BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

perpustakaan.uns.ac.id

digilib.uns.ac.id

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini dijelaskan metode Adams Bashforth-Moulton multiplikatif (ABMM) orde empat beserta penerapannya. Metode tersebut memuat metode Adams Bashforth multiplikatif orde empat dan metode Adams Moulton multiplikatif orde empat. Selanjutnya metode ABMM orde empat dan metode Adams Bashforth-Moulton (ABM) orde empat digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah nilai awal PDBM orde satu. Nilai permulaan untuk kedua metode tersebut diperoleh dengan metode Runge-Kutta orde empat yang dinyatakan pada persamaan

.

4.1. Metode Adams Bashforth Multiplikatif Orde Empat Metode Adams Bashforth multiplikatif orde empat yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal PDBM orde satu dengan ukuran langkah

di ,

, ,

, dan

, dikonstruksi berdasarkan hasil integrasi multiplikatif fungsi dan

Fungsi

dalam interval

, sehingga

pada persamaan

tidak diketahui, dan fungsi

diasumsikan kontinu pada

bernilai positif serta

.

Karena metode yang dikonstruksi berorde empat, digunakan formula pembagian mundur Newton derajat tiga yang dinyatakan pada persamaan untuk menginterpolasi

,

di empat titik yang terurut dan berjarak sama ,

. Formula tersebut dinotasikan

dan dinyatakan dengan

commit to user 17


untuk

digilib.uns.ac.id

dan

. Berdasarkan persamaan

, eror

yang dihasilkan eksponensial interpolasi pembagian mundur Newton dinotasikan

dan dinyatakan sebagai

dengan persamaan

dan , hubungan antara fungsi

Berdasarkan persamaan

. dan

terhadap

Berdasarkan adalah

, integrasi multiplikatif fungsi pada persamaan

menjadi

Hasil integrasi multiplikatif fungsi

pada ruas kiri persamaan

dengan aturan turunan multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan

Fungsi

pada persamaan


, sehingga

dinyatakan dengan

, fungsi

dinyatakan dengan

commit to user 18

diperoleh dan


Fungsi

digilib.uns.ac.id

dan

pada persamaan

sebagai fungsi dari variabel

dan

yaitu

kemudian dinyatakan

dan

untuk

,

sehingga

Karena dan

dan

bernilai positif untuk

terintegral pada

yang dinyatakan pada persamaan

, serta

, menurut sifat

integrasi multiplikatif

, berlaku

Hasil integrasi fungsi pada persamaan disubstitusikan ke persamaan

dengan terlebih dahulu menyatakan

dan

dengan ruas kanan persamaan

kemudian

pada persamaan

dilakukan

, sehingga

Integrasi multiplikatif terhadap fungsi

dengan

dan

sebagai

adalah fungsi dari variabel . Fungsi

kemudian digunakan pada ruas kanan persamaan

Karena fungsi terintegral pada persamaan

bernilai positif pada

yang bersesuaian

pada persamaan , sehingga

, serta

dan

, menurut sifat 3 integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada , berlaku

commit to user 19


Karena

digilib.uns.ac.id

,

, dan

terintegral pada

dan 2 integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan

Dengan demikian persamaan

, menurut sifat 1 , berlaku

menjadi

Hasil integrasi fungsi pada ruas kanan persamaan

ditentukan satu per satu.

Misal untuk fungsi , hasil integrasi fungsinya adalah

Hasil integrasi fungsi , , dan

pada ruas kanan persamaan

dengan cara yang sama seperti hasil integrasi fungsi sehingga persamaan

menjadi

commit to user 20

diperoleh

pada persamaan

,


digilib.uns.ac.id

Hasil integrasi fungsi pada persamaan persamaan

kemudian disubstitusikan ke

, sehingga


dikonstruksi metode Adams Bashforth

multiplikatif orde empat untuk mendekati penyelesaian eksak masalah nilai awal di

Notasi

,

dan

pendekatan di

yang dinyatakan dengan

pada persamaan dan

berturut-turut adalah nilai penyelesaian . Metode tersebut dapat digunakan dengan

syarat diberikan nilai permulaan

. Orde metode Adams

Bashforth multiplikatif ditentukan menurut derajat formula pembagian mundur eksponensial Newton pada persamaan

.

Menurut Burden dan Faires [7], eror terpotong lokal metode numerik untuk penyelesaian persamaan diferensial adalah eror yang dinyatakan sebagai besaran dimana penyelesaian eksak gagal dipenuhi oleh penyelesaian pendekatannya, pada suatu langkah tertentu. Berdasarkan persamaan

, ditentukan eror

terpotong lokal metode Adams Bashforth multiplikatif orde empat di tersebut dinotasikan


commit to user 21

. Eror


Karena

digilib.uns.ac.id

bernilai positif, Kurpinar dan Gurefe [9] memberikan asumsi pada dalam

dengan

. Hasil integrasi

multiplikatif terhadap fungsi pada ruas kanan persamaan

untuk

adalah

.

4.2. Metode Adams Moulton Multiplikatif Orde Empat Metode Adams Moulton multiplikatif orde empat yang digunakan untuk menyelesaikan PDBM orde satu ukuran langkah

di ,

, ,

dengan

, dan

,

dikonstruksi berdasarkan hasil integrasi multiplikatif fungsi interval

Fungsi

dan

dalam

, sehingga

pada persamaan

diasumsikan kontinu pada

tidak diketahui, dan fungsi

bernilai positif dan

.

Karena metode yang dikonstruksi berorde empat, digunakan formula pembagian mundur Newton derajat tiga untuk menginterpolasi yang terurut dan berjarak sama

,

. Formula tersebut dinotasikan

untuk

di empat titik


dan

. Berdasarkan persamaan

yang dihasilkan dari eksponensial interpolasi pembagian mundur Newton dinotasikan

dan dinyatakan sebagai

commit to user 22

eror


digilib.uns.ac.id

dengan

dan

persamaan

, hubungan antara fungsi


. dan

, persamaan

Hasil integrasi multiplikatif fungsi

Berdasarkan

terhadap fungsi

adalah

menjadi

pada ruas kiri persamaan

diperoleh

dengan cara yang sama seperti hasil integrasi pada persamaan Fungsi

pada persamaan


Fungsi

dan

dinyatakan dengan

, fungsi

dinyatakan dengan

pada persamaan

sebagai fungsi dari variabel

dan

yaitu

kemudian dinyatakan

dan

untuk

,

sehingga

Fungsi untuk Menurut sifat

dan , serta

pada ruas kanan persamaan dan

bernilai positif

terintegral pada

integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan

berlaku

commit to user 23

. ,


Persamaan

digilib.uns.ac.id

kemudian disubstitusikan ke persamaan

Integrasi multiplikatif fungsi


dengan terlebih dahulu menyatakan

dengan

dan

Fungsi

adalah fungsi dari variabel . Bentuk

terintegral pada

,

pada persamaan

bernilai positif pada

, dan

, serta

. Menurut sifat 3 integrasi

multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan

Fungsi

yang bersesuaian

, sehingga

pada persamaan dan

dilakukan

sebagai

dengan ruas kanan persamaan digunakan pada persamaan

, sehingga

, persamaan

terintegral pada

menjadi

, sehingga

menurut sifat 1 dan 2 integrasi multiplikatif yang dinyatakan pada persamaan , berlaku

commit to user 24


digilib.uns.ac.id

Dengan demikian persamaan

menjadi

Hasil integrasi tiap fungsi pada ruas kanan persamaan satu. Misal untuk fungsi

ditentukan satu per

, hasil integrasinya adalah

Hasil integrasi multiplikatif fungsi , , dan


diperoleh dengan cara yang sama seperti hasil integrasi fungsi

pada persamaan

, sehingga

Hasil integrasi multiplikatif fungsi disubstitusikan ke persamaan


pada persamaan

kemudian

, sehingga

dikonstruksi metode Adams Moulton

multiplikatif orde empat untuk mendekati penyelesaian eksak masalah nilai awal di

,

yang dinyatakan dengan

commit to user 25


digilib.uns.ac.id

Metode tersebut dapat digunakan dengan syarat diberikan nilai permulaan . Orde metode Adams Moulton multiplikatif ditentukan menurut derajat formula pembagian mundur eksponensial Newton pada persamaan

.


ditentukan eror terpotong lokal metode

Adams Moulton multiplikatif orde empat di

. Eror tersebut dinotasikan


Karena pada

fungsi bernilai positif, Kurpinar dan Gurefe [9] memberikan asumsi dalam

untuk

dengan

, sehingga

.

4.3. Metode Adams Bashforth-Moulton Multiplikatif Orde Empat Metode ABMM orde empat memuat metode Adams Bashforth multiplikatif orde empat yang dinyatakan pada persamaan

sebagai metode prediktor dan

metode Adams Moulton multiplikatif orde empat yang dinyatakan pada persamaan

sebagai metode korektor. Metode ABMM orde empat yang

digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal dengan nilai permulaan

commit to user 26

di dinyatakan sebagai

,


digilib.uns.ac.id

Metode ABMM orde empat dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem masalah nilai awal PDBM orde satu persamaan

Notasi

dengan menyatakan metode pada

menjadi

dan

dinyatakan sebagai

dengan

dan

.

4.4. Penerapan Metode Adams Bashforth-Moulton Multiplikatif Orde Empat Untuk Penyelesaian PDBM Orde Satu Dalam subbab ini metode ABMM orde empat dan metode ABM orde empat digunakan untuk menyelesaikan empat contoh masalah nilai awal PDBM orde satu. Perhitungan kedua metode tersebut menggunakan algoritma yang ditampilkan

pada

lampiran

dan

diselesaikan

Mathematica 7.

commit to user 27

dengan

bantuan

software


digilib.uns.ac.id

Contoh 4.4.1. Dari Boyce dan DiPrima [6] diberikan suatu contoh PDB orde satu. Suatu tangki berisi air 200 liter, dimasukan larutan garam berkonsentrasi pon/liter dengan laju 360 liter/jam, kemudian teraduk dengan alat pengaduk otomatis hingga merata. Campuran dialirkan ke luar tangki melalui pipa, dengan laju yang sama dengan laju masuknya larutan garam ke dalam tangki. Jumlah garam pada proses tersebut dinotasikan

, sebagai fungsi dari variabel

yang

menunjukkan waktu. Laju perubahan jumlah garam dalam tangki dinyatakan sebagai masalah nilai awal PDB orde satu

Ditentukan penyelesaian masalah nilai awal

di

menggunakan metode ABM orde empat dan metode ABMM orde empat, serta dibandingkan akurasi hasilnya. Untuk itu, masalah nilai awal dinyatakan ke bentuk masalah nilai awal PDBM orde satu

Akurasi hasil penyelesaian kedua metode tersebut dibandingkan berdasarkan eror yang dirumuskan pada persamaan

. Digunakan ukuran langkah

yang

bervariasi, yaitu 0.2, 0.1, 0.05, 0.025, dan 0.0125. Hasil perhitungannya ditampilkan pada Gambar 4.1, Tabel 4.1, dan Tabel 4.2. Kedua tabel tersebut ditampilkan pada lampiran, sementara penyelesaian eksaknya adalah

Berdasarkan Tabel 4.1, Tabel 4.2, dan Gambar 4.1 diketahui bahwa nilai eror yang dihasilkan kedua metode tersebut mengecil dengan diperkecilnya nilai Selain itu, untuk

.

yang sama, eror yang dihasilkan metode ABMM orde empat

lebih kecil dibandingkan eror yang dihasilkan metode ABM orde empat di sebagian besar titik

,

yang bersesuaian dengan nilai

tersebut. Oleh karena itu dengan banyak langkah

yang sama, akurasi hasil

metode ABMM orde empat lebih baik dibandingkan metode ABM orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal

di titik tersebut.

commit to user 28


digilib.uns.ac.id

ABM ABM

ABMM

ABMM

ABM

ABM

ABMM ABMM

ABM

ABMM

Gambar 4.1. Plot Nilai Eror Penyelesaian Masalah Nilai Awal ,

di

Menggunakan Metode ABM Orde Empat dan Metode ABMM

Orde Empat dengan Variasi

Contoh 4.4.2. Dari Burden dan Faires [7], diberikan suatu contoh masalah nilai awal PDB orde satu

commit to user


digilib.uns.ac.id

ABMM

ABMM

ABM

ABM

ABMM ABMM

ABM

ABM

ABMM

ABM

Gambar 4.2. Plot Nilai Eror Penyelesaian Masalah Nilai Awal

di

Menggunakan Metode ABM Orde Empat dan Metode ABMM Orde Empat dengan Variasi

Ditentukan penyelesaian masalah nilai awal

di

menggunakan metode ABM orde empat dan metode ABMM orde empat, serta

commit to user


digilib.uns.ac.id

dibandingkan akurasi hasilnya. Untuk itu, masalah nilai awal

dinyatakan

ke bentuk masalah nilai awal PDBM orde satu

Akurasi hasil kedua metode tersebut dibandingkan berdasarkan eror yang dirumuskan pada persamaan ,

,

. Digunakan nilai

, dan

yang bervariasi, yaitu

,

. Hasil perhitungannya ditampilkan pada

Gambar 4.3, Tabel 4.5, dan Tabel 4.6. Kedua tabel tersebut ditampilkan pada lampiran, sementara penyelesaian eksaknya adalah

Berdasarkan Tabel 4.3, Tabel 4.4, dan Gambar 4.2 diketahui bahwa nilai eror yang diperoleh kedua metode tersebut mendekati nol dengan diperkecilnya Selain itu, untuk

.

yang sama, eror yang dihasilkan metode ABMM orde empat

lebih besar dibandingkan eror yang dihasilkan metode ABM orde empat di sebagian besar titik

,


tersebut. Oleh karena itu dengan banyak langkah yang sama, akurasi hasil metode ABM orde empat lebih baik dibandingkan metode ABMM orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal

di titik tersebut.

Contoh 4.4.3. Dari Chapra dan Canale [8] diberikan suatu contoh masalah nilai awal PDB orde satu. Sejumlah radio-aktif kontaminan termuat dalam reaktor kimia tertutup dan diukur berdasarkan konsentrasinya. Konsentrasi kontaminan tersebut berubah seiring berubahnya waktu, dengan laju yang proporsional terhadap konsentrasinya. Laju perubahan konsentrasi kontaminan tersebut dinyatakan sebagai masalah nilai awal

Notasi

pada persamaan

menunjukkan waktu dalam satuan hari,

menunjukkan konsentrasi kontaminan pada waktu

, dan

menunjukkan

konstanta positif dalam satuan hari. Ditentukan penyelesaian masalah nilai awal

di

menggunakan metode ABM orde empat dan metode ABMM orde

commit to user 31


digilib.uns.ac.id

empat, serta dibandingkan akurasi hasilnya. Untuk itu, masalah nilai awal dinyatakan ke bentuk masalah nilai awal PDBM orde satu

ABM ABM

ABMM

ABMM

ABM ABM

ABMM

ABMM

Gambar 4.3. Plot Nilai Eror Penyelesaian Masalah Nilai Awal

di

Menggunakan Metode ABM Orde Empat dan Metode ABMM Orde Empat dengan Variasi

Akurasi hasil penyelesaian kedua metode tersebut dibandingkan berdasarkan eror yang dirumuskan pada persamaan

. Digunakan

hari, serta

yaitu 0.1, 0.05, 0.025, dan 0.0125. Hasil perhitungannya ditampilkan pada Gambar 4.3, Tabel 4.5, dan Tabel 4.6. Tabel tersebut ditampilkan pada lampiran, sementara penyelesaian eksaknya adalah Berdasarkan Tabel 4.5, Tabel 4.6, dan Gambar 4.3 diketahui bahwa nilai eror yang dihasilkan kedua metode tersebut mengecil dengan diperkecilnya . Selain itu, untuk

yang sama, eror yang dihasilkan metode ABMM orde empat lebih

commit to user


digilib.uns.ac.id

kecil dibandingkan eror yang dihasilkan metode ABM orde empat di sebagian besar titik

,


tersebut. Oleh

karena itu dengan banyak langkah yang sama, akurasi hasil metode ABMM orde empat lebih baik dibandingkan metode ABM orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal

di titik tersebut.

Contoh 4.4.4. Dari Agarwal [1] , diberikan suatu contoh sistem masalah nilai awal PDB orde satu. Agarwal [1] memperkenalkan suatu model matematika yang mendeskripsikan interaksi antara pertumbuhan sel tumor dan virus oncolytic, untuk memodelkan proses terapi tumor menggunakan virus tersebut. Terapi tumor dengan virus oncolytic mempertimbangkan dua jenis sel tumor, yaitu sel tumor yang tidak terinfeksi virus dan sel tumor yang terinfeksi virus. Jumlah populasi dua jenis sel tumor tersebut berturut-turut dinyatakan variabel waktu

dan , sebagai fungsi dari

.

Asumsi dasar model ini adalah virus masuk ke dalam sel tumor, kemudian melakukan replikasi, menginfeksi, dan merusak sel tumor. Sel tumor yang telah terinfeksi, menginfeksi sel tumor yang lain. Berdasarkan asumsi tersebut, model yang diperkenalkan Agarwal [1] adalah

Notasi

, dan

pada sistem persamaan

adalah

parameter model. Agarwal [1] melakukan simulasi numerik untuk menyelesaikan sistem persamaan

menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan

syarat awal

dan

per

commit to user 33

sel, serta dengan menggunakan


digilib.uns.ac.id

parameter yang secara hipotetis sesuai dan memenuhi kondisi kestabilan sistem, yaitu

, dan

.

Tabel 4.7. Pendekatan Jumlah Sel Tumor Terinfeksi Virus Oncolytic Menggunakan Metode ABM Orde Empat dan Metode ABMM Orde Empat dengan Variasi No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

20/531 5/133 20/543 5/136 4/117 10/293 20/593 10/297 2/61 20/611 5/153 20/613 10/307 4/123 1/32 2/65

Pendekatan 300 ABM 7965 83.1612 7980 83.0837 8145 82.1041 8160 82.0019 8775 73.7774 8790 8895 70.2518 8910 69.7276 9150 58.4152 9165 57.5819 9180 56.8831 9195 56.6344 9210 56.6031 9225 56.5992 9600 56.5981 9750 56.5981

di ABMM 55.7614 55.7828 55.9961 56.0137 56.4960

Pendekatan 400 ABM 10620 87.6317 10640 87.6102 10860 87.3385 10880 87.3102 11700 84.9959

ABMM 78.9956 79.0040 79.0876 79.0945 79.2820

56.5424 56.5472 56.5961 56.5974 56.5980 56.5981 56.5981 56.5981 56.5981 56.5981

11860 11880 12200 12220 12240 12260 12280 12300 12800 13000

79.2999 79.3018 79.3206 79.3212 79.3214 79.3214 79.3214 79.3214 79.3214 79.3214

83.9527 83.7936 80.0089 79.6970 79.4310 79.3354 79.3233 79.3218 79.3214 79.3214

di

Dalam penelitian ini digunakan metode ABM orde empat dan metode ABMM orde empat untuk menyelesaikan sistem persamaan

di

, dengan nilai parameter model yang sama seperti pada Agarwal [1]. Hasil penyelesaian menggunakan kedua metode tersebut kemudian dibandingkan. Digunakan nilai

yang bervariasi, untuk mengetahui perbandingan

hasil kedua metode tersebut dalam mendekati penyelesaian sistem persamaan , ketika diberikan nilai eror tertentu. Untuk itu, sistem persamaan dinyatakan ke bentuk sistem masalah nilai awal PDBM orde satu

commit to user 34


digilib.uns.ac.id

Hasil perhitungan metode ABM orde empat dan metode ABMM orde empat ditampilkan pada Tabel 4.7 dan Gambar 4.4. Berdasarkan Tabel 4.7, penyelesaian sistem persamaan pendekatan tertentu ketika

untuk

di

= 300 dan

diperkecil atau

= 400 menuju suatu nilai

diperbesar. Hal serupa tampak pada

Gambar 4.4, dimana penyelesaian pendekatan untuk interval

di beberapa titik dalam

mendekati bentuk kurva tertentu, ketika

diperkecil.

Karena penyelesaian eksak sistem persamaan

tidak diketahui,

digunakan eror yang dirumuskan pada persamaan

untuk membandingkan

hasil perhitungan kedua metode tersebut. Penyelesaian sistem persamaan untuk dari

di

= 300 menuju nilai 56.5981. Dengan diberikan eror yang tidak lebih , banyak langkah yang diperlukan metode ABMM orde empat untuk

mendekati nilai 56.5981 adalah sekitar 8160 langkah, lebih sedikit dibandingkan metode ABM orde empat yang membutuhkan sekitar 9180 langkah. Dengan diberikan eror yang tidak lebih dari

, banyak langkah yang diperlukan

metode ABMM orde empat untuk mendekati nilai 56.5981 adalah sekitar 8790 langkah, lebih sedikit dibandingkan metode ABM orde empat yang membutuhkan sekitar 9180 langkah. Penyelesaian sistem persamaan

untuk

di

79.32141. Dengan diberikan eror yang tidak lebih dari

menuju nilai , banyak langkah

yang diperlukan metode ABMM orde empat untuk mendekati nilai 79.3214 adalah sekitar 10640 langkah, lebih sedikit dibandingkan metode ABM orde empat yang membutuhkan sekitar 12240 langkah. Dengan eror yang tidak lebih dari

, banyak langkah yang diperlukan metode ABMM orde empat untuk

commit to user 35


digilib.uns.ac.id

mendekati nilai 79.3214 adalah sekitar 11880 langkah, lebih sedikit dibandingkan metode ABM orde empat yang membutuhkan sekitar 12260 langkah.

Gambar 4.4. Pendekatan Jumlah Sel Tumor Terinfeksi Virus Oncolytic Terhadap Waktu Menggunakan Metode ABM Orde Empat dan Metode ABMM Orde Empat dengan Variasi

Berdasarkan Gambar 4.4 diketahui bahwa penyelesaian sistem persamaan untuk

di

menggunakan metode ABMM orde

empat dengan

, berbeda dibandingkan nilai penyelesaian

menggunakan metode ABM orde empat dengan

yang sama. Nilai tersebut tidak

jauh berbeda dibandingkan nilai penyelesaian menggunakan metode ABM orde empat dengan

.

Artinya,

menggunakan metode ABMM orde empat dengan pendekatan

nilai

pendekatan , mendekati nilai

di titik yang sama menggunakan metode ABM orde empat dengan .

Berdasarkan Tabel 4.7 dan Gambar 4.4 diketahui bahwa penyelesaian sistem persamaan interval

untuk

di = 300 dan = 400, maupun di beberapa titik dalam

, menggunakan metode ABM orde empat dan metode ABMM

orde empat, menuju nilai tertentu ketika

diperkecil. Dengan diberikan nilai eror

tertentu, metode ABMM orde empat lebih efisien mendekati penyelesaian pendekatannya dibandingkan metode ABM orde empat, karena banyak langkah yang diperlukan lebih sedikit.

commit to user 36


digilib.uns.ac.id

4.5. Perbandingan Hasil Perhitungan Metode ABM Orde Empat dan Metode ABMM Orde Empat pada Contoh PDBM Orde Satu Berdasarkan hasil perhitungan metode ABM orde empat dan metode ABMM orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal pada Contoh 4.4.1, Contoh 4.4.2, Contoh 4.4.3, dan Contoh 4.4.4 disimpulkan beberapa hal berikut. Nilai eror yang diperoleh kedua metode dalam menyelesaikan masalah nilai awal pada Contoh 4.4.1, Contoh 4.4.2, dan Contoh 4.4.3 mendekati nol dengan diperkecilnya . Sementara, penyelesaian pendekatan masalah nilai awal pada Contoh 4.4.4 mendekati nilai tertentu dengan diperkecilnya . Dengan diberikan nilai eror tertentu, metode ABMM orde empat lebih efisien mendekati penyelesaian pendekatan masalah nilai awal pada Contoh 4.4.4 dibandingkan metode ABM orde empat, karena banyak langkah yang diperlukan lebih sedikit. Dengan banyak langkah yang sama, metode ABMM orde empat memberikan akurasi hasil yang lebih baik dibandingkan metode ABM orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal pada Contoh 4.4.1 dan Contoh 4.4.3. Kedua contoh masalah nilai awal tersebut memiliki penyelesaian eksak yang nilainya dipengaruhi oleh bentuk eksponensial dari variabel bebasnya. Namun dengan banyak langkah yang sama, metode ABMM orde empat tidak memberikan akurasi hasil yang lebih baik dibandingkan metode ABM orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal pada Contoh 4.4.2. Masalah nilai awal pada Contoh 4.4.2 memiliki penyelesaian eksak yang nilainya kurang dipengaruhi oleh bentuk eksponensial, tetapi dipengaruhi oleh bentuk polinomial dari variabel bebasnya. Berdasarkan hal tersebut, disimpulkan bahwa akurasi dan efisiensi hasil yang diperoleh metode ABMM orde empat lebih baik dibandingkan metode ABM orde empat dalam menyelesaikan masalah nilai awal PDBM tertentu, seperti pada masalah nilai awal PDBM yang penyelesaiannya berupa fungsi eksponensial.

commit to user 37

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Recommend Documents