BAB III MODUL INJEKTIF

BAB III MODUL INJEKTIF

BAB III MODUL INJEKTIF Bab ini adalah bab yang paling penting karena bab ini berisi mulai dari hal-hal dasar mengenai modul injektif sampai sifat-sifat istimewanya yang tidak dimiliki oleh modul lain yang tidak injektif, yang merupakan fokus pembahasan tugas akhir ini.

3.1.

Modul Injektif

Dalam subbab ini dibahas definisi dan sifat-sifat dasar dari modul injektif. Selain itu, dibahas pula Kriteria Baer yang menyederhanakan kriteria suatu modul merupakan modul injektif.

Definisi 3.1. Suatu modul E dikatakan injektif jika untuk sebarang modul A ⊂ B dan untuk sebarang homomorfisma µ : A → E , terdapat perluasan

µ : B → E yang memenuhi µ | A = µ .

A

⊂

B µ

µ

E

11


Beberapa contoh modul injektif antara lain modul {0} , modul _ atas ] , dan modul _ / ] atas ] . Modul {0} injektif karena untuk sebarang modul A ⊂ B dan sebarang homomorfisma µ : A → {0} , dimana µ ( a ) = 0 , untuk setiap

a ∈ A ⊂ B , dapat diperluas menjadi µ : B → {0} , dimana µ memetakan seluruh anggota B ke 0. Dengan demikian, untuk setiap a ∈ A ⊂ B , µ a = 0 = µ a , sehingga µ⏐A = µ . Sedangkan untuk _ modul atas ] dan modul _ / ] atas ] , keinjektifannya dapat ditunjukkan menggunakan divisibility yang akan dibahas pada subbab selanjutnya. Lemma 3.2. Untuk setiap M i modul atas R , i ∈ I ,

∏M i∈I

Bukti ( ⇒ ) .

i

injektif ⇔ untuk setiap k ∈ I , M k injektif.

Misalkan A ⊂ B , maka terdapat pemetaan α : A → B . Ambil

sebarang homomorfisma β : A → M k . Karena terdapat pemetaan jk : M k → ∏ M i yang merupakan embedding dan π k : ∏ M i → M k yang merupakan proyeksi yang saling invers, maka terdapat jk β : A → ∏ M i . Karena ∏ M i injektif, maka terdapat γ : B → ∏ M i yang merupakan perluasan dari jk β di B yang memenuhi

γα = jk β , maka didapat pemetaan π k γ : B → M k . Akan ditunjukkan π k γα = β . π k γα =

π k ( γα )

=

π k ( jk β )

=

(π k jk ) β

=

1β

=

β

(asosiatif)

12


α

A

⊂

B

γ

β

jk

Mk

πk

∏M

i

Karena π k γα = β , kita dapat memilih π k γ : B → M k yang merupakan perluasan dari β di B yang memenuhi π k γ | A = β .Dengan demikian, M k injektif, untuk setiap k ∈ I . Bukti ( ⇐) . sebarang

Misalkan A ⊂ B , maka terdapat pemetaan α : A → B . Ambil homomorfisma

jk : M k → ∏ M i

β : A → ∏ Mi .

Karena

yang merupakan embedding dan

terdapat

pemetaan

πk : ∏ Mi → Mk

yang

merupakan proyeksi yang saling invers, maka terdapat π k β : A → M k . Karena M k injektif, maka terdapat pemetaan γ : B → M k yang merupakan perluasan dari

π k β di B yang memenuhi γα = π k β , maka didapat pemetaan jk γ : B → ∏ M i . Akan ditunjukkan jk γα = β . jk γα

=

jk ( γα )

=

jk (π k β )

=

( jkπ k ) β

=

1β

=

β

(asosiatif)

Karena jk γα = β , kita dapat memilih jk γ : B → ∏ M i yang merupakan perluasan dari β di B yang memenuhi jk γ | A = β . Dengan demikian

∏M i∈I

i

injektif.

13


α

A

⊂

γ

B

β

Mk

jk

∏M

i

πk

Akibat 3.3.

Suku langsung dari modul injektif juga injektif.

Bukti. Misalkan ⊕ M i injektif. Misalkan pula A ⊂ B , maka terdapat pemetaan

α : A → B . Ambil sebarang homomorfisma β : A → M k . Terdapat pemetaan jk : M k → ⊕ M i

yang merupakan embedding dan

πk : ∏ Mi → Mk

yang

merupakan proyeksi. Karena ⊕ M i ⊆ ∏ M i , maka π k : ⊕ M k → M k , juga jk β : A → ⊕ M i . Karena ⊕ M i injektif, maka terdapat pemetaan γ : B → ⊕ M i yang merupakan perluasan dari jk β di B yang memenuhi γα = jk β , sehingga didapat pemetaan π k γ : B → M k . Akan ditunjukkan π k γα = β .

π k γα =

π k ( γα )

=

π k ( jk β )

=

(π k jk ) β

=

1β

=

β

(asosiatif)

Karena π k γα = β , kita dapat memilih π k γ : B → M k yang merupakan perluasan dari β di B yang memenuhi π k γ | A = β . Dengan demikian M k injektif. α

A

⊂

γ

β

Mk

B

jk

⊕M i

πk

14


N ⊂ M dan

Proposisi 3.4. Misalkan

E

sebarang modul. Misalkan juga

f : N → E sebarang homomorfisma, maka terdapat perluasan maksimal dari f

di M . Bukti. Misalkan perluasan dari f di M adalah pasangan terurut (V , g ) dengan N ⊆ V ⊆ M dan g : V → E yang memenuhi g⎮N = f . Misalkan S = {(V , g )} adalah himpunan semua perluasan dari f di M yang terurut parsial dengan urutan

(V1 , g1 ) ≤ (V2 , g2 )

jika V1 ⊆ V2 dan g 2⎮V1 = g1 . Dengan menggunakan

Lemma Zorn (2.5), akan ditunjukkan bahwa S memiliki elemen maksimal. 1.

S ≠ ∅ karena N ⊆ N ⊆ M dan f ⎮N = f , sehingga ( N , f ) ∈ S .

2.

Ambil sebarang L = {(V , g )} ⊆ S yang terurut total. Kemudian bentuk

{

}

maka V ⊆ W , untuk setiap (V , g v ) ∈ L . Ambil

W = ∪ V⎮(V , g v ) ∈ L ⊆ M ,

sebarang x ∈W , maka terdapat Definisikan

h :W → E

dengan

(V , gv ) ∈ L

x ∈V .

sedemikian sehingga

h ( x ) = gv ( x ) . Berdasarkan pendefinisian

tersebut, terlihat bahwa h merupakan perluasan dari g v , karena h⎮V = g v . Akan tetapi, h belum tentu terdefinisi dengan baik. Oleh karena itu, selanjutnya akan ditunjukkan

bahwa

(V , gv ) , ( P, gv ) ∈ L

h

terdefinisi

dengan

baik.

sedemikian sehingga x ∈ V ⊆ W

Misalkan

terdapat

dan x ∈ P ⊆ W , juga

h ( x ) = gv ( x ) dan h ( x ) = g p ( x ) . Karena (V , gv ) , ( P, gv ) ∈ L yang merupakan himpunan terurut total, maka terdapat dua kasus, yaitu (V , g v ) ≤ ( P, g p ) dan

( P, g ) ≤ (V , g ) . p

•

v

Jika

(V , g v ) ≤ ( P, g p ) ,

maka

x ∈V ⊆ P

dan

g p⎮V = gv ,

maka

maka

x∈P ⊆V

dan

g v⎮P = g p ,

maka

g p ( x ) = gv ( x ) . •

Jika

( P, g ) ≤ (V , g ) , p

v

gv ( x ) = g p ( x ) .

15


Dari kedua kasus tersebut didapat g p ( x ) = g v ( x ) . Dengan demikian, h : W → E dengan h ( x ) = gv ( x ) terdefinisi dengan baik, dan (W , h ) merupakan batas atas dari L . 3.

Karena N ⊆ V ⊆ M dan V ⊆ W ⊆ M , maka N ⊆ W ⊆ M . Selain itu,

untuk x ∈ N , h ( x ) = f ( x ) , maka h⎮N = f , maka (W , h ) ∈ S . Berdasarkan Lemma Zorn (2.5), 1, 2, dan 3, maka S memiliki elemen maksimal, maka f memiliki perluasan maksimal di M .

Klaim 3.5.

Misalkan M modul kanan atas R . Ambil sebarang x ∈ M ,

kemudian definisikan Lx : R → M , Lx : r 6 xr , untuk setiap r ∈ R . Untuk sebarang

submodul

V <M ,

{

}

Lx −1V = x −1V = r ∈ R⏐xr ∈ V ⊆ R

merupakan

prapeta dari V , maka 1.

x −1V ideal kanan R dan

2.

x ∈ V ⇒ x −1V = R .

Bukti (1).

Karena V subgrup M , maka 0 M ∈ V . Pilih r = 0 R ∈ R , maka

Lx ( r ) = Lx ( 0R ) = x0 R = 0M ∈ V dan 0 R ∈ x −1V dan x −1V ≠ ∅ . Ambil sebarang a, b ∈ x −1V ⊆ R , maka xa, xb ∈ V . Karena xb + x ( −b ) = x ( b − b ) = x0 = 0 , maka x ( −b )

adalah invers dari

xb . Karena invers bersifat tunggal, maka

x( −b) = − xb ∈V . Perhatikan bahwa x( a − b) = xa + x ( −b) . Karena xa, x (−b) ∈ V

dan V grup, maka x( a − b) = xa + x ( −b) ∈V , sehingga a − b ∈ x −1V . Dengan demikian,

(x

V , +)

−1

subgrup

dari

( R, + ) .

Kemudian,

ambil

sebarang

a ∈ x −1V ⊆ R dan r ∈ R , maka Lx ( ar ) = x ( ar ) = ( xa ) r . Karena xa ∈V dan V modul kanan atas R , maka x ( ar ) = ( xa ) r ∈V , sehingga ar ∈ x −1V , untuk setiap

a ∈ x −1V ⊆ R dan r ∈ R . Dengan demikian, x −1V ideal kanan dari R .

16


Bukti (2).

{

}

Berdasarkan definisi x −1V = r ∈ R⏐xr ∈ V , jelas x −1 ⊆ R . Ambil

sebarang x ∈V dan r ∈ R , maka Lx ( r ) = xr . Karena V modul kanan atas R , maka xr ∈V , maka r ∈ x −1V , untuk setiap r ∈ R , maka x −1V = R .

Berikut ini definisi lain dari modul injektif.

Kriteria Baer. Misalkan E modul kanan atas R , maka pernyataan berikut ekivalen 1.

E injektif,

2.

untuk setiap ideal kanan B ⊂ R dan sebarang homomorfisma ϕ : B → E , terdapat ϕ : RR → E yang memenuhi ϕ⏐B = ϕ , dan

3.

untuk setiap ideal kanan B ⊂ R dan sebarang homomorfisma ϕ : B → E , terdapat y ∈ E , sedemikian sehingga ϕ b = yb , untuk setiap b ∈ B .

Bukti (1 ⇒ 2 ) . Jelas berdasarkan definisi modul injektif, yaitu suatu modul E injektif jika untuk setiap modul A ⊂ B dan sebarang homomorfisma µ : A → E , terdapat perluasan µ : B → E yang memenuhi µ⏐A = µ . Karena hal tersebut berlaku untuk sebarang A ⊂ B dan sebarang homomorfisma µ : A → E , maka berlaku juga untuk setiap ideal kanan B ⊂ R dan homomorfisma ϕ : B → E . Dengan demikian terdapat ϕ : RR → E yang memenuhi ϕ⏐B = ϕ .

( 2 ⇒ 3) .

Pilih y = ϕ 1 ∈ E dengan 1 = 1R . Ambil sebarang b ∈ B ⊂ R , maka

ϕb = ϕ b = ϕ (1b ) = (ϕ 1) b = yb .

( 3 ⇒ 1) . Misalkan submodul

N < M dan f : N → E . Ingin didapat g : M → E

yang memenuhi g⏐N = f . Misalkan g : V → E , dengan N ⊆ V ⊆ M

dan

g⏐N = f perluasan maksimal dari f .

17


•

Jika V = M , maka terdapat g : M → E yang memenuhi g⏐N = f , maka

E injektif. Bukti selesai.

•

Andaikan

V ≠M,

{

ambil

x ∈ M \V = V c

sebarang

dan

}

B = x −1V = b ∈ R⏐xb ∈ V . Kemudian, definisikan ϕb = g ( xb ) , untuk setiap

b ∈ B dengan ϕ : B → E , g : V → E , dan Lx : B → V , maka ϕ = gLx dengan gLx : B → E .

Coba

perluas

g

menjadi

g : V + xR → E .

Definisikan

g ( v + xr ) = gv + xr . Fungsi g terdefinisi dengan baik jika v + xr = v '+ xr ' , untuk setiap v, v ' ∈ V dan r , r ' ∈ R mengakibatkan g ( v + xr ) = g ( v '+ xr ') . Misalkan

v + xr = v '+ xr ' , untuk setiap v, v ' ∈ V dan r , r ' ∈ R , maka

⇔

v + xr

=

v '+ xr '

v − v'

=

xr '− ( xr )

=

xr '+ x ( −r )

=

x ( r '− r ) .

Karena v, v ' ∈ V , maka v − v ' ∈V , maka x ( r '− r ) ∈V , maka r '− r ∈ B .

⇔

maka

g ( v − v ')

=

g ( x ( r '− r ) )

gv − gv '

=

ϕ ( r '− r )

=

y ( r '− r )

=

yr '− yr

⇔

gv + yr

=

gv '+ yr '

⇔

g ( v + xr )

=

g ( v '+ xr ') ,

g ( v + xr ) = gv + yr

v ∈V ⊂ V + xR , maka

terdefinisi

dengan

baik.

Ambil

sebarang

= g ( v + x0 ) = gv + y 0 = gv + 0 = gv , untuk setiap gv

v ∈V ⊂ V + xR , maka g⎮V = g . Dengan demikian, terdapat perluasan g di M . Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa g perluasan maksimal dari f di

18


M , maka pengandaian V ≠ M salah. Jadi, haruslah V = M , dan kita dapatkan

bahwa E injektif.

Contoh 3.6.

Berikut ini adalah beberapa contoh modul injektif

1.

modul {0} atas gelanggang R ,

2.

modul _ atas ] , dan

3.

modul _ / ] atas ] .

{0}

Modul

injektif karena untuk sebarang

A< B

dan homomorfisma

ϕ : A → {0} , setiap a ∈ A dipetakan ke 0 oleh ϕ . Ambil suatu homomorfisma ϕ : B → {0} , maka setiap b ∈ B dipetakan oleh ϕ ke 0, termasuk setiap a ∈ A ⊂ B , maka ϕ a = ϕ a , maka ϕ⏐A = ϕ .

Contoh kedua akan dibuktikan dengan menggunakan sifat divisibility yang akan dibahas pada Subbab 3.2. Begitu juga dengan contoh ketiga, contoh ketiga injektif diakibatkan oleh contoh kedua.

3.2.

Divisibility

Subbab ini penting untuk dibahas karena sangat berkaitan erat dengan sifat-sifat modul injektif. Dalam subbab ini akan dibahas sebuah teorema yang sangat penting dan berhubungan dengan subbab selanjutnya, yaitu 3.3 Injective Hulls.

Definisi 3.7. Suatu modul M atas R dikatakan generalized divisible jika untuk setiap

( v, a ) ∈ M × R

sedemikian sehingga a ⊥ ⊆ v ⊥ , terdapat x ∈ M

yang

memenuhi v = xa . Syarat a ⊥ ⊆ v ⊥ merupakan syarat perlu karena jika a ⊥ ⊄ v ⊥ , maka terdapat a ' ∈ a⊥ ,

tetapi

a ' ∉ v⊥ .

Ambil

sebarang

x∈M ,

maka

19


( xa ) a ' = x ( aa ') = x0 = 0 ≠ va ' ,

maka v ≠ xa untuk setiap x ∈ M . Untuk v = 0

dan a = 0 , syarat a ⊥ ⊆ v ⊥ terpenuhi karena a ⊥ = R dan v ⊥ = R , sehingga

a⊥ ⊆ v⊥ .

Definisi 3.8. Misalkan M

suatu modul atas daerah integral

R , maka

M divisible jika untuk setiap ( v, a ) ∈ M × R \ {0} terdapat x ∈ M yang memenuhi

v = xa . Proposisi 3.9. Pada Definisi 3.8, syarat a ⊥ ⊆ v ⊥ tidak perlu karena secara otomatis terpenuhi. Bukti. Karena R daerah integral, maka a ⊥ = {0} , untuk setiap a ∈ R . Jelas bahwa {0} ⊆ v ⊥ , maka a ⊥ ⊆ v ⊥ terpenuhi.

Konsekuensi 3.10. Misalkan M modul atas daerah integral R , maka pernyataanpernyataan berikut berlaku 1.

M divisible ⇔ M generalized divisible,

2.

M divisible ⇒ M / N divisible, dengan N merupakan subgrup normal

dari M , dan 3.

Jika v ∈ M divisible oleh a ∈ R \ {0} , maka v divisible oleh a secara

tunggal, yaitu jika v = xa dan v = ya , maka x = y .

Bukti (1)

( ⇒) .

( v, a ) ∈ M × R

Karena M

divisible, maka jelas bahwa untuk setiap

dengan a ⊥ ⊆ v ⊥ , v = xa .

Bukti (1) ( ⇐) . Karena R daerah integral, maka untuk setiap ( v, a ) ∈ M × R , berlaku

a ⊥ ⊆ v ⊥ , sehingga karena M generalized divisible, maka terdapat

x ∈ M yang memenuhi v = xa . Dengan demikian, M divisible.

20


Bukti (2).

Misalkan submodul N < M , maka N + v ∈ M / N , untuk setiap

v ∈ M . Ambil sebarang N + v ∈ M / N dan a ∈ R . Karena M divisible, maka terdapat

x∈M

sedemikian

sehingga

v = xa .

Sekarang

N + v = N + xa = ( N + x ) a . Akibatnya M / N divisible.

Bukti (3).

Misalkan v = xa dan v = ya untuk suatu x, y ∈ M , maka

xa

=

ya

⇔

xa − ya

=

ya − ya

⇔

( x − y) a

=

0.

Karena ( x − y ) ∈ a ⊥ = {0} , maka x = y . Jika v divisible oleh a = 0 , maka v = x0 = 0 . Karena v = 0 dan a = 0 , maka

v = xa untuk setiap x ∈ M , maka v divisible oleh a secara tidak tunggal.

Observasi 3.11. Misalkan M modul atas gelanggang ideal utama R , maka M injektif ⇔ M generalized divisible.

Bukti ( ⇒ ) .

Ambil sebarang a ∈ R dan v ∈ M . Bentuk ideal kanan aR ⊆ R .

Definisikan ϕ : aR → M , dengan ϕ a = v . Ambil sebarang

r ∈ R , maka

ϕ ( ar ) = (ϕ a ) r = vr . Akan ditunjukkan ϕ terdefinisi dengan baik. Misalkan ar = ar1 , untuk suatu r , r1 ∈ R , maka

ar

=

ar1

⇔

ar − ar1

=

ar1 − ar1

⇔

ar + a ( −r1 )

=

0

⇔

a ( r − r1 )

=

0.

Karena a ( r − r1 ) = 0 , maka r − r1 ∈ a ⊥ ⊆ v ⊥ . Kondisi a ⊥ ⊆ v ⊥ dijamin ada karena R daerah integral. Karena r − r1 ∈ v ⊥ , maka

21


v ( r − r1 )

=

0

⇔

vr + v ( −r1 )

=

0

⇔

vr − vr1

=

0

⇔

vr − vr1 + vr1

=

0 + vr1

⇔

vr + 0

=

vr1

⇔

vr

=

vr1

⇔

ϕ ( ar )

=

ϕ ( ar1 ) .

Karena ϕ ( ar ) = ϕ ( ar1 ) , maka ϕ terdefinisi dengan baik. Karena M injektif, maka terdapat ϕ : R → M sedemikian sehingga ϕ ( ar ) = ϕ ( ar ) , untuk setiap ar ∈ aR ⊆ R .

x = ϕ1∈ M

Pilih

dengan

1 = 1R ,

maka

v = ϕ a = ϕ a = ϕ (1a ) = (ϕ 1) a = xa , maka M generalized divisible. Bukti ( ⇐) .

Ambil sebarang I ideal kanan di R , maka I = aR , untuk suatu

a ∈ R . Misalkan ϕ : aR → M , dengan ϕ a = v , untuk suatu v ∈ M . Ambil sebarang

r ∈ a⊥ ,

maka

ar = 0 .

Karena

ϕ

homomorfisma,

maka

vr = (ϕ a ) r = ϕ ( ar ) = ϕ 0 = 0 , maka r ∈ v ⊥ , sehingga a ⊥ ⊆ v ⊥ . Karena M generalized divisible, maka terdapat x ∈ M

sedemikian sehingga v = xa .

Definisikan ϕ = Lx : R → M , dengan ϕ r = xr , untuk setiap r ∈ R . Ambil sebarang

ar ∈ aR ⊆ R ,

maka

ϕ ( ar ) = x ( ar ) = ( xa ) r = vr = ϕ ( ar ) ,

maka

ϕ⎮aR = ϕ , dengan demikian M injektif.

Konsekuensi 3.12. Misalkan M modul atas daerah ideal utama D , maka M injektif ⇔ M divisible.

22


Bukti ( ⇒ ) .

Karena M injektif dan R gelanggang ideal utama, maka M

generalized divisible. Karena M generalized divisible dan R daerah integral, maka M divisible. Bukti ( ⇐) .

Karena M divisible dan R daerah integral, maka M generalized

divisible. Karena M generalized divisible dan R gelanggang ideal utama, maka M injektif.

Kita akan gunakan Konsekuensi 3.12 ini untuk menunjukkan keinjektifan dari Contoh 3.6.1.

modul _ atas ] dan Contoh 3.6.2. modul _ / ] atas ] .

Gelanggang ] merupakan daerah integral, yaitu untuk setiap a, b ∈ R dengan

a ≠ 0 dan b ≠ 0 , maka ab ≠ 0 . Selain itu, gelanggang ] juga merupakan gelanggang ideal utama, karena semua idealnya hanya dibangun oleh satu elemen, dengan demikian ] merupakan daerah ideal utama. Semua ideal dari ] berupa

n] , untuk suatu n ∈ ] . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa _ divisible. Ambil sebarang v =

m ∈ _ dengan m, n ∈ ] , dengan n ≠ 0 dan a ∈ ] . Karena ] n

gelanggang, maka na ∈ ] . Pilih x = Karena terdapat x =

m m ma m m ∈ _ , maka v = = 1 = = a. n n n a na na

m ∈ _ yang memenuhi v = xa , maka _ divisible. na

Berdasarkan 3.13, maka _ injektif.

Contoh 3.6.2. modul _ / ] atas ] injektif karena modul _ atas ] injektif. Berdasarkan Lemma 3.12.1, modul _ / ] atas ] injektif.

Lemma 3.13. Misalkan Q modul atas daerah ideal utama R dan Q ’divisible’, maka berlaku pernyataan-pernyataan berikut. 1.

Untuk sebarang subgrup normal K ⊂ Q , Q / K injektif.

23


2.

Untuk X sebarang himpunan indeks, maka untuk setiap i ∈ X , ⊕Qi dan

∏ Qi , ’divisible’.

Bukti (1).

Karena Q divisible dan R daerah integral, maka Q / K divisible.

Karena Q / K divisible dan R daerah integral, maka Q / K generalized divisible. Karena Q / K generalized divisible dan R gelanggang ideal utama, maka Q / K injektif.

Bukti (2).

Karena Q divisible dan R daerah integral, maka Q generalized

divisible. Karena Q generalized divisible dan R gelanggang ideal utama, maka Q injektif, maka untuk sebarang himpunan indeks X dan untuk setiap i ∈ X ,

⊕Qi dan ∏ Qi injektif. Karena ⊕Qi dan ∏ Qi injektif dan R gelanggang ideal utama, maka ⊕Qi dan ∏ Qi generalized divisible. Karena ⊕Qi dan ∏ Qi generalized divisible dan R daerah integral, maka ⊕Qi dan ∏ Qi divisible. Konstruksi 3.14. Misalkan D grup abel, R gelanggang, dan a, b, r ∈ R . 1.

Hom] ( R, D ) merupakan modul atas gelanggang R dengan perkalian

dengan R yaitu f * a ∈ Hom] ( R, D ) , untuk setiap f ∈ Hom] ( R, D ) dan a ∈ R , dengan ( f * a )(r ) = f (ar ) , untuk setiap r ∈ R . 2.

Misalkan

ε : Hom] ( R, D ) → D, v 6 v (1) ,

untuk

setiap

v ∈ Hom] ( R, D ) , v : R → D . 3.

Misalkan M modul atas R , g : M → Hom] ( R, D ) . Ambil sebarang

m ∈ M , g [ m] : R → D , maka berlaku g homomorfisma ⇔ { g [ ma ]} ( b ) = { g [ m ]} ( ab )

24


Bukti ( ⇒ ) .

Karena m ∈ M , a ∈ R , dan M modul atas R , maka ma ∈ M ,

maka g [ ma ] ∈ Hom] ( R, D ) , maka

{ g [ ma ]} ( b ) = { g [ ma ] * a} ( b ) = { g [ m]} ( ab ) ,

berdasarkan (1). Bukti ( ⇐) .

g [ m] ∈ Hom] ( R, D ) ,

Karena

maka

{ g [ ma ]} ( b ) = { g [ m]} ( ab ) = { g [ m] * a} ( b ) , maka g [ ma] = g [ m] * a . Kemudian, akan ditunjukkan bahwa g [ m1 + m2 ] = g [ m1 ] + g [ m2 ] , untuk setiap m1 , m2 ∈ M . Ambil sebarang m1 , m2 ∈ M dan b ∈ R , maka

{g [m

1

+ m2 ]} ( b )

=

{g ⎡⎣1( m + m )⎤⎦} ( b )

=

{ g [1]} ( ( m + m ) b )

=

{ g [1]} ( m b + m b )

=

{ g [1]} ( m b ) + { g [1]} ( m b )

=

{g [1m ]} ( b ) + { g [1m ]} ( b )

=

{ g [ m ]} ( b ) + { g [ m ]} ( b )

=

{ g [ m ] + g [ m ]} ( b )

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

Karena b sebarang, maka g [ m1 + m2 ] = g [ m1 ] + g [ m2 ] . Oleh karena itu, g homomorfisma.

4.

Misalkan N

modul atas R , misalkan ψ : N → D homomorfisma.

Definisikan ψ * : N → Hom] ( R, D ) , untuk setiap n ∈ N , dimana ψ * [ n] : R → D dengan {ψ * [ n ]} ( b ) = ψ ( nb ) .

Lemma 3.15. Berdasarkan konstruksi 3.14, maka pernyataan-pernayataan berikut berlaku 1.

ε homomorfisma,

25


2.

ψ * homomorfisma, dan

3.

εψ * = ψ .

Bukti (1).

Ambil

v ∈ Hom] ( R, D )

sebarang

dan

r∈R.

Karena

Hom] ( R, D ) modul atas gelanggang R , maka v * r ∈ Hom] ( R, D ) , maka

ε ( v * r ) = ( v * r )(1) = v ( r1) = v ( r ) = v (1r ) = v (1) r = ( ε ( v ) ) r . Kemudian, akan ditunjukkan bahwa ε ( v1 + v2 ) = ε ( v1 ) + ε ( v2 ) , untuk setiap v1 , v2 ∈ Hom] ( R, D ) . Ambil

v1 , v2 ∈ Hom] ( R, D ) ,

sebarang

ε ( v1 + v2 ) = ( v1 + v2 )(1) = v1 (1) + v2 (1) = ε ( v1 ) + ε ( v2 ) .

Oleh

maka karena

itu,

ε

merupakan homorfisma. Bukti (2).Berdasarkan 3.14.4, {ψ * [ na ]} = ψ ( ( na ) b ) = ψ ( n ( ab ) ) = {ψ * [ n ]} ( ab ) .

ψ * [ n]

Karena

homomorfisma,

{ψ [ na ]} ( b ) = {ψ [ n]} ( ab ) = {(ψ [ n]) * a} ( b ) , *

*

*

maka

maka

{ψ [ na ]} = {(ψ [ n]) * a} . *

*

Kemudian, akan ditunjukkan bahwa ψ * [ n1 + n2 ] = ψ * [ n1 ] +ψ * [ n2 ] , untuk setiap n1 , n2 ∈ N . Ambil sebarang n1 , n2 ∈ N dan r ∈ R , maka

{ψ [ n + n ]} ( r ) *

1

2

=

ψ ( ( n1 + n2 ) r )

=

ψ ( n1r + n2 r )

=

ψ ( n1r ) +ψ ( n2 r )

=

{ψ [ n ]} ( r ) + {ψ [ n ]} ( r )

=

{ψ [ n ] + ψ [ n ]} ( r )

*

*

1

*

2

*

1

2

Karena r sebarang, maka ψ * [ n1 + n2 ] = ψ * [ n1 ] +ψ * [ n2 ] . Oleh karena itu, ψ * merupakan homomorfisma.

26


Bukti (3).

Ambil sebarang

n ∈ N , maka ψ * [ n ] ∈ Hom] ( R, D ) , maka

{εψ } ( n ) = ε (ψ [ n]) = {ψ [ n]} (1) = ψ ( n1) = ψ ( n ) , maka εψ *

*

*

*

=ψ .

Teorema 3.16. Misalkan D grup abel ‘divisible’, maka Hom] ( R, D ) injektif. dan N modul atas R dan M ⊂ N . Misalkan juga

Bukti. Misalkan M

g : M → HomZ (R, D ) , ε : HomZ (R, D ) → D homomorfisma dengan ε (v ) = v(1) , untuk setiap v ∈ HomZ (R, D ) . Karena D grup abel divisible, maka D injektif, berdasarkan Proposisi 2.7. Oleh karena itu, untuk setiap homomorfisma f : M → N , terdapat ψ : N → D seperti pada Konstruksi 3.14 dan Lemma 3.15

sedemikian sehingga

εg = ψ f . Seperti pada Konstruksi 3.14, terdapat

homomorfisma ψ * [ n] : R → D dengan {ψ * [ n ]} ( b ) = ψ ( nb ) , untuk setiap n ∈ N dan b ∈ R . Akan ditunjukkan bahwa ψ * f = g . Ambil sebarang m ∈ M , maka

(ψ f )(m) = ψ [ f (m)]∈ Hom (R, D ) . Kemudian ambil sebarang r ∈ R , maka ψ ( f (m)r ) {ψ [ f (m)]}(r ) = *

*

Z

*

=

ψ ( f (mr ))

=

ψf (mr )

=

εg (mr )

=

ε (g [mr ])

= = = =

{g [mr ]}(1) {g [m]* r}(1) {g [m]}(r1) {g[m]}(r ) .

27


M

N

f

ψ

ψ*

g

Hom] ( R, D )

D

ε Karena r sebarang, maka ψ * [ f (m )] = g [m] . Karena m sebarang, maka ψ * f = g , akibatnya Hom] ( R, D ) injektif.

Akibat 3.17. Setiap modul merupakan submodul dari suatu modul injektif. Bukti. Untuk sebarang modul M atas gelanggang R , dimana M ⊆ D , dengan D merupakan grup abel divisible, pemetaan l : M → Hom] ( R, D ) didefinisikan

oleh m → lm : R → D dimana untuk setiap a ∈ R , lm ( a ) = ma ∈ M ⊆ D . Akan ditunjukkan bahwa l : M → lM merupakan isomorfisma. Pertama-tama akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa l homomorfisma modul, yaitu mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Ambil sebarang lm , ln ∈ lM dan a, b, r ∈ R , maka

{l ( ma + nb )}{r}

Karena

=

lma + nb ( r )

=

( ma + nb ) r

=

( ma ) r + ( nb ) r

=

m ( ar ) + n ( br )

=

lm ( ar ) + ln ( br )

=

{lm * a}( r ) + {ln * b}( r )

=

{lm * a + ln * b}( r )

{l ( ma + nb )}{r} = {l

m

* a + ln * b}( r ) ,

untuk

setiap

r∈R,

maka

l ( ma + nb ) = lm * a + ln * b , maka l merupakan homomorfisma. Jelas bahwa

l : M → lM epimorfisma. Kemudian, akan ditunjukkan bahwa l satu-satu.

28


Karena l homomorfisma, maka cukup ditunjukkan bahwa Inti ( l ) = {0} . Jelas bahwa {0} ⊆ Inti ( l ) karena l homomorfisma. Ambil sebarang x ∈ Inti ( l ) ⊆ M , maka l x merupakan pemetaan nol yang memetakan semua anggota R ke 0. Ambil sebarang r ∈ R , maka

⇔

lx ( r ) =

0

xr

0

=

Karena r adalah sebarang anggota R , maka x = 0 , maka Inti ( l ) ⊆ {0} , maka

Inti ( l ) = {0} ,

l : M → lM

maka

merupakan

isomorfisma,

maka

M ≅ lM ⊆ Hom] ( R, D ) . Akan ditunjukkan bahwa lM adalah submodul dari Hom] ( R, D ) .

Ambil

sebarang

lm ∈ Hom] ( R, D )

{lm * a}( r ) = lm ( ar ) = m ( ar ) = ( ma ) r . Karena sehingga

{lm * a}( r ) = ( ma ) r = lma ( r ) .

{lm * a} = lma ∈ lM

yang

menyebabkan

dan

a, r ∈ R ,

maka

M modul atas R , maka ma ∈ M ,

Karena

lM

r

merupakan

sebarang, submodul

maka dari

Hom] ( R, D ) . Karena lM merupakan submodul dari modul injektif, maka M juga merupakan submodul dari suatu modul injektif.

Akibat 3.18. M injektif jika dan hanya jika M merupakan suku langsung dari setiap modul yang memuat M sebagai submodul. Bukti ( ⇒ ) .

Misalkan submodul M < N dan M injektif, maka fungsi identitas

1M : M → M diperluas menjadi ρ : N → M yang memenuhi ρj = 1M dengan j : M → N merupakan pemetaan inklusi. Karena terdapat pemetaan inklusi dari M

ke N , maka N = M ⊕ T , untuk suatu submodul T < N , maka M

merupakan suku langsung dari N .

29


Bukti ( ⇐) .

Berdasarkan Teorema 3.17, terdapat modul injektif E sedemikian

sehingga M submodul dari E . Berdasarkan hipotesis, E = M ⊕ T , untuk suatu T ≤ E . Karena E injektif dan berdasarkan Akibat 3.3, maka M injektif.

3.3.

Injective Hulls

Pada subbab ini akan ditunjukkan bahwa injective hull ada dan dimiliki oleh setiap modul yang merupakan tujuan utama dari tugas akhir ini. Definisi 3.19. Misalkan M modul kanan atas R dan V ≤ M . Submodul V ≤ M disebut submodul esensial dari M jika untuk setiap A ≤ M dan A ≠ 0 , maka

V ∩ A ≠ 0 . Modul M disebut perluasan esensial dari V . Jika V ≠ M , maka M disebut perluasan esensial sejati dari V dan submodul V disebut submodul esensial sejati dari M . Definisi 3.20. Misalkan M ≤ N esensial dan N < P dengan N ≠ P . Modul N disebut perluasan esensial maksimal mutlak dari M jika terdapat A ≤ P dengan A bukan submodul dari N sedemikian sehingga M ∩ A = 0 , atau dengan kata

lain M ≤ P tidak esensial.

Sifat 3.21.

0 < M tidak esensial karena untuk setiap A ≤ M dan A ≠ 0 ,

A∩0 = 0.

Sifat 3.22.

M ≤M

esensial karena untuk setiap

A≤ M

dan

A≠ 0,

A∩M = A ≠ 0.

Sifat 3.23.

V < M esensial dan V < W < M ⇒ V < W dan W < M esensial.

Bukti. Ambil sebarang A < W < M dengan A ≠ 0 . Karena V < M esensial, maka V ∩ A ≠ 0 , maka V < W esensial. Ambil sebarang B ≤ M . Karena V < M

30


esensial, maka B ∩ V ≠ 0 . Karena V < W , maka B ∩ V ⊂ B ∩ W . Karena

B ∩ V ≠ 0 , maka B ∩ W ≠ 0 , maka W < M esensial.

Sifat 3.24.

V < W dan W < M esensial ⇒ V < M esensial.

Bukti. Ambil sebarang A ≤ M . Karena W < M esensial, maka W ∩ A ≠ 0 . Ambil sebarang x ∈W ∩ A , dengan x ≠ 0 , maka x ∈W dan x ∈ A . Ambil sebarang r ∈ R . Karena W < M dan A ≤ M , maka xr ∈W dan xr ∈ A , maka

xr ∈W ∩ A , maka W ∩ A ≤ W < M . Karena V < W , maka V ∩ W = V , maka V ∩ A = (V ∩ W ) ∩ A = V ∩ (W ∩ A) . Karena W ∩ A ≤ W dan V < W esensial, maka V ∩ A = V ∩ (W ∩ A) ≠ 0 , maka V < M esensial.

Sifat 3.25.

M < N esensial ⇔ untuk setiap v ∈ N dan v ≠ 0 , vR ∩ M ≠ 0 .

Bukti ( ⇒ ) .

Ambil sebarang v ∈ N , dengan v ≠ 0 , maka vR = vr⏐r ∈ R ⊆ N .

{

}

Ambil sebarang vr ∈ vR dan a ∈ R , maka ( vr ) a = v ( ra ) ∈ vR , maka vR ≤ N . Karena M < N esensial, maka vR ∩ M ≠ 0 . Bukti ( ⇐) .

Ambil sebarang V ≤ N dengan V ≠ 0 . Ambil sebarang v ∈ V

dengan v ≠ 0 , maka vR ≤ V , maka vR ∩ M ⊆ V ∩ M . Karena vR ∩ M ≠ 0 , maka

V ∩ M ≠ 0 , maka M < N esensial.

Sifat 3.26. 1.

Misalkan M < N , maka sifat-sifat berikut berlaku

{

Misalkan L = V⏐V ≤ N

}

rantai terurut linier dari V ≤ N sedemikian

sehingga untuk setiap V ∈ L berlaku M ≤ V esensial, maka M ≤ ∪ {V ∈ L} esensial. 2.

Terdapat perluasan esensial maksimal dari M di N .

31


Bukti (1).

Karena M ≤ M esensial, maka M ∈ L dan M ≤ ∪ {V ∈ L} ≤ N .

Ambil sebarang A ≤ ∪ {V ∈ L} , maka terdapat V1 ∈ L sedemikian sehingga V1 ≤ A . Karena V1 ⊆ A , maka M ∩ V1 ⊆ M ∩ A . Karena M ≤ V1 esensial, maka M ∩ V1 ≠ 0 . Akibatnya M ∩ A ≠ 0 dan M ≤ ∪ {V ∈ L} esensial.

Bukti (2).

Pembuktian ini akan menggunakan Lemma Zorn dan hasil dari

Bukti (1). 1.

Karena M ≤ M esensial, maka M ∈ L , maka L ≠ ∅ .

2.

Ambil sebarang V ∈ L , maka V ≤ ∪ {V ∈ L} , maka ∪ {V ∈ L} batas atas

dari L . 3.

Karena M ≤ ∪ {V ∈ L} esensial, maka ∪ {V ∈ L} ∈ L .

Oleh karena itu, M memiliki perluasan esensial maksimal di N Lemma 3.27. Misalkan M < N esensial dan ϕ : M → E monomorfisma modul atas R , maka

ϕ : N → E perluasan ϕ di N ⇒ ϕ satu-satu

Bukti. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa

Inti (ϕ ) ≤ N . Jelas bahwa

Inti (ϕ ) ⊆ N . Ambil sebarang a ∈ Inti (ϕ ) dan r ∈ R . Karena a ∈ Inti (ϕ ) , maka

ϕ ( a ) = 0 , maka ϕ ( ar ) = ϕ ( a ) r = 0r = 0 , maka ar ∈ Inti (ϕ ) . Dengan demikian, Inti (ϕ ) bersifat tertutup terhadap perkalian dengan gelanggang R

dan

Inti (ϕ ) ≤ N . Kemudian akan ditunjukkan bahwa Inti (ϕ ) = M ∩ Inti (ϕ ) . •

Akan

ditunjukkan

bahwa

Inti (ϕ ) ⊆ M ∩ Inti (ϕ ) .

Jelas

bahwa

Inti (ϕ ) ⊆ M . Ambil sebarang a ∈ Inti (ϕ ) ⊆ M . Karena ϕ⏐M = ϕ , maka

ϕ (a) = ϕ (a) = 0 ,

maka

a ∈ Inti (ϕ ) ,

maka

Inti (ϕ ) ⊆ Inti (ϕ ) .

Karena

Inti (ϕ ) ⊆ M dan Inti (ϕ ) ⊆ Inti (ϕ ) , maka Inti (ϕ ) ⊆ M ∩ Inti (ϕ ) .

32


•

M ∩ Inti (ϕ ) ⊆ Inti (ϕ ) . Ambil sebarang

Akan ditunjukkan bahwa

a ∈ M ∩ Inti (ϕ ) , maka a ∈ M

dan a ∈ Inti (ϕ ) . Karena ϕ⏐M = ϕ , maka

ϕ ( a ) = ϕ ( a ) = 0 , maka a ∈ Inti (ϕ ) , maka M ∩ Inti (ϕ ) ⊆ Inti (ϕ ) . Inti (ϕ ) ⊆ M ∩ Inti (ϕ )

Karena

Inti (ϕ ) = M ∩ Inti (ϕ ) .

M ∩ Inti (ϕ ) ⊆ Inti (ϕ ) ,

dan

Kemudian,

karena

ϕ

monomorfisma,

maka maka

M ∩ Inti (ϕ ) = Inti (ϕ ) = 0 . Karena M < N esensial, maka Inti (ϕ ) = 0 , maka ϕ satu-satu.

Sifat 3.28.

Jika V < M

dan W < M

esensial, maka V ∩ W < M

juga

esensial. Bukti. Ambil sebarang A < M , maka A ∩ (V ∩ W ) = ( A ∩ V ) ∩ W . Karena

V <M

esensial,

maka

A ∩V ≠ 0 .

Karena

W <M

esensial,

maka

A ∩ (V ∩ W ) = ( A ∩ V ) ∩ W ≠ 0 , maka V ∩ W < M esensial.

Sifat 3.29.

Misalkan M < N ' dan M < N " . Misalkan pula µ : N ' → N "

adalah isomorfisma yang memenuhi µ M = M , maka

M < N ' esensial ⇒ M < N " esensial Bukti. Karena µ isomorfisma, maka terdapat isomorfisma µ −1 : N " → N ' yang merupakan invers dari µ . Ambil sebarang A ≤ N " , maka M ∩ A ⊆ N " . Peta M ∩ A ⊆ N " oleh µ −1 adalah µ −1 ( M ∩ A) = µ −1 ( M ) ∩ µ −1 ( A) = M ∩ µ −1 ( A) , karena µ −1 monomorfisma. Karena M < N ' esensial, maka M ∩ µ −1 ( A) ≠ 0 . Karena µ monomorfisma dan M ∩ µ −1 ( A) ≠ 0 , maka

µ ( M ∩ µ −1 ( A ) ) ⇔

≠

0

µ ( M ) ∩ µ ( µ −1 ( A ) ) ≠

0

33


⇔

≠

M ∩A

0,

maka M < N " esensial. Misalkan M ≤ N , maka

Sifat 3.30.

N

merupakan perluasan esensial

maksimal mutlak dari M jika dan hanya jika N tidak memiliki perluasan esensial sejati. Bukti ( ⇒ ) .

Pembuktian ini akan menggunakan metode kontraposisi, sehingga

hipotesisnya menjadi jika N memiliki perluasan esensial sejati, maka N bukan perluasan esensial maksimal mutlak dari M . Misalkan N < P esensial dengan

N ≠ P . Karena M ≤ N dan N < P esensial, maka M < P esensial. Akibatnya N bukan perluasan esensial maksimal mutlak dari M . Bukti ( ⇐) .

Pembuktian ini pun akan menggunakan metode kontraposisi,

sehingga hipotesisnya menjadi jika N bukan perluasan esensial maksimal mutlak dari M , maka N memiliki perluasan esensial sejati. Karena N bukan perluasan esensial maksimal mutlak dari M , maka terdapat himpunan P sedemikian sehingga N < P dengan N ≠ P dan M < P esensial. Karena M < P esensial dan

M ≤ N < P , maka N < P esensial. Karena N < P esensial dan N ≠ P , maka P merupakan perluasan esensial sejati dari N . Lemma 3.31. Misalkan M < E dan M ≠ 0 . Misalkan T ≤ E adalah submodul maksimal yang memenuhi M ∩ T = 0 , maka ( M ⊕ T ) / T ≤ E / T esensial.

Bukti. Pembuktian Lemma ini akan menggunakan metode kontradiksi. Andaikan

(M ⊕T ) /T ≤ E /T sedemikian Akibatnya

tidak esensial, maka terdapat

sehingga

{T } ≠ K / T < E / T

(M ⊕T ) ∩ K = T ,

dan

K≤E

dengan T < K

( M ⊕ T ) / T ∩ ( K / T ) = {T } .

M ∩ K ⊆ ( M ⊕ T ) ∩ K = T , dan M ∩ K ⊆ M .

34


Dengan demikian, M ∩ K ⊆ T ∩ M = 0 dan M ∩ K = 0 . Karena K / T ≠ {T } , maka K ≠ T . Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa T submodul maksimal

yang

(M ⊕T ) /T ≤ E /T

memenuhi

M ∩T = 0 .

Jadi,

pengandaian

bahwa

tidak esensial salah, haruslah ( M ⊕ T ) / T ≤ E / T esensial.

Proposisi 3.32. Misalkan M sebarang modul dan M ≠ 0 , maka M injektif ⇔ M tidak memiliki perluasan esensial sejati

Bukti ( ⇒ ) .

Misalkan M ≤ V esensial. Karena M injektif, maka V = M ⊕ T ,

untuk suatu T ≤ V . Karena M ∩ T = 0 dan M ≤ V esensial, maka T = 0 . Akibatnya, M = V . Jadi, M tidak memiliki perluasan esensial sejati. Bukti ( ⇐) .

Misalkan M ≤ E dengan E injektif. Modul E injektif dijamin

ada oleh Akibat 3.17. Misalkan T < E adalah submodul maksimal yang memenuhi M ∩ T = 0 . Berdasarkan Lemma 3.31, M ≅ ( M ⊕ T ) / T ≤ E / T esensial. Karena hal tersebut dan M tidak memiliki perluasan esensial maksimal, maka

(M ⊕T ) /T = E /T ,

maka

M ⊕ T = E . Karena

E

injektif, maka

berdasarkan Akibat 3.3, M injektif.

Proposisi 3.33. Setiap modul M memiliki perluasan esensial maksimal mutlak. Bukti. Misalkan M ≤ E dengan E injektif. Modul E injektif dijamin ada oleh Akibat 3.18. Misalkan N perluasan esensial maksimal dari M di E , sehingga

M ≤ N ≤ E dan N tidak memiliki perluasan esensial sejati di E . Akan ditunjukkan bahwa N merupakan perluasan esensial maksimal mutlak dari M . Misalkan M ≤ N ≤ N ' dengan N ' ⊄ E dan M ≤ N ' esensial. Misalkan pula

i : N → E yaitu i ( n ) = n , untuk setiap n ∈ N . Pemetaan i merupakan adalah inklusi yang satu-satu. Karena E injektif, maka terdapat µ : N ' → E sedemikian

35


sehingga µ⏐N = i . Karena i : N → E satu-satu, maka berdasarkan Lemma 3.28,

µ : N ' → E juga satu-satu. Akibatnya, µ : N ' → µ N ⊆ E satu-satu pada. M ≤ N ≤ N' µ

µ

µ

M ≤ N ⊆ µN ' ⊆ E

Karena

M ≤ N ' esensial dan terdapat isomorfisma µ : N ' → µ N , maka

M ≤ µ N ' esensial. Karena N perluasan esensial maksimal dari M di E , maka N = µ N ' . Akan ditunjukkan bahwa N = N ' . Jelas bahwa N ⊆ N ' . Ambil

sebarang n ' ∈ N ' , maka µ ( n ') ∈ µ N ' = N ≤ N ' . Karena µ ( n ') ∈ N , maka

µ ( µ ( n ') ) = µ ( n ') . Karena µ satu-satu, maka µ ( n ') = n ' . Karena µ ( n ') ∈ N , maka n ' ∈ N . Akibatnya, N ' ⊆ N . Karena N ⊆ N ' dan N ' ⊆ N , maka N = N ' . Jadi, N perluasan esensial maksimal mutlak dari M . Dengan kata lain, M memiliki perluasan esensial maksimal mutlak.

Akibat 3.34. Misalkan M sebarang modul dan I modul injektif yang memuat M . Jika N perluasan esensial maksimal dari M di I , maka

1.

N merupakan perluasan esensial maksimal mutlak dari M dan

2.

N injektif.

Bukti (1). Bukti seperti pada pembuktian Proposisi 3.33.

Bukti (2). Berdasarkan Bukti (1), maka N merupakan perluasan esensial maksimal mutlak dari M . Akibatnya, N tidak memiliki perluasan esensial sejati. Berdasarkan Proposisi 3.33, maka N injektif.

Definisi 3.35. Modul N adalah perluasan injektif minimal dari M jika N injektif dan jika M ⊆ K < N dengan K ≠ N , maka K tidak injektif.

36


Teorema 3.36. Misalkan M ≤ N , maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen 1.

N perluasan esensial maksimal mutlak dari M ,

2.

N perluasan esensial dari M dan N injektif, dan

3.

N perluasan injektif minimal dari M .

Bukti

(1 ⇒ 2 ) .

Jelas M ≤ N esensial. Berdasarkan Akibat 3.35, maka N

injektif.

( 2 ⇒ 3) . Misalkan terdapat

E modul injektif sedemikian sehingga M ≤ E ≤ N .

Karena E injektif dan E ≤ N , maka N = E ⊕ E ' , untuk suatu E ' ≤ N , berdasarkan Akibat 3.17. Karena M ≤ N esensial, maka M ≤ E ⊕ E ' esensial. Karena E ∩ E ' = 0 dan M ≤ E , maka M ∩ E ' = 0 . Karena M ≤ N esensial dan

E ' ≤ N , maka E ' = 0 . Akibatnya, N = E . Dengan demikian, N perluasan injektif minimal dari M .

( 3 ⇒ 1) .

Karena M ≤ N dan N injektif, maka terdapat N ' ≤ N sedemikian

sehingga N ' perluasan esensial maksimal mutlak dari M . Berdasarkan Akibat 3.35, maka

N ' injektif. Karena N perluasan injektif minimal dari M , maka

N = N ' . Jadi, N perluasan esensial maksimal mutlak dari M .

Definisi 3.37. Untuk suatu modul M , modul N yang memenuhi Teorema 3.37 disebut injective hull dari M . Akibat 3.38. Misalkan M ≤ E dan M ≤ G keduanya injective hull dari M , maka E ≅ G .

Bukti. Karena E injektif, maka untuk setiap homomorfisma

f1 : M → E ,

terdapat homomorfisma f 2 : G → E yang merupakan perluasan dari f1 . Begitu

37


juga untuk setiap homomorfisma f 3 : M → G , karena G injektif, maka terdapat

f 4 : E → G yang merupakan perluasan dari f 3 . Berikut ini adalah ilustrasinya. f1

M

E

f3

f4

G

f2

Karena E injektif, maka f1 = f 2 f 3 dan karena G injektif, maka f 3 = f 4 f 1 . Akan dibuktikan bahwa f 2 f 4 = 1 dan f 4 f 2 = 1 . Perhatikan bahwa f2 f3

=

f1

⇔

f 2 ( f 4 f1 )

=

f1

⇔

( f 2 f 4 ) f1

=

1 f1

⇔

f2 f4

=

1.

f 4 f1

=

f3

⇔

f 4 ( f2 f3 )

=

f3

⇔

( f4 f2 ) f3

=

1 f3

⇔

f4 f2

=

1.

Begitu juga sebaliknya

Karena f 2 f 4 = 1 dan f 4 f 2 = 1 , maka f 2 adalah invers dari f 4 dan sebaliknya f 4 juga adalah invers dari f 2 . Karena memiliki invers, maka f 2 dan f 4 adalah isomorfisma. Karena terdapat isomorfisma dari E ke G , maka E ≅ G .

38

BAB III MODUL INJEKTIF

Recommend Documents