BAB III ANALISIS JALUR 3.1
Pendahuluan Analisis Jalur adalah suatu perluasan dari model regresi yang digunakan
untuk menguji kecocokan dari matriks korelasi terhadap dua atau lebih model kausal yang sedang dibandingkan dan untuk memberikan penjelasan yang dapat diterima dari korelasi yang diamati dengan membuat model-model hubungan sebab akibat antara variabel. Teknik ini pertama kali diperkenalkan oleh Sewall Wright pada tahun 1934 sebagai alat untuk mengkaji hubungan antar variabel dalam produksi ternak. Namun penerapannya sekarang meluas ke bidang-bidang lain, seperti genetika terapan dan ekonomi. Dalam analisis jalur terdapat beberapa asumsi yang perlu diperhatikan yaitu: 1. Hubungan antara variabel harus merupakan hubungan linear dan aditif. 2. Semua variabel residu tidak mempunyai korelasi satu sama lain. 3. Pola hubungan antara variabel adalah rekursif. 4. Variabel diukur dalam skala interval. 5. Memiliki multikolinearitas yang lemah, yang berarti hubungan linear yang pasti antara variabel yang menjelaskan dari model regresi memiliki hubungan yang lemah. 6. Spesifikasi model yang tepat untuk menginterpretasi koefisien jalur.
20
3.2
Diagram Jalur Apabila dipunyai seperangkat persamaan, yaitu: Y1 = f1(X1,…,Xq;a11,…,a1k) Y2 = f2(X1,…,Xq;a21,…,a2k)
(3.1)
M Yp = fp(X1,…,Xq;ap1,…,apk) yang mengisyaratkan hubungan kausal Y1,…,Yk atas X1,…,Xk. Apabila setiap variabel Y secara unik keadaannya ditentukan atau disebabkan oleh seperangkat variabel X , maka persamaan itu disebut persamaan struktural, modelnya disebut model struktural dan gambaran yang memperlihatkan struktur hubungan kausal antara variabel disebut dengan diagram jalur atau diagram alur (path diagram). Pada saat menggambarkan diagram jalur ada beberapa perjanjian: a
Hubungan antar variabel digambarkan oleh anak panah yang bisa berkepala tunggal atau single headed arrow, ada yang berkepala dua atau double headed arrow.
b
Panah yang berkepala satu menunjukkan pengaruh. Jika ada 2 (dua) buah variabel dan menurut teori X1 memengaruhi X 2 maka gambarnya adalah X1
X2
Gambar 3.1. Pengaruh X1 terhadap X2 variabel yang digambarkan pada ujung panah merupakan variabel akibat (eksogenus), sedangkan variabel yang pertama digambarkan disebut variabel penyebab (endogenus).
21
a. Hubungan sebab akibat merupakan hubungan yang mengikuti hubungan asimetrik,
tetapi
ada
kemungkinan
bahwa
hubungan
kausal
itu
menggambarkan hubungan timbal balik. Jadi jika ada variabel X1 dan X 2 .
X1 bisa mempengaruhi X 2 , atau X 2 bisa mempengaruhi X1 . Gambarnya adalah X1
X2
Gambar 3.2. Hubungan timbal balik b. Bisa terjadi hubungan antara X1 dan X 2 merupakan hubungan korelatif, keadaan seperti ini panahnya berkepala dua dan gambarnya adalah X1
X2 Gambar 3.3. Hubungan korelatif c. Variabel lainnya yang tidak bisa digambarkan (tidak bisa diukur) diperlihatkan oleh suatu variabel tertentu disebut residu dan diberi simbol dengan ε .
Apabila dipunyai model regresi linear ganda yang secara matematika dinyatakan dalam persamaan berikut ini :
Y = β0 + β1 X1 + ... + βk X k + ε
(3.1)
Andaikan dipunyai tiga buah variabel bebas yaitu X1 , X 2 dan X 3 , maka secara struktural, model regresi dapat digambarkan dalam diagram jalur sebagai berikut:
22
X1 ߝ
X2
Y
X3
Gambar 3.4 Diagram jalur yang menyatakan hubungan kausal dari X1, X2, X3 ke Y Gambar 3.4 menunjukkan bahwa dalam diagram jalur di atas terdapat tiga buah variabel eksogenus, yaitu X1 , X 2 , X 3 dan sebuah variabel endogenus Y serta sebuah variabel residu ε . Hubungan X1 dengan Y , X 2 dengan Y , dan X 3 dengan Y adalah hubungan kausal, sedangkan hubungan X1 dengan X 3 , X 2 dengan X 3 , dan X1 dengan X 2 adalah hubungan korelasional. Bentuk persamaan strukturalnya adalah: Y = pYX1 X 1 + pYX 2 X 2 + pYX 3 X 3 + ε
(3.2)
3.3 Koefisien Jalur Koefesien jalur adalah koefesien regresi standar atau disebut ‘beta’ yang menunjukkan pengaruh langsung dari suatu variabel penyebab terhadap variabel akibat dalam suatu model jalur tertentu. Koefisien jalur diberi simbol pij dengan i menyatakan akibat (variabel tak bebas) dan j menyatakan penyebab (variabel bebas). (Sudjana 2003: 297). Perhatikan gambar 3.5.
23
ߝଶ X1
px3 x1
px3ε X3
px2ε
px3 x2
ߝଵ X2 Gambar 3.5 Diagram Jalur Variabel X1, X2 dengan X3 Pada gambar 3.5 kuadrat koefisien jalur ( p X 2 X1 )2 menyatakan pengaruh langsung dari X1 ke X 2 . Kuadrat koefisien jalur ( p X 3 X1 )2 menyatakan pengaruh langsung dari X1 ke X 3 . Kuadrat koefisien jalur( p X 3 X 2 )2 menyatakan pengaruh langsung dari X 2 ke X 3 , demikian pula kuadrat koefisien ( p x2ε )2 dan ( p x3ε )2 masing-masing menyatakan pengaruh langsung dari variabel residual ε1 ke variabel X 2 dan variabel residual ε 2 ke variabel X 3 . Selain pengaruh langsung, terdapat pula pengaruh tidak langsung antara variabel eksogenus terhadap variabel endogenus. Pada gambar diatas terdapat pengaruh tidak langsung variabel X1 terhadap variabel X 3 melalui variabel X 2 . Variabel X1 adalah variabel eksogenus, dimana variabel ini dipengaruhi variabel yang tidak masuk dalam gambar 3.5. Akibatnya, angka baku z untuk variabel bebas ini hanya dinyatakan oleh suku residual ε1 yakni Z1 = ε1 . Persamaan angka baku z untuk variabel
X2
adalah sebagai berikut:
24
Z 2 = p21Z1 + ε 2 . Penerapan yang sama untuk variabel tak bebas X 3 akan diperoleh sistem rekursif berikut :
Z1 = ε1 Z 2 = p21Z1 + ε 2
(3.3)
Z 3 = p31Z1 + p32 Z 2 + ε 2
Karena harga-harga variabel dinyatakan dalam angka baku, maka untuk n buah pengamatan akan berlaku: rhj =
1 k ∑ ZhZ j n i =1
(3.4)
dimana k adalah banyaknya variabel. (Sudjana, 2003:298-299). Dari sistem persamaan yang menghubungkan rij dan pij dapat dilihat adanya efek langsung dan tak langsung, misalnya r13 = p31 + p32 r12 dengan menggantikan r12 = p21 sehingga diperoleh r13 = p31 + p32 p21 yang berarti bahwa koefisien korelasi r13 antara X1 dan X 3 terdiri dari dua komponen yaitu efek langsung variabel X1 terhadap X 3 ( p31 ) dan efek tidak langsung variabel X1 terhadap X 3 melalui variabel X 2 ( p32 p21 ) = r13 = p21 . Hal ini dapat dilihat dari arah-arah anak panah dalam gambar 3.5. (Sudjana, 2003:299-302). Besarnya pengaruh total variabel eksogen terhadap endogen adalah penjumlahan besarnya pengaruh langsung dengan besarnya pengaruh tidak langsung. Koefisien jalur adalah koefisien yang tidak mempunyai satuan, oleh karena itu secara relatif bisa sekaligus mengambil kesimpulan bahwa semakin besar koefisien jalur maka secara diberikan variabel itu.
relatif semakin besar pula pengaruh yang
25
3.4
Penerapan Konsep Matriks Dalam Analisis Jalur Penerapan
konsep
matriks
dalam
analisi
jalur
bertujuan
untuk
menyederhanakan penulisan persamaan yang dihasilkan oleh diagram jalur dan mempermudah perhitungan untuk mencari koefisien-koefisien jalur. Perhatikan model persamaan rekursif berikut:
Ysi = pY 1Z1i + pY 2 Z 2i + ... + pYk Z ki + pY ε ε s
(3.5)
Keterangan:
Ysi
: Variabel tak bebas (Y) dalam angka baku
pYi Z ji : Koefisien jalur dari Z ji ke Y Z ji
: Variabel bebas ( X ji ) dalam angka baku
pY ε
: Koefisien jalur dari ε ke Y
εs
: Variabel residual dalam angka baku
Z1 ߝ
pY 1 r12
pY pY 2
Z2
r1k
r2k
M
Y
pYk
Zk Gambar 3.6 Diagram Jalur Multipel dengan k Variabel Eksogenus
26
Dari persamaan model regresi pada persamaan (3.5) didapatkan hubungan korelasi antara Y dan Z k . k
ρ Yk = kor(Y,Zk ) = kov(∑ p Yi Zi Zk )
(3.6)
i=1
Berdasarkan persamaan (3.5) dan (3.6) didapatkan hubungan r
ρ Yk =
∑p
k = 1,2,…,r
ρ
Yi ik
(3.7)
i=1
Misalkan
ρ ZY = [ ρ Y1 ρ Y2 ... ρ Yk ] ,
kuadrat berukuran k×k , dan p Y = [ p Y1
ρ ZZ = {ρik }
merupakan matriks
p Y2 ... p Yk ] . Persamaan (3.7) dapat
ditulis dalam notasi matriks sebagai berikut:
ρ ZY =ρ zz p Y
(3.8)
karena matriks ρ ZZ -1 merupakan matriks nonsingular maka p Y =ρ ZZ -1ρ ZY
(3.9)
Untuk mendapatkan koefisien jalur variabel residual, persamaan (3.5) diambil nilai variansnya sebagai berikut: r
1 = Var(Y) = Var(∑ p Yi Zi + p Yε ε) i=1
r
=
r
∑∑ p
2 ρ p Yk +psuu Yε r
Yi ik
i=1 k=1
r
=
∑p
r
2 Yi
r
2 +2∑ ∑ p Yi ρik p Yk +psuu Yε r
i=1
i=1 k=i+1
p 2Yε = 1-ρ 'ZY ρ -1ZZρ ZY
= 1-ρ 'ZY p Y
(3.10)
27
Ini adalah koefisien jalur kuadrat
(p ) 2 Yε
dari variabel residual ke variabel tak
bebas. (Johnson, 1982:349-35).
3.5
Menghitung Koefisien Jalur Langkah kerja yang dilakukan untuk menghitung koefisien jalur adalah :
1. Gambarkan dengan jelas diagram jalur yang mencerminkan proposisi hipotetik yang diajukan, lengkap dengan persamaan strukturalnya sehingga bisa tampak jelas variabel apa saja yang merupakan variabel eksogenus dan apa yang menjadi variabel endogenusnya. 2. Menghitung matriks korelasi antar variabel.
1 rX X r= 2 1 M rX u X1
rX1 X 2 1 M rX u X 2
L rX1 X u L rX 2 X u O M L 1
3. Identifikasi sub-struktur dan persamaan yang akan dihitung koefisien jalurnya. Misalkan terdapat k buah variabel eksogenus, dan sebuah variabel endogenus
X u yang dinyatakan oleh persamaan : X u = p X u X1 X 1 + p X u X 2 X 2 + ... + p X u X k X k + ε
Kemudian hitung matriks korelasi antar variabel eksogenus yang menyusun sub-struktur tersebut
1 rX X r= 2 1 M rX k X1
rX1 X 2 1 M rX k X 2
L rX1 X k L rX 2 X k O M L 1
28
4. Menghitung matriks invers korelasi variabel eksogenus, dengan
C11 C12 L C1k C22 L C2 k −1 r = O M Ckk 5. Menghitung koefisien jalur p X u X j , dimana i = 1,2,…,k ;
p X u X1 C11 C12 L C1k rX u X1 C22 L C2 k rX u X 2 pXu X 2 L = O M L Ckk rX X p X u X k u k Untuk mendapatkan koefisien jalur residual digunakan persamaan 2 RYX + pY2ε = 1 1 ... X k
2 pY ε = 1 − RYX 1 ... X k
dalam hal ini k
2 RYX = ∑ pYX i rYX i 1 ... X k i =1
2 sedangkan RYX merupakan koefisien yang menyatakan determinasi total dari 1 ... X k
semua variabel penyebab terhadap variabel akibat.
29
3.6 Pengujian Koefisien Jalur Data yang digunakan untuk menguji hipotesis koseptual yang dikemukakan dalam suatu penelitian merupakan data yang berasal dari sebuah sampel berukuran n, sebelum mengambil kesimpulan mengenai hubungan kausal yang telah digambarkan dalam diagram jalur, terlebih dahulu diuji keberartian untuk setiap koefisien jalur yang telah dihitung. Diagram jalur yang diperoleh bisa merupakan gambaran dari regresi linear ganda dan bisa juga dari regresi linear sederhana. Apabila diagram jalur yang diperoleh merupakan gambaran dari regresi linear ganda, maka pengujian mengenai koefisien jalur ini dilakukan dalam dua tahap yaitu : 1. Secara individu 2. Secara keseluruhan 3.6.1 Pengujian Secara Individual Untuk mengetahui pYX i yang mana sama dengan nol, atau untuk menguji hipotesis konseptual yang diajukan, maka dilakukan pengujian secara individual. Hipotesis statistik yang akan diuji H 0 : pYX i = 0
melawan H 1 : pYX i ≠ 0
Bentuk hipotesis di atas tergantung pada hipotesis konseptual yang diajukan. Statistik uji yang digunakan pada pengujian secara individual adalah
30
t=
(1 − R
pYX i
2 YX1 X 2 ... X k
)C
ii
n − k −1
dimana : i = 1, 2,…, k k = banyaknya variabel eksogenus dalam substruktur yang sedang diuji mengikuti tabel distribusi t, dengan derajat bebas = n − k − 1 kriteria pengujian : H 0 ditolak jika nilai hitung t lebih besar dari nilai tabel t.
(t
0
)
> ttabel ( n −k −1) . (Nirwana, 1994:27)
3.6.2 Pengujian Secara Keseluruhan Hipotesis pada pengujian secara keseluruhan ini adalah : H 0 : pYX1 = pYX 2 = ... = pYX k = 0
H1 : sekurang-kurangnya ada sebuah pYX ≠ 0 i
Statistik uji yang digunakan pada koefisien jalur secara keseluruhan identik dengan menguji koefisien regresi secara keseluruhan, yaitu : F=
( n − k − 1) RYX2 X ... X
(
1
k 1− R
2
2 YX 1 X 2 ... X k
)
k
Statistik uji di atas mengikuti distribusi F-Snedecor dengan derajat bebas υ1 = k dan υ2 = n − k − 1 . (Nirwana,1994:25).
31
3.7
Besarnya Pengaruh Variabel Eksogenus terhadap Variabel Endogenus Pengaruh yang diterima oleh sebuah variabel endogenus dari dua atau lebih
variabel eksogenus, dapat secara sendiri-sendiri maupun secara bersama-sama. Pengaruh secara sendiri-sendiri (parsial), bisa pengaruh langsung, bisa juga berupa pengaruh tidak langsung, yaitu melalui variabel eksogenus yang lainnya. Menghitung besarnya pengaruh langsung, pengaruh tidak langsung serta pengaruh total variabel eksogenus terhadap variabel endogenus secara parsial, dapat dilakukan dengan rumus : a.
Besarnya pengaruh langsung variabel eksogenus terhadap variabel endogenus sama dengan pxu xi × pxu xi
b.
Besarnya pengaruh tidak langsung variabel eksogenus terhadap variabel endogenus sama dengan pxu xi × rxu xi × pxu xi
c.
Besarnya pengaruh total variabel eksogenus terhadap variabel endogenus adalah penjumlahan besarnya pengaruh langsung dengan besarnya pengaruh tidak langsung = [ pxu xi × pxu xi ] + [ pxu xi × rxu xi × pxu xi ]
