BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan real atau kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris-baris dan kolomkolom). Skalar-skalar tersebut disebut elemen matriks. Untuk batasnya menggunakan : (

)

Contoh II.A.1 Baris

Matriks real: (

)

Kolom Matriks diberi nama dengan huruf besar seperti A, B, C dan lain-lain. (

Secara lengkap ditulis matriks elemen-elemennya

) artinya suatu matriks A yang

di mana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j

menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut.

4 Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014

5

(

Pandang sebuah matriks

)

dan

yang

berarti bahwa banyaknya baris = m serta banyaknya kolom = n.

(

) (

Boleh ditulis sebagai matriks

),

disebut ukuran (ordo)

dari matriks tersebut. Berikut adalah beberapa hal tentang matriks yang berkaitan dengan pembahasan mengenai irisan tabung lingkaran tegak dengan bidang datar. 1. Operasi Perkalian pada Matriks Dua buah matriks dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Secara definisi adalah sebagai berikut Definisi II.A.1 Misal matriks A sebagai matriks pertama dan B matriks kedua. Pandang berukuran

dan

perkalian AB adalah suatu matriks

Untuk setiap

berukuran berukuran

maka di mana:

dan

Bentuk-Bentuk Irisan..., Festi Dwijayanti, FKIP UMP, 2014

6

Contoh II.A.2 (

( )

) dan

Ukuran matriks

dan (

sehingga

(

Jadi,

sehingga

ada dan berukuran

) di mana

).

Secara singkat dapat ditulis (

)( )

(

)

(

)

2. Transpose dari Suatu Matriks Pandang suatu matriks

(

) berukuran

maka transpose

dari A adalah matriks AT berukuran

yang diperoleh dari A dengan

menuliskan baris ke-i dari A,

sebagai kolom ke-i dari

Dengan kata lain

(

.

).

Contoh II.A.3 Misal

(

) maka

(

)


7

3. Beberapa Jenis Matriks Khusus Suatu matriks terdiri dari berbagai jenis dengan karakteristik khusus pada masing-masing matriks tersebut.

Berikut adalah beberapa jenis

matriks khusus. a. Suatu matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom yaitu n disebut matriks persegi berordo n. Barisan elemen disebut diagonal utama dari matriks persegi tersebut. b. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol atau

untuk

.

c. Matriks identitas adalah matriks diagonal dengan semua elemen-elemen diagonal utamanya = 1. d. Matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri. e. Matriks hermitian adalah matriks yang transpose konjugatnya sama dengan dirinya sendiri (AH = A). 4. Transformasi (Operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Suatu Matris. Anggota dari suatu matriks atau disebut sebagai elemen matriks dapat diubah menurut aturan tertentu. Perubahan tersebut berkaitan dengan baris dan kolom sehingga disebut sebagai transformasi elementer pada baris dan kolom yang diberikan oleh a. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j (baris ke-i dijadikan baris kej dan baris ke-j dijadikan baris ke-i), ditulis

.


8

Contoh II.A.4 (

Misal

) maka

(

)

b. Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j (kolom ke-i dijadikan kolom ke-j dan kolom ke-j dijadikan kolom ke-i), ditulis

.

Contoh II.A.5 (

Untuk A pada contoh II.A.4,

)

c. Mengalikan baris ke-i dengan skalar

, ditulis

.

Contoh II.A.6 Jika

(

(

) maka

d. Mengalikan kolom ke-i dengan skalar

)

, ditulis

.

Contoh II.A.7 Jika

(

) maka

(

)

e. Menambah baris ke-i dengan p kali baris ke-j, ditulis

.

Contoh II.A.8 Jika

(

) maka

(

)


9

f. Menambah kolom ke-i dengan p kali kolom ke-j, ditulis

.

Contoh II.A.9 Jika

(

) maka

(

)

Catatan: Operasi c, d, e, dan f dapat dilakukan dalam satu langkah yaitu a. Menambah m kali baris ke-i dangan n kali baris ke-j, ditulis Hi(m)j(n)(A). b. Menambah m kali kolom ke-i dangan n kali kolom ke-j, ditulis Ki(m)j(n)(A). dengan skalar m ≠ 0 dan n ≠ 0. Contoh II.A.10 a. Jika

(

) maka H2(2)3(1)(A) = (

b. Jika

(

) maka K2(2)3(2)(A) = (

)

)

5. Rank matriks Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A dan rank kolom dari matriks A adalah dimensi ruang kolom matriks A. Rank baris sama dengan rank kolom dari matriks A tersebut, ditulis r(A). Catatan: a. Rank matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/ kolom yang bebas linier.


10

b. Untuk mencari rank dari suatu matriks dapat digunakan transformasi elementer karena matriks-matriks yang ekuivalen baris/ kolom mempunyai ruang yang sama. Diusahakan mengubah sebanyak mungkin baris/ kolom menjadi vektor nol karena vektor nol bergantung linier. Contoh II.A.11 (

Cari rank dari

)

Dikerjakan secara baris (

)

(

(

)

)

(

)

Baris ke-3 adalah adalah vektor nol, jadi r(A) = 2. 6. Determinan Setiap matriks persegi A selalu dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis sebagai det(A). Berikut adalah determinan untuk matriks persegi berordo dua dan berordo tiga. Determinan dari matriks persegi A berordo 2 adalah (

)

| |

|

|


11

Determinan dari matriks persegi B berordo 3 adalah | |

)

(

|

|

| |

(Suryadi, 1991)

B. Transformasi Sistem Koordinat di R2 Transformasi sistem koordinat di R2 adalah suatu fungsi yang memetakan ruang vektor di R. Secara sederhana bahwa transformasi ini merupakan fungsi untuk memperoleh suatu persamaan baru pada sistem koordinat yang telah ditransformasikan. Berikut ini adalah dua hal pokok yang perlu diketahui sebelum melakukan transformasi sistem koordinat 1. Akar dan Vektor Karakteristik Suatu akar karakteristik diperlukan untuk mencari vektor karakteristik. Vektor karakteristik inilah yang akan digunakan sebagai basis natural sistem koordinat yang baru setelah dilakukan transformasi sistem koordinat. Definisi II.B.1 suatu matriks persegi dan λ adalah skalar yang memenuhi persamaan (*):

⃗

⃗ untuk suatu vektor kolom ⃗

suatu akar karakteristik dari

maka dikatakan λ adalah

dan ⃗ yang memenuhi persamaan (*)

disebut vektor karakteristik yang bersangkutan dengan λ.


12

Contoh II.B.1 (

Hitunglah akar karakteristik dari

)

Penyelesaian: Misalkan λ skalar dan ⃗ (

)( )

(

( ) adalah vektor yang memenuhi ( )

)( )

(

)( )

(

)( )

( )

( ).......................................................II.B.1

Persamaan II.B.1 adalah suatu sistem persamaan linier homogen yang dibutuhkan jawaban nontrivial ⃗ rank (

)

sehingga

atau |

|

(disebut persamaan

karakteristik) ⟺ Untuk mencari vektor karakteristik yang bersangkutan, masukkan harga λ ke persamaan II.B.1, diperoleh Untuk (

)( )

( ) atau

Cukup ambil 1 persamaan, misal . Jadi, ⃗

} . Apabila

maka

( ) yaitu vektor-vektor yang bersangkutan dengan

.


13

Untuk )( )

(

( ) atau

Cukup ambil 1 persamaan, misal . Jadi, ⃗

(

} . Apabila

maka

) yaitu vektor-vektor yang bersangkutan dengan

. 2. Transformasi Simetris Pada transformasi ini digunakan matriks simetris. Suatu transformasi linier T pada R2 dan R3 dikatakan suatu transformasi simetris jika untuk R2 dan R3 berlaku

setiap

Teorema II.B.1 Akar-akar karakteristik dari matriks A yang simetris adalah riil dan vektorvektor karakteristik yang bersangkutan dengan akar karakteristik yang berbeda saling tegak lurus. Hal khusus: Jika

adalah matriks simetris berordo 2 maka diperoleh 2 vektor

karakteristik yang saling tegak lurus dan panjangnya 1. Bukti: Misalkan ⃗⃗⃗ ⃗⃗

dan

adalah akar-akar karakteristik dari A maka

⃗⃗⃗ } ......................................................................................... II.B.2 ⃗⃗

Karena A simetris maka

⃗⃗

⃗⃗⃗


14

Lakukan transpose konjugat (

⃗⃗ )

( ⃗⃗ )

⃗⃗⃗

̅ ⃗⃗

................................................. II.B.3

Kalikan persamaan II.B.3 dengan ⃗⃗⃗ dan persamaan II.B.2 dengan ⃗⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗

̅ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗

Oleh karena itu ( ̅

⃗⃗ ⃗⃗⃗ )⃗⃗ ⃗⃗⃗

panjang ⃗⃗ di mana |⃗⃗ |

, jika diambil . Jadi, ̅

maka √⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ adalah ̅

setiap akar karakteristik adalah real. Jika diambil

yang berarti maka

karena akar karakteristik yang berbeda sehingga ⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

(saling tegak lurus). maka jelas dari bukti di atas terdapat ⃗⃗⃗

Untuk A2 berordo 2, jika

dan ⃗⃗⃗ yang saling tegak lurus dan ambil yang panjangnya 1. Jika

maka pandang persamaan karakteristik

|

|

Diskriminan :

Jumlah dua bilangan non-negatif = 0 berakibat masing-masing bilangan = 0. Jadi,

dan

.

Persamaan karakteristik menjadi } adalah nol.

Semua koefisien dari persamaan

Jadi semua vektor di R2 merupakan vektor karakteristik dan dapat dipilih 2 vektor yang saling tegak lurus dengan panjang = 1.


15

Catatan: Persamaan karakteristik dari matriks |

|

Jika disebut

|

dan

| maka

persamaan menjadi (Suryadi, 1991)

C. Irisan Kerucut (Garis Lengkung Derajat Dua di R2) 1. Persamaan Standar Irisan Kerucut Persamaan standar irisan kerucut pada sistem koordinat a.

, yaitu suatu elips dengan pusat setengah sumbunya masing-masing adalah maka persamaan menjadi lingkaran yang berpusat di

dengan panjang dan

. Apabila

yaitu suatu persamaan dan berjari-jari

adalah suatu elips khayal dengan pusat b.

adalah

. Untuk bentuk .

, yaitu suatu persamaan hiperbola berpusat di dengan sumbu riil

dan setengah sumbu khayalnya .

Apabila konstanta 1 pada

diganti dengan 0, diperoleh

persamaan-persamaan garis asimtot yaitu


16

Dapat diuraikan menjadi

atau garis-garis c.

dan

, yaitu suatu parabola dengan puncak sebagai sumbu simetris. Fokus parabola adalah . Parabola terbuka ke kanan ketika ketika

dan sumbu dan direktrisnya dan terbuka ke kiri

.

2. Transformasi Irisan Kerucut pada Sumbu-sumbu Utamanya Diketahui persamaan umum irisan kerucut: ................... II.C.1 Persamaan di atas dapat ditulis dengan matriks (

)( )

( )

atau

di mana (

)

(

)

dan

( )

dinamakan bagian homogen kuadrat dinamakan bagian linier bilangan tetap dari persamaan derajat dua


17

Untuk mengetahui jenis suatu irisan kerucut, persamaan II.C.1 perlu diubah ke persamaan standar dengan cara translasi atau rotasi sistem koordinat kartesius. a. Translasi Definisi II.C.1 Translasi sistem koordinat

ke

adalah perubahan sistem

koordinat di mana sumbu-sumbu

dan

sedangkan vektor-

vektor basis mempunyai panjang dan arah positif yang tetap. Misalkan titik awal yang baru

berkoordinat

terhadap

sistem koordinat lama. Suatu titik

terhadap sistem koordinat

lama akan mempunyai koordinat

terhadap sistem koordinat }

baru dengan hubungan: 𝑌

𝑌 𝑦

𝑦

𝑃

𝑗 𝑂 𝑝 𝑝 𝑖

𝑗

𝑂

𝑥

𝑖

𝑥

𝑋

𝑋

Gambar II.C.1:Translasi sistem koordinat di R2 Bagian linier dari persamaan II.C.1 dapat dihilangkan melalui translasi dan titik awal sistem koordinat baru akan menjadi pusat irisan kerucut tersebut. (Surjadi, 1982)


18

b. Rotasi Untuk melenyapkan suku kembar

dari bagian homogen kuadratis

dilakukan rotasi sistem koordinat sistem koordinat baru

ke

di mana vektor-vektor karakteristik dari

(matriks simetris) yang panjangnya 1 dan saling tegak lurus dijadikan vektor-vektor basis dari sistem

tersebut. (Suryadi, 1991)

Teorema II.C.1 Diketahui transformasi linier dan simetris karakteristik ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ sehingga |⃗⃗⃗ |

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ dan

dengan vektor-vektor ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ , di mana

|⃗⃗⃗ |

Jika diadakan rotasi ke

yaitu sistem koordinat dengan ⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗

sebagai vektor-vektor satuan maka bentuk homogen kuadrat:

menjadi Bukti

( ) Pada sistem koordinat baru ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ dan

: ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗


19

Jadi, ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

karena ⃗

⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

dan ⃗

⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

Akibat II.C.1 Persamaan derajat dua

dapat

diubah menjadi

, jika

dan

ialah akar-akar

dari persamaan karakteristik dari transformasi linier dan simetris |

|

3. Jenis-jenis Irisan Kerucut yang Dinyatakan Oleh a. Jika

,

, dan

atau

,

, dan

maka persamaan dapat dijabarkan menjadi

b.

dan

yang satu positif dan yang lain negatif,

. Persamaan

dapat dijabarkan menjadi ⟺ dan

atau

.

Dikatakan bahwa irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus yang saling berpotongan.


20

c.

dan

keduanya positif atau negatif dan

, persamaan dapat

dijabarkan menjadi ⟺

atau

dan Irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus imaginer yang berpotongan dan hanya mempunyai satu titik yang real yaitu titik 0. d. Salah satu bilangan karakteristik positif, yang lain sama dengan 0 dan negatif, persamaan dapat dijabarkan menjadi ⟺

, atau

Irisan kerucut berubah corak menjadi sepasang garis lurus sejajar. e. Salah satu bilangan karakteristik positif, yang lain sama dengan 0 dan positif, persamaan dapat dijabarkan menjadi ⟺

atau

, yaitu dua garis

lurus imaginer yang sejajar. f. Salah satu bilangan karakteristik

, yang lain sama dengan

. Dalam hal ini persamaan dapat ditulis sebagai

dan atau

. Jadi, irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus yang berimpit. (Surjadi, 1982)


21

4. Penjabaran Persamaan Derajat Dua yang Umum Menjadi Bentuk Standar Diketahui persamaan umum derajat dua:

Bentuk standar dari garis lengkung dapat ditentukan dengan terlebih dahulu melakukan translasi sistem koordinat

ke

melenyapkan bagian liniernya dan rotasi sistem koordinat untuk melenyapkan suku koordinat baru

untuk ke

. Translasi garis lengkung pada sistem

di mana

diperoleh

atau

Bagian homogen kuadrat tidak berubah terhadap translasi sedangkan bilangan tetapnya menjadi koefisien

dan

menjadi

. Tentukan

sehingga

Jadi,

} ............................................................... (II.C.2) atau dengan matriks Persamaan II.C.2 adalah persamaan pusat irisan kerucut.


22

Susunan tersebut hanya memberi jawaban jika dan hanya jika matriks (

) dan (

) mempunyai rank yang sama. Jika |

kedua matriks mempunyai rank 2 maka Dalam hal ini hanya ada satu titik

|

saja yang memenuhi persamaan

II.C.2. Jika rank = 1 maka akan diperoleh satu garis pusat irisan kerucut. Jika rank tidak sama maka translasi tidak dapat dilakukan. Jika terhadap

dihitung dari persamaan II.C.2 maka irisan kerucut tersebut mempunyai persamaan : ......................................... (II.C.3)

di mana . Menurut teorema II.C.1 persamaan II.C.3 dapat diubah menjadi .............................................................. (II.C.4) dengan suatu rotasi ke sistem koordinat baru adalah akar-akar karakteristik dari

di mana

dan

Jenis-jenis irisan kerucut yang

dinyatakan oleh persamaan derajat dua dapat diketahui dengan menggunakan poin C.3. (Suryadi, 1991)


23

Teorema II.C.2 Jika

|

|

|

dan

|

maka

Bukti

Jadi, } ...............................................(II.C.5)

karena

maka ada

rank (

Atau

yang memenuhi persamaan II.C.5 atau

)

sehingga |

⟺|

dan

|

|

|

|

⟺


24

Catatan: Persamaan II.C.4 sekarang dapat ditulis sebagai

di mana dari persamaaan karakteristik Jika

dan

maka

dan

dan jika

irisan kerucut adalah suatu elips. (jika

dan

maka maka irisan

kerucut juga elips). Jadi, Jika

Jika

dan

⟺ elips

dan

⟺ elips imaginer.

(tanda

berlawanan) ⟺ hiperbola.

dan

(Surjadi, 1982) 5. Irisan Kerucut yang Berubah Corak Misal persamaan irisan kerucut Persamaan irisan kerucut akan berupa sepasang garis lurus bila |

|

Kedudukan dari sepasang garis lurus tersebut tergantung dari determinan |

|


25

Berikut klasifikasi irisan kerucut ketika a. Jika determinan

maka C berubah corak menjadi sepasang garis

yang berpotongan. b. Jika determinan

maka C berubah corak menjadi sepasang garis

imaginer. c. Jika determinan

maka C berubah corak menjadi sepasang garis |

sejajar atau berimpit. Sejajar apabila

|

dan berimpit

apabila (Suryadi, 1991) D. Vektor di dalam R3 ⃗⃗⃗⃗⃗

Pada dimensi tiga, vektor ⃗

〈

〉 adalah vektor posisi titik 〈

. Panjang dari vektor dimensi tiga ⃗

〉 adalah

√

|⃗ |

Jika diberikan titik

dan titik

maka vektor yang

diwakili oleh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ adalah ⃗

〈

〉 ⃗

Jika ⃗

〉 dan ⃗

〈

〈

〈

〉

〉 maka

⃗

⃗

〈

〉

〈

〉

〈

〉

⃗

⃗

〈

〉

〈

〉

〈

〉

⃗

〈

〉

〈

〉 ,dengan

skalar.


26

Sifat-sifat vektor Jika ⃗ , ⃗ , dan adalah vektor di R3, 1. ⃗

⃗

2. ⃗

(⃗

3. ⃗

⃗

4. ⃗

⃗

dan

adalah skalar, maka

⃗ )

⃗)

(⃗

⃗)

(⃗

5.

⃗

6.

⃗

⃗

7.

⃗

⃗

⃗ ⃗

⃗

⃗

⃗

(Spiegel, 1999) Vektor-vektor , , dan ⃗ disebut vektor basis standar, mempunyai panjang 1 dan mengarah pada X, Y, dan Z positif. Misalkan tiga vektor pada 〈

〉

memiliki aturan khusus

〈

⃗

〉

〈

〉

z

⃗ x

y

Gambar II.D.1: Vektor Basis Standar Jika ⃗

〈

〉 maka dapat ditulis ⃗

〈

〉 〈

〉

〈 〈

〉 〉

〈

〉 〈

〈

〉

〉

⃗


27

Definisi II.D.1 〉 dan ⃗

〈

Jika ⃗

〈

〉 maka dot product (perkalian titik) ⃗

dan ⃗ yang ditulis (⃗ . ⃗ ) dinyatakan sebagai ⃗ ⃗ (Purcell, 1984)

Sifat-sifat perkalian titik (dot product): Jika ⃗ , ⃗ , dan adalah vektor dalam R3 dan 1) ⃗ ⃗

|⃗ |

2) ⃗ ⃗

⃗ ⃗

3) ⃗ (⃗ ⃗

4)

⃗ ⃗

) ⃗

skalar maka

⃗

(⃗ ⃗ )

⃗

⃗

Teorema II.D.1 Jika

adalah sudut diantara vektor ⃗ dan ⃗ maka ⃗ ⃗

|⃗ ||⃗ |

Bukti: Z

B ⃗

⃗

⃗

O 𝜃 ⃗

A

X Y Gambar II.D.2: Sudut antara dua vektor


28

Jika diaplikasikan aturan cosinus segitiga OAB pada gambar, diperoleh |

|

|

|

|

|

|

Pada gambar dinyatakan |

|

||

|

|⃗ |, |

|

................................... (II.D.1) |⃗ |, dan |

|⃗

|

⃗ | sehingga

persamaan II.D.1 menjadi |⃗

⃗|

|⃗ |

|⃗ |

|⃗ | |⃗ |

.................................................. (II.D.2)

Menggunakan sifat perkalian titik 1, 2, dan 3, ruas kiri persamaan II.D.2 dapat ditulis sebagai berikut: |⃗

⃗|

(⃗

⃗ ) (⃗

⃗)

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

⃗ ⃗

|⃗ |

⃗ ⃗

|⃗ |

Dengan demikian, persamaan II.D.2 menjadi |⃗ |

⃗ ⃗

|⃗ | =|⃗ |

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

|⃗ |

|⃗ | |⃗ |

|⃗ ||⃗ | |⃗ ||⃗ |

Akibat II.D.1 Jika

adalah sudut tak nol vektor ⃗ dan ⃗ maka

⃗ ⃗ |⃗ ||⃗ |

Dua vektor ⃗ dan ⃗ tegak lurus jika dan hanya jika ⃗ ⃗ (Suryadi, 1984)


29

Definisi II.D.2 Jika ⃗

〉 dan ⃗

〈

〉 maka cross product ⃗ dan ⃗ adalah

〈

vektor ⃗

⃗ ⃗

⃗

〈|

| |

| |

|〉

〈

〉

Teorema II.D.2 Vektor ⃗

⃗ tegak lurus terhadap ⃗ dan ⃗

Bukti: Untuk menunjukkan ⃗

⃗ tegak lurus terhadap ⃗ , dihitung dot productnya

sebagai berikut: (⃗

⃗) ⃗

|

|

|

|

|

Dengan cara yang sama, untuk menunjukkan ⃗

|

⃗ tegak lurus terhadap ⃗

adalah sebagai berikut: (⃗

⃗) ⃗

|

|

|

|

|

|

(Spiegel, 1999)


30

Teorema II.D.3 Jika

adalah sudut antara ⃗ dan ⃗

⃗|

maka |⃗

|⃗ | |⃗ |

Bukti: Dari definisi cross product dan besar vektor |⃗

⃗|

|⃗

⃗|

|⃗

⃗|

(

|⃗

⃗|

|⃗ | |⃗ |

|⃗

⃗|

|⃗ | |⃗ |

|⃗

⃗|

|⃗ | |⃗ |

|⃗

⃗|

|⃗ | |⃗ |

|⃗

⃗|

)(

)

⃗ ⃗

|⃗ | |⃗ |

|⃗ | | ⃗ |

Akibat II.D.2 Dua vektor tak nol ⃗ dan ⃗ sejajar jika dan hanya jika ⃗

⃗

Bukti: Dua vektor tak nol ⃗ dan ⃗ sejajar jika dan hanya jika keduanya

, jadi |⃗

⃗|

oleh karena itu ⃗

atau . Untuk ⃗


31

Sifat –sifat cross product: Jika ⃗ , ⃗ , dan adalah vektor di R3 dan m skalar maka ⃗

1) ⃗ 2)

⃗ ⃗

⃗

3) ⃗ 4) (⃗

(⃗ ⃗)

5) ⃗ (⃗ 6) ⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗)

(⃗ )

( ⃗)

⃗

)

) (⃗

⃗)

(⃗

⃗

⃗

(⃗ ⃗ ) (Suryadi, 1984)

E. Geometri Analitik Ruang 1. Sistem Koordinat Siku-siku di R3 Untuk menyatakan letak sebuah titik di dalam ruang, tiga bilangan dibutuhkan. Setiap titik di dalam ruang dinyatakan dengan 3 bilangan real secara berturut-turut (x, y, z). Supaya suatu titik dapat ditampilkan dalam ruang, yang pertama ambil titik asal O dan tiga garis arah melalui O yang saling tegak lurus satu sama lain. Garis tersebut disebut sumbu koordinat yang dinyatakan sebagai sumbu X (axis), sumbu Y (ordinat), dan sumbu Z (aplikat).


32

Secara umum, sumbu X dan Y ditampilkan secara horizontal, dan sumbu Z secara vertikal seperti gambar berikut. Z

O

Y

X

Gambar II.E.1: Sistem Koordinat Siku-siku di R3 Ketiga sumbu koordinat menyatakan tiga koordinat bidang, Bidang XY untuk daerah sumbu X dan sumbu Y, bidang YZ untuk daerah sumbu Y dan sumbu Z, bidang XZ untuk daerah sumbu X dan sumbu Z. Ketiga bidang koordinat tersebut membagi ruang menjadi delapan bagian yang disebut oktan dan diberi nomor menurut aturan berikut: Oktan I

berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z > 0

Oktan II

berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z > 0

Oktan III

berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z > 0

Oktan IV berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z > 0 Oktan V

berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z < 0

Oktan VI berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z < 0


33

Oktan VII berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z < 0 Oktan VIII berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z < 0 (Suryadi, 1984) 2. Jarak Dua Titik dalam Ruang Rumus jarak dua titik dalam ruang: Jarak |

| antara titik |

dan √

|

adalah

(

)

(Hambali, 1986) Bukti: Z

C

M

L

Q B

P

O A

X

Y

N

Gambar II.E.2: Jarak Dua Titik di R3 Untuk melihat apakah rumus tersebut benar, dibuat sebuah balok seperti dan

gambar. Jika koordinat | dan karena

|

|

maka |

|

|

bidang ANBP, berarti


34

sehingga :

|

|

| |

|

|

| √

| (

)

(Suryadi, 1984) 3. Transformasi Sistem Koordinat Definisi II.E.1 Translasi adalah pergeseran sistem koordinat dan

di mana sumbu-sumbu

sedangkan vektor-vektor basis mempunyai panjang

dan arah positif yang sama. Dengan demikian, jika sumbu

bergeser menjadi

dengan

mengawetkan kesejajaran maka koordinat titik P terhadap kedua sistem koordinat adalah atau ( )

( )

( ) 𝑍

𝑍

𝑋 𝑂

𝑂’ (𝑝 𝑝 𝑝

)

𝑌

Y

𝑋 Gambar II.E.3: Translasi sistem koordinat di R3


35

Definisi II.E.2 Rotasi adalah perputaran sistem koordinat dengan pusat tetap O(0,0,0).

Jika sistem koordinat

dirotasikan ke sistem koordinat

dimisalkan cosinus arah dari ,

,

, dan

, dan

secara berturut-turut adalah

. Jika

P terhadap sistem koordinat

dan

terhadap sistem koordinat

maka

adalah koordinat titik adalah koordinat titik P

maka hubungan kedua sistem koordinat

adalah

𝑍

𝑍

 𝑃 𝑥𝑦𝑧

𝑂

𝑌

𝑋

𝑌 𝑋

Gambar II.E.4: Rotasi sistem koordinat di R3


36

Dalam matriks : ( )

(

Di mana matriks (

)( )

) disebut matriks rotasi dan dinotasikan

dengan R. Catatan: Kombinasi translasi dan rotasi disebut transformasi orthogonal yaitu suatu transformasi yang memetakan suatu ruang vektor v

R3 tanpa mengubah

panjangnya. Dengan demikian, transformasi orthogonal diberikan oleh

Di mana matriks (

) adalah orthogonal.

Bukti (

(

)(

)

)


37

Karena

,

, dan )

(

lurus, diperoleh

adalah vektor unit tegak

Oleh karena itu, R disebut orthogonal. (Chatterje, 2003)

4. Bidang Datar di R3 Suatu bidang datar V akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang datar tersebut. Misalkan diketahui tiga titik pada bidang datar V, yaitu

,

, dan

. Z

 R P

S Q 

O

Y

X Gambar II.E.5: Bidang di R3 Berdasarkan gambar di atas diperoleh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

〈

〉

〈

〉

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

〈

〉

〈

〉


38

Untuk setiap sebarang titik

pada bidang rata V berlaku : , dengan ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

dan

skalar .

⃗⃗⃗⃗⃗

Sehingga diperoleh persamaan vektoris bidang datar V adalah 〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

..... (II.E.1)

Selanjutnya, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ disebut vektor-vektor arah bidang yaitu setiap dua vektor pada bidang yang tidak segaris. Oleh karena itu, persamaan vektoris bidang rata yang diketahui melalui satu titik diketahui kedua vektor arahnya ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈

〉

〈

〉

〉 dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

〈 〈

〉

〈

dan 〈

〉 adalah

〉

....... (II.E.2)

Persamaan tersebut dapat dibentuk ke dalam persamaan parameter bidang rata sebagai berikut: ............................................................ (II.E.3) ............................................................. (II.E.4) .............................................................. (II.E.5) Apabila dieliminasi

dan

pada persamaan (II.E.3) dan (II.E.4),

diperoleh persamaan:

Dimana

|

| ............................................... (II.E.6)


39

Subtitusi

dan

ke persamaan (II.E.5), diperoleh:

{

atau (

} )

{ (

} )

.... (II.E.7)

Misalkan : |

|

|

|

dan Persamaan (II.E.7) menjadi (

)

⟺ ⟺

⟺

...................................................................... II.E.8

Persamaan II.E.8 merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang datar. (Suryadi, 1984) Berdasarkan persamaan-persamaan sebelumnya diperoleh vektor 〈

〉

|

| ⃗

〈

〉

|

|

|

|

⃗⃗⃗⃗⃗

|

|⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

Jadi, vektor tersebut merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang yang dibentuk oleh ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ . Oleh

datar karena itu, 〈

〉

⃗ disebut vektor normal dari bidang datar V = 0


40

tersebut. Vektor normal ini akan memegang peranan penting dalam pembahasan bidang datar. Berdasarkan persamaan (II.E.7), suatu bidang datar yang diketahui dengan vektor normal 〈

melalui titik

〉

⃗ berbentuk:

(Suryadi, 1984) 5. Garis Lurus dalam R3 Persamaan garis l dalam ruang dimensi tiga dapat ditentukan ketika diketahui dua titik pada garis tersebut, misalnya

dan

. Z P

Q

R l

O

Y

X Gambar II.E.6 : Garis di R3 Diperoleh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

〉, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

〈

〉, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

〈

〉. Untuk sebarang titik

〈

pada l berlaku

Jelas bahwa

sehingga didapat persamaan vektoris garis lurus

yaitu 〈

〉

〈

〉

〈

〉


41

Selain itu, persamaan garis juga dapat ditentukan apabila sudah diketahui satu titik sebarang pada l dan vektor arah l yang dimisalkan dengan ⃗

〈

〉. Oleh karena itu, ⃗ 〈

〉

⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga

〈

〉

Persamaan vektoris l dapat ditulis 〈

〉

〈

〉

〈

〉

〈

〉

Dari persamaan vektoris tersebut, dapat di ubah ke dalam persamaan parameter sebagai berikut:

Dengan mengeliminasi

diperoleh

(Suryadi, 1984) 6. Konikoida Konikoida adalah permukaan yang dinyatakan oleh mana

adalah polinomial berderajat dua pada

di dan . Persamaan

umum konikoida ditampilkan sebagai berikut

(Chatterje, 2003)


42

Konikoida terdiri dari bola, elipsoid, hiperboloid, kerucut, paraboloid, dan tabung. Persamaan umum konikoida dapat ditransformasikan melalui transformasi sistem koordinat menjadi salah satu bentuk standar sebagai berikut a)

: elipsoida.

b)

: elipsoida khayal.

c)

: hiperboloida daun satu.

d)

: hiperboloida daun dua.

e)

: kerucut khayal.

f)

: kerucut.

g)

: paraboloida eliptik.

h)

: paraboloida hiperbolik.

i)

: tabung eliptik.

j)

: tabung hiperbolik.

k)

: tabung khayal.

l)

: silinder parabolik.

m)

: sepasang bidang rata berpotongan.

n)

: sepasang bidang rata khayal berpotongan.

o)

: sepasang bidang rata sejajar.


43

p)

: sepasang bidang rata khayal sejajar.

q)

: sepasang bidang rata berimpit.

Dengan

dan merupakan bilangan positif. (Suryadi, 1984)

7. Tabung Suatu konikoida disebut sebagai tabung apabila memiliki pusat berupa garis lurus. Apabila persamaan umum konikoida berubah menjadi persamaan

Setelah dilakukan transformasi sistem koordinat, maka konikoida disebut tabung lingkaran tegak. Untuk memperoleh titik pusat suatu konikoida dengan persamaan

Digunakan persamaan pusat konikoida sebagai berikut {

....................................................(*)

Titik pusat berupa garis lurus terjadi ketika Rank A= Rank (A,b) = 2 Rank (

)

rank (

)


44

Pusat tersebut adalah menggunakan persamaan { Persamaan karakteristiknya adalah |

|

Selanjutnya, nilai karakteristik dapat dimasukkan dalam persamaan

di mana

| dan

|

|

Suatu tabung lingkaran tegak akan menghasilkan

|

dan

sehingga akan diperoleh

atau

dengan

. (Suryadi, 1984)


BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut

Recommend Documents