilangan bulat menghitung peningkatan
3
suhu menghitung hasil akhir
3. Learning Obstacle Tipe 3 Learning Obstacle tipe 3 ini terkait dengan kemampuan siswa dalam menyelesaikan soal-soal penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat yang harus dimodelkan terlebih dahulu kedalam model matematika. Pada
29
pembelajaran
bilangan
bulat
disekolah,
hanya
menekankan
kepada
penyelesaian soal-soal saja tanpa membiarkan siswa untuk memodelkan sendiri ataupun dibantu oleh guru dalam menyelesaikan persoalan yang membutuhkan permodelan matematika terlebih dahulu. Contoh soal yang diberikan peneliti kepada siswa adalah: 4.
My Name Is Udin My Name Is Idin
Gambar 4.4. Gambar Soal Lembar Instrumen Bilangan Bulat
Pada suatu hari, Udin dan Idin bermain kelereng, sebelum bermain Udin mempunyai 4 buah kelereng. Setelah bermain, banyaknya kelereng Udin menjadi 11 kelereng dan Idin menjadi 5 kelereng. Berapa buah kelereng yang didapat oleh Udin setelah bermain dengan Idin? Berapakan kelereng Idin sebelum bermain?
Dalam soal ini, dapat terlihat sejauh mana kemampuan siswa dalam memodelkan soal. Pada soal ini, siswa dituntut untuk bisa memodelkan soal terlebih dahulu sehingga mengurangi atau menghindari terjadinya kesalahan dalam menyelesaikan soal. Dari jawaban siswa, masih banyak yang menjawab salah dan bahkan dari beberapa siswa ada yang menggunakan gambar pada soal untuk menjawab dengan cara menghitungnya. Menurut Bruner (Suherman, 2008) dalam Teorema konstruksi (penyusunan) adalah bahwa siswa akan memahami suatu konsep jika mereka diajak bersama mengkontruksi konsep tersebut. Sama halnya dalam menyelesaikan soal ini, siswa dituntut untuk bisa memodelkan soal kedalam
30
model matematika, kemudian baru soal itu diselesaikan. Namun hal tersebut belum terjadi karena keterbatasan informasi yang diperoleh siswa serta kurangnya pengalaman belajar yang diberikan pada siswa, sehingga siswa belum mampu mengembangkan kemampuannya dalam hal memodelkan soal kedalam model matematika. Beberapa contoh jawaban siswa dari soal 4 uji instrumen
Gambar 4.5. Gambar Jawaban Siswa dari Soal 4 Uji Instrumen
Tabel 4.5. Tabel Hasil Uji Instrumen Soal 4 pada Tingkat SMP Kelas VII
Kelas VIII
Kelas IX
(37 orang )
(34 orang )
(36 orang )
LangkahNo Langkah B
S
%B
B
S
%B
B
S
%B
6
31
16,2 %
10
24
29,4 %
18
18
50 %
membuat
4
model matematika
31
menyelesaikan
12
25
32,4 %
21
13
61,8 %
20
16
55,6 %
modelnya
Tabel 4.6. Tabel Hasil Uji Instrumen Soal 4 pada Tingkat SMA Kelas X
Kelas XI
Kelas XII
(40 orang )
(32 orang )
(31 orang )
LangkahNo Langkah B
S
%B
B
S
%B
B
S
%B
16
24
40,0 %
24
8
75,0 %
22
9
71,0 %
20
20
50,0 %
24
8
75,0 %
26
5
83,9 %
membuat model
4
matematika menyelesaikan modelnya
4. Learning Obstacle Tipe 4 Learning Obstacle 4 terkait koneksi konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan konsep matematis yang lain. Jerome Bruner (Suherman, 2008) mengemukakan bahwa belajar akan efektif
jika
menggunakan struktur konsep sehingga tampak keterkaitan antara konsep yang satu dengan konsep yang lainnya serta antara hubungan konsep prasyarat dengan konsep suksesornya. Belajar dengan menggunakan struktur konsep adalah belajar secara komprehensif karena konsep dipahami secara
32
menyeluruh, implikasinya bahwa dengan belajar seperti ini retensi siswa menjadi kuat dan memorinya menjadi tahan lama. Penyajian materi, contoh soal maupun dalam latihan soal dalam hal keterkaitan konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan konsep matematis lainnya dalam buku ajar yang digunakan masih sangat kurang. Selain itu, data pada soal diberikan kurang lengkap, sehingga siswa harus berpikir lebih untuk menjawab soal, tidak bisa langsung menjawabnya saja. Contoh soal yang diujikan peneliti adalah sebagai berikut: 5. Dalam soal harian matematika, terdapat 50 soal. Jika satu jawaban benar diberi nilai 2, jawaban salah diberi nilai -1, dan yang tidak terjawab diberi nilai 0. Berapakah nilai yang diperoleh Fizi dengan menjawab soal benar sebanyak 35 dan 4 soal tidak terjawab? Dalam soal ini, mengaitkan antara konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan perkalian. Sedikit sekali siswa yang menjawab dengan benar. Hal ini mengindikasikan bahwa pembelajaran konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat masih belum mengaitkan dengan konsep-konsep matematis yang lain. Padahal keterkaitan itu tidak bisa dihindarkan dalam pemahaman matematis secara utuh.
33
Beberapa contoh jawaban siswa dari soal 5 uji instrumen
Gambar 4.6. Gambar Jawaban Siswa dari Soal 5 Uji Instrumen
Tabel 4.7. Tabel Hasil Uji Instrumen Soal 5 pada Tingkat SMP Kelas VII
Kelas VIII
Kelas IX
(37 orang )
(34 orang )
(36 orang )
LangkahNo Langkah B
S
%B
B
S
%B
B
S
%B
4
33
10,8 %
13
21
38,2%
16
20
44,4 %
3
34
8,1%
12
22
35,3 %
13
23
36,1 %
4
33
10,8 %
10
24
29,4 %
13
23
36,1 %
melengkapi informasi soal menghitung nilai dari
5 masingmasing soal menghitung nilai akhir
34
Tabel 4.8. Tabel Hasil Uji Instrumen Soal 5 pada Tingkat SMA Kelas X
Kelas XI
Kelas XII
(40 orang )
(32 orang )
(31 orang )
LangkahNo Langkah B
S
%B
B
S
%B
B
S
%B
17
23
42,5 %
20
12
62,5 %
26
5
83,9 %
14
26
35,0 %
19
13
59,4 %
26
5
83,9 %
14
26
35,0%
19
13
59,4 %
25
6
80,6 %
melengkapi informasi soal menghitung nilai dari
5 masingmasing soal menghitung nilai akhir
B. Repersonalisasi Konsep Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat 1.
Bilangan Bulat dan Lambangnya Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika dilambangkan
dengan Z (atau
), berasal dari Zahlen (bahasa Jerman untuk "bilangan").
Sebelum membicarakan tentang bilangan bulat, ingat kembali tentang beberapa himpunan bilangan yang telah di perkenalkan sebelumnya. Himpunan semua bilangan asli A adalah A {1, 2, 3, 4, ...}. Himpunan semua bilangan cacah C adalah C {0, 1, 2, 3, 4, ...}
35
2.
Pengertian Bilangan Bulat Negatif Agar memahami pengertian bilangan bulat negatif, pelajarilah dengan
teliti keterangan serta contoh-contoh berikut. Urutan bilangan cacah 0, 1, 2, 3, ... dapat ditunjukkan sebagai titik-titik yang terletak pada sebuah garis lurus seperti tampak pada Gb. 1(i). Garis yang tampak pada Gb. 1(i) itu disebut garis bilangan cacah. Titik 0 (dibaca “titik nol”) yang tampak pada garis bilangan itu disebut titik pusat atau titik asal. Perlu diketahui pula, bahwa jarak antara dua titik yang berdekatan disebut 1 satuan. Misalnya, jarak dan titik 0 ke titik 1 adalah 1 satuan, jarak dari titik 0 ke titik 2 adalah 2 satuan, dan jarak dan titik 1 ke titik 4 adalah 3 satuan. Tanda mata panah pada garis bilangan itu menunjukkan bahwa garis bilangan itu masih diteruskan ke kanan.
(i) 0
11
22
33
R
P
22
33
44
55
66
77
88
99
10 10
1111
77
88
99
10 10
1111
Q
(ii) 0
11
44
55
66
Gb. 1
Gambar 4.7. Gambar Garis Bilangan Cacah Sekarang perhatikan garis bilangan cacah yang terdapat pada Gb. 1(ii). Jika pada titik tempat bilangan 3 kita beri nama P, maka dikatakan bahwa titik P mempunyai koordinat 3, yang artinya P terletak pada jarak 3 satuan di sebelah kanan titik pusat 0. Pada Gb. 1(ii) tampak bahwa Q mempunyai koordinat 6, maka ini berarti bahwa titik Q terletak pada jarak 6 satuan di sebelah kanan titik pusat 0.
36
Jika titik R seperti tampak terletak pada jarak 2 satuan di sebelah kanan titik 0, berapakah koordinat titik R itu? Jelas, bahwa koordinat titik R itu adalah 2. Pada garis bilangan cacah hanya ditunjukkan titik-titik yang terletak di sebelah kanan titik 0, sedangkan titik-titik yang letaknya di sebelah kiri titik 0 tidak diperhatikan. Selanjutnya, sekarang akan kita coba untuk menentukan letak titik-titik yang ada di sebelah kiri titik 0 dengan cara memperpanjang garis bilangan cacah tadi kesebelah kiri dari titik 0, seperti diperlihatkan oleh garis bilangan yang tampak dalam Gb. 2. Pada garis bilangan yang terdapat dalam Gb. 2, tampak beberapa titik yang terletak di sebelah kanan titik 0 dan tampak pula beberapa titik yang terletak di sebelah kiri titik 0. Jarak antara dua titik yang berdekatan yang satu dengan jarak antara dua titik yang berdekatan lainnya adalah sama.
A
B
-41
-32
-23
-14
R 05
16
P 27
38
49
510
6 11
Gb. 2
Gambar 4.8. Gambar Garis Bilangan Bulat Dengan memperhatikan Gb. 2, sebutkan koordinat titik A yang letaknya 1 satuan di sebelah kiri titik pusat 0! Andaikan titik A itu diberikan koordinat 1, maka berarti titik A terletak 1 satuan di sebelah kanan titik 0. Akan tetapi pada kenyataannya titik A itu terletak di sebelah kiri titik 0. Jadi tidak benar jika koordinat A itu adalah 1.
37
Oleh karena itu, maka untuk membedakan apakah suatu titik itu terletak disebelah kanan atau di sebelah kiri titik pusat 0, koordinatnya kita beri tanda sebagai berikut: Untuk titik yang terletak di sebelah kanan titik 0, koordinatnya diberi tanda + (positif), dan untuk titik yang terletak di sebelah kiri titik 0, koordinatnya diberi tanda - (negatif). Dengan demikian, maka pada Gb. 2, titik R koordinatnya +1 (positif satu), titik A koordinatnya -1 (negatif satu), titik P koordinatnya +4 (positif empat), dan titik B koordinatnya -3 (negatif tiga). Dengan dikenalnya koordinat-koordinat titik-titik yang positif dan negatif maka sekarang kita mempunyai garis bilangan yang lebih lengkap seperti tampak pada Gb. 3. Garis bilangan yang tampak dalam Gb. 3 itu disebut garis bilangan bulat.
-5
-41
-32
-23
-14
05
+16
+27
+38
+49
+5 10
+611 Gb. 3
Gambar 4.9. Gambar Garis Bilangan Bulat Karena garis bilangan yang tampak pada Gb. 3 itu disebut garis bilangan bulat, maka sekarang kita memperoleh himpunan bilangan yang baru yaitu, himpunan semua bilangan bulat B yang dinyatakan sebagai berikut: B {..., -3, -2, -1, 0 , +l, +2, +3, ...}
38
Tiga titik yang ditulis pada himpunan bilangan bulat B itu artinya anggota-anggota dan himpunan itu masih dilanjutkan baik ke kiri ataupun ke kanan tanpa ada batasnya. Dari himpunan bilangan bulat itu ternyata dapat dibagi menjadi tiga himpunan bagian yang saling lepas, yaitu: (1) Himpunan semua bilangan bulat negatif B- = {..., -3, -2, -1} (2) Himpunan bilangan bulat bukan positif dan bukan negatif atau nol yaitu {0}, dan (3) Himpunan semua bilangan bulat positif B+ = {+l, +2, +3, ...} Dari ketiga himpunan bagian itu, maka bilangan-bilangan -1, -2, -3, -4, ... dan seterusnya disebut bilangan bulat negatif sedangkan bilangan-bilangan +1, +2 ,+3 ,+4 ,... dan seterusnya disebut bilangan bulat positif. Perlu diketahui pula bahwa tanda-tanda + (positif) pada bilangan bulat positif biasanya tidak ditulis, jadi bilangan bulat positif cukup ditulis dengan 1, 2, 3, 4, ... dan seterusnya. Dengan demikian, himpunan semua bilangan bulat positif B = {+l, +2, +3, ...} biasanya dinyatakan sebagai himpunan B = {1, 2, 3, 4, ...}. Dan karena himpunan B { 1,2,3,4,...} serupa dengan himpunan semua bilangan asli A = {1, 2, 3, 4, ...}, maka himpunan semua bilangan asli seringkali juga disebut sebagai himpunan semua bilangan bulat positif. Dari keterangan di atas, ternyata bilangan 0 bukan bilangan bulat negatif dan juga bukan bilangan bulat positif. Oleh karena itu, maka 0 disebut bilangan netral.
39
Dari hal-hal tersebut di atas, maka {0, 1, 2, 3, 4, ...} seringkali disebut himpunan semua bilangan bulat tidak negatif sedangkan {..., -4, -3, -2, -1, 0} disebut himpunan semua bilangan bulat tidak positif.
3. Penjumlahan a. Mengingat Sifat Penjumlahan Bilangan Cacah Pada bagian terdahulu telah dibicarakan tentang sifat-sifat yang penting dari penjumlahan pada himpunan bilangan cacah. 1. Sifat tertutup Jika kita ambil dua buah bilangan cacah, misalnya 2 dan 8, maka jumlah kedua bilangan cacah itu adalah 2 + 8 = l0 juga merupakan bilangan cacah. Keterangan di atas menunjukkan kepada kita, bahwa jumlah dua bilangan cacah merupakan bilangan cacah. Hal tersebut di atas dikatakan bahwa: Himpunan bilangan cacah tertutup terhadap penjumlahan
2. Sifat komunitatif dan asosiatif Karena 8 + 19 = 27 dan 19 + 8 = 27, maka 8 + 19 = 19 + 8 adalah kalimat yang benar. Dari jawaban di atas ini, memberi petunjuk kepada kita bahwa jumlah dua bilangan cacah hasilnya akan sama, jika letak kedua bilangan cacah itu dipertukarkan. Dengan kata lain, untuk tiap
40
bilangan-bilangan cacah a dan b berlaku a + b = b + a, yang disebut sifat komutatif (pertukaran) untuk operasi penjumlahan. Karena (15 + 25) + 45 = 40 + 45 = 85 dan 15 + (25 + 45) = 15+70 = 85, maka (15 + 25) + 45 = 15 + (25 + 45) adalah kalimat yang benar. Dari jawaban di atas memperlihatkan bahwa penjumlahan tiga buah bilangan cacah hasilnya akan sama, jika pengelompokan pada penjumlahan itu dipertukarkan. i. a + b = b + a yang disebut sifat komutatif (pertukaran) penjumlahan ii. (a + b) + c = a + (b + c) yang disebut sifat asosiatif (pengelompokan) penjumlahan
3. Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan Untuk tiap bilangan cacah a, b, dan c belaku: a x (b + c) = (a x b) + (a x c) yang disebut sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
4. Unsur Identitas pada Penjumlahan Untuk tiap bilangan cacah c belaku: c + 0 = 0 + c = c. Nol (0) disebut unsur identitas pada penjumlahan.
b. Sifat Penjumlahan pada Himpunan Bilangan Bulat Penjumlahan pada himpunan bilangan bulat mempunyai sifat penting yang perlu diketahui. Untuk mengetahui sifat-sifat tersebut, pelajarilah keterangan serta contoh-contoh berikut.
41
1. Sifat Ketertutupan Perhatikan himpunan semua bilangan bulat B, yaitu : B {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Kita ketahui bahwa -5 dan 2 masing-masing merupakan anggota dari himpunan B atau -5, 2 ϵ B. Sekarang coba kamu jumlahkan -5 dan 2 térsebut, kemudian periksa apakah hasilnya merupakan bilangan bulat lagi? Jumlah dari -5 dan 2 adalah -5 + 2 = -3, dan ternyata -3 merupakan bilangan bulat. Seperti contoh di atas, cobalah ambil dua buah bilangan sembarang, kemudian di jumlahkan, apakah hasilnya selalu merupakan bilangan bulat lagi? Jika kita mengambil sebarang dua buah bilangan bulat, maka jumlah kedua bilangan bulat itu adalah bilangan bulat lagi Sifat penjumlahan bilangan bulat yang disebutkan di atas itu, memberi petunjuk bahwa himpunan bilangan bulat tertutup terhadap penjumlahan, yang berarti bahwa jumlah dua buah bilangan bulat merupakan bilangan bulat lagi.
2.
Sifat Komutatif (Pertukaran) Perhatikan beberapa contoh dibawah ini: a. -8 + 5 = -3 dan 5 + ( -8) = -3 b. 40 + (-50) = -l0 dan -50 + 40 = -10 c. -10 + (-40) = -50 dan -40 + (-10) = -50
42
d. -75 + 45 = -30 dan 45 + (-75) = 30 Dan hasil-hasil penjumlahan di atas ternyata, bahwa: a. -8 + 5 = 5 + (-8)
c. -10 + (-40) = -40 + (-10)
b. 40 + (-50) = -50 + 40
d. -75 + 45 = 45 + (-75)
Contoh soal-soal diatas memberi petunjuk kepada kita, bahwa: Jumlah dua buah bilangan bulat hasilnya akan tetap, walaupun letak kedua bilangan itu dipertukarkan Sifat penjumlahan pada bilangan bulat yang disebutkan di atas ini, dapat pula dinyatakan sebagai berikut: Untuk sebarang bilangan bulat a dan b berlaku a + b = b + a
Sifat bahwa untuk sebarang bilangan bulat a dan b berlaku a + b = b + a disebut sifat komutatif atau sifat pertukaran pada penjumlahan.
3.
Sifat Asosiatif Perhatikan beberapa contoh dibawah ini: a. 3 + 4 = 7 dan (3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12 4 + 5 = 9 dan 3 + (4 + 5) = 3 + 9 = 12 b. 4 + (-6) = -2 dan ( 4 + (-6)) + 8 = -2 + 8 = 6 (-6) + 8 = 2 dan 4+ ((-6) + 8) = 4 + 2 = 6 c. -4 + (-5) = -9 dan (-4 + (-5)) + (-7) = -9 + (-7) = -16 -5 + (-7) = -12 dan -4 + ((-5) + (-7)) = -4 + (-12) = -16
43
d. 10 + 15 = 25 dan (10 + 15) + -25) = 25 + (-25) = 0 15 + (-25) = -10 dan 10 + (15 + (-25)) = 10 + (-10) = 0 Dan jawaban soal-soal diatas ternyata bahwa: a. (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) b. (4 + (-6)) + 8 = 4 + ((-6) + 8) c. ((4 + (-5)) + (-7) = -4 + ((- 5) + (-7)) d. (10 + 15) + (-25) = 10 + (15 + (-25)) Jawaban soal-soal di atas memberi petunjuk kepada kita, bahwa penjumlahan tiga buah bilangan bulat hasilnya akan sama, jika pengelompokkan pada penjumlahan itu dipertukarkan. Dengan kata lain dapat dikatakan bahwa: Untuk sebarang tiga buah bilangan bulat a, b, dan c berlaku (a + b) + c = a + (b +c) yang disebut sifat asosiatif (pengelompokan) pada penjumlahan
4. Unsur Identitas Penjumlahan Perhatikan beberapa contoh dibawah ini: a. 5 + 0 = 0 + 5 = 5
c. -45 + 0 = 0 + (-45) = -45
b. -10 + 0 = 0 + (-10) = -10
d. 100 + 0 = 0 + 100 = 100
Ternyata keempat kalimat penjumlahan di atas adalah benar. Keempat kalimat penjumlahan di atas memberi petunjuk kepada kita, bahwa: Jumlah suatu bilangan bulat dengan nol adalah bilangan itu sendiri
44
Sifat bilangan nol pada penjumlahan tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut: Untuk setiap bilangan bulat a selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a
Sehubungan dengan sifat bilangan nol pada penjumlahan tersebut, maka kita katakan bahwa 0 adalah unsur identitas pada penjumlahan.
4. Pengurangan Pada pasal terdahulu telah dijelaskan bahwa himpunan semua bilangan cacah tidak tertutup terhadap pengurangan. Artinya, apabila kita ambil sebarang 2 bilangan cacah, maka pengurangan bilangan-bilangan cacah itu hasilnya belum tentu merupakan bilangan cacah lagi. Seperti pada penjumlahan bilangan-bilangan bulat, pengurangan bilangan-bilangan bulatpun dapat dilakukan dengan berbagai macam cara. Salah satu caranya adalah mengurangkan bilangan-bilangan bulat dengan memakai garis bilangan. Untuk itu, pelajarilah keterangan serta contoh-contoh berikut. a. Gb. 4.10 (i) memperlihatkan pengurangan 6 - 2 = 4 dengan memakai garis bilangan. Pada garis bilangan itu tampak bahwa dari titik 6 yaitu bilangan yang dikurangi mundur 2 satuan ke kiri, sehingga hasilnya adalah 4, seperti diperlihatkan oleh garis lengkung berarah yang ditebalkan pada garis bilangan tersebut.
45
(Gb.i) -6
-05
-41
-32
-23
-14
05
16
27
38
49
510
6
7 1 1
(Gb.ii) -6
-05
-41
-32
-23
-14
05
16
27
38
49
510
6
7 1 1
Gambar 4.10. Gambar Garis Bilangan Operasi Pengurangan b. Gb. 4.10 (ii) memperlihatkan pengurangan 6 - 9 = -3. Pada gambar itu tampak bahwa dari titik 6 yaitu bilangan yang dikurangi mundur 9 satuan ke kiri, sehingga hasilnya adalah -3 seperti diperlihatkan oleh garis lengkung berarah yang ditebalkan pada garis bilangan tersebut. Perhatikan beberapa contoh di bawah ini: a. 10 – 3 = 10 + (-3) = 7
d. -15 - (-4) = -15 + (4) = -11
b. 10 - (-3) = 10 + (3) = 13
e. 20 - 25 = 20 + (-25) = -5
c. -15 -4 = -15 + (-4) = -19
f. -20 - (-25) = -20 + 25 = 5
Ternyata keenam kalimat penjumlahan di atas adalah benar. Keempat kalimat penjumlahan di atas memberi petunjuk kepada kita, bahwa: “Mengurangi dengan suatu bilangan bulat” sama saja dengan “Menambah dengan bilangan bulat itu” atau a – b = a + (-b)
Himpunan bilangan bulat tertutup terhadap pengurangan
46
C. Desain
Didaktik
Awal
(Preliminary
Didactical
Design)
Konsep
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat Setelah melakukan uji coba instrumen keberbagai jenjang pendidikan, diperoleh learning obstacle mengenai konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Langkah selanjutnya yang harus dilakukan adalah membuat suatu desain didaktis yang dapat mengatasi beberapa learning obstacle mengenai materi tersebut.
1. Mengembangan Pemahaman Konsep Definisi Bilangan Bulat Salah satu learning obstacle yang muncul yaitu mengenai variasi informasi dalam konteks definisi bilangan bulat itu sendiri. Selama ini, siswa hanya sekedar hafal atau mengetahui definisi bilangan bulat. Siswa tidak diarahkan untuk memahami secara benar apa itu bilangan bulat. Soal sederhana yang diberikan mengenai contoh dan non-contoh bilangan, siswa masih banyak yang kesulitan dalam menyelesaikannya. Siswa masih asing dengan contoh dan non-contoh bilangan bulat itu. Untuk lebih memahami bilangan bulat itu, siswa diarahkan untuk mengonstruksi sendiri definisi bilangan bulat itu dengan menggunakan situasi didaktis dalam bentuk soal cerita sebagai berikut:
47
Andi berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garis lurus yang menghubungkan petak-petak lantai tersebut. Ia berdiri di satu titik dan ia namakan titik nol (0).
.
.
.
-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
.
.
.
Gambar 4.11. Gambar Garis Bilangan Bulat Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Perhatikan bahwa posisi 2 langkah ke depan dari titik nol (0) dinyatakan dengan +2. Demikian pula posisi 4 langkah ke depan dinyatakan dengan +4. Oleh karena itu, posisi 2 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan -2. Adapun posisi 4 langkah ke belakang dari titik nol (0) dinyatakan dengan -4. Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkan akan membentuk bilangan bulat. Jadi, apakah bilangan bulat itu?
Ada beberapa kemungkinan berpikir siswa dalam menjawab pertanyaan diatas. Kemungkinan pertama, siswa akan menjawab bahwa bilangan bulat adalah bilangan positif, bilangan negatif, dan bilangan nol. Hal ini memungkinkan karena dilihat tanda bilangan pada gambar di soalnya. Kemungkinan jawaban ini masih kurang tepat sehingga perlu diarahkan lagi oleh guru. Kemungkinan kedua, siswa akan menjawab bilangan bulat adalah himpunan bilangan bulat positif {+l, +2, +3, ...}, bilangan bulat negatif {..., 3, -2, -1}, dan bilangan bulat nol{0}. Hal ini memungkinkan karena siswa sudah memahami arti himpunan itu sendiri. Kemungkinan ketiga, siswa akan menjawab bilangan bulat adalah himpunan bilangan asli, himpunan bilangan nol, dan himpunan negatif atau lawan dari bilangan asli. Hal ini memungkinkan karena siswa sebelumnya sudah mengenal bilangan asli dan himpunan.
48
Selanjutnya untuk lebih memahami contoh dan non-contoh bilangan bulat, siswa diberikan pengalaman menentukan mana yang merupakan bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, bilangan bulat bukan positif dan bukan negatif, dan yang bukan bilangan bulat. Situasi didaktisnya seperti berikut: 2. Perhatikan 10 bilangan yang berbeda di bawah ini! 7
12
9
3, -5, + 3, +6, 0, - 4 , 11, -2, -1,
10 5
Kelompokan bilangan-bilangan tersebut kedalam 4 bagian! a. Bilangan bulat positif : b. Bilangan bulat negatif: c. Bilangan bulat bukan positif dan bukan negatif: d. Bilangan yang bukan bilangan bulat:
Kemungkinan beberapa siswa masih kesulitan dalam menentukan jawaban dari bilangan-bilangan tersebut. Untuk itu, guru berperan mengarahkan siswa untuk lebih memahami pengertian bilangan bulat. Kegiatan pembelajaran yang dilakukan adalah guru meminta siswa untuk mengungkapkan pendapat mereka mengenai pengertian bilangan bulat dan contoh dan non-contoh bilangan bulat. Guru mengarahkan siswa untuk mendapatkan pemahaman yang benar mengenai bilangan bulat sehingga memberikan pengalaman belajar yang lebih kepada siswa.
49
2. Mengembangkan
Pemahaman
Konsep
Penjumlahan
dan
Pengurangan Bilangan Bulat Learning obstacle yang muncul berikutnya adalah pemahaman konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Ini terkait dengan bagaimana siswa bisa mengoperasikan dengan benar bilangan bulat. Dari banyak siswa masih terdapat siswa yang kesulitan dalam penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Setelah siswa memahami definisi bilangan bulat, dalam desain ini dimunculkan situasi didaktis yaitu siswa bebas menentukan cara untuk mencapai jawabannya. Ini bertujuan agar siswa dapat berpikir terbuka dan tidak terpaku pada satu cara saja. Siswa bebas mengeksplorasi apa yang dalam pikirannya. Diharapkan siswa dapat berpikir kritis dan mengerti maksud yang tersirat dalam situasi didaktis ini bahwa dalam menyelesaikan suatu masalah matematika tidak hanya terpaku pada cara itu-itu saja tetapi banyak cara untuk mencapaikan penyelesaiannya. Situasi didaktisnya seperti berikut: 3. Dani berdiri di atas lantai berpetak yang dinamakan titik nol (0), seperti pada gambar di bawah ini. (Keterangan: Tambah dilakukan dengan melangkah maju. Kurang dilakukan dengan melangkah mundur. Negatif dilakukan dengan berbalik arah).
...
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Gambar 4.12. Gambar Garis Bilangan Bulat
5
6
...
50
a. Jika Dani ingin berada di atas petak 6, bagaimana cara Dani untuk mencapainya (sebutkan minimal 5 cara)? b. Jika Dani ingin berada di atas petak -5, bagaimana cara Dani untuk mencapainya (sebutkan minimal 5 cara)?
Ada banyak kemungkinan berpikir siswa dalam menjawab soal tersebut, tetapi terdapat beberapa ciri kemungkinan jawaban siswa. Kemungkinan pertama, siswa akan mencapai petak yang diinginkan dengan melangkah beraturan satu demi satu, dua, atau yang lainnya. Kemungkinan kedua, siswa akan mencapai petak yang diinginkan yaitu dengan melangkah maju ataupun melangkah mundur. Kemungkinan ketiga, siswa akan mencapai petak yang diinginkan dengan lebih kreatif memadukan antara melangkah maju dan mundur. Selanjutnya dalam desain diberikan situasi didaktis mengenai operasi penjumlahan dan pengurangan yang bilangannya siswa sendiri yang mengisinya beserta penyelesaiannya. Siswa akan berpikir untuk mencari bilangan-bilangan tersebut sehingga akan terjadi proses mental dalam diri siswa. Siswa juga diminta untuk menggambarkan operasi bilangan tersebut kedalam garis bilangan agar siswa lebih memahami dengan garis bilangan dalam bentuk konkret. Situasi didaktisnya seperti berikut:
51
4. Isilah titik-titik di bawah ini dengan bilangan bulat dalam operasi penjumlahan dan pengurangan beserta hasilnya,
kemudian
gambarkan dalam garis bilangannya pada kotak di bawah ini. (Keterangan: Tambah dilakukan dengan melangkah maju. Kurang dilakukan dengan melangkah mundur. Negatif dilakukan dengan berbalik arah). Sebutkan masing-masing minimal 5 operasi bilangan yang berbeda. a. (...) + (...) = (...)
0 b. (...) - (...) = (...) . 0 Gambar 4.13. Gambar Garis Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Ada banyak kemungkinan berpikir siswa dalam menjawab soal tersebut, tetapi terdapat beberapa ciri kemungkinan jawaban siswa. Kemungkinan pertama, siswa akan mengoperasikan dua buah bilangan bulat positif. Kemungkinan kedua, siswa akan mengoperasikan dua buah bilangan bulat negatif. Kemungkinan ketiga, siswa kan mengoperasikan antara bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif. Kegiatan pembelajaran yang dilakukan adalah awalnya guru meminta siswa untuk mengisi soal pada lembar jawaban masing-masing, kemudian guru menunjuk beberapa siswa untuk mengerjakan di papan tulis. Guru dan siswa membenarkan ataupun mengoreksi beberapa jawaban siswa tersebut sehingga pemahaman siswa akan lebih mantap.
52
3. Mengembangkan Konsep Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat dalam Konteks Mengkostruksi (Memodelkan) Learning obstacle yang muncul berikutnya adalah pemahaman konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dalam konteks memodelkan terlebih dahulu. Ini terkait dengan bagaimana siswa bisa mengoperasikan dengan benar bilangan bulat dengan memodelkan ke dalam model matematika, kemudian diselesaikan. Siswa masih banyak sekali yang belum bisa dalam mengkonstruksi atau memodelkan. Rata-rata siswa langsung mengerjakan soal sehingga banyak terjadi kesalahan yang seharusnya bisa dihindari. Sehingga pada desain ini disajikan situasi didaktis memodelkan untuk dapat meningkatkan kemampuan siswa dan memperkuat pemahamannya terkait konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Kemungkinan pertama, jawaban siswa bisa dengan memisalkan kedalam model matematika. Kemungkinan kedua, siswa bisa menggunakan garis bilangan yang telah didapatkan pada situasi didaktis sebelumnya. Kendala yang selalu muncul adalah siswa akan langsung mengerjakan soal tersebut. Namun, dengan cara tersebut siswa kemungkinan besar akan salah. Untuk menghindari itu, pada tahap ini perlu adanya pengarahan dari guru, dengan memberikan
instruksi-instruksi
sederhana
untuk
terlebih
dahulu
menciptakan proses berpikir dalam diri siswa. Sehingga siswa dapat terbiasa melakukan proses berpikir untuk memecahkan setiap persoalan.
53
4.
Mengembangkan Konsep Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat dalam Konteks Koneksi Learning obstacle yang muncul terakhir adalah pemahaman konsep
penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dalam konteks koneksi. Ini terkait dengan bagaimana siswa bisa menggunakan konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dipadu dengan konsep lainnya dalam pelajaran matematika. Menurut Bruner (Suherman, 2010) bahwa dalam pembelajaran matematika hendaknya memiliki keterkaitan antara konsep yang satu dengan konsep lainnya, serta manfaat dalam kehidupan nyata sebagai aplikasinya yang disebut sebagai Teorema konektivitas. Kurangnya pengalaman belajar yang diberikan pada siswa terkait konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan materi yang lain yang sudah dipelajari menjadikan konsep yang dimiliki siswa menjadi terpisah-pisah. Padahal konsep-konsep tersebut dapat diintegrasikan untuk memperkuat pemahaman konsep yang dipelajari sehingga konsep tersebut dapat dipahami secara menyeluruh. Dalam desain ini disajikan koneksi antara konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan konsep perkalian yang sudah dikuasai oleh siswa. Namun, siswa harus terlebih dahulu melengkapi informasi yang masih kurang dalam situasi didaktis tersebut. Kemungkinan sulitnya disini, siswa harus membaca berulang kali agar lebih memahami soal tersebut lalu menyelesaikannya. Siswa disarankan untuk tidak tergesa-gera dalam
54
menjawab soal. Guru berperan mengarahkan siswa untuk memahami soal secara utuh.
D. Implementasi Desain Didaktis Awal Setelah menyusun desain didaktis awal, langkah berikutnya adalah mengimplementasikan desain didaktis awal ini dilakukan ke kelas 7 atau 1 SMP dengan waktu 2 x 45 menit. Dari implementasi itu, didapat beberapa hal sebagai berikut: 1. Pengembangan Pemahaman Konsep Definisi Bilangan Bulat Pada bagian awal ini, respon sebagian siswa sudah sesuai dengan yang diprediksikan tetapi ada beberapa siswa yang masih menjawab kurang spesifik tentang pengertian bilangan bulat yaitu bilangan positif, negatif dan nol tanpa dsebutkan bahwa bilangan tersebut adalah bilangan bulat. Untuk mengantisipasi ini, guru memberikan contoh atau peragaan di depan kelas dengan lantai berpetak sehingga tercapai pemahaman yang diinginkan. Ada juga prediksi yang tidak muncul sama sekali yaitu mengenai himpunan karena siswa belum mendapatkan materi himpunan sebelumnya. Selanjutnya siswa diminta membedakan dengan contoh yang ada bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, bilangan bulat netral, dan yang bukan bilangan bulat. Sesuai prediksi, kesulitan yang masih dialami siswa yaitu membedakan yang bukan bilangan bulat. Dari contoh atau peragaan yang guru berikan diawal memberikan pemahaman kepada siswa bahwa
55
bukan bilangan pecahan sehingga siswa mengerti mana yang termasuk bilangan bulat. Desain pada bagian ini harus direvisi beberapa hal dibagian keterangan pada desain sehingga tidak terjadi kesalahan pemahaman siswa yang tidak diinginkan.
2. Pengembangan
Pemahaman
Konsep
Penjumlahan
dan
Pengurangan Bilangan Bulat Selanjutnya pada bagian ini, yaitu siswa diminta berpindah dari berpetak nol ke berpetak yang diinginkan. Hampir seluruhnya sesuai dengan yang diprediksikan. Beberapa siswapun ada yang hanya menuliskan dengan menuliskan langkahnya seperti maju atau mundur. Gurupun memberikan arahan siswa untuk menuliskan juga dalam bentuk operasi bilangannya. Untuk lebih memahami konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, yaitu siswa mengisi titik-titik dengan bilangan bulat pada operasi penjumlahan dan pengurangan yang kemudian siswa juga menggambarkan dalam garis bilangan. Pada awalnya, siswa bingung bagaimana cara menggambarkan dalam garis bilangan sehingga guru memberikan contoh dan peragaan pada lantai berpetak pada bagian awal sebelumnya dan diberi arahan menggambar garis bilangan yang benar. Jawaban siswapun beragam sesuai prediksi tanpa ada kesulitan yang berarti.
56
Pada bagian ini, siswa diminta menuliskan minimal 5 cara. Ini bertujuan agar siswa lebih mengeksploitasi dan kreatif dalam menyelesaikan masalah matematika sehingga terjadi proses mental dalam diri siswa. Tujuan lainnya agar siswa tidak menjawab soal dengan ciri prediksi jawaban yang sama sehingga semua konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dapat dieksploitasi siswa lebih mendalam. seperti contoh operasi bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif, kemungkinan siswa akan jarang menjawabnya dan untuk mengantisipasi itu, siswa diharuskan menjawab minimal 5 cara. Desain pada bagian ini tetap dipertahankan tetapi dirasa perlu direvisi dan diperjelas keterangan pada soal. Diharapkan pada bagian ini terjadi proses mental dalam diri siswa sehingga konsep tersebut benar dipahami oleh siswa.
3. Pengembangkan Konsep Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat dalam Konteks Mengostruksi (Memodelkan) Pada bagian ini, siswa masih ada yang belum mengerti sistematika pengerjaan soal ini sehingga guru sedikit memberikan instruksi agar siswa memahami langkah awal apa yang harus dilakukan. Siswa diminta memisalkan pada yang harus dicari untuk kemudian siswa terapkan dalam garis
bilangan
penyelesaiannya.
yang
telah
dipelajari
sebelumnya
untuk
mencari
57
Tidak terjadi banyak kendala pada bagian ini sehingga bagian ini tetap dipertahankan tetapi sesuai prediksi kendala yang muncul dapat diantisipasi dengan diberi arahan oleh guru tentang langkah-langkah pengerjaannya. 4. Pengembangkan Konsep Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat dalam Konteks Koneksi Pada bagian ini, siswa bisa mengaitkan antara konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan perkalian yang sudah mereka dapatkan di sekolah dasar sehingga siswa tidak perlu diingatkan tentang konsep tersebut. Dalam desain ini, siswa dituntut untuk mencari terlebih dahulu informasi yang kurang dalam soal sehingga informasi tersebut lengkap yang setelah itu siswa dapat menyelesaikannya. Namun, kebanyakan siswa tidak memahami soal, banyak yang masih langsung mengerjakan tanpa memahami soal terlebih dahulu. Sesuai prediksi, untuk mengantisipasi ini, siswa diberi instruksi agar membaca dan memahami soal lebih dalam serta diberi pancingan mengenai informasi dalam soal. Desain pada bagian ini tetap dipertahankan tetapi kesulitan-kesulitan yang muncul dapat diantisipasi dengan instruksi atau umpan yang berikan oleh guru sehingga kesulitan siswa dapat teratasi.
58
E. Revisi Desain Didaktis Revisi terhadap desain didaktis awal perlu dilakukan agar desain semakin mencapai kesempurnaan walaupun semua hal tidak akan pernah sempurna. Revisi ini bertujuan agar learning obstacle yang muncul kemudian dapat diantisipasi. Untuk itu, perlu diimplementasikan dalam pembelajaran di kelas yang bersangkutan. Desain didaktis revisi ini disusun dari desain awal yang telah direvisi berdasarkan implementasi dikelas dan respon siswa terhadap desain dedaktis awal. Sajian soal secara keseluruhan tidak banyak direvisi tetapi hanya redaksi pada soal agar siswa lebih memahami informasi yang terdapat pada soal. Beberapa revisi terkait keterangan pada soal agar tidak terjadi hal yang tidak diinginkan yaitu kesalahan konsep dan juga contoh cara pengerjaan pada soal seperti menggambarkan operasi bilangan-bilangan pada garis bilangan agar siswa mengerti secara konkret terlebih dahulu. Beberapa prediksi jawaban siswapun ada yang tidak muncul sehingga perlu direvisi setelah dilakukan implementasi di kelas. Hasil revisi dari desain didaktis awal ini terlampirkan pada bagian lampiran.
59
Tabel 4.9. Tabel Revisi Desain Didaktis Awal Situasi Didaktis Awal Perhatikan petunjuk dan gambar dibawah ini! Andi berdiri di atas lantai berpetak. Ia memilih satu garis lurus yang menghubungkan petakpetak lantai tersebut. Ia berdiri di satu titik dan ia namakan titik nol (0).
Temuan Masalah Didaktis Revisi Terkait beberapa jawaban Revisi terkait dengan siswa, sebagian besar ada prediksi jawaban siswa yang sesuai dengan prediksi, dan keterangan pada soal namun ada pula yang diluar sehingga
tidak
prediksi dan prediksi yang kesalahan
terjadi
pemahaman
tidak muncul. Seperti salah dan jawaban siswa yang Garis pada petak di depannya ia beri angka 1, 2, 3, 4, .... Perhatikan bahwa posisi 2 langkah ke depan dan titik nol (0) dinyatakan dengan +2. Demikian pula posisi 4 langkah ke depan dinyatakan dengan +4. Oleh karena itu, posisi 2 langkah ke belakang dan titik nol (0) dinyatakan dengan -2. Adapun posisi 4 langkah ke belakang dan titik nol (0) dinyatakan dengan -4. Pasangan-pasangan bilangan seperti di atas jika dikumpulkan akan membentuk bilangan bulat. Jadi, apakah bilangan bulat itu?
satunya ada yang menjawab tidak diinginkan. Bagian bilangan
10
-1, 5 Kelompokan bilanganbilangan tersebut kedalam 4 bagian! a. Bilangan bulat positif : b. Bilangan bulat negatif:
bilangan keterangan
pada
negatif, nol. Ini kurang tepat perlu
ditambah
tetapi perlu diarahkan lagi siswa
tidak
soal agar
menjawab
untuk mencapai pemahaman bilangan positif, negatif , yang
diinginkan.
Guru dan nol saja, tetapi lebih
memberikan
instruksi spesifik yaitu bilangan
sederhana dengan peragaan bulat. di atas lantai berpetak.
Perhatikan 10 bilangan Hampir yang berbeda di bawah ini! siswa 7 12 3, -5, + 3, +6, 0, - 4 , 11, 9 , 2
cacah,
semua
jawaban Bagian
sesuai
Kendala
yang
masih
membedakan
tetap
prediksi. dipertahankan tanpa ada telah revisi.
diprediksi mengenai siswa yang
ini
kesulitan yang
bukan
60
c. Bilangan bulat bukan positif dan bukan negatif: d. Bilangan yang bukan bilangan bulat: Dani berdiri di atas lantai berpetak yang dinamakan titik nol (0), seperti pada gambar di bawah ini. (Keterangan: Tambah dilakukan dengan melangkah maju. Kurang dilakukan dengan melangkah mundur. Negatif dilakukan dengan berbalik arah).
contoh bilangan bulat dapat diatasi dengan peragaan pada bagian awalnya. Tidak terjadi banyak kendala Revisi karena
siswa
menentukan
dengan
bebas keterangan pada soal agar langkah- siswa mengerti maksud
langkahnya untuk mencapai dari lantai
terkait
berpetak
soal
yang menuliskan
ini,
yaitu
langkahnya
diinginkan. Jawaban siswa dalam operasi bilangan sudah sesuai dengan prediksi atau a. Jika Dani ingin berada yang telah di atas petak 6, bagaimana cara Dani sebelumnya. untuk mencapainya (sebutkan minimal 5 cara)? b. Jika Dani ingin berada di atas petak -5, bagaimana cara Dani untuk mencapainya (sebutkan minimal 5 cara)? Isilah titik-titik di bawah ini dengan bilangan bulat dalam operasi penjumlahan dan pengurangan beserta hasilnya, kemudian gambarkan dalam garis bilangannya pada kotak di bawah ini. (Keterangan: Tambah dilakukan dengan melangkah maju. Kurang dilakukan dengan melangkah mundur. Negatif dilakukan dengan berbalik arah). Sebutkan masingmasing minimal 5 operasi
Awalnya
dengan
dibuat bilangan.
sebagian
siswa Revisi pada soal yaitu
bingung dengan cara atau mengenai prosedur dalam sehingga pengarahan Kendala
keterangan
pengerjaannya pengerjaan garis
garis
seperti
bilangannya tambah dilakukan dengan
harus
diberi maju,
kurang
dengan
atau
contoh. mundur, bilangan negatif,
lainnya
adalah posisi berbalik arah. Ini
61
bilangan yang berbeda. a. (...) + (...) = (...)
bagaimana semua siswa bisa diperjelas dan ditekankan mengeksploitasi
dengan contoh agar siswa
penjumlahan b. (...) - (...) = (...)
dan mengerti
pengurangan bilangan bulat bingung positif,
bilangan
dan
tidak
dengan
cara
bulat pengerjaanya. Pada soal
negatif, dan bilangan bulat juga ditambah instruksi nol. Walaupun pada bagian untuk desain
sudah
instruksi
mengoperasikan
terdapat bilangan
agar
siswa berbeda
mengerjakan minimal lima bilangan
bulat jenis
yang seperti
positif
dan
cara, tetapi pada kenyataanya negatif atau negatif dan sebagian
siswa
mengoperasikan
hanya negatif, hal
yang semuanya
seragam saja. Jono mempunyai utang 5 buah kelereng kepada Joni. Joni mempunyai utang 9 buah kelereng kepada Jini. Jika Jono hanya mempunyai 3 buah kelereng untuk membayarnya kepada Joni. Berapa kurangnya utang kelereng Jono sekarang? Jika Joni awalnya hanya mempunyai 2 kelereng. Berapa kurangnya utang Joni kepada Jini sekarang?
sehingga tereksploitasi
oleh siswa.
Tidak terjadi kendala yang Tetap
dipertahankan
berarti, tetapi siswa harus tanpa ada revisi. diberi
pengarahannya
mengenai pengerjaan soal.
langkah
62
Andi mengikuti ujian matematika yang terdiri dari 50 soal. Jika satu jawaban benar diberi nilai 2, jawaban salah diberi nilai -1, dan yang tidak terjawab diberi nilai 0. Andi hanya bisa menjawab 40 soal dengan 6 soal yang dijawab salah. Jika syarat kelulusan nilainya minimal 60. Apakah andi lulus?
Beberapa siswa,
dari ada
jawaban Tetap
yang
dipertahankan
tidak tanpa ada revisi.
mengisi soal nomor enam. Kemungkinan
karena
kurangnya
dalam
waktu
mengerjakannya.
F. Pembahasan Penelitian ini dimulai dengan mencari learning obstacle terkait konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan melakukan uji instrumen ke beberapa jenjang pendidikan dan diperoleh sebagai berikut: Tipe 1: Learning obstacle terkait konteks variasi informasi yang ada pada soal. Tipe 2: Learning Obstacle terkait dengan konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Tipe 3: Learning Obstacle terkait dengan kemampuan siswa dalam menyelesaikan soal-soal penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat yang harus dimodelkan terlebih dahulu. Tipe 4: Learning Obstacle terkait koneksi konsep penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dengan konsep matematis yang lain. Setelah menemukan
beberapa
learning
obstacle
dari konsep
penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat, selanjutnya menyusun desain didaktis awal untuk mengatasi learning obstacle tersebut. Desain didaktis awal ini
63
dibuat berdasarkan learning obstacle yang muncul, karakteristik siswa, dan teoriteori relevan yang mendukung untuk mengembangkan desain didaktis awal ini. Teori-teori tersebut adalah teori belajar bermakna Ausubel, teori Bruner yaitu teorema konstruksi, teorema notasi, teorema kontras-variasi, dan teorema konektivitas dalam membelajarkan siswa, teori Dewey, teori tentang struktur kognitif Piaget, teori APOS, dan teori David Tall. Dalam penyusunan desain ini, disusun pula prediksi jawaban siswa dan rencana penanganan terkait prediksi jawaban siswa yang muncul. Selanjutnya melakukan implementasi desain didaktis awal dalam pembelajaran matematika di kelas. Selama implementasi, jawaban siswa ada yang sesuai dengan prediksi yang telah disusun sebelumnya, ada pula prediksi jawaban yang tidak muncul, dan ada juga jawaban siswa yang diluar prediksi. Dari hasil implementasi di kelas, dibuatlah desain didaktis revisi berdasarkan desain didaktis awal menurut prediksi jawaban siswa yang muncul di kelas. Revisi juga dilakukan terkait prediksi jawaban siswa yang muncul untuk antisipasi pembelajaran. Pada bagian awal pembahasan di kelas mengenai konsep definisi bilangan bulat, ada beberapa siswa yang masih menjawab bilangan positif, bilangan negatif, dan nol. Ini kurang tepat sehingga guru harus memberikan pengarahan yang lebih agar siswa mencapai pemahaman yang diinginkan mengenai definisi bilangan bulat. Seperti bahwa lantai berpetak yang injak atau yang dilalui oleh andi adalah lantai utuh, bukan setengah atau sebagian dari lantai
64
berpetak tersebut. Dari penjelasan ini, pada soal membedakan contoh dan noncontoh, siswa rata-rata sudah bisa membedakannya. Pada
bagian
pembahasan
mengenai
konsep
penjumlahan
dan
pengurangan bilangan bulat, awalnya sebagian siswa bingung dengan cara atau prosedur pengerjaannya dalam garis bilangannya sehingga harus diberi pengarahan atau contoh. Pada situasi didaktis nomor tiga ini tidak terjadi banyak kendala karena siswa bebas menentukan langkah-langkahnya untuk mencapai lantai berpetak yang diinginkan. Pada situasi didaktis nomor empat, kendalanya adalah bagaimana semua siswa bisa mengeksploitasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan bilangan bulat nol. Walaupun pada bagian desain sudah terdapat instruksi agar siswa mengerjakan minimal lima cara, tetapi pada kenyataanya sebagian siswa hanya mengoperasikan hal yang seragam saja. Kendala ini dapat diantisipasi dengan menginstruksikan siswa agar mengoperasikan jenis bilangan bulat yang berbeda atau revisi pada bagian soal dalam desain didaktisnya. Pada bagian akhir, aplikasi bilangan bulat, tidak terjadi kendala yang berarti, tetapi siswa harus diberi pengarahannya mengenai langkah pengerjaan soal. Beberapa dari jawaban siswa, ada yang tidak mengisi situasi didaktis nomor enam. Kemungkinan karena kurangnya waktu dalam mengerjakannya. Antisipasi kendala ini dapat dilakukan oleh guru dengan mengatur waktu pengerjaan tiap soal sehingga waktu dapat diefisienkan untuk pembelajaran di kelas.
