BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai model matematika penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi, diantaranya formulasi model penyakit campak, titik ekuilibrium bebas penyakit beserta analisis kestabilannya. Selanjutnya dilakukan simulasi model berdasarkan studi kasus yang dilakukan di Kabupaten Sleman Provinsi DIY dan strategi mengoptimalkan vaksinasi. A. Model Matematika SEIR untuk Penyebaran Penyakit Campak Model dasar tentang penyebaran penyakit pertama kali dirumuskan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Dalam modelnya, KermackMcKendrick membagi populasi total menjadi tiga kelas, yaitu Susceptible (S) merupakan jumlah individu yang sehat tetapi rentan terhadap penyakit, Infected (I) adalah jumlah individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit kepada individu yang sehat, dan Recovered (R) yang menotasikan jumlah individu yang telah sembuh dari penyakit dan akan kebal dari penyakit. Beberapa penyakit seperti campak, mempunyai periode laten, artinya ada selang waktu suatu individu terinfeksi sampai munculnya suatu penyakit. Periode laten ini akan terdapat pada kelas Exsposed (E), artinya individu yang terdeteksi atau terjangkit virus. Penambahan kelas pada penyakit campak ini akan membentuk model SEIR. Model penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi dapat diklasifikasikan menjadi empat populasi, yaitu populasi Susceptible (S), populasi Exposed (E),
42
populasi Infected (I), dan populasi Recovered (R). Populasi Susceptible (S), adalah banyaknya individu yang rentan terhadap penyakit campak. Populasi Exposed (E), adalah banyaknya individu yang terdeteksi campak tetapi belum terinfeksi. Populasi Infected (I), adalah banyaknya individu yang telah terinfeksi penyakit campak dan dapat menularkan penyakitnya ke individu lainnya. Populasi Recovered (R), adalah banyaknya individu yang telah sembuh dari penyakit campak dan kebal terhadap penyakit campak. Total populasi dinyatakan dengan
.
1. Asumsi-Asumsi yang Digunakan Model penebaran penyakit diturunkan dengan menggunakan asumsi atau batasan tertentu. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk merumuskan model penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi sebagai berikut: a. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar sehingga dapat dinggap sebagai variabel kontinu. b. Populasi diasumsikan tertutup. Oleh karena itu, tidak ada populasi yang masuk ke dalam populasi atau keluar dari populasi tersebut. c. Faktor kelahiran dan kematian diperhatikan. d. Setiap individu yang lahir diasumsikan rentan terhadap penyakit campak. e. Setiap individu mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak dengan individu lain. f. Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dari penyakit dan dapat meninggal akibat penyakit. g. Diasumsikan hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi.
43
h. Vaksin hanya diberikan pada individu yang baru lahir. i. Keampuhan vaksinasi adalah 100%. Hal tersebut berarti setiap individu yang telah mendapatkan vaksin akan kebal dari penyakit. j. Kekebalan yang terjadi karena vaksin bersifat permanen
2. Formulasi Model Matematika SEIR pada Penyebaran Penyakit Campak Didefinisikan parameter yang digunakan untuk membentuk model matematika SEIR pada penyebaran penyakit campak yaitu : = angka kelahiran (Jiwa per hari) = angka kematian alami (Jiwa per hari) = laju kontak (Jiwa per hari) = angka infektivitas (Jiwa per hari) = angka kesembuhan (Jiwa per hari) = angka kematian karena campak (Jiwa per hari) = persentase sukses vaksinasi pada kelahiran (proportion of those successively vaccinated at birth) Setiap individu yang baru lahir, masuk ke dalam kelas susceptible. Kemudian keluar dari kelas susceptible, karena memasuki kelas exposed (individu yang terjangkit melakukan kontak langsung dengan individu lain) atau mengalami kematian secara alami (kematian yang bukan disebabkan karena penyakit campak).
44
Seseorang akan masuk ke dalam kelas exposed ketika virus menyerang manusia pada kelas susceptible, dan individu yang terjangkit melakukan kontak langsung dengan individu lain dalam populasi. Kemudian keluar dari kelas exposed, karena virus berkembang dan menginfeksi maka individu dari kelas exposed masuk kelas infectious, atau karena kematian alami. Seseorang akan masuk kelas infectious karena virus telah menginfeksi individu dari kelas exposed. Pada kelas ini, individu dapat sembuh atau meninggal baik kematian secara alami atau kematian akibat penyakit. Jika seseorang meninggal secara alami atau akibat penyakit maka secara otomatis akan keluar dari sistem. Selanjutnya jika seseorang sembuh dari penyakit maka akan masuk ke dalam kelas recovered. Setelah waktu tertentu, seseorang dapat sembuh dan memasuki kelas recovered. Seseorang dapat memasuki kelas recovered karena telah diberikan vaksinasi dan selanjutnya keluar dari kelas recovered karena kematian alami. Dari penjelasan di atas, diperoleh diagram alur model matematika penyakit campak dengan vaksinasi sebagai berikut :
𝑏𝑁
𝛽𝑆 S(t)
𝜇S
𝐼 𝑁
E(t)
𝛿I𝛿 I I(t)
𝜎E
𝜇E
𝜇I
𝑝
𝛾I R(t)
𝜇R
Gambar 3.1 Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Vaksinasi
45
Didefinisikan
adalah angka kelahiran. Jumlah individu yang lahir dalam
populasi tiap satuan waktu selalu konstan. Jumlah populasi yang lahir proporsional dengan total populasi dalam populasi adalah
. Oleh karena itu, jumlah populasi yang lahir
. Jumlah populasi yang lahir tersebut akan memasuki
kelompok . adalah angka kematian alami, berdasarkan asumsi angka kelahiran sama dengan angka kematian, maka jumlah populasi yang mati pada setiap kelompok proposional dengan jumlah populasi pada masing-masing kelompok. Oleh karena itu, jumlah kematian pada kelompok S, E, R masing-masing sebesar S, E, R, sedangkan pada kelompok I sebesar
)I dengan
adalah kematian karena
penyakit campak. adalah angka besarnya populasi yang terinfeksi dimana
adalah
koefisien transmisi yang merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit, individu rentan memperoleh infeksi angka
timbulnya
penyakit
pada
populasi
yang
dan
terinfeksi
.
adalah angka terinfeksi dari individu yang telah exposed. Notasi adalah angka kesembuhan dari individu yang telah terinfeksi. Notasi
adalah
persentase populasi rentan yang di vaksinasi per satuan waktu. Notasi
adalah
persentase kelas rentan yang berhasil divaksinasi dan memasuki kelas rentan. Berikut akan ditentukan model persamaan diferensial untuk masing-masing kelas.
46
i.
Model untuk kelas Susceptible Besarnya jumlah individu yang rentan atau perubahan kelas rentan terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah individu yang lahir dalam populasi
kemudian akan menurun dengan adanya proporsi sukses
vaksinasi pada kelahiran sebesar
, angka individu exposed
dan angka kematian alami
,
. Sehingga diperoleh persamaan .
ii.
Model untuk kelas Exposed Besarnya angka individu yang terjangkit atau perubahan kelas exposed terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah individu yang terekspos kemudian akan menurun dengan populasi yang terinfeksi dan angka kematian alami
. Sehingga diperoleh persamaan
. iii.
Model untuk kelas Infected Besarnya jumlah individu yang terinfeksi atau perubahan kelas infeksi terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah yang terinfeksi kemudian akan menurun dengan adanya jumlah individu yang sembuh dan angka kematian alami campak
.
Sehingga
dan angka kematian karena penyakit
diperoleh
.
47
persamaan
iv.
Model untuk kelas Recovered Besarnya jumlah individu yang sembuh atau perubahan dari kelas recovered terhadap waktu dipengaruhi oleh adanya proporsi sukses vaksinasi pada kelahiran yang terinfeksi
dan angka kesembuhan dari jumlah individu dan angka kematian alami
diperoleh persamaan
. Sehingga
.
Dari gambar 3.1 dan uraian diatas diperoleh model matematika penyakit campak dengan vaksinasi adalah sebagai berikut. (3.1a)
(3.1b)
(3.1c)
(3.1d)
Dengan dan Persamaan (3.1a), (3.1b), (3.1c), (3.1d), selanjutnya disebut sistem (3.1). Sistem (3.1) dapat diskala dengan total populasi
untuk menyederhanakan dan
mempermudah analisis yang dilakukan. Proporsi banyaknya individu pada masing-masing kelompok dapat dinyatakan sebagai berikut :
48
(3.2)
dari persamaan (3.2), diperoleh : (3.3)
Oleh karena itu, dengan persamaan (3.2), sistem (3.1) dapat dinyatakan sebagai berikut : (3.4a)
(3.4b)
(3.4c)
(3.4d)
Selanjutnya akan ditunjukkan total populasi tidak konstan. Diketahui (3.5)
49
Turunan pertama dari Persamaan (3.5) terhadap adalah (3.6)
Substitusikan sistem (3.1) ke persamaan (3.6), sehingga diperoleh
(3.7)
Karena turunan pertama dari
tidak sama dengan nol, maka dapat
disimpulkan bahwa populasi tidak konstan. Untuk menentukan proporsi di setiap kelas terlebih dahulu akan dicari proporsi dari
.
50
(
)
(3.8)
Berdasarkan persamaan (3.4a), (3.4b), (3.4c), dan (3.4d) akan ditentukan laju proporsi untuk masing-masing kelas. i.
Laju Proporsi untuk Kelas Susceptible Laju proporsi kelas susceptible merupakan banyaknya individu rentan dalam populasi.
51
Berdasarkan persamaan (3.4a) diperoleh :
(3.9a)
ii.
Laju Proporsi untuk Kelas Exposed Laju proporsi kelas exposed merupakan rata-rata banyaknya individu yang terjangkit penyakit tetapi belum dapat menularkannya.
Berdasarkan persamaan (3.4b) diperoleh :
iii.
Laju Proporsi (3.9b) untuk Kelas Infected
52
Laju proporsi kelas infected merupakan rata-rata banyaknya individu terinfeksi dalam populasi.
Berdasarkan persamaan (3.4c) diperoleh :
(3.9c)
iv.
Laju Proporsi untuk Kelas Recovered Laju proporsi kelas recovered merupakan rata-rata banyaknya individu yang telah sembuh dari penyakit dalam populasi.
Berdasarkan persamaan (3.4d) diperoleh :
(3.9d)
53
Berdasarkan persamaan (3.9a), (3.9b), (3.9c), dan (3.9d) dapat dibentuk transformasi dari sistem (3.1) yaitu : (3.10a)
(3.10b)
(3.10c)
(3.10d)
Sistem (3.10) adalah sistem persamaan non linear yang merupakan hasil transformasi model matematika
pada penyebaran penyakit campak yang
terdapat pada sistem (3.1)
B. Titik Kesetimbangan Model Dari hasil persamaan tersebut terdapat titik kesetimbangan bebas penyakit, yaitu suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi atau ketika 1.
.
Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
54
Pada bagian ini akan dibahas mengenai titik ekuilibrium bebas penyakit dari model
penyebaran penyakit campak pada sistem (3.10) . Titik
kesetimbangan bebas penyakit diperoleh saat tidak ada individu yang terinfeksi penyakit campak
. Asumsikan variabel yang digunakan dalam
pembahasan ini yaitu : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
titik kesetimbangan bebas penyakit pada sistem (3.10)
titik kesetimbangan bebas penyakit kelas susceptible titik kesetimbangan bebas penyakit kelas exposed
̂
titik kesetimbangan bebas penyakit kelas infected titik kesetimbangan bebas penyakit kelas recovered
Titik
̂ ̂ ̂ ̂ adalah titik kesetimbangan dari sistem (3.10) jika :
(
(3.12)
)| ̂ ̂ ̂ ̂
Berdasarkan persamaan
, diketahui jumlah proporsi
masing-masing kelas adalah satu atau dapat dituliskan menjadi : ̂
̂
̂
̂
(3.13)
Untuk kasus titik ekuilibrium bebas penyakit, diketahui nilai ̂ akibatnya, ̂
,
sehingga persamaan (3.13) menjadi ̂
̂
Akan dibuktikan nilai dari ̂
(3.14) ̂
55
Jika ̂
, akibatnya ̂
, maka berdasarkan sistem (3.10) dn (3.12)
diperoleh :
(
)| ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂
̂
̂
̂
̂ ̂
̂
̂
̂
̂
(3.15)
Pada kasus ini akan dibatasi untuk titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu titik kesetimbangan ketika ̂
. Titik kesetimbangan
bebas penyakit dapat ditunjukkan pada Teorema (3.1) berikut. Teorema 3.1 Jika ̂ penyakit
, maka sistem (3.10) mempunyai titik kesetimbangan bebas ̂ ̂ ̂ ̂
).
Bukti : Berdasarkan Definisi (2.5), maka sistem (3.10) dapat dituliskan menjadi : ̂̂ ̂̂ ̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ ̂
̂
̂ ̂
̂
̂
(3.16b) ̂
̂ ̂
56
(3.16a)
(3.16c) (3.16d)
Berdasarkan (3.16a) diperoleh ̂̂
̂
̂ ̂
̂ ̂
(3.17)
Berdasarkan (3.16d) diperoleh ̂
̂
̂ ̂
̂ ̂
(3.18)
Sehingga titik kesetimbangan bebas penyakit dari Sistem (3.10) yaitu C.
̂ ̂ ̂ ̂
Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar (Basic Reproduction Number) merupakan
parameter yang biasa digunakan untuk mengetahui tingkat penyebaran suatu penyakit. Bilangan Reproduksi Dasar (
) adalah rata-rata banyaknya individu
rentan yang terinfeksi secara langsung oleh individu lain yang sudah terinfeksi bila individu yang terinfeksi tersebut masuk ke dalam populasi yang seluruhnya masih rentan.
Jika
, maka penyakit akan cenderung berkurang atau
57
menghilang dari populasi. Namun, jika
, maka penyakit cenderung
meningkat dalam populasi dan dapat menyebabkan endemik. Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menggunakan metode Next Generation Matrix. Matriks ini merupakan matriks yang dibentuk oleh sub-sub populasi pada kelas exposed dan infection. Pada model penyebaran penyakit campak akan dibahas mengenai bilangan reproduksi dasar pada sistem (3.10) dengan menggunakan kelas terekspose dan terinfeksi pada persamaan (3.10b) dan (3.10c). Didefinisikan [ ̂
̂̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ ̂ ̂
]
(3.19)
dan [
̂
] ̂
(3.20)
Matriks (3.19) dan (3.20) akan dilinearisasi. Diberikan sistem persamaan nonlinear ̇ ̇ (3.21) dan ̇
58
̇ (3.22) Misalkan ̂ dan ̂ adalah titik kesetimbangan kelas eksposed dan infection pada sistem (3.21) dan (3.22), maka pendekatan linear sistem (3.21) dan (3.22) disekitar titik kesetimbangan kelas terekspos dan kelas terinfeksi menggunakan deret taylor di sekitar titik kesetimbangan ̂ dan ̂ yaitu
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
(3.23)
dan
̂ ̂
̂ ̂
Karena nilai dari
dan
̂ ̂ ̂
̂
̂ ̂
mendekati 0, maka
diperoleh
59
̂ ̂ ̂
̂
̂ ̂
dan
(3.24)
diabaikan, maka
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
(3.25)
dan
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂
(3.26)
Dari sistem (3.25), dapat dibentuk matriks sebagai berikut
̇
[ ] ̇
̂ ̂ ̂
[
̂ ̂ ̂
(3.27)
̂ ̂ ̂
]* ̂ ̂ ̂
̂ ̂
+
Sistem (3.26) dibentuk menjadi matriks diperoleh
[ ̇
̇
]
̂ ̂ ̂
[ ̂
Misalkan
̂ dan
̂ ̂
(3.28)
̂
̂ ̂ ̂
]* ̂ ̂
̂
̂
+
̂, maka diperoleh
60
̇
[ ] ̇
̂ ̂ ̂
[
̂
̂ ̂ ̂
(3.29)
̂ ̂ ]* + ̂ ̂ ̂
dan
̇ [ ] ̇
̂ ̂ ̂
[
̂
̂ ̂ ̂
(3.30)
̂ ̂ ]* + ̂ ̂ ̂
diperoleh matriks jacobian dari Matriks (3.29) adalah
̂ ̂ ̂
[
̂
]
̂ ̂ ̂
(3.31)
̂ ̂ ̂ ̂ ̂
dan
̂
̂ ̂
[ ̂
̂
̂ ̂
(3.32)
̂ ̂ ̂
] ̂ ̂
Persamaan (3.31) diperoleh matriks P
̂ ̂ ̂
[ ̂
̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
] ̂ ̂
61
[
(3.33)
]
̂ ̂ ̂ ̂
Substitusikan nilai
ke matriks P, sehingga
diperoleh
[
]
dari persamaan (3.32) diperoleh matriks R
̂ ̂ ̂
[ ̂
[
̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
] ̂ ̂
]
Berdasarkan persamaan (2.20), maka diperoleh Next Generation Matriks yaitu
[
[
]
[
] [
]
62
]
[
]
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen maksimum
Matriks
H. Nilai eigen dari Matriks H adalah
|
|
||*
||
+ [
]
||
|| [
]
(
)
(
)(
(
)(
)
(3.34)
)
Menggunakan rumus akar kuadrat diperoleh nilai eigen dari persamaan (3.34) yaitu :
63
(3.35) (
)
√(
)
((
)(
)
(
))
Berdasarkan sistem (3.35) terdapat dua nilai eigen yaitu
(
)
√(
)
((
)(
)
(
))
)
((
)(
)
(
))
dan
(
√(
)
64
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen maksimum, sehingga nilai eigen yang memenuhi yaitu :
(
√(
)
)
((
)(
)
(
))
Sebelum menentukan nilai dari bilangan reproduksi dasar akan disederhanakan persamaan dari nilai eigen.
Misal
Maka diperoleh
65
√
Oleh karena itu, nilai
(
(
))
diperoleh pada persamaan (3.36) berikut
√
(
(
))
D. Analisis Kestabilan pada Titik Ekuilibrium Model SEIR Setelah diperoleh titik kesetimbangan, selanjutnya akan di analisis kestabilan titik ekuilibrium. Kestabilan titik ekuilibrium digunakan untuk mengetahui √
(
)(
)
perilaku sistem dengan mendefinisikan
Untuk nilai
dimana dapat ditemukan sebagai titik ekuilibrium bebas
penyakit dan tidak terdapat kejadian endemi. Pada kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit, jika dalam populasi ditemukan ada yang terinfeksi, maka tetap tidak terjadi endemi, karena sistem akan kembali kedalam sistem kesetimbangan. Jika
titik ekuilibrium bebas penyakit ada tetapi mulai tidak stabil. Jika
ada yang terinfeksi kedalam keadaan bebas penyakit, maka akan menjadi sebuah epidemi dan sistem akan menuju keadaan endemi secara asimtotik, dan stabil untuk
. Parameter
dapat diinterpretasikan sebagai tingkat vaksinasi
66
minimum. Jumlah ini merupakan jumlah minimum vaksinasi yang dibutuhkan untuk mencegah terjadinya epidemi. (Ripno Juli Iswanto : 183-184) 1. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Pada sub bab ini akan dianalisa kestabilan lokal di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit. Berdasarkan Teorema 3.1 telah diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu
̂ ̂ ̂ ̂
(
)
Selanjutnya akan dianalisa kestabilan di sekitar titik kesetimbangan ini dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 3.2 (i) Jika
maka titik kesetimbangan bebas penyakit
̂ ̂ ̂ ̂ stabil
asimtotik lokal. (ii) Jika
maka titik kesetimbangan bebas penyakit
̂ ̂ ̂ ̂ tidak
stabil. Bukti : Sistem (3.10) didefinisikan sebagai ̂̂ ̂̂ ̂
̂
̂
̂
̂
̂ ̂
̂
67
̂
̂ ̂
(3.16a)
̂
(3.16b) (3.16c)
̂
̂
̂ ̂
(3.16d)
Untuk membentuk matriks Jacobian, Akan diturunkan sistem (3.16) terhadap ̂ ̂ ̂ ̂ . Untuk
̂ ̂
̂
̂ ̂
̂
̂ ̂
Untuk
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
Untuk
̂
̂
̂ ̂
Untuk
̂
̂
̂
68
̂ ̂
̂ ̂
Sehingga diperoleh matriks jacobian dari sistem (3.16) adalah :
[ ̂ [
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂] ̂
̂ ̂ ̂
̂
̂ ̂ ̂
Matriks jacobian dipersekitaran
] ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂
adalah :
[
]
Mencari nilai eigen matriks jacobian di persekitaran
69
|
|
|[
]
[
]|
|[
]|
Menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama, sehingga diperoleh : [
]
[
]
Dari persamaan tersebut terdapat 3 hasil nilai eigen, yaitu : 1. Maka, 2. Maka, 3. [
]
70
Selanjutnya, analisis kestabilan pada kemungkinan ke-3 dapat diperoleh dengan menggunakan table Routh-Hurwitz seperti berikut : Tabel 3.1 Tabel Routh untuk Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit Variabel
Koefisien 1
0
Agar sistem stabil, maka semua suku kolom pertama table Routh-Hurwitz harus bertanda positif. Agar semua suku bertanda positif, maka :
71
Titik kesetimbangan bebas penyakit asimtotik jika
̂ ̂ ̂ ̂
stabil
, yang menunjukkan bahwa pada
suatu populasi tidak terjadi penyebaran penyakit. Stabil asimtotik berarti perubahan kecil pada syarat awal tidak menimbulkan pengaruh pada penyelesaian.
E. Simulasi Model Pada sub bab ini akan disimulasikan secara numerik model penyebaran penyakit campak di Kabupaten Sleman Provinsi DIY tahun 2015 dengan memanfaatkan software Maple 18. Simulasi ini dilakukan untuk memberikan gambaran geometris mengenai pola penyebaran penyakit campak sesuai dengan kondisi bilangan reproduksi dasar. Bilangan reproduksi dasar dapat digunakan untuk mengetahui penyakit tersebut menghilang atau endemik dalam populasi. Saat
artinya setiap individu yang terinfeksi dapat menularkan penyakit
campak kepada rata-rata kurang dari satu individu rentan, sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit dapat menghilang dari populasi. Namun, untuk artinya setiap individu terinfeksi dapat menularkan penyakit campak kepada rata-rata lebih dari satu individu rentan, sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit menyebar dalam populasi. Berdasarkan Badan Pusat Statistik Kabupaten Sleman tahun 2015, populasi di Kabupaten Sleman berjumlah 1.167.481 jiwa jumlah kelahiran 14.134 jiwa, jumlah
72
individu yang terkena penyakit campak 104 jiwa, dan jumlah kematian karena penyakit campak 0.
1.
Estimasi Parameter Model Parameter-parameter model dapat diestimasi menggunakan langkah-langkah
sebagai berikut : Angka infeksi yang dinyatakan dengan dan jumlah infectious pada waktu
, yaitu dalam koefisien kontak efektif per jumlah total populasi
. Dengan
demikian, jumlah exposed pada setiap waktu bergantung pada kontak antara infectious dan susceptible . Dalam hal ini, diasumsikan
dimana
adalah jumlah individu
yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang dalam populasi rentan selama periode infectious. Rata-rata jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang per unit waktu adalah Untuk penyakit campak,
dengan
adalah rata-rata durasi invektifitas.
diestimasi 9 hari. (Suparyanto, 2014).
Angka infektivitas
adalah angka transmisi dari exposed ke infected .
Angka infektifitas dapat diturunkan dari rata-rata periode laten
rata-rata
periode laten). Periode laten untuk penyakit campak diestimasi 12 hari. (Suparyanto, 2014). Angka recovery adalah angka tansisi dari infectious ke recovered. Angka recovery diestimasi menggunakan durasi periode infektifitas, yaitu rata periode infektifitas.
73
rata-
Tabel 3.1 Data Nilai Awal Kelas SEIR dengan Asumsi Tertentu No.
Jumlah Populasi
Proporsi Awal
Awal
dalam Persen
Proporsi Kelas Rentan
759.394 jiwa
0,6505
Proporsi Kelas Ekspose
90 jiwa
7,7089x10-5
3.
Proporsi Kelas Infeksi
104 jiwa
8,908x10-5
4.
Proporsi Kelas Recovered
408.087 jiwa
0,3493
1.167.481 jiwa
1
1. 2.
Proporsi Awal Kelas untuk t=0
Total Populasi
Data awal kelas SEIR diperoleh dari data Kabupaten Sleman Daerah Istimewa Yogyakarta pada tahun 2015. Populasi kelas rentan diperoleh dari total individu usia nol sampai dengan 45 tahun, populasi kelas infeksi diperoleh dari jumlah penderita campak, total populasi diperoleh dari jumlah populasi di Kabupaten Sleman Provinsi DIY pada tahun 2015. Selanjutnya untuk populasi kelas ekspose diperoleh dengan mengambil angka yang mendekati jumlah kelas infeksi, kemudian kelas sembuh diperoleh dengan mengurangkan total populasi keseluruhan dengan populasi kelas rentan, ekspose, dan infeksi. Parameter-parameter model (angka transisi per satuan waktu (hari)) dihitung menggunakan rumus-rumus estimasi parameter model dan diperoleh : 1. Angka infektifitas 2. Angka kesembuhan
1/masa inkubasi 1/masa pemulihan
3. Angka kelahiran 74
4. Angka kematian
rata-rata usia orang Indonesia adalah 70 tahun atau
25550 hari 5. Angka kematian karena campak 6. Berdasarkan pusat data dan informasi Prov. DIY 2015, persentase sukses vaksinasi 7. Nilai
adalah nilai yang merepresentasikan laju penularan penyakit
campak, dalam hal ini,
dimana
adalah jumlah individu yang
melakukan kontak efektif dengan setiap orang dalam populasi rentan selama periode infeksi. Rata-rata jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang per unit waktu adalah rata durasi invektifitas. Untuk penyakit campak, Sehingga
dengan
adalah rata-
diestimasi 9 hari.
. (Maesaroh Ulfa, 2013).
Substitusikan nilai parameter-parameter yang bersesuaian pada sistem (3.10) sehingga didapatkan sistem (3. 34) sebagai berikut
Berikut simulasi untuk sistem (3.34).
75
Simulasi model matematika SEIR pada penyebaran penyakit campak di Kabupaten Sleman Untuk nilai parameter
, diperoleh nilai
. Simulasi
ditunjukkan pada Gambar 3.2. Script program Maple untuk Gambar 3.2 dapat dilihat pada Lampiran 1.
Gambar 3.2 Simulasi Penyebaran Penyakit Campak Berdasarkan Gambar 3.2, terlihat proporsi susceptible mengalami penurunan yang signifikan. Hal ini dapat disebabkan karena banyaknya individu kelas rentan yang terinfeksi penyakit campak akibat adanya kontak langsung dengan individu terjangkit atau karena individu rentan masuk kelas recovered. Pada jangka waktu tertentu, proporsi kelas exposed dan proporsi kelas infected mengalami kenaikan kemudian mengalami penurunan. Hal
76
ini terjadi akibat banyaknya individu kelas rentan yang terjangkit dan terinfeksi penyakit campak. Untuk proporsi kelas recovered, mula-mula kurva mengalami peningkatan kemudian stabil. Hal ini terjadi karena individu dari kelas susceptible, exposed, dan infected masuk ke dalam kelas recovered. Jika nilai parameter disubstitusikan ke sistem (3.34), maka diperoleh nilai
untuk titik ekuilibrium sebesar
. Selanjutnya, analisis kestabilan pada titik ekuilibrium bebas penyakit, jika nilai parameter disubstitusikan, diperoleh nilai eigen riil yang pertama dan kedua bernilai negatif, sedangkan nilai eigen riil yang ketiga, yaitu koefisien Routh bernilai positif. Akibatnya, hubungan dengan
koefisien
Routh
menjadi
.
Berdasarkan Teorema 2.2, jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen riil positif maka sistem tidak stabil. 2. Kasus dengan Efektivitas Vaksinasi Berbeda Pada bagian ini akan dilihat mengenai pengaruh efektifitas vaksinasi terhadap suatu penyakit. Dimulai dengan vaksinasi berhasil 10%, 45%, dan 70% akan ditunjukkan dengan grafik.
77
Gambar 3.3 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 10%
Gambar 3.4 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 45%
78
Gambar 3.5 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 70% Pada saat vaksinasi 10%, 45%, dan 70% mengakibatkan periode penyebaran penyakit dan individu terinfeksi menjadi lebih lama yaitu lebih dari 100 hari. Dari gambar 3.2 menunjukkan bahwa untuk nilai persentase vaksin sebesar 95% maka proporsi individu yang terinfeksi penyakit campak mengalami peningkatan kemudian akan mengalami penurunan pada kurun waktu kurang dari 100 hari. Dapat disimpulkan bahwa besarnya persentase sukses vaksinasi dapat mempercepat periode penyebaran dan tingkat individu terinfeksi penyakit campak. Namun, karena sistem tidak stabil, persentase vaksin sebesar 95% belum mampu mencegah terjadinya endemi penyakit campak di Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta.
79
