BAB III. SOLUSI GRAFIK Salah satu metode pengoptimalan yang dapat digunakan adalah grafik. Fungsi tujuan dan kendala permasalahan digambarkan menggunakan bantuan sumbu absis (horizontal) dan ordinat (vertikal) grafik. Mengingat keterbatasan sumbu koordinat grafik, solusi grafik hanya tepat digunakan untuk dua variabel keputusan. Mengoptimalkan permasalahan dengan jumlah variabel keputusan lebih dari dua akan dihadapkan pada kesulitan penggambaran dan penskalaan. Ini merupakan salah satu kelemahan solusi grafik. Kelemahan lainnya, penskalaan harus dilakukan dengan teliti. Kesalahan penskalaan akan mengakibatkan kesalahan penentuan solusi optimal. Kelebihan solusi grafik di lain pihak adalah kemudahan penggunaannya. Kita hanya perlu menggambarkan garis lurus yang mewakili fungsi pembatas dan fungsi tujuan tanpa disertai perhitungan yang rumit. Meskipun solusi grafik tidak mungkin digunakan dalam dunia nyata (variabel keputusan dan sumber daya yang membatasi dalam kehidupan nyata bisa ratusan atau ribuan), solusi grafik grafik tetap penting untuk dipelajari karena solusi grafik sangat membantu untuk memahami proses optimasi pemrograman linear.
PENGGAMBARAN DAERAH PENYELESAIAN Contoh: Minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2 terhadap:
x1 + x2 = 90 0.001x1 + 0.002x2 ≤ 0.9 0.09x1 + 0.6x2 ≥ 27 0.02x1 + 0.06x2 ≤ 4.5 x1, x2 ≥ 0
Penyelesaian a. Menggambarkan garis kendala Garis fungsi kendala pertama( batasan non negatif) membatasi daerah penyelesaian hanya pada kuadran pertama.
Catatan Riset Operasional, oleh Hotniar Siringoringo 1
Garis fungsi kendala dan daerah penyelesaiannya adalah:
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
1
0
20
40
60
80
100
Garis fungsi kendala ketiga kedua (x1 + x2 = 90) (0.001x1 + 0.002x2 ≤ 0.9) keempat (0.09x1 + 0.6x2 ≥ 27)dan daerah penyelesaiannya adalah:
Catatan Riset Operasional, oleh Hotniar Siringoringo 2
1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0
100
200
300
400
500
Garis fungsi kendala dan daerah penyelesaiannya adalah: 350 300 250 200 150 100 50 0 0
10
20
30
40
50
Garis fungsi kendala kelima (0.02x1 + 0.06x2 ≤ 4.5) dan daerah penyelesaiannya adalah:
Catatan Riset Operasional, oleh Hotniar Siringoringo 3
250 200 150 100 50 0 0
20
40
60
80
100
b. Menggambarkan daerah penyelesaian. X1 Daerah penyelesaian untuk kasus di atas oleh karena itu adalah:
0,0
X2 Catatan Riset Operasional, oleh Hotniar Siringoringo 4
Solusi optimal ditentukan dengan pertama menggambarkan garis tujuan. Garis tujuan digambarkan menggunakan fungsi tujuan. Penggambaran dilakukan dengan metode coba-coba. Tentukan secara sembarang satu bilangan bulat sebagai nilai z, lalu gambarkan garisnya. a. Jika garis yang digambarkan masih memotong daerah penyelesaian pada banyak titik (berada di tengah-tengah daerah penyelesaian), tariklah garis-garis paralel terhadap garis tujuan tersebut. Cara menarik garis paralel: i. Jika tujuan adalah maksimisasi, garis-garis paralel ditarik ke arah atas. ii. Jika tujuan adalah minimisasi, garis-garis paralel ditarik ke arah bawah. Garis optimal adalah garis yang memotong hanya satu atau dua titik dari daerah penyelesaian. b. Jika garis yang digambarkan berada di luar atas daerah penyelesaian, tariklah garis-garis paralel terhadap garis tujuan ke arah bawah: i. Jika fungsi tujuan maksimisasi, maka garis optimal adalah garis pertama yang menyentuh daerah penyelesaian.
Catatan Riset Operasional, oleh Hotniar Siringoringo 5
ii. Jika fungsi tujuan minimisasi, maka garis optimal adalah garis terakhir yang menyentuh daerah penyelesaian. c. Jika garis yang digambarkan berada di luar bawah daerah penyelesaian, tariklah garis-garis paralel terhadap garis tujuan ke arah atas. i. Jika fungsi tujuan minimisasi, maka garis optimal adalah garis pertama yang menyentuh daerah penyelesaian. ii. Jika fungsi tujuan maksimisasi, maka garis optimal adalah garis terakhir yang menyentuh daerah penyelesaian. Solusi optimal kasus di atas adalah:
X1
Catatan Riset Operasional, oleh Hotniar Siringoringo 6
