BAB III ESTIMASI BLUP, ML, DAN REML UNTUK MODEL CAMPURAN LINEAR 3.L Estimasi BLUP Misalkan /, merupakan fungsi log-likelihood dari vector y pada persamaan (2.1) dengan mengambil u seperti syarat yang telah ditetapkan pada keterangannya, maka diperoleh -1/2
/, =log = log = -^\og(2^
+ log\D\^^(r~Hy-X/3
- ZuyD-\y-X/3
- Zu)loge
-1, «log(2;ro-^) + log D ^ a''^ {y - Xp - Zu)'D~\y - Xp - Zu)
(3.1.1)
dan misalkan/2 menyatakan logaritma dari fungsi densitas peluang u, maka analog dengan diatas diperoleh 1 ^r ^2 =--Y)^\og2na] dengan
merupakan dimensi dari
1 +log|/i/^)| + ( T 7 \ ; ^ / ( ^ ) M j
(3.1.2)
.
Estimasi BLUP dari masing-masing parameter, yaitu parameter P, u, cr^ dan
diperoleh dengan memaksimumkan (3.1.3)
Untuk lebih memudahkan, bentuk matriks diagonal blok A berikut A= d^A Selanjutnya turunkan / pada persamaan (3.1.3) terhadap masing-masing parameter , u, Oj, dan (j)^, secara berturut-turut diperoleh di _ 5/, _ a dp dp dp\
2
n log 27ta^ + \og\D\ + c7-\y -Xp- Zu)'D-'
- — c r -2 - y'D-'xp - P'X'D-'y+p'X'D-'Xp 2 dp =
{y-Xp-Zu)
+ p'X'D-'Zu + u'Z'D-'Xp
X'D-'y - X'D-'y + 2X'D-'Xp + X'D-'Zu + X'D-'Zu)
= - | c r - ' (- 2X'D-'y + 2X'D-'Xp + 2X'D-'Zu) = a-^X'D-'{y-Xp-Zu) dp Analog dengan penunman di atas diperoleh di
du -a
-2
Z'D-\y-Xp-Zu)-A-'u
1 «cr-' - o--' {y-XpdcT^ 2 dl ^ 1 da]~ 2 dl ^
dl ^
(3.1.5) ZuyO-' (y-Xp-Zu)]
dengan vj^^ = ?r
9
(3.1.6) (3.1.7)
^dA ^
1^
(3.1.4)
(3.1.8)
Kemudian dari masing-masing persamaan (3.1.4) sampai (3.1.8) disamakan dengan nol, yaitu sebagai berikut Dari persamaan (3.1.4) diperoleh a-^X'D-\y-Xp-Zu)
= f)
X'D-'y-X'D-'xp-X'D~'Zu
=Q
X'D-'Xp + X'D-'Zu = X'D~'y Dari persamaan (3.1.5) diperoleh cr-' [Z'D-' {y-XP-
(3.1.9)
Zu) -A-'u = 0
Z'D-'y - Z'D-'XP - Z'D-'Zu - A~'u = 0 Z'D-'XP + Z'D-'Zu + A''u = Z'D-'y (3.1.10) Dari persamaan (3.1.9) dan (3.1.10) dapat dibentuk matriks BLUP untuk mengestimasi P dan u, yaitu X'D' 'X X'D-'Z Z'D- 'X Z'D-'Z + A-\ it
'X'DZ'D-
Misalkan X ^D + ZAZ' dan K - Z)"' -D-'X{X'D-'Xy
X'D'', dengan K
simetris dan X'KX = 0 yang berarti KX = 0, maka dari persamaan matriks BLUP di atas diperoleh estimator untuk p dan u sebagai berikut p=
(x'Z''xyx"z-\v
u=(Z'KZ +
A-')-ZKy
Dari persamaan (3.1.6) diperoleh - ^[na-^ - cT-\y ~Xp- Zu)'D-' {y-Xpna'-iy-Xp-
Zu)'D'' {y-Xp-
10
Zu)] = 0 Zu) = 0
Denganmengganti p = P dan u=u diperoleh estimasi BLUP untuk cr', yaitu no'^iy-Xp-
Zu)'D-' {y -Xp-
5^ ^n-\y-Xp-Zu)'D-'(y-Xp-Zu)
Zu) = 0 =0
Dengan cara yang sama dengan di atas, dari persamaan (3.1.7) diperoleh estimasi BLUP untukCT', yaitu Sedangkan dari persamaan (3.1.8) diperoleh
I vf^-a-^u'A-
f8A,
= 0 ;* = 1,2,
dan dalam hal ini estimasi BLUP untuk (p^ tidak dapat diselesaikan secara eksplisit. 3.2. Estimasi ML Perhatikan kembali y pada persamaan (2.1). Analog dengan proses pada estimasi BLUP, fungsi log-likelihood untuk y yang merupakan gabungan dari distribusi u adalah hiL =-^[«log2;ro-2 +\og\Y\ + { y - Xp)'Y.-\y
- Xp)]
(3.2.1)
Kemudian turunkan persamaan (3.2.1) terhadap masing-masing parameter P,a ,9, dan (p, secara berturut-turut diperoleh (penunman fimgsi ini jugea analog dengan penurunan pada estimasi BLUP) dh'ML = dp
a'^X'J.-\y-Xp)
11
1. - 2 - . 7 -^(>.-zA)'E= --[«o_i 5E dlML d9j 5/ML
51ML
d9j
-){y-
= -i[?rE_i as
as = -l[/rE-_i a<^.
-){y-
xp)]
){y-
xp)]
Selanjutnya dari masing-masing persamaan turunan di atas disamakan dengan nol sehingga diperoleh estimasi ML untuk P dan sebagai berikut P^^ =P = H-X"L-'^y a^ML
dengan / / - X ' E " * X
=n^\y-Xp^JI.-\y-Xp^^)
Sedangkan estimasi untuk (p umumnya tidak dapat diselesaikan secara eksplisit kecuali untuk E tertentu. Dari persamaan-persamaan di atas setelah disamakan dengan nol dapat dibentuk matriks informasi ML, yaitu l^i sebagai berikut 'a~^H
0
0 1
la' 2
59J d9i
39 J
la'
d9t
1 d9i 89/ l..[E--^E-^] 2 d
Pada model terakhir matriks variansi berbentuk E = D + Z ^ Z ' = D + £ 9jZjAj {^)Z'j 7=1
sehingga — = ZjAjim'j dan =^^.z^(—^)z;. 99J ^ ^ d
, dengan ketentuan jika parameter ^ tidak termuat dalam Aj maka turunannya nol. 12
Dengan menggunakan hasil-hasil matriks berikut ii).Qy = E - ' C J - # A / i ) - D-\l - Z(Z'D-'Z + A-'y'Z'D-']iy = (ii) . Z'Qy = Z'i:-\y-Xfij^)
(iv) . (y - Xpy^iy
D-\y-Xp^^-Zu) = Z'D-'{y-Xfi^L-Zu)
(iii) . Z'jQy = Z'jI.-'(y-Xfij^)
- Xfi^^ )
= Z'jD-\y-X^j^-ZS)
- Xp) ^ -{y - xp)'!.-'^i:-\y
oa j
= A-'u =
ef'A-'uj
- Xp)
ot>J
=-ej^u]A-'u^ (V). y'Q^^Qy
=
d-'u]Ar'iij
(vi) . {y-xpy^{y-xp) = j^0j'''uj-^uj d 9-^7* (vii) . y'Q—Qy = -y0y^u' —^u. dan hasil-hasil matriks pada Bab II, diperoleh =n-^y'Yr\y-XPj,,j^)
= n-^y'D-\y-XPj,ii^-Zu)
= n''y'Qy
81ML
36 j
dl'ML dcPs Sedangkan untuk
13
2a-^H
0
.-2 7=1
y=i 7=1
7=1
3.3. Estimasi REML Misalkan
adalah fimgsi log-likelihood untuk teknik likelihood
IREMI
maksimum residu. Ambil matriks K seperti yang didefinisikan pada bagian 3.1 yang memenuhi KX= 0, maka diperoleh fimgsi log-likelihoodnya sebagai berikut («-v)log ITTCT"- ^logKLK
/REML
+a-^y'K{KIXyKy
dengan \KLK\ diinterprestasikan sebagai determinan dari baris dan kolom yang bebas linear dari KLK . Analog dengan penurun yang dilakukan pada bagian 3.1, diperoleh turunan pertama dari
I^EML
terhadap parameter-parameter
, 6j, dan
berturut-turut adalah dl REML
91REML^_}_
86 J
1 2 tr
{K^KYK — K - <j~^y'K{KlKy 86^
14
K 81 K(KlKyKy 86j
•3y
tr
9s
2[
d,
-a~^y'K(KLKy
81 K^^K{KLKy
Ky
d(j).
Analog dengan proses penunman estimasi BLUP, yaitu masing-masing persamaan turunan di atas disamakan dengan nol dan kemudian diselesaikan persamaannya, diperoleh ^lEM,=in-vYy'Qy
dan matriks informasi REML, yaitu 2a
ill2a-)trQ^Q^
adalah sebagai berikut 89
j
89^ ^ 89,
{\l2a^)trQ^ ill 2a^)tr
8h Q ^ Q ^ a9j
otpi
80s 84>f Dengan menggunakan
= Z^^ (
dan hasil-
89 81 SO,
REML
=0
Persamaan terakhir dapat diselesaikan secara iterative. Bila matriks informasi REML dikalikan dengan 2, maka persamaan matriks informasinya menjadi
15
7=1
j=\
m=l
Dari pembahasan didepan dapat diringkas hasil penurunan metoda BLUP, ML, dan REML untuk y0,
pada model campuran linear pada
tabel di bawah ini. Tabel Estimasi BLUP, ML, dan REML untuk Model Campuran Linear a' BLUP
(X"L-'XyX'l-'y
ML
(x'l-'xyx'i-'y
(y-Xp-
n-\y-XP^jD-\y-Xp^,)
REML (x"z-'xyx"z-'y
BLUP
ZuyO'' {y-Xfi-
{n-vy'y'Qy s
k
I
vfUafu'j
(dAf^
7=1
ML
k
z
r
fdA-'^
REML
k
z
^J
V
7=1
J
J
^j(REML)^j
(dAf^
7=1
16
"7
"7
=0 =0
Zu) {v^-r]y'u]Ap,
3.4. Estimasi BLUP, ML, dan REML untuk Generalisasi Model Campuran Linear Seperti telah dikemukan dalam Bab 11, jika model campuran linear umum pada persamaan (2,1) tidak diharuskan berdistribusi normal tetapi berdistribusi tergantung pada //, maka model persamaan (2.1) selanjutnya dikatakan generahsasi model campuran linear (model campuran linear diperumum) Jika fiy; 0\ u) adalah fungsi densitas peluang dari y dengan syarat yang telah ditetapkan pada M, maka /] ==ln/(>'; p\u) adalah log-likelihood dari y dengan syarat yang telah ditetapkan pada u. Misalkan u berdistribusi normal sebagaimana telah diasumsikan sebelumnya dan logaritma densitas peluangnya adalah I2 seperti pada persamaan (3.1.3), maka I = l\ + I2 adalah bentuk fimgsi likelihood tujuan dan membawa BLUP kedalam kerangka non-normal. Dalam kasus ini, k adalah fungsi tujuan untuk syarat log-likelihood l\. Estimator likelihood tujuan untuk P dan u ekivalen dengan BLUP, yaitu diperoleh dengan menentukan turunan likelihood dl
X'dl^ dj8 dr}
dl dUj
'
Z'jdl^ _-2 -Oj Aj Uj, j = l,2,---,k drj
dan turunan kedua dari / sama dengan turunan kedua dari li kecuali untuk
_J1^ = ^ dujdu)
dujdu'j
dengan B =
^-2^-1
^
^
d\ drjdri
17
BZ,-afA-'
=_z' J
J
J J
Metode iteratif Newton-Raphson untuk mengestimasi P dan u adalah + V 'X'~ "h.y WJ dri X'' dengan V = Z' BX Z
+
a "0 0
0
(4.1.1)
0 a-^A-'
Argumen yang dikemukakan dalam McGilchrist (1994) analog dengan persoalan model campuran linear dan pengembangan variabel respon normal dengan B = D~^ dan a'^ =1 sekaligus berarti Oj -crj. Prosedur estimasinya adalah sebagai berikut. Nyatakan log-likelihood sebagai fimgsi dari fj = xp + Zu, ambil u dengan syarat yang telah ditetapkan. Kemudian gunakan estimasi awal dari 0,0 dan misalkan P = PQ, U = UQ estimasi awal dari p dan u. Selesaikan persamaan (4.1.1) untuk P dan u . Nilai-nilai awal diganti dengan estimasi dalam iterasi baru dan seterusnya hingga konvergen.
0j(ML)=
k
I E k
Sedangkan estimasi dari cry dan 0 diperoleh dari u'Aj^u . u'A^ti0,,f/mj,^ = - ' ^ — - dan ^3 ^ atau Oj^REML) (v,-r,) (v,-0) SA;
= 0 untuk 0s(ML)^ s = = 0 untuk 0s(REML) . s =
\,2,--,p \,2,--,p
Sedangkan matriks informasinya sama dengan matriks informasi untuk ML dan REML. 18
