BAB III PEMBAHASAN

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Pembahasan

Regresi kernel adalah teknik estimasi sesuai dengan data yang dimiliki. Diberikan suatu data, ingin dicari fungsi regresi seperti fungsi yang paling sesuai dengan data yang dimiliki di titiktitik data. Mungkin juga ingin menginterpolasi dan memperkiraan sedikit di luar data tersebut.

Ide regresi kernel adalah menempatkan satu set fungsi tertimbang identik yang disebut kernel lokal untuk setiap titik data pengamatan. Kernel akan menetapkan bobot untuk setiap lokasi berdasarkan jarak dari titik data.

Jika diberikan data sebagai berikut: Table 1. Contoh data 1

2

3

4

5

1

1.2

3.2

4

5.1

23

17

12

27

8

Dari data tersebut ingin didapatkan kurva-fitting fungsi untuk data. Ada banyak cara untuk melakukan kurva regresi dan kernel hanyalah salah satunya. Dalam regresi kernel, apa yang harus dilakukan adalah untuk meletakkan sebuah kernel (semacam fungsi benjolan) untuk setiap titik data X. Grafik berikut menunjukkan Gaussian kernel berada di pusat setiap X.

Universitas Sumatera Utara

Gambar 10. Grafik Gaussian kernel Dengan menempatkan kernel pada data asli Xi, sekarang dapat memperpanjang nilai data asli Xi menjadi nilai yang jauh lebih kecil dari x pada langkah kecil tertentu x. Sebagai contoh, gunakan x = 0,1. Untuk titik data pertama X1 = 1, kita dapat melihat nilai kernel pada setiap langkah x kecil. Rumus Fungsi Kernel Gaussian

(4) Keteranagan: x = jangkauan X = nilai data X Y = nilai data Y

α = konstanta


Penggunaan fungsi kernel Gaussian dikarenakan fungsi ini yang lebih mudah dalam penggunaanya. Sedangkan fungsi spline, epanechnikov dan tri-cube memerlukan syarat dalam pengerjaannya setelah itu perhitungan bisa dilanjutkan.

Dalam contoh ini, notasi titik data pengamatan (X, Y), sedangkan estimasi dan titik domain sampling dinotasikan dengan (x, y). Dalam contoh sederhana ini hanya memiliki 5 titik data tetapi dapat membuat titik sampling sebanyak yang diinginkan dengan menetapkan sampling rate x. Diasumsikan bahwa lebar kernel α = 0,5 , maka kernel dapat dihitung sebagai berikut:

dan seterusnya.

Prosedur yang sama dapat dilakukan untuk semua titik data Xi. Sebagai titik data telah memiliki jangkauan Xi dari 1 sampai 5.1, dapat memperpanjang domain x antara 0 dan 6. Maka nilai estimasi Yj sebesar nilai domain Xj yang diberikan oleh rumus regresi kernel juga disebut Nadaraya-Watson kernel.

n

−1

mˆ h ( x) = n

n

∑K

i =1 n −1

h

∑K i =1

( x − X i )Yi h

(x − X i )

Para nominator dari rumus regresi kernel adalah array jumlah produk kernel dan berat, sedangkan penyebutnya adalah jumlah nilai kernel di domain Xj untuk semua titik data Xi.


Gambar berikut menunjukkan formulasi fungsi excel y diperkirakan menggunakan formula regresi kernel untuk x = 0

Gambar 11. Formulasi fungsi excel y menggunakan formula regresi kernel untuk x = 0. Table 2. Nilai K(x, X1)-K(x, X5). X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

k(x.X1) 0.13534 0.19790 0.27804 0.37531 0.48675 0.60653 0.72615 0.83527 0.92312 0.98020 1.00000 0.98020 0.92312 0.83527 0.72615 0.60653 0.48675 0.37531 0.27804 0.19790 0.13534 0.08892 0.05613 0.03405 0.01984 0.01111 0.00598 0.00309

k(x,X2) 0.0561348 0.0889216 0.1353353 0.1978987 0.2780373 0.3753111 0.4867523 0.6065307 0.7261490 0.8352702 0.9231163 0.9801987 1.0000000 0.9801987 0.9231163 0.8352702 0.7261490 0.6065307 0.4867523 0.3753111 0.2780373 0.1978987 0.1353353 0.0889216 0.0561348 0.0340475 0.0198411 0.0111090

k(x,X3) 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000002 0.0000005 0.0000013 0.0000037 0.0000099 0.0000254 0.0000625 0.0001477 0.0003355 0.0007318 0.0015338 0.0030887 0.0059760 0.0111090 0.0198411 0.0340475 0.0561348 0.0889216 0.1353353 0.1978987 0.2780373 0.3753111 0.4867523 0.6065307

k(x,X4) 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000002 0.0000005 0.0000013 0.0000037 0.0000099 0.0000254 0.0000625 0.0001477 0.0003355 0.0007318 0.0015338 0.0030887 0.0059760 0.0111090 0.0198411 0.0340475

k(x,X5) 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000002 0.0000005 0.0000013 0.0000037 0.0000099

est.y 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000


2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6

0.00153 0.00073 0.00034 0.00015 0.00006 0.00003 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.0059760 0.0030887 0.0015338 0.0007318 0.0003355 0.0001477 0.0000625 0.0000254 0.0000099 0.0000037 0.0000013 0.0000005 0.0000002 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000

0.7261490 0.8352702 0.9231163 0.9801987 1.0000000 0.9801987 0.9231163 0.8352702 0.7261490 0.6065307 0.4867523 0.3753111 0.2780373 0.1978987 0.1353353 0.0889216 0.0561348 0.0340475 0.0198411 0.0111090 0.0059760 0.0030887 0.0015338 0.0007318 0.0003355 0.0001477 0.0000625 0.0000254 0.0000099 0.0000037 0.0000013 0.0000005 0.0000002

0.0561348 0.0889216 0.1353353 0.1978987 0.2780373 0.3753111 0.4867523 0.6065307 0.7261490 0.8352702 0.9231163 0.9801987 1.0000000 0.9801987 0.9231163 0.8352702 0.7261490 0.6065307 0.4867523 0.3753111 0.2780373 0.1978987 0.1353353 0.0889216 0.0561348 0.0340475 0.0198411 0.0111090 0.0059760 0.0030887 0.0015338 0.0007318 0.0003355

0.0000254 0.0000625 0.0001477 0.0003355 0.0007318 0.0015338 0.0030887 0.0059760 0.0111090 0.0198411 0.0340475 0.0561348 0.0889216 0.1353353 0.1978987 0.2780373 0.3753111 0.4867523 0.6065307 0.7261490 0.8352702 0.9231163 0.9801987 1.0000000 0.9801987 0.9231163 0.8352702 0.7261490 0.6065307 0.4867523 0.3753111 0.2780373 0.1978987

1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000

Pada awalnya semua nilai bobot adalah satu, sehingga semua estimasi y juga satu seperti yang diilustrasikan pada tabel diatas. kemudian menghitung kuadrat kesalahan dari estimasi y dibandingkan dengan data asli Yi.


Table 3. Nilai kuadrat kesalahan. X 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

k(x.X1) 0.13534 0.19790 0.27804 0.37531 0.48675 0.60653 0.72615 0.83527 0.92312 0.98020 1.00000 0.98020 0.92312 0.83527 0.72615 0.60653 0.48675 0.37531 0.27804 0.19790 0.13534 0.08892 0.05613 0.03405 0.01984 0.01111 0.00598 0.00309 0.00153 0.00073 0.00034 0.00015 0.00006 0.00003 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

k(x,X2) 0.0561348 0.0889216 0.1353353 0.1978987 0.2780373 0.3753111 0.4867523 0.6065307 0.7261490 0.8352702 0.9231163 0.9801987 1.0000000 0.9801987 0.9231163 0.8352702 0.7261490 0.6065307 0.4867523 0.3753111 0.2780373 0.1978987 0.1353353 0.0889216 0.0561348 0.0340475 0.0198411 0.0111090 0.0059760 0.0030887 0.0015338 0.0007318 0.0003355 0.0001477 0.0000625 0.0000254 0.0000099 0.0000037 0.0000013

k(x,X3) 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000002 0.0000005 0.0000013 0.0000037 0.0000099 0.0000254 0.0000625 0.0001477 0.0003355 0.0007318 0.0015338 0.0030887 0.0059760 0.0111090 0.0198411 0.0340475 0.0561348 0.0889216 0.1353353 0.1978987 0.2780373 0.3753111 0.4867523 0.6065307 0.7261490 0.8352702 0.9231163 0.9801987 1.0000000 0.9801987 0.9231163 0.8352702 0.7261490 0.6065307 0.4867523

k(x,X4) 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000002 0.0000005 0.0000013 0.0000037 0.0000099 0.0000254 0.0000625 0.0001477 0.0003355 0.0007318 0.0015338 0.0030887 0.0059760 0.0111090 0.0198411 0.0340475 0.0561348 0.0889216 0.1353353 0.1978987 0.2780373 0.3753111 0.4867523 0.6065307 0.7261490 0.8352702 0.9231163

k(x,X5) 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000002 0.0000005 0.0000013 0.0000037 0.0000099 0.0000254 0.0000625 0.0001477 0.0003355 0.0007318 0.0015338 0.0030887 0.0059760 0.0111090 0.0198411 0.0340475

est.y 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000

Y

sq.error

23

484

17

256

12

121


3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.0000005 0.0000002 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000

0.3753111 0.2780373 0.1978987 0.1353353 0.0889216 0.0561348 0.0340475 0.0198411 0.0111090 0.0059760 0.0030887 0.0015338 0.0007318 0.0003355 0.0001477 0.0000625 0.0000254 0.0000099 0.0000037 0.0000013 0.0000005 0.0000002

0.9801987 1.0000000 0.9801987 0.9231163 0.8352702 0.7261490 0.6065307 0.4867523 0.3753111 0.2780373 0.1978987 0.1353353 0.0889216 0.0561348 0.0340475 0.0198411 0.0111090 0.0059760 0.0030887 0.0015338 0.0007318 0.0003355

0.0561348 0.0889216 0.1353353 0.1978987 0.2780373 0.3753111 0.4867523 0.6065307 0.7261490 0.8352702 0.9231163 0.9801987 1.0000000 0.9801987 0.9231163 0.8352702 0.7261490 0.6065307 0.4867523 0.3753111 0.2780373 0.1978987

1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000

27

676

8

49

1586

Dalam perhitungan diatas jumlah SSE = 1586. Sekarang siap untuk solusi. Untuk menemukan solusi akan digunakan MS Excel Solver. Periksa menu Tools. Jika tidak ada menu pemecah, berarti perlu menginstal Solver tersebut. Untuk menginstal Solver, pilih menu Tools-Add-Ins ... dan memeriksa Solver Add-in dan klik tombol OK. Ditunjukkan pada gambar berikut.


Gambar 12. Tahap petama penggunaan MS Excel Solver.

Jika Solver sudah tersedia, klik menu Tools-bahwa Solver ... dan akan muncul dialog parameter pemecah sebagai berikut.

Gambar 13. Tahapan kedua penggunaan MS Excel Solver.


Ingin mencari bobot untuk setiap kernel yang meminimalkan jumlah kesalahan kuadrat. Mengatur sel target dari jumlah square error (SSE) sama dengan Min dengan mengubah sel-sel array. Lalu klik tombol Memecahkan dan klik tombol OK.

Gambar 14. Tahapan ketiga penggunaan MS Excel Solver. Ketika mendapatkan array bobot baru sebagai solusi, secara otomatis mengatasi regresi dengan menghitung nilai-nilai y. Berikut diperlihatkan pada tabel menunjukkan bahwa jumlah kesalahan nol (

).

Tabel 4. Hasil perhitungan dengan menggunakan MS Excel Solver X 1 1.2 Y 23 17 Weight 95.0204691 -55.01797 X k(x.X1) k(x,X2) 0 0.13534 0.0561348 0.1 0.19790 0.0889216 0.2 0.27804 0.1353353 0.3 0.37531 0.1978987 0.4 0.48675 0.2780373 0.5 0.60653 0.3753111 0.6 0.72615 0.4867523 0.7 0.83527 0.6065307 0.8 0.92312 0.7261490 0.9 0.98020 0.8352702 1 1.00000 0.9231163 1.1 0.98020 0.9801987 1.2 0.92312 1.0000000 1.3 0.83527 0.9801987

3.2 4 5.1 12 27 8 5.674117 34.8308959 5.61585368 k(x,X3) k(x,X4) k(x,X5) est.y 0.0000000 0.0000000 0.0000000 51.0325324 0.0000000 0.0000000 0.0000000 48.5047234 0.0000000 0.0000000 0.0000000 45.8989354 0.0000000 0.0000000 0.0000000 43.2202139 0.0000002 0.0000000 0.0000000 40.4743685 0.0000005 0.0000000 0.0000000 37.6679416 0.0000013 0.0000000 0.0000000 34.8081596 0.0000037 0.0000000 0.0000000 31.9028686 0.0000099 0.0000000 0.0000000 28.9604520 0.0000254 0.0000000 0.0000000 25.9897320 0.0000625 0.0000000 0.0000000 22.9998556 0.0001477 0.0000000 0.0000000 20.0001701 0.0003355 0.0000002 0.0000000 17.0001058 0.0007318 0.0000005 0.0000000 14.0091280

Y

sq.error

23

2.08E-08

17

1.12E-08


1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4

0.72615 0.60653 0.48675 0.37531 0.27804 0.19790 0.13534 0.08892 0.05613 0.03405 0.01984 0.01111 0.00598 0.00309 0.00153 0.00073 0.00034 0.00015 0.00006 0.00003 0.00001 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.9231163 0.8352702 0.7261490 0.6065307 0.4867523 0.3753111 0.2780373 0.1978987 0.1353353 0.0889216 0.0561348 0.0340475 0.0198411 0.0111090 0.0059760 0.0030887 0.0015338 0.0007318 0.0003355 0.0001477 0.0000625 0.0000254 0.0000099 0.0000037 0.0000013 0.0000005 0.0000002 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000

0.0015338 0.0030887 0.0059760 0.0111090 0.0198411 0.0340475 0.0561348 0.0889216 0.1353353 0.1978987 0.2780373 0.3753111 0.4867523 0.6065307 0.7261490 0.8352702 0.9231163 0.9801987 1.0000000 0.9801987 0.9231163 0.8352702 0.7261490 0.6065307 0.4867523 0.3753111 0.2780373 0.1978987 0.1353353 0.0889216 0.0561348 0.0340475 0.0198411 0.0111090 0.0059760 0.0030887 0.0015338 0.0007318 0.0003355 0.0001477 0.0000625

0.0000013 0.0000037 0.0000099 0.0000254 0.0000625 0.0001477 0.0003355 0.0007318 0.0015338 0.0030887 0.0059760 0.0111090 0.0198411 0.0340475 0.0561348 0.0889216 0.1353353 0.1978987 0.2780373 0.3753111 0.4867523 0.6065307 0.7261490 0.8352702 0.9231163 0.9801987 1.0000000 0.9801987 0.9231163 0.8352702 0.7261490 0.6065307 0.4867523 0.3753111 0.2780373 0.1978987 0.1353353 0.0889216 0.0561348 0.0340475 0.0198411

0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000002 0.0000005 0.0000013 0.0000037 0.0000099 0.0000254 0.0000625 0.0001477 0.0003355 0.0007318 0.0015338 0.0030887 0.0059760 0.0111090 0.0198411 0.0340475 0.0561348 0.0889216 0.1353353 0.1978987 0.2780373 0.3753111 0.4867523 0.6065307 0.7261490 0.8352702 0.9231163 0.9801987 1.0000000 0.9801987 0.9231163 0.8352702

11.0369386 8.0944465 5.1969007 2.3727356 -0.3136616 -2.7100406 -4.4849598 -5.0695961 -3.9306566 -1.3168362 1.6185422 3.9363998 5.5017710 6.5819724 7.4606660 8.3361733 9.3355307 10.5403893 11.9999955 13.7318405 15.7156892 17.8877159 20.1409556 22.3350907 24.3130259 25.9172663 26.9999856 27.4274570 27.0881821 25.9178364 23.9450164 21.3360037 18.3921873 15.4717597 12.8733710 10.7593280 9.1554020 7.9999984 7.1978429 6.6549161 6.2936832

12

2.04E-11

27

2.06E-10

8

2.57E-12


5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6

0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000

0.0000254 0.0000099 0.0000037 0.0000013 0.0000005 0.0000002

0.0111090 0.0059760 0.0030887 0.0015338 0.0007318 0.0003355

0.7261490 0.6065307 0.4867523 0.3753111 0.2780373 0.1978987

6.0560525 5.9008914 5.8000696 5.7347627 5.6925467 5.6652930 3.23E-08

Gambar 15. Kurva dengan nilai x, y dan estimasi y diketahui


BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari hasil pembahasan sebelumnya dapat disimpulkan bahwa: 1. Untuk mengestimasi fungsi regresi yang sulit diprediksi bentuknya dapat digunakan metode kernel. Permasalahan utama pada kernel bukan pada pemilihan kernel tetapi pada pemilihan bandwith. 2. Dari hasil pembahasan yang dapat dilakukan hanyalah memprediksi dengan kata lain hasil perhitungan hanya berupa harapan. 3. Dalam perhitungan bobot menggunakan alat bantu yang berupa solver yang tersedia di dalam Microsoft Excel. 4. Dari hasil perhitungan didapat nilai SSE = 1586. Sedangkan untuk bobotnya adalah 95.0204691, -55.01797, 5.674117, 34.8308959 dan 5.61585368. Dengan didapatnya nilai bobot maka nilai SSE pun berubah yaitu 3.23E-08.

4.2 Saran

Metode kernel adalah metode yang membutuhkan ketelitian dalam pengerjaannya sehingga diperoleh kemudahan dan dapat mendalami serta memahami dalam menganalisnya.


BAB III PEMBAHASAN

Recommend Documents