Bab III Model Estimasi Outstanding Claims Liability
3.1 Model ELRF Suatu model yang digunakan untuk menaksir outstanding claims liability, tidak cukup hanya melibatkan data pada run-off triangle saja. Sebab, pembayaran klaim di masa datang merupakan kejadian acak yang tidak diketahui, baik besarnya maupun waktu pembayaran. Suatu model probabilistik diperlukan untuk menaksir outstanding claims liability. Model probabilistik ini, diharapkan dapat mengakomodir faktor ketidakpastian (uncertainty) dalam penaksiran outstanding claims liability. Berkaitan dengan penggunaan model probabilistik, hal yang perlu menjadi perhatian sebelum menggunakan model adalah melakukan pemeriksaan asumsi model. Tujuannya adalah memastikan apakah asumsi model yang digunakan dipenuhi data. Jika asumsi model tidak dipenuhi data, maka prakiraan estimasi outstanding claims liability akan mengarah pada indikasi yang salah dan kuasa yang rendah, sehingga standar error dari taksiran menjadi tidak berarti.
Beberapa model probabilistik yang dapat digunakan untuk menaksir outstanding claims liability diantaranya ; model-model regresi yang didasarkan pada rasio hubung (link ratio) dibangun oleh: Brosius (1992), Mack (1993), dan Murphy (1994). Model-model di atas diperluas Barnett dan Zehnwirth (2000) dengan melibatkan trend dalam data incremental, keluarga model di atas dikenal sebagai: ELRF (extended link ratio family). y(i) - x(i) = a 0 + a1i + (b - 1) x(i) + ε(i)
Var (ε(i )) = σ 2 x(i )
δ
,
(3.1)
i = 1,2,...n
x(i ) : nilai kumulatif pada development period j − 1 untuk accident periods i y (i ) : nilai kumulatif pada development period j untuk accident periods i
a0 : intercept parameter
10
a1 :trend parameter b : slope parameter δ : ' weighting ' parameter σ 2 : base var iance
Bisa terjadi model terbaik dalam ELRF tidak tepat untuk suatu data riil, karena data tidak memenuhi asumsi-asumsi dari model. Hal ini akan membawa pada indikasi yang salah dan kuasa yang rendah, sehingga standar error dari taksiran menjadi tidak berarti. Sebab-sebab umum dari kegagalan memenuhi asumsiasumsi ini memotivasi pembangunan kerangka-kerja pemodelan secara statistika.
3.2 Kerangka Kerja Pemodelan Secara Statistika Berdasarkan penelitian yang dilakukan oleh Barnett dan Zehnwirth (2000), model
ELRF mempunyai beberapa kelemahan: 1. Asumsi model ELRF, error berdistribusi normal, asumsi ini jarang sekali dipenuhi oleh loss data. Error secara umum skewed to the right. 2. Model- model dalam ELRF, tidak melibatkan trend dalam development period dan dalam payment period, padahal dalam situasi praktis, trend-trend tersebut sering terjadi.
Kelemahan – kelemahan dalam ELRF memotivasi munculnya keluarga model
PTF. Keluarga model-model statistika dalam kerangka-kerja model PTF berisikan asumsi yang lebih realistis. Kerangka-kerja pemodelan secara statistika didasarkan pada logaritma natural dari data incremental (ln (incremental)). Setiap model dalam kerangka-kerja pemodelan secara statistika mempunyai 4 komponen penting, yaitu : 1. Komponen dalam arah periode perkembangan (development period) 2. Komponen dalam arah periode kejadian (accident period), 3. Komponen dalam arah periode pembayaran/kalender (payment period) 4. Distribusi data di sekitar trend.
11
Dalam tesis ini digambarkan bagaimana mengidentifikasi model PTF yang optimal
dalam kerangka-kerja pemodelan secara statistika melalui prosedur
identifikasi model setahap demi setahap. Karena pemodelannya secara statistika, maka kerangka-kerja pemodelan ini 1. Memungkinkan untuk memisahkan ketidakpastian (uncertainty) parameter dan variabilitas proses. 2. Memungkinkan untuk memeriksa bahwa semua asumsi dalam model dipenuhi oleh data. 3. Memungkinkan untuk menghitung distribusi taksiran cadangan, termasuk total cadangan. 4. Memungkinkan
untuk
meng-update
model-model
secara
mudah
dan
mengawasi taksiran ketika tibanya data baru.
3.3 Model PTF Dan Matriks Desain Dalam kerangka pemodelan PTF, sebuah model yang optimal di identifikasi, dibangun atau didesain sehingga menangkap variabilitas (volatility) dalam run-off
triangle dari data incremental. Variabilitas digambarkan menggunakan 4 komponen, yaitu trend
dalam 3 arah (development, accident, payment) dan
variabilitas dari distribusi data disekitar trend.
Barnett dan Zehnwirth (2000) menuliskan, j
i+ j
k =1
t =1
y (i, j ) = α i + ∑ γ k + ∑ ιt + εi , j
(3.2)
y (i, j ) = ln( pi , j ) j i+ j ⎛ ⎞ y(i , j ) ~ Normal⎜⎜ α i + ∑ γ k + ∑ι t , σ 2 ⎟⎟ k =1 t =1 ⎝ ⎠ j i+ j ⎞ ⎛ E( y(i , j )|i , j ) = ⎜⎜ α i + ∑ γ k + ∑ι t ⎟⎟ k =1 t =1 ⎠ ⎝
Var( y(i , j )|i , j ) = σ 2
12
(3.3)
j i+ j ⎞ ⎛ p i , j ~ Lognormal ⎜⎜ α i + ∑ γ k + ∑ ι t , σ 2 ⎟⎟ k =1 t =1 ⎠ ⎝ j i+ j ⎞ ⎛ 1 E( p i , j |i , j ) = exp⎜⎜ α i + ∑ γ k + ∑ι t + σ 2 ⎟⎟ 2 k =1 t =1 ⎠ ⎝
j i+ j ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 1 Var( p i , j |i , j ) = ⎢exp⎜⎜ α i + ∑ γ k + ∑ι t + σ 2 ⎟⎟ exp(σ 2 ) − 1 ⎥ 2 k =1 t =1 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
pi , j
2
: incremental payment data untuk accident period i dan development period j
y (i, j ) : log natural dari incremental payment data untuk accident period i dan development period j αi : level untuk accident period i γk
: parameter trend pada development period k
τt
: parameter trend pada payment period t
i = 0,1,..., n − 1 j = 0,1,..., n − 1 t = 1,2,..., i + j Dari pers (3.2) terlihat bahwa model PTF dalam penerapannya melibatkan trend pada accident year, trend pada development year dan juga trend pada payment year. Secara geometri trend ini terbagi dalam 3 arah (accident year, development year, payment year), seperti gambar di bawah ini, Development year
j
Payment year Accident year
t i dari gambar di atas, accident year dan development year saling bebas, sedang payment year tidak bebas terhadap 2 arah yang lain. Secara implisit, payment year dibangun dari accident year dan development year. Persamaan (3.3) mewakili
13
expected values dari masing-masing cell dalam log (incremental) data, bila dibuat tabelnya akan menjadi seperti di bawah ini,
Development period
Accid ent
0 1
0
1
K
j
α0
α 0 + γ1 + τ1
K
α 0 + ∑ γ k + ∑ τt
α1 + τ1
2
j
α1 + γ1 + ∑ τt
K
M
k =1
t =1
α i + ∑ γ k + ∑ τt
α i + γ1 + ∑ τ t
K
M
M
M
N
M
M
n −1
j +1
N
α i + ∑ τt
t =1
j
M
i
t =1
t =1
M
M
i +1
k =1
K K
M
i
j
α1 + ∑ γ k + ∑ τt
t =1
n −1
K
j
j +i
k =1
t =1
K
N
M
α n −1 + ∑ τt t =1
Tabel di atas inilah yang nantinya akan menjadi dasar dalam pembentukan matriks desain dari model PTF. Sebagai contoh sederhana, akan diuraikan pembentukan matriks desain dari run-off triangle untuk data empat tahun (full model). Dari
Y (0,0) = α 0 + ε 00
Y (1,0) = α1 + τ1 + ε10 Y (2,0) = α 2 + τ1 + τ 2 + ε 20 Y (3,0) = α 3 + τ1 + τ2 + τ3 + ε30 Y (0,1) = α 0 + γ1 + τ! + ε01 Y (1,1) = α1 + γ1 + τ1 + τ 2 + ε11
Y (2,1) = α 2 + γ1 + τ1 + τ2 + τ3 + ε 21 Y (0,2) = α 0 + γ1 + γ 2 + τ1 + τ2 + ε 02
14
n−1
k=1
t =1
α0 + ∑γk + ∑τt
n −1
persamaan (3.2) dan analog tabel di atas diperoleh ,
n−1
Y (1,2) = α1 + γ1 + γ 2 + τ1 + τ2 + τ3 + ε12 Y (0,3) = α 0 + γ1 + γ 2 + γ 3 + τ1 + τ2 + τ3 + ε03
dengan manipulasi matriks bentuk persamaan diatas dapat dipandang sebagai permasalahan regresi yang berbentuk
r r r Y = Xβ + ε dengan ⎡1 0 0 0 ⎡Y (0,0) ⎤ ⎢0 1 0 0 ⎢ Y (1,0) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 0 ⎢Y (2,0)⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢0 0 0 1 ⎢Y (3,0) ⎥ ⎢1 0 0 0 ⎢ Y (0,1) ⎥ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎢0 1 0 0 ⎢ Y (1,1) ⎥ ⎢0 0 1 0 ⎢ Y (2,1) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢1 0 0 0 ⎢Y (0,2)⎥ ⎢0 1 0 0 ⎢ Y (1,2) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣1 0 0 0 ⎣⎢Y (0,3) ⎦⎥
r Y
0 0 0 0 0 0⎤ 0 0 0 1 0 0⎥⎥ 0 0 0 1 1 0⎥ ⎥ 0 0 0 1 1 1⎥ 1 0 0 1 0 0⎥ ⎥ 1 0 0 1 1 0⎥ 1 0 0 1 1 1⎥ ⎥ 1 1 0 1 1 0⎥ 1 1 0 1 1 1⎥ ⎥ 1 1 1 1 1 1⎦⎥
⎡α 0 ⎤ ⎢α ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢α 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢α 3 ⎥ ⎢ γ1 ⎥ ⎢ ⎥+ ⎢γ2 ⎥ ⎢γ ⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ τ1 ⎥ ⎢τ ⎥ ⎢ 2⎥ ⎣⎢ τ 3 ⎦⎥
r β
X
⎡ε 00 ⎤ ⎢ε ⎥ ⎢ 10 ⎥ ⎢ε 20 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ε 30 ⎥ ⎢ ε 01 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ε11 ⎥ ⎢ε ⎥ ⎢ 21 ⎥ ⎢ε 02 ⎥ ⎢ε ⎥ ⎢ 12 ⎥ ⎣⎢ε 03 ⎦⎥ r ε
Matriks X (matriks desain di atas) dapat ditulis dalam bentuk seperti di bawah α0
α1
α2
α3
γ1
γ2
γ3
ι1
ι2
ι3
Y(0,0)
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Y (1,0)
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
Y (2,0)
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
Y (3,0)
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
Y (0,1)
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
Y (1,1)
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
Y (2,1)
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Y (0,2)
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
Y (1,2)
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
Y (0,3)
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
15
Selanjutnya penaksiran outstanding claims liability menggunakan model PTF, secara umum akan melalui tahapan-tahapan berikut : 1. Analisis awal terhadap data serta modifikasi data (bila diperlukan) 2. Identifikasi model yang akan dipilih 3. Estimasi outstanding claims liability
3.4 Analisis Awal Terhadap Data Analisis awal terhadap data merupakan tahapan penting yang harus dilakukan. Tujuannya untuk memeriksa kesesuaian antara data yang ada dengan model yang akan digunakan. Data yang akan digunakan dalam tesis ini berasal dari data Automatic Facultative Business in General Liability (AFG) diambil dari Reinsurance Association of America’s Historical Loss Development Study (9).
Tabel III.1 Run-off triangle data incremental (Nilai dalam ribuan US$) Accident year 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
0 5012 106 3410 5655 1092 1513 557 1351 3133 2063
1 3257 4179 5582 5900 8473 4932 3463 5596 2262
2 2638 1111 4881 4211 6271 5257 6926 6165
Development year 3 4 5 6 898 1734 2642 1828 5270 3116 1817 -103 2268 2594 3479 649 5500 2159 2658 984 6333 3786 225 1233 2917 1368
7 599 673 603
8 54 535
9 172
Dari tabel III.1 terlihat ada data yang bernilai negatif, yaitu data pada accident year 1982, development year 6. Data incremental yang bernilai negatif ini kemungkinan akibat salah satu dari : 1. Diperolehnya pembayaran dari pihak ketiga 2. Hasil dari salvage recoveries 3. Keputusan juri 4. errors
16
Data incremental yang bernilai negatif, tidak bisa langsung digunakan untuk menaksir outstanding claims menggunakan model PTF. Hal ini karena model PTF bekerja pada logaritma natural dari data incremental (ln(incremental)), konsekuensinya nilai-nilai dalam data incremental harus positif. Oleh karenanya sebelum melakukan penaksiran outstanding claims liability, perlu diperiksa dulu apakah data run-off triangle (data incremental) mempunyai nilai negatif atau nol. Apabila dalam data incremental terdapat nilai negatif atau nol, maka terlebih dahulu dilakukan modifikasi dalam data incremental, sebelum estimasi outstanding claims liability dilakukan.
Verral dan Li (1993) mengulas permasalahan tentang nilai negatif dalam data incremental . Menurut Verral dan Li (1993), ketika menghadapi nilai negatif dalam data incremental, maka lakukan modifikasi pada data tsb dengan : 1. Pilih konstanta C yang sesuai 2. Tambahkan C pada semua nilai dalam data incremental , sehingga data incremental bernilai positif semua 3. Gunakan data incremental modifikasi ini,untuk mendapatkan ln(incremental)nya. 4. Lakukan penaksiran outstanding claims liability.
Setiap hasil estimasi kurangkan lagi dengan C, untuk mendapatkan nilai taksiran yang sesungguhnya. Pemilihan konstanta C dapat di aproximasi dengan mengaplikasikan metoda maximum likelihood pada three parameter lognormal distribution, dengan C dimisalkan τ sebagai parameter ke 3 nya (perhitungan selengkapnya dijelaskan pada lampiran A dan lampiran B) untuk data AFG, ∧
∧
diperoleh τ = 1575.6559. Nilai τ = 1575.6559 digunakan sebagai konstanta C yang sesuai. Sehingga tabel III.1 akan menjadi
17
Tabel III.2 Data incremental dari data AFG yang telah di modifikasi Accident year 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
0 1 2 3 6588 4833 4214 2474 1682 5755 2687 6846 4986 7158 6457 3844 7231 7476 5787 7076 2668 10049 7847 7909 3089 6508 6833 2809 2133 5039 8502 2944 2927 7172 7741 4709 3838 3639
Development year 4 5 6 7 8 9 3310 4218 3404 2175 1630 1748 4692 3393 1473 2249 2111 4170 5055 2225 2179 3735 4234 2560 5362 1801 4493
3.5 Identifikasi Model Dari tabel III.2 terlihat bahwa nilai-nilai dalam data incremental sudah positif semua, tahapan selanjutnya yaitu identifikasi model. Pada identifikasi model terdapat dua tahapan proses yaitu 1. Pembentukan model PTF yang dapat menangkap trend dalam data incremental (masih berupa prakiraan model). 2. Estimasi parameter model di ikuti pengujiannya (parameter model signifikan atau tidak) serta pemeriksaan kesesuaian asumsi model dengan data.
3.5.1 Pembentukan Model PTF Pembentukan model PTF diperoleh melalui beberapa langkah pendahuluan, yaitu dengan melakukan transformasi logaritma natural terhadap data tabel III.2 terlebih dahulu (hasilnya seperti tersaji dalam tabel III.3). Kemudian langkah selanjutnya adalah membuat plot dari masing-masing arah trend (accident year, development year dan payment year), untuk mengetahui variasi parameter trend. .
18
Tabel III.3 ln (incremental) dari data tabel III.2 Accident year 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
0 8.793 7.428 8.514 8.886 7.889 8.035 7.665 7.982 8.457 8.199
1 8.483 8.658 8.876 8.919 9.215 8.781 8.525 8.878 8.253
2 8.35 7.9 8.77 8.66 8.97 8.83 9.05 8.95
Development year 3 4 5 6 7 8 9 7.813 8.105 8.347 8.133 7.685 7.396 7.466 8.831 8.454 8.129 7.295 7.718 7.655 8.254 8.336 8.528 7.707 7.686 8.864 8.225 8.351 7.848 8.976 8.587 7.496 7.94 8.41 7.987
Dari tabel III.3 didapat plot trend dalam arah accident year,development year, dan payment year.
ln(incremental)
10 8 6 4 2 0 1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
accident year
ln(incremental)
Gambar III.1 plot ln(incremental) vs accident year.
10 8 6 4 2 0 0
2
4
6
development year
Gambar III.2 plot ln(incremental) vs development year.
19
8
10
ln(incremental)
10 8 6 4 2 0 1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
payme nt ye ar
Gambar III.3 plot ln(incremental) vs payment year.
Dari gambar III.1, gambar III.2, dan gambar III.3 terlihat trend-trend yang muncul baik dalam accident year, development year maupun payment year, yaitu : 1. Pada accident year, terdapat satu trend α *1 α∗1 ln(incremental)
10 8 6 4 2 0 1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
accident year
Gambar III. 4 Dugaan trend yang muncul pada accident year.
ln(incremental)
2. Pada development year terdapat dua trend, yaitu pada development year 0-1 ( γ *1 ) dan pada development year 1-8 ( γ *2 ) 10 8 6 4 2 0
γ∗1 0
γ∗2 2
4
6
8
development year
Gambar III.5 Dugaan trend yang muncul pada development year.
20
10
3. pada payment year terdapat dua trend, yaitu pada payment year 1981-1982
ln(incremental)
( τ *1 ) dan pada payment year 1982-1990 ( τ *2 ) 10 8 6
ι∗1
4
ι∗2
2 0 1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
payme nt ye ar
Gambar III.6 Dugaan trend yang muncul pada payment year.
Berdasar hasil gambar III.4, III.5, dan III.6 didapat prakiraan model-model PTF antara lain : 1. Bentuk model yang melibatkan 1α , 2 γ dan 2 τ ( α *1 , γ *1 , γ *2 , τ *1 , τ *2 ). Dengan membuat matriks desain untuk semua parameter yang mungkin, dan dengan melakukan penyederhanaan parameter sesuai dengan prakiraan model menurut trend (uraian selengkapnya bisa di lihat pada lampiran C), diperoleh : α *1 = α 0 = α1 = ... = α 9 γ *1 = γ1 , γ *2 = γ 2 + ... + γ 9 τ *1 = τ1 , τ *2 = τ2 + ... + τ9
2. Bentuk model yang melibatkan 1α dan 2 γ ( α *1 , γ *1 , γ *2 ) dengan α *1 = α 0 = α1 = ... = α 9 γ *1 = γ1 , γ *2 = γ 2 + ... + γ 9
3. Bentuk model yang melibatkan 1α dan 1 γ ( α *1 , γ *1 ) dengan α *1 = α 0 = α1 = ... = α 9 γ *1 = γ1 + ... + γ 9
21
3.5.2 Estimasi Serta Pengujian Parameter Model Dari ketiga model di atas, selanjutnya dipilih satu model yang optimal. Dari hasil pengujian pada lampiran D, diperoleh 1 macam model optimal, yang parameternya signifikan serta asumsi model sesuai dengan data, yaitu model dengan 1α dan 2 γ . y (i, j ) = αˆ + γˆ 1 + ( j − 1) γˆ 2 + ε(i, j ) E ( y (i, j ) | i, j ) = αˆ + γˆ 1 + ( j − 1) γˆ 2
(3.4)
dengan nilai estimasi parameter sebagai berikut : αˆ = 8.1849 γˆ 1 = 0.6054 γˆ 2 = -0.1773 σ 2 = 0.1291
3.6 Estimasi Outstanding Claims Liability dan Analisis Kestabilan Setelah mendapatkan satu model PTF yang optimal dari sub bab 3.4, langkah selanjutnya
adalah
melakukan
penaksiran
outstanding
claims
liability
menggunakan model tersebut. Apabila data incremental bernilai positif semua, maka penaksiran outstanding claims liability dapat langsung menggunakan pers (3.3) atau tepatnya pers(3.4). Namun karena data incremental dari data yang digunakan (data AFG) mengandung nilai negatif, maka pers (3.3) tidak bisa langsung digunakan untuk penaksiran outstanding claims liability, ada sedikit penyesuaian seperti uraian dibawah ini. Berangkat dari pers (3.2) j
i+ j
k =1
t =1
y (i, j ) = α i + ∑ γ k + ∑ ι t + ε i , j j i+ j ⎞ ⎛ y (i, j ) ~ Normal⎜⎜ α i + ∑ γ k + ∑ ιt , σ 2 ⎟⎟ k =1 t =1 ⎠ ⎝ j i+ j ⎛ ⎞ E ( y (i, j ) | i, j ) = ⎜⎜ α i + ∑ γ k + ∑ ιt ⎟⎟ k =1 t =1 ⎝ ⎠
y (i, j ) = ln( pi , j )
22
(3.5)
untuk menghilangkan nilai negatif dalam data incremental, sedikit modifikasi dilakukan. Sehingga (3.5) menjadi
y (i, j ) = ln( pi , j + τˆ ) j i+ j ⎛ ⎞ pi , j + τˆ ~ Lognormal⎜⎜ α i + ∑ γ k + ∑ ιt , σ 2 ⎟⎟ k =1 t =1 ⎝ ⎠ j i+ j ⎛ 1 ⎞ E ( pi , j | i, j ) + τˆ = exp⎜⎜ α i + ∑ γ k + ∑ ιt + σ 2 ⎟⎟ 2 ⎠ k =1 t =1 ⎝ j i+ j ⎛ 1 ⎞ E ( pi , j | i, j ) = exp⎜⎜ α i + ∑ γ k + ∑ ιt + σ 2 ⎟⎟ − τˆ 2 ⎠ k =1 t =1 ⎝
(3.6)
dari pers (3.4) dan pers (3.6) diperoleh 1 ⎞ ⎛ E ( pi , j | i, j ) = exp⎜ αˆ + γˆ 1 + ( j − 1) γˆ 2 + σˆ 2 ⎟ − τˆ 2 ⎠ ⎝
(3.7)
Persamaan (3.7) inilah yang akan digunakan untuk memprediksi nilai dalam run
off triangle bagian bawah (menaksir outstanding claims liability) , dengan αˆ = 8.1849 γˆ 1 = 0.6054 . γˆ 2 = -0.1773 σ 2 = 0.1291 ∧
τ = 1575.6559 Hasil selengkapnya tersaji dalam tabel di bawah ini,
Tabel III.4 Nilai taksiran outstanding claims.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Accident year 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990
0
1
2
3
Development year 4 5
2541.7 3340.4 2541.7 4294.1 3340.4 2541.7 5432.7 4294.1 3340.4 2541.7
23
1872.8 1872.8 1872.8 1872.8 1872.8
6
1312.5 1312.5 1312.5 1312.5 1312.5 1312.5
7
843.3 843.3 843.3 843.3 843.3 843.3 843.3
8
9
450.3 450.3 450.3 450.3 450.3 450.3 450.3 450.3
121.1 121.1 121.1 121.1 121.1 121.1 121.1 121.1 121.1
Sebagai contoh perhitungan, misal akan di taksir nilai cell pada (1,9) atau
accident year 1982 (bisa diwakili notasi 1), development year ke 9. Gunakan pers (3.7) 1 ⎞ ⎛ E ( pi , j | i, j ) = exp⎜ αˆ + γˆ 1 + ( j − 1) γˆ 2 + σˆ 2 ⎟ − τˆ 2 ⎠ ⎝ untuk cell (1,9) i = 1 dan j = 9 maka pers(3.7) menjadi 1 ⎞ ⎛ E ( p1,9 | 1,9) = exp⎜ αˆ + γˆ 1 + (9 − 1) γˆ 2 + σˆ 2 ⎟ − τˆ 2 ⎠ ⎝
(3.8)
dengan memasukkan nilai estimasi parameter
αˆ = 8.1849 γˆ 1 = 0.6054 γˆ 2 = -0.1773 σ 2 = 0.1291 ∧
τ = 1575.6559 maka (3.8) menjadi 1 ⎛ ⎞ E ( p1,9 | 1,9) = exp⎜ (8.1849) + (0.6054) + (8) (-0.1773) + (0.1291) ⎟ − 1575.6559 2 ⎝ ⎠ E ( p1,9 | 1,9) = 1696.7162 − 1575.6559 E ( p1,9 | 1,9) = 121.0603
Hasil di atas, sesuai dengan tabel (III.4) pada cell (1,9). Dengan menjumlahkan semua nilai-nilai cell dalam tabel III.4 diperoleh taksiran dari total outstanding claims liability sebesar $ 62,042,896 atau sekitar $ 62 juta.
Untuk data yang sama, di bawah ini akan ditampilkan juga hasil taksiran outstanding claims liability dari beberapa model. Yaitu model Chain ladder dan Hertig’s model (Hertig, 1985). Model chain ladder dikenal sebagai basic method dalam penaksiran outstanding claims liability. Hal ini disebabkan karena, kemudahan/kesederhanaan dalam aplikasinya serta penggunaannya yang cukup sering dalam general insurance. Hertig’s model adalah model rasio yang masih berkaitan dengan model Chain ladder yang melibatkan faktor ketidakpastian serta
24
melibatkan juga faktor variansi parameter dalam penaksiran outstanding claims liability. Tabel III.5 Taksiran total outstanding claims liability dari beberapa model Taksiran dari total outstanding claims liability
Model Chain Ladder
$52,135,228
Hertig’s Model
$86,889,465
PTF Model
$62,042,896
Dari tabel III.5 terlihat bahwa model yang berbeda akan menghasilkan nilai taksiran total estimasi outstanding claims liability yang berbeda pula. Dari tabel III.5 tidak bisa diputuskan model mana yang terbaik dalam menaksir outstanding claims liability, sebab masing-masing model mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing. Akan tetapi penggunaan model PTF untuk menaksir outstanding claims liability menjawab kekurangan yang ada pada model penaksir outstanding claims liability yang lain.
Kadang kala ingin diketahui lebih jauh bagaimana karakteristik penaksir; apakah penaksir yang kita gunakan termasuk penaksir yang stabil atau tidak. Menurut Barnett dan Zehnwirth (2000), kestabilan penaksir outstanding claims liability dapat
diuji
dengan
cara:
penaksiran
dilakukan
berulang
kali
dengan
menghilangkan tahun pengamatan satu persatu (accident year). Uraian lebih lengkapnya disajikan pada lampiran E.
Tabel III.6 Perbandingan nilai total taksiran outstanding claims liability, antara data tahun pengamatan lengkap (1981-1990) dengan data tahun pengamatan yang dihilangkan satu persatu. N 55 45 36 28 21 15
Tahun 1981-1990 1981-1989 1981-1988 1981-1987 1981-1986 1981-1985
Total taksiran $62,042,896 $61,155,248 $62,805,761 $102,455,577 $92,791,181 $66,849,652
25
Dari tabel III.6 terlihat bahwa penaksir cukup stabil sampai 2 tahun pengamatan yang dihilangkan (tahun pengamatan lengkap 1981-1990). Fluktuasi terjadi mulai tahun pengamatan 1981-1987, 1981-1986, 1981-1985. Hal ini mungkin disebabkan oleh hal berikut : 1. Pada tahun pengamatan 1981-1990, 1981-1989 , 1981-1988 penaksiran outstanding claims liability melalui tahapan modifikasi data terlebih dahulu, sebab dalam data incremental masih terdapat nilai negatif, baru kemudian proses penaksiran menggunakan model PTF dilakukan. Hal demikian tidak terjadi pada tahun pengamatan 1981-1987, 1981-1986, 1981-1985, penaksiran untuk tahun pengamatan di atas dilakukan secara langsung, tanpa melakukan modifikasi data terlebih dahulu. Sebab
data incremental sudah tidak
mengandung nilai negatif lagi (seiring dengan penghilangan satu persatu tahun pengamatan). 2. Hal lain yang mungkin menjadi sebab penaksir kurang stabil seiring dengan penghilangan satu persatu tahun pengamatan, adalah semakin sedikitnya data yang digunakan untuk menaksir. Semakin sedikit data yang digunakan, penaksir semakin kurang valid.
26
