BAB II
TINJAUAN TEORITIS
2.1 Pendahulauan
Menurut Darnius, O (2006, Hal : 53) simulasi dapat diartikan sebagai suatu “rekayasa” suatu model logika ilmiah untuk melihat kebenaran/kenyataan model tersebut. Kemampuan untuk mensimulasi data acak dengan jenis yang berbeda misalnya, akan memampukan peneliti untuk membuat percobaan dan menjawab pertanyaan – pertanyaan dengan cara yang singkat. Simulasi merupakan suatu pengetahuan yang sangat perlu dimiliki.
Menurut Banks (1998). Simulasi adalah tiruan dari proses dunia nyata atau system. Simulasi menyangkut pembangkitan proses serta pengamatan dari proses untuk menarik kesimpulan dari sistim yang diwakili.
Menurut Nailor (1966) dalam Rubinstein & Melamed (1998). Simulasi adalah teknik numerik untuk melakukan eksperimen pada komputer, yang melibatkan jenis matematik dan model tertentu yang menjelaskan prilaku bisnis atau ekonomi pada suatu periode waktu tertentu.
Universitas Sumatera Utara
Menurut Borowski & Borwein (1989) simulasi didefenisikan sebagai teknik untuk membuat konstruksi model matematika untuk suatu proses atau situasi, dalam rangka menduga secara karakteristik atau menyelesaikan masalah berkaitan dengan menggunakan model yang diajukan.
Sebagaimana yang telah diketahui, bahwa R merupakan bahasa pemrograman komputer yang dapat membangkitkan bilangan acak dengan banyak fungsi dan memiliki kemampuan dalam membuat grafik. Untuk setiap bilangan acak tersebut kita dapat melihat distribusinya dengan adanya histogram dan grafik yang dapat dibuat melalui program ini. Dalam bab ini akan dibahas mengenai peubah acak yang akan kita distribusikan dan kita teliti.
2.2 Distribusi Binomial
Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana adalah distribusi binomial. Distribusi binomial menggambarkan data yang dihasilkan oleh suatu percobaan yang dinamakan percobaan Bernoulli. Bernoulli yang nama lengkapnya adalah Jacob Berrnoulli hidup pada tahun 1654-1705, selama 20 tahun mempelajari probabilitas, dan hasil penemuanya diterbitkan dalam buku Ars Conjectandi.
Adapun percobaan Bernoulli adalah suatu percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut : 1. Eksperimen berlangsung sebanyak n kali. Tiap eksperimen berlangsung dalam cara dan kondisi yang sama (dengan pengembalian)
Universitas Sumatera Utara
2. Untuk setiap eksperimen hanya ada dua kejadian yang mungkin terjadi. Dua kejadian tersebut dinotasikan sebagai kejadian sukses dan gagal. Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dilambangkan dengan q, dimana p+q=1 3. Probabilitas sukses dari satu eksperimen ke eksperimen yang lain adalah konstan.
Dari proses tersebut, yang didefenisikan sebagai variabel adalah munculnya kejadian sukses yang biasa dilambangkan dengan x. Jadi, bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1- p, maka distribusi peluang peubah acak binomial x , yaitu banyaknya sukses dalam n percobaan bebas ialah :
b(x;n,p) =
dimana : x
= Munculnya sukses yang ingin dihitung
n
= Jumlah eksperimen
p
= Probabilitas sukses dalam setiap eksperimen
q
= Probabilitas gagal dalam setiap eksperimen = 1-p
n-x
= Jumlah gagal dalam n eksperimen
Universitas Sumatera Utara
2.3 Distribusi Normal
2.3.1 Pengertian Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi variabel acak kontinu dan mempunyai nilai yang jumlahnya tidak terbatas dalam skala atau jarak tertentu. Distribusi normal mempunyai nilai sepanjang interval, biasanya berupa bilangan pecahan. Distribusi normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dalam statistika. Distribusi normal adalah fungsi padat peubah acak X dengan rata-rata (µ) dan standar deviasi ( ). Distribusi normal dapat ditulis dengan rumus :
n
=
dimana : x = Nilai dari distribusi variabel = Mean dari nilai-nilai distribusi variabel = Standar deviasi dari nilai-nilai distribusi variabel = 3,14159 = 2,71828
Beberapa karakteristik dari distribusi probabilitas dan kurva normal adalah : 1. Kurva berbentuk lonceng dan memiliki satu puncak ditengah
Universitas Sumatera Utara
2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya . Apabila kurva dilipat menjadi dua bagian dengan nilai tengah ratarata sebagai pusat lipatan, maka kurva akan menjadi 2 bagian yang sama 3. Distribusi probabilitas dan kurva normal bersifat asimptotis. Kurva yang menurun di kedua arah yaitu ke kanan untuk nilai positif tak terhingga ( ) dan ke kiri untuk negatif tak hingga ( ). Dengan demikian, ekor kedua kurva tidak pernah menyentuh nol, hanya mendekati nilai nol 4. Modusnya (Md) pada sumbu mendatar membuat fungsi mencapai puncaknya atau maksimum pada X = 5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar sama dengan 1
2.3.2 Pendekatan Distribusi Normal -Binomial
Bila n percobaan semakin besar dan memiliki sifat yang independent dari suatu percoabaan ke percobaan lainnya, maka dengan pendekatan distribusi normalbinomial dapat pula kita gunakan untuk menghitung nilai-nilai probabilitas terhadap berbagai macam peristiwa yang mungkin dapat terjadi.
Dengan semakin besarnya jumlah percobaan pada distribusi binomial maka perhitungan peluang dengan menggunakan distribusi binomial semakin kurang efektif, karena jumlah kombinasi dari peristiwa yang diharapkan sangatlah kurang banyak. Untuk menghindari ke kurang efektifan dari distribusi binomial ini, maka distribusi tesebut dapat didekati dengan distribusi Normal. Secara umum dapat disimpulkan bahwa pendekatan distribusi binomial dapat dilakukan dengan dengan distribusi
Universitas Sumatera Utara
normal karena secara teoritis bahwa distribusi binomial akan mendekati distribusi normal untuk n besar dan p moderate (tidak besar dan tidak kecil)
2.4 Distribusi Hipergeometrik
2.4.1 Pengertian Distribusi Hipergeometrik
Distribusi hipergeometrik merupakan suatu distribusi dimana pengambilan atau penarikan
sampelnya
tanpa
adanya
pengembalian.
Penggunaan
distribusi
hipergeometrik ini terdapat pada berbagai bidang dan paling banyak pada penerimaan sampel suatu hasil produksi, pengujian barang-barang elektronik dan pengendalian mutu.
Bila pengujian dilakukan terhadap barang, maka secara umum barang akan cacat atau rusak. Oleh karena itu barang tidak dapat dikembalikan pada populasinya. Inilah alasan mengapa pengambilan sampel tanpa pengembalian digunakan. Kegiatankegiatan seperti ini sering disebut dengan percobaan hipergeometrik. Agar lebih mudah lagi dapat dijelaskan sebagai berikut: Misalnya ada N benda yang terdiri dari k benda yang diberi nama sukses dan N – k yang akan diberi nama gagal. Ingin diketahui probabilitas memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia dan n – x gagal dari sebanyak N – k yang tersedia, bila variable acak ukuran n diambil dari N benda. Dari uraian ini dapat kita ketahui bahwa percobaan hipergeometrik memiliki dua sifat yaitu:
Universitas Sumatera Utara
1. Sampel acak berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda 2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya N – k diberi nama gagal.
Jumlah sukses x dalam percobaan hipergeometrik disebut variable acak hipergeometrik. Distribusi peluang acak hipergeometrik x ialah jumlah sukses dalam sampel acak berukuran n yang diambil dari N benda yang memuat k bernama sukses dan N – k bernama gagal. Maka distribusinya dinyatakan dengan h (x;N,n,k). Karena nilainya tergantung pada jumlah yang sukses k dalam n benda yang terpilih secara acak dari N benda, maka distribusi hipergeometrik tersebut dapat dinotasikan sebagai berikut:
=
dimana : N = Ukuran Populasi k = Sifat tertentu dari populasi n = Ukuran sampel x = Jumlah sifat k dalam n
Universitas Sumatera Utara
2.4.2 Pendekatan Distribusi Binomial Terhadap Hipergeometrik
Dalam kasus distribusi hipergeometrik kita dapat menggunakan pendekatan binomial pada permasalahannya apabila keadaan tersebut adalah sebagai berikut : a. Bila besar sampelnya (n)
1
b. Sampelnya (n) relatif kecil bila dibandingkan dengan jumlah populasinya (N), yaitu n < 0,05N. Bila n lebih kecil dibandingkan dengan N maka peluang
tiap
penarikan
hanya
berubah
sedikit.
Jadi
distribusi
hipergeometrik dapat di dekati dengan distribusi binomial dengan sehingga rata – rata dan varian dapat di dekati seperti pada tabel berikut :
Tabel 2.4.2 Pendekatan distribusi Binomial Terhadap distribusi Hipergeometrik Binomial
Hipergeometrik
Rata-rata ( )
Rata- rata ( )
Varian (
Varian (
)
Simpangan baku (
)
Simpangan baku (
Bila kedua ruas dibandingkan maka terlihat bahwa rataannya sama antara binomial dan hipergeometrik sedangkan variannya berbeda sebesar faktor koreksi
.
Dalam dunia nyata, konsep pendekatan ini sangat berguna karena tiga hal. Pertama, kasus yang sering terjadi dalam dunia nyata adalah kasus Hipergeometrik,
Universitas Sumatera Utara
yaitu penyampelan tanpa pengembalian. Kedua, Distribusi Hipergeometrik tidak mempunyai tabel, sehingga kita akan mengalami kesulitan karena terpaksa harus selalu menghitung dengan rumus Hipergeometrik. Ketiga, kebanyakan sampel tidak terbatas sehingga kriteria n
0,05N terpenuhi.
Universitas Sumatera Utara
